APLICAÇÕES DE DERIVADA - Unesp · APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA Para determinar os...

MATEMÁTICA I

APLICAÇÕES DE DERIVADA

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

[email protected]

Parte 1

•Aplicações de Derivada • Primeira Derivada

• Segunda Derivada

Parte 2 •Formas Indeterminadas


1ª DERIVADA


Discutiremos informações referentes a uma

função ou curva que pode ser obtida a partir das

suas derivadas.

• Tais informações são úteis para se traçar

gráficos.

APLICAÇÕES DE DERIVADA – 1ª DERIVADA

A primeira derivada de uma função pode ser usada

para:

• determinar os intervalos em que a função é

crescente;

• determinar os intervalos em que a função é

decrescente;

• localizar os valores máximos e mínimos de uma

função (pontos estacionários).


Seja a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥 = 𝑎.

• A primeira derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 ,

𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 é a declividade no ponto 𝑥 da

curva que representa a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

• Em particular, 𝑓′ 𝑎 é a declividade da

curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥 = 𝑎.


Se a primeira derivada 𝑓′ 𝑎 é

positiva, 𝑦 = 𝑓 𝑥 é uma função

crescente de 𝑥 em 𝑥 = 𝑎.

• 𝑦 = 𝑓 𝑥 cresce, a medida

que 𝑥 cresce, passando por

𝑥 = 𝑎.

Se a primeira derivada 𝑓′ 𝑎 é negativa, 𝑦 = 𝑓 𝑥 é uma

função decrescente de 𝑥 em 𝑥 = 𝑎.

• 𝑦 = 𝑓 𝑥 decresce, a medida que 𝑥 cresce, passando

por 𝑥 = 𝑎.


Considere a função 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 10.

• Note que 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥.

Uma vez que 𝑓′ 𝑥 > 0, para 𝑥 > 0< 0, para 𝑥 < 0

:

𝑓 𝑥 é uma função crescente de

𝑥, para 𝑥 > 0.

𝑓 𝑥 é uma função decrescente

de 𝑥, para 𝑥 < 0.

Observe que 𝑓′ 𝑥 = 0, para 𝑥 = 0.

𝑦

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑓′(𝑥)

𝑦


Considere a função 𝑓 𝑥 = 3𝑥3 − 2.

• Note que 𝑓′ 𝑥 = 9𝑥2.

𝑦

𝑥

𝑓(𝑥)

Uma vez que 𝑓′ 𝑥 > 0 para todo 𝑥

temos que:

𝑓 𝑥 é uma função crescente de 𝑥,

para todo 𝑥.

Observe que 𝑓′ 𝑥 = 0, para 𝑥 = 0. 𝑥

𝑓′(𝑥)

𝑦


Uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem

• máximo relativo ou máximo local em 𝑥 = 𝑎 se

𝑓 𝑎 é maior do que qualquer valor de 𝑓 𝑥 para 𝑥,

dentro de um intervalo em torno de 𝑎.

• mínimo relativo ou mínimo local em 𝑥 = 𝑎 se 𝑓 𝑎

é menor do que qualquer valor de 𝑓 𝑥 para 𝑥, dentro

de um intervalo em torno de 𝑎.


• O máximo ou mínimo (absolutos) de uma função em um

intervalo maior pode ocorrer em um ponto extremo do

intervalo, ao invés de ocorrer em qualquer máximo ou

mínimo relativo.

• É possível que um valor máximo relativo de uma função

ser menor do que um valor mínimo relativo da função.


ADVERTÊNCIAS

1.) Um máximo ou mínimo relativo em 𝑥 = 𝑎 implica que

𝑓′ 𝑎 = 0, somente se 𝑓 𝑥 e 𝑓′ 𝑥 são contínuas em 𝑥 = 𝑎.

Exemplo. Se 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 12

3 + 1, então 𝑓′ 𝑥 =2

3 𝑥−113

.

• Note que 𝑓′ 𝑥 é descontínua em

𝑥 = 1.

• Portanto, embora a função tenha

um mínimo relativo em 𝑥 = 1 ,

∄𝑓′ 1 .


ADVERTÊNCIAS

2.) 𝑓′ 𝑎 = 0 não implica em um máximo ou mínimo relativo em

𝑥 = 𝑎, mesmo que 𝑓(𝑥) e 𝑓′(𝑥) sejam contínuas em 𝑥 = 𝑎.

