APOSTILA DE NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2

7/28/2019 APOSTILA DE NIVELAMENTO MATEMTICA 2

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APOSTILA DE IVELAMETOMATEMTICA BSICAGustavo A. de Miranda1 Faculdade das Amricas

Introduo

A Matemtica , geralmente, considerada como uma cincia parte, desligada

da realidade, vivendo na penumbra do gabinete, num gabinete fechado, em que noentram rudos do mundo exterior, nem o Sol, nem os clamores dos homens. Isso s em

parte verdadeiro (Bento de Jesus Caraa, 1901 1948).

De fato, as palavras de Caraa reproduzem o sentimento geral que os alunosdesenvolvem quando estudam matemtica no ensino fundamental, mdio ou mesmo nauniversidade. E isso, naturalmente, no sem razo.

O objetivo desta apostila, porm, mostrar como tantos autores j fizeram emoutros textos que muitos tpicos matemticos fogem dessa definio e esto presentesna maioria das atividades cotidianas, embora muitas vezes de forma indireta. Com esseintuito, este material foi organizado de modo a contemplar alguns dos principaiscontedos de um curso de matemtica bsica para estudantes universitrios. A ideia

fornecer um guia de reviso rpida e um apoio, sobretudo para os que no esto emcursos da rea de exatas.

1 E-Mail: [email protected]


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Apostila de ivelamento Prof. Gustavo A. de Miranda FAM - 2

UIDADE 1 - COJUTOS Noes preliminares

A noo de conjunto, em matemtica, est diretamente relacionada noo deagrupamento, coleo, classe ou classificao de dados.

Os objetos que compem um determinado agrupamento so chamados deelementos e so eles que determinam as caractersticas do conjunto. Assim, apenas paradar um exemplo, podemos considerar os torcedores do time do Palmeiras comoelementos que constituem um agrupamento especfico, o Conjunto dos Palmeirenses.Os elementos que fazem parte de tal conjunto possuem pelo menos uma caractersticaem comum: torcer pelo Palmeiras.

Obs.: por conveno, conjuntos so simbolizados com letras maisculas; elementos, porsua vez, com letras minsculas.

Principais smbolos

- Pertence (Ex.: o nmero 2 P, sendo P o conjunto dos nmeros pares)

- No pertence (Ex.: 3 P)

- Unio (Ex.: )(reaisRacionaissIrracionai = )

- Interseco (Ex.: A={1, 2, 3} e B={2, 4, 6}, ento AB={2})

- Conjunto vazio

Representaes

Os conjuntos podem ser representados de vrias maneiras. As mais usuais so asrepresentaes por enumerao, por propriedade e por diagrama.

-Enumerao: consiste em escrever, entre chaves, os elementos do conjunto.

Ex.: Os nmeros mpares positivos menores que 10: I={1, 3, 5, 7, 9}

-Propriedade: consiste em escrever os elementos do conjunto com base em umapropriedade, uma frase matemtica.

Ex.: O mesmo conjunto acima: I={x | x impar e 91 x }

-Diagrama: consiste em representar o conjunto de forma grfica, da seguinte forma.

Ex.: O mesmo conjunto:

I 1 3

5 7 9

Obs.: essa ltima representao , tambm, chamada de diagrama de Venn.

Igualdade

Dois conjuntos, A e B, so iguais quando tm os mesmo elementos. A ordemdos elementos no precisa ser, necessariamente, a mesma. Assim, podemos dizer que


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A={1, 3, 5} e B={3, 1, 5} so conjuntos iguais. Da mesma forma, podemos afirmar queos conjuntos A={x | x Z e 0x } e B={0, 1, 2, 3, 4,...} so iguais.

Subconjuntos

Se A e B so conjuntos, pode ocorrer que todos os elementos de A sejam,

tambm, elementos de B. Nesse caso, podemos afirmar que o conjunto A subconjuntode B ou que A parte de B. Matematicamente, escrevemos que:

BA (ou seja, A est contido em B)

Partindo desse princpio, podemos afirmar, portanto, que os moradores da cidadede So Paulo so, por exemplo, uma parte dos moradores do Brasil. Ou, dito de outraforma, os moradores de So Paulo so um subconjunto dos moradores do Brasil.Graficamente, podemos representar da seguinte maneira:

BRASIL

SP

Operaes com conjuntos

possvel realizar operaes com conjuntos e com elementos de conjuntos.Veremos abaixo trs operaes bastante comuns entre conjuntos.

-Unio: se A e B so dois conjuntos quaisquer, a unio o conjunto dos elementos quepertencem a A ou a B.

Ex.: Sejam A={1, 2, 3, 4} e B={2, 4, 6, 8}

Logo, BA ={1, 2, 3, 4, 6, 8}

-Interseco: se A e B so dois conjuntos quaisquer, ento sua interseco o conjuntodos elementos que pertencemsimultaneamente a A e a B.

Ex.: Nos conjuntos acima, BA ={2, 4}

-Diferena: a diferena A B o conjunto dos elementos de A que no pertencem a B.

Ex.: Usando o mesmo exemplo, A B={1, 3}

Obs.:Na operao da diferena a comutativa no vlida. Portanto, B A no teria omesmo resultado de A B. Ou seja, B A={6, 8}.

Propriedade da unio

Levando em conta dois conjuntos J={a, b, c, d} e K={a, c, e, g}, cada um com 4elementos, temos que KJ ={a, b, c, d, e, g}. Ou seja, possvel notar que a unio dosdois conjuntos nos d um total de 6 elementos, o que contradiz nossa intuio mais


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imediata que sugere um total de 8 elementos (j que cada conjunto tem 4 elementos).Essa aparente contradio, porm, ocorre apenas porque dois elementos (a, c) socomuns aos dois conjuntos. Assim, podemos enunciar a seguinte propriedade:

)()()()( KJnKnJnKJn +=

Isto : a quantidade de elementos da unio de J com K igual quantidade de

elementos de J, mais a quantidade de elementos de K, menos a quantidade de elementosda interseco de J com K. Numericamente,

244)( +=KJn

6)( KJn

Exerccios resolvidos

A) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam matemtica, 210 estudam fsica e 90estudam as duas matrias. Pergunta-se:

1- Quantos estudam apenas matemtica?Resposta: o problema nos diz que 90 alunos estudam as duas matrias. Logo, dentre os350 alunos que estudam matemtica, 90 estudam tambm fsica. Isso significa que, paratermos o nmero exato de alunos que s estudam matemtica, devemos efetuar oseguinte clculo: 350 90. Ou seja, 270 alunos estudam apenas matemtica.

