Apostila completa

ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA

SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS www.pme.poli.usp.br/sisea

PPMMEE –– 22336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrêênncciiaa ddee CCaalloorr

Prof. Dr. José R Simões Moreira

2o semestre/2008 versão 1.1

Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor

____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização ago/2008

2

APRESENTAÇÃO

Este trabalho são Notas de Aula da disciplina de Processos de Transferência de Calor que faz parte da grade curricular dos alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Witt. Também foram utilizados outros livros-texto sobre o assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o caso do “Transferência de Calor” de Holman. O objetivo deste material é servir como um roteiro de estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais completo e deve ser consultado e estudado.



3

AULA 1 - APRESENTAÇÃO 1.1. INTRODUÇÃO Diferenças básicas entre as disciplinas de Termodinâmica x e Processos de Transferência de Calor (Tanscal). A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é baseada em três leis fundamentais:

- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – princípio de medida de temperatura e escala de temperatura)

- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) - Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de conversão de uma forma de energia em outra”)

Alguns exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: (a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Suponha fG TT <

inicial final Que análises podem ser realizadas, de acordo com as duas disciplinas: Termodinâmica: TmcUQT ∆=∆= - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico – APENAS ISTO! Transferência de calor: responde outras questões importantes no âmbito da engenharia, tais como: quanto tempo ( )t∆ levará para que o novo equilíbrio térmico, ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou aumentar) esse tempo?

frasco

ambientef TT = Gf TT =

t∆



4

Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do tempo para que o estado de

equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja atingido ?)( t∆ ,

embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para que o novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a transferência de calor vai permitir estimar o tempo t∆ , bem como definir em quais parâmetros podemos interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode ser interna a um corpo ou na superfície de contato entre uma superfície e outro corpo ou sistema (fluido).

(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor

TERMIDINÂMICA: cec qqw −= : não permite dimensionar os equipamentos

(tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, como o COP:

c

e

w

qCOP =

TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: - Qual o tamanho do evaporador / condensador? - Qual o diâmetro e ocomprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras questões semelhantes.

Problema chave da transferência de calor: O conhecimento do fluxo de calor O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: - Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.;

cw

cq

eq

compressor válvula

condensador

evaporador



5

- Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de circuitos de refrigeração; - Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, etc. 1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e radiação térmica. Abaixo descreve-se cada um dos mecanismos.

(a) Condução de calor - Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para as menos energéticas. - Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)

dx

dTAq

x α

onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq

T : temperatura A constante de proporcionalidade α é a condutividade ou condutibilidade térmica do material, k, ou seja:

dx

dTkAqx =

As unidades no SI das grandezas envolvidas são:

[x

q ] = W ,

[ A ] = 2m ,

[T ] = K ou Co ,

[ x ] = m .

assim, as unidades de k são: [ k ] = Cm

Wo

⋅ ou

Km

W

⋅

2T1T . .

x

sólido

xq



6

Necessidade do valor de (-) na expressão Dada a seguinte distribuição de temperatura: Para 12 TT >

T2

T1

T∆

x∆

T

xx1 x2

0<xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,

portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)

Além disso, do esquema; 00

0>

∆

∆

>∆

>∆

x

T

x

T, daí tem-se que o gradiente também será

positivo, isto é:

0>dx

dT mas como 0>k (sempre), e 0>A (sempre), concluí-se que,

então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de Fourier) para manter a convenção de que 0>xq

Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT > , conforme próximo esquema, a equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)

xq

, de forma que a Lei da Condução de Calor é: Lei de Fourier (1822)

dx

dTkAq

x−=



7

(b) Convecção de Calor A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)

)( ∞− TTAq Sα

, onde a proporcionalidade α é dada pelo coeficiente de transferência de calor por

convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que:

onde: A : Área de troca de calor;

ST : Temperatura da superfície;

∞T : Temperatura do fluido ao longe. - O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato (área, rugosidade, etc), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades, etc. (c) Radiação Térmica A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e Boltzmann, de forma teórica (1884). Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica

(para um corpo negro)

−σ constante de Stefan – Boltzmann (5,669.10-8 W/m2 K4)

Corpos reais (cinzentos) 4ATq εσ= , onde ε é a emissividade que é sempre 1≤

Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas

ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é que existe vida na Terra devido ao calor da irradiação solar que atinge nosso planeta.

)( ∞−= TThAq S

4ATq σ=


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8

AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR

CONDUÇÃO DE CALOR

Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k

Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente

proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:

x

Tkq

∂

∂Α−= , onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a

condutividade térmica do material.

As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:

[ ] [ ]

[ ][ ][ ]x

TA

qk = ⇒ [ ]

m

Cm

Wk

o2

= ⇒ [ ]Cm

Wk

o⋅= ou

Km

W

.

Sendo:

k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma

experimental.

Exemplo de experimento laboratorial para obtenção da condutividade k

q

A


____________________________


9

No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica

enrolada em torno da base da haste. O calor gerado por efeito joule é conduzido dentro

da haste para fora (lado direito). Mediante a instalação de sensores de temperatura

(termopares), pode-se levantar o perfil da distribuição de temperaturas como aquele

indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil seria linear, como vai se ver

adiante mas, no entanto, a fim de ilustrar o procedimento ilustrou-se um perfil qualquer

de temperaturas. De forma que, o gradiente de temperatura pode ser medido a partir do

gráfico, ou seja αtgx

T=

∂

∂. Por outro lado, o fluxo de calor é a própria potência elétrica

fornecida à resistência elétrica, isto é, IUIRq ×=×= 2 . Sendo a seção transversal A

conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade térmica do material da

haste, k.

Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é

diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os

mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico.

Gases

O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais

energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a

temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento

molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica

(fluido) se movimenta. Pode-se mostrar que.

Tk α

Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados

tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão,

desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico.

Líquidos

Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos

líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais

complexa devido à menor mobilidade das moléculas.


____________________________


10

Sólidos

Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos:

vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais

efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons

condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de

calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.

O gráfico abaixo ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutibilidade

térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutibilidade aumento de gases, para

líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.

Fonte: Incropera e De Witt (2002)

EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS

Balanço de energia

em um volume de

controle elementar

interna. energia

de ntoarmazename de Taxa

gerado;calor de taxa

−

−

ar

g

E

E

&

&


____________________________


11

BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI)

Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de

calor calor de variação calor que

que entra no + gerada = da energia + deixa o

que V.C. no V.C. interna no V.C. V.C.

(I) (II) (III) (IV)

Sejam os termos:

(I) Fluxo de calor que entra no V.C.

Direção x

x

TdAk

x

Tdzdykq xxx

∂

∂=

∂

∂⋅⋅−= -

Direção y

y

Tdzdxkq yy

∂

∂⋅⋅−=

ykqyy−= Direção zy

kqzz−=

(II) Taxa de calor gerado

dz '''

G ⋅⋅⋅= dydxqEG&

onde: '''

Gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume. ( )3m

W

(III) Taxa temporal de variação da energia interna

t

Tcdzdydx

t

um

t

UEar

∂

∂⋅=

∂

∂=

∂

∂=

ρ&

onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e ρ a densidade. CkgkJ o/

(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor:

Direção x

xxqqxxdxx =+ )(0 2dxdx

x

qqq x

xdxx +∂

∂+=+

Direção y

⋅⋅⋅+∂

∂+=+ dy

y

qqq

y

ydyy

z

Tdydxkq zz

∂

∂⋅⋅−=


____________________________


12

Direção z

⋅⋅⋅+∂

∂+=+ dz

z

qqq z

zdzz

Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:

dzz

qqdy

y

qqdx

x

qq

t

Tcdxdydzdxdydzqqqq z

z

y

yx

xGzyx∂

∂++

∂

∂++

∂

∂++

∂

∂=+++ ρ '''

+ ordem superior

simplificando os termos zyx qqq e , , vem:

, ''' dzz

qdy

y

qdx

x

q

t

Tcdxdydzdxdydzq zyx

G∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= ρ

e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor qx, qy e qz, vem:

dxdydzkz

dxdydzky

dxdydzkxt

Tcdxdydzdxdydzq zyxG

z

T

y

T

x

T '''

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂= ρ

Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente:

Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica

para a mesma. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da

geometria do problema, do tipo (regime permanente) e das condições iniciais e de

contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,,( tzyxTT = . A seguir

são apresentados alguns casos básicos.

Casos:

A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe de T)

kkkk zyx ===

t

T

k

q

z

T

y

T

x

T g

T

∂

∂=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∇

α

1'''

2

2

2

2

2

2

2

444 3444 21

t

T

z

T

y

T

x

T "'

∂

∂=+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂cqk

zk

yk

xGzyx ρ


____________________________


13

onde, α = c

k

ρ

α = difusibilidade ou difusividade térmica.

Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:

onde:

2

2

2

2

2

22

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ é o operador matemático chamado de Laplaciano no

sistema cartesiano de coordenadas.

Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois,

embora ela tenha sido deduzida para o sistema cartesiano de coordenadas, ela é

independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em usar outros

sistemas de coordenadas, basta substituir o Laplaciano do sistema de interesse, como

exemplificado abaixo,

- Cilíndrico: 2

2

2

2

2

2 11

zrrr

rr ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∇

φ

- Esférico: 2

2

222

2

2

2 sen

1 sen

sen

11

φθθθ

θθ ∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∇

rrrr

rr

B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' =Gq

(Eq. de Fourier)

C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0=∂

∂

t

T

(Eq. de Poisson)

D) Regime permanente (ou estacionário) e k constante e uniforme

(Eq. de Laplace)

t

T

k

qT G

∂

∂=+∇

α

1'''

2

12

t

TT

∂

∂=∇

α

0'''

2 =+∇k

qT G

02 =∇ T


____________________________


14

AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SER GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA

O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o

caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e

propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado

na figura abaixo onde uma parede de espessura L, cuja face esquerda é mantida a uma

temperatura T1 enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se

imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de

temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da

parede é linear.

Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida

na aula anterior, isto é:

t

T

k

qT G

∂∂

=+∇α1

'''2

Introduzindo as simplificações do problema, vem:

i. Não há geração interna de calor: 0=′′′⇒ Gq

ii. Regime permanente: 0=∂

∂⇒

t

T

iii. Unidimensional: ( )D−1 2

22

x∂

∂=∇

Assim, com essas condições, vem que 02

2

=∂x

Td, e a solução procurada é do tipo T(x).

Para resolver essa equação considere o seguinte mudança de variável dx

dT=θ

Logo, substituindo na equação, vem que 0=dx

dθ


____________________________


15

Integrando por separação de variáveis vem:

∫ = 1Cdθ , ou seja: 1C=θ

Mas, como foi definido dx

dT=θ ⇒ 1C

dx

dT=

Integrando a equação mais uma vez, vem:

21)( CxCxT += que é a equação de uma reta, como já antecipado.

Para se obter as constantes, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse

exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos

matemáticos isso quer dizer que

(A) em x = 0 ⇒ 1TT =

(B) e em x = L ⇒ 2TT =

De (A): 12 TC =

e de (B): 112 TLCT += ⇒ L

TTC 12

1

−=

Assim,

Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT > , como mostrado na figura ao lado.

Cálculo do fluxo de calor transmitido através da

parede

.

Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:

dx

dTkq Α−=

e, substituindo a distribuição de temperaturas,

vem:

( ) ( )L

TTkT

L

xTT

dx

dkq 12

112

−Α−=

+−Α−= , ou,

em termos de fluxo de calor por unidade de área,

temos: ( ) [ ] mW 212''

L

TTk

qq

−−=

Α=

Esquecendo o sinal de (-), vem

112 )()( TL

xTTxT +−=

L

Tkq

∆=''


____________________________


16

Conhecida a equação do fluxo de calor, podemos: aumentar o fluxo de calor q”

. com o uso de material bom condutor de calor, isto é com ↑k

. ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é ↓L

ou diminuir o fluxo de calor q”

. com o uso de material isolante térmico ↓k

. ou, pelo umento da espessura da parede, isto é ↑L

CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO.

Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor

unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica

constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua

aplicação é para tubos cilíndricos.

A equação geral é da forma t

T

k

qT G

∂∂

=+∇α1

'''

2

Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em

coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:

t

T

k

q

z

TT

rr

Tr

rr

G

∂∂

=+∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

αφ111 '''

2

2

2

2

2

Introduzindo as simplificações:

i. Não há geração interna de calor: 0=′′′⇒ Gq

ii. Regime permanente: 0=∂

∂⇒

t

T

iii. Unidimensional: ( )D−1 , que é válido para um tubo muito longo, ou

seja, T não depende de z, logo 02

2

=∂

∂

z

T

iv. Há uma simetria radial, T não depende de φ, isto é: 02

2

=∂

∂

φ

T

As simplificações iii e iv implicam que se trata de um problema unidimensional na

direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:


____________________________


17

0=

dr

dTr

dr

d, onde a solução procurada é do tipo )(rTT =

As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:

A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr =⇒=

A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:

ee TTrr =⇒=

Solução:

1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:

∫∫ +=

10 Cdrdr

dr

dTrd ⇒ 1C

dr

dTr =

Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:

∫∫ += 21 Cr

drCdT

Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não

linear como no caso da parede plana.

Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação da condições de contorno:

(A) ii TTrr =⇒= ⇒ 21 )ln( CrCT ii +=

(B) ee TTrr =⇒= ⇒ 21 ) ln( CrCT ee +=

Fazendo-se (A) – (B), temos que e

i1

r

rln CTT ei =− , ou

e

i1

r

rln

ei TTC

−=

Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:

( ) 21 )ln( CrCrT +=

( ) e

ei TTT

rT +−

=e

e

i r

rln

r

rln


____________________________


18

Te

Ti

re ri raio

Lei logarítmica T

Distribuição de temperatura, supondo ei TT > .

O fluxo de calor é obtido através da Lei de Fourier, isto é, dr

dTkq Α−=

Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área

transversal da seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica

ilustrada abaixo.

rLA π2= (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo

Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,

21 )ln()( CrCrT += , vem:

])ln([2 21 CrCdr

drLkq +−= π

ou, efetuando a derivação, temos:

r

kLrCq1

2 1π−=

ou, ainda: 12 kLCq π−=

Substituindo, 1C : ( )

−=

e

i

r

rln

2 ie TTkLq π

(W)

O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas!

Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área ''q depende da posição radial

−==

e

i

ie

r

r

TT

rL

kL

A

qq

ln

)(

2

2''

ππ

−=

e

i

ie

r

r

TT

r

kq

ln

)('' ( )2mW



19

AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes compostas.

Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes equações:

- parede 1: 1

211

)(

L

TTAkq

−= ⇒

Ak

qLTT

1

121 =−

- parede 2: 2

322

)(

L

TTAkq

−= ⇒

Ak

qLTT

2

232 =−

- parede 3: 3

433

)(

L

TTAkq

−= ⇒

Ak

qLTT

3

343 =−

Assim, somando os termos _____________

de todas as paredes: Ak

LqTT

i

i∑=− 41

ou, simplesmente,

R

Tq

∆=

onde o T∆ refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a

resistência térmica da parede composta, dada por Ak

LR

i

i∑=

ANALOGIA ELÉTRICA Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:

qi → TU ∆→

TÉRMICOÔHMICO RR →



20

Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.

Circuito elétrico equivalente

Fluxo de calor que é:

T

total

R

Tq

∆=

5//1 RRRRT ++=

com

432//

1111

RRRR++=

CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor

2RIP = (W) Onde: P : potência elétrica transformada em calor por efeito joule(W)

R : resistência ôhmica ( Ω ) I : corrente elétrica (A)

Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)

UIP = ou R

UP

2

=

q



21

Em termos volumétricos, '''Gq )/( 3mW ,

V

PqG =

''' (W/m3), onde V : volume onde o

calor é gerado. 2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( '''

>Gq como, por

exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma reação endotérmica, 0'''

<Gq .

3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). Lb >>

2L

2b

Equação geral

t

T

k

qT G

∂

∂=+∇

α

1'''2 sendo que 0=

∂

∂

t

T (regime permanente.)

0'''

2=+∇

k

qT G )(xTT =

Condições de contorno: (1) Lx −= 1TT = (2) Lx = 2TT =



22

Solução

Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): dx

dT=θ ,

Então k

q

dx

d G'''

−=

θ

Integrando essa equação por partes, vem:

∫∫ +−

= 1

'''

Cdxk

qd Gθ , mas como

1

'''

então , Cxk

q

dx

dT G+−==θ

Integrando novamente:

Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.

• Como no caso da resistência elétrica '''Gq (geração de calor) é positivo e,

claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa ⇒ parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''

Gq

for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.

Determinação das constantes 1C e 2C : Condições de contorno

(1) 21

2'''

1 2CLC

k

LqT G

+−−= - temperatura da face esquerda conhecida

(2) 21

2'''

2 2CLC

k

LqT G

++−= - temperatura da face direita conhecida

Somando (1)+(2), vem:

2

2'''

21 2Ck

LqTT G

+−

=+ ⇒ k

LqTTC G

22

2'''21

2 ++

= .

Substituindo em (1) ou (2), tem-se L

TTC

212

1

−=

Então, a distribuição final de temperaturas é:

21

2'''

2)( CxC

k

xqxT G

++−

=

22)(

2

)()( 21

12

22''' TT

L

xTT

k

xLqxT G +

+−+−

=



23

• CASOS:

(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma

temperatura: STTT == 21 . Daí, resulta que:

É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde 0=x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco comum de uma reação endotérmica, ou '''

Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo

e, no plano central, haveria a mínima temperatura.

Também poderia se chegar a essa expressão usando 0=dx

dT

S

GCMÁX

Tk

LqTT +==

2

2'''

O fluxo de calor (lei de Fourier)

dx

dTkAq −= ou

dx

dTk

A

qq −==

'' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem:

+

−−= S

G Tk

xLq

dx

dkq

2

)( 22''''' ,

ou, simplesmente: No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das condições de contorno. Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0''

=q

SG T

k

xLqxT +

−=

2

)()(

22'''

'''''Gxqq =



24

(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: 21 TT >

Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx ) Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx :

0=−

máxxdx

dTk ou

022

)()(2

2112

22'''

=

++−+−

TT

L

xTTxL

k

q

dx

d G , que resulta em:

02

)( 12'''

=−

+L

TTx

k

qmáx

G

cuja solução é: Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso!

PENSE: Suponha que você é um engenheiro perito e é chamado para dar um parecer sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico. Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não sobreaquecimento à luz da matéria exposta acima?

'''12

2

)(

G

máxLq

kTTx

−=



25

AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS MACIÇOS EM REGIME PERMANENTE COM GERAÇÃO

INTERNA DE CALOR Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna de calor em cilindros maciços. Como exemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figura ao lado. Partindo da equação geral da condução de calor:

01

'''2 =

∂

∂=+∇

t

T

k

qT G

α(regime permanente)

onde, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:

( ) ( ) ( ) ( )2

2

2

2

22 11

zrrr

rr ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=∇

φ

Hipóteses adicionais

- simetria radial: 02

2

=∂

∂

φ (não há influência da posição angular numa seção

transversal)

- o tubo é muito longo: 02

2

=∂

∂

z (não há efeitos de borda na direção axial)

Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou seja, )(rTT = Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:

01

'''

=+

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Ou, integrando por partes:

1

'''

Crdrk

q

dr

dTrd G +−=

∫ ∫ , ou, ainda: 1

2'''

2C

k

rq

dr

dTr G +−=

Integrando novamente por separação de variáveis:

2

1'''

2Cdr

r

Cr

k

qdT G +

+−=∫ ∫

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G ++−=



26

* condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: (1) STrrT →= )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida

(2) 00

==rdr

dT simetria radial na linha central

Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,

também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.

Da segunda condição de contorno, vem que:

02

lim 1'''

0=

+−

→ r

C

k

rqG

r

Do que resulta em 01 =C , para que a expressão permaneça sempre nula.

Da primeira condição de contorno.

2

2'''

4C

k

rqT G

S +−= ou, k

rqTC G

S 4

20

'''

2 +=

Finalmente, a equação da condução de calor fica:

É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !

Sendo, SG

máx Tk

rqT +=

4

20

'''

( ) S

G Trrk

qT +−= 22

0

'''

4



27

EXEMPLO DE APLICAÇÃO Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .

Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''

Gq uniforme.

a) calcule a distribuição de temperaturas; b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); c) determine a temperatura da superfície externa.

Solução: Hipóteses: as mesmas que as anteriores.

Eq. 01 '''

=+

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Condições de contorno: (1) ii TrrT == )( (temperatura interna constante)

(2) 0=erdr

dT (fluxo de calor nulo na superfície)

A solução geral, como já visto, é:

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G ++−=

Onde 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:

k

rqC eG

2

2'''

1 = ;

−

+= )ln(2

4

22'''

2 i

e

ieGi r

r

r

k

rqTC



28

i

ie

ieG Tr

r

r

rr

k

rqrT +

+

−= ln2

4)(

2

222'''

Assim,

O fluxo de calor é:

dr

dTkAq −=

)()2( rTdr

drLkq π−=

Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:

[ ]22'''ieG rrq

L

q−= π (W/m)

A temperatura máxima é:

emáx TT =

+

+

−== i

i

e

e

eieG

emáx Tr

r

r

rr

k

rqTT ln2

4 2

222'''

OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a C

o95 e o coeficiente de transferência de calor vale CmkW o2/10 . Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cmΩµ70 e sua

condutibilidade térmica vale CmW o/5,22



29

CTo

c 267=

Solução:

Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.

