Apostila Nivelamento

1 Apostila de Matemtica Financeira aplicada ao Curso Tcnico em Farmcia

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Professora Renata da Silva Dessbesel - [email protected] https://sites.google.com/site/matematicafinanceirafarmacia/

SUMRIO

INTRODUO...............................................................................................................................03

1.REVENDO CONCEITOS MATEMTICOS.............................................................................04

1.1 Razo e proporo................................................................................................................04

1.1.1Razo..........................................................................................................04

1.1.2Proporo....................................................................................................04

MATEMTICA APLICADA NA FARMCIA.....................................................................07

2. SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS..................................................................07

3. RELAO DO SI COM OUTROS SITEMAS DE MEDIDAS...........................................09

4. REDUO DE UNIDADES DO SI .................................................................................10

5.PORCENTAGEM APLICADA NA FARMCIA...............................................................15

MATEMTICA FINANCEIRA.............................................................................................17

6.PORCENTAGEM................................................................................................................17

7.REGRA DE TRS..............................................................................................................18

7.1 Regra de trs simples.................................................................................................18

7.2 Regra de trs composta..............................................................................................18

8. SISTEMA DE CAPITALIZAO SIMPLES.....................................................................20

8.1 Juros simples.............................................................................................................20

8.1.1 Montante....................................................................................................22

8.2 Desconto Comercial simples.....................................................................................23

9.SISTEMA DE CAPITALIZAO COMPOSTA................................................................27

9.1 Juros compostos........................................................................................................27

10. SISTEMAS DE AMORTIZAO..................................................................................30

10.1 Sistema de Amortizao Francs............................................................................30

10.2 Sistema de Amortizao Constante.........................................................................32

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS....................................................................................34


INTRODUO

No Curso Tcnico em Farmcia estudaremos primeiramente os conceitos de Matemtica

Financeira e suas aplicaes.

A Matemtica Financeira est presente no cotidiano da humanidade desde a Antiguidade. A

Matemtica foi sendo utilizada para o comrcio e para as finanas em decorrncia da necessidade de

melhor entendimento entre as atividade de troca. A ideia de juros apareceu quando o homem constatou

a relao entre o capital e o tempo.

O homem percebeu que a moeda possua um valor temporal, ou seja, um capital emprestado

representava um recurso que deixou de ser investido em algo e por isso merecia uma remunerao

adicional que justificasse o emprstimo, uma espcie de compensao.

A matemtica financeira da atualidade resulta das transformaes e necessidades de padronizar,

mensurar e avaliar em prstimos, investimentos, bem como previses de movimentao de capital no

mercado, descontos, resultados dos investimentos .

Nesta disciplina faremos tambm o estudo dos clculos farmacuticos, diretamente aplicveis

prtica profissional. Na farmcia os Sistema Internacional de medidas muito uitlizado, seja para

produzir e etiquetar produtos framacuticos, seja para escrever e manipular prescries ou medir e

pesar os pacientes.

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1. REVENDO CONCEITOS MATEMTICOS 1.1 RAZO E PROPORO

1.1.1 RAZO

Exemplo:

1. Um dado tubo de teste contm 6 ml de soro fisiolgico1 e 3ml de soro2. Qual a razo entre o

soro fisiolgico e o soro?

2. Considere 9 ml de soro fisiolgico e 1ml de soro em tubo ( 9ml + 1ml = 10 ml de volume

total). Quais as afirmaes que esto corretas?

a) A razo entre o soro e o soro fisiolgico de 1/9.

b) A razo entre o soro fisiolgico e o soro de 1/9.

c) A razo entre o soro fisiolgico e o volume total de 9/10.

d) A razo entre o volume total e o soro de 10/1.

Observao: Seja cuidadoso em descrever exatamente o que est sendo comparado e ento expresse

isto de maneira adequada.

1.1.2 PROPORO

Exemplos:

1. A proporo lida da seguinte forma: 3 est para 7 assim como 9 est para 21.

1 Soro fisiolgico uma soluo isotnica em relao aos lquidos corporais que contm 0,9% em massa de NaCl em gua destilada. Usado na higienizao nasal, desidratao, limpeza de lentes de contato... 2 Soro caseiro: uma soluo aquosa de acar e sal de cozinha recomendado para prevenir a desidratao.

Razo o quociente entre dois nmeros.

Sendo a e b dois nmeros racionais, com b 0, denomina-se razo de a para b

o quociente

A igualdade entre duas razes chama-se proporo, ou seja: .


Propriedade fundamental

Veja: 86

43

Logo:

Exemplos:

1. Se existem 20 g em 100ml, quantos gramas existiriam em 20 ml?

2. Se 6 g de uma substncia produzem 10ml de uma dada soluo, quantos ml podem ser produzidos por

16g?

EXERCCIOS!!!

1. Uma soluo feita utilizando-se 4 ml de soro e 10 ml de soro fisiolgico.D o seguinte:

a) Razo entre o soro fisiolgico e o soro

b) Razo entre o soro e o soro fisiolgico

c) Razo entre volume total e soro

d) Razo entre soro e volume total

e) Razo entre volume total e soro fisiolgico

2. Se 3g faro 24 ml de soluo, quantos gramas existiro em 4 ml de soluo?

3. Se trs comprimidos contm 975 mg de aspirina, quantos miligramas de aspirina estariam contidos em

12 comprimidos?

4. Se um xarope para tosse contm 2 mg de maleato de bromofeniramina3 em cada 5 ml, quantos

miligramas deste frmaco estariam contidos em um frasco de 120 ml do mesmo?

3 Bromofeniramina: um anti-histamnico H 1 que pertence a famlia das alquimias. Indicado para dermatite alrgica ou tpica, reaes alrgicas em geral, conjuntivite alrgica , espirros e rinorria associados aos resfriados comuns.

4 x 6 = 24 produto dos meios

3 x 8 = 24 produto dos extremos

Em uma proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

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5. Se uma injeo de insulina contm 100 unidades de insulina em cada mililitro, quantos mililitros

devem ser injetados para que um paciente receba 40 unidades de insulina?