2- Quantos estudam apenas fsica?Resposta: se usarmos o mesmo raciocnio da questo anterior, ento conclumos que,

para saber quantos estudam apenas fsica, devemos efetuar o seguinte clculo: 210 90.Ou seja, 120 alunos estudam apenas fsica.

Sugesto: tente responder, agora, (3) quantos alunos estudam matemtica ou fsica e (4)quantos no estudam nenhuma das duas matrias.

Respostas: (3) 470; (4) 160

B)Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B.O produto B usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmotempo. Quantas pessoas utilizam o produto A?

Resposta: separando os dados, temos:

800)( =Bn ; 320)( =BAn ; 2000)( =BAn

Podemos fazer a aplicao direta da propriedade da unio:

)()()()( BAnBnAnBAn +=

320800)(2000 += An

Temos, ento, que: 1520)( =An

Exerccio proposto: Numa outra pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas,100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 no liam nenhumdos dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas? (Resp: 340).


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UIDADE 2 - COJUTOS UMRICOS

Seguindo o mesmo conceito de conjunto definido anteriormente, podemosorganizar os nmeros, separados por caractersticas, em conjuntos numricos.

Conjunto dos nmeros naturais

Nmeros naturais, como o prprio nome sugere, so nmeros utilizados nacontagem de elementos, nmeros positivos, inteiros, representados da seguinte forma:

={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Obs.: h algumas discusses sobre considerar o ZERO como nmero natural. Algunsautores, conforme as definies que usam, costumam exclu-lo dos naturais. Outros,acabam incluindo por conveno. No creio que tal discusso seja significativa para oescopo deste trabalho, ainda que em outros livros isso possa ocorrer.

As operaes bsicas com nmeros naturais so, em geral, simples. Eis algunsexemplos com nmeros naturais:

21813=+

171532 =

20102 =

254100 = , etc.

Conjunto dos nmeros inteiros

Esse conjunto formado pelos nmeros naturais e tambm por seus simtricos.Dois nmeros so simtricos quando sua soma zero.

={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

As operaes bsicas com nmeros inteiros tambm so simples. Porm, nesseconjunto j necessrio ficar atento s regras de sinais, tanto na soma-subtrao comona multiplicao-diviso. Eis alguns exemplos:

4)13(9 =+

352015 =

1052 =

25)10(250 = , etc.

Obs.: Em geral, na soma-subtrao conserva-se o sinal do maior nmero (em valorabsoluto). Exemplo: 203010 =+ . Na multiplicao-diviso, teremos resultado

positivo quando os sinais dos nmeros forem iguais (s + ou s -). Se os sinais foremdiferentes, o resultado ser negativo, independentemente da ordem.

Conjunto dos nmeros racionais

Nmero racional aquele que pode ser representado por meio de um quocientede dois nmeros inteiros ( Z ). Ou seja, nmero racional todo nmero que pode serescrito da seguinte forma:


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= 0,,| bZbZab

aQ

Mas cuidado: nem sempre os nmeros racionais esto escritos nessa forma. Porexemplo, o nmero 2 um nmero racional, pois pode ser escrito na forma acima (dediversas maneiras, alis):

etc,24,

4080,

510,

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Esses quocientes podem ser chamados de equivalentes, j que fcil perceberque, embora os nmeros sejam diferentes, todos eles representam o valor 2. No entanto,um nmero racional tambm pode estar escrito na forma decimal (decimais exatos oudecimais no exatos e peridicos). Por exemplo, o nmero 1,5 um nmero racional,

pois tambm pode ser escrito da seguinte maneira:

etc,6

9,

4

6,

2

3

Com base nisso, podemos concluir que os racionais englobam os dois conjuntos

anteriores: os naturais e os inteiros (alm das fraes que no podem ser representadasnesses conjuntos). Portanto, QZ .

As operaes bsicas nos racionais merecem alguma considerao. Isso porque,na forma fracionria, nem sempre essas operaes so triviais. Mas comecemos com umcaso simples. Por exemplo, qual a soma dos nmeros abaixo?

?2

1

2

1=+

Vamos lembrar: quando temos fraes com denominadores (os nmeros debaixo) iguais, a soma ou subtrao consistir em repetir o denominador e operar(somar ou subtrair) os numeradores (os nmeros de cima). Assim,

12

2

2

1

2

1==+ ou 0

2

0

2

1

2

1==

Mas como resolver a conta ?3

1

2

1+

Como os dois nmeros que esto nos denominadores so primos, bastamultiplic-los entre si para obter o mnimo mltiplo comum, valor que ocupar a partede baixo do resultado que estamos procurando.

ota explicativa

meros primos: so nmeros que s tm diviso exata (s so divisveis) por eles

mesmos e por 1. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... so todos primos.

Mnimo mltiplo comum: dados dois nmeros a eb, o m.m.c. o menor inteiro positivomltiplo simultaneamente de a e de b. Exemplo: o m.m.c de 5 e 10 o menor inteiro

positivo mltiplo de 5 e 10 ao mesmo tempo. Como os mltiplos de 5 so {..., 5, 10, 15,

20, 25, 30,...} e os de 10 so {..., 10, 20, 30, 40, 50, 60,...}, o m.m.c.(5, 10)=10.

Logo, temos:6

5

6

23

3

1

2

1=

+=+


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A multiplicao nos racionais trivial, pois pode ser resumida da seguinteforma: multiplicar numeradores com numeradores e denominadores comdenominadores. Isso significa que:

6

5

12

10

4

5

3

2=

12020

21

1020 = , etc.

