Universidade Federal de Pelotas - UFPel Glnio Aguiar Gonalves Clculo Integral APOSTILA DIDTICA Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 2 CAPTULO 1CAPTULO 1CAPTULO 1CAPTULO 1 PRIMITIVAS PRIMITIVAS PRIMITIVAS PRIMITIVAS PRIMITIVAS Como procedemos para reverter a derivao? A resposta a operao chamada primitivao, ou antiderivao ou ainda antidiferenciao. 1.1 DEFIIO DE PRIMITIVA A seguir, daremos a definio de primitiva, e ento ser visto no decorrer desta seo 1.1 que a pri-mitivao um processo inverso da derivao, isto , uma antiderivao. Umaprimitivade) (x f portantoumafunocujaderivadasejaprecisamente) (x f ,nointervalo considerado.ADefinio1.1implicanaexistnciadaderivada) (x ' F nointervaloI.Istosignifica que nem toda funo f tem primitiva. A primitiva de uma dada funo f em um intervalo I, se existir, no ser nica, porque, sendo C uma constante qualquer, tem-se que ( )' C x F x ' F + = ) ( ) (pelo que se ) (x Ffor primitiva de fno intervalo I, entoC x F + ) (tambm ser. Isto ser abordado pelos dois Teoremas a seguir. Do Teorema 1.1. decorre o Teorema 1.2 abaixo, j abordado no pargrafo anterior. DEFIIO 1.1: UmafunoFserchamadadeprimitivadeumafunofnumintervaloIse ) ( ) ( x f x ' F =para todo x neste intervalo. I x x f x ' F = , ) ( ) (TEOREMA 1.1:Se f e g forem duas funes tais que) ( ) ( x ' g x ' f =para todo x no intervalo I, ento haver uma constante C, tal que C x g x f + = ) ( ) ( , I x . Nota Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 3 A primitivao um processo de encontrar as primitivas de uma dada funo. O smbolo denota a operao de primitivao, ou antiderivao, e escrevemos Assim, vemos que a primitivao uma operao inversa da diferenciao. E as propriedades a se-guir podem ser provadas a partir das correspondentes propriedades da diferenciao. PRIMITIVAS IMEDIATAS: No h, alm das propriedades relacionadas acima, outras regras simples que nos auxiliem na buscadeprimitivasdeumadadafuno.Demodogeral,adeterminaodeprimitivasdepende diretamente do conhecimento das derivadas das funes usuais, que nos permitir, perante uma dada expresso,imaginarumafunocujaderivadasejaprecisamenteaexpressoconsiderada.Assim, por exemplo, sabendo que C x F dx x f + =) ( ) ( , onde) ( ) ( x f x ' F =PROPRIEDADES: 1.C x dx + = 2. = dx x f a dx x f a ) ( ) ( , onde a uma constante. 3.Se f1 e f2 esto definidas no mesmo intervalo, ento,| | + = + dx x f dx x f dx x f x f2 1 2 1) ( ) ( ) ( ) ((esta propriedade da soma vale para uma soma de qualquer nmero de fun-es.) 4.C1 nxdx x1 nn++=+,se n for um nmero real e1 n . TEOREMA 1.2: Se F for uma primitiva particular de f em um intervalo I, ento a primitiva mais ge-ral de f ser dada porC x F + ) ( ,onde C uma constante arbitrria. Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 4 2x 11x tan arcx dd+= ] [ , imediatamente se conclui que C x tan arc dxx 112+ =+ Omesmoraciocnio,aplicadosderivadasdasfunesmaisconhecidaspermite elaborar uma tabela de primitivas, ditas imediatas: FUNOPRIMITIVA 0C1C x +x 1 C | x | ln +xe C ex+xaC aa ln1x+x senC x cos + x cos C x sen +x sec2 C x tan +x csc2 C x cot + x tan x secC x sec +x cot x cscC x csc + 2x 11 C x sen arc +2x 11+ C x tan arc + As identidades trigonomtricas so freqentemente usadas para calcular primitivas envolven-do funes trigonomtricas. A seguir so listadas as identidades mais usadas. Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 5 Exemplo 1: Avalie a primitiva( )+ dx x / 1 x x . Soluo:( ) + = + dx x dx x dx x / 1 x x212321. Usando a propriedade (4), temos ( ) ( )2 1 2 1C C x 2 x52C21xC25xdx x / 1 x x2125 212521+ + + =|||||

