Apostila 7 c 1 bim v2

OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1


CONCEITO DE FRAÇÕES 1) Diga qual é a fração da figura correspondente à parte pintada?

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

Imagem de Bertoni (2009)

N


O


P

Q

R


2) Escreva como fração imprópria e como número misto as partes coloridas:

A

B

C

E

F

G

I

J

K

L

3) É correto dizer que a fração pintada na figura abaixo é 2/5? Explique.

4) Abaixo um bolo foi dividido em 10 partes. Comemos 5 partes. Qual fração sobrou? (Adaptado de Bertoni, 2009).

5) Qual fração do queijo abaixo foi comida? (Adaptado de Bertoni, 2009).

BERTONI, Nilza Eigenheer. Módulo VI: Educação e linguagem matemática IV. Brasília: UnB, 2009.


6) a) Abaixo, a representação das melancias em um balcão de mercadinho. Qual é a fração de melancias nesse balcão? (Adaptado de Bertoni, 2009).

b) Se cada melancia custa R$ 12,00, qual é o preço de todas as melancias sobre o balcão? 7) Que fração do círculo representam os desenhos abaixo? (Adaptado de Bertoni, 2009)

8) (Olimpíada de Matemática de Escola Pública do Ceará – 5ª série – 2003) A fração

que representa a parte destacada da malha quadriculada é:

a) 2

1 b)

12

4 c)

16

5 d)

4

1 e)

4

3

9) (Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) O desenho representa uma torta dividida em partes iguais. Ana comeu a parte escura. Que fração da torta Ana comeu? a) ¼ b) ¾ c) 3/3 d) 4/3

10) (Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) Observe a torta de morangos que Letícia fez. Ela dividiu a torta em 8 partes iguais e comeu 3 partes desta torta. Qual a fração que representa as partes que ela comeu? a) 3/8 b) 5/8 c) 8/5 d) 8/3 12) (Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) Para fazer uma horta, Marcelo dividiu um terreno em 7 partes iguais. Em cada uma das partes, ele plantará um tipo de semente. Que fração representará cada uma das partes dessa horta? a) 1/7 b) 2/7 c) 7/1 d) 7/7 13) (Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diurno) Um quadrado maior foi dividido em quadradinhos.

Colorindo 4 desses quadradinhos, terei pintado: a) a metade do quadrado maior b) a terça parte do quadrado maior c) 5/9 de todo o quadrado maior d) 4/9 do quadrado maior 14) (Exame de Seleção do Centro Estadual de Educação Paula Souza – Ensino Médio – SP/2º 2003) O Brasil tinha 130 projetos de manejo da madeira (mogno) em andamento. Desse total, 110 foram cancelados, a maioria por irregularidades. A madeira se tornou alvo de saqueadores – o que amplia o risco de sua extinção, mesmo porque o crescimento do mogno é lento: só atinge o diâmetro ideal, de cerca de um metro, em oitenta anos. (Adaptado Veja. Edição 1769. 18/09/02)

Considere um certo terreno retangular ABCD da floresta onde foi implementado um projeto para replantar árvores de mogno. O terreno da plantação é triangular conforme a figura, a seguir:

A área triangular, em destaque, corresponde à seguinte fração da área do terreno retangular ABCD: a) 1/4 b) 1/5 c) 1/6 d) 1/8 e) 1/10


15) (XXVI Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1a fase – 2004) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?

a) 7/18 b) 4/9 c) 1/3 d) 5/9 e) ½ 16) (Sistema Mineiro de Avaliação – SIMAVE) Observe o retângulo Que fração representa a parte pintada desse retângulo? a) 3/5 b) 3/8 c) 5/3 d) 8/3

17) (Sistema Mineiro de Avaliação – SIMAVE) A avó de Alan fez um bolo. Ela dividiu o bolo em 8 pedaços iguais e Alan comeu 3 pedaços. Observe a representação do bolo na figura. A fração que representa a parte do bolo que Alan comeu é: a) 3/3 b) 3/5 c) 3/8 d) 5/3

FRAÇÕES IMPRÓPRIAS 1) Desenhe as frações impróprias e transforme em número misto:

a) 4/3 b) 12/5 c) 16/8 d) 10/3

2) Desenhe os números mistos e os transforme em fração imprópria:

a) 21

3 b) 1

2

3 c) 3

1

2 d) 1

2

5

e) 13

4 f) 2

3

5 g) 4

1

2 h) 4

2

3

3) Escreva a quantidade de laranjas na forma de fração imprópria e de número misto (adaptada de Andrini, 2012):

4) Observe: Do livro de Andrini (2012)

E agora faça o mesmo:

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELOS, Maria José. Praticando Matemática, 6. 3ª ed – renovada. São Paulo: Editora do Brasil, 2012.


5) Situe o número 15

2 entre dois números inteiros.

6) Transforme as seguintes frações impróprias em números mistos:

a) 4

7 b)

5

8

c) 2

3 d)

3

11

7) Transforme os números mistos em frações impróprias:

a) 4

12 b)

4

33

c) 2

11 d)

4

31

8) Transforme a fração 7

1000 em número misto.

9) Transforme a fração 100

12 em fração imprópria.

FRAÇÃO DE UMA QUANTIDADE 1) Calcule, utilizando desenhos: a) 1/3 de 60 b) 1/4 de 100 c) 1/5 de 55 d) 1/2 de 100 e) 2/3 de 90 f) 3/5 de 100 g) 4/7 de 140 h) 2/5 de 80 2) Quanto é: a) 2/3 de 1 hora? b) 3/8 de 1 dia? c) 3/4 de 1 ano? d) 2/5 de 1 década? 3) Encontre:

a) 4

1 de 200 b)

5

3 de 75

c) 7

3 de 51 d)

3

2 de 1 hora


4) (Avaliação do SARESP 1998 – 5ª série - Diurno) Na portaria de um prédio chegaram, certo dia, 65 cartas. Desse total, 1/5 era para ser entregue no 1º andar. Qual era o número de cartas para ser entregue nos outros andares? a) 20 b) 35 c) 48 d) 52 5) Uma pizzaria tem uma frota de 12 motos para fazer entregas a domicílio. Dois terços dessa frota são pilotados por garotas. Nessa frota, quantas motos são pilotadas por garotas? 6)Fui artilheiro do campeonato de futebol de salão da escola. Marquei 1/3 dos 18 gols que meu time fez. Quantos gols marquei? 7) O tanque de um carro tem capacidade para 52 litros de álcool. Quando o ponteiro indica que o combustível ocupa ¾ do tanque, quantos litros de álcool há nele? 8) Dado o desenho, pinte as frações correspondentes

A) 1/2

B) 2/4

C) 3/6

D) 6/12

E) 1/3

F) 2/6

G) 4/12

D) 1/12

Qual fração é maior ½ ou 1/3? 9) Na vida real, “fração” significa “parte”. E na Matemática? 10) (Concurso Público para Professor de 1ª à 4ª série – Prefeitura Cidade do Rio de Janeiro/2001?) Numa seção eleitoral havia 252 eleitores inscritos para votar. Votaram cinco nonos deles. Quantos eleitores não foram votar? a) 140 b) 150 c) 100 d) 112 11) (Concurso de Fiscal de Serviços Públicos – Prefeitura Municipal de São Carlos / 2002) João recebe R$ 990,00 por mês, e 3/5 dessa quantia equivalem a 2/3 do que recebe seu irmão. Portanto, o irmão de João recebe, por mês, a) R$ 920,00 b) R$ 909,00 c) R$ 891,00 d) R$ 594,00 e) R$ 396,00


12) (Concurso Professor Orientador de Aprendizagem Telecurso 2000 Ensino Médio– SESI-SP/2004) Uma balança registra 1115 g quando sobre seu prato é colocado uma jarra cheia de água. Retirando-se 1/3 da água da jarra, a balança passa a registrar 930 g. A massa da jarra vazia é, em gramas, igual a: a) 185 b) 370 c) 555 d) 560 e) 655 13) (Avaliação do SARESP 1998 – 5ª série - Diurno) Na portaria de um prédio chegaram, certo dia, 65 cartas. Desse total, 1/5 era para ser entregue no 1º andar. Qual era o número de cartas para ser entregue nos outros andares? a) 20 b) 35 c) 48 d) 52 14) (Avaliação do SARESP 1998 – 5ª série - Diurno) Uma dona de casa serve suco todos os dias no almoço. A jarra que ela utiliza é retangular e tem capacidade para 3 litros. Ontem havia ½ jarra de suco. Qual a quantidade de suco contida na jarra? a) 1,5 litros b) 2,0 litros c) 2,5 litros d) 3,0 litros 15) (Exame de Seleção Escola Agrotécnica Federal de Muzambinho – 1o semestre / 1998) No posto de venda desta Escola foram vendidos 40 kg de carne bovina, o que corresponde a 5/8 do estoque. Quantos quilogramas restam? a) 14 kg b) 24 kg c) 25 kg d) 30 kg e) 64 kg 16) (Avaliação do SARESP 1998 – 5ª série - Diurno) Eu tenho 1320 figurinhas. Meu primo tem a metade do que tenho. Minha irmã tem o triplo das figurinhas do meu primo. Quantas figurinhas minha irmã tem? a) 1900 b) 1930 c) 1940 d) 1980 17) (UNICAMP – 1989) Uma lanchonete vende hambúrgueres a Cz$ 600,00 cada um. Sabendo-se que 1/5 desse preço é o custo do pão e dos demais ingredientes e que 1/3 corresponde às outras despesas, calcule o lucro obtido na venda de cada hambúrguer.


FRAÇÕES EQUIVALENTES 1) Verifique com desenhos que são equivalentes 2/3, 4/6, 6/9 e 8/12. 2) Ache a classe de equivalência de: a) 5/9 b) 7/13 3) (Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diurno) Quais são as três frações equivalentes a ½? a) 2/4, 3/5, 4/6 b) 2/4, 5/10, 6/12 c) 3/6, 4/10, 6/12 d) 3/7, 5/8, 2/4 4) Simplifique as frações:

a) 16

24 b)

25

100 c)

108

216 d)

16

40

e) 25

55 f)

26

39 g)

144

192

5) Simplifique as frações:

a) 32

24 b)

105

35 c)

216

144

d) 170

51 e)

95

77

REVISANDO E COMPLEMENTANDO

6) a) Transforme 4

32 em fração. b) Transforme

3

5 em número misto.

7) a) Dê um exemplo de fração entre 2 e 3.

b) Por que 2

1é menor que

3

2?

8) Calcule: a) ½ de 200 b) 2/4 de 200 c) 4/8 de 200 d) 5/10 de 200


9) (Exame de Seleção Colégio Técnico Industrial de Limeira/Unicamp-2001) Para o próximo verão, a fábrica de sorvetes "Qui-Gostinho" pretende lançar a campanha "NÃO POLUA AS RUAS DA CIDADE", que permitirá a troca de 10 palitos de sorvete por um sorvete de palito. Pede-se: a) a que fração de um sorvete corresponderá um palito? b) com 100 palitos, quantos sorvetes é possível ganhar? 10) (Novo Matemática na Medida Certa – 5ª série – Centurión, Jakubo e Léllis) Malba Tahan escreveu muitos livros contando histórias de matemática. A que vamos contar é uma delas, talvez a mais conhecida. Tudo se passa num deserto. “Um árabe deixará 35 camelos de herança para seus três filhos: 1/2 para o mais velho, 1/3 para o do meio e 1/9 para o outro. Não conseguindo dividir 35 por 2, nem por 3, nem por 9, os irmãos começaram a brigar. Um viajante que passava pelo local resolveu o problema da seguinte maneira: primeiro, deu um dos camelos aos três irmãos. A herança passou a ser, então, 36 camelos. O mais velho recebeu 1/2 de 36, ou seja, 18 camelos; o do meio recebeu 1/3 de 36, ou seja, 12 camelos; e o outro recebeu 1/9 de 36, ou seja, 4 camelos. Então, dos 36 camelos, os irmãos levaram 34 camelos (18+12+4). O viajante pegou de volta o seu, escolheu o melhor dos camelos da herança e, feliz, prosseguiu sua viagem: além de resolver o problema dos 3 irmãos, ele ainda saiu ganhando um camelo” Para esclarecer esse mistério, responda: a) Se o árabe tivesse deixado 1/7 dos 35 camelos para cada filho, quantos dos 35 camelos ficariam sem dono? b) Se o árabe tivesse deixado 1/5 dos 35 camelos para cada filho, quantos dos 35 camelos ficariam sem dono? c) Para que uma parte da herança não fique sobrando, quando deve dar a soma das três frações destinadas aos filhos? Isso acontece no problema?

Que fração da herança estava “sem dono”? Ela correspondia a mais do que um camelo? 11) (Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diurno) Todos os 240 lugares do cinema estavam ocupados na sessão de domingo à tarde. ¾ das pessoas que assistiam ao filme eram meninas. Um pouco antes de acabar a sessão o gerente do cinema ordenou ao porteiro: - Por favor, pegue estes brindes e distribua na saída, um para cada menina; menino não ganha. O porteiro olhou os brindes e retrucou: - Mas aqui não há brindes suficientes para todas elas, pois o senhor pensou que metade das pessoas seriam meninas, e isto não aconteceu. Se o porteiro entregar um brinde para cada menina, quantas não ganharão? a) 120 b) 80 c) 60 d) 40 12) Considere as frações: 10/16, 15/32, 60/64 e 80/128. Quais delas são equivalentes a 5/8? 13) Dê três exemplos de frações equivalentes a: a) 2/7 b) 3/2


14) Considere as frações: 6/10, 11/33, 12/25, 15/21, 16/35. Quais delas são irredutíveis? 15) Responda: a) 5/7 de R$ 175,00 têm o mesmo valor que 25/35 de R$ 175,00? b) 5/7 e 25/35 são frações equivalentes? c) 2/3 de R$ 108,00 têm o mesmo valor que 10/12 de R$ 108,00? d) 2/3 e 10/12 são frações equivalentes? 16) Coloque na forma irredutível (Simplifique)

a) 10

14 b)

39

65

c) 70

105 d)

75

105

17) Para se ter 3

4=

15

𝑥, que número deve ser colocado no lugar de x?

18) Calcule os valores desconhecidos:

a) 2

3=

18

𝑥 b)

8

𝑥=

24

33

c) 𝑥

9=

5

3 d)

1

2=

𝑥

10

19)Responda: a) Um meio equivale a quantos oitavos?

b) Dois terços equivale a quantos nonos? 20) Responda: a) 2/8 e 10/18 são equivalentes? b) 2/3 e 14/21 são equivalentes? c) 2/3 e 26/39 são equivalentes? 21) Considere as frações: 5/10, 10/20, 5/20, 3/8 e 35/70. Quais delas são equivalentes a ½.


REVISÃO 1) Represente com figuras as seguintes frações: a) ¼ b) ¾ c) 5/3 d) 7/2 e) 3/3 2) Represente cada fração dada com uma figura e, depois, escreva essa fração na forma mista. a) 3/2 b) 8/3 c) 8/5 d) 7/4 e) 23/4 3) Escreva as frações impróprias na forma mista, sem fazer a figura (apenas imagine a figura): a) 37/10 b) 18/7 c) 27/4 d) 9/8 e) 7/2 f) 29/10 g) 22/19 h) 15/4 4) Escreva na forma de fração:

16

7e)1

2

1d)7

6

5c)1

10

4b)3

3

12)a

4

1i)3

3

1h)3

4

3g)2

8

7f)5

16

71)e

5) Coloque na forma irredutível:

a) 55

60 b)

11

165 c)

75

175

d) 252

630 e)

175

140 f)

184

253

6) Calcule o valor de x:

a) 2

3=

12

𝑥 b)

3

8=

𝑥

40

c) 𝑥

20=

2

5 d)

100

𝑥=

20

50

e) 4

𝑥=

1

4 f)

𝑥

37=

403

481

7) a) Quanto é ¼ de R$ 17 000,00?

b) Quanto é 25

100 de R$ 17 000,00?

c) ¼ e 25

100 são frações equivalentes?


8) (16ª Olimpíada Brasileira de Matemática – 1ª fase – Nível Júnior) É bem conhecida a brincadeira na qual a “simplificação ilegal” dos 6’s na fração abaixo produz uma resposta correta:

4

1

46

61

. Assinale dentre as opções abaixo aquela em que todas as frações do conjunto podem ser

simplificadas dessa forma: a) {49/84, 26/65, 35/56} b) {19/95, 49/98, 48/84} c) {49/98, 47/74, 19/95} d) {26/65, 19/95, 27/75} e) {49/98, 19/95, 26/65} 9) Represente como desenho:

a) 4

7

4

31 b)

12

11

3

2

4

1

10) Uma pizzaria tem uma frota de 12 motos para fazer entregas a domicílio. Dois terços dessa frota são pilotados por garotas. Nessa frota, quantas motos são pilotadas por 11) Fui artilheiro do campeonato de futebol de salão da escola. Marquei 1/3 dos 18 gols que meu time fez. Quantos gols marquei? 12) O tanque de um carro tem capacidade para 52 litros de álcool. Quando o ponteiro indica que o combustível ocupa ¾ do tanque, quantos litros de álcool há nele? 13) Quantos minutos tem ¾ de hora? 14) Estou viajando. Ontem percorri um quarto da estrada. Hoje percorri um terço do trecho que faltava. a) Faça um desenho representando a estrada. Nela indique os trechos que percorri ontem e

hoje. b) Que fração da estrada me falta percorrer? 15) Havia um só chocolate para dois irmãos. O menor comeu ¾ do chocolate. Que fração sobrou para o maior? 16) Divida a figura em 3 partes iguais. Depois, assinale 2/3 da figura. 17) Tenho um tio que reclama de tudo. Hoje ele reclamou que minha tia não trabalha e ainda gasta 2/3 do seu salário inutilmente. Eu perguntei quanto ele ganhava e ele respondeu: - A grande miséria de R$ 1.011,00. Agora, calcule quanto minha tia gasta.


18) Vinte carros iniciaram uma corrida, mas só ¼ deles a terminou. Quantos carros desistiram? 19) Eu sei que 1 quilograma tem 1 000 gramas. no açougue, alguém pediu ¾ de quilo de carne moída. Quantos gramas têm ¾ de quilograma? 20) O ano tem 12 meses. Diga quantos meses há em: a) 2/3 do ano b) ¾ do ano 21)O despertador tocou e eu nem me mexi. Meu avô gritou: - Levanta, Carla! Falta um quarto para as seis. Isso significa: falta um quarto de hora para as seis horas. Então eram 5 horas e quantos minutos? 22) Um jogo de futebol tem dois tempos, de 45 minutos cada. Diga quantos minutos de jogo já se passaram, quando o locutor de rádio diz: a) – Atingimos a terça parte do primeiro tempo! b) – Atingimos a terça parte do segundo tempo! c) – Atingimos a terça parte do jogo! d) – Falta apenas a terça parte do segundo tempo! 23) Rogério fez 1/3 do trabalho, se cansou e deixou o restante para outra pessoa fazer. Faça um desenho representando a parte do trabalho que Osvaldo fez. Depois, responda: que fração do trabalho ainda precisa ser feita? 24) A metade da metade de uma figura é que fração dessa figura? 25) Estou viajando. Ontem percorri um quarto da estrada. Hoje percorri dois terços do trecho que faltava. a) Faça um desenho representando a estrada. Nele, indique os trechos que percorri ontem e

hoje. b) Que fração da estrada me falta percorrer? 26) Considere as frações:

10

16

15

32

60

64

80

128, , e

Quais delas são equivalentes a 5

8?

27) Dê três exemplos de frações equivalentes a:

a) 2

7 b)

3

2


28) Considere as frações: 6

10

11

33

12

25

15

21, , , e

16

35

Quais delas são irredutíveis? 29) É correto afirmar que 100:12 dá a mesma resposta que 50:3? Justifique. 30) Tinha 144 balas e reparti igualmente entre 16 colegas. Para que outros 8 colegas recebessem a mesma quantidade de balas que os anteriores, quantas deverei providenciar? 31) Coloque na forma irredutível:

a) 252

630 c)

175

140

b) 184

253

32) Vou te falar de 3 frações. Não sei se elas estão irredutíveis, mas eu quero que elas fiquem. Puxa! Não sei por qual número eu divido os termos? Descubra para mim, se as frações são

irredutíveis, e, se não forem, reduzam à forma irredutível. As frações são 98

112

144

101

91

130, e .

33) O filme que está em minha máquina fotográfica é de 36 poses. Eu já bati 7/9 das fotografias. Quantos fotos já bati? 34) Minha classe tem 42 alunos. Hoje, com a greve dos motoristas de ônibus, 9/14 dos alunos faltaram. Quantos alunos faltaram? 35) Um caminhoneiro está em uma viagem de 1000 quilômetros, já percorreu 3/8 dessa distância. Quantos quilômetros ele já percorreu? 36) Estamos disputando uma partida num fliperama. Você tem 1450 pontos. Quanto aos meus pontos, eles correspondem a 9/10 dos seus. Quantos pontos eu tenho? 37) O dono de uma fábrica declarou: Tudo vai mal neste país. Em abril (deste ano), só vendemos 6/10 do que no mês de abril do ano passado! Em abril do ano passado, essa fábrica vendeu 25 000 000 de chicletes. Quantos ela vendeu em abril deste ano?


38) Numa eleição, o total de votos foi 650 130. O candidato M. A. Landro teve 2/13 dos votos e o candidato O. Nestor teve 3/5 dos votos. Quantos votos cada um deles recebeu? 39) O pessoal está jogando cartas. Carlos tem 5/6 dos pontos de Clarice, que tem 11/8 dos pontos de João, que tem 6/3 dos pontos de Ana. Responda: a) Carlos tem mais pontos que Clarice? b) Clarice tem mais pontos que João? c) João tem mais pontos que Ana? d) Afinal, quem tem mais pontos: Carlos, Clarice, João ou Ana.

40) Num mês de 30 dias, diga quantos dias correspondem a: a) 5/6 do mês b) 3/10 do mês c) 8/15 do mês d) 19/30 do mês 41) Quantas horas tem 5/8 de um dia? 42) Com o dia de hoje, lá se vão 2/5 deste ano de 1994. Em que mês estávamos quando o professor disse essa frase? 43) Um bolo foi dividido em 25 fatias: 15 finas (iguais) e 10 grossas (iguais). Cada fatia grossa valia por duas finas. a) Cada fatia fina é uma certa fração do bolo. Qual? b) Cada fatia grossa é uma certa fração do bolo. Qual? 44) Sabendo que 8 alunos correspondem a ¼ de classe, diga quantos alunos tem essa classe. 45) Kelly está com 12 anos e tem um terço da idade de sua mãe. Qual é a idade dela? 46) Já consegui encaixar 25 peças de um quebra-cabeça, mas isso é apenas 1/6 do total. Quantas peças tem esse quebra-cabeça? 47) Alexandre tem 1/5 do dinheiro que Strauss tem. Michael tem 1/3 do dinheiro que Strauss tem. Alexandre tem R$ 30,00. Quanto têm os outros?


48)Numa certa escola de samba, o pessoal da bateria representará 1/15 do total das pessoas que desfilarão. EXERCÍCIOS 1) Transforme as frações em números mistos:

a) 16

5 b)

11

2 c)

4

7 d)

5

8 e)

2

3

f) 3

11 g)

7

1000

2) Transforme os números mistos em fração:

a) 22

3 b) 3

3

4 c)

4

12 d)

4

33 e)

2

11

f) 100

12 g)

4

31

3) Simplifique as frações até elas ficarem na forma irredutível:

a) 120

150 b)

210

35 d)

32

24

e) 105

35 f)

216

144 g)

170

51 h)

95

77

4) Ache:

a) 4

1 de 200 b)

5

3 de 75 c)

7

3 de 51 d)

3

2 de 1 hora

5) Dê três exemplos de frações equivalentes a 3/10. 6) Responda: d) 2/8 e 10/18 são equivalentes? e) 2/3 e 14/21 são equivalentes? f) 2/3 e 26/39 são equivalentes?

Uma forma de verificar 𝟐

𝟖=

𝟏𝟎

𝟏𝟖

Multiplicando “em cruz” 2x18 e 8x10 não são iguais. Então não são equivalentes!


7) Considere as frações: 5/10, 10/20, 5/20, 3/8 e 35/70. Quais delas são equivalentes a ½. 8) Coloque na forma irredutível:

a) 55

60 b)

11

165 c)

75

175

d) 252

630 e)

175

140 f)

184

253

9) Calcule o valor de x:

a) 2

3 =

12

𝑥 b)

3

8=

𝑥

40

c) 𝑥

20=

2

5 d)

100

𝑥=

20

50

e) 4

𝑥=

1

4 f)

𝑥

37=

403

481

10) a) Quanto é ¼ de R$ 17 000,00? b) Quanto é 25/100 de R$ 17 000,00? c) ¼ e 25/100 são frações equivalentes? 11) Sabendo que 8 alunos correspondem a ¼ de classe, diga quantos alunos tem essa classe. 12) Kelly está com 12 anos e tem um terço da idade de sua mãe. Qual é a idade dela? 14) Já consegui encaixar 25 peças de um quebra-cabeça, mas isso é apenas 1/6 do total. Quantas peças tem esse quebra-cabeça? 15) Alexandre tem 1/5 do dinheiro que Strauss tem. Michael tem 1/3 do dinheiro que Strauss tem. Alexandre tem R$ 30,00. Quanto têm os outros? 16) Numa certa escola de samba, o pessoal da bateria representará 1/15 do total das pessoas que desfilarão. PRATICANDO 1) Na minha festa de aniversário, vieram 15 amigos. Eles correspondem a 3/5 dos convidados. Quantas pessoas convidei?


2) Numa fábrica de brinquedos, uma das máquinas estava com defeito. Por isso, 140 brinquedos se estragaram. Eles representavam 2/7 da produção do dia, Quantos brinquedos, no total, foram produzidos nesse dia? 3) Romeu tem R$ 1 890,00. Isso é 7/9 do que tem Julieta. Quanto tem Julieta? 4) Num video game, o jogador tem certo número de mísseis para destruir as naves inimigas. Restam 3/10 dos mísseis iniciais, e agora ele ainda tem 21 mísseis. Com quantos mísseis ele iniciou o jogo? 5) Uma empresa de transportes coletivos vai muito mal: 13/20 dos seus ônibus estão quebrados. Isso corresponde a 520 ônibus quebrados! Quantos ônibus tem essa empresa? 6) Para evitar problemas com a coluna, as crianças não devem carregar mais de 1/10 do seu próprio peso. Adultos podem carregar até 1/5 do próprio peso. Sabendo disso, um adulto e uma criança fizeram seus cálculos: ele pode carregar até 14 quilogramas e a criança até 4. Quantos quilogramas têm esse adulto e essa criança? 7) Um professor disse a seus alunos que o próximo assunto seria tão difícil que 9/8 da classe não iriam entender. Muitos alunos logo viram que o professor só estava brincando. Como eles perceberam isso? 8) Num ônibus, há um cartaz mostrando a sua lotação máxima. Agora é horário de saída do trabalho: no ônibus, estão 72 passageiros. Calcule a lotação máxima indicada no ônibus nos seguintes casos: a) os passageiros são 2/3 da lotação máxima escrita no cartaz b) os passageiros são 3/2 da lotação máxima escrita no cartaz 9) Um grupo de 6 alunos pediu ao professor que elaborasse mais uma prova para a classe. O professor disse: “- Vocês são apenas um quinto da classe. Só darei outra prova se metade da classe pedir. Vocês não sabem o trabalho que dá para corrigir...”. Quantos alunos precisarão se juntar ao grupo para que o professor dê a prova? 10) (Esse problema é bem antigo, é do ano de 1996 !) A estrada Muzambinho – Nova Resende, de 30,8 quilômetros acaba de ser inaugurada. Só que é a terceira vez que isso acontece. Na primeira vez, apenas 2/7 da estrada estavam asfaltados; na segunda, mais ¼ da estrada/ e, desta vez, mais 2/11. Quantos quilômetros da estrada ainda estão sem asfalto? 11) Na Classe de Aurélia, os meninos estão em maioria: eles são 2/3 dos alunos da classe. Aurélia disse que 2/7 desse meninos eram muito legais ( e contou à sua melhor amiga, Jaina: os muito legais eram o Renan, o Bayron, o Douglas e o Tatá). Agora que a história se espalhou e já chegou até você, responda: a) Quantos meninos tem a classe? b) Quantos alunos tem a classe?


12) Desenhe dois losangos. No primeiro deles, assinale ¼ da figura, e no segundo, assinale ¾. 13) É correto afirmar que 3½=3+½ ? Favor Justificar! 14) Num certo país, o Congresso Nacional tem 450 membros. Eles elaboram:

1º) leis complementares (que não mudam a atual Constituição); 2º) emendas à Constituição (que a modificam). Uma lei complementar é aprovada quando recebe mais da metade dos votos dos membros do Congresso. Aprovar uma emenda é mais difícil: ela precisa obter dois terços dos votos dos membros do Congresso. Calcule o número mínimo de votos necessários para se aprovar uma: a) lei complementar b) emenda à Constituição

15) Calcule 4/11 do que eu tenho, sabendo que 2/3 do que eu tenho são R$ 132,00. 16) Eu tenho R$ 132,00. Calcule quanto Dayanna tem, sabendo que 2/3 do que eu tenho são 4/11 do que ela tem. 17) Li 60 páginas de um livro. Calcule quantas páginas tem o livro, nos seguintes casos: a) as páginas que eu li correspondem a 4/15 do livro b) as páginas que eu li correspondem a 4/15 das que faltam c) as páginas que faltam correspondem a 4/15 das que eu li. APLICAÇÃO DAS FRAÇÕES EQUIVALENTES 1) Considere as frações: ¼, ½, 2/5, 7/10, 13/20, 12/25 e 43/50. Escreva essas frações na forma de taxa percentual. 2) Dividindo igualmente o conteúdo de 3 refrigerantes entre 4 pessoas, quanto cada uma receberá? 3) Dividindo igualmente 4 pizzas entre 7 pessoas, quanto cada uma receberá?

Veja bem! Se dividirmos 2:7 = 2

7. Você consegue explicar o motivo? Tente entender com 3:2.

4) Cada divisão a seguir tem como quociente um número racional absoluto. Escreva-o da maneira mais simples. a) 1:6 b) 3:8 c) 2:4 d) 6:2 e) 3:10 f) 10:3 5) Dois chocolates estão sendo divididos entre 5 crianças. a) Quantos chocolates estão sendo divididos? Isto é, qual é o dividendo? b) Entre quantas crianças eles serão divididos? Isto é, qual é o divisor? c) Qual é o resultado da divisão? Isto é, qual é o quociente?


6) Quem é maior? Para saber, reduza as frações ao mesmo denominador. a) 3/8 ou 5/6 b) 7/12 ou 11/20 c) 7/10 ou 13/20 d) 5/6 ou 6/5 7) Você pode pedir ¼ de quilograma de bolacha ou 1/5 de quilograma de bolacha. Se você quer a maior quantidade, qual delas você deve escolher? 8) Quem é maior? a) 1 ou 5/7 b) 12 ou 13/5 c) 3 ou 21/20 9) Escreva na ordem crescente as frações: a) ½, 1/8 e 5/16 b) 3, ¾ ou 2/3 10) Escreva na ordem decrescente as frações 3/2, 1/3 ou 5/8 11) Compare, com >, < ou =: a) 1/6 .... 1/8 b) 2 ... 7/3 c) 5/20 ... 6/24 d) 5/12 ... 7/16 12) Mentalmente, coloque em ordem crescente: a) 1/3, 1/6, 1/12, 1/24, 1/48. b) 1/5, 1/9, 1/21, 1/33, 1/4 13) Gal e Gil disputavam um torneio ortográfico. Primeiro, Gil ditou 50 palavras “difíceis”; Gal escreveu corretamente 30 delas. Depois, foi a vez de Gal ditar 50 palavras. Mas, quando Gil escreveu a quadragésima palavra, chegaram uns amigos e a brincadeira acabou. Gil tinha acertado 24 palavras e disse: - Ganhei. Tenho a maior fração de acertos. Foi mesmo? 14) Um jogo que dura 3 horas tem 4 tempos de mesma duração. a) Que fração de hora tem cada tempo? b) Quantos minutos tem cada tempo?


15) Escreva o número racional absoluto que é o quociente de:

a) 15 b) 510 c) 96

d) 96 e)182 16) O nome “número racional” não significa “número que pensa”. Qual é o significado da palavra “racional” no nome “número racional”? 17) Cada fração a seguir representa algum número natural? Qual? a) 18/3 b) 18/4 c) 7/1 d) 1/7 e) 9/3 18) Considere os números racionais: 5/7, 12/10, 3/3, 8/20, 13/18 e 18/9. Quais deles são menores que 1? 19) No lugar de ...., o que se deve colocar: >, = ou >? a) ¾ .... 7/10 b) 2/3....3/5 c) 13/20...3/5 d) 12/15....25/40 e) 16/20....20/25 f) 15/10....12/8 g) 2/11...3/13 h) 5 .... 27/2 20) Num jogo, Celso arremessou 44 bolas à cesta: acertou 14. Oshima arremessou 10: acertou 3. Qual deles teve a maior fração de acertos? 21) A prova tinha 40 questões do mesmo valor. Vânia acertou 3/10 das questões; Maísa acertou 2/5. Por isso, suas notas foram 3/10 e 2/5 da nota máxima, que era 10 pontos. a) Quanto vale cada questão? Responda com uma fração irredutível. b) Quem teve nota maior: Vânia ou Maísa? c) Quais são as notas que eles tiraram? 22) Seiscentas garrafas serão colocadas em engradados. a) Quando, em cada engradado, couberam 24 garrafas, quantos engradados serão necessários? b) Quando, em cada engradado, couberem 48 garrafas, o último engradado ficará incompleto. com

um número na forma mista, indique os engradados que serão necessários. 23) A distância entre duas cidades é de 325 quilômetros. Hoje, o trem que as liga viaja 65 quilômetros por hora. Planeja-se substituí-lo por um trem-bala, que viaja a 390 quilômetros por hora. a) Em quantas horas o trem atual faz a viagem? b) Em que fração de hora o trem-bala a fará? Quantos minutos levará essa viagem?


ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 1) Efetue. Simplifique o resultado.

a) 1

8+

2

3 19/24

b) 2

10+

1

2 7/10

c)2

12+

1

24 3

d)2 +1

3 7/3

e) 21

3+ 1

3

4 49/12

f) 51

3+ 2

3

4 97/12

g) 1

3+

1

4+

1

6 3/4

h) 2

5+

1

4+

3

2+

4

9 467/180

i) 12

3+ 2

1

7+ 4

1

6 335/42

j) 2

7−

1

10 13/70

k) 7

9−

1

3 4/9

l)12

5−

2

3 26/15

m) 11

7−

1

2 15/14

n) 2 −1

4 7/4

o) 32

3− 2

1

2 7/6

p)1

4+

2

3−

1

2 5/12

q) 5

11−

1

3 4/33

r)5 +1

3 16/3

s) 3

4+

2

5 23/20

t) 1

3+

1

9+

1

6 11/18

u)5

9+

7

5 88/45

v) 11

3+

5

6 13/6

w)1 +5

6+

3

4 31/12

x) 1 +7

9 16/9

y) 21

4+ 1

1

6 41/12

z) 11

2+ 3 +

2

3 31/6

2) Efetue. Simplifique o resultado.

a) 7

4−

5

4 1/2

b) 3 −2

3 7/3

c) 1 −4

9 5/9


d) 5 −4

5 21/5

e) 21

3−

5

6 3/2

f) 5

4−

7

6 1/12

g) 13

10−

3

4 11/20

h) 3

5−

6

10 0

i) 41

2− 1

3

4 11/4

j)5

6−

7

9 1/18

k) 2 −7

8+

1

2 13/8

l) 5

9+

2

3− 1 2/9

m)2

5+

1

4−

3

10 7/20

n) 1

2−

1

3−

1

6+

1

4 1/4

o)1

3+

1

4 7/12

p)5

6+

3

4+

1

2 25/12

q) 3 +1

3+

1

2 23/6

r) 2 +3

5+ 1

1

2 41/10

s) 2

3+

5

6 3/2

t) 2 +5

3 11/3

u) 21

2+ 1

2

3 25/6

v) 1

9+ 1 + 1

1

6 41/18

w) 3

5+

3

10 9/10

x) 31

3+

3

4 49/12

y) 3

8+

5

10+

7

10 63/40

z) 1

3+ 4 13/3

3) Efetue. Simplifique o resultado.

a) 1

3−

1

4 1/12

b) 2 −3

5 7/5

c) 5

4−

1

4 1

d) 3 − 11

4 7/4

e) 41

2− 2

1

3 13/6

f) 3

4−

1

2 1/4

g) 21

2− 1

2

3 5/6


h) 22

5− 1

3

10 11/10

i) 21

5−

3

5 8/5

j) 2

3+

1

4−

1

2 5/12

k) 4 − 11

2−

2

3 11/6

l) 1

2+

1

3+

1

4−

1

5 77/60

m) 21

5−

4

10+

1

2 23/10

n)1

9+

5

6−

7

12 13/36

o) 2 −1

2+

1

8 13/8

p) 2 +5

6−

7

12 9/4

q) 2 −5

6+

1

9 23/18

r) 21

2−

5

3+

5

4−

1

3 7/4


4) As duas adições são corretas:

Explique as vantagens do segundo método. (Adaptado do livro de Imenes & Lélis) 5) (Adaptado do livro de Imenes & Lélis) Sabendo que o mmc de 20 e 25 é 100, calcule:

6) Fábio comeu 1/3 do bolo e Matheus comeu ½ do bolo. Que fração do bolo restou? 7) (PUC-SP) A parte colorida representa que fração do círculo?

8) Represente através de uma fração as partes em destaque nas figuras e, em seguida, realize as operações indicadas:


MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 1) Efetue as multiplicações, simplificando o resultado quando possível

a) 2 ×3

5 6/5

b) 1

2×

5

7 5/14

c)7

3×

4

5 28/15

d) 2

5×

3

4×

1

3 1/10

e) 4 ×6

8 3

f) 4

3×

6

5 8/5

g) 2

3×

3

5 2/5

h) 2 ×1

5×

3

7 6/35

2) Calcule os produtos, efetuando o cancelamento quando possível

a) 3

4×

4

7 3/7

b) 6

15×

20

9 8/9

c)1

2×

3

5×

2

3 1/5

d)1

2×

2

5×

3

4 3/20

e) 5

8×

8

3 5/3

f) 3

7×

5

2×

1

4 15/56

g) 2

7×

2

3 4/21

h) 5

9×

7

10 7/18

i)1

3×

1

8 1/24

j) 2

7×

5

9 10/63

k)3

4 ×

2

3 1/2

l) 3

4×

2

3 1/2

m) 5

4×

4

5 1

n) 5

4× 0 ×

2

7 0

o) 2 ×3

5×

1

2×

2

8 3/20

p) 11

2×

2

5×

5

3 1

q) 21

3×

8

21×

13

4 26/9

3) Calcule

a) 3

4+

5

6 19/12

b) 3

4×

5

6 5/8

c) 1

5+

3

10 1/2


d) 1

5×

3

10 3/50

e) 5

6×

6

10 1/2

f) 5

6+

6

10 43/30

4) Calcule o valor das expressões

a) 3

4×

1

3+

1

2 3/4

b) 5

8−

1

3×

2

5 59/120

c) 2

5× 7 +

5

4×

2

5 33/10

d) 9

4×

1

2−

2

7×

7

3 11/24

e) 3 −5

4×

1

3 31/12

f) 2

5×

5

3+

1

6 5/6

g) 4 −1

2×

5

2 11

5) Se a=5

3+

1

2 e b=

3

4−

1

2

Calcule

a) a×b b) a+b c) a+1

3 Resp: a) 13/24; b) 29/12; c) 5/2

6) Calcule

a) 13

10×

11

3 143/30

b) 5 ×1

20 1/4

c) 14

5×

10

21 4/3

d) 2 ×3

8 3/4

e) 12

5× 2

1

2 7/2

f) 2 ×1

5×

1

4×

10

3 1/3

g) 3

4×

4

7×

7

5 3/5

h)3

8×

1

12× 5 ×

4

5 1/8

7) Resolva as expressões numéricas

a) 1

2−

1

2×

1

3 1/3

b) 5

9×

3

5+

1

4 7/12

c) 1 −2

5×

5

8 3/4

d) 3 + 2 ×1

6 10/3

e) 3

8×

4

3−

1

2 0

f) 1

2×

1

4+

5

3×

1

5 11/24

g) 1

2+

3

4×

2

9 2/3


h) 3 − 4 ×5

8 1/2

i) 2

3−

1

2× 0 2/3

8) Ache: a) 3/8 de 4/5 b) 5/4 de 12 c) 3/2 de 2/3 d) a quarta parte de 50

3/10 15 1 25/2

9) A Câmara dos Deputados possui 513 deputados federais. Para uma mudança na Constituição é preciso a aprovação de pelo menos 3/5 dos deputados. Calcule o número mínimo de deputados para aprovação de uma emenda constitucional. 10) (Saresp-SP) Um inspetor recebeu 120 pastas com contas para analisar. Na primeira semana, analisou 2/3 do número total. Na segunda ¾ do restante. Quantas pastas ainda faltam para analisar?

Resposta: 1/12

11) Calcule: a) o dobro de 2/5 b) o triplo de 5/7 c) o quádruplo de 5/4 d) o quíntuplo de 1/5 Resposta:

4/5 15/7 5 1

12) Para efetuar 1

3×

2

5, pensamos em “um terço de vez os 2/5” ou “um terço de dois quintos”.

Observe as figuras: Agora responda:

a) 1/3 de 2/5 corresponde a que fração da figura total? b) Quanto é 1/3 x 2/5? c) Quanto é 2/3 x 3/5? (Adaptado do livro de Imenes & Lélis)


13) De acordo com a receita do Bolo de Formigas, quantos gramas de farinha cabem numa xícara comum? Dê uma resposta aproximada, com uma casa decimal. Ou seja, a escrita do número termina nos décimos mais próximos do valor real.

(Adaptado do livro de Imenes & Lélis) 14) Observe a figura:

a) A que fração da figura corresponde ¼ de 2/3? b) Quanto é ¼ x 2/3 ?

d) Use a imaginação com base no exercício anterior e tente achar 1/10 de 2/3 só pensando nos

desenhos.

e) Se n representar um número natural, quanto valerá 1/n de 2/3. Tente pensar no desenho para responder.

(Adaptado do livro de Imenes & Lélis) 15) Veja uma receita de bolo:

Se você fizer essa receita, o bolo será suficiente para 6 pessoas. Escreva os ingredientes da mesma receita para 12 pessoas. (Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf) 16) Ontem, dormi ¼ das 24 horas do dia e estudei 1/6 do tempo que estive acordado.

a) Que fração das 24 horas do dia representa o tempo que estive acordado?

b) Que fração das 24 horas do dia representa o tempo que eu estudei?

c) Quanto tempo eu estudei? (Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf)

http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf



17) Uma viagem aérea de São Paulo até Aracajú tem aproximadamente, 2.200 km. Sabendo que de São Paulo até o Rio de Janeiro tem-se 1/5 dessa distância, quantos quilômetros há entre essas duas cidades? (Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf) 18) Observe o gráfico:

a) Foi feito um levantamento e verificou-se que nos próximos três anos haverá um crescimento

de 1/3 da população. Qual será a nova população de cada cidade após 3 anos? b) Após calcular a nova população de cada cidade, coloque esses valores em ordem crescente.

(Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf) 19) Para Danilo visitar sua avó, ele gasta durante a viagem ½ do tanque de combustível. Observe o marcador e responda

a )Quanto restará de combustível no tanque? b) Se o tanque de combustível cheio tem 56 litros, quantos litros ele gastou na viagem? (Adaptado de:

http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf) 20) Para ladrilhar a sala de sua casa, Carol mediu o comprimento e a largura deste cômodo, obtendo uma área total de 60 m2, como mostra a figura.

a) Após colocar 2/3 do piso, quantos m2 ainda faltam? b) Se para cada 5 m2 de piso, utiliza-se 1 saco de argamassa, quantos sacos ela já utilizou para colocar os 2/3 do piso? (Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf)






DIVISÃO DE FRAÇÕES 1) Calcule:

a) 2

5÷

3

4 8/15

b) 5

3÷

1

2 10/3

c) 3

8÷

6

4 1/2

d) 1

9÷ 1

1

3 1/12

e) 3

8÷

2

7 21/16

f) 6 ÷1

4 24

g) 9

5÷

3

10 6

h) 3

10÷

6

4 1/5

i) 1

6÷

1

3 1/2

j)2

9÷

5

6 4/15

k) 21

2÷

5

3 3/2

l) 1

8÷ 2 1/16

m) 3:4 3/4

n) 5:3 5/3

o) 1:5 1/5 2) Efetue as divisões:

a) 3

54

7

21/20

b) 1

45

6

3/10

3) Calcule o valor das seguintes expressões:

a) 3

4÷

2

5+

7

2 43/8 b)

3

4+

2

5÷

7

2 121/140

c) 5

9÷

5

12−

5

6 ½ d)

3

8÷

5

8×

5

7 3/7


e) 2

9×

3

2÷

6

5 5/18 f)

5

8÷ 2 ×

4

9 5/36

g) 3 ÷9

5+

5

4 35/12 h)

1

7.

7

3−

1

10÷

1

2 2/15

i) 15

14÷

10

21−

11

9÷

22

15 17/12 j)

1

5÷

1

2+

1

4 13/20

k) 5

9÷

1

3+

1

6 11/6 l) 2 −

3

4÷

3

2 3/2

m) 3

5−

5

7÷

10

7 1/10 n)

3

8÷

3

2. 4 1

o) 2

3 ÷

5

6+

1

2÷ 2 21/20 p)

2

3+

1

4

1+3

8

2/3


q) 3−

3

5

1+5

7

7/5 r) 2

3.3

4

2−3

2

1

4) Jair comprou 50 quilos de salgadinho e dividiu essa quantidade em pacotes iguais de ½ quilo cada. Quantos pacotes foram feitos? (Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf)

Resposta: 100 (verifique fazendo os cálculos!)

5) Complete a tabela com os resultados:

(Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf)

Respostas: 3/5, 0, 9/16, 75/7

6) (Cesgranrio) Calcule o valor da expressão 1 + (1

5+

1

3) : (

3

5−

1

15)

Resposta: 2

7) Gabriela dividiu 2/3 de sua mesada com seus 4 irmãos. Todos eles receberam partes iguais.

Que fração representa a quantidade recebida por cada irmão? 1/6

(Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf)

8) Calcule

a) 6

7.1

3+

1

71

7

3

b) 6/5

1/36+ 2 226/5

9) Quanto é? (Faça as contas!)

a) metade de 2/3 1/3 b) dobro de 2/3 4/3

c) terça parte de 1/5 1/15 d) o triplo de 1/5 3/5





10) (Saresp) Um aluno fez uma pesquisa em 4 dias. No primeiro dia fez 2/10 do trabalho, no segundo ½, no terceiro 1/10 e no quarto o restante. Que fração do trabalho ele fez no quarto dia?

1/5

11) Do salário de Marta, 1/3; é usado para pagar as contas, 1/8 para as compras e o restante com passeios. Sabendo que Marta ganha R$ 1200,00 por mês, então quanto ela gasta com:

a) Contas b) Compras c) Passeios (Qual é a fração?)

12) Relacione a primeira com a segunda coluna:

(Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf) 13) Observe as frações:

a) Quantas vezes 1/3 cabe na unidade? b) Quantas vezes ¼ cabe na unidade? c) Quantas vezes 1/5 cabe na unidade? d) Baseando nisso, diga quanto é 1:1/3, 1:1/4, 1:1/5. e) Agora, use a imaginação e responda: quanto é 3:1/5?

f) Se n representa um número natural, quanto é n:1/5?

(Adaptado do livro de Imenes & Lélis) 14) Observe a figura e responda:

a) Quantas vezes 1/6 cabe em ½? b) Quanto é ½:1/6?

(Adaptado do livro de Imenes & Lélis)



NOÇÃO DE PORCENTAGEM 1) Escreva na forma de fração: a) 25% b) 12% c)100% d) 50% e) 150% f) 200% 2) Efetue a) 15% de 100 b) 25% de 1000 c) 100% de 400 d) 50% de 1350 3) Uma mercadoria custa R$ 150,00 e tem um desconto de 20%. Qual será o preço dessa

mercadoria? 120

4)Dos alunos de um curso, 40% são mulheres. Sabendo que são 120 alunos, quantas são as

mulheres? 48

5) Pinte na malha o valor correspondente

(Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf) 6) Foi pesquisada a preferência de esportes numa escola:

Se essa escola tem 120 alunos, quantos preferem Futebol? (Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf)




7) Preencha a tabela:

(Adaptado de: http://emefrevdeiro.files.wordpress.com/2012/08/02_matematica_6ano.pdf) 8) Uma loja de roupas oferece 15% de desconto no total a pagar se o cliente comprar duas calças jeans. Se o valor unitário das calças é R$ 45,00, quanto gastará uma pessoa que aproveitar essa

oferta? R$ 76,50 (Adaptado do livro de Imenes & Lélis)

9) Analise essa forma de calcular 31% de 520 reais:

Você conhece outras formas? (Adaptado do livro de Imenes & Lélis) 10)Quatro amigos gastaram R$ 26,90 em sanduíches e R$ 14,70 em sucos. A essas despesas foram acrescentados 10% de gorjeta para o garçom. Eles dividiram em partes iguais. Quanto

cada um pagou? R$ 11,44 (Adaptado do livro de Imenes & Lélis)

11) Todo mês, José paga um aluguel de R$ 700,00 no 5º dia útil do mês. Neste mês, ele se esqueceu de pagar na data certa e foi obrigado a pagar também uma multa de R$ 35,00. Esse

valor corresponde a quantos por cento do valor do aluguel? 5% (Adaptado do livro de Imenes &

Lélis) 12) Devido a fortes chuvas, o preço das verduras subiu muito na última semana. O pé de alface,

por exemplo, aumento de R$ 2,50 para R$ 3,20. De quanto por cento foi o aumento? 28%

(Adaptado do livro de Imenes & Lélis) 13) (Prova Brasil) Num jogo de futebol, compareceram 20.538 torcedores nas arquibancadas, 12.100 nas cadeiras numeradas e 32.070 nas gerais. Naquele jogo, apenas 20% dos torcedores que compareceram ao estádio torciam pelo time que venceu a partida. Qual é o número

aproximado de torcedores que viram seu time vencer? 12.942



14) (CAED) Para saber qual o esporte mais praticado pelos estudantes de uma escola, foi feita uma pesquisa cujos resultados encontram-se representados no gráfico abaixo.

A) Nessa escola, a modalidade esportiva mais pratica pelos estudantes é ____________ B) Mais ou menos da metade dos estudantes praticam esse esporte? ____________ 15) (Prova Brasil) Uma professora ganhou ingressos para levar 50% de seus alunos ao circo da cidade. Considerando que essa professora leciona para 36 alunos, quantos alunos ela poderá

levar? 18

16) (Prova Brasil) Os alunos da 8ª série fizeram uma estimativa para 200 pessoas com base no estudo abaixo

Que gráfico de barras melhor representa o estudo?


17) (SIMAVE) Uma rede de supermercados resolveu fazer uma pesquisa para saber qual horário as pessoas mais gostavam de ir ao supermercado. Foram entrevistadas 2.000 pessoas e o resultado está no gráfico abaixo.

Durante qual horário a maioria das pessoas entrevistadas preferem ir ao supermercado? GABARITO 10)Quatro amigos gastaram R$ 26,90 em sanduíches e R$ 14,70 em sucos. A essas despesas foram acrescentados 10% de gorjeta para o garçom. Eles dividiram em partes iguais. Quanto cada um

pagou? R$ 11,44

(Adaptado do livro de Imenes & Lélis) Gastos = R$ 26,90 + R$ 14,70 = R$ 41,60 Gorjeta 10% de 41,60 = R$ 4,16 Total: 41,60 + 4,16 = 45,76

45,76 ÷ 4= 11,44 Resposta: Cada amigo, pagou R$ 11,44 11) Todo mês, José paga um aluguel de R$ 700,00 no 5º dia útil do mês. Neste mês, ele se esqueceu de pagar na data certa e foi obrigado a pagar também uma multa de R$ 35,00. Esse valor

corresponde a quantos por cento do valor do aluguel? 5%

(Adaptado do livro de Imenes & Lélis)

35

700=

5

100= 5%

12) Devido a fortes chuvas, o preço das verduras subiu muito na última semana. O pé de alface, por exemplo, aumento de R$ 2,50

para R$ 3,20. De quanto por cento foi o aumento? 28%

(Adaptado do livro de Imenes & Lélis) 2,50-3,20=0,70 Aumentou de 2,50 mais 0,70, ou seja, eu tenho a fração 0,70/2,50

0,70

2,50=

70

250=

7

25

(Eu só simplifiquei!)

x4 7

25 =

𝑥

100

x4

X=28 Resposta 28% 13) (Prova Brasil) Num jogo de futebol, compareceram 20.538 torcedores nas arquibancadas, 12.100 nas cadeiras numeradas e 32.070 nas gerais. Naquele jogo, apenas 20% dos torcedores que compareceram ao estádio torciam pelo time que venceu a partida. Qual é o número aproximado de torcedores que viram seu time

vencer? 12.942

20.538+12.100+32.070=64.708 é o número de torcedores naquele dia. 20% disso >>>> ????

10% de 64.708 é 6.470,8 (dividi por 10) 20% de 64.708 é 2 x 6.470,8 = 12.941,6

Resposta: 12.942 torcedores OUTRO CÁLCULO

20

100× 64.708 =

1294160

100= 12941,6

Resposta: 12.942 torcedores 14) (CAED) Para saber qual o esporte mais praticado pelos estudantes de uma escola, foi feita uma pesquisa cujos resultados encontram-se representados no gráfico abaixo.

