Prensa isostática de vasos gêmeos: projeto (Twin vessel isostatic ...
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____________________________________________________________________________________Prof.: Rogrio de Carvalho Paes de Andrade
e-mail: [email protected]
Apostila
deIsosttica
Viga biapoiada Viga Gerber
Prtico biapoiado Trelia
Modelo espacial de uma estrutura de rampa Perspectiva
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Sumrio
Introduo____________________________________________________________________ 2
Condies de equilbrio________________________________________________________ 3
Graus de liberdade____________________________________________________________ 3
Apoios _____________________________________________________________________ 4
Estabilidade e estaticidade _____________________________________________________ 4
Lista de exerccios n. 1 ________________________________________________________ 6
Cargas_______________________________________________________________________ 8Cargas concentradas __________________________________________________________ 8
Cargas distribudas ___________________________________________________________ 8
Carga momento ______________________________________________________________ 8
Lista de exerccios n. 2 ________________________________________________________ 9
Esforos internos_____________________________________________________________ 11
Definio __________________________________________________________________ 11
Lista de exerccios n. 3 _______________________________________________________ 17
Prticos simples______________________________________________________________ 21
Definio __________________________________________________________________ 21
Lista de exerccios n. 4 _______________________________________________________ 23
Vigas Gerber_________________________________________________________________ 25
Definio __________________________________________________________________ 25
Lista de exerccios n. 5 _______________________________________________________ 27Trelias simples______________________________________________________________ 30
Definio __________________________________________________________________ 30
Lista de exerccios n. 6 _______________________________________________________ 39
Bibliografia__________________________________________________________________ 40
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Introduo
A estrutura um conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade
de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificao. Quando se projeta uma estrutura, a anlise
do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificaes que conduzem amodelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma
determinada situao de projeto, devem ser considerados vrios fatores. Os principais so:
Projeto arquitetnico:
-Aspectos funcionais (dimenso do espao interno, iluminao, limitaes do espao
exterior,...)
-Aspectos estticos (sistemas diferentes geram formas diferentes)
Carregamento atuante:
-Permanente
-Acidental
Condies de fabricao, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, iamento)
Material estrutural a ser utilizado (cada material possui caractersticas mecnicas
peculiares): o material deve estar adequado ao tipo de esforos solicitantes as estrutura
Para identificao do sistema estrutural mais adequado deve-se:
1.) Identificar as possveis opes;
2.) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um ;
Os sistemas estruturais so modelos de comportamento idealizados para representao e
anlise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma conveno. Esta
conveno pode ser feita em funo da geometria das peas estruturais que compem o conjunto
denominado sistema estrutural.
Quanto geometria, um corpo pode ser identificado por trs dimenses principais que
definem seu volume. Conforme as relaes entre estas dimenses, surgem quatro tipos de peas
estruturais:
Barra: duas dimenses da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.
Barra de elementos delgados: as trs dimenses principais so de diferentes ordens de
grandeza. o caso dos perfis metlicos, onde a espessura muito menor que as dimenses da
seo transversal, que menor que o comprimento da pea. As barras de elementos delgados
so tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceo feita
solicitao por toro.
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Folhas ou lminas: duas dimenses de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira
dimenso. Subdividem-se em:
Placas: carregamento perpendicular ao plano mdio.
Chapas: carregamento contido no plano mdio.
Cascas: superfcie mdia curva.
Bloco: as trs dimenses so da mesma ordem de grandeza.
Condies de equilbrio
Para um corpo, submetido a um sistema de foras, estar em equilbrio, necessrio que
elas no provoquem nenhuma tendncia de translao nem rotao a este corpo.Equaes universais da esttica:
Fx = 0 Mx = 0
Fy = 0 My = 0
Fz = 0 Mz = 0
A condio necessria e suficiente para que um corpo esteja em equilbrio, submetido a
um sistema de foras, que satisfaa as equaes universais da esttica.
