Apostila didática: Controle...

Ministério da EducaçãoUniversidade Federal de Santa Maria

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Apostila didática:Teoria Básica de Controle Adaptativo com Exercícios Resolvidos

Versão 1.0

Prof. Rodrigo Varella Tambara, Dr. Eng.Santa Maria, RS, Brasil

2018

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Esta apostila didática tem o objetivo de ajudar alunos de graduação, pós-graduaçãoe profissionais de engenharia a desenvolverem habilidades no projeto e implementaçãode técnicas adaptativas em sistemas de controle de tempo contínuo e de tempo discreto.Técnicas de estimação de parâmetros e de ganhos adaptativos são apresentadas, utilizandotanto a abordagem por espaço de estados, como a abordagem entrada-saída.

Diversos problemas são propostos e resolvidos utilizando a linguagem Matlab demodo que, através destes programas, o leitor poderá compreender melhor a implementaçãodos algoritmos adaptativos.

Salienta-se que o objetivo desta apostila é apresentar um conteúdo introdutóriosobre controle adaptativo. Assim, uma revisão bibliográfica é apresentada com o objetivode dar um suporte teórico ao leitor acerca de artigos e livros que tratam de controleadaptativo.

Críticas, sugestões e correções podem ser enviadas para o contato: [email protected]

Todos os direitos autorais reservados a Rodrigo Varella Tambara. A reprodução de partes oudo todo deste trabalho só poderá ser feita com autorização por escrito do autor. Endereço: RuaErnesto Alves, No 199, Bairro Passo D’Areia, Santa Maria, RS, Brasil, CEP: 97020-270.

SUMÁRIO

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Controle adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Controle Direto e Indireto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Robustez de controladores adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Algoritmos de identificação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2.1 Algoritmos de identificação paramétrica do tipo gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2.2 Algoritmos de identificação paramétrica do tipo LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Aplicações de controladores adaptativos em Eletrônica de Potência . . . . . . . . . . . 132 Revisão Matemática e Modelagem de Sistemas Contínuose Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Modelagem em espaço de estados: contínuo e discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1 Aproximação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Modelagem por função de transferência: contínuo e discreto . . . . . . . . . . 172.5 Aproximações discretas de funções de transferência contínuas . . . . . . . . 172.6 Relação entre os modelos em espaço de estados e por função de trans-

ferência: contínuo e discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Controlador Adaptativo por Modelo de Referência . . . . . . . . . . . 193.1 Controle adaptativo por modelo de referência: entrada-saída . . . . . . . . . 193.1.1 Planta de primeira ordem com parâmetros conhecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Um primeiro mecanismo de adaptação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.3 Planta de primeira ordem com parâmetros desconhecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.3.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.4 Planta de ordem np com parâmetros desconhecidos: grau relativo n∗ = 1 . . . . 253.1.5 Planta de ordem np com parâmetros desconhecidos: grau relativo arbitrário . 273.2 Normalização de leis adaptativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Função σ-modification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Rejeição de distúrbios periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

SUMÁRIO

3.5 Controle adaptativo por modelo de referência: realimentação de es-tados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.1 Planta de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.2 Planta de segunda ordem: grau relativo n∗ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.3 Planta de segunda ordem: grau relativo n∗ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Estimação de Parâmetros em Tempo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1 Estimação de um parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Estimação de dois parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Estimação de vários parâmetros: caso vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4.1 Estimação de um parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4.2 Estimação de dois parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4.3 Estimação dos parâmetros de um circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Algoritmos do tipo Gradiente e LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 Análise de Estabilidade de Controladores Adaptativos . . . . . 416.1 Revisão de álgebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Análise de estabilidade de um controlador adaptativo por modelo de

referência: lei adaptativa do tipo gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3 Análise de estabilidade de um controlador adaptativo por modelo de

referência: lei adaptativa do tipo LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 Incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.1 Incertezas estruturadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 Incertezas não-estruturadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 Aspectos de Implementação Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.1 Usar ou não Usar um Controlador Adaptativo: Eis a Questão! . . . . . . 478.2 A Necessidade de Sinais Ricos em Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3 Entrada-Saída ou Realimentação de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.4 O Normalizador m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.5 Lei de Adaptação Gradiente e LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.6 Ordem de Atualização das Variáveis do Controlador Adaptativo . . . . . 498.7 Discretização das Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.8 Projeto do Mecanismo de Adaptação de Parâmetros θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.9 Frequência de amostragem 1/T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 Resolução dos Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1 Introdução

1.1 Definições

1.1.1 Controle adaptativo

Na linguagem atual, o termo adaptar significa modificar o comportamento deacordo com as novas circunstâncias. Então, controle adaptativo pode ser definido comouma técnica de controle que possui a capacidade de mudar seu comportamento de acordocom as modificações da dinâmica de um processo ou por distúrbios que afetam este sis-tema (ASTRÖM, 1987). Deste modo, pode-se notar que um controlador de ganhos fixosnão é um sistema adaptativo. Um controlador adaptativo deve ter a capacidade de mudarseus ganhos (ou parâmetros) em tempo real, como é ilustrado na Figura 1.1.

Figura 1.1 – Controlador Adaptativo (Fonte: (IOANNOU; SUN, 1996)).

