Apostila de CN

1

MATRIZES

Definio : Uma matriz pode ser definida como um ente matemtico composto por

elementos dispostos em um nmero m linhas e em um nmero n de colunas, onde cada

elemento, geralmente obtido atravs de uma lei de formao.

Notao : A notao mais comum A = (aij)mXn nesta notao indicamos:

A : Matriz

aij : Elemento localizado na linha i e na coluna j

mXn : Ordem, ou tipo, da matriz

Observaes :

1 ) Para se calcular a quantidade de elementos de uma matriz, basta efetuar o produto m.n.

2 ) Uma matriz pode ser representada geometricamente, usando-se:

3 ) Podemos indicar a matriz tambm pela notao simplificada AmXn , mais utilizada quando

no mostramos a matriz na forma geomtrica.

TIPOS DE MATRIZES

Matriz linha m = 1.

Exemplo : A1X3 = )731(

Matriz coluna n = 1.

Exemplo : B4X1 =

2

sen

5ln

4

2

Matriz nula aquela composta apenas por elemento zero .

Exemplos : C = 3X2

000

000 D =

2X300

00

00

Matriz quadrada m = n, definida simplesmente como matriz quadrada de ordem n.

Exemplos : E =

3X3761

136ln

021

F2 = 01

89

Obs. :

Numa matriz quadrada, temos...

a ) An =

nXnnn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

b ) Trao de uma matriz a soma ou somatrio dos elementos da sua diagonal

principal e indicamos Tr (matriz).

Exemplo : G =

4X42011

5498

7240

3651

Tr (G) = 1 - 4 + 4 + 2 Tr (G) = 3.

Diagonal principal i = j

Diagonal secundria

3

Matriz identidade In : uma matriz quadrada de ordem n, onde todos os elementos

da diagonal principal so o algarismo 1 e todos os demais elementos so o algarismo 0.

Exemplos : I4 =

1000

0100

0010

0001

I2 =

10

01

Matriz transposta Seja AmXn uma matriz qualquer ( Pode tambm ser uma matriz

quadrada ), dizemos que sua transposta a matriz AtnXm , ou seja, aquilo que era linha em

A transforma-se em coluna em At e aquilo que era coluna em A transforma-se em linha em At

.

Exemplos : H =

3X2746

501 Ht =

2X375

40

61

J =

3X3359

872

401

Jt =

3X3384

570

921

Obs. : Quando temos as matrizes quadradas de ordem n, onde A = At, dizemos que A

matriz simtrica.

Matriz oposta Seja AmXn uma matriz qualquer, chamamos de matriz oposta de A e

indicamos ( AmXn ), aquela matriz onde cada elemento correspondente ao da matriz A o

oposto a ele.

Exemplo : K2X4 =

9786

5432 logo, -K2X4 =

9786

5432

4

LEI DE FORMAO :

uma regra que define como sero os elementos de uma matriz qualquer.

Exemplo : Construa a matriz K3X2 onde kij = 2i + j.

Resoluo : Temos a matriz K3X2 =

3231

2221

1211

kk

kk

kk

portanto...

k11 = 2(1) + (1) = 2 + 1 k11 = 3

k12 = 2(1) + (2) = 2 + 2 k12 = 4

k21 = 2(2) + (1) = 4 + 1 k21 = 5

k22 = 2(2) + (2) = 4 + 2 k22 = 6

k31 = 2(3) + (1) = 6 + 1 k31 = 7

k32 = 2(3) + (2) = 6 + 2 k32 = 8

Logo... K3X2 =

87

65

43

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas, ou mais, matrizes so iguais quando so de mesma ordem, e quando seus

elementos correspondentes (i, j ) so iguais, ou seja :

a11 = b11 = c11 = . . .

a21 = b21 = c21 = . . .

aij = bij = cij = . . .

5

Exemplo :

Sejam as matrizes L = 3X2

543

210

e M =

3X2543

210

Como...

l11 = m11 l21 = m21

l12 = m12 l22 = m22

l13 = m13 l23 = m23

Temos que L = M.

ADIO DE MATRIZES

Sejam duas, ou mais, matrizes de mesma ordem, para que efetuemos a adio,

necessrio somarmos os elementos correspondentes das matrizes, ou seja :

a11 + b11 + c11 + . . .

a21 + b21 + c21 + . . .

aij + bij + cij + . . .

Exemplo :

Sejam as matrizes N =3X2

530

124

e O =

3X2987

326

Como A e B so de mesma ordem.podemos efetuar a operao P = N + O, da :

P =

530

124 +

987

326

=

)95()83()70(

)31()22()64(

P=

4117

2010

Nota : A operao de subtrao de matrizes anloga adio.

6

PRODUTO DE MATRIZES

O Produto entre duas matrizes A e B ( nesta ordem ) s pode ser efetuado quando ambas

satisfazem os requisitos da equao abaixo:

AmXn . BnXp = CmXp

Analisando esta equao, notamos que o produto A.B s existe se o nmero de colunas

da primeira matriz (A) for igual ao numero de linhas da segunda matriz (B), no que resulta em

uma terceira matriz (C) que possui o mesmo nmero de linhas da primeira matriz e o mesmo

nmero de colunas da segunda matriz.

Exemplos : A2X3 . B3X4 = C2X4 D5X1 . E1X5 = F5X5

Repare agora que tomaremos as mesmas matrizes do primeiro exemplo, porm mudaremos a ordem, ao invs de A.B, tentaremos efetuar B.A... B3X4 . A2X3 ... Note que o nmero de colunas da primeira matriz (B) no igual ao numero de

linhas da segunda matriz (A), logo, no obtemos a matriz C = B.A. Portanto conclumos

que no vlida a propriedade comutativa do produto de matrizes, pois existem matrizes A e

B tais que A.B B.A. Caso ocorra uma situao onde A.B = B.A, dizemos que A e B

comutam.

A seguir vamos apresentar, detalhadamente o procedimento para se efetuar o produto entre duas matrizes :

Sejam as matrizes A =

533

601

342

e B =

53

24

21

Efetue, caso seja possvel, .

C = A.B D = B.A

7

Resoluo : A3X3 . B3X2 = C3X2 , portanto ...

533

601

342

.

53

24

21

=

)5.5()]2.(3[)2.3()3.5()4.3()1.3(

)5.6()]2.(0[)2.1()3.6()4.0()1.1(

)5.3()]2.(4[)2.2()3.3()4.4()1.2(

=

=

256615123

30021801

15849162

N

B3X2 . A3X3 , como o nmero de colunas de B diferente do nmero de linhas de A,

conclumos que no existe C = B.A.

MATRIZ INVERSA Seja uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que a matriz inversa de A, indicada por A-

1 aquela tal que:

Onde In a matriz identidade de ordem n. Obs. : Nem todas as matrizes quadradas possuem inversa. Exemplo :

Determine ( Caso exista ) a matriz inversa de P =

13

54.

Resoluo :

P2 . P2-1 = I2

13

54 .

dc

ba =

10

01 , portanto resolvendo o produto ...

4a 5c = 1 3a + c = 0 4b 5d = 0 3b + d = 1

Temos pois dois sistemas lineares bsicos:

0ca3

1c5a4

e

1db3

0d5b4

C =

2530

3219

199

An. An-1

= An-1

. An = In

8

Resolvendo tais sistemas, obtemos : a = 19

1 , b =

19

5 , c =

19

3 e d =

19

4 .

De forma anloga, efetuamos P2-1 . P2 = I2

dc

ba .

13

54 =

10

01 .

Logo, obtemos P-1 =

19

4

19

3

19

5

19

1

9

DETERMINANTES

Em linhas gerais, um determinante, um nmero associado uma matriz quadrada de

ordem n. Da, seja uma matriz quadrada, o seu determinante indicado por det (A) ou det A;

lembrando que escrevemos a matriz usando :

, mas para o determinante usamos apenas , ressaltando que no se

refere a mdulo.

Exemplos :

A = 3 , portanto det (A) = 3 no mdulo de - 3.

B =

03

52, portanto det (B) =

03

52

.

C =

5400

2156

7804

2391

, portanto det (C) =

5400

2156

7804

2391

.

CLCULO DO DETERMINANTE a ) Primeira ordem n = 1

A1 = 11a det (A1) = 11a = a11.

Exemplos :

A = 8 det (A) = 8 = 8 ( No mdulo de 8 )

B = 5 det (B) = 5 = - 5 ( No mdulo de -5 )

b ) Segunda ordem n = 2

A2 =

2221

1211

aa

aa det (A2) = ( a11. a22 ) - ( a12. a21 ).