Graus de liberdade
No espao, uma translao pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos
triortogonais e, uma rotao, como a resultante de 3 rotaes, cada uma em torno de um eixos,
dizemos que uma estrutura no espao possui um total de 6 graus de liberdade (3 translaes e 3
rotaes, segundo 3 eixos triortogonais).
evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar
toda tendncia de movimento da estrutura, a fim de ser possvel seu equilbrio. Esta restrio
dada por apoios, que devem impedir as diversas tendncias possveis de movimento, atravs do
aparecimento de reaes destes apoios sobre a estrutura, nas direes dos movimentos que elesimpedem, isto , dos graus de liberdade que eles restringem.
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Os apoios so em nmero superior ao necessrio para impedir todos os movimentos
possveis da estrutura. Neste caso, teremos menor nmero de equaes que de incgnitas,
conduzindo a um sistema indeterminado. As equaes universais da esttica no ser, ento,
suficientes para a determinao das reaes de apoio, sendo necessrias equaes adicionais decompatibilidade de deformaes, conforme ser visto na cadeira de Teoria da estruturas.
A estrutura ser dita hiperesttica, continuando o equilbrio a ser estvel, alis, poderamos dizer,
um pouco impropriamente, que o equilbrio mais que estvel.
RESUMO:
N. INCGNITAS < N. EQUAES = HIPOSTTICA
N. INCGNITAS = N. EQUAES = ISOSTTICA
N. INCGNITAS > N. EQUAES = HIPERESTTICA
Ex.: classificar as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade.
a)
b)
c)
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Lista de exerccios n. 1
Classifique as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade.
a)
Resp.: Isosttica
b)
Resp.: Isosttica
c)
Resp.: Hiposttica
d)
Resp.: Hiposttica
e)
Resp.: Hiperesttica
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f)
Resp.: Hiperesttica
g)
Resp.: Isosttica
g)
Resp.: Hiperesttica
i)
Resp.: Hiperesttica
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Cargas
Classificao das cargas em relao sua lei de distribuio.
No estudaremos, por ora, a classificao das cargas quanto sua ocorrncia em relao ao
tempo.
Cargas concentradas
As cargas concentradas so uma forma aproximada de tratar cargas distribudas segundo
reas de contato to pequenas.
Cargas distribudas
Os tipos mais usuais de cargas distribudas que ocorrem na prtica so as cargas
uniformemente distribudas (constante) e as cargas triangulares (casos de empuxo de terra e de
gua) indicadas abaixo.
Carga uniformemente distribuda Carga linearmente distribuda
A resultante de um carregamento distribudo igual rea compreendida entre a linha
que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual est aplicado, sendo seu ponto de
aplicao o centro de gravidade da referida rea.
Carga momento
A estrutura tambm pode, alm de estar solicitada por cargas-forca (concentrada e ou
distribudas), estar solicitada por cargas-momento. A carga-momento caracterizada pelo seu
mdulo, direo,sentido e ponto de aplicao.
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Lista de exerccios n. 2
Calcular as reaes de apoio das estruturas abaixo:
Obs.:considerar todas as cotas em metro.
1
VA = 3,0 KN () / HA = 0
VC = 3,0 KN ()
2
VA = 15,0 KN () / HA = 0
VB = 15,0 KN ()
3
MA = 1,5 kN.m () / VA = 0 / HA = 0
4
VA = 41,25 KN () / HA = 8,66kN ()
VD = 43,75 KN ()
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5
VA = 250 KN () / HA = 0
VC = 380 KN ()
6
VB = 363,75 KN () / HB = 43,3 kN ()
VD = 341,25 KN ()
7
VB = 300 KN () / HB = 34,64 kN ()
VD = 340 KN ()
8
MA = 652,5 kN.m () / VA = 205 KN () / HA = 43,3 kN ()
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Esforos internos
Definio
Considera-se a barra abaixo com um plano de carga paralelo ao plano xy e passando pelo centrode cisalhamento. Desta forma os esforos solicitantes se resumem a: fora normal (N), fora
cortante (Q) e momento fletor (M).