R

URiP

22 == ;

A

LR ρ=

m⋅Ω⋅= −81070ρ

mL 3,0= , 26232

100425,84

)102,3(

4m

DA

−−

⋅=⋅

== ππ

Ω⋅=⋅

×⋅= −

−

−2

6

8

106111,2100425,8

3,01070R

kWP 830,3106111,2

1002

=⋅

=−

3,0100425,8

1083,31083,36

33

⋅⋅

⋅=

⋅

⋅==′′′

−LAV

PqG

3910587,1

m

WqG ⋅=′′′

hA

PTTTThAP PP +=∴−= ∞∞ )(

3,0)102,3(1010

1083,395

33

3

⋅⋅⋅⋅

⋅+=

−πPT

CT o

P 222≅

k

rqTT oG

Pc 4

2⋅′′′+=

5,224

)106,1(10587,1222

239

⋅

⋅⋅⋅+=

−

cT

RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações

- paredes planas

R

TTq 21 −

= kA

LR =



30

- circuito térmico

- paredes compostas

- Circuito elétrico

Ainda,

onde

432//

1111

RRRR++=

5//1 RRRREQ ++=

EQR

TTq 21 −

=



31

- Tubo cilíndrico

R

TTq ei −

= ; kL

rr

Ri

e

π2

ln

=

- Tubo cilíndrico composto

- Circuito elétrico

ieq RR Σ=

Para dois tubos:

Lk

r

r

R1

1

2

1 2

ln

π

= Lk

r

r

R2

2

3

2 2

ln

π

=

Lk

r

r

Ri

i

i

eqπ2

ln 1

Σ=

+



32

Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?

Lei de convecção (Newton)

)( ∞−= TThAq p e

hA

TTq

p

1∞−

=

onde, hA

1 é a resistência térmica de convecção

- Circuito térmico

Para o caso onde houver convecção em ambas as paredes:

- Convecção em tubo cilíndrico

kA

L

kA

L



33

COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U

O coeficiente global de transferência de calor é definido por:

totalTUAq ∆=

Claramente, U está associado com a resistência térmica,

- parede plana

AhkAAhR

21

111++=

TUAR

Tq ∆=

∆=

RUA

1= ∴

RAU

1=

Logo,

21

111

hk

L

h

U

++

=

- tubo cilíndrico

Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são

intercambiáveis mediante a seguinte expressão:

totaliitotalee TAUTAU ∆=∆

Logo, iiee AUAU =



34

U referido à área externa

( )e

rr

e

e

hkL

AU

i

e 1

2

ln1

+

=

π

U referido à área interna

( )ee

irr

i

i

hA

A

kL

AU

i

e

+

=

π2

ln

1

RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isolados do meio

ambiente a fim de restringir a perda de calor do fluido (ou frio), cuja geração implica

em custos. Aparentemente, alguém poderia supor que a colocação pura e simples de

camadas de isolamentos térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais

pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta

operação.

( )hLrkL

TTq

e

rr

i

i

e

ππ 2

1

2

ln+

−= ∞

ou, ( )hrk

TTLq

e

rr

i

i

e 1ln)(2

+

−= ∞π

Note que no denominador dessa expressão que o raio externo tem duas contribuições:

um no termo de condução e a outra no termo de convecção. De forma que, se o raio

externo do isolamento aumentar por um lado ele diminui uma das resistências térmicas

(a de condução), enquanto que por outro lado a resistência térmica de convecção

aumenta. Isto está ilustrado no gráfico abaixo e dá origem a um ponto de maximização.

O máximo da transferência de calor ocorre em:



35

h

krcrit =

( )

( ) 2

11

1ln

)(20

2

+

−−−==

∞

hrk

TTL

dr

dq

e

rr

hrkri

ei

e

eeπ

Assim,

2

11

ee hrkr= ⇒

critr é o chamado raio crítico de isolamento.

Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h

k a transferência de calor

será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio

crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao

desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de

isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão

de fato diminuir a perda de calor.

Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por

convecção de h = Cm

Wo27 (convecção natural), teste de alguns valores da

condutividade de materiais isolantes.

material ( )

CmW

ok er (cm)

Lã de vidro 0,038 0,54 Silicato de cálcio 0,055 0,79

Como se vê, o raio crítico é relevante para pequenos diâmetros, tais como, fios elétricos. Exercícios sugeridos do Incropera: 3.4; 3.5; 3.11; 3.32; 3.34; 3.38


____________________________

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36

AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido.

Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por,

( )∞−= TThAq s ,onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a

área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).

Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por

exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso,

aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o

fluxo de calor trocado, como dado pela expressão anterior. Porém, há um preço a pagar

e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte de

movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos).

Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste

em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como a ilustrada

abaixo.

Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo

aumento da área exposta.

Exemplos de aplicação de aletas:

(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar (velho fusca);

(2) motores elétricos;

(3) condensadores;

(4) dissipadores de componentes eletrônicos.


____________________________


37

TIPOS DE ALETAS

A figura abaixo indica uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem

centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao

processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).

Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kern e Kraus. (a)

aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil

retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil

parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) pino cilíndrico; (g) pino

cônico truncado; (g) pino parabólico.

EQUAÇÃO GERAL DA ALETA

Volume de controle

elementar, C∀

Hipóteses:

- regime permanente;

- temperatura uniforme na seção transversal;

- propriedades constantes.


____________________________


38

Balanço de energia

+

=

convecçãopCVdo

saiquequecalordefluxo

III

conduçãopCVo

deixaquequecalordefluxo

II

conduçãopCVno

entraquecalordefluxo

I

/../../..

(I) dx

dTkAq xx −=

(II) )( 2dxodx

dx

dqqq x

xdxx ++=+

expansão em serie de Taylor

(III) )(∞

−= TThAqc

)(∞

−= TThPdxqc

P : perímetro “molhado”, isto é, a superfície externa da aleta que se encontra em

contato com o fluido.

Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem:

( )dxTThPdxdxdx

dqqq x

xdxx ÷−++=∞+

)(

0)( =−+∞

TThPdx

dqx

Ou, substituindo a lei de Fourier da condução:

0)( =−+

− ∞TThP

dx

dTA

dx

dk x

Sendo dTdTT =⇒−= ∞ θθ

0=−

θ

θ

k

hP

dx

dA

dx

dx Equação Geral da Aleta

)(xθθ =

ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR

Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de

seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta de seção retangular ou

circular. Assim, da equação geral para esse caso, com A = cte, vem:


____________________________


39

mxmx ececx −+= 21)(θ

02

2

2

=− θθ

θm

d

d,

kA

hPm =

2

A solução é do tipo: ,

conforme solução indicada abaixo no “ lembrete de cálculo” , já que o polinômio

característico possui duas raízes reais e distintas (m e –m).

LEMBRETE DE CÁLCULO

Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constates

02

2

=++ cydx

dyb

dx

yd

Assume mxey =

Substituindo, vem

mxmxmx

cebmeem ++2 ( )mxe÷

Obtém-se o polinômio característico

02=++ cbmm

Caso 1: 1m e 2m reais e distintos

xmxm

ececy 11

21 +=

Caso 2: 1m e 2m reais iguais

xmxm

xececy 1121 +=

Caso 3: conjugados complexos

qipm +=1 ; qipm −=2

)]()cos([ 21 qxsencqxcey px+=

Onde, 2

bp −= ;

2

4 2bcq

−=

Determinação das constantes 1c e 2c vêm das condições de contorno:


____________________________


40

−

−=∴=

xkA

hP

b

mx

b ex

exθ

θθθ

)()(

a1 Condição de Contorno

−=

==

∞TT

TTxpara

bb

b

θ0

0

2

0

1

−+= ececbθ

A outra relação entre as condições de contorno, depende do tipo de aleta, conforme

os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:

(a) aleta muito longa Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa que, do

ponto de vista matemático, tem-se

0==∴∞→∞

θouTTx

Assim,

[ ] b

mxmx

xccecec θ2121 0lim0 ⇒=∴+=

−

∞→

De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é:

Ou, substituindo a definição de θ , vem:

bcc θ=+ 21

−

∞

∞ =−

− xkA

hP

b

eTT

TxT )(


____________________________


41

O fluxo de calor total transferido pela aleta


pode ser calculado por dois métodos:

(1) aletabasecondaleta qq .= (o fluxo de calor total

transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta)

(2) dxTThPqaleta )(0

∞

∞

−= ∫ (o fluxo de calor total transferido é a integral do

fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta)

Usando o método (1), vem:

00 ==

−=−=

x

b

x

baletadx

dkA

dx

dTkAq

θ

Mas, cteAAb ==

[ ]0

)(=

−−−−=−=

x

mx

b

mx

baleta emkAedx

dkAq θθ

kA

hPkAq baleta θ=

hPkAq baleta θ= ou )( ∞−= TThPkAq baleta

Pelo outro método (2):

dxhPqaleta ∫∞

=0

θ ; cteP =

dxehPq mx

baleta ∫∞

−=

0θ

( ) bbmb

mx

bmx

baleta hPkAm

hPe

m

hP

m

ehPdxehPq θ

θθθθ

ε

ε

ε

ε

ε

ε 1limlimlim

00

==−−=

−==

−

∞→

−

∞→

−

∞→ ∫

ou, )( ∞−= TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!

(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática

(finito) Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na

extremidade da aleta é muito pequeno. Portanto,

admite-se que é adiabático:


____________________________


42

+=

−

−

mLmL

mL

bee

ec θ1

LxLx dx

d

dx

dT

==

⇒=θ

0 (extremidade adiabática), ou [ ] 021 =+−mxmx

ececdx

d

De onde, se obtém, mLmL

mL

b

ee

ec

−+

=θ

2

Mas como bcc θ=+ 21 , então:

Logo, substituindo na equação, vem:

mx

c

mLmL

mLmx

c

mLmL

mL

b

eee

ee

ee

e −

−−

−

++

+=

434214342121

θ

θ

Ou

( )( ) 2/

2/)()(

mLmL

xLmxLm

b ee

ee−

−−−

+

+=

θ

θ ou

[ ][ ]mL

xLmx

b cosh

)(cosh)( −=

θ

θ

lembrete de funções hiperpólicas:

FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA senhx

2

xxee

−−

xcosh

xcosh

2

xxee

−+

senhx

tghx

x

senhx

cosh

xh2sec


O mesmo resultado do caso anterior

[ ]=

−−=−=

== 00 cosh

)(cosh

x

b

x

aletamL

mxL

dx

dkA

dx

dkAq

θθ

)()cosh(

)(m

mL

mLsenhkA b −⋅−

=θ

)(mLtghmkA bθ=

)(mLtghhPkAq bθ=


____________________________


43

[ ] ( ) [ ]

( ) )(cosh

)()(cosh)(

mLsenhmk

hmL

xLmsenhmk

hxLmx

b +

−+−=

θ

θ

( )( ) )()cosh(

)()(

mLsenhmk

hmL

mLconhmk

hmLsenhhPkAq b

+

+= θ

(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade

Caso realista.

Condição de contorno na extremidade:

em

−=−⇒= ∞

=

)( TThdx

dTkLx L

Lx

condução na extremidade = convecção

Distribuição de temperaturas

Fluxo de calor

Comprimento Corrigido de Aleta

Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática –

mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da

espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,

LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples.

2/tLLc +=

O erro introduzido por

essa aproximação será

menor que 8% desde que

5,0<k

ht


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44

AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE Eficiência de Aleta A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal constante. Situações geométricas ou que envolvem condições de contorno mais complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial geral que governa o processo de transferência de calor na aleta. Na prática, a selação de aletas para um caso específico, no entanto, geralmente usa o método da eficiência da

aleta. Sendo que a eficiência de aleta, Aη , é definida por

idealcasobasetempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo

realcasoaletapotransmitidcalordefluxoA

−

−=

.

/η

Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a

aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em:

c

c

bc

cbA

mL

mLtgh

hPL

mLtghhPkA )()(==

θ

θη , com

kA

hPm =

Por outro lado, o perímetro molhado é dado por

btbP 2)(2 ≈+= , sendo btA = , de onde se obtém:

cc Lkt

hmL

2=



45

Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode ser obtido por meio de maxqq AA η= , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é

aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é:

bahAq θ=max ,

onde Aa é a área total exposta da aleta e ∞−= TTbbθ

Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é:

baaA hAq θη=

Note que a eficiência da aleta, aη , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação.

Na página seguinte há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. Deve-se usar aleta quando:

(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) (2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e

alumínio, por razões que veremos adiante. O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. Exemplo de Aplicação Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são instaladas aletas circulares de alumínio por um processo de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC e o coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m2 K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.

Solução Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofísicas do sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 47 à frente.



46

mt

LLmL

mt

c 0155,02

015,001,02

)5,25,5(

001,0

=+=⇒=×−

=

=

( ) ( ) 255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,05,055,12123

c25 =××=⇒×=×== −−

PcP kAhLmtLA

Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio interno da aleta.

24,225,1

2/1,075,22/

1

2

1

2=

+=

+=

r

tr

r

r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos

%91≈Aη . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é: , 5,177500394,06591,0 WhAq baaA =×××== θη já que a área exposta da aleta,

vale, ( ) . 00394,02 221

22 mrrA ca =−×= π

Exemplo de Aplicação (cont...) Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor

total transferido pelo tubo, se o mesmo tiver 1 m de comprimento.

Solução O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será:

aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq ∞−=

( ) 221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa ==×−×=×−××= ππ

Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065 =−×= O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100 =×= Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será

Wqqq casaT 5,209417506,344 =+=+= Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor.



47

Ap – área de seção transversal de aleta

Tipo Aa área total exposta da aleta Retangular cbL2

Triangular [ ] 2/122 )2/(2 LLb +

Parabólica [ ] 2/122 )2/(05,2 LLb +

Anular [ ] 2/121

222 rrb c −π

b – largura da aleta Lc = L-corrigido t = espessura

Fluxo de calor transmitido pela aleta:

baahAq θη=

∞−= TTbbθ

Aa é a área total exposta da

aleta Para obter a eficiência da aleta, use os dados geométricos disponíveis e os indicados nos gráficos. Uma vez obtida a eficiência da aleta, calcule o fluxo real de calor através da simples expressão acima. Comentários: Aleta triangular (y ~ x) requer menos material (volume) para uma mesma dissipação de calor do que a aleta retangular. Contudo, a aleta de perfil parabólico é a que tem melhor índice de dissipação de calor por unidade de volume (q/V), mais é apenas um pouco superior ao perfil triangular e seu uso é raramente justificado em função de maior custo de produção. A aleta anular é usada em tubos.



48

Efetividade da Aleta

Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de cálculo, mas não

indica se a transferência de calor realmente aumenta ou não com a instalação de aletas.

Claro que está informação é crucial se o engenheiro pretende decidir pela instalação de

aletas para incrementar a transferência de calor.Tal análise só pode ser feita através da

análise da efetividade. Para que se possa efetivamente tomar uma decisão sobre o uso

ou não de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade de aleta, ε.

Nesse método, compara-se o fluxo de calor devido à presença da aleta com o fluxo

de calor caso ela não tivesse sido instalada, ou seja:

bb

aleta

aletas

aleta

hA

q

q

q

θε ==

/

Note que o fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta,

conforme ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2.

Para aleta retangular da extremidade adiabática

bb

cb

hA

mLtghhPkA

θ

θε

)(=

Nesse caso: A = Ab e, portanto, kPhA

mLtgh c

/

)(=ε



49

Exemplos de Aplicação Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L

= 5 cm e r = 1 cm é submetida a três condições de resfriamento, quais sejam:

A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados - k aço inox = 19 W/m K - Comprimento corrigido: Formula

Solução:

kPhA

mLtgh c

/

)(=ε , com

hh

kr

h

rk

rh

kA

hPm 24,3

01,0.19

2222

=====π

π e ( )2/01,005,024,3 += hmLc , ou

seja: hmLc 178,0= .

No denominador tem-se: hh

k

hr

rk

rh

kP

hA0162,0

19.2

01,0.

22

2

====π

π.

Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem:

h

htgh

0162,0

)178,0(=ε



50

Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h)

Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0145,1

1

50000162,0

)5000178,0(===

tghε

Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5162,0

945,0

1000162,0

)100178,0(===

tghε

Caso C : h = 10 W/m2K 0,10051,0

510,0

100162,0

)10178,0(===

tghε

Comentário - Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No

caso A, por exemplo, a instalação de aletas pioraria a transferência de calor. Um critério

básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso de aletas.

Caso (A) 31,1=kP

hA

Caso (B) 026,0=kP

hA

Caso (C) 00262,0=kP

hA

- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor coeficiente de transferência de calor que é também o de maior resistência térmica. Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja

constituída de dois materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h

= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade.

Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: A – Cobre → k = 368 W/m K B – Aço inox → k = 19 W/m K C – Alumínio → k = 240 W/m K Solução:

kkkr

hm

4,141

01,0.

100.22=== e, portanto, ( )

kkmLc

76,72/01,005,0

4,141=+=



51

No denominador, agora temos: kkk

hr

kP

hA

2

1

2

01,0.100

2===

Substituindo ambos resultados, obtém-se:

)/76,7(2 ktghk ⋅=ε Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 Caso (C): k = 240 W/m K (alumíno) ε = 10,1 Comentário: O material da aleta é bastante importante no que toca sua efetividade. Deve-se procurar

usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio). Geralmente, se usa

alumínio por apresentar várias vantagens, tais como:

(1) é fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;

(2) tem custo relativamente baixo;

(3) possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do

equipamento;

(4) tem excelente condutividade térmica.

Claro, que cada caso é um caso. Em algumas situações as aletas podem ser parte do

projeto original do equipamento e ser fundida juntamente com a peça, como ocorre com

as carcaças de motores elétricos, por exemplo.



52

AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO

Introdução

Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas

condições de temperatura no seu contorno como, por exemplo, pela sua exposição a um

novo ambiente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio térmico.

Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais, tratamento

térmico, entre outros.

No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma

temperatura uniforme T0. Subitamente, ele é exposto a um ambiente que está a uma

temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está

indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de

certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência

pessoal.

1∞T

10 ∞= TT

2∞T

2∞T

t∆

Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo

ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo não ocorre de forma

uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma indicativa a

temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas



53

de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é

uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da

difusão interna do calor, é um pouco complexa do ponto de vista matemático, mas pode ser

resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simplificadas. Casos

mais complexos podem ser resolvidas de forma numérica. Entretanto, o interesse da aula de

hoje é numa hipótese simplificadora que funciona para um grande número de casos

práticos. A idéia consiste em assumir que todo o corpo tenha uma única temperatura

uniforme a cada instante, como foi ilustrado anteriormente, de forma que se despreze a não

uniformidade da temperatura interna. Esta hipótese é chamada de sistema concentrado,

como discutido na seqüência.

2∞T2∞T

Sistema Concentrado A hipótese é que a cada instante de tempo t, o sistema tenha uma só temperatura

uniforme T(t). Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua

resistência interna à condução desprezível face à resistência externa à troca de calor

(geralmente convecção).

Para conduzir essa análise, será lançado mão do esquema abaixo para o qual se realiza

um balanço de energia, indicado a seguir.

∞T



54

Balança de energia

= Termo (I):

dt

dTc

dt

du

dt

dum

dt

dU∀=∀== ρρ

m = massa do corpo; U = energia interna do corpo; u = energia interna específica do corpo; ρ = densidade do corpo; ∀ = volume do corpo; c = calor específico do corpo. Termo (II):

)( ∞−−= TThAqconv h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; A = área da superfície do corpo em contato com o fluido; T = temperatura instantânea do corpo T = T (t); T∞ = temperatura ao longe do fluido. Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem:

)( ∞−−=∀ TThAdt

dTcρ

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0

Separando as variáveis para se realizar um integração por partes, vem:

dtc

hA

TT

dT

∀

−=

− ∞ ρ

Por simplicidade, seja dTdTT =⇒−= ∞ θθ , então:

Taxa temporal de variação de energia

interna do corpo (I)

Fluxo de calor Trocado por convecção

(II)



55

dtc

hAd

∀−=

ρθ

θ , ou ∫∫

=∀

−=

t

t

dtc

hAd

00ρθ

θθ

θ

, do que resulta em:

tc

hA

∀−=

ρθ

θ

0

ln .

Finalmente,

tc

hA

e ∀−

= ρ

θ

θ

0

ou t

c

hA

eTT

TT ∀−

∞

∞ =−

− ρ

0

Analogia Elétrica

Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo

ocorrem em diversas situações, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia

perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,

como ilustrado no esquema abaixo.