Manter

sinal

Inverter

sinal

10

Exemplo :

C =

43

21 det (C) = = ( -1. 4 ) [ 2. (-3) ] = - 4 + 6 det (C) = 2

3 ) Terceira ordem n = 3 ( Regra de Sarrus )

A3 =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

det (A3) =

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A partir deste ponto, o processo anlogo ao da resoluo do determinante de segunda ordem. Exemplo :

D =

203

342

531

det (D) =

03

42

31

203

342

531

= 8 - 27 + 0 60 - 0 - 12

det (D) = - 91 Ordem maior ou igual a quatro n 4 ( Regra, ou teorema de Laplace ) Podemos aplicar a regra ( ou teorema ) de Laplace para o clculo de determinantes de

ordem n 2, porm, na prtica, a utilizaremos quando o determinante for de ordem n 4.

Vamos aqui, tomar um exemplo numrico e a,partir dele extrair os elementos necessrios

para o clculo de um determinante de ordem 4, tal procedimento ser estendido para qualquer

determinante em que se possa aplicar Laplace.

Exemplo :

Seja a matriz A =

1304

2013

3124

0231

, calcule det (A) =

1304

2013

3124

0231

.

Manter

sinal

Inverter

sinal

Manter

sinal

Inverter

sinal

11

Resoluo : Usando Laplace, primeiramente vamos escolher uma fila ( Linha ou coluna ) do

determinante, como sendo a base para nossos clculos. Esta escolha arbitrria, porm mais

adiante daremos uma sugesto, para facilitarmos os clculos.

Escolhendo, por exemplo, a segunda linha temos :

det (A) = 24232221 A.3A.1A.2A.4

1304

2013

3124

0231

onde A21, A22, A23 e A21 so chamados de cofatores dos respectivos elementos.

Genericamente podemos indicar como cofator de aij como sendo:

onde Dij o determinante que se obtm ao eliminarmos a linha i e a coluna j referente ao

elemento do qual estamos calculando o cofator.

No nosso caso, os elemento envolvidos, referentes segunda linha, so a21, a22, a23 e a24,

ento temos :

A21 = (-1)2+1. D21 = (-1)

3 .

130

201

023

130

201

023

= - ( -16) A21 = 16

A22 = (-1)2+2. D21 = (-1)

4 .

134

203

021

134

203

021

= 16 A22 = 16

Aij = (-1)i+j. Dij

12

A23 = (-1)2+3. D23 = (-1)

5 .

104

213

031

104

213

031

= - ( -32) A23 = 32

A24 = (-1)2+4. D24 = (-1)

6 .

104

213

031

304

013

231

= - 32 A24 = -32

Voltando ao determinante principal ...

det (A) = 24232221 A.3A.1A.2A.4

1304

2013

3124

0231

Substituindo os cofatores, temos : det (A) = )32.(3)32.(1)16.(2)16.(4

det (A) = 64 + 32 + 32 96 Finalmente.....

det (A) = 32

DICA : Quando aplicar Laplace procure usar a fila que contenha a MAIOR QUANTIDADE de ZEROS, pois como voc multiplica cada cofator por seu respectivo elemento, se este for zero,

voc no precisar calcular o cofator.

13

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

1. Caso TODOS os elementos de uma fila de um determinante forem NULOS, o resultado

deste ser ZERO.

Exemplos

0

060

270

430

0

436897

0000

4205

13108

2. Caso DUAS filas do determinante forem IGUAIS ou PROPORCIONAIS, o resultado

deste ser ZERO.

Exemplos

0

271

271

432

0

4314897

220010

41035

116108

3. Caso UMA fila do determinante for COMBINAO LINEAR de outras filas, o resultado

deste ser ZERO.

Exemplo

0

61376

4314897

41035

2341

Linha 4 = Linha 1 + linha 2

14

4. O DETERMINANTE de uma matriz quadrada A IGUAL ao determinante de sua matriz

transposta At.

Exemplo

det (A) = 497

1667

0892

0533

6241

det (At) = 497

1006

6852

6934

7231

Resumindo...

5. Ao TROCARMOS de posio DUAS filas de um determinante, o resultado do NOVO

determinante ser o OPOSTO do resultado do primeiro.

Exemplo

det (A) = 036.2

1677

0982

0953

6422

det (B) = 036.2

1767

0892

0593

6242

det (A) = det (At)

15

6. Ao MULTIPLICARMOS TODOS os elementos de uma fila por um escalar k real, o

resultado do NOVO determinante ser o resultado do primeiro MULTIPLICADO por k.

Exemplo

036.2

1677

0982

0953

6422

.

Seja k = 3 e multiplicando cada elemento da 3 linha por este k, obtemos :

)036.2.(3108.6

1677

027246

0953

6422

7. Caso TODOS os elementos situados ACIMA ou ABAIXO da DIAGONAL PRINCIPAL

do determinante forem NULOS, o resultado do mesmo ser o PRODUTO dos elementos

da DIAGONAL PRINCIPAL.

Exemplos

168

400

270

136

688

436897

02310

0015

0008

8. Vale a pena lembrar aqui, de forma rpida, dois pontos no estudo de determinantes que

so de grande utilidade:

Teorema de Binet det (A.B) = det (A) . det(B).

Determinante ma matriz inversa det(A) = )Adet(

1, com det(A) 0.

16

SISTEMAS LINEARES

Um sistema linear formado por um conjunto de m equaes lineares, equaes estas que se

caracterizam por apresentarem todas as incgnitas com potncia de grau um.

Exemplos :

a )

25

632

yx

yx

b )

0112

026

yx

yx

c ) 932 wzyx d )

1115

9

yx

zyx

MATRIZES ASSOCIADAS

No sistema

2y5x2

1y3x4

temos...

52

34 Matriz incompleta

252

134 Matriz completa

REPRESENTAO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR

O sistema

53

32

yx

yx

pode ser escrito na forma matricial :

5

3.

31

12

y

x, onde :

31

12 a matriz incompleta ( ou dos coeficientes).

y

x a matriz das incgnitas.

5

3 a matriz dos termos independentes.

17

SOLUO DE UM SISTEMA LINEAR

A soluo de um sistema linear a seqncia ordenada ( n-upla ) que soluo de cada uma das

equaes do sistema.

Exemplos :

No sistema

1

3

yx

yx

, temos o par ordenado ( 2, 1 ) como soluo do sistema, pois ele

soluo das duas equaes do sistema.

No sistema

02

2

zy

zyx

, temos a terna ordenada ( 0, 2, 4 ) como soluo do sistema, pois

ele soluo das duas equaes do sistema.

CLASSIFICAO DE UM SISTEMA LINEAR

Um sistema linear classificado de acordo com seu nmero de solues...

SISTEMA LINEAR

POSSVEL IMPOSSVEL

DETERMINADO INDETERMINADO

Possui soluo

Soluo nica Infinitas solues

No possui soluo

18

Exemplos :

a ) O sistema

3yx3

5yx

S.P.D, pois o par ordenado ( 1, 6 ) sua NICA soluo.

b ) O sistema

2zyx

10z5y5x5

S.P.I, pois apresenta INFINITAS solues, entre elas, podemos

citar : ( 1, 1, 2 ); ( 0, 2, 4 ); ( 1, 0, 1 ).

c ) O sistema

3yx

5yx

S.I, pois NO apresenta soluo.

EXERCCIOS :

1 ) Verifique se ( 2, -1 ) soluo do sistema linear

1

52

yx

yx

.

2 ) Idem para ( 1, 1, 1 ) no sistema

2z32

y

2

x

1zx2

0yx

.

3 ) Idem para ( 0, -2, 5 ) no sistema

7

4

73

zy

zyx

zyx

.

4 ) Considere o sistema {x - y = 1.

a ) Apresente algumas solues do sistema.

b ) Classifique o sistema.

19

5 ) Construa a matriz incompleta e a matriz completa de :

a )

13

243

21

21

xx

xx

b )

64

1

523

yx

yx

yx

6 ) Escreva o sistema associado s equaes matriciais :

a )

3

0.

13

12

y

x

b)

12

2

8

z

y

x

.

400

210

531

c )

3

8.

101

124

z

y

x

REGRA DE CRAMER

Existem alguns mtodos para classificarmos e/ou resolvermos um sistema linear. Vamos recordar a

Regra ( ou mtodo ) de Cramer. Tal regra consiste em separar o sistema em matrizes e calcular seus

determinantes. Ento, a partir de divises entre estes determinantes, encontramos a soluo do sistema.

