ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDO NÃO...

Angela Nieckele – PUC-Rio

1

ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE

FLUIDO NÃO VISCOSOEm diversas situações, como nos escoamentos de fluidos de baixa viscosidade

longe de paredes, as forças de cisalhamento podem ser desprezadas e a

força de superfície por unidade de área agindo sobre cada face do volume de

controle diferencial é igual a pressão com sinal negativo.

Equação de Euler:

PgρtD

VDρ grad

PgρVVt

Vρ gradgrad

ou


22

Equação

de Euler

z

Pgρuuuρ

θr

Pgρ

r

uuuuuρ

r

Pgρ

r

uuuuρ

zz

uzθr

uθr

urt

u

θθr

z

uzθr

uθr

urt

u

r

2θ

z

uzθr

uθr

urt

u

zzzz

θθθθ

rrrr

Direção

radial

Direção

angular

Direção

axial

z

Pρg

z

ww

y

wv

x

wu

t

wρ

y

Pρg

z

vw

y

vv

x

vu

t

vρ

x

Pρg

z

uw

y

uv

x

uu

t

uρ

z

y

x

coordenadas cartesianas

coordenadas cilíndricas


3

- Componentes em coordenadas ao longo de uma linha de corrente:ss evV

Na direção do escoamento - s:

s

Pρg

s

vv

t

vρ s

ss

s

s

zggekgegg sss

cos

sek

dzds

ds

dz sencos

2

2V

ss

VV

s

P

ρ

1g

s

VV

t

Vs

n

pg

R

vn

s

2

Na direção normal ao escoamento - n:

Vvs

Na direção do escoamento - s:


4

dss

zgds

s

P

ρ

1ds

2

V

sds

t

V 2

constante

gz

ρ

dP

2

Vds

t

V 2

Equação de Bernoulli

Integração da Equação de Euler ao Longo de Uma Linha de

Corrente: Equação de Bernoulli

a constante de Bernoulli é única ao longo de uma mesma linha de corrente


5

Escoamento incompressível, constante:

constante2

2

zg

ρ

PVds

t

V

1

21V

2V

Casos particulares:

Regime permanente:

constante2

2

zgρ

PdV

Regime permanente e incompressível: constante2

2

zgρ

PV

22

22

11

21

22gz

PVgz

PV


6

Obs: Para escoamentos irrotacionais ( V 0) pode-se demonstrar que a constante de

Bernoulli tem um único valor em todo o campo de escoamento (ver seção 6.6.1)

OBSERVAÇÃO: Um escoamento não viscoso sofre somente a ação de força de corpo (força

volumétrica) e da força de superfície normal, devido a pressão. Portanto, é impossível induzir

uma rotação em um escoamento não viscoso. Se o escoamento não viscoso for irrotacional,

será sempre irrotacional, se for rotacional, será sempre rotacional.

Por outro lado, TODO ESCOAMENTO VISCOSO É ROTACIONAL.

IRROTACIONAL ROTACIONAL


7

Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica

Aplicando a equação de Bernoulli na mesma cota

de altura, temos

pV

po

2

2

p = pressão estática ou

termodinâmica

po = pressão de estagnação

V2

2 = pressão dinâmica


8

Tubo de Pitot:

Medidor de velocidade

HgρhgρPP*

HgρhgρPP*

m2

1

1

2

hp* p*

H

hg

ρ

ρρ

ρ

PP m21

ρ

hgρρ2V m )(

22

22

11

21 gz

ρ

P

2

Vgz

ρ

P

2

V

ρ

P

2

V

ρ

P 21 2

ρ

PPV 21 2


9

Exemplo 6.1: Determine a vazão volumétrica de ar através do duto de seção

transversal L = 0,1 m e altura H = 0,3 m. Tomadas de pressão são instaladas

numa curva do duto, cujo raio interno é R = 0,25 m. A diferença medida de

pressão entre as tomadas é de 40 mm de água [(P2-P1)=(H2O - ar ) g h]

Solução: As linhas de corrente acompanham a curva, sendo a direção normal às mesmas a

direção radial. Aplicando a Eq. de Euler na direção normal (radial) temos r

p

r

V2

1

2

2

12

2 r

r

V

pp

r

rd

V

pdln

)/ln()()(

12ar

12

rr

ppLHLHVQ


10

Exercício 6.4: Determine:

(i)a velocidade da água saindo como um jato livre.

