Mnimo mltiplo comum

Sabemos que muitos cometas passam pela Terra de anos em anos. Um cometa A passa de 15 em 15 anos, enquanto que um cometa B passa de 20 em 20 anos. Esse dois cometas passaram por aqui em 2002. Nessas condies, em que ano esses dois cometas passaro juntos novamente pela Terra?Problemas curiosos como esse sero trabalhados neste minicurso, usaremos as definies de mltiplos, divisores, para aprender a resolv-los, trabalhando a ideia de mnimo mltiplo comum.Podemos perceber que existem infinitos mltiplos comuns: 0, 60, 120, 180,... e o menor deles, diferente se zero o 60. Da podemos afirmar que no ano de 2062 esses cometas passaro juntos pela Terra.Calcular o mmc: mnimo mltiplo comumVamos observar a seguinte situao:

Pedro e Fernando treinam futebol regularmente no mesmo clube. Pedro treina de 4 em 4 dias e Fernando de 6 em 6 dias. Hoje, eles se encontraram no clube. Daqui a quantos dias eles voltaro a se encontrar?Dias em que os treinos iro acontecer, para:Pedro 4 dias, 8 dias, 12 dias, 16 dias, 20 dias, 24 dias, ...Fernando 6 dias, 12 dias, 18 dias, 24 dias, 30 dias, 36 dias,...

Concluso:Eles se encontraro novamente daqui a 12, 24, 36, dias,..., que so os mltiplos comuns de 4 e 6.Analisando os conjuntos de mltiplos de 4 e 6, teremos:

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,...}M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...}Observamos que 0(zero) mltiplo de qualquer nmero natural e por isso os matemticos se interessam pelos mltiplos diferentes de zero.Agora podemos explicar o que mmc. Essa sigla abreviatura da expresso menor mltiplo comum.O menor mltiplo comum de 4 e 6 o menor nmero diferente de zero mltiplo comum de 4 e de 6. Voc observou que esse nmero o 12. Podemos representar o mmc assim:mmc (4, 6) = 12.

Concluso:O menor mltiplo comum de dois ou mais nmeros diferente de zero chamado mnimo mltiplo comum desses nmeros. Usamos a abreviao mmc.H vrias maneiras de se encontrar o mnimo mltiplo comum de dois ou mais nmeros. Vamos estudar neste minicurso duas delas.

1. Utilizando a decomposio dos nmeros em fatores primos, simultaneamente, esse mtodo chamado de decomposio simultnea. Veja:Vamos calcular o mmc de 10 e 20.

10-20| 25-10| 25-5 |51-1 |

Logo, o mmc (10, 20) = 2 . 2. 5 = 22 . 5 = 20

Concluso:Decompor simultaneamente em fatores primos os nmeros naturais diferentes de zero calcular o mmc entre eles.

2. Utilizando a decomposio em fatores primos separadamente.

Por exemplo: determine o mmc de 24 e 20.

a)Fatoramos cada nmero, separadamente.

24|2 20| 212|2 10 |26|2 5 |53|3 1 |1 |

Encontramos: 24 = 23 .3 20 = 22 .5Multiplicamos os fatores comuns (que se repetem) e os no-comuns elevados ao seu maior expoente.

Teremos:

23 . 3.5= 120

Fatores que no se repetem.Fator que se repete com o maior expoente.

Logo, o mmc (24, 20) = 120.

Concluso:O mnimo mltiplo comum (mmc) de dois nmeros naturais diferentes de zero o produto dos fatores primos comuns e no comuns elevados ao seu maior expoente.

Propriedades do mmc e do mdcPodemos o mmc de dois ou mais nmeros com o auxlio do mdc (decompondo-os ou no em fatores primos). Empregaremos a seguinte expresso que tambm servir para calcularmos o mdc, se conhecermos o mmc:

A. B = mdc. mmc

Sendo A e B dois nmeros considerados:

Dados dois ou mais nmeros naturais diferentes de zero, se um deles for mltiplo de todos os outros, ento esse nmero ser o mmc dos nmeros dados.Por exemplo:mmc (6, 12, 24) = 24, pois 24 mltiplo de 6, 12 e de si mesmo.mmc (5, 25, 75) = 75, pois 75 mltiplo de 5, 25 e de si mesmo. O mmc de dois ou mais nmeros primos entre si igual ao produto desses nmeros.Por exemplo:mmc (7, 9) = 7 . 9 = 63, pois 7 e 9 so primos entre si.mmc (3, 5, 7, 11) = 3 .5 .7 . 11, pois 3, 5, 7 e 11 so primos entre si.

Problemas Propostos

01.A partir das 7 horas, as sadas de nibus de Natal para Caic, Mossor e Martins obedecem ao seguinte horrio.

Para Caic, de 2 em 2 horasPara Mossor, de 3 em 3 horasPara Martins, de 5 em 5 horas

Supondo que exatamente as 7 horas da manh saram (simultaneamente) trs nibus para Caic, Mossor e Martins, podemos afirmar que o prximo horrio em que sairo simultaneamente nibus para as trs cidades ser:

a)15h do mesmo dia.b)1h da manh do dia seguinte.c)7h da manh do dia seguinte.d)11h da manh do dia seguinte.e)13h do dia seguinte.

02.A tabela mostra aproximadamente a durao do ano (uma volta completa em torno do Sol) de alguns planetas do sistema solar, em relao ao ano terrestre.

Se, em uma noite, os planetas Jpiter, Saturno e Urano so observados alinhados, de um determinado local na Terra, determine, aps essa ocasio, quantos anos terrestres se passaro para que o prximo alinhamento desses planetas possa ser observado do mesmo local.

03.Numa sala de mquinas h 4 relgios de controle,que emitem bips sonoros em intervalos regulares diferentes,conforme mostra a tabela,sendo que em determinados momentos todos os 4 relgios emitem bips simultaneamente:

Relgio Bip a cada

A 2 min

B 2,5min

C 3 min

D 4,5min

Dessa maneira, pode-se afirmar que esses relgios emitem bips simultaneamente a cada.

a)36 min.b)45 min.c)60 min.d)86min.e)90min

04.Sendo , e , ento o quociente da diviso do m.m.c. pelo m.d.c. dos nmeros A, B e C

a)36b)90c)180d)450

05.Dados os nmeros 12 e 20, o produto mximo divisor comum (m.d.c) com o mnimo mltiplo comum (m.m.c) destes dois nmeros vale:

a)64b)120c)144d)160e)240

GABARITO:01. E02. 420 anos03. E04. C05. E

Mximo divisor comum

Praia da Redinha.

