apostila

Programacao Linear PL

Luiza Amalia Pinto Cantao

[email protected]

Felipe Sanches Stark

[email protected]

Sumario

1 Introducao a` Pesquisa Operacional 4

1.1 Otimizacao (Calculo Diferencial) e Sistemas de equacoes (Algebra Linear) na PO . . . . . . . . . . 5

1.2 Metodologia da PO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Tipos basicos de modelo de PO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Solucao em PO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Mais do que matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Solucao Geometrica ou grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Introducao - Descrevendo um problema anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 Tipos de solucao e visualizacao grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Revisao Matematica 21

2.1 Equacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Solucao de um Sistema de Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.2 Operacoes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Solucao de Sistema de Equacoes Lineares, caso m = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.4 Metodo de Gauss-Jordan, caso m = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.5 Solucao de Sistema de Equacoes Lineares, caso n > m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 O Pivoteamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Selecao das variaveis basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3 Construcao da Variaveis Basicas e Variaveis Artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2 Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.3 Combinacao Linear de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.4 Dimensao de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.5 Base e Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.6 Posto (ra) de uma matriz como um Conjunto de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Conjuntos Convexos e Combinacao Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Conjunto Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Combinacao Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.3 Interpretacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.4 Ponto Extremo de um Conjunto Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


1

SUMARIO SUMARIO

3 Metodo Simplex 36

3.1 Teorema Fundamental da Programacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1 Transicao da solucao grafica para a solucao algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Metodo Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Modelo de Programacao Linear em forma de equacao - Forma Padrao . . . . . . . . . . . 37

3.2.2 Forma Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.3 Forma Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.4 Conversao de desigualdades em equacoes com o lado direito nao negativo . . . . . . . . . 39

3.2.5 Como lidar com variaveis irrestritas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.6 Variaveis Nao Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.7 Transformando o Problema de Maximizacao em Minimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.8 Princpios do Metodo Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.9 Metodo Simplex na forma de quadros - Tableau Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.10 Analise de Casos Especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.11 Base Artificial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.12 O Metodo do M-Grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.13 O Metodo das Duas Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Analise de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.1 Analise de Sensibilidade grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.2 Analise de Sensibilidade algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


4 Dualidade 69

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Definicao do Problema Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1 Propriedades da Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.2 Teoremas Fundamentais da Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 Metodo Dual Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.1 Resumo do Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


5 Metodos de Pontos Interiores 80

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2 Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3 Metodo Primal-Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3.1 A Trajetoria Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3.2 Estrutura Primal-Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4 Metodo de Reducao de Potencial (RP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5 Implementacao de Algoritmos de Pontos Interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.5.1 Solucao Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.5.2 Criterio de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.5.3 Algoritmo Primal-Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2

SUMARIO SUMARIO

6 Programacao Linear Inteira 91

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2 Algoritmo Branch-And-Bound (B&B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.1 Resumo do algoritmo Branch-And-Bound (B&B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3 Problema do Caixeiro-Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4 Problema da Mochila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4.1 Mochila 0-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4.2 Mochila Inteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4.3 Multiplas Mochilas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4.4 Empacotamento de Mochilas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


7 O Uso de Excel e do lp solve para Problemas de Programacao Linear 104

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.2 MS-Excel Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.3 lp solve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Referencias Bibliograficas 111

3

CAPITULO 1

Introducao a` Pesquisa Operacional

Historico da Pesquisa Operacional

A Pesquisa Operacional (PO) e um ramo da ciencia que cuida da criacao de metodologias especficas para

promover o gerenciamento de decisoes. A origem da PO data da Segunda Guerra Mundial (1939-1945) e tem

relacao com o esforco envolvido no perodo do conflito para otimizar o uso dos recursos. Como exemplos, temos

o estudo do radar (inventado em 1934 na Inglaterra) para a interceptacao de avioes inimigos, estudos dentro das

divisoes aereas aliadas, para melhorar a manutencao e inspecao dos avioes, na escolha dos melhores modelos para

cada tipo de missao e no aumento da probabilidade de alvejar um submarino.

A evolucao da PO se deu de forma rapida no pos-guerra, em pases como Inglaterra e Estados Unidos. Em

1947, foi implantado o projeto SCOOP (Scientific Computation of Optimal Programs), no qual tinha por objetivo

a gestao aerea militar e contava com a participacao do matematico George Dantzig. Durante o projeto SCOOP,

Dantzig desenvolveu um dos metodos primordiais para a resolucao de problemas envolvendo a otimizacao linear:

o SIMPLEX. Com a publicacao do metodo, a Programacao Linear (PL) tornou-se a primeira tecnica explcita,

permanecendo ate hoje a mais fundamental das tecnicas da PO.

Posteriormente houve surgimentos de sociedades cientficas, como a americana ORSA (Operations Research

Society of America) fundada em 1953; sendo ao longo da decada de 50 e 60 observado o crescimento no numero

de grupos de pesquisas operacionais e suas aplicacoes tanto em setores publicos quanto privados ao redor do globo.

E por volta do fim da decada de 60 que surgem as questoes educacionais envolvendo a PO, principalmente no

tocante da maior publicacao literaria do assunto e na presenca em cursos de pos-graduacao. Nessa epoca aparece

a area de programacao matematica, tendo como premissa casos de otimizacao de funcoes lineares sujeitos a`s

restricoes lineares. No Brasil, a PO iniciou-se nessa decada tambem. O primeiro simposio de PO ocorreu em 1968

no ITA, em Sao Jose dos Campos, SP. Em seguida, foi fundada a SOBRAPO (Sociedade Brasileira de Pesquisa

Operacional) que publica o periodico Pesquisa Operacional ha mais de 25 anos.

Atualmente, a PO tem sido chamada de ciencia e tecnologia de decisao. O componente cientfico e ligado

a`s ideias e processos para modelar os problemas de tomada de decisao (objetivos e restricoes da operacao),

a matematica se enquadra aqui na medida em que os modelos para otimizar sistemas numericos resultam de

insercoes de dados nos modelos. A tecnologia compreende a relacao software-hardware, podendo ser generalizada

como uma tecnologia da informacao (armazenamento, comunicacao e transmissao - tanto de dados inseridos nos

modelos de otimizacao quanto nos resultados obtidos).

4

Captulo 1. Introducao a` Pesquisa Operacional PL

1.1 Otimizacao (Calculo Diferencial) e Sistemas de equacoes

(Algebra Linear) na POOra, se a Pesquisa Operacional em seus primordios historicos era sinonimo de Otimizacao, temos entao uma

primeira ligacao com o Calculo Diferencial. Trata-se dos chamados Problemas de Valores de Maximos e Mnimos,

isto e, o ponto no qual a funcao tem sua imagem no maior e no menor valor possvel. O grande entrave na PO

e muitas vezes a mecanizacao de como tais problemas sao passados, tornando a aprendizagem superficial e o

emprego de tais tecnicas pouco intuitivo. Vejamos um exemplo simples de valores extremos, em particular o valor

mximo.

Exemplo 1. Considere que um fabricante de produtos de limpeza tenha de calcular qual a melhor maneira de criar

uma embalagem retangular com uma determinada altura h (constante) para que o volume seja maximo, isto e,

a area da base seja a maior possvel com um comprimento L de material (estipulado com base nos lucros e no

transporte), esse procedimento de otimizacao envolve reducao de custos, resduos e impacto ao meio ambiente.

1. Primeiro, como trata-se de um retangulo, os lados opostos devem ter o mesmo tamanho, identificaremos a

largura de w e comprimento de l.

2. Com base na definicao 2w + 2l = L, ou seja,

w + l =L

2(1.1)

3. Por serem dimensoes fsicas da materia, tanto w quanto l devem ser positivos. Como h e estabelecido pelo

fornecedor do fabricante, nao entra nos calculos do volume, pois se acharmos a maior area teremos o maior

volume para h.

4. A area e A = wl.

Nossa questao entao e maximizar A sujeita a equacao (1.1) e das restricoes do item 3. Para tanto, devemos

proceder como um problema de valor maximo do calculo:

Como L e um numero dado, pode ser tratado como constante, deste modo podemos deixar w em funcao del , ou vice-versa.

w + l =L

2= w = L 2l

2

Portanto a regiao do domnio de w e l e a reta

w =L 2l

2

na qual a imagem esta no plano z como a area A. Assim, da mesma maneira que deixamos w em funcao de

l, podemos deixar agora a area A em funcao apenas de l, substituindo o valor de w. Obtemos:

A =

(L 2l

2

)l

Distribuindo l, temos:

A =Ll 2l2

2

L. A. P. Cantao & F. S. Stark 5


Agora para achar um ponto maximo (ou mnimo) executamos a derivacao Al

= 0

A

l=

1

2(L 4l)

Portanto se1

2(L 4l) = 0 = L = 4l = l = L

4

Se

w + l =L

2

Chegamos finalmente na solucao (S):

w =L

4e l =

L

4

Conclumos que a maior area e obtida quando o retangulo e um quadrado de lado L4

, e que seu volume

V =L2h

16

O exemplo acima (Exemplo 1) e simples, contudo, grande parte dos problemas de PO envolve numero maior

tanto de equacoes (e inequacoes) quanto de variaveis, incluindo restricoes dos valores que as variaveis podem

assumir. Como no exemplo a seguir, trabalharemos muitos conceitos de Algebra Linear (tratada na Programacao

Linear) ao longo da formulacao dos modelos e na obtencao das respostas. Nestes problemas, as variaveis e as

restricoes podem estar envolvidas em desigualdades, ou seja: o problema torna-se cada vez mais complexo a` medida

em que esse fenomeno, a ser modelado, sofre diversas influencias importantes. Para efeito ilustrativo, podemos

tomar um sistema mais restrito e apenas interpretativo, vejamos entao.

Exemplo 2. Uma empresa produz dois produtos, P e Q, em cada uma de suas fabricas, X e Y. Ao fabricar tais

produtos, os poluentes dioxido de enxofre (SO2), oxido ntrico (NOx) e material particulado (MP) sao produzidos.

As quantidades de poluentes foram monitoradas e quantificadas ( em quilogramas) e estao dispostas pela matriz:

SO2 NOx MP

P =

[300 100 150

200 250 400

]Produto P

Produto Q

O custo diario para remover cada quilograma de poluente e (em reais) dado pela matriz:

X Y

C =

16 2414 1830 20

Dioxido de EnxofreOxido ntricoMaterial Particulado

Qual o significado, por exemplo, do produto matricial de P.C ? Qual fabrica polui mais, isto e, gera mais efluente

e consequentemente tem seu tratamento encarecido?