As equaes dos esforos solicitantes so determinadas efetuando-se cortes ao longo do
comprimento da barra em equilbrio, e equilibrando-se a parte esquerda ou direita do corte
Deve-se considerar um novo corte toda vez que as equaes forem alteradas, ou seja, toda vez
que se modificar o carregamento.
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Devido ao carregamento que atua na parte esquerda ou direita do corte, surgem esforos
resultantes da fora Frl na direo x, do eixo longitudinal da barra, de fora Frt na direo y,
transversal ao eixo da barra, e de momento Mr.
Conhecendo-se os esforos ativos e reativos, possvel determinar os esforos resultantes (Frl,Frt e Mr), que so equilibrados pelos respectivos esforos solicitantes (N, Q e M) atravs das
equaes de equilbrio da esttica (Fx = 0; Fy = 0 e M = 0).
Para traar os diagramas dos esforos solicitantes necessrio determinar, em cada corte, as
respectivas equaes, considera-se um novo corte toda vez que as equaes dos esforos
solicitantes forem alterados, ou seja, toda vez que surgir um novo esforo, ativo ou reativo. Alm
disso, deve-se respeitar as convenes de sinais adotados, a fim de definir os sentidos dos
esforos solicitantes em cada seo transversal da barra.
Convenes de sinais
Admitem-se os esforos positivos conforme os sentidos indicados abaixo.
Fora normal (N) positiva se tracionar o trecho considerado.
Fora cortante (Q) positiva desde que o binrio provoque giro no sentido horrio.
Momento fletor (M) positivo se provoca trao nas fibras inferiores.
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Resumo da conveno de sinais positivos
+N N
Atravs de relaes diferenciais (p, Q e M) possvel prever as formas dos diagramas de
momento fletor (M) e da fora cortante (Q) em funo da carga (p).
Tipo de carga Cortante (Q) Fletor (M)
Concentrada Constante Funo do 1
Uniformemente distribuda Funo do 1 Funo do 2
Linearmente distribuda Funo do 2 Funo do 3
Exemplos:
Ex.: 1- Viga biapoiada submetida a uma carga concentrada.
1 Passo - Clculo das reaes de apoio
Fx=0 (+)HA= 0
Fy=0 (+)
VA+VC- P = 0
VA = P - VC
MA=0 (+)
P.a - VC.l = 0
- VC.l = - P.a x(-1)
VC= P.a / l
como b = l - aVA= P.b / l
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2 Passo - Clculo dos esforos internos
Ponto B (esquerda)
Fx=0N = 0
Fy=0
Q + P.b / l = 0
Q = - P.b / l
MA=0
M - (P.b / l).a = 0
M = (P.b / l).a
3 Passo - Diagrama dos esforos
Obs.: ao se criar uma seo sob uma carga concentrada haver a necessidade de se analisar a
seo sem e com a carga concentrada para os esforos que sero afetados com o surgimento da
fora.
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Ex.: 2- Viga biapoiada submetida a um carregamento uniformemente distribudo.
1 Passo - Clculo das reaes de apoio
Fx=0 (+)
HA= 0
Fy=0 (+)
VA+VB- q.l = 0
VA = q.l - VB
MA=0 (+)
(q.l).(l/2) - VB.l = 0
- VB.l = - q.l/2 x(-1)
VB= q.l/2
logo:
VA= q.l / 2
2 Passo - Clculo dos esforos internos
Seo S (ao meio do vo)
Fx=0
N = 0
Fy=0
Q + q.l/2 q.l/2 = 0
Q = 0
M=0
M + (q.l/2).(l/4) (q.l/2).(l/2) = 0
M + (q.l/8) - (q.l/4) = 0
M + (q.l - 2q.l)/8 = 0
M = q.l/8
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3 Passo - Diagrama dos esforos
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Lista de exerccios n. 3
Calcular o que se pede para as estruturas abaixo:
Obs.:considerar todas as cotas em metro.
a) as reaes de apoio;b) os esforos internos;
c) o diagrama dos esforos solicitantes.