Leia com ateno:

Para recepcionar um grupo de estrangeiro que visitar a praia da Redinha-RN, o guia de turismo pretende distribuir 30 bons e 20 camisetas. Sabendo que essa distribuio tem que ser feita igualmente entre todos os estrangeiros, qual ser o nmero mximo de pessoas que esse grupo pode ter?Para que o guia possa distribuir igualmente 30 bons, o nmero de pessoas no grupo tem que ser qualquer divisor de 30, isto , 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 ou 30, Vamos raciocinar da mesma forma para as 20 camisetas: para dividir 20 camisetas em quantidades iguais, o nmero de estrangeiros tem que ser qualquer divisor de 20, isto , 1, 2, 4, 5, 10 ou 20.Observamos que h divisores comuns a 20 e 30, que so: 1, 2, 5 e 10, portanto esses divisores correspondem ao nmero de pessoas que formaro o grupo de estrangeiros.Logo, o nmero de pessoas que esse grupo pode ter 10.Por isso, dizemos que 10 o mximo divisor comum.

Concluindo: O maior divisor comum ou mximo divisor comum (mdc) de dois ou mais nmeros naturais diferentes de zero o maior nmero que divide ao mesmo tempo, todos esses nmeros.Processos prticos para determinar o mdc (mximo divisor comum) de dois ou mais nmeros

Mtodo da decomposio em fatores primos

Inicialmente, decompomos os nmeros dados em fatores primos. Escrevemos a forma fatorada deles. A seguir, retiramos das formas fatoradas os fatores comuns, cada um com o menor expoente. O produto desses fatores o mdc procurado.

Por exemplo:

Vamos calcular o mdc entre 72 e 20:

a)

72| 2 20 | 236| 2 10 | 218| 2 5 | 59 | 3 1 |3 | 31

b)72 = 2 . 2 . 2. 3 . 3 = 23 . 32 20 = 2 .2 . 5 = 22 .5

c)23 e 22fatores comuns

fator com menor expoenteLogo, 24 = 4 o mdc de 72 e 20, isto , mdc (72 e 30) = 4Propriedade do mdcVeja o mdc de 6, 12, 30: 6 = 2. 3 12 = 22. 3 30 = 2 .3 .5mdc (6, 12, 30) =2 . 3 = 6Observe que 6 divide 12 e 30.Verificamos que:

Dados dois ou mais nmeros, se um deles divisor de todos os outros, ento ele o mdc dos nmeros dados.

Srie Apoio

01.Considere dois rolos de barbante, um com 150m e outro com 96m de comprimento.

Pretende-se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaos de mesmo comprimento. O menor nmero de pedaos que poder ser obtido :

a) 38 b) 41c) 43d) 52e) 55

02.Trs fios de comprimentos 36m, 48m e 72m devem ser cortados em pedaos menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em um nmero inteiro de metros, sem que haja perda de material. O menor nmero possvel de pedaos de fio :

a)7b)9c)11d)13e)15

03.Uma sala retangular medindo 3m por 4,25m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais.

Supondo que no haja espao entre ladrilhos vizinhos, pergunta-se:

a) Qual deve ser a dimenso mxima, em centmetros, de cada um desses ladrilhos para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho?

b) Quantos desses mesmos ladrilhos so necessrios?

04.Assinale a alternativa falsa.

a)Se dois nmeros so primos, ento eles so primos entre si.b)Dois nmeros primos entre si podem ser primos.c)Um nmero par e outro mpar podem ser primos entre si.d)Se dois nmeros so primos entre si, ento eles so necessariamente primos.

GABARITO:01. B02. D03. a) 25 cmb) 204 ladrilhos 04. D

Srie Fixao

01.Para construir uma cerca, dispomos de trs pedaos de madeira medindo 3,36m, 2,40m e 1,44m. Para que no haja desperdcio de madeira, devemos cort-la em pedaos de comprimentos iguais de maneira que cada parte seja de maior comprimento possvel.Qual o comprimento e o nmero de pedaos obtidos,respectivamente?

a) 48 cm e 15b) 24 cm e 30c) 12 cm e 60d) 72 cm e 10e) 15 cm e 24

02.Um depsito com 3,6m de altura, 4,8m de largura e 7,2m de comprimento foi planejado para armazenar caixas cbicas, todas de mesmo tamanho, sem que houvesse perda de espao. Pode-se estimar que o menor nmero de caixas cbicas necessrias para encher completamente esse depsito :

a)24b)36c)48d)72e)74

03.A editora do livro COMO SER APROVADO NO VESTIBULAR recebeu os seguintes pedidos, de trs livrarias:

LivrariaN de exemplares

A1300

B1950

C3900

A editora deve remeter os trs pedidos em n pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor possvel. Calcule o nmero n.

04.Um terreno plano, de forma retangular, medindo 720m de comprimento por 540m de largura, foi dividido em lotes quadrados, com dimenses iguais. Considerando que esses lotes tenham lados com maior comprimento possvel, conclui-se que o terreno foi dividido em:

a)21 lotes. b)12 lotes. c)7 lotes.d)4 lotes.e)3 lotes.

05.Durante um evento, o organizador pretende distribuir, como brinde, a alguns participantes, caixas (kits), com o mesmo contedo, formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se que ele possui exatamente 200 camisetas e 120 chaveiros.

a) Decomponha os nmeros 200 e 120 em fatores primos.b) Determine o nmero mximo de caixas, com o mesmo contedo, que o organizador conseguir formar utilizando todos os chaveiros e camisetas disponveis.

GABARITO:01. A02. D03. 11 pacotes iguais.04. B05.

a)e b) 40

PERCENTAGEM

frequente o uso de expresses que refletem acrscimos ou redues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tornando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A Gasolina teve um aumento de 15%. Significa que cada R$ 100,00 houve um acrscimo de R$ 15,00.

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$ 100,00 foi dado um desconto de R$ 10,00.

Dos jogadores que jogam no Amrica/RN, 90% so craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Amrica/RN, 90 so craques.

Percentagem (do latim per centum) ou percentagem (em razo da locuo por cento) o valor obtido quando aplicamos uma razo centesimal (frao de denominador 100) a um determinado valor representamos percentagem pelo smbolo % e l-se: por cento.

Deste modo, a frao uma taxa percentual que podemos representar por 20%, ou 0,20.

Forma percentual: 20%

Forma fracionria:

Forma unitria: 0,20.

Observao:

e l-se p por mil.

CURIOSIDADEQual a diferena entre porcentagem e percentagem?