• 𝑓(𝑥) e 𝑓′(𝑥) são contínuas em 𝑥 = 𝑎 , 𝑓′ 𝑎 = 0 é uma

condição necessária mas não suficiente para a existência de

um máximo ou mínimo relativo em 𝑥 = 𝑎.

Exemplo. Se 𝑓 𝑥 = 𝑥3, então 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 e 𝑓′ 𝑥 = 0 para 𝑥 = 0.

• Note que a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 não

tem um máximo ou mínimo

relativo em 𝑥 = 0.


Considere a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 em 𝑥 = 𝑎 para o qual 𝑓 𝑥 e 𝑓′ 𝑥

são contínuas.

• Se 𝑓 𝑎 é um máximo relativo de 𝑓 𝑥 , então a declividade

𝑓′ 𝑥 de 𝑓 𝑥 muda de positiva para negativa, quando 𝑥

passa pelo ponto 𝑥 = 𝑎.

• Se 𝑓 𝑎 é um mínimo relativo

de 𝑓 𝑥 , então a declividade

𝑓′ 𝑥 de 𝑓 𝑥 muda de

negativa para positiva,

quando 𝑥 passa pelo ponto

𝑥 = 𝑎.


Para determinar os máximos e mínimos relativos (locais):

1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes (ou valores

críticos)

2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida

que 𝑥 cresce, passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.

𝒇′ 𝒙 𝒎𝒖𝒅𝒂 𝒅𝒆 + 𝒑𝒂𝒓𝒂 − 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂 ⇒ 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂

𝒇′ 𝒙 𝒎𝒖𝒅𝒂 𝒅𝒆 − 𝒑𝒂𝒓𝒂 + 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂 ⇒ 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂

𝒇′ 𝒙 𝒏ã𝒐 𝒎𝒖𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂 ⇒ 𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒐𝒖 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒎 𝒙 = 𝒂


Exemplo. Determine os máximos e mínimos

relativos (caso haja) da função

𝑦 = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 13

Solução. Para determinar os máximos e mínimos

relativos (locais):

1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas

raízes (ou valores críticos)

• Note que 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 − 6𝑥 − 12, então:

6𝑥2 − 6𝑥 − 12 = 0 ⇒ 𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0

⇒ 𝑥 = 2 e 𝑥 = −1

𝑦

𝑥

𝑓(𝑥)


2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda

de sinal, à medida que 𝑥 cresce, passando

pelo ponto 𝑥 = 𝑎.

• se 𝑥 < −1, 𝑓′ 𝑥 > 0

• se 𝑥 ∈ −1, 2 , 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 ∈ −1, 2 , 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 > 2, 𝑓′ 𝑥 > 0

𝑥

𝑓′(𝑥)

𝑦

+ +

− Portanto, temos um

máximo local em 𝑥 = −1

Portanto, temos um

mínimo local em 𝑥 = 2


Exemplo. Determine os máximos e mínimos relativos (caso haja) da

função 𝑦 = 3𝑥4 − 4𝑥3

Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos (locais):


críticos)

• Note que 𝑓′ 𝑥 = 12𝑥3 − 12𝑥2, então:

12𝑥3 − 12𝑥2 = 0 ⇒ 12𝑥2 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1

2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida que 𝑥

cresce, passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.

• se 𝑥 < 0, 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 ∈ 0, 1 , 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 ∈ 0, 1 , 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 > 1, 𝑓′ 𝑥 > 0

Portanto, não temos máximo

ou mínimo em 𝑥 = 0

Portanto, temos um mínimo em 𝑥 = 1

𝑦

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑓′(𝑥)

𝑦

−

+

−




críticos)

• Note que 𝑦 =𝑔 𝑥

𝑕(𝑥), onde 𝑔 𝑥 = 𝑥 e 𝑕 𝑥 = 𝑥2 + 1

1

2, então:

𝑓′ 𝑥 =𝑥2+1

12 𝑥 ′−𝑥 𝑥2+1

12

′

𝑥2+12 =

𝑥2+112 −𝑥

1

2𝑥2+1

−12 𝑥2+1

′

𝑥2+1

𝑓′ 𝑥 =𝑥2+1

12 −𝑥

1

2𝑥2+1

−12 2𝑥

𝑥2+1=

𝑥2+1 𝑥2+1−12−𝑥2 𝑥2+1

−12

𝑥2+1=

𝑥2+1−12 𝑥2+1−𝑥2

𝑥2+1

𝑓′ 𝑥 =1

𝑥2+132

≠ 0

• Para todos os valores de 𝑥, 𝑓′ 𝑥 ≠ 0. Portanto a função 𝑦 não possui máximo e nem mínimo.