GRÁFICO DE SETORES OU DE PIZZA

a) Nessa escola, a modalidade esportiva mais pratica pelos estudantes é ____Futebol_________

b) Mais ou menos da metade dos estudantes praticam esse esporte? _____menos da metade_______

15) (Prova Brasil) Uma professora ganhou ingressos para levar 50% de seus alunos ao circo da cidade. Considerando que essa professora leciona para 36 alunos, quantos alunos ela poderá levar?

18

50% = metade 36 alunos – metade é 18 16) (Prova Brasil) Os alunos da 8ª série fizeram uma estimativa para 200 pessoas com base no estudo abaixo

Que gráfico de barras melhor representa o estudo? Estilo de vida 53% - 106 Assistência médica 10% - 20 Genética 17% - 34 Meio Ambiente 20% - 40 LETRA B 17) (SIMAVE) Uma rede de supermercados resolveu fazer uma pesquisa para saber qual horário as pessoas mais gostavam de ir ao supermercado. Foram entrevistadas 2.000 pessoas e o resultado está no gráfico abaixo. Durante qual horário a maioria das pessoas entrevistadas preferem ir ao supermercado? Das 8h às 12h


POTENCIAÇÃO E FRAÇÕES 1) Calcule: a) 02 b) 12 c) 22 d) 32 e) 42 f) 52 g) 62 h) 72 i) 82 j) 92 l) 102 m) 112 n) 122 o) 132 p) 142 q) 152

2) Calcule: a) 03 b) 13 c) 23 d) 33 e) 43 f) 53 g) 63 h) 73 3) Calcule: a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 f) 27 g) 28 h) 29

4) Calcule: a) 53 b) 45 c) 63 d) 28 e) 95 f) 211 g) 142 h) 132

5) Calcule: a) 722 b) 1442 c) 592

d) 193 e) 253 f) 115



8) Calcule: a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 106 f) 107 g) 108

9) Verdadeiro ou falso? a) 62=26 b) 153215=215153



12) Calcule: a) 4004 b) 20000002


13) Calcule: a) 50 b) 120 c) 170 d) 100 e) 30 f) 150

14) Calcule: a) 41 b) 61 c) 101 d) 171 e) 161 f) 121

15) Calcule: a) 04 b) 125 c)50 d) 121

16) Calcule:

a)

2

3

2

b)

2

4

5

c)

2

11

1

d)

3

2

3

17)Calcule:

a)

2

5

4

b)

2

3

7

c)

2

5

1

d)

4

3

2

e)

6

2

1

18) Se

A=

2

3

2

4

1

, B=

0

2

3

1

32

1

, C=3

22

6

35 , calcule A+B+C 4535/432

19) Atividade 1 Veja a tabela das potências de 2: 20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 211=2048 212=4096 213=8192 214=16384 215=32768 216=65536 217=131072 218=262144 219=524288 220=1048576 221=2097152 222=4194304 223=8388608

Siga o exemplo (Use calculadora): 212x210=4096x1024=8388608 a) 29x211 b) 221:211 c) (24)2 d) 25.23.2 e) 222:2 20) Atividade 2 Siga o exemplo: 25.27=(2.2.2.2.2).(2.2.2.2.2.2.2)=2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2=212 a) 52.54 b) 33.36 c) 74.77 d) 5.52.53


21) Atividade 3 Siga o exemplo:

25:23=2.2.2

2.2.2.2.2

2

23

5

=2.2=22

a) 34:32 b) 56:53 c) 88:85 d) 105:103

22) Atividade 4 Siga o exemplo: (52)3=(5.5).(5.5).(5.5)=5.5.5.5.5.5=56 a) (22)4 b) (33)4 c) (102)5 d) (54)5

Você deve ter chegado às propriedades da potenciação:

P1. an.am=an+m P2. an:am=an-m, com a0 P3. (am)n=amn

P4. (a.b)n=an.bn P5. (a:b)n=an:bn, com b0

23) Considere a tabela: 30=1 31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729 37=2187 38=6561 39=19683 310=59049 311=177147

Calcule sem fazer contas, apenas usando a tabela e as propriedades: a) 729x9 b) 65661x27 c) 81x243 d) 59049:6561 e) 177147:2187 f) 273 g) 812 h) 2432 24) Faça uma tabela semelhante à superior com o número 5 e calcule sem fazer contas, apenas usando a tabela e as propriedades:

a) 3125x625 b) 15625:125 c) 255 25) Reduza à uma única potência:

a) 35.37 b) a6.a8 c) x4.x.x3 d) 63:62 e) 58:52 f) 2

6

a

a

(a0) g) (35)2 h) (a5)2 i) [(32)5]2 j) (62)0 l) 53.54:52

26) Reduza à uma única potência (a0):

a) ).(:)..( 6565 aaaaa b) 2425 ).().( aaa c) 32254 ).(. xxx

d) xx

xxx

.

..6

24

e) 232

3254

.

)..)(.(

xx

xxxxx f)

53

24524

)( aa

aaa


27) Calcule usando a tabela de potências de 2: a) 512x256 b) 131072:8192 c) 643 d) 8192x64 e) 2562 f) 1048576:65536 g) 32768x16 28) É verdade que 75.7-5=1. Verifique aplicando a propriedade das potências e verifique mais uma vez que números elevados à zero são 1. 29) Quando dá an:an? Discuta o resultado. 30)Resolva as expressões

a) (3

2)

3

− (3

2)

2

b) (3

7)

2

: (2

7)

2

c) 5

8− (

2

3)

2

d) 2 − (2

3)

2

9/8 9/4 13/72 14/9

e) 2 − (2

3)

3

. (3

2)

2

f) (2

3)

3

.15

4 g) (

5

4)

2

: (1

2)

3

−11

4

4/3 10/9 189/4

RADICIAÇÃO 1) Calcule:

a) 16 + b) 144 : 36 c) 1444936 d) 6425144 xx

2) Calcule:

a) 16 b) 81

3) Se 52361x52361=2741674321, calcule 2741674321.

36


4) A e B são números naturais. Se AxA=B, quanto vale B ? 5) Calcule

a) 324 b) 225 c) 289 d) 625 e) 441

6) Se AxA=B e BxB=C, ache:

a) C b) B c) C

7) Se A= 36 e B= 144 , ache o valor de A+B.

8) Se A= 549 e B= 3144 , ache A+B

9)Se A= 25 , B=7+2, C= 9.2 , ache:

a) A+B+C b) 2.A+C

10) Se A= 49 , B=5+3, C= 144 , calcule:

a) A+B b) B+C c) 2.A d) B. C e) C.A+2.B

11) Se A= 36.25 B= 169196 e C=A+B

Ache: a) A+B+C b) 2.A.C

12) Sei que A= 236.3 , B= A 925 , C= 5A , ache a metade de A+B+C.

13) Calcule:

a) 900 b) 4900 c) 8100

14)Calcule: a) 90000 b) 160000 c) 490000

15) Calcule

a) 49

36 b)

9

4

16) Ache:

3

16

25

36


17) Calcule: 2

8

1

8

3

2

13

4

1

18) Ache 108

75

19) Se = 361 e = 642 , ache o valor de

22 . 8/5

20) Calcule:

49

144.

36

25

21) Resolva

a) (3

5+ 1)

2

.3

64 3/25 b)[(

3

4+ 2) .

3

11+

1

2] :

4

5 25/16

c)[(3 −1

2) . 3] : (

1

3+

1

5) 225/16 d)(

1

4+

3

5)

2

: (2

5+

1

6) 51/40

e)(2

5.

5

3−

1

3)

2

: (1 +1

5) 5/54 f)

1

2. [(1 +

1

2) .

2

3.

1

2] 1/4


g)[(1

2)

2

+ (1

3)

2

] . 62 13 h)(√1 +5

4) . (√

81

16−

3

2) − √

1

4. √

1

9 23/24

i) √36

9. (

2

3+

1

2+

3

2)

2

: [(5

6)

0

+1

4]

2

2048/225

GABARITO

f)1

2. [(1 +

1

2) .

2

3.

1

2]

1

2. [(

2

2+

1

2) .

2

3.1

2]

1

2. [(

3

2) .

2

3.1

2]

1

4

g)[(1

2)

2

+ (1

3)

2

] . 62

[(1

2)

2

+ (1

3)

2

] . 62

[1

4+

1

9] . 36

[9

36+

4

36] . 36

[13

36] . 36

13

h)(√1 +5

4) . (√

81

16−

3

2) − √

1

4. √

1

9

(√4

4+

5

4) . (

9

4−

3

2) −

1

2.1

3

(√9

4) . (

9

4−

6

4) −

1

2.1

3

3

2. (

3

4) −

1

2.1

3

9

8−

1

6

56

48−

8

48

46

48=

23

24

i) √36

9. (

2

3+

1

2+

3

2)

2

: [(5

6)

0

+1

4]

2

√4. (4

6+

3

6+

9

6)

2

: [1 +1

4]

2

2. (16

6)

2

: [4

4+

1

4]

2

2. (8

3)

2

: [5

4]

2

2.64

9:25

16

128

9:25

16=

2048

225


MAIS ALGUNS EXERCÍCIOS PARA FIXAR E APROFUNDAR CONCEITOS DE OPERAÇÕES COM FRAÇÕES REVISÃO DE FRAÇÕES 1) (Material do Positivo – 6º ano) Represente a quantidade que ficou no segundo copo por uma operação

2) (Material do Positivo – 6º ano) Giovana usou algumas amoras para fazer uma torta. Denise comeu ¼ da torta e seu irmão 5/12. Que fração representa a diferença entre o que cada um comeu? 3) (Material do Positivo – 6º ano) Represente os desenhos como somas

a)

b) c)


4) (Material do Positivo – 6º ano) Lívia usou 3/5 de um litro de leite para fazer um bolo e, na cobertura, vai usar ½ dessa quantidade de leite. Que fração do total de leite Lívia vai usar na cobertura do bolo? 5) (Material do Positivo – 6º ano) O professor Daniel recebeu o salário hoje. Ele vai reservar 1/3 do salário para pagar despesas com a casa e 2/5 desse valor será para pagar o aluguel. Que fração, do total, representa a quantia reservada para pagar o aluguel? 6) (Material do Positivo – 6º ano) Fábio comeu 2/5 de uma barra de chocolate num dia e o dobro dessa quantia no dia seguinte. Que fração representa a quantidade de chocolate que ela comeu no dia seguinte? 7) (Material do Positivo – 6º ano) Tifanny gastou 1/7 do seu salário para pagar aluguel e o triplo dessa quantia em uma viagem. Que fração do salário de Tifanny representa o gasto que ela teve com essa viagem? 8) (Material do Positivo – 6º ano) Ontem, Lincoln comeu 3/12 do total de figurinhas do álbum. Hoje colou o quádruplo dessa quantidade. Que fração representa a quantidade de figurinhas que Linconl colou hoje? Ele completou o álbum? 9) (Material do Positivo – 6º ano) Veja as figuras e responda:

Quantas vezes ½ cabe em um inteiro? Quantas vezes 1/3 cabe em um inteiro? Quantas vezes ¼ cabe em um inteiro? Quantas vezes 1/5 cabe em um inteiro? Quantas vezes 1/6 cabe em um inteiro?

10) (Material do Positivo – 6º ano) Isabelly dividiu igualmente 1/3 kg de balas de coco entre 3 amigas. Que fração de quilograma cada amiga vai ganhar?

11) (Material do Positivo – 6º ano) Eduardo vai dividir igualmente metade de uma melancia entre 4 crianças. Que fração da melancia cada criança vai receber?

12) (Material do Positivo – 6º ano) Quantas vezes 1/8 de barra de chocolate cabe em ½ barra? 13) (Material do Positivo – 6º ano) Quantas vezes 1/12 de uma torta cabe em 1/3 de torta?


14) (Material do Positivo – 6º ano) Ruan pintou 2/5 de uma parede e seu irmão a metade dessa parte. Que fração representa a parte pintada pelo irmão de Ruan? 15) (Material do Positivo – 6º ano) Camila fez 1/6 das tarefas na sexta-feira e ½ no sábado. Camila terminou de fazer as tarefas? Justifique por meio de uma operação matemática. 16) (Material do Positivo – 6º ano) Rafaela vai dividir 1/5 do prêmio que ganhou na loteria com seus 3 filhos. Que fração desse prêmio cada filho de Rafaela vai receber? 17) (OBMEP) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento da partida e no momento da chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem?

18) (Material do Positivo – 6º ano) Uma confeitaria faz 40 bolos por dia. Dessa quantia, ¼ são de chocolate e 3/5 são de abacaxi. Hoje, um dos confeiteiros não compareceu ao trabalho e a confeitaria conseguiu fazer apenas ½ dos bolos de chocolate e 1/3 dos bolos de abacaxi, que geralmente costuma produzir.

a) Que fração representará a quantidade de bolos de chocolate feitos hoje? b) E de bolos de abacaxi? c) Quantos bolos de chocolate foram feitos hoje? E de abacaxi? Escreva como porcentagem

e como fração irredutível: REVISÃO DE PORCENTAGEM I 19) (Material do Positivo – 6º ano) Represente os desenhos como porcentagem:

20) (Material do Positivo – 6º ano) A Professora Tatiana fez uma pesquisa para saber quantos alunos da sala têm celular. Veja como a professora representou o resultado da pesquisa:


21) (Material do Positivo – 6º ano) O que significa dizer que temos 50% de chance de vencer um jogo? 22) (Material do Positivo – 6º ano) Ana Júlia tem R$ 40,00 e vai usar 50% dessa quantia para comprar um livro. Quantos reais ela vai receber de troco? 23) (Material do Positivo – 6º ano) Numa cidade de 20.000 habitantes, 14% não sabem ler. Qual é a porcentagem de leitores? 24) (Material do Positivo – 6º ano) Um losango foi dividido em quatro partes iguais. A parte pintada corresponde a que porcentagem do losango todo

25) (Material do Positivo – 6º ano) Jonathan gastou R$ 120,00 em uma livraria e seu irmão gastou 30% dessa quantia. Quantos reais o irmão dele gastou?: 26) (Material do Positivo – 6º ano) O artista Toby Ng criou um projeto envolvendo design e dados superinteressantes. “A aldeia de 100 pessoas” consiste em uma série de cartazes que informam, entre outras coisas, quantos seriam adultos, quantos seriam crianças, quantos têm computador, quantos não tem. Veja como seria esse mundo

a)Veja o gráfico de setores da idade:

Construa agora os gráficos de setores de quem tem computador e água potável.


b) Veja o gráfico de barras:

Construa o gráfico de barras das outras duas informações c) Veja o gráfico de colunas:

Construa o gráfico de colunas. d) Faça uma ilustração como Toby Ng para o gráfico:

27) (Material do Positivo – 6º ano) Calcule mentalmente:

a) 10% de 200 b) 10% de 500 c) 10% de 80 d) 5% de 200 e) 50% de 500 f) 20% de 80 g) 15% de 200 h) 25% de 500 i) 5% de 80 j) 30% de 200 k) 75% de 500 l) 40% de R$ 50,00


m) 70% de 10 bolinhas de gude n) 50% de 6 dados o) 35% e 20 lápis de cor.

28) (Material do Positivo – 6º ano) Uma pizza foi dividida em 8 pedaços iguais.

a) Se você comesse 4 pedaços dessa pizza, que porcentagem da pizza você teria comido? b) E se você comesse 2 pedaços? c) E se você tivesse comido 6 pedaços da pizza?

REVISÃO DE PORCENTAGEM II 29) (Material do Positivo – 6º ano) Veja o resultado da pesquisa realizada em uma escola com 500 alunos sobre a forma de deslocamento usada por eles para chegar à escola.

a) Qual a soma de todas as porcentagens representadas no gráfico? b) Quantos alunos vão para a escola de bicicleta? c) Quantos vão à escola de carro? d) Há mais alunos que vão à escola de carro ou de bicicleta? Quantos a mais?

30) (Material do Positivo – 6º ano) Escreva a fração na forma de porcentagem:


31) (OBMEP) Os alunos do sexto ano da Escola Municipal Quixajuba fizeram uma prova com 5 questões. O gráfico mostra quantos alunos acertaram o mesmo número de questões. Por exemplo, 30 alunos acertaram exatamente 4 questões. Qual das afirmações a seguir é verdadeira?

a) Apenas 10% do total de alunos acertaram todas as questões. b) A maioria dos alunos acertou mais de 2 questões. c) Menos de 200 alunos fizeram a prova. d) 40 alunos acertaram ao menos 4 questões. e) Exatamente 20% do total de alunos não resolveram nenhuma questão. a) Apenas 10% do total de alunos acertaram todas as questões. 10% de 210 = 21. ERRADA b) A maioria dos alunos acertou mais de 2 questões. Maioria = mais de 50%. 100 acertaram mais de 2 (ou seja, quem acertou 3, 4 ou 5 questões). ERRADO c) Menos de 200 alunos fizeram a prova. ERRADO d) 40 alunos acertaram ao menos 4 questões. 4 ou 5 questões. 30+20=50

alunos. ERRADO Exatamente 20% do total de alunos não resolveram nenhuma questão. 20% de 210 = 42. ERRADA.

0 acertos 20

1 acerto 30

2 acertos 60

3 acertos 50

4 acertos 30

5 acertos 20

TOTAL 210 ALUNOS

ATENÇÃO: O gráfico estava ERRADO. Veja a resolução.

32) (Material do Positivo – 6º ano) Veja a gravura:

Fonte: BRITO, Fernando. Jogar fora no lixo. Superinteressante. São Paulo: Abril, n. 289, p.34, mar. 2011. a) O que significa dizer que 90% das latas de alumínio são recicladas? b) Considerando que uma empresa produz de lixo 120 kg de papel por dia, quantos quilogramas desse papel são reciclados? c) Um condomínio separou do lixo 30 latinhas de alumínio para reciclar. Quantas dessas latinhas serão recicladas?


33) (PUC-RIO) João recebeu um aumento de 10% e com isso seu salário chegou a R$ 1.320,00. O salário de João antes do aumento era igual a quanto? 34) (Material do Positivo – 6º ano) O mercado que Douglas trabalha esta com uma produção de latas de suco de laranja. Quem comprar acima de 10 unidades de suco ganha 15% de desconto. Sabendo que o preço de uma caixa com 5 latas desse suco custa R$ 15,00, calcule quantos reais vai gastar quem comprar 8 caixas desse suco. 35) (Material do Positivo – 6º ano) Vitória foi comprar um vestido e conseguiu um desconto para pagamento à vista. Ela acabou pagando R$ 96,00 por uma calça que custava R$ 120,00. Quanto por cento Vitória conseguiu de desconto? 36) (Material do Positivo – 6º ano) Um tonel para 9 500 L de vinho está com 25% de sua capacidade. Quantos litros de vinho faltam para encher esse tonel? 37) (Material do Positivo – 6º ano) Pablo ganhava R$ 120,00 me mesada e nesse último mês ganhou R$ 150,00. Qual a porcentagem de aumento da quantia que Pablo passou a receber de mesada? 38) (Material do Positivo – 6º ano) Brenda recebe um salário mensal de R$ 1.250,00. Nesse último mês, ele recebeu um aumento de 12% e vai depositar esse valor correspondente ao aumento em uma caderneta de poupança.

a) Quantos reais Brenda vai depositar na caderneta de poupança? b) Qual o salário de Brenda depois do aumento?

39) (Material do Positivo – 6º ano) Mariana resolveu economizar R$ 34,00 todas as semanas, o que corresponde a 50% da quantia que ela possuía na bolsa quando decidiu poupar. Quantos reais Mariana tinha na bolsa?


40) ( SARESP) Num campeonato de boliche, os pontos que Ana, Lia, Rui e Zeca marcaram aparecem na tabela a seguir:

Jogador Pontos

Ana 8

Lia 32

Rui 8

Zeca 16

Escreva em seu caderno qual gráfico mostra a correta distribuição desses pontos.

41) (Canguru Matemático – Nível B – 2014) Qual dos ladrilhos abaixo deve ser escolhido para ser colocado no lugar indicado na figura ao lado, de modo que a área total das partes escuras seja igual à área total das partes brancas?

GABARITO 29) Qual a soma de todas as porcentagens representadas no gráfico? 100%

a) Quantos alunos vão para a escola de bicicleta? 25% de 500

100% ----------- 500 1% --------------- 5 25% ------------- 5 x 25 = 125

25

100× 500 = 125

b) Quantos vão à escola de carro? 30% de 500

100% ----------- 500 1%---------------5 30%- ----------- 5 X 30 = 150

30

100× 500 = 150

c) Há mais alunos que vão à escola de carro ou de bicicleta?

Quantos a mais? Carro – 150 (30%) Bicicleta – 125 (25%) 25 a mais de carro (5%) 100%------500 1%----------5 5%---------- 5x5 = 25 30)

1/4=25% 1

4=

𝑥

100

X=25

3/6 = 1/2 = 50%

3

6=

𝑥

100

6x=300 x=50

31) Matheus: Transforme 1/5 em porcentagem? 100% --------------1 20%---------------1/5

1

5=

𝑥

100

x=20 32)

a) O que significa dizer que 90% das latas de alumínio são recicladas? Significa que de cada 100 latas, 90 são recicladas.

b) Considerando que uma empresa produz de lixo 120 kg de

papel por dia, quantos quilogramas desse papel são reciclados?

45% de 120 45

100× 120 =

540

10= 54

54 kg são reciclados OU 100% ----------------- 120 kg


1%---------------------1,20 kg 45% ------------------ 45 x 1,2 = 54

c) Um condomínio separou do lixo 30 latinhas de alumínio para reciclar. Quantas dessas latinhas serão recicladas?

90% de 30 100% ------------ 30 10% -------------- 3 90%-------------- 3x9=27 27 latinhas 33) 1320 ------------ 110% = 100% + 10% 12----------------1% 1200------------100% O salário antes do aumento era de R$ 1.200,00. Verificar – R$ 1200 + R$ 120 = R$ 1320 1188 – não é resposta! Pois 1188 + 118,8 (que é 10%) não chegamos em 1320. Veja para entender Algo custa 100 reais ---------------- aumento de 20% ---------------------- 120 reais Essa coisa de 120 reais-------------- desconto de 20% --------------------- 96 reais 34) 8 caixas de suco ---- 8 x 5 = 40 latas de suco (mais que de 10 unidades!) 8 x 15 = 120 reais Desconto é 15% de 120

15

100× 120 =

180

10= 18

Então 120-18=102 Resposta: Vai gastar R$ 102,00. 35) 120 – 96 = 24 foi o desconto!

24

120=

2

10=

1

5 foi o desconto

1

5=

𝑥

100

X=20 R: O desconto foi de 20% 36) 9500 : 4 = 2375 o que tem no tonel Dividi por 4, pois 25% é ¼ de 100% 9500-2375= 7125 Resposta: Faltam 7125 litros. 37) Aumento de 30 reais....ou seja 150-120=30

30

120=

1

4= 25%

Resposta: O aumento da mesada foi de 25% 38)

a) Quantos reais Brenda vai depositar na caderneta de poupança?

12% de 1250=150 Resposta: Ela vai depositar R$ 150,00

b) Qual o salário de Brenda depois do aumento? 1250+150=1400 Resposta: R$ 1400 39) 34 -------------- 50% 68---------------- 100% Resposta: Ela tinha R$ 68,00 40)

Jogador Pontos

Ana 8 12,5%

Lia 32 50%

Rui 8 12,5%

Zeca 16 25%

OTÁVIO: Meninos e meninas já aprendemos como calcular a multiplicação de frações, mas não expliquei o porquê. Vamos ver. OTÁVIO: Veja na lousa a fração 2/5

OTÁVIO: Agora vamos achar 2/3 dessa

fração, ou seja, 2/3 de 2/5, que é 2

3×

2

5. Vamos

fazer um desenho de 2/3 do assinalado:

ISAH: Então isso aí é 4/15, não é?

OTÁVIO: Certo, Isabela. Então quanto é 2

3×

2

5?

MATHEUS: 4/15! Mas não é mais fácil fazer o produto dos números “de cima” e os “de baixo”?

2

3×

2

5=

4

15

RAUL: é professor. É mais fácil mesmo... OTÁVIO: meninos, claro, é mais fácil, mas é importante vocês entenderem o porquê que usa-se essa regra. A regra não saiu “da cartola” igual um mágico tira uma pombinha. Então é preciso entender... Então é importante fazer primeiro como estou pedindo... IMAGINAÇÃO POSSÍVEL: Por que esse professor tá complicando? É mais fácil multiplicar os numeradores e denominadores e boa!

PROBLEMA: Como mostrar aos alunos a diferença entre FAZER O CÁLCULO e ENTENDER O PORQUÊ DO CÁLCULO (os conceitos)? E convencê-lo de que não basta apenas fazer, mas é preciso aprender a idéia!


REVISÃO PARA PROVA DE MATEMÁTICA Questão 1 Dada a tabela: 20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 211=2048 212=4096 213=8192 214=16384 215=32768 216=65536 217=131072 218=262144 219=524288 220=1048576 221=2097152 222=4194304 223=8388608

224=16.777.216 Calcule: a) 512x 32768 b) 1048576 : 32768 c) 131072 x 32 d) 2097152 : 1024 e) 8388608 : 4194304 f)2562 g) 20482 h) 165 Questão 2

Se A=√144+5 B=24-√64 C=A-√121 Determine quanto é 2A+BC Questão 3 Pensei em um número. Multipliquei por 3. Somei 5. Deu 17.

a) Escreva a frase em linguagem matemática. b) Qual foi o número pensado?

Questão 4 Em uma escola foi feita uma pesquisa de preferência entre comédia, ação e terror. Dos entrevistados 40% preferem ação, 50% preferem comédia e 10% preferem terror.

a) Se nessa escola tem 200 alunos, quantos alunos preferem cada tipo de filme?

b) Construa um gráfico de barras com o número de alunos que prefere cada tipo de filme.

c) Construa um gráfico de setores com os dados em valores percentuais.


Questão 5 O desaparecimento das florestas tropicais

As florestas tropicais são o lugar do planeta onde a vida se manifesta com maior riqueza e intensidade. Nelas estão concentrados aproximadamente 80% das espécies vegetais e animais hoje existentes. Dos cerca de 17 milhões de quilômetros quadrados de florestas tropicais originalmente existentes no mundo, resta hoje pouco menos da metade. No Brasil, já se destruiu quase a totalidade da Mata Atlâtica, restando hoje em torno de 7% da área original. Na Amazônia brasileira, com seus quase 4 milhões de quilômetros quadrados, a devastação já atingiu cerca de 17% dessa área.

(Adaptado de: Greenpeace. Florestas tropicais Amazônia: vida em perigo. São Paulo, 1996. Dados atualizados em 2010).

De acordo com esses dados: a) Qual é a porcentagem de florestas tropicais destruídas no mundo? b) Qual é a porcentagem já destruída da Mata Atlântica? c) Qual é, aproximadamente, a porcentagem da área já destruída da Floresta Amazônica no

Brasil? d) Quantos quilômetros quadrados de Floresta Amazônica já foram devastados?

Questão 6 Associe as figuras ao percentual correspondente à parte colorida:

Questão 7 Um produto custa R$ 80,00 e será pago com uma entrada de 40% e mais 4 parcelas iguais sem juros.

a) Qual é o valor da entrada? b) Qual é o valor de cada parcela?

Questão 8 Um produto custa R$ 200,00 e terá desconto de 25% se pago a vista. Quanto pagarei se comprar esse produto a vista? Questão 9 Complete a tabela de estudantes de uma escola fictícia com valores percentuais, conforme o exemplo:

NÚMERO DE ALUNOS PORCENTAGEM

Educação Infantil 40 10%

1º ao 5º ano 80

6º ao 9º ano 164

Ensino Médio 66

Cursinho 50

TOTAL 400 100%

Questão 10 Um produto sofreu um aumento de 20% e passou a custar R$ 120,00. Qual era seu preço original?


Questão 11

a) Qual é a metade da √169?

b) Quanto vale √144.000.000.000.000? c) Qual é a raiz quadrada de 1 milhão?

d) Quanto vale √1444?

e) Calcule o valor de √√256.

f) Mostre que dão resultados diferentes √64 + 36 e √64 + √36 Questão 12

Encontre o valor de√13 + √6 + √7 + √4

Questão 14 Resolva as expressões numéricas completamente e simplifique o resultado.

a) 1

4+

2

3×

1

2 b) (

1

4)

2

+ (3

2)

3

c) (1

4−

1

5)

0

d)√1

3+

1

2+

17

18 e)

21

4−1

7×1

7

f)5

2+

7

5+

6

3+

1

10

g) (1

5+

3

2)

2

: (1

4+

2

3) h) (

5

4)

2

: (1

2)

3

−11

4

Questão 15

Metade é 50%. Metade da metade é 25%. Metade da metade da metade é 12,5%. Com base nisso,

como poderia calcular mentalmente 12,5% de 640? Explique.

Questão 16 Tonico recebe um salário bruto de R$ 2.500,00. Desse valor, são descontados 9% para a previdência social, que deverá pagar sua aposentadoria. De seu salário, ainda é descontado o imposto de renda, que é calculado desta maneira: 15% de R$ 2.500,00 menos R$ 307,00. Calcule o salário líquido de Tonico.


Questão 17 Veja a tela do joguinho 2048 abaixo:

Preencha o tabuleiro abaixo escrevendo os números na forma de potências de 2, conforme os exemplos dados:

Questão 18 Paulo ganha R$ 800,00 trabalhando em um PET-SHOP. Veja as despesas de Paulo:

a) Quanto Paulo gasta com diversão mensalmente? b) Paulo gasta mais com Curso de Inglês ou com despesas de sua casa? c) Quanto Paulo economiza todo mês?


Questão 19 O gráfico a seguir indica a altura máxima aproximada que algumas árvores brasileiras atingem.

De acordo com as informações apresentadas no gráfico e com os dados abaixo identifique a árvore correspondente a cada coluna do gráfico e a altura máxima de cada árvore.

a) O jequitibá atinge 45 metros de altura. b) O cedro atinge até 10 metros a menos que o jequitibá e 5 metros a mais que o pau-brasil. c) O pau-brasil atinge 10 metros a mais que o abacateiro-do-mato e 14 metros a mais que a

peroba. d) A castanha-do-pará é cinco vezes maior que o cajueiro.

Questão 20 O gráfico de linhas abaixo mostra a produção de leite na Fazenda do Senhor B.Zerra no primeiro semestre do ano de 2006. Analise-o e responda: a) Quantos litros de leite foram produzidos nesse semestre? b) Quantos litros de leite foram produzidos, em média, por mês? c) Quantos litros de leite, em média, foram produzidos diariamente no mês de janeiro?

GABARITO Questão 1 a) 512x 32768 = 16.777.216 9+15=24 b) 1048576 : 32768 = 32 20 – 15 = 5 c) 131072 x 32 =4194304 =17+5=22 f)2562 = 65536 8 X 2 = 16 g) 20482 =4194304 11 X 2 = 22

Decorem que 11x11 = 121 e 12x12=144, pois é útil!

Questão 2

Se A=√144+5=12+5=17,

B=24-√64=24-8=16

C=A-√121=17-11=6 Determine quanto é 2A+BC 2.17+16.6 34+96 130 É A RESPOSTA Questão 3 Pensei em um número. Multipliquei por 3. Somei 5. Deu 17.

c) Escreva a frase em linguagem matemática. x.3+5=17

d) Qual foi o número pensado? 17-5=12 12:3=4 O número pensado foi 4

0

10

20

30

40

50

60

A B C D E F G

altura (m)

árvores

Áltura de algumas árvores brasileiras

818,4

771,1

815,2

784,5803,4

742,9

700

720

740

760

780

800

820

840

Pro

du

ção

(em

lit

ros)

Mês

Produção de Leite


Questão 5 a) 50% b) 25% c) 50% d) 10% e) 50% f) 20%

Questão 7 Um produto custa R$ 80,00 e será pago com uma entrada de 40% e mais 4 parcelas iguais sem juros.

c) Qual é o valor da entrada? Raciocínio de Fábio 100% ----- 80 10%------ 8 50%------40 40%-----40-8=32 Raciocínio estimulando a Tifany a responder 100% ----- 80 10% ----- 8 40 % ----- 4x8=32 Raciocínio sugerido pela brenda 40% de 80

40

100× 80

32 Entrada 32 reais.

d) Qual é o valor de cada parcela? Se ele pagou 32 reais, ele deve 80-32=48. Ele ainda deve R$ 48 ! 48 / 4 = 12 reais As parcelas são de 12 reais

Questão 8 Um produto custa R$ 200,00 e terá desconto de 25% se pago a vista. Quanto pagarei se comprar esse produto a vista? Raciocínio do Linconl 25% de R$ 100,00 é R$ 25,00 25% de R$ 200,00 é 2 x R$ 25,00 = R$ 50,00 Raciocínio de Fábio 100% -------------- 200 50%----------------100 25%---------------50 O jeito que a Brenda Gosta

25

100× 200 = 50

Ainda uma forma alternativa - Linconl: 25% = ¼ 200 : 4 = 50 Desconto é de R$ 50,00 Resposta: Pagarei R$ 150,00 Questão 9

NÚMERO DE ALUNOS

PORCENTAGEM

Educação Infantil 40 divido por 4 10%

1º ao 5º ano 80 divido por 4 20%

6º ao 9º ano 164 divido por 4 41%

Ensino Médio 66 divido por 4 16,5%

Cursinho 50 divido por 4 12,5%

TOTAL 400 divido por 4 100%

1% - 4 10%-40 20%-80 40%-160 40% é 160, 1% é 4, então 164 é 40% + 1%

Como eu divido 66 por 4 mentalmente 66: 2 = 33 33: 2 = 16,5 Questão 10 R$ 100,00 mais 20% = R$ 120,00 R: O preço original era R$ 100,00. Questão 11

a) Qual é a metade da √169=13? Metade de 13 é 6,5 ou

13/2 13x13=169, 14x14=196

b) Quanto vale √144.000.000.000.000? 12.000.000 c) Qual é a raiz quadrada de 1 milhão?

√1.000.000 = 1.000 MIL

d) Quanto vale √1444? 38 Para achar esse números a gente teve que fazer muitas contas.

e) Calcule o valor de √√256 = √16 = 4.

f) Mostre que dão resultados diferentes √64 + 36 e √64 +

√36

√64 + 36 = √100 = 10

√64 + √36 = 8 + 6 = 14 Questão 12

Encontre o valor de√13 + √6 + √7 + √4

√13 + √6 + √7 + 2

√13 + √6 + √9

√13 + √6 + 3

√13 + √9

√13 + 3

√16 4

Questão 15 Metade é 50%. Metade da metade é 25%. Metade da metade da

metade é 12,5%. Com base nisso, como poderia calcular

mentalmente 12,5% de 640? Explique.

Basta calcular metade da metade da metade de 640 640 -----320 ----- 160 ----- 80 Questão 16 Vai descontar 9%

9

100× 2500 = 175 para previdência social

Imposto de Renda 15% menos 307 15

100× 2500=375

375-307=68 Salário Líquido: 2.500-175-68=2257 O salário líquido será de R$ 2.257 Questão 17


EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM FRAÇÕES Aula 116 – Apostila do Objetivo – 6º ano – Página 38 Questão 1

𝟏𝟖

𝟓− [(

𝟏𝟎

𝟑−

𝟏

𝟐) − (

𝟒

𝟑−

𝟏

𝟓)]

𝟏𝟖

𝟓− [(

𝟐𝟎

𝟔−

𝟑

𝟔) − (

𝟐𝟎

𝟏𝟓−

𝟑

𝟏𝟓)]

𝟏𝟖

𝟓− [

𝟏𝟕

𝟔−

𝟏𝟕

𝟏𝟓]

𝟏𝟖

𝟓− [

𝟖𝟓

𝟑𝟎−

𝟑𝟒

𝟑𝟎]

𝟏𝟖

𝟓−

𝟓𝟏

𝟑𝟎

𝟏𝟎𝟖

𝟑𝟎−

𝟓𝟏

𝟑𝟎

𝟓𝟕

𝟑𝟎=

𝟏𝟗

𝟏𝟎

Questão 2

√𝟒

𝟔𝟒.𝟏

𝟓− [(

𝟏

𝟏𝟎)

𝟐

+ (𝟏

𝟖)

𝟐

]

𝟐

𝟖.𝟏

𝟓− [

𝟏

𝟏𝟎𝟎+

𝟏

𝟔𝟒]

𝟐

𝟒𝟎− [

𝟔𝟒

𝟔𝟒𝟎𝟎+

𝟏𝟎𝟎

𝟔𝟒𝟎𝟎]

𝟐

𝟒𝟎−

𝟏𝟔𝟒

𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟐

𝟒𝟎−

𝟒𝟏

𝟏𝟔𝟎𝟎

𝟖𝟎

𝟏𝟔𝟎𝟎−

𝟒𝟏

𝟏𝟔𝟎𝟎=

𝟑𝟗

𝟏𝟔𝟎𝟎

Desafio

(𝟓

𝟐)

𝟐

− [√𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟔− (

𝟏

𝟑+

𝟏

𝟒)]

𝟐𝟓

𝟒− [

𝟏𝟎

𝟒− (

𝟒

𝟏𝟐+

𝟑

𝟏𝟐)]

𝟐𝟓

𝟒− [

𝟏𝟎

𝟒−

𝟕

𝟏𝟐]

𝟐𝟓

𝟒− [

𝟑𝟎

𝟏𝟐−

𝟕

𝟏𝟐]

𝟐𝟓

𝟒−

𝟐𝟑

𝟏𝟐

𝟕𝟓

𝟏𝟐−

𝟐𝟑

𝟏𝟐=

𝟓𝟐

𝟏𝟐=

𝟐𝟔

𝟔=

𝟏𝟑

𝟑


NOÇÕES DE NÚMEROS DECIMAIS I 1. Transforme em número decimal: a) 3/10 b) 25/10 c) 312/10 d) 2/100 e) 32/100 f) 532/100 g) 6/1000 h) 26/1000 i) 526/1000 j) 4264/1000 k) 2536/100 l) 9316/1000 2. Transforme em fração decimal (simplifique!): a) 0,8 b) 0,25 c) 0,036 d) 0,0165 e) 5,35 f) 5,305 g) 0,06 h) 0,004 i) 12,1 j) 0,6415 k) 25,06 l) 142,23 3. Verdadeiro ou falso? a) 5,40=5,4 b) 3,0=3 c) 3,6=3,60=3,600 d) 2,4=2,04 e) 2,00=2 f) 0,3=3 g) 0,04=0,4 4. Compare com <, = ou >: a) 2,7___ 1,42 b) 0,54___8,2 c) 0,54___0,278 d) 2,5___2,50 e) 3,41___3,28 f) 5,657___5,642 g) 0,0836___0,839 h) 2,1___2,01 i) 4,567___4,5675 j) 13,6___13,89 5. Dentre os números abaixo, sublinhe os que são menores que 0,5? 0,3 0,72 0,08 0,12 0,912 1,2 5,0 6. a) Qual o menor número natural maior que 11,7?__________ b) Qual o maior número natural menor que 9,02?__________ 7. Coloque em ordem crescente os números decimais: 0,61 1,3 1,45 0,2 3,0 0,99 0,075 NOÇÕES DE NÚMEROS DECIMAIS II 8. (Imenes & Lélis,2012) Observe as frações representadas na figura e responda às questões

a) Quantos centésimos correspondem a 1/10? b) A fração 1/10 é maior que a fração 10/100? c) A fração 3/10 é maior que a fração 28/100? d) Qual é a fração maior 4/10 ou 40/100?

9. (Imenes & Lélis, 2012) Considere as seguintes representações:

Escreva os números com vírgula correspondentes a:


10. (Imenes & Lélis,2012) Usando a notação Represente e observe igualdades: a) 0,3 b) 0,03 c] 0,31 d) 1,3 e) 1,1 f) 1,10

11. (Imenes & Lélis,2012) Por qual motivo chamamos o número 3,5 (“três vírgula cinco”) algumas vezes de “três e meio”. Por que falamos “meio”? 12. (Imenes & Lélis,2012) Nessa representação, ada número corresponde a um ponto da reta:

Qual pode ser o valor de x?

13. (Imenes & Lélis, 2012) Observe

a) Responda: 1,2 é maior que, menor que ou igual a 1,20? b) Usando essa idéia compare com > (maior), < (menor) ou = (igual): 0,20 ____ 0,20 1,2 ____ 1,19 8,7 ____ 8,70 8,7 ____ 8,69

14. (Imenes & Lélis, 2012) Responda:

a) Qual é a diferença entre os números 3,25 e 3,250? b) Escreva em ordem crescente: 3,25; 3,155; 3,3 e 3,225

15. (Imenes & Lélis, 2012) Por qual motivo podemos dizer que o sistema dos números com vírgula é decimal? 16. (Imenes & Lélis, 2012) Leia a história e responda a pergunta da menina com exemplos


17. (Imenes & Lélis, 2012) Leia o diálogo

Para responder considere os números:

a) Quais deles são menores que 5,3? b) Quais deles são maiores que 5,213? c) Quais são maiores que 5,1 e menores que 5,2?

18. (Imenes & Lélis, 2012) Por qual motivo dizemos que 0,23 está escrito no sistema decimal? 19. (Imenes & Lélis, 2012) Quanto é um décimo de um décimo de milésimo? 20. (Imenes & Lélis, 2012) Tente explicar por qual motivo 0,7, 0,7 e 0,700 são iguais 21. (Imenes & Lélis, 2012) Por qual motivo o preço dos combustíveis é utilizado até o milésimo?

22. (Imenes & Lélis, 2012) Um dos números que está entre 1,34 e 1,35 é:

a) 1,361 b) 1,034 c) 1,338 d) 1,341 23. (Imenes & Lélis, 2012) Alguns números foram colocados em uma linha reta com a mesma organização de escala de um termômetro. Veja

Os números indicados por A e B devem ser, respectivamente:

a) 2,385 e 2,42 b) 2,385 e 2,402 c) 2,385 e 2399 d) 2,381 e 2,42 25. (Imenes & Lélis, 2012) Qual é a sentença verdadeira?

a) 1,3 < 1,300 b) 3,25<3,052 c) 0,2 x 10 = 020 d) 1,30 = 1,300 26. (Imenes & Lélis, 2012) Escrevendo-se, com algarismos, uma unidade e quarenta e cinco milésimo, obtém-se:

a) 1,45 b) 0,14 c) 1,045 d) 1,45000


27. (Imenes & Lélis, 2012) Em um número decimal, o algarismo na posição dos décimos é: a) O primeiro da esquerda para a direita b) O último da esquerda para a direita c) O primeiro algarismo à direita da vírgula d) O último algarismo à esquerda da vírgula

28. (Imenes & Lélis, 2012) Qual é a sentença verdadeira?

29. (Imenes & Lélis, 2012) A quantidade seis décimos e cinco centésimos é:

a) Maior que 1. b) Igual a sessenta e cinco centésimos. c) Igual a sessenta e cinco décimos d) Menor que 0,5

30. (Imenes & Lélis, 2012) Os números com vírgula foram organizados nesta linha, como é feito em quilometragem de uma estrada:

a) Escreva os números correspondentes a A, B, C, D e E. b) Qual é o número que está exatamente o meio de A e B?

31. (Imenes & Lélis, 2012) Coloque V ou F, sobre os números 12,61 e 12,601 ( ) O primeiro é menor que o segundo ( ) O maior tem 9 milésimos a mais que o menor. ( ) Um número maior que 12,601 e menor que 12,61 é 12,603. ( ) O primeiro número é igual a 12 mais 61/100.


32. (Imenes & Lélis, 2012) Leve o gato até a sardinha, passando de um número para outro menor.

NOÇÕES DE MEDIDAS 34. Em quais situações abaixo você faz uma contagem e em quais você faz uma medição? a) A quantidade de líquido de uma jarra. b) A quantidade de garrafas de uma caixa. c) A quantidade de farinha de um pacote. d) A distância de sua casa até o seu colégio. e) A altura de uma árvore. 35. O que é medir? 36. Cite alguns aparelhos usados para efetuar medidas. 37. Determine quanto mede o segmento AB, quando você considera como unidade de medida o segmento a, o segmento b e o segmento c:

38. Determine quanto mede a superfície S, considerando como unidade de medida:

a) a superfície A, b) a superfície B, c) a superfície C.


39. Determine a medida da superfície abaixo, quando:

a) A unidade for o primeiro elemento da coluna da direita. b) A unidade for o segundo elemento da coluna da direita. c) A unidade for o terceiro elemento da coluna da direita. d) A unidade for o quarto elemento da coluna da direita.

40. Responda a) Qual é a unidade fundamental de comprimento? b) Quais são os submúltiplos do metro? 41. Usando os símbolos das unidades de comprimento, escreva: a) doze quilômetros; b) quarenta centímetros; c) seis milímetros; d) nove decímetro; e) trinta milímetros; f) cem metros; g) dois quilômetros; h) oito metros. 42. Indique a unidade de medida que você usaria para medir: a) o comprimento de seu pé;

b) a distância entre as traves de uma quadra

de futebol de salão; c) a espessura de sua régua; d) a distância entre o Rio de Janeiro e São

Paulo; e) a altura de um prédio de três andares;

f) a espessura de vidros usados em janelas; g) a largura de uma rua;

h) a distância entre Fortaleza e Recife; i) o comprimento da lousa; j) a altura da sala de aula; k) o comprimento de um lápis.

43. Quantos centímetros você acredita ter de altura? Quantos centímetros você acha que esta apostila tem de largura? E de comprimento? E de espessura? Faça uma estimativa para responder essas perguntas, e depois, compare sua estimativa usando instrumentos de medidas. 44. Quais são as dimensões do seu quarto? Estime um valor para a largura, para o comprimento e para a altura do seu quarto? 45. Usando fita métrica, régua ou metro de carpinteiro, meça as dimensões de seu quarto. Compare as medidas obtidas com as estimativas feitas no exercício anterior?


MEDIDAS II 1) (Imenes & Lélis,2012) Metros, centímetros, milímetros ou quilômetros? Complete as sentenças:

a) A caneta tem 16 ______ de comprimento. b) O comprimento da formiga é 4 ____. c) A altura do sobrado é 9 ____. d) O ladrilho tem 15 ___ de largura. e) É uma estrada com mais de 21 ______

2) (Imenes & Lélis,2012) Responda: a) Qual é o comprimento de seu palmo em centímetros? b) Algum de seus colegas tem o palmo com comprimento diferente do seu? Qual é o

comprimento do palmo dele? c) Luísa e Joana mediram a largura da janela em palmos. Para Luísa, deu 12 palmos; para

Joana deu 14. Qual delas tem o palmo maior? 3) (Imenes & Lélis,2012) Copie as frases e complete-as com uma fração ou com uma palavra adequada:

a) Um decímetro é 1/10 de um____________. b) Um centímetro é _______ de um metro. c) Um milímetro é ______ de um metro. d) Um metro é 1/1000 de um ___________.

4) (Imenes & Lélis,2012) Vamos fazer estimativas: a) Altura da porta de sua sala de aula. b) Centímetros de largura, comprimento e espessura sua apostila de Matemática. c) Metros de comprimento, largura e altura tem sua sala de aula. d) Distância de sua casa até a escola.

5) (Imenes & Lélis,2012) Uma volta em torno da Terra, pela linha do Equador tem cerca de 40.000 km. Quantos quilômetros você acha que há de Brasília até Tóquio aproximadamente? 6) (Imenes & Lélis,2012) Você percorre uma maratona de 42,5 km. Como determinar a quantidade de passos que você deverá dar em toda maratona. 7) (Imenes & Lélis,2012) Metros, centímetros, milímetros ou quilômetros? Qual unidade é ideal para medir:

a) Altura de um prédio. b) Espessura do vidro de uma janela. c) Largura e comprimento do vidro de uma janela. d) Comprimento do Rio Amazonas.

8) (Imenes & Lélis,2012) Estime a altura de um prédio de apartamentos de 7 andares? 9) (Imenes & Lélis,2012) Transforme: a) 3 cm = ____ m b) 13 cm = ____ m c) 104 cm = ___ m e) 250 cm = ____ m f) 5 cm = ____ m g) 3 dm = ____ m h) 12 cm = ____ m i) 12 dm = ____ m 10) (Imenes & Lélis,2012) Em janeiro deste ano, uma forte chuva causou um deslizamento de terra que bloqueou uma estrada. A polícia rodoviária registrou um congestionamento de 12 km. Se cada carro ocupa, em média, o comprimento de 5 m e havia duas faixas de estradas congestionadas, quantos carros aproximadamente estavam no congestionamento.


11) (Imenes & Lélis,2012) Observe a figura e faça o que se pede: a) Qual é a altura de Rodrigo e de seu pai? b) Quanto Rodrigo precisa crescer para chegar à altura do pai? Responda em centímetros e em metros.

12) (Imenes & Lélis, 2012) Dê um exemplo de algo que meça menos de 1 milímetro. 13) Qual é sua altura em milímetros? MEDIDAS III 14) Responda: a) Qual é a unidade principal de massa? b) Quais são os múltiplos do grama? c) Quais são os submúltiplos do grama? 15) Utilizando símbolos das unidades de massa, escreva: a) trezentos gramas; b) vinte e cinco quilogramas; c) trinta miligramas; 16) Escreva como se lê: a) 2,45 kg b) 3,5 g c) 0,50 g d) 0,250 g 17) Indique a unidade mais adequada para medir a massa de: a) seu próprio corpo b) uma colher de sal de cozinha c) um saco de cimento d) uma salsicha e) uma gota de água 18) Estime de quantos quilogramas é sua massa. 19) Quantos gramas tem a massa de uma bola de futebol com 3 kg? 20) Quantos quilogramas tem uma caixa com 800 chocolates de 40 g cada um? 21) Em quantos pedaços de 250 g podemos dividir 7,5 kg de uma goiabada em lata?


22) Calcule em quilogramas, a massa de 1 000 bolinhas de aço com 50 g cada uma. 23) Quantos pacotes de 2,5 kg podemos formar com 100 kg de açúcar? 24) Se um certo modelo de automóvel tem 1250 kg, quantos quilogramas terão 450 automóveis desse mesmo modelo? 25) Quantos sacos de 55 kg podemos formar com 2 585 kg de soja? 26) Dona Sandra foi ao mercado com a seguinte lista de compras:

5 pacotes com 2 kg de açúcar cada um 10 pacotes com 400 g de polvilho cada um

20 pacotes com 250 g de margarina cada um 8 pacotes com 0,5 kg de farinha de rosca cada um

Se dona Sandra comprou todos os itens de sua lista, de quantos quilogramas foi a compra de dona Sandra? 27) Transforme: a) 350 g em kg b) 2,5 kg em g c) 300 g em mg d) 15 000 mg em g 28) Quantos quilogramas são 1 000 000 000 g? 29) (Imenes & Lélis, 2012) Observe os pacotes e o que está escrito na balança

Agora escreva na balança o que está escrito nesses casos:


30) (Imenes & Lélis, 2012) Quantos gramas são um décimo do quilograma, um milésimo do quilograma e um décimo de milésimo de quilograma? 31) (Imenes & Lélis, 2012) Nas etiquetas, estão marcados quantos quilogramas tem cada objeto, mas elas estão trocadas. Estime quantos quilogramas tem, na verdade, cada um deles.

32) (Imenes & Lélis, 2012) É muito comum vermos em embalagem o termo PESO LÍQUIDO. O que ele significa?

33) (Imenes & Lélis, 2012) Complete a tabela

MEDIDAS IV 34) (Imenes & Lélis, 2012) Quantos centímetros há 2 km? 35) (Imenes & Lélis, 2012) Quantos metros há em 0,3 km? 36) (Imenes & Lélis, 2012) Se a temperaturas era 24ºC e subir 3,5ºC, qual será a nova temperatura? 37) (Imenes & Lélis, 2012) Compare as figuras e descubra quanto pesa o mamão.

38) (Imenes & Lélis, 2012) Três destes pedaços de corrente foram emendados, obtendo-se uma corrente de 2,5 m aproximadamente.

Quanto mede cada um dos três pedaços que foram emendados? (Dica: Há mais de uma resposta!)

40) (Material do Positivo – 6º ano) Luciana vai distribuir igualmente 4 kg de milho de pipoca em 8 pacotes. Quantos quilogramas de milho ele colocará em cada pacote?


41) (Material do Positivo – 6º ano) Um motociclista percorreu 344 km e consumiu 16 litros de gasolina. Quantos quilômetros esse motociclista percorreu com 1 litro de gasolina? 42) (Material do Positivo – 6º ano) Geraldo está comprando frutas.

a) Quanto custa 1 kg de maça? b) Quanto Geraldo pagaria se comprasse 6 kg dessa maça?

39) (Imenes & Lélis, 2012) No mapa abaixo: o comprimento de cada trilha está marcado em quilômetro.

Responda: a) Para ir do lago até o moinho, passando pelo mirante e, depois, pela colina, quantos quilômetros devemos andar? b) Se formos do lago até o moinho passando pelo bosque e pela criação de peixes, andaremos mais ou andaremos menos que pelo cainho do item a? Quanto? c) Dê as repostas dos itens anteriores em metro.

43) (Imenes & Lélis, 2012) Observe a tabela que mostra o resultado das pesagens do bebê Pedro: Do 1º ao 4º dia de vida, Pedro ganhou ou perdeu massa? Quanto? a) Quanto ele ganhou do 2º ao 5º mês de vida? b) Quanto ele ganhou do 5º ao 8º mês de vida?

44) (Material do Positivo – 6º ano) Escreva quanto é: a) Metade de R$ 2,54 b) A terça parte de 1,32 m c) A metade de 1,8 kg adicionado a 0,5 kg d) R$ 3,00 subtraído da terça parte de R$ 0,27

45) (Material do Positivo – 6º ano) Joel teve um lucro de R$ 345,30 com as vendas na feira no último fim de semana e resolveu dividir a metade desse valor igualmente entre seus filhos, de modo que cada um recebesse R$ 57,55. Quantos filhos Joel tem? Escreva o raciocínio! 46) (Material do Positivo – 6º ano) Para pagar a compra no supermercado, João gastou R$ 89,35 e pagou com uma cédula de R$ 100,00. Quantos reais Joao recebeu de troco? 47) (Material do Positivo – 6º ano) Marisa pagou a prestação do carro, de R$ 589,90, com 5 dias de atraso e pagou juros. Ela pagou R$ 0,95 por dia de atraso mais um valor fixo de R$ 10,35. Quanto Marisa pagou pela prestação atrasada?


