E. E. E. F. M. MIN.

ALCIDES CARNEIRO

Turma: Aluno(a):

PROFESSOR: GILBERTO SANTOS

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

1 . DEFINIÇÃO Dados os números reais x e a, com a

1, chamamos de logaritmo de x, na base a, o

número real y, que deve ser o expoente de a

para que a potência seja igual ao número x.

y = logax x = ay

, sendo a > 0 e a 1

x > 0

f: R R*

Exemplos: 1ª) log381 = 4 34 = 81

2ª) log2

1 32 = -5

-5

2

1

= 32

3ª) log 5 5 = 2 25 = 5

4ª) log81 = 0 80 = 1

Veja que, de acordo com as restrições

impostas, não são definidos, por exemplo:

log3(-81), log10 0, log0 3, log-2 8 e log1 6.

Quando a base do logaritmo for 10, po-

delos omiti-la. Assim, log 2 é o logaritmo de 2

na base 10. Aos logaritmos na base 10 damos

o nome de logaritmos decimais.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Determine:

a) log2 128

b) 9 log3

c) log3 27

d) log5 125

e) log 10000

f) log10 0,01

g) log2 0,5

h) log2 8

i) log4 32

j) 16 log

4

1

l) log2 0,25

m) log7 7

n) log4 1

2) Determine o valor de a nas seguintes

igualdades:

a) loga 25 = 2

b) loga 8 = 3

c) loga 81 = 4

d) loga 5 = 1

e) loga 36 = 2

f) loga 4 = -2

g) loga 1 = 0

3) Determine o valor de x nas igualdades:

a) log2 x = 5

b) 3 = log4 x

c) log (x + 1) = 2

4) Se A = log2 1024 + log 1/5 625, determine o

valor de A.

5) Calcule a soma log2 16 + log3 81 + log4

0,25.

6) Se x = log2 2 2 e y = log0,01 10, calcule

x + y.

7) Calcule log2 [log3 81].

1.2 Consequências da definição

1ª) loga an = n , pois an = an

2ª) N logaa = N

Justificativa: loga N = x ax = N

Substituindo x: N logaa = N

3ª) loga x = loga y x = y

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

8) Calcule o valor dos logaritmos:

a) log7 1

b) log0,5 1

c) log6 6

d) log5 54

e) log2 26

f) log10 10-4

g) log 2

h) log2 16

i) log5 5

j) log3 243

l) 2 log2

m) log2 5 2

n) 3log1010

2

2 . PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

DOS LOGARITMOS 2.1 Logaritmo de um produto

loga (M . N) loga M + loga N

2.2 Logaritmo de um quociente

loga N

M loga M - loga N

2.3 Logaritmo de uma potência

loga MN N . loga M

2.4 Mudança de Base

logb N blog

N log

a

a

Exemplos:

1º) log7 (2 . 5) = log7 2 + log7 5

2º) log 300 = log (3 . 100) = log 3 + log 100

= log 3 + 2

3º) log5 (4 . 5) = log5 4 + log5 5 = log5 4 + 1

4º) log5

3

2 = log5 2 - log5 3

5º) log2

8

1 = log2 1 – log2 8 = 0 – 3 = -3

6º) log

10

7 = log 7 – log 10 = log 7 - 1

7º) log3 84 = 4 . log3 8

8º) log 102 = 2 . log 10 = 2 . 1 = 2

9º) log2 3 4 = log2 3

1

4 = 3

1 . log2 4 =

3

1 . 2 =

3

2

10º) log7 5 = 7 log

5 log

2

2 (na base 2)

11º) log7 5 = 7 log

5 log (na base 10)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

9) Determine o desenvolvimento logarítmico

da expressão:

a) log

3c

ba

b) log (x3y)

c) log3

2y

x

10) Dados loga m = 11 e loga n = 6, qual é o

valor de loga (m3n2)?

11) Dado logb a = 6, calcule loga b3.