6. Em um estudo clnico, o frmaco triazolam provocou sonolncia em 30 dos 1500 pacientes testados.

Quantos pacientes de uma determinada farmcia poderiam esperar efeitos semelhantes, em uma

contagem de 100 pacientes?

7. Uma frmula de 1250 comprimidos contm 3,25 gramas de diazepam. Quantos gramas de diazepam

deveriam ser usadas para preparar 350 comprimidos?

8. Cada comprimido de Tylenol com Codena (Tylex) contm 30 mg de fosfato de codena e 300mg de

paracetamol. Se ingerisse dois comprimidos diariamente durante uma semana, quantos miligramas de

cada frmaco o paciente tomaria

Gabarito: 1) a) 5/2 b) 2/5 c) 7/2 d) 7/2 e) 7/5 2) 0,5g 3) 3900mg 4) 48 mg

5) 0,4 ml 6) 2 7) 0,91 g 8) 420 mg de fosfato de codena e 4200 mg de acetaminofeno


MATEMTICA APLICADA NA FARMCIA

2. Sistema Internacional de Medidas (SI)

O Sistema Internacional de Medidas (SI), antigamente chamado de sistema mtrico,

um sistema decimal de pesos e medidas internacionalmente reconhecido. Ele foi formulado na

Frana, no fim do sculo XVIII. Em 1875, os Estados Unidos assinaram um acordo

internacional, conhecido como Treaty of the Meter, que criou o International Bureau of

Weights and Measures, em Sevres, Frana, a fim de estipular padres de medidas para uso

uma verso modernizada do sistema mtrico, foi desenvolvido pela Conferncia Geral de

Pesos e Medidas (Conference Generale ds Poids et Mesures). Para encorajar a converso ao

sistema internacional, o Congresso norte-americano aprovou o Ato de Converso Mtrica de

1975 e a Lei Geral Relativa ao Comrdio e Competitividade, de 1988. O processo de

mudana dos sistemas comuns e unidades de medida (p. ex., libras, ps, gales) para o

sistema mtrico SI chamado de transio mtrica ou metrificao. Atualmente, a pesquisa

farmacutica e a indstria, os compndios oficiais, a United States Pharmacopeia National

Formulary e a prtica farmacutica utilizam a converso para o sistema internacional. As

razes para essa transio incluem a simplicidade do sistema decimal, a clareza provida pelas

unidades bsicas e prefixos do SI e a facilidade de intercmbio cientfico e profissional com o

uso de um sistema de pesos e medidas padronizado e aceito internacionalmente. [...]

Cada tabela do SI contm uma unidade definitiva ou primria. Para comprimento, a

unidade primria o metro; para volume, o litro; e para peso, o grama (embora tecnicamente,

o quilograma seja considerado a unidade bsica histrica). Subdivises e mltiplos dessas

unidades primrias, seus valores realtivos e seus prefixos correspondentes esto dispostos na

Tabela 1.

Fonte: Howard C. Ansel. Clculos Farmacuticos. 2008.

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PREFIXO SIGNIFICADO Mltiplos exa- 1 quintilho de vezes ( 1810 ) a unidade bsica peta- 1 quatrilho de vezes ( 1510 ) a unidade bsica ter- 1 trilho de vezes ( 1210 ) a unidade bsica giga- 1 bilho de vezes ( 910 ) a unidade bsica mega- 1 milho de vezes ( 610 ) a unidade bsica miria- 10.000 vezes ( 410 ) a unidade bsica quilo- 1.000 vezes ( 310 ) a unidade bsica hecto- 100 vezes ( 210 ) a unidade bsica deca- 10 vezes a unidade bsica

Submltiplos deci- um dcimo ( 110 ) da unidade bsica centi- um centsimo ( 210 ) da unidade bsica mili- um milsimo ( 310 ) da unidade bsica micro- um milionsimo ( 610 ) da unidade bsica nano- um bilionsimo ( 910 ) da unidade bsica pico- um trilionsimo ( 1210 ) da unidade bsica fento- um quatrilionsimo ( 1510 ) da unidade bsica ato- um quintilionsimo ( 1810 ) da unidade bsica

Tabela 1 - Prefixos e Valores relativos do SI.

As unidades mtricas de peso e volume e seus equivalentes mais empregados na prtica farmacutica

so as seguintes:

No site do Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia) voc ir encontrar informaes sobre as unidades de medida no Brasil. Para isso acesse o link: WWW.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp


3. Relao do SI com Outros Sistemas de Medidas

Alm do Sistema Internacional de Medidas, o aluno de um curso tcnico em farmcia

deve conhecer outros dois sistemas de medidas: o sistema avoirdupois e o sistema apotecrio.

O sistema avoirdupois, amplamente utilizado nos Estados Unidos para medir o peso corporal

e na venda de produtos em onas ou libras, vem gradativamente sendo substitudo pelo

sistema internacional. O sistema apotecrio, que antigamente era o sistema predominante de

medida volumtrica e de peso, tambm vem sendo substitudo, em grande parte , pelo SI.

O Sistema apotecrio expresso por unidades e smbolos nicos, denominados minim

, gro (gr), escrpulo ( , dracma ( ), ona ( ) e libra ( ). O Sistema avoirdupois

emprega trs unidades de massa, o gro (gr), a ona(oz) e a libra (lb). O gro apresenta o

mesmo valor em ambos os sistemas.

1 miligrama (mg) = 1000 microgramas ( ou mcg)

1 grama ( g) = 1000 miligramas = 1000000 microgramas

1 quilograma ( kg) = 1000 gramas

1 litro (L) = 1000 mililitros (ml)

1 decilitro (dl) = 100 mililitros

O Sistema apotecrio o sistema de pesos e medidas tradicional e historicamente empregados na farmcia. O sistema avoirdupois o

sistema comercial, no qual as mercadorias so adquiridas por pesagem.