A diviso, porm, deve ser efetuada com base no seguinte mtodo: conserva-sea primeira frao e multiplica-se pelo inverso da segunda. Exemplificando:

20

21

40

42

5

6

8

7

6

5

8

7==

9

8

3

4

3

2

4

3

3

2==

Conjunto dos nmeros irracionaisNmeros irracionais so aqueles que no podem ser escritos na forma

fracionria, como quociente, diferentemente dos racionais. Em geral, esses nmeros sorepresentados na forma decimal no exata, sem repeties em suas casas decimais (noso dzimas peridicas), como os nmeros abaixo:

...1415926,3=

...4142135,12 =

...7320508,13 = , etc.

Nenhum dos nmeros acima pode ser escrito na forma fracionria. E importante notar que os nmeros irracionais possuem sempre casas decimais aleatriasque no podem ser previstas como em dzimas peridicas.

Curiosidade: como provar que 2 um nmero irracional?

Suponhamos, por absurdo, que 2 racional.

Ento, podemos escrever que:b

a=2 , sendo a eb primos entre si.

Elevando ambos os membros ao quadrado: 2

2

2b

a= , o que nos d: 222 ab =

a ltima frase, conclumos que a par. Logo, podemos afirmar que ka 2= (a formade um nmero par sempre a multiplicao de um inteiro por 2).

Ento, 2222 42)2(2 kbkb ==

Da ltima frase acima, conclumos que: 22 2kb = , mostrando que b tambm umnmero par, o que contradiz nossa hiptese inicial (a eb so primos).

Logo, 2 um nmero irracional.


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Conjunto dos nmeros reais

A unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmerosirracionais nos leva, automaticamente, definio de um novo conjunto: os nmerosreais. Esse conjunto pode ser entendido como uma expanso do conjunto dos nmerosracionais. Nos reais, esto representados no s os naturais, os inteiros e os racionaiscomo, tambm, os irracionais.

Ou seja:

Q I

Z N R

As operaes dos nmeros reais podem ser definidas a partir de algumaspropriedades simples.

a adio:

A1- Associativa: cbacba ++=++ )()(

A2- Comutativa: abba +=+

A3- Elemento neutro da adio: aaa =+=+ 00

A4- Oposto: 0)( =+ aa (elemento neutro)

a multiplicao:

M1- Associativa: cbacba = )()(

M2- Comutativa: cbba =

M3- Elemento neutro da multiplicao: aaa == 11

M4- Inverso: 11=

aa (elemento neutro)

Observao - Adotam-se as seguintes convenes:- O sinal *(asterisco) elimina o nmero zero de um conjunto;

- O sinal +(mais) elimina os nmeros negativos de um conjunto;

- O sinal (menos) elimina os nmeros positivos de um conjunto.


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Exerccios propostos

1- Complete com V(Verdadeiro) ou F(Falso)

a) +Z o conjuntos dos nmeros inteiros positivos ( )

b) Z o conjunto dos nmeros inteiros negativos ( )

c) QZ , ou seja, todo nmero inteiro racional ( )

d) Q...341341,0 ( )

2- Calcule o m.m.c. de 54 e 64.

3- Faa um breve resumo sobre nmeros naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.Procure destacar as relaes e a complementaridade desses conjuntos.


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UIDADE 3 POTECIAO

Potenciao potncia de expoente natural

Todas as vezes que lidamos com o conceito de simbolizar um nmero comoproduto de n fatores iguais, estamos usando direta ou indiretamente a ideia de

potenciao. Em outros termos, dados um nmero real a e um nmero natural 1>n ,chama-se potncia ensima de a , e indica-se por na , o produto:

43421

fatoresn

naaaaa = ...

Logo, podemos ilustrar o exposto acima com os seguintes exemplos:

322222225 ==

12555553 ==

2985984121212121212126 ==

Por conveno, adotaremos dois casos que foram excludos da definioanterior, mas que podem aparecer em alguns problemas:

aa =1 e 10 =a

Potncia de expoente inteiro

Antes de ilustrar esse caso, preciso deixar claro que, se o expoente da potnciafor inteiro e no negativo, estaremos automaticamente no caso anterior (de potnciacom expoente natural). No entanto, caso o expoente seja inteiro e negativo, e a baseno nula, podemos enunciar a seguinte propriedade:

n

n

aa

1=

Exemplificando, isso significa que:

5,02

1

2

12

11 ===

0625,016

1

4

14 2

2 ===

125,0

8

1

8

1

2

1)2(

33 ==

=

=

Com base nessas definies, podemos enunciar algumas propriedadesoperatrias das potncias, que podem facilitar o trabalho com expoentes.

1- Produto de potncias de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes.Em smbolos matemticos, escrevemos isso da seguinte maneira:


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nmnm aaa+=

Podemos verificar essa propriedade com exemplos numricos. Assim, fcilperceber, por exemplo, que 53232 2222 == + , pois 3284 = . Mas, cuidado: isso svale quando as bases so iguais.

2- Diviso de potncias de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se osexpoentes. Em notao matemtica:

nm

n

m

aa

a =

Para exemplificar, podemos tomar a seguinte situao:

...1111,09

1

3

133

3

32

2535

3

=====

Pois: ...1111,09

1

81

9

243

27===

3- Potncia de um produto: distribui-se o expoente para os fatores e multiplicam-se aspotncias assim obtidas. Em simbologia matemtica:

nnn baba = )(

Alguns exemplos numricos:

10025452)52( 222 ===

1728642743)43( 333 ===

4- Potncia de base fracionria e expoente negativo: inverte-se a base e troca-se osinal do expoente. Ou seja,

nn

a

b

b

a

=

Numericamente, podemos verificar a propriedade:

( ) ( ) ...66,0...66,0...66,05,1

1...66,05,1

3

2

2

3 1111

===

=

Exerccios propostos

1- Assinale V ou F nas seguintes proposies e justifique sua resposta.

a) 60203 222 = ( ) c) ( ) 2442 33 = ( )

b) 52

10

55

5= ( ) d)

2

3

3

21

=

( )


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2- Calcule

a)2

3

1

b) 3)2( c) 14

5

3- Utilizando as propriedades, simplifique a expresso:

a)( )

2

45

)(

)(

cba

caba

(Resp: 237 cba )

Potncia de expoente racional

Dos casos estudados anteriormente, necessrio ainda destacar que os expoentesde uma potncia podem assumir valores racionais, ou seja, em algumas situaes eles

podem ser representados como frao, de acordo com os exemplos:

.;2;16;8;25 31

25,032

21

etc

Todas as propriedades enunciadas para expoentes naturais ou inteiros continuamvlidas para expoentes racionais. Veremos na prxima unidade que relaes podemostraar entre esse tipo de potncia e a radiciao.