12) Escreva na forma de um único log:

a) log5 6 + log5 11

b) log7 28 – log7 4

c) 4 . log 3

d) 5

1 . log7 2

e) 5 log

8 log

3

3

f) 2 log - 7 log 3

133

g) 1 + log5 4

13) Sendo loga 2 = 20 e loga 5 = 30, calcule

o valor de loga 100. R: 100

14) Sabendo que x = log10 5 + log10 8 –

log10 4, calcule o valor de x. R: 1

15) Se log2 m = log2 10 – log2 5, calcule o

valor de m. R: 1

16) Dado a = 2 . log 5 + 2 . log 2, calcule o

valor de a. R: 2

17) Sabendo que 2x = log 72 + log 3

2 - log

48, qual é o valor de x? R: 0

18) Calcule:

a) log 10

b) log 100

c) log 1000 000

d) log 0,01

e) log 0,001

19) Dados log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e

log 5 = 0,70, quanto vale:

a) log 20

b) log 0,0002

c) log 30 000

d) log 0,3

e) log 500

f) log 0,00005

g) log 18

h) log 45

3

i) log 72

20) Resolva a equação ex – 27 = 0, dados

log e = 0,43 e log 3 = 0,48. R: 3,34

21) O preço de um imóvel é dado, em função

do tempo t, em anos, por P(t) = A . (1,28)t

sendo A o preço atual. Adotando-se

log 2 = 0,3, esse imóvel terá o seu preço du-

plicado em:

(a) 1 ano (d) 2,5 anos

(b) 2 anos (e) 3,5 anos

(c) 3 anos

3 . SISTEMA DE LOGARITMOS NEPE-RIANOS O sistema de logaritmos neperianos,

que é o de base e. O nome neperianos deriva

de John Napier (1550-1617), matemático es-

cocês, autor do primeiro trabalho publicado

sobre a teoria dos logaritmos.

Representaremos o logaritmos neperia-

nos de x por x n , que equivale à loge x, sendo

e 2,71828182845.

Exemplo: Calcular o valor de y = 3e n + log

0,01. R: y = 1

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

22) Resolva a equação ex – 27 = 0, dados

3 n = 1,09. R: 3,27

23) Sabendo que o número de bactérias numa

cultura, depois de um tempo t, é dado por

N = N0 . ert, em que N0 é o número inicial

(quando t = 0) e r é a taxa de crescimento.

Em quanto tempo o número de bactérias do-

brará se a taxa de crescimento contínuo é de

5% ao minuto? (dado: 2 n = 0,69) R: 13,8 min

24) Na América Latina, a população cresce a

uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente.

Em quantos anos a população da América Lati-

na irá dobrar, se a taxa de crescimento conti-

nuar a mesma? (dado: log 2 = 0,30 e log 1,03

= 0,012) R: 25 anos

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

25)(UFMG) Dados log 2 = 0,301 e

log 3 = 0,477, calcule log 3 2ba quando

a = 2 e b = 3. R: aproximadamente 0,36

26)(MARK-SP) Dados log 4 = 0,60206 e

log 6 = 0,77815, calcule log 5

216

0,64 . 000 6.

R: -0,883804

27)(PRISE-2001) Os valores de “m” para

que a equação x2 – 2x + log (m – 2) = 0

admita raízes reais diferentes são dados pelo

seguinte intervalo:

(a) ]2; 12[ (c) [2 ;12[ (e) ]2 ;12[

(b) ]2 ;12] (d) [2 ;12]

28)(IFPA-2011) O valor da expressão

(3.log 2 16 - log 0,5 32)log102 é:

(a) 14 (b) 17 (c) 25 (d) 34 (e) 42

29)(UFRA-2004) A sexta potenciação da

soma das raízes da equação 2

4 1) (xlog - 10log4 = 10log4 é igual a:

(a) 0 (b) 1 (c) 64 (d) 729 (e) 4096

30)(UEPA-2013) No Brasil, o advento da

internet com os grandes portais e os blogs não

representou uma mega ruptura em termos de

espaço criativo das pessoas. A verdadeira

ruptura chegou junto com as redes sociais:

Orkut e youtube no começo, e depois twitter,e,

mais recentemente, o facebook. Um

pesquisador que investiga o comportamento de

brasileiros nessas redes sociais concluiu que,

ao longo de um mesmo intervalo de tempo, os

acessos mensais (A) ao youtube e ao facebook

ocorreram de acordo com as leis A(t) = m e

A(t) = n.at, respectivamente, sendo m e n

inteiros positivos, com m > n e a > 1. Nessas

condições o instante t em que o número de

acessos ao youtube coincide com o número de

acessos ao facebook é:

(Fonte: Revista Galileu. Resolva seus

problemas usando ciência. Editora Globo, Julho

de 2012, Nº 252. Texto Adaptado).