Inicialmente, preciso deixar claro que os dois termos referem-se mesma coisa: a frao de um nmero inteiro expressa em centsimos. As expresses, entretanto, ingressaram por caminhos distintos no chamado Portugus Brasileiro. O vocbulo "percentagem" foi adaptado do termo ingls percentage. Este, por sua vez, teria sido originado de per cent, derivado do latim per centum. Segundo o Dicionrio Houaiss, o termo percentagem, o mais antigo, teria sido adotado na Lngua Portuguesa ainda no sculo 19, a partir de 1858. "Porcentagem" , por sua vez, considerado um abrasileiramento surgido da locuo "por cento", de uso corrente na lngua portuguesa. Apesar de possivelmente ter sido cunhada no Brasil, a palavra tambm utilizada em Portugal, por influncia do termo pourcentage, do idioma francs.Ambos, portanto, so corretos, mas nos lxicos mais modernos, como o Michaelis, porcentagem tem remisso para percentagem, o que denota preferncia por essa ltima forma.

Como calcular um valor percentual de um nmero?

p% de um valor X igual a . PROBLEMAS PROPOSTOS

01.Considere que as mdias finais dos alunos de um curso foram representadas no grfico a seguir.

Sabendo que a mdia para aprovao nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a percentagem de alunos aprovados?

a)18% d)50%b)21% e)72%c)36%

02.Um supermercado fez a seguinte oferta para a compra de determinada marca de suco de laranja em caixa de 1litro:

Expresse, em percentagem, o desconto obtido por unidade em relao ao preo original, para quem comprar 8 sucos de laranja.

03.Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que no obtiveram cura foram distribudos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%.

Em relao aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de

a)16%. d)48%b)24%. e)64%.c)32%.

04.Um fabricante de refrigerantes comercializava uma garrafa de 600 ml de refrigerante ao preo de R$ 1,80. Por razes comerciais, retirou-a do mercado e lanou uma nova garrafa de 500 ml de refrigerante, ao preo de R$ 1,65. Comparando as quantidades de volume de refrigerante, houve aumento ou diminuio no preo? Calcule a percentagem desse aumento ou diminuio do preo.

AUMENTO E DESCONTO

Aumento

a)Aumentar um valor x de p% equivale a multiplic-lo por (100 + p)%, pois:

b)Aumentar um valor x de 20%, por exemplo, equivale a multiplic-lo por 1,20, pois:

c)Aumentar um valor x de 70% equivale a multiplic-lo por 1,70.

d)Aumentar um valor x de 200% equivale a multiplic-lo por 3, pois:

(100+200)%x = 300%x = 3

Desconto

a)Diminuir um valor x de p% equivale a multiplic-lo por (100 p)%, pois:

b)Diminuir um valor x de 20%, por exemplo, equivale a multiplic-lo por 0,80, pois:

c)Diminuir um valor x de 40% equivale a multiplic-lo por 0,60.

Aumento e descontos sucessivos

a)Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um nico aumento de 21% (e no de 20%), pois:

b)Dois descontos sucessivos de 10% equivalem a um nico desconto de 19% (e no de 20%), pois:

c)Um aumento de 10% seguido de um desconto de 10% equivale a um nico desconto de 1%, pois:

PROBLEMAS PROPOSTOS

01. Luciana tem duas opes de pagamento na compra de um fogo: sem juros, em quatro parcelas mensais iguais de R$350,00; ou vista, com 15% de desconto.

Nesse contexto, o preo desse fogo, vista, :

a)R$1.190,00b)R$1.110,00c)R$1.210,00d)R$1.090,0002. A remunerao dos operrios de uma determinada fbrica composta por um salrio base x mais duas gratificaes: uma, de R$300,00 para todos os operrios, e a outra, de 30% do salrio base de cada operrio.

Considere que da remunerao de cada operrio so descontados 20% relativos aos impostos e contribuies. Aps esses descontos, o valor, V(x), que cada operrio recebe, em funo de x, est corretamente expresso por:

a)c)

b)d)

03. Um jornal de grande circulao no Rio Grande do Norte veiculou a seguinte noticia:Depois de sete anos sem sentir o gostinho de aumento, 1,1 milho de servidores federais vo receber reajuste de 3,5% nos contracheques que saem em fevereiro.Segundo a mesma notcia, 70 mil desses servidores recebero em fevereiro, a ttulo de divida da unio, mais 3,17% sobre o salrio j aumentado de 3,5%.Um servidor que obteve os dois reajustes acima descritos receber em fevereiro, segundo a notcia, um reajuste total de, aproximadamente:

a)3,81%b)6,67%c)6,78%d)10,95%

04.Em dezembro de 2009, a anlise de uma amostra da gua de um reservatrio acusou um aumento de 18% de impurezas, em relao ao ms anterior. Em janeiro de 2010, analisada outra amostra do mesmo reservatrio, observou-se que houve uma reduo de 5% de impurezas em relao s detectadas em dezembro. Relativamente ao ms de novembro, correto afirmar que, em janeiro, as impurezas aumentaram em:

a)13%d)12%b)12,5%e)11,8%c)12,1%

PREO DE VENDA, LUCRO E PREJUZO

a) A equao usada para calcularmos o valor da venda com lucro V=C+L, onde V o valor da venda, C o valor do custo e L o lucro, que pode ser calculado em relao ao custo ou a venda.b) A equao usada para calcularmos o valor da venda com prejuzo V=C-P, onde V o valor da venda, C o valor do custo e P o prejuzo que pode ser calculado em relao ao custo ou a venda.

PROBLEMAS PROPOSTOS

01.Na venda de um objeto que custou R$ 240,00, obtive um lucro de 25% sobre o preo de venda. O objeto foi vendido por:

a)R$ 440,00d)R$ 320,00b)R$ 400,00e)R$ 500,00c)R$ 360,00

02.Luciana vendeu um fogo com prejuzo de 10% sobre o preo de venda. Admitindo-se que ela tenha comprado o produto por R$ 264,00, o preo de venda foi de:

a)R$ 238,00d)R$ 245,00b)R$ 240,00e) R$ 250,00c)R$ 242,00

MATEMTICA FINANCEIRA

o ramo da matemtica que se ocupa do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo.Seu campo de aplicao so as operaes financeiras, entendendo-se como tais as de emprstimos, financiamento, aplicao e investimento. Seu principal objetivo fornecer instrumentos (frmulas, tabelas, grficos...) que permitam a anlise e a comparao de operaes financeiras e a tomada de deciso quanto a elas.

a) CAPITAL (C)

Vamos supor que voc resolva aplicar o seu dinheiro em um banco ou qualquer outra instituio financeira. A quantidade de dinheiro utilizada na aplicao chamada de CAPITAL. Assim, para nossas finalidades:

CAPITAL (C) quantidade de dinheiro que vai ser transacionada (emprestada ou investida).

b) JUROS (J)

Considere que sua aplicao tenha durao de 1ms.Voc ficar privado do capital aplicado durante esse perodo, no poder utiliz-lo, pois ele se encontra em poder da instituio para a qual voc o emprestou. Como compensao pela impossibilidade de utiliz-lo, a instituio paga a voc um valor, que iremos denominar de JUROS(J).