\|+ +|||||

\|+ = +. Portanto,( ) C x 2 x52dx x / 1 x x521+ + = +, onde C = C1 + C2. Exemplo 2: Avalie dxx senx sen 3 x cot 22. Soluo: Pelas propriedades (3) e (2) e as identidades trigonomtricas, temos: = =dx x sen 3 dx x csc x cot 2 dxx senx sen3 dxx senx cot2 dxx senx sen 3 x cot 22 2.Usandoasintegrais de funo trigonomtricas j listadas na Tabela, obtemos o resultado C x cos 3 x csc 2 dxx senx sen 3 x cot 22+ + =. Exemplo 3: Encontre todas as funes de g tal que( )5 3x 6x3x sen 4 x ' g + =Soluo: Queremos encontrar uma primitiva g de a.1 x csc x sen = b.1 x sec x cos = c.1 x cot x tan =d.1 x cos x sen2 2= +e.x sec 1 x tan2 2= + f.x csc 1 x cot2 2= +g. x cos x senx tan = h. x senx cosx cot=i.( ) x 2 cos 1 x sen21 2 = k.( ) x 2 cos 1 x cos21 2+ =Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 6 ( )53x 6x13 x sen 4 x ' g + =Usando a Tabela dada, junto como o Teorema 1.2, obtemos ( ) ( )C x415| x | ln 3 x cos 4Cx6 | x | ln 3 x cos 4dx x 6x13 x sen 4 dx x ' g x g58585853+ + =+ + =+ = = ) ( NasaplicaesdeclculocomumsituaescomoadoExemplo3,onderequeridoacharuma funo sendo fornecidos dados sobre suas derivadas. Uma equao que envolva as derivadas de uma funo chamada equao diferencial. A soluo geral de uma equao diferencial envolve constan-tesarbitrrias,comoCdesteExemplo3,quepodemserdeterminadasapartirdecondiesextras dadas no problema. Contra-Exemplo: bemconhecidooTeoremadeDarboux,segundooqualquandoumafunof x ( ) diferencivel num intervalo aberto e em dois pontos a e b desse intervalo se tem ) ( ) ( b ' f a ' f ento,dadoqualquervalorkcompreendidoentref a f b ' ( ) ' ( )e ,ter-se-f c k ' ( ) = ,parapelo menosumpontocpertencenteaesseintervalo(TeoremadoValorIntermedirio).Distoresulta imediatamente que, por exemplo, a chamada funo de Heaviside, definida em por 0 tal queK | x f | ) ( para todo] , [ b a x . Podemosadmitirquesaibamoscalcularreasdepolgonos,polgonosretangulares,pore-xemplo, formados por retngulos justapostos cujos lados so paralelos aos eixos x = 0 e, especifica-mente, as bases inferiores esto sobre o eixo das abscissas, y = 0, e as bases superiores tocam o grfi-co da funo.Agora, podemos tomar como aproximaes por falta deste nmero as reas desses retngulos contidos em S, polgonos retangulares inscritos, conforme Figura 2.2. Isto equivale a dizer: * supremo = menor limitante superior. Figura 2.2: polgonos retangulares contidos em S (inscritos). PoderamostambmconsiderarasreasdosretngulosquecontmS,polgonosretangularescir-cunscritos, como aproximaes por excesso para a rea de S. Neste caso, teramos: * nfimo = maior limitante inferior. Nota rea de S = nfimo* das reas dos polgonos retangulares que contm S. rea de S = supremo* das reas dos polgonos retangulares contidos em S. Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 13 Figura 2.3: polgonos retangulares que contm S (circunscritos). Lembre-sedequeaodefinirumatangente,primeiroaproximamosainclinaodaretatan-genteporinclinaesderetassecanteseentotomamosolimitedessasaproximaes.Umaidia similar ser usada aqui para o clculo de reas. Em primeiro lugar, aproximamos a regio S por re-tngulos justapostos e ento tomamos o limite das reas desses retngulos medida que aumentamos o nmero de retngulos. Para tal, primeiro dividimos o intervalo fechado [a, b] em n subintervalos, que no so neces-sariamente de mesmo comprimento (ou largura), atravs da escolha de (n1) pontos entre a e b, de modo que b x x x x a1 n i 2 1< < < < < b, entretanto, devemos observar que x mudar de sinal. Portanto, Se a = b, ento x = 0, e Vamos apresentar propriedades bsicas das integrais que so conseqncias diretas da definio pelo limite de somas de Riemann. ( ) ( ) =abbadx x f dx x f ( ) 0 dx x faa=

Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 23 Nos comentrios a seguir, para a definio de integral definida ser usada partio regular. APropriedade1estabelecequeaintegraldeumafunoconstantecaconstantevezeso comprimento do intervalo (b a). Se c > 0, c (b a) a rea do retngulo Prova: ( ) ( ) a b c a b c lim x c lim x c lim dx cnn1 inn1 inba = = = = = = APropriedade2estabelecequeaintegraldeumasoma(ousubtrao)defunesasoma (ou subtrao) das integrais destas funes. Em geral, a Propriedade 2 segue do fato que o limite da soma (ou subtrao) de funes a soma (ou subtrao) dos limites das funes. ( ) ( ) | | ( ) ( ) | |( ) ( )( ) ( ) = = = = = = baban1 iinn1 iinn1 ii inbadx x g dx x fx x g lim x x f limx x g x f lim dx x g x f Propriedades da Integral:Considerando f e g funes contnuas no intervalo fechado [a, b] e c uma constante. 1.( ) a b c dx cba = 2.( ) ( ) | | ( ) ( ) = bababadx x g dx x f dx x g x f3.( ) ( ) =babadx x f c dx x f c4.( ) ( ) ( ) + =bccabadx x f dx x f dx x f , onde c um nmero em [a, b]; no importa a ordem de a, b e c. Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 24 A Propriedade 3 pode ser provada de forma anloga a da Propriedade 1, ( ) ( ) ( ) ( ) = = == = ban1 iinn1 iinbadx x f c x x f lim c x x f c lim dx x f c e estabelece que a integral de uma constante vezes uma funo a constante vezes a integral da fun-o. Em outras palavras, uma constante (mas somente uma constante) pode ser colocada na frente de um sinal de integrao. Para o caso em que f(x) 0 e a < c < b, a Propriedade 4, pode ser vista a partir de uma inter-pretao geomtrica: a rea sob y = f(x) de a at c mais a rea de c at b igual rea total de a at b. Exemplo 2: Use as propriedades das integrais pra calcular ( )+302dx x 3 4Soluo: Usando as propriedades 2 e 3 das integrais, temos ( ) + = + = +3023030230302dx x 3 dx 4 dx x 3 dx 4 dx x 3 4Sabemos da Propriedade 1 que( ) 12 0 3 4 dx 410= =. E encontramos no Exemplo 1 (ou 2) da Seo 2.2 que9 dx x302=. Logo: ( ) ( ) 39 9 3 12 dx x 3 4302= + = + Exemplo 3: Exemplo de uma funo no integrvel em [0, 1]. A funo ( )=irracional se ,racional se ,x 0x 1x fno apresenta integral a Riemann no intervalo [0, 1]. Por trs disto est o fato de que entre dois n-meros quaisquer dessa funo existe um nmero racional e outro irracional. Logo, a funo salta para cima e para baixo em [0, 1] to erraticamente que a regio abaixo de sua curva e acima do eixo x no podeseraproximadaporretngulos,pormaisestreitosqueelessejam.Assim,asaproximaesde soma superior e de soma inferior convergem para valores diferentes. Se tomarmos uma partio P de [0, 1] e escolhermos ictal que) (ic fseja o supremo de f em ] [1 i ix x , ento a soma de Riemann correspondente Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 25 ( ) 1 x c f lim P f S Infn1 ii i0 || ||= ==) , (pois cada subintervalo contm um nmero racional onde1 c fi = ) ( . Observe que a soma de compri-mento dos intervalos da partio 1. Por sua vez, se escolhermos para ico valor mnimo de f em] [1 i ix x , ento a soma de Ri-emann ( ) 0 x c f lim P f s Supn1 ii i0 || ||= ==) , (poiscadasubintervalocontmumnmeroirracional ic onde( ) 0 c fi = .OlimitedasomadeRie-mann igual a zero. Como o limite depende das escolhas de ic , a funo f no integrvel. Observe que as Propriedades 14 so verdadeiras para qualquer ordem de a e b. As Proprie-dades a seguir, nas quais comparamos tamanhos de funes e tamanhos de integrais so verdadeiras somente seb a . i.Se( ) 0 x f , ento a integral desta funo no intervalo [a, b] representa a medida de rea sob o grfico de f, logo a interpretao geomtrica da Propriedade 5 simplesmente que as reas so positivas. ii.A Propriedade 6 estabelece que uma funo maior tem uma integral maior. iii.A Propriedade 7 diz que se f for contnua poderemos tomar, pelo Teorema do Valor Extremo, m e M como sendo os valores mnimo e mximo absolutos de f no intervalo [a, b], e neste ca-Propriedades Comparativas da Integral: Considerando f e g funes contnuas no intervalo fechado [a, b] e c uma constante. 