1.2 Metodologia da POA metodologia da PO segue etapas definidas como em qualquer projeto, podendo ser decomposto em 5 estagios

basicos segundo [14]:

1. Identificacao do problema - envolve definir o escopo do problema sob investigacao. Essa funcao deve ser

executada por toda a equipe de PO [14]. Em PO quanto mais complexo e multidisciplinar e um problema,

maior abrangencia de conhecimento e necessaria e por consequencia uma equipe mais especializada. Nesta

etapa buscamos tres elementos basicos:

(a) descricao das alternativas de decisao;

(b) determinacao do objetivo de estudo;

(c) as limitacoes sobre as quais o modelo esta imposto.

2. Construcao do modelo -implica uma tentativa de traduzir a definicao do problema em relacoes ma-

tematicas[14]. Se o modelo for simples e se ajustar a` um dos metodos padroes, como a programacao

linear, entao podemos chegar em solucoes com os algoritmos disponveis. Ja se o modelo for complexo, a

equipe pode simplificar a situacao tendendo a` uma abordagem heurstica ou de simulacao. Em alguns casos,

ocorre a combinacao dos modelos matematicos, heursticos e simuladores.

3. Determinacao da solucao do modelo -e de longe a fase mais simples ... porque se baseia na utilizacao

de algoritmos[14]. Neste estagio ocorre o que se chama de analise de sensibilidade, essencial quando os

parametros do modelo nao podem ser aferidos com precisao.

4. Teste e validacao da solucao proposta -verifica se o modelo proposto ... preve adequadamente o com-

portamento do sistema em estudo [14]. Em sistemas com uma base de dados historica (p.e. pluviosidade

em uma regiao), o modelo e valido se, sob condicoes similares de entrada, reproduz relativamente bem as

sadas anteriores. Porem, como geralmente a analise leva em conta os dados anteriores, o parecer tende a ser

favoravel, o que exige cuidado com eventos futuros imprevisveis. Em sistemas sem base de dados, tende-se

a comparar o modelo com simulacoes.

5. Implementacao da solucao -envolve a traducao dos resultados em instrucoes operacionais inteligveis ...

emitidas as pessoas que administrarao o sistema recomendado[14].

1.3 Tipos basicos de modelo de POO uso de modelos e a essencia da propria PO, ocorrendo quando ha alta complexidade e elevado potencial de

retorno do investimento. Desta maneira, justifica-se a contratacao de uma equipe de especialistas, alocacao de

recursos disponveis e o desenvolvimento do projeto de PO.

A criacao de um modelo implica em algo simbolico, que simplifica a realidade mediante o uso de relacoes

matematicas de algumas variaveis envolvidas, porem mantem as essencias de causa-efeito do problema estudado.

No que tange a PO, podemos ter varios exemplos classicos de modelos, entre um dos mais basicos e interessantes

temos os problemas que envolvem misturas (racoes, fertilizantes, concreto, alimentos, poluentes, entre outros).

Esses tipos de problemas consistem em combinacao de materiais (naturais ou nao) para gerar novos materiais ou

produtos com caractersticas desejaveis, como e o caso por exemplo das misturas de massa de reboco (cal, areia,

cimento e agua) ou de concreto (areia, brita, cimento e agua), que em proporcoes diferentes ou com a adicao de

alguma substancia adquirem propriedades para um fim especfico, como acabamento e fundacao, respectivamente.



Figura 1.1: Estrutura basica envolvida na metodologia dos modelos da PO

Exemplo 3. Na implantacao de um barragem de grande consumo de concreto, decidiu-se utilizar como fontes de

agregrados graudos:

1. britas granticas pelo desmonte (desagregacao por explosivo) da rocha local;

(a) A composicao granulometrica e: 10% (19-38 mm), 20% (38-76 mm) e 70% (76-152 mm)

(b) O custo e $6, 00/m3

2. seixos rolados disponveis nos vales proximos a` barrragem;

(a) A composicao granulometrica e: 5% (2.4-19 mm), 35% (19-38 mm) e 60% (38-76 mm)

(b) O custo e $7, 00/m3

3. pedra britada comercial

(a) A composicao granulometrica e: 20% (2.4-19 mm), 78% (19-38 mm) e 2% (38-76 mm)

(b) O custo e $18, 00/m3

Por meio de um estudo previo, chegou-se em uma faixa de composicao granulometrica ideal, sendo:

10% da faixa de 2.4-19 mm

20% da faixa de 19-38 mm



O problema consiste em determinar as fracoes de cada fonte para a composicao ideal, de forma a minimizar o

custo de producao do concreto. As variavies de decisao sao:

x1 quantidade (m3) de britas granticas.



x2 quantidade (m3) de seixo rolado.

x3 quantidade (m3) de brita comercial.

Com isso o custo da mistura e dado por f (x1, x2, x3) = 6x1 + 7x2 + 18x3.

Pelas restricoes, custos e porcentagens de cada em cada fracao , obtemos:

0.05x2 + 0.10x3 0.10 Faixa (2.4-19 mm)0.10x1 + 0.35x2 + 0.78x3 0.20 Faixa (19-38 mm)0.20x1 + 0.60x2 + 0.02x3 0.35 Faixa (30-76 mm)

0.70x1 0.35 Faixa (76-152 mm)

Os ingredientes utilizados produzem uma unidade de mistura, ou seja, x1 + x2 + x3 = 1, e, completando as

restricoes, temos as condicoes de nao negatividade das variaveis: x1 0,x2 0 e x3 0. O modelo matematicocompleto e dado por:

Minimizar 6x1 + 7x2 + 18x3

Sujeito a: 0.05x2 + 0.10x3 0.100.10x1 + 0.35x2 + 0.78x3 0.200.20x1 + 0.60x2 + 0.02x3 0.350.70x1 0.35

x1 + x2 + x3 = 1

x1 0 x2 0 x3 0Outro exemplo comum e o de planejamento de producao por varios ciclos de tempo (meses,semanas e dias).Vejamos

um exemplo deste tipo:

Exemplo 4. Durante o proximo semestre, uma fabricante textil deve atender aos seguintes compromissos de sua

secao de malharia:

Jan. 4000 pecas Abr. 1000 pecas

Fev. 2000 pecas Mai. 4000 pecas

Mar. 5000 pecas Jun. 2000 pecas

Tabela 1.1: Dados do Planejamento.

Ao final de dezembro, ha 500 pecas em estoque e a empresa so tem capacidade para produzir 3000 pecas

mensais. Entretanto, usando horas extras, a empresa pode produzir ate 600 pecas a mais que sua capacidade

nominal.

O custo variavel de produzir uma peca e de R$ 3 por peca, e o custo de produzir em horas extras e de R$ 3.4

por peca. Alem disso, pecas que ficam em estoque de um mes para outro provocam custo aproximado de R$ 0.25

por peca.

Monte um modelo linear que satisfaca a demanda, mas com minimizacao dos custos de producao.

A solucao esta em se definir xt , yt e et para t = 1:6, para indicarem respectivamente a producao nominal, em

horas extras, e estoque ao final de cada mes.



Min f (x) = 3(x1 + + x6) + 3.4(y1 + + y6) + 0.25(e1 + + e6)Suj. a: x1 + y1 + 500 = e1 + 4000

x2 + y2 + e1 = e2 + 2000

x3 + y3 + e2 = e3 + 5000

x4 + y4 + e3 = e4 + 1000

x5 + y5 + e4 = e5 + 4000

x6 + y6 + e5 = e6 + 2000

xt 3000yt 600xt , yt , et 0 para t = 1 : 6

Problemas de transporte ou alocacao de recursos em determinados percursos tambem sao alvos comuns de

estudos da PO.

Exemplo 5. Considere uma companhia distribuidora de bebidas que tem 2 centros de producao (m = 2) - Arara-

quara e Sao Jose dos Campos - e 3 mercados consumidores principais (n = 3) - Sao Paulo, Belo Horizonte e Rio

de Janeiro. O custo unitario (ci j) de se transportar uma unidade do produto de cada centro de producao a cada

mercado consumidor, bem como as demandas (bj) de cada mercado e a quantidade disponvel do produto em cada

centro de producao (ai) no proximo perodo, sao dados pela tabela abaixo.

Mercado

Centro de Producao Sao Paulo(1) Belo Horizonte(2) Rio de Janeiro(3) Suprimento(ai)

Araraquara (1) 4 2 5 800

S. J. Campos (2) 11 7 4 1000

Demanda(mercado) 500 400 900

Tabela 1.2: Dados da producao, distribuicao e consumo.

Como ficaria o sistema deste problema se quisessemos minimizar o custo do processo?

1.3.1 Solucao em PO

Como dito no final do item anterior, nem sempre um problema tem uma solucao possvel, em contrapartida,

surgem problemas que aceitam diversos conjuntos de valores como solucao do sistema. Deste modo devemos

expressar algumas terminologias importantes quanto ao assunto solucao, como:

1. Solucao - Qualquer especificacao de valores, dentro do domnio da funcao objetivo f(x), para as variaveis de

decisao, independentemente de se tratar de uma escolha desejavel ou permissvel.

2. Solucao viavel - solucao que satisfaz todas as restricoes do problema.

3. Solucao otima - e aquela que permite a ocorrencia do melhor valor da f(x), isto e, maximiza ou minimiza

seu valor de acordo com o desejado. Pode ser unica ou nao.

1.3.2 Mais do que matematica

Ate agora, a PO parece apenas uma aplicacao matematica que tenta modelar numericamente o mundo real por

meio de aproximacoes de suas variaveis, contudo a pesquisa envolve muito do conhecimento do decisor.



Nao e raro encontrar a PO como tema de trabalho de uma equipe inteira de profissionais de diversas areas (ma-

tematicos, engenheiros, biologos, administradores, economistas, sociologos e ate psicologos) pois, a complexidade

ou mesmo a incerteza envolvida na situacao e tamanha que requer um tratamento sobre divesos pontos de vista.

A exemplo disso, podemos considerar um acontecimento em um predio comercial. As pessoas comecaram

a reclamar na gerencia sobre o fato de esperarem muito tempo o elevador instalado no empreendimento. A

construcao de mais um elevador seria inviavel, o mesmo poderia ser dito de se aumentar a velocidade do elevador

(comprometendo a estrutura da construcao ou a seguranca das pessoas a` bordo do elevador).

O que fazer entao?