JUROS(J) a remunerao pelo uso do capital por um certo intervalo de tempo.Esse intervalo de tempo durante o qual o capital aplicado denomina-se PRAZO e iremos represent-lo por t.

c) MONTANTE (M) OU CAPITAL ACUMULADO

a soma do CAPITAL(C) aplicado no incio da operao financeira com os JUROS(J) acumulados no final do prazo de aplicao.

M = C + J

d) TAXA DE JUROS(i)

A taxa de juros a percentagem do CAPITAL(C) que ser paga a ttulo de JUROS(J), aps um determinado perodo de tempo.

A taxa de juros sempre referida a um perodo de tempo, denominado PERIODICIDADE DA TAXA DE JUROS, e que normalmente abreviado conforme a representaes abaixo:

a.d.ao dia

a.m.ao ms

a.b.ao bimestre

a.t.ao trimestre

a.q.ao quadrimestre

a.s.ao semestre

a.a.ao ano

Representao da Taxa de Juros

Na forma porcentualNa forma unitria

20%a.a. 0,2a.a.

5%a.m.0,05a.m.

A taxa de juros pode ser expressa de duas formas: percetualmente ou unitariamente

Para transformar uma taxa percentual em taxa unitria fcil: para isso basta deslocar a vrgula duas casasdecimais para a esquerda. E para transformar a taxa unitria em percentual, basta deslocar a vrgula duas casas decimais para a direita.e) CLCULO DE JUROS SIMPLES

Para calcularmos os juros simples basta multiplicarmos a taxa de juros i pelo capital C e pelo nmero de perodos t contidos no prazo de aplicao dividido por 100. Em linguagem algbrica, escrevemos da seguinte forma:

OBSERVAES

a) a taxa i e o tempo t de aplicao devem estar no mesmo perodo de transao.

b)a taxa aplicada nas formulaes deve ser empregada de forma percentual.

PROBLEMAS PROPOSTOS

01.O condomnio de um edifcio de R$ 200,00 mensais.

A conta apresentada diz: Aps vencimento cobrar multa de 3% mais juros simples de 0,5% ao dia. O inquilino que atrasar 8 dias, pagar ao todo:

a)R$ 256,00b)R$ 242,00c)R$ 228,00d)R$ 214,0

02.Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado taxa de juros simples de 4% a.m. Aps um semestre, qual o valor do montante obtido?

a)224.000b)230.000c)240.000d)260.000

03.Para comprar um tnis de R$ 70,00, Paulo Henrique deu um cheque pr-datado de 30 dias no valor de R$ 74,20 taxa de juros simples cobrada foi de:

a)0,6% a.m.b)4,2% a.m.c)6% a.m.d)8% a.m.

04.Um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao ms, resultou no montante de R$ 1.300,00 aps certo tempo. Qual o tempo da aplicao?

a)12 meses.b) 14 meses.c)15 meses.d)16 meses.

JUROS COMPOSTOS

Vrias situaes do nosso cotidiano ou do universo cientfico relacionam grandezas que crescem ou decrescem pelo produto por uma constante. O estudo dessas grandezas exige o conhecimento de um tipo especial de seqncia chamada de progresso geomtrica.

A seguir apresentada uma dessas situaes. Um capital de R$ 10.000,00 aplicado durante 4 anos taxa de juro composto de 20% ao ano.Determine o montante desse capital no 3 ano a partir do incio da aplicao.

A partir do incio da aplicao, temos:

1 ano 20% de 10000 = x 10000 = 2000

Montante = 10000 + 2000 = 12000

2 ano 20% de 12000 = x 12000 = 2400

Montante = 12000+ 2400 = 14400

3 ano 20% de 14400 = x 14400 = 2880

Montante = 14400 + 2880 = 17280

(10.000, 12.000, 14.400, 17.280)

Essa seqncia numrica chamada de progresso geomtrica (PG), porque, multiplicando-se cada termo por uma mesma constante, obtm-se o termo seguinte.

(Nesse caso, multiplicou-se cada termo constante 1,2.)

Relao entre PG e Juros Compostos

Podemos observar que 17.280 o 4 termo da PG de a1=10000 e q = 1,2.

an= a1 . q n-1a4 = 10000 . 1,728a4 = 10000 . 1,2 4-1a4 = 17280a4 = 10000 . 1,2 3 Juros compostos

Vamos calcular no sistema de juros compostos, qual ser o montante (M) produzido por um capital(C), aplicado taxa i ao perodo, no fim de t perodos.

an= a1 . q n-1

Com an = M, a1= C, q = 1 + i e n 1 = t, vem:

M = C.(1 + i)t

No sistema de juros compostos, deve-se calcular os juros ao final de cada perodo, formando um montante sobre o qual calculam-se os juros do perodo seguinte, at esgotar o tempo da aplicao o que chamamos de juros sobrejuros.Alm disso, possvel perceber que esse processo usado na resoluo (clculo ms a ms) no conveniente para um prazo longo.

Ao final de t perodos o Montante ser:

M = C .(1 + i)tOnde:M:montanteC:capitali : taxat: tempo

OBSERVAO:

a) A taxa i e o tempo de aplicao devem estar no mesmo perodo de transao.b) a taxa que se aplica nas formulaes deve ser empregada na forma unitria, ou seja, divida a taxa por 100.

Comparando graficamente os juros simples e os compostos

Da capitalizao simples, sabemos que o rendimento se d de forma linear ou proporcional. A base de clculo sempre o capital inicial. No regime composto de capitalizao, dizemos que o rendimento se d de forma exponencial. Os juros do perodo so calculados com base num capital, formando um montante, que ser a nova base de clculo para o perodo seguinte.

PROBLEMAS PROPOSTOS

01.Um capital de US$ 2.000,00, aplicado taxa de juros compostos de 5% a.m., em 1ano produz um montante de quantos dlares?