É importante salientar que a técnica de mapeamento de ganhos, ou Gain Schedu-ling, não é classificada como controle adaptativo. Na técnica de mapeamento, os ganhossão pré-definidos e tabelados considerando um número finito de possíveis situações deoperação. No controle adaptativo, os parâmetros do controlador são modificados conti-nuamente a partir de uma lei de adaptação paramétrica.

1.1.2 Robustez

Tratando-se de possíveis aplicações, controladores adaptativos robustos são reco-mendados para o controle de sistemas que apresentam incertezas estruturadas e/ou in-certezas não-estruturadas (MILLER, 2003). Incerteza estruturada é definida como o nãoconhecimento exato da localização dos polos e zeros da planta. Incerteza não-estruturadaé definida como o não conhecimento do comportamento da fase e do ganho da planta em

6 1 INTRODUÇÃO

frequências de determinada faixa de operação, que por sua vez é causada por polos e zerosnão modelados.

É sabido que as técnicas de controle com ganhos fixos, largamente utilizadas naindústria, tais como PI (Proporcional-Integral) e PID (Proporcional-Integral-Derivativo)podem não garantir bom desempenho em certas aplicações, tal como controle de sis-temas que apresentam variações paramétricas (incertezas estruturadas) e/ou dinâmicasnão-modeladas (incertezas não-estruturadas) (FLORA; GRÜNDLING, 2008), ou seja, sis-temas que apresentam pontos de operação variáveis. Deste modo, o uso de uma técnicade controle adaptativa robusta é uma interessante escolha para tais aplicações.

A Figura 1.2 ilustra a operação de um controlador adaptativo típico. Na Figura1.2.a, a mudança dos parâmetros da planta ocorre em t = 150 ms e o controlador usado temganhos constantes. Pode-se notar um desempenho pobre a partir da mudança paramétricada planta. Na Figura 1.2.b, um controlador adaptativo é usado. Pode-se notar que apósa adaptação o desempenho transitório nominal é recuperado.

Figura 1.2 – Comparação de um controlador adaptativo com um controlador convencionalde ganhos fixos. (a) Controlador de ganhos fixos; (b) Controlador Adaptativo. (Fonte:LANDAU; LOZANO; M’SAAD; KARIMI, 2011)

1 INTRODUÇÃO 7

1.1.3 Modelagem

Um passo muito importante para o projeto de qualquer controlador é a modelagemda planta a qual se deseja controlar. Neste documento são utilizadas duas abordagens demodelagem: a abordagem por espaço de estados e abordagem entrada-saída. Na aborda-gem por espaço de estados, as variáveis de estados do sistema são medidas totalmente ouparcialmente. No caso de serem medidas parcialmente, as variáveis restantes devem serestimadas. Já a abordagem entrada-saída permite controlar a planta através do acessoda entrada e da saída da planta. Como se tem acesso apenas a estas duas variáveis,observadores internos são necessários para a estimação dos estados internos do sistema.

A Figura 1.3 apresenta, graficamente, os passos entre a modelagem, o projeto e aimplementação de um controlador.

Figura 1.3 – Passos para o projeto de um controlador (Fonte: (IOANNOU; SUN, 1996)).

8 1 INTRODUÇÃO

1.1.4 Controle Direto e Indireto

Os controladores adaptativos ainda podem ser divididos em dois tipos gerais: osdiretos ((IOANNOU; TSAKALIS, 1986a) e (IOANNOU; SUN, 1996)) (Figura 1.4) e osindiretos ((GIRI et al., 1989) e (IOANNOU; SUN, 1996)) (Figura 1.5). No método indi-reto, a lei de adaptação paramétrica é utilizado para identificar os parâmetros da partemodelada da planta e com base nesta estimação, os ganhos do controlador são calculadore, então, a lei de controle é calculada. Alguns métodos indiretos podem ser encontradosem (ASTRÖM, 1988) e (QINGZHENG; FEI; CHANGMAO, 2011). No método direto, osganhos do controlador são estimados diretamente a partir de um modelo de referência pré-estabelecido (IOANNOU; TSAKALIS, 1986a), (LOZANO-LEAL; COLLADO; MONDIÉ,1990), ou seja, não há a necessidade da identificação dos parâmetros da planta. Ainda,na literatura podem ser encontrados trabalhos que utilizam o método de controle diretoe indireto concomitantemente (DUARTE; NARENDRA, 1989).

Figura 1.4 – Controlador Adaptativo Direto (Fonte: (IOANNOU; SUN, 1996)).

Figura 1.5 – Controlador Adaptativo Indireto (Fonte: (IOANNOU; SUN, 1996)).

1 INTRODUÇÃO 9

1.1.5 Discretização

Outra questão muito importante para a implementação dos controladores adap-tativos é a discretização da planta e do controlador, já que este tipo de controlador éusualmente implementado em tempo discreto. Na literatura, encontram-se diferentes téc-nicas de discretização tais como: a transformada Z (OGATA, 1995) e a transformada δ(MIDDLETON; GOODWIN, 1990). A transformada Z é a técnica mais popular e di-fundida na literatura. No entanto, em certas aplicações em que precisão numérica podeser um problema de implementação (tais como aplicações em aritmética de ponto-fixo), atransformada δ é uma boa opção, pois esta técnica minimiza os erros numéricos causadospor arredondamento e/ou truncamento (LI; GEVERS, 1993), (RIBEIRO; JACOBINA;LIMA, 1997), (NEWMAN; HOLMES, 2003), (KHOO; REDDY, 2008), (PADGETT; AN-DERSON, 2009) e (SÁEZ et al., 2010).