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UIDADE 4 RADICIAO

Antes de traarmos algumas relaes entre a potenciao e a radiciao, porm,

vamos definir o smbolo n a , sendo a um nmero real qualquer e n um nmero

natural maior que 1. Dizemos que n a a raiz ensima de a (o nmero a o

radicando, o nmero n o ndice da raiz e o smbolo o radical).

Matematicamente, podemos definir a operao, de modo simplificado, assim:

n a o nmero real b tal que abn =

Numericamente, podemos enunciar alguns casos simples:

525 = , pois podemos perceber que 2552 =

283 = , pois verificamos que 823 =

1,0001,03 = , pois fcil perceber que 001,01,0 3 =

2164 = , pois vemos que 1624 =

Observao:

No caso em que 0


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n mn

m

aa =

Isso significa que qualquer nmero escrito dentro do radical pode, tambm, serescrito sem a notao do radical. Em outros termos: todo nmero escrito em forma deraiz pode ser escrito tambm na forma de potenciao.

Exemplos:

5252525 5,021

===

4888 ...66,032

3 2 ===

2161616 25,041

4 ===

Observao:

possvel simplificar o radicando (o nmero dentro da raiz) por meio de potncias, da

seguinte forma. Exemplo: 23 2228 == . Na ltima expresso, podemos cancelaro expoente de 22 com o ndice do radical, que tambm 2. Portanto, ficamos com

22 . O cancelamento gera o valor 2 do lado de fora do radical.

Exerccios propostos ou resolvidos:

1- Assinale V ou F, justificando sua resposta.

a) 113 = ( )

b) 3)3( 2 = ( )

c) R16 ( )

2- Com base na observao acima, simplifique as expresses.

a) 27 c) 182

b) 1472712 +

Resoluo da letra b:

Tentaremos escrever os radicandos 12, 27 e 147 de outra forma, tentando deixar aspotncias de expoente 2 visveis, para serem simplificadas com os ndices dos radicais(todos so 2). Como 3212 2 = , 3327 2 = e 37147 2 = , reescrevemos o exerccio:

373332373332 222 ++

Finalmente, somando e subtraindo os valores que esto fora do radical, temos: 32 .


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UIDADE 5 PRODUTOS OTVEIS E EXPRESSES ALGBRICAS

Nas ltimas unidades, trabalhamos o conceito de potenciao e mostramos queo expoente n de uma base significa que essa mesma base est sendo multiplicada n vezes. No entanto, quando temos expresses mais complexas escritas em forma de

potncia, como expresses algbricas, usamos algumas regras especficas.

1- Quadrado da soma

Por exemplo, considere a expresso: 2)( ba + .

Se levarmos em conta, de acordo com as definies dadas na unidade sobrepotenciao, que a expresso acima significa ))(( baba ++ , podemos desenvolver essa

expresso da seguinte forma: 22 bbaaba +++ (basta multiplicar cada termo do primeiroparntese por cada termo do segundo). Sabendo que os termos semelhantes dessaexpresso devem ser agrupados, independentemente da ordem em que aparecem (casodo ab e ba na expresso), teremos:

222

2)( bababa++=+

Esse ltimo resultado que encontramos chamado de quadrado da soma. E a

regra a seguinte: o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto doprimeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Alguns exemplos:

4914772)7( 2222 ++=++=+ xxxxx

91243322)2()32( 2222 ++=++=+ xxxxx

2- Quadrado da diferena

Naturalmente, podemos considerar tambm a expresso: 2)( ba .

Nesse caso, se aplicamos o mesmo desenvolvimento feito acima, observamosque 22))(( bbaabababa += , o que nos leva (agrupando os termos semelhantes

ab e ba ) ao seguinte resultado:

222 2)( bababa +=

Esse resultado chamado de quadrado da diferena. E a regra : o quadradodo primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o

quadrado do segundo termo.

3- Produto da soma pela diferena

Merece destaque tambm a seguinte expresso: ))(( baba + .

Assim como nos casos anteriores, podemos aplicar a propriedade distributiva edesenvolver a expresso termo a termo, da seguinte forma:

22))(( bbaabababa +=+ , o que nos leva a 22 ba . Ou seja:

22))(( bababa =+


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Essa ltima expresso chamada de produto da soma pela diferena, sendo aregra: o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Alguns exemplos:

497)7)(7( 222 ==+ xxxx

943)2()32)(32(

222 ==+xxxx

Exerccios propostos ou resolvidos:

1- Com base no apresentado acima, desenvolva as expresses:

a) 2)13( +x c) 2)( aa

b) 2)1

(x

x +

2- Desenvolver a expresso2

)( cba ++ Soluo:

Para no precisar enunciar mais uma regra de produto notvel, aplicaremos nesse caso apropriedade distributiva:

222))(( ccbcabcbbaacabacbacba ++++++++=++++

Somando os termos semelhantes e ordenando-os, temos:

acbcabcbacba 222)( 2222 +++++=++

3- Se ba

a =+ 1 , determine 22 1

aa + em funo de b .

Resposta: 22 b

4- Demonstre a seguinte identidade: 32233 33)( babbaaba +++=+

Soluo:

Lembrando que )()()( 23 bababa ++=+ , temos ento que:

32222322 22)()2( bababbabaabababa +++++=+++

Organizando os termos e agrupando os semelhantes, ficamos com:32233 33)( babbaaba +++=+

5- Com base no desenvolvimento anterior, calcule agora qual seria a expressoalgbrica para 3)( ba .