Dado: (1,05)12 = 1,79586.

a)US$3.291,72d)US$3.591,72b)US$3.391,72e)US$3.691,72c)US$3.491,72

02.A taxa de crescimento anual na produo de soja de um estado brasileiro de 5%. Para estimar a quantidade de soja produzida nesse estado no trigsimo ano, de 2001 a 2030, o secretrio da agricultura sups que essa taxa permanea constante a partir da produo de 2001, que foi 4 milhes de toneladas.Determine a opo que representa a quantidade de soja estimada em 2030.

a)4. 1,530d)5. 1,00429b)4. 1,529e)5. 1,0430c)4. 1,0529

03.Numa aplicao financeira, chama-se MONTANTE em certa data soma da quantia aplicada com os juros acumulados at aquela data. Suponha uma aplicao de R$50.000,00 a juros compostos, taxa de 3% ao ms. Nesse caso, os montantes em reais, no incio de cada perodo de um ms, formam um progresso geomtrica em que o primeiro termo 50.000 e a razo 1,03.Os juros acumulados ao completar 10 meses de aplicao so Dado: 1,0310 = 1,3439

a)R$ 10 300,00d)R$ 21 847,00b)R$ 15 000,00e)R$ 134 390,00c)R$ 17 195,00

04.A aplicao de um capital de R$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo perodo de trs meses, a uma taxa de 10% ao ms, resulta, no final do terceiro ms, num montante acumulado:

a)de R$ 3.000,00;b)de R$ 13.000,00;c)inferior a R$13.000,00;d)superior a R$ 13.000,00;e)menor que R$ 10.500,00;

05.Joo deseja comprar um carro cujo preo vista, com todos os descontos possveis, de R$ 21.000,00, esse valor no ser reajustado nos prximos meses. Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao ms, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado at que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro, Joo dever esperar.

a)dois meses, e ter a quantia exata.b)trs meses, e ter a quantia exata.c)trs meses, e ainda sobraro, aproximadamente, R$ 225,00.d)quatro meses, e ter a quantia exata.e)quatro meses, e ainda sobraro, aproximadamente, R$ 430,00.

QUESTES PROPOSTOS

01.Uma compra de R$ 100.000,00 dever ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma vista e a outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 20% sobre o saldo devedor, ento o valor de cada parcela, desprezando-se os centavos, ser de

a)R$ 54.545b)R$ 56.438c)R$ 55.000d)R$ 58.176

02.Um grupo de amigos tinha reservado um stio para um fim de semana, e o aluguel seria dividido entre eles em partes iguais. Por algum motivo, o proprietrio resolveu aumentar em 10% o preo combinado; isso fez com que trs deles desistissem, ocasionando um acrscimo de 20% para cada um dos outros.

Com base nessas informaes, pode-se afirmar que o nmero de pessoas do grupo inicial era igual a:

a)27b)32c)36d)40

03.A prestao da casa prpria de Joo consome 30% do seu salrio. Se o salrio corrigido com um aumento de 25% e a prestao da casa com um aumento de 20%, a nova percentagem que a prestao passou a consumir do salrio do Joo

a)22,5%b)24,5%c)26,8%d)28,8

04.Determinada loja vende todos os produtos com pagamento para 45 dias. Para pagamento vista, a loja oferece 8% de desconto. A taxa mensal de juro simples paga pelo cliente que prefere pagar aps 45 dias , aproximadamente, de:

a)0% d)5,8% b)5,3% e)4,2% c)8%

05.A populao de uma cidade cresceu 25% em um ano e, no ano seguinte, teve um decrescimento de 25%. Em relao populao inicial da cidade, podemos deduzir corretamente que a populao:

a)aumentou 93,75% d)aumentou 6,25% b)diminuiu 93,75% e)diminuiu 6,25% c)permaneceu estvel

06.Joo abriu uma caderneta de poupana e, em 10. de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa de juros, nesse ano, de 20%. Em 10. de janeiro de 2007, depositou mais R$ 1.000,00. Para que Joo tenha, nessa poupana, em 10. de janeiro de 2008, um montante de R$ 1.824,00, a taxa de juros do segundo ano deve corresponder a:

a)12%b)14%c)16%d)18%

07.Uma parcela de R$ 90,00 de um emprstimo deveria ter sido paga no dia 2 de um determinado ms. Quando um pagamento atrasado, incidem sobre o valor da parcela multa de 2% e juros de mora dirios de R$ 1,20.

Calcule o valor pago se o pagamento da parcela for feito no dia 14 do mesmo ms.

08.(Ufpb 2007) Em uma determinada cidade, o preo da gasolina por litro era de R$ 2,75 e baixou para R$ 2,20. Nesse contexto, o preo da gasolina foi reduzido em:

a)15% d) 20% b)17% e) 25% c) 18%

09.Pedro emprestou R$ 1.500,00 ao seu cunhado, cobrando uma taxa mensal de juros de 15%. Ao final do primeiro ms, a quantia a ser paga pelo cunhado de Pedro, relativa aos juros desse emprstimo, ser:

a)R$ 125,00 d)R$ 150,00 b)R$ 135,00 e)R$ 225,00 c)R$ 105,00

10.Jos emprestou certo capital a seu "amigo", taxa de 4% ao ms e no regime de juros compostos. Ao final de dois meses, o "amigo" quitou a dvida, pagando a Jos R$ 4.189,50. Qual foi o valor que Jos emprestou ao "amigo"?

11.Uma loja de eletrodomsticos publicou o seguinte anncio:

"Compre uma geladeira por R$ 950,00 para pagamento em 30 dias, ou vista, com um desconto promocional de 20%".

Se um cliente optar pela compra com pagamento em 30 dias, a taxa de juros a ser paga, ao ms, :

a)20%b)22%c)25%d)28%

12.Jos foi promovido na sua empresa e teve um aumento de 40% no seu salrio. Dois meses depois, todos os funcionrios da empresa receberam um reajuste de 10%. Qual foi o aumento percentual de Jos?

13.Para custear seus estudos em um curso de culinria, um aluno conseguiu um emprstimo no valor de R$ 1.000,00 pelo qual pagar, aps 4 meses, uma nica parcela de R$ 1.280,00. Portanto, a taxa anual de juros simples desse emprstimo de

a)84% d) 196% b) 96%e) 336% c) 184%

14.Joo recebeu um aumento de 10%e com isso seu salrio chegou a R$1.320,00. O salrio de Joo antes do aumento era igual a?

a) R$1.188,00d) R$1.310,00 b) R$1.200,00e) R$1.452,00 c) R$1.220,00

15.Pensando em aumentar seus lucros, um lojista aumentou os preos de seus produtos em 25%. Como, a partir desse aumento, as vendas diminuram, o comerciante decidiu reduzir os novos preos praticados em 25%. Com base nessas informaes, CORRETO afirmar que, aps essa reduo, as mercadorias dessa loja passaram a:

a)ter o preo original. b)ser 5% mais caras. c)ser 10% mais caras. d)ser mais baratas.