1
DEC (kN)
VA = 3,0 kN () / HA = 0
VC = 3,0 kN ()
DMF (kN.m)
2
DEC (kN)
VA = 15,0 kN () / HA = 0
VB = 15,0 kN ()DMF (kN.m)
3
DMF (kN.m)
MA = 1,5 kN.m () / VA = 0 / HA = 0
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4
DEN (kN)
VA = 41,25 kN () / HA = 8,66 kN ()
VD = 43,75 kN ()
DEC (kN)
DMF (kN.m)
5
DEC (kN)
VA = 250 kN () / HA = 0
VC = 380 kN ()
DMF (kN.m)
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6
DEN (kN)
VB = 363,75 kN () / HB = 43,3 kN ()
VD = 341,25 kN ()
DEC (kN)
DMF (kN.m)
7
DEN (kN)
VB = 300 kN () / HB = 34,6 kN ()
VD = 340 kN ()
DEC (kN)
DMF (kN.m)
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8
DEN (kN)
MA = 652,5 kN.m () / VA = 205 kN ()HA = 43,3 kN ()
DEC (kN)
DMF (kN.m)
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Prticos simples
Definio
Os prticos planos so estruturas formadas por elementos (ou barras) cujos eixos, com
orientaes arbitrrias, pertencem todos a um nico plano (plano da estrutura).O carregamento atuante tambm pertence ao plano da estrutura. Os ns que
interconectam os elementos dos prticos podem ser rgidos ou articulados.
Existem quatro tipos fundamentais de prticos isostticos planos, aos quais chamamos
prticos simples, quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma com
que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os assim chamados
prticos compostos.
Para se traar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar os
momentos fletores atuantes em seus ns, lig-los por uma linha reta tracejada, a partir da qual
penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada
uma das barras que constituem o quadro. Os diagramas so marcados, como no caso das vigas,
perpendicularmente ao eixo de cada barra.
Para a obteno dos diagramas de esforos cortantes e esforos normais imediata, a partir do
conhecimento das reaes de apoio, sendo indiferente o lado para o qual marcamos os valores,
interessando apenas o sinal (positivo se o esforo de trao e negativo no caso de compresso).
A fim de evitar confuso com as linhas que definem o eixo do quadro e com linhas auxiliares
usadas para o traado dos diagramas, pode-se hachurar, se julgado til para maior clareza, a rea
compreendida entre o diagrama final e o eixo do quadro.
So os seguintes os tipos estticos de quadros simples isostticos.
a) Prtico biapoiado b) Prtico engastado e livre
A
B
D
C
A
B C
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c) Prtico triarticuladod) Prtico biapoiado, com articulao e tirante
(ou escora)
A
B
E
DC
A
B
D
C
A barra AC no prtico da letra (d) estar submetida apenas a um esforo normal (N) constante, nocaso de ser de trao, a barra ser denominada tirante e, no caso de ser de compresso, ser
denominada de escora.
Obs.: esta barra AC descarregada e rotulada nas extremidades, possuindo em todas as seesM = Q = 0.
