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2. HIDROSTÁTICA

Conceito de Hidrostática:

É a parte da Hidráulica que estuda os líquidos em repouso, bem como as forças que podem ser aplicadas em corpos neles submersos.

Pressão (ou Intensidade de Pressão):

É a força que atua em uma superfície por unidade de área.

FIGURA 2.1 - Força elementar atuando em uma superfície plana imersa.

p = δ Fδ A eq. 2.1

quando a força F é uniformemente distribuída sobre a área, tem-se:

p = FA eq. 2.2

em que,p = pressão ( Pa , N.m-2, kgf.m-2, kgf.cm-2 )F = força aplicada, normal à superfície ( N, kgf )A = área sobre a qual a força está atuando ( m2, cm2 )

Direção da Resultante:

A pressão num plano qualquer de um fluido é sempre normal a este plano.

Fluido (sem componente Sólido (com componenteTransversal) tangencial)

FIGURA 2.2 - Forças de pressão aplicadas em líquidos e sólidos.

.

6

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Lei de Pascal:

"Em qualquer ponto no interior de um líquido em equilíbrio, a pressão é a mesma em todos os sentidos".

Considerando um ponto qualquer representado pelo prisma da Figura 2.3:

FIGURA 2.3 - Forças que atuam em um ponto de uma massa líquida em equilíbrio.

Se o prisma está em equilíbrio, Fx = 0 e Fy = 0, então:

p1 A1 = p2 A2 sen eq. 2.3

p3 A3 = p1 A1 sen eq. 2.4

como sen =

A2

A1 , A2 = A1 sen eq. 2.5e

cos =

A3

A1 , A3 = A1 cos eq. 2.6

substituindo a equação 2.5 na equação 2.3 tem-se:

p2 A2 = p1 A2 então p2 = p1

e a equação 2.6 na 2.4 tem-se:

p3 A3 = p1 A3 então p3 = p1

portanto, p1 = p2 = p3

A importância desta lei está na comunicabilidade das pressões entre pontos de uma massa fluida. Os elevadores, prensas e freios hidráulicos são fundamentados nessa lei.

Dado a figura 2.4.,

7

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FIGURA 2.4 - Esquema de um elevador hidráulico.

E desconsiderando, por enquanto, a diferença de pressão entre as faces do êmbolo, tem-se:

p1 = p2 ou

F1

A1

=F2

A2 eq. 2.8

EXEMPLO 2.1 -Uma carga de 100.000 kgf está assentada em um êmbolo de um macaco hidráulico, que possui

1000 cm2 de área. Que força deve-se aplicar no outro êmbolo de área de 50 cm2 para que a carga seja equilibrada?

A1 = 1000 cm2 F1 = 100.000 kgfA2 = 50 cm2 F2 = ?

F1

A1

=F2

A2

100 .0001000

=F2

50 F2 = 5.000 kgf (ou 500 kg)

OBS: se triplicarmos o raio da prensa, sua área fica triplicada ao quadrado, ocorrendo o mesmo com a força.

Lei de Stevin:

"A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio é igual a diferença de nível entre os pontos, multiplicada pelo peso específico do líquido".

A = á rea das faces

Peso = peso da m assa líqu ida do p risma

h = d ife rença de n íve l en tre os pon tos conside rados.

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FIGURA 2.5 - Elemento geométrico de uma massa fluida em repouso e as forças que atuam sobre o mesmo.

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Como Peso = . Vol

e Vol = A . h

então, Peso = . A . h

Se o sistema está em equilíbrio,

Fy = 0 , portanto,

p1 A + Peso - p2 A = 0

p1 A + ( . A . h) - p2 A = 0

p2 A - p1A = . A . h

(p2 - p1) . A = . A . h

simplificando,

p2 -p1 = . h eq. 2.9

que é a expressão da lei de Stevin.

ou

p2

γ=

p1

γ= h

eq. 2.10

Nesta equação expressamos as pressões em alturas de coluna líquida.

"A diferença de altura de carga entre dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual a diferença de altitude entre eles ".

pγ é a carga, altura de pressão ou altura piezométrica.

Pressão atmosférica:

É a pressão exercida pelos gases que se encontram acima da superfície livre de um líquido

FIGURA 2.6 - Pressão em dois pontos de uma massa fluida em equilíbrio.

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A pressão atmosférica varia com a altitude, com a latitude, etc. Ao nível do mar, a 45 o de latitude e a 4 oC, seu valor é correspondente a uma coluna de 10,33 mca. A altura da coluna de mercúrio correspondente é 13,6 vezes menor, ou seja, 760 mm Hg.