5.Se( ) 0 x f parab x a , ento ( ) 0 dx x fba. 6.Se( ) ( ) x g x f parab x a , ento ( ) ( ) babadx x g dx x f . 7.Se( ) M x f m parab x a , ento ( ) ( ) ( ) a b M dx x f a b mba . Notas Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 26 so, a Propriedade 7 estabelece que a rea sob o grfico de f maior que a rea do retngulo com altura m e base (b a) e menor do que o retngulo com altura M e base (b a). Prova da Propriedade 7: Uma vez que( ) M x f m , a Propriedade 7 nos d ( ) bababadx M dx x f dx mUsando a Propriedade 1 para calcular as integrais do lado esquerdo e direito, obtemos ( ) ( ) ( ) a b M dx x f a b mba Esta Propriedade 7 importante quando desejamos somente estimar o valor de uma integral definida. Exemplo 4: Use a Propriedade 7 para estimar o valor de 41dx x . Soluo: Uma vez que a funox crescente, seu mnimo absoluto em [1, 4] ocorre em x = 1 e m = 1 e seu mximo absoluto ocorre em x = 4 e M = 2. Portanto, a Propriedade 7 nos d ( ) ( ) 1 4 2 dx x 1 4 141 ou,6 dx x 341 Isto significa que a rea sob o grfico da funoxem [1, 4] maior ou igual a 3 e menor ou igual a 6 unidades quadradas. 2.4 TEOREMA DO VALOR MDIO PARA ITEGRAIS O Teorema do valor mdio importante na prova do Teorema Fundamental do Clculo Parte 1. E tambm relevante porque nos permite calcular valores mdios de funes contnuas em um interva-lo fechado [a, b]. TEOREMA 2.2: Teorema do Valor Mdio para Integrais: Se a funo f for contnua no intervalo fechado [a, b], existe um nmero c em [a, b] tal que ( ) ( ) ( ) a b c f dx x fba = Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 27 Prova: Como f contnua em [a, b], do Teorema do Valor Extremo, ftem valores de mximo e m-nimo absolutos em [a, b]. Seja m o valor mnimo absoluto ocorrendo em mx x = . Assim, ( ) m x fm = ,b x am Seja M o valor mximo absoluto ocorrendo em Mx x = . Assim, ( ) M x fM= ,b x aM Temos, ento,( ) M x f m , para todo x em [a, b]. Da Propriedade 7, segue que ( ) ( ) ( ) a b M dx x f a b mba Agora, dividindo por (b a) e observando que este valor positivo, pois b > a, obtemos ( )( ) M dx x fa b1mba, ou seja,( )( )( ) ( )Mbamx f dx x fa b1x f Desta igualdade, e do Teorema do Valor Mdio existe algum nmero c num intervalo fechado con-tendo mxe Mx , tal que ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c f a b dx x f c f dx x fa b1baba = = como queramos provar. O valor de c no Teorema 2.2 no necessariamente nico. O Teorema 2.2 no d um mtodo para o clculo de c, mas estabelece que um valor de c existe. Em alguns casos, podemos encontrar o valor de c garantido pelo Teorema 2.2. AinterpretaogeomtricaparaoTeoremadoValorMdioparaIntegraisdadapelofato que, supondo que a funo f positiva, existe um retngulo de altura f (c) que possui a mesma rea compreendida entre o grfico de f e o eixo x, no intervalo [a, b], conforme Figura 2.4 abaixo. Nota Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 28 Figura 2.4: Interpretao Geomtrica para o Teorema do Valor Mdio para Integrais O valor f (c) dado pelo Teorema 2.2 chamado de valor mdio de f, denotado por fM, no in-tervalo [a, b]. uma generalizao