Exemplo:
2kN/m
A
B
D
C
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Lista de exerccios n. 4
Para os prticos abaixo, calcule:
a) as reaes de apoio;
b) os esforos internos nas sees indicadas com a letra S;
c) o diagrama dos esforos solicitantes.1)
3kN/m
10kN
S2
S1
S3
2,
0
2,
0
2,5 2,5
5,0
1,
0
1,
0
A
B
D
C
2)
S2
S1
1,5
5kN
2,
0
2,
0
1,5
A
B C
10kN/m
a) Reaes de apoio
VA= 3,55 kN () / HA= 10 kN ()
VD= 11,5 kN ()
b) Esforos internosS1 S2 S3
N (kN) -3,5 0 -11,5
Q (kN) 0 / 10 -4 0
M (kN.m) 20 19,4 0
a) Reaes de apoio
VA= 5 kN () / HA= 40 kN ()
MA= 95 kN.m ()
b) Esforos internosS1 S2
N (kN) -5 0
Q (kN) 20 5
M (kN.m) -35 -7,5
c)
DEN (kN)
c)
DEN (kN)
DEC (kN) DEC (kN)
DMF (kN.m) DMF (kN.m)
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3)
A
B C
3kN/m
S2
S1
1,
5
1
,5
3,0 3,0
4)
5kN
S2
S1 S3
2,
0
2,
0
2,5
7,0
2,51,0 1,0
A
CB
F
D E
a) Reaes de apoio
VA= 9 kN () / HA= 0 kNVC= 9 kN ()
b) Esforos internosS1 S2
N (kN) -9 0
Q (kN) 0 0
M (kN.m) 0 13,5
a) Reaes de apoio
VA= 9 kN () / HA= 5 kN ()VF= 5 kN ()
b) Esforos internosS1 S2 S3
N (kN) -9 0 -5
Q (kN) -5 / 0 2 0
M (kN.m) -10 0,3 0
c)
DEN (kN)
c)
DEN (kN)
DEC (kN)DEC (kN)
DMF (kN.m)
DMF (kN.m)
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Vigas Gerber
DefinioAs vigas Gerber recebem este nome em homenagem ao engenheiro alemo Heinrich
Gerber (1832-1912). As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem
estrutural e construtiva.Estruturalpermitir deformaes, evitando o surgimento de esforos internos devidos a
recalques diferenciais nos apoios.
Construtivospermitir o lanamento de vigas pr-moldads em vos sobre leitos de rio ou de
difcil acesso.
Esta soluo nos permite a execuo em separado dos trechos ABE, EF e FCD, com o
que poderamos escorar inicialmente o trecho ABE e concret-lo, a seguir, transferiramos o
escoramento para o trecho FCD que seria posteriormente concretado e encerrando a execuo da
estrutura, poderamos pr-fabricar a viga EF, lanando-a atravz de uma grua.
As vigas Gerber tem lugar de grande importncia na Engenharia estrutural, e a tendncia
desta importncia aumentar, tendo em vista o desenvolvimento das tcnicas de pr-fabricao e
montagem de estruturas.
Os dentes Gerber nada mais so do que rtulas (M = 0) convenientemente introduzidas na
estrutura de forma a, mantendo a sua estabilidade, torn-la isosttica. As vigas Gerber podem,
portanto, ser consideradas como uma associao de vigas simples (biapoiadas, biapoiadas com
balanos ou engastadas e livres), umas com estabilidade prpria (CEP) e outras sem estabilidadeprpria (SEP).
Importante ressaltar que as partes identificadas como SEPso tambm estveis,
entretanto a estabilidade delas depende da estabilidade das vigas sobre as quais se apoiam.
As vigas Gerber, por serem associaes de vigas isostticas simples, podem ser
calculadas estabelecendo o equilbrio de cada uma de suas partes, resolvendo inicialmente as
vigas simples que no possuem estabilidade prprio (SEP). A determinao das foras reativas
das vigas SEPpermite pelo princpio da ao e reao a aplicao da ao destas sobre as vigas
simples com estabilidade prpria (CEP).
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Ex.: Separe as estruturas abaixo em trechos SEPe CEP.
a)
A B C
b)
A B C D E F G H
c)
A B C
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Lista de exerccios n. 5
Para as estruturas abaixo, faa:
a) indique os trechos com estabilidade prpria (CEP) e os trechos sem estabilidade prpria
(SEP);b) calcule as reaes de apoio;
c) o diagrama dos esforos solicitantes.
