Ap geometria plana resolvidos

Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 1

Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia

Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas

Apostila de Matemática # 3

Assunto:

Geometria Plana

Organização: PET-CT


1 - INTRODUÇÃO

Bem-vindos! Este é o segundo ano do projeto Pró-ExaCTa, projeto que foi idealizado

pelos PETs do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará – UFC. O

projeto busca ajudar vocês com aulas extras aos sábados das disciplinas de matemática,

física e química, como foi feito no ano passado (2010). É importante lembrar que o

projeto não pretende, de forma alguma, substituir as aulas escolares e sim complementá-

las.

Os módulos de matemática cresceram um pouco em relação ao ano passado e agora se

tornaram apostilas. Apostilas estas confeccionadas com afinco para uma melhor

aprendizagem do conteúdo exposto em sala de aula. As apostilas são divididas em

capítulos com um texto explicativo do conteúdo, misturado com exercícios resolvidos e

exemplos e, ao fim de cada capítulo, exercícios propostos para testar o aprendizado, é

extremamente importante que esses exercícios sejam estudados. Os exercícios que

forem mais difíceis e você não entender, por favor, fale para algum dos nossos

professores que será feito o possível para que a dúvida seja resolvida. Na nossa apostila,

trataremos de assuntos bem interessantes, como tudo na matemática. Estudaremos retas,

ângulos, polígonos, etc. São conteúdos que servem de base para toda a geometria. É

fundamental que todos se esforcem (e se divirtam!) para que cada conteúdo seja fixado

corretamente.

2 - SEGMENTO DE RETA

2.1- Noções Primitivas e Conceitos

Ponto: Um lugar concebido sem extensão no espaço chama-se Ponto. A marca de uma

ponta de lápis no papel dá a idéia do que é um ponto.

Reta: Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

Pontos colineares:São pontos que pertencem a uma mesma reta.

Plano: Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

Pontos coplanares: São pontos que pertencem ao um mesmo plano.

Os pontos A,B e C são coplanares pois todos pertencem

ao mesmo plano α.


Exercício Resolvido

Classifique como verdadeiras(V) ou falsas(F) as sentenças abaixo:

a)Por um ponto passam infinitas retas

b)Por dois pontos distintos passa uma reta

c)Uma reta contém dois pontos distintos

d)Dois pontos distintos determinam uma só reta

e)Por três pontos dados passa uma só reta

Solução: V/V/V/V/F

2.2- Segmentos de reta – Conceitos.

Definição: Dados dois pontos distintos, a reunião desses dois pontos com o conjunto

dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Sendo assim, o segmento de reta

é limitado por dois pontos da reta.

Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se a extremidade de

um deles é também extremidade do outro.

Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta

Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se

possuem em comum apenas uma extremidade, ou seja, não possuem pontos internos

comuns.

AD e DB são consecutivos, colineares e adjacentes.

Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas.

Obs:"~" é o símbolo de congruência( AB~CD).

Ponto médio de um segmento: Um ponto M é o ponto médio do segmento AB somente

se M está entre A e B e AM=MB.

Semirreta: A semirreta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso é, possui

início, mas não tem fim.



Determine x, sendo M ponto médio de AB.

Solução

2x-3=x+4

2x-x=4+3

x=7

3- ÂNGULOS

3.1- Definições

Definição: Denomina-se ângulo a figura geométrica constituída por duas semi-retas de

mesma origem.

Indica-se: AÔB = α ou Ô = α .

A unidade de medida de um ângulo corresponde a razão de um grau (1º).

Bissetriz de um ângulo

Uma semi-reta OB interna a um ângulo AÔC é bissetriz do ângulo AÔC se, e somente

se:

AÔB=BÔC



Se OP é bissetriz de AÔB, determine x:

Solução

3x-5=2x+10

3x-2x=10+5

x=15°

3.2- Tipos de Ângulos

3.2 a) Ângulos Consecutivos

Dois ângulos que tem um lado comum entre outros dois lados.

AÔB e AÔC são consecutivos. OA é o lado comum.

AÔC e BÔC são consecutivos. OC é o lado comum.