(ii) a pressão no ponto A

Exercício 6.5 e 4.6: Água escoa

sob uma comporta. Determine a

força na comporta da figura.

D1=1,5 m D2=0,0563 m


11

D1=1,5 m D2=0,0563 m

012212211 AAVVAVAV /

zDgPP atm1 1

zDgPP atm 22

2

22

0

12

0

VWDVVm

SC

AdnVu

VC

dutext

F

)( 21

0

2

0

1

21

DDWPWdzPWdzPRext

F atm

DD

x

22

2

21

1

2

1 gzρ

P

2

Vgz

ρ

P

2

V

0z

ρ

DgP

2

V

ρ

DgP atm

2

2atm 21

)( 212 DDgV 2

2


12

D1=1,5 m D2=0,0563 m

)( 21

2

22

2

11

22DDWP

DgWWDP

DgWWDPR

extF atmatmatmx

22

2

2

2

1 DDgWR

extF x

)( 212

2

22 2 DDgWDVWD

SC

AdnVu

222

2

2

2

1212

DDDDDWgRx )(

2

2

2

00

2

DgWWDPzdzgWgDPDWWdzP atm

D

D

atm

D

/

)(

zDgPP atm


13

Exemplo 6.9: (i) Determine a velocidade da

água na saída da tubulação. Em uma

primeira aproximação, despreze o atrito e

considere regime permanente e D >> d

1

2

V2=?

h

D

d

Lb

Equação da continuidade:

td V n d A

SCVC

0

Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável

V n d A V A V A

SC

0 1 1 2 2 0D

dVV

2

2

21

mas td

hdV1 , logo nível permanece constante, h ho =cte


14

Equação de Bernoulli:

V

tds

d p V Vg z z 2

212

2 12 2

0( )

V

tds

p p V Vg z z 2 1 2

212

2 12 2

0( ) ,

p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1 ho , V1 0 ; regime permanente

0hg2

Vo

22 V g h

o2 2


15

Exemplo 6.9: (ii) Determine a variação com

o tempo da velocidade da água na saída da

tubulação, considerando que inicialmente a

tubulação encontra-se fechada. Novamente,

despreze o atrito e considere D >> d

1

2

V2=?

h

D

d

Lb


td V n d A

SCVC

0


V n d A V A V A

SC

0 1 1 2 2 0D

dVV

2

2

21 ;

mas td

hdV1 , logo nível permanece constante, h ho =cte


16


V

tds

d p V Vg z z 2

212

2 12 2

0( )

0zzg2

V

2

Vppds

t

V12

21

2212

2

1

)( ,

p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1 ho , V1 0 ; regime transiente

0hg2

Vds

t

Vds

t

Vo

22

dst

V

2

b

0t

V0V

b

1

2

b

211

0hg2

VL

td

Vdo

222

1

2

V2=?

h

D

d

Lb


17

d V

g h V

d t

Lo

2

22

2 2

integrando 0 V2 V2 e 0 t t

V

g h

t

Lg h

oo

2

2 22

tanh

Note que quando t→∞

o2 hg2V (caso anterior)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4

t* sqrt(2 g ho) /(2L) V

2/

sq

rt(2

g h

o)


18

Exemplo 6.9: (iii) Determine a variação com

o tempo da velocidade da água na saída da

tubulação, considerando que inicialmente a

tubulação encontra-se fechada. Novamente,

despreze o atrito e considere D ≈ d

1

2

V2=?

h

D

d

Lb


td V n d A

SCVC

0


V n d A V A V A

SC

0 1 1 2 2 0D

dV

A

AVV

2

2

21

221 ;

mas td

hdV1 , logo nível não permanece constante, h ≠ cte


19


V

tds

d p V Vg z z 2

212

2 12 2

0( )