Determine os máximos e mínimos relativos

(caso haja) da função 𝑦 =𝑥

𝑥2+1

𝑦

𝑥

𝑓(𝑥)


2ª DERIVADA


• A segunda derivada de uma função pode ser

usada para:

• determinar onde a função é côncava para cima;

• determinar onde a função é côncava para baixo;

• localizar os pontos de inflexão de uma função (se

existirem).


Seja a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥 = 𝑎.

• A segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 ,

𝑦′′ = 𝑓′′ 𝑥 , é a declividade no ponto 𝑥 da curva

que representa a primeira derivada 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 da

função 𝑓(𝑥).

• Em particular, 𝑓′′ 𝑎 é a declividade da curva

𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 no ponto 𝑥 = 𝑎.


Se a segunda derivada 𝑓′′ 𝑎

de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é

positiva, 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 é uma

função crescente de 𝑥 em

𝑥 = 𝑎.

• Neste caso a curva que

representa 𝑦 = 𝑓 𝑥 é

côncava para cima , onde

𝑓′′(𝑥) é positiva.

Se a segunda derivada 𝑓′′ 𝑎 de

uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é

negativa, 𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 é uma

função decrescente de 𝑥 em

𝑥 = 𝑎.

• Neste caso a curva que

representa 𝑦 = 𝑓 𝑥 é

côncava para baixo , onde

𝑓′′(𝑥) é negativa.


Advertência

O teste da segunda é somente uma condição suficiente, mas não

necessária, para um máximo ou mínimo relativo.

• 𝑓(𝑥) pode ser côncava para cima ou para baixo em

𝑥 = 𝑎 se 𝑓′′(𝑎) = 0.

Se 𝑓′(𝑎) = 0, então:

• 𝑓′′ 𝑎 > 0 ⇒ 𝑓(𝑥) ser côncava para cima em 𝑥 = 𝑎

• 𝑓(𝑥) ser côncava para cima em 𝑥 = 𝑎 ⇏ 𝑓′′ 𝑎 > 0

• 𝑓′′ 𝑎 < 0 ⇒ 𝑓(𝑥) ser côncava para baixo em 𝑥 = 𝑎

• 𝑓(𝑥) ser côncava para baixo em 𝑥 = 𝑎 ⇏ 𝑓′′ 𝑎 < 0


Solução. Para determinar os máximos e mínimos

relativos (locais):

1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas

raízes (ou valores críticos)

• Note que 𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, então:

𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 − 3 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3

Exemplo. Determine os máximos e

mínimos relativos (caso haja) da função

𝑓 𝑥 =1

3𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑦

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑓′(𝑥)

𝑦

−

+ +



2. Para cada raiz 𝑎, determine 𝑓′′ 𝑥 .

• Note que 𝑓′′ 𝑥 = 2𝑥 − 4, então:

• se 𝑥 = 1, 𝑓′′ 1 = 2 1 − 4 = −2 < 0

• Portanto, temos um máximo local em 𝑥 = 1

• se 𝑥 = 3, 𝑓′′ 3 = 2 3 − 4 = 2 > 0

• Portanto, temos um mínimo local em 𝑥 = 3


mínimos relativos (caso haja) da função

𝑓 𝑥 =1

3𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑦

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑦

𝑥

𝑓′′(𝑥)


Exemplo. Determine os máximos e mínimos relativos (caso haja) da

função 𝑓 𝑥 = 𝑥4.



críticos)

• Note que 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3, então: 4𝑥3 = 0 ⇒ 𝑥 = 0


• Note que 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥2, então:

• se 𝑥 = 0, 𝑓′′ 0 = 12 0 2 = 0

• Portanto, pode ou não existir um máximo ou mínimo em 𝑥 = 0.

3. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida que 𝑥 cresce,

passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.

• se 𝑥 < 0, 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 > 0, 𝑓′ 𝑥 > 0 Portanto, temos um mínimo em 𝑥 = 0


Exercício. Determine os máximos e mínimos relativos

(caso haja) da função

𝑓 𝑥 = 𝑥3

Dicas para Solução.