AÔB e BÔC são consecutivos. OB é o lado comum.

3.2 b) Ângulos Adjacentes

Dois ângulos que tem um único lado em comum e os lados não comuns são semi retas

opostas. Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos

internos comuns.

AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.

3.2 c) Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)

Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um dele são as

respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. Note que duas retas concorrentes

determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.


3.2 d) Ângulos Complementares

Dois Ângulos cujas medidas somam 90°.

3.2 e) Ângulos Suplementares


3.2 f) Ângulos Replementares


OBS.: Se indicarmos a medida de um ângulo por x, então:

90°-x é a medida do seu complemento

180°-x é a medida do seu suplemento

360°-x é a medida do seu replemento


Ao resolver um problema em que se pedia a medida do complemento de um certo ângulo,

um aluno calculou a medida do suplemento, encontrado, assim, um valor sete vezes

maior que o solicitado. Se indicarmos a medida do ângulo por x, então x é igual a:

180°-x=7(90°-x)

180-x=630-7x

6x=450°

x=75°

3.2 g)Ângulo reto

3.2 h)Ângulo agudo


3.2 i)Ângulo obtuso


Calcule o valor de x sabendo que o ângulo SÔR é reto.

Solução

4x+3x+2x=90°

9x=90°

x=10°

Exercícios

1)Classifique em V ou F:

a)Três pontos distintos são sempre colineares

b)Três pontos distintos são sempre coplanares

c)Quatro pontos todos distintos determinam duas retas

d)Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta


e)Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares

2)O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:

a)100°

b)144°

c)36°

d)80°

3)Determine AB sendo M o ponto médio.

4)Qual é o ângulo que excede o seu suplemento em 66° ?

5)Determine o valor de α:

6)Determine PQ, sendo AB=31

7)Determine o valor de x:

8)Determine o valor de x:


Respostas

1) a)F b)V c)F d)V e)F

2)A

3)42

4)123°

5)60°

6)11

7)55°

8)30°

4 – TRIÂNGULOS

4.1 – Conceitos, elementos e classificação

Conceito

No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três

linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e

três ângulos internos que somam 180°. Dados três pontos A, B e C não colineares, a

reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC.

Também representado por: Triângulo ABC = ΔABC, ΔABC = AB U AC U BC

Elementos

Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do Δ ABC.

Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são os

lados do triângulo.

Ângulos: os ângulos BÂC ou Â, A C ou e A B ou são os ângulos do Δ ABC (ou

ângulos internos do Δ ABC).


Diz-se que os lados BC, AC e AB e os ângulos Â, e são, respectivamente, opostos.

Classificação

a) Quanto aos lados

ΔABC Equilátero ΔRST Isósceles ΔMNP Escaleno

Equilátero ( 3 lados iguais) Isósceles (2 lados iguais) Escaleno (3 lados diferentes)

b) Quanto aos ângulos

ΔABC Retângulo em A ΔDEF Acutângulo ΔMNP Obtusângulo em S

1 ângulo reto (=90°) 3 ângulos agudos(>0°;<90°) 1 ângulo obtuso (>90°;<180°)

4.2 – Congruência de triângulos

Um triângulo é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma

correspondência entre seus vértices de modo que:

Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro;

Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.

≈ Â ≈ Â

≈ ≈ ΔABC ≈ ΔA B C

≈ ≈

1º Caso: L.A.L. (Lado - Ângulo - Lado)

“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo

compreendido, então eles são congruentes.”


Exemplo:

≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // ≈

2º Caso: A.L.A. (Ângulo – Lado - Ângulo)

“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a eles

adjacentes, então esses são congruentes.”

Exemplo:

≈ ≈

≈ ΔABC ≈ ΔA B C

3º Caso: L.L.L. (Lado - Lado – Lado)

“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses são

triângulos são congruentes.”

Exemplo:

≈ // ≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C

4º Caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo Oposto)

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o

ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.

Exemplo:


≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // Â ≈ Â

5º Caso: Caso especial de congruência no triângulo retângulo.

Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa,

então esses triângulos são congruentes.