Unidades: A pressão atmosférica padrão tem os seguintes valores: 10,33 mca, 1 kgf.cm-2, 760 mm Hg,

10.330 kgf.m-2, 101.337 Pa, 101,337 kPa, 1,013 bar e 1013,2 mbar.

A atmosfera técnica é a mais utilizada e seu valor nas diversas unidades é: 10 mca, 1 kgf.cm-2, 760 mm Hg, 10.000 kgf.m-2, 100.000 Pa, 100 kPa, 1 bar e 1000 mbar.

Na maioria dos problemas relativos às pressões, o que interessa é conhecer a diferença das pressões. Nestes casos, a pressão atmosférica não precisa ser considerada, desde que ela haja igualmente em todos os sentidos.

FIGURA 2.7 - Efeito da pressão atmosférica em todos os sentidos de uma massa fluida em equilíbrio.

Vácuo (ou sucção):

Sendo o vácuo perfeito um ambiente isento de matéria, a pressão exercida nos corpos é nula. Na prática isto não é conseguido, e designamos vácuo a todo ambiente onde a pressão reinante é inferior a pressão atmosférica local.

Por grau de vácuo, designa-se a diferença entre a pressão de um vácuo e a pressão atmosférica local. Então, o grau de vácuo não pode atingir valores maiores que 1 atm.

EXEMPLO 2.2 -Se a pressão local é a padrão, e em um certo ambiente a pressão é de 0,58 m Hg. Pergunta-se:

a) qual o valor do vácuo em kgf.cm-2 e mca?b) qual o grau de vácuo nas unidades relacionadas?

a) Considerando a atmosfera padrão:1 atmosfera técnica 760 mm Hg 10 mca 1 kgf.cm-2

760 mm Hg ---------- 1kgf.cm-2

580 mm Hg ---------- x x = 0,763 kgf.cm-2

760 mm Hg ----------- 10 mca580 mm Hg ----------- x x = 7,63 mca

a) O grau de vácuo será:

GV = 760 – 580 = 180 mm HgGV = 1 – 0,763 = 0,237 kgf.cm-2

GV = 10 – 7,63 = 2,37 mca

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Escala de pressões:

Escala absoluta é aquela cuja referência é o vácuo perfeito, ou seja, a pressão absoluta zero é a pressão do ambiente isento de matéria. Não existe valores negativos nesta escala.

Pressão relativa (manométrica ou efetiva) é a escala cuja referência é a pressão atmosférica local. Pode ser positiva ou negativa. A pressão atmosférica tem valor nulo nesta escala.

Empuxo "E":

É a força resultante da pressão hidrostática sobre uma superfície plana imersa. Ela é igual ao produto da área dessa superfície e da pressão no seu centro de gravidade.

FIGURA 2.8 - Esquema da projeção de uma superfície plana imersa no plano OZ.

A força agindo na área A será:

F = p. A

como p = . h,

F = . h . A

mas pela Figura 2.8, h = y sen

F = . y . sen . A

Cada uma das forças F será normal a respectiva área, então, a resultante ou o empuxo "E" sobre toda a área, também normal, será:

E = F

E = ( . y. sen . A)

E = . sen . y . A eq. 2.11

mas " y . A" é o momento da área em relação à intercessão “O”, portanto:

hp h '

hC

B

CGCP

dA

N.A .

a0

z

B '

C '

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y . A = A . y (por definição) eq. 2.12

onde, y é a distância do centro de gravidade da área à intercessão “O”. Substituindo a equação 2.12 em 2.11 tem-se:

E = . sen . A . y

como y . sen = h

E = . h . A eq. 2.13

em que, E = empuxo exercido pelo líquido, de peso específico h = altura do centro de gravidade "CG"da superfície A = área da superfície plana imersa.

EXEMPLO 2.3 -Qual o empuxo exercido pela água em uma comporta vertical retangular de 4x3 m, cujo topo se

encontra a 10 m de profundidade?

E = . h . A

= 1000 kgf.m-3

h = 10 + 3/2 = 11,5 m

A = 4 . 3 = 12 m2

E = 1000 . 11,5 . 12

E = 138.000 kgf

FIGURA 2.9 - Esquema de uma comporta vertical retangular.

Centro de pressão "CP":

É o ponto de aplicação da resultante das pressões que atuam sobre uma superfície plana imersa.

Superfície ho

N .A.

R

C G =CP

.

.

.

.

.

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rizontal

Superfície vertical

Superfície inclinada

FIGURA 2.10 - Distribuição das pressões hidrostáticas em superfícies horizontais, verticais e inclinadas.

A posição do centro de pressão pode ser determinada aplicando-se o teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à intercessão “O” deve se igualar aos momentos das forças elementares F.