Inicialmente o capacitor C é carregado at uma tenção elétrica V0 (chave ligada). Depois,

a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R.

A solução desse circuito RC paralelo é

RC

t

eV

V −

=0

Note a Analogia

Elétrica Térmica Tensão, V

∞−TT Capacitância, C ∀cρ Resistência, R hA/1



56

Circuito térmico equivalente

∀cρ hA/1

τ

∞T Constante de tempo do circuito elétrico, τ

RC=τ

A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rápido o capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de τ=t é o instante em que a tensão do sistema atingiu o valor de e-1 ~ 0,368

368,011

0

==== −−

eee

V

Vτ

τ

Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico

abaixo que indica a influência da tensão no capacitor para diferentes constantes de tempo. Quanto maior a constante de tempo, mais o sistema demora para atingir o valor de 0,368V0.

τ

1τ 2τ 3τ 4τ

Por analogia, a constante de tempo térmica é tudo o que “sobrar” no denominador do valor

da exponencial, isto é:

t

tt

c

hA

eeTT

TT τρ−

∀−

∞

∞ ==−

−

0

→ hA

ct

∀=

ρτ

Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica.



57

tτ

∞− TT

∞− TT0

)(368,0 0 ∞− TT

Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da

medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem

de dois fios fundidos em uma extremidade que formam uma pequena “bolinha” a qual é

exposta a um ambiente em que se deseja mediar sua temperatura. Suponha de forma

ilustrativa, um ambiente que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado

pela linha cheia no esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de

período em período (onda quadrada). Agora deseja-se selecionar um sensor que acompanhe

o mais próximo possível o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas

diferentes são mostrados. Note que o sensor de maior constante térmica, 3τ , praticamente

não “sente” as variações de temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica

acompanha melhor as variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um

motor de combustão interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e

combustão dos gases. Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante

térmica.

10 ∞− TT

∞− TT

20 ∞− TT

12 ττ <1τ

13 ττ >



58

A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter

a seguinte forma

,

0

FoBieTT

TT −

∞

∞ =−

− onde

Onde, Bi é o número de Biot, definido por k

hLBi = ,

e Fo é o número de Fourier, definido por 2

L

tFo

α= (trata-se de um “tempo” adimensional)

h = coeficiente transferência de calor por convecção;

α = difusividade térmica;

k = condutividade térmica;

L = comprimento característico do corpo;

O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência

externa à convecção.

Pode-se tomar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca

de calor.

expostaárea

corpodoolume

→

→=

v

A

VL

Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema

concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável

desde que

1,0<Bi

EXEMPLO DE APLICAÇÃO (adaptado de Incropera, ex. 5.1)

Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são

formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas

extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise,

ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para

medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K,



59

c = 400 J/kg K e ρ = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25 oC e é

inserido na corrente de gás quente a 200 oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o

sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9 oC seja indicada pelo

instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K.

SOLUÇÃO

Comprimento característico: mD

A

VL

43

10167,16

107,0

6−

−

×=×

===

Número de Biot: 34

10333,220

10167,1400 −−

×=××

==k

hLBi

Da expressão da temperatura, vem 76,320020025

2009,199ln

10333,2

1ln

13

0

=

−

−

×−=

−

−−=

−∞

∞

TT

TT

BiFo

Dado que 610883,54008500

20

−×=

×==

c

k

ρα e

2L

tFo

α= , vem:

( )s

LFot 4,7

10883,5

10167,176,32006

242

=×

××=

×=

−

−

α

Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0<Bi . Um tempo relativamente longo é necessário para obter uma leitura precisa de

temperatura. O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade?


____________________________


60

AULA 9 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO

Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito

Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas

concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui

dimensões maiores de forma que a resistência interna à condução não pode ser

desprezada (Bi > 0,1). Soluções analíticas existem para casos em que uma das

dimensões é predominante e muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito.

Considere o esquema abaixo de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor

(à esquerda) e sua dimensão se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-

infinito). A face exposta sobre bruscas mudanças de condição de contorno, como se

verá.

Condições de contorno

(A) Temperatura constante na face exposta:

Solução: T(x, t)

Equação geral condução de calor

t

T

k

qT

∂

∂=+∇

α

1'''2

por não haver geração interna de calor, vem que t

T

x

T

∂

∂=

∂

∂

α

12

2

, a qual é submetida as

seguintes condições:

- Condição inicial: iTxT =)0,(

- Condição de contorno: 0),0( TtT =

Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de

temperaturas é dada por:


____________________________


61

=

−

−

t

xerf

TT

TT

i α20

0 , onde

erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por:

∫−=

t

x

det

xerf

αη η

πα

2

0

22

2

Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento.

Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera

e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”.

Fluxo de calor numa posição x e tempo t

Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a

lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas

acima, na equação de Fourier, isto é:

∂

∂−−=

−+

∂

∂−=

∂

∂−= ∫

−t

x

iix dex

TTkAt

xerfTTT

xkA

x

TkAq

αη η

πα

2

0

000

22)()

2()(

∂

∂−−=

−

t

x

xe

TTkAt

x

i

απα

2

)(240

2

, do que, finalmente, resulta em:

t

x

i

x et

TTkAq α

πα40

2

)( −−−=


____________________________


62

(B) Fluxo de calor constante na face exposta:

Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor

constante,

Partindo da equação da condução de calor t

T

x

T

∂

∂=

∂

∂

α

12

2

, submetida as seguintes

condições:

- Condição inicial: iTxT =)0,(

- Condição de contorno: 0

0

qx

TkA

x

=∂

∂−

=

A solução é:

−−=−

−

t

xerf

kA

xq

kA

et

q

TT

t

x

iα

π

αα

21

20

40

2

NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!

(C) Convecção de calor na face exposta

Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face

exposta à esquerda.

∞T


____________________________


63

Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem:

t

T

x

T

∂

∂=

∂

∂

α

12

2

, a qual é submetida às seguintes condições:

- Condição inicial: T (x,o) = Ti

- Condição de contorno: [ ]∞

=

−=∂

∂− TtThA

x

TkA

x

),0(0

(condução interna =

convecção)

A solução é:

+−

−

−=

−

− +

∞ k

th

t

xerfe

t

xerf

TiT

TTk

th

k

hx

i α

αα

α

21

21

2

2

(

NOTA: Obtenha o fluxo de calor ! – use a Lei de Fourier!

Outros casos de condução transitória de intersse

Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças

mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de

sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação

geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler

desenvolveu soluções gráficas, como mostrado abaixo.

(1) Placas cuja espessura é pequena em relação as outras dimensões

∞T


____________________________


64

(2) Cilindros cujos diâmetros são pequenos quando comparados com o

comprimento

∞T

(3) Esferas

∞T

Convenção usada nos diagramas de Heisler

∞∞ −=−= TtrTouTtxT ),(),( θθ

∞−= TTiiθ

∞−= TT00θ

∞−= TTeeθ

Numero de Biot: k

hLBi =

L – dimensão características (dada no gráfico)

Numero de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por

220cs

kt

L

tF

ρ

α==

Calor total trocado pelo corpo Qi

iii cTTcQ θρρ ∀=−∀= ∞ )(


____________________________


65

Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias(esfera e

cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt


____________________________


66

Exemplo:

Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de

425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente,

T∞ = 65 ºC com hmédio = 285 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da

placa e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min.

Dados:

k = 43,2 W/mk

α = 1,19 x 10-5

m2/s h

Solução:

2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m

1,0165,02,43

025,0285>=

×==

k

hLBi

Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para

isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são:

1,6165,0

11==

Bi e 43,3

025,0

1801019,12

5

20 =××

==−

L

tF

α

Do diagrama de Heisler (página anterior), vem:

e 2816,0).65425(65 =−+ . Assim,

CTo2810 = Na linha de centro após 3 mim

Do gráfico para uma posição qualquer x:

1,6/1 =iB

5,005,0

0125,0/ ==Lx

97,00

≅θ

θ

97,0)65281(6597,0)( 0 ×−+=×−+= ∞∞ TTTT

CTo

5,274= p/ min3,5,0 == tL

x

1,6165,0

11==

iB

43,30 =F

6,00 ≅iθ

θ


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67

AULA 10 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE BIDIMENSIONAL

Condução Bidimensional

Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor

unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição

espacial da temperatura para além de uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas

reais são bi ou tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de

problemas. Os casos mais realistas devem ser resolvidos de forma numérica. Entretanto,

neste curso introdutório é importante que o estudante tenha uma visão das soluções

analíticas existentes e, para isso, é resolvido um problema clássico que é o método da

separação das variáveis para uma placa retangular bidimensional.

O Método da Separação de Variáveis Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2.

Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y) Equação da condução de calor

t

T

k

qT

∂

∂=+∇

α

1'''2

Hipóteses:

(1) regime permanente (2) sem geração interna (3) bidimensional



68

As hipóteses resultam em: 02 =∇ T ou 02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

T

x

T

Condição de contorno – temperaturas dos quatro lados

(1) T(0,y) = T1 (2) T(L,y) = T1 (3) T(x,0) = T1 (4) T(x,b) = T2

É conveniente realizar uma mudança de variáveis

12

1

TT

TT

−

−=θ

Condições de contorno na nova variável θ são:

(1) θ(0,y) = 0 (2) θ(L,y) = 0 (3) θ(x,0) = 0 (4) θ(x,b) = 1

De onde se tem também que a variação elementar de temp. é θdTT

dT=

− 12

Então, 02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

yx

θθ Esta é a equação da condução na nova variável.

A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas

θ(x,y), é o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções

exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, respectivamente, isto é:

( ) ( )yYxXyx ×=),(θ

Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são:

Primeira derivada: dx

dXY

x=

∂

∂θ

Segunda derivada: 2

2

2

2

dx

XdY

x=

∂

∂ θ

Analogamente em relação à y:

Segunda derivada: 2

2

2

2

dy

YdX

y=

∂

∂ θ



69

Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da condução, vem:

02

2

2

2

=+dy

YdX

dx

XdY

ou, dividindo pelo produto XY, vem:

2

2

2

2 11

dx

Xd

Xdy

Yd

Y−=

É digna de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y

e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da igualdade são

sempre iguais. Isto implica dizer que a igualdade não pode ser nem função de x, nem de

y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida. De forma

que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se usa o

símbolo 2λ . Dessa forma, tem se:

22

21λ=−

dx

Xd

X e

22

21λ=

dy

Yd

Y

Note que a equação diferencial parcial original deu origem à duas outras equações

diferenciais comuns ou ordinárias, mostradas acima. As soluções dessas duas novas

equações são bem conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são:

( ) xsenCxCxX λλ 21 cos += , e

( ) yyeCeCyY

λλ43 += −

De forma que, voltando à variável original, ( ) ( )yYxXyx ×=),(θ , a solução global é:

( ) [ ][ ]yyeCeCxsenCxCyx

λλλλθ 4321 .cos, ++= −

Nesse ponto, a análise se volta para cada caso especifico dado pelas condições de

contorno. É preciso fazer isso com critério. Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0

( ) [ ][ ]yyeCeCsenCCy

λλλλθ 4321 .0.0.cos,0 ++= −



70

De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 =C Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0

[ ][ ]432 .0 CCxsenC += λ

de onde se obtém que ⇒=+ 043 CC 43 CC −=

Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0

[ ][ ])(.0 42yy eeCLsenC λλλ −−=

mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é:

042 ≠CeC , logo, deduz-se que 0)( =Lsen λ

Os possíveis λ que satisfazem essa condição são: πλ nL =

ou, seja L

nπλ = n = 1,2,3, .....

nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada.

Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é:

( )

44 344 21

321

)(

42 22,

L

ynsenh

L

yn

L

yn

C

ee

L

xnsenCCyx

n

π

ππ

πθ

−

=

−

ou, seja ( ) )()(,L

ynsenh

L

xnsenCyx n ππθ =

Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n. Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções.

( )

=∑

∞

= L

ynsenh

L

xnsenCyx

n

n

ππθ

1

,

Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é:

=∑

∞

= L

bnsenh

L

xnsenC

n

n

ππ

1

1



71

A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para

obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das

funções ortogonais, revista abaixo.

REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS

Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa ≤≤ , se

∫ ≠=b

a

nm nmpdxxgxg /0)()(

(dica: note que se parece com produto escalar de vetores: dois vetores ortogonais tem o produto escalar nulo)

Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(L

xnsen π e )cos(

L

xnπ em

Lx ≤≤0 Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções ortogonais, ou seja:

∑∞

=

=1

)()(m

mm xgAxf

Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma:

(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade:

∑∞

=

=1

)()()()(m

mmnn xgAxgxfxg

(2) Integra-se no intervalo de interesse:

dxxgAxgdxxfxgb

am

mmn

b

an ∫ ∑∫

=

∞

=1

)()()()(

Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja

nmsedxxgxgb

anm ≠=∫ 0)()(

Pode-se eliminar a somatória, então:

dxxgAdxxfxgb

amm

b

am ∫∫ = )()()( 2

Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas:

dxxg

dxxfxgA

b

am

b

am

m

∫

∫=

)(

)()(

2



72

Voltando ao problema, tem-se:

∑∞

=

=

1

1n

nL

bnsenh

L

xnsenC

ππ (A)

Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que

,....2,1;)( =

= n

L

xnsenxg

ortogonalfuncão

n

43421

π

Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem

∑∞

=

=

1

1n

nL

xnsenA

π

Assim, pode-se obter os coeficientes da série do já visto na revisão aciam:

ndx

L

xnsen

dxL

xnsen

An

L

L

n

1)1(2 1

0

2

0 +−=

=+

∫

∫ππ

π

Então,

∑∞

=

+

+−=

1

1 1)1(21

n

n

L

xnsen

n

π

π (B)

Comparando (A) com (B), vem:

∑∑∞

=

+∞

=

+−=

1

1

1

1)1(2

n

n

n

nL

xnsen

nL

bnsenh

L

xnsenC

π

π

ππ

Então, da igualdade das séries:

[ ],....3,2,1;

1)1(2 1

=

+−=

+

n

L

bnsenhn

Cn

nπ

π

De forma que a solução final do problema é:

∑∞

=

+

+−=

1

1 1)1(2),(

n

n

L

bnsenh

L

ynsenh

L

xnsen

nyx

π

π

π

πθ



73

É interessante ver o gráfico desta função

1=θ

75.0=θ

50.0

25.0

10.0

0=θ

0=θ0=θ

Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é:

ix

Tkqx

rr

∂

∂−=′′ e j

y

Tkq y

rr

∂

∂−=′′ . Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq

rrr′′+′′=′′ e o

módulo do fluxo de calor será ( ) ( )22yx qqq ′′+′′=′′ em W/m2

Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt Método Gráfico O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante. Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície interna é mantida a T1 e a externa T2.

(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas.



74

(2) As linha de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor constante.

(3) Traças algumas linha de temperatura constante. Lembre-se que elas são perpendiculares às linhas de fluxo constante.

(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas de temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados tenham aproximadamente, o mesmo comprimento.

(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o ângulo formado pelas duas superfícies

αα

O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro curvilíneo ilustrado é:

∆

∆∆−≅

l

Tlkqi (1)



75

O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada pelas mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que.

N

TTT 12 −

=∆ (2)

Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5). Assim, de (1)

N

TTkqi

)( 12 −−= (3)

O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5)

)( 121

TTkN

Mqq

M

i

i −==∑=

Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim:

)(5 12 TTkq −=


____________________________

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76

AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA DEFERENÇAS FINITAS

Como se viu, a solução da equação da condução de calor em muitas situações é bastante

complexa e, verdadeiramente, na maioria dos casos práticos não existe nem solução

analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos numéricos. Há uma grande variedade de

métodos disponíveis na literatura, mas vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das

diferenças finitas.

A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinadas em pontos discretos ou

pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado

abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo em que se dá a transferência de calor em um

meio discreto formado por uma matriz de pontos com propriedades que “concentram” as

informações do meio contínuo original. Veja a figura abaixo. Após a discretização do meio

contínuo, considere o ponto nodal (m,n) indicado na figura abaixo, tendo como vizinhos os

pontos nodais (m-1,n) à esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A

distância entre os pontos nodais é ∆x e ∆y, nas duas direções principais.


____________________________


77

A equação da condução de calor 02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

T

x

T pode assim ser discretizada:

x

TT

x

T nmnm

nm ∆

−≈

∂

∂ −

−

)( ,1,

,2

1 (primeira derivada na direção x – face esquerda)

x

TT

x

T nmnm

nm ∆

−≈

∂

∂ +

+

)( ,,1

,2

1 (primeira derivada na direção x – face direita)

Assim,

x

x

T

x

T

x

T nmnm

∆

∂

∂−

∂

∂

≈∂

∂ −+ ,2

1,

2

1

2

2

(segunda derivada na direção x – centro)

Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2

,,1,1

,

2

2

)(

2

x

TTT

x

T nmnmnm

nm∆

−+=

∂

∂ +−

Analogamente, na direção y: 2

,1,1,

,

2

2

)(

2

y

TTT

y

T nmnmnm

nm∆

−+=

∂

∂ +−

Assim, a equação da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma equação

algébrica,

≈∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

y

T

x

T04 ,1,1,,1,1 =−+++ +−+− nmnmnmnmnm TTTTT se ∆x = ∆y

A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas. Note que a

temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas da sua

redondeza.


____________________________


78

O que acontece nas regiões de contorno do problema?

Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a

superfície ou contorno do meio.

T∞

Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão

)()(

2

)(

2

)(,

1,,1,,,1,

∞

+−−−∆=

∆

−∆−

∆

−∆−

∆

−∆− TTyh

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk nm

nmnmnmnmnmnm

se ∆x = ∆y

0)2(2

12 1,1,,1, =++−

∆−

+

∆−+−∞ nmnmnmnm TTTT

k

xh

k

xhT

Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas.

Por exemplo, um canto superior à direita:

T∞

0)(212 1,,1, =+−∆

−

+

∆−−∞ nmnmnm TTT

k

xh

k

xhT

Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias.


____________________________


79

Uma vez que as equações de todos os pontos nodais foram estabelecidas, obtém-se um

sistema de N equações por N incógnitas do tipo:

NNNNNN

NN

NN

cTaTaTa

cTaTaTa

cTaTaTa

=++

=++

=++

...

....

....

....

...

...

2211

22222121

11212111

Ou em notação simplificada:

][]].[[ CTA =

Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera)

Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado

método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero:

0...2211 =−+++ nnmnmm cTaTaTa

Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o procedimento de solução:

1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura;

2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado;

3 – “Relaxar”o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura

do ponto nodal correspondente;

4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura;

5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero.

Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um

sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o

método de eliminação gaussiana.


____________________________


80

Exemplo Resolvido

Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se

calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que:

h = 200 W/m2 ºC

T∞ = 20 ºC

k = 10 W/m ºC

∆ x = ∆ y = 10 cm

20T C∞ = °

OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número)

Solução:

Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação:

04 ,1,1,,1,1 =−+++ +−+− NMNMNMNMNM TTTTT

Portanto,

042:4

01004:3

010042:2

0)100(24:1

7432

6431

421

321

=+−+

=+++−

=++−

=+++−

TTTTnó

TTTTnó

TTTnó

TTTnó

Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação

0)(2 ,1, =+−∆

−

+

∆+∞ fixonmnm TTT

k

xh

k

xhT


____________________________


81

nó 5: 0)100(2010

1,02002

10

1,020065 =+−

×−

+

×TT , ou

01404 65 =−− TT

Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação:

[ ] 022

12 ,1,11,, =++−

∆−

+

∆+−−∞ nmnmnmnm TTTT

k

xh

k

xhT

nó 6: [ ] 022

120

10

1,02002

10

1,02007536 =++−

×−

+

×TTTT , ou

[ ] 022

120

10

1,02002

10

1,02007536 =++−

×−

+

×TTTT , ou ainda,

0402

14

2

17653 =−−+−− TTTT

nó 7: 0)22(2

1404 647 =+−− TTT , ou

0404 764 =−+−− TTT

Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana

CT

CT

CT

CT

CT

CT

CT

o

o

o

o

o

o

o

7,36

8,38

7,44

2,68

3,74

2,87

4,90

7

6

5

4

3

2

1

=

=

=

=

=

=

=



82

AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONVECTIVA

Lei de Resfriamento de Newton Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de

resfriamento de Newton, dada por:

)( ∞−= TTAhq S onde, Ts, T∞ – temperatura da superfície aquecida e do fluido ao longe; A – área de troca de calor; h = coeficiente de transferência de calor por convecção. O problema fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do

valor d h para o problema em análise. Nota-se que a expressão da transferência de calor

é consideravelmente mais simples que a da condução, num sentido amplo. No presente

caso, basta resolver uma equação algébrica simples para se obter o fluxo de calor desde

que, claro, se conheça o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a solução

de uma equação diferencial. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa, pois na

verdade, em geral, h é função de um grande número de variáveis, tais como as

propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade térmica),

velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas, vão

se apresentar expressões e métodos de obtenção daquela grandeza para diversas

condições de interesse prático. Mas antes, vamos apresentar os números adimensionais

que controlam a transferência de calor convectiva.