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Expresses algbricas

Faamos uma breve reviso: expresses algbricas so frases matemticas queapresentam letras e podem conter nmeros. Em geral, podemos representar uma srie deeventos do cotidiano de forma algbrica. Por exemplo, se vamos comprar 4 sorvetes e 2refrigerantes na padaria, podemos esperar que o total a pagar seja rs 24 + . Ou seja, 4vezes o preo do sorvete (admitindo que tenham todos o mesmo preo), mais 2 vezes o

preo do refrigerante. As letras nessas expresses so chamadas de variveis.

Essa expresso ( rs 24 + ) um exemplo de expresso literal. O intuito nemsempre dar valores numricos s variveis, mas desenvolver a expresso com base nasoperaes e regras matemticas bsicas. Contudo, s possvel desenvolveradequadamente tais expresses se observarmos alguns detalhes.

1- Prioridade das operaes

No desenvolvimento de uma expresso literal, as operaes que esto entreparnteses devem ser desenvolvidas primeiro; logo depois, trabalhamos as expressesentre colchetes e, por ltimo, aquelas que esto escritas entre chaves. Tambm devemos

lembrar que as operaes mais comuns podem ser hierarquizadas da seguinte maneira:potenciao e radiciao, multiplicao e diviso, soma e subtrao. Isso significa que oexemplo abaixo deve ser resolvido da seguinte forma:

( ) }37{]510[24 yxxyxytt ++

( ) }37{]510[6 yxxyxyt +

}37{]5[6 yxxyt +

}21{56 xyxyt +

xyxyt 2156 +

xyt 166 +

Convm observar que esse sistema de resoluo est mais relacionado com aorganizao da expresso que com as operaes desenvolvidas. Mas no podemosesquecer: s devemos agrupar termos considerados semelhantes. Ou seja, tt 24 + sotermos semelhantes, pois ambos tm a mesma parte literal ( t). Portanto, podemos dizerque o resultado dessa operao t6 . Se a expresso fosse yt 24 + , partes literaisdiferentes, os termos no poderiam ser agrupados.

Valor numrico de uma expresso algbrica

Se atribuirmos valores s variveis de uma expresso algbrica, poderemos

estabelecer um valor numrico no desenvolvimento das operaes. Por exemplo,considere a expresso 352 2 + mm , supondo que 2=m . Temos ento que:

13108325423)2(5)2(2 2 =+++

O que fizemos foi substituir a letra m pelo valor 2. Desse modo, obedecendo sregras das operaes, chegamos concluso de que, para 2=m , a expresso vale 1.

Observao: letras com expoentes diferentes no so termos semelhantes.


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Exerccios propostos:

1- Desenvolva as expresses abaixo:

a) )38(52 23 sstys +

b) xxx31

32 ++

c) baabaaba +++ )(22

2- Calcule o valor numrico das expresses algbricas

a) 545 +xx ,para 1=x

b) 7965 32 + baab , para 0=a e 1=b

c) A demanda (D) de certo produto dada pela frmula D = 4000 50P, em que P o

preo da mercadoria. Determinar a demanda para P = R$ 60,00 e P = R$ 40,00.


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UIDADE 6 EQUAO DO 1 GRAU

Antes de definirmos formalmente o que uma equao do 1 grau,consideremos o seguinte exemplo. Suponha que algum lhe diga que foi aosupermercado comprar 10 unidades de uma mercadoria e gastou R$ 100,00. Com essasduas informaes poderamos logo deduzir que a mercadoria comprada custava R$10,00. E, matematicamente, representaramos essa situao escrevendo algo como:

10010 =x

Ou seja, 10 vezes o preo da mercadoria (x ) igual a R$ 100,00.

Pois exatamente essa a forma geral da equao do 1 grau! Genericamente,podemos dizer que ela sempre tem uma parte literal e uma parte numrica.

0=+ bxa

O objetivo encontrar o valor de x que satisfaz a sentena matemtica. No

nosso exemplo inicial, o valor que verifica a sentena 10=

x .

Exemplos de equao do 1 grau

1) 082 =x

2) 10255 =+x

3) xx 31049 =

Processo geral de resoluo

Em geral, o processo que permite encontrar o valor de x que satisfaz umaequao (chamamos tal valor de raiz da equao) pode ser sintetizado em trs etapas:

a) Isolar os termos que contm x de um lado da igualdade e os demais do outro,atentando para a inverso de operao dos termos quando trocam de lado;

b) Agrupar os termos semelhantes;

c) Isolar apenas a varivel x de um lado, atentando novamente para a inverso deoperao dos nmeros que trocarem de lado.

Exemplo 1: Resolver a equao 3273 += xx

Podemos resolver essa equao escolhendo, primeiramente, um dos lados (o

primeiro, por exemplo) para deixar os termos que contm x. Do outro lado ( direitado smbolo de igual) deixamos apenas os nmeros.

7323 +=+ xx

o esquecer: os sinais da expresso x2 e do valor 7 so trocados em virtudeda mudana de lado. Como eram negativos, tornam-se positivos. Agrupando, temos:

105 =x

Temos o valor 5 multiplicando a varivel x. Portanto:


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5

10=x

Logo, 2=x

Ou seja, o valor 5 que estava multiplicando no lado esquerdo passou para ooutro lado da igualdade dividindo. Assim, podemos dizer que o valor 2 a raiz da

equao do 1 grau 3273 += xx .No difcil perceber que isso verdade. Basta substituir na equao original o

valor encontrado (2). A vemos que: 3)2(27)2(3 += . Efetuando asmultiplicaes, encontramos que 3476 += . Logo, 11 = , o que verifica aigualdade (de fato, os dois valores so iguais).

Exemplo 2: Resolver a equao 31)14(3)1(4 =++ xx

Aplicando a propriedade distributiva, temos: 3131244 =++ xx

Separando os termos: 3431124 +=+ xx

Agrupando: 3216 =x

Logo, 216

32=x

Novamente, percebemos que o valor 2 verifica a sentena inicial.