1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes

(ou valores críticos)


3. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal,

à medida que 𝑥 cresce, passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.


Solução do Exercício. Para determinar os máximos e mínimos relativos

(locais):


críticos)

• Note que 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2, então: 3𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = 0


• Note que 𝑓′′ 𝑥 = 6𝑥, então:

• se 𝑥 = 0, 𝑓′′ 0 = 6 0 = 0

• Portanto, pode ou não existir um máximo ou mínimo em 𝑥 = 0.

3. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida que 𝑥 cresce,

passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.

• se 𝑥 < 0, 𝑓′ 𝑥 > 0

• se 𝑥 > 0, 𝑓′ 𝑥 > 0

• Portanto, não temos máximo nem mínimo em 𝑥 = 0.


Pontos de Inflexão

Se uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem um ponto de inflexão em

𝑥 = 𝑎 para o qual sua segunda derivada é contínua, então

𝑓′′ 𝑎 = 0.

• Os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′′ 𝑥 é descontínua

devem ser considerados separadamente.


Advertências

1. Um ponto de inflexão em 𝒙 = 𝒂 implica em

𝒇′′(𝒙) = 𝟎, somente se 𝒇(𝒙) e 𝒇′′(𝒙) são contínuas em

𝒙 = 𝒂.

2. 𝒇′′ 𝒂 = 𝟎 não implica em um ponto de inflexão em

𝒙 = 𝒂, mesmo que 𝒇(𝒙) e 𝒇′′(𝒙) sejam contínuas em

𝒙 = 𝒂.

• Se 𝒇(𝒙) e 𝒇′′(𝒙) são contínuas em 𝒙 = 𝒂, 𝒇′′ 𝒂 = 𝟎 é

condição necessária, mas não suficiente para a

existência de um ponto de inflexão em 𝒙 = 𝒂.


Como determinar os Pontos de Inflexão

• Para determinar os pontos de inflexão (caso haja) de

uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥):

1. Encontre os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′′ 𝑥 é igual

a zero (ou descontínua) e 𝑓 𝑥 é contínua.

2. Para cada valor 𝑎 tal que 𝑓 𝑥 é contínua em 𝑥 = 𝑎 e

𝑓′′ 𝑥 é igual a zero (ou descontínua) em 𝑥 = 𝑎 ,

determine se 𝑓′′ 𝑥 muda de sinal, quando 𝑥 cresce

passando por 𝑎.


Observação

Se 𝑓 𝑥 e 𝑓′′ 𝑥 são contínuas em 𝑥 = 𝑎 e 𝑓′′ 𝑎 = 0, então

𝑓′′′ 𝑎 ≠ 0 implica em um ponto de inflexão em 𝑥 = 𝑎.

• Pode-se utilizar esse procedimento para testar a mudança

de sinal da segunda derivada em 𝑥 = 𝑎.


Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos

(locais):

1. Resolva a equação 𝑓′ 𝑥 = 0 para obter suas raízes (ou

valores críticos)

𝑥

𝑓′(𝑥)

𝑦


mínimos relativos e os pontos de inflexão

(se houver) da função 𝑦 = 𝑥1

3. 𝑥

𝑓(𝑥)

𝑦

• Note que 𝑓′ 𝑥 =1

3𝑥−

2

3 ,

que é uma função não

nula para todo 𝑥 e

descontínua em 𝑥 = 0.


Solução. Para determinar os máximos e mínimos relativos

(locais):

2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à

medida que 𝑥 cresce, passa pelo ponto 𝑥 = 𝑎.

𝑥

𝑓′(𝑥)

𝑦


mínimos relativos e os pontos de inflexão

(se houver) da função 𝑦 = 𝑥1

3. 𝑥

𝑓(𝑥)

𝑦

• se 𝑥 < 0, 𝑓′ 𝑥 > 0

• se 𝑥 > 0, 𝑓′ 𝑥 > 0

Portanto, não existe

máximo e nem mínimo

relativo em 𝑥 = 0


Para determinar os pontos de inflexão:

1. Encontre os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′′ 𝑥 é igual a zero (ou

descontínua) e 𝑓 𝑥 é contínua.

• Note que 𝑓′′ 𝑥 = −2

9𝑥−

5

3, que é uma função não nula para todo 𝑥 e

descontínua em 𝑥 = 0.