Análise Dimensional

A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema

para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto,

tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar

familiarizado a essa altura são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, os

números de Biot e de Fourier.



83

A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação

sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser

conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta

do problema em análise.

O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões

primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em

função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas

MLtT, onde:

Comprimento L Tempo t Massa M Temperatura T

Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes

dimensões:

Força ML/t2 O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse:

Condutividade térmica ML/t3T Calor ML2/t2 Velocidade L/t Densidade M/L3 Velocidade M/Lt Calor específico a pressão constante L2/t2T Coeficiente De transmissão de calor M/t3T

Teorema dos Π ou de Buckingham Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema.

É dado por:

M = N – P

Onde,

M – número de grupos adimensionais independentes;

N – número de variáveis físicas dos problemas;

P – número de dimensões primárias;

Sendo ππππ um adimensional genérico, pode-se escrever, então:

0),...,( 21 =mF πππ



84

Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões

primarias. Logo,

M = 5-3 = 2, de onde se obtém:

0),( 21 =ππF ou

pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma.

)( 21 ππ f=

Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como

indicado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizar experimentos com

apenas uma variável (grupo adimensional π2) e observar a dependência de π1. Com

isso, reduz-se drasticamente o número de experimentos. Caso contrário, seria necessário

fazer experimentos envolvendo as 5 variáveis originais do problema.

1π

2π

erimentalcurvaf exp)( 2π

Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais. Nesse caso, tem-se:

0),,( 321 =πππF , ou ),( 321 πππ f=

Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo π3 constante, e variando π2, observando como π1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo.

2π

tesconsdecurvas tan3π1π



85

Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura abaixo.

D

Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são: Variáveis Eq. Dimensional D Diâmetro do Tubo L k Condutividade térmica do fluido ML/t3T V Velocidade do fluido L/t ρ Densidade do fluido M/L3 µ Viscosidade do fluido M/Lt CP Calor especifico a pressão constante L2/t2T h Coef. de transferência de calor M/t3T Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em:

M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais) Seja um grupo adimensional genérico do tipo:

g

c

f

p

edcba hcVKD µρπ =

Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem:

gfedcb

a

Tt

M

Tt

L

Lt

M

L

M

t

L

Tt

MLL

=

32

2

33π

ou, após rearranjo, vem:

( )( )( )( )gfbgfecbfedcbagedb TtLM −−−−−−−−+−−+++++= 32323π Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é:



86

=−−−

=−−−−−

=+−−++

=+++

0

0323

023

0

gfb

gfecba

fedcba

gedb

Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O

método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto

crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo,

(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de

valores

==

=

0

1

dc

g

Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em: a = 1 b = -1 e = f = 0 Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por:

Nuk

Dh==1π

(B) – Agora vamos eliminar h e assumir outros valores

=

=

=

0

1

0

f

a

g

(para não aparecer h)

A solução do sistema fornece: b = 0 c = d = 1 e = -1 De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de

Reynolds, dado por:

D

VDRe2 ==

µ

ρπ



87

(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores f =1 e = g = 0 Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de

Prandtl,

Pr3 ==k

cpµπ

Então, há uma função do tipo

0),,( 321 =πππF ou 0),,( =PrRe DNuF .

Isolando o número de Nusselt, vem:

),( PrReDfNu = Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os

grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno).

Vimos, então, que:

),( PrReDfNu =

Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima

correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo.

Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no

entanto, são bem correlacionados. Isto também indica que, uma vez obtida a expressão

que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar com outros fluidos e

geometrias de tubos.

3,0Pr

Nu

4,03,0 RePr82,0=Nu


____________________________


88

AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA

PLACA OU SUPERFICIE PLANA

Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma

superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno.

Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De

forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), a qual pode ser obtida de forma

experimental ou analítica em algumas poucas situações.

Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser

obtida de forma analítica e exata. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais

que regem a transferência de calor em escoamento sobre uma superfície plana em

regime laminar. Depois será indicada a solução dessas equações. Para começar o estudo,

considere o escoamento de um fluido sobre uma superfície ou placa plana, conforme

ilustrado. Admita que o fluido tenha um perfil uniforme de velocidades (retangular)

antes de atingir a placa. Quando o mesmo atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai

desacelerar as porções de fluido adjacentes à placa, dando início a uma camada limite

laminar que cresce em espessura à medida que o fluido escoa ao longo da superfície.

Note que esta camada limite laminar vai crescer continuamente até que instabilidades

vão induzir a uma transição de regime para dar início ao regime turbulento, se a

extremidade da placa (borda de fuga) não for antes atingida. Admite que a transição

ocorra para a seguinte condição 5105Re ×>= ∞

µ

ρxuxtransição (às vezes também se usa

3 ×105), onde x é a distância a partir do início da placa (borda de ataque).

∞u


____________________________


89

No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a

tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por dy

duµτ =

para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de

escoamento permite uma solução exata, como se verá a seguir.

Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar

Hipóteses principais:

- Fluido incompressível

- Regime permanente

- Pressão constante na direção perpendicular à placa

- Propriedades constantes

- Força de cisalhamento na direção y constante

Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL),

como indicado.

Equação da continuidade ou da conservação de massa.

dydxx

uu )(

∂

∂+ρ

dxdyy

vv )(

∂

∂+ρ

vdxρ

udyρ

Como entrasai mm && = , então substituindo os termos, vem:

dydxx

uudxdy

y

vvvdxudy )()(

∂

∂++

∂

∂+=+ ρρρρ . Simplificando, tem-se

0=∂

∂+

∂

∂

y

v

x

u


____________________________


90

Equação da conservação da quantidade de movimento

Da 2ª lei de Newton, tem-se que

=∑ extF variação do fluxo da quantidade de movimento

Balanço de forças na direção x.

Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível)

dxdyy

)(∂

∂+

ττ

dxτ

pdydydx

x

pp )(

∂

∂+

dydxx

ppdxdxdy

ypdyFx )()(

∂

∂+−−

∂

∂++=∑ τ

ττ

ou, simplificando, dxdyx

pdxdy

yFx

∂

∂−

∂

∂=∑

τ

Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se dy

duµτ = que, substituindo, em.

dxdyx

pdxdy

y

uFx

∂

∂−

∂

∂=∑ 2

2

µ

Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x)

dxdyy

uudy

y

vv ))((

∂

∂+

∂

∂+ρ

vudxρ

dydxx

uu

2)(∂

∂+ρdyu2ρ


____________________________


91

Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expressão:

superior ordem de termos2

)(

)(2

))(()(

2

222

22

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

=−∂

∂

∂

∂+

+∂

∂+

∂

∂++−

∂

∂+

∂

∂+=

=−∂

∂+

∂

∂++−

∂

∂+

dxdyy

vudxdy

y

uvdxdy

x

uu

uvdxdxdyy

u

y

v

dxdyy

vudxdy

y

uvvudxdyudydx

x

udxdy

x

uudyu

uvdxdxdyy

uudy

y

vvdyudydx

x

uu

ρρρ

ρρ

ρρρρρρρ

ρρρρ

Ainda é possível simplificar esta equação para obter

dxdyy

v

x

uudxdy

y

uv

x

uu

decontinuida

434210

)()(

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= ρρ

dxdyx

uv

x

uu )(

∂

∂+

∂

∂= ρ

Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das forças externas com a

variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação:

x

p

y

u

y

uv

x

uu

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂2

2

)( µρ

Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica

- Condução na direção x desprezível

- Energia cinética desprezível face à entalpia

dxdyy

uudy

y

vv ))((

∂

∂+

∂

∂+ρ

dydxx

uu 2)(

∂

∂+ρ

dxdyy

uu )

)((

∂

∂+

ττ )(

2

2

dyy

T

y

Tkdx

∂

∂+

∂

∂−

dx

dy

y

Tkdx

∂

∂−dxuτvhdxρ

uhdyρ


____________________________


92

Poteência (térmica) líquida das forças viscosas

dydxy

uuu

ydydx

y

udxudxdy

y

uu

∂

∂

∂

∂=

∂

∂=−

∂

∂+

)()( ττ

ττ

Conservação de energia:

=

+

tempode unidade na

ldiferencia controle

de volumeo deixa

que energia de fluxo

tempode unidade

na realizado

líquido trabalho

tempode unidade na

ldiferencia controle

de volumeno entra

que energia de fluxo

Agora, vamos tratar cada termo em particular

Fluxo de energia que entra

Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível)

y

Tkdxuhdyvhdx

∂

∂−+ ρρ

Trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas)

dxdyy

uu

y

∂

∂

∂

∂µ

Fluxo de energia que entra

)())(())((2

2

dyy

T

y

Tkdxdydx

x

hhdx

x

uudxdy

y

hhdy

y

vv

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+ ρρ

Desprezado os termos de ordem superior

dxdyx

ukdxdy

y

vhdxdy

y

hvdxdy

x

uhdxdy

x

hudydx

y

uu

y 2

2

00∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+− ρρρρµ

2

2

0

)(x

uk

y

v

x

uh

x

hv

x

hu

y

uu

y

decontinuida

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

=

43421

ρρρµ

Com Tch p∂=∂ e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma

diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo:

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

y

uu

yy

Tk

y

Tvc

x

Tuc pp µρρ

2

2


____________________________


93

Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível

face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia).

Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada

para:

2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂α

Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o

escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como:

2

2

y

u

y

uv

x

uu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂υ

onde, ρ

µυ = é a viscosidade cinemática

Comparando as duas equações acima, nota-se que quando αυ = , ou seja, 1Pr ==α

υ

corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica à distribuição de

velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 1Pr65,0 << .

Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada

limite laminar são:

Conservação de massa 0=

∂

∂+

∂

∂

y

v

x

u

Conservação da quantidade de movimento

direção x

x

p

y

u

x

uv

x

uu

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂2

2

)( µρ

2

2

y

u

x

uv

x

uu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂υ pressão constante

Conservação de energia 2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂α

Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmicas e térmicos no apêndice B do

Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius.


____________________________


94

Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes:

Crescimento da camada limite hidrodinâmica (CLH):

x

x

Re

5=δ ;

Coeficiente local de atrito local : 2/1

, Re664,0−

= xxfc ;

Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque: 2/1

, Re328,1−

= LLfc ;

Razão entre camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT): 3/1Pr=tδ

δ;

Número de Nusselt local: ≤≤= Pr6,0PrRe332,0 3/12/1

xxNu 50

Número de Nusselt médio: 3/12/1PrRe664,0 LLuN = .

Definição do coeficiente de atrito: 2/

2

∞

=u

c s

fρ

τ, sτ tensão de cisalhamento na parede

Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número

de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH.

∞∞ Tu ,

)1(Pr <Tδ

)1(Pr == Tδδ

)1(Pr >Tδ

TS

T∞ u∞


____________________________


95

AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN

Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os

resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi

discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução

para o aluno mais interessado. Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada

no método integral, também conhecida como solução de von Karman.

Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x do

escoamento, enquanto que a altura H do mesmo se estende para além da camada limite,

isto é, δ>H , conforme ilustrado na figura abaixo.

Leis de conservação na camada limite laminar no elemento diferencial acima:

Balanço de massa

Fluxo mássico na face 1 – A: ∫H

udy0

ρ

Fluxo mássico na face 2 – A: dxudydx

dudy

HH

+ ∫∫

00

ρρ

Balanço de fluxo de quantidade de movimento

Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: ∫H

dyu0

2ρ

Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: dxdyudx

ddyu

HH

+ ∫∫

0

2

0

2 ρρ


____________________________


96

Fluxo de Q. M. na Face A – A: dxudydx

du

H

∫∞

0

ρ

Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle

(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) =

Fluxo liquido de Q. M. = dxudydx

dudxdyu

dx

dHH

−

∫∫ ∞

00

2 ρρ

Lembrando da regra do produto de diferenciação que:

)()()( αββααβ ddd += ou

)()()( αβαββα ddd −=

Fazendo ∞= uα

∫=H

udy0

ρβ , vem

dxdx

duudydxudyu

dx

ddxudy

dx

du

HHH

∞∞∞

−

=

∫∫∫000

ρρρ

dxudydx

dudxudyu

dx

dHH

−

= ∫∫ ∞

∞

00

ρρ

Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem:

dxudydx

dudxudyu

dx

ddxdyu

dx

dMQfluxo

HHH

+

−

= ∫∫∫ ∞

∞

000

2.. ρρρ

Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma

mais compacta:

dxudydx

dudxudyuu

dx

dMQfluxo

HH

+

−= ∫∫ ∞

∞

00

)(.. ρρ

Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos

considerar as forças de pressão e de atrito.


____________________________


97

- força resultante da pressão: dxdx

dPH−

- força de cisalhamento na parede: -dx

0=∂

∂−=

y

py

udxµτ

pτ

dxdx

dPP +

P

Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser

escrita (2ª lei de Newton):

dxudydx

dudxudyuudx

dx

dPH

y

udx

HH

y

+

−=−

∂

∂− ∫∫ ∞

∞

= 000

)( ρρµ

Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento

sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa

hipótese não vale): 0=dx

dP

Essa hipótese de P = cte. também implica em que a velocidade ao longe também seja

constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou

cteuP

=+ ∞

2ρ

De forma que, na forma diferencial: 002

2=⇒=+ ∞

∞∞ duduudP

ρ

Assim, a equação da conservação da Q. M. se resume a:

−=

∂

∂− ∫ ∞

=

H

y

udyuudx

dp

y

u

00

)(ρµ

Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então:

00

)(=

∞∂

∂=

−∫

yy

uudyuu

dx

dµρ

δ

Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M., válida para o escoamento

sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o equacionamento é

exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se conhecermos o perfil

de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada para obter a lei de

crescimento da camada limite laminar hidrodinâmica, isto é, δ(x).


____________________________


98

A aproximação começa aqui quando se admite um perfil de velocidades u(y). Claro que

a adoção desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir um

perfil de velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você

imporia um polinômio de um certo grau tal que as condições de contorno do perfil de

velocidades fossem satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então,

primeiro passemos a analisar as condições de contorno do problema , que são:

0/0

/0

/

0/0

2

2

==∂

∂

==∂

∂

==

==

∞

ypy

u

ypy

u

ypuu

ypu

δ

δ

As três primeiras cc são simples e de dedução direta. A primeira informa que a

velocidade na superfície da placa é nula; a segundo diz que fora da CL a velocidade é a

da corrente fluida e a terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”,

daí a derivada ser nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se

analisar a equação diferencial da camada limite laminar (aula anterior que requer que

essa condição seja nula sobre a superfície da placa. Como são 4 c.c., uma distribuição

que satisfaz estas condições de contorno é um polinômio do 3º grau, dado por:

3

4

2

321)( yCyCyCCyu +++=

Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado

de velocidades: 3

2

1

2

3)(

−=

∞ δδ

yy

u

yu

Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem:

00

33

2

2

1

2

3

2

1

2

31

=

∞∂

∂=

−

+−∫

yy

udy

yyyy

dx

du µ

δδδδρ

δ

Do que resulta, após algum trabalho:

δ

µδρ ∞

∞ =

uu

dx

d

2

3

280

39 2


____________________________


99

Integrado essa equação, lembrando que para x = 0 δ = 0 (a CL começa na borda de

ataque):

∞

=u

vxx 64,4)(δ , ou

xx

x

Re

64,4)(=

δ

Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornecia: x

x

x

Re

5)(=

δ

Ver Holman Apêndice B ou Incropera

Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável.

Camada Limite Térmica Laminar

Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora pode-se resolver o problema

térmico. O objetivo é o cálculo do coeficiente de transferência de calor, h. Note que

junto à superfície todo calor transferido da mesma para o fluido se dá por condução de

calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que pode-se igualar os

dois termos da seguinte maneira:

0

)(=

∞∂

∂−=−

y

py

TkTTh , ou

∞

=

−

∂

∂−

=TT

y

Tk

hp

y 0

Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a

distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso

hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas:

Condições de contorno

0/0

/

/0

0/

2

2

==∂

∂

==

==∂

∂

==

∞

ypy

T

ypTT

ypy

T

ypTT

t

t

p

δ

δ


____________________________


100

Método integral (aproximado)

tδ δ∞u

∞T

cteTp =

Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um

ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico,

desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem:

(ver Holmam)

00

2

0

)(=

∞∂

∂=

+

− ∫∫

y

H

p

H

y

Tdy

dy

du

cudyTT

dx

dα

ρ

µ

Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e

aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 3

2

1

2

3)()(

−=

−

−=

∞∞ ttp

p yy

TT

TyTy

δδθ

θ

(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas)

Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as

espessuras de camadas limites:

3/1

4/3

03/1 1Pr026,1

1

−= −

x

xt

δ

δ

Se a placa for aquecida desde a borda, x0 = 0, temos

3/1Pr026,1

1 −=δ

δ t

No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos

11

11

/Pr

<>

≈≈

δδ t

Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de

velocidades, calculada junto à parede

==

−

−−=

−

∂

∂−

=∞

∞

∞

=

tttp

p

p

y

x

kk

TT

TTk

TT

y

Tk

hδ

δ

δδδ 2

3

2

3

2

3

)(

)(0, ou


____________________________


101

3/14/3

03/1

1Pr026,1

2

3−

−=

x

xkhx

δ, ou ainda

3/14/3

0

2/1

3/1 1Pr332,0

−

∞

−

=

x

x

x

ukhx

ν

Lembrando da definição do número de Nusselt, k

xhNu x

x = , vem:

3/14/3

02/13/1 1RePr332,0

−

−=

x

xNu xx

As equações anteriores são para valores locais.

O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0:

L

x

dxu

L

dxh

h

LL

x

L

∫∫

==

∞

0

2/1

2/1

3/1

0

Pr332,0ν

, ou

2/

Pr332,0 2/1

2/1

3/1

L

Lu

hL

=

∞

ν, ou finamente:

LxL hL

uh =

∞ =

×= 2Pr332,02

2/1

3/1

ν

Analogamente, para esse caso:

LxL Nuk

LhuN === 2

Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as

propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf

2

∞+=

TTT

p

f

E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se:

3/12/1PrRe453,0 LL

k

hLNu ==

Ver exercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5


____________________________


102

Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom)

Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa

aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma

temperatura de 90ºC. Determine:

(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica δ ao final da placa

(b) a espessura da camada limite térmica δt no final da placa

(c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa

(d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida.

São dados:

Propriedades calculadas a CT f

0652

9040=

+=

α = 7,38×10-8

ms/s

fk = 0,213 W/moC

ν = 6,5×10-5

m2/s

ρ = 9,57×102 kg/m

3

µ = 6,22×10-2

N.s/m2

pC = 3016 Ck

J

g

o

CTp °= 90

∞u

∞T

Solução

Verificação se o escoamento é laminar ai final da placa

)105(Re5538105,6

606,0Re 5

5×<=

×

×==

−

∞transiçãoL

Lu

ν

(a) x

x Re

5=

δ; x = L = 6m

m40,05538

65=

×=δ

(b) 3/1

8

53/1

3/1

8811038,7

105,6)/(

026,1

Pr −

−

−−

−

=

×

×=≈= αν

δ

δ t

mt 042,0881

4,03/1

==−

δ

(c)

2/1

3/1Pr332,0

= ∞

L

ukhx

ν

Cm

Whx

°=

××××=

− 2

2/1

5

3/1 4,86105,6

06,0)881(213,0332,0

Cm

Whh LxL

°=×== = 2

8,164,822

(d) )( ∞−= TThAq s ⇒ m

WTTLh

L

qs

p

5040)4090(68,16)( =−××=−= ∞


____________________________


103

AULA 15 – ANALOGIA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR E DE ATRITO – REYNOLDS-COLBURN E

CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM ESCOAMENTO EXTERNO

2.5 – Analogia de Reynolds – Colburn

Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento

(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta

analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta aula. Essa é a

chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com

a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição

laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente

de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os

dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor.

Por definição, o coeficiente de atrito é dado por:

2

2

∞

=u

Cp

fρ

τ

Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso),

a tensão de cisalhamento na parede é:

0=∂

∂=

y

py

uµτ

Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja:

3

2

1

2

3

−=

∞ δδ

yy

u

u,

temos que a derivada junto à parede resulta em:

δ∞

=

=∂

∂ u

y

u

y2

3

0

Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da

camada limite, isto é, x

x Re

64,4=

δ que, mediante substituição na definição da tensão de

cisalhamento na parede, resulta em:


____________________________


104

x

uu x

p

Re323,0

2

3 ∞∞ ==µ

δµτ

Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem:

x

xfx

xu

uC

Re

323,0Re323,0

2 2==

∞

∞

ρ

µ

Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de

Nusselt,2/13/1 RePr332,0 xxNu = que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como:

2/13/2 RePr332,0PrRe

−−= x

St

x

x

x

Nu

321

, onde Stx ∞

=uc

h

p

x

ρ é o número de Stanton. Então,

reescrevendo de forma compacta:

x

xStRe

332,0Pr 3/2 =

Comparando as duas equações anteriores em destaque, notamos que eles são iguais a

menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta

pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter:

2Pr 3/2 fx

x

cSt =

Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito

com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa

forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de

arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será

visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no

interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios.