Exemplo 3: Resolver a equao 23=+

xx

Observao inicial: equaes do 1 grau podem ter elementos racionais, em forma defrao, na parte numrica ou literal. Nesse caso, tiramos o M.M.C. de 1 e 3:

23

3=

+xx

Trocando o valor 3 de lado (multiplicando), ficamos com:

323 =+xx

2

3

4

664 == xx

Exerccios propostos

1- Resolva as equaes abaixoa) xxx =++ )3(423 e) xx =1

b)35

4

3

12 xxx=+

f)

5

1

2

3=

x

c) )1(7)4(3 xxxx =

d) 0102 =x


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2- Determine o nmero real tal que sua metade menos a quinta parte seja igual a -6.

3- Faa a substituio das razes encontradas nas letras a, b, c e d (do primeiroexerccio) nas equaes originais, para checar se o resultado est correto. Siga o mtodo

utilizado na verificao do exemplo 1 desta unidade.


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UIDADE 7 EQUAO DO 2 GRAU

Uma equao de 2 grau quando tem a seguinte forma:

02 =++ cbxax

As letras a, b e c so chamadas de coeficientes e, em geral, assumem valoresnumricos. Portanto, podemos dizer que os exemplos abaixo so de 2 grau:

1- 0543 2 =+ xx

2- 052 =+ xx

3- 092 2 =x

Visualmente, devemos perceber que a nica coisa que difere uma equao do 2grau de uma do 1 grau o termo 2x . Porm, conceitualmente, essa no a nicadiferena. verdade que o objetivo o mesmo: descobrir que valores devemos colocarna varivel x para que a sentena torne-se verdadeira. No entanto, os processos deresoluo utilizados para isso podem ser variados.

Resoluo das equaes incompletas

Equaes incompletas so as que no possuem os coeficientes b e / ou c daforma geral. Ou seja, das trs equaes que demos como exemplo acima, duas soconsideradas incompletas (as equaes 2 e 3). Na equao 2, o coeficientefaltante o c; na equao 3, o coeficiente faltante o b. Mas, naturalmente, podeocorrer de ambos no estarem representados na equao. Quando isso acontece,dizemos que 0== cb .

No entanto, quando isso ocorre, temos equaes do seguinte tipo:

1- 032

=x 2- 07 2 =x

Etc.

Esse tipo de equao pode ser facilmente resolvido. Pois a pergunta : que valordeve-se colocar no x para que o primeiro membro seja igual a zero? Sem precisarrecorrer a nenhum tipo de clculo sistemtico, conclumos rapidamente que, colocandoo valor zero no x, temos a soluo da equao. Ou seja, 003 2 = ou 007 2 = , etc. Asituao diferente quando apenas um dos coeficientes zero (o b ou o c).Recorremos a dois mtodos distintos, conforme abaixo:

1 Caso: 0=c e 0b

Nesse caso, temos equaes do seguinte tipo: 0123 2 = xx ou 0102 2 = xx ,entre outros tipos possveis. Como resolver?

A resoluo vem por evidncia. O que significa isso? Significa que tentaremosreescrever a equao evidenciando um termo comum. Como a varivel x comumaos dois termos, reescrevemos a primeira equao assim:

0)123(0123 2 == xxxx


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Nesse caso, no difcil perceber que um valor que verifica a sentena0)123( = xx o prprio zero. Pois 0)1203(0 = .

Contudo, h ainda um valor diferente de zero que verifica a sentena. Esse valorpode ser obtido por meio da resoluo da equao 123 x , que est entre parnteses.Trata-se de uma equao do 1 grau, que tem soluo 4=x . Logo, conclumos que as

razes da equao 01232

= xx so [0;4].

Exemplo: Resolver a equao 022 =+ xx

Como essa uma equao incompleta, com o coeficiente 0=c , podemos reescrever:

0)2(022 =+=+ xxxx

Novamente, uma das solues 0=x . A outra soluo vem de:

202 ==+ xx

Logo, as solues da equao 022 =+ xx so [0;-2].

2 Caso: 0=b e 0c

Nesse caso, temos equaes do seguinte tipo: 042 =x ou 123 2 +x , etc. Pararesolver esse tipo de equao, basta trocar a operao de potenciao pela radiciao, daseguinte maneira:

24404 22 ==== xxxx

Logo, tanto o valor 2 quanto o -2 so razes da equao 042 =x .

Exemplo: Resolver a equao 0502

2 =x

Temos ento: 502 2 =x

Dividindo os dois membros por 2:2

50

2

2 2=

x

Temos ento: 525252 === xxx

Logo, conclumos que [-5;5] so razes da equao 0502 2 =x .

Resoluo das equaes completas

Uma equao do 2 grau completa quando 0,0 ba e 0c . Isso significaque, das trs equaes que exemplificamos logo no incio desta unidade, apenas a

primeira pode ser considerada completa ( 0543 2 =+ xx ). Nesse caso, os coeficientesseriam 3=a , 4=b e 5=c .

A resoluo de uma equao do 2 grau completa feita por meio de umafrmula demonstrada por Bhaskara, matemtico hindu nascido em 1114. Com ela,

podemos encontrar as razes da equao da seguinte forma:


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a

acbbx

2

42 =

Os termos que esto dentro do radical ( acb 42 ) formam o discriminante daequao do 2 grau. Esse discriminante , geralmente, representado pela letra grega (delta). Temos, ento, que acb 42 = .

Exemplo 1 - 0> : Resolver a equao 0652 =+ xx

Olhando para essa equao, percebemos, de imediato, que ela no incompleta, pois1=a , 5=b e 6=c . Para resolv-la, comeamos com o clculo do discriminante:

acb 42 =

614)5( 2 =

12425 ==

Com o clculo do discriminante, podemos agora montar a frmula:

a

bx

2

=

2

15

12

1)5( =

= xx

Temos, ento, duas razes possveis:

32

6

2

15111 ==

+= xxx e 2

2

4

2

15222 ==

= xxx

Portanto, o conjunto-soluo da equao }3;2{=S

Exemplo 2 - 0= : Resolver a equao 0144 2 =+ xx ( 4=a , 4=b e 1=c )

Calculando o discriminante, temos: 01616144)4( 2 ===

Com o clculo do discriminante, podemos agora montar:

2

1

8

4

42

0)4(

2==

=

= xxx

a

bx ou 5,0=x

Nesse caso, dizemos que 5,021 ==xx . Ou seja, a equao possui duas razes reais

iguais (em alguns livros, esse resultado chamado de raiz dupla).