16.Um automvel no valor de R$ 30.000,00 sofre uma desvalorizao de 10% a cada ano. A funo que expressa o valor V(t) desse automvel, aps t anos, dada por

a)V(t) = 30.000,00 . (0,9)t b)V(t) = 30.000 . 0,9 tc)V(t) = 30.000,00 . (0,1)td)V(t) = 30.000 . 0,1 t

17.Um capital de $200000,00 aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante aps quatro anos.

18.Observe as guias para pagamento em cota nica do IPTU-2010 mostradas abaixo.

Em uma delas, com o desconto de 15%, ser pago o valor de R$ 1.530,00; na outra, com o desconto de 7%, ser pago o valor de R$ 2.790,00.

O desconto percentual mdio total obtido com o pagamento desses valores igual a:

a)6%b)10%c)11%d)22%

19.Juliana fez uma aplicao financeira, comprando um ttulo pblico que lhe proporcionou, aps um ano, um montante de R$ 10 000,00. A taxa de juros da aplicao foi de 10% ao ano. Podemos concluir que o juro auferido na aplicao foi:

a)R$ 1 000,00 d)R$ 909,09 b)R$ 1 009,09 e)R$ 800,00 c)R$ 900,00

20.Um trem transportava, em um de seus vages, um nmero inicial n de passageiros. Ao parar em uma estao, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vago 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu aps o desembarque. Dessa forma, o nmero final de passageiros no vago corresponde a 120.

Determine o valor de n.

21.Na prova de um concurso, determinado candidato acertou 8 das 10 primeiras questes e trs quartos das questes restantes, ou seja, 30 questes. O percentual de acerto desse candidato na prova foi de

a) 68,5%. d) 77,5%. b) 72,0%. e) 95,0%. c) 76,0%.

22.Em uma turma de alunos, constatou-se que 30% dos homens e 10% das mulheres estudaram em colgios particulares. Constatou-se tambm que 18% dos alunos dessa turma estudaram em colgios particulares. Qual a percentagem de homens dessa turma?

a)12% d)40% b)20% e)64%c)35%

23. Alguns especialistas recomendam que, para um acesso confortvel aos bebedouros por parte de crianas e usurios de cadeiras de rodas, a borda desses equipamentos esteja a uma altura de 76,2 cm do piso, como indicado na figura a seguir.

Um bebedouro que tenha sido instalado a uma altura de 91,4 cm do piso borda excedeu a altura recomendada. Dentre os percentuais a seguir, o que mais se aproxima do excesso em relao altura recomendada

a)5%d)20%b)10%c)15%e)25%

24.O grfico ao lado representa a velocidade de um veculo durante um passeio de trs horas, iniciado s 13h00.

De acordo com o grfico, o percentual de tempo nesse passeio em que o veculo esteve a uma velocidade igual ou superior a 50 quilmetros por hora foi de:

a)20%.b)25%.c)30%.d)45%.e)50%.

25.Um comerciante conseguiu lucrar 10% sob o preo de venda de uma mercadoria comprada por R$360,00. O lucro sob o preo de venda foi de:

a)45 reaisc)36 reaisb)40 reaisd)27 reais

26.Uma turma preparatria para um concurso comeou lotada. Hoje, dois meses depois de iniciado o curso, 30% dos alunos que o iniciaram j desistiram e trancaram as suas matrculas. Estima-se que, at o final do curso, 40% dos que esto, hoje, com matrcula ativa venham a desistir e tranc-la. Nessas circunstncias, ao final do curso, dos alunos que iniciaram a turma, ainda estaro matriculados:

a)30%d)45%b)38%e) 58%c)42%

27.A capa de uma revista de grande circulao trazia a seguinte informao, relativa a uma reportagem daquela edio:

"O brasileiro diz que feliz na cama, mas debaixo dos lenis 47% no sentem vontade de fazer sexo".

O texto a seguir, no entanto, adaptado da mesma reportagem, mostra que o dado acima est errado:

"Outro problema predominantemente feminino a falta de desejo - 35% das mulheres no sentem nenhuma vontade de ter relaes. J entre os homens, apenas 12% se queixam de falta de desejo".

Considerando que o nmero de homens na populao seja igual ao de mulheres, a porcentagem aproximada de brasileiros que no sentem vontade de fazer sexo, de acordo com a reportagem,

a)12%.d)35%.b)24%.e)50%.c)29%.

28.A eficincia de anncios num painel eletrnico localizado em uma certa avenida movimentada foi avaliada por uma empresa. Os resultados mostraram que, em mdia:

- passam, por dia, 30000 motoristas em frente ao painel eletrnico;- 40% dos motoristas que passam observam o painel;- um mesmo motorista passa trs vezes por semana pelo local.

Segundo os dados acima, se um anncio de um produto ficar exposto durante sete dias nesse painel, esperado que o nmero mnimo de motoristas diferentes que tero observado o painel seja:

a)15000 d)71000 b)28000 e)84000 c)42000

29.Foi aplicado um teste contendo trs questes para um grupo de 80 alunos. O grfico abaixo representa a porcentagem de acerto dos alunos por questo.

Suponha que 52 alunos acertaram pelo menos duas questes e 8 alunos no acertaram nenhuma. O nmero de alunos que acertaram as trs questes :

a)44d)20b)40e)30c)12

30.Uma pesquisa foi realizada para tentar descobrir, do ponto de vista das mulheres, qual o perfil da parceira ideal procurada pelo homem do sc. XXI. Alguns resultados esto apresentados no quadro abaixo.

O QUE AS MULHERES PENSAM QUE OS HOMENS PREFEREM

72% das mulheres tm certeza de que os homens odeiam ir ao shopping65% pensam que os homens preferem mulheres que faam todas as tarefas da casa

No entanto, apenas 39% dos homens disseram achar a atividade insuportvelNo entanto, 84% deles disseram acreditar que as tarefas devem ser divididas entre o casal

Correio Braziliense, 29 jun. 2008 (adaptado).

Se a pesquisa foi realizada com 300 mulheres, ento a quantidade delas que acredita que os homens odeiam ir ao shopping e pensa que eles preferem que elas faam todas as tarefas da casa

a)inferior a 80. b)superior a 80 e inferior a 100. c)superior a 100 e inferior a 120. d)superior a 120 e inferior a 140. e)superior a 140.

Razo

Definimos a razo entre dois nmeros reais e , com , nessa ordem como sendo o quociente (ou . O nmero chamado de primeiro termo ou antecedente, e o nmero chamado de segundo termo ou consequente.

Observe algumas razes especiais:

1. Velocidade mdia

2. Densidade demogrfica

3. Escala numrica

4. Densidade

5. Vazo

Proporo

Dizemos que os nmeros reais e , nessa ordem, formam uma proporo se, e somente se, a razo entre e igual a razo entre e .