𝑦

𝑥

𝑓′′(𝑥)

2. Para cada valor 𝑎 tal que 𝑓 𝑥 é contínua em

𝑥 = 𝑎 e 𝑓′′ 𝑥 é igual a zero (ou descontínua)

em 𝑥 = 𝑎, determine se 𝑓′′ 𝑥 muda de sinal,

quando 𝑥 cresce passando por 𝑎.

• se 𝑥 < 0, 𝑓′′ 𝑥 > 0

• se 𝑥 > 0, 𝑓′′ 𝑥 < 0

Portanto, temos um

ponto de inflexão em 𝑥 = 0


Exemplo. Determine os máximos e mínimos relativos e os pontos de

inflexão (se houver) da função 𝑦 = 𝑥 +1

𝑥. Note que 𝑦 = 𝑥 + 𝑥−1



críticos)

• Note que 𝑓′ 𝑥 = 1 − 1𝑥−2 =𝑥2−1

𝑥2 , então:

𝑓′ 𝑥 = 0 ⇒𝑥2 − 1

𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1

• Observe que 𝑓′ 𝑥 é descontínua em 𝑥 = 0


Determine os máximos e mínimos relativos e os pontos de inflexão (se

houver) da função 𝑦 = 𝑥 +1

𝑥. Note que 𝑦 = 𝑥 + 𝑥−1


2. Para cada raiz 𝑎, determine se 𝑓′ 𝑥 muda de sinal, à medida que 𝑥

cresce, passando pelo ponto 𝑥 = 𝑎.

• se 𝑥 < −1, 𝑓′ 𝑥 > 0

• se 𝑥 ∈ −1, 0 , 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 ∈ −1, 0 , 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 ∈ 0, 1 , 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 ∈ 0, 1 , 𝑓′ 𝑥 < 0

• se 𝑥 > 1, 𝑓′ 𝑥 > 0

Portanto, não existe máximo e

nem mínimo em 𝑥 = 0.

Portanto, existe um ponto de

máximo relativo em 𝑥 = −1.


mínimo relativo em 𝑥 = 1.


Para determinar os pontos de inflexão:

Encontre os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′′ 𝑥 é igual a zero (ou

descontínua) e 𝑓 𝑥 é contínua.

• Note que 𝑓′′ 𝑥 = 1 − 1𝑥−2 ′ = 0 + 2𝑥−3 =2

𝑥3, que é uma função não

nula para todo 𝑥, exceto para 𝑥 = 0.

• Observe que 𝑓′ 𝑥 e 𝑓′′ 𝑥 são descontínuas em 𝑥 = 0, portanto não

existe ponto de inflexão em 𝑥 = 0.


Exercício. Esboce a curva representada pela função:

𝑦 = 4 + 3𝑥 − 𝑥3

DICAS PARA SOLUÇÃO:

1. Obtenha 𝑑𝑦

𝑑𝑥 e

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

2. Determine as faixas de valores de 𝑥 para as quais 𝑑𝑦

𝑑𝑥 é

positiva e para as quais ela é negativa.

3. Observe a natureza da curva para valores de 𝑥 muito

pequenos e muito grandes.


Esboce a curva representada pela função 𝑦 = 4 + 3𝑥 − 𝑥3.

Solução.

1) Obtenha 𝒅𝒚

𝒅𝒙 e

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥4 + 3𝑥 − 𝑥3 = 0 + 3 − 3𝑥2 = 3 − 3𝑥2

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 =𝑑

𝑑𝑥3 − 3𝑥2 = 0 − 6𝑥 = −6𝑥



Solução.

2) Determine as faixas de valores de 𝒙 para as quais 𝒅𝒚

𝒅𝒙

é positiva e para as quais ela é negativa.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 ⇔ 3 − 3𝑥2 = 0 ⇔ 3 = 3𝑥2 ⇔ 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 1

• se 𝑥 < −1, 𝑑𝑦

𝑑𝑥< 0 (decrescente)

• se 𝑥 ∈ −1, 1 , 𝑑𝑦

𝑑𝑥> 0 (crescente)

• se 𝑥 ∈ −1, 1 , 𝑑𝑦

𝑑𝑥> 0 (crescente)

• se 𝑥 > 1,𝑑𝑦

𝑑𝑥< 0 (decrescente)


mínimo relativo em 𝑥 = −1 e 𝑦 = 2.


máximo relativo em 𝑥 = 1 e 𝑦 = 6.