______________________________________________________________________

Exemplo resolvido – continuação do anterior Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior (aula 14).

Sabe-se que 3/2Pr2

tSC f

=


____________________________


105

Por outro lado, 5

21070,9

06,030161057,9

8,16 −

∞

×=×××

==uc

htS

p

L

ρ

Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 −− ×=×××=fC , de forma

que a tensão de cisalhamento na superfície é:

2

2222

1007,32

)06,0(9571078,1

2 m

NuC fp

−−

∞ ×=×××

==ρ

τ

Finalmente, a força de atrito por unidade de comprimento é:

m

NL

L

Fp

p

184,061007,3 2 =××=×= −τ

______________________________________________________________________

Camada Limite Turbulenta

A transferência de calor covectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente

diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da

transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três

subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo:

A CLT é subdividida em:

- subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular

- camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas

- turbulento – misturas macroscópicas de fluido

Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o

comportamento da velocidade local, o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo.

u


____________________________


106

Do gráfico ilustrado, depreende -se que a velocidade instantânea, u, flutua

consideravelmente em torno de um valor médio, u . Este fato de flutuação da

velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa

parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades do perfeito

equacionamento do problema turbulento. Para analisar o problema, costuma-se dividir a

velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação,

como indicado:

velocidade na direção paralela: 'uuu +=

velocidade na direção transversal: 'vvv +=

pressão: fluctuacàomedio

táneoinsvalor

PPP '

tan

+=

Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e um apóstrofe,

valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças

aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser

consideradas na análise.

Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da

camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar em que o fluido se

“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções”

de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para

cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna

(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção”correspondente (2) desce para

ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de

modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada

limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem.


____________________________


107

Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do

escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise

mais profunda. No entanto, abaixo se mostra os passos principais da modelagem.

O primeiro passo é escrever as equações de conservação (massa e quantidade de

movimento) – aula 13. Em seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos

correspondentes de média e flutuação, isto é, 'uuu += , '

vvv += e 'PPP += . Em

seguida, realiza-se uma integral sobre um período de tempo longo o suficiente, isto é,

realiza-se uma média temporal. Ao final, vai se obter a seguinte equação diferencial:

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

y

uv

x

uu

x

P

y

u

y

uv

x

uu

''''12

2

ρυ

No processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média temporal das flutuações

e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que envolvem a média temporal

do produto das flutuações (últimos dois termos à direita). Aqui reside grande parte do

problema da turbulência que é justamente se estabelecer modelos para estimar estes

valores não desprezíveis. Estes termos dão origem às chamadas tensões aparentes de

Reynolds que têm um tratamento à parte e não vamos nos preocupar aqui.

O importante é saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e

turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões

apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela

7.9 do Incropera e Witt.

Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu = 60Pr6,010Re 8 ≤≤≤x

Médio : ( ) 318,0 Pr871Re037,0 −= LLNu 810Re ≤L

2,0Re37,0 −= xx

δ 810Re ≤L

Nota: outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula.

As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média

entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 ×105


____________________________


108

______________________________________________________________________ Exemplo resolvido (Holman 5-7)

Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de

comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o calor transferido da placa.

Propriedades avaliadas à CT °=+

= 402

6020

Ckg

kJc p

°= 007,1

3128,1

m

kg=ρ 7,0Pr =

Cm

Wk

°= 02723,0

ms

kgx

510007,2 −=µ

610475,1Re xVL

L ==µ

ρ

2055)871Re037,0(Pr8,03/1 =−== LL

k

LhNu

CmWNuL

kh L °== 2/6,74

WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)( =−=−= ∞

______________________________________________________________________

Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos

No caso do escoamento externo cruzado sobre cilindros e tubos, análise se torna mais

complexa. O número de Nusselt local, dado em função do ângulo de incidência θ, isto é,

Nu(θ), é fortemente influenciado pelo efeito do descolamento da camada limite.

A figura ao lado indica o que acontece com o

número local de Nusselt. Para ReD ≤ 105, o

número de Nusselt decresce como conseqüência

do crescimento da camada limite laminar (CLL)

até cerca de 80o. Após este ponto, o escoamento

se descola da superfície destruindo a CLL e

gerando um sistema de vórtices e mistura que

melhora a transferência de calor (aumento de

Nu(θ). Para ReD > 105, ocorre a transição e

formação da camada limite turbulenta (CLT). Na

fase de transição (80o a 100

o) ocorre a melhora

da transferência de calor. Uma vez iniciada a

CLT, novamente se verifica a diminuição do

coeficiente local de transferência de calor devido

ao crescimento da CLT para, em torno de 140o,

descolar o escoamento da superfície que destrói

a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e

mistura que volta a melhorar a transferência de

calor. No caso turbulento há, portanto, dois

mínimos.


____________________________


109

Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante

analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de

outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de

calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da

correlação empírica de Hilpert, dada por:

3

1

PrRem

DD Ck

DhNu ==

onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como

função do número de Reynolds.

ReD C m

0,4 – 4 0,989 0,330

4 – 40 0,911 0,385

40 – 4.000 0,683 0,466

4.000 – 40000 0,193 0,618

40.000 – 400.000 0,027 0,805

No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma

expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na

próxima tabela (Jakob, 1949).


____________________________


110

Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão

mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por

4/1

Pr

PrPrRe

=

s

nm

DD CNu válida para

<<

<<610Re1

500Pr7,0

D

,

onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são

avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se Pr ≤

10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36.

ReD C m 1 – 40 0,75 0,4

40 – 1.000 0,51 0,5

1.000 – 2×105 0,26 0,6

2×105 – 10

6 0,076 0,7

____________________________________________________________

Escoamento sobre Banco de Tubos

Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor.

Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula

internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é

chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio.

Arranjos em linha ou quicôncio


____________________________


111

Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos.

Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para

outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente,

Zhukauskas apresentou a seguinte expressão:

4/1

36,0

max,Pr

PrPrRe

=

s

m

DD CNu

válida para

<<

<<

≥

6

max, 10.2Re1000

500Pr7,0

20

D

LN

onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é

avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre

a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo.

Configuração ReD,max C m

Alinhada 10-102 0,80 0,40

Em quicôncio 10-102 0,90 0,40

Alinhada

Em quicôncio

102-10

3 Aproximado como um único

102-10

3 cilíndro (isolado)

Alinhada

(ST/SL>0,7)a

103-2×10

5 0,27 0,63

Em quicôncio

(ST/SL<2) 10

3-2×10

5 0,35(ST/SL)

1/5 0,60

Em quicôncio

(ST/SL>2) 10

3-2×10

5 0,40 0,60

Alinhada 2x105-2×10

6 0,021 0,84

Em quicôncio 2x105-2×10

6 0,022 0,84

a Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados.

Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir

a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme

expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo.

202

20 ≥<=

LL ND

ND NuCNu

Tabela com o fator de correção C2 para NL<20 (ReD>103)

NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16

Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99


____________________________


112

O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que

percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em

VDS

SV

T

T

−=max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em

quicôncio ou desalinhado, a velocidade máxima pode ocorrer em duas regiões,

conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição

for satisfeita )()(2 DSDS TD −<− que, após uma análise trigonométrica simples, se

obtém a seguinte condição equivalente 22

212

2 DSSSS TT

LD

+<

+= . Se isso

acontecer, então: VDS

SV

D

T

)(2max

−= . Caso essa condição não seja satisfeita, então, a

velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS

SV

T

T

−=max .

Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt)


____________________________


113

______________________________________________________________________

Exercício de Aplicação

Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C.

Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de

25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C.

Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro

sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais

condições são mantidas. Pede-se:

(a) Em qual caso a troca de calor é maior.

(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos.

(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na

outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua

resposta através de um memorial de cálculo.


____________________________


114

Solução

Propriedades do ar à CTT

Tp

°=+

=∞

452

ν = 1,68 x 10-5

m2/s

k = 2,69 x 10-2

W/mK

Pr = 0,706

Placa

CTp °= 60

smu /4=∞

CT °=∞ 30

critL xLu

Re1095,51068,1

25,04Re 4

5<≅

×

×==

−

∞

ν 5105×=

2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1=××== xNu LL

Assim CmWL

kNuh L °=

×== 2/56,15

25,0

02697,02,144

Cilindro

CTs °= 60

∞∞ Tu ,

πD = L D = 0,25/π = 0,0796 m

Assim, 4

510895,1

1068,1

0796,04Re ×=

×

×=

−D

Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b)

3/1PrRem

DD CNu = p/ReD=1,895×104

C = 0,193

m = 0,618

Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 =×××=DNu

de forma que: KmWD

kNuh

DD

2/63,250796,0

02697,063,75=

×==

a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois LD hh > e a área de troca de

calor é a mesma.


____________________________


115

]b)

Placa

WQ

TTAhQ

placa

ppplaca

7,116

3025,056,15

)(

=

××

−= ∞

Cilindro

WQ

TTAhQ

cil

pccil

2,192

3025,063,25

)(

=

××

−= ∞

c) Porção laminar 5

, 105Re ×=Lcrit

Note que 51059,1Re/ReRe ×=⇒= DLD π sendo equivalente ao crítico.

3/12/1PrRe

664,0LL

L

kh

×= (A)

m

D

m

DD CL

kC

D

kh Re

PrRePr

3/13/1 π== (B)

Portanto de (A), 2/1

3/1

Re664,0

Pr

L

Lh

L

k= , que, pode ser subst. em (B), para obter

Lm

D

D

Lm

DD hC

hCh

5,0

2/1Re669,2

Re664,0

Re −==π

π

Ou 5,0Re669,2 −= m

D

L

DC

h

h para o caso laminar na placa

Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =5×105

3/18,0 Pr)871Re037,0( −×= LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista)

De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( −×= L

L

k

Lh e

871Re037,0

Pr8,0

3/1

−=

L

Lh

L

k (C)

sub. em (B), vem 871Re037,0

Re8,0 −

=L

Lm

DD

hCh

π

Subs. ReL = πReD, vem: 871Re037,0

Re8,0 −

=L

m

D

L

D C

h

h π

Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa

871Re037,0

Re8,0 −

=L

m

D

L

D C

h

h π


____________________________


116

Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões

das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e,

em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do

cilindro (na faixa de validade das expressões)

ReD C m hD/hL regime

4 0,898 0,33 2,09 laminar

40 0,911 0,385 1,59 “

4000 0,683 0,466 1,38 “

40000 0,193 0,618 1,8 “

159000 0,027 0,805 2,78 “

200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb

400000 0,027 0,805 1,43 “

L

D

h

h

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

1 10 100 1000 10000 100000 1000000

ReD

Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 117

____________________________


AULA 16 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE TUBOS E DUTOS - LAMINAR

Considerações hidrodinâmicas do Escoamento

Desenvolvimento da camada limite laminar

xe – comprimento de entrada

x > xe – escoamento plenamente desenvolvido

O número de Reynolds agora deve ser baseado no diâmetro do tubo (ou duto), isto é:

µ

ρ DuD =Re

Onde, u – velocidade média

O caso laminar vai ocorrer para 2300Re <D e, nesse caso, o comprimento de entrada

se estende até Dx De Re05,0≈

No caso turbulento, dá-se início ao desenvolvimento da camada limite laminar, porém,

essa camada limite sofre uma transição para camada limite turbulenta, como indicado na

figura abaixo.

Nesse caso, Dxe 10≈ . O número de Reynolds vai indicar se o escoamento é turbulento.

Isto vai ocorrer para 4000Re >D . Entre 2300 e 4000 ocorre transição laminar-

turbulento. Para efeitos práticos, porém, pode-se assumir escoamento turbulento a partir

de 2300.


____________________________


TEMPERATURA MEDIA DE MISTURA No caso do escoamento interno, existe um problema de referenciar a transferência de

calor. Para exemplificar essa dificuldade, considere os escoamentos externos e internos

ilustrados abaixo. No primeiro caso, o cálculo da transferência de calor se dá levando

em consideração a temperatura da superfície, Ts, de do fluido ao longe, T∞, a qual é

constante. Isso já não ocorre no caso do escoamento no interior. Não existe uma

temperatura ao longe, T∞, para efetuar o cálculo da troca térmica. O que se usa é uma

temperatura média Tm. Só que não pode ser uma temperatura média aritmética simples,

pelos motivos expostos abaixo. Há de ser uma temperatura efetiva que represente a

temperatura do fluido na seção. Esta é a chamada temperatura média de mistura ou de

copo.

)(

cte

s TThAq ∞−=

∞T

sT

)( ms TThAq −=

sT

Para entender como se obter a temperatura média de mistura, considere os seguinte

perfis de temperatura e velocidade em um fluido sendo aquecido:

sT

cT

Note que as maiores temperaturas ocorrem junto à parede porém, nessa região é onde

ocorrem as menores velocidades. Assim, a média aritmética simples ∫= TdAA

Tm

1 não

representa a temperatura efetiva da seção. Para obter a temperatura efetiva da seção,

considere um exercício mental em que uma porção do fluido é colocado dentro de um

copo. Há de se concordar que a temperatura efetiva é a temperatura de equilíbrio

daquela porção de fluido. Certo? Sim, isto está correto e daí o nome alternativo de

temperatura de copo (“cup” que significa literalmente “caneca” no vernáculo original).


____________________________


mequilibrio TT =

Para determinar essa temperatura, considere o fluxo entálpico, hE& , na seção transversal

dado por: ∫∫ ==A

h uhdAmhdE0

ρ&& .

Assim, pode-se definir a entalpia média, hm, na seção transversal por:

mh

A

m hmEuhdAm

h &&&

=⇒= ∫0

1ρ

Mas, sabendo que mpm Tch = , então: ∫=A

P

P

m TdAuCmC

T0

1ρ

&

Se CP= cte., vem que ∫=A

m uTdAm

T0

1ρ

&

Mas, por definição a vazão mássica na seção transversal é dada por ∫=A

udAm0

ρ&

Assim, chega-se na expressão da definição da temperatura média de mistura ou

temperatura de copo, qual seja:

∫

∫=

A

A

m

udA

uTdA

T

0

0

ρ

ρ

Para o caso do duto circular a área da seção transversal é dada por

rdrdArA ππ 22 =⇒= que, substituindo na expressão acima, resulta em:

∫

∫=

r

r

m

urdr

uTrdr

T

0

0

ρ

ρ

(válida para tubo circular)

Além do mais, se ρ= cte, vem

∫

∫=

R

R

m

urdr

uTrdr

T

0

0 (válida para tubo circular)


____________________________


Transferência de Calor no Escoamento Laminar no Interior de Duto

Conhecida a expressão para o cálculo da temperatura média de mistura, pode-se

determinar a transferência de calor, caso sejam conhecidas as distribuições de

velocidade e temperatura na seção transversal, isto é, u(r) e T(r). O caso laminar fornece

tais expressões, como veremos a seguir. Considere o perfil laminar de velocidades

ilustrado abaixo. No diagrama à direita, tem-se uma balanço de forças para o elemento

de fluido.

)2( rdxπτ

2)( rdpp π+)( 2rp π

Um balanço de força, resulta em: )2(2 rdxdpr πτπ −= , ou dxdr

durdp µ2−= ou, ainda:

drdx

dprdu

µ2−=

Integrando na direção radial. Note que a pressão estática é a mesma na seção

transversal, isto é, p≠ p(r), vem que Cdx

dpru +−=

µ4

2

A constante C é determinada da condição de parede, isto é,

u = 0

r = r0 dx

dprC

µ4

.2

0=

Assim, )(4

1)( 22

0 rrdx

dpru −=

µ

Velocidade no centro do tubo, u0: dx

dpru

µ4

2

00 −=

Finalmente, dividindo uma expressão pela outra, tem-se:

2

0

2

0

1)(

r

r

u

ru−= O perfil de velocidade é parabólico (2º grau)!!

Admitindo-se fluxo de calor constante na parede do tubo: 0=dx

dq p

Um balanço de energia para o elemento de fluido anterior resulta em:

r0


____________________________


x

T

r

Tr

rr ∂

∂=

∂

∂

∂

∂

αµ

11

Como o fluxo de calor e constante ao longo do tubo, então: ctex

T=

∂

∂

Por outro lado, por simetria no centro do tubo, sabe-se que 00

=∂

∂

=rr

T e, na parede do

tubo cteqr

Tk p

rr

==∂

∂

= 0

Entrando com estas c.c na equação acima e integrando, resulta no seguinte perfil

laminar de temperaturas:

−

∂

∂+=

4

0

2

0

2

00

04

1

4

1)(

r

r

r

rru

x

TTrT

α

Finalmente, pode-se agora introduzir os perfis de velocidade, u(r) e temperatura, T(r),

na equação da definição da temperatura média de mistura ∫∫=00

00

rr

m urdruTrdrT

Após algum esforço, se obtém x

TruTTm

∂

∂+=

α

2

00

096

7 (para fluxo de calor constante na

parede).

Para se poder calcular a transferência de calor, ainda é preciso obter a temperatura de

parede (r = r0). Isto é prontamente obtido da expressão de T(r), que resulta em:

x

TruTTp

∂

∂+=

2

00016

31

α (fluxo de calor constante)

Agora, finalmente, o coeficiente de transferência de calor laminar em tubo circular com

propriedades constantes e escoamentolenamente desenvolvido pode ser calculado, a

partir da sua própria definição:

0

)(rr

mpr

TkATThAq

=∂

∂=−= , ou ( )

mp

rr

TT

r

Tk

h−

∂

∂

== 0

Substituindo as expressões, vem:


____________________________


∂

∂−−

∂

∂+

−

∂

∂+

∂

∂

==

44 344 21444 3444 21mP TT

rr

x

TruT

x

TruT

r

r

r

rru

x

TT

rk

h

αα

α

2

00

0

2

000

4

0

2

0

2

000

96

7

16

31

4

1

4

1

0

Após se efetuar os cálculos, vai-se chegar a D

kh 364,4= ou, 364,4=DNu . Este é um

resultado notável, pois o número de Nusselt para escoamento laminar plenamente

desenvolvido, props. constantes, submetido a um fluxo de calor constante não depende

do número de Reynolds ou de qualquer outro parâmetro! Se os cálculos forem efetuados

para temperatura de parede constante, vai-se obter 66,3=DNu .

Trabalhos teóricos também foram realizados para outras geometrias e seus valores são

apresentados na tabela abaixo. O fator de atrito também é apresentado.

Nos problemas práticos, as propriedades devem ser calculadas à média entre as

temperaturas médias de saída e entrada, isto é: 2

msmem

TTT

−= .

Quando os tubos são curtos, deve-se considerar que o escoamento ainda não está

plenamente desenvolvido. O gráfico abaixo ilustra como o número de Nusselt varia,

começando da entrada, até que o escoamento se torne plenamente desenvolvido.


____________________________


Veja livro para correlações que consideram o comprimento de entrada.

DETERMINAÇÃO DE Tm AO LONGO DO COMPRIMENTO DO TUBO

Em muitas situações, estamos mais interessados em determinar como a temperatura

média de mistura varia não na seção transversal, mas sim ao longo do tubo. Isto é

obtido, mediante um balanço de energia, conforme ilustrado na figura abaixo.

dxxhm +&xhm&

pdAq"

Expansão em serie de Taylor da entalpia, vem ...++=+ dxdx

dhhh x

xdxx

Mas, pela 1ª lei, temos: pxdxx dAqhmhm "+=+&& , que substituindo a expansão, já

desprezando os termos de ordem superior, tem-se

px

x

dxx dAqhmdxdx

dhhm "+=

++

&&

ou, simplesmente p

x dAqdx

dhm "=& : Ap = área em contato com o fluido.

Mas, por outro lado PdxdA = ;onde P é o chamado perímetro molhado.

De forma que Pdxqdxdx

dhm x "=&


____________________________


Ou, ainda, Pqdx

dhm x "=& . Assumindo cteCpdTCdhouTch PPmp === / , , tem-se

dx

dTCm

dx

dTAuCPq m

P

m

P&== ρ"

Dois casos podem ser analisados para ser determinar Tm que dependem da condição de

contorno na parede.