Vamos a um exemplo prtico...

Resolva o sistema

44

332

52

zyx

zyx

zyx

, usando Cramer.

20

Resoluo :

Calculando o determinante principal D ...

D =

114

321

121

D = -36 0, portanto S.P.D.

Calculando os determinantes das incgnitas ...

Dx =

114

323

125

Dx = -36.

Dy =

144

331

151

Dy = 72.

Dz =

414

321

521

Dz = -72.

Logo x =

36

36

D

Dx x = 1

y =

36

72

D

Dyy = -2

z =

36

72

D

Dz z = 2

Portanto ... S = { ( 1, -2, 2 ) }

Exerccios :

1 ) Resolva os sistemas lineares, usando Cramer :

a )

2yx

6yx

b )

3zyx2

3z2y2x

0zyx

c )

1z2x

3zy

1y2x

S = { ( 4, 2 ) } S = { ( 1, 3, 2 ) } S = { ( 3, 1, 2 ) }

21

DISCUTINDO UM SISTEMA LINEAR

Por Cramer, quando

I.S

ou

I.P.S

0D

D.P.S0D

.

Na primeira parte do nosso curso, no vamos estudar os modos de determinar se um sistema S.P.I ou

S.I, logo, ao classificarmos um sistema linear com D = 0, basta deixar indicado com S.P.I ou S.I.

Exemplos :

1 ) discuta o sistema

2myx2

3yx

em funo de m :

Resoluo :

D = m2

11 D = m 2.

Logo ... S.P.D D 0 m 2 0 m 2.

I.S

OU

I.P.S

D = 0 m 2 = 0 m = 2.

2 ) Idem para

9z5ymx

6z3yx2

1zyx

22

TRIANGULARIZAO DE GAUSS

A idia do Mtodo de Triangularizao de Gauss construir um sistema triangular equivalente

ao sistema original, isto , que tenha a mesma soluo.

Triangularizar um sistema consiste em efetuar operaes bsicas com suas linhas, tais como,

multiplic-las por uma constante diferente de zero, trocar a ordem das linhas, som-las e/ou subtra-

las entre si.

Exemplo :

Seja o sistema

5yx2

3y6x5

)6.(5yx2

3y6x5

30y6x12

3y6x5

...

somando menbro-a-membro de cada equao, temos (5x + 12x) + (6y 6y) = 3 + 30 17x = 33 .

Chegamos pois ao sistema equivalente

33x17

3y6x5

17

33x

Logo 3y617

335

6

1.

17

114y

17

19y , portanto

17

19,

17

33S .

OBS : Fazendo um tratamento matricial, triangularizar um sistema zerar os elementos abaixo da diagonal principal da matriz dos coeficientes.

DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS (D.P.G)

Vamos usar o Dispositivo Prtico de Gauss, que nada mais do que um algoritmo que nos

auxilia na resoluo de grande parte dos sistemas lineares. Tal algoritmo consiste em dividir o sistema em

matrizes quadradas de ordem 2 e resolver seus determinantes de modo a se obter um sistema equivalente

triangularizado.

Tomemos um exemplo prtico para ilustrar o tema ...

Seja o sistema linear

1zyx

2zy3x4

4zy3x2

, representaremos o sistema com o uso do D.P.G da

seguinte maneira :

23

Equao x y z Termo indep.

E1 2 3 -1 4

E2 4 -3 1 2

E3 1 -1 1 1

E2 // -18 6 -12

E3 // -5 3 -2

E3 // // -24 -24

Algoritmo de construo da tabela ...

1 ) As equaes E1, E2 e E3 so compostas pelos coeficientes das incgnitas de cada equao

respectivamente, bem como seus termos independentes.

2 ) Clculo da equao E2 ... Tomamos os coeficientes referentes a x em E1 e E2 bem como os

coeficientes referentes a y em E1 e E2 e calculamos o determinante 34

32

= -18, analogamente,

tomamos os coeficientes referentes a x em E1 e E2 bem como os coeficientes referentes a z em E1 e

E2 e calculamos o determinante 14

12 = 6 e finalmente tomamos os coeficientes referentes a x em E1

e E2 bem como os termos independentes em E1 e E2 e calculamos o determinante 24

42= -12.

3 ) Clculo da equao E3 ... Tomamos os coeficientes referentes a x em E1 e E3 bem como os

coeficientes referentes a y em E1 e E3 e calculamos o determinante 11

32

= -5, analogamente,

tomamos os coeficientes referentes a x em E1 e E3 bem como os coeficientes referentes a z em E1 e

E3 e calculamos o determinante 11

12 = 3 e finalmente tomamos os coeficientes referentes a x em E1

e E3 bem como os termos independentes em E1 e E3 e calculamos o determinante 11

42= -2.

4 ) Clculo da equao E3 ... Tomamos os coeficientes referentes a y em E2 e E3 bem como

os coeficientes referentes a z em E2 e E3 e calculamos o determinante 35

618

= -24, analogamente,

tomamos os coeficientes referentes a y em E2 e E3 bem como os termos independentes em E2 e E3

e calculamos o determinante 25

1218

= -24.

5 ) Temos portanto o sistema equivalente formado pelas equaes E1, E2 e E3 ()...

24z24

12z6y18

4zy3x2

Resolvendo o sistema a partir da terceira equao temos: z = 1, y = 1 e x = 1 .

Logo 1,1,1S .

24

Exerccios :

1 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prtico de Gauss.

1z3y2x7

6zy4x2

11zy4x3

4,3,1S


2z2yx

3zy2x4

7zyx2

11,

3

52,

3

20S


4w3z2y2x4

3w2z2y4x3

2wz2y3x

3w2z4y3x2

86,4;86,24;15,24;88,19S

25

DECOMPOSIO (OU FATORAO) LU

Estudaremos agora, mais um mtodo de resoluo de sistemas de equaes lineares, tal mtodo uma

variante do mtodo de Gauss, sendo conhecido por decomposio ( ou fatorao ) LU. O objetivo deste

mtodo decompor uma matriz, a qual denominaremos de A, no produto de duas matrizes, uma delas

denominada L ( matriz triangular inferior ) e outra U ( matriz triangular superior ).

Lembrando que :

Matriz triangular inferior : Ln onde os elementos acima da diagonal principal so todos nulos.

Exemplos de matrizes triangulares inferiores:

978

023

001

B

0604

0591

0078

0002

C .

Matriz triangular superior : Un onde os elementos abaixo da diagonal principal so todos nulos.

Exemplos de matrizes triangulares superiores:

500

830

741

D

4000

6200

5010

3014

E .

Nota : Vale a pena lembrar que, em particular neste mtodo, todos os elementos da diagonal principal de L sero o algarismo 1.

26

Tomemos um sistema de equaes lineares do tipo Ax = b e sabendo que A = LU, iremos na

verdade, solucionar dois sistemas mais simples de equaes lineares :

tUx

e

bLt

obtidos a partir de

A = LU Ax = ( LU )x Ax = L ( Ux ) , considerando Ux = t , temos Ax = Lt, como

Ax = b Lt = b. C.M.Q.D

Seja um sistema linear de ordem trs, obtemos a matriz dos coeficientes

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A,

ento

dzayaxaE

czayaxaE

bzayaxaE

3332313

2122212

3112111

.

Pela lgica usada no mtodo de Gauss, calculamos os multiplicadores

11

3131

11

2121

a

am

e

a

am

, da efetuando

as transformaes lineares elementares

3131'3

2121'2

EE.mE

EE.mE

, equivalente a efetuarmos a operao

A = M(0). A onde temos

333231

232221

131211

31

21)0(

aaa

aaa

aaa

A

10m

01m

001

M

, obtendo

'33

'32

'23

'22

131211'

aa0

aa0

aaa

A.

27

Continuando o processo, iremos calcular o multiplicador '22

'32

32a

am

bem como efetuar a

transformao linear elementar '3

'232

''3 EE.mE , equivalente a efetuarmos a operao

A = M(1). A onde temos

'33

'32

'23

'22

131211'

32

)1(

aa0

aa0

aaa

A

1m0

010

001

M

, obtendo

''33

'23

'22

131211''

a00

aa0

aaa

A.

Temos ento as seguintes Matrizes ...

