Apostila de geometria plana exercícios resolvidos - crbrasil

2014

APOSTILA DE

GEOMETRIA PLANA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves

GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves

1

(01) Se o segmento mede 17 cm, determine o valor de x nos casos:

Solução

AP = x

PB = 7

AP + PB = 17

x + 7 = 17

x = 10 cm

Solução

x+3+x = 17

2x=17-3

2x=14

x = 7 cm

(02) Determine x, sendo M ponto médio de .

Solução

PB = x

AB = 17

AP = 21

AB = AP – PB

17 = 21 – x

x = 4 cm

Solução

AP – BP = AB

2x – (x-3) = 17

2x – x + 3 = 17

x =14


2

Solução

(03) Determine PQ, sendo AB = 31.

Solução

( ) ( ) 9

𝐴𝑀 𝑀𝐵

𝑥 9

𝑥

𝒙 𝟔

Solução

𝐴𝐵

𝑥

𝑥

𝑃𝑄 𝑥

𝑃𝑄

𝑷𝑸 𝟑𝟐

Solução


3

(04) Determine AB, sendo M ponto médio de

Solução

8 8

(05) O segmento de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento dessa mesma

reta. Determine a medida do segmento , considerando como unidade de medida a

quinta parte do segmento .

Solução

𝐴𝑀 𝑀𝐵

𝑀𝐵 𝐴𝑃 (𝐴𝑀 𝑀𝐵)

𝑀𝐵 𝑥 (𝑥 𝑥 7)

𝑀𝐵 𝑥 𝑥 7

𝑀𝐵 𝑥

𝐴𝑀 𝑀𝐵

𝑥 𝑥

𝒙 𝟏𝟐

𝐴𝐵 𝐴𝑀 𝑀𝐵

𝐴𝐵 𝑥 𝑥

𝐴𝐵 𝑥

𝐴𝐵

𝐴𝐵 6

𝑨𝑩 𝟐𝟒


4

AB = 5CD

AB=?

(06) P, A e B são três pontos distintos de uma reta. Se P está entre A e B, que

relação deve ser válida entre os segmentos ?

Solução

Observando a figura, notamos que:

(07) P, Q e R são três pontos distintos de uma reta. Se é igual ao triplo de

= 32 cm, determine as medidas dos segmentos .

Solução

Temos duas possibilidades:

(1º) Q está entre P e R:


5

(07) Os segmentos são adjacentes, de tal maneira que é o triplo

de é o dobro de AD = 36 cm. Determine as medidas dos segmentos

.

Solução

De acordo com o enunciado da questão, temos:

6

6

8 7 9 7

8

𝑥 𝑥 → 𝑥 → 𝒙 𝟏𝟔

𝑸𝑹 𝟏𝟔

𝑃𝑄 𝑥

𝑷𝑸 𝟒𝟖𝑃𝑄 𝑥 →

𝑷𝑸 𝟐𝟒

(2º) R está entre P e Q:


6

8

Resposta: .

(08) Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobre uma reta, nessa ordem. Se

são segmentos congruentes, mostre que são congruentes.

Solução

( ) ( )

Comparando (1) com (2), concluímos que são congruentes.

(09) Se A, B e C são pontos colineares, determine AC, sendo AB = 20 cm e BC = 12

cm.

Solução


7

AC = x

AC = AB + BC

AC = 20+12

AC = 32 cm

(10) são dois segmentos adjacentes. Se é quíntuplo de e AC = 42 cm,

determine AB e BC.

Solução

6 7

(11) Sendo segmentos colineares consecutivos, o quádruplo de e =

45 cm, determine AB e BC.

Solução

x + 12 = 20

x =20 – 12

x = 8

x = AC = 8 cm


8

AB = 4x

BC = x

4x + x = 45

5x = 45

x = 9

AB = 4x

AB = 4.9

AB = 36 cm

Resposta: AB = 36 cm e BC = 9 cm ou AB = 60 cm BC = 15 cm.

(12) Numa reta r, tomemos os segmentos e um ponto P de modo que seja

o quíntuplo de seja o quádruplo de e AP = 80 cm. Sendo M e N os pontos

médios de , respectivamente, determine MN.

