Introdução à Análise Diferencial dos Movimentos dos...

Angela Nieckele – PUC-Rio

1

Introdução à Análise Diferencial

dos Movimentos dos Fluidos

Equação de conservação de massa (continuidade)

Definições auxiliares:

Função corrente

Derivada material

Aceleração

Rotação de fluidos

Equação de Conservação de Quantidade de Movimento

Linear (2a Lei de Newton)

Equação constitutiva para fluidos Newtonianos

Equação de Navier-Stokes


2

Equação de Conservação de Massa

Sistema:

00

td

mdd

td

d

sistema

dm = d

sistema

Volume de controle:

A B

Variação com o tempo da Fluxo líquido de massa

da massa do volume de controle através da superfície de controle

SCVC

AdnVdt

0

d m= dA L= = dA Vn dt


33

Continuidade - coordenadas cartesianas:

00

)div( Vρ

t

ρ

x

Vρ

t

ρ

i

i


tdiv V ( )

0 ( I )

Variação da massa Fluxo líquido de massa

com o tempo por por unidade de volume

unidade de volume

A equação acima pode ser rescrita sabendo que ρVVρ)Vρ()Vρ(

div

como

tV V

0

Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva D A

D t

A

tV A

variação local variação

temporal convectiva

temos

D

D tV

0 ( II )

tdiv V ( )

0 ( I )



unidade de volume


div

como

tV V

0


D t

A

tV A


temporal convectiva

temos

D

D tV

0 ( II )

tdiv V ( )

0 ( I )



unidade de volume


div

como

tV V

0


D t

A

tV A


temporal convectiva

temos

D

D tV

0 ( II )

S

dSnAA 1

0limdiv Fluxo líquido por unidade

de volume


5

Equação de Conservação de Massa ou

Continuidade

0

)(div V

t

0 )(div VDt

D

ou

Casos Particulares

1. Regime Permanente:

2. Incompressível:

0)(div V

0)(div V


6

Coordenadas cilíndricas

0

zr u

zu

rur

rrt

0V(ρt

ρ

)div


7


8


9

Função de Corrente para Escoamento Incompressível Bi-dimensional

continuidade

u

x

v

y 0 ou

r u

r r

u

rr 0

Definição: função de corrente

uy

vx

, ou u

ru

rr

,

substituindo na continuidade:

x y y x

0 sempre verdade

Função Corrente para Escoamento

Incompressível Bi-dimensional


10

Linha de corrente: Linha imaginária num campo de escoamento

tal que em um determinado instante de tempo, o vetor velocidade em

qualquer ponto é tangente a esta linha em cada ponto

Obs: Para um escoamento em regime permanente, as linhas de

corrente correspondem às trajetórias das linhas

xd

yd

u

vtan

xd

yd

u

v

Equação da linha de

corrente

x

u

v V

u

y

Linha de corrente

u

d x

v

d yu d y v d x

yd y

xd x d

0

0 0


11

Vazão Volumétrica Q QAB = QBC

Q

u dyy

dy dAB

y1

y

y

y

22

1

2

2 1

1

Q

v dxx

dx dBC

x

x

x

x

1

22

2

1

2 1

1

B

A

C

x

y


12


14


15

VVat

V

tD

VD

z

v

y

v

x

v

t

v

t

v

tD

vDy wvuvVa

z

w

y

w

xw

t

w

t

w

tD

wDz wvuwVa

Aceleração:

aceleração aceleração

local temporal convectiva

kajaiaakwjviuV zyx

,

Em coordenadas cartesianas:

z

u

y

u

x

u

t

u

t

u

tD

uDx wvuuVa

y ej

ej ei

ei

x

z

w

z

v

z

u

y

w

y

v

y

u

x

w

x

v

x

u

V


16

a V VD V

D t

V

t

Aceleração:

aceleração aceleração

local temporal convectiva

Em coordenadas cilíndricas:

zzrr

zzrr

eaeaeaa

eueueuV

,

a V u u u uu

rrD u

D t

u

t ru

t ru

r

u

r zu

zr r r r r r

2

a V u u u uu u

r

D u

D t

u

t

u

t ru

r

u

r zu

zr

a V u u u uzD u

D t

u

t zu

t ru

r

u

r zu

zz z z z z z

y er

e e er

r

x centrífuga

coriolis


17

Exercício: Considere o escoamento unidimensional, permanente,

incompressível, através do duto plano e convergente mostrado. O

campo de velocidade é dado por

Determine o componente x da aceleração de uma partícula movendo-se

no campo de escoamento.