''33

'23

'22

131211')1(''

32

)1(

'33

'32

'23

'22

131211)0('

31

21)0(

333231

232221

131211

a00

aa0

aaa

A.MA

1m0

010

001

M

aa0

aa0

aaa

A.MA

10m

01m

001

M

aaa

aaa

aaa

A

28

Observe que A = M(1).A e A= M(0).A, ento A = M(1). [M(0).A] = M(1).M(0). A, ou seja:

333231

232221

131211

31

21

32''33

'23

'22

131211)0()1(''

aaa

aaa

aaa

.

10m

01m

001

.

1m0

010

001

a00

aa0

aaa

A.M.MA.

Se pr-multiplicarmos ambos os membros da equao acima, pela inversa de [M(1)

.M(0)

] temos...

[M(1)

.M(0)

]-1

. A = [M(1).M(0)]-1. M(1).M(0). A , onde { [M(1).M(0)]-1. M(1).M(0)m } = I, conclumos que

[M(1)

.M(0)

]-1

. A = I. A A = [M(1).M(0)]-1. A A = [M(0)]-1.[M(1)]-1. A onde temos ...

1mm

01m

001

M.M

1m0

010

001

M

10m

01m

001

M

3231

21

1)1(1)0(

32

1)1(

31

21

1)0(

Finalmente ...

A = [M(0)

]-1

.[M(1)

]-1

. A

U.LA

a00

aa0

aaa

.

1mm

01m

001

A''33

'23

'22

131211

3231

21

29

Exemplo de resoluo de sistema de equaes lineares, utilizando a decomposio LU...

Etapas de Resoluo ( Mtodo de Doolittle )

1 ) Determinar as matrizes L e U;

2 ) Substituir Ux pela matriz T;

3 ) Resolver o sistema triangular inferior Lt = b;

4 ) Resolver o sistema triangular superior Ux = t, solucionando assim, o sistema Ax = b.

1 ) Determine a soluo do sistema linear

29z5y6x4

15zy8x2

11z2y3x

.

Resuloo :

1200

320

231

A

360

320

231

.

130

010

001

A.MA

130

010

001

M

1m0

010

001

M

3m2

6

a

am

360

320

231

A

564

182

231

.

104

012

001

A.MA

104

012

001

M

10m

01m

001

M

4m1

4

a

am

e

2m1

)2(

a

am

564

182

231

A

''')1(''

)1(

32

)1(

3222'

32'

32

')0('

)0(

31

21)0(

3111

3131

2111

2121

30

Ento temos:

1200

320

231

U

a00

aa0

aaa

U

134

012

001

L

1mm

01m

001

L

''33

'23

'22

131211

3231

21

Resolvendo o sistema Lt = b ...

36

7

11

T

29tt3t4

15tt2

11t

...Da

t

t

t

T

29

15

11

t

t

t

.

134

012

001

BLT

134

012

001

L

...sistemaosolvendoRe

312111

2111

11

31

21

11

13

12

11

Matriz dos termos independentes

31

Resolvendo o sistema Ux = t ...

3

1

2

z

y

x

X

36z12

7z3y2

11z2y3x

...Da

z

y

x

X

36

7

11

z

y

x

.

1200

320

231

TUX

1200

320

231

U

...sistemaosolvendoRe

3,1,2S

32

DISPOSITIVO PRTICO DE RESOLUO DA DECOMPOSIO LU

Da mesma forma que utilizvamos dispositivos prticos para agilizar a soluo de alguns mtodos

numricos de resoluo de sistemas, vamos aqui apresentar um dispositivo, muito parecido com aquele

utilizado no mtodo de triangularizao de Gauss, que nos auxiliar quanto a configurao das

matrizes L e U. Vamos reestudar a soluo do sistema que acabamos de solucionar...

Equao Multiplicadores x y z Transfomaes

Elementares

E1

1 -3 2

E2 -2 8 -1

E3 4 -6 5

E2 2

1

)2(

a

am

11

2121

0 2 3 * 2121

'2 EE.mE

E3 41

4

a

am

11

3131 0 6 -3 ** 3131

'3 EE.mE

E3 326

a

am

'22

'32

32 0 0 -12 ***'3

'232

''3 EE.mE

*

3a)1()2.(2aa.2a

2a8)3.(2aa.2a

'232313

'23

'222212

'22

**

3a)5()2.(4aa.4a

6a)6()3.(4aa.4a

'333313

'33

'323212

'32

*** 12a)3()3.(3aa.3a ''33'33'23''33

Portanto

1200

320

231

U

E

E

E

U

134

012

001

L

1mm

01m

001

L

''3

'2

1

3231

21

A partir daqui, o processo o mesmo j apresentado.

29z5y6x4

15zy8x2

11z2y3x

33

Exerccio :

Resolva o sistema abaixo usando a decomposio LU...

29z5y6x4

15zy8x2

11z2y3x

Respostas :

00,0;00,5;00,3S

00,0

67,1

00,1

T

00,800,000,0

67,033,000,0

00,400,200,3

U

00,100,133,1

00,000,133,0

00,000,000,1

L

34

DECOMPOSIO (OU FATORAO) DE CHOLESKY

Este processo ser aplicado na resoluo de sistemas lineares onde temos An a matriz do sistema sendo

simtrica e definida positiva, a qual ser fatorada na forma A = LLt e det(A) = [det(L)]. Onde Ln

triangular inferior, com os elementos da diagonal principal estritamente positivos.

Para fins didticos, iremos estudar matrizes 4x4.

Ento ...

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

44434241

333231

2221

11

llll

0lll

00ll

000l

L

44

3433

423222

41312111

t

l000

ll00

lll0

llll

L

Como A = LLt, temos ...

44

3433

423222

41312111

44434241

333231

2221

11

44434241

34333231

24232221

14131211

l000

ll00

lll0

llll

.

llll

0lll

00ll

000l

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Ento conclumos que a diagonal principal ...

35

a11 = l11.l11 = (l11)2

a22 = l21.l21 + l22.l22 = (l21)2 + (l22)

2

a33 = l31.l31 + l32.l32 + l33.l33 = (l31)2 + (l32)

2 + (l33)

2

a44 = l41.l41 + l42.l42 + l43.l43 + l44.l44 = (l41)2 + (l42)

2 + (l43)

2 + (l44)

2

Estendendo o conceito, temos ...

n...,,3,2i;lal

al

)(l + + )(l + )(l = .ll + ... + .ll + .ll = a

1i

1k

2ikiiii

1111

2nn

2n2

2n1nnnnn2n2n1n1nn

Analogamente, temos abaixo da diagonal principal

jjnjj22nj11nnj

jjj,2jj22,2jj11,2jj,2j

jjj,1jj22,1jj11,1jj,1j

222n211n2n1n1n1n

2242214142113131

2232213132112121

ll...lllla

ll...lllla

ll...gllla

colunasimaj

l.ll.lal.la

l.ll.lal.la

l.ll.lal.la

coluna2coluna1

Logo temos

ij2;l

l.la

l

n...,,3,2i;l

al

jj

1j

1k

jkikij

ij

11

1i1i

Agrupando as igualdades acima em ordem, temos l11, l21, ..., ln1; l22, l32, ..., ln2; ...; lnn.

Agora podemos complementar, com base na decomposio LU ( J estudada anteriormente ),

que det(A) = [det(L)] = [ l11.l22.l33. ... .lnn ]2.

36

Portanto, conclumos que a soluo do sistema Ax = b depende de calcularmos a matriz L,assim

sendo, bastar solucionarmos os sistemas Lt = b e Ltx = t.

Exemplo :

Resolva o sistema

5z3y

1zy2x

2yx

.

Resoluo :

Determinando as matrizes do sistema ...

5

1

2

Be

310

121

011

A

Verificando se a matriz A pode ser decomposta em LLt ...

A simtrica.

02

310

121

011

)Adet()Adet(

0121

11)Adet(

011)Adet(

3

2

1

Portanto, A pode ser decomposta em LLt .

37

...

l00

ll0

lll

Le

lll

0ll

00l

L matrizes as Caculando

33

3222

312111t

333231

2221

11

2l103)1(03llallal

1ll

)1.0(1

l

l.la

l

l.la

ll

l.la

ll

1l12l2lalalla

0l1

0

l

al

1l1

1

l

al

l

al

1l1al

2222

2

1k

232

23133

13

1k

232

2313333

3222

1

1k

213132

22

12

1k

213132

32jj

1j

1k

jkikij

ij32

222

1

1k

22122

12

1k

2212222

1i

1k

2ikii

3111

3131

2111

2121

11

1i1i

111111

Portanto ...