da mdia aritmtica de um conjunto finito de nmeros. Isto , se ( ) ( ) ( ) { }n 2 1x f , , x f , x f Kfor um conjunto de n nmeros, ento a mdia aritmtica ser dada por ( )nx fn1 ii = Parageneralizarestadefinio,considereumapartioregulardointervalofechado[a,b],que dividido em n subintervalos( ) n a b x = . Seja ic qualquer ponto no i-simo subintervalo. Ento o quociente abaixo corresponde a mdia aritmtica de n nmeros: ( )nc fn1 ii = Como( ) n a b x = , temos que( ) a b x n 1 = . Substituindo este na expresso anterior da mdia, temos ( )( ) a bx c fn1 ii= Agora, tomando o limite quando n (ou, de forma equivalente,0 x ), temos, se o limite exis-tir, Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 29 ()( ) ( )( )== ban1 iindx x fa b1a bx c flim Isto nos leva a seguinte definio. Exemplo 1: Determine o valor mdio de( )2x 4 x f = em [2, 2]. Soluo: Reconhecemos esta funo como uma funo cujo grfico o semicrculo superior de raio 2 centrado na origem.A rea entre este semicrculo e o eixo x de [2, 2] pode ser calculada usando a frmula geo-mtrica ( ) 2 221r21A2 2= = =Como f no negativa, a rea tambm o valor da integral de f de 2 at 2: 2 dx x 4 A222= = . Logo, o valor mdio de f : ( ) 2241dx x 42 21f222M = = = Exemplo 2: Determine o valor mdio de( ) x cos x f = em [0, 2]. Soluo:PelaFiguraquemostraogrficodafunocossenonointervalo[0,2],podemosnotar que, como a funo positiva e negativa neste intervalo, a integral definida d a rea lquida, isto DEFIIO 2.5:Se a funo ffor integrvel no intervalofechado[a, b], o valor mdio def em [a, b], tambm chamado de mdia, ser ( )( )=baMdx x fa b 1f Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 30 0 A A A dx x cos3 2 120= + =, como podemos observar pela Figura. Logo,( ) 0 021dx x cos0 21f20M= == Portanto,ovalormdiodafunocossenonointervalo[0,2] zero. 2.5 TEOREMA FUDAMETAL DO CLCULO Os conceitos bsicos da integral definida foram usados pelos antigos gregos, h mais de 2000 anos, muito antes da formulao do clculo diferencial. No sculo XVII, quase simultaneamente, Newton e Leibnitz mostraram como o Clculo poderia ser usado para encontrar a rea de uma regio limitada porumacurvaouumconjuntodecurvas,definindointegraldefinidaporprimitivao,semusaro limite das somas de Riemann, como fizemos anteriormente. O procedimento envolve o que conhe-cido como o Teorema Fundamental do Clculo. Se f for contnua no intervalo fechado [a, b], ento, pelo Teorema 2.1 a integral definida ( )badx x fexiste (ou seja,f integrvel). Vamos estabelecer que se uma integral definida existir, ento ela ser um nico nmero. Se x for um nmero em [a, b], ento f ser contnua em [a, x], pois contnua em [a, b]. Consequentemente,( )xadt t fexiste e um nmero cujo valor depende de x, isto , esta integral define uma funo F tendo como seu domnio todos os nmeros no intervalo fechado [a, b] e, para a qual o valor funcional em qual-quer nmero x nesse intervalo dado por ( ) ( )=xadt t f x F Notas Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 31 i.Segundo a conveno notacional, se os limites de uma integral definida forem variveis, de-vero ser usados smbolos diferentes para esses limites e para varivel independente no inte-grando.Assim,comoxolimitesuperior,usamosaletratcomovarivelindependenteno integrando. ii.Se a funo do integrando f (t) 0 para todo t em [a, b], ento os valores funcionais de F(x) poderoserinterpretadosgeometricamentecomoamedidadareadaregiolimitadapela curva cuja equao y = f (t), pelo eixo t e pelas retas t = a e t = x. Vamos agora enunciar um teorema importante que d a derivada