48) (PROVA BRASIL) Fernando tem, no seu cofrinho, cinco moedas de R$ 0,05, oito moedas de R$ 0,10 e três moedas de R$ 0,25. Que quantia Fernando tem no cofrinho? ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS I

1) (Imenes & Lélis,2012) Observe como João calcula mentalmente: Faça como João: dê os resultados das contas usando números com vírgula: a) 5 décimos mais 2 décimos. b) 7 décimos mais 8 décimos. c) 3 vezes 4 décimos. d) 6 vezes 4 décimos, mais 6 décimos 2) (Imenes & Lélis,2012) Complete a tabela:

3) (Imenes & Lélis,2012) Matheus disse que 7 reais e 50 centavos mais 3 reais e 70 centavos dão 10 reais e 120 centavos. Isso não é errado, mas não é usual. Escreva o resultado na forma usual. 4) (Material do Positivo – 6º ano) Somar 32 com 47 é muito parecido com somar 3,2 com 4,7. Por quê? 5) (Material do Positivo – 6º ano) Efetue mentalmente

a) 1,5+0,9 b) 12,8+0,7 c) 5,4+1,8 d) 6,9+1,8 e) 7-1,2 f) 1,8-0,9 g) 2,6-0,7 h) 4,5-0,7

6) (Material do Positivo – 6º ano) Procure chegar na resposta sem armar as contas

a) 2,17+21,143 b) 2,17+21,143+0,88 c) 7,7-3,55 d) 1-0,11


7) (Material do Positivo – 6º ano) Vou aproveitar as ofertas da semana do supermercado Carestia comprando uma unidade de cada mercadoria. Quanto vou economizar em relação aos preços normais?

8) (Material do Positivo – 6º ano) Em cada sequência abaixo, passamos de um número para o seguinte somando ou subtraindo sempre a mesma quantidade. Descubra qual é a quantidade, copie cada sequência e complete-a corretamente.

a) 0,6 0,55 ___ ___ ___ b) ___ ___ ___ 1,17 1,21 c) 0,087 0,095 ___ ___ ___ d) 4,25 ___ 3,25 ___ ___

9) (Material do Positivo – 6º ano) O quadrado ao lado é mágico. Somando três números de cada linha, coluna ou diagonal, o resultado dá sempre 6. Descubra os números que faltam no quadrado.

10) (Material do Positivo – 6º ano) Bia fez esta conta: Verifique se a conta de Bia está correta. Se não estiver, explique qual foi o erro.

11) (Material do Positivo – 6º ano) Faça os cálculos, tentando não fazer cálculos armando as contas: a) 2,3+12,81 b) 2,3+12,81 c) 15,01-0,45 d) 15,01-0,455

12) (Material do Positivo – 6º ano) Descubra a regra de formação das sequências e escreva os dois próximos termos de cada uma:

a) 0,7 1,2 1,7 ____ ____ b) 13,5 12,7 11,9 ____ ____ c) 0,03 0,3 3 ____ ____ d) 120 12 1,2 ____ ____ e) 0,2 0,4 0,8 ____ ____ f) 0,06 0,3 1,5 ____ ____


ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS II 13) Determine as somas (arme e efetue)

a) 4,516+2,8 b) 3,4+4,66 c) 4,7+3 d) 3,8+5+7,25 b) 3,8+5+7,25 f) 25,3+0,1+1,04 g) 45,6+32,84+90,16

14) Determine as diferenças (arme e efetue)

a) 8,4-4,08 b) 48-36,25 c) 0,4-0,325 d) 1-0,275 c) 5,6-4 g) 12,36-8,634

15) Determine o valor das expressões (arme e efetue): a) 5,42-3,26+2,048 b) 12,4+8,6-9 c) 4,25-0,75+5,06 d) 15-9,6+2,45 e) 3,5-(2-1,25) f) 3-(0,72+1,025)


16) (Imenes & Lélis,2012) Raul ficou encarregado de comprar alguns ingredientes. Calcule quanto ele vai gastar para comprar o que está na lista.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO POR 10, 100, 1000 FAÇA OS CÁLULOS SEM ARMAR AS CONTAS OU FAZER USO DE CALCULADORA

5 x 10 =________ 8 x 10 =________ 15x10=________ 80x10=________ 95x10=________ 152x10=________ 1523x10=________ 6,2x10=________ 5,3x10=________ 11,4x10=________ 5,14x10=________ 2,38x10=________ 12,15x10=________ 115,2x10=________ 1,523x10=________ 1,122x10=________ 15,133x10=________ 0x10=________ 0,5x10=________ 0,6x10=________ 1,3x10=________ 0,62x10=________ 0,44x10=________ 0,233x10=________



1) (Imenes & Lélis,2012) Calcule quanto dá 10 x 0,1. Explique com suas palavras o resultado. 2) (Imenes & Lélis,2012) Efetuem as multiplicações

a) 2,1 x 10 b) 6,13 x 10 c) 4,941 x 10 3) (Imenes & Lélis,2012) Efetuem as multiplicações

a) 2,137 x 100 b) 2,137 x 1000 c) 0,01 x 100 d) 0,01 x 1000


4) (Imenes & Lélis,2012) Efetue as divisões a) 439,6:10 b) 439,6:100 c) 439,6:1000

5) (Imenes & Lélis,2012) Está certa a conta 10 x 0,2 = 0,20? Por quê? 6) (Imenes & Lélis,2012) Observe a conta 10 x 1,23=12,3. Uma pessoa disse que a vírgula mudou de posição; outra pessoa disse que foram os algarismos que mudaram de posição. Qual delas está com a razão? 7) (Imenes & Lélis,2012) Calcule mentalmente: a)1% de R$ 350,00 b) 1% de R$ 35,00 c) 1% de R$ 128,00 d) 1% de R$ 1500,00 8)(Imenes & Léllis, 2012) Veja o esquema

Agora complete os esquemas desenhando as figuras corretas sob a ponta da seta

Veja o novo esquema:

5 décimos e 7 centésimos -----x10-----> 5 unidades e 7 décimos Agora complete os resultados:

9) (Imenes & Léllis, 2012) Leia o professor explicando para Isabela:

Transforme as medidas em metros para medidas em centímetros:

a) 0,34 m b) 1,75 m c) 2,4 m d) 6,25 m


10) (Imenes & Léllis, 2012) Efetue as divisões: a) 31,4:10 b) 3,14:10 c) 314:100 d) 31,4:1000

11) (Imenes & Léllis, 2012) Você já percebeu que, quando passamos de metro para centímetro, o número da medida é multiplicado por 100, porque cada metro tem 100 centímetro. Veja:

Portanto, para passar de centímetro para metro, você faz o inverso, ou seja, divide o número da medida por 100, porque cada 100 centímetros formam 1 metro. Observe:

Com base nisso, apresente os cálculos para transformar: a)756 cm = ___m b) 810 cm = ___m c) 95 cm = ___m d) 80 cm = ___ m 12) (Imenes & Léllis, 2012) Complete as tabelas:

13) (Imenes & Léllis, 2012) Calcule sem armar a conta:

a) 0,38 x 10 x 10 b) 0,38 x 100 c) 1,21 x 10 x 100 d) 1,21 x 1000 14) (Imenes & Léllis, 2012) Um número foi multiplicado por 1000 e dividiu por 10, o que resultou em 5,5. Qual era o número inicial? 15) (Imenes & Léllis, 2012) Veja 1 km = 1.000m, 2 km = 2.000m, etc., notamos que, para transformar a medida em quilômetro na medida em metro, basta multiplicar o número da medida por 1.000. Transforme quilômetro em metro e metro em quilometro:

a) 37,3 km b) 87.400 m c) 2,5 km d) 1200 m e) 87 450 m f) 6,75 km g)31 km h) 200 m


16) (Imenes & Léllis, 2012) Como 1 kg = 1000 g, para passar de quilograma para grama, devemos multiplicar por 1.000. Se você entendeu, é capaz de fazer o contrário, ou seja, passar de grama para quilograma:

a) 37 g b) 370 g c) 3750 g d) 4185 g 17) (Imenes & Léllis, 2012) Observe o diálogo

Percebe-se que os dois cozinheiros estão pensando em unidades de medidas diferentes. Quais seriam essas unidades para cada cozinheiro?

18) (Apostila do Positivo - 6º ano) A Região Norte é, geograficamente a maior do Brasil, com mais de 3.000.000 km2, ocupando 45,28% do território nacional e abrigando a maior parte da Amazônia brasileira. Fazem parte da Amazônia brasileira. Fazem parte da Região Norte: Acre, Amapá, Amazonas, Pará, Rondônia, Roraima e Tocantins. a) O mapa ao lado está na escala 1:100.000.000. Qual é o significado dessa notação? b) Meça no mapa a distância em linha reta entre Manaus e

Palmas. c) Qual a distância real aproximada entre Manaus e Palma? d) Meça no mapa a distância entre Rio Branco e Boa Vista. e) Qual a distância real aproximada entre Rio Branco e Boa Vista?

19) (Apostila do Positivo – 6º ano) Complete a tabela:

20) (Apostila do Positivo – 6º ano) Calcule mentalmente:

a) 18,5 x 10 b) 2,345 x 1000 c) 9,09 x 100 d) 5,1 x 100 e) 4,3 x 10 f) 0,5 x 1000 g) 51,2 x 100 h) 2,8 x 100

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS I 1) (Imenes & Léllis, 2012) Quantas casas decimais tem o produto na multiplicação de 121.427,3 por 5.375.897,7? 2) (Imenes & Léllis, 2012) Efetue 45 x 137. Em seguida, sem fazer novas contas, resolva:

a) 45 x 13,7 b) 45 x 1,37 c) 4,5 x 137 d) 4,5 x 13,7

e) 0,45 x 13,7 f) 0,45 x 1,37


3) (Imenes & Léllis, 2012) O preço do litro de gasolina é um número com três casas decimais. Quando compramos certo número de litros, calculamos o total e desprezamos a casa dos milésimos. Com base nesses dados, quanto devemos pagar por 25 L de gasolina a R$ 2,897 o litro? 4)(Imenes & Léllis, 2012) É possível o produto de dois números decimais ser menor que cada um dos fatores? Se for, você consegue explicar esse fato? 5) (Imenes & Léllis, 2012) 0,5 x 16 dá 8, ou seja, a metade de 16. Quando efetuamos 0,5 x N, o resultado é metade do número N. Por quê? 6) (Imenes & Léllis, 2012) No dia do vencimento do aluguel de nossa casa, no valor de R$ 485,00, meu pai não tinha dinheiro para pagá-lo. Ao pagar o aluguel após o vencimento, arcou com 3% de multa. Quanto ele pagou no total? 7) (Imenes & Léllis, 2012) Observe com atenção as dimensões da estante ao lado e dê sua altura em metros. (Atenção: A espessura das prateleiras está em centímetro!)

8) (Imenes & Léllis, 2012) Complete os diagramas:

9) (Imenes & Léllis, 2012) Complete as frases:

a) Multiplicar por 0,3 é o mesmo que multiplicar por 3 e dividir por ____. b) Multiplicar por 0,1 é o mesmo que dividir por ___


10) (Imenes & Léllis, 2012) Efetue mentalmente: a) 2 x 1,5 b) 0,2 x 1,5 c) 0,2 x 0,15 d) 5 x12 e) 0,5 x 0,12 11) (Imenes & Léllis, 2012) Calcule:

a) 7% de R$ 30,00. (Dica: comece calculando 1% de R$ 30,00...) b) 16% de 123,00.

12) (Imenes & Léllis, 2012) Hoje cedo, quando saí para ir à escola, o marcador de quilometragem do carro da minha mãe registrada este número:

Quando lá chegamos, o marcador indicava:

Sabendo que o quadrinho colorido do marcador indica os décimos de quilômetro, responda:

a) Escreva uma subtração que resulte na distância, em quilômetro, da minha casa até a escola. b) Minha mãe me leva para a escola e volte para casa. Depois, ela vai me buscar e voltamos para

casa. Escreva uma multiplicação que resulte na distância, em quilômetro, que ela percorre aproximadamente.

c) Escreva as respostas dos itens ‘a’ e ‘b’ em metros. 13) (Imenes & Léllis, 2012) Que azar! A nota fiscal está rasgada.

a) Descubra qual foi o gasto total. b) Crie e escreva outro problema sobre uma nota fiscal rasgada.

14) (Apostila do Positivo – 6º ano) De acordo com esses produtos, quanto você pagaria se comprasse 3 pacotes de biscoito, 5 latas de leite e 10 sabonetes?

15) (Apostila do Positivo – 6º ano) Mônica estava voltando para casa quando percebeu que estava quase sem combustível no carro. Ao estacionar no posto de combustível viu que o preço da gasolina era R$ 2,979 o litro. Quanto ela gastou ao colocar 10 litro desse combustível para completar o tanque?


16) (Apostila do Positivo – 6º ano) Calcule: a) O dobro de 2,51 b) o triplo de 0,04 b) O dobro de 1,7 adicionado a 0,5 d) o triplo de 0,27 subtraído de 3

17) (Apostila do Positivo – 6º ano) Faça uma estimativa de cada produto a seguir:

a) 45,1 x 3,4 b) 0,31 x 2,8 c) 9,9 x 4 d) 25,3 x 12 Verifique com a calculadora suas estimativas 18) (Apostila do Positivo – 6º ano) Alguns produtos estavam em promoção no supermercado.

a) Quantos reais gastaria uma pessoa que comprasse 2,5 kg de batata e 1,8 kg de cenoura? b) E quem comprasse 0,5 kg de tomate e 3,5 kg de banana.

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS II 19) Efetue as multiplicações (arme e efetue): a) 3,8 x 6,7 b) 4,12 x 9 c) 0,25 x 0,36 d) 8,35 x 8 e) 18 x 3,14 f) 8,56 x 7,3 x 2 g) 0,125 x 4 h) 9,736 x 9,6 i) 0,924 x 1,8 j) 0,25 x 0,2 k) 0,2 x 0,2 x 0,2 l) 28 x 0,1 m) 4,5 x 0,01 n) 0,1 x 0,001 o) 3,6 x 0,4 x 0,01


20) Determine o valor das expressões (arme e efetue): a) 9,6 x 7,8 + 5,12 b) 10 – 6,3 x 0,87 c) 5,4 x (3 – 1,67) d) 3,2 x 5 – 10,28 e) 2,8 x 0,6 – 0,9 x 1,4 f) 18,86 – 3,8 x 4,7 21) Calcule o dobro de 4,5. 22) Calcule o triplo de 12,30. 23) Se a= 2,3 x 3,8 e b= 5,6 – 3,4, calcule o valor de a-b 24) Comprei 8 objetos a Cr$ 182,50 cada um. Dei ao caixa Cr$ 1.500,00. Quanto devo receber de troco? 25) Considerando que o passo de Rafael mede 0,83 metro, quantos metros ele terá andado ao dar 2.500 passos? 26) Se 1 metro de arame custa Cr$ 8,00, quanto pagarei por 7,5 metros? 27) Para fazer um vestido, Flávia comprou 2,75 metros de tecido a Cr$ 816,00 o metro e pegou Cr$ 2.000,00 de feitio. Em quanto ficou esse vestido? PROVA DE MATEMÁTICA APLICADA 2/12/2014 EM MONTE SANTO DE MINAS (6º ANO)

1) Transforme em fração: a) 0,3 b) 0,12 c) 1,2 d) 2,54 e) 1,420 f) 0,00002 g) 13,4 h) 140,44 i) 1999,5 2) Transforme em número decimal: a) 415/10 b) 1592/100 c) 4/10 d) 4/100 e) 5/1000 f) 128/1000 g) 4523/10000

3) Compare: a) 2,5_______ 2,5000 b) 1,00___ 1 c) 1,42____ 1,042 d) 1,25_____ 1,205 e) 2,34 ___ 2,332 f) 1,9999____ 2 g) 14,1______ 1,4 h) 1,3000____ 1,300 i) 1,30___ 1,03


4) Ache um número: a) Entre 0 e 1 b) Entre 2,5 e 2,6 c) Entre 3,14 e 3,15

5) Dê um valor aproximado razoável para x, y, z e w:

PROVA 7º ANO DE MONTE SANTO DE MINAS SOBRE NÚMEROS DECIMAIS 2015 Várias versões de prova. As questões abaixo eram de algumas delas. 1) Numa livraria, um funcionário organizou uma pilha de pactos de papel sulfite para venda. Cada pacote possui 500 folhas e massa total aproximada de 2,5 kg.

Qual é a massa total da pilha? Explique seu raciocínio. 2) Efetue os cálculos, armando a conta sempre que possível (será avaliada a “conta armada”)

5– 3,926 0,032 x 0,042 1

5+ 0,25

0,24 x 0,0031 1

2+ 0,5 10 – 8,411

0,032 x 0,041 8 – 6,521 0,5+1

2

5– 3,916 0,031 x 0,042 1

5+ 0,35

0,24 x 0,031 1

2+ 0,6 9 – 8,411

0,032 x 0,021 8 – 6,531 0,6+1

2

5– 3,921 0,012 x 0,042 1

5+ 0,45

0,24 x 0,0021 1

2+ 0,7 10 – 8,421

0,032 x 0,031 8 – 6,621 0,4+1

2


3) Efetue (pode ser mentalmente) 5,282 – 3,282 0,04 x 800 142,5 : 0,001 42 x 0,5 8 x 0,25 4,232 – 3,232 0,02 x 800 24,25 : 0,001 68 x 0,5 12 x 0,25 5,144 – 2,144 0,03 x 8000 1,425 : 0,001 120 x 0,5 12x 0,25 0,7 x 9000 52 x 0,5 44 x 0,25 42,162-40,144 5,22 : 0,01 0,3 x 9000 48 x 0,5 64 x 0,25 51,162-40,144 8,22 : 0,01 0,7 x 5000 90 x 0,5 60 x 0,25 42,512-30,512 51,22 : 0,01 6,205 : 0,001 0,03 x 400 22 x 0,5 9,154 – 4,154 88 x 0,25 64,11 : 0,001 0,03 x 500 400 x 0,5 10,154 – 4,154 400 x 0,25 62,05 : 0,001 0,01 x 300 40 x 0,5 9,154 – 3,154 120 x 0,25 4) Determinado produto custava R$ 420,00. Ele foi vendido com um desconto de 7,5%. Por quanto foi vendido esse produto? 5) Ao pagar uma conta atrasada, no valor de R$ 160,00, Nelly pagou uma multa de 4,5%. Qual foi o preço pago por Nelly por essa conta? 6) Um jogo aumenta em 1,5% os pontos de um jogador que consegue pegar certa estrela dourada. Se o jogador tem 1400 pontos antes de pegar tal estrela, qual será sua pontuação após captura-la? 7) Determinado produto custava R$ 450,00. Ele foi vendido com um desconto de 7,5%. Por quanto foi vendido esse produto? 8) Ao pagar uma conta atrasada, no valor de R$ 160,00, Nelly pagou uma multa de 3,5%. Qual foi o preço pago por Nelly por essa conta? 9) Um jogo aumenta em 2,5% os pontos de um jogador que consegue pegar certa estrela dourada. Se o jogador tem 1400 pontos antes de pegar tal estrela, qual será sua pontuação após captura-la? 10) Determinado produto custava R$ 410,00. Ele foi vendido com um desconto de 7,5%. Por quanto foi vendido esse produto? 11) Ao pagar uma conta atrasada, no valor de R$ 150,00, Nelly pagou uma multa de 4,5%. Qual foi o preço pago por Nelly por essa conta?


12) Um jogo aumenta em 1,5% os pontos de um jogador que consegue pegar certa estrela dourada. Se o jogador tem 1300 pontos antes de pegar tal estrela, qual será sua pontuação após captura-la? 13) Matheus tem idéias diferentes. Ele pensou em medir com o seu palmo a distância entre a Escola Nova e a Escola Wenceslau Bráz. Se a distância entre as escolas é de 150 m e o palmo de Matheus é de 15 cm, qual será a distância entre as escolas em “palmos de Matheus”? 14) A distância entre a Terra e o Sol é de 149.000.000 km. Um disco voador faz a viagem entre a Terra e o Sol, de ida e volta, 5 vezes por semana. Qual é a distância percorrida por esse disco voador em metros? 15) O Pokémon Axukisei é muito grande e gordo pesando 4,5 kg. O seu irmão, o Pokémon Axukinumsei tem outro peso: 11.500 g. Qual é a diferença entre os pesos dos dois Pokémons? 16) Lucas Bone e Linconl disputam para ver quem consegue juntar mais argolas de latinhas de refrigente. Lucas Bone conseguiu arrecadar 4.200 g em latinhas, enquanto Linconl arreadou 5,25 kg. Qual é a diferença de arrecadação entre os dois? 17) Rafaela caminha por dia 9,8 km. Nicoly caminha por dia 10.800 m. Qual é a diferença, em centímetros, do que uma percorre em relação à outra? 18) Anunciado o preço de R$ 4,50 por 100 g de biscoito, quanto pagará quem comprar 1,2 kg de biscoitos? 19) Sabendo que 1 metro de tecido custa R$ 9,42, qual é o preço de 40 cm desse tecido? 20) Arnaldo, Cernaldo e Bernaldo são seres extraterrestres de tamanhos e formatos diferentes. Arnaldo pesa 4,2 kg. Bernaldo pesa 52.400 g. Cernaldo pesa 42.000.000 mg. Quanto pesam os três seres juntos? 21) Quantos centímetros caminha quem anda 2,45 km?


22) Escreva as operações que você precisará realizar para resolver o problema (não é necessário efetuar os resultados!). Você precisará eliminar os zeros quando for conveniente, para apresentar a melhor resposta.

a) Comprei 4,52 m de um tecido que custa R$ 2,80 por metro. Ainda paguei mais R$ 42,50 pela mão de obra. Quanto paguei?

b) Eu tenho 5.420,00 g de doce para repartir. Eu ficarei com a metade, e o restante dividirei com 4 amigos. Quanto receberá cada amigo?

c) Comprei 4,42 m de um tecido que custa R$ 2,80 por metro. Ainda paguei mais R$ 43,50 pela mão de obra. Quanto paguei?

d) Eu tenho 5.320,00 g de doce para repartir. Eu ficarei com a metade, e o restante dividirei com 3 amigos. Quanto receberá cada amigo?

e) Comprei 3,52 m de um tecido que custa R$ 2,80 por metro. Ainda paguei mais R$ 52,50 pela mão de obra. Quanto paguei?

f) Eu tenho 5.410,00 g de doce para repartir. Eu ficarei com a metade, e o restante dividirei com 4 amigos. Quanto receberá cada amigo?

PARA TIRAR DÚVIDAS QUANTO AOS PRINCIPAIS ERROS NA PROVA

Jamais confunda! (1) 5 – 3,12 NÃO PODE armar como 3,12 em cima (2) UNIDADE EM BAIXO DE UNIDADE, VÍRGULA EM BAIXO DE VÍRGULA!

1) Arme e efetue: a) 10 – 9,126 b) 1 – 6,12 c) 5,423 – 1 2) Calcule mentalmente: a) 8,144 – 4,144 b) 17,2574 – 10,2574 3) FIQUE ATENTO AO QUE O PROBLEMA ESTÁ PEDINDO! Escreva o cálculo que você utilizará para resolver o problema.

a) Se cada litro de gasolina custa R$ 3,399, quanto custará 82,46 litros?

b) Se o meu carro tiver um marcador digital de capacidade de combustível, marcando 42,1 litros antes do abastecimento e depois do abastecimento marcar 69,7 litros, qual será o meu custo?

c) Se eu comprar 62,5 litros de gasolina com um desconto de 21,3%, qual será o meu desconto?


SÓ APRENDE MATEMÁTICA SE: * PRESTAR ATENÇÃO NA AULA * FAZER TODOS OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS! JAMAIS COPIAR

* ESTUDAR EM CASA Caso contrário: IMPOSSÍVEL!

4) Lembre-se que: 1

2= 0,5

1

4= 0,25

1

5= 0,2

Calcule:

a) 1

4+ 2,5 b)

1

2+ 0,6 c)

1

4+

1

2

5) Quanto vale R$ 21

4? E R$ 1

3

4?

FOI EXPLICADO MUITAS VEZES E MUITOS ALUNOS NÃO OUVIRAM ÷ 0,1 é mesma coisa que x 10

÷ 0,01 é mesma coisa que x 100 ÷ 0,001 é mesma coisa que x 1000

Mas IMPRESSIONANTEMENTE a maioria errou!

6) Calcule:

a) 46 ÷ 0,1 b) 6,2 ÷ 0,1 c) 0,062 ÷ 0,1

d) 46 ÷ 0,01 e) 6,2 ÷ 0,01 f) 0,062 ÷ 0,01

g) 46 ÷ 0,001 h) 6,2 ÷ 0,001 i) 0,062 ÷ 0,001

TAMBÉM FOI DITO E REDITO, MAS MUITOS NÃO OUVIRAM!

÷ 0,5 é mesma coisa que x 2 ÷ 0,25 é mesma coisa que x 4

÷ 0,125 é mesma coisa que x 8

7) Calcule mentalmente (veja o quadrinho acima):

a) 8÷ 0,5 b) 66 ÷ 0,5 c) 5 ÷ 0,5

d) 40 ÷ 0,25 e) 64 ÷ 0,25 f) 100 ÷ 0,25

g) 8 ÷ 0,125 h) 80 ÷ 0,125 8) Calcule mentalmente (só pensar!) a) 6 x 0,5 b) 44 x 0,25 c) 50 x 0,5 d) 40 x 0,25 e) 0,44 x 0,25 f) 1,60 x 0,5 9) Multiplicar por 5 é o mesmo que dividir por ________ Multiplicar por 3 é o mesmo que dividir por ________ Dividir por 5 é o mesmo que multiplicar por _________


NOÇÃO DE NÚMERO NEGATIVO 1) Mariazinha, menina esperta, observadora resolveu apostar com os colegas que ela falaria um número mais baixo que eles. Chegou em Luiz e pediu que ele falasse um número. Luiz falou 5. Facilmente ela disse um número menor 4! Jonas, percebendo o que havia acontecido falou 0! Fale um número menor que 0! Facilmente Mariazinha disse um número menor. a) Que número Mariazinha pode ter dito? b) Fale um número menor que o número que você acha que Mariazinha falou. E um número menor

que este ainda. 2) Dados os números abaixo, coloque na ordem crescente. Do menor para o maior! a) –3, -5, +2, +4, -9, 0 e +11 b) –5, +4 -2, +5, -11, +16 3) Abri uma conta corrente dia 29/01, depositando 265 reais na conta. Preencha a tabela abaixo, de acordo o movimento de dinheiro nesta conta:

MOVIMENTO SALDO APÓS O MOVIMENTO

02/02 - Emiti um cheque no valor de R$ 65,00

05/02 – Emiti um cheque no valor de R$ 418,00

16/02 – Depositei R$ 190,00 na conta

22/02 - Emiti um cheque de R$ 80,00

28/03 – Depositei R$ 123,00 na conta

Ao final do mês meu saldo estava positivo ou negativo? De quanto? 4) Acreditam os historiadores que Jesus Cristo nasceu no ano 4 aC. Se isto for verdade, em que ano Jesus Cristo morreu, sabendo que ele morreu aos 33 anos. 5) Quantos anos se passaram do ano 500 aC até o ano 1998 dC? 6) A temperatura de uma cidade próxima ao polo norte em certo dia foi de 13o . Sabendo que a temperatura média anual é de –20o , quantos graus acima da média de temperatura apresentou-se neste dia? 7) Uma balança com tara desregulada pesa uma taça cheia de sorvete e aponta 300 g. Sabendo que o peso da taça é de 500 g, e que a tara estava preparada para 400g, responda: a) Quantos gramas de sorvete a pessoa perderá? b) Qual o peso que será marcado com a taça vazia? c) Qual o peso que será marcado pela balança com uma taça de 200 g vazia? 8) Os alunos da 6a série se reuniram para realizar um campeonato de Futebol, se inscreveram os seguintes times: Urubus da Fiel, Sai de Baixo, Bola Mucha, Quebra Pedra e Racha Cuca. No final do campeonato, todos os times empataram na quantidade de pontos e no regulamento estava escrito que o time que tivesse maior Saldo de Gols. Utilizando a tabela abaixo decida quem venceu o campeonato:

EQUIPE GOLS MARCADOS GOLS TOMADOS SALDO DE GOLS

Urubus da Fiel 24 22

Sai de Baixo 26 33

Bola Mucha 5 12

Quebra Pedra 25 27

Racha Cuca 18 15

9) Calcule as somas algébricas: a) –3+2 b) +3+5 c) –9-11 d) +7-9 e) –1-12 f) –1+4 g) +5-2 h) 1+7 i) 1-7 j) 2-12 l) +2-11 m) –6+14 n) –10+7 o) +7-10 p) +10-7 q) –7+10 r) –4+4 s) –12+0 t) –6+6 u) –11+4 v) –4+2 x) –1-2 z) –12+2


54) Calcule as somas algébricas: a) –15+41+12+21-43 b) –7-8+24-10+31-4-19 c) 19-21+100+36-100-35 55) Na Gincana Cultural Potências X Radicais existem os Pontos Variáveis. Neles, ambas equipes começam com 25 pontos, cada ponto perdido em uma é ponto ganho em outra. Assim, sempre a soma dos pontos variáveis será 50. Calcule quantos pontos ficará cada equipe nas seguintes hipóteses: a) Potências perde 5 pontos/ Radicais perde 8 pontos/ Radicais perde 11 pontos/ Potências perde 19

pontos/ Radicais perde 8 pontos/ Potências perde 16 pontos/ Potências perde 24 pontos/ Radicais perde 17 pontos/ Potências perde 18 pontos.

b) Potências perde 10 pontos/ Potências perde 4 pontos/ Potências perde 3 pontos/ Radicais perde 15 pontos

c) Radicais perde 5 pontos/ Potências perde 8 pontos/ Radicais perde 4 pontos/ Radicais perde 8

pontos d) Potências perde 1 ponto/ Potências perde 10 pontos/ Radicais perde 4 pontos/ Potências perde 3

pontos

e) Radicais perde 9 pontos/ Potências perde 4 pontos/ Potências perde 3 pontos/ Potências perde 2 pontos/ Radicais perde 18 pontos

7) Calcule quantos pontos variáveis tem a equipe dos Radicais se a equipe Potências tem: a) 15 pontos b) - 23 pontos c) 39 pontos d) 68 pontos e) 100 pontos f) –12 pontos g) –14 pontos h) 385 pontos 8) Em determinado dia o placar dos pontos variáveis estava –12x62 para a equipe dos Potências. Após este dia, no dia seguinte somando os pontos perdidos dos Potências achamos 145 e os pontos perdidos dos Radicais achamos 132 pontos. Qual foi o placar deste dia seguinte? 9) Resolva as expressões: a) 10+[-8-(-1+2)] b) –4-[-2+5-(-5+2)]-1+7 c) –4-12+9-(-2+6-8) 10) A equipe dos Potências tinha 78 pontos, e perdeu 10 mais 7 pontos. Quantos pontos ela perdeu? Com quantos pontos ficou a equipe dos Radicais? 11) Resolva as expressões: a) –3-[-(-1+6)+4-(-1-2+3)-1] b) 1-(-2)-[-(-2)-3-(-6+2)]


12) a) Quanto vale o oposto de –3? b) Quanto vale o oposto do oposto de –3? c) Quanto vale –(-3)? d) Quanto vale –[-(-3)]? 13- Identifique as figuras simétricas dentre as apresentadas abaixo:

14. No início do mês, tinha um saldo de R$ 250,00 de débito no Banco (estava no “vermelho”).

Num período de 15 dias verifiquei o seguinte movimento: CRÉDITOS DÉBITOS

01 - Salário R$ 550,00 02 - Pagamento Água R$ 42,00

07 - Depósito R$ 155,00 02 - Pagamento Telefone R$ 152,00

11 - Empréstimo R$ 322,00 02 - IPTU – 1ª parcela de 12 R$ 15,00

15 - Restituição IR R$ 12,00 04 - Saque R$ 145,00

05 - Cheque compensado R$ 150,00

06 - Saque R$ 150,00

09 - Taxas bancárias R$ 35,00

14 - CPMF R$ 8,00

a) Calcule quanto estava meu saldo bancário nos dias: 02, 04, 05, 06, 09, 11 e 15. b) Considerando que o juros de empréstimo é menor que o do cheque especial, o que você acha

do empréstimo feito no dia 11?

16. Determine o módulo e o oposto dos números: a) 5 b) – 3 c) 0 d) +7 17. Numa gincana uma equipe tem 50 pontos, perde 7, ganha 5, perde 11, perde 17, perde 23, perde 19, ganha 15, ganha 5, ganha 2, ganha 13, perde 41, ganha 43, perde 11. Quantos pontos esta equipe fica após todas estas perdas e ganhos de pontos? 20. (Concurso do SAAE – São Carlos – Aferidor de Hidrômetro – 2003) Extrato bancário do Sr. X

DATA DOC HISTÓRICO DÉBITOS R$

VALORES R$

03/08 - SALDO ANTERIOR 2.347,00 C

05/08 Cheque 452 COMPENSAÇÃO -550,00 D

06/08 Cheque 453 COMPENSAÇÃO -298,00 D

06/08 - SALDO ?

10/08 Cheque 454 COMPENSAÇÃO -1.700,00 D

11/08 - SALDO ?

Analisando esse extrato, o Sr. X tinha nos dias 06 de agosto e 11 de agosto, respectivamente: a) saldo positivo de R$ 3.195,00 e R$ 5.615,00 b) saldo positivo de R$ 1.499,00 e um saldo negativo de R$ 201,00 c) saldos positivos de R$ 3.195,00 e R$ 1.495,00 d) saldos positivos de R$ 1.495,00 e R$ 201,00 21. (SIMAVE – 8ª série – 2002) Sr. Manoel é gerente de uma loja de roupas. Ele anota os lucros com números positivos e o prejuízo com números negativos. Ao final do mês de outubro ele registrou:

Pode-se concluir que, ao final de outubro, a loja teve: A) lucro de R$ 130,00 B) lucro de R$ 20,00 C) prejuízo de R$ 110,00 D) prejuízo de R$ 60,00


ORDEM NOS INTEIROS 1- Eis algumas informações: a- A água ferve a uma temperatura de 100 graus acima de zero._____ b-O corpo humano mantém uma temperatura de 36 graus acima de zero._____ c- Um congelador doméstico (freezer) mantém 18 graus abaixo de zero._____ Indique cada uma dessas temperaturas,usando números positivos, negativos ou nulos . 2- O sr. Dis Traído tinha R$ 350,00 no banco e deu dois cheques, cada um de R$ 200,00. O sr. Gastão tinha a mesma quantia no banco, e deu dois cheques, cada um de R$ 175,00. O sr. Dis Traído ficou com saldo positivo, negativo ou nulo? E o sr. Gastão? Indique esses dois saldos: ___________________________ 3- Um termômetro está marcando a temperatura de +5 graus Diga quanto ele marcará se a temperatura : a- subir 7 graus:_____ b- descer 5 graus:_____ c- descer 8 graus:_____ d- descer 12 graus:____ e-subir 3 graus e depois descer 8 graus:_____ . 4- O sr. Fê Lizardo é irmão do gerente do banco. Por isso, no momento, seu saldo é de -R$500,00. Qual será o saldo se ele: a- depositar R$1 000,00? b- em vez de depositar, retirar R$1 000,00? c- retirar R$150,00 e depois ainda retirar R$250,00?a)___________________ b)___________________ c)__________________ 5-Se tenho R$2 000,00 no banco e retiro R$2 300,00, fico com um saldo negativo de R$300,00. A representação matemática desta situação é: 2 000-2 300=-300. Nas seguintes situações, não serão dados os resultados; você é que deve descobrí-lo: a- Tenho 10 000 e retiro 7 000. Qual é o meu saldo?_______________________________________ b- Tenho 8 000 e retiro 19 000. Qual fica sendo o meu saldo?_______________________________ c- Tenho 9 000 e retiro 23 000. Qual é o meu saldo?______________________________________ d- Tenho 0 e retiro 29 000. Qual é o meu saldo?_________________________________________ 1- Nessas frases utilizamos os sinais > ou < . Quais delas são verdadeiras? a) +5 <+7 b) -5 < +7 c) -5 < -7 d)+ 5 < -7 e) 0 > -8 f) 0 < -8 g) -8 < -7 h) -8 > -7 2-Escreva na ordem crescente os números: +9, -9, +5, -5, +1, -1 , 0. ________________________ 3- Na reta dos números inteiros, a distância de -3 até +2 é 5. Diga a distância : a) de -2 até +2._____ b) de -6 até 0. _____ c) de -17 até -9._____ d) de -30 até -2._____ 4- Vamos representar Z da maneira habitual, por pontos marcados em uma reta. Diga qual é o número representado pelo ponto que vem imediatamente : a) à direita de +999.____ b) à direita de -999:_______ c) à esquerda de +999.____ d) à esquerda de -999._____ e) à direita de -1._____ f) à esquerda de -1._____ 5-Sucessor de um número inteiro é o que está representado imediamente à direita deles, na reta dos inteiros. Antecessor è o que está imediatamente à esquerda. Dê o que se pede: a) o antecessor de +150:____ b) o susessor de +100:____ c) o antecessor de -150:_____ d) o sucessor de -100:_____e) o sucessor de + 5:____ f) o antecessor de -7:_____ 6- Apresente os opostos ou simétricos de: a) +5:____ b) -6:____ c) -30:____ d) +56:____ e) -7:____ 7- Apresente os módulos de : a) +8:____ b) -9:____ c) -23:____ d) +88:_____ e) +1:____f) 0:_____ 8-Responda: a) Qual o simétrico de -15?_____ b) Qual o valor absoluto de -15?_____ c) Qual o simétrico de +20?_____ d) Qual o valor absoluto de +34?_____ 9-O instante de lançamento de um foguete é o instante 0(zero). A contagem regressiva começa 60 segundos antes do lançamento, isto é, no instante -60.Indique com um número inteiro,estes instantes: a) o segundo seguinte ao início da contagem:______ b) o do segundo anterior ao instante do lançamento:______ 10- O ponto mais alto do Brasil é o pico da Neblina. Localizado na serra Imeri no estado do Amazonas, fronteira com a Venezuela, Tem 3 014 metros de altitude. E o ponto mais baixo do Brasil é a fossa do Ramanche, no litoral do Nordeste. Fica a 7 370 metros abaixo do nível do mar.a) Represente essas medidas usando números positivos ou negativos.________________ __________________ b) Quantos metros a fossa do Ramanche é mais baixa que o pico da Neblina?_________________________ 11-Complete com < ou > a) -8____-10 b) +13____+5 c) -7____+7 d) -17____-16 e) 0 ____-9 10 - Qual é o maior número inteiro o -4 ou o +1


EXERCÍCIOS – COLÉGIO EINSTEIN “O GÊNIO DO BUENO” 1-) Na reta numérica a seguir, as abscissas dos pontos A e B são números opostos e a distância de A até C é a mesma de C à origem. Sabendo que a abscissa de C é – 2,75, quais as abscissas de A e B? 2-) Observe a reta numérica e responda a) Determine a abscissas de cada ponto representado por uma letra. b) Qual número é maior: ● D ou E? ● A ou C? ● B ou D? 3-) Uma empresa divulgou um gráfico no qual apresentava o resultado de suas operações, ou seja, se teve lucro ou prejuízo em cada bimestre de determinado ano.

a) Em quais bimestres a empresa lucrou? E em quais teve prejuízo? b) O maior prejuízo ocorreu em qual bimestre? De quantos reais foi esse prejuízo? c) Quais bimestres obtiveram lucro entre R$ 25 000,00 e R$ 42 000,00?

4-) Veja quanto o termômetro está marcando em cada horário:

Às 8 horas Às 10 horas Às 14 horas Às 18 horas Às 22 horas À meia-noite – 2º C 1º C 4º C 0º C 0º C – 1º C

Agora responda: de quantos graus a temperatura aumentou ou diminuiu: a) das 8 horas às 10 horas? b) das 10 horas às 14 horas? c) das 14 horas às 18 horas? d) das 18 horas às 22 horas? e) das 22 horas à meia-noite? 5-) Determine o valor de cada letra no esquema.


6-) Muitas espécies animais vivem em regiões bem profundas dos mares e oceanos. Devido à dificuldade em realizar expedições de pesquisa nessas regiões, acredita-se que ainda existam muitas espécies não catalogadas pelo homem. Observe algumas espécies animais que vivem nessas regiões.

O peixe A vive em regiões de até – 200m em relação ao nível do mar; o peixe B, em regiões até 2 vezes mais profundas que o A; e o peixe C, em regiões até 5 vezes mais profundas que o B. Determine, em relação ao nível do mar, até que profundidade vivem os peixes B e C.


SOMA ALGÉBRICA Para fazer a chamada “Soma Algébrica”, a mais usada operação com números positivos e negativos usamos os seguintes mecanismos: Exemplos: a) +5-3 +5-3 é o mesmo que 5-3. É só contar nos dedos: dá 2! Não precisa usar a regra publicada em livros “Quando na soma algébrica os sinais forem diferentes, conserva-se o sinal do número de maior módulo e acha-se a diferença dos valores absolutos”. Para padronizar a regra, podemos observar a reta numérica. Adição é “caminhar para frente” numa reta numérica. Subtração é “caminhar para trás”. Tome como ponto de partida o número 5. Caminhe 3 para trás. Achamos a resposta de 5-3 ou de +5-3=2, ou +2. Exatamente mesma coisa que aqueles “monstros” da 6ª série. Você também pode pensar tenho 5, devo 3. Ou fazer bolinhas abertas e bolinhas fechadas e depois preencher, mas, o uso na reta é mais natural. b) +5-7 É 5-7. 7 é duas unidades mais que 5, então vamos chegar até o -2 se caminharmos na reta. É muito fácil, e não precisa de regra e nem de “pegar o sinal do maior”, ou tenho e devo. c) -5-2 Mesmo raciocínio. Você está no -5 e “anda 2” para trás Achamos -7 e não precisamos usar nenhuma regra confusa. d) +4+3 É lógico que 4+3 dá 7. Não precisamos de regras e nem da reta numerada. e) -2+5 Veja na reta: Dá 3 ou +3 se preferir. f) -3+1 Veja na reta:


g) -3+3 Dá 0. Soma de números opostos sempre resulta 0. Veja na reta: Não confunda: falar “menos com menos dá mais”, e “sinais iguais, mais”, e outras regras prontas assim. Estas regras só valem para MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO. Para fazer somas algébricas com vários números -4+5-2+3-4, por exemplo, aconselhamos que some primeiro todos os números negativos e depois os positivos: -10+8 e depois efetue a operação. Se for possível, elimine alguns elementos. Ex: -3+5-1+7-5-4 Podemos “cortar” +5 e -5, pois +5-5=0. -3+5-1+7-5-4 Podemos também “cortar” -3-4 e +7, pois -3-4=-7 -3+5-1+7-5-4 1. Calcule as somas algébricas: a) –3+2 b) +3+5 c) –9-11 d) +7-9 e) –1+4 f) +5-2 g) 1+7 h) 1-7 i) –4+4 j) –12+0 2. Calcule as somas algébricas: a) –15+41+12+21-43 b) –7-8+24-10+31-4-19 c) 19-21+100+36-100-35 3. Resolva as expressões: a) 10+[-8-(-1+2)] b) –4-[-2+5-(-5+2)]-1+7 c) –3-[-(-1+6)+4-(-1-2+3)-1] d) 1-(-2)-[-(-2)-3-(-6+2)] 4. a) Quanto vale o oposto de –3? b) Quanto vale o oposto do oposto de –3? c) Quanto vale –(-3)? d) Quanto vale –[-(-3)]? 5. Elimine os parênteses e resolva: a) +(-4+5) b) –(-3-7) c) –(-3+5-1) d) –(-2+4-2-3) e) +(-2-3-5-9) 6. Calcule as somas algébricas, eliminando parênteses, colchetes e chaves: a) +14-(-10+5+3) b) –15+[-4-(-5+20)] c) 20-{-10+[+20-(-20+10)]}


OPERAÇÕES COM NÚMEROS NEGATIVOS 7. Calcule os produtos: a) (+5).(+6) b) -5.(-6) c) (-5).(+6) d) (-5).(-6) e) -8.2 f) (-6).(-8) g) 2.(-1) h) (-4).0 8. Calcule os produtos: a) (+3).(-7).(+2) b) (-4).(-2).(-2) c) (+3).(-2).(-5) d) 3.(-1).(-1).(-1) 9. Aplicando as regras práticas, determine os produtos: a) (+2).(+1).(+1) b) (-2).(-1).(-1).(-1) c) (-1).(-1).(+2).(-2).(-1).(-2) 10. Calcule os quocientes: a) (+15): (+3) b) (+15): (-3) c) -15: (+3) d) -15: 3 e) (+9): (-9) f) 0: (+7) 11. Calcule o valor das expressões: a) a+b para a=3 e b=4 b) ab para a=2 e b=7 c) 5xy para x=-2 e y=5 d) 2x-y, para x=-3 e y=-5 e) 4x-2y+5z sendo x=-1, y=-6 e x=+5 f)6xy-5y, sendo x=+4 e y=-1 g) 5a-3ab+7b, para a=-3 e b=+2 12. Calcule as expressões: a) (-4+20): (-8) b) (-6-14): (-6+1) c) (-8).(+3)-(-15): (+3) d) [-8+(-4).(-3)]: (-1-1) e) (-6-2+3):[-3.(-2+3)+8] f) –20:{-6+[(-2).(-3): (+2)]-2} (Exercícios de 1 à 12 usados pelo autor originalmente na EE Prof. Salatiel de Almeida, de Muzambinho – MG, em abril de 1998, na 6ª série - adaptados) OPERAÇÕES COM NÚMEROS NEGATIVOS 1) Calcule as somas: a)+8-7 b) –2+8 c) 9+3 d) –10+5 e)3-5 f) 10-2 g) –2-8 h) –9-12 i) –8+8 j) –5-5 l) 1-2 m) 6-12 2) Calcule as somas: a) –8+2-5 b) –6+4+8-9-7 c) +5+10-2-6 d) +3-8-6-4-1 e) –12+7+15-18-12 f) 8-2+5-6+4 g) 5-2+7-3+1 h) –3+9-10-8+16-2+24 i) +13-7-6-9+14 j) –25+3-18+21-30-16 l) –30-4+9+15-20+14 m) –22+18+16-3+21-10+17


3) Efetue as adições, cancelando os números opostos: a) –6+8+6-4+4+1 b) 4-9+2-1+9-2 c) 5+6-7+1+7-10 d) –3+4-5+3+6 e) 12-6+5-5+6-12 f) –1+1-4+4-5+6 4) Resolva os problemas: a) Quantos anos viveu o matemático e filósofo francês René Descartes sabendo-se que ele nasceu

em 1596 e morreu em 1650? b) Arquimedes, famoso matemático e inventor grego, nasceu em –287 e morreu em –212. Quantos

anos ele viveu? c) Quem nasceu no ano 35 a . C. e morreu no ano 32 d. C. quantos anos viveu? 5) Elimine os parênteses e resolva: a) +(-4+5) b) –(-4+5) c) +(+3+7) d) +(+3-7) e) –(+3-7) f) –(-3-7) g) –(-3+5-1) h) –(-2+4-2-3) i) +(-2-3-5-9) j) +(-2+4-4+6) l) –(+1-5-5-2) m) –(-2+9-2) 6) Calcule as somas algébricas, eliminando parênteses, colchetes e chaves: a) +14-(-10+5+3) b) –15+[-4-(-5+20)] c) 20-{-10+[+20-(-20+10)]} d) –12+(-6)-(-8-5) e) 20-[-8+(-15+9)] f) 4-{-6-[+7+(-3+1)]+5} g)-2-{-[-(-1+4)]} h) 12+{-2+[-3-(-2+1)]} 7) Calcule os produtos: a) (+5).(+6) b) (+5).(-6) c) (-5).(+6) d) (-5).(-6) e) (-8).(+2) f) (-6).(-8) g) (+2).(-1) h) (-4).(-9) i) (+3).(+7) j) (-9).(+2) l) (-1).(-1) m) 0.(-4)


9) Calcule os produtos: a) (+3).(-7).(+2) b) (-4).(-2).(-2) c) (+3).(-2).(-5) d) (-1).(-1).(-1) e) (+20.(+3).(+2) f) (+1).(-10).(-1) g) (-2).(+2).(-2).(-1) h) (+3).(-4).(+2) i) (-8).(-2).(+1).(-3) j) (-6).(+2).(-2).(+4) l) (-2).(-2).(-2).(-2) j) (-2).(-2).(-2).(-2).(-2) 10) Aplicando as regras práticas, determine os produtos: a) (+2).(+1).(+1) b) (-1).(-1).(+2).(-1) c) (-2).(-1).(-1).(-1) d) (-1).(-1).(+2).(-2).(-1).(-2) e) (-3).(-4).(+5) f) (-5).(+5).(-2).(-3) g) (-1).(-1).(-1). (-1).(-1).(-1) h) (+4).(-1).(-2).(-1).(-2).(-4) 11) Calcule os quocientes: a) (+15): (+3) b) (+15): (-3) c) (-15): (+3) d) (-15): (-3) e) (-2): (-1) f) (+9): (-9) g) (-8): (-8) h) 0: (+7) i) (-48): (+12) j) (-50): (-5) l) (+112): (-56) j) (-108): (+27) n) (+35): (+7) o) (+72): (+36) p) (-90): (-10) q) (-150): (+25) r) (-12): (-2) 12) Quais operações, dentre as quatro fundamentais, são possíveis dentro dos números inteiros? 13) Calcule o valor das expressões: a) a+b para a=3 e b=4 b) a+b para a=-3 e b=-2 c) a-b para a=2 e b=-5 d) ab para a=2 e b=7 e) 5xy para x=-2 e y=5 f) 2x-y, para x=-3 e y=-5 g) 4x-2y+5z sendo x=-1, y=-6 e x=+5 h) 4ab+5a, sendo a=8 e b=-8 i) 6xy-5y, sendo x=+4 e y=-1 j) 5a-3ab+7b, para a=-3 e b=+2 k) 2ab-5abc, para a=2, b=3 e c=-1


14) Calcule as expressões:

b) (-4+20): (-8) b) (-6-14): (-6+1) c) (-8).(+3)-(-15): (+3)

d) [-8+(-4).(-3)]: (-1-1) e) (-6-2+3):[-3.(-2+3)+8] f) –20:{-6+[(-2).(-3): (+2)]-2}

EXPRESSÕES I

Elimine os parênteses e calcule as somas algébricas

a) +5+8+2+1 Resposta: 16

b) -2-3-4 Resposta: -9

c) -8+6-4-5+1 Resposta: -10

d) 12-15+32-5-3 Resposta: -45

e) -1-2+7-15-20 Resposta: -31

f) +5+(+3-2) Resposta: 6

g) +8+(-5+2) Resposta: 5

h) 15+(-23+12) Resposta 4

i) 9-(4-20) Resposta 25

j) -25-(-15+10) Resposta -20


k) +15-(-12-20) Resposta 47

l) -21-(15-12) Resposta -24

m) –(+6-8)+(+4-5)+10 Resposta 11

n) +2+(-5+8)-(-9+4-12) Resposta 22

o) (-9+5)-(-6+8-4) Resposta -2

p) -4-(4-7)-(1-6-8) Resposta 12

q) 0+(-6+3) Resposta – 3

r) -9-4+8+6+4-15 Resposta: -10

s) -3-4-5+3+6 Resposta: -3

t) -21+45+36-45+21 Resposta: 36

u) 4-48-4+60 Resposta: -38

v) 9+15-5+35-20 Resposta: 34

w) -6-5-4-3+4+6+5+3 Resposta: 0

x) +5-900+14 Resposta: -881


y) 168-432+365 Resposta: 101

z) -999+333-1+666 Resposta: -1

aa) -7-7+17-3 Resposta: 0

bb) -20+20-40-50 Resposta: -50

cc) 38-[-12-(-20+30)+(12-50-2) Resp: 100

dd) 14-(-10+5+3) Resposta: 16

ee) -15+[-4-(-5+20)] Resposta: -34

ff) 20-{-10+[+20-(-20+10)]} Resposta: 0

gg) -12+(-6)-(-8-5) Resposta: -5

hh) 20-[-8+(-15+9)] Resposta: 34

ii) 4-{-6-[+7+(-3+1)]+5} Resposta: 10

jj) -2-{-[-(-1+4)]} Resposta: -5

kk) 12+{-2+[-3-(-2+1)]} Resposta: 8


Elimine os parênteses e calcule as somas algébricas

a) +10+(+8)+(-4) Resposta: 14

b) -5+(-6)-(-8) Resposta: -3

c) 3+(+9-4) Resposta: 8

d) -6+(+2+6-3) Resposta: -1

e) -10-(-8+3) Resposta: -5

f) 4-(-6+2-9) Resposta: 17

g) -5-(-2-6+1)+(-3-4) Resposta: -5

h) –(2-5)-(-6+1) Resposta: 8

i) (7-3)+(-8+1)-(5-8) Resposta: 0

j) -9-[-3+(-2+1)] Resposta: -5

k) (-5+3)+[6-(3-10)] Resposta: 11


l) -1-{-2-[-5+(15-3)]} Resposta: 8

m) (-2-3)-{4+[-8-(-9+2)]} Resposta: -8

n) –(-5+1)+{-6-[2+(-3+6)]} Resposta: -7

o) 6-(-9+1)-{(-3+4)+[-(-5+1)+(-8+10)]}

Resposta: 7

p) –(-2)+(-3)-{-2+[-1-(-2+1)]+5}

Resposta: -4

q) 20-{-10-[-8+(5-12)]-20}

Resposta: 35

EXTRAS OPCIONAIS

a) -7+9-25+4 Resposta: -19

b) 10-5+15-3 Resposta: 17

c) -1-1-1+2 Resposta: -1

d) -8-4-5 Resposta: -17


e) 20+15-100 Resposta: -6

f) -20+10-30+40 Resposta: 0

g) -4+4-6+6-3 Resposta: -3

h) -12+16-9-16+12 Resposta: -9

i) 12-(-4+5) Resposta: 11

j) -20+(+4-6) Resposta: -22

k) 8+(-20+3) Resposta: -9

l) 5-(+5)-(-15+5) Resposta: 10

m) -5+[(+8-12)-(-9)] Resposta: 0

n) 2-[(-4+8)+(-6+3)] Resposta: 1

o) 5-[-4-(+9+3+5)] Resposta: 26

p) -6+{-3+[3-(+7-3)]} Resposta: -6

q) 9-{-4+[3-(+7-3)]} Resposta: 14

r) 6-{-8-[-5+(-2+1)]} Resposta: 8

s) –(-2+6)+[2-(8+1)] Resposta: -

11

t) (5-1)-{-[-(-6+5-2)]} Resposta: 7


NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS NEGATIVOS 1- Escreva na ordem crescente: 0,5; 2; -2,5; -3,5 e –1,5. 2- Considere os seguintes números racionais –0,8; -2,5; 2; -1,2; 0. a) Represente esses números na reta dos racionais. b) Coloque os números dados em ordem crescente. 2- Dos dois números dados, qual é o maior? a) –8,2 ou 8,7 b) 8,2 ou –8,7 c) –8,7 ou –9 d) 0 ou 4/5 e) 0 ou –1/7 f) 0 ou 0,1 3- Qual dos dois é o maior? a) 13,58 ou 13,526 b) –4,801 ou 4,822 c) 0,7 ou –3,7 d) –3,7 ou –3,07 4- Qual dos dois é maior? a) –3/8 ou –5/12 b) –3/8 ou –4/9 c) 5/6 ou 17/21 d) 60/21 ou 3 5- Maria Lúcia disse que 0,1 é o menor racional positivo. Tamara respondeu:

- Nada disso! O menor racional positivo é 0,01! O número 0,1 é o menor número racional positivo? E 0,01? Explique sua resposta.