Em geral:

yp = y + Io / (A . y) eq. 2.14

em que, yp = distância do centro de pressão à intercessão “O”

y = distância do centro de gravidade à intercessão “O”

Io = momento de inércia em relação ao eixo intercessão (ver Tabela 2.1)

A = área da superfície plana imersa.

TABELA 2.1 - Centro de Gravidade e Momento de Inércia das principais formas geométricas

FORMAS GEOMÉTRICASXo Distância do CG ao bordo

superior da figura.Io Momento de inércia em

relação ao eixo horizontal baricêntrico.

N.A.

C G h.

.

.

.

C PN.A.

hC G

C P

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a

b

a2

b a3

12

B

a b

a3

B + 2 bB+b

a3

36(B+b )2+2 Bb

B + b

a

b

23

a b a3

36

r rπ r4

4

0,4244 r 0,10978 (r)4

EXEMPLO 2.4 -Uma caixa d’água de 800 litros mede 1,0 x 1,0 x 0,8 m. Determinar o empuxo exercido em uma

das paredes laterais e seu ponto de aplicação.

E = . h . A = 1000 kgf.cm-3

h = 0,8/2 = 0,4 mA = 0,8 . 1,0 = 0,8 m2

= 1000 . 0,4 . 0,8 = 320 kgf

yP = y + Io / (A . y )Io = b . a3 / 12 (Tabela 2.1)Io = 1 . 0,83/12 = 0,0426 m4

= 0,4 + 0,0426 / (0,8 . 0,4) = 0,4 + 0,134 = 0,534 m

Determinação da Base Mínima (b) de pequenas barragens de alvenaria (não é de concreto armado):

Barragens de alvenaria em ARCO (sujeita à forças de tração e tombamento) Barragens de alvenaria de GRAVIDADE (sujeita a força de tombamento)

Nas barragens de alvenaria de gravidade, é o peso da estrutura que resiste às forças de tombamento. Para tal, a força resultante deve ter seu ponto de aplicação na base da estrutura de alvenaria.

Conforme Figura 2.11, a equação que estabelece as condições de estabilidade da barragem de alvenaria ("cálculo de estabilidade de barragens), é a seguinte:

(veja dedução desta equação no próximo item)

b = h √ γ L

γm eq. 2.15

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em que,b = base mínima da barragemh = altura máxima de lâmina d’águaL = peso específico do líquidom = peso específico do material da barragem.

FIGURA 2.11 - Perfis de pequenas barragens de alvenaria.

EXEMPLO 2.5 -Em uma fazenda deseja-se construir uma pequena barragem retangular de alvenaria de pedra,

assentada sobre rochas. A altura da barragem e profundidade da água será de 2,0 m. Determinar a espessura da obra, de modo que as condições de estabilidade sejam satisfeitas. ( m = 2.250 kgf.cm-3 )

b = h √ γLγm

b = 2 √ 1 .0002 .250 b = 1,33 m

h

.

C

b

.

h

.

b

.

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Dedução de Equações para Dimensionamento de Barragens de Alvenaria (sem armação de ferro):

Considerando uma pequena barragem de alvenaria, posicionada na vertical e com formato retangular, sujeita apenas a tombamento (Figura 2.12).

FIGURA 2.12 - Pequena barragem de alvenaria, com paredes laterais na vertical e formato retangular.

a) Equação para cálculo do empuxo:

E = a . h . A

= γ a

h2

. c . h ∴ E =γa . c . h2

2b) Equação para determinação do ponto de aplicação do empuxo (CP):

yP = h + Io / (A . h )

= h2

+ c . h3

12.

1

c . h .h2

= h

2+ h

6

= 4 h

6∴ y p = 2

3h

c) Dimensionamento da barragem (Cálculo da espessura da barragem):

a barragem deve resistir ao empuxo da água;

como se trata de alvenaria (não deve sofrer esforços de tração), a resultante das

forças “E” e “Peso” deve cair no terço médio da base (δ = 2

3b )

; tomando o momento com relação ao ponto 0, tem-se:

M 0R = M 0 peso + M 0 E (momento da resultante, em relação ao ponto 0)

R = Peso + E (resultante = força devido ao peso + força devido ao

N.A.

CG

b

c

0

FP

oyp

.

h a

y = h

R

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empuxo)

M = F . d (momento de uma força = força x distância)

γ = PesoVol (peso específico de um corpo qualquer)

Peso = γ alv . . VolPeso = γ alv . b . h . c

R = γ alv . b . h . c

E =γ a . c . h2

2

R .23

. b = Peso .b2

+ E .13

. h

[ γalv . . b . h . c ] .23

. b = [ γalv . . b . h . c ] .b2

+ [ γa . c . h2

2 ] .13

. h

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2 . γ alv . . b2 . h . c

3=

γ alv . b2 . h . c

2+

γa . h3 . c

6

2 . γ alv . . b2

3=

γ alv . . b2

2+

γ a . h2

6

2 . γ alv . . b2

3−

γ alv . . b2

2=

γa . h2

6

16

. γ alv . . b2 =γ a . h2

6

γ alv . . b2 = γa . h2

b2 = h2 .γ aγ alv .

b = h . √ γ aγ alv .