A resposta e simples! Um dos profissionais contratados foi um psicologo. Este sugeriu que fossem espelhadas

as paredes externas da porta de cada andar do elevador, pois com isso as pessoas passariam mais tempo se vendo

diante do espelho e vendo os outros que estavam esperando. Com essa acao, a` primeira vista estranha, a gerencia

do predio parou de receber tantas reclamacoes.

Sendo assim, afirmamos que deve haver atencao quando o assunto do problema e algo que envolve opinioes

humanas ou variaveis muito incertas. Neste caso, pode ser necessario o auxlio de funcoes nao lineares (funcao

objetivo e/ou restricoes, nos levando a aplicacao de tecnicas da Programacao Nao Linear), ou mesmo do emprego

de outras teorias, como a Teoria Fuzzy, por exemplo.

1.4 Solucao Geometrica ou grafica

1.4.1 Introducao - Descrevendo um problema anterior

Ao se trabalhar com equacoes lineares um dos modos de visualizar a solucao e o de criar graficamente as retas

que cada equacao representa, sobretudo em equacoes de problemas pequenos (duas variaveis). Deste modo, as

interseccoes das equacoes sao os possveis pontos de solucao, vejamos o Exemplo 1 do incio deste captulo, se

fizermos a reta de w em funcao de l, teremos uma reta no plano xy (figura 1.2).

Figura 1.2: Grafico de w versus l (ou l versus w )



Sabemos entao que a solucao esta sobre a reta, porem, nao podemos afirmar quais valores fornecem a solucao

do sistema. Contudo, temos a funcao area A = wl no plano z, devemos entao com o auxlio de um programa

computacional chutar os valores de w e l para entao gerar o grafico de A versus l e A versus w, com isso vemos

uma parabola (figura 1.3).

Figura 1.3: Grafico de A versus l (ou A versus w )

Pela figura 1.3, fica evidente que a solucao de valor mais alto dentro do espaco da solucao e proximo a` metade

do valor possvel das variaveis, tanto para w quanto l. Este valor e 0.25, ou 25% de L.

Devemos ressaltar que neste caso, como a funcao objetivo era uma variavel multiplicada pela outra, o grafico

resultante foi uma parabola, o que nao configura em um caso de otimizacao linear (Programacao Linear), sendo

apenas uma maneira ilustrativa sobre o uso grafico dentro dos modelos de Pesquisa Operacional.

1.4.2 Tipos de solucao e visualizacao grafica

Nesta subsecao estao apresentados, e resolvidos de forma grafica, alguns exemplos de Programacao Linear con-

tendo duas variaveis. Apesar de ser restrita a problemas pequenos, a solucao grafica oferece elementos facilitadores

para a compreensao dos procedimentos do metodo que sera exposto nos proximos captulos.

Ilustremos as seguintes situacoes: solucao unica, solucao multipla, solucao ilimitada e solucao infactvel a partir

do texto de [11].

Solucao unica

Exemplo 6. Seja o problema de PL:



Maximizar 2x1 + 3x2

Sujeito a: x1 + 2x2 8 (a)2x1 + 3x2 5 (b)x1 + x2 6 (c)x1 0 x2 0 (d)

Figura 1.4: Solucao unica

Na ilustracao, cada restricao esta graficamente representada com sua respectiva reta (a),(b) e (c). Como sao

inequacoes, os pontos que as satisfazem definem semi-espacos, isto e, a regiao acima ou abaixo da reta, a` direita

ou a` esquerda da reta. Por outro lado, a restricao (d) informa que a regiao esta no primeiro quadrante do plano.

Logo, tem-se a regiao factvel (regiao escurecida da figura 1.4).

Tomando-se a funcao objetivo como um tracejado, se a deslocarmos na regiao solucao desde o vertice (0,0)

teremos um maximo no vertice (4,2).

Identificacao do ponto otimo

Uma vez que a regiao factvel foi encontrada, o ponto otimo do exemplo 6 pode ser encontrado de duas maneiras

equivalentes, de acordo com a figura 1.5

Temos entao, na situacao (a) foram tracadas duas retas paralelas a` funcao objetivo, com valores de Z = 9 e

Z = 12, respectivamente e averiguamos em qual direcao a funcao objetivo cresce, isto e, no mesmo sentido dos

eixos no primeiro quadrante.

Ja na segunda situacao (b), encontramos o gradiente da funcao (derivadas parciais em cada variavel), o vetor

(2, 3), que e exatamente normal a` funcao objetivo. O vetor normal indica a direcao de crescimento da funcao.

Analogamente ao caso (a), a funcao e deslocada ate alcancar o(s) ponto(s) da regiao viavel com maior valor de Z.

Solucao multipla

Exemplo 7. Seja o problema apresentado anteriormente, porem com mudanca na funcao objetivo:



Figura 1.5: Famlia de retas (a) e Vetor normal e direcao de Crescimento (b)

Maximizar x1 + 2x2


Note que para este caso o problema passa a ter um conjunto de multiplas solucoes, consistindo nos pontos do

segmento da reta x1 + 2x2 entre os pontos (2, 3) e (4, 2).

Observe que a funcao objetivo e paralela a` inequacao apresentada na restricao (a), presente na figura 1.6) .

Solucao ilimitada

Exemplo 8. Seja o problema de PL (Exemplo 6), com uma insero de uma restrio (d) :

Maximizar 2x1 + 3x2


Observe, na Figura 1.7, que o espaco de solucoes passa a ser ilimitado por todo o espaco a` direita da reta (a)

e abaixo da reta (b). Portanto, nesta situacao, o problema tem uma solucao tendendo ao infinito, pois a funcao

objetivo pode se deslocar para a direita sem limitacoes e aumentar o valor de Z indefinidamente.



Figura 1.6: Multiplas solucoes

Figura 1.7: Solucao ilimitada

Solucao infactvel

Exemplo 9. Seja o problema de PL (Exemplo 6), contudo com as restricoes (a) e (c) modificadas nos sinais de

desigualdade :

Maximizar 2x1 + 3x2

Sujeito a: x1 + 2x2 8 (a)2x1 + 3x2 5 (b)x1 + x2 6 (c)x1 + x2 7 (d)

x1 0 x2 0 (e)

Com a adicao de uma nova restricao ao problema do Exemplo 9, temos um conjunto vazio de solucao, pois



Figura 1.8: Solucao inconsistente

nao e possvel satisfazer a funcao objetivo quanto a`s restricoes (c) e (d) ao mesmo tempo.

1.5 Exerccios Propostos1. Determine a regiao de solucoes viaveis para cada uma das seguintes restricoes independentes, dado x1, x2 0

(a) 3x1 + x2 6(b) x1 2x2 5

(c) 2x1 3x2 12(d) x1 + x2 0

(e) x1 + x2 0

2. Identifique a direcao de crescimento de z em cada um dos seguintes casos:

(a) Maximizar f (x) = x1 x2(b) Maximizar f (x) = 5x1 6x2

(c) Maximizar f (x) = x1 + 2x2(d) Maximizar f (x) = 3x1 + x2

3. Dado o sistema de expressoes lineares:

x1 +2x2 02x1 3x2 3x1 +3x2 6x1 ,x2 0

Determine graficamente a solucao otima nos casos :

a. Min f (x) = 2x1 ; b. Max f (x) = 4x2 ; c. Max f (x) = 3x1 + 3x2.

4. Suponha um modelo de programacao linear:



Max x1 +2x2

Sujeito a 6x1 +10x2 304x1 +3x2 12x1 +2x2 10x1 6x1, x2 0

Utilize o metodo grafico para resolver o sistema.

5. A Roda S.A produz dois modelos de automoveis: seda e utilitario. A tabela a seguir mostra o numero maximo

de veculos que podem ser vendido em cada um dos proximos tres meses:

Sedas Uilitarios

Mes 1 1200 600

Mes 2 1600 700

Mes 3 1300 500

Tabela 1.3: Dados da producao.

Sabe-se que cada seda e vendido a $ 8.000 e custa $ 6.000 para produzi-lo. O utilitario tem venda de $

9.000 e custo de $ 7.500.

O custo de manter os veculos em estoque e de $ 250 para o seda e $ 300 para o utilitario. Durante cada

mes, no maximo 1500 veculo podem ser produzidos e, por restricoes de producao, pelo menos 2/3 dos carros

produzidos devem ser sedas.

No incio do mes 1, ha 300 sedas e 200 utilitarios em estoque.

(a) Formule um problema de programacao linear que maximize o lucro da companhia.

(b) Suponha que exista a possibilidade deproduzir ate 600 veculos em horas extras. Entretanto, tal producao

provoca um aumento de $ 800 no custo de cada unidade.

Mostre como incorporar tal decisao ao modelo de programacao linear.

6. Seja uma empresa que produz quatro produtos, A, B, C e D. A fabricacao de cada unidade desses produtos

exige mao-de-obra, materia-prima e processamento mecanico, gerando um certo lucro, de acordo com a

tabela:

Recurso A B C D Disponbilidade

Mao-de-obra (homens-hora/unidade) 8 3 5 6 15.000 h

Materia-prima (kg/unidade) 5 7 4 5 20.000 kg

Processamento mecanico (horas-maquina) 12 9 8 7 40.000 hm

Lucro (R$/unidade) 3 6 5 4 /

Tabela 1.4: Dados do problema.

Dadas as disponibilidades e os requerimentos para cada produto, como determinar um plano de producao

semanal, de forma a maximizar o lucro? Tente escrever o sistema na forma padrao.

7. Este problema envolve um processo de transporte de agragados para a construcao de uma rodovia. Suponha

que, para a construcao de uma rodovia, nao estejam disponveis na regiao das jazidas de richas adequadas a`



obtencao de pedra britada. Faz-se necessario, portanto, o transporte desse material de jazidas mais proximas

para alguns pontos convenientes preestabelecidos ao longo do caminho onde sera implantada a estrada (figura

1.9), ao menor custo.

Figura 1.9: Pedreiras fornecedoras da pedra britada P1, P2, P3, P4; pontos de deposito de material D1, D2, D3

e do trajeto da rodovia R.

Nesse problema, temos m = 4 jazidas correspondentes a`s origens e n = 3 depositos correspondentes aos

destinos, cujos dados estao na tabela a seguir.

Pedreiras Deposito 1 Deposito 2 Deposito 3 Oferta ai1 30 13 21 433

2 12 40 26 215

3 27 15 35 782

4 37 25 19 300

Demanda bj 697 421 612 /

Tabela 1.5: Dados do problema de transporte.