6- Coloque em ordem crescente: 2; 1/3; -1 2/3; -10/3; -2,8. 7- Dos dois números dados, qual é o maior? a) –2/9 ou 5/9 b) –2/9 ou –5/9 c) 2/9 ou 5/9 d) 17/2 ou 5/2 e) ½ ou –5/2 f) –½ ou –5/2 8- Qual dos dois é o maior? a) –3,7 ou –3,71 b) –12/5 ou –3,7 9- Qual dos dois é maior? a) –1/5 ou 0,333... b) –2/7 ou 0 10- Uma pessoa está com saldo bancário de –573,80 em com autorização do gerente, ainda retira 325,00. a) Sem efetuar, indique o cálculo que dá o novo saldo. b) Dê o valor desse saldo. 11- Sem efetuar, indique o cálculo matemático que dá o aumento da temperatura quando ela passa de: a) 18,6 graus para 25,1 graus b) –5,9 graus para 4,3 graus c) –23,5 graus para –14,8 graus d) –3,8 graus para 0 graus


EXPRESSÕES COM FRAÇÕES POSITIVAS E NEGATIVAS Copie as expressões Exemplo 1

𝟐

𝟑−

𝟑

𝟐+

𝟏

𝟔− 𝟏 =

=𝟒 − 𝟗 + 𝟏 − 𝟔

𝟔=

=𝟓 − 𝟏𝟓

𝟔=

= −𝟏𝟎

𝟔=

= −𝟓

𝟑

Exemplo 2

3 −5

4+ 0,2 −

1

3=

=3

1−

5

4+

2

10−

1

3=

=180 − 75 + 12 − 20

60=

=+192 − 95

60=

=97

60Resolva as Somas Algébricas

a) 4

9−

7

6 R: -13/18 d) −

7

15+ 1 R: 8/15

b) −3

2−

1

2 R: -2 e)

5

9− 2 R: - 13/9

c) 5

9−

10

12 R: -5/18 f) −3 −

5

7 R: -26/7

Resolva

a) 2,75+5,75 Resposta: 8,5

b) -3,5-5,3 Resposta: -8,8

c) 12,4-30,16 Resposta: -17,76

d) 5

8− 0,7 Resposta: -0,075

e) −5 + 4,7 Resposta: -0,3


f) −3

4− 0,25 Resposta: -1

g) 3

4+

2

5−

1

10 Resposta: 21/20

h) −4

5+

2

9−

5

3 Resposta: -101/45

i) −2 +1

2−

1

8 Resposta: -13/8

j) 0,3 +2

5− 2 Resposta: -13/10

k) 0,2 +1

2−

2

7+ 2 Resposta: 169/70

l) 2 +3

8+

1

4−

3

2 Resposta: 9/8

m) 1 −1

2−

1

4−

1

8 Resposta: 1/8

n) 2 − 0,5 +1

2+

1

4 Resposta: 9/4

Copie e entenda passo a passo

−5

12− [−

3

4+ (

5

6−

2

9)] =

= −5

12− [−

3

4+

5

6−

2

9] =

= −5

12+

3

4−

5

6+

2

9=

= −15 + 27 − 30 + 8

36= −

45 + 35

36=

= −10

36= −

5

18

Resolva as expressões

a) −3

4+

2

5−

1

2 Resposta: -17/20

b) 4

9+

1

3−

5

6 Resposta: -1/18


c) −2 −1

14+

2

7 Resposta: -25/14

d) −1 +1

3+

1

6 Resposta: -1/2

e) 2

5− 2 −

3

5 Resposta: -11/5

f) 5

8−

1

2+

3

4− 2 Resposta: -9/8

g) −5 +2

3−

1

6+

1

2 Resposta: -4

h) −4

3+

5

9− 1 +

1

6 Resposta: -29/18

i) −0,3 + 0,2 −3

5 Resposta: -7/10

j) 5

2− (

1

6−

3

4) Resposta: 37/12

k) −3,1 + (2,4 − 3,8) − (1,6 − 2)

Resposta: -4,1

l) 7

3− [2 − (

1

3− 1)] Resposta: -1/3


m) −9

2+ [−1 − (−

5

8+

1

4)]

Resposta: -41/8

REFORÇO OPCIONAL

a) 6-1+2 Resposta: 7

b) 7-9-4 Resposta: -6

c) 5-8+4+8 Resposta: 9

d) 7-2+3-7-1 Resposta: 0

e) -9+4+3+2-4 Resposta: -4

f) -3+10+9-1-9+3 Resposta: +9

g) -1-2+5+1-2-5 Resposta: -4

h) -6-4+9+1-10+9 Resposta: -1

i) 14-4-3+6+1-11 Resposta: 3

j) -7-3+7 Resposta: -3

k) -10-4-3+15 Resposta: -2

l) -1-10+4-3 Resposta: -10

m) 5-2+8+3 Resposta: 14

n) -6-4-2+11 Resposta: -1

o) 3+1-9-5+10 Resposta: 0


p) -4+15-7-9+2 Resposta: -3

q) 13-6-1+2-13+6+4 Resposta: +5

r) 10-13-6+10+13-8 Resposta: +6

s) -4+(-3+8) Resposta: 1

t) 2+(-4-5+7) Resposta: 0

u) 6+(5-8)+(-2+1) Resposta: 2

v) (-8+5)+2+(6-1-7) Resposta: -3

w) -4-(6-9) Resposta: -1

x) 2-(-1-5+4) Resposta: 4

y) 6-(-3+1) Resposta: 8

z) 10-(4-7-9+5) Resposta: 17

aa) 6-(5-8)-(-3+1) Resposta: 11

bb) 2-(-8+5)-(6-1) Resposta: 0

cc) 12+[-6-(-5+9)] Resposta: 2


dd) -2-[3+(-1-10+7)-4] Resposta: 3

ee) 1+(-7+6)-[-3-(-9+8)] Resposta: 2

ff) -20-{-5+[-4-(-1+5)]} Resposta: -1

gg) 6+(-9+1) Resposta: -2

hh) -10+(6-4) Resposta: -8

ii) 2+(5-7+2) Resposta: 2

jj) (-5+3)-(5-9)+(8-1) Resposta: 9

kk) (-2-8+6)+3-(-5-1+4) Resposta: 1

ll) 8-(-6+10) Resposta: 4

mm) -3-(-1-5+8) Resposta: -5

REFORÇO OPCIONAL

a) -5+(-4+2)-(-1+7) Resposta: -13

b) 10-(-4+11+1)+(5-10) Responsa: -3

c) 2-(-1-5+8)+(-3+7) Resposta: 0

d) 10+[-8-(-1+2)] Resposta: 1

e) -3-[8+(-6-3)+1] Resposta: -3

f) 8-(4+5)-[3-(6-11)] Resposta: -9


g) –(-2)-[9+(7-3-6)-8] Resposta: 3

h) 1+[-7-(-2+6)+(-2)]-(-6+4) Resposta:-10

i) 6-{4+[-7-(-3-9+10)]} Resposta: -14

j) 2-(-2)-{-6-[-3+(-3+5)]-8} Resposta: 1

k) 10+[-8-(-1+2)] Resposta: 1

l) -3-[8+(-6-3)+1] Resposta: -3

m) 8-(4+5)-[3-(611)] Resposta: -9

n) –(-2)-[9+(7-3-6)-8] Resposta: 3

o) 1+[-7-(-2+6)+(-2)]-(-6+4) Resp: -10

p) 6-{4+[-7-(-3-9+10)]} Resposta: 7

q) -3-[(-1+6)+4-(-1-2)-1] Resp: -14

r) 2-(-2)-{-6-[-3+(-3+5)]-8} Resp: 1


s) 1

4+ (−

1

3) Resposta: -1/12

t) (−3

2) + 3 Resposta: 3/2

u) (−1

5) − (−

7

10) Resposta: ½

v) 1 −8

3 Resposta: -5/3

w) −5

6+

3

4 Resposta: -1/12

x) −0,2 +1

2 Resposta: 3/10

y) 2

3+ 0,5 Resposta: 7/6

z) 1

2−

3

4+ 0,4 Resposta: 3/20

aa) 1

6+

1

2+

1

9− 1 Resposta – 2/9

bb) 1

2− (−

2

5+ 2) Resposta: -11/10

cc) 1 − (−2

3+

5

6) + (

1

2−

1

9) Resp: 11/9

dd) 3

4− [−0,5 + (

3

2− 0,1)] Resp: -3/20

ee) 1,5 − [1

2− (

1

6−

1

3) +

1

5] Resp: 19/30


REFORÇO OPCIONAL

a) 1

3−

5

6 Resposta: -1/2

b) 3

5− 2 Resposta: -7/5

c) −1

2−

1

5 Resposta: -7/10

d) 2

3+ 0,1 Resposta: 23/30

e) −5

3+

7

5 Resposta: -4/15

f) 0,4 −1

8 Resposta: 11/40

g) 2

5+ 1,2 Resposta: 8/5

h) −2 −3

7 Resposta: -17/7

i) −5

6+

5

9 Resposta: -5/18

j) 1

2+

1

3−

1

4 Resposta: 7/12

k) −2

3+ 2 −

1

6 Resposta: 7/6

l) 0,7 −4

5+

1

4 Resposta: 3/20

m) 3

2−

5

6−

4

3 Resposta: -2/3

n) 1

2−

7

10−

2

5+ 1 Resposta: 2/5


o) 1 − 0,6 −5

4+

1

2 Resposta: -7/20

p) 2 −1

8+

3

4−

5

2 Resposta: 1/8

q) −1 + 0,7 +7

15−

1

3 Resposta: -1/6

r) 1

4− (−

2

5+

9

10) Resposta: -1/4

s) 0,5 + (−1

6+

1

3) − (−1 +

1

2) Resposta: 7/6

t) 1 − [−2 − (−1,2 +1

2)] Resp: 23/10

u) −1

2− [

1

4− (

1

6−

1

8) −

1

3] Resp: -3/8

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

1) Defina os conjuntos:

ℕ=______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℤ=______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℚ=______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________

2) Dado diagrama, coloque nos lugares corretos os números 0 5 -2 -1,5 -2/3 3/5 0,777.... 0,25

3) Escreva o nome e defina:

ℕ ∗=______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℤ ∗=______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℤ+=______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________

ℤ−=______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℤ+

∗ =______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℤ−

∗ =______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℚ ∗=______________________Nome: Conjunto dos Números_________________

ℚ+=______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℚ−=______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℚ+

∗ =______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________ ℚ−

∗ =______________________ Nome: Conjunto dos Números_________________


4) Pode-se dizer que A*=A-{0}. Dado isso, seℙ é o conjunto dos números pares, o que seria ℙ*?

5) Complete com ∈ ou ∉: 0 ____ ℕ 0____ ℤ 0___ ℚ

5 ____ ℕ 5____ ℤ 5___ ℚ -2 ____ ℕ -2____ ℤ -2___ ℚ 0,3 ____ ℕ 0,3____ ℤ 0,3___ ℚ 2/3 ____ ℕ 2/3____ ℤ 2/3___ ℚ

-0,5 ____ ℕ -0,5____ ℤ -0,5___ ℚ -1/5 ____ ℕ -1/5____ ℤ -1/5___ ℚ 0,333.... ____ ℕ 0,333....____ ℤ 0,333...___ ℚ

6) Escreva os números em seus locais nos diagramas de Venn:

0 5 -3 2/3 12

3 0,5 0,333... -1/4

7) Complete com ⊂ (contém) ou ⊄ (não contém):

ℕ____ ℤ ℕ____ ℚ ℤ____ ℕ ℤ____ ℚ ℚ ____ ℕ ℚ____ ℤ 8) Determine a união e intersecção entre os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais.

9) Escreva 4 relações de inclusão entre conjuntos não-negativos, não-positivos, negativos, positivos e não-nulos envolvendo quaisquer conjuntos.

10) Pesquise as propriedades e as escreva (com ajuda do professor): Propriedades da Adição

Nome Sentença Obs:

COMUTATIVA

ASSOCIATIVA

ELEMENTO NEUTRO

ELEMENTO OPOSTO

FECHAMENTO

CANCELAMENTO ADITIVO


Propriedades da Multiplicação

Nome Sentença Obs:

COMUTATIVA

ASSOCIATIVA

ELEMENTO NEUTRO

DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À ADIÇÃO

ELEMENTO INVERSO

FECHAMENTO

CANCELAMENTO MULTIPLICATIVO

RETA NUMÉRICA

1. Localize na reta: a) A= ½ b) B=1/3 c) C=5/6 d) D=2/5 e) E=3/4

2. Localize na reta: a) A=-1/2 b) B=-2/3 c) C=-5/8

3. Localize na reta:

a) A=4

12 b)

3

21B c)

4

12C d)

5

11D e)

5

2E f) 3G

4. Ache o módulo, o inverso e o oposto de:

a) 2/3 b) 3/5 c) 1/4 d) 4 e) -2 f) -2/3

5. Ache o inverso de 4

12 .

6. Ache o oposto do inverso de -3/4.

7. Ache a metade do triplo do inverso de 6

1.

8. (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª séries – Prefeitura Municipal de Orlândia-SP/2003) A figura mostra um trecho da reta numérica:

Os pontos P e Q, indicados pelas setas, podem corresponder, respectivamente, aos números: a) -1,76 e -1,685 b) -1,76 e -1,525 c) -1,64 e -1,69 d) -1,64 e -1,52 e) -1,64 e -1,515


9. (Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) A reta numerada, o ponto A representa o número a) 7,0 b) 7,1 c) 7,5 d) 7,8

10. (Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) O número decimal correspondente ao ponto assinalado na reta numérica é

a) 0,3 b) 0,23 c) 2,3 d) 2,03 11. (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª séries e Ensino Médio– SESI-SP/2002) Na figura abaixo estão representados geometricamente os números reais –1, y, 0, x e 1.

Com base nessa representação, é possível concluir que o produto x.y está localizado a) entre x e 1 b) entre 0 e x c) entre y e 0 d) entre –1 e y e) à esquerda de –1 12. (Concurso de Fiscal de Serviços Públicos – Prefeitura Municipal de São Carlos / 2002) Observe a figura abaixo. Os números indicados pelos pontos A e B na escala decimal são, respectivamente,

a) 2,386 e 2,42 b) 2,385 e 2,42 c) 2,385 e 2,402 d) 2,381 e 2,42 e) 2,385 e 2,399 13. (Avaliação do SARESP 1998 – 5ª série - Diurno) Examine a figura:

O ponto A corresponde a um dos números abaixo. A qual deles? a) 0,25 b) 0,85 c) 1,25 d) 1,85 14. (SIMAVE – 4ª série – 2002) Roberto está com febre. Veja a ilustração do termômetro que marca a temperatura dele:

O termômetro está marcando: A) 39º C B) 39,3º C C) 39,5º C D) 40º C 15. (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Uma estrada está sinalizada com marcadores de quilometragem que guardam entre si a mesma distância. Um carro X está na posição 150 e um carro Y, na posição 310.Um carro Z está entre X e Y, conforme a figura abaixo.

Dentre as alternativas, assinale a que melhor expressa, em quilômetros, a localização do carro Z. (A) 160. (B) 190. (C) 210. (D) 270. 16. (Concurso Público para Professor de 5ª à 8ª série – Prefeitura Municipal de Araçatuba – SP/2000) Com 3 cartões numerados de 1 a 3, e um cartão marcado com uma vírgula, podemos representar, por exemplo, o no decimal 1,23. O maior número e o menor número, expressos na notação decimal, que podemos representar com os quatro cartões são, respectivamente: a) 12,3 e 1,23 b) 32,1 e 2,13 c) 32,1 e 1,23 d) 23,1 e 2,13


17.(Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diurno) Das comparações abaixo, qual é verdadeira? a) 0,40<0,31 b) 1<1/2 c) 0,4<4/10 d) 2>1,9 18. (Concurso Público para Professor de 1ª à 4ª série – Prefeitura Cidade do Rio de Janeiro/2001?) Com 3 cartões numerados de 1 a 3, e um quarto cartão com uma vírgula, podemos representar, por exemplo, o no decimal 1,23. Quantos números decimais podemos representar com os quatro cartões? a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 19. (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Uma agência de modelos está selecionando jovens para uma propaganda de sorvetes. Entre as exigências, a agência solicita que os jovens tenham altura mínima de 1,65 m e máxima de 1,78 m. Se x é um número racional que representa a altura, em metros, de um jovem que pode ser escolhido para essa propaganda, é correto afirmar que

(A) x < 1,78 (B) x > 1,65 (C) 1,65 x 1,78 (D) 1,65 x 1,78 20. (Avaliação do SARESP 1998 – 5ª série - Diurno) Célia fez regime e anotou seu progresso numa tabela:

Semana Perda em Quilogramas

1ª 2,45

2ª 1,3

3ª 2,54

4ª 1,03

Em qual semana Célia perdeu menos peso? a) 1ª b) 2ª c) 3ª d) 4ª 21. (Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) Qual é o maior dos números abaixo: a) 0,398 b) 0,52 c) 0,5 d) 0,8 22. (Concurso para o Magistério do Estado e Município do Rio de Janeiro – 1988) Se x e y são números reais tais que 3,23<x<5,01 e 2,81<y<4,54, então, sobre a diferença x-y, pode-se afirmar que: a) -1,31<x-y<2,20 b) -1,41<x-y<0,73 c) 0,42<x-y<2,50 d) 0,42<x-y<2,73 e) 6,04<x-y<9,55 23. (Concurso do Magistério Estadual do Rio de Janeiro – 1990) Numa régua graduada, o segmento cujos extremos são X=7,13 e Y=8,32 se encontra dividido em sete partes iguais, conforme se vê na figura abaixo. O número decimal Z, correspondente à terceira divisão a partir da extremidade X, é expresso por:

a) 7,30 b) 7,45 c) 7,60 d) 7,64 e) 7,82 INTERVALOS 1) Escreva, usando as três notações: a) o intervalo aberto de extremos -2 e 1.

b) o intervalo semi-aberto à esquerda de extremos 3 e 8. c) o intervalo fechado de extremos 0 e 5. d) o intervalo semi-aberto à direita de extremos -5 e 1.


2) Usando a notação de intervalo, escreva: a) o subconjunto de IR formado pelos números reais maiores que 3.

b) o subconjunto de IR formado pelos números reais menores que -1.

c) o subconjunto de IR formado pelos números reais maiores ou iguais a 2.

d) o subconjunto de IR formado pelos números reais menores ou iguais a ½. 3)Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos:

a) [6,10[ b) ]-1.5] c) ]-6,0[ d) [0,+[ e) ]-,3[

f) [-5,2[ g) ]-10,10[ h)[- 3 , 3 ] i)]-,1]

4) Represente, na reta real, os intervalos:

a) {xIR | 2<x<5} b) [2,8] c) ]-,2] d) {xIR | -2<x<2}

e) {xIR | x>-1} f) ]1,5[ 5) Usando a notação de conjuntos, escreva os seguintes intervalos que estão representados na reta real: a)

2 4 b)

1 c)

2 5

d) ½ e)

3 6 g)

-1 3 h)

2

6) Determine AB, quando:

a) A={xIR | -1<x<2} e B={xIR | 0<x<5} b) A={xIR | x<3} e B={xIR |1<x<4}

c) A={xIR | -3<x<1} e B={xIR | 0<x<3}


INTERVALO DISCRETO 1) Escreva os conjuntos por extenso (use adequadamente as reticências ... )

a) {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10}={____________________________________} b) {𝑥 ∈ ℤ; −2 < 𝑥 < 7}={____________________________________}

c) {𝑥 ∈ ℤ ∗; −2 < 𝑥 < 7}={___________________________________} d) {𝑥 ∈ ℕ; 3 < 𝑥 < 10}={____________________________________}

e) {𝑥 ∈ ℕ; −2 < 𝑥 < 7}={____________________________________} f) {𝑥 ∈ ℕ ∗; −2 < 𝑥 < 7}={__________________________________} g) {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}={____________________________________}

h) {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 ≤ 10}={____________________________________} i) {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}={____________________________________} j) {𝑥 ∈ ℤ; −1 ≤ 𝑥 < 5}={____________________________________}

k) {𝑥 ∈ ℤ; −3 < 𝑥 ≤ 1}={____________________________________} l) {𝑥 ∈ ℤ; −5 ≤ 𝑥 < −3}={___________________________________}

m) {𝑥 ∈ ℕ; 3 < 𝑥 < 4}={____________________________________} n) {𝑥 ∈ ℕ; −5 < 𝑥 < −2}={_________________________________}

o) {𝑥 ∈ ℕ; 5 < 𝑥 < 100}={__________________________________}

p) {𝑥 ∈ ℕ; −10 < 𝑥 < 500}={________________________________} q) {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 < 10}={____________________________________} r) {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 > 10}={____________________________________}

s) {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 < 10}={____________________________________} t) {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 > 10}={____________________________________}

u) {𝑥 ∈ ℤ ∗; 𝑥 > 10}={____________________________________} v) {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≥ 10}={____________________________________} w) {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≥ 10}={____________________________________}

2) Complete com ∈ (pertence) e ∉ (não pertence) -3 _____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 4 _____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 3 _____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 3_____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 5,2_____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 7/2_____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 5,2_____ {𝑥 ∈ ℚ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 7/2_____ {𝑥 ∈ ℚ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 0,555...____{𝑥 ∈ ℚ; −5 < 𝑥 < 10} -1/3_____ {𝑥 ∈ ℚ; −2 < 𝑥 ≤ 3} 5/9_____ {𝑥 ∈ ℚ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 9/7_____ {𝑥 ∈ ℚ; 0 ≤ 𝑥 < 1}

13

5_____ {𝑥 ∈ ℚ; 1 < 𝑥 < 2}

GABARITO

CONJUNTOS NUMÉRICOS

CN.7.01.A

1) Defina os conjuntos:

ℕ = {0,1,2, … , 𝑛, 𝑛 + 1, … } - Conjunto dos Números Naturais

ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2, … } - Conjunto dos Números Racionais

ℚ = {𝑝

𝑞; 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0} - Conjunto dos Números Racionais

2) Dado diagrama, coloque nos lugares corretos os números

3) Escreva o nome e defina:

ℕ ∗= {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 ≠ 0} Nome: Conjunto dos Números Naturais Não Nulos

ℤ ∗= {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≠ 0} Nome: Conjunto dos Números Inteiros Não Nulos

ℤ+={𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≥ 0} Nome: Conjunto dos Números Inteiros Não

Negativos

ℤ−={𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≤ 0} Nome: Conjunto dos Números Inteiros Não Positivos

ℤ+∗ ={𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 > 0} Nome: Conjunto dos Números Inteiros Positivos

ℤ−∗ ={𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 < 0} Nome: Conjunto dos Números Inteiros Negativos


CN.7.01.B

ℚ ∗={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 ≠ 0} Nome: Conjunto dos Números Racionais Não Nulos

ℚ+={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 ≥ 0} Nome: Conjunto dos Números Racionais Não

Negativos

ℚ−={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 ≤ 0} Nome: Conjunto dos Números Racionais Não

Positivos

ℚ+∗ ={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 > 0} Nome: Conjunto dos Números RacionaisPositivos

ℚ−∗ ={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 < 0} Nome: Conjunto dos Números Racionais Negativos

4) Pode-se dizer que A*=A-{0}. Dado isso, seℙ é o conjunto dos

números pares, o que seria ℙ*?

O conjunto dos Pares menos o zero, ou seja, {2,4,6,8,..., 2n, 2n+2, ...}

5) Complete com ∈ ou ∉:

0 ∈ ℕ 0 ∈ ℤ 0∈ ℚ 5 ∈ ℕ 5∈ ℤ 5∈ ℚ

-2 ∉ ℕ -2∈ ℤ -2∈ ℚ 0,3 ∉ ℕ 0,3∉ ℤ 0,3∈ ℚ

2/3 ∉ ℕ 2/3∉ ℤ 2/3∈ ℚ -0,5 ∉ ℕ -0,5∉ ℤ 0,5∈ ℚ

-1/5 ∉ ℕ -1/5∉ ℤ -1/5∈ ℚ 0,333....∉ ℕ 0,333....∉ ℤ 0,333...∈ ℚ

6) Escreva os números em seus locais nos diagramas de Venn:

12

3 deve entrar no terceiro círculo. Nenhum dos elementos ficará no

último círculo (não aprendemos ainda os números reais)


CN.7.01.C

1) Complete com ⊂ (contém) ou ⊄ (não contém):

ℕ ⊂ ℤ ℕ ⊂ ℚ ℤ ⊄ ℕ

ℤ ⊂ ℚ ℚ ⊄ ℕ ℚ ⊄ ℤ

A relação de pertinência existe quando relacionamos ELEMENTO e

CONJUNTO. Podemos dizer então que:

5∈{0,1,2,3,4,5} e 2/3 ∈ ℚ enquanto

7∉{0,1,2,3,4,5} e 2/3 ∉ ℤ


Já a relação de pertinência existe quando relacionamos CONJUNTO e

CONJUNTO, nesse caso dizemos que está contido e não está contido

{1,2}⊂{0,1,2,3,4} {1,5}⊄{0,1,2,3,4}

Um conjunto está contido no outro quando TODOS os seus elementos

pertencem ao outro.

8) Determine a união e intersecção entre os conjuntos dos números

naturais, inteiros e racionais.

ℕ ∪ ℤ = ℤ ℕ ∪ ℚ = ℚ ℤ ∪ ℚ = ℚ ℕ ∩ ℤ = ℕ

ℕ ∩ ℚ = ℕ ℤ ∩ ℚ = ℤ

9) Escreva 4 relações de inclusão entre conjuntos não-negativos, não-

positivos, negativos, positivos e não-nulos envolvendo quaisquer

conjuntos.

ℤ+= ℕ ℤ−∗ ⊂ ℚ−

∗ ℤ−∗ ⊂ ℤ+ ℕ ∗=ℤ+

∗ Existem outras

10) Pesquise as propriedades e as escreva (com ajuda do professor):

Considere a, b, c números racionais.

Propriedades da Adição

Nome Sent;

COMUTATIVA a+b=b+a

ASSOCIATIVA (a+b)+c=a+(b+c)

ELEMENTO NEUTRO a+0=0+a=a

ELEMENTO OPOSTO a+(-a)=0

FECHAMENTO a+b∈ ℚ

CANCEL. ADITIVO Se a+c+b+c então a=b

Propriedades da Multiplicação

Nome Sent.

COMUTATIVA ab=ba

ASSOCIATIVA (ab)c=a(bc)

ELEMENTO NEUTRO a.1=1.a=a

DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À

ADIÇÃO

a(b+c)=ab+ac

(a+b)c=ac+bc

ELEMENTO INVERSO a.(1/a)=1 OBS: a≠0

FECHAMENTO ab∈ ℚ

CANCELAMENTO MULTIPL Se ac=bc então a=b a≠0


CN.7.01.D

1) Localize na reta:

a) A= ½ b) B=1/3 c) C=5/6 d) D=2/5 e) E=3/4

4. Ache o módulo, o inverso e o oposto de:

a) 2/3 módulo 2/3 inverso 3/2 oposto -2/3

b) 3/5 módulo 3/5 inverso 5/3 oposto -3/5

c) 1/4 módulo ¼ inverso 4 oposto -1/4

d) 4 módulo 4 inverso ¼ oposto -4

e) -2 módulo 2 inverso -1/2 oposto 2

f) -2/3 módulo 2/3 inverso -3/2 oposto 2/3

5. 21

4=

9

4, logo o inverso é 4/9 6. Resposta: 4/3

7) Inverso – 6 Triplo do inverso – 18 Metade disso – 9

8. e) -1,64 e -1,515 9. c) 7,5


CN.7.01.E

10. c) 2,3 11. y é negativo e menor que 1

x está entre 0 e 1

Ignorando o sinal x . y é um número menor que y, mas xy é negativo,

então estão entre y e 0.

Veja um exemplo y=-1,3 e x=0,5, então xy=-0,65

c) entre y e 0

12. c) 2,385 e 2,402

13. Não há gabarito, o A deve ser próximo de 2,4


CN.7.01.F

14.B) 39,3º C 15. (D) 270. 16. c) 32,1 e 1,23

17 d) 2>1,9 18. d) 12

Ignorando a vírgula temos 3x2x1=6 possibilidades. A vírgula pode ser colocada em 2 posições, ou seja 6x2=12, números. Listando: 1,23 12,3 1,32 13,2 2,13 21,3 2,31 23,1 3,12 31,2 3,21 32,1


CN.7.01.G

19. (C) 1,65 x 1,78

(D) 1,65 x 1,78

Veja que as respostas estão iguais (erro meu)

20. d) 4ª 21. d) 0,8

23.

8,32-7,13=1,19

São 7 segmentos

1,19:7=0,17

3 x 0,17 = 0,51

7,13+0,51 = 7,64

d) 7,64


CN.7.01.H

1) Escreva, usando as três notações:

a) o intervalo aberto de extremos -2 e 1. -2<x<1 ]-2,1[

b) o intervalo semi-aberto à esquerda de extremos 3 e 8. 3<x≤8

]3,8]

c) o intervalo fechado de extremos 0 e 5. 0≤x≤5 [0,5]

d) o intervalo semi-aberto à direita de extremos -5 e 1. -5≤x<1

[-5,1[

2) Usando a notação de intervalo, escreva:

a) o subconjunto de IR formado pelos números reais maiores que 3.

x>3 ]3,∞[

b) o subconjunto de IR formado pelos números reais menores que -1.

x<-1 ]-∞,-1[

c) o subconjunto de IR formado pelos números reais maiores ou iguais

a 2. x≥2 [2,∞[

d) o subconjunto de IR formado pelos números reais menores ou iguais

a ½. x≤1/2 ]- ∞,1/2]

3)Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos:

a) [6,10[ 6≤x<10 b) ]-1,5] -1<x≤ 5

c) ]-6,0[ -6<x<0 d) [0,+[ x≥0

e) ]-,3[ x<3 f) [-5,2[ -5≤ 𝑥 < 2

g) ]-10,10[ -10<x<10 h)[- 3 , 3 ] −√3 ≤ 𝑥 ≤ √3

i)]-,1] x≤ 1


CN.7.01.I

1) Escreva os conjuntos por extenso (use adequadamente as reticências ... )

{𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10}={4,5,6,7,8,9} {𝑥 ∈ ℤ; −2 < 𝑥 < 7}={-1,0,1,2,3,4,5,6} {𝑥 ∈ ℤ ∗; −2 < 𝑥 < 7}={-1,1,2,3,4,5,6} {𝑥 ∈ ℕ; 3 < 𝑥 < 10}={4,5,6,7,8,9}

{𝑥 ∈ ℕ; −2 < 𝑥 < 7}={0,1,2,3,4,5,6} {𝑥 ∈ ℕ ∗; −2 < 𝑥 < 7}={1,2,3,4,5,6} {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}={3,4,5,6,7,8,9} {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 ≤ 10}={4,5,6,7,8,9,10} {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}={3,4,5,6,7,8,9} {𝑥 ∈ ℤ; −1 ≤ 𝑥 < 5}={-1,0,1,2,3,4} {𝑥 ∈ ℤ; −3 < 𝑥 ≤ 1}={-2,-1,0,1} {𝑥 ∈ ℤ; −5 ≤ 𝑥 < −3}={-5,-4}

{𝑥 ∈ ℕ; 3 < 𝑥 < 4}={ }=∅ (nenhum número, não há números entre 3 e 4)

{𝑥 ∈ ℕ; −5 < 𝑥 < −2}={ }=∅ (nenhum número, números naturais não podem ser negativos) {𝑥 ∈ ℕ; 5 < 𝑥 < 100}={6,7,8,9,...,99,100}

{𝑥 ∈ ℕ; −10 < 𝑥 < 500}={-0,1,2,3,....,499,500} {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 < 10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 > 10}={11,12,13,14,...} {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 < 10}={...,-2,-1, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 > 10}={11,12,13,14,...} {𝑥 ∈ ℤ ∗; 𝑥 > 10}={11,12,13,14,...}

{𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≥ 10}={...,-2,-1, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 2) Complete com ∈ (pertence) e ∉ (não pertence) -3 ∉ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 4 ∈ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 3 ∉ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 3∈ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 5,2∉ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 7/2∉ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 5,2∈ {𝑥 ∈ ℚ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 7/2∈ {𝑥 ∈ ℚ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 0,555........ ∈ {𝑥 ∈ ℚ; −5 < 𝑥 < 10} -1/3∈ {𝑥 ∈ ℚ; −2 < 𝑥 ≤ 3} 5/9∉ {𝑥 ∈ ℚ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 2}

9/7∈ {𝑥 ∈ ℚ; 0 ≤ 𝑥 < 1} 13

5∈ {𝑥 ∈ ℚ; 1 < 𝑥 < 2}


MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS 1. Calcule

a. (-4) ∙

11

3

b. 20

9

9

5

c.

6

1

7

2

9

7

d.

14

53

3

7

2. Cacule a. (+1,2) ∙ (+6) ∙ (+0,65) b. -6,4 ∙ 1,5 c. -0,7 ∙ (-2,1) d. (-2,7) ∙ (-0,5) ∙ (-4,2) ∙ (+2)

3. Calcule:

a.

7

9:

7

6

b.

9

10:

27

5

c.

11

27:9

d.

14

5:

7

30

4. Calcule: a. (+2): (-0,5) b. (-2,1): (-2,8) c. (-0,18): (+0,36) d. (+0,6): (+0,03)

1- Efetue: a) 32,7:(-10) b) 12,7:(-1,27) c) (-7,2):(-2,5) 2- Efetue: a) 1/3:(-2/5) b) (-121/5):(-11/5) c) (-81/25):(-9/5) 3- Efetue 0,5:2/3

4- Renan disse que é muito chato fazer 36:(-0,25). Aurélia disse para ele fazer 36.(-4) que era a mesma coisa! Faça as contas e confira.

5- Vamos ver por que dividir por 0,25 é o mesmo que multiplicar por 4. a) Coloque 0,25 na forma de fração e simplifique. b) Se você dividir um número x pela fração obtida, o que vai acontecer? c) Em vez de dividir o número x por 0,5, pode-se mulitplicá-lo por quanto? 6- Efetue:

a)

1

8

7

4012

5

b)

1

2

3

5

3

5

c)

.

3

7

1

2

3

55


POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NEGATIVOS Usando a definição, calcule: a) (-3)2 b) (-5)2 c) (+2)3 d) (-2)4 e) (-3)4 f) (+3)4 g) (-3)4 h) (+5)2 i) (+2)3 j) (-2)2 l) (-2)3 m) (-2)4 n) (-2)5 o) (-3)2 p) (-3)3 q) (+3)2 r) (+5)3 s) (-5)3 t) (-12)0 u) (+6)0 v) (-12)1 x) (-3)4 z) (+12)1 a) (-10)3 b) (-1)1998 c) (-1)1999 d) (+5)0 1) Calcule: a) (-3)2 b) (-4)2 c) (-5)2 d) (-2)3 e) (-3)3 f) (-3)3

g) (-5)3 h) (-2)4 i) (-2)5 j) (-4)2 k) (-8)2 l)(-7)2

m) (-11)2 n) (-20)2 o) (-2)3 p) (-3)3 q) (-5)3 r) (-5)3 s) (-6)3

2) Calcule: a) (-2)4 b) (-2)5 c) (-2)6 d) (-2)7 e) (-2)8 3) Calcule: a) (-1)5 b) (-1)9 c) (-1)8 d) (-1)19 e) (-1)10 4) Calcule: a) (-5)0 b) (-6)0 c) (-415)0

5) Calcule: a) (-5)2 b) (+5)2 c) -52

6) Calcule: a) (-1)400 b) (-1)401

7) Calcule: a) (-10)4 b) (-10)12 c) (-10)15 8) Calcule: a) (-3)2 b) -32 c) (+3)2 d) 32

9) Sem calcular coloque V ou F (Verdadeiro ou Falso): a) 52=(-5)2 b) 63=(-6)3 c) 124=(-12)4 d) 5472=(-547)2

10) Calcule: a) 5-62 b) -62 c) 7-32 d) -32

11) Ache: a) (+6)2 b) (+2)3

12) Ache o valor de x: a) x2=16 b) x2=-16 c) x3=8 d) x3=-8


13) Calcule: a) 52 b) (-5)2 c) 23 d) (-2)3 e) 24 f) (-2)4

14) Calcule o valor de x: a) x2=25 b) x2=-25 c) x3=1 d) x3=-1

15) Calcule:

a)

2

3

2

b)

2

4

5

c)

2

11

1

d)

3

2

3

e)

2

4

5

f)

3

3

2

g)

3

4

3

h)

0

4

1

i)

2

5

4

j)

2

3

7

k)

2

5

1

l)

4

3

2

m)

6

2

1

n)

9

2

1

o)

11

10

1

16) Se

A=

2

3

2

4

1

, B=

0

2

3

1

32

1

, C=3

22

6

35 , calcule A2+B+C

17) Calcule:

a) 52 b) 63 c) (-4)2 d)

2

5

1

e)

3

3

2

f)

2

3

12

g) (0,2)2 h) (-0,222...)2 i) (0,5)2 j) (0,25)2

k)

2

5

21

l)

3

3

21

m) (0,333...)2 n) (1,555...)2

18) Calcule ...111,0

2

12

19) Calcule

22

3

1

3

2


20) Reduza à uma só potência:

𝑎) 37 . 35 ∶ 34 𝑏) (−12)6 . (−12)2 . (−12) 𝑐) [(−10)3]5

𝑑) (67)3 𝑒) 54 . 52 . 5∶ 53

52 . 52 𝑓) (−7)5

(−7)3

21) Calcule o valor numérico de: a) x3-3x2+5x-1 para x=-3 b) x2-2xy+y2 sendo x=5 e y=-2 c) 3x2y-4xy2 quando x=-1 e y=-2 d) a3+3a2b+3ab2+b3 para a=5 e b=-2

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM NÚMEROS NEGATIVOS

1) Determine:

a) 10+(-4).2 Resposta:2

b) (-5).3-(-6).4 Resposta: 9

c) 19-(-20):(-2) Resposta: +9

d) 8-10:(-5) Resposta: 10

e) (-40):8-30:(-6) Resposta: 0

f) 36:(-3)+(-5).(-2) Resposta: -2


g) 15:(-3)-28:(-4) Resposta: 2

h) 10-2.6 Resposta: -2

i) (-5):5-3.(-1)+1 Resposta: 3

j) 45-6.5+48:(-6) Resposta: 7

k) 30:(-10)+8-(-2).3 Resposta: 11

l) 25:(-25)+4:(-4)+2 Resposta: 0

m) -15:3+4 Resposta: -1

n) 20-(-28):(-7) Resposta: 16

o) (-30).2:(-3) Resposta: 20


p) (-16):4-18:(-6) Resposta: -1

q) 15+(-3).(-4)-2.(-15) Resposta: 57

r) 11-2.(-8)+7.(-4) Resposta: -1

s) 25-(-8).2 Resposta: 41

t) -12-(-3).4 Resposta: 0

u) 20-6.3 Resposta: 2

v) 2.(-5)+3.(-4)-4.(-6) Resposta: 2

w) 20-2.(-7)+(-12).3 Resposta: -2

x) -3.9+24 Resposta: -3

y) -5.4-(-3).7 Resposta: 1


z) 5.(-6)-3.2+28 Resposta: -8

aa) 2.(-9)+3.(-1) Resposta: -21

bb) 15-2.(-5).(-1) Resposta: 5

1 Ache os valores numéricos

a) 4x+20, para x=-5 Resposta: 0

b) xy+10, para x=4 e y=-3 Resposta: -2

c) 10-6a, para a=-2 Resposta: 22

d) 3a-b, para a=-6 e b=-21 Resposta: 3

e) 5x+13, para x=-2 Resposta: 3

f) 4a-ab, para a=-1 e b=2 Resposta: -2

g) ax+ay, para a=-2, x=-3, y=1 Resposta: 4

h) 5a-2b, para a=6 e b=15 Resposta: 0


i) x+xy, para x=-1 e y=1 Resposta: -2

j) 2x+xy-3y, para x=2 e y=-2 Resposta: 6

2 a) Se A=2.(-9)+20 e B=1-(-2).3, quanto vale

A+B? Resposta: 9

b) Se x=(-1).(-2)-(-5) e y=6+(-3).3, quanto vale

x-y? Resposta: 10

3 Resolva

a) -5+(-3).8 Resposta: -29

b) -6.5-(-4).3 Resposta: -18

c) (-5+1)(-8+2) Resposta: 24

d) 6-(-6+4).(-5+9) Resposta: 14

e) (-3).(-4)+(-6).5 Resposta: -18

f) 12-(-2).3+(-4).(-5) Resposta: 38


g) 9.-[(-2).7-(-8).3] Resposta: -1

h) (-2).3+{2.[-3+(-2).(-4)]} Resp: 4

i) (-4+20):(-8) Resposta: -2

j) (-6-14):(-6+1) Resposta: 4

k) (-8).3-(-15):3 Resposta: -19

l) [-8+(-4).(-3)]:(-1-1) Resposta: -2

m) (-6-2+3):[-3.(-2+3)+8] Resp: -1

n) -20:{-6+[(-2).(-3):(+2)-2]} Resposta: 4

o) 10-{-6+[(-12):(-3)-8] Resposta: 20

p) [-20+(-12+4)]:[1+(-3).(-2)] Resposta: -4


1) Resolva as expressões:

a) 15+(-8).3 Resposta -9

b) (-30):(-5)-(-4) Resposta: 10

c) 21-(-14):2 Resposta: 28

d) (-5)2+(-2)5 Resposta: - 7

e) (-6)2+(-1)3-33 Resposta: 8

f) (-6)2-12 Resposta: 24

g) -5.6-(-3)2 Resposta: -39

h) (-8)2:(-16)+5 Resposta: 1

i) 3.(-2)2+(-36):(-3)2 Resposta: 8

j) (-5)2+32 Resposta: 34

k) (-3)3-(-2)3-(-1)4 Resposta: -20


l) 3.(-4)2-(-7)2 Resposta: - 1

m) 15-3.(-2)2+5o Resposta: 4

n) (-4)3-24 Resposta: 80

o) 32-(-3)3+(-2)2 Resposta: 40

p) (-4)3:25-(-2)2.(-1)3 Resposta: 2

q) 8+(-45):(-3)2+(-4).(-1)3 Resposta: 7

r) (-6)0+(-3)2+(-2)3.(-1) Resp: 18

s) 32-42-(-2).(-4) Resposta: -15

t) (-7)2-(-7).(-6) Resposta: 7

u) 4.(-3)2+(-5)2 Resposta: 61

v) (-6)2:[(-4)-(-2)3] Resposta: 9

w) (-1)4-(-1)3.(-2)4:(-2)2 Resposta: 5


x) (-15+9)2:(-5+1) Resposta: -9

y) (-2-1)2.(-2+6)3-(5-4+2)3:(-5+2) Resposta: 585

2) Ache os valores numéricos:

a) x3-2x2+5x+4, para x=-1

b) x2-y2, para x=-4 e y=-5 Resp: -9

c) x3-2x, para x=-1 Resposta: 1

d) a3-b3 , para a=1 e b=-2 Resp: 9

e) x2-xy-y3, para x=-4 e y=2 Resposta: 16

f) x2-5x-6, para x=2 Resposta: -12

g) x3-x2-x+1, para x=-1 Resposta: 0


1. −3

4− (−

5

6) . (

7

5) Resposta: 5/12

2. (−3 −3

5) (−

7

12+

13

18) Resposta: -1/2

3. (−2 +3

4) (

1

2+

1

3) Resposta: -25/24

4. −

3

2+

1

3

1−7

4

Resposta: 14/9

5. 2

21−

3

7: (−

3

5) Resposta: 17/21

6. (−4

9+

1

15) : (−

5

6−

1

9) Resposta: 2/5

7. (−5

9) : (

2

3) −

7

6 Resposta: -2


8. 2 −9

8: (−

5

4) Resposta: 29/10

9. [(−5

9) : (−

2

3)] : (−3

2

3) Resp: -5/22

10. −15,8 + (−8,68): 6,2 Resp: 17,2

11. 2

5(−

1

2) +

2

5 Resposta: 1/5

12. −3

4.

2

5−

2

10 Resposta: -1/2

13. (3 −1

2) .

1

4 Resposta 5/8

14. (2

3−

1

2) : (−

3

4) Resposta: -2/9

15. (−2

3)

3

:8

9 Resposta: -1/3

16. (−1

2+

2

3) (2 −

1

4) Resposta 7/24


17. (−2 +1

3) : (

2

3− 3) Resposta 5/7

18. (3

4−

5

6) : (

2

3−

1

2) Resposta: -1/2

19. 2+

1

3

1+1

2

Resposta 14/9

20. −

1

2+

1

31

4+

2

3

Resposta: -2/11

21. −

1

5+

3

10

2 Resposta: 1/20

22. 1

5

1+1

2

Resposta: 2/15

23. −4

2−1

2

Resposta: -8/3

24. 1−

1

2

2+3

2

Resposta: 1/7

25. (3 +1

2−

1

3) : (

1

2−

9

4) Resposta: -38/21


26. (−1 +1

2)

3

−1

4 Resposta: -3/8

27. (−2 +1

2)

2

(1

2−

1

4) Resposta: 9/16

28. (3

2−

1

3)

2

: (3

4−

1

2)

2

Resposta: 196/9

29. (−1

2)

3

−1

4[

2

3− (−1 +

1

2)

2

] Resp: -11/48

30. (−1 −1

2) (−

1

2)

2

Resposta: -3/8

31. (−2 −1

3−

1

2) : (−2 −

7

5)

Resposta: 5/6

32. (−1

9−

1

3) + (

1

4−

2

3) (

2

5)

Resposta: -11/18

33. (2 −1

3)

2

: (1

2− 1)

3

Resposta: -200/9


34. {−1

7[(−

3

4)

2

+ (3 −1

2)

2

]} :109

4

Resposta: -1/28

35. √1 +5

4(0,2 + 1) Resposta: 9/5

36. (−2 +1

3)

2

(0,4 −1

5)

2

− 0,7√36

49

Resposta: -22/45

37. [1

2− (1 +

1

2)

2

] (2 +2

3)

Resposta: -14/3

38. (−3

2)

2

: [(−1

4) +

1

2] Resposta: 9

39. 1

2: [2 − (

2

3+

1

4)] Resposta: 6/13

40. (−6): [(−3

2)

3

(10

9−

2

15.