N.A.

CG

b

c

h

01/3b 1/3b 1/3b

1/3h

2/3hh'

o

2/3 b

H2O

.

.

.

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REVISÃO (Complemento sobre vetor, momento de uma força...)

A) VETOR:Características de um Vetor:

. direção

. sentido

. módulo/intensidade

. ponto de aplicação

Exemplos de Grandezas:. Grandeza Escalar: comprimento, T, Vol, A, massa...

. Grandeza Vetorial: força, velocidade, aceleração...

Esc 1cm 10 N

B) MOMENTO DE UMA FORÇA: tendência que os corpos têm de entrarem em rotação

1a CONDIÇÃO: ter um ponto e uma reta (aresta) fixa.

. matematicamente falando:

M = F . d

em que, M = momento de uma força (kgf . m)F = carga aplicada (kgf)d = distância (m)

O momento de uma força, em relação a um ponto, é o produto desta força pela distância ao ponto considerado.

Tipos de Forças: FORÇAS COPLANARES: estão contidas no mesmo plano. FORÇAS NÃ0-COPLANARES: não estão contidas no mesmo plano. FORÇAS CONCORRENTES: forças que concorrem para um mesmo ponto.

R = √F12 + F2

2 (α = 90o)

R = √F12 + F2

2 + 2 . F1 . F2 . cos α

FORÇAS PARALELAS: forças que não tem ponto em comum.

R = F1 + F2 M A R = M A F

1+ M A F

2

1 1 130N

Rf1

f2

.

.

R

f1 f2

.

.

.

.

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Composição das Forças:

. MÉTODO GRÁFICO: utiliza-se desenhomelhor visualmais sujeito a erros

. MÉTODO ANALÍTICO: . resolve com equações matemáticas. mais exato

Teoria dos Momentos: o momento da resultante em relação a um ponto fixo é igual a soma das componentes em relação a

este mesmo ponto fixo.

R =F1 + F2

R = 3 N + 2 N

R = 5 N

M A . R = M A . F1 + M A . F2 (fixando o ponto A)

X . 5N = 0 . 3 N + (6 m ) . (2 N )

f1=3N f2=2N

A B

m

. .

X

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X . 5N = 0 + 12 N . m

X = 12 N . m8 N

= 2,4 m (CP)

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RESOLVENDO PASSO-A-PASSO O EXERCÍCIO DA COMPORTA

10m

A B C DE F G HI J K L

Peso = F = E = γ . h . A (A = 1m2) (h = profundidade do CG)

EA = 1000 kgf /m3 . 10 ,5 m . 1 m2 = 10 . 500 kgf

EB = 1000 kgf /m3 . 10 ,5 m . 1 m2 = 10 . 500 kgf

EC = 1000 kgf /m3 . 10 ,5 m . 1 m2 = 10 .500 kgf

ED = 1000 kgf /m3 . 10 ,5 m . 1 m2 = 10 .500 kgf

EE = 1000 kgf /m3 . 11 ,5 m . 1 m2 = 11.500 kgf

EF = 1000 kgf /m3 . 11 ,5 m . 1 m2 = 11. 500 kgf

EG = 1000 kgf /m3 . 11 ,5 m . 1 m2 = 11. 500 kgf

EH = 1000 kgf /m3 . 11 ,5 m . 1 m2 = 11.500 kgf

E I = 1000 kgf /m3 . 12,5 m . 1 m2 = 12. 500 kgf

EJ = 1000 kgf /m3 . 12 ,5 m . 1 m2 = 12.500 kgf

EK = 1000 kgf /m3 . 12 ,5 m . 1 m2 = 12 .500 kgf

EL = 1000 kgf /m3 . 12 ,5 m . 1 m2 = 12 .500 kgf

E = 138.000 kgf

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TRANSFORMANDO EM mca:

considerando que o E está sendo aplicado no ponto CP, envolto por uma área unitária (1 m2):

E = F = Peso = 138 .000 kgf

γ = PesoVol

∴ Peso = γ . Vol

∴ Peso = γ . A . h

Peso = 138 . 000 kgf

γ . A . h = 138 . 000 kgf

1000 kgf /m3 . 1 m2 . h = 138 . 000 kgf

h = 138. 000 kgf1000 kgf /m3 . 1 m2

h = 138 mca

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