Exemplo:


4.2.2 – Observação – Desigualdades nos triângulos

a) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo

Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não

são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.

b) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado

Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles não

são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.

c) A desigualdade triangular

Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois


1) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. AB = 2x – 7 // AC= x + 5

Resposta: Como o triângulo é isósceles e, pela definição possui os lados

AB e AC iguais, podemos fazer:

2x – 7 = x + 5

2x – x = 7 + 5

x = 13 u.c

2) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. = 2x -10° // = 30º

Respostas: Sabendo que o triângulo isósceles possui os ângulos da

base com valor semelhante, temos: 2x – 10° = 30° 2x = 30° + 10°

2x = 40° x = 20°

3)

Respostas: Como o triângulo equilátero possui os 3 lados iguais, fazemos:

3x = 75

x = 25 cm

4)

a) b) c) d)

Resposta: a) LAL b)LLL c) LAA d) Caso especial de congruência no triângulo retângulo


4.3 – Pontos notáveis dos triângulos

4.3.1 – Baricentro – (ponto de encontro das medianas)

As três medianas de um triângulo interceptam-se num ponto que

divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o

vértice é o dobro da outra.

4.3.2 – Incentro – (ponto de encontro das bissetrizes internas)

As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem para um mesmo ponto que está a

igual distância dos lados do triângulo.

OBS: O incentro é o centro da circunferência inscrita no ΔABC.

4.3.3 – Circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes)

As mediatrizes de um triângulo concorrem para um mesmo ponto

que está a igual distância dos vértices do triângulo.

4.3.4 – Ortocentro - (ponto de encontro das alturas)

As três alturas de um triângulo concorrem para um mesmo ponto.

Exercícios Resolvidos

1)

Respostas: a)V b)V c)V d)V e)F f)F g)F

2) Respostas: a) equilátero b) equilátero

c) retângulo d) obtusângulo

e) obtusângulo f) retângulo

h) acutângulo


4.4 – Semelhança de triângulos

Definição

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos

ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em

pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Exemplo:

OBSERVAÇÕES:

“Se dois triângulos possuem dois

ângulos ordenadamente congruentes, então

eles são semelhantes”


Se dois lados de um triângulo são

proporcionais aos homólogos de

outro triângulo e os ângulo

compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes"

“Se dois triângulo têm os lados homólogos

proporcionais, então eles são semelhantes”

4.5 – Triângulos retângulos – Teorema de Pitágoras

4.5.1 Diagonal do quadrado

Dado um quadrado de lado a, calcular sua diagonal d.

Sendo ABCD o quadrado de lado a, aplicando o

teorema de Pitágoras no ΔABC, temos?

d² = a² + a² d² = 2 a² d =

4.5.2 Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática,

mostrada a baixo, entre os três lados de qualquer

triângulo retângulo.

a² = b² + c²

Exercícios Resolvidos!

Calcula o valor de x em cada um dos triângulos

rectângulos:

a) b)


Resolução

a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

x² = 12² + 5²

x² = 144 + 25

x² = 169

x =

x = 13

b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

7,5² = 4,5² + x²

56,25 = 20,25 + x²

x² = 56,25 – 20,25

x² = 36

x =

x = 6

Exercícios

1) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABS é eqüilátero.

2) Se o perímetro de um triangulo isósceles é de 100m e a base mede 40m, quanto

mede cada um dos outros lados?

3) Determine o valor de x nos casos:


4) Determine o valor de x nos casos:

5) Determine os valores de x e y nos casos:

6) Considerando congruentes os segmentos com “ marcas iguais”, determine os

valores das incógnitas nos casos:


5) PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE

5.1) Paralelismo

Duas retas distintas r e s serão ditas paralelas (r//s) quando estiverem no mesmo

plano (coplanares) e não possuírem ponto de interseção, de maneira que, se colocarmos

uma em cima da outra, irão se tornar uma única reta (coincidentes). Veja, a seguir:


1) Se a reta r é paralela a s e a reta r é paralela a w, diga se as seguintes afirmações

são verdadeiras ou falsas:

a) r e s se cortam

b) r e w se cortam

c) s e w se cortam

d) s é paralela a w

e) As três são paralelas entre si

Resposta: F, F, F, V, V

5.2) Perpendicularidade

Duas retas distintas r e s são ditas perpendiculares quando elas são concorrentes,

ou seja, cruzam-se e o ângulo de interseção é um ângulo reto (90º). Veja, a seguir:



