Aplicando-se as condições de contorno...

Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio

1

Problemas de Valor Característico

(ou auto-valores)

Considere a equação homogênea

2

2

dx

yd + 1f (x)

dx

dy + 2f (x) y = 0

Submetida às condições de contorno homogêneas 0)(

0)(

by

ay

A solução geral da equação é do tipo: )()( xycxycy 2211

onde )(1 xy e )(2 xy são soluções linearmente independentes

Aplicando-se as condições de contorno segue

0)()( 2211 aycayc (I)

0)()( 2211 bycbyc

Angela Nieckele – PUC-Rio

2

Uma solução possível para este sistema algébrico, é dada por 021 cc

que corresponde a solução trivial 0y

As constantes 1c e 2c não se anulam apenas se: 0)( )(

)( )(

21

21

byby

ayay (II)

Se isto ocorrer, as duas equações do sistema (I) se tornam idênticas. Desta forma, tem-se uma

solução não trivial, a menos de uma constante C, ou seja

xyayxyayCy 2112

Muitos problemas de condução de calor podem ser reduzidos à solução da equação diferencial

mostrada, cujos coeficientes )(1 xf e )(2 xf são dependentes de um certo parâmetro .

Em tais problemas, o determinante (II) pode se anular apenas para certos valores específicos de

, digamos 1 , 2 , 3 , ...., que são chamados de VALORES CARACTERÍSTICOS ou

AUTOVALORES.


3

Estes problemas são chamados de PROBLEMAS DE VALORES CARACTERÍSTICOS.

Exemplo:

02

2

2

yxd

yd

)(

)(..

20

100

Ly

ycc

Solução geral: )()(

cossen

xyxy

xcxcy

2

2

1

1

Determinante (II) para este caso:

...,,

sencossen

21

0010

nL

nounL

LLL

n

Estes autovalores poderiam ser obtidos, também, impondo as c.c.’s:

(i) x = 0 y (0) = 0 2c = 0

(ii) x = L y (L) = 0 1c sen ( L) = 0


4

Para solução não trivial sen ( L) = 0

autovalores trivialsolução021 nnL

nn ...,,

Para cada valor de n corresponderá uma função

x

L

nxx nn

sen

Esta função é chamada de FUNÇÃO CARACTERÍSTICA OU AUTO-FUNÇÃO

Solução: xcy n1


5

ORTOGONALIDADE DE AUTO-FUNÇÕES

Considere a equação: 032

212

2

yxfxfxd

ydxf

xd

yd)()()( (*)

Esta equação é igual para problemas de transferência de calor por condução uni-dimensional.

Considere a equação submetida a condições de contorno homogêneas no intervalo (a, b)

A solução deste problema irá gerar autofunções sxn )'( correspondentes a autovalores sn ' .

A equação (*) pode ser reescrita como:

02

yxxq

dx

dyxp

d

d

x

dxxf

dxxf

exffxpx

xfxpxq

exp

1

1

33

2com


6

DEFINIÇÃO:

Duas auto-funções )(xn e )(xm , correspondentes a auto-valores n e )(xm distintos, são

ortogonais num intervalo (a, b) com respeito a função peso )(x , isto é:

b

a

0)()()( dxxxx mn nm ,

exemplo:

...,,,sen

..

21

0

0002

2

2

nL

xn

yLx

yxccy

xd

yd

xn

Neste caso

101

1

0

0

3

2

1

xexqxp

xf

xf

xf

,

L

nmnodxxx n

L

mn

0

sensen Para mn 20

2 Ldxx

L

nL

sen


7

EXPANSÃO DE UMA FUNÇÃO ARBITRÁRIA )(xf EM SÉRIES DE FUNÇÕES

ORTOGONAIS NUM INTERVALO (a, b)

Considere o conjunto de auto-funções )(xn , ortogonais em (a ,b) com respeito a função peso

)(x

Uma função genérica )(xf pode ser representada no intervalo (a, b) pela expansão

......)()()()( 221100 xxxxf ou

0nnn xxf

Os coeficientes n podem ser obtidos multiplicando-se ambos os lados por )(x )(xm e

integrando em (a, b), isto é:

b

a

0

)()()(n

m dxxfxx n

b

anm dxxxx

todos os termos são nulos, exceto quando n=m

Segue

b

an

n

n

dxxx

dxxfx

2

b

a

x


8

Exemplo: Conjunto )(xn = sen

L

xn

Ortogonal em ( 0, L) com respeito 1)( x

Função arbitrária, em (0,L):

1

)(n

xf

l

xnn

sen

com os coeficientes dados por n

L

L

dxL

xn

dxL

xnxf

0

2

0

sen

sen)(

dxL

xnxf

L

L

n

0

2 sen)(

Esta expansão é conhecida como série de Fourier em senos.


9

Se, no exemplo dado, cuja equação é 022

2

ydx

yd

As condições de contorno fossem

)(

)(

20

100

yLx

dx

dyx

)cos(sen xcxcy 21 dx

dy )sen()cos( xCxc 21

c.c. (1) C1=0 (2) cos (L) =0 teríamos

x

L

nn

cos n=0, 1, 2,

Uma função arbitrária, )(xf , poderá ser representada, no intervalo (0, L) por

)(xf 0 +

1n

L

xnn

cos

com

L

n

L

dxxL

nxf

L

dxxfL

0

0

2

1

)cos(

Esta expansão é uma série de Fourier em cosenos


10

Equações de Bessel

02

yxxq

dx

dyxp

d

d

x

2

1

2

2

202

ps

p

ps

Definindospxdx

dx

dx

d sp

1

2

1

xx

GeralSolução

p

:

(soluções particulares)

Real

Fracioário

Zero ou Inteiro

n

nn JJ

YouJJ

Funções de Bessel

de 1a e 2a espécie

Imaginário Fracioário

Zero ou Inteiro

n

nn I

ou

Funções de Bessel

Modificadas de

1a e 2a espécie

2 sp

rx

Se

trate-se de

equações

equidimensional,

cuja do tipo


11

Funções de Bessel

sen

mxJmxJmxY

kk

mxxmJ

k

k

k

cos

!

/

1Γ

21

2

0

onde função Gama:

sen

nnnn

e1ΓΓ

Γ1Γ

21Γ

01Γ

21

!

/

!

/


12

J0=besselj[0,x]

J1=besselj[1,x]

Y0=bessely[0,x]

Y1=besseljy[1,x]


13

sModificadaBesseldeFunções

sen

mxmxmx

kk

mx

mxk

k

2

1Γ

2

0

2

!

1

0

Io(x)

I1(x)

I2(x) K2(x)

K1(x)

Ko(x)


14

paramxmx

KYJparamxmxmxx

d

d

paramxmx

IYJparamxmxmxx

d

d

x

x

1

1

1

1

,,

,,

paramxmxm

YJparamxmxmmx

xd

d

paramxmxm

YJparamxmxmmx

xd

d

paramxm

YJparamxmmx

xd

d

x

x

x

x

1

1

1

1

1

1

,,

,,

,,

Derivadas das Funções de Bessel:

Caso especial, para u = 0

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