As quantidades ofertadas (ai - ultima coluna) e demandas (bj - ultima linha), em toneladas, bom como os

custos de transportar 1 tonelada de pedra da pedreira i para o deposito j (ci j - que e funcao de varios fatores,

como tempo de viagem, condicoes das estradas de acesso, condicoes dos veculos que servem a trajetoria

em questao etc.), sao as representacoes do que esta envolvido no problema.

Se xi j e a variavel de decisao que representa a quantidade transportada de rochas da jazida i para o ponto

de deposito j , podemos formular este problema da seguinte maneira:



Minf (xi j) = 30x11 +13x12 +21x13 +40x21 40x22 +26x23

+27x31 15x32 +35x33 +37x41 25x42 +19x43

Suj. a x11 +x12 +x13 433x21 +x22 +x23 215x31 +x32 +x33 782x41 +x42 +x43 300x21 +x31 +x41 = 697

x12 +x22 +x32 +x42 = 421

x13 +x23 +x33 +x43 = 612

xi j 0

Para verificar uma mudanca no problema, imagine se por um problema estrutural, o Deposito 2 tenha de

ser fechado. Como ficaria o modelo se 45% da demanda deste deposito tenha de ir para o Deposito 1 e o

restante para o Deposito 3?

8. Um fabricante de geladeiras precisa decidir quais modeos deve produzir em uma de suas plantas e de acordo

com uma pesquisa de consumo, o mercado consome no maximo 1500 unidades do modelo Luxo e 1600 do

Basico por mes que vira. A fabrica dispoe de 25000 homens-hora por mes, sendo que cada modelo Luxo

precisa de 10 homens-hora e o Basico 8 homens-hora. A linha de montagem e integrada (produz os dosi

modelos em conjunto) e pode produzir ate 4500 unidades por mes, com lucro sobre o modelo Luxo de $ 100

e o Basico de $ 50.

Deseja-se maximizar os lucros da venda dos produtos desta fabrica. Como seria o modelo de PL para este

problema?

9. Quatro cidades descarregam aguas servidas na mesma corrente. A cidade 1 esta a montante, seguida da

cidade 2, cidade 3 e por fim a cidade 4 a` jusante da corrente. Medidas ao longo do corpo de agua, as

distancias entre as cidades sao de aproximadamente 15 milhas entre si. Um dos parametros de medida em

aguas servidas e a demanda bioqumica de oxigenio (DBO), que e a quantidade de oxigenio requerida para

estabilizar os poluentes presentes na agua.

A Agencia de Protecao Ambiental estabeleceu um maximo de carga de DBO, expressaem lb de DBO por

galao. A remocao de poluentes das aguas servidas ocorre de duas formas: depuracao natural e tratamento de

esgoto antes do despejo nos corpos de agua. O objetivo entao, e determinar a melhor eficiencia economica

de cada umas das estacoes localizadas nas quatro cidades (a eficiencia maxima possvel de uma estacao e de

99%).

Para montarmos um modelo, devemos citar as variaveis como:

Q1 - fluxo da corrente (galoes/hora) na sada da cidade 1; p1 - taxa de descarga deDBO (lb/hora); x1 - eficiencia da estacao 1 ( 0.99); b1 - maxima carga de DBO permissvel na cidade 1 (lb.DBO/galao).

Para satisfazer o requisito de carga de DBO na descarga da cidade 1 para a 2, precisamos ter:

p1(1 x1) b1Q1



De modo semelhante, no fim da cidade 2:

(1 r12)(Descarga de DBO no trecho 1 - 2) + (Descarga de DBO no trecho 2 - 3) b2Q2

ou

(1 r12)p1(1 x1) + p2(1 x2) b2Q2

O coeficiente r12 ( 1) representa a fracao de resduos removida no trecho 1 - 2 por decomposicao. Para adescarga da cidade 3, a restricao e:

(1 r23)[(1 r12)p1(1 x1) + p2(1 x2)] + p3(1 x3) b3Q3

A partir do que foi apresentado (usando os dados da tabela abaixo e considerando a remocao por decomposicao

de 6% para os quatro trechos da corrente) determine a maior eficiencia economica para as quatro estacoes.

Caracterstica Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4

(i = 1) (i = 2) (i = 3) (i = 4)

Qi (galao/hora) 215000 220000 200000 210000

pi (lb/hora) 500 3000 6000 1000

bi (lb.DBO/galao) 0.00085 0.0009 0.0008 0.0008

Custo do tratamento

($/lb.DBO removida) 0.20 0.25 0.15 0.18

Tabela 1.6: Dados do problema de gerenciamento de agua.


CAPITULO 2

Revisao Matematica

Conceitos BasicosAs obras literarias de Programacao Linear, escritas na decada de 60, traziam revisoes extensas de algebra

linear, determinantes, matrizes, espacos vetoriais, convexidade etc. Essas revisoes eram essenciais, pois na epoca

os conteudos visados no curso nao eram devidamente estudados nos cursos de graduacao da epoca.

Desde entao, houve significativa mudanca no currculo dos cursos de administracao, economia e engenharia.

Ja no ensino medio, por exemplo, o aluno toma contato com as matrizes, e tem um aprofundamento de algebra

linear colocada como elemento dos currculos mnimos dos cursos de graduacao na area de Exatas.

A apresentacao de conceitos basicos passa a ter proposito de unificacao do conhecimento, de nomenclatura

e fixacao da notacao usada. A revisao a seguir tem um ponto de vista da Programacao Linear, de modo que a

mesma e orientada para antecipar o entendimento dos metodos de otimizacao.

2.1 Equacoes linearesUm sistema de m equacoes linerares e n variaveis tem a seguinte representacao algebrica:

a11 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...

am1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Podemos escrever o sistema na notacao Ax = b, isto e, na forma matricial, como :a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . .. . . . . .

am1 am2 . . . amn

x1

x2...

xn

=b1

b2...

bn

Um sistema de equacoes lineares (SEL) e denominado homogeneo se b = 0.

Captulo 2. Revisao Matematica PL

2.1.1 Solucao de um Sistema de Equacoes Lineares

Uma solucao de um SEL e um conjunto de valores xj (j = 1, ..., n) se satisfaz simultaneamente todas as

equacoes do sistema. Pela resolucao de um sistema, temos 3 alternativas de solucoes:

Tem uma unica solucao;

Possui um conjunto infinito de solucoes, ou multiplas solues;

Nao tem solucao para o sistema;

Quando o sistema apresentar m = n (matriz quadrada), a indicacao de qual dessas alternativas ocorre e dada

pelo determinante (D) da matriz, a saber:

Quando D = 0 , indica indeterminacao (infinitas solucoes) ou um sistema sem solucao;

Quando D 6= 0 , indica que o sistema e crameriano 1 e portanto, possui uma unica solucao possvel.

2.1.2 Operacoes elementares

As operacoes elementares, conforme ([11]), de um sistema consistem em transformacoes realizadas no sistema.

Sao elas:

I. Troca de linhas;

II. Multiplicacao de uma linha por escalar nao nulo;

III. Combinacoes lineares de linhas;

A seguir veremos os casos de solucao dos SEL onde m = n e m 6= n

2.1.3 Solucao de Sistema de Equacoes Lineares, caso m = n

Nesta subsecao, podemos resumir a forma de algumas solucoes para alguns tipos de sistemas Ax = b, assim:

Todo sistema homogeneo tem solucao x = 0, chamada solucao trivial;

1. Se a matriz A e nao singular e o sistema homogeneo, so existe a solucao trivial (x = 0);

2. Se a matriz A e singular, o sistema homogeneo e indeterminado, pois D = 0.

Se a matriz A e nao singular e o sistema nao homogeneo, a solucao e unica e o sistema e textitcrameriano.

Como A e nao singular, sua inversa (A1) existe. Assim:

Ax = b A1(Ax) = A1b Ix = A1b x = A1b.

Exemplo 10. Seja o sistema na forma matricial:

1Um sistema crameriano e aquele o qual tem um determinante da matriz A um numero diferente de zero, significando que o sistema

tem solucao unica - tal resultado tem ligacao com a regra de Cramer.



2 1 31 1 22 2 1

x1x2x3

= 271

Calculando-se a matriz inversa de A, e aplicando-a como visto, obtem-se a solucao: x1x2

x3

= 5/19 7/19 1/193/19 8/19 7/194/19 2/19 3/19

271

= 23

1

A solucao do sistema e entao x1 = 2, x2 = 3 e x3 = 1.

Devemos entao encontrar a matriz inversa para obter a solucao de um sistema? A resposta pratica e nao,

pois computacionalmente este metodo e caro devido ao excesso de calculos necessarios para a determinacao de

matrizes inversas de sistemas complexos, alem disto, a inversa so e passvel de calculo em matrizes quadradas e

com determinante diferente de zero, sendo assim inviavel metodologicamente como visto no captulo de Introducao

a` Pesquisa Operacional. Nos proximos topicos explicaremos alguns metodos mais praticos na obtencao de solucoes

para os sistemas lineares, sejam eles casos m = n ou n > m.

2.1.4 Metodo de Gauss-Jordan, caso m = n

Tendo como finalidade a construcao, atraves de operacoes elementares, de uma matriz unitaria, e um metodo

adequado para as rotinas computacionais para a resolucao dos sistemas lineares, uma vez que envolve um algoritmo

mais rapido de ser implementado e calculado pelo processador. Considere o Exemplo 10:2x1 + x2 3x3 = 2x1 x2 + 2x3 = 7

2x1 + 2x2 x3 = 1a. operacoes elementares sobre x1: Dividir a 1

a linha por 2, adicionar a` 2a linha a primeira multiplicada

por(-1) e adicionar a` 3a linha a 1a vezes (-2).x1 + x2/2 3x3/2 = 1 3x2/2 + 7x3/2 = 8

x2 + 3x3 = 1

b. operacoes elementares sobre x2: Dividir a 2a linha por

( 32), adicionar a` 1a linha a 2a multiplicada por( 12) e adicionar a` 3a linha a 2a vezes (1).x1 x3/3 = 5/3

x2 7x3/3 = 16/319x3 = 19/3

c. operacoes elementares sobre x3: Dividir a 3a linha por 39 , resultando em x3 = 1. Somar a` 1

a linha a

3a multiplicada por 13 e somar a` 2a linha a 3a multiplicada por 73 .

x1 = 2

x2 = 3x3 = 1



Deste modo, chegamos a` mesma solucao do Exemplo 10, como x1 = 2, x2 = 3 e x3 = 1. Fica a observacaode que a maneira mais facil para nao se perder durante os calculos e realiza-los com o auxlio da matriz ampliada

da forma A = (A|b).Este metodo de transformacao da A para a identidade (I) tambem e chamada de Escalonamento.