Exemplo 3 - 0


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Exerccios propostos:

1- Resolva as equaes abaixo:

a) 0123 2 = xx c) 442 + xx

b) 0492

=x d) 91242

+ xx

2- Sabendo que as razes de mxx +53 2 so reais iguais, encontre o conjunto-soluodessa equao.

3- Resolva as equaes abaixo:

a) 032 = xx

b) 0)22()1( 22 =+ xx

(Nesse ltimo caso, lembre-se de desenvolver os produtos notveis antes de resolver aequao do segundo grau).


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UIDADE 8 SISTEMAS DE EQUAES

Podemos definir um sistema como um grupo de equaes que deve ser resolvidosimultaneamente, a partir de algumas variveis. Tomemos um exemplo simples parailustrar o que acabamos de afirmar:

Exemplo 1: Suponha que um valor x mais um valor y tenha soma 7. E que esse

mesmo valor x mais 10 vezes o valor y tenha soma 25. Quais so os dois valores? Resolver esse tipo de problema significa montar um grupo de sentenas matemticas(nesse caso, duas sentenas) que, ao serem resolvidas, fornecero os resultados quequeremos. Para montar esse sistema, comeamos traduzindo o problema em equaesmatemticas, seguindo o esquema:

1) Um valor x mais um valor y igual a 7 7=+yx (1 equao)

2) Esse valor x mais 10 vezes o valor y tem soma 25 2510 =+ yx (2 equao)

Ento nosso sistema :

=+

=+

2510

7

yx

yx

primeira vista, nosso sistema no parece to complicado. Afinal, ao olhar aprimeira equao, conclumos que estamos procurando dois valores numricos que,quando somados, resultam 7. Poderamos at arriscar algumas solues, pois 2 e 5 tmsoma 7, 6 e 1 tambm, 3 e 4 tambm, etc. No entanto, no podemos esquecer:saberemos quais so os dois valores quando tivermos certeza de que eles verificam asduas equaes simultaneamente. E, alm disso: como as sentenas matemticas de umsistema envolvem sempre mais de uma varivel, nenhuma das duas equaes acima

pode ser resolvida separadamente, o que nos leva ao prximo tpico.

Resoluo de um sistema de equaesComo resolver um sistema de equaes?

A soluo de um sistema de equaes pode ser dada a partir de vrios mtodos.E um desses mtodos o processo de substituio. O processo de substituio consisteem isolar uma das variveis em uma das equaes e, depois disso, fazer a substituiona outra equao. Isso significa que, em nosso exemplo acima, poderamos isolar avarivel x na primeira equao, escrevendo yx = 7 , e logo em seguida substituiressa relao ( y7 ) na segunda equao, no lugar do x. Ento, teramos:

=+=+

==+

2510)7(2510

77

yyyx

yxyx

Ao efetuar a substituio, escrevemos a segunda equao apenas em termos davarivel y ( )25107 =+ yy . Resolvendo, encontramos o valor de y:

25107 =+ yy

2597 =+ y

7259 =y

2189 == yy


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Se sabemos agora que 2=y , podemos deduzir por meio de nossa relao( yx = 7 ) que 27 =x . Logo, 5=x .

Portanto, os dois valores que estvamos procurando em nosso exemplo, queverificam as duas equaes simultaneamente, so 5 e 2 (Sugesto: substitua essesvalores no sistema para comprovar a soluo).

Exemplo 2: Dois valores distintos tm soma 50 e multiplicao 400. Quais so?

Primeiramente, vamos transformar esse enunciado em sentenas matemticas:

=

=+

400

50

yx

yx

Para mostrar que qualquer uma das variveis pode ser isolada, apliquemos o processode substituio na primeira equao, isolando a varivel y:

==

=+xy

yx

yx50

400

50

Como escolhemos isolar o y na primeira equao, reescreveremos agora a segundaequao fazendo a substituio. Ou seja, no lugar de y escreveremos x50 :

400)50(400 == xxyx

Essa ltima expresso, 400)50( = xx , a sentena que resolveremos para encontraro valor da varivel x:

400)50( = xx

040050 2 =xx

0400502 =+ xx (uma equao do 2 grau)

90016002500 ==

10402

3050

2

9005021 ==

= xxx

Como encontramos dois valores distintos para x, podemos tambm encontrar doisvalores distintos para y. Basta substituir em nossa relao inicial:

xy = 50

Para 40=x , 104050 == yy

Para 10=x , 401050 == yy

Logo, os valores (40 e 10) ou (10 e 40) verificam nosso sistema.

Sistemas equivalentes

Sistemas equivalentes so sistemas que admitem a mesma soluo. So sistemasque, apesar das sentenas matemticas diferentes, possuem o mesmo conjunto soluo.Podemos exemplificar essa ideia com o seguinte exemplo:


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Exemplo 3: Resolver os dois sistemas abaixo:

=

=+

42

531

yx

yxs

=+

=+

13

22

32 yx

yx

s

Resolvendo o primeiro sistema, temos:yx 35= (substitumos essa relao na 2 equao)

4)35(2 = yy

4610 = yy

27

14147

1047

===

+=

yyy

y

Logo, o valor de x 1)2(3535 === xxyx .

Resolvendo o segundo sistema, temos:

xyyxyx

+==+=+

3313

(substitumos essa relao na 1 equao)

22

)3(3 =

++

xx

22

36=

+ xx

177347 ==+= xxx

Logo, o valor de y 213 =+= yy .

Como a soluo dos dois sistemas nos levou ao resultado 1=x e 2=y , os sistemas,apesar de escritos de forma diferente, so equivalentes.