Através desta reflexão, nota-se que sistemas de controle adaptativos são projetadospara estabilizar plantas sujeitas a parâmetros incertos e/ou dinâmicas não-modeladas,além de manter um bom desempenho, já que seus ganhos são adaptados em tempo real.Aliado as novas tecnologias, a sua implementação digital permite, facilmente, o ajuste dosvários parâmetros de projeto.

1.2 Revisão bibliográfica

É desejável que qualquer controlador tenha a habilidade de manter a estabilidadee bom desempenho do sistema, mesmo na presença de incertezas no modelo da planta,como dinâmicas não-modeladas, variações paramétricas e distúrbios, por exemplo. Estapropriedade é usualmente denominada robustez.

1.2.1 Robustez de controladores adaptativos

Desde a década de 80, várias modificações têm sido propostas em controlado-res adaptativos para melhorar algumas características importantes, tais como robusteze desempenho (em transitórios e em regime permanente) do sistema de controle. Estasmodificações são baseadas, por exemplo, na inclusão de funções do tipo: σ-modification,normalização robusta e zona-morta (IOANNOU; TSAKALIS, 1986a). Assim, muitas es-truturas de controle adaptativo foram desenvolvidas com extensas análises de estabilidadepara resolver problemas de plantas com incertezas estruturadas e/ou não-estruturadas.

Vários trabalhos na literatura abordam a questão de estabilidade de controla-dores adaptativos, tais como (NARENDRA; LIN; VALAVANI, 1980), (ROHRS et al.,

10 1 INTRODUÇÃO

1982), (MORSE, 1985), (LOZANO-LEAL; GOODWIN, 1985), (IOANNOU; TSAKA-LIS, 1986a), (NARENDRA; ANNASWAMY, 1987), (IOANNOU; TSAKALIS, 1988),(LOZANO-LEAL; COLLADO; MONDIÉ, 1990), (IOANNOU; DATTA, 1991), (DATTA,1993), (ANDERSON; LANDAU, 1994), (GRÜNDLING, 1995), (RICHTER, 2003) e (STE-FANELLO, 2010). No entanto, é muito comum encontrar na literatura trabalhos sobreestabilidade robusta de controladores adaptativos em tempo contínuo (IOANNOU; TSA-KALIS, 1986a), (NARENDRA; ANNASWAMY, 1987), (LOZANO-LEAL; COLLADO;MONDIÉ, 1990), (GRÜNDLING, 1995), (RICHTER, 2003) e (STEFANELLO; GRÜN-DLING, 2010). Apesar destes trabalhos apresentarem extensivas análises de estabilidade,controladores adaptativos são, usualmente, implementados em tempo discreto. Destemodo, o projeto de controladores adaptativos em tempo contínuo não leva em conside-ração as características intrínsecas da implementação digital, tais como: atraso de trans-porte e retenção de amostras. Portanto, estas análises de estabilidade em tempo contínuopodem perder a validade em uma aplicação de tempo discreto. Por isso, é importante odesenvolvimento das provas de estabilidade de controladores adaptativos diretamente emtempo-discreto.

As provas de estabilidade dos controladores adaptativos são extremamente impor-tantes devido aos seguintes motivos: i) A prova de convergência dos ganhos do controla-dor, mesmo que sob hipóteses idealizadas, dão credibilidade para as aplicações práticasde controladores adaptativos; ii) A prova de estabilidade ajuda a caracterizar o grau derobustez de controladores adaptativos; e iii) A prova de estabilidade sugere meios paramelhorar os controladores tanto no que diz respeito à estabilidade quanto ao desempenho(GOODWIN; HILL; PALANISWAMI, 1984).

Tratando-se de análises de estabilidade de controladores adaptativos, estas podemenvolver: variações paramétricas, dinâmicas não-modeladas e distúrbios. No caso daprova de estabilidade de sistemas sem o efeito de dinâmicas não-modeladas e de distúrbios,pode-se utilizar a teoria de Lyapunov (IOANNOU; SUN, 1996) para provar que o errode adaptação de parâmetros tende a zero quando t → ∞ e, por consequência, o errode rastreamento ou regulação também tende a zero. No caso de a análise ser realizadapara sistemas com a presença de dinâmicas não-modeladas e distúrbios, deve-se provarque a candidata à função de Lyapunov é limitada em módulo, que os sinais internos damalha fechada são limitados e que o módulo do erro de rastreamento é pequeno na média.Portanto, quando o sistema de controle adaptativo é estável na presença de dinâmicasnão-modeladas e distúrbios, é dito que este controlador adaptativo é robusto a incertezasestruturadas e não-estruturadas.

Devido às questões comentadas, alguns trabalhos apresentam a análise de estabi-lidade diretamente em tempo discreto (SALGADO; GOODWIN; MIDDLETON, 1988),(IOANNOU; TSAKALIS, 1986b) e (DATTA, 1993). O trabalho de (IOANNOU; TSA-KALIS, 1986b) apresenta um desenvolvimento completo de um controlador RMRAC em

1 INTRODUÇÃO 11

tempo discreto com base num algoritmo do tipo gradiente. A análise é desenvolvida consi-derando a presença de dinâmicas não-modeladas do tipo aditiva e multiplicativa. Outrostrabalhos utilizam algoritmos baseado no método dos mínimos quadrados, ou LS (LeastSquares) que apresentam uma maior taxa de convergência dos ganhos do controlador,quando comparados aos algoritmos do tipo gradiente. Devido à boa característica tran-sitória do algoritmo LS, o trabalho de (SALGADO; GOODWIN; MIDDLETON, 1988)apresenta uma análise da estabilidade no controlador em tempo discreto com base numalgoritmo de LS modificado, onde bons resultados são obtidos com esta técnica de con-trole.