Onde, e so chamados de extremosee so chamados de meios.

1. Propriedades das propores

O produto do meios igual ao produto dos extremos.

A soma ou a diferena dos antecedentes est para a soma ou a diferena dos consequentes, assim como qualquer antecedente est para o seu consequente.

2. Diviso Proporcional

2.1. Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas a e b so diretamente proporcionais (ou simplesmente proporcionais) quando a razo entre os valores assumidos pela primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda grandezase mantm constante, ou seja,

Onde, k a constante de proporcionalidade.

Exemplo:

Observe que k = 10.

2.1. Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas a e b so diretamente proporcionaisquando o produtoentre os valores assumidos pela primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda grandeza se mantm constante, ou seja,

Onde, k a constante de proporcionalidade.

Exemplo:

Observe que k = 60.

Obs.: uma maneira equivalente derepresentar a expresso acima

3. Regra de trs

Chamamos de regra de trs aos problemas nos quais figura uma grandeza (incgnita) que diretamente ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. Os chamados problemas de regra trs podem ser classificados como problemas de regra de trs simples ou de regra de trs composta . No primeiro so dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra (que podem ser diretamente ou inversamente proporcionais) e deveremos ento, com o uso de uma proporo adequada, achar o segundo valor dessa segunda grandeza. J no segundo caso trataremos com mais de dois pares de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Regra Prtica

1)Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.2)Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.3)Montar a proporo e resolver a equao.

RAZO E PROPORO01.A razo entre o nmero de mdicos e de tcnicos em enfermagem em um hospital de 2 para 3. Se esse hospital possui 18 enfermeiros, o nmero de mdicos igual a

a)16. c)12.b)14. d)10.

02.Em uma empresa, a razo do nmero de empregados homens para o de mulheres 3/7. Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa :

a)30%d)70%b)43%e)75%c)50%

03.Em uma Repartio Pblica, o nmero de funcionrios do sexo masculino equivale a 5/8 do nmero total de funcionrios. A razo entre o nmero de homens e o de mulheres que trabalham nessa repartio , nessa ordem:

a)3/8b)2/5c)d)5/3e)4/5

04.Uma jarra contm uma mistura de suco de laranja com gua, na proporo de 1 para 3, e outra jarra contm uma mistura de suco de laranja com gua na proporo de 1 para 5. Misturando parte iguais dos contedos das jarras, obteremos uma mistura de suco de laranja com gua na proporo de:

a)1 para 4b)3 para 11c)5 para 19d)7 para 23e)25 para 32

05.Em uma fazenda produtora de soja duas colheitadeiras A e B so utilizadas para a colheita da produo. Quando trabalham juntas conseguem fazer toda a colheita em 72 horas. Porm, utilizando apenas a colheitadeira A, em 120 horas. Se o produtor utilizar apenas a colheitadeira B, toda a colheita ser feita em:

a)180 horasc)157 horasb)165 horasd)192 horas

06.Escala grfica, segundo Vesentini e Vlach (1996, p. 50), aquela que expressa diretamente os valores da realidade mapeada num grfico situado na parte inferior de um mapa.Nesse sentido, considerando que a escala do mapa da Itlia est representada como 1:12.000.000 e que duas cidades, A e B, nesse mapa, esto distantes, entre si, 6 cm, a distncia real entre essas cidades de:

a)72 kmb)200 kmc)720 kmd)2000 kme)7200 km

07.Um determinado trabalho feito por Joo em 9 dias, por Jos em 12 e por Pedro em 18. O nmero de dias que os trs juntos gastariam para executar esse trabalho :

a)4b)6c)7d)8

08.Uma urna contm 12 bolas brancas e 18 bolas vermelhas. Quantas bolas brancas devem ser acrescentadas para que a proporo de bolas brancas, com relao ao total de bolas na urna, passe a ser de 1 para 2?

a)3d)6b)4e)7c)5

09.A razo entre o nmero de homens e de mulheres, funcionrios da firma W, 3/5. Sendo N o nmero total de funcionrios (nmero de homens mais o nmero de mulheres), um possvel valor para N :

a)46b)49c)50 d)54e)56

10.Um automvel flex pode utilizar lcool ou gasolina como combustvel. Suponha que um automvel flex que faz, em mdia, 12 km por litro de gasolina e 9 km por litro de lcool, utilizou quantidades iguais de lcool e de gasolina para percorrer 420 km. Ao todo, quantos litros de combustvel esse automvel utilizou?

a)18b)20c)28 d)36e)40

DIVISO PROPORCIONAL11.Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma data fixa, e Y representamedies feitas em laboratrio, nesses dias, para estudo de um fenmeno.

De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas so:

a)diretamente proporcionais e relacionadas por uma funo quadrtica.b)inversamente proporcionais e relacionadas por uma funo linear.c)diretamente proporcionais e relacionadas por uma funo linear.d)inversamente proporcionais e relacionadas por uma funo quadrtica.

12.Considere os dados apresentados na tabela a seguir, obtidos pelo movimento de um automvel que se desloca em linha reta ao longo de uma rodovia.

A distncia (d), percorrida pelo automvel, partindo do repouso, diretamente proporcional ao quadrado do tempo (t). Considerando-se os valores dados na tabela em questo, o valor de x+y :

a)47c)117b)107d)97

13.Os prefeitos das cidades A, B e C desejam construir uma ponte sobre um rio que passa pelos trs municpios.O custo dessa obra foi orado em R$ 576.000,00 e ser dividido em partes diretamente proporcionais s distncias que a separa de cada uma das cidades.

Se o local da construo dista 6km de A, 12km de B e 18km de C, ento a prefeitura de B ter um gasto de:

a)R$ 288 000,00b)R$ 192 000,00c)R$ 144 000,00d)R$ 96 000,00

14.Uma herana de R$ 40.000,00 ser dividida entre trs irmos A, B e C, em partes proporcionais s suas idades 5, 8 e 12, respectivamente. A quantia que B ir receber

a)R$ 19.200,00b)R$ 12.800,00c)R$ 8.000,00d)R$ 5.000,00

15.Marcos, Ktia, Srgio e Ana foram jantar em uma pizzaria e pediram duas pizzas gigantes, que, cortadas, resultaram em 16 fatias. Marcos e Srgio comeram quatro fatias cada, enquanto Ktia e Ana comeram trs cada uma. Se o preo de cada pizza era de R$ 21,00 e a conta do jantar foi dividida proporcionalmente quantidade de fatias que cada um consumiu, o valor pago por cada homem e cada mulher foi, respectivamente,

a)R$ 6,00 e R$ 4,50.b)R$ 12,00 e R$ 9,00.c)R$ 10,50 e R$ 7,90.d)R$ 24,00 e R$ 18,00.