10

6)]

Resposta: 2

41. 16 (3

4−

1

2)

3

− [5

2+

1

3. (−

3

4)] Resposta: -2


42. (2

3−

1

2)

2

: (−1

2+

1

3)

2

Resposta: 1

43. 5𝑥 −3

4: 𝑦 para x=3/4 e y=-3/8

Resposta: 23/4

44. 12 − 5𝑥 para x=-4/3 Resposta: 56/3

45. 3

7𝑥 −

5

8: 𝑦 para x=-7/5 e y=-5/2

Resposta: -7/20

46. 4𝑥 + 𝑦: 𝑥 para x=2/9 e y=-5/3 Resposta: -119/18

47. 3x-5y para x=3/4 e y=-5/9 Resposta: 181/36

48. 3x-4y sendo x=-2/3 e y=-2/5 Resposta: -2/5

49. x2-5x+6 sendo x=-3/4 Resposta: 165/16


50. 3x-y sendo x=-3 e y=-1/2 Resposta: -17/2

51. 3x2-2x+1

3 sendo x=-2/3

Resposta: 3

52. 7x2-5x-3 sendo x=-3/5 Resposta: 63/25

53. 3𝑥−𝑦2

2𝑥+𝑦 sendo x=13/21 e y=-1/7

Resposta: 270/161

54. 3x-5y sendo x=1/2 e y=1/5 Resposta: ½

55. 2x-3xy sendo =4/3 e y=-2/5 Resposta 64/15

56. x2-xy sendo x=2/5 e y=-1/10 Resposta: 1/5

57. 3x2-2x-1 sendo x=1/3 Resposta: -4/3

58. -x2-6x sendo x=-2/3 Resposta: 32/9


59. 2x2-x-3 sendo x=-1/2 Resposta: -2

60. 2a-3b sendo a=3/2 e b=-2/3 Resposta: 5

61. 2x2-3x-2 sendo x=-1/2 Resposta: 0

62. a2+3a sendo a=3b e b=-1/2 Resposta: =-9/4

GABARITO

NÚMEROS NEGATIVOS NN.7.05.A

1) Determine: RESOLVA AS EXPRESSÕES NUMÉRICAS NO CADERNO a) 10+(-4).2 Resposta:2 10+(-8) 10-8 2 b) (-5).3-(-6).4 Resposta: 9 -15-(-24) -15+24 9 c) 19-(-20):(-2) Resposta: +9 19-(+10) 19-10 9 d) 8-10:(-5) Resposta: 10 8-(-2) 8+2 10 e) (-40):8-30:(-6) Resposta: 0 -5-(-5) -5+5 0 f) 36:(-3)+(-5).(-2) Resposta: -2 -12+10 -2 g) 15:(-3)-28:(-4) Resposta: 2 -5-(-7) -5+7 2

h) 10-2.6 Resposta: -2 10-12 -2 i) (-5):5-3.(-1)+1 Resposta: 3 -1-(-3)+1 -1+3+1

3 j) 45-6.5+48:(-6) Resposta: 7 45-30+(-8) 45-30-8 7 k) 30:(-10)+8-(-2).3

Resposta: 11 -3+8-(-6) -3+8+6 11 l) 25:(-25)+4:(-4)+2

Resposta: 0 -1+(-1)+2 -1-1+2 0 m) -15:3+4

Resposta: -1 -5+4 -1 n) 20-(-28):(-7)

Resposta: 16 20-4 16 o) (-30).2:(-3)

Resposta: 20 -60:(-3) 20 p) (-16):4-18:(-6)

Resposta: -1 -4-(-3) -4+3 -1 q) 15+(-3).(-4)-2.(-15)

Resposta: 57 15+12-(-30) 15+12+30 57 r) 11-2.(-8)+7.(-4)

Resposta: -1 11-(-16)+(-28) 11+16-28 27-28

-1 s) 25-(-8).2

Resposta: 41 25-(-16) 25+16 41 t) -12-(-3).4

Resposta: 0 -12-(-12) -12+12 0 u) 20-6.3

Resposta: 2 20-18 2 v) 2.(-5)+3.(-4)-4.(-6)

Resposta: 2 -10+(-12)-(-24) -10-12+24 -22+24 2 w) 20-2.(-7)+(-12).3

Resposta: -2 20-(-14)+(-36) 20+14-36 -2 x) -3.9+24

Resposta: -3 -27+24 -3 y) -5.4-(-3).7 Resposta: 1 -20-(-21) -20+21 1 z) 5.(-6)-3.2+28 Resposta: -8 -30-6+28 -8 aa) 2.(-9)+3.(-1) Resposta: -21 -18+(-3) -18-3 -21

bb) 15-2.(-5).(-1) Resposta: 5 15-10 5

NÚMEROS NEGATIVOS NN.7.05.B

1) Ache os valores numéricos

a) 4x+20, para x=-5 Resposta: 0

4.(-5)+20 -20+20 0

b) xy+10, para x=4 e y=-3 Resposta: -2

4.(-3)+10 -12+10 -2

c) 10-6a, para a=-2 Resposta: 22

10-6.(-2) 10+12 22

d) 3a-b, para a=-6 e b=-21 Resposta: 3

3.(-6)-(-21) -18+21 3

e) 5x+13, para x=-2 Resposta: 3

5.(-2)+13 -10+13 3

f) 4a-ab, para a=-1 e b=2 Resposta: -2

4.(-1)-(-1).2 -4-(-2) -4+2 -2

g) ax+ay, para a=-2, x=-3, y=1 Resposta: 4

-2.(-3)+(-2).1


6+(-2) 6-2 4

h) 5a-2b, para a=6 e b=15 Resposta: 0

5.6-2.15 30-30 0

i) x+xy, para x=-1 e y=1 Resposta: -2

-1+(-1).1 -1-1 -2

j) 2x+xy-3y,para x=2 e y=-2 Resposta: 6

2.2+2.(-2)-3.(-2) 4-4+6 6 2 a) Se A=2.(-9)+20 e B=1-(-2).3, quanto vale A+B? Resposta: 9 A=-18+20=2 B=1-(-6)=7 A+B=2+7=9 b) Se x=(-1).(-2)-(-5) e y=6+(-3).3, quanto vale x-y? Resposta: 10 x=2-(-5)=2+5=7 y=6+(-9)=-3 x-y=7-(-3)=7+3=10 3. Resolva

a) -5+(-3).8 Resposta: -29

-5+(-24) -5-24 -29

b) -6.5-(-4).3 Resposta: -18

-30-(-12) -30+12 -18

c) (-5+1)(-8+2) Resposta: 24

(-4)(-6) 24

d) 6-(-6+4).(-5+9) Resposta: 14

6-(-2)(4) 6-(-8) 6+8 14

e) (-3).(-4)+(-6).5 Resposta: -18

12+(-30) 12-30 -18

f) 12-(-2).3+(-4).(-5) Resposta: 38

12-(-6)+20 12+6+20 38

g) 9.-[(-2).7-(-8).3] Resposta: -1

9-[-14-(-24)] 9-[-14+24] 9-10 -1

h) (-2).3+{2.[-3+(-2).(-4)]} Resp: 4

-6+{2.[-3+8]}

-6+{2.5} -6+10 4

i) (-4+20):(-8) Resposta: -2

16:(-8) -2

j) (-6-14):(-6+1) Resposta: 4

(-20):(-5) 4

k) (-8).3-(-15):3 Resposta: -19

-24-(-5) -24+5 -19

l) [-8+(-4).(-3)]:(-1-1) Resposta: -2

[-8+12]:(-2) 4:(-2) -2

m) (-6-2+3):[-3.(-2+3)+8] Resp: -1

(-5):[-3(1)+8] (-5):[-3+8] (-5):5 -1

n) -20:{-6+[(-2).(-3):(+2)-2]} Resposta: 4

-20:{-6+[6:2-2]} -20:{-6+[3-2]} -20:{-6+1} -20:{-5} 4

o) 10-{-6+[(-12):(-3)-8] Resposta: 20

10-{-6+[4-8]} 10-{-6+[-4]} 10-{-6-4} 10-{-10} 10+10 20

p) [-20+(-12+4)]:[1+(-3).(-2)] Resposta: -4

[-20+(-8)]:[1+6] [-20-8]:7 -28:7 -4

NÚMEROS NEGATIVOS NN.7.01.A


a) 15+(-8).3 Resposta -9 15+(-24) 15-24 -9 b) (-30):(-5)-(-4) Resposta: 10 6+4 10 a) 21-(-14):2 Resposta: 28 21-(-7) 21+7 28 b) (-5)2+(-2)5 Resposta: - 7 25+(-32) 25-32

-7 c) (-6)2+(-1)3-33 Resposta: 8 36+(-1)-27 36-1-27 8 d) (-6)2-12 Resposta: 24 36-12 24 e) -5.6-(-3)2 Resposta: -39 -30-9 -39 f) (-8)2:(-16)+5 Resposta: 1 64:(-16)+5 -4+5 1 g) 3.(-2)2+(-36):(-3)2

Resposta: 8 3.4+(-36):9 12+(-4) 12-4 8 h) (-5)2+32

Resposta: 34 25+9 34 i) (-3)3-(-2)3-(-1)4 Resposta: -20 -27-(-8)-1 -27+8-1 -28+8 -20 j) 3.(-4)2-(-7)2 Resposta: - 1 3.16-49 48-49 -1 k) 15-3.(-2)2+5o Resposta: 4 15-3.4+1 15-12+1 4 l) (-4)3-24

Resposta: -80 -64-16 -80 m) 32-(-3)3+(-2)2 Resposta: 40 9-(-27)+4 9+27+4 40 n) (-4)3:25-(-2)2.(-1)3

Resposta: 2 (-64):32-4:(-1) -2+4 2 o) 8+(-45):(-3)2+(-4).(-1)3

Resposta: 7 8+(-45):9+(-4).(-1) 8+(-5)+4 8-5+4 7 p) (-6)0+(-3)2+(-2)3.(-1) Resp: 18 1+9+(-8).(-1) 1+9+8 18 q) 32-42-(-2).(-4) Resposta: -15 9-16-8 -15

r) (-7)2-(-7).(-6) Resposta: 7 49-42 7 s) 4.(-3)2+(-5)2 Resposta: 61 4.9+25 36+25 61 t) (-6)2:[(-4)-(-2)3] Resposta: 9 36:[-4-(-8)] 36:[-4+8] 36:4 9 u) (-1)4-(-1)3.(-2)4:(-2)2 Resposta:

5 1-(-1).16:4 1-(-16):4 1-(-4) 1+4 5 v) (-15+9)2:(-5+1) Resposta: -9 (-6)2:(-4) 36:(-4) -9 w) (-2-1)2.(-2+6)3-(5-4+2)3:(-5+2)

Resposta: 585 (-3)2.(4)3-33:(-3) 9.64-27:(-3) 576+9 585

4) Ache os valores numéricos:

a) x3-2x2+5x+4, para x=-1 (-1)3-2.(-1)2+5(-1)+4 -1-2+(-5)+4 -1-2-5+4 -2 b) x2-y2, para x=-4 e y=-5 Resp: -9 (-4)2-(-5)2 16-25 -9

d) x3-2x, para x=-1 Resposta: 1

(-1)3-2.(-1) -1+2 1

e) a3-b3 , para a=1 e b=-2 Resp: 9

13-(-2)3 1-(-8) 1+8 9

f) x2-xy-y3, para x=-4 e y=2 Resposta: 16

(-4)2-(-4).2-23 16-(-8)-8 16+8-8 16

g) x2-5x-6, para x=2 Resposta: -12

22-5.2-6 4-10-6 -12


h) x3-x2-x+1, para x=-1 Resposta: 0

(-1)3-(-1)2-(-1)+1 -1-1+1+1 0

EXPRESSÕES NUMÉRICAS NN.7.11.Q

1. −3

4− (−

5

6) . (

7

5)

Resposta: 5/12

−3

4− (−

7

6)

−3

4+

7

6

−9

12+

14

12

5

12

2. (−3 −3

5) (−

7

12+

13

18)

Resposta: -1/2

(−15

5−

3

5) (−

21

36+

26

36)

(−18

5) (

5

36)

(−1

1) (−

1

2)

1

2

3. (−2 +3

4) (

1

2+

1

3)

Resposta: -25/24

(−8

4+

3

4) (

3

6+

2

6)

(−5

4) (

5

6)

−25

24

4. −

3

2+

1

3

1−7

4

Resposta: 14/9

−96

+26

44

−74

−76

−34

=28

18=

14

9

5. 2

21−

3

7: (−

3

5)

Resposta: 17/21 2

21−

3

7. (−

5

3)

2

21+

5

7

2

21+

15

21=

17

21

6. (−4

9+

1

15) : (−

5

6−

1

9)

Resposta: 2/5

(−20

45+

3

45) : (−

15

18−

2

18)

(−17

45) : (−

17

18)

(−17

45) (−

18

17) =

2

5

7. (−5

9) : (

2

3) −

7

6

Resposta: -2

(−5

9) (

3

2) −

7

6

(−5

6) −

7

6

(−5

6) −

7

6

−12

6= −2

8. 2 −9

8: (−

5

4)

Resposta: 29/10

2 −9

8(−

4

5)

2 − (−9

10)

2 +9

10

20

10+

9

10

29

10

9. [(−5

9) : (−

2

3)] : (−3

2

3)

Resposta: -5/22

[(−5

9) (−

3

2)] : (−

11

3)

[5

6] : (−

11

3)

5

6(−

3

11)

−15

66= −

5

22

10. −15,8 + (−8,68): 6,2 Resposta: 17,2

-15,8+(-1,4) -17,2

11. 2

5(−

1

2) +

2

5

Resposta: 1/55

−1

5+

2

5=

1

5

12. −3

4.

2

5−

2

10

Resposta: -1/2

−3

10−

2

10= −

5

10= −

1

2

13. (3 −1

2) .

1

4

Resposta 5/8

(6

2−

1

2) .

1

4

(5

2) .

1

4=

5

8

14. (2

3−

1

2) : (−

3

4)

Resposta: -2/9

(4

6−

3

6) : (−

3

4)

(1

6) : (−

3

4)

(1

6) (−

4

3) = −

4

18= −

2

9

15. (−2

3)

3

:8

9 Resposta: -1/3

−8

27:8

9= −

8

27.9

8= −

1

3

16. (−1

2+

2

3) (2 −

1

4)

Resposta 7/24

(−1

2+

2

3) (2 −

1

4)

(−3

6+

4

6) (

8

4−

1

4)

(1

6) (

7

4) =

7

24

17. (−2 +1

3) : (

2

3− 3)

Resposta 5/7

(−6

3+

1

3) : (

2

3−

9

3)

(−5

3) : (−

7

3)

(−5

3) : (−

3

7) =

5

7

18. (3

4−

5

6) : (

2

3−

1

2)

Resposta: -1/2

(15

12−

10

12) : (

4

6−

3

6)

(9

12−

10

12) : (

4

6−

3

6)

(−1

12) : (

1

6)

(−1

12) . 6 = −

6

12= −

1

2

19. 2+

1

3

1+1

2

Resposta 14/9

2 +13

1 +12

=

63

+13

22

+12

=

7332

=7

3.2

3=

14

9

20. −

1

2+

1

31

4+

2

3

Resposta: -2/11

−12

+13

14

+23

=−

36

+26

312

+8

12

=−

16

1112

= −1

6.12

11

= −2

11

21. −

1

5+

3

10

2 Resposta: 1/20

−15

+3

102

=−

210

+3

102

=

1102

=1

20

22. 1

5

1+1

2

Resposta: 2/15

15

1 +12

=

15

22

+12

=

1532

=2

15

23. −4

2−1

2

Resposta: -8/3

−4

2 −12

=−4

42

−12

=−4

32

= −8

3

24. 1−

1

2

2+3

2

Resposta: 1/7

1 −12

2 +32

=

22

−12

42

+32

=

1272

=1

7

25. (3 +1

2−

1

3) : (

1

2−

9

4)

Resposta: -38/21

(3 +1

2−

1

3) : (

1

2−

9

4)

(18

6+

3

6−

2

6) : (

2

4−

9

4)

(19

6) : (−

7

4) =

19

6. (−

4

7) = −

38

21

26. (−1 +1

2)

3

−1

4 Resposta:

-3/8

(−2

2+

1

2)

3

−1

4

(−1

2)

3

−1

4

−1

8−

1

4=

1

8−

2

8= −

3

8

27. (−2 +1

2)

2

(1

2−

1

4)

Resposta: 9/16

(−4

2+

1

2)

2

(2

4−

1

4)

(−3

2)

2

(1

4)

9

4(

1

4) =

9

16

28. (3

2−

1

3)

2

: (3

4−

1

2)

2

Resposta: 196/9

(9

6−

2

6)

2

: (3

4−

2

4)

2

(7

6)

2

: (1

4)

2

49

36:

1

16=

49

36. 16 =

196

9

29. (−1

2)

3

−1

4[

2

3− (−1 +

1

2)

2

]

Resposta: -11/48

−1

8−

1

4[2

3− (−

1

2)

2

]

−1

8−

1

4[2

3−

1

4]

−1

8−

1

4[

8

12−

3

12]

−1

8−

1

4[

5

12]

−1

8−

5

48

−6

48−

5

48= −

11

48

30. (−1 −1

2) (−

1

2)

2

Resposta: -3/8

(−1 −1

2) .

1

4

(−2

2−

1

2) .

1

4

(−3

2) .

1

4= −

3

8

31. (−2 −1

3−

1

2) : (−2 −

7

5)

Resposta: 5/6

(−12

6−

2

6−

3

6) : (−

10

5−

7

5)

(−17

6) : (−

17

5) = (−

17

6) (−

5

17)

=5

6

32. (−1

9−

1

3) + (

1

4−

2

3) (

2

5)

Resposta: -11/18

(−1

9−

1

3) + (

1

4−

2

3) (

2

5)

(−1

9−

3

9) + (

3

12−

8

12) (

2

5)

(−4

9) + (−

5

12) (

2

5)

(−4

9) + (−

1

6)

−4

9−

1

6= −

8

18−

3

18= −

11

18

EXPRESSÕES NUMÉRICA NN.7.11.R


33. (2 −1

3)

2

: (1

2− 1)

3

Resposta: -200/9

(6

3−

1

3)

2

: (1

2−

2

2)

3

(5

3)

2

: (−1

2)

3

25

9: (−

1

8) =

25

9. (−8) = −

200

9

34. {−1

7[(−

3

4)

2

+ (3 −

1

2)

2

]} :109

4

Resposta: -1/28

{−1

7[

9

16+ (

6

2−

1

2)

2

]} :109

4

{−1

7[

9

16+ (

5

2)

2

]} :109

4

{−1

7[

9

16+

25

4]} :

109

4

{−1

7[

9

16+

100

16]} :

109

4

{−1

7[109

16]} :

109

4

{−109

112} :

109

4= −

109

112.

4

109= −

4

112

= −2

56= −

1

28

35. √1 +5

4(0,2 + 1)

Resposta: 9/5

√4

4+

5

4(1,2)

√9

4(

12

10) =

3

2.12

10=

36

20=

9

5

36. (−2 +1

3)

2

(0,4 −1

5)

2

−

0,7√36

49 Resp: -22/45

(−6

3+

1

3)

2

(4

10−

1

5)

2

−7

10√

36

49

(−5

3)

2

(4

10−

2

10)

2

−7

10.6

7

25

9(

2

10)

2

−3

5

25

9.

4

100 −

3

5=

1

9−

3

5=

5

45−

27

45

= −22

45

37. [1

2− (1 +

1

2)

2

] (2 +2

3)

Resposta: -14/3

[1

2− (1 +

1

2)

2

] (2 +2

3)

[1

2− (

2

2+

1

2)

2

] (6

3+

2

3)

[1

2− (

3

2)

2

] (8

3)

[1

2−

9

4] (

8

3)

[2

4−

9

4] (

8

3) = −

7

4.8

3= −

14

3

38. (−3

2)

2

: [(−1

4) +

1

2]

Resposta: 9 9

4: [−

1

4+

2

4] =

9

4:1

4= 9

39. 1

2: [2 − (

2

3+

1

4)]

Resposta: 6/13 1

2: [2 − (

8

12+

3

12)]

1

2: [

24

12− (

11

12)]

1

2: [

13

12] =

12

26=

6

13

40. (−6): [(−3

2)

3

(10

9−

2

15.

10

6)]

Resposta: 2

(−6): [(−3

2)

3

(10

9−

2

15.10

6)]

(−6): [−27

8(

10

9−

2

9)]

(−6): [−27

8(

8

9)]

(−6): [−3] = 2

41. 16 (3

4−

1

2)

3

− [5

2+

1

3. (−

3

4)] Resposta: -2

16 (3

4−

2

4)

3

− [5

2+ (−

1

4)]

16 (1

4)

3

− [10

4−

1

4]

16.1

64− [

9

4]

1

4− [

9

4] = −

8

4= −2

42. (2

3−

1

2)

2

: (−1

2+

1

3)

2

Resposta: 1

(4

6−

3

6)

2

: (−3

6+

2

6)

2

(1

6)

2

: (−1

6)

2

1

36:

1

36= 1

43. 5𝑥 −3

4: 𝑦 para x=3/4 e y=-

3/8 Resposta: 23/4

5.3

4−

3

4: (−

3

8)

15

4−

3

4. (−

8

3)

15

4+ 2 =

15

4+

8

4=

23

4

44. 12 − 5𝑥 para x=-4/3 Resposta: 56/3

12 − 5. (−4

3)

12 +20

3=

36

3+

20

3=

56

3

45. 3

7𝑥 −

5

8: 𝑦 para x=-7/5 e

y=-5/2 Resposta: -7/20 3

7. (−

7

5) −

5

8: (−

5

2)

−3

5−

5

8. (−

2

5) = −

3

5+

1

4

−12

20+

5

20= −

7

20

46. 4𝑥 + 𝑦: 𝑥 para x=2/9 e y=-5/3 Resp: -119/18

4.2

9+ (−

5

3) : (

2

9)

8

9+ (−

5

3) . (

9

2)

8

9+ (−

15

2) =

8

9−

15

2=

16

18−

135

18

= −119

18

47. 3x-5y para x=3/4 e y=-5/9

Resposta: 181/36

3.3

4− 5. (−

5

9)

9

4−

25

9=

81

36+

100

36=

181

36

48. 3x-4y sendo x=-2/3 e y=-

2/5 Resposta: -2/5

3 (−2

3) − 4 (−

2

5)

−2 +8

5= −

10

5+

8

5= −

2

5

49. x2-5x+6 sendo x=-3/4

Resposta: 165/16

(−3

4)

2

− 5 (−3

4) + 6

9

16+

15

4+ 6

9

16+

60

16+

96

16=

165

16

50. 3x-y sendo x=-3 e y=-1/2

Resposta: -17/2

3(−3) − (−1

2)

−9 +1

2= −

18

2+

1

2= −

17

2

51. 3x2-2x+1

3 sendo x=-2/3

Resposta: 3

3. (−2

3)

2

− 2. (−2

3) +

1

3

3.4

9+

4

3+

1

3=

12

9+

5

3=

12

9+

15

9

=27

9= 3

52. 7x2-5x-3 sendo x=-3/5

Resposta: 63/25

7 (−3

5)

2

− 5 (−3

5) − 3

7.9

25+ 3 − 3 =

63

25

53. 3𝑥−𝑦2

2𝑥+𝑦 sendo x=13/21 e

y=-1/7 Resp: 270/161

3.1321

− (−17

)2

2.1321

+ (−17

)=

137

−1

492621

−17

=

9149

−1

492621

−3

21

=

90492321

=90

49.21

23

=270

161

54. 3x-5y sendo x=1/2 e

y=1/5 Resposta: ½

3.1

2− 5.

1

5=

3

2− 1 =

3

2−

2

2=

1

2

55. 2x-3xy sendo =4/3 e y=-2/5 Resposta 64/15

2.4

3− 3.

4

3. (−

2

5)

8

3− 4. (−

2

5) =

8

3+

8

5

24

15+

40

15=

64

15

56. x2-xy sendo x=2/5 e

y=-1/10 Resposta: 1/5

(2

5)

2

−2

5. (−

1

10)

4

25+

2

50=

8

50+

2

50=

10

50=

1

5

57. 3x2-2x-1 sendo x=1/3 Resposta: -4/3

3. (1

3)

2

− 2. (1

3) − 1

3.1

9− 2.

1

3− 1

3

9−

2

3− 1 =

3

9−

6

9−

9

9

−12

9= −

4

3

58. -x2-6x sendo x=-2/3

Resposta: 32/9

− (−2

3)

2

− 6 (−2

3)

−4

9+

12

3= −

4

9+

36

9=

32

9

59. 2x2-x-3 sendo x=-1/2

Resposta: -2

2. (−1

2)

2

− (−1

2) − 3

2.1

4+

1

2− 3

2

4+

1

2− 3

2

4+

2

4−

12

4

−8

4= −2

60. 2a-3b sendo a=3/2 e

b=-2/3 Resposta: 5

2.3

2− 3. (−

2

3)

3 + 2 = 5

61. 2x2-3x-2 sendo x=-1/2 Resposta: 0

2. (−1

2)

2

− 3. (−1

2) − 2

2.1

4+

3

2− 2

1

2+

3

2−

4

2=

0

2= 0

62. a2+3a sendo a=3b e

b=-1/2 Resposta: =-9/4

Primeiro calculamos 𝑎 =

3. (−1

2) = −

3

2

(−3

2)

2

+ 3 (−3

2) =

9

4−

9

2

=9

4−

18

4= −

9

4


POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO 1)Calcule e observe a seqüência 34= 33= 32= 31= 30= 3-1= 3-2= 3-3= 3-4= 2) Calcule e observe a sequência 24= 23= 22= 21= 20= 2-1= 2-2= 2-3= 2-4= 3)Calcule: a) 2-1= b) 2-5= c) (-2)-2= d) 10-3= e) 3-3= f) (-3)-3= g) (-2)-1= h) (-2)-5= i) -2-4= j) –(-4)-3= k) –(-10)-1= l) –(-7)-2= 4) Calcule

a) (1

2)

−1

= b) (1

2)

−2

= c) (−1

3)

−2

=

d) (−1

4)

−1

= e) (2

3)

−1

= f) (−2

5)

−2

=

g) (−5

3)

−3

= h) − (−1

6)

−1

= i) − (1

3)

−2

=

j) − (−3

2)

−3

= k) (12

3)

−2

=

5) Calcule: a) 0,2-1= b) 0,5-2= c) 1,2-1= d) 2,5-2= e) 3,5-2= f) 0,25-2= g) (-0,2)-2= h) (-2,5)-3= i) (-0,25)-2= 6) Resolva as expressões: a) 3-1+2-1 Resposta: 5/6 b) 3-1+2-2+(-4)-1 Resposta: 1/3 c) (9-1+6-2)-1 Resposta: 36/5

d) (40+4-1):(40-4-1) Resposta: 5/3 e) (-3)-1+(-1)-3 Resposta: -4/3 f) 2-4-22 Resposta: -63/16


g) (4-1+2-3)-1 Resposta: 8/3 h) (6-2.32)-1 Resposta: 4

i) 20+(-2)4.4-2-(-2)3 Resposta: 10

j) −22+(

1

3)

−2

−24+(−3)2+40 Resposta: -5/6

1)Transforme em uma só potência (considere x e a não nulos):

a) 79.7-6 = b) 10-9.10.105=

c) 83.8-6=

d) x3x-5x4=

e) a8.a-8.a-1= 2) Transforme em uma só potência (considere x e a não nulos): a) 64:65= b) 27:2-2= c) 74:7-1=

d) 10−3

10−5 = e) 𝑥6

𝑥−2 = f) 𝑎9

𝑎11 =

3)Transforme numa só potência (considere x não nulos): a) (6-1)4= b) (5-1)-3= c) (106)-2=

4) Transforme em um produto de potências: a)(5.11)-2= b) (3.102)-1= c) (2-4.54)2= 5) Transforme em um quociente de potências: a) (8:3)-2= b) (6-2:5)-4= c) (7-2:2-1)-3=

6) Simplifique (com todos valores diferentes de zero):

a) 𝑎12: 𝑎11 b) (a6)2.a8 c) (x9)2.x6

d) 𝑥7

𝑥7 e)

𝑥5.𝑥10

(𝑥5)2 f)

𝑎8𝑎5𝑎8

(𝑎4)5

12) Escreva como uma única potência (use tabelas):

a) 256.47

86 b) 3−6,276

2433


13) Escreva como uma única potência:

a) 0,00001:(100-2)3 b) 0,00001−2.100003

(0,13.102)4

14) Escreva como uma única potência 39.(32)

−2

(33)4(34)−5

15) Simplifique .𝑎15𝑏10

𝑎12𝑏9

16) Escreva como única potência: (511. (52)−3. (54)−2)−3

17) Simplifique .𝑎−4𝑏−10

𝑎12𝑏−8


a) 2−1 + 3−1

b) (−3)2. (−2 + 2−1)−1

c) (3 − 5)2(−2 − 1)3 + (1

2)

−2

d) 2−1+2−2

2−3

2)Se 𝐴 = (−1

3)

−2

, B=2−1

5−1, C=2-1.5-2, ache A+B+C

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães POTENCIAÇÃO PT.7.01.A

1)Calcule e observe a seqüência 34=81 33=27 32=9 31=3 30=1 3-1=1/3 3-2=1/9 3-3=1/27 3-4=1/81 2) Calcule e observe a sequência 24=16 23=8 22=4 21=2 20=1 2-1=1/2 2-2=1/4 2-3=1/8 2-4=1/16 3)Calcule: a) 2-1=1/2 b) 2-5=1/32 c) (-2)-2=1/4 OBS: Note que o fato de -2 ser par faz com que o sinal seja positivo. d) 10-3=1/100 e) 3-3=1/27 f) (-3)-3=-1/27 Já no caso de -3, como é ímpar, se mantém o sinal. g) (-2)-1=1/2 h) (-2)-5=1/32 i) -2-4=-1/16

No caso de -2-4 o sinal não está elevado à -4, apenas o 2 está. Portanto, mantém-se o sinal

j) –(-4)-3=-(-1/64)=1/64 k) –(-10)-1=-(-1/10)=1/10 l) –(-7)-2=-(1/7)=-1/7

4) Calcule

a) (1

2)

−1

=2 b) (1

2)

−2

=4 c)

(−1

3)

−2

=9

d) (−1

4)

−1

=-4 e) (2

3)

−1

=3/2 f)

(−2

5)

−2

=25/4

g) (−5

3)

−3

=-27/125 h) − (−1

6)

−1

=-(-6)=6

i) − (1

3)

−2

=-9 j) − (−3

2)

−3

=-(-

8/27)=8/27

k) (12

3)

−2

=(5/3)-2=9/25

5) Calcule:

a) 0,2-1=(1/5)-1=5 b) 0,5-2=(1/2)-2=4 c) 1,2-1=(6/5)-1=5/6 0,2=2/10=1/5 0,5=5/10=1/2 1,2=12/10=6/5

d) 2,5-2=(25/10)-2=(5/2)-2=4/25 e) 3,5-2=(35/10)-2=(7/2)-2=4/49 f) 0,25-2=(25/100)-2=(1/4)-2=16 g) (-0,2)-2=(-1/5)-2=25 h) (-2,5)-3=(-25/10)-3=(-5/2)-3=-8/125 (Sinal negativo!) i) (-0,25)-2=(-1/4)-2=16

6) Resolva as expressões (no caderno): a) 3-1+2-1 Resposta: 5/6

1

3+

1

2=

3 + 2

6=

5

6

b) 3-1+2-2+(-4)-1 Resposta: 1/3 1

3+

1

4+ (−

1

4) =

1

3

c) (9-1+6-2)-1 Resposta: 36/5

(1

9+

1

36)

−1

= (4 + 1

36)

−1

= (5

36)

−1

=36

5

d) (40+4-1):(40-4-1) Resposta: 5/3


(1 +1

4) : (1 −

1

4) =

(4 + 1

4) : (

4 − 1

4) =

(5

4) : (

3

4) =

5

4.4

3=

5

3

e) (-3)-1+(-1)-3 Resposta: -4/3

(−1

3) + (−1) = −

1

3− 1 = −

4

3

f) 2-4-22 Resposta: -63/16 1

16−

1

4=

1 − 64

16= −

63

16

g) (4-1+2-3)-1 Resposta: 8/3

(1

4+

1

8)

−1

= (2 + 1

8)

−1

= (3

8)

−1

=8

3

h) (6-2.32)-1 Resposta: 4

(1

36. 9)

−1

= (1

4)

−1

= 4

i) 20+(-2)4.4-2-(-2)3 Resposta: 10

1 + 16 .1

16− (−8) = 1 + 1 + 8 = 10

j) −22+(

1

3)

−2

−24+(−3)2+40 Resposta: -5/6

−22 + (13

)−2

−24 + (−3)2 + 40=

−4 + 9

−16 + 9 + 1=

5

−6= −

5

6

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães POTENCIAÇÃO PT.7.01.B

1)Transforme em uma só potência (considere x e a não nulos):

b) 79.7-6 =79+(-6)=715

b) 10-9.10.105=10-9+1+5=10-3

c) 83.8-6=83+(-6)=8-3

d) x3x-5x4=x3+(-5)+4=x2

e) a8.a-8.a-1=a8+(-8)+(-1)=a8-8-1=a-1 2) Transforme em uma só potência (considere x e a não nulos): a) 64:65=64-5=6-1 b) 27:2-2=27-(-2)=29

c) 74:7-1=74-(-1)=75 d) 10−3

10−5 = 10−3−(—5) =

102

e) 𝑥6

𝑥−2= 𝑥6−(−2) = 𝑥8 f)

𝑎9

𝑎11=

𝑎9−11 = 𝑎−2 3)Transforme numa só potência (considere x não nulos): a) (6-1)4=6-4 b) (5-1)-3=63 c) (106)-2=10-12

4) Transforme em um produto de potências: a)(5.11)-2=5-2.11-2 b) (3.102)-1 =3-

1.10-2

c) (2-4.54)2=2-8.58

5) Transforme em um quociente de potências: a) (8:3)-2=8-2:3-2 b) (6-2:5)-4=68:5-4 c) (7-2:2-1)-3=76:23

6) Simplifique (com todos valores diferentes de zero) – no caderno:

a) = 𝑎12: 𝑎11 = 𝑎 Quando eu não indico expoente, ele é 1, é importante considerar isso. b)= (a6)2.a8=a12.a8=a20 c) =(x9)2.x6=x18.x6=x24

d) =𝑥7

𝑥7= 𝑥0

e) =𝑥5.𝑥10

(𝑥5)2=

𝑥15

𝑥10= 𝑥5

f) =𝑎8𝑎5𝑎8

(𝑎4)5=

𝑎21

𝑎20= 𝑎1 = 𝑎

12) Escreva como uma única potência (caderno):

a) 256.47

86=

(28).(22)7

(23)6=

28.214

218=

222

218= 24

Substitua 256=28, 4=22 e 8=23.

b) 3−6,276

2433=

3−6.(33)6

(35)3=

3−6,318

315=

312

315= 3−3

Substitua 27=33 e 243=35 13) Escreva como uma única potência (caderno): a) 0,00001:(100-2)3=10-5:((102)-2)3=10-5:10-

12=107

b) 0,00001−2.100003

(0,13.102)4=

(10−5)−2

.(104)3

((10−1)3102)4=

1010.1012

(10−3102)4=

1022

(10−1)4=

1022

10−4= 1026

14) Escreva como uma única potência:

39. (32)−2

(33)4(34)−5=

39. 3−4

312. 3−20=

35

3−8= 313

15) Simplifique .𝑎15𝑏10

𝑎12𝑏9= 𝑎3𝑏

16) Escreva como única potência: (511. (52)−3. (54)−2)−3 = (511. 5−6. 5−8)−3 =(5−3)−3 = 59

17) Simplifique .𝑎−4𝑏−10

𝑎12𝑏−8= 𝑎−4−12𝑏−10−(−8) =

𝑎−16𝑏−2

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães POTENCIAÇÃO PT.7.01.C

1) Resolva as expressões no caderno

a) 2−1 + 3−1 1

2+

1

3=

3

6+

2

6=

5

6

b) (−3)2. (−2 + 2−1)−1

9. (−2 +1

2)

−1

= 9. (−4

2+

1

2)

−1

= 9. (3

2)

−1

= 9.2

3= 6

c) (3 − 5)2(−2 − 1)3 + (1

2)

−2

(−2)2(−3)3 + 4 = 4. (−27) + 4 = −108 + 4= −104

d) 2−1+2−2

2−3=

1

2+

1

41

8

=2

4+

1

41

8

=3

41

8

=3

4. 8 = 6

2)Lembre que 0,25=1/4 e calcule (0,25)-3 rapidamente. (1/4)-3=64 3) Se 0,142857142857...=1/7, calcule (0,142857....)-2. (1/7)-2=49

4)Se 𝐴 = (−1

3)

−2

, B=2−1

5−1, C=2-1.5-2, ache

A+B+C

𝐴 = 9 𝐵 =1

21

5

=5

2 C=

1

2.

1

25=

1

50

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 9 +5

2+

1

50=

450

50+

125

50+

1

50

=576

50=

288

25

𝑎 = 1 −1

4=

4

4−

1

4=

3

4

𝑏 = (1 −1

2)

−1

= (1

2)

−1

= 2

𝑐 = 1 − 3 = −2

a) (3

4)

2

=9

16

b) (2 −3

4)

−2

= (8

4−

3

4)

−2

= (5

4)

−2

=16

25

c) (3

4.2

−2)

−2

= (3

2

−2)

−2

= (3

−4)

−2

=16

9


MAIS EXERCÍCIOS DE POTENCIAÇÃO 1) Calcule:

a) 7-1 b) 6-2 c) 2-3 d)

2

3

1

e)

2

5

2

f)

2

5

2

g)

3

3

2

h)

3

6

5

i)

3

3

21

2) Calcule 5-1+3-2

3) Calcule (-2,222...)-3. 4) Ache o valor de:

a)

2

4

1

b)

2

4

1

5) Calcule: a) 10-1 b) 10-2 c) 10-3 d) 10-4 e) 10-5 f) 10-6 6) Calcule: a) 2-1 b) 2-2 c) 2-3 d) 2-4 e) 2-5 f) 2-6

7) Se A=(−21

4)

−1

, B=2-3, C=5-2, ache A+B+C

8) Ache o valor de 3

2

3

21...111,2

9) Calcule: a) (-2)-3 b) (-10)-3 c) (-5)-4 d) (-7)-3

10) Ache 20+2-1+2-2+2-3

11) Ache o valor de 2

2

...333,0

2

12

12) Se a=3.(2+5) e b=5.( 25 +1), ache ba

ba

22


RADICIAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

1) Calcule:

a) √25=________ b) √144=________ c) √100=________ d) 52=________ e) 62=________

f) 112=________ g) √83

=________ h) √1253

=________ i) 53=________ j) 33==________ 2) Escreva-se como lê, seguindo os exemplos 52 – cinco ao quadrado 33 – três ao cubo 62=__________________ 73=__________________ 23=__________________ 3) Qual é: a) o dobro de 5______b) o quadrado de 5______c) o dobro de 10______d) o quadrado de 10______ e) o dobro de 7______f) o quadrado de 7______g) o dobro de 11______h) o quadrado de 11______ 4) Qual é: a) o triplo de 3______b) o cubo de 3______ c) o triplo de 5______ d) o cubo de 5______ e) o triplo de 7______ f) o cubo de 7______ g) o triplo de 10______ h) o quadrado de 10 ______ 5) Qual é a área do quadrado: Exemplo: Faça o mesmo com:

Lado = 5 cm A= ___cm x___ cm =____ cm2

6) Qual é o lado do quadrado, dada a área: Exemplo:

Área = 121 m2

Lado = √___𝑚2=___m

7) Qual é a medida?

Exemplo: Lado = 3 m. Área = 3 m x 3 m = 9 m2 Área = 16 m2. Lado = √16𝑚2=4m a) Lado: 5 m. Área=___________. b) Lado: 10 m. Área=___________. c) Área: 100 m2. Lado =___________. d) Área: 121 m2. Lado =___________. e) Lado: 9 m. Área=___________. f) Área: 144 m2. Lado =___________. 8) Veja os números quadrados.

Desenhe o próximo número quadrado.


9) Veja agora os números triangulares. Continue mais três desenhos.

10) Continue a tabela:

6 . 6 . 6 = ____ ∴ √3

= ____

7 . 7 . 7 = ____ ∴ √3

= ____

8 . 8 . 8 = ____ ∴ √3

= ____

9 . 9 . 9 = ____ ∴ √3

= ____

10 . 10 . 10 = ____ ∴ √3

= ____

11 . 11 . 11= ____ ∴ √3

= ____

12 . 12 . 12 = ____ ∴ √3

= ____

13 . 13 . 13 = ____ ∴ √3

= ____

14 . 14 . 14 = ____ ∴ √3

= ____

15 . 15 . 15 = ____ ∴ √3

= ____

16 . 16 . 16 = ____ ∴ √3

= ____

17 . 17 . 17 = ____ ∴ √3

= ____

18 . 18 . 18 = ____ ∴ √3

= ____

19 . 19 . 19 = ____ ∴ √3

= ____

11) Veja!

14=1.1.1.1=1 ∴ √14

= 1

24=2.2.2.2=16 ∴ √164

= 2

34=3.3.3.3=81 ∴ √814

= 3

44=4.4.4.4=____ ∴ √_____4 = ____

54=5.5.5.5=____ ∴ √_____4 = ____

64=6.6.6.6=____ ∴ √_____4 = ____

74=7.7.7.7=____ ∴ √_____4 = ____

84=8.8.8.8=____ ∴ √_____4 = ____

94=9.9.9.9=____ ∴ √_____4 = ____

12) Calcule:

a) √1253

=_____ b) √273

=_____ c) √814

=_____ d) √49 =_____ e) √2564

=_____

f) √144=_____ g) √6254

=_____ h) √13313

=_____ i) √5123

=_____ j)√10003

=_____

5) Se 14196 e 15225 . Responda: existe 200 exata?

6) Se 332x332=110224 e 333x333=110889. Pode existir raiz quadrada exata de 110750? 7) Calcule:

a) 169 c) 4.9 b) 169 d) 4.9

8) Calcule:

a) 25144 b) 25144 c) 25.144 d) 25.144

9) Se A= 36 e B= 144 , ache o valor de A+B.

10) Se A= 49 , B=5+3, C= 144 , calcule:

a) A+B b) B+C c) 2.A d) B. C e) C.A+2.B

11) Se A= 549 e B= 3144 , ache A+B


12) Se A= 36.25 B= 169196 e C=A+B. Ache: a) A+B+C b) 2.A.C

13) Se A= 25 , B=7+2, C= 9.2 , ache: a) A+B+C b) 2.A+C

14) Sei que A= 236.3 , B= A 925 , C= 5A , ache a metade de A+B+C.

15) Ache A+B, se

A= )361(5 e B= 49.25 .

16) Sendo

A= )49.23)(365( B= 2).425(5 C= 49.25 , ache A+B+C

16) Ache o valor de x se xx .

18) Para formar um pelotão de 169 soldados, eles são distribuídos em uma região quadrada, de forma regular. Quantos soldados haverá em cada lado do quadrado?

19) Sendo a= 4489 e b= 121 , ache o valor de a+b

20) Dados a= 493 , b= 92 e c= 25.3 , ache cba

21) Se a=3+ 36 e b=5. 49 , ache o valor de 2a+b+ a

22) Se a= 645.3 , b= 36.43 , c= 255 , d= 426 , calcule cdba 101

23) Calcule:

a) 2523 b) 32-23 c) 5.32 d) 23.32 e) 33+53 f) 53-43 g) 3464 h) 329 i) 25:53 j) 211121

24)Calcule: a) (5-3)2 b) (2+5)3 c) (5-3)3 d) (32-23)2


25) Calcule:

a) 32 23 b) 23 c) 22 43 d) 23 3.42

26) Calcule:

a) 25 b) 27 c) 210 d) 26 e) 28 f)

215

27) Calcule:

a) 264 b) 249 c) 236 d) 281 e) 29

28) Calcule: 093493

29) Se A=30, B=23, calcule: BA .

30) Calcule: a) 235 b) 235

31) (Papiro de Rhind – 1600 a.C) “Em cada uma de sete casas, há sete gatos, cada um deles come sete ratos, cada um dos quais havia comido sete espigas de trigo, cada uma delas com sete hecates. Casas, gatos, ratos, espigas e hecates, quantos são?” 32) (Líber Abaci – Fibonacci – 1202) Há sete senhoras idosas na escada de Roma. Cada senhora tem sete mulos; cada mulo transporta sete sacos; cada saco contém sete pães; com cada pão há sete facas; para cada faca há sete bainhas. Entre mulheres, mulos, sacos, pães, facas e bainhas, quantos estão na estrada de Roma? 33) (Versos infantis clássicos ingleses) Quando ia a Saint Ives / Encontrei um homem com sete mulhers; / Cada mulher tinha sete sacos; / Cada saco tinha sete gatos; / Cada gato tinha sete gatinhos. / Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, / Quantos iam para Saint Ives? 34) Ache:

a) 33 278 b) 53 32.125 c) 43 16216 d) 9814

38) Qual o volume do cubo: Exemplo: Faça o mesmo:


39) Dado o volume do cubo, ache a medida da aresta

40) Qual é a medida?

Exemplo: Aresta = 4 m. Volume = 4 m x 4 m x 4 m = 64 m3 Volume = 64 m2. Aresta = √64𝑚3=4m a) Aresta: 10 m. Volume=___________. b) Aresta: 8 m. Volume=___________. c) Volume: 216 m3. Aresta =___________. d) Volume: 1000 m3. Aresta =___________. e) Aresta: 11 m. Volume=___________. f) Volume: 125 m3. Aresta =___________. 41) Quais são os números cúbicos?

Vamos relembrar algumas potências:

23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343

83=512 93=729 103=1000 113=1331 24=16 34=81

44=256 54=625 25=32 35=243 45=1024 55=3125

1) Calcule:

a) 3 27 =___ b) 4 81 =___ c) 3 64 =___ d) 3 125 =___ e) 4 16 =___ f) 5 32 =___g) 9 512 =___

2) Calcule:

a) 33 278 =___ b) 53 32.125 =___ c) 43 16216 =___ d) 9814 =___ e) 3 27125 =___

3) Sei que 210=1024, calcule 101024=___.

4) Calcule:

a) 81 =____ b) 4 81=____ c) 16 =____ d) 4 16 =____

e) 256 =____f) 4 256 =____ g) 256 =____h) 8 256 =____


5) Calcule 4 625

6) Calcule:

a) 3 27 =____b) 3 27 =____c) 4 16 =____d) 4 16 =____

e) 36 =____f) =____ g) =____h) 5 32 =____

7) Ache o valor de x: a) x2=16 b) x2=49 c) x2=-1 d) x3=-27 e) x3=8 f) x3=-1 g) x4=16 h) x4=-16

8) Calcule 2-1+ 3 8 . Resposta 5/2

9) Calcule efetuando todas operações (não usar propriedades):

a) 33 8 b) 3 38 c) 44 1 d) 4 41 e) 29 f) 29

10) Calcule:

a) 6 0 =___ b) 3

27

8=___

11) Resolva:

a) 121495 Resposta: 24

b) 9

13

25

4 Resposta:7/5

c) 3 322 27.35 Resposta: -4

d) 33 001,027

8 Resposta: 23/30

12) Calcule:

a) 3 8000 =___ b) 4 160000=___ c) 3 8000 =___ d) 4 160000 =___ e) 5 100000=___

f) 3 27000 =___ g) 3 1000000000=___ h) 0,0000646 =___

13) Se a= 3 8000e b=1-22, ache o valor de 2

10

ba

Resposta: 17/9

14) Ache a metade da 3 64000000

36 5 32


15) (FACULDADES OBJETIVO) Qual o valor de 9 8

1

2

2 27

3

0

2 3

( ).

Resposta: 6

16) (LONDRINA – Adapt.) Dados os números .

a) Quanto é √𝑧? b) Quanto é xy-z?

𝑥 =2/3

1/3= 2

𝑦 =2/3

3/2= 4/9

𝑧 =

2/33

1/2=

2/9

1/2= 4/9

𝑎) √4

9=

2

3

b) 20= 1

GABARITO

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães RADICIAÇÃO RD.7.01.A

1)Calcule:

√273

=3 √814

=3 √643

= 4 √1253

=5

√164

=2 √325

=2 √5129

=2 2) Calcule: a) =2+3=5 b) =5.2=10 c) =6-2=4 d) =3:3=1 e) =125+3=128 3) Sei que 210=1024, calcule =2. 4) Calcule: a) =3 b) =3 c) =2 d) =2 e) =4 f) =4 g) =2 h) =2 Aqui podemos concluir que a raiz quarta equivale a raiz quadrada da raiz quadrada ou seja:

√4

= √√

A raiz oitava é a raiz quadrada da raiz quadrada da raiz quadrada

√8

= √√√

5) Calcule Pode ser calculado tirando-se a raiz quadrada da raiz quadrada, que resulta em 5. 6) Calcule: a) =-3 b) =3 c) =2 d) =não tem raiz

e) =não há f) =6

g) =2 h) =-2

7) Ache o valor de x: a) x2=16 b) x2=49 x=4 ou x=-4 Não existe x c) x2=-1 d) x3=-27 Não existe x x=-3 e) x3=8 f) x3=-1

x=2 x=-1 g) x4=16 h) x4=-16 x=2 ou x=-2 Não existe x

8) Calcule 2-1+. 1

2+ 2 =

1

2+

4

2=

5

2

9) Calcule efetuando todas operações (não usar propriedades):

a) =23 = 8 b) =√5123

= 8

c) =14 = 1 d) √14

= 1

e) =32=9 f) = √81 = 9 O objetivo aqui é concluir que potências e raízes se cancelam.

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães RADICIAÇÃO RD.7.01.B

10) Calcule: a) =0 b) =-2/3 11) Resolva no caderno: a) Resposta: 24

5.7 − 11 = 35 − 11 = 24 b) Resposta:7/5

2

5+ 3

1

3=

2

5+ 1 =

7

5

c) Resposta: -4

√25 − 9. √7 − 83

√16. √−13

= 4. (−1) = −4 d) Resposta: 23/30

2

3− (−0,1) =

2

3+

1

10=

20

30+

3

30=

23

30

12) Calcule: a) =20 b) =20 c) =-20 d) =N/E e) =10 f) =-30 g) =100 h) =0,2 13) Se a=e b=1-22, ache o valor de a=20 b=1-4=-3

20

10− (−3)−2 = 2 −

1

9=

18

9−

1

9=

17

9

Resposta: 17/9 14) Ache a metade da

√400 = 20 A metade é 10

x

1

3

1

31

3

1

3

1

33

2

1

3

1

3

31

2

, , y = z =

365 32


EXERCÍCIOS DO PROEB DE LOCALIZAÇÃO DE INFORMAÇÕES

Questão 1

Questão 2 Questao 3

Questão 4 Questão 5


MÉDIA 1) As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete são 25 anos, 27 anos, 22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual é a idade média dos jogadores titulares dessa equipe? 2) Qual é a média aritmética dos números – 25, -22, -13, 15 e 30?

𝑀𝐴 =−25 − 22 − 13 + 15 + 30

5=

−60 + 45

5= −

15

5= −3

3) Qual é a média aritmética dos números 12, -10, -8, -12 e 7? 4) A diretoria de um clube é formada por 10 membros. As idades deles estão indicadas em anos a seguir: 27, 30, 30, 32, 30, 32, 30, 27, 30 e 32. Qual é a idade média dos membros da diretoria. 5) Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante uma certa semana:

2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira sábado

13 23 22 27 22 25

Qual é a média diárias de vendas nessa semana? 6) Qual foi a média diária de veículos vendido numa concessionária que teve durante uma semana as seguintes vendas realizadas:

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

janeiro fevereiro março abril maio junho


7) Ache o lucro médio mensal de uma empresa que apresentou durante o semestre os seguintes resultados (valores em reais):

8) As alturas dos jogadores de uma equipe de basquete são: 1,98 m; 2,02 m; 2,08 m; 1,92 m e 1,95 m. Qual é a média de altura dessa equipe?

9) Qual é a média aritmética dos números 2

3,

1

6 e

3

4?

𝑀𝐴 =

23 +

16 +

34

3=

812 +

212 +

912

3=

19123

=19

36


5,

1

4,

3

2?

11) Qual é a média aritmética dos números 1, 2

3,

1

4,

1

6?

12) Qual é a média aritmética dos números 1/3, 0,5 e ¼? 13) Qual é a média aritmética dos números 1/2, 2/5 e ¾? 14) Qual é a média aritmética de 10 cm, 0,4 m e 0,25 m.

Transforme tudo em centímetros: 10 cm, 40 cm e 25 cm, e ache a média!

15) Qual é a média de 2 km, 2.500 m e 3,8 km?

51

36

25

0

42

32

-37

2

-25

0

14

2

J A N E I R O F E V E R E I R O M A R Ç O A B R I L M A I O J U N H O


Média Aritmética Ponderada 16) Uma professora atribuirá pesos para as atividades, sendo: 1ª prova – peso 3 Trabalho – peso 2 2ª prova – peso 5 Resultados das notas de alguns alunos:

1ª prova Trabalho 2ª prova NOTA

Maria 6 5 5

Vitória 7 6 5

Letícia 5 7 6

Ângela 10 9 8

Godofredo 3 9 6

Paulo 5 8 7

Venância 7 10 5

Amir 7 9 6

Leto 6 6 6

Nota de Maria 6.3+5.2+5.5

3+2+5=

18+10+25

10=

53

10= 5,3

Nota de Vitória 7.3+6.2+5.5

3+2+5=

21+12+25

10=

59

10= 5,9

17) Determine a média aritmética ponderada dos números 8, 15 e 20, com pesos 2, 2 e 1, respectivamente.

MA=8.2+15.2+20.1

2+2+1=

16+30+20

5=

66

5= 13,2

18) Determine a média aritmética ponderada dos números 7, 12 e 25, com pesos 3, 2 e 5, respecitavamente. 19) Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto ela pagou, em média, por caneta? Resposta: 18 20) Uma indústria produz um certo produto. Vendeu 3500 unidades desse produto por 30 reais cada e 8500 unidades por 24 reais cada. Qual foi o preço médio, por unidade? Resposta: R$ 22,75 21) Numa empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários está representada no quadro abaixo. Qual é o salário médio dos empregados dessa empresa?

Número de empregados Salário (em reais)

12 800

5 1.200

3 2.000

Resposta: R$ 1.080,00

𝑀𝐴 =12.800 + 5.1200 + 3.2000

12 + 5 + 3=

9600 + 6000 + 6000

20=

21600

2= 1080


22) Foram pesquisadas as idades das pessoas dos alunos de um grupo e obtiveram-se os resultados organizados na tabela a seguir:

Idades (anos) Número de alunos

13 4

14 11

15 7

16 3

Encontre a média das idades dos alunos da classe. Resposta: 14,36 anos 23) Num torneio de basquete, uma equipe marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e 103 pontos nas 4 partidas que disputou na 1ª fase. Qual a média de pontos que essa equipe marcou nessa fase do torneio? Resposta: 105 pontos 24) Um colégio tem 8 professores e suas idades são 26 anos, 28 anos, 34 anos, 40 anos, 28 anos, 30 anos, 38 anos e 32 anos. Qual a idade média dos professores desse colégio? Resposta: 32 anos 25) Preparamos um refresco com 8 copos de água mineral e 2 copos de groselha. Se o copo de água mineral custa 8 centavos de real e o copo de groselha custa 13 centavos de real, qual é o custo de cada copo de refresco? Resposta: 9 centavos 26) Numa classe de 35 alunos há 22 homens e 13 mulheres. Numa prova de Matemática, a nota média dos homens foi 4,8 e a nota média das mulheres foi 4,0. Qual foi aproximadamente, a nota média da classe? R: 4,5 27) Determine a média aritmética ponderada dos números 9, 15, 26 e 30, com pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. 28) Uma clínica odontológica possui 5 dentistas. As idades deles são 27, 29, 30, 38 e 46. Qual a idade média dessa equipe?


30) Ache a media da idade da seguinte classe:

𝑀𝐴 =10.2 + 11.4 + 12.6 + 13.4 + 14.4

2 + 4 + 6 + 4 + 4=

20 + 44 + 72 + 52 + 56

20=

244

20= 12,2

31) (ENEM – adaptado) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avendida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a velocidade máxima permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada. Calcule a velocidade média aproximada.

Resposta: 44 km/h 32) Ache a média dos seguintes números

11 14 14 12 12 11 14 14 11 14

14 13 11 12 12 11 14 14 11 13

12 13 12 11 13 11 11 11 13 11

12 12 12 14 11 13 13 13 13 15

11 – são 12, 12 – são 9, 13 – são 9, 14 – são 9, 15 – é 1

𝑀𝐴 =11.12 + 12.9 + 13.9 + 14.9 + 15.1

12 + 9 + 9 + 9 + 1=

132 + 108 + 117 + 126 + 15

40=

498

40= 12,45

Resposta: Idade média de 12,45 anos

0

1

2

3

4

5

6

7

10 anos 11 anos 12 anos 13 anos 14 anos

0

5

15

30

40

6

31 0 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


33) Ache a média dos números

15 15 13 13 12 15 13 13 12 13

14 13 15 13 13 12 15 14 15 14

14 14 15 15 15 15 15 14 15 13

13 13 14 15 14 14 15 14 12 15

Resposta: 13,9 34) Ache a média dos seguintes números

3 3 2 1 0 2 2 2 4 2

2 3 3 1 0 2 3 3 3 3

2 1 3 1 3 3 3 0 0 2

2 2 3 1 3 1 1 1 2 3

0 2 3 3 3 2 3 3 2 3

0 1 2 3 0 2 3 0 2 2

Resposta: 2 35) Construa um gráfico de barras correspondente aos números e depois calcule a média destes.

4 3 2 1 0 2 4 2 4 2

4 4 4 1 0 4 4 4 4 1

2 1 4 1 3 3 3 4 1 1

3 2 3 1 4 4 3 4 3 3

1 2 3 3 3 1 3 3 4 3

0 1 4 4 0 2 3 0 4 2

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães

ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.A

1) As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete são 25 anos, 27 anos, 22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual é a idade média dos jogadores titulares dessa equipe?

𝑀𝐴 =25 + 27 + 22 + 30 + 31

5=

135

5= 27

Resposta: A média das idades é de 27 anos. 3) Qual é a média aritmética dos números 12, -10, -8, -12 e 7?

𝑀𝐴 =12 − 10 − 8 − 12 + 7

5= −

11

5 𝑜𝑢 − 2,2

4) A diretoria de um clube é formada por 10 membros. As idades deles estão indicadas em anos a seguir: 27, 30, 30, 32, 30, 32, 30, 27, 30 e

32. Qual é a idade média dos membros da diretoria. 𝑀𝐴

=27 + 30 + 30 + 32 + 30 + 32 + 30 + 27 + 30 + 32

10

=300

10= 30

Resposta: A idade média é de 30 anos. 5) Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante uma certa semana:

2ª feira

3ª feira

4ª feira

5ª feira

6ª feira

sábado

13 23 22 27 22 25

Qual é a média de livros vendidos durante a semana (2ª até sábado).