1.2.2 Algoritmos de identificação de parâmetros

Visando controlar uma planta que apresente variações paramétricas e/ou dinâ-micas não-modeladas, o sistema de controle adaptativo deve possuir um mecanismo oualgoritmo de adaptação paramétrica. Este algoritmo de adaptação deve ter a capacidadede modificar os ganhos do controlador de modo a manter a estabilidade e bom desempenhodo sistema de controle.

1.2.2.1 Algoritmos de identificação paramétrica do tipo gradiente

Os algoritmos do tipo gradiente são caracterizados por possuírem uma taxa deadaptação paramétrica fixa, definida pela matriz Γ. Estes algoritmos são mais simplesde serem projetados e implementados, quando comparados aos algoritmos do tipo LS. Noentanto, os algoritmos LS possuem uma maior taxa de convergência no período transitório,que implica em menor tempo de convergência dos ganhos a serem adaptados. A seguir éapresentado um exemplo de equação recursiva para um algoritmo do tipo gradiente (emtempo discreto), baseado no algoritmo apresentado em (IOANNOU; TSAKALIS, 1986a)

θ(k + 1) = (I− σ(k)ΓTs)θ(k)− T Γζ(k)ε1(k)m2(k) , (1.1)

onde θ é o vetor de ganhos (também denominado vetor de parâmetros) do controlador,σ é uma função auxiliar (definida no Capítulo 3), Γ é uma matriz que dita a velocidadede adaptação dos parâmetros θ, T é o período de amostragem, ζ é um vetor auxiliar,ε1 é o erro aumentado (que é função do erro de rastreamento e do erro de adaptaçãode parâmetros) e m2 é um sinal de normalização para o sistema. Uma versão destealgoritmo de identificação, em tempo contínuo, foi utilizado no trabalho de (IOANNOU;TSAKALIS, 1986a), no qual este propõe um controlador RMRAC.

Alguns trabalhos, tais como (HSU, 1988), (STEFANELLO; GRÜNDLING, 2010)

12 1 INTRODUÇÃO

e (STEFANELLO, 2010) tratam de controladores adaptativos por modelo de referênciajuntamente com controladores por estrutura variável. A junção destes dois tipos de con-troladores cria uma estrutura adaptativa capaz de ter boa resposta transitória e de regimepermanente. A resposta transitória é melhorada devido à parcela de estrutura variável queatua apenas nos transitórios. Em termos de desempenho transitório e resposta de regimepermanente, os algoritmos do tipo LS e os algoritmos de estrutura variável apresentamresultados satisfatórios.

1.2.2.2 Algoritmos de identificação paramétrica do tipo LS

Os algoritmos de adaptação de parâmetros do tipo LS são caracterizados por pos-suir uma matriz de covariância P que dita a velocidade de adaptação de parâmetros.Normalmente, esta matriz é iniciada com um valor elevado para acelerar o processo deadaptação no transitório de partida do sistema de controle.

Um exemplo de algoritmo recursivo baseado no método LS é apresentado a seguir

θ(k + 1) = [I− Tσ(k)P(k)]θ(k)− T P(k)ζ(k)ε1(k)m2(k) . (1.2)

A matriz de covariância P(k) é expressa pela seguinte equação

P(k) = P(k − 1)− T P(k − 1)ζ(k)ζT (k)P(k − 1)m2(k) . (1.3)

A equação (1.3), apesar de possibilitar o aumento da taxa de convergência doalgoritmo adaptativo em transitórios, possui o incoveniente de levar a matriz P a umamatriz nula em regime permanente. Algumas soluções propostas na literatura evitam esteproblema, tal como (SALGADO; GOODWIN; MIDDLETON, 1988), que propuseram umalgoritmo de adaptação de parâmetros do tipo LS, em tempo discreto em que a matrizde covariância P não tende a uma matriz nula, em regime permanente.

O algorimo de adaptação proposto por (SALGADO; GOODWIN; MIDDLETON,1988) é expresso pela seguinte equação

θ(k + 1) = θ(k)− αP(k)ζ(k)ε1(k)m2(k) (1.4)

e a matriz de covariância P(k) pode ser calculada pela seguinte equação

P(k) = 1λP(k − 1)− αP(k − 1)ζ(k)ζT (k)P(k − 1)

m2(k) − δP2(k − 1) + βI (1.5)

Os autores (LOZANO-LEAL; COLLADO; MONDIÉ, 1990) propuseram um al-goritmo de adaptação robusto do tipo LS modificado, em que se evita que a matriz P

1 INTRODUÇÃO 13

tenda a uma matriz nula em regime permanente. O algoritmo inicia com uma alta taxade adaptação e em regime permanente o algoritmo se comporta como um gradiente (ma-triz P fixa). O algorimo de adaptação de parâmetros proposto por (LOZANO-LEAL;COLLADO; MONDIÉ, 1990) é expresso pela seguinte equação

.