1)
11m
3m 2m 3m 2m 1m
60kN20kN/m
A B C D E F
a)
CEP Trecho CF
SEP Trecho AC
b)
VB= 125 kN ()
VD= 60 kN ()
VF= 35 kN ()
c)
DEC (kN)
DMF (kN.m)
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2)
19m
2m 4m 2m 5m
A B C D E
2m2m
10kN/m
H
10kN/m
20kN/m30kN
2m
F G
a)
CEP Trecho CF
SEP Trechos: AC e FH
b)
VB= 45 kN ()
VD= 101 kN ()
VE= 109 kN ()
c)
DEC (kN)
DMF (kN.m)
-
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3)
12m
1m 1m 2,5m
A C D E
1m1m
I
2m
G H
10kN 20kN5kN.m
1m 2,5m
B F
a)
CEP Trecho CG
SEP Trechos: AC e GI
b)
VA= 5 kN ()
VD= 16,3 kN ()
VF= 7 kN ()VI= 1,7 kN ()
c)
DEC (kN)
DMF (kN.m)
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Trelias simples
DefinioTrelia ideal um sistema reticulado indeformvel cujas barras possuem todas as suas
extremidades rotuladas e cujas cargas esto aplicadas nestas rtulas (ns).
A denominao trelia plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjuntopertencerem a um nico plano. A sua utilizao na prtica pode ser observada em pontes,
viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc.
Exemplo:
Observaes:
Qualquer polgono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus
vrtices deformvel (hiposttico) com exceo dos casos abaixo:
As trelias surgiram como um sistema mais econmico que as vigas para
vencerem vos maiores ou suportar cargas maiores.
Embora o caso mais geral seja o de trelias espaciais, o mais frequente o de
trelias planas, que ser o estudado em nosso curso.
Imaginam-se as barras rotuladas em suas extremidades (isto , sendo livre sua
rotao relativa nos ns), conforme figura (a). No frequente, no entanto, a
unio destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos ns
atravs de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as
barras concorrentes, conforme figura (b).
Figura (a) Figura (b)
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Estas ligaes criaro sempre pequenas restries livre rotao relativa das barras nos
ns, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras, sendo desprezado o seu
efeito.
Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no
mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um nico ponto em cada n (PT: pontode trabalho), os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria
que vamos desenvolver, sendo ela vlida do ponto de vista prtico.
Solicitaes internas
Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma trelia por terem suas
extremidades rotuladas, no absorvem momento, desenvolvem apenas esforos normais
constantes ao longo da barra.Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma trelia.
Sabe-se que uma rtula no transmite momento, apenas esforos na direo do eixo e
perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas s esto aplicadas nos ns.
A anlise do equilbrio mostra que nas extremidades das barras de uma trelia s existem
esforos na direo do eixo longitudinal da mesma e que so de mesmo mdulo, porm sentidos
contrrios. A existncia de esforos perpendiculares ao eixo da barra (esforo cortante)
descartada pois as barras no so carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades
momentos nulos.
Concluso:A nica solicitao interna desenvolvida o Esforo Normal constante ao longo da
barra. Como o esforo normal constante ao longo da barra, podemos calcular o seu valor em
uma seo qualquer da barra.
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Classificao da estaticidade de uma trelia
Sejam:
b nmero de barras;
r nmero de reaes externas;n nmero de ns ou rtulas.
As incgnitas do problema sero em nmero de b + r, ou seja, o nmero de reaes e o
nmero de barras.
O nmero de equaes ser de 2n, pois em cada n se aplicam as equaes de equilbrio
de um ponto material. (Fx=0 Fy=0).
Ento, se
r + b < 2n Trelia hiposttica;
r + b = 2n a princpio tratar-se de uma trelia isosttica, porm no pode ser confirmado
sem antes analisarmos os apoio externos (condies de equilbrio esttico);
r + b > 2n Trelia hiperesttica, sendo vlidas as observaes anteriores para a trelia
isosttica.
Exemplo:
A B
b = 5
r = 3
n = 4
b + r 5 + 3 8
2 n 2 x 4 8
Como b + r = 2 n, a trelia externamente biapoiada e internamente possui a lei de
formao de uma trelia simples (r + b = 2n), ento classificada como isosttica.