Medida de massa:

1 ona (oz) = 473,5 gros (gr)

1 libra (lb) = 16 onas

1 libra (lb) = 454g

1 quilograma (kg) = 2,2 lb

Medida de volume:

1 ona fluida (fl.oz) = 29,57 ml

1 quartilho = 16 onas fluidas (fl oz) = 473 ml

1 quarto galo(qt) = 32 fl.oz = 946 ml

1 galo (gal)= 128 fl.oz = 3 785 ml

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4. Reduo de Unidades do SI para denominaes maiores ou menores

a. Utilizando uma escala de unidades A converso de uma determinada quantidade me termos de uma denominao maior

ou menor chamada reduo. Trinta minutos pode ser expresso como meia hora ou, caso

necessrio, como 1800 segundos. O processo de alterar denominaes de valores maiores para

valores menores reconhecido como reduo descendente e o de valores mais baixos para

mais altos, como reduo ascendente.

Um comprimento, um volume ou um peso de uma denominao no SI pode ser

expresso em outra denominao simplesmente movendo-se a vrgula decimal, ou seja,

utilizando uma tabela de converso. Observe:

Para medida de peso, volume e comprimento respectivamente

Kg hg dag g Dg cg Mg 0,1mg 0,01mg mcg

Kl hl dal l dl cl Ml mcl

Km hm dam m dm cm Mm Mcm

Usando a tabela reduza as seguintes unidades:

a) 1,23 quilogramas para gramas

b) 2,525 litros para microlitros

c) 9,876 miligramas para gramas

d) 85 micrmetros para centmetros

EXERCCIOS!!!

Observao: Para adicionar ou subtrair quantidades no SI, reduza-as a uma

denominao comum, ou seja, na mesma unidade de medida e organize seus

nmeros denominados para adicion-los ou subtra-los como decimais

comuns. Exemplo: 1 kg mais 250 mg mais 7,5 g = 1000g + 0,25 g+ 7,5 g =

1 007,75 g


1. Reduza as seguintes quantidades:

a) 9,876 mg para gramas

b) 85 para centmetros

2. Adicione 0,5 kg, 50 mg e 2,5 dg. Reduza o resultado em gramas.

3. Adicione 0,0025 kg, 1750 mg, 2,25g e 825 000 mcg, e expresse o resultado em gramas.

4. Um comprimido mastigvel de aspirina para crianas/adultos contm 81 mg de aspirina.

Quantos comprimidos podem ser preparados a partir de 1 kg de aspirina?

5. Um comprimido para a gripe contm as seguintes quantidades de princpios ativos:

Paracetamol: 325 mg

Maleato de clorofeniramina: 2mg

Dextrometorfan: 15 mg

Quantos comprimidos podem ser preparados se o farmacutico possuir 1 kg de paracetamol,

125 g de maleato de clorofeniramina e quantidades ilimitadas de dextrometorfan?

GABARITO: 1) a) 0,009876 g b) 0,0085 cm

2) 500,3 g 3) 7,325g 4) 12345 comprimidos

5) 3076 comprimidos

b. Utilizando a anlise dimensional

Definio: A anlise dimensional um mtodo de resoluo de problemas que emprega equivalentes

fatores de converso de unidades para assegurar que os termos de uma equao tenham as mesmas

dimenses.

A equao bsica utilizada na anlise dimensional :

Unidades e quantidades dadas x Fatores de converso equivalentes = Resposta na unidade desejada

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Os equivalentes e os fatores de converso de unidades so selecionados para permitir a anulao de

todas as unidades indesejveis na equao, enquanto mantm as desejadas na resposta. Os

numeradores e denominadores dos fatores de converso devem ser colocados corretamente,

permitindo que as unidades desnecessrias sejam canceladas.

Aplicao A anlise dimensional til em uma ampla variedade de clculos farmacuticos,

conforme demonstrado nos exemplos a seguir. particularmente vantajosa nos problemas complexos,

nos quais uma variedade de fatores de converso de unidades e de equivalentes requerida. A anlise

dimensional pode fornecer, em uma nica equao, todos os termos requeridos, enquanto que, no

emprego da razo e da proporo, mltiplas etapas e equaes podem ser exigidas para solucionar o

mesmo problema.

Esquema de resoluo: Quantidade dada Fator de converso para

quantidade dada

Fator de converso para a

quantidade desejada

Clculo de

converso

= Quantidade desejada

Exemplo:

1. Quantas onas fluidas (fl. oz) h em 2,5 litros?

2. Quantos gramas de dextrose4 so requeridos para preparar 4000 ml de uma soluo 5% p/V?

Fator equivalente: soluo 5% p/V = 5 g em 100 ml de soluo.

4Dextrose: energizante. Anti-hipoglicmico. Hidrato de carbono simples (d-glicose) metabolizado no organismo a dixido de carbono e gua. Indicado via parenteral para reposio de lquidos e aporte de calorias como hidratos de carbono.

Em resumo: Anlise Dimensional

Trata-se de um mtodo alternativo ao mtodo de razo e proporo para resoluo de

problemas de clculos farmacuticos.

O mtodo envolve o sequenciamento lgico e colocao de uma srie de razes para

incorporar mltiplos passos aritmticos em uma nica equao.

Ao aplicarmos determinados fatores de converso equao as unidades de medidas

indesejadas so canceladas, restando resultado aritmtico e a unidade desejada.


EXERCCIOS!!!

1.Uma prescrio requer 1.000 mL de infuso intravenosa de dextrose no perodo de 8 horas. Usando

uma administrao intravenosa de 10 gotas/mL, quantas gotas por minuto devero ser liberadas para o

paciente?

2. H uma seringa pr-carregada em sua ambulncia. Ela contm lidocana5 2 por cento. Ele

tambm contm 5 mL. Quantos miligramas ele contm?

Fatores de converso: " lidocana 2 %" de 2 g de lidocana por 100 mL de soluo.

3.Se na preparao de um antibitico contm 5 g de penicilina V potssica6 em 200 ml de soluo,

quantos miligramas estariam contidos em uma colher de ch? Fatores de converso de unidades: 1

colher de ch = 5 ml.