200

110

011

.

210

011

001

310

121

011

LLA

200

110

011

l00

ll0

lll

L

210

011

001

lll

0ll

00l

L

t

33

3222

312111t

333231

2221

11

38

Solucionando os sistemas Lt = b e Ltx = t.

2

1

1

z

y

x

Xsistemaoresolvendo

22

1

2

z

y

x

.

200

110

011

txL

22

1

2

t

t

t

Tsistemaoresolvendo

5

1

2

t

t

t

.

210

011

001

b =Lt

t

3

2

1

3

2

1

Finalmente ...

A soluo do sistema

5z3y

1zy2x

2yx

===========================================================================

Exerccios :

1 ) Sejam as matrizes

5

2

1

Be

210

011

001

A do sistema Ax = b. Determine a sua soluo usando

a decomposio de Cholesky.

2 ) Sejam as matrizes

5

2

1

Be

310

121

011

A do sistema Ax = b. Determine a sua soluo usando

a decomposio de Cholesky.

===========================================================================

===========================================================================

S= { ( 1, 1, 2 ) }

39

MTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL

Introduo :

Todo sistema apresentado da forma Ax = b pode ser reescrito, seguindo o algoritmo de Gauss-Seidel,

na forma equivalente x = Bx + d.

A partir da forma equivalente acima, podemos construir uma seqncia de vetores de x0 at xn da

seguinte forma :

x0 (Vetor arbitrrio)

x1 = Bx0 + d (Primeira iterao)

x2 = Bx1 + d (Segunda iterao)

x3 = Bx2 + d (Terceira iterao)

.

.

.

xn = Bxn-1 + d (n-sima iterao)

Caso esta seqncia apresente convergncia, ou seja, se nn

xlimx

, ela aceita o clculo

dBxdxlimBdBxlimxlimx 1nx

1nx

nx

, demonstrando ser x soluo do sistema.

Em linhas gerais, para determinarmos a soluo de um sistema, iteramos k vezes e verificamos se existe uma convergncia dos resultados obtidos, tal convergncia xk ser considerada um valor aproximado da soluo x. A diferena x - xk ser chamada de erro de truncamento.

Algoritmo iterativo de Gauss-Seidel :

Seja o sistema Ax = b de terceira ordem temos :

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

Vamos agora dividir a resoluo deste sistema em trs passos bsicos ...

1 Passo

Dividir todos os termos da primeira equao por a11 , dvidir todos os termos da segunda equao por

a22 e assim por diante.

Logo temos :

40

33

3

33

33

33

32

33

31

22

2

22

23

22

22

22

21

11

1

11

13

11

12

11

11

a

bz

a

ay

a

ax

a

a

a

bz

a

ay

a

ax

a

a

a

bz

a

ay

a

ax

a

a

33

3

33

32

33

31

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

a

bzy

a

ax

a

a

a

bz

a

ayx

a

a

a

bz

a

ay

a

ax

.

2 Passo

Isolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos :

33

3

33

32

33

31

22

2

22

23

22

21

11

1

11

13

11

12

a

bz0y

a

ax

a

az

a

bz

a

ay0x

a

ay

a

bz

a

ay

a

ax0x

.

3 Passo

Atribumos valores arbitrrios para x, y e z os quais sero identificados como x(0)

, y(0)

e z(0)

, tais valores,

so chamados de valores iniciais e em linhas gerais sero usados os termos independentes de cada linha

do sistema, logo temos : 33

3)0(

22

2)0(

11

1)0(

a

bz,

a

by,

a

bx . Cada grupo de novos valores de x, y e z

que sero encontrados, tero como base os ltimos valores anteriormente encontrados iterando-se cada

linha do sistema acima, da temos :

33

3)0()1(

33

32)1(

33

31)1(

22

2)0(

22

23)0()1(

22

21)1(

11

1)0(

11

13)0(

11

12)0()1(

a

bz0y

a

ax

a

az

a

bz

a

ay0x

a

ay

a

bz

a

ay

a

ax0x

33

3)1()2(

33

32)2(

33

31)2(

22

2)1(

22

23)1()2(

22

21)2(

11

1)1(

11

13)1(

11

12)1()2(

a

bz0y

a

ax

a

az

a

bz

a

ay0x

a

ay

a

bz

a

ay

a

ax0x

.

.

.

41

33

3)n()1n(

33

32)1n(

33

31)1n(

22

2)n(

22

23)n()1n(

22

21)1n(

11

1)n(

11

13)n(

11

12)n()1n(

a

bz0y

a

ax

a

az

a

bz

a

ay0x

a

ay

a

bz

a

ay

a

ax0x

.

Tais iteraes sero efetuadas at que seja encontrada a convergncia total, ou seja, os valores de x, y e

z duas iteraes imediatamente seguidas devem ser exatamente iguais um a um , da x(n)

= x(n+1)

, y(n)

= y(n+1)

e z(n)

= z(n+1)

.

Vamos agora, ilustrar esta teoria com alguns exemplos prticos...

Exemplo 1

Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando uma casa

decimal depois da vrgula.

18z15yx2

8zy8x

9zy2x10

Resoluo:

1 Passo

Temos a11 = 10, a22 = 8 e a33 = 15.

Da :

15

18z

15

15y

15

1x

15

28

8z

8

1y

8

8x

8

110

9z

10

1y

10

2x

10

10

2,1zy1,0x1,0

0,1z1,0yx1,0

9,0z1,0y2,0x

.

2 Passo


42

2,1z0y1,0x1,0z

0,1z1,0y0x1,0y

9,0z1,0y2,0x0x

.

3 Passo

Valores iniciais

2,1z

0,1y

9,0x

)0(

)0(

)0(

.

1 Iterao

0,1z2,12,100,11,00,11,0z

0,1y0,12,11,00,100,11,0y

0,1x9,02,11,00,12,0)9,0(0x

)1()1(

)1()1(

)1()1(

.

2 Iterao

0,1z2,10,100,11,00,11,0z

0,1y0,10,11,00,100,11,0y

0,1x9,00,11,00,12,0)0,1(0x

)2()2(

)2()2(

)2()2(

.

Como temos x(2)

= x(1)

, y(2)

= y(1)

e z(2)

= z(1)

, respectivamente, dizemos que houve convergncia e

que portanto as solues aproximadas do sistema so:

0,1zzz

0,1yyy

0,1xxx

)2()1(

)2()1(

)2()1(

.

Exemplo 2

Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando duas casa


6z9y3x2

5zy10x

4zy2x7

Portanto S = { ( 1,0 ; 1,0 ; 1,0 ) }

43

Resoluo:

1 Passo

Temos a11 = 7, a22 = 10 e a33 = 9.

Da :

9

6z

9

9y

9

3x

9

210

5z

10

1y

10

10x

10

17

4z

7

1y

7

2x

7

7

67,0zy33,0x22,0

50,0z10,0yx10,0

057z14,0y29,0x

.

2 Passo


67,0z0y33,0x22,0z

50,0z10,0y0x10,0y

57,0z14,0y29,0x0x

.

3 Passo

Valores iniciais

67,0z

50,0y

57,0x

)0(

)0(

)0(

.

1 Iterao

41,0z67,067,0037,033,062,022,0z

37,0y50,067,010,050,0062,010,0y

62,0x57,067,014,050,029,0)57,0(0x

)1()1(

)1()1(

)1()1(

.

2 Iterao

40,0z67,041,0040,033,062,022,0z

40,0y50,041,010,037,0062,010,0y

62,0x57,041,014,037,029,0)62,0(0x

)1()2(

)2()2(

)2()2(

.

3 Iterao

40,0z67,040,0040,033,063,022,0z

40,0y50,040,010,040,0063,010,0y

63,0x57,040,014,040,029,0)62,0(0x

)3()3(

)3()3(

)3()3(

.

44

4 Iterao

40,0z67,040,0040,033,063,022,0z

40,0y50,040,010,040,0063,010,0y

63,0x57,040,014,040,029,0)63,0(0x

)4()4(

)4()4(

)4()4(

.

Como temos x(4)

= x(3)

, y(4)

= y(3)

e z(4)

= z(3)



40,0zzz

40,0yyy

63,0xxx

)4()3(

)4()3(

)4()3(

.

DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS-SEIDEL

Os clculos que acabamos de realizar podem ser simplificados usando-se uma tabela que discrimina os

elementos do sistema, de forma a otimizar os clculos. Tal tabela conhecida pelo nome de

DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS-SEIDEL.