(I) Fluxo de calor constante na parede.

cteq ="

Integrando a equação, vem ctexAuC

PqxT

P

m +=ρ

")(

Para x = 0, Tm = Te, de forma que e

P

m TxAuC

PqxT +=

ρ

")(

(II) Temperatura de parede constante Tp = cte

Nesse caso, )(" mpxx TThq −= que, substituindo na expressão Tm, vem

dx

dTCmTTPh m

Pmpx&=− )(

Ou, dxcm

Ph

TT

dT

p

x

mp

m

&=

−, cuja integração resulta em ctex

Cm

PhTT

P

mp +=−&

)ln(

Para x = 0, Tm = Te, de forma que

−=

−

−

Pep

mp

Cm

Pxh

TT

xTT

&exp

)(

T Tp

Te

Tmh

h

fluxo de calor constante na superfície

T

x

Tp

Te

temperatura de parede constante


____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2009

125

AULA 17 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE DUTOS - TURBULENTO

Transferência de Calor no Escoamento Turbulento em Dutos – Analogia de Reynolds-Colburn

No caso laminar, a condução de calor é dada por dr

dTk

A

q−= , ou

dr

dT

cA

q

p

αρ

−=

No caso de escoamento turbulento, define-se uma expressão semelhante do tipo

( )dr

dT

cA

qH

p

εαρ

+−=

εH - é a chamada difusividade térmica turbilhonar Analogamente à tensão de cisalhamento, pode-se escrever

dr

du

dr

dum )( εν

ρ

τµτ +=⇒=

onde, εm - viscosidade turbilhonar Hipótese: Admitindo que o calor e quantidade de movimento sejam transportado numa

mesma taxa, ou εH = εm e ν = α, o que significa que Pr = 1. Então, dividindo as

equações anteriores, vem:

du

dT

Ac

q

p

−=τ

ou dTduAc

q

p

−=τ

Outra hipótese a ser adotada é que a razão entre o fluxo de calor por unidade de área e o

cisalhamento seja constante na seção transversal, o que permite escrever que o que

ocorre na parede, também ocorre dentro do escoamento, isto é:



126

ppP

p

P AC

q

AC

q

ττ= ou dTdu

AC

q

ppP

p−=

τ

As condições de contorno do problema são: u = 0 , T = Tp u = um , T = Tm

De forma, que é possível integrar a equação: ∫∫ −=m

p

m T

T

u

pPp

pdTdu

CA

q

0τ

que resulta em mpm

pPp

pTTu

CA

q−=

τ

mas, por outro lado, o fluxo de calor convectivo é dado por )( mppp TThAq −= . Agora

igualando as duas expressões, tem-se:

mpm

ppp

mppTTu

cA

TThA−=

−

τ

)( que resulta em p

p

m

c

huτ= (A)

Por outro lado, o equilíbrio de forças no elemento de fluido, resulta em:

LrrP p 02

0 2πτπ =∆ , ou PL

rp ∆=

20τ

Lrp 02πτ

pτ

20)( rPP π∆+

20rPπ

Mas da mecânica dos fluidos, 2

2

0

mu

d

LfP ρ=∆ , onde f = fator de atrito (sai do

diagrama de Moody ou expressão de ajuste – Colebrook, Churchil, entre outras)

Assim, comparando as duas expressões, vem 2

8 mp uf

ρτ = (B)

Finalmente, pode-se concluir a analogia igualando as equações (A) e (B). Assim:

2

8 m

p

m uf

C

huρ=



127

Agora é de interesse que se façam aparecer os adimensionais que controlam o

fenômeno. Para isso, algumas manipulações serão necessárias, começando por

rearranjar a equação acima, para obter:

ρρ 8

f

uC

h

mp

=

Agora, conveniente, esta expressão é multiplicada e dividida por algumas grandezas,

conforme indicado abaixo:

8

1

0

0 f

udC

k

k

hd

mp

=

ν

νρ

que, pode ainda ser manipulada para obter: 8/

1

/

1

0

0 f

udk

hd

m

=

ναν

Finalmente, os grupos adimensionais são substituídos:

8RePr

fNu

D

D = , ou 8

fSt =

Esta é a analogia de Reynolds para escoamento turbulento em tubos. Ela está de acordo

com dados experimentais para gases ( Pr ~ 1). Com base em dados experimentais

Colburn recomenda que a relação acima seja multiplicada por Pr2/3 para Pr > 0,5 (até

100)

8RePr 31

fNu

D

D = , ou 8

Pr 32 fSt =

Na faixa de Reynolds entre 2 ×104, para tubos lisos, f pode ser relacionado da seguinte

forma 2,0Re184,0 −

= Df

Então, obtém-se a famosa expressão de Dittus-Bolter (ligeiramente modificada)

3/18,0 PrRe023,0 DDNu =

Na prática, sugere-se que o expoente do número de Prandtl seja do tipo

n

DDNu PrRe023,0 8,0=

onde, n = 0,3 se o fluido estiver sendo resfriado n = 0,4 se o fluido estiver sendo aquecido



128

Por tubos rugosos, usar o diagrama de Moody para obter , f ou uma expressão de correlação, como por exemplo a expressão de Churchill

( )

121

5,1

121

Re

88

++

=

BAf

D

onde

( ) ( )

16

9,0 27,0Re7

1ln457,2

+=

DA

D ε

e 16

Re

530.37

=

D

B

Esta expressão tem a vantagem de ajustar de forma suave a transição laminar-turbulento Outras correlações (tubo liso),válidas para a região de entrada 0,5 < Pr < 1,5

+−=

3/25/25/4 1Pr)100(Re0214,0

L

DNu DD

0,5 < Pr < 1,5

+−=

3/25/287,0 1Pr)280(Re012,0

L

DNu DD

CORREÇÃO DEVIDO A PROPRIEDADES VARIAVEIS (A) Laminar As propriedades são calculadas a temperatura de mistura. Acontece que algumas propriedades dependem fortemente da temperatura como, por exemplo, a viscosidade da água: µ (T = 25°C) ~ 8,90 x 10

-4 kg/ms

µ (T = 30°C) ~ 7,98 x 10-4

kg/ms

Em 5ºC ocorre uma variação em torno de 10%. Assim, segue-se que a seguinte expressão seja utilizada para levar este efeito em consideração.

Ver tabela de correlações para outras configurações



129

n

p

mcor NuNu

=

µ

µ

µm = viscosidade à temperatura da mistura.

µp = viscosidade à temperatura da parede Se o fluido for em gás n = 0 (sem correções) Para 0,5 < Tm / Tp < 2,0 (B) Turbulento

n

p

mcor

T

TNuNu

=

T – temperatura absoluta n = 0 (resfriamento de gases) n = 0,45 para fases sendo aquecidos (n = 0,15 p/ Co2) se 0,5 < Tm / Tp < 2,0

liquidos

11,0

Pr

Pr

=

p

mcor NuNu

______________________________________________________________________ Exemplos resolvidos (1) Ar escoa pelo interior de um duto de 5cm de diâmetro. A velocidade do ar é 30m/s e sua temperatura é 15ºC. O comprimento aquecido do tubo é 0,6m com temperatura de parede, Tp = 38ºC. Suponha que o escoamento seja plenamente desenvolvido. Obtenha a transferência de calor e a temperatura de saída do ar.

CTp °= 38

Calcule as propriedades à temperatura média 2

sem

TTT

+=

Dittus Boelter: 4,08,0 PrRe023,0 DDNu = (1)

Balanço de energia: )()( espmp TTCmTTAh −=− & (2)

Note que há duas equações e duas incógnitas (Ts e h) Esses tipos de problema devem normalmente serem resolvidos de forma iterativa, conforme esquema abaixo. Primeiro admite-se uma temperatura de saída, calculam-se



130

todas as grandezas envolvidas e depois faz-se a verificação se corresponde ao resultado da segunda equação. Caso contrário, admite-se uma nova temp. de saída.

h

Ts = 21ºC ⇒ Tm = 18ºC Tabela A.5 (Holman) A.4 (Incropera) – Interpolação ρ = 1,2191 kg/m

3 γ = 14,58 x 10

-6 m

2/s Pr = 0,72

cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02554 W/m°C

56

10029,11058,14

05,030Re x

x

xVDD ===

−ν turbulento !!!!

De (2) ( ) ( ) Cx

TTmc

hATT mp

p

es °=−+=−+= 7,171838100056,1*072,0

6,0*05,0**4,10515 3

π

Não confere!! Portanto, nova iteração é necessária Assumindo agora Ts = 18ºC Logo, Tm = 16,5ºC, assim: ρ = 1,2262 kg/m3

µ = 14,40 x 10-6 m2/s Pr = 0,711

cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02542 W/m°C

51004,1Re xD = skgm /072,0=& CmWh °= 2/27,105

CTs °≅ 95,17 OK! Agora, confere

Realizando os cálculos pedidos. Pela lei de resfriamento

WTTAhq mps 3,213)5,1638(*6,0*05,0**27,105)( =−=−= π

Pela 1ª. Lei

WTTcmq esp 2,217)1518(*6,1005*072,0)( =−=−= &

As diferenças se justificam em função das aproximações usadas e no cálculo das propriedades.



131

(2) Água passa em tubo de 2cm de diâmetro dotado de uma velocidade média de 1 m/s. A água entra no tubo a 20ºC e o deixa a 60ºC. A superfície interna do tubo é mantida a 90ºC. Determine o coeficiente médio de convecção de calor, sabendo que o tubo é longo. Calcule, também, o fluxo de calor transferido por unidade de área de tubo. Solução

As propriedades termofísicas da água serão calculadas à média das temperaturas de misturas da entrada e saída, isto é, a 40ºC. ρ = 992,3 kg/m

3 k = 0,6286 W/m°C cp = 4,174 kJ/kg°C

µ = 6,531 x 10-4

kg/ms Pr = 4,34

O número de Reynolds do escoamento é

44

10039,310531,6

3,99202,01Re ×=

×

××==

−µ

ρVDD

O escoamento é turbulento e o número médio de Nusselt é obtido usando a equação de Dittus-Bolter, vem.

4,08,0 PrRe023,0D

DNu =

Assim, ( ) 5,15934,410039,3023,0 4,08,04 =×=DNu As propriedades termofísicas da água são dependentes da temperatura, e uma correção deveria ser realizada para o número de Nusselt obtido com a hipótese de propriedades constantes. O número de Prandtl da água a 90oC vale 1,97.

0,17497,1

34,45,159

Pr

Pr11,011,0

=

=

=

P

mcor NuNu

O coeficiente médio de transferência de calor é

Cm

W

D

kNuh

cor

°=

×==

21,5468

02,0

6286,00,174

( ) 2/4,27340901,5468)(" mkWTThq p =−=−=



132

DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA – DMLT

No exemplo anterior de parede de tubo constante, a temperatura de mistura do fluido

varia de forma exponencial entre a entrada e saída. Assim, os cálculos realizados acima

foram aproximados apenas, pois usamos uma temperatura média representativa do

fluido que foi simplesmente a média aritmética entre a temp. de mistura de entrada e

saída. No entanto, prova-se (veja Incropera 8.3.3) que nestes casos deve-se usar a

diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, definida por:

( )es

es

TT

TTDMLT

∆∆

∆−∆=

ln

onde, sps TTT −=∆ e epe TTT −=∆

T

x

Tp

Te

Assim, a lei de resfriamento de Newton adequadamente aplicada é DMLTAhq ××=

Refazendo o exercício, vem: ( )

CDMLTo2,47

7030ln

7030=

−= - compare com CT

o40=

Assim, 2/1,2582,471,5468)(" mkWDMLThq =×==

Como última informação, perceba que se as diferenças de temperatura entre a entrada e

saída não forem muito grandes, a DMLT vai tender a diferença entre a temperatura de

parede e a média entre as temperaturas de mistura de entrada e saída.



133

Outro exemplo de Aplicação Um tubo de um aquecedor solar é exposto a uma radiação térmica uniforme e constante de 1000 W/m por meio de um concentrador. O diâmetro do tubo é de 60mm.

1) se a água entra no tubo a skgm /01,0=& e Tm,1 = 20°C. Qual o

comprimento do tubo necessário para a temperatura de saída alcançar Tm,2

= 80°C? 2) Qual a temperatura superficial do tubo na saída?

Solução

skgm /01,0=

CTm °= 201

CTm °= 802

1) 1º Lei TCmQ p∆= && , com DLqQ π"&& = e, portanto, TCmDLq p∆= && π"

De forma que: Dq

TCmL

p

π"&

& ∆= , ou m

x

xxL 31,13

06,0100

60418101,0==

π

2) )(" 2,2, mps TThq −=& ou 2,2,

"m

sp T

h

qT +=

&

Precisamos, agora, fazer uma estimativa de h Regime de escoamento – cálculo do número de Reynolds:

µπρνπν D

m

D

DmDumD

&& 44Re

2===

da tabela 2680 /10352 mNsC

−

° ×=µ , então

23006031035206,0

01,04Re

6<=

×××

×=

−πD - Laminar !!

Como se trata de fluxo de calor constante na parede, tem-se 364,4==k

DhNuD

Assim, D

kh

364,4= mas CmWk C °=° /670,080

Logo, CmWx

h °== 2/73,4806,0

67,0364,4

Finalmente, CTp °=+= 5,1008073,48

10002,



134

AULA 18 – CONVECÇÃO NATURAL OU LIVRE Nos dois casos anteriormente estudados, convecção interna e externa, havia o movimento forçado do fluido em relação à superfície de troca de calor. Esse movimento forçado poderia ser causado por um agente externo como uma bomba, um ventilador, ou outra máquina de fluxo. A gravidade desempenhava pouco ou nenhum efeito sobre a transferência de calor nesses casos. No entanto, quando o fluido se encontra em repouso e em contato com uma superfície aquecida é fato conhecido que haverá transferência de calor da superfície para o fluido. O raciocínio recíproco também é verdadeiro no resfriamento da superfície. Nesse caso o número de Reynolds é nulo e a maioria das correlações desenvolvidas não se aplicariam. Assim, o movimento do fluido vai ocorrer como resultado de outro fenômeno, originário da diferença de densidade resultante de gradientes de temperatura. Para se entender melhor esse aspecto, considere uma superfície vertical em contato com um fluido em repouso. As camadas em contato com a superfície aquecida também vão se aquecer e, como conseqüência, haverá uma diferença de empuxo gravitacional entre as porções aquecidas e as adjacentes menos aquecidas. Assim, as porções aquecidas sobem, enquanto que as menos aquecidas tomam seu lugar dando origem às correntes de convecção. Camadas limites térmicas e hidrodinâmicas também são estabelecidas, como ilustrado abaixo. No caso da C L H, as condições de contorno do problema exigem que a velocidade seja nula junto à superfície e na camada limite, como ilustrado.

Equações diferenciais Quantidade de movimento

2

2

y

ug

x

p

y

uv

x

uu

∂

∂+−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂µρρ

Mas, gx

p∞−=

∂

∂ρ , de forma que substituindo na equação da QM, vem

2

2

)(y

ug

y

uv

x

uu

∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂∞ µρρρ

Mas o coeficiente de expansão voluntária, β , pode ser escrito como:

−

−≅

∂

∂−=

∞

∞

TTT p

ρρ

ρ

ρ

ρβ

11, ou )( ∞∞ −≅− TTβρρρ (aproximação de

Boussinesq), logo,



135

2

2

)(y

uTTg

y

uv

x

uu

∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂∞ υβ

Note que para gás perfeito, ][K 11 1-

TRT

P

TP

RT

T pp

GP =

∂

∂−=

∂

∂−=

ρ

ρβ

A equação da Energia: 2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂α

Contrariamente à solução das camadas limites hidrodinâmicas e térmicas laminares da

convecção forçada, as equações da conservação da quantidade de movimento e da

energia não podem ser resolvidas separadamente, pois o termo de empuxo

( )∞− TTgβ acopla estas duas equações. Não se pretende avançar na discussão da

solução dessas camadas limites e sugere-se a leitura da Seção 9,4 do livro do Incropera,

como ponto de partida para aquele aluno mais interessado. A partir desse ponto, lança-

se mão de correlações empíricas, obtidas em experimentos de laboratório.

O primeiro passo para a análise empírica é a definição de um novo grupo adimensional

chamado número de Grashof, Gr, por

2

3)(

νβ

xTTgGrx

∞−=

Este adimensional representa a relação entre as forças de empuxo e as forças viscosas na

convecção natural. Ele desempenha papel semelhante ao do número de Reynolds na

convecção forçada. Assim, a solução das equações da quantidade de movimento e

energia podem ser escritas da forma

Pr),(GrfNu =

A solução aproximada para a placa vertical isotérmica em convecção natural laminar,

resulta em:

4/14/12/1 Pr)952,0(Pr508,0 xx GrNu −+=

e o valor médio de Nusselt



136

Lxx

L

xL NuGrdxNuL

uN =− =+== ∫ 3

4Pr)952,0(Pr677,0

1 4/14/12/1

0

Assim, como ocorre com a convecção forçada, também existe a transição de camadas

limites de laminar para turbulenta na placa vertical, o valor normalmente aceito é

910Pr ≅critGr

Relações Empíricas Diversas condições de transferência de calor por convecção natural podem ser

relacionada da seguinte forma.

,Pr)( mm CRaGrCuN =×=

sendo as propriedades calculadas a temperatura de película, Tf, que é a média entre a

temperatura da superfície e do fluido. O produto Gr.Pr é chamada de número de

Rayleigh ( )

α

β

v

LTTgGrRa s

3

Pr. ∞−==

a) Superfícies Isotérmicas - Convecção natural em cilindros e placas

Geometria Ra C m obs 104 – 109 0,59 ¼ Laminar

4/1

35

LGrL

D> Cilindros e placas verticais

109 – 1013 0,10 1/3 Turbulento

104 – 109 0,53 ¼ Laminar Cilindros horizontais 109 – 1012 0,13 1/3 Turbulento

b) Fluxo de calor constante

Grashof modificado: Gr* 2

4* .

ν

β

k

xqgNuGrGr B

xx ==

Laminar, placa vertical: ( ) 5/1* Pr.60,0 xx GrNu = 11*5 1010 << xGr

Turbulento, placa vertical: ( ) 4/1* Pr.17,0 xx GrNu = 16*13 10Pr10.2 << xGr



137

Sumário de correlações (Incropera)



138

_____________________________________________________________________ Exemplo sugerido Com base em muitos dados experimentais indicados no gráfico abaixo (extraído de

Kreith & Bohn), estabeleça sua própria correlação experimental de )(RafNuD = para

cilindros horizontais.

Espaços Confinados Um caso comum de convecção natural é o de duas paredes

verticais isotérmicas, conforme ilustrado ao lado, separadas

por uma distância δ. A figura seguinte mostra os perfis de

velocidade e temperatura que podem ocorrer, de acordo com

MacGregor e Emery. Na figura, o número de Grashof é baseado

na distância δ entre as placas:

2

3)(

ν

δβ ∞−

=TT

gGrx

L

δ

T1 T2



139

Os regimes de escoamento estão indicados no gráfico acima. As correntes de convecção

dimimuen com o número de Grashof e, para números de Grashof muito baixos, o calor é

transferido sobretudo por condução de calor. Outros regimes de convecção também

existem, dependendo do número de Grashof, como ilustrado. O número de Nusselt é

expresso em função da distância das placas, isto é: k

hNu

δδ = . Conforme indicado por

Kreith, algumas correlações empíricas podem ser empregadas:

Grδ - número de Grashof baseado na distância δ entre as placas.



140

No caso de espaço confinado horizontal há duas situações a serem consideradas. Não

haverá convecção se a temperatura da placa superior for maior que a da placa inferior e

a transferência de calor se dará por condução. Já no caso recíproco, isto é, temperatura

da placa inferior maior que a da placa superior, haverá convecção. Para número de

Grashof baseado na distância δ entre as placas, Grδ, inferior a 1700 haverá a formação

de células hexagonais de convecção conhecidas como células de Bernard, como

ilustrado. O padrão das células é destruído pela turbulência para Grδ ∼ 50000.

Segundo Holman há uma certa discordância entre autores, mas a convecção em espaços

confinados podem ser expressas através de uma expressão geral do tipo:

( )m

n LGrC

k

hNu

==

δ

δδδ Pr

C, m e n são dadas na tabela a seguir. L é a dimensão característica da placa. Holman

adverte que deve-se usar essa expressão na ausência de uma expressão mais específica.



141

CONVECÇÃO MISTA

Até o presente os casos de convecção natural e forçada foram tratados separadamente.

Claro que a natureza não está preocupada com nossas classificações. De forma que

existem determinadas situações em que os dois efeitos são significativos que é chamada

de convecção mista. Considera-se que a convecção mista ocorra quando 1Re/ 2 ≈LLGr .

As duas formas de convecção podem ser agrupadas em três categorias gerais: (a)

escoamento paralelo se dá quando os movimentos induzidos pelas duas formas de

convecção estão na mesma direção (exemplo de uma placa aquecida com movimento

forçado ascendente de ar); : (a) escoamento oposto se dá quando os movimentos

induzidos pelas duas formas de convecção estão em direções opostas (exemplo de uma

placa aquecida com movimento forçado descendente de ar); : (c) escoamento

transversal é exemplificado pelo movimento forçado cruzado sobre um cilindro

aquecido, por exemplo. É padrão considerar que o número de Nusselt misto seja

resultante da combinação dos números de Nusselt da convecção forçada, NuF, e natural,

NuN, segundo a seguinte expressão:

n

N

n

F

nNuNuNu ±=

onde o expoente n é adotado como 3, embora 3,5 e 4 também sejam adotados para

escoamentos transversais sobre placas horizontais e cilindros (e esferas),

respectivamente. O sinal de (+) se aplica para escoamentos paralelos e transversais,

enquanto que o sinal de (-), para escoamentos opostos.