X1=0

X2=L

y

x

V

iLxVV

)]/([ 11

VVat

V

tDVD

zzyyxx eaeaeaa

regime permanente: 0t

V

0 zyxx aaeaa ;

1-D:

x

uxz

u

y

u

x

u

tD

uDx uawvuuVa

L

V

L

xVax

11 1


18

Equação de Conservação de Quantidade

de Movimento Linear (2a Lei de Newton)

tD

VDff

tD

VDdfdamF cSextext

força de corpo: Cf

força volumétrica,ex: força gravitacional gfg

força de superfície: fff pS


19

dydzxP )(

dy

dz

dydzdxxP )( ),,( zyx

- força de pressão: força normal compressivapf

dx

k

z

Pj

y

Pi

x

Pf p

Pf p

dFp,x= P dy dz - (P dy dz + P/x dx dy dz) = - P/x d

fp,x = - P/x logo fp,y = - P/y e fp,z = - P/z


f

força viscosa: força definida por um tensor,

em cada face possui 3 componentes,

dois tangenciais e um normal

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

xx

yx

yy

y

x

z

yz

zz

xz

xy

zx

zy


21

Força de superfície viscosa resultante na direção x

yxdzz

yx

zxdyy

zx

zydxx

zyF

zxzxzx

yxyxyx

xxxxxxx

,

zyxzyx

F zxyxxxx

,

convençãon

n

zyxf zxyxxx

x

,

dx

dz


22

Procedendo de forma análoga para as outras direções

zyxf zxyxxx

x

,

zyxf

zyyyxyy

,

zyxf zzyzxz

z

,

f

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyxf

zyxzyxzyxf zzyzxzzyyyxyzxyxxx


23

pode-se demonstrar pelo uso

da equação conservação de

quantidade de movimento

angular que o tensor é

simétrico

zzzyzx

zyyyyx

zxyxxx


24

Equação diferencial de quantidade de

movimento na forma vetorial

coordenadas cartesianas

PgρtD

VDρ

z

τ

y

τ

x

τ

z

Pgρwvuρ

z

τ

y

τ

x

τ

y

Pgρwvuρ

z

τ

y

τ

x

τ

x

Pgρwvuρ

zzyzxzzz

w

y

w

x

w

t

w

zyyyxyyz

v

y

v

x

v

t

v

zxyxxxxz

u

y

u

x

u

t

u


25

PgρtD

VDρ grad

Pgρ grad

•Equação de Euler (fluido perfeito, não viscoso)

•Equação da Hidrostática:

Para fluidos viscosos, precisamos de uma informação

adicional: relação entre a tensão cisalhante e a taxa de

deformação do elemento de fluido

Casos Particulares:


26

Equações Constitutivas

Taxa de deformação

Descrevem o comportamento do material qual a resposta desta

material (taxa deformação) para um determinado esforço

Fluidos Newtonianos: tensão é diretamente proporcional a taxa de

deformação

Considere o escoamento entre 2 placas

d tan (d )sin (d )

cos (d )

du dt

dy

F, U

xy

d l = d u d t

yd d

d x = u d t

d

d t

d u

d y

y

U

yd

ud

A

F

yxy

Lei da viscosidade de Newton:

viscosidade absoluta (propriedade do fluido): dimensão: M/Lt (Pa s)

u = viscosidade cinemática: /


27

Taxa de deformação angular:

yxyx

tyx

yx

Dy

u

x

v

t

y

tdu

x

tdv

20

lim

tantan

Taxa de deformação linear:

xxxx

txx

xx

Dx

u

t

x

tdu

0lim

=dv t

=(v/x)xt

=du t

=(u/y)yt

v (x)

u (y)

u (x)

u (y)=dv t =(v/y)yt

=du t

=(u/x)xt

v (y)