Solução

AB = 4x

BC = x

45 + x = 4x

3x = 45

x = 15 𝑩𝑪 𝟏𝟓 𝒄𝒎

AB = 4x

AB = 4.15

AB = 60 cm


9

5x + 4x + x = 80

10x = 80

x = 8

AB = 5x AB = 5.10

AB = 50

Como:

MB = AB/2 MB = 50 ÷ 2

MB = 25

Como:

BC = 4x BC = 4.10

BC = 40

BC = 4x

BC = 4.8

BC = 32 𝑩𝑵 𝟏𝟔

AB = 5x

AB = 5.8

AB = 40 𝑴𝑩 𝟐𝟎

AC = AP - CP

AC = 80 – 8

AC = 72

MN = MB + BN

MN = 20 + 16

MN = 36

BP = 80 – 5x (1)

BP = 4x – x

BP = 3x (2)

Fazendo: (1) = (2) 80 – 5x = 3x

8x = 80

x = 10 𝑷𝑪 𝟏𝟎

Como:

BN = BC/2 BN = 40/2 BN =

20

MN = MB + BN MN = 25 + 20

MN = 45 cm


10

Resposta: MN = 45 ou MN = 36 ou MN = 20.

(13) Se o é isósceles de base BC, determine x:

AB = 2x – 7; AC x + 5.

(14) O triângulo ABC é equilátero. Determine x e y.

AB = 15-y; BC = 2x-7 e AC = 9

AC + CP = 80

AC + CP = x + x

AC + CP = 2x

80 = 2x

x = 40

AB = 5 x

AB = 5.40

AB = 200 AM = 𝑴𝑩 100

PB = 3x

PB = 3.40

PB = 120

PM + MB = PB

PM + 100 = 120

PM = 20

MN = PB – MB

MN = 120 – 100

MN = 20

Solução:

2x-7 = x+5

2x-x = 5+7

x = 12


11

(15) Se o é isósceles de base , determine BC.

AB = 3x-10; BC = 2x+4 e AC = x+4.

(16) Se o é isósceles de base BC, determine x.

e

Solução

2x-7 = 9

2x = 16

x = 8

15-y = 9

y = 15-9

y = 6

Solução

3x-10 = x+4

2x = 14

x = 7

Como:

BC = 2x+4

BC = 2.7+4

BC = 18.

𝐵 ≡ 𝐶

𝑥

𝑥

𝒙 𝟐𝟎

Solução

No triângulo isósceles os ângulos da base são

congruentes (iguais):


12

(17) Se o é isósceles de base , determine x.

.

(18) Se o é isósceles de base BC, determine x e y.

(19) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é equilátero.

(a)

Solução

x+30° = 2x-20°

2x-x = 30°+20°

x = 50°

𝑥 𝑥

𝑥 𝑥

𝒙 𝟗𝟓

𝑦 𝑥 8

𝑦 9 8

𝑦 8

𝒚 𝟒𝟎

Solução

Como:

Solução

2x+ 1 = 3x-3

3x-2x =1+3

x = 4

y = 2x+1

y = 2.4+1

y = 9


13

(b)

(20) Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 75 cm, quanto mede cada ado.

Solução

Como os três lados são iguais, devemos ter:

7 ÷

(21) Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 100 m e a base mede 40 m,

quanto mede cada um dos outros lados?

(22) Determine o perímetro do triângulo ABC nos casos abaixo:

(a) Triângulo equilátero com AB = x+2y, AC = 2x-y e BC = x+y+3.

Solução

x+y = x+3

y = x-x+3

y = 3

Como:

x+3 = y+4

x+3 = 3+4

x = 4


14

(b) Triângulo isósceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = x + 3.

Solução

(23) Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse

triângulo, sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base.

Solução


15

Resposta: Os lados são: 3m, 6m e 6 m.

(24) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r u. O valor em

graus de (2x+3y) é:

(a) 64° (b) 500° (c) 520° (d) 660° (e) 580°

Solução


16

Resposta: Letra (b).

(25) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:

(a) 100° (b) 120° (c) 110° (d) 140° (e) 130°

Solução

Observe que:

z + 120°= 180° (z e 120° = São colaterais internos, logo, são

suplementares)

z = 60°

z + y + 20° = 180°

60° + y = 160

y = 100°

Observe que:

y = x = 100°, logo:

2x + 3y 2.100° + 3.100° 200° + 300° 500°


17

Como:

b = 2x + 60°

b = 2.20° + 60°

b =100°

Resposta: Letra (a)

(26) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular a t. Se o

menor ângulo entre r e s mede 72°, então o ângulo “a” mede:

(a) 36° (b) 32° (c) 24° (d) 20° (e) 18°

Solução

(1) b = 2x + 60° (i) ("𝑏 " é ângulo externo)

b + 4x = 180° (“b” e “4x” são colaterais internos)

b = 180° - 4x (ii)