2) Se a reta r é perpendicular a s e a reta r é paralela a w, diga se as seguintes

afirmações são verdadeiras ou falsas:

a) s e w são paralelas

b) r e s se cortam e o ângulo de interseção é 90º

c) s e w se cortam e o ângulo de interseção é 60º

d) r e w não se cortam

e) As três retas se cortam

Resposta: V, V, F, V, F

5.3) Teorema de Tales e Teoremas das Bissetrizes

5.3.1) Teorema de Tales

O Teorema de Tales afirma que quando duas retas transversais cortam um feixe

de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados nas transversais são

proporcionais. Veja, a seguir:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Reta

http://pt.wikipedia.org/wiki/Transversal

http://pt.wikipedia.org/wiki/Reta

http://pt.wikipedia.org/wiki/Retas_paralelas


De acordo com o teorema, teremos a seguinte proporção: o segmento AD está

para o segmento AB, assim como AE está para AC. De maneira que,


1) De acordo com a figura abaixo, calcule o valor de x:

De acordo com o teorema, teremos:

2) Na figura, as retas r, s e t são paralelas, de acordo com Teorema de Tales

determine p valor de x.



5.3.2) Teorema das Bissetrizes

O Teorema das Bissetrizes é dividido em dois, o das internas e o das externas. O

primeiro diz que, em qualquer triângulo, a bissetriz de um triângulo interno estabelece

no seu lado oposto dois segmentos proporcionais aos lados desse mesmo ângulo.

De acordo com o Teorema da Bissetriz Interna, teremos que o segmento AB está

para BE, assim como AC está para CE, de maneira que:


1) Seja AG a bissetriz do ângulo CÂB, calcule AB:



2) Determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP é bissetriz do

ângulo BÂC.


3) Dado o triangulo ABC, descubra se AD é bissetriz:

Para AD ser bissetriz, é preciso que:

Logo, AD não é bissetriz.


O Teorema da Bissetriz Externa diz que sempre que a bissetriz de um ângulo

externo de certo triângulo cortar a reta que possui o lado oposto, ficará estabelecido

nesta mesma reta dois segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.

De acordo com o Teorema da Bissetriz Externa, teremos que o segmento AB

está para BE, assim como AC está para CE, de maneira que:


4) Seja AE uma bissetriz externa, calcule o valor de BE:

De acordo com o teorema, teremos que:


Logo,

.

5) De acordo com o Teorema das Bissetrizes Externas, determine se o segmento

AD é uma bissetriz externa ou não.

Para que AD seja bissetriz externa, temos que:

5/10 = 3/6 -> 30 = 30

Logo, AD é bissetriz externa.

Exercícios Propostos

1) Seja a reta r perpendicular a s e também perpendicular a w, diga quais as

afirmações são verdadeiras e falsas:

a) r e s não se cortam

b) r e w não se cortam

c) w e s se cortam

d) O ângulo de interseção entre r e w é 90º

e) O ângulo de interseção entre s e w é 90º


2) Três terrenos têm frente para a rua "A" e para a rua "B", como na figura. As

divisas laterais são perpendiculares à rua "A". Qual a medida de frente para a

rua "B" de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?

3) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas:

4) A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua

B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3

para a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2

para a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?


5) No triângulo ABC da figura, sabe – se que DE // BC . Calcule as medidas dos

lados AB e AC do triângulo.

6) Usando os Teoremas da Bissetriz Interna e Externa, determine o valor de x:

7) Num triângulo ABC, as medidas de AB e BC são, respectivamente, 20cm e

12cm. A bissetriz BP do ângulo B divide o lado AC em dois segmentos, sendo

um deles igual a 15cm. Qual a medida do outro segmento do lado AC?