θ(t) = −σ(t)P(t)θ(t)− P(t)ζ(t)ε1(t)m2(t) (1.6)

e a matriz de covariância P pode ser calculada pela seguinte equação

.

P(t) = −P(t)ζ(t)ζT (t)P(t)m2(t) + (λP(t)− P(t)2

R2 )µ2 (1.7)

Em (LOZANO-LEAL; COLLADO; MONDIÉ, 1990), as provas de estabilidadeforam realizada para o caso de a planta apresentar dinâmicas não-modeladas.

1.2.3 Aplicações de controladores adaptativos em Eletrônica de Potência

Com o advento dos microcontroladores e DSCs (Digital Signal Controllers), tornou-se possível a implementação de algoritmos adaptativos avançados, onde a implementaçãoé realizada com baixo custo e com frequência de amostragem de vários kHz (ASTRÖM;KANNIAH, 1993). Em (ASTRÖM; WITTENMARK, 1995) é apresentado um conjuntode aplicações típicas de controladores adaptativos onde são descritos exemplos de contro-ladores adaptativos industriais. Em muitas aplicações, controladores PIDs são preferidosdevido à sua simplicidade de projeto e de ajuste e por não necessitar de um grande apa-rato computacional para a sua implementação. No entanto, em várias aplicações, devidoà complexidade da planta a ser controlada, controladores adaptativos são interessantessoluções quando comparados a controladores de ganhos fixos, tais como PID, LQR (LinearQuadratic Regulator), repetitivos e outros.

O controlador RMRAC direto tem apresentado um bom desempenho em váriasaplicações em Eletrônica de Potência, tais como (GRÜNDLING; CARATI; PINHEIRO,1997), (CARATI; RICHTER; GRÜNDLING, 2000), (CARATI; MONTAGNER; GRÜN-DLING, 2000), (STEFANELLO, 2006), (FLORA; GRÜNDLING, 2008),(STEFANELLOet al., 2008), (STEFANELLO, 2010), (MASSING et al., 2012), (TAMBARA, 2010),(TAMBARA et al., 2010), (TAMBARA et al., 2011a), (TAMBARA et al., 2011b) e(TAMBARA et al., 2013).

Os autores (CARATI; MONTAGNER; GRÜNDLING, 2000) e (STEFANELLO,2006) desenvolveram controladores em tempo discreto implementados em plataforma DSCpara ajustar a tensão de saída de uma FPCA (Fonte de Potência CA) monofásica e tri-fásica, respectivamente. Na mesma linha, (FLORA; GRÜNDLING, 2008) projetou umcontrolador RMRAC para ajustar a forma de onda da tensão de saída de uma FPCA

14 1 INTRODUÇÃO

utilizada para o acionamento de uma máquina de vibração eletrodinâmica. Com estecontrolador, obteve-se bom rastreamento da referência e estabilidade numa ampla faixade frequências e amplitudes. Na área de controle de máquinas elétricas, objetivando obterbom desempenho e estabilidade numa vasta faixa de velocidades, (CÂMARA, 2007) e(MARTINS, 2006) utilizaram um controlador RMRAC para controle de velocidade demotores de indução trifásicos. Na área de filtros ativos, (STEFANELLO et al., 2008)utilizou um controlador RMRAC para controle da corrente sintetizada por um filtro ativode potência paralelo. (MASSING et al., 2012) apresenta um controlador com alocaçãoadaptativa de polos baseado no método LS para controlar a corrente de conversores conec-tados à rede elétrica usando filtros LCL. Bons resultados experimentais são obtidos como controlador adaptativo em uma grande faixa de variação paramétrica dos elementos darede.

2 Revisão Matemática e Modelagem de Sistemas Contínuos eDiscretos

Este capítulo apresenta uma pequena revisão sobre modelagem de sistemas físicoscontínuos e discretos.

Através das ferramentas matemáticas apresentadas neste capítulo, o leitor poderácompreender os conteúdos dos capítulos seguintes.

2.1 Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace L unilateral de uma função contínua x(t) é definidapela expressão

Lx(t) = X(s) =∫ ∞

0e−stx(t)dt (2.1)

onde t é o tempo contínuo e s é a frequência complexa contínua.

2.2 Transformada Z

A Transformada Z pode ser interpretada como uma Transformada de Laplace paravariáveis discretas.

Assim, a Transformada Z unilateral de uma função discreta x(kT ) é definida pelaexpressão

Zx(kT ) = X(z) =∞∑k=0

e−skTx(kT ) (2.2)

onde z é a frequência complexa discreta.Utilizando a função que mapeia os polos e zeros do plano s no plano z, ou seja

z = esT , e omitindo o período de amostragem T , pode-se e reescrever (2.2) da seguinteforma

Zx(k) = X(z) =∞∑k=0

z−kx(k) (2.3)

Uma operação muito útil para obtenção de filtros digitais é a operação de deslo-camento ou, do inglês: shift-operator. O avanço de n amostras é realizado da seguinteforma

x(k + n) = Z−1 znx(z) (2.4)

e o atraso de n amostras é realizado da seguinte forma

x(k − n) = Z−1z−nx(z)

(2.5)

162 REVISÃO MATEMÁTICA E MODELAGEM DE SISTEMAS CONTÍNUOS E

DISCRETOS

2.3 Modelagem em espaço de estados: contínuo e discreto

Nesta apostila, nós iremos nos concentrar em sistemas lineares e invariantes notempo do tipo SISO (Single-Input, Single-Output), ou seja, com uma entrada u e umasaída y.