Taxa de deformação volumétrica:

Vz

w

y

v

x

uzzyyxx


28

IV3

2VV T

div])grad(grad[

z

w

z

v

z

u

y

w

y

v

y

u

x

w

x

v

x

u

wvu

z

y

x

VV

grad

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u

V T)(grad

;

100

010

001

I ijd

Em notação vetorial, a taxa de deformação de um

elemento de fluido, pode ser escrita como:


29

Equação Constitutiva para fluidos Newtonianos

Vx

u

x

v

y

uxxyxxy

3

22,

Vy

v

x

w

z

uyyzxxz

3

22,

Vz

w

y

w

z

vzzzyyz

3

22,

IVVVf T div

3

2gradgraddivdivdiv= ])([


30

Equação de Navier-Stokes: Equação de conservação

de quantidade de movimento linear para fluido

Newtonianos (coordenadas cartesianas)

x

w

zx

v

yx

u

xz

u

zy

u

yx

u

x

z

w

y

v

x

u

xxz

u

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

3

2

y

w

zy

v

yy

u

xz

v

zyv

yx

v

x

z

w

y

v

x

u

yyz

v

y

v

x

v

t

v

y

pgwvu

3

2

z

w

zz

v

yz

u

xz

w

zy

w

yx

w

x

z

w

y

v

x

u

zzz

w

y

w

x

w

t

w

z

pgwvu

3

2


31

A equação de Navier-Stokes simplifica bem se a massa

específica e a viscosidade foram constante

A maioria dos líquidos podem ser considerados como fluidos

incompressíveis (maioria dos líquidos)

A viscosidade da maioria dos gases é aproximadamente constante

0 V

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

wzz

w

y

w

x

w

t

w

z

v

y

v

x

vyz

v

y

v

x

v

t

v

z

u

y

u

x

uxz

u

y

u

x

u

t

u

μz

Pgρwvuρ

μy

Pgρwvuρ

μx

Pgρwvuρ

Navier-Stokes (propriedades constantes) VμPgρtD

VDρ 2

coordenadas cartesianas


32

Navier-Stokes (propriedades constantes) em coordenadas cilíndricas

2z

2

22z

2

zzzz

2θ

2

22θ

2

θθθθ

2r

2

22r

2

rrrr

z

u

θr

uz

zz

uzθr

uθr

urt

u

r2z

u

θr

u

2θθ

θθr

z

uzθr

uθr

urt

u

θ2z

u

θr

u

2rr

r

2θ

z

uzθr

uθr

urt

u

r

ur

rr

1μ

z

Pgρuuuρ

θ

u

r

2

r

u

r

ur

rr

1μ

θr

Pgρ

r

uuuuuρ

θ

u

r

2

r

u

r

ur

rr

1μ

r

Pgρ

r

uuuuρ

Direção

radial

Direção

angular

Direção

axial


=du t=(u/y)yt

v (x)

u (y)

=-dv t

=-(v/x)xt

33

Rotação:

zyx

tyx

yx

x

v

y

u

t

y

tdu

x

tdv

2

1

2

1

2

1

2

1

0lim

tantan

x

y

v = vo + v/x x

A rotação de uma partícula de fluido é definida como a velocidade angular média de

quaisquer duas linhas mutuamente perpendiculares, que se cruzam no centro da partícula..