0zzg2

V

2

Vppds

t

V12

21

2212

2

1

)( ,

p1 = p2 = patm , z2 = 0 , z1 = h ; regime transiente

V

tds

V

tds

V Vg h

b

b1 2 20

222

12

d V

d tds

d V

d tds

V Vg h

d V

d th

d V

d tL

V Vg h

b

b

1 22

22

12

1 2 22

12

1 2 20

2 20

0hg2

V

A

A1L

td

Vdh

A

A

td

Vd22

2

1

22

1

22

0hg

2

V

A

A1Lh

A

A

td

Vd22

2

1

2

1

22


20

1

22

1

2

22

2

1

2

2

A

AV

td

hd

LhA

A2

VA

A1hg2

td

Vd

LhA

A

A

A2

td

hd

A

A

A

A1hg2

td

hd

1

2

2

1

2

2

12

1

2

2

2

condição inicial: 1) t = 0 , h = ho , 2) t = 0 , V2 = 0

Para resolver estas equações diferenciais ordinárias, o MatLab pode ser utilizado. As

equações serão resolvidas pelo método de Runge-Kutta.

Para utilizar o método de Runge-Kutta, deve-se resolver as duas equações de 1a. ordem para h

e V2, em vez da eq. de 2a. ordem para h


21

Dois programas com a terminação *.m devem ser escritos. No primeiro, os

parâmetros do problema são especificados, assim como a condição

inicial. A preparação dos gráficos de saída também é feita neste

programa. Este primeiro programa, “chama” o segundo programa, no

qual as equações diferenciais a serem resolvidas são apresentadas.

Chamaremos, para este exemplo, o primeiro programa de “taque.m” e o

segundo programa será chamado de “bernoulli.m”.

As listagens dos programas são apresentadas a seguir.

Dados: d = 1 in = 0,0254 m ; D = 5 in = 0,127 m; L = 15 m ; ho = 5 m

ti = 0 s ; tf = 18 s ; g = 9,81 m/s2

d h

d t

d

DV

2

2

LhD

d2

V1D

dhg2

td

Vd

2

22

4

2


22

Arquivo:

tanque.m

clc;

clear;

fim=0;

global L D1 d2 g ;

d2=0.0254;

D1=0.127;

L=15;

ho=5;

Vo=0;

g=9.81;

ti=0;

tf=18;

yo=[ho Vo];

periodo=[ti tf];

[t, y]=ode23('bernouli', periodo, yo);

figure(1)

plot(t,y(:,2));

title('Grafico de V2 x t');

xlabel('t (s)');

ylabel('Velocidade na Saida do Tubo

(m/s)');

figure(2)

plot(t,y(:,1));

title('Grafico de h (V1) x t');

xlabel('tempo (s)');

ylabel('Altura (m)');

end

clear

Arquivo:

bernouli.m

function ydot = bernouli(t,y)

global L D1 d2 g ;

dD = (d2 * d2 ) / (D1 * D1) ;

ydot(1) = - y(2) *dD;

ydot(2) = inv(2*(dD*y(1)+ L)) *(2*g*y(1)+(dD^2-1)*y(2)^2);

ydot=[ydot(1) ydot(2)]';

d h

d t

d

DV

2

2

LhD

d2

V1D

dhg2

td

Vd

2

22

4

2


23

Caso ii) D > > d

d = 1 in = 0,0254 m ti = 0 s

D = 100 in = 8,33 ft = 2,54 m tf = 18 s

L = 15 m g = 9,81 m/s2

ho = 5 m

Note que ao atingir o regime permanente V g h m so2 2 9 90 , /


24

Caso iii) D d o tanque irá esvaziar

d = 1 in = 0,0254 m ; ti = 0 s

D = 5 in = 0,127 m ; tf = 18 s

L = 15 m ; g = 9,81 m/s2

ho = 5 m


25

Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m3)é descrito pelo campo de velocidades