Fazendo (i) = (ii), temos:

2x + 60° = 180° - 4x

6x = 120°

x = 20°


18

(27) Num triângulo ABC, os ângulos medem 50° e 70°, respectivamente. A

bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta os ângulos proporcionais a:

(a) 1 e 2 (b) 2 e 3 (c) 3 e 4 (d) 4 e 5 (e) 5 e 6

Solução

No triângulo destacado na figura ao lado, temos:

90° + 72° + a = 180° (Soma dos ângulos internos)

162° + a = 180°

a = 18°

Primeiramente, precisamos saber os valores dos ângulos “p”

e “q”.

Note que No 𝐴𝐵𝐶, temos:

A+50°+70° = 180°

A = 180° - 120°

�� 𝟔𝟎 (A bissetriz AH divide esse ângulo em partes

iguais).

No 𝐴𝐵𝐻, temos:

p + 50° + 30° = 180°

p = 180° - 80°

p = 100°

No 𝐴𝐶𝐻, temos:

q + 30° + 70° = 180°

q = 180° - 100°

q = 80°

𝑝

𝑞

8

8 𝟓

𝟒

Logo, os ângulos p e q, têm a

seguinte relação:

Assim, a bissetriz AH forma

com a reta BC ângulos

proporcionais a 4 e 5.

Resposta; Letra (d)


19

(28) Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de

“a” e “b”.

Solução

Observando a figura acima, temos:

≡

3a = 2a + 10°

a = 10°

≡

b + 48° = 5b

4b = 48

b = 12°

(29) Na figura abaixo, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcule x e y e

os lados do triângulo ACD.

𝐴 𝑎

𝐸 𝑏

𝐵 𝑏 8

�� 𝑎

Dados:

Dados:

AB = x

CD = 3x+8

BC = 2y

DA = 2x


20

Solução

Como os triângulos são semelhantes, temos:

2x = 3y + 8 (i)

x = 2y (ii)

Substituindo (ii) em (i), temos:

2(2y) = 3y + 8

4y = 3y + 8

y = 8

Como:

x = 2y x = 2.8 x = 16

Cálculo dos lados do triângulo ACD:

AD = 2x AD = 2.16 AD = 32

AC = x + 2y AC = 16 + 2.8 AC = 32

DC = 3y + 8 DC = 3.8 + 8 DC = 32

(30) Na figura abaixo, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o

valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos.

Solução


21

2x – 6 = 22

2x = 28

x = 14

3y + 5 = 35

3y = 30

y = 10

(31) Na figura abaixo, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine o

valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD.

Solução

𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝐶𝐴

𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝐵𝐷 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑃

𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐷𝑃

x + 5 = 15

x = 10

3y – 2 = 2y + 17

y = 19

Lado AP = 2y + 17 AP = 2.19+17 AP = 55

Lado DP = 3y - 2 DP = 3.19 – 2 DP = 55


22

(32) Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Calcule x e y.

Solução

2x = 120°

x = 60°

3y = 27°

y = 9°

(33) As retas r e s das figuras abaixo são paralelas. Determine x e y.

(a)

(b)

Solução

x + 60° = 180° (Colaterais internos)

x = 120°

y + 105° = 180° ( Colaterais internos)

y = 75°

Solução

3x - 10° + 90° + 2x = 180° (Colaterais internos)

5x + 80° = 180°

5x = 100°

x = 20°


23

y = 3x – 10° (alternos internos)

y = 3.20° - 10

y = 50°

(34) A soma de quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por

uma reta transversal é 80°. Determine o ângulo obtuso.

Solução

(35) Na figura abaixo, sendo a//b, calcule x.

4x = 80°

x = 20°

x + y = 180°

20° + y = 180°

y = 160°

Solução

17x – 9° + 8x + 9° = 180°

25x = 180°

x = 7° 12’


24

(36) Na figura abaixo, sendo r//s, calcule x e y.

(37) Na figura abaixo, temos os ângulos a e b de lados respectivamente paralelos.

Sendo a = 8x e b = 2x + 30°, determine o suplemento de b.