x y zi j k

b

a’ o a

b’

v = vo + v/x x então ( / )v x x t

oa t tt

x

t lim lim

/

0 0 ,

oa t

v x x t x

t

v

x lim

( / ) /

0

u = uo + u/y y então ( / )u y y t

t

y/lim

tlim

0t0tob

,

ob t

u y y t y

t

u

y

lim

( / ) /

0

x

y

v = vo + v/x x

A rotação de uma partícula de fluido é definida como a velocidade angular média de

quaisquer duas linhas mutuamente perpendiculares, que se cruzam no centro da partícula..

x y zi j k

b

a’ o a

b’

v = vo + v/x x então ( / )v x x t

oa t tt

x

t lim lim

/

0 0 ,

oa t

v x x t x

t

v

x lim

( / ) /

0

u = uo + u/y y então ( / )u y y t

t

y/lim

tlim

0t0tob

,

ob t

u y y t y

t

u

y

lim

( / ) /

0


34

logo

z oa ob

x y

v

x

u

y

ow

y

v

ze

u

z

w

x

1

2

1

2

1

2

1

2log

wvu

zyx

kji

V ///det

1

2V rotacional V V,

vorticidade:

2 V


35

EXERCÍCIO 1. Uma aproximação útil para o componente x da velocidade

num escoamento laminar, incompressível, de camada limite, é uma variação

parabólica de u=0 na superfície ( y=0 ) até a velocidade da corrente livre u=U∞

na borda da camada limite ( y = d ). A equação do perfil é

u

U

y y

2

2

d d

onde d c x1/2 e c é uma constante. Determine a expressão para o

componente y da velocidade. Obtenha a razão v/U∞ na borda da camada

limite


36

D

rz

h

vo

2. Um disco do jogo de “hockey no ar” pode ser modelado como sendo circular, suportando

por um camada de ar que sai de múltiplos e diminutos orifícios na mesa do jogo. Admita que

um disco flutua a uma distância h = 1 mm acima da mesa, através da qual o ar flui

verticalmente a uma velocidade média de vo = 0,08 m/s. Considere o ar como incompressível.

Obtenha uma expressão para o componente de velocidade do escoamento na direção radial

sob o disco. Considere o escoamento como uniforme na direção vertical. Se o diâmetro do

disco for de D = 75 mm, determine a magnitude e localização da aceleração máxima a que é

submetida uma partícula de fluido sob o disco.


37

3. Um fluido escoa em um canal formado por duas placas paralelas de largura b = 1m,

como com velocidade

V u i u x

y

ht

1

2

2cos

onde h é a meia distância entre as placas. Elementos resfriadores e aquecedores

estrategicamente colocados nas placas produzem uma variação de massa específica

somente na direção vertical e o tempo t. No instante de tempo t = p/ , o.

Determine uma expressão para a massa específica.


38

Exercício. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,

estacionárias, separadas pela distância 2 h. O escoamento ocorre devido a

diferença de pressão. A coordenada y é medida a partir da linha de centro do

espaço entre elas. O campo de velocidade é dado por u = umax [ 1- (y/h)2].

Avalie as taxas de deformação linear e angular. Determine a tensão

cisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expressão para a

vorticidade, . Determine o local onde a vorticidade é máxima.

02

1

2

yzxzxy

h

yu

x

v

y

u ;max

v = u ex u= umax [ 1- (y/h)2] ; v = w = 0

deformação angular:

00

zzyyxx

z

w

y

v

x

u ;vdeformação linear:

2h

yuxyxy max tensão cisalhante

y

xh

uhy

h

uhy

xy

xy

max

max

)(

)(

n

y

x

n


39

Exercício. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,

estacionárias, separadas pela distância 2 h. O escoamento ocorre devido a

diferença de pressão. A coordenada y é medida a partir da linha de centro do

espaço entre elas. O campo de velocidade é dado por u = umax [ 1- (y/h)2].

Avalie as taxas de deformação linear e angular. Determine a tensão

cisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expressão para a

vorticidade, . Determine o local onde a vorticidade é máxima.

02

1

2

yxz

h

yu

y

u

x

v ;max

= ex x+ ey y+ ez z

|| é máxima nas paredes: em y=h e y=-h

vorticidade

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