(a) t = loga m – loga n

(b) t = loga m + loga n

(c) t = nloga m – mloga n

(d) t = mloga m – nloga n

(e) t = loga mn – nloga n

4

31)(UEPA-2012) Texto XIII

Diversas pesquisas apontam o

endividamento de brasileiros. O incentivo ao

consumismo, mediado pelas diversas mídias,

associado às facilidades de crédito

consignado e ao uso desenfreado de cartões

são alguns dos fatores responsáveis por essa

perspectiva de endividamento.

(Fonte: Jornal o Globo de 4 de setembro de

2011 –Texto Adaptado)

Suponha que um cartão de crédito cobre juros

de 12% ao mês sobre o saldo devedor e que

um usuário com dificuldades financeiras

suspende o pagamento do seu cartão com um

saldo devedor de R$ 660,00. Se a referida

dívida não for paga, o tempo necessário para

que o valor do saldo devedor seja triplicado

sobre regime de juros compostos, será de:

Dados:

log 3 =0,47; log 1,12 =0,05

(a) nove meses e

nove dias (d) nove meses e

doze dias

(b) nove meses e

dez dias

(e) nove meses e

treze dias

(c) nove meses e

onze dias

32)(UEPA-2010) Texto 7

Em geral os problemas de gosto e odor em

águas de abastecimento são de natureza

complexa e, sobretudo, de solução tecnológi-

ca difícil e onerosa tal como o processo de

adsorção. Há muitos modelos matemáticos

que procuram descrever a relação entre a

quantidade de adsorvato por unidade de ad-

sorvente e a concentração de adsorvato na

água. Um desses modelos é o de Freundlich,

que está baseado na distribuição do adsorva-

to entre a fase sólida (adsorvente) e a fase

líquida (água) no equilíbrio. Sua expressão

pode ser dada por: log q = n

1logC + log K

“q” é a quantidade de adsorvato por uni-

dade de adsorvente (M.M-1);

“C” é a concentração de adsorvato rema-

nescente em solução, no equilíbrio

(M.L-3);

“K” e “n” são constantes determinadas

empiricamente. (Texto adaptado da ABES, vol.11 – nº 4/2006 e vol.14 – nº 1/2009)

De acordo com o Texto 7, é correto afirmar

que:

(a) k = q.Cn (d) K = n C

q

(b) K = nqC (e) K = q.C

(c) K = q n C

33)(PRISE-2004) Dispondo de um capital C,

uma pessoa deseja aplica-lo de maneira a du-

plicar seu valor. Sabendo que o montante M de

um investimento é calculado por meio da fór-

mula M = C. rte , na qual e é a base do loga-

ritmo neperiano, calcule o tempo t que esse

capital deverá ficar aplicado em uma institui-

ção financeira que propõe juros compostos

capitalizados continuamente a taxa r de 20%

ao ano? (Considere: ln 2 = 0,7)

(a) 2 anos (d) 3 anos e meio (b) 2 anos e meio (e) 4 anos

(c) 3 anos

34)(PRISE-2006)