Vamos detalhar passo a passo a sua construo usando para isso o exemplo 1 ...

... Encontre a soluo do sistema abaixo, pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel, utilizando uma casa


18z15yx2

8zy8x

9zy2x10

1 Passo

Temos a11 = 10, a22 = 8 e a33 = 15.

Da :

15

18z

15

15y

15

1x

15

28

8z

8

1y

8

8x

8

110

9z

10

1y

10

2x

10

10

2,1zy1,0x1,0

0,1z1,0yx1,0

9,0z1,0y2,0x

.

2 Passo


2,1z0y1,0x1,0z

0,1z1,0y0x1,0y

9,0z1,0y2,0x0x

.

Portanto S = { ( 0,63 ; 0,40; 0,40 ) }

45

3 Passo

Valores iniciais

2,1z

0,1y

9,0x

)0(

)0(

)0(

.

Note que at aqui nada mudou em relao resoluo sem o D.P.G-S. Vamos agora a construo do

dispositivo propriamente dito...

Tabela ...

Usando o resultado do 2 Passo temos :

A prxima linha ( Iterao 0 ) ser preenchida pelos valores iniciais, ou seja, os termos independentes

do 3 Passo ...

A prxima linha ( Iterao 1 ) ser preenchida da seguinte forma:

O elemento x(1)

resultado da soma de cada elemento da linha L1 multiplicado pelo ltimo elemento de

cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L1, ou seja :

x(1)

= 0.0,9 + 0,2.1,0 0,1.1,2 + 0,9 = 1,0

Linha x y z Termo indep. ( T.I )

L1 0 0,2 -0,1 0,9

L2 -0,1 0 0,1 1,0

L3 -0,1 -0,1 0 1,2

Linha x y z Termo indep. (T.I )

L1 0 0,2 -0,1 0,9

L2 -0,1 0 0,1 1,0

L3 -0,1 -0,1 0 1,2

Valores Iniciais ( T.I ) 0,9 1,0 1,2 0

Iteraes ...

46

O elemento y(1)



y(1)

= -0,1.1,0 + 0.1,0 + 0,1.1,2 + 1,0 = 1,0.

O elemento z(1)



z(1)

= -0,1.1,0 0,1.1,0 + 0.1,2 + 1,2 = 1,0.

A prxima linha ( Iterao 2 ) ser preenchida da seguinte forma:


L1 0 0,2 -0,1 0,9

L2 -0,1 0 0,1 1,0

L3 -0,1 -0,1 0 1,2


1,0 1


L1 0 0,2 -0,1 0,9

L2 -0,1 0 0,1 1,0

L3 -0,1 -0,1 0 1,2


1,0 1,0 1


L1 0 0,2 -0,1 0,9

L2 -0,1 0 0,1 1,0

L3 -0,1 -0,1 0 1,2


1,0 1,0 1,0 1

Iteraes ...

Iteraes ...

Iteraes ...

47

O elemento x(2)



x(2)

= 0.1,0 + 0,2.1,0 0,1.1,0 + 0,9 = 1,0

O elemento y(2)



y(2)

= -0,1.1,0 + 0.1,0 + 0,1.1,0 + 1,0 = 1,0.

O elemento z(2)



z(2)

= -0,1.1,0 0,1.1,0 + 0.1,0 + 1,2 = 1,0.

Como temos x(2)

= x(1)

, y(2)

= y(1)

e z(2)

= z(1)



L1 0 0,2 -0,1 0,9

L2 -0,1 0 0,1 1,0

L3 -0,1 -0,1 0 1,2


1,0 1,0 1,0 1

1,0 2


L1 0 0,2 -0,1 0,9

L2 -0,1 0 0,1 1,0

L3 -0,1 -0,1 0 1,2


1,0 1,0 1,0 1

1,0 1,0 2


L1 0 0,2 -0,1 0,9

L2 -0,1 0 0,1 1,0

L3 -0,1 -0,1 0 1,2


1,0 1,0 1,0 1

1,0 1,0 1,0 2

Iteraes ...

Iteraes ...

Iteraes ...

48


0,1zzz

0,1yyy

0,1xxx

)2()1(

)2()1(

)2()1(

.

Exerccios :

Resolva os sistemas abaixo, pelo M.I.G-S, utilizando o D.P.G-S, usando, durante os clculos, DUAS

CASAS decimais aps a vrgula.

1 )

2z5yx

3z4y10x

2zy3x10

S = { ( 0,29; -0,44; -0,43 ) }

2 )

12z7y3x2

4zy4x

5z2y2x5

S = { ( 1,00; 1,00; 0,99 ) }

3 )

0w5zyx

1w2z15y3x2

2wzy8x

1w4z3y2x10

S = { ( 0,21; -0,20; 0,10; -0,10 ) }

Portanto S = { ( 1,0 ; 1,0 ; 1,0 ) }

49

CONVERGNCIA

Nos exemplos e exerccios vistos at agora, todos apresentaram CONVERGNCIA. Todavia, alguns

sistemas lineares no apresentam tal caracterstica. Quando tal fato ocorre, o mtodo iterativo de Gauss-

Seidel no resolve tais sistemas.

Veja o exemplo abaixo, num sistema que S.P.D.

10z10yx

13zy10x2

7z2y10x

.

Resolvendo o sistema por G-S temos:

0,1z0y1,0x1,0z

3,1z1,0y0x2,0y

0,7z0,2y0,10x0x

.

Da ...

Valores iniciais

0,1z

3,1y

0,7x

)0(

)0(

)0(

.

1 Iterao

6,1z

2,2y

0,4x

)1(

)1(

)1(

. 2 Iterao

6,2z

8,3y

8,11x

)2(

)2(

)2(

.

3 Iterao

3,4z

8,6y

0,26x

)3(

)3(

)3(

. 4 Iterao

4,7z

1,12y

0,51x

)4(

)4(

)4(

.

50

5 Iterao

1,13z

9,21y

4,99x

)5(

)5(

)5(

.

Nota-se claramente que o sistema estudado NO APRESENTA CONVERGNCIA. Da, no

podemos usar o Mtodo iterativo de Gauss-Seidel.

Ento, sempre que formos resolver um sistema pelo M.I.G-S, devemos antes verificar se o mesmo

CONVERGENTE. Um dos mtodos mais conhecidos o chamado CRITRIO DA SOMA POR

LINHAS e o CRITRIO DE SASSENFELD.

1 - CRITRIO DA SOMA POR LINHAS

Seja, por exemplo, A a matriz dos coeficientes de um sistema linear de 3 ordem dada por:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Temos :

11

13

11

121

a

a

a

aS

22

23

22

212

a

a

a

aS

33

32

33

31

3a

a

a

aS

As barras ao lado das fraes representam MDULOS.

Se S1 < 1, S2 < 1 e S3 < 1, ento as seqncias

)n()1n()2()1()0(

)n()1n()2()1()0(

)n()1n()2()1()0(

z,z,...,z,z,z

y,y,...,y,y,y

x,x,...,x,x,x

so CONVERGENTES.

Exemplos :

Verifique as convergncias das seqncias de vetores dos sistemas:

a )

15z9y5x3

9z7y10x2

7z2yx5

Resoluo :

953

7102

215

A , logo

9a

10a

5a

33

22

11

O critrio de soma por linhas s

vale para dizer se o sistema

convergente. Se no for satisfeito,

nada podemos concluir !!!

51

Temos :

0,16,0S5

3

5

2

5

1

5

2

5

1S 11

0,19,0S10

9

10

7

10

2

10

7

10

2S 22

0,19,0S9

8

9

5

9

3

9

5

9

3S 33

b )

12z11y4x5

10zy10x2

4z2yx3

Resoluo :

1145

1102

213

A , logo

11a

10a

3a

33

22

11

Como todos os valores so em MDULO, no usaremos tal notao e escreveremos todos os valores

como sendo POSITIVOS ...

Temos :

0,10,1S3

3

3

2

3

1S 11

c )

19z4y10x2

2z3yx

131z2yx5

Resoluo :

4102

311

215

A , logo

4a

1a

5a

33

22

11

A seqncia de vetores

CONVERGENTE, pois a

matriz A satisfaz o Critrio

da soma por linhas.


PODER ou NO ser

convergente, pois a matriz A NO satisfaz o Critrio da

soma por linhas.