𝑀𝐴 =13 + 23 + 22 + 27 + 22 + 25

6=

132

6= 22

Resposta: A média é de 22 livros


ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.B

7) Ache o lucro médio mensal de uma empresa que apresentou durante o semestre os seguintes resultados (valores em reais):


𝑀𝐴 =5136 + 250 + 4232 − 372 − 250 + 142

6

=9138

6= 1523

8) As alturas dos jogadores de uma equipe de basquete são: 1,98 m; 2,02 m; 2,08 m; 1,92 m e 1,95 m. Qual é a média de altura dessa equipe?

𝑀𝐴 =1,98 + 2,02 + 2,08 + 1,92 + 1,95

5=

9,95

5= 1,99

R: a média de altura é 1,99 m


5,

1

4,

3

2?

𝑀𝐴 =

45

+14

+32

3=

16 + 5 + 30203

=

51203

=51

20.1

3=

17

20

Resposta: 17/20 11) Qual é a média aritmética dos números 1, 2

3,

1

4,

1

6?

𝑀𝐴 =1 +

23

+14

+16

4=

24 + 16 + 6 + 4244

=

50244

=50

24.1

4=

50

96=

25

48

Resposta 25/48 12) Qual é a média aritmética dos números 1/3, 0,5 e ¼?

𝑀𝐴 =

13

+ 0,5 +14

3=

13

+12

+14

3=

4 + 6 + 3123

=

13123

=13

12.1

3=

13

39

Lembre-se que 0,5=1/2 (meio), você pode calcular isso simplificando 5/10, mas, vale a pena decorar que 0,5=1/2 Resposta 13/39 13) Qual é a média aritmética dos números 1/2, 2/5 e ¾?

𝑀𝐴 =

12

+25

+34

3=

10 + 8 + 15203

=33

20.1

3=

11

20

Resposta 11/20 Resolução alternativa:

𝑀𝐴 =0,5 + 0,4 + 0,75

3=

1,65

3= 0,55 =

55

100=

11

20

14) Qual é a média aritmética de 10 cm, 0,4 m e 0,25 m.

Transforme tudo em centímetros: 10 cm, 40 cm e 25 cm, e ache a média!

𝑀𝐴 =10𝑐𝑚 + 40𝑐𝑚 + 25𝑐𝑚

3=

55𝑐𝑚

3= 18,3333 … . 𝑐𝑚

15) Qual é a média de 2 km, 2.500 m e 3,8 km? 2km = 2.000 m 3,8 km = 3.800 m

𝑀𝐴 =2000𝑚 + 2500𝑚 + 3800𝑚

3=

8300𝑚

3= 27,666 … 𝑚


ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.C

Média Aritmética Ponderada 16) Uma professora atribuirá pesos para as atividades, sendo: 1ª prova – peso 3 Trabalho – peso 2 2ª prova – peso 5 Resultados das notas de alguns alunos:

1ª prova

Trabalho

2ª prova

NOTA

Maria 6 5 5 5,3

Vitória 7 6 5 5,8

Letícia 5 7 6 5,9

Ângela 10 9 8 8,8

Godofredo

3 9 6 5,7

Paulo 5 8 7 6,6

Venância 7 10 5 6,6

Amir 7 9 6 6,9

Leto 6 6 6 6,0

18) Determine a média aritmética ponderada dos números 7, 12 e 25, com pesos 3, 2 e 5, respectivamente.

𝑀𝐴 =7.3 + 12.2 + 25.5

3 + 2 + 5=

21 + 24 + 75

10= 12

19) Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto ela pagou, em média, por caneta? Resposta: 18

𝑀𝐴 =3.20 + 2.15

3 + 2=

90

5= 18

20) Uma indústria produz um certo produto. Vendeu 3500 unidades desse produto por 30 reais cada e 8500 unidades por 24 reais cada. Qual foi o preço médio, por unidade? Resposta: R$ 22,75

𝑀𝐴 =3500.30 + 8500.24

3500 + 8500= 22,75


ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.D

22) Foram pesquisadas as idades das pessoas dos alunos de um grupo e obtiveram-se os resultados organizados na tabela a seguir:

Idades (anos) Número de alunos

13 4

14 11

15 7

16 3

Encontre a média das idades dos alunos da classe. Resposta: 14,36 anos

𝑀𝐴 =13.4 + 14,11 + 15.7 + 16.3

4 + 11 + 7 + 3= 14,36

23) Num torneio de basquete, uma equipe marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e 103 pontos nas 4 partidas que disputou na 1ª fase. Qual a média de pontos que essa equipe marcou nessa fase do torneio? Resposta: 105 pontos

𝑀𝐴 =104 + 96 + 117 + 103

4= 105

24) Um colégio tem 8 professores e suas idades são 26 anos, 28 anos, 34 anos, 40 anos, 28 anos, 30 anos, 38 anos e 32 anos. Qual a idade média dos professores desse colégio? Resposta: 32 anos Basta somar todos os valores e dividir por 8. 25) Preparamos um refresco com 8 copos de água mineral e 2 copos de groselha. Se o copo de água mineral custa 8 centavos de real e o copo de groselha custa 13 centavos de real, qual é o custo de cada copo de refresco? Resposta: 9 centavos

8.8 + 2.13

8 + 2=

64 + 26

10= 9

26) Numa classe de 35 alunos há 22 homens e 13 mulheres. Numa prova de Matemática, a nota média dos homens foi 4,8 e a nota média das mulheres foi 4,0. Qual foi aproximadamente, a nota média da classe? R: 4,5

22.4,8 + 13.4

22 + 13= 4,502857 ….

O valor deve ser arredondado a 4,5


ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.E

27) Determine a média aritmética ponderada dos números 9, 15, 26 e 30, com pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

𝑀𝐴 =9.1 + 15.2 + 26.3 + 30.4

1 + 2 + 3 + 4= 23,7

28) Uma clínica odontológica possui 5 dentistas. As idades deles são 27, 29, 30, 38 e 46. Qual a idade média dessa equipe? Basta somar os 5 valores e dividir por 5, encontaremos a idade média de 34.


ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.F

33) Ache a média dos números 15

15

13

13

12

15

13

13

12

13

14

13

15

13

13

12

15

14

15

14

14

14

15

15

15

15

15

14

15

13

13

13

14

15

14

14

15

14

12

15

Resposta: 13,9 São 40 valores, sendo 11 – são 4, 12 – são 11, 13 – são 10, 15 – são 15.

𝑀𝐴 =11.4 + 12.11 + 13.10 + 15.15

40= 13,9

34) Ache a média dos seguintes números

3 3 2 1 0 2 2 2 4 2

2 3 3 1 0 2 3 3 3 3

2 1 3 1 3 3 3 0 0 2

2 2 3 1 3 1 1 1 2 3

0 2 3 3 3 2 3 3 2 3

0 1 2 3 0 2 3 0 2 2

Resposta: 2 São 60 valores, sendo 8 número 0, 9 número 1, 19 número 2, 23 número 3 e 1 número 4.

𝑀𝐴 =9.1 + 19,2 + 23.3 + 1.4

60= 2

Note que não faz sentido incluir 8.0=0. 35) Construa um gráfico de barras correspondente aos números e depois calcule a média destes.

4 3 2 1 0 2 4 2 4 2

4 4 4 1 0 4 4 4 4 1

2 1 4 1 3 3 3 4 1 1

3 2 3 1 4 4 3 4 3 3

1 2 3 3 3 1 3 3 4 3

0 1 4 4 0 2 3 0 4 2

𝑀𝐴 =1.11 + 2.9 + 3.16 + 4.19

60= 2,55

PROBABILIDADE E CONTAGEM 1) Ao arremessar uma moeda honesta, qual é a probabilidade de encontrarmos:

a) cara b) coroa 2) Um dado não-viciado é arremessado. Qual é a probabilidade de sair: a) o número 5? b) um número par? c) um número ímpar? d) um número maior que 4? e) um número menor que 4? f) um número primo? 3) Qual é o espaço amostral? a) do arremesso de uma moeda


b) do arremesso de um dado. c) do arremesso de duas moedas. d) do arremesso de dois dados. 4) Arremessando dois dados não-viciados e somando-se suas faces, qual é a probabilidade de encontrarmos: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)_ 5 f) 6 g) 7 h) 8 i) 9 j) 10 k) 11 l) 12 5) Arremessando duas moedas, qual é a probabilidade de: a) sair cara no primeiro lançamento. b) sair duas faces iguais 6) a) Em uma urna há 4 bolas, numeradas de 1 a 4. Qual é a probabilidade de sair um número par? b) Em uma urna há 100 bolas, numeradas de 1 a 100. Qual é a probabilidade de sair um número quadrado perfeito? c) Em uma urna há 25 bolas, numeradas de 1 a 25. Qual é a probabilidade de sair um número primo? d) Em uma urna há 50 bolas, numeradas de 1 a 50. Qual é a probabilidade de sair um número maior que 18? e) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7? f) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo? 7) Em um baralho comum sem o coringa, diga qual é a probabilidade de escolhermos uma carta: a) de naipe de copas. b) de naipe de ouro. c) de naipe de espadas. d) de naipe de paus. e) de número 7. f) de número 9. g) cuja face é K. h) cuja face é Q. i) cujo naipe é preto. j) cujo naipe é vermelho. k) um Ás de copas l) um 7 de ouros m) um valete vermelho. n) um 10 preto. o) uma carta de 4 ou de J p) uma carta que não seja J, K ou Q.


8) a) Qual é a probabilidade de um número de dois algarismos seja múltiplo de 15? b) Qual é a possibilidade de um número de três algarismos formado apenas com 3, 5 e 4 sem repetição seja par? 9) Escreva a árvore das probabilidades: a) do arremesso de três moedas. d) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 com ou sem repetição. e) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 sem repetição. f) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B e C. g) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B, C, D, E iniciados por vogal.


h) Dos números de 4 algarismos pares iniciados por 4, 6 ou 2 e sem repetição. 1) Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto? 2) Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5? 3) Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas? 4) Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nesses 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta? 5) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de que saiam 2 caras? 6) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que é mais provável: que tenham dois casais ou três filhos de um sexo e um de outro? 7) Duas peças de um dominó comum são sorteadas. Qual é a probabilidade de que tenham um número em comum? 8) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? E se elas, depois de consultarem o número, devolvem o bilhete à urna?


9) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de cara-e-coroa. Ana vence na primeira vez que saírem duas caras seguidas; Joana vence na primeira vez que saírem duas coroas seguidas; Carolina vence quando sair uma cara seguida de uma coroa. Qual é a probabilidade que cada uma tem de vencer? 10) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que se propõe a aumentar as chances de vitória no jogo da Sena (que consiste em sortear 6 dentre 60 dezenas). “Quando afirmamos, por exemplo, que as dezenas atrasadas são importantes, é porque já observamos, em nossos estudos, que todas as dezenas são sorteadas a cada quarenta testes, portanto, seria útil você acompanhar e apostar em dezenas atrasadas; você estaria assim aumentando muito suas chances.” Você concorda que apostar em uma dezena atrasada aumenta as chances de vitória na Sena? 11) Suponhamos que você tenha duas escolhas para apostar na Sena. Na primeira escolha aposta nas dezenas 1 - 3 - 5 7 - 9 - 11, e na segunda escolha nas dezenas 8 - 17 - 31 - 45 - 49 - 55. Qual você acha que tem maiores chances de ser vitoriosa? 12) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em um programa de rádio nos Estados Unidos e causou um enorme debate na internet. Em um programa de prêmios, o candidato tem diante de si três portas. Atrás de uma dessas portas, há um grande prêmio; atrás das demais há um bode. O candidato escolhe inicialmente uma das portas. O apresentador (que sabe qual é a porta que contém o prêmio) abre uma das portas não indicadas pelo candidato, mostrando necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta se o candidato mantém sua escolha ou deseja trocar de porta. O candidato deve trocar ou não? (Uma forma de você guiar sua intuição consiste em simular o problema.) Problemas de Contagem 1) (Olimpíada Cearense de Matemática da Escola Pública – Numeratizar – 1ª série do Ensino Médio – 1ª fase/2003) A formiguinha vai caminhar de A até C passando por B. Ela só anda pelas estradas que já construiu:

O número de caminhos diferentes que ela pode escolher é: a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 2) (EMEF Ricardo Caramuru de Castro Monteiro – CAIC Vale do Sol – Araraquara-SP – 8ª série – 2003) No Brasil, as placas de carro são compostas por 3 letras do alfabeto latino (total:26 letras) e 4 algarismos hindo-arábicos (total:10 algarismos). Qual é o número máximo de placas de carro que podem ser feitas no Brasil? a) 17576000 b) 175760000 c) 6760000 d) 115316136


3) (EMEB Arthur Natalino Deriggi – São Carlos-SP – 5ª série – 2003) Margareth tem 12 blusas e 11 saias. Quantas combinações de saia e blusa Margareth pode usar? a) 23 b) 12 c) 144 d) 132 e) 121 4) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000) Com seis tipos de cartões magnéticos e oito senhas diferentes, as opções de escolha de um cartão e uma senha são: a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 64 5) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000)Num microcomputador, para abrir certo arquivo, o usuário deve digitar 4 sinais ( que são / # | ^) numa certa ordem, sem repeti-los. Se ele não conhece a ordem e procura acertar a senha por tentativas, qual é o número máximo de tentativas que fará? a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120 6) (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1, 2 e 3 – 1a fase – 2001) Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns pontos destacados no interior dessas circunferências. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam, formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condições?

A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24 7) Uma bandeira tem quatro listas. De quantas maneiras eu posso pintá-las utilizando-se de 3 cores diferentes, de tal forma que não pintemos duas faixas consecutivas da mesma cor. 8) Numa festa 5 pessoas se cumprimentam. Quantos são os cumprimentos possíveis? 1) Escreva todas as palavras de duas sílabas diferentes que podem ser formadas combinando as sílabas ca, ma, to, da. Mas atenção para a regra: só valem palavras que existem na língua portuguesa. 2) O gato quer chegar até a borboleta. Ele só anda sobre as linhas pretas e só para a direita ou para cima.

Desenhe 5 caminhos para o gato chegar até a borboleta. Depois, descubra: quantos são os caminhos.


3) Daniela adora artigos de papelaria. Nesta papelaria, um jogo de canetinhas custa R$ 12,50; uma agenda custa R$ 4,50; uma pasta com esquadros custa R$ 8,00; um estojinho do Mickey custa R$ 11,00 e uma caixinhas de clipes coloridos custa R$ 3,50. Ela quer compara um artigo de cada tipo, mas tem apenas R$ 20,00. Escreva todas as possibilidades de compra que Daniela tem e quanto ela gastaria em cada caso. 4) Num grupo das eliminatórias da Copa do Mundo de Futebol, estão as seleções: Bolívia, Brasil, Colômbia, Paraguai e Peru. Todas as equipes vão se enfrentar, mas apenas uma vez. a) Escreva a lista das partidas que vão ocorrer. b) Quantas serão as partidas? 5) Veja todas as adições de dois números naturais que têm soma 3: 0+3 1+2 2+1 3+0 a) Escreva todas as adições de dois números naturais com soma 5. b) Escreva todas as que têm soma 8. c) Sem escrever todas, descubra quantas são as adições de dois números naturais com soma

100. 6) Pense agora nas subtrações de dois números naturais que têm diferença 3. Quantas subtrações assim você acha que existem? 7) Vamos fazer bandeirinhas de 3 faixas, usando em cada bandeira sempre as mesmas 3 cores. Existem 6 bandeiras diferentes nessas condições. Desenhe todas elas. 8) Imagine que você tenha 3 cartões (um com o número 1, outro com o 2 e outro com o 3). Usando sempre os 3, represente todos os números de 3 algarismos que puder. Quantos são esses números? 9) Os exercícios 7 e 8 têm alguma coisa de parecido. Tente descobrir e explicar o que é. 10) Pense nos números naturais de 3 algarismos formados com 1, 2 ou 3. a) Escreva todos esses números. b) Quantos são eles?


11) Vai correr o bingo milionário! Os prêmios valem 100 mil, 100 mil, 50 mil, 50 mil, 10 mil, 10 mil,

10 mil e 5 mil. Um concorrente vai sortear 3 prêmios. Cada prêmio é sorteado uma só vez. a) Esse concorrente pode ganhar 70 mil? E 80 mil? b) Ele pode ganhar, no máximo, quanto? E quanto ele pode ganhar, no mínimo? 12) As placas de automóveis de certo pais são construídas com apenas uma letra e dois

algarismos. A letra é sempre uma das 5 vogais. O primeiro algarismo é 1 ou 2; e o segundo também.

a) Mostre todas as placas possíveis que comecem com A. b) Considerando todas as 5 vogais, qual é o total de placas possíveis? Gabaritos para Experimentos Aleatórios

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

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19

20

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de

Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM

PE.7.01.A

1) Ao arremessar uma moeda honesta, qual é a probabilidade de encontrarmos:

a) cara Probabilidade ½ ou 50% b) coroa Probabilidade ½ ou 50%

2) Um dado não-viciado é arremessado. Qual é a probabilidade de sair: a) o número 5? Casos favoráveis: o 5 (1 caso) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 1/6 b) um número par? Casos favoráveis: 2, 4 e 6 (3 casos)

Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) c) um número ímpar? Casos favoráveis: 1, 3 e 5 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) d) um número maior que 4? Casos favoráveis: 5 e 6 (2 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 2/6=1/3 (ou 33,33%) e) um número menor que 4? Casos favoráveis: 1, 2, 3 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) f) um número primo?

Casos favoráveis: 2, 3 e 5 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) NÚMERO PRIMO é aquele que divide apenas por um e por ele mesmo, isto é, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, etc... Quando a probabilidade é 0%=0 o evento é chamado de EVENTO IMPOSSÍVEL Quando a probabilidade é 100%=1 o evento é chamado de EVENTO CERTO 3) Qual é o espaço amostral? a) do arremesso de uma moeda {K, C} b) do arremesso de um dado.


{1, 2, 3, 4, 5, 6} c) do arremesso de duas moedas. {(K, K), (K,C), (C, K), (C,C)} d) do arremesso de dois dados. { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 3) Arremessando dois dados não-viciados e somando-se suas faces, qual é a probabilidade de encontrarmos: DIAGRAMA 1 – impossível 2 – (1,1) → 1/36 3 – (1,2), (2,3) → 2/36 = 1/18 4 – (1,3), (2,2), (3,1) → 3/36=1/12 5 – (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4/36=1/9 6 – (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5/36 7 -(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)→6/36 8 - (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5/36 9 – (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4/36=1/9 10 – (4,6), (5,5), (6,4) → 3/36=1/12 11 – (5,6), (6,5) → 2/36=1/18 12 – (6,6) → 1/36 a) 1 → 0 b) 2 → 1/36 c) 3 →1/18 d) 4 → 1/12 e) 5 → 1/9 f) 6 → 5/36 g) 7 → 1/6 h) 8 → 5/36 i) 9 → 1/9 j) 10 → 1/12 k) 11 → 1/18 l) 12 → 1/36 5) Arremessando duas moedas, qual é a probabilidade de: Espaço amostral: KK, KC, CK, CC a) sair cara no primeiro lançamento. Raciocínio comum: 2/4 = 1/2 Raciocínio alternativo: ora, no primeiro lançamento pode sair cara ou coroa, então 1/2 b) sair duas faces iguais KK ou CC, portanto 2/4=1/2 6) a) Em uma urna há 4 bolas, numeradas de 1 a 4. Qual é a probabilidade de sair um número par? Casos favoráveis: 2 e 4 (2 casos) Casos possíveis: 4 Probabilidade: 2/4=1/2=50% b) Em uma urna há 100 bolas, numeradas de 1 a 100. Qual é a probabilidade de sair um número quadrado perfeito? Casos favoráveis: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 (10 casos) Casos possíveis: 100 Probabilidade: 10/100=1/10 ou 10% c) Em uma urna há 25 bolas, numeradas de 1 a 25. Qual é a probabilidade de sair um número primo? Casos favoráveis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23 (8 casos) Casos possíveis: 25 Probabilidade: 8/25 ou 32%

Para achar a probabilidade pensamos assim

8------25 x-------100

Como 100=4 x 25, basta multiplicar 8 por 4, ou seja, temos 32.

d) Em uma urna há 50 bolas, numeradas de 1 a 50. Qual é a probabilidade de sair um número maior que 18? Casos favoráveis: 19 a 50 (ou seja 50-18=32) Casos possíveis: 50 Probabilidade 32/50 = 16/25 ou 64% e) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7? Casos favoráveis: 7, 14, 21 e 28 (4 casos) Casos possíveis: 30 Probabilidade: 4/30=2/15 f) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo? Casos favoráveis: nenhum. Não há número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo entre 1 e 30. Casos possíveis: 30 Probabilidade: 0/30 = 0% evento impossível


PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.B

7) Em um baralho comum sem o coringa, diga qual é a probabilidade de escolhermos uma carta: São 13 cartas de cada um dos 4 naipes, ou seja, 52 cartas a) de naipe de copas. 13/52 ou 1/4 ou 25% b) de naipe de ouro. 13/52 ou 1/4 ou 25% c) de naipe de espadas. 13/52 ou 1/4 ou 25% d) de naipe de paus. 13/52 ou 1/4 ou 25% e) de número 7. 4/52 ou 1/13 f) de número 9. 4/52 ou 1/13 g) cuja face é K. 4/52 ou 1/13 h) cuja face é Q. 4/52 ou 1/13 i) cujo naipe é preto. 26/52 ou ½ ou 50% j) cujo naipe é vermelho. 26/52 ou ½ ou 50% k) um Ás de copas 1/52 l) um 7 de ouros 1/52 m) um valete vermelho. 2/52=1/26 n) um 10 preto. 2/52=1/26 o) uma carta de 4 ou de J 8/52=4/26=2/13 p) uma carta que não seja J, K ou Q. Sobram 10 cartas por naipe 40/52=10/13 8) a) Qual é a probabilidade de um número de dois algarismos seja múltiplo de 15? Casos favoráveis: 15, 30, 45, 60, 75 e 90 (ou seja, 6 casos). Casos possíveis: 10 ao 99, sendo 90 casos Probabilidade: 6/90=1/15 b) Qual é a possibilidade de um número de três algarismos formado apenas com 3, 5 e 4 sem repetição seja par? Casos favoráveis: 354 e 534 (2 casos) Caso possíveis: 354, 345, 534, 543, 435, 453 (6 casos) Probabilidade: 2/6=1/3 9) Escreva a árvore das probabilidades a) do arremesso de três moedas.

d) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 com ou sem repetição. e) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 sem repetição. f) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B e C. g) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B, C, D, E iniciados por vogal. h) Dos números de 4 algarismos pares iniciados por 4, 6 ou 2 e sem repetição.


PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.C

1) Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto? 2/6 = 1/3 2) Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5? As possibilidades são (1,4), (2,3), (3,2) ou (4,1). Ou seja, são 4 possibilidades num universo de 36. 4/36 = 1/9 3) Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas? Usando o PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Casos Possíveis: 1ª retirada: 9 possibilidades 2ª retirada: 8 possibilidades Pelo PFC: 9 x 8 =72 Casos Favoráveis: 1ª retirada: 5 possibilidades, pois são 5 bolas vermelhas 2ª retirada: 4 possibilidades, pois não há reposição Pelo PFC: 5 x 4 = 20 20 / 72 = 10 / 36 = 5/18 4) Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nesses 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta? Fazendo todas as 16 possibilidades (pode usar um diagrama de árvore), verificamos que em 8 dessas possibilidades aparecem 2 caras seguidas (faça o diagrama). Ou seja, há 8/16 = ½ de probabilidade de sair duas caras seguidas e 8/16 = ½ de probabilidade de NÃO sair duas caras seguidas. Os dois tem as mesmas chances! 5) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a

probabilidade de que saiam 2 caras? Observe o diagrama 9A, e verifique que há 4 possibilidades de 8 para sair 2 caras, ou seja 4/8 = ½ ou 50%. Resposta: 50% 6) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que é mais provável: que tenham dois casais ou três filhos de um sexo e um de outro?


O mais provável é ter 2 filhos de cada sexo, pois, a probabilidade de nascer homem ou mulher é de 50%. 7) Duas peças de um dominó comum são sorteadas. Qual é a probabilidade de que tenham um número em comum? Um dominó é numerado de 0 a 9, ou seja, há 100 peças. As peças comuns são (0,0), (1,1), ... (9,9), ou seja, 10 peças com números duplos. 10/100 = 1/10 ou 10% 8) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? E se elas, depois de consultarem o número, devolvem o bilhete à urna? Esse exercício é da programação de estudos para Olimpíadas de Matemática. Veja a resposta oficial: Em ambos os casos, Laura e Telma têm a mesma probabilidade de tirar um número maior que a outra. Se não há devolução, não pode haver empate, e a probabilidade de que Laura tenha o maior número é 50%. Se há devolução, há possibilidade de empate e a probabilidade de que isto ocorra ´e igual a 100 casos de empate dividido por 100 × 100 casos possíveis que ´e igual a 0, 01, Logo, neste caso a probabilidade de que Laura tenha um núumero maior do que o de Telma é (1 − 0,01)/2 =0, 99/2 = 0, 495. Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova!


PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.D

9) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de

cara-e-coroa. Ana vence na primeira vez que saírem duas caras seguidas; Joana vence na primeira vez que saírem duas coroas seguidas; Carolina vence quando sair uma cara seguida de uma coroa. Qual é a probabilidade que cada uma tem de vencer? Veja a árvore das probabilidades:

A probabilidade de Ana ou Carolina vencer é 1/4+1/8=3/8. A de Joana é 1/4. (Considere o 3º galho como ¼ e o 4º galho como 1/8, você consegue entender o motivo!) Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! 10) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que se propõe a aumentar as chances de vitória no jogo da Sena (que consiste em sortear 6 dentre 60 dezenas). “Quando afirmamos, por exemplo, que as dezenas atrasadas são importantes, é porque já observamos, em nossos estudos, que todas as dezenas são sorteadas a cada quarenta testes, portanto, seria útil você acompanhar e apostar em dezenas atrasadas; você estaria assim aumentando muito suas chances.” Você concorda que apostar em uma dezena atrasada aumenta as chances de vitória na Sena? Resposta da OBM: Embora haja pessoas que ganhem a vida com este tipo de afirmação, ela é

completamente sem sentido. As extrações são independentes, o que faz com que uma dezena estar atrasada seja completamente irrelevante para o que vai acontecer no futuro. Na verdade, se estamos em dúvidas sobre a equiprobabilidade das diversas dezenas, poderíamos concluir exatamente o contrário: se uma dezena sai menos que outras, talvez seja porque seja menos provável (por exemplo, a bolinha correspondente pode ser maior ou mais leve que as outras). Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! 11) Suponhamos que você tenha duas escolhas para apostar na Sena. Na primeira escolha aposta nas dezenas 1 - 3 - 5 7 - 9 - 11, e na segunda escolha nas dezenas 8 - 17 - 31 - 45 - 49 - 55. Qual você acha que tem maiores chances de ser vitoriosa? Resposta da OBM: Obviamente, os dois jogos têm a mesma probabilidade de serem vitoriosos (mas você acha que as pessoas, em geral, concordariam com isto? por quê?). Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! 12) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em um programa de rádio nos Estados Unidos e causou um enorme debate na internet. Em um programa de prêmios, o candidato tem diante de si três portas. Atrás de uma dessas portas, há um grande prêmio; atrás das demais há um bode. O candidato escolhe inicialmente uma das portas. O apresentador (que sabe qual é a porta que contém o prêmio) abre uma das portas não indicadas pelo candidato, mostrando necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta se o candidato mantém sua escolha ou deseja trocar de porta. O candidato deve trocar ou não? (Uma forma de você guiar sua intuição consiste em simular o problema.) Resposta da OBM: O candidato deve trocar a porta. Se ele não o faz, sua chance de vitória está em ter escolhido a porta certa da primeira vez, o que ocorre com probabilidade 1/3. Trocando a porta, ele vai ganhar o prêmio exatamente nos casos em que a porta escolhida é a errada, o que tem probabilidade 2/3.


PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.E

Problemas de Contagem 1) (Olimpíada Cearense de Matemática da Escola Pública – Numeratizar – 1ª série do Ensino Médio – 1ª fase/2003) A formiguinha vai caminhar de A até C passando por B. Ela só anda pelas estradas que já construiu:

O número de caminhos diferentes que ela pode escolher é: a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 Entre A e B: 3 caminhos Entre B e C: 3 caminhos Total de caminhos: 3 x 3 = 9 2) (EMEF Ricardo Caramuru de Castro Monteiro – CAIC Vale do Sol – Araraquara-SP – 8ª série – 2003) No Brasil, as placas de carro são compostas por 3 letras do alfabeto latino (total:26 letras) e 4 algarismos hindo-arábicos (total:10 algarismos). Qual é o número máximo de placas de carro que podem ser feitas no Brasil? a) 17576000 b) 175760000 c) 6760000 d) 115316136 Basta utilizar o princípio fundamental da contagem, que é bem mais simples:

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 3) (EMEB Arthur Natalino Deriggi – São Carlos-SP – 5ª série – 2003) Margareth tem 12 blusas e 11 saias. Quantas combinações de saia e blusa Margareth pode usar? a) 23 b) 12 c) 144 d) 132 e) 121 Basta fazer 12 x 11 = 132 4) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000) Com seis tipos de cartões magnéticos e oito senhas diferentes, as opções de escolha de um cartão e uma senha são: a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 64 Só fazer 6x8=48 5) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000)Num microcomputador, para abrir certo arquivo, o usuário deve digitar 4 sinais ( que são / # | ^) numa certa ordem, sem repeti-los. Se ele não conhece a ordem e procura acertar a senha por tentativas, qual é o número máximo de tentativas que fará? a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120 Como o usuário não pode repetir, ele tem 3 x 4 x 2 x 1 = 24 possibilidades


PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.F

6) (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1, 2 e 3 – 1a fase – 2001) Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns pontos destacados no interior dessas circunferências. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam, formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condições?

A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24

O número de quantidade de quadriláterios é o produto dos vértices: 2 x 3 x 4 x 5 = 120. 7) Uma bandeira tem quatro listas. De quantas maneiras eu posso pintá-las utilizando-se de 3 cores diferentes, de tal forma que não pintemos duas faixas consecutivas da mesma cor. 1ª listra: qualquer cor = 3 2ª listra: menos a cor usada na 1ª listra = 2 3ª listra: menos a cor usada na 2ª listra = 2 4ª listra: menos a cor usada na 3ª listra = 2 3x2x2x2 = 24


REVISÃO GLOBAL DE GEOMETRIA INTRODUTÓRIA 1) Desenhe um par de retas: a) paralelas b) perpendiculares c) oblíquas 2) Desenhe um ângulo: a) reto b) agudo c) obtuso 3) Responda: a) Qual é a unidade de medida de ângulo?_____________ b) Qual é o instrumento que utilizamos para medir?__________ c) Por qual motivo uma circunferência tem 360º?___________________________________ d) Quantos minutos tem um grau?______ e) Quantos segundos tem um minuto?______ f) Quantos segundos tem um grau? 4) O que é (explique e desenhe): a) bissetriz b) mediatriz 5) Desenhe e dê exemplo de ângulos: a) complementares b) suplementares c) opostos pelo vértice 6) Dê a medida dos ângulos desconhecidos:

7) Qual é: a) O suplemento de 32º? b) O complemento de 20º? 8) Ache o valor de x:


9) Ache com o transferidor a medida dos ângulos

10) O mapa a seguir, com os pontos cardeais em Inglês, mostra as Coordenadas Geográficas.

Você pode vê-las no círculo também: Responda:

a) Por qual motivo a Longitude tem 180º para cada lado e a Latitude tem apenas 90º? b)Quantos graus tem o Equador? Justifique. c) Quantos graus tem o Meridiano de Greenwich? d) Quantos graus há de polo norte à polo sul? e) Do Equador ao polo sul há quantos graus? f) Se eu pegar as coordenadas geográficas 30N 90E cai em qual continente? Marque no mapa em azul. Faça o mesmo para 30S 150E.

g) Dê uma coordenada do Oceano Pacífico.


11) Associe os números da cruzadinha com os conceitos geométricos.

( ) Polígono com todos os lados iguais

( ) Exemplo de Polígono Não ....

( ) Ângulo de 90º Desenhe:

( ) Retas ....

( ) Divide o ângulo em duas partes iguais

( ) Divide o segmento de reta em duas partes iguais, por uma reta perpendicular

( ) Retas .....

( ) Ângulo com mais de 90º Desenhe:

( ) Ângulo com menos de 90º Desenhe:

( ) Instrumento de medida de ângulo

12) Veja uma foto de satélite de Mococa com as coordenadas geográficas:

a) Qual é a latitude de Mococa? b) Qual é a longitude de Mococa? c) Escreva como se lê as coordenadas geográficas de Mococa. 13) Desenhe as diagonais dos polígonos


14) Veja exemplos de SIMETRIAS: ATENÇÃO! Em Simetrias os ângulos não se alteram!

Faça o mesmo com a letra R: 15) Veja o que é SIMETRIA, e os EIXOS DE SIMETRIA nos dois exemplos:

Desenhe, se houver, os eixos de Simetria:

16) Completes o desenhos com SIMETRIAS DE REFLEXÃO: ATENÇÃO! Em Simetrias os ângulos não se alteram!


17) Construa as simetrias pedidas: a) TRANSLAÇÃO b) REFLEXÃO

c) ROTAÇÃO DE 90º PARA DIREITA d) ROTAÇÃO DE 180º

18) Complete de forma que haja dois eixos de simetria:


SIMETRIAS

1) Diga se o eixo assinalado nas figuras é o eixo de simetria:

2) A figura abaixo reproduz a planta original da Abadia de Jumièges, fundada em 654, na

região da Normandia, norte da França. Encontre seu eixo de simetria.

3) Qual seria a imagem da pilha de cubos se o espelho não estivesse quebrado?


4) Encontre os eixos de simetria das figuras, se existir:

5) Encontre os eixos de simetria:

6) Por qual motivo se escreve ambulância “ao contrário”?


ÂNGULOS 1) (Material do Positivo – 6º ano)

Quem é Bianca, quem é Ângela e quem é Alexandra? 2) (Material do Positivo – 6º ano) a) Fique em pé para frente do quadro e dê um giro de meia volta. Qual sua posição agora? b) Fique novamente em pé em frente para o quadro e gire ¼ de volta. Em que posição você parou? c) Fique em pé de frente para o quadro e gire uma volta. Qual sua posição depois do giro? 3) (Material do Positivo – 6º ano) Num papel quadriculado faça:

- ande 4 quadradinhos - gire ¼ de volta à direita. - ande 6 quadrados - gire ¼ de volta à direita - ande 4 quadrados - gire ¼ de volta à direita - ande 6 quadrados Qual forma será formada?

4) (Material do Positivo – 6º ano) Quantos graus tem um ângulo de:

a) 1 volta b) ½ volta c) ¼ de volta d) ¾ de volta a) 1/6 de volta e) 1/8 de volta


5) (Material do Positivo – 6º ano) Usando o transferidor diga qual é a medida de cada ângulo abaixo:

6) (Material do Positivo – 6º ano) Sem usar transferidor estime a medida de cada ângulo:

7) (Material do Positivo – 6º ano) As pessoas, os objetos e os animais são vistos sob um determinado ângulo de visão. O ângulo sob o qual vemos uma pessoa, por exemplo, depende da distância que estamos dela e da nossa posição. Observe, por exemplo, os jogadores de futebol. Quem tem melhor ânglo de visão para marcar um gol?

8) (Material do Positivo – 6º ano) De quantos graus foi cada giro?

9) (Material do Positivo – 6º ano) Qual das imagens do cão refletido no espelho é a correta? Explique:


10) (Material do Positivo – 6º ano) Qual das figuras abaixo possui eixo de simetria?

11) (Material do Positivo – 6º ano) Quantos eixos de simetria podem ser traçado nas figuras?

12) (Material do Positivo – 6º ano) Complete a figura para deixa-la simétrica:

13) (Material do Positivo – 6º ano) Trace todos os eixos de simetria nas figuras planas a seguir:


14) (Material do Positivo – 6º ano) Complete as figuras para ficarem simétricas:

15) (Material do Positivo – 6º ano) Como ficará a escrita das seguintes palavras no espelho:

16) (Material do Positivo – 6º ano) Analise a simetria da figura:


17) (CEFET-SP) Uma das condições para tornar o roço do palhaço simétrico é desenhar a outra sombrancelha no quadradinho:

a) E3 b) D3 c) F3 d) E6

18) (Canguru Matemático – Nível E – 2014) Na porta de vidro da entrada de uma loja pintaram o buquê de flores ao lado. Como esse buquê aparece para quem olha do outro lado da porta?

19) (Canguru Matemático – Nível B – 2014) Eva alinhou oito cartões formando a palavra CANGURUS. Sua irmãzinha girou alguns cartões e a palavra ficou como a figura abaixo.

Para acertar as letras, Eva fez rotações de 90 graus nos cartões. Por exemplo, faz duas rotações para acertar a letra C e uma para acertar a letra A, conforme mostrado:

No mínimo, quantas dessas rotações ela deve fazer para acertar a palavra?


PROVA DE GEOMETRIA DO 3º BIMESTRE DE 2014 – 6º ANO – ESCOLA NOVA 1. (Valor: 0,3) Desenhe um ângulo reto, um angulo agudo e um ângulo obtuso. 2. (Valor: 0,4) a) Meça com o transferidor a medida dos ângulos externos da figura abaixo

b) (Valor: 0,4) Meça os ângulos internos de cada triângulo que compõe a bandeira de Seychelles, um país do Oceano Índico.

3. (Valor: 0,2) Diga, em graus e minutos qual é a metade de 45º. 4. (Valor: 0,3) Se eu dobrar uma folha ao meio, conforme o desenho, quantos graus terá o ângulo assinalado

5. (Valor: 0,2) Qual é: a) o complemento de 8º. b) o suplemento de 40º. 6. (Valor: 0,6) Quanto é: a) 1º20’42’’+7º49’45’’ b) 20º2’15’’-18º10’ c) 2 x 3º14’20’’


7. (Valor: 0,4) As coordenadas geográficas de Monte Santo de Minas são: Latitude: -21.1955, Longitude: -46.9628 21° 11′ 44″ Sul, 46° 57′ 46″ Oeste A partir dessa informação, encontre a coordenada aproximada de Monte Santo de Minas no mapa de Minas Gerais:

8. (Valor: 1,2) Diga as coordenadas geográficas das capitais dos estados da Região Sudeste:


9. (Valor: 1,4) Veja o Mapa Mundi

a) Dê as coordenadas de A, B, C, D, E.

b) Em que Oceano está a coordenada:

20ºN 160ºW ____________________ 40ºS 20ºW____________________ 30ºS 100ºE ____________________ 85ºN 0º ____________________

c) Dê uma coordenada qualquer na: América ____________________ África ____________________ Europa ____________________ Ásia ____________________ Oceania ____________________ 10. (Valor: 0,3) Desenhe a mão livre um polígono não-convexo. 11. (Valor: 0,4) Desenhe todas as diagonais dos polígonos regulares

12. (Valor: 0,4) Qual tipo de simetria foi utilizada para fazer os seguintes desenhos? a) b)


13. (Valor: 0,3) Veja os tipos de simetria abaixo que aparecem nos seres vivos.

Você consegue dar outro tipo de exemplo de simetria radical, real e assimetria? 14) (Valor: 0,4) Complete as figuras para que elas possuam simetria de reflexão:

15) (Valor: 0,6) Complete os quadradinhos para que as figuras possuam simetria de reflexão:


16) (Valor: 0,5) a) Que tipos de simetria possui o ser humano, os cnidários e os poríferos? (axial, radial)

b) E os animais abaixo?

17) (Valor: 0,9) Escreva TODOS eixos de simetria se for possível:

18) (Valor: 0,9) a) Considere o “P” assinalado com o número 1. Quantos graus foi necessário para chegar nos números 2, 3, 4, 5 e 6? 2 – rotação de ______ 3 – rotação de ______ 4 – rotação de ______ 5 – rotação de ______ 6 – rotação de ______


b) E agora? Começando do 1 2 – rotação de ______ 3 – rotação de ______ 4 – rotação de ______

19) (Valor: 0,6) Dado o desenho, faça as simetrias que se pede: a) Simetria de Reflexão b) Simetria de Translação

20) (Valor: 0,6) Faça as simetrias do desenho aos eixos vertical e horizontal

21) (Valor: 0,6) Que tipo de transformação foi feita em cada caso?

22) (Valor: 0,3) Faça com a letra inicial de seu nome: a) rotação de 90º b) rotação de 180º c) rotação de 270º


ÂNGULOS NOS TRIÂNGULOS

1) Com orientação do professor faça a experiência física para mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

2) Veja o desenho do TANGRAM:

a) Escreva o nome de cada peça

b) Com um lápis azul marque todos os ângulos de 90º.

c) Com um lápis vermelho marque todos os ângulos de 45º

d) Quanto mede cada ângulo do triângulo retângulo isósceles?


TRIÂNGULOS 1) Dado o triângulo ABC a) Quais são os vértices?_____________________________ b) Quais são os lados?_____________________________ c) Quais são os ângulos? _________________________

2) Complete as DEFINIÇÕES: a) Triângulo: é o polígono que possui _____________. b) Triângulo isósceles: é o triângulo que possui ___ lados com a mesma medida. c) Triângulo escaleno: é o triângulo que ____ possui nenhum lado com a mesma medida. d) Triângulo equilátero: é o triângulo que possui ___ lados com a mesma medida. e) Triângulo retângulo: é o triângulo que possui 1 ângulo ___________. f) Triângulo obtusângulo: é o triângulo que possui 1 ângulo __________. g) Triângulo acutângulo: é o triângulo que possui os ____ ângulos _______________. 3) Como podemos classificar os triângulos: a) Quantos aos lados: em ______________, ______________ e ________________. Desenhe: b) Quanto aos ângulos: em _______________, ______________ e ________________. Desenhe: 4) Desenhe um triângulo retângulo isósceles: QUADRILÁTEROS

5) Dado o quadrilátero ABCD a) Quais são os vértices?_____________________________ b) Quais são os lados?_____________________________ c) Quais são os ângulos? _________________________

6) Complete as definições: a) Um QUADRILÁTERO é um polígono com ____ lados. b) Um PARALELOGRAMO é um quadrilátero com ___ par de lados paralelos. c) Um TRAPÉZIO é um quadrilátero com ___ pares de lados paralelos. d) Um LOSANGO é um quadrilátero com 4 ________ com a mesma medida. e) Um RETÂNGULO é um quadrilátero com 4 ________ com a mesma medida. f) Um QUADRADO é um quadrilátero com 4 _________ iguais e 4 _________ iguais. 7) Desenhe um paralelogramo e um trapézio. 8) Desenhe um losango, um retângulo e um quadrado. 9) Desenhe um polígono não convexo.


10) O que é verdadeiro: a) Todo quadrado é um retângulo? b) Todo retângulo é um quadrado? c) Todo quadrado é um losango? d) Todo losango é um quadrado? 11) Desenhe uma figura que seja ao mesmo tempo losango e retângulo. 12) Responda: a) O retângulo é um paralelogramo? b) O losango é um paralelogramo? c) O quadrado é um paralelogramo?

Jornal “Agora São Paulo”, 28/11/2002, pág C-9.

13) Abaixo vemos 4 diagramas de Euler-Venn. Quais deles são verdadeiros?

Cubos B. Retangulares Quadrados Retângulos

B. Retangulares Cubos Retângulos Quadrados

EXERCITE 1) Qual é o quadrilátero regular? 2) Que quadrilátero é ao mesmo tempo losango e retângulo? 3) Escreva em diagramas os conjuntos que representam os trapézios (T), paralelogramos (P), losangos (L), retângulos (R) e quadrados (R). 4) Num losango, que relação podemos estabelecer entre seus ângulos opostos? 5) Num paralelogramo, que relação podemos estabelecer entre seus ângulos opostos?


6) Chamamos de trapézio isósceles, um trapézio que tem os dois lados (que não são as bases), congruentes. Desenhe um trapézio isósceles e pinte da mesma cor os ângulos congruentes. 7) Chamamos de trapézio retângulo, um trapézio que possui um ângulo reto. Desenhe um trapézio retângulo. 8) Chamamos de trapézio escaleno, um trapézio cujos lados, que não são bases, são diferentes. Desenhe um trapézio escaleno. 9) Chamamos de pipa (KITE), um quadrilátero convexo que possui dois pares de lados consecutivos congruentes. Desenhe 3 pipas diferentes. 10) Chamamos de seta ou bumerangue (DART), um quadrilátero não-convexo que possui dois pares de lados consecutivos congruentes. Desenhe 3 setas diferentes. 11) Complete a tabela com sim ou não

DIAGONAIS São congruentes Cortam-se no Ponto Médio

São perpendiculares

Quadrado

Paralelogramo

Trapézio

Losango

Retângulo

12) (Olimpíada de Matemática de Escola Pública do Ceará – 5ª série / Ensino Médio – 2003) Triminós são feitos de três quadrados e em duas formas,

Qual das figuras abaixo pode ser feita usando somente triminós, supondo-se que que você tenha uma caixa com muitos exemplares das duas formas?


13) (Exame de Seleção do Colégio Pedro II – 5a série 2001) Você, certamente, conhece o jogo dominó. E sabe que cada peça desse jogo é formada por dois quadradinhos iguais com um lado em comum, como mostra a FIGURA 1.

Existem jogos (quebra-cabeças) que também têm peças formadas por quadradinhos iguais com um lado em comum. Essas peças recebem diferentes nomes, dependendo do número de quadradinhos que as formam. Veja alguns exemplos na FIGURA 2.

Chamamos de tetraminós as peças formadas por quatro quadradinhos. Ao todo, existem cinco tetraminós diferentes. Na FIGURA 2, foram desenhados três deles.

- Um único tetraminó pode ser desenhado em várias posições. Veja, na FIGURA 3, algumas maneiras diferentes de se desenhar o mesmo tetraminó. a) Agora, mãos à obra! Desenhe no espaço abaixo os dois tetraminós que estão faltando na FIGURA 2. Mas, cuidado! Preste bem atenção para não desenhar um tetraminó repetido em posição diferente! b) Veja a figura que montei usando um triminó, um tetraminó e um pentaminó.

I) Usando o quadradinho como unidade de medida de área, qual é a medida da área da figura que eu montei? II) Usando o lado do quadradinho como unidade de medida de comprimento, qual é a medida do perímetro da figura que eu montei?


14) (SARESP – 5ª série – Diurno – 1998) A outra metade desta folha contém o mesmo desenho. Desdobrando-a, que figura aparecerá no centro do retângulo? a) Quadrado b) Losango c) Retângulo d) Trapézio

15)(Concurso para Professor de Matemática de 5ª à 8ª séries e Ensino Médio PEBII do Estado de São Paulo – 2003) Uma forma de iniciar o estudo dos quadriláteros é pedir aos alunos que os classifiquem, tendo como critérios as suas propriedades e regularidades. Desta forma, os alunos terão maior compreensão de cada quadrilátero e das relações existentes entre eles. Uma possibilidade de apresentar as relações existentes entre alguns quadriláteros é por meio de conjuntos. Seja L o conjunto dos losangos, P o conjunto dos paralelogramos, Q o conjunto dos quadrados, R o conjunto dos retângulos, a relação entre eles pode ser representada por:

16) (Olimpíada Paulista de Matemática – 6ª série – Fase Final/1985) Leia com atenção as seguintes definições: Quadrilátero – é um polígono de quatro lados. Trapézio – é um quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos entre si. Paralelogramo – é um quadrilátero que tem os quatro lados, dois a dois, paralelos entre si. Retângulo – é um paralelogramo que tem os quatro ângulos internos retos. Losango – é um paralelogramo que tem os quatro lados de medidas iguais. Quadrado – é um retângulo que é losango. a) No espaço entre parênteses, na frente das sentenças abaixo, coloque V se a sentença for verdadeira e, F se for falsa segundo as definições dadas acima: 1. Há trapézios que são paralelogramos ( ) 2. Qualquer retângulo é um parelelogramo ( ) 3. Qualquer paralelogramo é um losango ( ) 4. Há paralelogramo que são retângulo ( ) 5. Qualquer quadrado é um losango ( ) 6. Qualquer retângulo é um quadrado ( ) 7. Há retângulos quê são quadrados ( ) 8. Qualquer quadrado é um retângulo ( ) 9. Qualquer losango é um quadrado ( ) 10. Qualquer quadrado é um paralelogramo ( ) b) Justifique suas quatro primeiras respostas indicando em cada uma delas, a definição ou as definições usadas. 17) (Concurso para Professor de Matemática de 5ª à 8ª séries – Secretaria de Estado da Educação de Minas Gerais/2001) Considere as afirmativas abaixo: I – Todo quadrilátero que tem dois pares de lados opostos paralelos é um paralelogramo II – Todo paralelogramo que tem lados iguais é um losango III – Todo paralelogramo que tem ângulos iguais é um retângulo IV – Todo paralelogramo é um polígono regular

Em relação a elas, pode-se concluir que: a) somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras b) somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras c) somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras d) todas as alternativas são verdadeiras


18) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000) Qual das afirmações abaixo sobre o quadrado é falsa:

a) Todo quadrado é simultaneamente losango e retângulo. b) Se um retângulo também for losango ele é quadrado. c) Quadrado é um polígono que tem quatro lados iguais. d) O polígono que tem quatro lados iguais chama-se quadrado. e) O quadrado é um polígono regular, pois tem quatro lados e quatro ângulos iguais.

19) (VUNESP) Considere as seguintes proposições: - todo quadrado é um losango; - todo quadrado é um retângulo; - todo retângulo é um paralelogramo; - todo triângulo equilátero é isósceles. Pode-se afirmar que: a) só uma verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas.


GEOMETRIA DOS RECORTES – Cole as respostas aqui.

1) Divida um quadrado em duas partes com apenas um corte:

2)Recorte um quadrado em duas partes iguais. 3) Recorte um quadrado em dois retângulos de tamanhos diferentes.

4) Recorte um quadrado em dois retângulos iguais.

5) Recorte um quadrado em três retângulos iguais.

6) Recorte um quadrado em quatro retângulos iguais.

7) Recorte um quadrado em quatro quadrados iguais.

8) Recorte um quadrado em dois triângulos iguais.

9) Recorte um quadrado em quatro triângulos iguais.

10) Divida um retângulo em duas partes com um corte.

11) Recorte um retângulo em quatro triângulos iguais.

12) Divida, se possível, um retângulo em dois quadrados iguais.


13)Corte um retângulo pela diagonal.

14)Qual é o tipo de triângulo formado por um corte na diagonal por um: retângulo e um quadrado.

15) Decomponha um retângulo em duas partes iguais e com elas componha um triângulo.

16) Decomponha um quadrado em duas partes e com elas componha um triângulo.

17) Forme dois triângulos retângulos iguais.

18) Forme um quadrado, um triângulo e um quadrilátero que não seja retângulo com dois triângulos retângulos iguais.

19) Decomponha um quadrado em dois trapézios.

20) Decomponha um quadrado em um trapézio e um triângulo.

21) Decomponha um quadrado em um trapézio e um pentágono.

22) Decomponha um quadrado em dois triângulos retângulos e um isósceles.

23) Com cortes, divida a figura abaixo em dois triângulos retângulos e um pentágono: 24) Com cortes, divida a figura abaixo em cinco partes iguais, e responda qual é o formato destas partes.


25) Com cortes, transforme a figura abaixo em trapézio e paralelogramo: 26) Desenhe um pentágono fora e um pentágono dentro da estrela, aproveitando todos os vértices dela. 27) TRIÂNGULO ISÓSCELES é aquele que tem dois lados iguais. TRIÂNGULO RETÂNGULO é aquele que tem um ângulo reto. Existem triângulos que são Retângulos e Isósceles. Pergunta: Como se chama o corte fazemos no Quadrado para formar dois triângulos retângulos e isósceles? 28) Desenhe um retângulo e divida-o em dois triângulos retângulos e um isósceles. 29) Desenhe um quadrilátero com todos os vértices contidos nos lados de um hexágono. 30) DESAFIO. Você deve dividir a figura em partes com MESMA ÁREA e MESMO FORMATO, em 2, 3 e 4 partes. O desafio está em dividir em 4 partes DE MESMO FORMATO E ÁREA.

GABARITO 1) Divida um quadrado em duas partes com apenas um corte: r: 2)Recorte um quadrado em duas partes iguais. r: os cortes 1, 2 e 8 por exemplo 3) Recorte um quadrado em dois retângulos de tamanhos diferentes. r: 3 e 7 podem ser respostas. Existem infinitas respostas. Basta fazer um corte paralelo a um lado, sem que este corte seja no meio da figura. 4) Recorte um quadrado em dois retângulos iguais. r: 2 é uma resposta. 5) Recorte um quadrado em três retângulos iguais. r: 6) Recorte um quadrado em quatro retângulos iguais. r:

7) Recorte um quadrado em quatro quadrados iguais. r: A segunda alternativa do exercício anterior 8) Recorte um quadrado em dois triângulos iguais. r: 9) Recorte um quadrado em quatro triângulos iguais. r:

Esta figura já é um trapézio!