A aqüicultura e a pesca artesanal

Em 2001, a aqüicultura (criação de

animais e plantas aquáticas) nacional produziu,

aproximadamente, 210.000 toneladas/ano,

incluindo peixes, moluscos e crustáceos, valor

extremamente baixo quando comparado ao

real potencial do setor. De acordo com as pre-

visões feitas em 2001 pelo Departamento de

Pesca e Aqüicultura – DPA do Ministério da

Agricultura, Pecuária e Abastecimento, caso

sejam mantidas as taxas atuais de crescimento

da aqüicultura de 15% ao ano, é possível que

o Brasil, em poucos anos, alcance uma boa

produção. Dessa produção, os peixes de água

doce – concentrados em carpas, tilápias e ba-

gres – contribuem com aproximadamente 85%

do total cultivado. Os restantes correspondem

basicamente a camarões marinhos e mexi-

lhões. Contudo, há uma tendência de aumento

do consumo, principalmente, através de produ-

tos beneficiados/industrializados, tais como

filés e empanados. De todos os setores de pro-

dução animal, a aqüicultura é a atividade que

cresce mais rapidamente. Desde 1970 a aqüi-

cultura cresceu a taxas médias de 9,2 % ao

ano. Em relação à pesca artesanal, estima-se

que existam hoje 200 mil pescadores artesa-

nais no Estado do Pará, que sustentam as su-

as famílias com essa atividade. O volume mé-

dio mensal de produção por cada pescador é

aproximadamente igual a 120 quilos de peixe.

O Estado do Pará possui 100 embarcações para

a captura de camarão, 48 barcos para a pesca

da piramutaba e para o pargo.

Tomando como base o ano 2001 (linhas

de 1 a 13), em quantos anos a produção da

aqüicultura alcançará 840.000 toneladas/ano?

(dados: log 1,15 = 0,06 e log 2 = 0,30)

(a) 3 (c) 7 (e) 12 (b) 5 (d) 10

5

4 . FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Dado um número real a (a > 0 e a 0), de-

nomina-se função logarítmica de base a

uma função f de R * em R definida por

f(x) = loga x ou y = loga x.

Exemplos:

1º) f(x) = log5 x

2º) y = log3 x

3º) f(x) = x log

4

1

4.1 Gráfico da função logarítmica:

Observe a seguinte o gráfico da função

logarítmica

1ª) y = log2 x:

2ª) y = x log

2

1

Observações:

Df = R * , CDf = R e Imf = R;

O gráfico é uma figura curva, que passa pe-

lo ponto (0,1);

O gráfico não toca no eixo do y;

Para a > 1 a função é crescente;

Para 0 < a < 1 a função é decrescente;

A função é sobrejetora : Imf = CDf; A função é injetora: x1 x2 loga x1

loga x2;

A função é bijetora, logo admite função in-

versa.

A função inversa da função logarítmica

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

35) Construa os gráficos das seguintes fun-

ções logarítmicas:

a) f(x) = log3 x

b) f(x) = xlog

3

1

c) f(x) = log2 2

x

d) f(x) = log2 (x – 1)

Para que serve a Matemática?

-“Para que este sonho se torne realidade”, diz

o arquiteto olhando a planta na sua prancheta

de trabalho.

-“Para interpretar os dados do computador de

bordo e determinar a posição do avião”, obser-

va o piloto.

-“Necessito dela para estabelecer uma relação

entre o mundo físico e sua representação gráfi-

ca quando faço um mapa”, responde o cartó-

grafo.

-“Preciso investigar mediante procedimentos

matemáticos a situação da empresa e do mer-

cado antes de sugerir algum investimento”,

exclama o administrador de empresas.

-“Para interpretar estatisticamente os resulta-

dos de testes sobre o comportamento huma-

no,como aprendizado, memória, motivação”,

relata o psicólogo.

-“Para planejar a comida do paciente cujo mé-

dico prescreveu uma dieta com proteínas e

hidrato de carbono na razão 7 : 4”, conclui o

nutricionista do hospital.

-“Para observar e acompanhar o registro das

atividades do coração do meu paciente” pensa

o médico olhando um eletrocardiograma.

-“Com auxílio de análises matemáticas posso

sugerir modificações que levem harmonia às

populações das grandes cidades, como o estu-

do dos fluxos de trânsito para prevenir aciden-

tes”, afirma o urbanista.

-“Para planejar as vastas e complexas redes de

comunicação modernas”, se orgulha o enge-

nheiro.

-“Para organizar o orçamento doméstico,

acompanhar, interpretar e participar ética e

conscientemente da política do dia-a-dia res-

ponde o cidadão comum.

TODA PROFISSÃO PRECISA DE MATEMÁTICA.

“Por que nos torna tão pouco felizes esta ma-

ravilhosa ciência aplicada que economiza tra-

balho e torna a vida mais fácil? A resposta é

simples: porque ainda não aprendemos a nos

servir dela com bom senso”.

Albert Einstein.

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