2.1.5 Solucao de Sistema de Equacoes Lineares, caso n > m

Se considerarmos o sistema matricial, com Amn com n > m :a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

am1 am2 . . . amn

.x1

x2...

xn

=b1

b2...

bm

De uma matriz retangular como esta, podemos encontrar diversas solucoes com as aplicacoes anteriormente

discutidas, pois e possvel obter varias submatrizes quadradas. Como nota, o numero superior de variaveis em

relacao a`s equacoes e o que de mais comum ocorre no processo de modelagem, dada a complexidade da realidade,

mesmo que reduzida.

Vamos explicitar alguns conceitos e definicoes, mediante um exemplo, dados pela Programacao Linear.

Exemplo 11. Seja um sistema {x1 2x2 + x3 + x4 = 2x1 x2 x3 + x5 = 2

A partir desse sistema (e todos os casos n > m, podemos realizar diversas consideracoes e generalizacoes, a

saber:

1. Em notacao matricial (Ax = b), temos:

[1 2 1 1 01 1 1 0 1

].

x1

x2

x3

x4

x5

=[

2

4

]

2. O sistema anterior possui cinco variaveis e duas equacoes, portanto, oferece uma infinidade de solucoes.

Podem-se arbitrar valores para 52 = 3 variaveis e resolver o sistema em relacao a`s duas variaveis restantes.Para o sistema original ter solucao, pelo menos um dos subsistemas sera crameriano.

3. O sistema tem uma solucao trivial (chamada de basica), que consiste em atribuir o valor nulo em tres das

variaveis e chegar-se no valor das outras duas. Como exemplo:

x1 = x2 = x3 = 0 e x4 = 2 e x5 = 4.

Neste caso, x1,x2 e x3 sao chamadas variaveis nao basicas, e x4, x5 sao ditas variaveis basicas.

4. Variavel basica e uma variavel responsavel por uma equacao na qual ela tem coeficiente 1, enquanto nas

demais equacoes seu coeficiente e 0.



5. Sistema canonico e um sistema no qual a cada equacao temos uma variavel basica associada. Visto de forma

matricial, tal sistema remete a uma matriz identidade embutida na matriz A (nao obstante fora de ordem).

6. Uma base B do sistema e dada pelo conjunto de vetores coluna correspondentes a`s variaveis basicas. No

exemplo, a base e formada pelos vetores coluna A4 e A5, ou B = [A4A5]. Como x4 e x5 sao as variaveis

associadas a` base, e comum referir-se a` base B = x4x5

7. Em um sistema de cinco variaveis e duas equacoes, a variedade de solucoes triviais, ou basicas e dada pela

permutacao:

(5

2

)=

5!

3!2!= 10

8. As solucoes triviais distintas, se existentes, podem ser obtidas por processos de mudanca de base (conforme

sera explicado na proxima subsecao).

2.2 Mudanca de Base

2.2.1 O Pivoteamento

A operacao de mudar a base e feita segundo operacoes elementares, sendo equivalente a um conjunto de

operacoes do tipo Gauss-Jordan, aplicada a uma variavel qualquer do problema (escolhida como basica).

Supondo que a variavel xi seja basica e pertenca a linha r do sistema, a acao de pivotear, tendo em vista a

insercao de xj no lugar, consiste nos passos:

1. Dividir por ar j a r-esima equacao, resultando em ar j = 1 no sistema modificado;

2. Adicionar a` k-esima equacao k = 1, 2, . . . , m, k 6= r , akjar j

=akj

1= akj , de modo a zerar o coeficiente

de xj nessa k-esima linha.

Exemplo 12. Com o exemplo 11 podemos ilustrar o pivoteamento, substituindo x1 por x4 na base. Temos entao

i = 4 e j = 1 com r = 2, e deste modo como a11 = 1, nao precisamos fazer a divisao por a11; da mesma maneira

como a21 = 1, basta somar a` 2 equacao a 1 multiplicada por (1) para se obter uma nova base, B = [A1,A5], eo sistema resultante: {

x1 2x2 +x3 +x4 = 2x2 23 x4 +x5 = 2

Se prosseguirmos para B = [A1,A2], o sistema resultante seria:{x1 3x3 x4 +2x5 = 6

x2 2x3 x4 +x5 = 2

Obs: Utilizaremos este resultado a seguir.

O Pivoteamento em Notacao Matricial

A mudanca de base pode ser vista como uma multipicacao matricial, exemplificada na situacao a seguir:



1. Suponha que a matriz A, do sistema linear A = bx, possa ser escrita pela composicao de tres colunas

A = [B|N|I], sendo B e a base atual, I a base original e N os demais vetores (contendo as variaveis naobasicas).

2. Seja B1 a inversa da base atual, entao podemos escrever a sequencia:

B1[B|N|I]x = B1b [I|B1N|B1]x = B1b

No exemplo 11 aplicamos os conceitos anteriores, para chegar-se ao resultado apresentado no exemplo 12:

[|1 2| | 1| |1 0||1 1| | 1| |0 1|

]

x1...

x5

=[

2

4

]

B N I

Explicitando na base mudada por pivoteamento, temos analogamente:

[|1 0| | 3| | 1 2||0 1| | 2| | 1 1|

]

x1...

x5

=[

6

2

]

B1B = I B1N B1

Portanto a nova base B = [a1 a2] pode ser obtida a partir do sistema original por dois modos:

a. operacoes elementares (metodo Gauss-Jordan);

b. sejam a base desejada B =

[1 21 1

]e sua inversa B1 =

[1 21 1

]; pre-multiplicando o sistema

original por B1, obtendo-se B1Ax = B1b.

2.2.2 Selecao das variaveis basicas

Em problemas de Programacao Linear, existe a restricao suplementar de que x 0, isto e, todas as variaveisdevem ser nao negativas. Assim, possivelmente, nem todas as solucoes basicas de um sistema serao factveis

(possveis de serem aplicadas ao modelo), na medida em que nem todas virao a satisfazer a restricao adicional.

Definicoes

Por se tratar de uma revisao para a PO, devemos focar a mesma sobre os atributos e conhecimentos que serao

exigidos a seguir, para tanto, apresentamos um resumo das definicoes introduzidas ate este ponto:

Variavel basica: e uma variavel relacionada a uma equacao com coeficiente 1 nesta equacao e 0 nas demais;

Solucao basica: e aquela obtida fazendo-se as variaveis nao basicas iguais a` zero e identificando-se a solucaodo sistema linear;

Solucao basica viavel: e uma solucao basica na qual todas as variaveis basicas satisfazem a` restricaosuplementar x 0;



Base do Sistema: e dada pelo conjunto das variaveis basicas, ou seja, pelos vetores coluna associados aoscoeficientes das variaveis basicas de todas as equacoes;

Operacao Pivotar - Pivot Operation: e uma sequencia de operacoes elementares que fazem uma variaveltornar-se basica;

Conjunto Viavel: e dado por todas as solucoes viaveis do sistema linear, incluindo-se a restricao suplementarx 0.

2.2.3 Construcao da Variaveis Basicas e Variaveis Artificiais

Forma Geral

Dado um sistema linear padrao, uma forma de se obter um conjunto de variaveis basicas desenvolvida pela

Programacao Linear e de realizar-se o acrescimo ao sistema de um conjunto de variaveis basicas (xa), denominadas

artificiais, ou seja:

Ax + Ixa = b ou[A|I

] [ xxa

]= b

Neste caso, uma solucao inicial consistiria em anular as variaveis originais e deixar as variaveis artificiais na base

do sistema. Esse metodo cria uma solucao basica para o sistema de equacoes, embora a` custa da introducao de

mais variaveis, inexistentes originalmente, contudo, por meio de operacoes elementares para sucessivas trocas de

base, as mesmas podem ser colocadas como variaveis nao basicas e anuladas.

Podemos acrescentar ainda que, a respeito deste metodo, temos:

Se o sistema for incompatvel o metodo falha;

Se houver uma equacao redundante (dependencia linear), a solucao de base encontrada tera uma variavelartificial na base com valor nulo.

Forma Canonica

Sistema canonico e aquele em que cada equacao linear possui uma variavel basica associada a ela e o sistema

de equacoes identifica um solucao trivial. Um caso particular, porem frequente, e aquele que o sistema original e

dado na forma de desigualdade, Ax b. Neste caso, introduzem-se variaveis de folga, xf , que medem a diferencaentre o lado direito e o lado esquerdo (como veremos nos modelos de PO, tambem teremos variaveis de excesso

quando Ax b).Matricialmente a situacao seria:

Ax b Ax + Ixf = b ou[

A|I] [ x

xf

]= b

Uma solucao inicial viavel basica e quando xf = b e x = 0. Ao contrario das variaveis artificiais do caso geral,

as variaveis de folga (ou excesso) tem sua interpretacao como a quantidade dos valores de b nao utilizadas.

Vamos exemplificar este sistema e a explicacao anterior mediante um exemplo.

Exemplo 13. Suponha o sistema de restricoes:

x1 400x2 500

x1 + 2x2 900



Aplicando-se tres variaveis de folga (x3, x4 e x5), temos:

x1 + x3 = 400

x2 + x4 = 500

x1 + 2x2 + x5 = 900

Se as variaveis do sistema original representarem:

x1= numero de bolos do tipo 1 a serem produzidos;

x2= numero de bolos do tipo 2 a serem produzidos;

b1= 400 = quantidade de ovos disponveis;

b2= 500 = quantidade de acucar disponvel;

b3= 900 = quantidade de farinha disponvel.

Nessas condicoes, as variaveis de folga significam

x3= quantidade de ovos nao utilizados;

x4= quantidade de acucar nao utilizado;

x5= quantidade de farinha nao utilizada.

Com isto, encerramos a subsecao de Mudanca de Base.

2.3 Espacos Vetoriais

2.3.1 Definicao

Um espaco vetorial V e um conjunto de elementos denominados vetores, tal que a soma de dois de seus

elementos ou a multiplicacao de um de seus elementos por escalar ( R) tambem pertence a V.Alem disso, todo espaco vetorial contem um vetor nulo 0 e o vetor oposto, sendo:

C + 0 = C, para todo C V; C + (C) = 0, com o vetor oposto C.