da funo F definida como integral definida tendo um limite superior varivel. Esse teorema chamado Teorema Fundamental do Clculo Parte 1. i.OTeoremaFundamentaldoClculoParte1estabelecequeaintegraldefinida( )xadt t f , com o limite superior varivel x e f contnua, que ser chamada de integral indefinida, uma primitiva de f. ii. importante ressaltar que se f no for contnua essa integral poder existir, mas no ser uma primitiva de f como estabelece o Teorema. Ser s a integral indefinida da funo f. Prova do Teorema Fundamental do ClculoParte 1: Considere dois nmeros 1xex x1 +em [a, b]. Ento ( ) ( )=1xa1dt t f x F e( ) ( )+= +x xa11dt t f x x FEnto,( ) ( ) ( ) ( ) = ++1 1xax xa1 1dt t f dt t f x F x x FNotas TEOREMA 2.6: Teorema Fundamental do Clculo Parte 1 Seja f uma funo contnua no intervalo fechado [a, b] e seja x qualquer nmero no in-tervalo [a, b]. Se F for a funo definida( ) ( )=xadt t f x Fento,( ) ( ) x f x ' F = . Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 32 Agora, sabemos que podemos escrever ( ) ( ) ( ) + ++ =x xxxax xa111 1dt t f dt t f dt t f Substituindo essa igualdade na expresso anterior, obtemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ = ++1 111xax xxxa1 1dt t f dt t f dt t f x F x x FOu seja, ( ) ( ) ( )+= +x xx1 111dt t f x F x x FPelo Teorema do Valor Mdio para Integrais, existe um nmero c no intervalo fechado [x1, x1+x] tal que ( ) ( ) x c f dt t fx xx11=+ Isto ,( ) ( ) ( )( ) ( )( ) c fxx F x x Fx c f x F x x F1 11 1= += + Tomando o limite quando0 x , em ambos os lados da ltima igualdade, temos ( ) ( )( ) c f limxx F x x Flim0 x1 10 x = + Olimitedarazoincrementaldoprimeiromembroadefiniodederivada,isto,F(x1).Para determinar o limite do segundo membro, lembre que c est no intervalo fechado [x1, x1+x] e como 1 10 xx x lim = e( )1 10 xx x x lim = + segue que, pelo Teorema do Confronto, o10 xx c lim = . Portanto, temos que( ) ( )10 xx f c f lim = . Logo,( ) ( )1 1x f x ' F =Comox1qualquernmeronointervalo[a,b],estaltimaigualdadeestabeleceoquequeramos provar. Exemplo1:UseoTeoremaFundamentaldoClculoParte1(TFC1)paradeterminaras seguintes derivadas. Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 33 a) xadt t cosdxd.Soluo: Usando TFC1, temos quex cos dt t cosdxdxa=. b) 2x3dt t tgdxd. Soluo: O limite superior x2 e no x. Isto nos leva a aplicar a Regra da Cadeia, fazendo u = x2, para aplicarmos o TFC1 e encontrarmos a derivada. 22u3x3x tg x 2x 2 x tgdxduu tgdxdudt t tgduddt t tgdxd2==== c) ++4x 3 1t2dte 2 1dxd.Soluo: Para usarmos o TFC1, devemos primeiro usar a propriedade +++ =+22x 3 14t4x 3 1tdte 2 1dte 2 1 e, assim, usarmos a regra da cadeia, fazendo u = 1+ 3x2, para ento aplicarmos o TFC1 para encon-trar a derivada. Ou seja, ( )( )2222x 3 1x 3 1uu4tx 3 14t4x 3 1te 2x 6x 6e 21dxdue 21dxdudte 2 1duddte 21dxddte 2 1dxd+++++ =+ =+ =+ =+ =+ Vamos agora Segunda Parte do Teorema Fundamental do Clculo. Essa Parte descreve co-mo calcular integrais definidas sem ter de calcular limites de somas de Riemann. Em vez disto, en-contramos e calculamos uma primitiva nos limites de integrao. Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 34 Prova: Se f for contnua em todos os nmeros em [a, b], ento a integral( )xadt t fdefine uma funo F cuja derivada e [a, b] f. Como por hiptese, g(x) = f(x), ento pelo Teorema 1.1, temos que ( ) ( ) C dt t f x gxa+ =,onde C uma constante. Tomando x = b nesta equao, temos ( ) ( ) C dt t f b gba+ =e, agora, tomando x = a, obtemos ( ) ( ) C dt t f a gaa+ =.Isto , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =

+

+ = aabaaabadt t f dt t fC dt t f C dt t f a g b g Mas sabemos que( ) 0 dt t faa=. Portanto,( ) ( ) ( )= badt t f a g b g ,como queramos provar. OTeoremadizqueparacalcularaintegraldefinidadefem[a,b],tudooqueprecisamos fazer : 1.Determinar uma primitiva F de f ; 2.Calcular o nmero( ) ( ) ( ) a F b F dx x fba =. TEOREMA 2.7: Teorema Fundamental do Clculo Parte 2 Seja f uma funo contnua no intervalo fechado [a, b] e seja g uma funo tal que ( ) ( ) x f x ' g =para todo x em [a, b]. Ento ( ) ( ) ( ) a g b g dx x fba = Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 35 A notao usual para F(a)F(b)( ) |bax F . Portanto,( ) ( )|babax F dx x f =. Exemplo2:ComonoExemplo1,doCaptulo1,acheareadaregiolimitadapelacurva 2x y = , o eixo x e a reta x = 3, agora usando o Teorema Fundamental do Clculo Parte 2 (TFC2) para o clculo desta rea. Soluo: A rea sob o grfico dessa funo a integral definida ( ) ( ) | | . q . u 93270 3313xdx x A3 3303302= = =

= = EsteExemplo2mostracomocalcularreasobogrficodeumafunononegativanointervalo dado. E, sobretudo, mostra quo mais fcil o clculo de reas usando o TFC2 em vez da definio de integral definida, ou seja, pelo limite das somas de Riemann, como feito no Exemplo 1 do Captu-lo 1. Exemplo3:UseoTeoremaFundamentaldoClculoParte2(TFC2)paracalcularasse-guintes integrais definidas. a) 0dx x cos . Soluo: Podemos encontrar a primitiva diretamente e aplicar o TFC2. Assim, | 0 0 sen sen x sen dx x cos00= = = b) +30dx x 1 x .Soluo1:Paraencontrarmosaprimitiva,precisamosusararegrada substituio. Podemos fazer u = x + 1, ou x = u 1, portanto, du = dx. Com isto determinamos que ( )( ) ( )3 51 x321 x52u32u52du u u du u 1 u dx x 1 x23252123+ + = =||

\| = = + E a integral definida ser ento Nota Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 36 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )151161321524324521 x321 x52dx x 1 x3 5 3 5303 530=

=

+ + = + Soluo 2: Agora usaremos a regra da substituio fazendo tambm a mudana nos limites de inte-grao. Assim, como na soluo anterior, fazemos u = x + 1, ou x = u 1, du = dx, e tambm faze-mos uma mudana coerente dos limites de integrao: quando x = 0,u = 1; quando x = 3,u = 4 Ento, ( )15116u32u52du u u du u 1 u dx x 1 x4141403123252123=