Solução

Pela figura, notamos que:

a = b

8x = 2x + 30°

6x = 30° x = 5°

(38) Se as retas r e s são paralelas, determine x, y e z nos casos abaixo:

(a)

Solução

3x -20° = 2x (Alternos internos)

x = 20°

y + 10° = 3x – 20° y + 10° = 3.20° - 20°

y = 40° - 10° y = 30°

Como:

b = 2x + 30°

b= 2.5 + 30°

b = 40°

Cálculo do suplemento de b:

x = 180° - 40°

x = 140°


25

Solução

(b)

(39) Determine o valor de x na figura abaixo:

Pela figura:

x = 50°

y = 60°

z + 50° + 60° = 180°

z = 180° - 110°

z = 70°

Solução

y + 20° + 40° = 180°

y = 180° - 60°

y = 120°

z = y (Alternos internos) z = 120° x + z + 20° = 180° x + 120° + 20° = 180° x = 40°


26

(40) Determine x e y, na figura abaixo:

Solução

Solução

Pela figura ao lado, temos:

3x – 30° = x – 10° + x + 30°

3x – 2x = 20° + 30°

x = 50°


27

No triângulo ABC, temos:

130° = x + 100°

x = 30°

No triângulo ACE, temos:

y + 40° + 80° + 30° = 180°

y = 180° - 150°

y = 30°

(41) Da figura abaixo, sabemos que AB = AC, e AD = BC.

Determine x =C D.

Solução


28

(42) Determine a área da região sombreada na figura abaixo.

Solução

Solução

(1) Indiquemos as medidas AB = AC = b e CD =

A, donde obtemos BC = a + b.

(2) Tracemos 𝐴𝑃 com AP = b, de modo que

𝐵𝐴 𝑃 6 . Obtemos desta forma o triângulo

equilátero (verde) APB de lado b.

(3) Consideremos agora os triângulos PAD

(amarelo) e ABC. Note que eles são congruentes

pelo caso LAL.

Logo: PD = AC = b e A𝑃 𝐷 = 100°.

(4) De PD = b concluímos que o PBD é isósceles.

Note que neste triângulo PBD, como 𝑃 = 160°,

concluímos que 𝐵 �� = 10°.

(5) Finalmente, de A𝐵 P = 60°, D𝐵 P = 10° e

C𝐵 𝐴 , concluímos que C��𝑫 𝒙 𝟏𝟎


29

(1) Área do triângulo equilátero de lado igual a 10:

√

→

( ) √

→

√

→ √

(2) Área dos 3 setores circulares de ângulo central igual a 60° e raio igual a 5:

6 →

( )26

→

(3) Área da região sombreada:

→ √

→

√

→

(√ )

(43) Na figura abaixo, é paralela a . Sendo igual a 80° e igual a

35°, calcule a medida de A D.

Solução

Solução


30

(44) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule a.

Solução

(45) Determine o valor de x na figura abaixo:

(1) No triângulo amarelo ABF, temos:

y + 80° + 35° = 180°

y = 180° - 115°

y = 65°

(2) No triângulo AGE, temos:

x = 35 +80° ( x é ângulo externo)

x = 115°

No triângulo colorido, o ângulo 3a, é

ângulo externo, logo:

3a = 180° - 2a + 80°

5a = 260°

a = 52°


31

Solução

No triângulo colorido, temos:

a + b + x = 180° (iv)

Substituindo (iii) em (iv), temos:

360° - 4x + x = 180°

3x = 180°

x = 60°

2a + 2(2x+10°) = 360° : 2

a + 2x + 10°= 180°

a + 2x = 170° (i)

2b + 2(2x-10°) = 360 ; 2

b + 2x – 10° = 180°

b + 2x = 190° (ii)

Fazendo (i) + (ii), temos:

a + 2x = 170°

b + 2x = 190°

a + b + 4x = 360° → a + b = 360° - 4x (iii)

++


32

(46) Num triângulo isósceles ABC o ângulo do vértice A vale 1/10 da soma dos ângulos

externos em B e C. Sendo a base do triângulo, determine o ângulo A.

Solução

(47) Num triângulo ABC, o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos

excede o ângulo em 76°. Determine .

Solução

a = 1

10(𝑑 𝑒) → 𝟏𝟎𝒂 𝒅 𝒆 (1)

a + b + c = 180° b + c = 180° - a (2)

Note que:

d + b = 180°

c + e = 180°

d + e + b + c = 360°

10a + 180° - a = 360°

9a = 180°

a = 20°

+


33

(48) Seja ABC um triângulo isósceles de base . Sobre o lado desse triângulo

considere um ponto D tal que os segmentos sejam todos congruentes entre

si. Calcule a medida do ângulo .