4. Voc precisa iniciar um gotejamento contnuo de amiodarona7 a 1 mg por minuto (por bomba). A

mistura padro IV de 450 mg em 250 mL. Bombas deve ser programado em ml / h.

5. A milrinona Lactato (Primacor)8 tenha sido ordenada por um paciente em 0,4 mcg / kg / min. O paciente pesa 100 kg. Se a farmcia mistura de 20 mg de milrinona em 100 mL de soluo total, qual seria a taxa de infuso? (1mg = 1000 mcg, a resposta deve estar em ml por hora)

Gabarito: 1) ~ 21gotas/min 2) 100 mg 3) 125 mg/colher de ch 4) 33,33 ml/h 5) 12 ml/h

5 A lidocana ou xilocana, 2-(dietilamino)-N-(2,6dimetilfenil) acetamido, um frmaco do grupo dos antiarritmicos da classe I (subgrupo 1B), e dos anestsicos locais que usado no tratamento da arritmia cardaca e da dor local (como em operaes cirrgicas). 6 Penicilina V potssica (aves e sunos) antibitico de uso oral, da classe B lactmicos. Atua sobre microorganismos Gram positivos e tambm sobre espiroquetas. Indicaes: patologias respiratrias, urinrias, gastrintestinais, articulares e cutneas de aves e sunos. 7 A Amiodarona um frmaco do grupo dos Antiarritmicos da classe III, que usado no tratamento das Arritmias cardiacas 8 Primacor IV est indicado no tratamento intravenoso a curto prazo da insuficincia cardaca congestiva, inclusive nos estados de baixo dbito subseqentes cirurgia cardaca.

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Assista o vdeo explicativo da anlise dimensional para enriquecer seus

conhecimentos.

Para isso acesse o link:

http://www.youtube.com/watch?v=t24Gb30e1-U


5. Porcentagem aplicada na farmcia

As porcentagens nas preparaes farmacuticas so expressas como se segue: com o primeiro

termo (ou numerador) de cada expresso indicando o componente sobre o qual a concentrao est

baseada e o segundo (ou denominador) indicando a preparao total.

Porcentagem peso-volume (p/V) expressa o nmero de gramas de um constituinte em 100 mL de

uma soluo ou preparao lquida. expressa como: ____% p/V.

Porcentagem volume-volume (V/V) expressa o nmero de mililitros de um constituinte em 100 mL de

uma soluo ou preparao lquida. expressa como: ____% V/V.

Porcentagem peso-peso (p/p) expressa o nmero de gramas de um constituinte em 100 g de uma

soluo ou preparao. expressa como: ____% p/p.

Frequentemente, nas prescries e frmulas, as designaes p/V, V/V e p/p no so indicadas

quando as concentraes so dadas em porcentagem. Nesses casos, o seguinte assumido:

Para solues ou disperses de slidos em lquidos, porcentagem p/V;

Para solues ou disperses de lquidos em lquidos, porcentagem V/V;

Para misturas de slidos ou semi-slidos, porcentagem p/p;

Para solues de gases em lquidos, porcentagem p/V;

Nos clculos, as porcentagens podem ser expressadas como razes, indicando partes por

centena. Por exemplo, 5% pode ser escrito como 100

5 , ou pode ser alterado para fraes decimais

equivalentes, eliminando- -se o numerador por 100. Assim ,

05,01005%5 , 125,01005,12%5,12 , e 0005,010005,0%05,0 . No processo inverso, para

alterar uma frao decimal para o por cento, o nmero multiplicado por 100 e o sinal adicionado.

Por exemplo, %5,12100125,0 .

A porcentagem empregada na prtica como um meio conveniente de

expressar a concentrao de um ingrediente ativo ou inativo em uma

preparao.

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Exemplo:

1) Qual a concentrao percentual de uma injeo que contm 50 mg de pentobarbital sdico9 em cada mililitro de soluo?

2) Quantos mililitros de fenol liquefeito devem ser usados na manipulao da seguinte prescrio? Px Fenol liquefeito 2,5%v/v Loo calamina ad 240 mL

3) Se 100 ml de uma preparao farmacutica contm 20 de uma preparao 50% (p/V) de cloreto de benzalcnio, qual a porcentagem de concentrao deste agente na soluo?

EXERCCIOS!!!

1 ) O produto biotecnolgico Neupogen10 contm 300 g de filgrastim em cada mililitro de injeo. Calcule a concentrao percentual de filgrastim no produto. 2) Se uma injeo contm 0,5 % p/V de cloridrato de diltiazem hidroclordrico11, calcule o nmero de miligramas de frmaco em 25 mL de injeo. 3)Quantos gramas de permanganato de potssio12 devem ser usados na manipulao da seguinte prescrio?Px Permanganato de potssio 0,02% p/V gua purificada ad 250 mL 4) Uma frmula de xampu antifngico contm cetoconazol 2% (p/V). Quantos gramas de cetoconazol seriam necessrios para preparar 25 litros de xampu?

Gabarito: 1) 0,03% p/V 2) 125 mg 3) 0,05 g 4) 500 g

9 O Pentobarbital (C11H18N2O3) um barbitrico sinttico comumente empregado como sedativo, hipntico e antiespasmdico na forma de seus sais de sdio ou clcio. comum o uso para sacrifcios de animais juntamente com outros medicamentos. 10 Neupogen um factor de crescimento de glbulos brancos (factor de estimulao das colnias de granulcitos) e pertence a um grupo de medicamentos chamado citocinas. Os factores de crescimento so protenas que so produzidas naturalmente no organismo mas tambm podem ser feitas por biotecnologia para serem utilizadas como medicamento. O Neupogen funciona encorajando a medula ssea a produzir mais glbulos brancos. 11 Cloridrato de Diltiazem um medicamento antiarrtmico (que combate as arritmias, ou seja, as alteraes no ritmo dos batimentos do corao), antianginoso (contra as anginas, ou seja, dores fortes no peito e falta de ar) e anti-hipertensivo (combate a hipertenso, ou seja, a presso alta).