8) Na figura abaixo, AQ e AP são, respectivamente, bissetrizes interna e externa

do triangulo ABC. Se BQ = 8m e QC = 6m, então a medida QP, em metro é:


6-POLÍGONOS

A partir da definição de polígonos pode-se compreendê-los e identificá-los com mais

facilidade. Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha

poligonal fechada, onde os segmentos de retas são consecutivos e não-colineares. Dessa

forma são exemplos de polígonos as figuras abaixos:

E não são exemplo de polígonos, para n = 5, os dois casos abaixo:

Os polígonos são classificados de acordo com o número n de lados, recebendo a

seguinte denominação:

Número de lados Denominação Número de lados Denominação

n = 3 Triângulo ou trilátero n = 9 Eneágono

n = 4 Quadrâgulo ou quadrilátero n = 10 Decágono

n= 5 Pentágono n = 11 Undecágono

n = 6 Hexágono n = 12 Dodecágono

n = 7 Heptágono n = 15 Pentadecágono


n = 8 Octógono n = 20 Icoságono

POLÍGONO REGULAR

Um polígono que possui os lados congruentes é eqüilátero e se possui os ângulos

congruentes é eqüiângulo.

DIAGONAL

É o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono. No

exemplo abaixo ABCD é um quadrilátero e AB e CD são suas diagonais.

Para a compreensão de cálculo das diagonais, ângulos externos e internos, é necessário

entender as expressões abaixo, onde n é o número de lados do polígono:

Sendo d o número de diagonais de um polígono convexo, temos que:

Sendo Si a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, temos que:

Sendo Se a soma dos ângulos externos de um polígono convexo, tem-se:

Sendo Ai o ângulo interno de um polígono regular, temos que:

Cada ângulo externo de um polígono regular pode ser calculado através de:

Podemos dizer, então que: Ai + Ae = 180


Dica: Para se calcular a medida do ângulo interno (Ai) de um polígono regular é mais

prático se obter, em primeiro lugar, a medida do ângulo externo (Ae) e, pelo

suplemento, se encontra a medida do ângulo interno.

EXEMPLO RESOLVIDO:

Quantas diagonais podem ser traçadas em um polígono convexo de 15 lados?

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1) Determine o ângulo interno e externo de um triângulo equilátero.

2) Determine o ângulo interno e externo de um quadrado.

3) Determine o ângulo interno e externo de um pentágono regular.

4) Determine o ângulo interno e externo de um hexágono regular.

5) Determine o valor de x no caso:

6) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono.

7) Calcule o número de diagonais de um decágono.

8) Calcule o número de diagonais de um icoságono.

9) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.

10) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de

lados.

Aplicando a fórmula acima tem-se:

E portanto, d = 90 diagonais.


GABARITO:

1) 60º e 120º

2) 90º e 90º

3) 108º e 72º

4) 120º e 60º

5) 70º

6) 3240º

7) 35

8) 170

9) Eneágono

10) Undecágono

7-QUADRILÁTEROS

Os quadriláteros são todos os polígonos que possuem 4 lados. Sejam A, B, C e D quatro

pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos AB,

BC, CD e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro

segmentos é um quadrilátero. Observe as figuras abaixo:

Um quadrilátero possui duas diagonais (d = 2), a soma dos ângulos internos igual a 360°

e a soma dos ângulos externos também igual a 360°.

Os quadriláteros notáveis são os triângulos, paralelogramos, retângulo, losango e

quadrado.

TRAPÉZIO:

É todo quadrilátero que possui dois lados paralelos. ABCD é trapézio, sendo AB//CD

ou AD//BC. Os lados paralelos são as bases do trapézio.


Os trapézios são classificados em:

- Trapézio isósceles: é aquele que possui dois lados congruentes.

- Trapézio escaleno: é aquele que possui todos os lados com medidas diferentes.

- Trapézio retângulo: é aquele que possui dois ângulos retos.

Em qualquer trapézio ABCD de bases AB e CD, temos:

Â + = + = 180°

E para os trapézios isósceles os ângulos de cada base são congruentes e as diagonais

também são congruentes.

- AB e CD são as bases do trapézio isósceles, logo ≡ e Â ≡

- ABCD é trapézio de bases AB e CD e AD ≡ BC. Logo as diagonais são congruentes

AC ≡ BD.