16.Mrio e Jos so dois funcionrios de uma pequena loja de roupas. No ms de maro do ano de 2010, a gerncias da loja decidiu dividir um bnus de R$ 160,00 entre os dois funcionrios, de tal forma que cada um recebeu um valor inversamente proporcional ao nmero de faltas naquele ms. Em maro de 2010, Maria faltou trs vezes e Jos, duas. Na diviso do bnus, a parte que Jos recebeu foi de:

a)R$ 75,00.b)R$ 64,00.c)R$ 85,00.d)R$ 96,00.

17.Uma cidade tem ao todo 42 vereadores. A diviso do nmero de vereadores na Assembleia proporcional ao nmero de votos obtidos por cada partido. Em uma eleio na referida cidade, concorreram apenas os partidos A, B e C. O quadro abaixo mostra o resultado da eleio. Quantos vereadores fez o partido B?

a)6b)8c)12d)18e)24

18.165 balas foram distribudas entre trs irmos, cujas idades, somadas, totalizam 33 anos. Sabendo-se que a distribuio foi diretamente proporcional idade de cada um; e que o mais moo recebeu 40 balas e o do meio, 50. Calcular suas idades.

a) 13 e 14b)9 e 17c)12 e 18d)11 e 6e)10 e 8

19.Dois scios constituram uma empresa com capitais iguais, sendo que o primeiro fundou a empresa e o segundo foi admitido 4 meses depois. No fim de um ano de atividades, a empresa apresentou um lucro de R$ 20 000,00. Eles receberam, respectivamente,

a)R$ 10 500,00 e R$ 9 500,00b)R$ 12 000,00 e R$ 8 000,00c)R$ 13 800,00 e R$ 6 200,00d)R$ 15 000,00 e R$ 5 000,00e)R$ 16 000,00 e R$ 4 000,00

20.Dois auxiliares deveriam instalar 56 aparelhos telefnicos em uma empresa e resolveram dividir essa tarefa entre si, em partes diretamente proporcionais as suas respectivas idades. Se um tem 21 anos e o outro tem 28, o nmero de aparelhos que coube ao mais velho foi:

a)24b)26c)28d)30e)32

REGRA DE TRS SIMPLES E COMPOSTA

21.Marque (D) se as grandezas forem diretamente proporcionais e (I) se as grandezas forem inversamente proporcionais:

( )O nmero de mquinas funcionando e a quantidade de peas que elas produzem durante um ms.( )O nmero de operrios trabalhando e o tempo que levam para construir uma estrada de 10 km.( )A velocidade de um nibus e o tempo que ele leva para fazer uma viagem de Braslia a So Paulo.( )A quantidade de rao e o nmero de animais que podem ser alimentados com ela durante uma semana.( )O tamanho de um tanque e o tempo necessrio para ench-lo.( )O nmero de linhas por pgina e o total de pginas de um livro.( )O nmero de horas trabalhadas por dia e a quantidade de trabalho feito em uma semana.( )O nmero de horas trabalhadas por dia e o nmero de dias necessrio para fazer certo trabalho.

22.Alguns alunos resolveram criar um blog e escolheram como tema de trabalho o Bullyng, algo to comum na sociedade e, principalmente, no ambiente escolar. Aps o grande sucesso, postaram, no blog, vendas de camisetas com o tema Nada de Bullyng. Devido ao grande nmero de pedidos, os alunos encomendaram a confeco de 200 camisetas a uma fbrica da comunidade. Nessa fbrica, 6 costureiras fazem 200 camisetas em 5 dias. Com o novo pedido, a direo da fbrica precisou contratar mais 4 costureiras para confeccionar 1.000 camisetas, em X dias. O enunciado descrito um problema de Regra de Trs, onde as grandezas:

Considerando as afirmativas acima, marque a opo correta.

a)apenas II e III so verdadeiras.b)apenas I e II so verdadeiras.c)apenas I e III so verdadeiras.d)todas as afirmaes so verdadeiras.

23.30 operrios deveriam fazer um servio em 40 dias. 13 dias aps o incio das obras, 15 operrios deixaram o servio. Em quantos diasficar pronto o restante da obra?

a)53.c)56.b)54.d)58.

24.Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoo deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas j adquiridas seria suficiente para um nmero de dias igual a:

a)10.b)12.c)15.d)18.

25.Um carro consumiu 50 litros de lcool para percorrer 600 km. Supondo condies equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumir:

a)68 .

b)70 .

c)75 .

d)80 .

26.Uma ponte feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o nmero de trabalhadores for elevado para 24, o nmero de dias necessrios para a construo da mesma ponte ser:

a)100.b)128.c)80.d)60.

27.Em 3 dias, 72 000 bombons so embalados, usando-se 2 mquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fbrica usar 3 mquinas iguais s primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias sero embalados 108 000 bombons?

a)3.b)4.c)3,5.d)4,5.28.s 8 horas da manh, acertou-se um relgio que atrasa 6 minutos em 24 horas. Em quantos minutos ele estar atrasado s 18 horas do mesmo dia?

a)1,5b)2,5c)2d)3,5e)3,25

29.Em um canteiro de obras, 6 pedreiros, trabalhando 12 horas por dia, levam 9 dias para fazer uma certa tarefa. Considerando-se que todos os pedreiros tm a mesma capacidade de trabalho e que esta capacidade a mesma todos os dias, quantos pedreiros fariam a mesma tarefa, trabalhando 9 horas por dia, durante 18 dias?

a)4b)5c)6d)8e)9

30.Doze fbricas, trabalhando 8 horas por dia, liberam 800 m de gases em 15 dias. Quantas fbricas, trabalhando 7 horas e 12 minutos por dia, durante 10 dias, liberaro 600 m de gases?

a)16b)18c)14d)17e)15

31.Se 52 operrios gastam 6 dias de 10 h oras para escavar 30 metros de um canal, quantos dias de 8 horas sero necessrios para que 39 operrios, duas vezes mais ativos do que os primeiros cavem 60 metros, de um outro canal sendo as dificuldades dos trabalhos, respectivamente proporcionais a 5 e 6.

a)16b)15c)14d)12e)10

32.Para fazer 22 pes, um padeiro utiliza 1 quilo de farinha de trigo, 7 ovos e 200 gramas de manteiga. O maior nmero de pes que ele conseguir fazer com 13 quilos de farinha, 56 ovos e 4 quilos de manteiga

a)160b)176c)216d)228

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