52

Temos :

0,16,0S5

3

5

21S 11

0,10,4S1

4

1

31S 22

d ) Usando o sistema do exemplo(c), permute as linhas 2 e 3 e estude a convergncia do sistema

equivalente.

Resoluo :

Sistema equivalente

2z3yx

19z4y10x2

131z2yx5

;

311

4102

215

A , logo

3a

10a

5a

33

22

11

Temos :

0,16,0S5

3

5

21S 11

0,16,0S10

6

10

42S 22


PODER ou NO ser

convergente, pois a matriz A NO satisfaz o Critrio da

soma por linhas.


CONVERGENTE, pois a

matriz A satisfaz o Critrio da soma por linhas.

53

0,17,0S3

2

3

11S 33

Obs.: Ao permutarmos as equaes de um sistema linear, as solues NO SE ALTERAM, por isso,

sempre antes de estudarmos a CONVERGNCIA pelo C.S.P.L interessante reescrevermos o sistema

de forma que os coeficientes de MAIOR PESO de cada varivel fiquem na DIAGONAL PRINCIPAL

da matriz.

Exemplo :

e )

15wzy6x2

19w4z3y10x20

17wz9y5x2

20w9z3y2x

Resoluo :

Sistema equivalente

20w9z3y2x

17wz9y5x2

15wzy6x2

19w4z3y10x20

;

9321

1952

1162

431020

A , logo

9a

9a

6a

20a

44

33

22

11

Temos :

54

0,19,0S20

17

20

4310S 11

0,17,0S6

4

6

112S 22

0,19,0S9

8

9

152S 13

0,17,0S9

6

9

321S 441

Exerccios :

Verifique se o sistema abaixo pode ser resolvido pelo processo iterativo que gera seqncia de vetores,

considerando, caso necessrio, a permutao das equaes.

1 )

15z3y2x10

20z15y5x10

19z4y15x2

Resp.: Nada podemos concluir sobre a convergncia

2 )

15z4y5x10

25zy15x10

10z9y5x2

Resp.: Convergente

3 )

15z10y2

7zyx5

9z7x5


4 ) A matriz abaixo a matriz completa associada a um sistema linear...

a )

1394a

207102

10a15

4,4aS

b )

13943

207a2

10315

,99,aS


CONVERGENTE, pois a


da soma por linhas.

55

c )

1394a

207a2

10a15

S

Para que valores de a o sistema correspondente, SEM PERMUTAO DE EQUAES, pode ser resolvido por um processo iterativo?

2 - CRITRIO DE SASSENFELD

Seja, por exemplo, A a matriz dos coeficientes de um sistema linear de 3 ordem dada por:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Temos :

11

1312

1a

aa

22

23121

2a

a.a

33

223131

3a

.a.a

Se o mx i < 1, ento as seqncias

)n()1n()2()1()0(

)n()1n()2()1()0(

)n()1n()2()1()0(

z,z,...,z,z,z

y,y,...,y,y,y

x,x,...,x,x,x

so CONVERGENTES.

Exemplos :

Verifique as convergncias das seqncias de vetores dos sistemas:

a )

15z9y5x3

9z7y10x2

7z2yx5

Resoluo :

56

953

7102

215

A , logo

9a5a3a

7a10a2a

2a1a5a

333231

232221

131211

Temos :

60,05

3

5

21

5

21

a

aa

11

1312

1

82,010

20,8

10

720,1

10

760,0.2

a

a.a

22

23121

2

mx i = 2 = 0,82 < 1

65,09

90,5

9

10,480,1

9

82,0.560,0.3

a

.a.a

33

232131

3

b )

0z2yx

6zy4x3

5zyx5

Resoluo :

211

143

115

B , logo

2b1b1b

1b4b3b

1b1b5b

333231

232221

131211

Temos :

40,05

2

5

11

5

11

b

bb

11

1312

1

55,04

20,2

4

120,1

4

140,0.3

b

b.b

22

23121

2


CONVERGENTE, pois a


de Sassenfeld.

57

48,02

95,0

2

55,040,0

2

55,0.140,0.1

b

.b.b

33

232131

3

mx i = 2 = 0,55 < 1

c )

15wzy6x2

19w4z3y10x20

17wz9y5x2

20w9z3y2x

Resoluo :

1162

431020

1952

9321

C , logo

1c1c6c2c

3c3c10c20c

1c9c5c2c

9c3c2c1c

44434241

34333231

24232221

14131211

Temos :

00,121

12

1

932

1

932

c

ccc

11

141312

1

> 1


CONVERGENTE, pois a

matriz B satisfaz o Critrio

de Sassenfeld.


NO CONVERGENTE,

pois a matriz C no satisfaz

o Critrio de Sassenfeld.

58

Exerccios :

Verifique se o sistema abaixo pode ser resolvido pelo processo iterativo que gera seqncia de vetores,

considerando, caso necessrio, a permutao das equaes.

1 )

15wzy6x2

19w4z3y10x20

17wz9y5x2

20w9z3y2x

2 )

15z3y2x10

20z15y5x10

19z4y15x2


3 )

15z4y5x10

25zy15x10

10z9y5x2

Resp.: Convergente

4 )

15z10y2

7zyx5

9z7x5


59

MTODO DE NEWTON PARA SISTEMAS TRANSCEDENTES

Tomemos o sistema

0)y,x(G

0)y,x(F , ele pode ser reescrito na forma

)y,x(Gy

)y,x(Fx__

__

, onde a soluo a

ser determinada )y,x(u____

.

Considerando que 0x

G.

y

F

y

G.

x

F)y,x(D

esteja em uma vizinhana de )y,x(u

____

,

utilizaremos o Mtodo de Newton para encontrar a soluo deste sistema. Tal mtodo consiste em um

algoritmo que chega a tal soluo de forma iterativa.

Num primeiro momento, escolhe-se x0 e y0 como valores iniciais da soluo do sistema. A partir da

usamos as frmulas iterativas abaixo para obteno das seqncias ...

x

G.

y

F

y

G.

x

F

)y,x(G.y

F

y

G.)y,x(F

xx r1r

( 1 )

x

G.

y

F

y

G.

x

Fx

G).y,x(F)y,x(G.

x

F

yy r1r

O ndice r indica que o clculo feito para xr e yr .

Se as seqncias forem CONVERGENTES, ento elas convergem para a SOLUO do sistema.

Exemplo :

Encontre, usando o mtodo de Newton para sistemas transcendentes, a soluo do sistema

01xy

01yx2

2

.

60

Resoluo :

Temos F(x, y ) = x2 + y 1 e G(x, y ) = y2 + x 1, logo encontramos as derivadas parciais de

primeira ordem so:

1y

F

x2x

F

y2y

G

1x

G

Utilizando as frmulas ( 1 ), temos :

y

G

x

G

y

F

x

F

y

G)y,x(G

y

F)y,x(F

xx r1r

e

y

G

x

G

y

F

x

F

)y,x(Gx

G

)y,x(Fx

F

yy r1r

Considerando

1y

1x

0

0 e utilizando as frmulas acima, obtemos :

67,0y

67,0x

1

1

62,0y

62,0x

2

2

62,0y

62,0x

3

3

Como temos

62,0yy

62,0xx

32

32 ento a soluo do sistema S = { ( 0,62 ; 0,62 ) } .

Exerccios :

Encontre, usando o mtodo de Newton para sistemas transcendentes, a soluo dos sistemas :

a )

02yx

01yx com x0 = -1 e y0 = 2 S = { ( -0,70; 1,70 ) }

61

b )

01xyln

01yxln com x0 = 1 e y0 = 1 S = { ( 1,00; 1,00 ) }

c )

0xyln

01yxln com x0 = 0,50 e y0 = 1,69 S = { ( 0,51; 1,67 ) }

MTODO DE NEWTON RAPHSON

O mtodo de Newton-Raphson um dos mais utilizados quando a finalidade calcular as razes de

uma equao.

Tomemos f(x) = 0 uma equao, temos x = F(x) uma transformao de f(x) = 0. Tal transformao

pode ser representada pela seqncia :

x1 = F(x0)

x2 = F(x1)

x3 = F(x2)

.

.

.

xn+1 = F(xn)

Se tal seqncia for convergente, temos lim xn = r, seja F(x) contnua, temos:

r = lim xn+1 = lim F(xn) = F(lim xn) = F(r)

onde r raiz de x = F(x), logo f(x) = 0.

O mtodo de Newton-Raphson nos leva a transformar f(x) = 0 em uma equao conveniente onde a

nica dependncia para que seja convergente a escolha do x0, da temos )x('f

)x(fx)x(F , donde

obtm-se a frmula

APLICANDO A FRMULA . . .