2.3.2 Operacoes

Algumas operacoes basicas dos vetores de um espaco vetorial sao, como ja ditas, a adicao de um elemento a

outro e a multiplicacao por um numero escalar real. Em notacao matematica, se tivermos dois vetores (C e D) e

um escalar (), demonstramos as operacoes como:

C + D = (c1, c2) + (d1, d2) = (c1 + d1, c2 + d2);

C = (c1, c2) = (c1, c2).

Podemos ver as operacoes representadas nas figuras 2.1 e 2.2.

2.3.3 Combinacao Linear de Vetores

Se A1,A2,A3 . . . ,An sao vetores pertencentes ao espaco vetorial Rm e se x1, x2, . . . , xn sao numeros reais,entao o vetor b Rm, obtido por:

b = A1x1 + A2x2 + + Anxne chamado de combinacao linerar dos vetores A1,A2,A3, . . . ,An.

Da combinacao linear podemos tirar duas conclusoes sobre os vetores, a saber:



Figura 2.1: Soma de vetores

Figura 2.2: Muiltiplicacao de vetores (com = 1)



Vetores Linearmente Independentes: Suponha um conjunto de vetores nao nulos A1,A2,A3 . . . ,An per-tencentes ao espaco vetorial Rm e x1, x2, x3 . . . , xn numeros reais. Se a equacao vetorial:

A1x1 + A2x2 + + Anxn = 0

so for satisfeita para x1 = x2 = = xn = 0, entao dizemos que os vetores A1,A2, . . . ,An sao linearmenteindependentes (LI)

Vetores Linearmente Dependentes: Suponha um conjunto de vetores nao nulos A1,A2,A3 . . . ,An perten-centes ao espaco vetorial Rm e x1, x2, x3 . . . , xn numeros reais. Se a equacao vetorial:

A1x1 + A2x2 + + Anxn = 0

for satisfeita para algum xk com k (1, 2, . . . , n) diferente de zero, entao dizemos que os vetores A1,A2, . . . ,Ansao linearmente dependentes (LD).

2.3.4 Dimensao de um Espaco Vetorial

Um espaco vetorial Rm e de dimensao m se:

Existirem m vetores v1, v2, . . . , vm linearmente independentes pertencentes a Rm.

Nao existirem (m + 1) vetores linearmente independentes pertencentes a Rm.

2.3.5 Base e Coordenadas

Um conjunto de vetores v1, v2, . . . , vm Rm e uma base de Rm se:

Eles forem LI;

Qualquer vetor y Rm puder ser obtido por uma combinacao linear desses vetores, isto e:

y = y1v1 + y1v1 + + ymvm

Desta maneira, os coeficientes (y1, y2, . . . , ym), unicamente definidos, sao as coordenadas do vetor y em

relacao a` base v1, v2, . . . , vm.

2.3.6 Posto (ra) de uma matriz como um Conjunto de Vetores

Dada uma matriz Amn, seja Bmn a matriz-linha reduzida a` forma escada linha equivalente a A. O posto de

A, denotado por ra = 3, e o numero de linhas (ou colunas) nao nulas de B.

Exemplo 14. Seja a matriz

A =

1 0 2 01 5 0 12 0 6 2

Empregando-se o conceito de vetores LI, primeiro aos vetores coluna e depois aos vetores linha, temos:



Aplicando aos vetores coluna:

112

x1 + 05

0

x2 + 20

6

x3 012

x4 = 00

0

Note que o sistema admite uma infinidade de solucoes nao triviais; portanto, o posto e inferior a quatro. Ao

escolhermos apenas tres vetores quaisquer, encontramos um posto igual a 3 (ra = 3).

Aplicando aos vetores linha:

[1 0 2 0

]x1 +

[1 5 0 1

]x2

[2 0 6 2

]x3 =

[0 0 0 0

]Essa equacao vetorial fornece o sistema de equacoes:

x1 x2 +2x3 = 0

5x2 = 0

2x1 +6x3 = 0

x2 2x3 = 0portanto x1 = x2 = x3 = 0, logo ra = 3.

Base de uma Matriz

Se uma matriz Amxn, m n, tem n colunas A1, A2, . . . , An, das quais m linhas Ar , As , . . . , Ap sao linearmenteindependentes, entao a matriz quadrada B = [Ar ,As , . . . ,Ap], de ordem m, e uma base de A.

Mudanca de Base

Seja uma base no espaco Rm constituda pelos vetores e1, e2, . . . , em. Nessa base, qualquer vetor y Rm eexpresso por uma combinacao linear definida univocamente 2, sendo y1, y2, . . . , ym as coordenadas do vetor y, isto

e:

y = y1e1 + y2e2 + + ykek + . . .+ ymemPodemos permutar, na base, o vetor ek pelo vetor y (somente se yk 6= 0). Assim:

ek = y1yk

e1 y2yk

e2 + 1ykyky ym

ykem

Essa expressao mostra o vetor ek expresso em uma base constituda pelos vetores y e ei , em que i = 1, 2, . . . , m,

e i 6= k .Estas expressoes sao importantes para casos de mudanca de base, pois, imagine algum outro vetor x Rm.

Como exemplo, na base original, esse vetor seria representado por:

x = x1e1 + x2e2 + + xkek + + xmem2Diz-se da relacao, ou da correspondencia, entre dois conjuntos em que a cada elemento do primeiro conjunto corresponde apenas

um elemento do segundo, isto , uma funo injetora entre os conjuntos.



Em relacao a` uma nova base (que inclui y), basta realizar uma substituicao de ek na expressao anterior com a

resultante de ek :

x =

(x1 xk y1

yk

)e1 +

(x2 xk y2

yk

)e2 + + xk

yky + +

(xm xk ym

yk

)em

O processo de mudar a base de um espaco e tambem denominado pivoteamento, exatamente analogo ao

discutido anteriormente.

Produto Escalar (Interno) entre Dois Vetores

Sejam os vetores A1 e A2 pertencentes a um espaco vetorial Rm. O produto escalar, ou produto interno,desses dois vetores pode ser definido pela expressao a seguir, envolvendo a soma dos produtos dos componentes

correspondentes. Quando dois vetores A1 e A2 sao ortogonais, entao o produto escalar sera nulo.

A1.A2 = a11a21 + a12a22 + + a1na2n =ni

a1ja2j

2.4 Conjuntos Convexos e Combinacao Convexa

2.4.1 Conjunto Convexo

Seja um conjunto X Rm. Dado dois pontos quaisquer x1 e x2 X pertencentes ao conjunto e [0, 1]. Sex1 + (1 )x2 X entao, diz-se que X e um conjunto convexo. Nao obedecendo a relacao, entao e dito naoconvexo.

2.4.2 Combinacao Convexa

De forma analoga, podemos definir uma combinacao convexa de vetores. Dados n vetores A1,A2, . . . ,An

pertencentes a um espaco vetorial Rn e i para i = 1 : n, temos:

y = 1A1 + 2A2 + . . . nAn sendo

ni

i = 1

e uma combinacao convexa dos vetores Ai , para i = 1, . . . , n.

Exemplo 15. Sejam os vetores A1 =

[1

0

]e A3 =

[3

0

] R2. Seja o vetor b = A1 + (1 )A3, com

0 1, representando uma combinacao convexa dos vetores, ou seja, obedecendo a` regra de convexidade.Se fizermos variar entre 0 e 1, o vetor b sera representado por pontos situados no segmento que une os

pontos A1 e A3. Deste modo, vemos a figura 2.3 que ilustra a combinacao convexa do exemplo.

2.4.3 Interpretacao Geometrica

Portanto, pela definicao anterior, um conjunto convexo tem como interpretacao geometrica a seguinte situacao:

quaisquer pontos no segmento de reta formado por dois pontos quaisquer do conjunto X tem de pertencer a ele.

Em termos geometicos, como exemplo um conjunto do R2 temos a figura 2.4.Esta interpretacao geometrica pode ser generalizada para outras dimensoes. Temos ainda duas propriedades

dos conjuntos convexos:



Figura 2.3: Combinacao convexa do exemplo 15.

1. A interseccao de conjuntos convexos tambem e um conjunto convexo;

2. A soma (ou a subtracao) de dois conjuntos convexos e tambem um conjunto convexo.

C1 + C2 = {A1 + A2 : A1 C1,A2 C2} e convexoC1 C2 = {A1 A2 : A1 C1,A2 C2} e convexo

Figura 2.4: Exemplo de um conjunto convexo e outro nao convexo no R2.

2.4.4 Ponto Extremo de um Conjunto Convexo

Suponha C um conjunto convexo. Entao A C e um ponto extremo de C se nao for possvel expressa-lo comouma combinacao convexa de quaisquer outros dois pontos distintos pertencentes aos conjunto.

2.5 Exerccios Propostos1. Determine a inversa da matriz A usando os recursos do Metodo de Gauss-Jordan. Para tanto, escreva a

matriz identidade I com a mesma dimensao, ao lado direito. Em seguida aplique operacoes elementares no

sistema expandido que transformem a matriz A na matriz I, e verifique que a matriz I se transforma na

inversa A1:

a. A =

2 1 31 1 22 2 1



b. A =

1 0 10 1 01 2 0

2. Verifique que os seguintes conjuntos de vetores formam uma base no R3:

a. (1, -1, 2); (0, 5, 0); (2, 0, 6);

b. (-1, 5, 1); (2, 0, -2); (1, 0, 4);

c. (1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

3. Expresse o vetor (1, 1, 1) em cada base existente do exerccio anterior.

4. Encontre todas as solucoes basicas dos sistemas

a.x1 2x2 +2x3 4x4 = 2

3x1 5x2 +x3 +3x4 = 4b.

2x1 +3x2 +5x3 = 5

x1 4x2 2x3 = 3

5. Dada a matriz A com cinco colunas A1,A2,A3,A4,A5:

A =

1 2 1 0 02 3 0 1 01 2 0 0 1

usando os procedimentos de Gauss-Jordan, expresse A nas bases:

a. B1 =(A1,A4,A5); b. B1 =(A1,A2,A5); c. B1 =(A1,A2,A3).

6. Calcule o posto de A:

A =

1 1 1 12 1 1 00 3 1 1

7. Nos problemas de (a) ate (e), resolver os sistemas pelo metodo de eliminacao de Gauss.

2x +3y z = b1x 3y +z = b2x +2y z = b3

(a) Para b1 = 2, b2 = 5 e b3 = 7.

(b) Para b1 = 1, b2 = 6 e b3 = 0.

(c) Para b1 = 2, b2 = 8 e b3 = 9.

(d) Para b1 = 4, b2 = 3 e b3 = 2.

(e) Para b1 = 4, b2 = 7 e b3 = 9.