142

AULA 19 – INTRODUÇÃO À RADIAÇÃO TÉRMICA

A radiação térmica é a terceira e última forma de transferência de calor existente. Das

três formas, é a mais interessante e intrigante, pois é por causa da radiação térmica que o

planeta Terra é aquecido pelo Sol e, como conseqüência, vida existe em nosso planeta.

Mais intrigante ainda, é que todos os corpos emitem radiação térmica, pois a ocorrência

da mesma depende tão somente da temperatura absoluta do corpo, mais precisamente de

sua temperatura absoluta elevada à quarta potência. Assim, tudo que nos cerca nesse

exato momento está emitindo radiação térmica. Finalmente, diferentemente dos outros

dois modos de transferência de calor, a radiação térmica não precisa de um meio

material para ocorrer. Assim, é como o calor chega do Sol ao planeta Terra em meio ao

vácuo.

Não se conhece completamente o mecanismo físico do transporte de energia pela

radiação térmica (e por radiação, de uma forma mais ampla). Em determinadas

experiências de laboratório, a energia radiante é considerada como transportada por

ondas eletromagnéticas e, em outros experimentos, como sendo transportada por fótons.

É a chamada dualidade onda-partícula. No entanto, sabe-se que ela viaja a velocidade

constante da luz independente do modelo físico considerado. A energia associada a cada

fóton é hν, onde h é a constante de Planck, que vale h = 6,625.10-34

Js. E a freqüência,

ν, está relacionado com o comprimento de onda, λ, por:

c = λ ν,

onde c é a velocidade da luz que vale c = 3×108 m/s. Uma unidade corrente do

comprimento de onda é o Angstron que vale mA10

o

10 1 −= . Um submúltiplo de λ é o

micrômetro, ou µm que vale 1 µm = 10-6 m.

Classificam-se os fenômenos de radiação pelo seu comprimento de onda (ou

freqüência). Claro que a radiação e seu comprimento de onda característico, ou

comprimentos de onda, dependem de como a radiação foi produzida. Como nos informa

Kreith, por exemplo, elétrons de alta freqüência quando bombardeiam uma superfície

metálica produzem raios X, enquanto que certos cristais podem ser excitados para

produzirem ondas de rádio em grandes comprimentos de onda. Entretanto, a radiação



143

térmica é aquela que é produzida por um corpo em virtude tão somente da sua

temperatura absoluta. O esquema a seguir ilustra os diversos tipos de radiação.

(a) espectro de radiação eletromagnética e as diversas denominações de

acordo com sua faixa; (b) detalhe da radiação térmica na faixa de

comprimento de ondas mais relevante, com detalhe para a região visível.

(Kreith e Bohn, 2003).

Radiação gama – é uma forma de radiação de alta freqüência (baixos comprimentos

de onda) que é emitida por materiais radioativos e pelo Sol. Encontra aplicações na

medicina (tratamento de radioterapia) e na conservação de alimentos.

Raios X – sua origem se dá no movimento dos elétrons e seus arranjos eletrônicos.

Essa forma de radiação é empregada para obtenção de radiografia e análise de estrutura

cristalina dos materiais. Gases da alta atmosfera absorvem os raios produzidos pelo Sol.

Radiação ultravioleta – faixa de radiação compreendida entre 0,01 e 0,4 µm e que é

produzida pelas reações nucleares do sol. A camada de ozônio da atmosfera terrestre

absorve esse tipo de radiação nociva aos seres vivos (câncer de pele).

Radiação visível (luz): é a faixa da radiação que somos capazes de “enxergar” e está

compreendida entre os comprimentos de onda 0,4 e 0,70 µm.



144

A luz “branca” do sol é a combinação de várias “cores” (ilustração do Wikipedia).

Radiação infravermelha - faixa de radiação compreendida entre 0,7 e 1000 µm.

Também pode ser chamada de radiação térmica. Entretanto, como será visto, a radiação

térmica é contínua para todos os comprimentos e de e não se situa em uma faixa

específica apenas.

Microondas – faixa de radiação de se estende para além dos 1000 µm.

Ondas de rádio – faixa de freqüência usada para radio e telecomunicações de

comprimento de onda superiores a 1 m.

Corpo Negro

Já foi informado que a radiação térmica é a radiação emitida por um corpo em virtude

tão somente da sua temperatura. A pergunta natural seguinte é: dois corpos à mesma

temperatura (digamos 300 K) emitem a mesma quantidade de radiação? A resposta é:

não! Então, a outra pergunta que deveria vir a seguir é: Existe, então, algum corpo que

naquela temperatura (suponhamos ainda os 300 K) emita a maior quantidade possível

de radiação térmica? A resposta é: sim! Esse corpo idealizado é chamado de corpo

negro. O adjetivo negro não tem nada a ver com a cor que percebemos do corpo (ou a

ausência de cor). O brilhante sol, por exemplo, é um corpo com características próximas

de um corpo negro. Assim, um corpo negro, ou irradiador ideal, é um corpo que emite

e também absorve, a uma dada temperatura, a máxima quantidade possível de radiação

térmica em qualquer comprimento de onda. Assim, o corpo negro se torna uma

idealização para efeito de cálculos, pois que, dada uma temperatura, sabe-se que ele vai

emitir (e também absorver) a maior quantidade de radiação térmica. De forma que os

corpos reais podem ser comparados com o corpo negro para saber o quanto eles emitem



145

(e absorvem) radiação térmica. Isso pelo fato de que é possível calcular a radiação

térmica emitida pelo corpo negro, como se verá a seguir.

É possível calcular o quanto um corpo negro emite de radiação térmica para uma dada

temperatura e comprimento de onda por unidade de área de superfície do corpo. Essa

quantidade é definida como poder emissivo espectral ou monocromático, Enλ, onde o

índice “n” se refere ao corpo negro e, “λ”, ao fato de ser espectral (para um

comprimento de onda do espectro). As unidades de Enλ são W/m2µm. Planck mostrou

que o poder emissivo espectral do corpo negro se distribui seguindo a seguinte

expressão:

,)1( /5

1

2 −=

TCne

CE

λλλ

onde: C1 = 3,7415×108 W(µm)4/m2 = 3,7415×10-16

W.m2

C2 = 1,4388×104 µm.K = 1,4388×10-2

m.K

A expressão da lei de Planck permite extrair algumas informações bastante relevantes

sobre a radiação térmica, destacando-se:

(1) – A radiação térmica de corpo negro (poder emissivo espectral, Enλ) é

contínua no comprimento de onda. Isto é, trata-se de uma grandeza que se

distribui desde λ = 0 até o maior comprimento de onda possível (∞);

(2) – A um dado comprimento de onda, λ, Enλ aumenta com a temperatura;

(3) – A região espectral na qual a radiação se concentra depende da

temperatura, sendo que comparativamente a radiação se concentra em

menores comprimentos de onda;

(4) – Uma fração significativa da radiação emitida pelo sol, do qual pode ser

aproximado por um corpo negro a 5800 K, se encontra na região visível

(0,35 a 0,75 µm).

As observações acima podem ser melhor compreendidas observando a expressão de

Planck no gráfico di-log a seguir que tem o poder emissivo espectral no eixo das

coordenadas e o comprimento de onda no eixo das abscissas. Os pontos de máximo

poder emissivo espectral estão unidos por uma linha pontilhada, chamada de lei de

deslocamento de Wien, dada por:



146

⇒=

−∂

∂=

∂

∂0

)1( /51

2

T

TC

T

n

e

CEλ

λ

λλλ

KmT .10898,2 3max

−×=λ lei de deslocamento de Wien

Uma vez que se conhece a distribuição espectral da radiação de corpo negro (poder

emissivo espectral), é possível calcular o poder emissivo total de corpo negro, En, isto é,

a radiação térmica total emitida em todos os comprimentos de onda para uma dada

temperatura. Para isso, basta integrar o poder emissivo espectral. Assim:

⇒−

== ∫∫∞∞

λλ

λλλ d

e

CdEE

TCnn

0/51

0 )1( 2

4TEn σ=

Esta é a chamada lei de Stefan-Boltzmann da radiação e σ = 5,669×10-8 W/m2K4 é a

constante de Stefan-Boltzamann.

Supondo que o Sol seja um corpo negro a 5800 K, qual é o seu poder emissivo total? De

acordo com a lei de S-B, o seu poder emissivo é:

pode

r em

issi

vo e

spec

tral

, E

nλ W

/m2 µ

m



147

./64/104,6580010669,55800 227484mMWmWEsol =×=××=×= −σ Então, o Sol

lança no espaço a inimaginável quantia de 64 MW por metro quadrado da sua

superfície! Isto significa que em cerca de 15 m2 de superfície solar há uma emissão

energética equivalente a uma usina termelétrica de 1 GW. A pergunta seguinte é: quanto

de radiação térmica solar atinge o planeta Terra? Nesse caso, a emissão total do sol é

solsolsol AEQ ×= . Esta quantia é irradiada para todo o espaço e deverá atingir a

superfície que contém a órbita da Terra, Aterra. Nota: não se trata da área da superfície da

Terra, mas da superfície esférica (aproximada) que engloba a órbita do movimento da

Terra. Assim,

onde ,.2

×=⇒××==

terra

solsolterraterraterrasolsolsol

R

REqAqAEconstQ

Rsol é o raio do sol (7×105 km); Rsol é o raio da esfera aproximada que contém a órbita

da Terra (150×106 km) e qterra é o fluxo de calor que chega por unidade de área na esfera

que contém a órbita da terra. Assim,

./ 1400150

7,0000.000.64 2

22

mWR

REq

terra

solsolterra ≈

×=

×=

Então, chega-se cerca de 1400 W/m2 de fluxo de calor solar irradiante na região do

espaço onde se encontra a Terra. Claro que a parte que chega na superfície da Terra é

menor que essa quantia, pois depende da latitude da região e da época do ano, além

desse valor também ser atenuado devido às absorções de radiação da atmosfera.

A fração de radiação térmica emitida por um corpo negro no intervalo de comprimento

de onda [0-λ1], isto é,F[0-λ1], vale

)()1()(0

/51

10

]0[ 2

,1

1Td

e

c

E

EF

TC

n

n λλσ λ

λ

λ ∫∞

−

−−

==

Os valores de F[0-λ1], são mostrados na tabela seguinte. Se for preciso calcular a fração

de radiação emitida no intervalo λ1 - λ2, ou seja, dentro de uma janela espectral, então:

-

F[λ1-λ2] = F[0-λ2] - F[0-λ1]



148

Exemplo:

A radiação solar tem aproximadamente a mesma distribuição espectral que um corpo

negro irradiante ideal a uma temperatura de 5800 K. Determine a quantidade de

radiação solar que está na região visível (use 0,4 a 0,7 µm)

Usando a tabela acima, vem

4919,0406058007,07,00

1245,0232058004,04,00

]7,00[2

]4,00[1

=⇒=×=→≤≤

=⇒=×=→≤≤

−

−

FT

FT

λλ

λλ



149

A fração de radiação no faixa visível é F[0,4-0,7] = 0,4919 – 0,1245 = 0,3674

En = 0,3674×64,16×10-6

= 23,57×106 W/m

2

36,74 % da radiação térmica solar é emitida na faixa do visível!

Outro exemplo (extraído de Kreith e Bohn, 2003):

Vidro de sílica transmite 92% da radiação solar incidente na faixa de comprimentos de

onda compreendida entre 0,35 e 2,7 µm (portanto, engloba todo o espectro visível) e é

opaco para comprimentos de onda fora dessa faixa. Calcule a porcentagem de radiação

solar que o vidro vai transmitir.

Pra a faixa de comprimentos de onda indicada, tem-se

( )

( )

97,01566058007,270,20

067,02320580035,035,00

]7,20[2

]35,00[1

=⇒=×=→≤≤

=⇒=×=→≤≤

−

−

FmKT

FmKT

tabela

tabela

µλλ

µλλ

Assim, F[0,35-2,7] = 0,97 – 0,067 = 0,903. Isto significa que 90,3% da radiação solar

incidente atinge o vidro e 0,903×0,92=0,83, ou 83% dessa radiação incidente será

transmitida pelo vidro.



AULA 20 – PROPRIEDADES DA RADIAÇÃO TÉRMICA

Propriedades da Radiação

Quando energia radiante incide a superfície de um material, parte da radiação térmica

vai ser refletida, parte absorvida e parte será transmitida, conforme diagrama ilustrativo

abaixo.

Sendo,

ρ – refletividade ou fração de energia radiante que é refletida da superfície;

α – absortividade ou fração de energia radiante que é absorvida pela superfície;

τ – transmissividade ou fração de energia radiante que é transmitida através da superfície;

De forma que: ρ + α + τ = 1

Muitos corpos sólidos não transmitem radiação térmica, ou seja τ = 0. Para estes casos

de corpos opacos à radiação térmica, tem-se:

ρ + α = 1

A radiação térmica emitida por uma superfície varia em função da natureza da

superfície e da direção. Entretanto, é uma boa hipótese assumir que radiação térmica é

difusa, ou seja, a emissão da radiação se dá uniformemente em todas as direções.

Relação entre Emissividade e Absortividade

Considere uma cavidade perfeitamente negra, ou seja, uma cavidade que absorva toda a

radiação incidente. Agora, coloca-se um corpo no seu interior que está em equilíbrio

térmico com a cavidade. No equilíbrio, tem-se que a radiação térmica total emitida pelo

corpo, isto é, o produto do seu poder emissivo total pela sua área, EA, deve ser igual ao

fluxo de calor por radiação incidente, qi, absorvido pelo corpo, isto é:

EA = qiAα



iq AαEA

Se substituirmos o corpo na cavidade por um corpo negro da mesma forma e mesmas

dimensões em equilíbrio com a cavidade, tem-se:

EnA = qiA(1).

onde, o índice “n” foi acrescentado ao poder emissivo para indicar que é de corpo

negro. Agora dividindo uma expressão pela outra, obtém-se:

E/En = α

O que significa dizer que a relação entre o poder emissivo do corpo, E, e o poder de um

corpo negro idêntico, En, é igual à absortividade do corpo, α. Mas, por outro lado esta é

a própria definição da emissividade do corpo, ε:

ε = E/En

então α = ε

A igualdade acima é a chamada lei de Kirchoff.

As emissividades e absortividades são propriamente medidas dos materiais. Na

realidade, a emissividade de um corpo varia com a temperatura e o comprimento de

onda. Pode-se definir a emissividade monocromática como sendo a razão entre os

poderes emissivos monocromáticos do corpo e do corpo negro, à mesma temperatura.

ελ = Eλ/Enλ



De forma que pode-se definir a emissividade total, da seguinte forma:

4

0

0

0

..

T

dE

dE

dE

E

En

n

n

n σ

λε

λ

λε

ελλ

λ

λλ ∫

∫

∫∞

∞

∞

===

A emissividade é uma propriedade do material e do seu acabamento superficial, além da

temperatura. Como exemplo, veja a emissividade do alumínio. A emissividade de

superfícies de alumínio altamente polido varia de 0,04 a 300K a 0,06 para 0,06 a 600K.

No entanto, é mais sentida a variação da emissividade para o caso do acabamento

superficial. A título de exemplo, a 300K, a emissividade vale 0,04 para alumínio

altamente polido, vale 0,07 para folhas brilhantes e 0,82 para superfície anodizada.

Dados mais completos de emissividade encontram-se na seção de apêndices do livro-

texto.

Corpo Cinzento

Um corpo cuja emissividade e absortividade da sua superfície são independentes do

comprimento de onda e direção é chamado de corpo cinzento. Na prática, os corpos

reais são aproximados por corpos cinzentos. Exceto em caso de estudos mais

detalhados. De forma que, para o corpo cinzento, é válida a seguinte relação:

ε = ελ = constante e α = αλ = constante

O gráfico abaixo ilustra os poderes emissivos de três corpos. Lembrando que a

emissividade é a razão entre o poder emissivo do corpo e a do corpo negro à mesma

temperatura, pode ver que o corpo real tem um espectro de emissividade

monocromática que depende de vários fatores como natureza da superfície, incluindo o

material e acabamento e tem um padrão geral como ilustrado (em azul). O corpo negro é

aquele que possui emissividade unitária (total e monocromática) e seu poder emissivo

espectral segue a lei de Stefan-Boltzmann. O corpo cinzento nada mais que é o corpo



que possui emissividade constante para todos os comprimentos de onda (ilustrado em

vermelho), sendo menor que a unidade.

)( mµλ

Corpo negro

Corpo real f

Corpo cinzento cte

Irradiação

A taxa de radiação que atinge uma dada superfície, G. Ela pode ser monocromática Gλ,

ou total, G. De forma que:

∫∞

=0

dxGG λ

Radiosidade – Quantidade de radiação que deixa um corpo

[J] = W/m2

A radiosidade consiste nas parcelas de reflexão da radiação Gρ e da radiação própria

emitida nEε . Trata-se, portanto, do fluxo total de radiação que deixa a superfície de um

corpo, ou seja:

GEJ n ρε +=



Exemplo 9-3

Uma rodovia asfaltada recebe 600 W/m2 de irradiação solar num certo dia de verão. A

temperatura efetiva do céu vale 270 K. Umas brisa leve do ar a 30ºC passa pela rodovia

com um coeficiente de transferência de calor h = 5 W/m2 ºC. Assuma que nenhum calor

seja transmitido para o solo. A absortividade do asfalto para a radiação solar vale 0,93,

enquanto que a emissividade média da superfície asfáltica vale 0,13. Determine a

temperatura de equilíbrio do asfalto.

Solução

"convq

"soloq

1º Lei:

=

aasoloconvceúsolceúsol EqqGGGG ερρ ++++=+ "" &&

aa

nulo

soloconvceúceúsolsol EqqGG

ceúsol

ερρ

αα

++=−+− "")1()1( &&4342143421

( ) 044 =−−−+ ∞ aaacéuceúsolsol TTThTG σεσαα

( ) 01067,513,015,30352701067,513,060093,0 4848 =×××−−−×××+× −−

aa TT

após solução dessa equação polinomial do quarto grau, obtém-se a temperatura do

asfalto igual a 389 K ou 115,8 oC.

taxa de energia

que entra no V.C.

taxa de energia

que deixa o V.C



Troca de Calor por Radiação Térmica entre duas Superfícies Paralelas Infinitas

Fluxo líquido de calor trocado entre as duas superfícies:

A

JJAJAJQ

/1

21221121

−=−=− já que A1 = A2 = A

No caso de superfícies negras, tem-se que: ε1 = ε2 = 1 e α1 = α2 = 1 (corpo negro),

já que τ1 = ρ1 = 0. De forma que

)( 4

2

4

121 TT

A

Q−=− σ

Se o corpo for cinzento e opaco, G sendo a irradiação, pode-se obter a radiosidade J da

superfície de acordo com:

J = εEn + ρG = εEn + (1-ε)G

onde foi usado o fato de que ρ = 1-ε = 1- α

De forma que isolando a irradiação, a mesma pode ser escrita como ε

ε

−

−=

1

nEJG

Olhando somente para uma superfície, pode-se estabelecer que a taxa líquida de calor

transferido da superfície é dada pela diferença entre a radiosidade, J e a irradiação, G da

mesma, isto é:

A

JEJE

AEJJAGJAQ n

nn

εεε

ε

ε

ε

/)1()(

11)(

−

−=−

−=

−

−−=−= (a)

Mas, a taxa de calor cedida por uma superfície deve ser igual à recebida pela outra que,

no caso de placas paralelas e infinitas, é:



A

JE

A

JEQ nn

22

22

11

11

/)1(/)1( εεεε −

−−=

−

−= (b)

As equações (a) e (b) apresentam duas incógnitas, quais sejam J1 e J2, uma vez que as

temperaturas das superfícies e, portanto, seus poderes emissivos de corpo negro,

juntamente com as emissividades e área são dados conhecidos. As duas radiosidades

podem ser obtidas por meio das soluções simultâneas destas equações. Entretanto, antes

de prosseguir nessa linha, note a analogia elétrica:

1

1

1

A

ε

ε

− 1

A

2

2

1

A

ε

ε

−

De forma que o fluxo de calor total, Q, que “circula” pelo circuito é dado por:

( )2211

4

2

4

1

2

2

1

1

21

111 RRR

TT

AAA

EEQ nn

++

−=

−++

−

−=

−

σ

ε

ε

ε

ε

Onde existem “resistências” entre os potenciais J e En. Têm-se as resistências

“superficiais”, ou seja, aquelas que contêm apenas propriedades das superfícies

(emissividade e área) que, no exemplo, são R1 e R2, dadas por:

1

geral forma deou 1

1

2

21

1

11

ii

ii

AR

ARe

AR

ε

ε

ε

ε

ε

ε −=

−=

−=

Note que essas resistências superficiais são localizadas entre o poder emissivo de corpo

negro, En, e a radiosidade da superfície de interesse, J. A outra resistência é a

resistência “espacial” que indica a posição relativa das superfícies. Mais será dito sobre

essa resistência quando for incluído o conceito de fator de forma a frente. Para esse

caso, trata-se apenas do inverso da área das superfícies. (Nota: claro que a área infinita é só

uma aproximação, caso contrário não há sentido.)