Exerccios propostos

1- Verifique se os sistemas abaixo so equivalentes:

=+

=

7

521

yx

yxs

=

=+

93

1152

yx

yxs

2- Resolva os sistemas abaixo:

a)

=

=+

1

3

yx

yxb)

=

=+

63

42

y

yx

3-Numa prova de 50 questes, um aluno ganha 5 pontos por cada questo que acerta eperde 3 pontos por cada questo que erra. Ao final das 50 questes, a pontuao doaluno 130. Quantas questes ele acertou e quantas errou?


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4-Num stio, criam-se galinhas e coelhos, num total de 80 animais e 260 patas. Sabendoque cada galinha tem duas patas e cada coelho tem 4 patas, quantas galinhas e quantoscoelhos so criados nesse stio?

5- Calcule + , sabendo que ),( yx a soluo do sistema:

=

=+

362

434

yx

yx


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UIDADE 9 IEQUAO DE 1 GRAU

A partir das equaes de 1 grau e de 2 grau, podemos definir tambm algumassentenas matemticas utilizando os sinais de desigualdade.

Matematicamente, isso significa mais quatro tipos de sentenas:

0

0

0

0

+

+

+

bax

bax

bax

bax

Essas novas sentenas recebem o nome de inequao e podem ser resolvidas demodo semelhante s equaes. A diferena ser a seguinte: na equao do 1 grau,estamos sempre procura de um valor que verifica a frase matemtica; na inequao,podemos encontrar vrios valores.

Podemos exemplificar essa afirmao com um caso simples. Consideremos, porexemplo, a inequao 012 >+x . Essa sentena nos mostra que estamos procura detodos os valores que, quando substitudos na varivel x, do resultado maior que zero.

Podemos at arriscar alguns valores: 3=x , por exemplo, verifica a inequao, pois0716132 >=++ ; 4=x tambm verifica a inequao; e assim por diante.

Naturalmente, arriscar valores no o mtodo de resoluo mais adequado quando asinequaes so maiores. Nesses casos, e mesmo nos mais simples, podemos usar oseguinte mtodo: resolver a inequao como se fosse uma equao.

Resoluo de uma inequao de 1 grau

Mas o que isso significa?

Significa resolver a inequao separando variveis de um lado, nmeros de outroe aplicar as operaes necessrias.

Exemplo 1: Resolver a inequao 042


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Exemplo 3: Resolver a inequao 23

4

2

x

Podemos escrever essa inequao da seguinte forma:3

42

2+

x

Tirando M.M.C. do segundo membro:3

10

23

46

2

+

xx

Reescrevendo a ltima sentena, temos: 6,6203 xx

(Perceba que a soluo de uma inequao pode ser um nmero irracional).

Exemplo 4: Um valor mais sua quinta parte menor que 12. Defina qual esse valor.

Transformando em smbolos matemticos, temos:

125


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UIDADE 10 IEQUAES DE 2 GRAU

Dando seguimento unidade anterior, podemos agora definir inequaes de 2grau, a partir dos mesmos smbolos de desigualdade:

0

0

0

0

2

2

2

2

++

++

++

cbxax

cbxax

cbxax

cbxax

Nesse caso, so exemplos de inequao do 2 grau as sentenas:

1) 0222 ++ xx

2) 043 2 >+xx

3) 0462 2 xx

O objetivo da inequao do 2 grau semelhante ao da inequao do 1 grau.Com uma diferena. Nas inequaes de 2 grau usamos um processo de resoluo

baseado em trs etapas.

Resoluo da inequao de 2 grau

A construo do conjunto soluo de uma inequao de 2 grau segue trs etapascomplementares:

1) Encontrar as razes da equao do 2 grau

2) Escrever a inequao na forma fatorada

3) Montar o varal de soluo

Exemplo 1: Resolver a inequao 0232 >++ xx

O primeiro passo encontrar quais so as razes da equao 232 ++ xx . Nesse caso,recorremos ao clculo do :

acb 42 =

18921432 ===

Ento, as razes so:

12

13

2 1=

=

= xx

a

bx e 22 =x

Devemos fazer uma observao: escrever uma equao do 2 grau na formafatorada significa escrev-la na forma )()( 21 xxxxa . Nessa frmula, 1x e 2x so

as razes da equao. E o valor a o coeficiente de 2x .

Portanto, a forma fatorada da equao acima :

)2()1())2(())1((1)()( 21 ++ xxxxxxxxa


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O varal nada mais do que o resumo dos resultados obtidos at aqui:

-2 -1

2+x - + +

1+x - - +

)1()2( ++ xx + - +

A montagem do varal a seguinte: marcamos na parte de cima do grfico asrazes encontradas, da menor para a maior; no comeo de cada linha, colocamos, pelaordem, as equaes de 1 grau que fazem parte da forma fatorada e que possuem -2 e -1como razes; na ltima linha, reescrevemos a forma fatorada completa.

Nosso conjunto-soluo sair da ltima linha; e, a partir dela, perceberemos queos valores de x que verificaro nossa sentena inicial ( 0232 >++ xx ) so os menoresque -2 e os maiores que -1.

Logo, a soluo da inequao : }12|{ >


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Exerccios propostos

1- D o conjunto-soluo das inequaes:

a) 016 2 >xx

b) 122

++ xx

2- Para quais valores de b a equao 042 =+bxx tem duas razes reais distintas?

3- Para que valores de c a equao 032 =+ cxx no tem raiz real?


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REFERCIAS BIBLIOGRFICAS

BOYER, C. B. Histria da Matemtica. So Paulo: Edgard Blcher,1974.

CARAA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemtica. Lisboa:

Gradiva, 2000.

HARIKI, Seiji e ABDOUNUR, Oscar J. Matemtica Aplicada: administrao,economia, contabilidade. So Paulo: Saraiva, 1999.

IEZZI, G. et al. Matemtica: volume nico. So Paulo: Atual, 1997.

THOMPSON, Silvanus P. e GARDNER, Martin. Calculus Made Easy. New York:St. Martins Press, 1998. (publicado originalmente em 1910, sob o pseudnimo de

F.R.S. Fellow of the Royal Society).

YOUSSEF, A. N. et al. Matemtica: ensino mdio. Novos tempos. Scipione, 2000.

APOSTILA DE NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2

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