PARALELOGRAMO:

É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.


ABCD é paralelogramo e AB // CD e DA // BC.

Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. Assim, todo

retângulo é paralelogramo. Na figura, percebe-se que ≡ Â e ≡ .

Em todo paralelogramos dois lados opostos quaisquer são congruentes. Logo, todo

losango é paralelogramo. Observe na figura abaixo, AD ≡ CB e AB ≡ CD.

Em todo paralelogramo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.

Observe na figura que AM ≡ CM e BM ≡ DM.

RETÂNGULO:

Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro

ângulos congruentes. ABCD é um retângulo, logo Â ≡ ≡

Em todo retângulo as diagonais são congruentes. ABCD é um retângulo AC ≡ DA.


LOSANGO:

Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados

congruentes. ABCD é um losango, portanto AB ≡ BC≡ CD ≡ DA.

Todo losango tem diagonais perpendiculares. ABCD é um losango, então AC┴ BD.

QUADRADO:

Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro lados

congruentes e os quatro ângulos congruentes. ABCD é um quadrado, assim AB ≡ BC≡

CD ≡ DA e Â ≡ ≡ .

Todo quadrado é também retângulo e losango. ABCD é quadrado, logo AC ≡ DA e

AC┴ BD.


BASES MÉDIAS:

- Base média de um triângulo:

Num triângulo, a reta que contém o ponto médio de um lado e é paralela a outro lado,

divide o terceiro lado ao meio e é tal que o segmento compreendido pelos pontos

médios, é igual à metade do lado ao qual é paralelo.

Seja ABC o triângulo se MN // BC, AM ≡ MB e AN ≡ NC.

- Base média de um trapézio:

Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um

trapézio então ele é paralelo às bases e ele é igual a semi-soma das bases.

Seja ABCD um trapézio não paralelogramo de bases AB e CD.

Se AM ≡ DM e BN ≡ CN, logo MN // AB // CD e

EXEMPLO RESOLVIDO:

Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):



GABARITOS:


1) Determine o valor de x:



4) Se ABCD é trapézio de bases AB e CD, determine x e y.

a) Todo retângulo é um paralelogramo.

b) Todo paralelogramo é retângulo.

c) Todo quadrado é retângulo

d) Todo retângulo é quadrado.

e) Todo paralelogramo é losango.

f) Todo quadrado é losango.

Solução: a) V b) F c) V d) F e) F f) V


5) Se o trapézio ABCD é isósceles de base AB e CD, determine Â.

6) Se ABCD é um paralelogramo e Â = 2x e = x + 70º, determine .

7) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F):

a) Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado.

b) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes é losango.

c) Se um paralelogramo tem dois ângulos consecutivos congruentes, então ele é

um retângulo.

d) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um

paralelogramo.


a) Se dois lados de um quadrilátero são congruentes, então ele é paralelogramo.

b) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um

paralelogramo.

c) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes e paralelos, então

ele é um paralelogramo.


a) As diagonais de um losango são congruentes.

b) As diagonais de um retângulo são perpendiculares.

c) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos.

10) Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40 cm, sabendo que a base

excede a altura em 4 cm.

GABARITO:


1) 120º

2) 75º

3) 70º

4) 80º e 105º

5) 115º

6) 40º

7) a) F b) V c) V d) V

8) a) F b) F c) V

9) a) F b) F c) F

10) 12 cm e 8 cm

8 – Circunferência

8.1 Definições e elementos

Circunferência é o conjunto de pontos cuja distância até certo ponto O é a

mesma para todos eles. Essa distância é indicada na figura ao lado como r.

Pontos internos à circunferência (lambda) são aqueles cuja distância até o centro O é

maior que r. Analogamente, pontos extenos são aqueles cuja distancia até o centro O é

menor que r. Os pontos indicados ao lado são: I (interno) e E (externo). Abaixo, a figura

mostra as regiões externa e interna à circunferência.

Devem-se definir alguns elementos da circunferência:

Corda é um segmento interno cujas extremidades pertencem à circunferência. A

reta AB indicada na figura abaixo é uma corda.