Solução

𝑑 = x + 76°


x + 2y + 2z = 180°

2y + 2z = 180° - x (i)

No triângulo BCD, temos:

y + z + d = 180° (multiplicando por 2)

2y + 2z + 2d = 360° (ii)

Substituindo (i) em (ii), temos:

180° - x + 2d = 360°

180° - x + 2 (x + 67°) = 360°

180° - x + 2x + 152° = 360°

x + 332° = 360°

x = 28°

𝑎 𝑎

8

𝑎 𝑎 6

𝑎 6

𝒂 𝟕𝟐

No triângulo BCD, temos:

a + a + 𝑎

2 8


x + a + a = 180°

x + 2a = 180°

x + 2.72° = 180°

x = 180° - 144°

x = 36°


34

(49) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão 4 para 7.

Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, calcule (em metros) a largura

desse terreno.

Solução

(50) Considere a figura abaixo. Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e

AD = 1, AF = 2 e FB = x. Calcule o valor de x.

Solução

Como os retângulos são semelhantes, temos:

→

→ →

→ →

√

→

√8

→

√

→

√

𝐿

𝐶

7→𝐿 𝐶

𝐿

7

→𝑳 𝑪

𝑳 𝟏𝟏

𝟒 (𝒊)

𝐿

→ 𝑳 𝟏𝟐 𝒎

2L + 2C = 66 (Perímetro do retângulo) : 2

L + C = 33 (ii)

Substituindo (ii) em (i):


35

(51) Observe a figura abaixo. Nela “a”, “2a”, “b”, “2b” e “x” representam as

medidas, em graus, dos ângulos assinalados. Calcule o valor de “x” ( em graus).

Solução

Note que x é ângulo externo do 𝐴𝐵𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑜

x = 2a + 2b x = 2(a + b) (i)

Note que 𝑐 , é ângulo externo do triângulo amarelo,

logo:

c = a + 2a

c = 3a

No triângulo vermelho, temos:

c + b + 2b = 180°

3a + 3b = 180° : 3

a + b = 60° x (2)

2 (a + b) = 120° (ii)

Substituindo (i) em (ii):

x = 120°


36

(52) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele

inscrito tem lados que medem 4 cm e 2 cm. Calcule o perímetro do triângulo MBN.

Solução

Observando a figura acima, notamos que aos triângulos vermelho e amarelo são

semelhantes, portanto:

→ 8 8 → 2 6 → ( 6) →

O lado BM do triângulo vermelho vale: x – 2 6 – 2 = 4.


37

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MBN, temos:

(BN)²= 4²+ 4²→ (BN)²= 16 + 16 (BN)² = 32 BN = 4√

Cálculo do perímetro do triângulo MBN:

2p = 4 + 4 + 4√

2p = 8 + 4√

2p = 4(2 + √ )

(53) Calcule a área da região colorida na figura abaixo, sabendo que A e B são pontos

médios de dois lados do quadrado.

Solução

𝑆𝑡

→ 𝑺𝒕 𝟖

𝑆𝑠 𝜋𝑟 𝛼

6 → 𝑆𝑠

𝜋 9

6 → 𝑺𝒔 𝝅

𝑆𝑎 𝑺𝒕 𝑺𝒔 → 𝑺𝒂 𝟖 𝝅

(1) Área dos triângulos (amarelo):

(2) Área do setor circular vermelho:

(3) Área da região azul:


38

(54) Em uma cidade, há um terreno abandonado, na esquina da Rua da Paz com a

Avenida da Alegria. Esse terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases

medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. Uma pessoa amorou seu cavalo para

pastar nesse terreno, num ponto P, a uma corda de 12 m de comprimento. De acordo

com o esquema da figura abaixo, calcule a área (aproximada) do pasto do terreno que

o cavalo NÃO pode comer. Considere:

Solução

(1) Área do trapézio:

( )

2→

(1 12) 30

2→

30 30

2→ 450

(2) Área do setor circular:

2

6 →

( )2 9

6 →

→ →

(3) Área colorida:

→ →

(55) Considere um triângulo ABC isósceles de base , e os pontos P e Q tais que

P e Q . Se BC = BP = PQ = QA, qual é a medida do ângulo de vértice A, em

radianos?

Solução:


39

𝜋 8

Observando a figura ao lado, notamos que os

ângulos B e C são congruentes, visto que o

triângulo ABC é isósceles, portanto:

2x+180°-6x = 3x

180°- 4x = 3x

7x = 180°

x = 1 0

7

Como:

x = 𝝅

𝟕

Apostila de geometria plana exercícios resolvidos - crbrasil

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