Solução.

3) Determine as faixas de valores de 𝒙 para as quais 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐

é positiva e para as quais ela é negativa.

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 0 ⇔ −6𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0

• se 𝑥 < 0, 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 > 0 (côncava para cima)

• se 𝑥 > 0,𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 < 0 (côncava para baixo)


inflexão em 𝑥 = 0 e 𝑦 = 4.



Solução.

4) Observe a natureza da curva para valores de 𝒙

muito pequenos e muito grandes.

lim𝑥→−∞

4 + 3𝑥 − 𝑥3 = lim𝑥→−∞

4

𝑥3 +3𝑥

𝑥3 − 1 𝑥3 = ∞

lim𝑥→∞

4 + 3𝑥 − 𝑥3 = lim𝑥→∞

4

𝑥3 +3𝑥

𝑥3 − 1 𝑥3 = −∞

Parte 1

•Diferenciabilidade

•Aplicações de Derivada • Primeira Derivada

• Segunda Derivada

Parte 2 •Formas Indeterminadas

FORMAS INDETERMINADAS


Vamos finalizar o curso discutindo, para certos

tipos particulares de 𝑓 𝑥 , como determinar

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

quando 𝑓 𝑎 =0

0 ou 𝑓 𝑎 =

∞

∞.


Regra de L’Hôpital: Se lim𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥 existe e

• 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0 então:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥

• 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = ∞ então:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥


Observações

• A Regra de L’Hôpital é válida para 𝑎 finito ou

infinito.

• Se lim𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥 é uma forma indeterminada

0

0 ou

∞

∞,

então aplica-se novamente a Regra de L’Hôpital e

lim𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥= lim

𝑥→𝑎

𝑓′′ 𝑥

𝑔′′ 𝑥

e assim por diante.


Advertências

1) lim𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥≠ lim

𝑥→𝑎

𝑑

𝑑𝑥

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥, isto é, o quociente das

derivadas não é, em geral, igual à derivada do

quociente.

2) lim𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥= lim

𝑥→𝑎

𝑓′′ 𝑥

𝑔′′ 𝑥 se, e somente se, lim

𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥 é a

forma indeterminada 0

0 ou

∞

∞, pois a Regra de

L’Hôpital aplica-se apenas às formas

indeterminadas.


Exemplo. Calcule lim𝑕→0

4+𝑕−2

𝑕

Solução.

1. Note que temos uma indeterminação do tipo 0

0, assim

consideramos 𝑓 𝑕 = 4 + 𝑕 − 2 e 𝑔 𝑕 = 𝑕 , então

𝑓′ 𝑕 =𝑑𝑓

𝑑𝑕=

𝑑

𝑑𝑕4 + 𝑕

1

2 − 2 =1

24 + 𝑕 −

1

2 ∙ 1 =1

24 + 𝑕 −

1

2 =1

2 4+𝑕12

𝑔′ 𝑕 =𝑑𝑔

𝑑𝑕=

𝑑

𝑑𝑕𝑕 = 1

2. Utilizando a Regra de L’Hôpital, temos que.

lim𝑕→0

𝑓 𝑕

𝑔 𝑕= lim

𝑕→0

𝑓′ 𝑕

𝑔′ 𝑕= lim

𝑕→0

1

2 4 + 𝑕12

1= lim

𝑕→0

1

2 4 + 𝑕=

1

2 4=

1

4

Portanto lim𝑕→0

4+𝑕−2

𝑕=

1

4.


Exemplo. Calcule lim𝑥→0

𝑒𝑥− 1+𝑥

𝑥2

Solução.