Assim, um SISO sistema linear e invariante no tempo pode ser modelado no domí-nio do tempo contínuo através de um sistema de equações de primeira ordem da seguinteforma

X(t) = AX(t) + Bu(t) (2.6)

onde X é o vetor de estado, u é o sinal de entrada do sistema, A e B são matrizes dedimensões adequadas.

A solução geral de (2.6) é expressa por

X(t) = eAtX(t) +∫ t

0eA(t−τ)Bu(τ)dτ (2.7)

A equação da saída de um modelo em espaço de estados é dada por

y(t) = CX(t) + Du(t) (2.8)

onde y é o sinal de saída do sistema, C e D são vetores.Considerando um sistema discreto, o mesmo pode ser modelado como

X(k + 1) = AdX(k) + Bdu(k) (2.9)

onde Ad = eAT e Bd = A−1(eAT − I)B.A equação da saída é dada por

y(k) = CX(k) + Du(k) (2.10)

Se o sistema for variante no tempo, teremos as matrizes variáveis A(t), B(t), C(t)e D(t).

2.3.1 Aproximação de Euler

Quando o período de amostragem T é suficientemente pequeno, a seguinte equação,denominada aproximação de Euler, pode ser utilizada

dX(t)dt

≈ X(k + 1)−X(k)T

(2.11)

2 REVISÃO MATEMÁTICA E MODELAGEM DE SISTEMAS CONTÍNUOS EDISCRETOS 17

Assim, a equação de estados (2.9) pode ser expressa por

X(k + 1) = (I + AT )X(k) + BTu(k) (2.12)

Esta aproximação é, comumente, utilizada para se calcular numericamente as equa-ções diferenciais de primeira ordem dos sistemas adaptativos.

2.4 Modelagem por função de transferência: contínuo e discreto

Um sistema SISO linear e invariante no tempo pode ser modelado no domínio dafrequência contínua s através da Transformada de Laplace, da seguinte forma

G(s) = Y (s)U(s) = K

sm + bm−1sm−1 + bm−2s

m−2 + ...+ b1s+ b0

sn + an−1sn−1 + an−2sn−2 + ...+ a1s+ a0(2.13)

Do mesmo modo que um sistema SISO linear e invariante no tempo pode sermodelado no domínio da frequência discreta z através da Transformada de Z, da seguinteforma

G(z) = Y (z)U(z) = Kd

zm + βm−1zm−1 + βm−2z

m−2 + ...+ β1z + β0

zn + αn−1zn−1 + αn−2zn−2 + ...+ α1z + α0(2.14)

Para a obtenção das funções de transferência, todas as condições iniciais devemser zeradas.

Para que o sistema seja causal, é necessário que n ≥ m.

2.5 Aproximações discretas de funções de transferência contínuas

Em muitas situações, precisamos obter uma versão discreta de uma função detransferência contínua G(s).

Um método simples é a aproximação Backward Difference Approximation (BDA)

G(z) = G(s)|s= 1−z−1

T

(2.15)

Outro método mais preciso é a transformação bilinear, ou Transformada Tustin

G(z) = G(s)|s= 2

T1−z−11+z−1

(2.16)

Aqui, o termo “preciso” indica que: para um mesmo período de amostragem T , aTransformada Tustin gera um modelo com menor erro, em relação à técnica BDA.

182 REVISÃO MATEMÁTICA E MODELAGEM DE SISTEMAS CONTÍNUOS E

DISCRETOS

2.6 Relação entre os modelos em espaço de estados e por função de transfe-rência: contínuo e discreto

Podemos obter uma função de transferência contínua diretamente a partir dasmatrizes do modelo no espaço de estados da seguinte forma

G(s) = C(sI−A)−1B + D (2.17)

Do mesmo modo, podemos obter uma função de transferência discreta diretamentea partir das matrizes do modelo no espaço de estados da seguinte forma

G(z) = C(zI−Ad)−1Bd + D (2.18)

Lembrando que os autovalores da matriz A são idênticos aos polos de G(s) (quandonão há polos e zeros comuns). O mesmo é válido para o caso discreto.

2.7 Exercício

Seja um circuito elétrico LCR apresentado a seguir:

Figura 2.1 – Circuito elétrico LCR.

Considere L = 1 mH, C = 25 µF e R = 100 Ω. Então, resolva:a) Obtenha a equação diferencial que relaciona u(t) e y(t);

b) Obtenha a função de transferência G(s) = Y (s)U(s) ;

c) Obtenha a função de transferência G(z) utilizando a Transformada Tustin, comum período de amostragem de T = 1µs;

d) Obtenha a equação de recorrência para solução numérica de y;e) Trace o diagrama de Bode de G(s) e G(z) em função da frequência em Hz;f) Programe a equação de recorrência em um ambiente de programação.g) Obtenha o modelo contínuo em espaço de estados, onde o vetor de estado é

formado pela corrente no indutor e pela tensão no capacitor;h) Solucione o modelo em espaço de estados utilizando o método de Euler. Pro-

grame o modelo discreto em um ambiente de programação.

3 Controlador Adaptativo por Modelo de Referência

Este capítulo tem o objetivo de apresentar leis adaptativas para identificação dosganhos em controladores adaptativos por modelo de referência.