Diâmetro é uma corda que passa pelo centro. Ele mede sempre o dobro do raio r.

A reta CD indicada na figura é um diâmetro.


Raio é um seguimento que tem como extremidades o centro O e um ponto

pertencente à circunferência. A reta OP indicada na figura é um raio.

Arco de circunferência ou semicircunferência:

O arco AB representa a reunião do conjunto de pontos que

estão no exterior do ângulo AÔB. Podem ser traçados dois

arcos a partir dos pontos A e B da circunferência: o arco

maior AB e o arco menor AB. O ponto X indicado na

figura ao lado pertence ao arco maior AB.

Círculo (ou disco) é o conjunto de pontos cuja distancia até o centro é menor que

a distancia r. A diferença entre círculo e circunferência é que a circunferência é

uma “linha”, já o círculo é uma “área”, um conjunto de pontos. Na figura ao

lado, são mostrados dois pontos que pertencem ao circulo.

Setor circular é a região delimitada de um círculo por dois raios. Na

figura ao lado, os raios que delimitam os setores indicados são AO

e OB. Assim como nos arcos, podem-se delimitar dois setores com

os raios AO e OB: um setor com maior área e um com menor área.

A diferença em relação a um arco e um setor é semelhante à

diferença entre circunferencia e circulo: os primeiros representam

linhas, já setores e círculos representam áreas.

8.2 Posições relativas de reta e Circunferência

Secantes:

Uma reta secante a uma circunferência é aquela que

intercepta a circunferência em dois pontos distintos. Diz-

se que a reta e a circunferência são secantes. Ao lado, um

exemplo de reta secante AB à circunferência (lambda).


Propriedade da secante:

Se a secante intercepta a circunferência sem passar pelo ponto

O, e o ponto M é ponto médio da reta AB, então o segmento

OM é perpendicular à reta AB, ou à secante s. Além disso,

AM = MB.

Tangentes:

Uma reta tangente a uma circunferência é aquela que

intercepta a circunferência em apenas um ponto, o ponto de

tangencia. Na figura, este ponto é indicado como T. Ele é

comum à circunferência e à reta tangente t. Diz-se que a

circunferência (lambda) e a reta t são tangentes.

Propriedade da tangente:

Se T é ponto de tangência entre a circunferência e a reta t,

então o raio OT é perpendicular à reta t. Analogamente, para

um certo raio OT, a reta que tangencia a circunferência no

ponto T é perpendicular a este raio.

Exteriores:

Uma reta exterior a uma circunferência é aquela que não

intercepta a circunferência em nenhum ponto. Não há

interseções de pontos entre a reta e a tangente. Diz-se que a reta

e indicada na figura é exterior à circunferência (lambda).

8.3 Posições relativas de duas Circunferências

Definições:


Interna: uma circunferência é interna a outra quanto todos

os seus pontos são internos à outra. Não á nenhum interseção

entre elas.

Tangente interna: uma circunferência é tangente interna à

outra se têm um único ponto de interseção e o resto dos pontos

de uma são internos em relação à outra

Secante: uma circunferência é secante a outra se elas

tem dois pontos distintos em comum.

Tangente externa: uma circunferência é tangente externa

à outra se têm um único ponto de interseção e o resto

dos pontos de uma são externos em relação à outra.

Externa: uma circunferência é externa a outra se todos os pontos

de uma são externos a outra. Não há interseção entre elas.

8.4 Segmentos tangentes – Quadriláteros circunscritíveis

Se de um ponto P traçarmos duas retas tangentes à

circunferência (lambda), então os dois segmentos pertencentes

a essa retas (PA e PB) são iguais. PA = PB.


Quando um quadrilátero convexo é circunscrito a uma

circunferência, isso indica que todos os lados desse quadrilátero

são tangentes à circunferência. Além disso,

vale a seguinte relação:


1) A circunferência ao lado tem raio de 16 cm e o ponto P dista 7

cm do centro. Determine a distância entre P e a circunferência.

2) As circunferências da figura ao lado são tangentes

externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a

diferença entre os raios é de 8 cm, determine os raios.