)x('f

)x(fxx

n

n

n1n

Frmula de Newton-Rapson

62

1 ) Resolvendo a equao x2 5 = 0, com preciso de 2 casas decimais.

Resoluo :

5x5x05x 22 Uma das razes x] 2, 3 [ , pois 5 maior que 2 e menor

que 3.

x2)x('f

5x)x(f 2

temos

.25,2x4

9

4

18

4

12

4

)1(2

4

542

)2(2

5)2(2

)2('f

)2(f2

)x('f

)x(fxx 1

2

0

0

01

.24,2x...)25,2(2

5)25,2(25,2

)25,2('f

)25,2(f25,2

)x('f

)x(fxx 2

2

1

112

.24,2x...)24,2(2

5)24,2(24,2

)24,2('f

)24,2(f24,2

)x('f

)x(fxx 3

2

2

223

Como x3 = x2 temos .

2 ) Idem para 2x21

xln

; [00,1;50,0]x com preciso de 2 casas decimais.

Resoluo :

02x4xlnx42xln)x21(2xln2x21

xln

Logo ...

x

1x44

x

1)x('f

2x4xln)x(f

temos

)x('f

)x(fxx

n

n

n1n

Para x0 = 2 . . .

Resp. : x 2,24

)x('f

)x(fxx

n

n

n1n

Para x0 = 0,50 . . .

63

.62,0x...

50,0

1)50,0(4

2)50,0(4)50,0ln(50,0

)50,0('f

)50,0(f50,0

)x('f

)x(fxx 1

0

0

01

.62,0x...

62,0

1)62,0(4

2)62,0(4)62,0ln(62,0

)62,0('f

)62,0(f62,0

)x('f

)x(fxx 2

1

112

Como x2 = x1 temos .

Exerccios :

1 ) Idem para 2x3 + ln x - 5 = 0 , sabendo-se que x ] 1,00 ; 2,00 [. Use 2 casas decimais de preciso.

33,1x:.spRe

Observao para os execcios 2 e 3 : Na maioria das vezes, indicamos um erro de preciso (E) que o

fator de comparao da nossa resposta. Para verificarmos se o valor de x calculado est dentro desta margem de erro, basta efetuarmos E = | xn+1 xn | e compararmos o resultado com o erro E solicitado no

exerccio, caso ele no se enquadre, devemos continuar as iteraes at o seu enquadramento. Desta forma, ns no precisamos comparar o resultado de x encontrado, com o resultado de x anterior e

assim a resposta ser 2

xxx n1n

. Vamos ver se voc entendeu ...

2 ) Idem para x3 + x 3 = 0 com erro de preciso E 0,005, sabendo-se que x] 1, 2 [.

Use 2 casas decimais de preciso SOMENTE NA RESPOSTA FINAL.

21,1x:.spRe

3 ) Idem para ln x + x = 0 com erro de preciso E 0,005, sabendo-se que x] 0, 1 [.

Use 2 casas decimais de preciso SOMENTE NA RESPOSTA FINAL.

57,0x:.spRe

Resp. : x 0,62

64

MTODO DE NEWTON-RAPHSON - SEPARAO DE RAZES

Vamos aprender agora, um mtodo que nos permite localizar o intervalo aonde se encontram as razes

de uma equao. Tal mtodo nos auxiliar para que efetuemos a escolha do x0 de forma a tentarmos

minimizar o nmero de iteraes.

O mtodo consiste em uma srie de procedimentos que indicaremos a seguir ...

1 ) Verificar a condio de existncia principal das funes envolvidas na equao.

2 ) Considerando que a funo principal f(x) estudada no exerccio seja definida nos intervalos

;aea; , calcular :

)x(flim

)x(flim

)x(flim

)x(flim

x

ax

ax

x

3 ) Determine x , tal que f (x) = 0.

4 ) Localizar, por qualquer mtodo, os pontos de mximo e mnimo relativos da funo. Sugerimos

aqui, usar o mtodo da segunda derivada por ser mais rpido do que a tabela de intervalos estudada

em CDI II, apesar desta ser mais confivel, pois no apresenta inconsistncia quando f (x) = 0.

5 ) Determine x , tal que f (x) = 0.

65

6 ) Localizar os pontos de inflexo da funo.

7 ) Testar valores de x na funo f(x) com a finalidade de definir os intervalos aonde a mesma muda de sinal e assim podermos aplicar o mtodo de Newton-Raphson, e localizarmos as razes da equao

estudada.

8 ) Esboar o grfico da funo f(x).

Vamos agora apresentar um exemplo para que possamos aplicar esta metodologia ...

Determine as razes da equao 02x

1xln e esboce o grfico das funo f(x) correspondente,

utilizando para tal, o mtodo de separao de razes.

Resoluo :

1 )

;0x:E.C

0x

0x

:E.C , ou simplesmente, x > 0.

2 )

.2x

1xlnlim)x(flim

.)x(flim

x

122

0xln

02x

1xlnlim)x(flim

xx

0x0x0x

3 ) 1x01x0x

1x)x('f

x

1

x

1)x('f2

x

1xln)x('f

22

'

( Valor crtico ).

4 ) Logo, aplicando x = 1 em 2x

1xln)x(f , temos 1y2

)1(

1)1ln()1(fy , da obtemos

o ponto P ( 1, -1 ).

Fazendo o teste da segunda derivada temos, x

2x)x(''f...

x

1x)x(''f

'

2

.

Logo, aplicado em x = 1 em x

2x)x(''f

, temos

01

)1(

2)1()1(''f ( Mnimo relativo ).

66

Da temos, P ( 1, -1 ) Ponto de mnimo relativo.

5 ) .2x02x0x

2x)x(''f...

x

1x)x(''f

'

2

( Valor crtico de inflexo ).

6 ) Logo, aplicando x = 2 em 2x

1xln)x(f , temos 81,0y2

)2(

1)2ln()2(fy , da

obtemos o ponto Q ( 2; -0,81 ) Ponto de inflexo.

7 ) Como

)x(flim0x

temos f(x) > 0.

.0)1(f12)1(

1)1ln()1(fy Logo f(x) possui uma raiz 1;0x r .

. 7 6; xraiz outra possui f(x) Logo.009,0)7(f2)7(

1)7ln()7(fy

004,0)6(f2)6(

1)6ln()6(fy

.019,0)5(f2)5(

1)5ln()5(fy

.036,0)4(f2)4(

1)4ln()4(fy

.057,0)3(f2)3(

1)3ln()3(fy

.081,0)2(f2)2(

1)2ln()2(fy

r

Agora utilize o M.N.R para, finalmente encontrar as razes da equao 02x

1xln e depois,

esboce o grfico da funo correspondente 2x

1xln)x(f .

Exerccio :

Determine as razes da equao x7- x5 + 3 = 0 e esboce o grfico da funo f(x) correspondente, utilizando para tal, o mtodo de separao de razes.

67

MTODO DE NEWTON-RAPHSON INTERPRETAO GEOMTRICA

J vimos que, para determinarmos a raiz ( ou razes ) de uma equao, podemos utilizar o mtodo de

Newton-Raphson onde )x('f

)x(fxx

n

n

n1n , a partir de um x0 determinado adequadamente; tal raiz

obtida pela convergncia de resultados, essa convergncia pode ser demonstrada

geometricamente, utilizando-se um grfico cartesiano...

y

x 0

P

P

P

P

f(x)

_

x (Raiz) X2 X1

f(x0)

f(x1)

x0

68

Note que o ponto P escorrega at o ponto P ( _

x , 0 ) , com _

x raiz de f(x).

Usando as relaes trigonomtricas no tringulo retngulo, temos :

Portanto .)x('f

)x(fxx

)x('f

)x(fxx

xx

)x(f)x('f

CA

COtg

0

0

01

0

0

10

10

0

0

Portanto .)x('f

)x(fxx

)x('f

)x(fxx

xx

)x(f)x('f

CA

COtg

1

1

12

1

1

21

21

1

1

Da, continuando o processo, temos ...

x0 f(x0) P

x1

x1 f(x1) P

x2

)x('f

)x(fxx

n

nn1n

Frmula de Newton-Raphson

69

Quando xn+1 = xn ( Dentro dos critrios de arredondamento ), dizemos que _

x = xn+1 = xn a

soluo, ou raiz, da equao ( funo ) estudada.

Apostila de CN

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