Vale salientar que a grande maioria dos controladores adaptativos encontrados naliteratura utilizam modelo de referência devido à sua natureza mais intuitiva no projetode controladores.

3.1 Controle adaptativo por modelo de referência: entrada-saída

Um sistema de controle por modelo de referência é aquele em que o comportamentodinâmico do sistema em malha fechada é semelhante ao de um modelo de referênciaescolhido pelo projetista, conforme a Figura 3.1. Ou seja, as especificações de desempenhodo controlador são definidas por uma função de transferência pré-definida, considerandoum certo sinal de entrada r.

Figura 3.1 – Controlador Adaptativo por Modelo de Referência (Fonte: (IOANNOU;SUN, 1996)).

Assim, deseja-se que a resposta ym do modelo de referência siga a resposta y daplanta.

Para facilitar o entendimento desta teoria, vamos considerar, inicialmente, umaplanta de primeira ordem com parâmetros conhecidos.

3.1.1 Planta de primeira ordem com parâmetros conhecidos

Seja uma planta SISO de primeira ordem

Gp(s) = Y (s)U(s) = bp

s+ ap(3.1)

20 3 CONTROLADOR ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERÊNCIA

e um modelo de referência de primeira ordem

Wm(s) = Ym(s)R(s) = bm

s+ am(3.2)

Define-se a seguinte lei de controle

U(s) = θ∗1R(s)− θ∗2Y (s) (3.3)

onde θ∗1 e θ∗2 são os ganhos do controlador, R(s) é um sinal de referência, Y (s) é a saídada planta (3.1) e Ym(s) é a saída do modelo de referência (3.2).

Para que o sistema em malha fechada se comporte tal como o modelo de referência,é necessário que Y (s) = Ym(s). Para isto, fazemos

Y (s)R(s) = Ym(s)

R(s) = Wm(s) (3.4)

A saída da planta pode ser expressa como

Y (s) = Gp(s)U(s) (3.5)

Substituindo (3.3) em (3.5), podemos escrever

Y (s)R(s) = Gp(s)θ∗1

1 +Gp(s)θ∗2(3.6)

Substituindo (3.1) em (3.6) e, adicionalmente, usando (3.4), podemos escrever aseguinte equação de casamento

Y (s)R(s) = bpθ

∗1

s+ ap + bpθ∗2= bms+ am

= Ym(s)R(s) (3.7)

Assim, os ganhos verdadeiros do controlador por modelo de referência são θ∗1 = bmbp

e θ∗2 = am − apbp

. Note que o símbolo ∗ significa que o valor do parâmetro é o verdadeiro.O controlador apresentado aqui, garante que y = ym somente se a planta for per-

feitamente conhecida (ap e bp conhecidos). Caso a planta tenha parâmetros desconhecidosou incertos, um mecanismo de adaptação deve ser utilizado.

3.1.2 Um primeiro mecanismo de adaptação de parâmetros

Imagine um sistema com um parâmetro a ser adaptado: θ. Ajustaremos esteparâmetro de modo que a função custo

J(θ) = 12e

21 (3.8)

3 CONTROLADOR ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERÊNCIA 21

seja minimizada. Neste caso, e1 representa um erro (e1 = y − ym, por exemplo). Paratornar J pequeno, é razoável modificar o parâmetro θ em direção ao gradiente negativode J , tal como

dθ

dt= −γ ∂J

∂θ= −γe1

∂e1

∂θ(3.9)

onde γ é um ganho positivo e constante. Esta é a famosa regra de MIT.Assim, utilizaremos este primeiro método para identificar os parâmetros θ1 e θ2 para

o controle por modelo de referência de uma planta de primeira ordem com parâmetros ape bp desconhecidos.

3.1.3 Planta de primeira ordem com parâmetros desconhecidos

Vimos, anteriormente, que para o projeto do controlador por modelo de referênciaem uma planta de primeira ordem, necessitamos calcular dois parâmetros: θ1 e θ2. Destemodo, para utilizar a regra de MIT calcularemos

dθ1

dt= −γe1

∂e1

∂θ1(3.10)

edθ2

dt= −γe1

∂e1

∂θ2(3.11)

Definindo o erro de rastreamento, como

e1 = y − ym (3.12)

Agora, substituindo (3.12) nas derivadas ∂e1

∂θ2e ∂e1

∂θ2, temos

∂e1

∂θ1= ∂y

∂θ1− ∂ym∂θ1

= ∂y

∂θ1(3.13)

e∂e1

∂θ2= ∂y

∂θ2− ∂ym∂θ2

= ∂y

∂θ2(3.14)

Note que ∂ym∂θ1

= 0 e ∂ym∂θ2

= 0 devido ao fato de que ym é um sinal definido a priori eindepende do parâmetro a ser adaptado.