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Mtodos de anlise das trelias
Mtodo dos Ns
o mtodo natural de resoluo que consiste em se estudar o equilbrio de cada n
isolado. Deve-se INICIAR E PROSSEGUIRpelos ns que possuam apenas duas incgnitas
determinar (esforo normal de 2 barras). Aplicam-se as equaes de equilbrio esttico em cada
n: (Fx=0 Fy=0).
Note-se que se o n tiver mais de 2 barras serem determinadas, as 2 equaes no so
suficientes para a soluo do sistema.
ROTEIRO:
1 Passo clculo das reaes externas (se necessrio);
2 Passo escolha do 1 n ser examinado;
3 Passo aplicao das equaes de equilbrio no n escolhido;4 Passo resolvido o primeiro n, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se
ele acresce apenas duas incgnitas (2 barras serem determinadas).
Obs.:este mtodo apresenta o problema de acumular os erros de clculo que por acaso sejam
cometidos.
Mtodo de Ritter ou Mtodo das Sees
O mtodo de Ritter permite que se calculem os esforos normais apenas em algumas
barras que possam nos interessar.
ROTEIRO:
1 Passo clculo das reaes externas (se necessrio);
2 Passo cortar a trelia por sees de Ritter que devem:
a) atravessar toda a trelia dividindo-a em 2 partes
b) interceptar no mximo 3 barras que no sejam ao mesmo tempo paralelas ou concorrentes.
c) cortada a trelia em 2 partes, substitui-se a parte retirada pelos esforos normais
desenvolvidos pelas barras cortadas, que devem ser calculados, de maneira que as partes
ficam em equilbrio;
d) os esforos normais sero encontrados pelo equilbrio das partes, podendo-se dispor almdas equaes fundamentais de equilbrio esttico, da condio de n onde a soma dos
momentos em qualquer n da trelia deva ser zero, pois as rtulas no absorvem momento.
Obs.:este mtodo acrescenta mais condies as j conhecidas e so usadas as condies que
nos parecerem mais convenientes, podendo-se facilmente mesclar os 2 mtodos sem problema
algum.
Mtodo de Cremona
um mtodo grfico que preconiza a justaposio dos polgonos de foras que traduzemo equilbrio de cada n. Est em desuso em funo da mecanizao dos clculos.
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Exemplo de aplicao para o mtodo dos ns
Determinar as reaes de apoio e os esforos internos das barras da trelia dada.
1 Passo - Reaes de apoio
Fx = 0 (+)
-HA+ 6 = 0
-HA= - 6 x(-1)
HA= 6 kN
Fy = 0 (+)
VA+ VB- 20 = 0
VA+ VB= 20
MA= 0 ( +)
20 x 2 + 6 x 1,5 VBx 4 = 0
40 + 9 - 4VB= 0
VB= 12,25 kN
Logo
VA= 20 VB
VA= 20 12,25
VA= 7,75 kN
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2 Passo Esforos internos
Tg = 1,5 / 2 = 0,75 37 (Sen 37 = 0,60 e Cos 37 = 0,80)
N A
Fy = 0 (+)
7,75 + NACx Sen 37 = 0
7,75 + NACx 0,60 = 0
NAC= -12,92 kN (compresso)
Fx = 0 (+)
- 6,0 + NAD+ NACx Cos 37 = 0
- 6,0 + NAD+ (- 12,92) x 0,80 = 0
- 6,0 + NAD 10,34 = 0
NAD= 16,33 kN (trao)
N D
Fy = 0 (+)
NDC 20 = 0
NDC= 20,0 kN (trao)
Fx = 0 (+)
- NDA+ NDB= 0NDB= NDA
NDB= 16,33 kN (trao)
N B
Fy = 0 (+)
12,25 + NBCx Sen 37 = 0
12,25 + NBCx 0,60 = 0
NBC= - 20,42 kN (compresso)
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Exemplo de aplicao para o mtodo de Ritter ou mtodo das sees
Determinar as reaes de apoio e os esforos internos das barras da trelia dada.