12 O Permanganato de potssio um composto qumico de funo qumica sal, inorgnico, formado pelos ons potssio (K+) e permanganato (MnO4 ). um forte agente oxidante. Tanto como slido como em soluo aquosa apresenta uma colorao violeta bastante intensa que, na proporo de 1,5g por litro de gua (em mdia), torna-se vermelho forte.utilizado como agente oxidante em muitas reaes qumicas em laboratrio e na indstria. Tambm utilizado como desinfetante em desodorantes. usado para tratar algumas enfermidades parasitarias dos ps, no tratamento da gua para torn-la potvel e como antdodo em casos de envenenamento por fsforo.


MATEMTICA FINANCEIRA

6. Porcentagem

A expresso por cento que costuma ser usada na linguagem comum, e indicada pelo smbolo

%, pode ser entendida com o mesmo significado de centsimo. Assim, quando se diz que dos 80

milhes de habitantes adultos de um pas, 30% so analfabetos, isto significa que os analfabetos

representam uma frao igual a do total de habitantes adultos e corresponde a 24 milhes de

habitantes. De fato, .

Exemplos:

1. Calcular 8% de R$ 1200,00.

2. Calcular 40% de 3000 ml.

3. A passagem de nibus aumentou de 1,65 para 1,85 qual foi o percentual de aumento?

EXERCCIOS!!!

1. O salrio de um trabalhador era R$2000,00 em fevereiro. Tendo sofrido um reajuste de 5,2% em maro, quanto passou a ser o novo salrio?

2. Joo pediu um aumento salarial na empresa em que trabalhava, alegando que um simples reajuste (que naquele dissdio seria de 7,5%) no cobriria suas reais necessidades. Na ocasio, seu salrio era de R$ 2850,00 e sua proposta foi uma correo de 9%. No final do ms ele recebeu R$ 3092,25. Calculando qual o ndice de correo aplicado pela empresa, responda se seu pedido foi aceito.

3. Quanto 13% de R$200,00?

4. O preo de venda de certa mercadoria de R$ 22,00. Quanto passar a custar essa mercadoria se a loja anunciar: a) Um desconto de 12%? b) Um acrscimo de 5%?

Quando a taxa escrita na forma de frao ( centsimos) chamada de taxa unitria, quando multiplicada por 100 e seguida do smbolo % chamada de taxa percentual.

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5. Um caderno teve seu preo reajustado de R$ 2,60 para R$ 2,90. Qual a taxa percentual de aumento?

6. O preo de um produto de R$ 50,00, e um comerciante decide reajust-lo em 20%. Diante da

insistncia de um cliente, o comerciante concede, ento, um desconto de 20% sobre o novo produto. a) Ao final dessas transaes, havia alterao no preo original do produto? Quem levaria

vantagem: o comerciante ou o cliente?

7. A fatura do meu carto de crdito sofreu um abatimento de 13%, resultando num valor lquido de R$ 4350,00. Qual era o valor inicial dessa fatura?

8. Sobre uma nota fiscal de certa mercadoria incidem normalmente 15% de IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados), pagos pelo comerciante. Por quanto dever ser vendida uma mercadoria comprada por R$ 100,00 para que o comerciante tenha um lucro de 30% sobre a compra e ainda repasse o IPI para o comprador?

Respostas: 1)R$2104,00 2)No, o aumento foi de 8,5%. 3) R$26,00 4) a) R$ 19,36 b) 23,10 5) ~11,54% 6) Sim, o produto passaria a custar R$ 48, 00, beneficiando o cliente 7) R$ 5000,00 8) R$149,50

7. Regra de trs simples e composta

7.1 Regra de trs simples

Exemplos:

1. Um metro de tecido custa R$ 8,00. Quanto custa 9 metros desse tecido?

2. Em uma fbrica, 16 homens com igual capacidade de trabalho realizam uma tarefa durante 45

dias. Com 10 homens apenas, em quantos dias ser realizada a mesma tarefa?

7.2 Regra de trs composta

um processo prtico usado para resolver problemas que envolvam pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporo em que se

conhecem trs termos e o quarto desconhecido.

um processo prtico utilizado para resolver problemas que envolvam mais de duas grandezas proporcionais.


Para resolver, seguem-se os seguintes passos:

- colocam-se em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza;

- analisa-se a grandeza que contm a incgnita com cada grandeza, separadamente, mantendo as

demais grandezas constantes;

- caso haja dependncia inversa, inverte-se os elementos da respectiva coluna;

- monta-se a equao, igualando a grandeza (razo) que contm a varivel com produto das demais

grandezas (razes) da tabela.

Exemplo:

1. Trs operrios trabalhando durante seis dias produzem 400 peas. Quantas peas

desse mesmo tipo produziro sete operrios trabalhando nove dias?

2. Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes.

Quantos engenheiros seriam necessrios para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia,

durante 15 dias?

EXERCCIOS!!!

1) Trs torneiras abertas enchem um tanque em 1h e 30min. Quantas torneiras de mesma vazo

que essas seriam necessrias para encher o mesmo tanque em 54 minutos?

2) Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, andando 3 horas por dia. Em quantos dias percorrer

500 km, andando 5 horas por dia?

3) A distncia entre duas cidades de 800 km. Um trem com velocidade constante percorreu em

3h os primeiros 120 km. Quanto tempo levar para percorrer os quilmetros restantes?

4) Uma placa de chumbo de 8cm de comprimento e 6cm de largura pesa 36 u.p (unidade de peso).

Quanto pesar outra placa do mesmo material e da mesma espessura, s que quadrada, com 10 cm

de lado?

5) Se uma seringa contm 5mg do frmaco em cada 10 ml de soluo, quantos miligramas do frmaco

seriam administrados quando 4 ml da soluo forem injetados?

6) Se uma vitamina peditrica contm 1500 unidades de vitamina A por mililitro, quantas unidades de

vitamina A seriam administradas a uma criana em duas gotas de soluo, medidas com auxlio de um

conta-gotas calibrado para liberar 20 gotas por mililitro?