V A x i A y j , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s

-1 , x e y são medidos em

metros. Sabe-se que g g k , onde g = 9,81 m/s

2.

i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) .

a

DV

Dta i a j a k

Du

Dti

Dv

Dtj

Dw

Dtkx y z uV

t

u

tD

uDa x

au

tu

u

xv

u

yw

u

zAx A A xx

0 0 0 2

av

tu

v

xv

v

yw

v

zA yy

2

e aw

tu

w

xv

w

yw

w

zz

0

jyAixAa 22

então a i j( , , )1 5 2 9 45





2.


a

DV

Dta i a j a k

Du

Dti

Dv

Dtj

Dw

Dtkx y z uV

t

u

tD

uDa x

au

tu

u

xv

u

yw

u

zAx A A xx

0 0 0 2

av

tu

v

xv

v

yw

v

zA yy

2

e aw

tu

w

xv

w

yw

w

zz

0

jyAixAa 22

então a i j( , , )1 5 2 9 45





2.


a

DV

Dta i a j a k

Du

Dti

Dv

Dtj

Dw

Dtkx y z uV

t

u

tD

uDa x

au

tu

u

xv

u

yw

u

zAx A A xx

0 0 0 2

av

tu

v

xv

v

yw

v

zA yy

2

e aw

tu

w

xv

w

yw

w

zz

0

jyAixAa 22

então a i j( , , )1 5 2 9 45


26

i) Avaliar o gradiente de pressão no mesmo ponto, sabendo que a viscosidade é desprezível

Equação de Euler : D V

D tg p

grad grad p gD V

D t

grad pp

xi

p

yj

p

zk

gg;kgg

zz

p

xa A xx 2

,

p

ya A yy 2

, gz

p

kgjyAixApgrad 22

k9810jy9000ix9000pgrad

)k81,9j45i9(10)2,5,1(pgrad 3





2.


ii) Avaliar o gradiente de pressão no mesmo ponto, sabendo que a viscosidade é desprezível


27

i) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)

p

xA x p A

xf y z 2 2

2

12( , )

p

yA y p A

yf x z 2 2

2

22( , ) Czg

2

yxAp

222

)y,x(fzgpgz

p3

p p p p1 5 2 0 0 0 9 101 25

29810 2 0 1 37 101 0

3 5, , , , ,

Pa

iii) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)


p

xA x p A

xf y z 2 2

2

12( , )

p

yA y p A

yf x z 2 2

2

22( , ) Czg

2

yxAp

222

)y,x(fzgpgz

p3

p p p p1 5 2 0 0 0 9 101 25

29810 2 0 1 37 101 0

3 5, , , , ,

Pa


p

xA x p A

xf y z 2 2

2

12( , )

p

yA y p A

yf x z 2 2

2

22( , ) Czg

2

yxAp

222

)y,x(fzgpgz

p3

p p p p1 5 2 0 0 0 9 101 25

29810 2 0 1 37 101 0

3 5, , , , ,

Pa


28

i) Se este campo de velocidade for irrotacional a diferença de pressão poderia ter sido

calculada com a aplicação da equação de Bernoulli

u = Ax ; v = - Ay

rot V V i j kx y z0 ,

para escoamento plano

z k ;

z

v

x

u

y 0 é irrotacional

Equação de Bernoulli (V = módulo do vetor velocidade)

p Vg z

p Vg z

1

2

10 0

2

01

2 2 p p

V Vg z z1 0

2

02

1 01

2 2

Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0) V0 = 0, z0 = 0

Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2)

V V V V V A x A yx y1 1 12

12

12 2 2 2 23 15 234

, ,

p1 - p0 = - 103 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 10

5 Pa



u = Ax ; v = - Ay



z k ;

z

v

x

u

y 0 é irrotacional


p Vg z

p Vg z

1

2

10 0

2

01

2 2 p p

V Vg z z1 0

2

02

1 01

2 2

Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0) V0 = 0, z0 = 0

Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2)