1. Note que temos uma indeterminação do tipo 0

0, assim

consideramos 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 + 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2, então

𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 − 1 + 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 = 𝑒𝑥 − 1

𝑔′ 𝑥 =𝑑𝑔 𝑥

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 = 2𝑥


lim𝑥→0

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→0

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥= lim

𝑥→0

𝑒𝑥 − 1

2𝑥

que também é uma indeterminação do tipo 0

0


3. Note que temos outra indeterminação do tipo 0

0, assim

𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 e 𝑔′ 𝑥 = 2𝑥, então

𝑓′′ 𝑥 =𝑑2𝑓 𝑥

𝑑𝑥2 =𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 − 1 = 𝑒𝑥 − 0 = 𝑒𝑥

𝑔′′ 𝑥 =𝑑2𝑔 𝑥

𝑑𝑥2 =𝑑

𝑑𝑥2𝑥 = 2


lim𝑥→0

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥= lim

𝑥→0

𝑓′′ 𝑥

𝑔′′ 𝑥= lim

𝑥→0

𝑒𝑥

2=

1

2

Portanto lim𝑥→0

𝑒𝑥− 1+𝑥

𝑥2 =1

2


Exercício. Calcule lim𝑥→∞

ln 𝑥

𝑥

Solução.

1. Note que temos uma indeterminação do tipo ∞

∞, assim

consideramos 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 , então

𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥ln 𝑥 =

1

𝑥

𝑔′ 𝑥 =𝑑𝑔 𝑥

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 1


lim𝑥→∞

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→∞

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥= lim

𝑥→∞

1𝑥1

= lim𝑥→∞

1

𝑥= 0

Portanto lim𝑥→∞

ln 𝑥

𝑥= 0


A Regra de L’Hôpital também pode ser

aplicada a outros tipos de formas de

indeterminação, se elas forem colocadas

antes na forma 0

0 ou

∞

∞ .


• Indeterminação Tipo 1. Se lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = ∞ ∙ 0

• Onde lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = ∞ e lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 = 0, então:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥1

𝑔 𝑥

é do Tipo ∞

∞ ou lim

𝑥→𝑎

𝑔 𝑥1

𝑓 𝑥

é do Tipo 0

0

Exemplo: Calcule lim𝑥→∞

𝑥 𝑒1

𝑥 − 1

Note que temos uma indeterminação do tipo ∞ ∙ 0, assim

lim𝑥→∞

𝑥 𝑒1𝑥 − 1 = lim

𝑥→∞

𝑒1𝑥 − 1

1𝑥

= lim𝑥→∞

𝑒1𝑥 − 1

′

1𝑥

′ = lim𝑥→∞

−𝑒

1𝑥

𝑥2

−1𝑥2

= 1



𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 00

• onde lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 0 e lim𝑥→𝑎


lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥1

ln 𝑓 𝑥

é do Tipo 0

0 ou lim

𝑥→𝑎

ln 𝑓 𝑥1

𝑔 𝑥

é do Tipo ∞

∞

Exemplo. Calcule lim

𝑥→11 − 𝑥 tg 𝜋𝑥

Note que temos uma indeterminação do tipo 00, assim

lim𝑥→1

1 − 𝑥 tg 𝜋𝑥 =𝑒lim𝑥→1

ln 1−𝑥

cotg 𝜋𝑥 = 𝑒lim𝑥→1

−11−𝑥

cossec2 𝜋𝑥 = 𝑒lim𝑥→1

sen2 𝜋𝑥

𝑥−1

lim𝑥→1

1 − 𝑥 tg 𝜋𝑥 =𝑒lim𝑥→1

−11−𝑥

cossec2 𝜋𝑥 = 𝑒lim𝑥→1

2 sen 𝜋𝑥 cos 𝜋𝑥= 𝑒0 = 1



𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = ∞0

• onde lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = ∞ e lim𝑥→𝑎


lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥1

ln 𝑓 𝑥

é do Tipo 0

0 ou lim

𝑥→𝑎

ln 𝑓 𝑥1

𝑔 𝑥

é do Tipo ∞

∞

Exemplo. Calcule lim

𝑥→∞𝑥

1

𝑥

Note que temos uma indeterminação do tipo ∞0, assim

lim𝑥→∞

𝑥1𝑥 =𝑒

lim𝑥→∞

𝑥1𝑥= 𝑒

lim𝑥→∞

ln 𝑥𝑥 = 𝑒

lim𝑥→∞

1𝑥1 = 𝑒

lim𝑥→∞

1𝑥 = 𝑒0 = 1


Exercício. Calcule

lim𝑥→0+

𝑥𝑥

Solução. Note que temos uma

indeterminação do tipo 00, assim

lim𝑥→0+

𝑥𝑥 =𝑒lim

𝑥→0+ ln 𝑥

1𝑥 = 𝑒

lim𝑥→0+

1𝑥

−1𝑥2 = 𝑒0 = 1

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