=||

\| = = + Esta Soluo 2 um outro mtodo para calcular a integral definida e decorre do Teorema 1.3, a Re-gra da Substituio, Exemplo 4: O que est errado no seguinte clculo? 3411311xdxx1311312 =

||

\| ||

\| =

= Soluo: Para comear,notamos que este clculo deve estar errado, pois a resposta negativa, mas 0 x f ) ( e a Propriedade 5 estabelece que esta integral deve ser no negativa. O Teorema Fundamen-tal do Clculo aplica-se a uma funo contnua e no pode ser aplicado neste caso, pois a funo do integrando no contnua em [1, 3]. De fato, h uma descontinuidade infinita em x = 0, portanto 312 dxx1no existe. Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 37 ILUSTRAES E APLICAES: Ilustrao 1: Em Matemtica, o root mean square (abreviado por RMS) significa a mdia quadrtica. Esta especialmente til quando a quantidade assume valores positivos e negativos. O RMS utilizado em vrios campos, especificamente em engenharia eltrica. O valor RMS de um conjunto de valores a raiz quadrada da mdia aritmtica do quadrado dos valores originais. Para o conjunto de n valores} {n 3 2 1x , x , x , x K , o valor RMS dado por nx x x xx2n232221RMS+ + + +=K A correspondente frmula para uma funo contnua, onde f (t) definida no intervalo [T1, T2], ( ) | |=2T1 T21 2RMSdt t fT T1f Exemplo 5: Calcule o valor RMS da funo( ) x cos a x f = , onde a > 0, no intervalo [0, 2]. Soluo: Tomando a frmula dada, temos que o valor RSM para funo( ) x cos a x f =no intervalo solicitado | | ( )| |2a2212ax 2 sen x212adx x 2 cos 12adx x cos2adx x cos a0 21f22021220 2122022202RMS= = + =+ = == Agora,compareesteresultadocomovalormdiodafunocossenocalculadonoExemplo2da seo 2.4 para o mesmo intervalo [0, 2]. Exemplo 6: Em engenharia, a potncia P (watts) dissipada por uma resistncia eltrica R (ohns) pode ser fa-cilmentecalculadaquandotantoaresistnciaquantoacorrenteeltricaI(ampere)soconstantes. Isto , 2I R P=Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 38 Entretanto, se a corrente eltrica for dependente do tempo, a potncia dada ser tambm dependente do tempo, ou seja, ser uma potncia instantnea. Para o clculo de uma potncia mdia em determi-nado intervalo de tempo, devemos usar valores mdios. Portanto, M2M2M MI R I R P ) ( ) ( = =onde foi feito que para a resistncia constante,R RM = . Ento, pela definio de RMS, temos: 2RMS MI R P ) ( =Assim, o valor RMS da corrente um valor constante que produz a mesma dissipao de energia que causa a corrente varivel no mesmo intervalo de tempo [T1, T2]. Ilustrao 2: O concreto definido como sendo a mistura de um aglomerante (cimento), agregados (areias e britas), gua e aditivos, com a finalidade de construo de peas para obras civis. No entanto, situ-aesespeciaispoderoexistir,levando-seemcontaasparticularidadesdaspeasasquaissero concretadas. Sendo assim, outros agregados podero ser utilizados tais como: isopor, argila expandi-da, etc. Exemplo 7: Considere uma pea de densidade uniforme, conforme Fig., feita de concreto com argila ex-pandida de densidade de 1.700 Kg/m3. Sabendo que a parte superior da pea foi moldada seguin-do a funo xe x f= ) (e considerando as dimenses postas na Fig., calcule a quantidade de con-creto que dever ser usada na sua construo. Soluo: Para o clculo da quantidade de concreto a ser usada, devemos primeiro calcular o volume da pea e posteriormente multiplicarmos o volume encontrado pela densidade do concreto (j que a densidade uniforme). O volume de um cilindro reto dado pela rea A da base vezes a altura. Isto ,devemoscalcularareadabasequeareasobogrficoda funo f. Assim, |2m) (||

\| =+ = = = = 3330x30x30e11 A1e1Ae dx e dx x f A Glnio Aguiar Gonalves - UFPel | IFM 39 Portanto, o volume ser 3m , , 475 0 5 0e11 h A V3= ||

\| = = . E a quantidade de concreto ser ento de 807,7 Kg. OTeoremaFundamentaldoClculoinquestionavelmenteomaisimportantedoclculo. Antesdesuadescoberta,problemasdeencontrarreas,volumesecomprimentosdecurvas(arcos) eram to desafiadoramente difceis. Agora, a partir deste mtodo que Newton e Leibniz construram para o Teorema Fundamental do Clculo, esses problemas so mais acessveis. Nota