20


7) O capital de R$3000,00 aplicado em aes rendeu durante 1 ano a importncia de R$12000,00.

Qual a renda de 15 meses do capital de R$54000,00 empregado nas mesmas aes na mesma poca?

8) (BB) Certa mquina, trabalhando 12 horas por dia, consome 9780 kg de carvo em 30 dias. Qual o

custo do carvo gasto por esta mquina durante 90 dias, sabendo que nesse perodo trabalhou 12horas

e 30 minutos por dia e que cada tonelada de carvo custou R$ 800,00?

Respostas:

1)5 2) 5 3) 17 4) 75 5) 2 6) 150 7) R$27 000,00 8) 4

8. Sistema de capitalizao simples

8.1 Juros simples

Denomina-se capitalizao simples o regime de capitalizao em que a taxa de juro cobrada

simples. Neste caso o juro calculado, sempre sobre o valor do capital inicial ( C ). O regime de

capitalizao simples representa uma equao aritmtica, logo indiferente se os juros so pagos

periodicamente ou no final do perodo total.

Definio: Neste regime de capitalizao simples a taxa varia linearmente em funo do tempo.

Ento, C o capital inicial, i a taxa unitria de juros ( i:100) e n o nmero de perodos de aplicao

do capital. Se o capital ficar aplicado por n perodos iguais, os juros a cada um destes perodos

tambm sero iguais. Assim, tem-se:

Consideraes: 1) Taxa e perodo: devemos ter cuidado para utilizar as taxas e perodos em unidades

iguais. 2) Os juros podem ser calculados com base no ms e no ano comercial ( 30 ou 360 dias)

respectivamente, ou ainda, no ano civil, onde utiliza- se o nmero exato de dias de cada ms e o ano

com 365 ou 366 dias no caso do ano bissexto.

Exemplos:

1. Qual o valor dos juros correspondentes a um emprstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 15

meses, sabendo-se que a taxa cobrada de 3%a.m.?

2. Um capital de R$ 25.000,00 aplicado durante 10 meses rende juros de R$ 5.000,00.

Determinar a taxa correspondente.

3. Um capital de R$ 10 000,00 investido a juros simples de 13% ao ano, foi sacado aps tr~es

meses e dez dias, a contar da data inicial do investimento. Qual foi o juro?

J = C . i . n


Analise a situao a seguir:

Neide tomou um emprstimo de R$ 2000,00 em uma financeira e se comprometeu a pagar aps 6

meses. A taxa de juros combinada foi de 8% ao final do ms pelo regime de juros simples. Qual o total

pago por Neide?

No excel possvel montar um demonstrativo de juros simples,

veja:

22


8.1.1 MONTANTE

Exemplo:

1. Determinar o montante da aplicao de R$ 10 000, pelo prazo de 12 meses taxa de 3% a.m.

EXERCCIOS!!!

1. Uma aplicao de R$ 50.000,00 em letras de cmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve um rendimento

de R$ 8.250,00. A que taxa anual corresponde esta aplicao?

2. Sabe-se que os juros de RS 12.000,00 foram obtidos com a aplicao de R$ 150.000,00, taxa de

8% a.t. Determine o prazo que permaneceu aplicado.

3. Qual o capital que, taxa de 2,5% a.m.., rende juros de R$ 3.000,00 em 3 anos?

4 . Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e aps 5 anos recebeu o montante de

R$ 3.000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu?

5. Calcule o juro simples e o montante de R$ 500,00, a 25% aa. por 8 meses.

6. Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado

taxa de 6%aa.

7. (BANRISUL - 2005) Uma aplicao financeira de R$1300,00 foi realizada taxa de juros simples de 5% ao ms, durante 45 dias. O valor dos rendimentos obtidos com essa aplicao foi de:

a) R$30,00 b) R$ 97,50 c) R$ 1397,50 d) R$ 2925,00 e) R$ 9750,00

8.(BANRISUL 2005) Uma pessoa resgatou o montante de R$ 1500,00 de uma aplicao financeira que ficou rendendo juros simples de 5% ao ms, durante 120 dias. O valor dessa aplicao foi de:

a) R$ 214,29 b) R$ 250,00 c) R$ 1250,00 d) R$ 1800,00 e) R$ 7500,00

Respostas: 1) 33% a.a 2) 1 trimestre 3) R$ 3333,33 4) 10% a.s 5) R$ 83,33 e R$ 583,33

6) R$ 900,00 7) b 8) e

Montante a soma do capital inicial com os juros referentes aplicao.

M = J + C

M= C + C i n

M= C . ( 1+ i. n)


8.2 Desconto comercial simples

Ao contrair uma dvida a ser paga no futuro, muito comum o devedor oferecer ao credor um

documento denominado ttulo, que o comprovante dessa operao.

De posse do ttulo que usado para formalizar uma dvida que no ser paga imediatamente,

mas dentro de um prazo estipulado, o credor pode negociar a antecipao de seu pagamento atravs de

um banco.

Desconto Simples:

H trs tipos de ttulos bastante usados:

-Nota Promissria: Pode ser usada entre pessoas fsicas ou, ainda, entre pessoas fsicas e instituies financeiras. Trata-se de um ttulo de crdito, que corresponde a uma promessa de pagamento em que especificado o valor nominal ou quantia a ser paga (que divida inicial, normalmente acrescida de juros), a data de vencimento do ttulo (em que a dvida deve ser paga), o nome e assinatura do devedor, o nome do credor e da pessoa que dever receber a importncia a ser paga.

-Letra de Cmbio: um ttulo ao portador, emitido por uma financeira em operaes de crdito direto para pessoas fsicas ou jurdicas. Uma letra de cmbio tem especificado o valor de resgate (que o valor nominal acrescido de juros), a data de vencimento do ttulo e quem deve pagar.

O desconto comercial simples ou bancrio aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal.