8. (Engenharia de Controle e Automacao) Deseja-se construir um circuito como o mostrado na figura 2.5.

onde V1 = 280V , V2 = 100V , V3 = 50V , R1 = 20, R2 = 30, R3 = 50, R4 = 40 e R5 = 100.

Dispoe-se de uma tabela de precos de varios tipos de resistencias; assim como as correntes que elas suportam

sem queimar.

De que tipo devemos escolher cada resistencia para que o circuito funcione com seguranca e a sua fabricacao

seja a de menor custo possvel?



Figura 2.5: Sistema de circuito

Resistencias

20 30 40 50 100

10 10 15 15 20 0.5 A Corrente

15 20 15 15 25 1.0 A Maxima

20 22 20 20 28 3.0 A Suportada

30 30 34 34 37 5.0 A

Tabela 2.1: Dados das resistencias disponveis.

9. (Engenharia Ambiental) Necessita-se adubar um terreno, de acordo com um plano de recuperacao, acres-

centado a cada 10m2: 140 g de nitrato, 190g de fosfato e 205 g de potassio.

Dispoe-se de quatro qualidade de adubo com as respectivas caractersticas, incluindo sua unidade de custo

de producao (u.c.p):

(a) Cada quilograma do adubo I custa 5 u.c.p e contem 10 g de nitrato, 10 g de fostato e 100 g de potassio;

(b) Cada quilograma do adubo II custa 6 u.c.p e contem 10 g de nitrato, 100 g de fostato e 30 g de

potassio;

(c) Cada quilograma do adubo III custa 5 u.c.p e contem 50 g de nitrato, 20 g de fostato e 20 g de potassio;

(d) Cada quilograma do adubo IV custa 15 u.c.p e contem 20 g de nitrato, 40 g de fostato e 35 g de

potassio;

Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54

u.c.p a cada 10m2 com a adubacao?


CAPITULO 3

Metodo Simplex

3.1 Teorema Fundamental da Programacao LinearNo Captulo 1, o metodo de resolucao grafica de um problema foi utilizado apenas para casos de duas ou tres

variaveis. Para problemas maiores, este metodo torna-se impraticavel, nesta situacao precisamos de uma tecnica

eficiente para resolver problemas de Programacao Linear (PL) com mais de tres variaveis. Uma dessas tecnicas

chama-se Metodo Simplex.

Para melhor compreender este metodo, devemos observar algumas consideracoes sobre as solucoes dos sistemas

que representam os modelos, tomando como exemplo o item Identificacao do ponto otimo do Captulo 1. Vimos

que:

(i) A funcao objetivo assume necessariamente um valor maximo e um valor mnimo quando a regiao poliedral

convexa (factvel) for limitada;

(ii) Os vertices desempenham um papel fundamental na procura de maximos e mnimos para a funcao objetivo.

O primeiro resultado acima nos diz que os valores extremos de uma funcao afim1 sao assumidos nos pon-

tos extremos dos segmentos (vertices). Da, podemos fazer colocacoes e generalizacoes2, obtendo o Teorema

Fundamental da Programacao Linear:

Teorema 1. Seja f (x1, . . . , xn) = a1x1 + + anxn + b, onde b uma constaante qualquer, definida numa regiaopoliedral convexa A do Rn. Suponha que f assuma um valor maximo (ou mnimo) nesta regiao. Entao, se A possuivertice(s), este valor maximo (ou mnimo) sera assumido num vertice.

Considerando um problema de Programacao Linear na forma padrao:

min f (x)

Sujeito a Ax = b

x 0onde A e uma matriz m (n +m) de posto m, entao:

i) se ha uma solucao factvel, ha uma solucao basica factvel.

ii) se ha uma solucao factvel otima, ha uma solucao basica facvel otima.

1Funcao linear mais contantes.2Para mais informacoes e deducoes do teorema consultar paginas 368/369 em [4].

Captulo 3. Metodo Simplex PL

Do teorema anterior e da equivalencia entre solucao basica factvel e vertice temos que o Metodo Simplex e

finito, pois um sistema linear de m equacoes com (m + n) incognitas tem no maximo, por combinacao:(m + n

m

)=

((m + n)!

m!n!

)Solucoes basicas

Logo, o Simplex efetua um numero menor que

(n +m

m

)interacoes para encontrar a solucao otima, pois o

algoritmo Simplex e um procedimento de busca, isto e, move-se de vertice factvel em vertice factvel ate encontrar

a solucao basica factvel otima.

3.1.1 Transicao da solucao grafica para a solucao algebrica

No metodo grafico, a regiao de solucoes e delineada pelos meios-espacos (regioes delimitadas pelas restricoes),

sendo possvel graficamente observar porque a regiao factvel tem um numero infinito de pontos de solucao, uma

vez que nos exemplos citados, apresentava-se um plano e que por definicao compreende infinitos pontos (podendo

ser extendido aos casos do R3 . . . Rn, como volumes e passando para formas nao possveis de serem representadasgeometricamente).

No Metodo Simplex, a regiao de solucoes e representada por m equacoes lineares simultaneas e n variaveis nao

negativas. Neste caso, tambem ocorre um numero infinito de pontos de solucao, dado que o numero de equacoes

m e sempre menor que ou igual ao numero de variaveis n, pois se nao fosse assim, teramos no mnimo (m n)equacoes redundantes, ou seja, linearmente dependentes.

Contudo, antes de vermos como o Simplex atua diante desse fato de infinidade de solucoes, vejamos como

trabalhar com os metodos grafico e algebrico e as mudancas entre ambos. A Figura 3.1 ilustra esta transicao, de

um modo comparativo.

3.2 Metodo Simplex

3.2.1 Modelo de Programacao Linear em forma de equacao - Forma Padrao

O desenvolvimento do calculos do Simplex e facilitado pela imposicao de dois requisitos a`s restricoes do pro-

blema:

1. Todas as restricoes (com excecao da nao negatividade das variaveis) sao equacoes cujos lados direitos sao

nao negativos;

2. Todas as variaveis sao nao negativas.

A finalidade destes dois requisitos e padronizar e tornar mais eficiente os calculos de metodo simplex. Contudo,

antes apresentamos as disposicoes dos problemas na Forma Padrao e na Forma Canonica

3.2.2 Forma Padrao

A forma padrao e aquela em que as restricoes sao expressas por meio de equacoes lineares:



Figura 3.1: Transicao de solucao grafica para algebrica.

max ou min f (x) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn

Sujeito a a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

.... . .

......

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bn

xi 0, (i = 1 : n)Em termos de matrizes, pode-se representar a forma padrao da PL como:

min f (x) = cx

Sujeito a Ax = b

x 0em que:



A = matriz m n dos coeficientes tecnologicos 3.b = matriz m 1 das constantes do lado direito.x = matriz n 1 das variaveis de decisao.c = vetor 1 n dos coeficientes da funcao objetivo f (x).

3.2.3 Forma Canonica

Diz-se que o sistema esta na forma canonica quando, embutida na matriz dos coeficientes, encontra-se a

matriz identidade. Em consequencia, esse sistema admite uma solucao trivial em que as variaveis nao associadas

a`s colunas da matriz identidade sao nulas.

O sistema a seguir exemplifica um problema de PL com restricoes na forma canonica. Alem disso, se para todo

i = 1 : m, bi 0, a solucao e tambem viavel, com xn+1 = bi , enquanto as demais variaveis x1, . . . , xn sao nulas.

max ou min f (x) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn + (cn+1xn+1 +

. . . + cn+mxn+m)

Sujeito a a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn + xn+1 = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn + xn+2 = b2...

.... . .

......

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn + xn+m = bm

x1 : xn+m 0Note que na funcao objetivo, temos as variaveis de folga ou excesso representadas dentro do parenteses.

Uma outra situacao muito conveniente e quando as restricoes originais se apresentam com sinal , enquantoo vetor b 0, o que corresponde, em notacao matricial, ao problema de PL:

min f (x) = cx

Sujeito a Ax bx 0

Nesse caso, todas as restricoes transformam-se em equacoes mediante a inclusao de variaveis de folga (ou

excesso), uma para cada desigualdade, e o sistema para a forma canonica.

A seguir mostraremos como lidar com desigualdades e variaveis irrestritas, convertendo os problemas para a

forma canonica.

3.2.4 Conversao de desigualdades em equacoes com o lado direito nao negativo

Em restricoes (), o lado direito pode ser considerado como a representacao de um limite imposto a` disponi-bilidade de um determinado recurso, enquanto que o esquerdo, a utilizacao desse recurso limitado pelas variaveis

(operacoes) do modelo. A diferenca entre um lado e outro pode ser interpretado como uma quantidade de recurso

nao utilizada ou uma folga.

Deste modo, para eliminarmos a desigualdade, fazemos a adicao de uma variavel de folga nao negativa (xfn)

ao lado esquerdo da inequacao. Considere o Exemplo 13 do Captulo 2, que faz uso dessa operacao matematica,

contudo, imagine a adicao da restricao a seguir:

3Tais variaveis sao chamadas de tecnologicas pois, dependem do modelo segundo o qual temos tecnologia para empregar naquele

instante - seja em aparelhos de medicao ou mesmo nos componentes envolvidos em processos de producao, como maquinas que

processam um numero maximo ou um numero mnimo de determinada substancia.



x1 + x2 10 = x1 + x2 + xf3 = 10, com xf3 0

De forma analoga, se a restricao for () entao, conseguimos a igualdade com a subtracao de uma variavelde sobra (ou excesso) nao negativa ao lado esquerdo da inequacao. Temos a restricao:

x1 + x2 10 = x1 + x2 xf3 = 10, com xf3 0

Agora, o unico requisito e deixar o lado direito da inequacao resultante nao negativo. Como exemplo:

x1 + x2 10 = x1 x2 xf3 = 10, com xf3 0

x1 + x2 10 = x1 x2 + xf3 = 10, com xf3 0

Assim, faz-se a transformacao em igualdade, e em seguida multiplica-se por (-1).

3.2.5 Como lidar com variaveis irrestritas

Em alguns casos, as variaveis podem oscilar entre positivo e negativo, talvez o melhor exemplo seja a contratacao

e a demissao de funcionarios em uma linha produtiva.

Se xi( 0) for a quantidade de mao-de-obra no perodo i (um mes, uma quinzena etc), entao xi+1( 0), aquantidade necessaria para o proximo perodo i + 1 pode ser expresso como:

xi+1 = xi + yi+1

A variavel yi+1 deve ser irrestrita ao sinal, para permitir que xi+1 aumente ou diminua em relacao a xi , isto e,

dependa do numero de contratados e demitidos, respectivamente.