1 Passo - Reaes de apoio
Fx = 0 (+)
HA= 0
Fy = 0 (+)
VA+ VB 18 36 = 0
VA+ VB= 54
MA= 0 ( +)
18 x 2 + 36 x 4 VBx 6 = 0
180 6VB= 0
VB= 30,0 kN
Logo
VA= 54 VB
VA= 54 30,0
VA= 24,0 kN
-
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2 Passo Esforos internos
Tg = 2 / 2 = 1,0 45 (Sen 45 = Cos 45 = 0,71)
Seo 1-1 (a esquerda)
Fy = 0 (+)
24 18 + NEDx Cos 45 = 0
6 + NEDx 0,71 = 0
NED= - 8,45 kN (compresso)
ME= 0 ( +)
24 x 2 + NCDx 2 = 0
NCD= - 24,0 kN (compresso)
Fx = 0 (+)
NEF+ NEDx Cos 45 + NCD= 0
NEF+ (- 8,45) x 0,71 + (- 24) = 0
NEF 6 24 = 0
NEF= 30,0 kN (trao)
N A
Fy = 0 (+)
24 + NACx Sen 45 = 024 + NACx 0,71 = 0
NAC= - 33,8 kN (compresso)
Fx = 0 (+)
NAE+ NACx Cos 45 = 0
NAE+ (- 33,8) x 0,71 = 0
NAE= 24,0 kN (trao)
N E
Fy = 0 (+)
- 18 + NEC+ NEDx Sen 45 = 0
- 18 + NEC+ (- 8,45) x 0,71 = 0
- 18 + NEC- 6 = 0
NEC= 24,0 kN (trao)
-
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N B
Fy = 0 (+)
30 + NBDx Cos 45 = 0
30 + NBDx 0,71 = 0NBD= - 42,25 kN (compresso)
Fx = 0 (+)
NBF NBDx Cos 45 = 0
NBF ( 42,25) x 0,71 = 0
NBF+ 30 = 0
NBF= 30,0 kN (trao)
N F
Fy = 0 (+)
NFD- 36 = 0
NFD= 36 kN (trao)
-
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Lista de exerccios n. 6
Determinar os esforos normais atuantes nas trelias abaixo.
a)
RespostasEsforos externos:
VA= 40 kN () HA= 20 kN ()
VB= 60 kN ()
Esforos internos:
NAB= 0
NAC= + 200 kN (!)
NA"= + 2#$ kN (!)
NB"= % 600 kN (C)
NC"= % 200 kN (C)
NCE= 0
NC&= + 2#$ kN (!)
NE&= % 200 kN (C)
N"&= % 400 kN (C)
b)Respostas
Esforos externos:
VA= 40 kN () HA= 0
VB= 40 kN ()
Esforos internos:
NAC
= NC"
= % '$64 kN (C)NA&= + '$2$ kN (!)
N&= + #0 kN (!)
NC&= % 200 kN (C)
N&"= + 4*6 kN (!)
N"= 0
c)Respostas
Esforos externos:
HA= '00 kN ()
VE= 60 kN () HE= *0 kN ()
Esforos internos:
NAB= % *,0 kN (C)
NBC= NC"= % ,00 kN (C)
NE&= + *#2 kN (!)
N&= + 6'4 kN (!)
N"= + 444 kN (!)
NAE= + 2,0 kN (!)
NA&= % $,2 kN (C)
NB= % 2#2 kN (C)
NB&= + '26 kN (!)NC= 0
20kN
20kN
10 kN
20 kN
20 kN
20 kN
10 kN
20 kN
10 kN 20 kN
10 kN 20 kN
10 kN
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Bibliografia
Anlise Estrutural, Jos Carlos Sussekind, Vol I, Editora Globo, 1984;
Estruturas Isostticas, Maria C. F. de Almeida, Editora Oficina de Textos, 2009;
Estruturas Isostticas, Bernardo Gorfin e Myriam Marques de Oliveira, Editora LTC;
Apostila sobre trelias, professora Maria Regina C. Leggerini / Silvia B. Kalil, PUC-RS.