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- Duplicata: usada por pessoa jurdica contra um cliente (que pode ser pessoa fsica ou jurdica) para qual vendeu mercadorias a prazo ou prestou servios a serem pagos no futuro (segundo contrato). Na duplicata deve constar o aceite do cliente, o valor nominal, a data de vencimento, o nome de quem dever pagar e o nome da pessoa a quem dever pagar. Uma duplicata s legal se for elaborada tendo por base a nota fiscal.


O desconto comercial simples ou desconto bancrio aquele em que a taxa de desconto

incide sobre o valor nominal.

Para o clculo utilizamos as seguintes frmulas:

Onde: D = desconto; PV = valor lquido; i= taxa unitria ; FV= valor nominal e n= perodo.

OBS: Nas frmulas a taxa e o perodo devem estar na mesma unidade.

Exemplos:

1. Uma duplicata no valor de R$ 2.100,00 ser descontada em um banco taxa de 4,5%

am. Se o prazo do ttulo de 36 dias, qual ser o valor do desconto?

D = FV . i . n

PV = FV ( 1 i. n)

PV = FV - D

26


2. Qual o desconto que dever incidir sobre um ttulo de R$ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes

do vencimento, com uma taxa de 5% a.m?

EXERCCIOS!!!

1. Uma duplicata de R$ 1.800,00 foi descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, a

uma taxa de desconto comercial de 2,5% am. Determine:

(a) o valor do desconto;

(b) o valor lquido recebido pela empresa;

2. Determine o prazo de uma duplicata no valor de R$ 750,00, descontada taxa de 6% am., cujo

desconto foi de R$ 58,50

3. Encontre o valor nominal de um ttulo com prazo de 54 dias, cujo valor lquido foi de R$ 350,35 e a

taxa de desconto comercial de 5%am.

4. Uma nota promissria no valor de R$ 300,00 ser descontada taxa de 4,1% am., faltando 21

dias para o seu vencimento. Determine o valor lquido desta operao.

5. Encontre o valor nominal de um ttulo que descontado trs meses e meio antes de seu vencimento, a

uma taxa de 4% a.m. Sabendo que teve um desconto de R$ 28000,00.

6.Uma pessoa pretende saldar um ttulo de R$ 3900,00 trs meses antes do seu vencimento. Sabendo

que a taxa de juros simples corrente de 24%a.a, determine o desconto comercial que vai obter e que

valor ela vai pagar.

7.Um ttulo no valor de R$ 4665,00 foi descontado antes de seu vencimento, pelo valor atual de R$

4156,51. Sabendo que foi utilizado a taxa de desconto comercial simples de 2,18% ao ms, verifique

quanto tempo faltava para o vencimento do ttulo.

Respostas: 1) a) R$ 90,00 b) R$ 1710,00 2) 39 dias ou 1,3 m 3) R$ 385,00 4) R$ 291,39

5) R$ 200 000,00 6) D = R$ 234,00 PV= R$ 36666,00 7) 5 meses


9. Capitalizao composta

No nosso dia a dia, quando efetuamos uma compra a prazo ou quando tomamos emprestada uma

certa quantia em dinheiro, em um banco comercial, estamos pagando juro. E estamos pagando juro

composto. O mesmo acontece quando, por exemplo, fazemos o financiamento da casa prpria.

Quando a taxa de juro utilizada composta, o regime denominado de capitalizao composta,

ou seja, o juro produzido num perodo ser acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os

dois, capital e juro, a render juro no perodo seguinte. Por isso, tambm chamado juro sobre juro.

9.1 Juro composto

Sabemos que juro o rendimento produzido por um capital em determinado tempo, calculado

sobre o capital . Quando sobre esse valor que j tem embutida uma parcela de juro incide novamente a

taxa de juro, temos o que chamamos de juro composto.

Frmulas:

Onde: M= montante ; C = capital; n= perodo; i = taxa.

Exemplos:

1. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos, durante 2 meses e meio,

taxa de 1,15% am. Determine o montante.

2. Uma pessoa toma emprestada a juros de 4% a.m. a importncia de R$ 800,00 pelo

prazo de 10 meses. Qual o montante a ser devolvido?

3. Qual o capital que, aplicado a 1,2% a.m., durante 6 meses, rende juros compostos de

R$5.370,97?

4. Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em ttulos que, lhe proporcionaro um resgate

de R$ 337.004,00 aps 90 dias. Qual a taxa mensal de juros compostos desta operao?

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Analise a situao a seguir:

Neide tomou um emprstimo de R$ 2000,00 em uma financeira e se comprometeu a pagar aps 6

meses. A taxa de juros combinada foi de 8% ao final do ms pelo regime de juros simples. Qual o total

pago por Neide?

Podemos fazer um demonstrativo dos juros compostos no Excel,

veja:


EXERCCIOS!!!

1) Um capital de R$ 5.600,00 ficou aplicado durante um ano e trs meses taxa de 1,5% a.m. de

juros compostos. Qual o montante final?

2) A que taxa mensal deve ser colocado um capital de R$ 4.800,00 para que renda de juros compostos

R$ 5.405,57 em 6 meses?

3) Calcular o montante de um capital inicial de R$ 6000,00, a juros compostos de 5% a.m., durante 6

meses.

4)Na porta de um banco , encontra-

investido?

5) Uma aplicao a juros compostos durante 3 meses rendeu de juro o valor de R$ 288,44.

Sabendo que o agente financeiro utilizou a taxa de juros compostos de 1,88% ao ms, verifique qual

foi o capital aplicado.

6) O capital de R$ 4300,00 foi aplicado durante 36 meses, taxa de juro composto de 9% ao semestre.

Calcule o montante produzido pela aplicao, supondo capitalizao composta.

Respostas: 1) R$ 7001,30 2) 13,40% a.m 3) R$ 8040,57 4) 9,1% a.m 5) R$5019,23 9) R$

7211,53

30


10. Sistemas de amortizao

A falta de recursos obriga aqueles que pretendem investir a tomarem emprstimos e

assumirem dvidas que devero ser pagas com juros e de formas definidas por contratos

estabelecidos entre as partes envolvidas. As formas de pagamento dos emprstimos so

chamadas de Sistemas de Amortizao.