1

21A

R =−


____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização nov/2010 - Esse verão ainda carece de uma revisão mais detalhada

157

AULA 21 – FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO TÉRMICA

Considere o caso de duas superfícies negras quaisquer que trocam calor por radiação

térmica entre si. Suponha que as mesmas possuam orientação espacial qualquer como

indicado na figura abaixo

1 1cosdA φ

1,2 1 1F J A

1φ

r

2φ

Primeiramente considere a troca térmica de calor por radiação entre os dois elementos

de área indicados, dA1 e dA2. Os elementos são unidos por um raio vetor r que formam

ângulos φ1 e φ2 com as respectivas normais.

Define-se a Intensidade de radiação do corpo negro, In, como sendo a energia de

radiação térmica emitida por unidade de área, na unidade de tempo, para um ângulo

sólido unitário numa dada direção especificada, como indicado na figura abaixo.

ndA

2r

dAdw n=

1φ

1dA



158

Assim, a energia que deixa dA1 na direção φ1, é dwdAIdAE nn ⋅⋅⋅= 111 cosφ que

representa a radiação térmica que chega em algum elemento de área dAn a uma distancia

r de A1. Mas, 2

r

dAdw n= , onde, dAn é o elemento de área projetada sobre o raio vetor.

Então: 211111 coscos

r

dAdAIdwdAIdAE n

nnn ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= φφ

ndAφrd

φrsenψ

1φφd

1dA

Por outro lado, tendo a figura acima em mente pode se escrever a seguinte

relação trigonométrica: φψφ rddsenrdAn ⋅⋅⋅= . De forma que, substituindo-a na

expressão anterior, vem:

ψφφ

φ ddr

senrdAIdAE nn 2

2

11 cos ⋅⋅⋅=

Integrando em todas as direções, vem

ψφφφπ π

ddsendAIdAE nn ∫ ∫ ⋅⋅⋅=2

0

2/

0

11 cos , ou nn IE π=

Voltando ao problema, projetando dA2 na direção radial, vem:

22 cosφ⋅= dAdAn

Assim o fluxo de energia radiante que deixa A1, atinge A2 é dado por:

22

12

1

1

2

121

coscos

rdAdA

EdQ

A A

n φφ

π⋅⋅⋅= ∫ ∫∫ −



159

E o fluxo de energia radiante que deixa A2 e atinge A1, é:

22

12

2

1

1

212

coscos

rdAdA

EdQ

A A

b φφ

π⋅⋅⋅= ∫ ∫∫ −

e o fluxo liquido de energia radiante trocado entre as duas superfícies é:

4444 34444 21212121

2

2

1

12

2121)(21

coscos)(

FAFA

A A

nnliq dAdAr

EEQ

=

− ∫ ∫ ⋅⋅

−=π

φφ

Note que a integral dupla se refere à tão somente um problema trigonométrico que

considera a posição relativa entre as duas superfícies, bem como as suas dimensões.

Trata-se, portanto, de um problema de “forma geométrica”. O cálculo dessas integrais

foi realizado para uma série de condições e são os chamados “fatores de forma de

radiação”. Os fatores de forma estão tabelados ou dispostos em forma gráfica para

diversas situações. O fator de forma Fij deve ser entendido como a fração de energia

radiante que deixa a superfície i e atinge a superfície j. Claro que o fator de forma é

sempre menor ou igual à unidade.

Também como a ordem de integração não importa, pode-se estabelecer a chamada “lei

da reciprocidade” entre os fatores de forma, ou seja:

212121FAFA =

A transferência liquida de calor por radiação entre as duas superfícies é

)()( 212122112112 nnnn EEFAEEFAq −=−=

A lei da reciprocidade, portanto, pode ser escrita para duas superfícies m e n quaisquer

como

nmnmnm FAFA =

Quando as superfícies formam um invólucro fechado, então:



160

0≠−iiF 11

=∑=

−

N

j

jiF

1... ,13,12,11,1 =++++ nFFFF

Essa é a chamada “Lei de Fechamento”. Se a superfície de interesse i for plana ou

convexa, então Fii =0.

Fatores de Forma para alguma situações (outras situações – ver livro-texto)



161



162

EXEMPLO: Determine o fator de forma F1,2 para a configuração mostrada na figura

abaixo.

Também se pode usar a relação de reciprocidade, para o caso em particular

32132132132231132,12,1

2331332,133

−−−

−−− +=

FAFAFA

FAFAFA

32231132,12,1 −−− += FAFAFA

)0(0332211 ==== −−−− iiFFFF

1... 1131211 =++++ nFFFF

1A

2A

3A

31213,21 −−− += FFF 43421

gráfico

FFF 213,2131 −−− −=

continuar....



163

Taxa liquida de calor trocada entre duas superfícies

1 1J A

2 2J A

1,2 1 1F J A

2,1 2 2F J A

221,2112,1 AEFAEFQ nn −=& (9,24)

Se as duas superfícies estiverem à mesma T, En1 = En2

Então 1,222,11 FAFA = (9,25)

De uma forma geral

ijjjii FAFA ,, = Relação de reciprocidade

Estudar exercícios 9.6 e 9.7

Troca de Calor Entre duas Superfícies Cinzentas

221,2112,1 JAFJAFQ −=&

Pela lei de reciprocidade 1,222,11 FAFA =



164

122

21

211

21

/1/1 −−

−=

−=

FA

JJ

FA

JJQ&

O termo jii FA ,/1 forma uma resistência espacial ou geográfica entre as superfícies.

Outra resistência esta associada com as características da superfície

ii

i

AR

ε

εε

−=

1 (9,31)

De forma que

22

2

21111

1

42

4121

111)(

AFAA

TT

R

EEQ nn

ε

ε

ε

ε

σ

−++

−

−=

−=

−

∑&

1

1

1

A

ε

ε

− 1

A

2

2

1

A

ε

ε

−

41Tσ 4

2Tσ

EXEMPLO

Uma pequena lata é formado por dois discos paralelos que são conectados por uma

superfície cilíndrica como mostra na figura abaixo. Determine fração de energia

radiante que deixa a superfície cilíndrica atinge a sua própria.

Áreas



165

2322

21 10854.74

1,0

4m

DAA

−⋅==== ππ

23

3 1071,1505,01,0 mDLA−⋅=⋅⋅== ππ

?3,3 =F

mas

13,32,31,3 =++ FFF

e

3,111,33 FAFA = , também 12,13,1 =+ FF

mas da figura 15

5

1

==r

L

12 =L

r

38,02,1 ≅F

logo 62,038,013,1 =−=F 62,01071,15

1085,73

3

3,13

11,3 −

−

⋅

⋅== F

A

AF

11,23,2 =+ FF 1,22,1 FF =

logo 62,038,013,2 =−=F 31,03,2 =F

então 38,031,031,013,3 =−−=F

38,03,3 =F



166

EXEMPLO - cont

A tampa do invólucro descrito no exemplo anterior é mantida a uma temperatura

uniforme de 250°C (523,2 K), enquanto que a superfície inferior é mantida a uma

temperatura de 60°C (332,2 K). A superfície que junta os dois discos é não condutora –

reirradiante. A emissividade das três superfícies vale 0,6. Determine a taxa de calor

transferido por radiação entre a tampa e o fundo e estime a temperatura da superfície

não condutora – reirradiante.

Solução.

O circuito de radiação para a determinação do calor transferido por radiação entre as

superfícies do invólucro esta mostrado na Fig. E9-9a. Os valores dos fatores de forma

podem ser obtidos do cálculo já realizado acima. Os valores da resistência para o

circuito são

23

11

1 /188,84)10854,7(6,0

6,011m

A=

⋅

−=

−−ε

ε

2

322

2 /188,84)10854,7(6,0

6,011m

A=

⋅

−=

−−ε

ε

2

33,223,11

/14,205)62,0)(10854,7(

111m

FAFA=

⋅==

−



167

411 TEn σ=

1J

2J

11

11

Aε

ε−

211

1

−⋅ FA

22

21

Aε

ε−

422 TEn σ=

322

1

−⋅ FA

311

1

−⋅ FA 1J

2J

88,84

4)2,333(σ

4)2,523(σ

4,205

1,335

4,205

88,84

1J

2J

88,84

4)2,333(σ

4)2,523(σ

6,184

88,84

Os valores das resistências estão mostrados na figura E9-9b. o circuito obtido usando

uma resistência equivalente para as resistências conectadas em paralelo esta mostrado

na Fig. E9-9c. A resistência equivalente é

2/16,1841,3358,410

)1,335(8,410mRe =

+=

A taxa de calor transferido entre as superfícies da tampa e o fundo é determinado

usando

∑−

=R

EEQ nn 21

A soma das resistências entre as duas superfícies é

2/14,35488,846,18488,84 mR =++=∑

A taxa de calor transferido é



168

[ ]WQ 02,10

4,354

2,3332,52310567 448

=−⋅

=−

As radiosidades, J1 e J2, podem ser determinadas por

[ ]111

11

/)1( A

JEQ n

εε−

−=

ou

4,84

)2,523(1067,52,10 1

48J−⋅

=−

2

1 /3398 mWJ = e

[ ]222

22

/)1( A

EJQ n

εε−

−=

O que dá J2 = 1.549 W/m2. O valor de J3, que é igual a 4

3Tσ , é obtido usando

)/1()/1()/1( 3,11

431

3,223,11

21

FA

TJ

FAFA

JJ σ−=

+

−

O que resulta em

T3 = 457,0 K (183,8°C)

COMENTÁRIO

Uma parte da taxa total de calor transferido entre a tampa e o fundo acontece

direitamente entre as duas superfícies, enquanto que o restante do calor é trocado com a

superfície não condutora – reirradiante antes de alcançar a tampa ou o fundo.

A taxa de transferência direta é



169

WFA

JJQD 518,5

1,335

14593398

)/1( 2,11

21 =−

=−

=

E a indireta é

WFAFA

JJQID 4501

4,2054,205

15493398

)/1()/1( 3,223,11

21 =+

−=

+

−=

Troca de calor por radiação entre corpos não negros – Analogia elétrica

O calculo da transferência de calor por radiação entre superfícies negras é bastante

simples porque toda a energia que atinge uma superfície é absorvida. O problema

principal reside na determinação do fator de forma de radiação.

A determinação da transferência de calor por radiação entre superfícies não negras já é

bem mais complexa, uma vez que neste calculo nem toda a energia que atinge a

superfície é absorvida; parte dela é refletida para outra superfície de transferência de

calor e parte dela é refletida para fora do sistema considerado.

Na solução deste problema lança-se mão de algumas hipóteses. Considere-se que todas

as superfícies sejam difusas, tenham temperatura uniforme e que a refletividade e a

emissividade sejam constantes em toda a superfície. Para facilitar a analise, dois novos

termos são definidos:

G = irradiação (radiação total incidente sobre uma superfície por unidade de tempo

e área)

J = radiosidade (radiação total que deixa uma superfície por unidade de tempo e

área)

GEJ n ρε +=

Uma vez que a transmissividade foi admitida igual a zero, a refletividade pode ser

expressa por



170

αρ −=1 1=++ τρα αρ −=1

Mas

εα =

Por tanto

ερ −=1

Logo

GEJ n )1( εε −+= (15)

A energia liquida que deixa a superfície é a diferencia entre a radiosidade e a irradiação

GGEGJA

qn −−+=−= )1( εε

Substituído o valor de G, obtido da Eq. (15) em função de J, sendo: ε

ε

−

−=

1nEJ

G

)(1

JEA

q n −−

=ε

ε

Ou

A

JEq n

εε /)1( −

−= (16)

Onde o denominador do lado direito pode ser considerado como uma resistência à

transferência de calor por radiação, o numerador com uma diferença de potencial ao

fluxo de calor devido às características da superfície.

Assim



171

erficialRA

sup

1=

−

ε

ε (17)

nE J

Aε

ε−1q

Figura 6. Elemento que representa uma “resistência superficial” no método de circuito

elétrico analógico por radiação

Considere-se agora a troca de energia radiante entre duas superfícies A1 e A2. Da

radiação total que deixa a superfície 1, a quantidade que atinge 2 é

1211 FAJ

e da radiação total que deixa a superfície 2, a quantidade que atinge a superfície 1 é

2122 FAJ

A troca liquida de energia entre as duas superfícies é

2122121112 FAJFAJq −=

mas

212121 FAFA =

)()( 212122112112 JJFAJJFAq −=−=

ou

121

2112 /1 FA

JJq

−= (18)



172

onde o numerador do lado direito pode ser considerado como uma resistência “espacial”

à transferência de calor por radiação

espacialRFA =121/1 (19)

desta forma pode-se construir um elemento de circuito que represente a Eq. (18),

conforme na Fig. 7.

1J

211

1

−⋅ FA

21−q

2J

Fig. 7. Elemento que representa uma resistência “espacial” no método de circuito

elétrico analógico por radiação.

Finalmente, a Fig. 8 mostra o circuito elétrico analógico da radiação para duas

superfícies que somente enxergam uma à outra.

1nEliqq

1J2J 2nE

11

11

Aε

ε−

211

1

−⋅ FA 22

21

Aε

ε−

Fig. 8. Circuito elétrico analógico de radiação para duas superfícies que enxergam

somente uma à outra.

222121111

21

/)1(/1/)1( AFAA

EEq nn

liquidoεεεε −++−

−=

222121111

42

41

/)1(/1/)1(

)(

AFAA

TTqliquido

εεεε

σ

−++−

−= (20)



173

EXEMPLO

Determine a taxa de transferência de calor de uma esfera pequena aquecida instalada em

um cilindro fechado em vácuo, Fig. E9-8. A esfera tem 10cm de diâmetro com uma

emissividade de 0,8 e é mantida a uma temperatura uniforme de 300°C (572,2 K). A

superfície interna do cilindro, cuja área é de 0,5m2, tem uma emissividade de 0,2 e é

mantida a uma temperatura uniforme de 20°C (293,2 K).

1nE 1J2J

11

11

Aε

ε−

211

1

−⋅ FA 22

21

Aε

ε−

2,05,0

8,0031,0

22

2

12

1

==

==

ε

ε

mA

mA

2nE

Figura E9-8 Esfera inserida em uma cavidade cilíndrica fechada.

Solução

O circuito de radiação equivalente esta mostrada na fig. E9-8. A área da esfera pode ser

rapidamente calculada e vale 0,031m2. O fator de forma de radiação é F1,2 = 1, já que

toda a radiação emitida pela esfera vai atingir a superfície interna do cilindro. A taxa de

transferência de calor é obtida através de

[ ]

[ ]W

AFAA

TT

R

EEQ nn

0,11832,48

2,2932,5731067,5

)5,0(2,0/)2,01()1(031,0/1)031,0(8,0/)8,01(

2,2932,5731067,5

/)1(/1/)1(

)(

448

448

222121111

42

4121

=−⋅

=

−++−

−⋅=

−++−

−=

−=

−

−

∑ εεεε

σ

para



174

σζζ )()( 42

411122111212 TTAEEAq nn −=−=

ou

221212112112 /)1(//)1(

1

εεεεζ

−++−=

FAAAA (24)

para

)()( 42

412122121212 TTAEEAq nn −=−= σζζ



175

10. Coeficiente combinado de transferência de calor

Em muitos problemas de engenharia, os fenômenos de transferência de calor por

radiação e convecção ocorrem simultaneamente, razão pela qual torna-se interessante

determinar um coeficiente de transferência de calor por radiação baseado na

condutância térmica, ou seja no coeficiente global de transferência de calor por

radiação ζ. Assim definindo-se uma equação equivalente à transferência de calor por

convecção, tem-se:

TAhq rr ∆⋅⋅=

onde

T

TT

T

EEh nn

r∆

−=

∆

−=

)()( 42

4121 ζσζ

(25)

TAhq rr ∆⋅⋅=

TAhR

TT

R

EEq r

totaltotal

nnr ∆⋅⋅=

−=

−=

)( 42

4121 σ

total

rRA

TTh

⋅

−=

)( 42

41σ

fluxos de calor

TAhhqqq crcr ∆⋅+=+= )(

ou

TAhq ∆⋅⋅=

onde cr hhh += é o coeficiente combinado de transferência de calor.



176

11. Blindagem de radiação

Uma maneira de reduzir a transferência de calor por radiação entre duas superfícies é

atravez do emprego de materiais altamente refletivos. Um método alternativo é a

utilização de blindagens de radiação entre as superfícies de transferência de calor. Estas

blindagens não fornecem ou removem calor do sistema, mas apenas introduzem uma

resistência no circuito térmico.

Considere-se os dois planos paralelos infinitos para ε1= ε2= ε, temos:

1)1(

2

)( 42

41

+−

−=

ε

ε

σ TT

A

q (27)

Aq / Aq /

Fig. 9 – radiação entre planos paralelos infinitos com e sem blindagem de radiação

O calor transferido neste caso será calculado a comparação com o calor transferido sem

a blindagem

1nE 1J 3J

1

11

ε

ε−

31

1

−F 3

31

ε

ε−

2nE'3J

2J

32

1

−F 2

21

ε

ε−

3nE

3

31

ε

ε−

Fig. 10 – Circuito elétrico analógico da radiação para dois planos paralelos separados

por uma blindagem de radiação.

Como a blindagem não fornece ou retira calor do sistema. O calor transferido entre a

placa 1, a blindagem e a placa 2 será:



177

A

q

A

q

A

q==

−− 2331

1)1(

2

)(

1)1(

2

)( 42

43

43

41

+−

−=

+−

−=

ε

ε

σ

ε

ε

σ TTTT

A

q (28)

Obtendo-se

2/)( 42

41

43 TTT += (29)

( )1

)1(2

)(2/1 43

41

+−

−=

ε

ε

σ TT

A

q (30)

Portanto

blindagemsblindagemc A

q

A

q

// 2

1= (31)



178

""/""/ 1

1

nblindagnsnblindaenc A

q

nA

q

+= (32)

12. Efeito da radiação na medida da temperatura

Quando um termômetro é colocado em uma corrente da gás para medir a temperatura de

em escoamento, a temperatura indicada pelo sensor é determinada pelo balanço global

de energia neste elemento.

Considere o sensor mostrado na Fig. 11. A temperatura do gás é ..., a temperatura de

radiação da superfície envolvente é Ts e a temperatura indicada pelo termômetro é Tt.

∞Th, ATsT

Fig. 11 – Elemento sensor da temperatura de um escoamento

Admitindo que Tt seja maior que Ts, a energia será transferida por convecção para o

termômetro e então dissipada por radiação para a superfície envolvente. Portanto, o

balanço de energia pode ser escrito como:

)()( 44stt TTATThA −=−∞ σε (33)

onde A é a área superficial do sensor e ε a sua emissividade. A eq. (33) foi obtida a

partir da eq. (20), considerando-se que a superfície envolvente seja negra ou muito

grande.

a) circuito analógico



179

1bE1J 3J

11

11

Aε

ε−

311

1

−FA33

31

ε

ε

A

−

2bE'3J

2J

323

1

−FA 22

21

ε

ε

A

−

3bE

33

31

ε

ε

A

−

131 =−F

123 =−F

eq

bb

R

EEq 21 −

=

L

L

D

D

D

D

LD

D

D

D

D

D

D

AReq

9,1848

50

20

04,0

04,01

35

20

02,0

)02,02(

02,0

1

02,0

1

1)2(11

11

)1(2

1

111

2

1

2

2

3

1

3

3

11

2

1

2

2

3

1

3

1

3

3

1

1

1

=

−+

−+

⋅⋅=

−+

−+

⋅⋅=

−++

−++

−=

π

ε

ε

ε

ε

επ

ε

ε

ε

ε

ε

ε

[ ]

mWL

q/247,0

9,1848

773001067,5 448

=−⋅

=−

o ganho diminui em torno de 482,0

2,0482,0 −

48,8%

paredes estão a 200°C a temperatura indicada pelo elemento sensor é de 450°C. sendo o

coeficiente de transmissão de calor por convecção entre o gás e o termopar igual a

150W/m2°C, calcular a temperatura real do gás.

)()( 44parTTTTc TTATTAhq −⋅⋅=−⋅⋅= ∞ σε



180

)( 44parT

c

T TTh

TT −⋅

+=∞

σε

)473723(1067,58,0

540 448

−⋅⋅

+=−

∞

chT

CT °=∞ 5,517

Problemas sugeridos

Holman: 8.1; 8.2; 8.5; 8.15; 8.17; 8.18; 8,29; 8.30.

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