3) Duas circunferências são tangentes internamente e a soma dos

raios é 30 cm. Se a distancia entre os centros é de 6 cm,

determine os raios.

4) Na figura, as circunferências são tangentes duas a duas e os

centros são os vértices do trianculgo ABC. Sendo AB = 7

cm, AC = 5 cm e BC = 6 cm, determine os raios das

circunferências.


5) Na figura, determine a medida do segmento BD, sabendo que a

circunferência de centro O está inscrita no triangulo ABD, e que os

lados AB, BC e AC medem respectivamente 6 cm, 8 cm e 10 cm.

6) Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritivel, da

figura.

7) Determine a medida do diâmetro de um circulo inscrito emum triangulo

retângulo cujos lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm.

8.5 Ângulos da circunferência

Circunferencias congruentes: são aquelas que tem o mesmo raio.

Arcos congruentes: Dois arcos AB e CD são congruentes

se, e somente se, os arcos CÔD e AÔB forem congruentes.

Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o

vértice no centro O da circunferência e extremidades na linha da

mesma. AB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB.

OBS.: Para simplificar, chamaremos o ângulo AÔB de (beta).

Ângulo inscrito a uma circunferência é aquele ângulo que possui vértice (V) e

extremidades (A e B) pertencentes à circunferência, como mostra a figura.


PROPRIEDADE 1:

alfa = beta/2

PROPRIEDADE 2:

Se o arco do ângulo inscrito for 180º, isso implica que o ângulo

inscrito terá valor 90º. Daí, O triangulo formado pelas

extremidades e pelo vértice do ângulo é um triangulo retângulo.

PROPRIEDADE 3:

Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência,

isso implica que os anglos opostos são complementares (somam

180º).

Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito a uma circunferência é

um ângulo que tem vértice na circunferência (ponto A), um lado

secante (linha t) e o outro lado tangente à circunferência (linha AB).,

como indicado na figura ao lado.

PROPRIEDADE 1: Medida do ângulo de segmento

PROPRIEDADE 2: Arco capaz

Seja AÔB um ângulo central (beta) = 2(alfa). Os

vértices dos ângulos inscritos ou semi-inscritos

relativos à circunferência que tem lados passando por

A e B formarão ângulos (alfa), que medem a metade

do ângulo central (beta).


PROPRIEDADE 3: Ângulos excêntricos

Em caso de excentricidade interior,

Em caso de excentricidade exterior,

há três possíveis casos. Em

qualquer um deles,


1) Determine o valor do ângulo x nos casos:


2) Determine o valor do arco x nos casos:

3) Na figura, o arco CMD é igual a 100º e o arco

ANB mede 30º. Calcule o valor de x.

4) Determine a medida do ângulo α, sabendo que, na

figura abaixo, CD = R.

5) Calcule x nas figuras:


6) Nas figuras, calcule o valor de x.

7) N

a

s

f

i

g

u

r

as, calcule o valor de α.

8) Nas figuras, calcule o valor do arco ABC.

9) Nas figuras, calcule x.

10) Na figura ao lado, sendo ABC =

260º, calcule o valor de α.


8.6 – Comprimento da circunferência

Depois de vários estudos sobre o comprimento da circunferência, chegou-se a

um resultado:

Percebeu-se que o comprimento da uma cirunferencia é diretamente

proporcional ao dobro do raio, e que a constante de proporcionalidade é (PI).

Proporcionalidade entre secções circulares:

Pode-se calcular o comprimento l (menor que o comprimento total C) através da

medida do ângulo central referente a ele e do comprimento do raio R da

circunferência.



1) Determine o comprimento da circunferência nos casos:

2) Determine o comprimento do arco menor AB, dado o raio de 90 cm e o

ângulo central correspondente, nos casos:

3) Determine o comprimento da linha cheia nos casos (os arcos são

centrados em O1, O2, e O3)


4) Determine o perímetro da figura sombreada:

(a) Os arcos tem raios de 12 cm e são centrados em

A, B e C.

(b) ABCD é um quadrado de 48 cm de lado e os

arcos são centrados em A, B, C e D.

Ap geometria plana resolvidos

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