10) Divida um retângulo em duas partes com um corte. r: 11) Recorte um retângulo em quatro triângulos iguais. r: 12) Divida, se possível, um retângulo em dois quadrados iguais. r: Isto só é possível se o retângulo tiver uma das dimensões igual ao dobro da outra. Por exemplo: 8x2 ou 5x10. 13)Corte um retângulo pela diagonal. r- Por exemplo, o exercício 10, segunda figura. 14)Qual é o tipo de triângulo formado por um corte na diagonal por um: retângulo e um quadrado. r: Um retângulo forma dois triângulos retângulos, e um quadrado forma dois triângulos que além de retângulos são isósceles. 15) Decomponha um retângulo em duas partes iguais e com elas componha um triângulo. r: existem outras alternativas (triângulo isósceles) 16) Decomponha um quadrado em duas partes e com elas componha um triângulo. r: note que o triângulo é isósceles. 17) Forme dois triângulos retângulos iguais. r: basta dividir um retângulo pela diagonal. 18) Forme um quadrado, um triângulo e um quadrilátero que não seja retângulo com dois triângulos retângulos iguais. r: 19) Decomponha um quadrado em dois trapézios. r: veja o exercício 78, figuras 4, 8 e 9 20) Decomponha um quadrado em um trapézio e um triângulo. r: veja o exercício 78, figura 6 21) Decomponha um quadrado em um trapézio e um pentágono. r: veja o exercício 78, figura 5 22) Decomponha um quadrado em dois triângulos retângulos e um isósceles. r:


UM ‘CHORINHO’ DE EXERCÍCIOS 1)Dê o nome aos polígonos: a) b) c) d) e) 2)Classifique os polígonos quanto aos lados: a) b) c) d) e) 3)Qual das duas formas geométricas espaciais abaixo é um poliedro? Justifique. a) b) 4) Divida a figura abaixo em quatro triângulos iguais: 5)Com apenas três cortes, divida o bloco retangular abaixo em oito partes iguais: 6) Responda: a) Como se chama o segmento de reta que corta um ângulo ao meio? b) Como se chama o corte que liga um vértice ao outro em um polígono? 7)Com no mínimo três peças do Tangram, monte as formas pedidas, e desenhe a solução.

a) Monte com as peças um quadrado e desenhe a solução. b) Monte com as peças um triângulo isósceles e desenhe a solução. c) Monte com as peças um trapézio e desenhe a solução. d) Monte com as peças um paralelogramo e desenhe a solução.

8) Qual é o único polígono que não tem diagonais? 9) Quantas diagonais tem o hexágono? 10) Calcule o perímetro de um triângulo eqüilátero cujos lados medem 20 cm.

POLIEDRO é uma forma geométrica espacial com todas as faces

planas e arestas segmentos de reta! (Apenas uma idéia)


DIMENSÕES

1) Você sabe o que significam em geometria os conceitos de PONTO, RETA e PLANO? Veja as figuras abaixo, que dão uma pequena ligeira idéia destes objetos e tente compreender.

Ponto Reta Plano

A partir dos desenhos, você pode concluir que o número de dimensões do Plano é (??), da Reta é (??) e do Ponto é (??). Responda no caderno e tente justificar.

2) Com uma régua determine as dimensões:

a) das folhas de seu caderno

b) de uma folha de jornal

c) de uma cartolina

3) Faça uma ESTIMATIVA das dimensões:

a) da sala de aula

b) de sua casa

c) de seu quarto

d) do pavilhão escolar

Você não precisa medir o resultado,

mas sim estimar, ou seja, achar o

valor que você acha que têm as

dimensões, com base em seu

raciocínio. Use a criatividade e

explique sua reposta.


BLOCO RETANGULAR

Considere o Bloco Retangular ABCDEFGH da figura abaixo para todos os exercícios do 18 ao 28 desta seqüência. As medidas não correspondem às medidas reais indicadas:

18) Relacione:

a) todos os vértices do Bloco Retangular ABCDEFGH.

b) todas as arestas do Bloco Retangular ABCDEFGH.

c) todas as faces do Bloco Retangular ABCDEFGH.

19) Escreva:

a) todas arestas de 2 cm

b) todas arestas de 3 cm

c) todas arestas de 2,5 cm

20). Diga quais são:

a) as arestas paralelas a AB

b) as arestas paralelas a AE

c) as arestas paralelas a EH

21) Ache a medida das arestas:

a) AB b) CD c) CG d) EH e) FG f) BF

22) Ache todas as arestas:

a) paralelas a AB

b) perpendiculares a AB

c) reversas a AB

23) Dados os pares de arestas, classifique-as, segundo o código seguinte:

Pa – se forem paralelas

Pe – se forem perpendiculares

R – se forem reversas

( ) AB e FG ( ) AB e AD ( ) AB e AE ( ) AB e CD

( ) CD e EH ( ) EH e DH ( ) EH e GH ( ) EH e AD

( ) EH e CG ( ) FG e AD ( ) FG e AE ( ) FG e EH

24) Encontre a face oposta a CDGH.

A uma dada aresta do Bloco Retangular, será

que é verdade que existem em relação a esta,

4 arestas paralelas, 4 perpendiculares e 4

reversas? Pense sobre isto.

A B

DC

EF

GH

3 cm

2 cm

2,5 cm

A B

DC

EF

GH

A B

DC

EF

GH

3 cm

2 cm

2,5 cm


A B

DC

EF

GH

3 cm

2 cm

2,5 cm

A B

DC

EF

GH

A B

DC

EF

GH

3 cm

2 cm

2,5 cm

25) Podemos dizer que AB=3cm. Agora esqueça a unidade centímetros e jogar um pouco com a Matemática, fazendo algumas contas sem significado. Isto é bom para não deixarmos “enferrujar” nossa Aritmética. Então, calcule o valor da expressão abaixo:

5,3CGEH

26) Suponha que o Bloco Retangular ABCDEFGH é apenas uma armação feita de arames. Um besouro está no vértice A deste Bloco e vai caminhar até o vértice H onde se encontra uma folhinha.

Um dos caminhos que o besouro pode fazer é:

AD→DC→CG

Responda:

a) Quantos centímetros o besouro deve caminhar?

b) Escreva todos os caminhos que o besouro pode fazer caminhando apenas três arestas para chegar na folhinha.

27) Determine a soma das medidas de todas as arestas do Bloco Retangular ABCDEFGH.

28) Quais são as dimensões do Bloco Retangular ABCDEFGH?

29) Que formato tem as faces do Bloco Retangular? E as faces do Cubo?

30) Verdadeiro ou falso?

a) Todo Bloco Retangular é Cubo! b) Todo Cubo é Bloco Retangular!

Após os exercícios feitos até aqui, você compreendendo conceitos de parelelismo e perpendicularidade (ou

perpendicularismo) no Bloco Retangular deve estar muito mais fácil desenhar Blocos Retangulares a mão livre.

Tente, pratique, faça desenhos! Dê preferência aos desenhos completos com as arestas escondidas

pontilhadas, como no Bloco ABCDEFGH desta lista de exercícios!

A maioria dos autores vai representar o nome de linhas (arestas) com um tracinho em cima do símbolo. A

aresta AB deve ser indicada por ____

AB . Já a medida da aresta pode ser indicada simplesmente por AB ou por m(____

AB ). Não nos preocuparemos com isto, por questões gráficas e de ordem prática.

Existem várias maneiras de resolver a questão 27.. Já

a 28 é muito fácil e você nem precisará de dica!


31) Responda a) Quantos vértices tem um Bloco Retangular? b) Quantas faces tem um Bloco Retangular? c) Quantas arestas tem um Bloco Retangular? d) Quantos vértices, faces e arestas tem um Cubo? 32) Qual face do dado está apoiada na superfície? a) b) 33) Preencha as faces incompletas dos dados, se for possível: 34) (ATIV. PRÁTICA 11 PLANIFICAÇÕES DO CUBO) Para esta tarefa você precisará de: Papel Quadriculado, Régua e Tesoura! Existem 11 planificações do cubo diferentes. As figuras abaixo são planificações do cubo: Já não se pode montar um cubo a partir das figuras abaixo: Tente descobrir toda as 11 planificações do cubo. Observação: As figuras abaixo são consideradas como a mesma planificação do cubo. Elas devem ser contadas apenas como uma única planificação:

DICA: Com papel quadriculado construa peças com 6 quadrados (hexaminós) e vá fazendo tentativas até achar as 11 planificações.

5

3 1

2

3 1

1

3

5

1

2

6

1

4

2


BLOCO RETANGULAR II 35) (Álvaro Andrini) Qual das peças abaixo deve ser encaixada neste objeto para que ele fique com a forma de um bloco retangular?

36) (Vunesp) Todas as alternativas dadas representam planificações de um cubo. Os números no interior dos quadrados indicam a quantidade de pontos correspondentes a cada face de um dado de forma cúbica. Se a soma dos pontos marcados nas faces opostas é 7, a única alternativa que representa a planificação deste dado é

37) (Valor: 0,5) (Olimpíada de Matemática da Escola Pública do Ceará – Ensino Fundamental – Treinamento/2003) A figura abaixo deve ser dobrada de modo a formar um cubo.

A letra A está sobre uma face. A letra sobre a face oposta será: a) B b) C c) D d) E e) F 38) (Valor: 0,5) Quantas caixas tem a pilha abaixo?

39) (Valor: 0,5) (Canguru Matemático – 2012) Um paralelepípedo foi montado com três peças de cores diferentes, conforme o desenho:

Cada uma das peças é formada por 4 cubos. A peça branca do paralelepípedo se parece com qual das peças a seguir?


40) (Valor: 0,5) (Canguru Matemático – 2011) O desenho mostra um bloco formado por quatro dados iguais.

Em cada dado, a soma das faces opostas é 7. Vista por trás, como fica o desenho do bloco?

41) (Valor: 0,5) (Canguru Matemático – 2011) O desenho a seguir representa um castelo construído com cubinhos iguais.

O desenho abaixo representa o mesmo castelo visto de cima.

Quantos cubinhos foram necessários para construir o castelo? a) 56 b) 60 c) 64 d) 68 e) 72 42) (Valor: 0,5) (Canguru Matemático – 2009) Tomás construiu uma mesa usando pequenos cubos iguais, como na figura. Quantos cubos ele usou?

a) 24 b) 26 c) 28 d) 32 e) 36 43) (Valor: 0,5) Quantos cubinhos tem em cada pilha?


GABARITO DIMENSÕES 1) A partir dos desenhos, você pode concluir que o número de dimensões do Plano é (2: comprimento e largura, não tem altura), da Reta é (1: comprimento e sem largura e nem altura) e do Ponto é (0: nem comprimento nem largura e nem altura). Responda no caderno e tente justificar. 2) Com uma régua determine as dimensões: a) das folhas de seu caderno 21 cm x 30 cm b) de uma folha de jornal 35 cm x 50 cm c) de uma cartolina 50 cm x 1 m

BLOCO RETANGULAR Considere o Bloco Retangular ABCDEFGH da figura abaixo para todos os exercícios do 18 ao 28 desta seqüência. As medidas não correspondem às medidas reais indicadas: 18) Relacione: a) todos os vértices do Bloco Retangular ABCDEFGH. A, B, C, D, E, F, G, H – 8 vértices b) todas as arestas do Bloco Retangular ABCDEFGH. AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, EH – 12 arestas c) todas as faces do Bloco Retangular ABCDEFGH. ABCD, EFGH, BFGC, AEHD, DCGH, ABFE – 6 faces 19) Escreva: a) todas arestas de 2 cm AD, BC, EH, FG b) todas arestas de 3 cm AB, GH, EF, CD c) todas arestas de 2,5 cm AE, BF, DH, CG

20). Diga quais são: a) as arestas paralelas a AB CD, GH, EF, AB b) as arestas paralelas a AE AE, BF, DH, CG c) as arestas paralelas a EH AD, BC, EH, FG 21) Ache a medida das arestas: a) AB=3cm b) CD=3cm c) CG =2,5 cm d) EH=2 cm e) FG=2 cm f) BF=2,5 cm 22) Ache todas as arestas: a) paralelas a AB AB, CD, GH, EF b) perpendiculares a AB AE, BF, AD, BC c) reversas a AB FG, DH, EH, CG 23) Dados os pares de arestas, classifique-as, segundo o código seguinte: Pa – se forem paralelas Pe – se forem perpendiculares R – se forem reversas (R) AB e FG (Pe) AB e AD (Pe) AB e AE (Pa) AB e CD (R ) CD e EH (Pe) EH e DH (Pe) EH e GH (Pa) EH e AD (R) EH e CG (Pa) FG e AD (R) FG e AE (Pa ) FG e EH


24) Encontre a face oposta a CDGH. ABFE 25) Podemos dizer que AB=3cm. Agora esqueça a unidade centímetros e jogar um pouco com a Matemática, fazendo algumas contas sem significado. Isto é bom para não deixarmos “enferrujar” nossa Aritmética. Então, calcule o valor da expressão abaixo:

5,3CGEH√2 + 2,5 + 3, 5=√8

26) Suponha que o Bloco Retangular ABCDEFGH é apenas uma armação feita de arames. Um besouro está no vértice A deste Bloco e vai caminhar até o vértice G onde se encontra uma folhinha. Um dos caminhos que o besouro pode fazer é: AD→DC→CG Responda:

a) Quantos centímetros o besouro deve caminhar? 2+3+2,5=7,5 Ele Deverá andar 7,5 cm b) Escreva todos os caminhos que o besouro pode fazer caminhando apenas três arestas para chegar na folhinha. AD→DC→CG AD→DH→HG AE→EH→HG AE→EF→FG AB→BF→FG AB→BC→CG 27) Determine a soma das medidas de todas as arestas do Bloco Retangular ABCDEFGH. 2 cm x 4 + 3 cm x 4 + 2,5 cm x 4 8 cm + 12 cm + 10 cm 30 cm (Raciocínio da Tífany) Ou 2+3+2,5=7,5 7,5 cm x 4 = 30 cm 28) Quais são as dimensões do Bloco Retangular ABCDEFGH? 2,5 cm x 3 cm x 2 cm 29) Que formato tem as faces do Bloco Retangular? E as faces do Cubo? Bloco Retângular – FORMATO: Retângulo Cubo – FORMATO: Quadrado 30) Verdadeiro ou falso?

a) Todo Bloco Retangular é Cubo! FALSO b) Todo Cubo é Bloco Retangular! VERDADEIRO 31) Responda a) Quantos vértices tem um Bloco Retangular? 8 b) Quantas faces tem um Bloco Retangular? 6 c) Quantas arestas tem um Bloco Retangular? 12 d) Quantos vértices, faces e arestas tem um Cubo? o mesmo que um bloco retangular, 8, 6 e 12. 32) a) 6 b) 2 Em qualquer dado as faces opostas somam 7 42) (Valor: 0,5) (Canguru Matemático – 2009) Tomás construiu uma mesa usando pequenos cubos iguais, como na figura. Quantos cubos ele usou? a) 24 b) 26 c) 28 d) 32 e) 36 Tampa da mesa tem 4x5=20 As pernas da mesa tem 3x4=12 43) (Valor: 0,5) Quantos cubinhos tem em cada pilha?

Raciocínio da Maria Lígia por degraus (de cima para baixo): 24+18+12+6=60


Polígono: ABCDE

Lados: AB, BC, CD, DE, AE

Vértices: A, B, C, D, E

Ângulos: A, B, C, D, E

(existem outras notações para ângulos, pesquise sobre

isto)

Perceba que, o número de lados, vértices e ângulos são

iguais.

A

B

CD

E

A

B

CD

E

Eu sou o Ornitorrinco. Sim, sou um

mamífero estranho, mas isto não

quer dizer que sou irregular!

PRIMAS E PIRÂMIDES Tabela dos nomes especiais dos polígonos, segundo a tradição:

3 lados Triângulo ou trilátero

4 lados Quadrilátero

5 lados Pentágono

6 lados Hexágono

7 lados Heptágono ou Polígono de 7 lados

8 lados Octógono ou Polígono de 8 lados

9 lados Eneágono ou Polígono de 9 lados

10 lados Decágono ou Polígono de 10 lados

11 lados Undecágono ou Polígono de 11 lados

12 lados Dodecágono ou Polígono de 12 lados

15 lados Pentadecágono ou Polígono de 15 lados

20 lados Icoságono ou Polígono de 20 lados

Elementos dos Polígonos São elementos dos polígonos lados, vértices e ângulos.

Um polígono tem o mesmo número de lados, ângulos e vértices. Polígonos Regulares Um polígono regular é um polígono que: a) todos os lados têm a mesma medida b) todos os ângulos têm a mesma medida Veja alguns exemplos de Polígonos regulares:

Qual é o triângulo regular? Qual é o quadrilátero regular?


MONTE AS FIGURAS DOS MOLDES e Complete a tabela

NOME DA FORMA GEOMÉTRICA

NÚMERO DE VÉRTICES V

NÚMERO DE FACES F

NÚMERO DE ARESTAS A

V+F-A

2) Pinte nas planificações as BASES de azul e as FACES LATERAIS de amarelo:


3) Dê o nome para as figuras e conte vértices faces e arestas

Forma ou Planificação

Nome V F A V+F-A

4) Ligue as formas montadas com suas planificações?

5) Qual é o nome das figuras geradas pelas planificações abaixo?

6) Complete a tabela

7 lados na base

8 lados na base

100 lados na base

‘n’ lados na base

Nome:

Vértices

Faces

Arestas

V+F-A


7) Complete a tabela

7 lados na base

8 lados na base

100 lados na base

‘n’ lados na base

Nome:

Vértices

Faces

Arestas

V+F-A

8) Dadas as planificações dê o nome das formas

9) Dê o nome dos polígonos regulares: a) b)

10) (INEP – Guia de Itens – 8ª série) Observe a representação de um tetraedro regular.

Qual das seguintes planificações é a desse tetraedro regular?

11) (INEP – Guia de Itens – 3ª série do Ensino Médio) A figura ao lado é a planificação de (A) uma pirâmide de base hexagonal. (B) um prisma de base hexagonal. (C) um paralelepípedo. (D) um hexaedro. (E) um prisma de base pentagonal.


DESENHO EM PAPEL QUADRICULADO Um importante instrumento que usamos em nossas aulas de Matemática são as malhas. Existem diversos tipos de malhas: a malha quadriculada (ou papel quadriculado) o papel milimetrado a malha triangular o papel isométrico Estas malhas servem em várias situações, e, nesta coleção serão utilizadas com freqüência. Todas podem ser utilizadas para desenhar Blocos Retangulares. Veja exemplos com papel quadriculado e com malha triangular:

Cubo desenhado no Papel Quadriculado Cubo desenhado em malha triangular


1) Copie a figura em malha quadriculada.Treine. Você deverá fazer pelo menos 5 cópias corretas.

2) Copie as figuras, três vezes cada.

3) Copie a figura três vezes.


4) Copie a figura no quadriculado na forma normal e ampliada 2x. Faça isso duas vezes.

5) Copie no papel quadriculado. Duas vezes cada.

6) Copie no papel quadriculado, duas vezes cada:


7) Copie no papel quadriculado:

8) Copie no papel quadriculado:


9) Copie na malha quadriculada:



12) Veja a figura. Você deverá desenhá-la em várias posições, como se estivesse girando a figura. a) Gire a figura 90º para a esquerda (na horizontal) b) Gire a figura 180º na horizontal c) Gire a figura 90º para a direita (na vertical) d) Gire a figura 180º na vertical e) Reflita no espelho

13) Desenhe as figuras no papel quadriculado, segundo as regras que aprendemos:


EXERCÍCIOS 1) (Exame Final do Ensino Básico – Portugal – Matemática 92 – 3º Ciclo – 2012 – 1ª Chamada) Na Figura 1, está representado um recipiente com tinta. Nesse recipiente mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na Figura 2. Desta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.

Em qual das opções seguintes pode estar uma planificação desse cubo depois de retirado do recipiente? Assinala a opção correta.

2) Quantos cubinhos faltam para completar o paralelepípedo?


2) A questão seguinte foi tema do Concurso Público de 2002 para Professor de 5ª à 8ª série da Prefeitura Municipal de Mogi das Cruzes, no estado de São Paulo, elaborada pela VUNESP: Todas as alternativas dadas representam planificações de um cubo. Os números no interior dos quadrados indicam a quantidade de pontos correspondentes a cada face de um dado de forma cúbica. Se a soma dos pontos marcados nas faces opostas é 7, a única alternativa que representa a planificação deste dado é

3) (Exame de Seleção do CEFET-SP – Ensino Médio – 1o semestre/2003) Sabe-se que para um dado ser equilibrado é necessário que a soma das faces opostas seja sempre 7. Observe a figura abaixo e aponte qual das figuras corresponde ao mesmo dado?

a) b) c) d) e) 4) (Concurso do ICMS - 2002) Apresentam-se abaixo diferentes aspectos de um mesmo dado. São faces opostas neste dado:

a) D e C b) A e C c) B e E d) B e D e) A e D 5) (XIX Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível Júnior – 1a fase – 1997) A figura ao lado mostra três dados iguais. O número da face que é a base inferior da coluna de dados: a) é 1. b) é 2. c) é 4. d) é 6. e) pode ser 1 ou 4.

6) (XX Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1a fase – 1998) Dezesseis cubos de 1cm de lado são colocados juntos, formando o paralelepípedo representado abaixo.

A superfície do mesmo foi pintada de verde e, em seguida, os cubos foram separados. O número de cubos com exatamente duas faces verdes é: a) 2 b) 6 c) 4 d) 8 e) 10


7) (XX Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 2 – 1a fase – 1998) Pelo menos quantos metros de barbante são necessários para amarrar 15 pacotes, conforme a figura, sabendo que

cada pacote mede 10cm 20cm 40cm, sendo reservados 20cm para o laço?

a) 39 b) 36 c) 48 d) 56 e) 42 8) (XXII Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1a fase – 2000) A figura abaixo foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo.

Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?

A) B) C)

D) E)

9) (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Níveis 2 e 3 – 1a fase – 2001) Somente uma das figuras a seguir representa a planificação de um cubo na qual está destacada a sua interseção com um plano. Qual? A) B) C) D) E)

10) (XXIV Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1a fase – 2002) Num armazém foram empilhadas embalagens cúbicas conforme mostra a figura a seguir. Se cada caixa pesa 25 kg, quanto pesa toda a pilha?

A) 300 kg B) 325 kg C) 350 kg D) 375 kg E) 400 kg 11) (XXV Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1a fase – 2003) Onze cubinhos, todos de mesma aresta, foram colados conforme a figura a seguir.

O menor número de cubinhos, iguais aos já utilizados, que devem ser agregados ao sólido formado pelos onze cubinhos para obtermos um cubo maciço é igual a: A) 48 B) 49 C) 52 D) 53 E) 56


12) (XXV Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 2a fase – 2003) Em um dado comum a soma dos pontos sobre faces opostas é sempre 7. Beatriz construiu uma torre com 4 dados comuns iguais, colando as faces como mostrado na figura. Qual é o menor número de pontos que Beatriz pode obter somando todos os pontos das dezoito faces da superfície da torre?

13) (Concurso Público para Professor de 1ª à 4ª série – Prefeitura de Araçatuba - SP/2001) Qual é o volume deste sólido, formado por cubos de aresta medindo 1 metro?

14) (Exame de Admissão no Colégio Militar do Rio de Janeiro – 5ª série/2000) O aluno Miguel é curioso no estudo dos sólidos simples. Durante sua caminhada de retorno para casa, ao termino da aula, ele encontrou um paralelepípedo conforme a figura abaixo e então, resolveu identificar o número de vértice (V), somando-o ao número de faces (F) e, finalmente, subtraiu o número de arestas (A). Assim, a expressão V + F – A é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 16 15) (Olimpíada de Matemática da Escola Pública do Ceará – Ensino Fundamental – Treinamento/2003) A figura abaixo deve ser dobrada de modo a formar um cubo.

16) (ENCCEJA – Ensino Médio – 2002) Para fazer um dado cúbico de cartolina, um garoto usou o molde com faces numeradas de 1 a 6, como mostra a figura ao lado. É correto afirmar que a soma dos números que estão em faces opostas (A) é sempre igual a 7. (B) nunca é múltiplo de 5. (C) é sempre menor que 10. (D) nunca é divisor de 20. 17)(ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Uma pessoa dispõe dos moldes representados abaixo e deseja montar uma caixa cúbica.

Essa pessoa consegue atingir seu objetivo usando somente os moldes (A) I, II e III. (B) II, III e IV. (C) I, II e IV. (D) I, III e IV.

a) 6 m3 b) 8 m3 c) 9 m3 d) 10 m3

A letra A está sobre uma face. A letra sobre a face oposta será:

a) B b) C c) D d) E e) F


18) (UERJ-2000) Dobrando-se a planificação ao lado, reconstruímos o cubo que a originou. A letra que fica na face oposta à que tem um X é: a) V b) O c) B d) K

19) (Avaliação de Concluintes do Ensino Médio do Estado de São Paulo – 1997) A figura abaixo apresenta um cubo onde A, B, C, D, E, F, G e H são seus vértices:

Considere as afirmações: I. A reta que passa por C e H é paralela à reta que passa por B e E II. A reta que passa por A e E é perpendicular ao plano que contém F, G e H III. O plano que contém A, E e B é paralelo ao plano que contém F, G e H. Então:

a) todas as proposições são verdadeiras b) as proposições I e II são verdadeiras e a proposição III é falsa. c) a proposição I é falsa e as proposições II e III são verdadeiras d) a proposição II é falsa e as proposições I e III são verdadeiras e) todas as proposições são falsas. 20) (XXVI Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1ª fase – 2004) Um cubo pode ser construído, a partir dos dois pedaços de papelão apresentados em uma das alternativas a seguir, bastando apenas dobrar nas linhas tracejadas e unir nas linhas contínuas. Esses dois pedaços são:

A) B)

C)

E)

D)

21) (XXVI Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1ª fase – 2004) Observe a figura:

Duas das figuras abaixo representam o objeto acima colocado em outras posições.

I)

II)

III)

IV)

Elas são: A) I e II B) I e IV C) II e IV D) I e III E) II e III

A B

DC

EF

GH

A B

DC

EF

GH


22) (XXVI Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 3 – 1ª fase – 2004) O dono de uma loja empilhou vários blocos medindo 0,8m x 0,8m x 0,8m no canto da loja e encostados numa parede de vidro que dá para a rua, conforme mostra a figura abaixo. Quantos blocos no máximo, uma pessoa de 1,80m de altura que está do lado de fora da loja pode enxergar? Obs. Consideramos que uma pessoa pode enxergar uma caixa se consegue ver uma pequena região de área positiva de sua superfície.

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

23) (XXIV Olimpíada Paulista de Matemática – 6ª série – 2ª Fase – 2000) Questão 3 – Sobre uma mesa tenho quatro paralelepípedos reto-retângulos, todos iguais ao da figura seguinte:

7cm3cm

5cm

Vamos então construir outros paralelepípedos juntando todos os quatro, como por exemplo:

14cm

6cm

5cm

Nas condições acima apresentadas, quantos paralelepípedos diferentes podemos construir? Justifique sua resposta com desenhos, especificando as medidas de cada paralelepípedo construído 24) (XXIV Olimpíada Paulista de Matemática – 6ª série – Fase Final – 2000) Um cubo de dimensões 5 cm x 5 cm x 5 cm é formado por “cubinhos” de 1 cm x 1 cm x 1 cm. São feitos três cavidades de dimensões 1 cm x 1 cm x 5 cm, 2 cm x 1 cm x 5 cm e 3 cm x 1 cm x 5 cm, retirando-se os “cubinhos”, como mostra a figura a seguir. Determine quantos “cubinhos sobraram na figura após a formação das três cavidades.

25) (XXVI Olimpíada Paulista de Matemática – Nível α – Fase Final – 2002) As 10 peças A, B, C, ..., J, mostradas a seguir, foram obtidas a partir de cubos de madeira de lado 10 cm. Algumas forma montadas colando-se três ou quatro cubos de madeira.

a) Mostre como é possível montar um cubo de lado 20 cm utilizando algumas dessas peças. Você pode escolher aquelas que quiser! b) Mostre como é possível montar um cubo de lado 30 cm utilizando todas essas peças.


26) (Olimpíada Paulista de Matemática – 6ª série – Fase Final/1986) Em todos os dados a soma dos números nas duas faces opostas é igual a 7. a) Ao jogar cinco dados, a soma dos números das cinco faces voltadas para cima deu 17. Qual foi a soma dos números das faces opostas? Explique como você obteve sua resposta. b) Ao jogar três dados, o produto dos números das três faces voltadas para cima deu 36. Qual foi o produto dos números das faces opostas? Explique como você obteve sua resposta. 27) (Olimpíada Paulista de Matemática – 6ª série – 2ª Fase/1995) Na figura 1, temos a planificação de um cubo.

Dobrando-se a planificação de maneira adequada, obtém-se um cubo.

Imagine o cubo sobre uma mesa. A face de cima e a face em contato com a mesa são faces opostas estão marcadas com a mesma letra. O seu problema é este: na planificação de cubos mostradas abaixo, marcar as faces opostas.

28) (Olimpíada Paulista de Matemática – 6ª série – 2ª Fase/1996) Considere um cubo como o da figura à esquerda. O cubo será cortado por uma serra elétrica plana. Por exemplo, a serra pode cortá-lo passando pelo meio das arestas AD, BC e FG. O corte obtido será um quadrado como o da figura à direita. a) Se a serra passar pelos vértices D, B, F e H o corte será um polígono de quantos lados? Esses lados terão o mesmo tamanho? Por que? b) Se a serra passar pelos vértices D, B e G o corte será um polígono de quantos

lados? Esses lados terão o mesmo tamanho? Por que? c) Se a serra passar pelos pontos médios das arestas AB, BF, FG, GH, HD e DA, o corte será um polígono de quantos lados? 29) (Olimpíada Paulista de Matemática – 7ª série – Fase Final/1984) Em um dado, a soma dos pontos de duas faces opostas é sempre igual a 7. Duas pessoas estão sentadas frente e, entre elas está um destes dados. Cada uma vê três faces do dado. Uma pessoa vê 9 pontos, a outra 15. Quantos pontos tem a face na qual está apoiado o dado?

A B

DC

EF

GH

A B

DC

EF

GH


30) Este desafio foi publicado na Revista Superinteressante especial “Super Legal” da Editora Abril em 2003.

31) O Exercício abaixo foi retirado da revista Tio Patinhas, da Editora Abril. Relacione as peças aos cubos correspondentes:

32) Resolva agora um problema que caiu nas Olimpíadas Paulistas de Matemática - OPM em 1980, na prova da 5a Série (2a fase): a) Empilhei caixas cúbicas n centro de uma sala e esqueci de contá-las. Quantas estão empilhadas (veja a figura)? b) Para completar um paralelepípedo com a base que temos, de quantas caixas irei precisar?


VISTAS 1) Desenhe as vistas lateral, frontal e superior das figuras:

2) Desenhe as vistas lateral, frontal e superior dessa figura:

3) (Adaptado do GAVE) Veja a figura, desenhe as vistas e conte quantos cubinhos possui:

4) (Ione Fernandes) Associe cada pilha com sua vista superior:


5) (AjudaAlunos) Responda a questão e desenhe as vistas corretas.

6) (Excer – Portugal)

7) A figura abaixo, do Blog Fabricadedibujos, mostra as várias vistas de um cubo sob várias

perspectivas. Seu desafio é copiar essas vistas:


8) Desenhe uma pilha de cubos com as seguintes projeções ortogonais (vistas):

9) Dadas as vistas, desenhe uma pilha de cubos:

10) Desenhe as vistas dos sólidos:


11) Associe as vistas aos sólidos:

12) Monte o quebra cabeças conforme o modelo (faça isso fisicamente):

13) Veja as vistas de um carrinho e de um caminha. Faça o mesmo com objeto a sua escolha:


14) (Fernando Jackson) Associe os cubos às suas vistas:

15) Desenhe as vistas do apontador:


16) Desenhe o carinho em forma tridimensional:

17) Pinte a face de cada dimensão de uma cor (serão 3 cores):

18) Desenhe a figura com as seguintes vistas:


19) Complete a tabela:

20)Desenhe as vistas:


Sugestão de Leitura:

Obra e Arte com Cubos:

Kubor – Manfred Pernice http://entretenimento.uol.com.br/album/obras_29bienal_album.htm?abrefoto=1


EXERCÍCIOS

1) (Ajudaalunos) Observe o seguinte desenho. Se o desenho que está no ecrãn do computador for iniciado no ponto A, quais foram as ordens dadas pelo computador?

a) Avance 2, esquerda 90º, avance 3, direita 90º, avance 2 ,direita 90º,avance 3. b) Repita 3 vezes [avance 2, esquerda 90º, avance 3, direita 90º, avance 2, direita 90º, avance3]. c) Repita 2 vezes [avance 2, esquerda 90º, avance 2, esquerda 90º, avance 2, esquerda 90º]. d) Repita 2 vezes [avance 2, esquerda 90º, avance 3, direita 90º, avance 2, direita 90º, avance3]. 2) Classifique em PRISMAS ou PIRÂMIDES:

3) Concurso para Professores de Matemática de 5ª à 8ª séries e Ensino Médio PEB II – Governo de São Paulo – 1998) Considere as três afirmações seguintes.

I. Se uma pirâmide tem 30 arestas, então ela tem 16 vértices. II. Não existe prisma com 93 arestas. III. Um poliedro convexo com 12 arestas e 7 vértices tem 7 faces.

Então, pode-se afirmar que a) I, II e III são verdadeiras b) apenas I e III são verdadeiras c) apenas I e II são verdadeira d) apenas II e III são verdadeiras e) nenhuma delas é verdadeira 4) (Concurso para Professores de Matemática de 5ª à 8ª séries – Governo de Minas Gerais – 2001) O número de arestas que um prisma reto de base hexagonal possui é: a) 18 b) 12 c) 8 d) 4 5) (Concurso para Professor de Matemática de 5ª à 8ª séries – Prefeitura de Orlândia – 2003) Analise as seguintes afirmativas sobre prismas e pirâmides: I. Uma pirâmide com 16 arestas tem 9 vértices; II. Existe prisma com 27 arestas; III. Existe pirâmide com 27 arestas; IV. Um prisma com 12 faces tem 20 vértices. Pode-se afirmar que estão corretas, apenas, as afirmações: a) I, II e III b) I, II e IV c) II, II e IV d) I e IV e) III e IV 6) (Concurso para Professor de Matemática de 5ª à 8ª séries – Prefeitura de Mogi das Cruzes – 2003) Um prisma tem 24 arestas. Pode-se afirmar que o número de faces desse prisma é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16


7)(Concurso para Professor de Matemática do Ensino Médio – Governo de Minas Gerais – 2001) Um prisma com 9 faces será do tipo: a) pentagonal b) hexagonal c) heptagonal d) eneagonal 8) (Concurso Público para Professor de 1ª à 4ª série – Prefeitura de Araçatuba - SP/2001) Observe os sólidos geométricos:

Qual deles tem: 8 arestas, 5 vértices e 5 faces? a) o prisma b) a pirâmide c) o cilindro d) o cone 9)(ENCCEJA – Ensino Médio – 2002) Paulo está construindo caixas em forma de pirâmide para montar o cenário de uma peça de teatro e tem a sua disposição peças de madeira recortadas como nas figuras.

Como base para a pirâmide, Paulo pode usar as peças (A) III e IV. (B) II e V. (C) I e III. (D) II e IV. 10)(Exame de Seleção do Colégio Pedro II – 1a série do Ensino Médio 2003) Um polígono possui vértice duplo ou nó quando deste vértice partem mais de dois lados. Um polígono que apresenta um ou mais nós chama-se composto. Euler, um importante matemático, descobriu que, para um polígono de v vértices, i regiões internas e λ lados, vale a seguinte relação:

Nas figuras abaixo as regiões internas estão hachuradas.

a) Complete a tabela abaixo:

FIGURA v i

1 3 1 3

2 5 2 6

3 7 3

4 12

5 2 8

b) Quantos vértices possui um polígono com 14 lados e 4 regiões internas? c) Determine o número de lados de um polígono com 18 vértices, cujo número de lados é o triplo do número de regiões internas, mais 3.


11)(Exame de Seleção do Colégio Pedro II – 1a série do Ensino Médio 2003) A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada

A pirâmide de base quadrada tem cinco faces, como você pode observar na planificação abaixo.

Luiz deseja pintar as faces da pirâmide e não vai usar mais de uma cor na mesma face. Ele decidiu também que, em sua pirâmide montada, duas faces com uma aresta em comum, não podem ter a mesma cor. a) Quantas cores, no mínimo, Luiz precisa usar para pintar a pirâmide desta forma? b) Luiz tem 5 tintas de cores diferentes: amarelo, azul, vermelho, verde e roxo. Ele pintou três faces de sua pirâmide com as cores representadas na planificação abaixo:

De quantas maneiras diferentes ele pode acabar de pintar essa pirâmide? 14)(UNESP – SP) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas da figura ao lado, obteremos uma figura espacial cujo nome é: a) pirâmide de base pentagonal b) paralelepípedo c) octaedro d) tetraedro e) prisma 15) Nas planificações abaixo, I - dê o nome das figuras; II – pinte de AZUL as bases e VERMELHO as faces laterais.

16) Desenhe o molde de: a) Um prisma quadrangular b) Uma pirâmide triangular 17) Dê o nome das formas geométricas:


18) Quantos vértices, faces e arestas tem: a) Prisma octogonal b) Pirâmide eneagonal V=_____ F=______ A=_____ V=_____ F=______ A=_____ c) Prisma decagonal d) Pirâmide icosagonal V=_____ F=______ A=_____ V=_____ F=______ A=_____ e) Prisma com 80 lados na base f) Pirâmide com 200 lados na base V=_____ F=______ A=_____ V=_____ F=______ A=_____ 19) Responda as questões: a) Que prisma tem 18 arestas? b)Que prisma tem 24 vértices? _______________________________ _______________________________ c) Que prisma tem 10 faces? d) Que pirâmide tem 10 vértices? _______________________________ _______________________________ e) Que pirâmide tem 18 arestas? f) Que pirâmide tem 12 faces? _______________________________ _______________________________ 20) Desenhe as planificações de:

a) Um prisma eneagonal

b) Uma pirâmide pentagonal

21) Nas planificações abaixo, I - dê o nome das figuras; II – pinte de AZUL as bases e VERMELHO as faces laterais.

22) Quantos são os vértices, faces e arestas do: a) Prisma com base com 80 lados b) Pirâmide com base com 150 lados V=____ F=______ A=_______ V=____ F=______ A=_______ 23) Desenhe o molde de: a) Um prisma pentagonal b) Uma pirâmide hexagonal


24) Determine: a) Os vértices: b) As arestas c) As faces 25) Usando uma régua graduada faça um molde de blocos retangulares de dimensões: a) 2 cm x 1,5 cm x 0,5 cm b) 3 cm x 0,5 cm x 0,5 cm Monte os blocos e apresente. 26) Responda: a) Qual é o prisma que tem 21 arestas? b) Qual é a pirâmide com 10 faces? 28)Veja a figura abaixo e responda a) Quantos são os vértices? b) Quantas são as faces? c) Quantas são as arestas? d) Calcule V+F-A 29) Construa em papel sulfite o molde para construir a seguinte figura


POLIEDROS DE PLATÃO

1)Dê o nome dos sólidos abaixo:

p 2)Duas histórias interessantes relacionadas com este tema. Uma diz respeito ao Filósofo Grego Platão, outra ao Astrônomo e Físico Johannes Kepler. Platão associou os 4 elementos com os sólidos. Para ele a terra era o cubo, o ar era o octaedro regular, a água o icosaedro regular, o fogo o tetraedro regular. O formato do éter, a “alma do universo”, o “5º elemento” era um dodecaedro regular. Esta idéia está escrita em seu livro Timeu publicado em cerca de 360aC.

Fonte: http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_printversie.php?deze_art_online_id=124

Associe os nomes às gravuras acima. 3) Escreva o nome dos sólidos cuja planificação está abaixo:

4)O que é um Poliedro Regular? 5)Preencha a tabela:

Poliedro Regular V F A Número de arestas que Sai de um vértice

Número de lados da Face

T

H

O

D

I

http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_printversie.php?deze_art_online_id=124


A palavra poliedro vem do grego poli=muitas, edros=faces.

Podemos fazer várias classificações de poliedros: a) Quanto à convexidade: em convexo e não convexo b) Quanto à característica: em euleriano e não euleriano c) Quanto à planificação: em planificável e não planificável

Afirmamos para você, que, segundo as nossas definições (que não são universais):

1) Todo poliedro convexo é euleriano. 2) Todo poliedro planificável é euleriano.

Gostaríamos de observar a nomenclatura dos poliedros: 4 faces tetraedro 5 faces pentaedro 6 faces hexaedro 7 faces heptaedro 8 faces octaedro 9 faces eneaedro 10 faces decaedro 11 faces undecaedro 12 faces dodecaedro 15 faces pentadecaedro 20 faces icosaedro

Sugerimos que você faça o download do software Poly e brinque um pouquinho. Lá você encontrará muitos sólidos e poderá explorá-los. O site é www.peda.com/poly/. É um software livro, por isto você pode usá-lo em classe, sem maiores problemas. Além disso, cabe em um disquete. EXERCÍCIOS.

1) Quanto ao número de faces, o cubo é um: ( ) Tetraedro ( ) Hexaedro ( ) Octaedro

2) Quanto ao número de faces uma pirâmide quadrangular é um: ( ) Tetraedro ( ) Pentaedro ( ) Octaedro

3) Qual prisma é um hexaedro? ( ) Prisma triangular ( ) Prisma quadrangular( ) Prisma hexagonal

4) Veja o poliedro “escada”, primeiro exemplo da folha anterior. Qual é o total de vértices, faces e arestas?

V= _____ F= _____ A= ____

5) Calcule vértices, faces e arestas da figura:

http://www.peda.com/poly/


6) Calcule o número de vértices, faces e arestas:

CALCULANDO VÉRTICES, FACES E ARESTAS DE UM POLIEDRO

Você pode ler o livro “Poliedros de Platão e os Dedos da Mão”, e compreender em detalhes as técnicas que usamos.

IMPORTANTE: Esta técnica só funciona em poliedros em que todos os vértices tem o mesmo grau, ou seja, deles parte o mesmo número de arestas, e também que cada aresta pertença a exatamente 2 faces de um poliedro. (Ou seja, funciona com sólidos de Platão ou de Arquimedes). Cálculo do Número de Faces – A estratégia que descreveremos depende que você conte o número de faces, inclusive, registrando quando faces de cada tipo o poliedro possui. Cálculo do Número de Arestas – Cada aresta pertence a 2 faces exatamente (divisória). Então, pegamos o número de faces de cada quantidade de lados e multiplicamos pelo número de lados, somamos e o resultado dividimos por dois (veja o exemplo). Cálculo do Número de Vértices – Fazemos o mesmo cálculo acima, mas, dividimos pelo grau do vértice. Exemplos:

Cubo (aqui é só contar, não é preciso da técnica, mas faremos como exemplo) Faces: 6 faces quadrangulares (quadradas)

Arestas: 6 faces x 4 lados = 24; 242=12 arestas Vértices: 6 faces x 4 lados = 24; grau dos vértices: 3

(partem 3 arestas de cada vértice); 243=8 vértices

Dodecaedro Faces: 12 faces pentagonais

Arestas: 12 faces x 5 lados = 60; 602=30 arestas Vértices: 12 faces x 5 lados = 60; grau dos vértices:

3 (g=3); 603=20 vértices.

Poliedro Bola, Buckyball ou Icosaedro Truncado Faces: 12 faces pentagonais, 20 faces hexagonais; total de faces: 12+20=32 faces

Arestas: 12x5+20x6=60+120=180; 1802=90 arestas

Vértices: grau dos vértices: 3; 1803=60 vértices

Tetraedro Truncado Faces: 4 faces hexagonais, 4 faces triangulares; total de faces: 4+4=8 faces

Arestas: 4x6+4x3=24+12=36; 362=18 arestas

Vértices: grau do vértice: 3; 183=6 arestas


Ache, segundo as estratégias acima, o número de vértices, faces e arestas, dadas a figura e sua planificação

Poliedro Regular é aquele que:

(i) Tem todas faces com o mesmo número de lados. (ii) Os lados são polígonos regulares. (iii) De todos os vértices sai o mesmo número de arestas. (Todos vértices tem o mesmo

grau.) O Poliedro de Platão não tem obrigatoriamente que seguir o item (ii). Iniciais: THODI – regra mnemônica para decorar quais são os sólidos de platão. Somente estes 5 poliedros regulares existem. Não é possível existir um 5º poliedro Regular. Podemos provar, facilmente, que não é possível existir um 6º poliedro Regular. O livro “Os Poliedros de Platão e os Dedos da Mão” chegam a estes resultado fundamental, da não existência do 5º poliedro regular.

Vejam os conceitos e simbologias:

Considere então: Prisma Piramidal Triangular – PP3 Prisma Piradimal Quadrangular – PP4 Prisma Piramidal N-agonal – PPn

* Prisma Piramidal Triangular (ou Pirâmide Triangular Alongada ou Sólido de Johnson 7 – J7)

* Prisma Piramidal Quadrangular (ou Pirâmide Quadrangular Alongada ou Sólido de Johnson 8 – J8)

* Prisma Piramidal Pentagonal (ou Pirâmide Pentagonal Alongada ou Sólido de Johnson 9 – J9)

a) Preencha a tabela:

PP3 PP4 PP5 PP6 PP7 PP8 PP9 PP10 PP89 PP144 PP387 PPn

V

F

A

b) As seqüências de vértices, de faces e arestas estão em Progressão Aritmética, assim como estão as seqüências de Prismas e Pirâmides. c) Mostre que para os Prismas Piramidais, V+F-A=2.


Identificar quais sólidos correspondem ao 1 e 2:

EXERCÍCIOS 1) (Concurso para Professor de Matemática de 5ª à 8ª séries e Ensino Médio – SESI-SP/04) O livro Timeu, escrito no século IV a.C contém as idéias de Platão sobre 5 poliedros regulares: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro, chamados “poliedros de Platão”. Imagine que você seja joalheiro e que possua uma pedra preciosa na forma de um cubo, e deseja esculpi-la. A pedra esculpida terá a forma de um poliedro de Platão cujos vértices, originalmente, eram os pontos centrais das faces do cubo. Quantas faces terá a pedra esculpida? a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 20 2) (Concurso para Professor de Matemática de 5ª à 8ª séries e Ensino Médio PEBII do Estado de São Paulo – 2003) Qual dos diagramas abaixo representa os argumentos a seguir? Alguns tetraedros são regulares. Todos os tetraedros são pirâmides. Logo, algumas pirâmides são regulares

3) (UERJ-1999) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras.

Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m


4) Uma bola de futebol é composta por 20 “gomos” hexagonais e 12 “gomos” pentagonais. Uma costureira gasta 15 cm de linha para emendar os gomos e formar uma bola. Quantos metros de linha usa essa costureira?

5) Desenhe: a) Pentágono não convexo b) Eneágono não convexo c) Heptágono não convexo 6) Dê o nome às formas: a) b)

7) Dada a forma geométrica e a planificação, encontre vértices, faces e arestas:

8) Qual é o formato das faces laterais do: a) Prisma_____________________________ b) Pirâmide _________________________ 9) Classifique as figuras quanto ao número de faces 4 faces – TETRAEDRO 5 faces – PENTAEDRO 6 faces – HEXAEDRO 7 faces – HEPTAEDRO 8 faces – OCTAEDRO 9 faces – ENEAEDRO 10 faces – DECAEDRO 11 faces – UNDECAEDRO 12 faces – DODECAEDRO 15 faces – PENTADECAEDRO 20 faces – ICOSAEDRO Como se classificaria quanto ao número de faces: a) a pirâmide hexagonal b) o prisma pentagonal _____________________________ _____________________________ c) a pirâmide eneagonal d) o prisma heptagonal _____________________________ _____________________________


11) Associe cada figura às suas planificações:

12) Classifique os poliedros quanto às faces

13) Um ponto que aparece em uma face de cada planificação estará também em outras faces depois de montada a figura. Quais são essas outras faces? Responda sem montar a figura.

14) Cada planificação a seguir tem uma face pintada que será vizinha de outras faces depois de montada a figura. Sem montá-la, assinale essas outras faces.


O PROBLEMA DAS SETE PONTES DE KÖNIGSBERG Se você ainda não conhece, vai conhecer agora um dos mais importantes e divulgados problemas de toda a Matemática, o problema das Sete Pontes de Königsberg, resolvido por Euler.

Königsberg foi durante muito tempo uma cidade da Prússia (o nome vem do alemão König = rainha, Berg = montanha). Nesta cidade viveram muitos intelectuais da história da humanidade, inclusive o grande filósofo Immanuel Kant (que passou toda sua vida sem nunca sair desta cidade) e o matemático Regiomontanus (cujo apelido era este por ser uma versão latinizada do nome de sua cidade). Hoje a cidade se chama Kaliningrado, e pertence à Rússia, apesar de ficar encravado entre a Polônia e as antigas repúblicas da União Soviética. É a saída russa para o Oceano Altântico. O problema consistia em percorrer todas as pontes sem passar mais de uma vez por qualquer ponte. Ninguém conseguia resolver o problema, e

sempre era necessário passar mais de uma vez por qualquer ponte. Retirando-se uma ponte, o problema tornava-se solúvel. Acrescentando-se uma ponte, também. Euler resolveu o problema usando grafos (veja o texto abaixo). Só para compreender o problema da impossibilidade. Imagine a figura ao lado. A parte de cima é o mapa geográfico das sete pontes, separado em 4 partes, A e B (margens) e B e D, ilhas, do Rio Prege, que banha a cidade. Representando as 4 partes por pontos (chamados vértices), e as pontes por linhas (chamadas arestas), separamos o plano em 5 regiões (4 “internas” e 1 “externa”). Esta figura é um Grafo (note que V+R-A=2, sendo R as regiões). Resolver o problema das sete pontes equivale a desenhar o grafo sem tirar o lápis do Papel. Isto não é possível, visto que, de todos os vértices sai um número ímpar de arestas (os vértices possuem grau ímpar), e, para fazer o desenho sem tirar o lápis do papel, deveríamos ter, no máximo 2 vértices de grau ímpar (o começo e o fim do desenho). Para compreender melhor esta idéia – que é fundamental – leia o livro “Par ou Ímpar”, de Luís Márcio Imenes, da Editora Ática, Coleção “Vivendo a Matemática”. CONHEÇA TAMBÉM: o problema da água, luz e telefone.


SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 1)Desenhe a forma geradora dos sólidos abaixo se eles forem de revolução (despreze detalhes mínimos). Caso contrário, assinale-os com um x:

2) (ENEM – 1998) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo, girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtém-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita.

A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5D d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A

http://www.unilever.com.pl/produkty/pictures/JPG/Dove/!04!produkty do mycia skory/!17!Dove SG Relaxing 250ml.jpg

http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.az-pneu.cz/web/detaily_gum/obrazky/michelin_alpin_a2/pneu-prezentace.gif&imgrefurl=http://www.az-pneu.cz/web/detaily.php?link%3D!prezentace_Michelin&h=352&w=350&sz=37&tbnid=gNuNFgDvl6oJ:&tbnh=116&tbnw=115&hl=pt-BR&start=19&prev=/images?q%3Dpneu%26hl%3Dpt-BR%26lr%3D


3) (ENEM 2001) Existem diferentes formas de representação plana da superfície da Terra (planisfério). Os planisférios de Mercator e de Peters são atualmente os mais utilizados.

Mercator Peters Apesar de usarem projeções, respectivamente, conforme e equivalente, ambas utilizam como base da projeção o modelo:

a) b) c) d) e) 4) (ENEM 2002) O mercado financeiro mundial funciona 24 horas por dia. As bolsas de valores estão articuladas, mesmo abrindo e fechando em diferentes horários, como ocorre com as bolsas de Nova Iorque, Londres, Pequim e São Paulo. Todas as pessoas que, por exemplo, estão envolvidas com exportações e importações de mercadorias precisam conhecer os fusos horários para fazer o melhor uso dessas informações.

Considerando que as bolsas de valores começam a funcionar às 09:00 horas da manhã e que um investidor mora em Porto Alegre, pode-se afirmar que os horários em que ele deve consultar as bolsas e a seqüência em que as informações são obtidas estão corretos na alternativa: (A) Pequim (20:00 horas), Nova Iorque (07:00 horas) e Londres (12:00 horas). (B) Nova Iorque (07:00 horas), Londres (12:00 horas) e Pequim (20:00 horas). (C) Pequim (20:00 horas), Londres (12:00 horas) e Nova Iorque (07:00 horas). (D) Nova Iorque (07:00 horas), Londres (12:00 horas), Pequim (20:00 horas). (E) Nova Iorque (07:00 horas), Pequim (20:00 horas ), Londres (12:00 horas).


QUESTÕES DO 6º ANO – GEOMETRIA – ESCOLA NOVA – MONTE SANTO - 2014 Questão 1 Defina:

a) Triângulo__________________________________________________ b) Quadrilátero__________________________________________________ c) Losango__________________________________________________ d) Retângulo_______________________________________________ e) Paralelogramo______________________________________________ f) Trapézio________________________________________________ g) Quadrado_________________________________________________

Agora desenhe um exemplo de cada uma das figuras definidas. Questão 2 Como eu classifico os triângulos:

a) Quanto aos lados? b) Quanto aos ângulos?

(Dê os nomes e explique os tipos) Questão 3 Se eu dobrar uma folha quadrada pela diagonal, eu terei um triângulo _______________ e ________________. (Classifique-o quanto aos lados e aos ângulos). Questão 4

a) Qual quadrilátero é ao mesmo tempo losango e retângulo?___________________ b) Todo quadrado é retângulo?__________ c) Todo retângulo é quadrado?__________ d) Todo losango é quadrado?__________ e) Todo quadrado é losango?___________

Questão 5 Represente em diagramas de Venn os quadrados, losangos e retângulos. Questão 7 Estime as dimensões:

a) Da lousa b) De seu quarto c) Do cadarço de seu sapato d) Da quadra da escola e) Do prédio mais alto da cidade


Questão 9 Veja diversas situações e conte quantos cubos possui cada pilha. Explique o raciocínio.

SITUAÇÃO I

SITUAÇÃO II

SITUAÇÃO III (duas vistas da MESMA pilha)

SITUAÇÃO IV

SITUAÇÃO V

SITUAÇÃO VI

Questão 10 Qual dos desenhos abaixo NÃO é uma planificação do cubo?