12

12 2 2 2 23 15 234

, ,

p1 - p0 = - 103 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 10

5 Pa



u = Ax ; v = - Ay



z k ;

z

v

x

u

y 0 é irrotacional


p Vg z

p Vg z

1

2

10 0

2

01

2 2 p p

V Vg z z1 0

2

02

1 01

2 2

Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0) V0 = 0, z0 = 0

Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2)


12

12 2 2 2 23 15 234

, ,

p1 - p0 = - 103 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 10

5 Pa


29

Exercício: Um escoamento de um jato contra uma parede para ser

representado por 10 x y

uy

x vx

y

10 10, 0

y

u

x

v00V k

irrotacional

•

2

Up

2

Vp22

então

2 L

p ; U

constantezg2

Vp 2

Aplicando entre um ponto na parede e ao longe

V u v x y2 2 2 2 210 10

V u v x2 2 2 210

22

x502

Upp

ao longo da parede y = 0, logo

onde


30

A força é

F p b dx pU

x b dxL

L

L

L

( )

22

250

F pU

b L bx

pU L

b L

L

L

2 3 2 2

22 50

3 2

50

32( ) ( )


31

Exercício: Um vórtice é definido pelo seguinte campo de velocidade euV

, onde o

componente angular ér

Ku

2 , sendo K a intensidade do vórtice constante (K=-10 m

2/s).

(i) Determine se o escoamento é irrotacional.

(ii) Determine a função de corrente que representa o escoamento

(iii) Determine a diferença de pressão entre os pontos (1) e (2) e entre (1) e (3), sabendo que o

fluido é ar [=1,2 Kg/m3]. O ponto (1) possui coordenadas (ri = 2 ; 1 = 0

0) , enquanto o

ponto (2) e (3) possuem coordenadas (r2 = 2 ; 2 = 900) e (r3 = 4 ; 3 = 90

0)

euV

É irrotacional: V

? z=

0u

r

1

r

ur

r

1 r

é irrotacional.

r

Ku

2


32

É irrotacional: V

? z=

0u

r

1

r

ur

r

1 r

é irrotacional.

A função de corrente é definida como ur

urr

1

, , logo

)r(f0r

1u r

;

zero

Cter2

K

r2

K

ru

ln

Os pontos (1) e (2) estão sob a mesma linha de corrente, a qual é igual a 1 = 2 = 1,103

A função de corrente associada ao ponto (3) é3 = 2,206

(ii) Determine a função de corrente que representa o escoamento

(r1 = 2 ; 1 = 00) ; (r2 = 2 ; 2 = 900) e (r3 = 4 ; 3 = 900)


33

Como o escoamento é irrotacional, logo podemos encontrar a diferença de pressões entre

quaisquer pontos utilizando a Equação de Bernoulli

2

Vp

2

Vp

2

Vpconstantezg

2

Vp

233

222

211

2

;

22

r2

KV

21

22

221

22

21r

1

r

1

2

K

22

V

2

Vpp = zero

21

23

221

23

31r

1

r

1

2

K

22

V

2

Vpp = -0,285 Pa


34

1a Questão: Considere o escoamento de ar de baixa velocidade entre dois discos paralelos conforme

mostrado. Admita que o escoamento é incompressível e não viscoso, e que a velocidade é

puramente radial e uniforme em qualquer seção. A velocidade do escoamento é V = 15 m/s em R =

75 mm. Estime a força líquida de pressão que atua na placa superior entre r = ri e r = R. Sabe-se

que ri = R/3


35

2a Questão: A distribuição de velocidade num escoamento bi-dimensional, permanente, não viscoso,

no plano x-y, é jy34i6x3V

,

A aceleração da gravidade é kgg

, e a massa específica é 825 kg/m3.

(i) Isto representa um possível escoamento incompressível?

(ii) Determine os pontos de estagnação do campo de escoamento.

(iii) O escoamento é irrotacional?

Avalie a diferença de pressão entre a origem e o ponto (x, y, z) =(2, 2, 2).

ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDO NÃO...

Documents

Transcript of ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDO NÃO...