Podemos satisfazer o requisito da variavel nao negativa com a substituicao:

yi+1 = yi+1 y+i+1 onde yi+1 0 e y+i+1 0

Para mostrar que a substituicao e valida, suponha que no perodo 1 a mao-de-obra seja x1 = 30 e que no

perodo 2 tenha de aumentar em 10 trabalhadores chegando a 40. Em termos da substituicao, y2 e y+2 , sera

equivalente a y+2 = 0 e y2 = 10 ( resultando em y2 = 10). De maneira semelhante se for reduzida em 10, teremos

y2 = 0 e y+2 = 10 ( resultando em y2 = 10). A substituicao tambem permite a possibilidade de nao haver

alteracao na mao-de-obra, fazendo com que ambas as variaveis assumam um valor igual a zero.

3.2.6 Variaveis Nao Positivas

Suponha um programa linear em que a variavel de decisao x nao possa ser positiva, ou seja, x 0. Nesse caso,faz-se uma troca de variavel:

x = x1, em que x1 0



3.2.7 Transformando o Problema de Maximizacao em Minimizacao

Utilizando-se a relacao de max{f (x)} = min{f (x)}, uma situacao de maximizacao pode se transformar emuma de minimizacao. Como exemplo, considere a parabola:

Se f (x) = (x 3)2 + 4 = min f (x) = 4, no ponto x = 3;

Se f (x) = [(x 3)2 + 4] = max {f (x)} = 4, no ponto x = 3 .

Assim, ao se multiplicar a funcao por (1), ela e substituda por outra simetrica em relacao ao eixo horizontale o mnimo de uma ocorre na mesma abscissa que o maximo da outra, naturalmente com sinal inverso. Entao,

max{f (x)} = min{f (x)}.

3.2.8 Princpios do Metodo Simplex

Suponha o modelo do Exemplo 6 do Captulo 1 resolvido graficamente. Com a auxlio desse exemplo, serao

expostos, passo a passo, os Princpios do Simplex. Seja o modelo:

max f (x) = 2x1 + 3x2

Sujeito a: x1 + 2x2 8 2x1 + 3x2 5

x1 + x2 6x1 0

x2 0Como dito, as inequacoes do tipo () podem ser transformadas em equacoes pela insercao de tres variaveis de

folga, com peso nulo na funcao objetivo, de modo que obtem-se o sistema na forma canonica.

max f (x) = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

Sujeito a: x1 + 2x2 + x3 = 8

2x1 + 3x2 + x4 = 5x1 + x2 + x5 = 6

xi 0 para i = 1 : 5O sistema acima possui uma solucao trivial, ou seja, fazendo x1 = 0 e x2 = 0, temos:

Variaveis Basicas

x3 = 8

x4 = 5

x5 = 6

Variaveis Nao basicas

{x1 = 0

x2 = 0

As variaveis definidas como nulas sao as nao basicas; as demais sao chamadas de variaveis basicas e formam

a base do sistema linear. A expressao entrar na base significa fazer uma variavel nao basica deixar o valor nulo e

crescer ate o maximo valor que lhe seja possvel e, portanto, positiva ou eventualmente nula.

Como primeira solucao do sistema, tem-se f (x) = 2(0) + 3(0) = 0. Observando que esse ponto corresponde

ao ponto da origem x1 = 0 e x2 = 0.

A Primeira Iteracao

Observando-se os coeficientes da funcao objetivo, f (x) = 2x1 + 3x2, ve-se que o aumento de x1 ou x2, ou seja,

a entrada de qualquer uma delas na base, devera aumentar o valor de f (x), pois ambos tem coeficientes positivos



nessa funcao. Como se deseja maximizar, parece intuitivo escolher primeiro aquela variavel cujo coeficiente e maior,

nesse caso a variavel x2.

Para que a variavel x2 entre na base e aumente seu valor ao maximo, e necessario identificar qual variavel basica

deve sair da base e, portanto, se anular. Utilizamos o sistema a seguir para verificar as mudancas nos valores das

variaveis basicas x3, x4 e x5 quando aumentamos o valor de x24.

x1 + 2x2 + x3 = 8

2x1 + 3x2 + x4 = 5x1 + x2 + x5 = 6

Mantendo-se x1 = 0 e deixando o sistema em funcao de x2 temos:

x3 = (8 2x2) 0x4 = (5 3x2) 0x5 = (6 x2) 0

Ao se aumentar o valor de x2 em 1 unidade, o valor de x3 decresce 2 unidades, x4 descrece 3 unidades e x5

decresce 1 unidade. Para anular as outras variaveis e mante-las ainda nao negativa, devemos encontrar os valores

de x2 que facam isso, podendo em seguida em qual destas variaveis x2 apresenta seu valor mnimo (denotado por

5).

Portanto, = x2 = min{ 82 , 53 , 61} = 53 , ou seja, para x2 = 53 , obtem-se x4 = 0, enquanto a demais variaveispermanecem nao negativas (sao factveis ao modelo). Logo, x4 sai da base, entrando x2 com valor

53 , e a funcao

objetivo passa a : f (x) = 2(0) + 3(

53

)= 5, isto e, ja temos um valor de funcao objetivo para a comparacao com

as proximas iteracoes.

A nova base sera formada por x2, x3 e x5. Para representa-la, basta transformar o sistema inicial, expressando-o

na nova base. Para isso, sao feitas operacoes elementares no sistema, tornando os coeficientes de x2 um elemento

da matriz identidade, a saber:

Dividir a 2a linha por 3, o que resulta em = 23x1 + x2 +

1

3x4 =

5

3

Somar a` 1a linha a nova 2a linha multiplicada por (2) = 73x1 + (0)x2 + x3 2

3x4 =

14

3

Somar a` 3a linha a nova 2a linha multiplicada por (1) = 53x1 + (0)x2 1

3x4 + x5 =

13

3

Com essas alteracoes, o sistema e reescrito conforme:

7

3x1 + x3 2

3x4 =

14

3

2x1 + x2 + 13x4 = 5

5

3x1 1

3x4 + x5 = 6

Pelas variaveis, tem-se:

4Ao se realizar esse procedimento atente para manter as variaveis x3, x4 e x5 nao negativas.

5O pode ser visto como a razaobi

ai jdo sistema, como j sendo o numero da variavel (coluna) e i o numero da equacao (linha)

trabalhadas.



Variaveis Basicas

x3 =14

3

x2 =5

3

x5 =13

3


{x1 = 0

x4 = 0

O valor da funcao objetivo f (x) = 2x1 + 3x2 = 2(0) + 3(

53

)= 5. Consultando-se a solucao grafica, o ponto

obtido na segunda iteracao corresponde ao vertice (x1,x2) =(

0, 53)

. Necessitamos agora saber se a solucao

encontrada e otima, para tanto devemos expressar a funcao objetivo em termos das variaveis nao basicas, nesse

momento sendo x1 e x4.

Da segunda linha do sistema modificado obtemos x2 em termos das variaveis x1 e x4, como:

x2 =5

3+

2

3x1 1

3x4

Substituindo na funcao objetivo:

f (x) = 2x1 + 3x2 = 2x1 + 3(

5

3+

2

3x1 1

3x4

)= 5 + 4x1 x4

Desta expressao, vemos que se valor de x4 aumentar, a funcao decresce; enquanto que um aumento no valor de

x1 aumenta em quatro unidades a funcao objetivo. Logo, a funcao objetivo nao esta no seu valor otimo, podendo

aumentar caso x1 entre na base (e ainda x4 fique de fora).

Segunda Iteracao

Analogamente, para x1 entrar na base e aumentar de valor, e necessario identificar qual variavel (x2, x3 ou x5)

devera sair. Para acompanhar o raciocnio algebrico, reescrevemos o sistema modificado com x4 nulo:7

3x1 + x3 =

14

3

2x1 + x2 = 55

3x1 + x5 = 6

Deixando o sistema em funcao de x1 para todas as variaveis e considerando-as como zero, temos:

x3 =14

3 7

3x1

x2 =5

3+

2

3x1

x5 =13

3 5

3x1

Na primeira restricao, a variavel x3 atinge o valor zero quando x1 = 2; na segunda, a variavel nao atinge o valor

zero pois o coeficiente de x1 e negativo, o que aumenta o valor quando colocado em funcao de x1; na terceira, x5

se anula quando x1 =135 . Portanto, = x1 = min

{2, , 135

}= 2.

Para x1 = 2, as variaveis assumem os valores:



x1 = 2

x2 = 3

x3 = 0

x4 = 0

x5 = 1

Para os valores encontrados das variaveis a funcao objetivo f (x) = 2(2) + 3(3) = 13, o que e maior que o 5

encontrado na iteracao anterior. A nova base sera formada agora por x1, x2 e x5. Para representa-la e necessario

a aplicacao de operacoes elementares, o que resulta em:x1 +

3

7x3 2

7x4 = 2

+ x2 +2

7x3 +

1

7x4 = 3

57x3 +

1

7x4 + x5 = 1

Em que:

Variaveis Basicas

x1 = 2

x2 = 3

x5 = 1


{x3 = 0

x4 = 0

Comparando esse resultado com a solucao grafica, nota-se que esta corresponde ao vertice (x1,x2) = (2, 3).

Agora realizamos o procedimento de colocar a funcao objetivo em termos das variaveis nao basicas, utilizando as

equacoes que possuem as variaveis x1 e x2 do sistema obtido:

x1 = 2 37x3 +

2

7x4

x2 = 3 27x3 +

1

7x4

a funcao objetivo f(x) fica como:

f (x) = 13 127x3 +

1

7x4

Terceira Iteracao

Pela ultima expressao da funcao objetivo, se x3 aumentar, a funcao decresce; enquanto que se x4 aumentar,

a funcao cresce, portanto, x4 deve entrar na base do sistema (note que aparentemente ela parecia nao ser uma

candidata a entrar na base). Temos o sistema como:

x1 +3

7x3 2

7x4 = 2

+ x2 +2

7x3 +

1

7x4 = 3

57x3 +

1

7x4 + x5 = 1

Fazendo-se as comparacoes dentro do sistema, com x3 = 0, obtemos para x1, x2 e x5 respectivamente, um

= x4 = min{, 21, 7} = 7, portanto a variavel x5 sai da base para a entrada de x4. Com as alteracoes demudanca de base chegamos no sistema:



x1 x3 + 2x5 = 4

x2 + x3 x5 = 2

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