Questão 11 Quais dos dados abaixo estão corretos? Lembre que a soma das faces opostas sempre é 7:

Questão 12 (Adaptado OBMEP) Em um dado, a soma das faces opostas sempre é 7. Dois dados iguais foram colados como na figura. Qual é a soma dos números que estão nas faces coladas?


GABARITO Questão 1 Defina: DEFINIR TEM UM SIGNIFICADO PRÓPRIO!!!!

h) Triângulo é o polígono de 3 lados. i) Quadrilátero é o polígono de 4 lados. j) Losango é o quadrilátero que tem 4 lados iguais. k) Retângulo é o quadrilátero que tem 4 ângulos retos. l) Paralelogramo é o quadrilátero que tem 2 pares de lados

paralelos m) Trapézio é o quadrilátero que tem 1 par de lados paralelos n) Quadrado é o quadrilátero que tem 4 lados iguais e 4

ângulos retos. Agora desenhe um exemplo de cada uma das figuras definidas.

Questão 2 Como eu classifico os triângulos:

c) Quanto aos lados? Equilátero: se ele tiver os 3 lados iguais Isósceles: se ele tiver 2 lados iguais Escaleno: se não tiver nenhum lado igual

d) Quanto aos ângulos? Retângulo: se ele tiver 1 ângulo reto + 2 ângulos agudos Obtusângulo: se ele tiver 1 ângulo obtuso + 2 ângulos agudos Acutângulo: se ele tiver os 3 ângulos agudo

(Dê os nomes e explique os tipos)

Questão 3 Se eu dobrar uma folha quadrada pela diagonal, eu terei um triângulo retângulo_ e isósceles. (Classifique-o quanto aos lados e aos ângulos). ESSE É UM TRIÂNGULO RETÂNGULO ISÓSCELES Questão 4

f) Qual quadrilátero é ao mesmo tempo losango e retângulo?Quadrado

g) Todo quadrado é retângulo? SIM h) Todo retângulo é quadrado? NÃO i) Todo losango é quadrado?NÃO j) Todo quadrado é losango? SIM


CONSTRUÇÕES EM PAPEL ISOMÉTRICO 1) Veja as figuras:

a) Quantos cubos tem a pilha? b) Desenhe a pilha de cubos no papel isométrico (pontilhado)

2) Colorir os cubinhos de acordo com suas dimensões.

3) Copie o desenho:


4) Copie os desenhos:

5) Copie os desenhos:

EXERCÍCIOS


1) Tente copiar o sofá:

2) Faça cópias das figuras:


3) Reproduza as figuras:

4) Veja alguns desenhos. Tente copiar algum deles em tamanho natural!

5) Copie em papel isométrico:


6) Tente reproduzir em papel isométrico ou quadriculado:


7) Reproduza no papel isométrico:


8) Faça em papel isométrico ou quadriculado, mas continue mais 2 desenhos na sequência:


9) Tente reproduzir a seguinte atividade de desenho técnico:


CURVA DE JORDAN (Canguru Matemático – 2015 – 4+) . Na figura `a direita vemos uma ilha com uma costa muito recortada e alguns sapos. Quantos desses sapos estão na ilha?

CURVA DE JORDAM

Diga se cada ponto está dentro ou fora da curva:


O QUE NÃO VALE FAZER (Colorir)


POLIEDROS DE ARQUIMEDES


SÓLIDOS DE JOHNSON Um sólido de Johnson é um Poliedro onde as faces são polígonos regulares e que não são sólidos de Platão, nem um sólido de Arquimedes, nem um prisma nem um antiprisma. Norman Johnson elaborou uma lista de 92 sólidos em 1966, nomeou e numerou todos.


FAIXA DE MÖBIUS E GARRAFA DE KLEIN Muitas coisas ainda poderíamos falar sobre sólidos, mas, vamos parar por aqui, falando de um objeto muito importante dentro da Topologia, que é a Faixa de Möbius. Não entraremos em detalhes ou ressaltaremos toda a importância deste objeto, mas, apresentaremos ela sucintamente, da mesma forma que a Garrafa de Klein. Veja algumas gravuras da Faixa de Möbius, colhidas na Internet. Você irá compreender o que é esta Faixa, sem nenhuma explicação.

A Faixa de Möbius, é um objeto tridimensional no plano. A Garrafa de Klein é um objeto da 4ª dimensão (portanto, para nós, imaginário) no espaço tridimensional. É complexo compreender esta noção. Veja alguns desenhos da Garrafa de Klein.

http://www.impa.br/


FRACTAIS

TRIÂNGULO DE SIERPINSKY

Um fractal muito famoso, é o Triângulo de Sierpinsky. Suficientemente elementar para o estudarmos e fazermos algumas análises sobre ele. Abaixo 4 iterações sobre o Triângulo de Sierpinsky. Lembre que isto é apenas uma idéia do Fractal. Os desenhos não são fractais, pois os fractais se repetem continuamente e infinitamente.


Agora, é com você! Vamos desenhar um Triângulo de Serpinsky ILHA DE VON KOCH Outro fractal interessante e conhecido é a Ilha de Von Koch. Muitas vezes associada à fractais de flocos de neve em filmes.


CONTRUÇÃO DE UM FRACTAL EM FOLHA DE PAPEL 1a Atividade: Construção de um Fractal numa Folha de Papel Instruções:

1. Meça o comprimento da folha ( = a ) 2. Meça a largura da folha ( = b )

3. Dobre a folha de papel ao meio

4. Faça 2 cortes de comprimento a/4 afastados de cada lado do papel b/4

5. Dobre segundo o segmento criado pelos dois cortes

6. Repita os passos 1 - 5, mas agora para a parte da folha que acabou de dobrar

7. Continue o processo o máximo de vezes possíveis

8. Dobre a folha A4 formando um ângulo recto 9. Dobre a parte da folha obtida no passo 5, de modo a formar um ângulo recto com a dobra do passo 8 10. Repita o passo 9 para as outras partes da folha

Questões: 1. Conte os elementos em cada iteração e faça uma tabela. 2. Identifique o padrão de crescimento e indique a sucessão que permite calcular o número de elementos para a n-ésima geração. 3. Qual a área total ( isto é, depois de uma infinidade de dobras ) da superfície dos elementos ? ( Sugestão: Escolha um valor conveniente para a área do primeiro elemento ) 4. Investigue o que acontece, se fizer um corte diferente, alterar o tamanho do corte ou aumentar o número de cortes. Problema adaptado de: "Fractal Cards: A Space for Exploration in Geometry and Discrete Mathematics", The Mathematics Teacher, 1998 Fonte: www.educ.fc.ul.pt


FRACTAIS MAIS COMPLICADINHOS:


EXERCÍCIOS Vamos tentar desenhar fractais?


GRAFOS Material copiado de: http://slideplayer.com.br/slide/3057037/# (Rita Maria Cargnin) Você já ouviu falar em Grafo? Que relação você acha que tem essa rota com um grafo?

Alguns exemplos de Grafos:

Grafos e o Teorema das 4 Cores

http://slideplayer.com.br/slide/3057037/


Atividade: Com quantas cores podemos pintar esse mapa? E se os estados vizinhos não pudessem ter a mesma cor. Quantas cores eu preciso utilizar, no mínimo?

Construa o grafo desse mapa. Atividade: Construa o Grafo de Todos Estados do Brasil.

Pinte o mapa utilizando apenas 4 cores, sem que estados vizinhos tenham a mesma cor. Atividade: Veja uma Árvore Genealógica e construa a da sua família.


EXERCÍCIOS 1) Colorir e fazer o grafo da América do Norte.

2) Colorir e fazer o grafo das bacias hidrográficas de Minas Gerais.

3) Faça o grafo da região de Monte Santo de Minas.


4)Pinte e faça o grafo dos estados do Canadá. Pesquise os nomes:

5) Pinte e faça um grafo da América Central. Pesquise os nomes:

6) Conte o número de vértices e arestas dos grafos e determine o grau de cada vértice:

7) Dado o grafo, determine o que se pede:

a) Quantos são os vértices e as arestas? b) Qual é o grau de cada vértice? c) Os vértices v e w são adjacentes? d) Os vértices v e x são adjacentes? e) A aresta 2 é incidente ao vértice u? f) A aresta 5 é incidente ao vértice x?

8) Desenhe o grafo correspondente para o Problema das Sete Pontes e o correspondente ao problema da Água, Luz e Telefone:


9) Construa os grafos não-dirigidos a partir dos conjuntos de vértices e arestas dados a seguir e os classifique: a) V = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 4)}; b) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {(1, 2), (1, 4), (1, 4), (2, 3), (2, 5), (3, 5)}; c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}; d) V = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}; e) V = {1, 2, 3, 4} e A = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}; f) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 5), (6, 7), (6, 8), (7, 8)}. 10) Construa todos os grafos completos com até 8 vértices. Quantas arestas tem cada um desses grafo? E se tiver n vértices? 11) Construa os seguintes grafos bipartidos completos: K1,1, K1,2, K1,3, K2,2, K2,3, K2,4, K3,3, K3,4, K4,4.


DESENHE SEM TIRAR O LÁPIS DO PAPEL

Tente desenhar SEM TIRAR O LÁPIS DO PAPEL. Você deverá numerar os pontos de forma a ter uma ordem. No caso do desenho acima, A→B→C→D→E→A você desenha sem tirar o lápis do papel! ATENÇÃO! Não vale passar um risco em cima do outro. (Esse conteúdo é importante para a próxima aula)


EXERCÍCIOS DE PILHAS DE CUBO DO CANGURU MATEMÁTICO 1)(Canguru Matemático – 2013) O Pedro construiu o pódio representado na figura. Quantos cubos foram utilizados pelo Pedro? 2)(Canguru Matemático – 2015) O Daniel construiu dois tijolos como os da figura ao lado. Para construir cada tijolo colou dois cubos um ao outro. Qual é a construção que não pode ser obtida usando estes dois tijolos?

3)(Canguru Matemático – 2015) O Dinis construiu seis torres com cubos cinzentos e cubos brancos (ver figura a` direita). Cada torre é feita com cinco cubos. Cubos da mesma cor não se tocam. Quantos cubos brancos existem nas seis torres? 4) (Canguru Matemático – 2015 – 3+) O Nuno construiu um cubo colando pequenos cubos cinzentos e pequenos cubos brancos (ver figura ao lado). Sabemos que não há dois cubos pequenos da mesma cor colados um ao outro por uma face. Qual é a afirmação que descreve o numero de pequenos cubos utilizados? (A) Foi utilizado um cubo cinzento a mais do que cubos brancos (B) Foi utilizado um cubo branco a mais do que cubos cinzentos (C) Foi utilizado o mesmo numero de cubos brancos e cinzentos (D) Foram utilizados dois cubos brancos a mais do que cubos cinzentos (E) Foram utilizados dois cubos cinzentos a mais do que cubos brancos

5)(Canguru Matemático – 2014 – 3+) O Fábio tem 4 cubos vermelhos, 3 cubos azuis, 2 cubos verdes e um cubo amarelo. Ele constrói uma torre (ver a figura), de tal maneira que não existam dois cubos da mesma cor que se toquem. Qual é a cor do cubo do meio?

(A) Vermelho (B) Azul (C) Verde (D) Amarelo (E) E impossível saber


SIMULADO DE GEOMETRIA 1) (SARESP) Um sólido geométrico é formado por seis faces quadradas. Esse sólido é: a) um cilindro b) uma pirâmide c) um cubo d) um quadrado e) um hexágono 2) (SARESP) Observe as figuras abaixo

E verdade que: a) apenas II é triângulo. b) apenas II e III são triângulos. c) apenas I, II e III são triângulos d) todos são triângulos e) nenhum é triângulo. 3) (SARESP) Com o molde abaixo é possível montar a figura:

4) (SIMAVE) Fernanda desenhou sua sala de aula em uma malha quadriculada, reservando um espaço para o “Cantinho da Leitura”. Veja o que ela fez:

O lado de cada quadradinho corresponde a 1 m. A área que corresponde à região cinza é igual a a) 56 m2 b) 50 m2 c) 20 m2 d) 9 m2 e) 17 m2

5) (Prova Brasil) Quantas figuras de quatro lados foram desenhadas? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5

6) (SARESP) Para construir uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo, parecida com uma embalagem de pasta dental, o molde a ser utilizado deve ser:


7) (SARESP) Observe os desenhos abaixo, feitos no computador, para indicar caminhos percorridos por um robozinho. O desenho que indica que o robozinho mudou somente duas vezes de direção e em ângulo reto é : a)1 b) 2 c) 3 d) 4

8) (SARESP) Um artista plástico está construindo um painel com ladrilhos decorados. Ele fez um esquema desse painel mostrado na figura e utilizou as formas de:

a) quadrados e hexágonos b) triângulos e quadrados c) triângulos e pentágonos d) triângulos e hexágonos e) quadrados e pentágonos

9) (SARESP) Assinale a alternativa em que os dois sólidos geométricos representados só têm superfícies planas:

10) (SARESP) Observando a superfície das figuras retangulares, podemos dizer que:

a) as figuras A e B têm a mesma área. b) a área de D é menor que a área de E. c) a área de B é maior que a área de A. d) a área de A é menor que a área de D. e) a área de E é a maior das áreas

11) (Canguru Matemático – 2013 – nível I) Com azulejos quadrados e cinzentos, o Tomás fez a construção representada pela figura abaixo. Quantos azulejos, do mesmo tipo, são necessários para preencher o interior da construção?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

12) (Canguru Matemático – 2013 – nível I)


13) (Canguru Matemático – 2013 – nível I) A Luísa cortou um grande pedaço do bolo representado na figura

Qual foi o pedaço que a Luísa cortou?

14) (Canguru Matemático – 2013 – nível I) Que tipo de quadrado aparece mais vezes na figura seguinte?

15) (Canguru Matemático – 2013 – nível I) O Pedro construiu o pódio representado na figura. Quantos cubos foram utilizados por Pedro?

a) 12 b) 18 c) 19 d) 22 e) 24

16) (Canguru Matemático – 2013 – nível II) A Ana tem uma folha de papel com a forma de um quadrado (ver figura):

Ela corta a folha em pedaços da forma . Qual o maior número de pedaços que a Ana pode obter?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17) (Canguru Matemático – 2013 – nível II) Um azulejo descola-se de uma parede e cai.

A Carolina tem três azulejos extras, como o das figuras seguintes:

Qual ou quais dos azulejos se encaixam na parede, de modo a manter o padrão?

a) Apenas o b c) a e b d) b e c c) Apenas o c e) Qualquer um deles


18) (Canguru Matemático – 2013 – nível II) A Joana construiu um grande cubo com 27 pequenos cubos. Depois a Joana retirou um pequeno cubo de quatro cantos do cubo grande, como mostra a figura ao lado. Ela usou este sólido para carimbar várias formas num pedaço de papel. Quantas das seguintes formas pode a Joana obter?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19) (Canguru Matemático – 2013 – nível III) Quantos triângulos existem na figura?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 12

20) (Canguru Matemático – 2013 – nível III) A Ana começa a caminhar a partir da posição da seta e na direção por ela indicada (ver figura). Em cada cruzamento ela vira ou para a direita ou para a esquerda. Primeiro, ela vai para a direita, depois para a esquerda e, em seguida, vira novamente para a esquerda. Depois a Ana vai para a direita e depois para a esquerda e, por fim, vira de novo para a esquerda. A Ana chegou a

21) (Canguru Matemático – 2013 – nível III) Qual das seguintes peças se

encaixa com a peça de maneira a formar um retângulo?

22) (Canguru Matemático – 2013 – nível III) O Francisco uniu os pontos médios dos lados de um triângulo da figura obtendo triângulos menores. Depois repetiu este processo mais uma vez com os triângulos menores. Quantos triângulos do tamanho mais pequeno obteve o Francisco? a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) 32 23) (Canguru Matemático – 2013 – nível Escolar) Na figura está representado um espelho retangular quebrado. Qual das seguintes peças está a faltar na figura anterior?

24) (Canguru Matemático – 2013 – nível Escolar) A Beatriz tem várias peças como a da figura

Qual é o menor número dessas peças que ela precisa para formar um quadrado? a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16


PROVA DE BOLSAS DO OBJETIVO DE MONTE SANTO DE MINAS – 2014 (6º ANO) 1) Num sítio há 10 animais, entre cabras e galinhas. Contei 26 patas ou pés. Quantas são as

cabras? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2) Qual é o produto entre 43 e 102? a) 129 b) 145 c) 516 d) 4300 e) 4386

3) A Escola Nova fez uma excursão com 41 pessoas, entre alunos e professores. Os alunos ficaram em 10 barras com o mesmo número de alunos, e os professores ficaram em uma barraca maior com 8 pessoas a mais do que na barraca dos alunos. Qual é o total de professores que foram na excursão?

a) 4 b) 3 c) 8 d) 10 e) 11

4) (SARESP) Paulo comprou 4 dúzias de lápis de cor para distribuir igualmente entre as 8 crianças de uma creche. Cada criança ganhará quantos lápis:

a) 4 b) 6 c) 12 d) 48 e) 60 5) (SARESP) Fábio comprou um terreno que tem a forma da figura abaixo. A fração que representa a parte do terreno que será usada terreno que será ocupada pela casa é:

a) 5/2 b) 3/2 c) 2/3 d) 2/5 e) 4/5 6) (SARESP) Um sólido geométrico é formado por seis faces quadradas. Esse sólido é: a) um cilindro b) uma pirâmide c) um cubo d) um quadrado e) um hexágono 7) (SARESP) O gráfico abaixo mostra a venda de caixas de papelão de uma fábrica de embalagens no primeiro semestre de 2005.

A diferença entre a quantidade de caixas vendidas nos meses de maior e de menor venda foi de quantas caixas: a) 7065 b) 1271 c) 631 d) 288 e) 521 8) (SARESP) Com o molde abaixo é possível montar a figura:


9) (SIMAVE) Os garotos do time de futebol Águias da Baixada estão escolhendo as cores do uniforme. Veja as opções que eles têm:

Quantos uniformes diferentes eles podem compor? a) 8 b) 6 c) 3 d) 2 e) 7 10) (SIMAVE) Fernanda desenhou sua sala de aula em uma malha quadriculada, reservando um espaço para o “Cantinho da Leitura”. Veja o que ela fez:

O lado de cada quadradinho corresponde a 1 m. A área que corresponde à região cinza é igual a a) 56 m2 b) 50 m2 c) 20 m2 d) 9 m2 e) 17 m2

11) (CEFET-SP) Uma das condições para tornar o roço do palhaço simétrico é desenhar a outra sombrancelha no quadradinho:

b) E3 b) D3 c) F3 d) E6 e) I8

12) (OBMEP) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento da partida e no momento da chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem?

a) 12,5 litros b) 25 litros c) 20 litros d) 40 litros e) 50 litros 13) (SRE-ITAJUBÁ) Qual dos relógios marca 7h15?


14) (SRE-ITAJUBÁ) Observe a reta numérica abaixo.

Qual o valor localizado no ponto J da reta numérica? a) 330 b) 340 c) 350 d) 360 e) 370 15) (SRE-Itajubá) Mário tem as seguintes moedas:

Quando dinheiro ele tem? a) R$ 9,90 b) R$ 10,00 c) R$ 19,00 d) R$ 16,40 16) (Canguru Matemático – 2014) Mônica escreve números na figura ao lado de modo que cada número escrito em cada quadradinho é igual ao produto dos números escritos nos dois quadradinhos abaixo dele, quando houver. Qual número ela deve escrever no quadradinho escuro?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 17) (Canguru Matemático – 2014) Quantas bolinhas pretas há no desenho abaixo?

a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 e) 265 18) (Imenes & Léllis) Qual seria a imagem da pilha de cubos se o espelho não estivesse quebrado?


19) (Álvaro Andrini) Qual das peças abaixo deve ser encaixada neste objeto para que ele fique com a forma de um bloco retangular?

20) (Canguru Matemático – 2014) Um quadrado foi cortado em 4 partes, conforme mostrado na figura:

Qual das figuras a seguir não pode ser montada com essas 4 partes?

QUESTÕES DA SEMANA CULTURAL – MATEMÁTICA – MONTE SANTO DE MINAS - 2014 QUESTÕES TEMÁTICAS: LOCALIZAÇÃO DE INFORMAÇÕES MATEMÁTICAS

1) (SIMAVE) Veja o resultado da eleição para escolha do pássaro-mascote da turma do 6º ano da escola “Sucesso”.

Quantos votos teve cada um dos pássaros que empataram? 2) (SIMAVE) Veja a reta numerada abaixo:

Qual número corresponde ao M? 4) (SIMAVE) Catarina desenho uma reta numérica com intervalos iguais, veja:

Qual número corresponde ao círculo escuro? 5) (SAEP – Palmas – TO) A tabela abaixo mostra as idades de vários alunos

A coordenada do lugar de Elane é E2, e de Carolina é C4. Qual é coordenada de Diego?


6) (SARESP) Observe a representação da sala de reuniões da escola de Mateus:

O pai de Mateus sempre gosta de sentar na última fileira de poltronas que ficam do lado direito de quem entra na sala. Qual é o lado/fila que o pai de Mateus sentará? 7) (SAEP – Palmas – TO) Associe as frações 3/2, 9/2 e 1/2 com os pontos A, B e C:

8) (SAEP – Palmas – TO) Os estudantes de uma escola foram perguntados sobre qual sua matéria preferida e responderam da seguinte maneira:

Qual matéria é a preferida de 25% dos alunos dessa escola? 9) (SAEP – Palmas – TO) Os sapatos nos EUA tem numeração diferente da numeração do Brasil. Observe a tabela de conversão:

Se nos Estados Unidos a pessoa do sexo masculino usa um calçado de número 7, qual é a sua numeração correspondente no Brasil? 10) (SARESP) O senhor Luiz tem uma loja que vende produtos esportivos. Na semana passada, ele pretendia vender as 100 camisetas de time de futebol que possuía. O gráfico mostra o número de camisetas que foram vendidas na loja de Luiz em cada dia da semana passada, de segunda-feira à sexta-feira.

Após a venda de camisetas nesses cinco dias, quantas sobraram?


11) (CAED – MT) Veja abaixo o mapa do bairro onde Pedro Mora:

Qual a coordenada da Igreja no mapa? 12) (CAED – MT) Veja as ruas do bairro de Mariana:

Ela mora numa rua entre as Avenidas A e B e entre as ruas do hospital e da locadora. Em qual rua ela mora? 13) (CAED – MT) Ana fez o desenho de algumas ruas de seu bairro, próximas à sua casa. Localizou sua casa e marcou-a com seu nome. Localizou também a casa de quatro amigas e marcou-as com o nome de cada uma. Veja abaixo o que ela fez:

Qual é a amiga que mora mais próxima dela?

OUTRAS QUESTÕES

14) Qual é o produto entre 452 e 308? 15) Pensei em um número, somei 5, multipliquei por 2, tirei o número que pensei, dividi por 2, deu 10. Em que número eu pensei? 16) Uma escola tem 6 aulas por dia, sendo que a primeira se inicia 7h15. As aulas têm 45 minutos de duração cada, e há um intervalo de 20 minutos entre a 3ª e 4ª aulas. Que horas terminam as aulas nessa escola?


17) Qual é o número que vai no topo da Pirâmide Mágica aditiva?

18) Preciso pegar em uma gaveta no quarto escuro 3 canetas da mesma cor. Na gaveta temos 8 tipos de caneta. Qual é a quantidade mínima de canetas que temos que retirar da gaveta para termos certeza absoluta que pegamos 3 canetas da mesma cor? (Tanto faz a cor) 19) . (XX Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1a fase – 1998) Joãozinho brinca de formar quadrados com palitos de fósforo como na figura a seguir.

A quantidade de palitos necessária para fazer 100 quadrados é ____

20) (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª séries – Prefeitura Municipal de Orlândia-SP/2003) Observe a seqüência:

O número de quadradinhos claros na figura que ocupa a 39ª posição é ___

GABARITO

QUESTÕES TEMÁTICAS: LOCALIZAÇÃO DE INFORMAÇÕES MATEMÁTICAS

7) 3

2= 1

1

2, ou seja, está entre 1 e 2, então 3/2 = C

9

2= 4

1

2,ou seja, está entre 4 e 5, então 9/2 = B

1/2 = A

10) Pegamos 100 e subtraímos os valores, 100-12-8-20-12-16=32 Ou somamos os valores e subtraímos de 100 100-(12+8+20+12+16)=100-68=32

OUTRAS QUESTÕES 14) Qual é o produto entre 452 e 308? Arme a conta e faça 452 x 308, e você terá a resposta! Verifique na calculadora! 15) Pensei em um número, somei 5, multipliquei por 2, tirei o número que pensei, dividi por 2, deu 10. Em que número eu pensei?

(𝑥 + 5).2 − 𝑥

2= 10

2. 𝑥 + 10 − 𝑥

2= 10

𝑥 + 10

2= 10

x+10=20 x=10

16) Uma escola tem 6 aulas por dia, sendo que a primeira se inicia 7h15. As aulas têm 45 minutos de duração cada, e há um intervalo de 20 minutos entre a 3ª e 4ª aulas. Que horas terminam as aulas nessa escola? 1ª aula 7h15-8h 2ª aula 8h-8h45 3ª aula – 8h45-9h30 Intervalo – 9h30-9h50

4ª aula – 9h50-10h35 5ª aula – 10h35 – 11h20 6ª aula - 11h20 – 12h05 Termina 12h05 17) Qual é o número que vai no topo da Pirâmide Mágica aditiva?

18) Preciso pegar em uma gaveta no quarto escuro 3 canetas da mesma cor. Na gaveta temos 8 tipos de caneta. Qual é a quantidade mínima de canetas que temos que retirar da gaveta para termos certeza absoluta que pegamos 3 canetas da mesma cor? (Tanto faz a cor) Esse é o Principio de Dirichilet ou Princípio da Casa dos Pombos, que estudamos na aula da tarde quando eu comecei. Se há 8 tipos de caneta, quando pegarmos 16 canetas, é possível que não tenhamos nenhum “trio” de canetas. A 17ª necessariamente é de uma das duas cores. A resposta é 17. 19) O primeiro quadrado usa 4 palitos, todos os outros usam 3 Então são 4 para o 1º quadrado e 3 para os outros 99 4+3x99=301 20) O 1º quadrado tem 2x2+1 quadrados brancos O 2º quadrado tem 3x3+1 quadrados brancos O 3º quadrado tem 4x4+1 quadrados brancos Portanto, o 39º quadrado tem 40x40+1=1601 quadrados


SIMULADO APLICADO NO 7º ANO 2015 – ESCOLA NOVA Questão 1 Quando os números 8, 3, 5, 0, 1 são arranjados do menor para o maior, o número do meio é: a) 8 b) 3 c) 5 d) 0 Questão 4 Um determinado produto custava R$ 150,00 e obtive um desconto de 20%. Quanto pagarei no produto?

a) R$ 120 b) R$ 130 c) R$ 170 d) R$ 180 Questão 5 De Muzambinho até Monte Santo de Minas a distância é 73,2 km. O prof. Otávio já percorreu 22,1 km. Quantos metros falta para chegar em Monte Santo?

a) 51,1 b) 511 c) 5110 d) 51100 Questão 6 Um pequeno supermercado possui três geladeiras e queria saber o total de queijo mussarela estocado, e, obteve os seguintes valores:

Geladeira 1 2,25 kg

Geladeira 2 5.000 g

Geladeira 3 0,4 kg

Qual é o total de mussarela em estoque? a) 3,15 kg b) 7,65 kg c) 11,25 kg d) 5002,65 g Questão 7 Resolva a soma algébrica -3+4-1+6-4-2+1-6 a) -9 b) -5 c) 5 d) 9 Questão 8

Resolva a soma algébrica −2

3+

1

4

a) 5/12 b) -5/12 c) 11/12 d) 3/7 Questão 9 Veja a movimentação em conta bancária

Dia do Mês Operação Valor SALDO

Saldo anterior R$ 1100

02 D Saque na boca do caixa R$ 300 R$ 800

02 D Cheque compensado R$ 100 R$ 700

02 D Débito Automático Luz R$ 100 ???

03 D Débito Automático Telefone R$ 300 ???

03 D Compras Cartão de Débito R$ 600 ???

05 D Saque no caixa eletrônico R$ 700 ???

06 C Recebimento de Salários R$ 1.200 ???

07 D Taxas bancárias e Juros R$ 100 ???

08 D Cheque compensado R$ 100 ???

10 D Pagamento Boletos R$ 700 ???

11 C Depósito na boca do Caixa R$ 400 ???

Qual era o saldo no dia 11? a) R$ 300,00 de crédito (dinheiro positivo) b) R$ 300,00 de débito (devendo) c) R$ 1.200,00 de crédito (dinheiro positivo) d) R$ 100,00 de débito (devendo) Questão 10 Veja parte de uma tabela de campeonato (há mais times no campeonato):

Time Gols Pró Gols Contra Saldo de Gols

Flarinthians 14 7 ???

Comengo 13 12 ???

Palminense ??? 10 -9

Flumeiras ??? 10 5

Dos quatro times, qual deles fez o maior número de gols? a) Flarinthians b) Comengo c) Palminense d) Flumeiras


TESTES 1. (Olimpíada de Matemática de Escola Pública do Ceará – 5ª série – 2003) Quando um número é dividido por 7, obtemos quociente 4 e resto 6. Qual é o número?

a) 17 b) 168 c) 34 d) 31 e) 46

2.(Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) O quociente e o resto de 99835 são respectivamente: a) 17 e 28 b) 28 e 18 c) 35 e 5 d) 29 e 1 4. (Olimpíada de Matemática de Escola Pública do Ceará – 5ª série – 2003) O valor de 987+113-1000 é: a) 90 b) 10 c) 110 d) 2000 e) 100 (Olimpíada de Matemática de Escola Pública do Ceará – 5ª e 8a séries – 2003) A tabela mostra o desempenho das seleções do grupo A da Copa do Mundo de 2002:

Seleção Jogos V E D P

Dinamarca 3 2 1 0 7

Senegal 3 1 2 0 ?

Uruguai 3 0 2 1 2

França 3 0 1 2 1

Legenda: V – vitórias, E- empates, D – derrotas, P – Pontos. Numa partida de futebol, a equipe vencedora ganha 3 pontos (a perdedora não ganha nada) e em caso de empate as duas ganham 1 ponto. 5. Quantos pontos obteve a seleção de Senegal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 6. Quantos gols sofreu a seleção do Uruguai. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7. (Olimpíada de Matemática de Escola Pública do Ceará – 5ª série – 2003) Calcule o valor de □ sabendo que 7X□=84. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 54 8. (Olimpíada de Matemática de Escola Pública do Ceará – 5ª série – 2003) Um televisor pode ser comprado à vista por R$ 408,00, ou a prazo, em três pagamentos de R$ 142,00 cada um. Comprando a prazo vou pagar quantos reais a mais do que se comprasse a vista? a) R$ 14,00 b) R$ 16,00 c) R$ 18,00 d) R$ 28,00 e) R$ 30,00 9. (Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diurno) As bombas de combustível dos postos de serviço têm um contador que vai acumulando o local de litros vendidos. Veja os totais acumulados por dia em cada bomba do Posto do Pedro.

1ª bomba 2ª bomba

Litros 15 635 10 215

Se o Posto do Pedro vender todos os dias a mesma quantidade, em quantos dias ele venderá 103400 litros? a) 6 dias b) 5 dias c) 4 dias d) 3 dias 10. (Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diurno) Em um jogo os participantes vão recebendo fichas de diferentes valores. Em uma partida, Clara recebeu 5 fichas de 2 pontos cada uma, 4 fichas de 3 pontos cada uma e 3 fichas de 5 pontos cada uma. Se o vencedor é o primeiro a completar 40 pontos, Clara: a) perdeu, pois ficaram faltando 4 pontos. b) perdeu, pois ficaram faltando 3 pontos. c) perdeu, pois ficaram faltando 3 pontos. d) venceu com 1 ponto a mais que o necessário. 11. (Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diurno) A tabela incompleta, apresentada abaixo, deveria mostrar o número de crianças vacinadas em um dia, num Posto de Saúde. Complete-a, sabendo que 10 crianças receberam vacina contra sarampo; tomaram vacina Sabin 2 crianças a mais que as vacinadas contra sarampo; o número de crianças vacinadas contra gripe foi o dobro das crianças vacinadas contra sarampo; foi vacinada contra tuberculose metade do número de crianças que tomaram vacina contra sarampo.

Vacina Sabin Sarampo Gripe Tuberculose

Número de crianças 10

Se todas crianças receberam uma ÚNICA vacina, o total de crianças vacinadas nesse dia foi: a) 47 b) 46 c) 45 d) 37


12. (Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diúrno) A tabela abaixo representa o número de torcedores presentes a um jogo de Corinthians x Palmeiras.

Número de torcedores Corinthians Palmeiras

Homens 1200 1000

Mulheres 800 700

Crianças 150 250

O número de torcedores nesse jogo foi: a) 4100 b) 4000 c) 2150 d) 1950

ATIVIDADES ESPECIAIS DE COMPLEMENTAÇÃO TEMÁTICA (Assuntos Diversos) 1) Escreva a expressão numérica correspondente às frases:

a) a soma dos quadrados de 4 e de 5 __________________________ b) o quadrado da soma de 4 e de 5 ___________________________ c) a soma dos dobros de 4 e de 5 __________________________ d) o dobro da soma de 4 e de 5___________________________ e) o triplo da soma da raiz quadrada de 6 com o cubo de 4______________ 2) Quanto é? a) o produto de 3 e 2?__________ b) o produto de 5 e 7?_______ c) a diferença de 5 e 1?__________ d) a soma de 8 e 7?________ e) o quociente de 12 e 4?________ f) o cubo de 5?________ 3) Você vai fazer uma lista

a) dos múltiplos de 9 __________________________________________ Quais são menores que 50?_______________________________________

b) dos múltiplos de 6__________________________________________ Escreva os maiores que 20 _____________________________________

c) dos múltiplos de 10______________________________________ Quais estão entre 12 e 50?___________________________________

d) dos múltiplos de 14_____________________________________ Quais estão entre 40 e 90?__________________________________ 4) Adivinhe um número que:

* é múltiplo de 8; e * é menor que 30 e 40

5) Escreva quais números respeitam as seguintes Leis: a) 2 x 5_______________ b) 3 x 5__________________ c) 5<x<9_________________ d) 7 x 10__________________ e) 6<x 10________________ f) 6 x<10___________________ g) 6<x<10________________ h) 6 x 10__________________ i) 5<x<6__________________ j) 5 x 5____________________ BRINCADEIRINHA: O pai do padre é filho único do meu pai. O que eu sou do padre? ________________________________ 6) Lembra do Princípio das Gavetas de Dirichilet (ou Princípio da Casa dos Pombos)? Então resolva:

a) Eu tenho uma gaveta com meias de 5 cores. Quantas meias eu tenho que tirar, no mínimo, para ter certeza que eu peguei um par de meias da mesma cor? _____________

b) E se na gaveta tivessem 8 cores de meia?_________ c) No 6º ano da Escola Nova de Monte Santo eu posso afirmar com certeza que dois alunos fazem

aniversário no mesmo mês?________________ d) Qual é o mínimo de alunos que eu preciso para ter certeza absoluta que dois fazem aniversário

no mesmo mês?_____________ e) E para ter certeza que fazem aniversário no mesmo dia?_________


7) Escreva os dois próximos números da sequência:

8)Os números acima são números triangulares. Os números quadrados são 1, 4, 9, 16, etc... Escreva os cinco primeiros números quadrados. 9)Em um campeonato todos times jogam contra todos times apenas uma vez. Quantos jogos serão se tiverem: a) 3 times ? _______________ b) 4 times?________________ c) 2 times?_______________ d) 5 times?________________ e) 6 times?_______________ f) 7 times?________________ 10) Calcule a soma dos números: a) 1+2=______ b) 1+2+3=_____ c) 1+2+3+4=________ d) 1+2+3+4+5=_________ e) 1+2+3+4+5+6=__________ 11) Calcule como fez Gauss: a) 1+2+3+4+....+197+198+199+200 b) 1+2+3+4+....+145+146+147+148 12) Calcule a soma dos números ímpares: a) 1+3=______ b) 1+3+5=_____ c) 1+3+5+7=_______ d) 1+3+5+7+9=__________ e) 1+3+5+7+9+11=___________ 13) Relembre os exercícios anteriores e faça: a) Q1+T2=_____ b) Q2+T3=____ c) Q3+T4=____ 14) Você consegue representar o exercício acima com um desenho? Faça.


15) Complete as pirâmides mágicas:

16) Resolva os problemas pelo método da tentativa e erro. Escreva os “chutes” que você deu e

verifique a resposta: a) Tenho 8 animais entre cabras e galinhas. São um total de 20 patas ou pés. Quantas são as cabras e quantas são as galinhas? b)Tenho 13 automóveis entre carros e motos. São 32 rodas. Quantos são os carros e quantas são as motos? 17) Veja a figura:

Fonte: http://www.panoramadaaquicultura.com.br/novosite/?p=1982

a) Juntas, quantas toneladas as regiões Sudeste e Sul produzem de produtos da aquicultura?____________

b) Juntas, quantos % da aquicultura é produzida pelas regiões Norte e Centro- Oeste?___________

c) Em quais regiões se produzem pintados?_____________ d) Qual a diferença % de produção entre a região que mais produz e a que menos produz?

________

http://www.panoramadaaquicultura.com.br/novosite/?p=1982

http://www.panoramadaaquicultura.com.br/novosite/?p=1982


SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO

O Sistema de Numeração Romano, que todos conhecemos, também é decimal e posicional, mas, ele é representado pela

repetição de elementos e por regras de justaposição de algarismos, e não pela multiplicação por potências de 10 dependendo da posição

do número. É um sistema restrito, que não permite escrever números muito grandes.

Vamos relembrá-lo, com alguns exemplos

I – um

II – dois

III – três

IV – quatro

V – cinco

VI – seis

VII – sete

VIII – oito

IX – nove

X – dez

XI – onze

XII – doze

XIII – treze

XIV – catorze

XV – quinze

XX – vinte

XXI – vinte e um

XXVI – vinte e seis

XXX – trinta

XXXIX – trinta e

nove

XL – quarenta

L – cinqüenta

LX – sessenta

LXVII – sessenta e

sete

LXX – setenta

LXXX – oitenta

XC – noventa

C – cem

CI – cento e um CV

– cento e cinco

CXX – cento e

vinte

CXLVIII – cento e

quarenta e oito

CC – duzentos

CCC – trezentos

CD – quatrocentos

D – quinhentos

DC – seiscentos

DCC – setecentos

DCCC – oitocentos

CM – novecentos

M – mil

MCC – mil e

duzentos

MCCVII – mil

duzentos e sete

MM – dois mil

MMM – três mil

É interessante observar que não existe algarismo romano para representar o número zero, o que é uma grande inconveniência.

A partir de 3.999, escrevemos os numerais colocando traços em cima do que queremos dizer que vale mil vezes.

Ex: 5.742, escrevemos DCCXLIIV . 134.526, escrevemos DXXVICXXXIV . 12.534.222, escrevemos

CCXXIIDXXIVXII .

Com certeza, um sistema complexo e de difícil uso. Experimente fazer uma divisão com algarismos romanos.

Até 1.300, os algarismos indo arábicos foram proibidos em muitas cidades e países da Europa, sob o argumento que estes eram

fáceis de falsificar. O uso de algarismos romanos durou até cerca o século XVII em algumas escolas, e até meados do século XVIII em

escritas contábeis.

É importante observar que a escrita de numerais romanos foi alterada no curso de sua história. Por exemplo, inicialmente o

número 1000 era escrito como | , e repetíamos até 4 vezes o número, sendo, por exemplo IIII o símbolo de 4, VIIII o símbolo de 9,

XXXX o símbolo de 40, etc...Mais informações sobre isto e sobre a origem dos símbolos romanos você encontrará nas referências que

damos.

1) Escreva em números romanos: a) 7 _____ b) 9 _____ c) 13 _____ d) 28 _____ e) 36 _____ f) 35 _____ g) 40 _____ h) 42 _____ i) 44 _____ j) 50 _____ k) 52 _____ l) 56 _____ m) 68 _____ n) 75 _____ o) 82 _____ p) 91 _____ q) 100 _____ r) 108 _____ s) 143 _____ t) 199 _____ u) 252 _____ v) 574 _____ w) 688 _____ x) 794 _____ y) 1.252 _____ 2) Escreva o ano que você nasceu em algarismos romanos. 3) Represente em algarismos hindo-arábicos: a) XI b) IX c) VIII d) XVII e) XIX f) XX g) XXIV h) XXVI i) XXVI j) XXXIV k) XL l) LX m) XLIII n) LXIX m) XLIX n) LXXIII o) XCIII p) XCIX q) CX r) CXC s) CCLXV t) DC u) DCXVII v) DCLXVI w) CDXLIV 4. Que ano é o de MCMXXXII?


EXERCÍCIOS

1. Escreva em algarismos romanos:

a) 72 b) 512 c) 1.523 d) 2.004 e) 5.122

f) 122.511 g) 5.125.235

2. Escreva em algarismos indo-arábicos:

a) LII b) XLVII c) LXXVII d) MCMLXIII

e) DCCXXXIX f) DCCLXX g) XLVIIXV h) XXXVIIIDXI i) DLXIVCCCXI


3. Efetue a soma DCXVIII + MCMLXXVIII

4. No alto de uma casa estava escrito o número MDCCCXCVIII. Em que ano esta casa provavelmente foi

construída?

5. (Exame de Seleção Cotil/Unicamp-2002) De acordo com as informações do quadro abaixo, escreva os

séculos correspondentes, utilizando algarismos romanos.

Navegante Feito Época Século

Cristóvão Colombo Descoberta do continente americano 1488

Vasco da Gama Descoberta do caminho marítimo

para as Índias

1498

Pedro Álvares

Cabral

Descoberta do Brasil 1500

Fernão de

Magalhães

Descoberta das Filipinas 1521

6. (Exame de Seleção do Centro Estadual de Educação Paula Souza – Ensino Médio – SP/1º 2001) Observe

a tabela abaixo:

ANO FATO SÉCULO

1445 Invenção da tipografia por Gutenberg

1876 Invenção do Telefone por Graham Bell

1957 Sputinik: 1º satélite colocado em órbita da Terra

pelos russos

Os séculos correspondetes a cada uma dessas datas são, respectivamente:

a) XV, XIX e XX b) XIV, XVII e XVIII c) XIV, XX e XXI

d) XIII, XX e XXI e) XIII, XVI E XX

7. (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª séries – Prefeitura Municipal de Sertãozinho-SP/2002) 46.

Durante a Idade Média, na Europa a multiplicação e a divisão de números naturais eram tidas como operações

extremamente complicadas e dominadas apenas no nível universitário, por poucas pessoas tidas como sábias.

Nessa época, essa dificuldade se devia ao fato de que

a) o Sistema de Numeração Decimal, como hoje o conhecemos, ainda não era do conhecimento dos europeus.

b) os europeus realizavam essas operações no sistema de numeração romana.

c) o ábaco era bastante difundido na Europa, impedindo o desenvolvimento do algoritmo usual atual.

d) os europeus não tinham necessidade de fazer multiplicações ou divisões para resolver problemas de seu

cotidiano.

e) os sábios que dominavam os procedimentos operatórios não os divulgavam, por desacreditarem da capacidade

das demais pessoas em aprendê-los.


SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO

O Sistema de numeração egípcio também é decimal, porém, é feito com a justaposição repetida de numerais. Não é um sistema

posicional. Não importa a ordem como foram colocados, os símbolos representa a mesma idéia.

Um dos mais antigo vestígio de número da humanidade são gravações de numerais egípcios em um cetro real de 3400 aC,

quando o rei Menes unificou o Baixo e o Alto Egito. Os números do cetro representavam as conquistas da guerra: 120.000 prisioneiros,

400.000 cabeças de gado e 1.422.000 cabras.

Vejam os algarismos egípcios:

bastão vertical Unidade (1)

Calcanhar ou arco ou ferradura Dezena (10)

Rolo de pergaminho, espiral, cadeia ou

pedaço de corda enrolada Centena (100)

Flor de lótus Unidade de Milhar (1.000)

Dedo apontado ou encurvado Dezena de Milhar (10.000)

Girino ou barboto (peixe) Centena de Milhar (100.000)

Homem espantado com os braços esticados ou

A figura da deidade cósmica Deus do sem-fim. Unidade de Milhão (1.000.000)

Os algarismos egípcios se escreviam por justaposição.

(Mapa do Egito retirado do livro de História da Matemática de Howard Eves)


Vejam os números até 20:

Outros exemplos

45 (quarenta e cinco)

242 (duzentos e quarenta e dois)

1803 (mil oitocentos e três)

Note que 245 pode ser escrito de várias outras formas, nada interferindo a posição:

,

ou

Em nosso sistema de numeração, é evidentemente diferente escrever 245 e 452 ou 524. Mas no sistema egípcio a ordem não

altera o sentido do número.

Os egípcios não tinham sinal para o zero, da mesma forma que os romanos.

No antigo Egito existiam três tipos de linguagem escrita: o hieroglífico (usada em monumentos de pedra, madeira ou metal, a

forma mais bela de escrita já conhecida), o hierático (escrita religiosa ou sacerdotal, mais arredondada, que surgiu do uso mais rápido

da pena de escrever de caniço dos escribas) e o demótico (versão popular e abreviada do hierático). A escrita que estudamos aqui é a

hieroglífica. As presentes nas grandes pirâmides do Egito e nos monumentos dos reis.

A numeração hierática e demótica, surgidas por volta do século VIII a.C., eram pouco diferentes entre si, sendo a escrita

demótica um pouco mais simples. Abaixo, passamos uma tabela, com o sistema de numeração hierático comparado ao hieroglífico.

Do livro Números e Numerais, da coleção Tópicos de História da Matemática para Uso em Sala de Aula,

Os egípcios também conheciam frações. Todas de numerador 1 (exceção: 2/3). O estudo das frações egípcias é um dos mais

encantadores da história da Matemática. Elas estão presentes no mais importante documento da antiguidade, com problemas

Matemáticos, o Papiro de Rhind, que estudaremos em frente.


EXERCÍCIOS

1. Escreva em algarismos egípcios, os números encontrados no cetro do rei Menos: 120.000 prisioneiros, 400.000 cabeças de

gado e 1.422.000 cabras.

2. Escreva em algarismos egípcios:

a) 526 b) 111 c) 526 d) 1252 e) 10523

f) 1005 g) 52342 h) 152334 i) 5123456


a) b)

c) d)

SISTEMA DE NUMERAÇÃO BABILÔNICO

(Mapa da Mesopotâmia retirado do livro de História da Matemática de Howard Eves)

Babilônia é a capital da Mesopotâmia, uma das mais importantes civilizações da antiguidade, localizada entre os rios Tigre e

Eufrates. Mesopotâmia (meso = meio, potamus = rio). Atualmente, Iraque.

O sistema de numeração babilônico, desenvolvido aproximadamente 2000 anos antes de Cristo não era decimal, era

sexagesimal (base 60), usando-se o sistema decimal para representações de 1 à 60. E também era um sistema posicional (como o romano

e o indo-arábico). Neste sistema não existia sinal para o zero, o que gerava muita confusão.

Os números eram escritos em tábuas de argila, usando-se um estilo com ponta triangular que fazia figuras no formato de cunhas

(caracteres cuneiformes).

Para se escrever até 9 usavam-se cunhas da seguinte forma.


O dez era representado por uma cunha na horizontal: .

Números entre 11 e 59 eram escritos misturando cunhas horizontais e verticais.

Ex:

38 (trinta e oito)

55 (cinqüenta e cinco)

Para escrever números maiores que 60, usava-se cunhas verticais antes das cunhas horizontais, separados por um espaço.

Ex:

1x60 + 3

63 (sessenta e três)

1x60 + 15

75 (setenta e cinco)

1x60 + 24

104 (cento e quatro)

3x60 + 19

199 (cento e noventa e nove)

13x60 + 44

824 (oitocentos e vinte e quatro)

Quando chegava-se em 3600, pulava-se mais um espaço. Ex:

1x3600 + 48x60 + 42

6522 (seis mil, quinhentos e vinte e

dois)

Em textos mais recentes (período selêucida, nos últimos 3 séculos antes de Cristo), usou-se o símbolo para separar os

números. Fica evidente que escrever para representar 63 é uma forma mais simples do que se não usarmos os

separadores.

É claro que este sistema é muito confuso por não ter o número zero. Como se escreveria 60? A escrita do número 60 era

idêntica ao do número 6, e isto gerou muitos problemas.

O número , portanto, podia representar 1, 60 ou 3600. Ou seja, um sistema confuso. (Além disto, também poderia

representar frações como 1/60 e 1/3600). Isto pela inexistência do número zero.


EXERCÍCIOS

1. Escreva em algarismos babilônicos:

a) 43 b) 72 c) 89 d) 115 e) 125

f) 162 g) 192 h) 252 i) 722 j) 915

l) 1523 m) 2222 n) 5234 o)21523 p) 55135


a) b) c)

d) e)

3. Escreva os números 1, 60 e 3600 e fale das desvantagens do sistema de numeração babilônico.

4. (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª séries e Ensino Médio– SESI-SP/2004) Os sumérios, segundo George Ifrah, em seu

livro Os números, por volta de 3300 a.C. usavam os seguintes símbolos para números:

- um pequeno cone para representar a unidade

- a bolinha marcando a dezena

- um grande cone das sessenta unidades

- um grande cone perfurado vale 600 unidades

- uma esfera equivale a 3600 unidades

- uma esfera perfurada representa 36 000 unidades

Por volta do ano de 2 650 a.C. foi proposto na escola de formação de escribas e contadores, o seguinte problema: “Um granel de cevada

foi repartido entre diversos homens e cada qual recebeu 7 silas de cevada. Quantos eram os homens?” O granel equivale a 1 152 000

silas.

Para resolver o problema é necessário efetuar uma divisão, que os sumérios faziam pelo sistema de trocas porque o cálculo escrito ainda

não era utilizado.

Como os sumérios representariam o número de homens, resultado correto para o problema?

a) 6 bolinhas, 2 grandes cones, 4 cones perfurados, 6 esferas, 4 esferas perfuradas.

b) 2 pequenos cones, 4 bolinhas, 2 grandes cones, 3 cones perfurados, 4 esferas, 5 esferas perfuradas.

c) 1 pequeno cone, 5 bolinhas, 5 grandes cones, 4 cones perfurados, 5 esferas, 4 esferas perfuradas.

d) 1 pequeno cone, 6 bolinhas, 2 grandes cones, 3 cones perfurados, 5 esferas, 3 esferas perfuradas.

e) 3 pequeno cone, 4 bolinhas, 2 grandes cones, 5 cones perfurados, 5 esferas, 4 esferas perfuradas.


5. (ENCCEJA – Ensino Médio – 2002) A civilização babilônica viveu na Mesopotâmia há cerca de 6000 anos. Os estudiosos

encontraram documentos dessa civilização feitos em tijolos relativamente finos de argila. A escrita era feita com uma espécie de estilete

nos tijolos ainda úmidos. Os traços dessa escrita tinham o formato de cunha e por isso a escrita dos babilônios é chamada cuneiforme.

Os arqueólogos descobriram tabletes babilônicos datados provavelmente de 1800 antes deCristo, onde apareceram as seqüências

numéricas:

1, 3, 9, 27, 81,...

1, 4, 16, 64,...

(Adaptado de CARVALHO, M. C. Padrões Numéricos e Seqüências. São Paulo. Editora Moderna. 1997)

As seqüências descobertas mostram que os babilônios já trabalhavam naquela época com seqüências de números que mostram a

seguinte regra de formação: cada número da seqüência pode ser obtido

(A) a partir do segundo,somando ao anterior um mesmo número.

(B) a partir do segundo, multiplicando o anterior por um mesmo número.

(C) a partir do quarto, somando ao anterior um mesmo número.

(D) a partir do terceiro, multiplicando o anterior por um mesmo número.

SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA

“Esquecemos, a todo instante, os prodígios que o zero realiza no campo da Numeração”

Lancelot Hogben

Muito superior ao sistema babilônico, egípcio e romano, a civilização maia, que vivia na península do Yucatan (atual México),

no século IV d.C., desenvolveu um sistema de numeração posicional, vigesimal (base 20) e com símbolo especial para o zero.

Os maias tinham dois tipos de escrita, a hieroglífica maia, com “símbolos de cabeça” para os números de 0 a 13, e os números

de 14 a 19 formados pela união da madíbula inferior de um símbolo de caveira para o 10 a um dos símbolos do 4 ao 9; e a escrita mais

comum, popular.

Esta escrita popular, que vamos ver sua estrutura facilitava cálculos aritméticos (inclusive a divisão) e servia para o comércio

e para a contagem do tempo. (É importante observar que os maias usavam dois tipos de numeração, uma para contagem do tempo, em

seu ano de 365 dias, e outra para fins comerciais. Na numeração para o tempo, chamada de contagem calendar, a terceira posição vale

360, e não 400, como deveria valer, e, a quarta posição 7200, ao invés de 8000, portanto, um símbolo poderia representar dois números

diferentes, dependendo do contexto em que tivesse inserido).

Até 20, os números eram escritos da seguinte maneira, usando-se ponto (seixo) e a barra (vareta ou bastão):

Para números maiores que 20 são necessárias mais de 1 posição. E para o número 20 os maias usavam um concha (ou mão

fechada).

Alguns livros usam o símbolo para representar o zero da numeração maia.

Veja os números:

(Gravura do livro “Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula – Números e Numerais”)

Na notação comum, os números acima representam 13, 151, 400 e 8002. Em notação calendar, os dois últimos números são

360 e 7202.


EXERCÍCIOS

1. Escreva em algarismos maias:

a) 52 b) 45 c) 87 d) 135

e) 451 f) 525 g) 923 h) 1025

i) 9123 j) 65323


a) b) c) d) e) f)

Apostila 7 c 1 bim v2

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