Para atender s necessidades particulares das empresas e das pessoas fsicas, as

instituies financeiras podem elaborar sistemas de amortizao especficos, no

convencionais, que devem ser definidos atravs da equivalncia de capitais.

Existem vrios sistemas de amortizao, alguns prevendo pagamento nico outros

possibilitando pagamento parcelado. Ao parcelar-se uma dvida existe o interesse de ambas as

partes, credor e devedor, em identificar a cada perodo de tempo o estado da dvida, ou seja,

conhecer o total pago e o saldo devedor.

Neste sentido comum a elaborao de demonstrativos que acompanham cada

pagamento de emprstimo. No existe um nico demonstrativo, mas todos devem constar o

valor de cada pagamento e o saldo devedor, devendo ainda, o valor de cada pagamento ser

subdividido em juros e amortizao.

10.1 Sistema Francs de Amortizao (SAF) ou Sistema Price ou de Prestaes Constantes

Caractersticas:

O valor das prestaes constante e peridico, sendo obtido atravs da frmula de

renda imediata, cujo valor presente ou valor financiado PV:

Amortizar devolver o capital que se tomou emprestado.


O juro pago em uma dada prestao sempre calculado sobre o saldo devedor do perodo

imediatamente anterior, sendo menor a cada nova prestao.

A cota de amortizao, em uma dada prestao, sempre igual diferena entre o valor da

prestao e o juro pago na mesma, sendo maior a cada nova prestao.

Os valores da tabela Price admitem sempre que as prestaes so postecipadas (pagas no fim

de cada perodo).

Exemplo:

Considerando um emprstimo de R$ 100 000,00 feito taxa de 10% a.m, por quatro meses, agora

devendo ser pago no sistema Price, determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo do

estado da dvida nesse perodo. N PMT PRESTAO JUROS AMORTIZAO SALDO DEVEDOR

Observao: Pode-se observar que os juros so cada vez menores, uma vez que so calculados sobre

o saldo devedor que cada vez menor. Consequentemente, as amortizaes so cada vez maiores

para que, somadas aos juros, totalizem prestaes iguais.

J = i . PV

32


10.2 Sistema de Amortizao Constante (SAC)

No sistema de amortizao constante, a cota de amortizao constante em todas as prestaes e o

juro pago em cada uma das prestaes correspondentes ao total do juro sobre o saldo devedor do

perodo anterior. Como o saldo devedor decresce a cada perodo, o valor do juro vai ficando menor

a cada prestao. Assim, apresentar valores decrescentes.

Ser admitido neste estudo somente o caso de prestao postecipadas, ou seja, com

pagamentos ao final de cada perodo a partir do primeiro.

Clculo cota de amortizao:

Clculo do juro:

Clculo da Prestao:

Clculo do saldo devedor:

Exemplo: Um emprstimo de R$ 100 000,00 feito taxa de 10% a.m, pelo prazo de quatro meses,

pago pelo SAC, fazer o demonstrativo do estado da dvida neste perodo.

N PMT PRESTAO JUROS AMORTIZAO SALDO DEVEDOR


EXERCCIOS!!!

1. Um emprstimo de R$ 8000,00 deve ser devolvido em 4 prestaes mensais pelo SAC a taxa

de 4% a.m. Obter a planilha.

2. Um emprstimo de R$ 8000,00 deve ser devolvido pelo SAF em 4 prestaes mensais taxa

de 4% a.m. Obter a planilha

3. Um financiamento no valor de R$ 5000,00 deve ser devolvido pelo SAF ou Price em 4

prestaes mensais a taxa nominal de 30% a.a. Se a pessoa der uma entrada de R$ 1000,00

para diminuir o valor das prestaes, determinar o saldo devedor aps a terceira parcela.

4. Um apartamento no valor de R$ 200 000,00 foi financiado pelo SAF, sem correo monetria,

nas seguintes condies:

Sem entrada

Vinte e quatro parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira um ms aps a

assinatura do contrato

Taxa de juros compostos de 1,75% ao ms.

Qual o valor das parcelas?

5. Um apartamento no valor de R$ 150 000,00 foi financiado pelo SAC, sem correo monetria,

nas seguintes condies:

Sem entrada

Doze parcelas mensais, vencendo a primeira um ms aps a assinatura do contrato

Taxa de juros compostos de 2% ao ms.

Qual o valor da primeira prestao?

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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

1. ANSEL, Howard C.. Clculos Farmacuticos. (trad.) Cristiana Lima Dora e

Leonardo Juliano Recski. 12 ed. Porto Alegre: Artmed, 2008.

2. ANSEL, Howard C. ; SHELLY, J. Prince. Manual de clculos farmacuticos. Trad.

Elenara Lemos Senna. Porto Alegre : Artmed, 2005.

3. CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias. Matemtica

financeira aplicada. 2ed. Curitiba:Ibpex, 2008

4. IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; DEGENSZAJN, David Mauro. Fundamentos de

Matemtica Elementar, 11: matemtica comercial, matemtica financeira e

estatstica descritiva. So Paulo: Atual, 2004.

5. VERAS Lilia L. Matemtica Financeira: uso de calculadoras cientficas, aplicaes

ao mercado financeiro, introduo a engenharia econmica. So Paulo: Atlas, 6 ed. ,

2008.

6. VIEIRA SOBRINHO, Jos Dutra. Matemtica Financeira. So Paulo: Atlas, 1981.

7. CAMPBELL, June Mundy. Matemtica em laboratrio: aplicaes mdicas e

biolgicas. So Paulo: Roca, 1986.

8. FRANCISCO, Walter de. Matemtica financeira. 7ed. So Paulo: Atlas, 1991.

9. IEZZI, Gelson.[et al.] Matemtica: Cincia e aplicaes. 1srie do ensino mdio. 2

ed. So Paulo: Atual, 2004.

10. SPINELLI, Walter; SOUZA, M. Helena S. Matemtica Comercial e Financeira. So

Paulo: tica, 1998.

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