A partir de (3.7), podemos escrever

Y (s) = bpθ1

s+ ap + bpθ2R(s) (3.15)

considerando que s no domínio do tempo funciona como um operador diferencial, escreve-mos s ≡ d(.)

dt. Assim, para que possamos realizar a derivada parcial no domínio do tempo


∂y

∂θ1, reescreveremos (3.15) da seguinte maneira

y(t) = bpθ1d(.)dt

+ ap + bpθ2

r(t) (3.16)

Agora, derivando parcialmente y(t) em relação a θ1, temos

∂y

∂θ1= bpd(.)dt

+ ap + bpθ2

r (3.17)

Utilizando a mesma ideia para determinar θ2, derivamos parcialmente y(t) emrelação a θ2

∂y

∂θ2=

−b2pθ1(

d(.)dt

+ ap + bpθ2

)2 r (3.18)

Manipulando (3.16) e (3.18), temos

∂y

∂θ2= −bpθ1d(.)dt

+ ap + bpθ2

y (3.19)

Então, obtemos as derivadas parciais (3.17) e (3.19) necessárias para se calcular(3.10) e (3.11). No entanto, ap e bp são desconhecidos, o que nos impossibilita, a princípio,de calcularmos os respectivos parâmetros θ1 e θ2.

Se os coeficientes ap e bp fossem conhecidos, teríamos

ap + bpθ∗2 = am (3.20)

mas se considerarmos que θ1 e θ2 estão próximos dos seus valores verdadeiros (θ∗1 e θ∗2),então a seguinte aproximação é razoável

ap + bpθ2 ≈ am (3.21)

Utilizando a aproximação (3.21) em (3.19) e (3.17), podemos reescrever (3.10) e(3.11) como

dθ1

dt= −γ

amrd(.)dt

+ am

e1 (3.22)

edθ2

dt= γ

amyd(.)dt

+ am

e1 (3.23)

onde γ = γ′bpam

, e γ′ é uma constante positiva. Note que não precisamos saber exatamenteo valor de bp, apenas o seu sinal, pois γ é um valor escolhido pelo projetista com o objetivo


de se ajustar a velocidade de adaptação dos parâmetros θ1 e θ2. Assim, o valor de bp estádentro de γ.

Ainda, podemos expressar (3.22) e (3.23) da seguinte forma alternativa

dθ1

dt= −γ

(amr

s+ am

)e1 (3.24)

edθ2

dt= γ

(amy

s+ am

)e1 (3.25)

Note que a representação em (3.24) e (3.25) mistura tempo t e frequência s. Maso objetivo é salientar que os sinais r e y são filtrados pelo filtro de primeira ordem

F (s) = ams+ am

(3.26)

Para a implementação digital de (3.24) e (3.25), pode-se utilizar a aproximação deEuler, como é mostrado a seguir

θ1(k + 1) = θ1(k)− Tγζr(k)e1(k) (3.27)

eθ2(k + 1) = θ2(k) + Tγζy(k)e1(k) (3.28)

onde ζr(k) = F (z)r(k) e ζy(k) = F (z)y(k), e F (z) é a forma discreta do filtro (3.26).

3.1.3.1 Exemplo

Seja uma planta Gp(s) = 0,8s+ 1,4 , um modelo de referência Wm(s) = 3

s+ 3 e um

filtro auxiliar F (s) = 3s+ 3 . A Figura (3.2) apresenta a resposta y da planta e a resposta

ym do modelo de referência, e a Figura (3.3) apresenta os parâmetros adaptados θ1 e θ2,considerando um ganho de adaptação γ = 2. Nesta simulação, a referência r é um sinalquadrado (sinal rico em frequência) com amplitude unitária e período igual a 20 s. Osistema foi discretizado utilizando um período de amostragem T = 10ms e os modelosem s foram discretizados utilizando um ZOH (zero-order-hold). Note que, considerandoγ = 2, os parâmetros θ1 e θ2 ainda não convergiram totalmente no gráfico.

Com o intuito de acelerar a convergência, uma nova simulação foi realizada consi-derando γ = 5 (Figuras 3.4 e 3.5).

Assim, com γ = 5 os parâmetros θ1 e θ2 convergem para os valores verdadeirosθ∗1 = 3,72 e θ∗1 = 1,97 (calculados a partir dos modelos em z) em cerca de 150 s.

A medida que o valor de γ aumenta, mais rápida será a adaptação dos parâme-tros do controlador. No entanto, valores muito elevados para γ podem tornar o sistemainstável.


Tempo (s)0 50 100 150 200 250 300

Amplitude

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5ym

y

Figura 3.2 – Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência com γ = 2.

Tempo (s)0 50 100 150 200 250 300

Amplitude

-1

0

1

2

3

4

5θ1

θ2

Figura 3.3 – Parâmetros adaptados θ1 e θ2 com γ = 2.


Tempo (s)0 50 100 150 200 250 300

Amplitude

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5ym

y

Figura 3.4 – Resposta y da planta e a resposta ym do modelo de referência com γ = 5.

Tempo (s)0 50 100 150 200 250 300

Amplitude

-1

0

1

2

3

4

5θ1

θ2

Figura 3.5 – Parâmetros adaptados θ1 e θ2 com γ = 5.

3.1.4 Planta de ordem np com parâmetros desconhecidos: grau relativo n∗ = 1

Considere uma caso um pouco mais geral, onde a planta Gp(s) possui ordem np,no entanto, o grau relativo é n∗ = 1. A planta é modelada como

Gp(s) = kpZp(s)Rp(s)

(3.29)


onde kp é um ganho com sinal conhecido, Zp(s) é um polinômio mônico Hurwitz e Rp(s)é um polinômio mônico. Zp(s) possui mp raízes e Rp(s) possui np raízes, de tal modo deque o grau relativo de (3.29) é n∗ = np −mp, onde n∗ é igual a 1.

Agora, considere um modelo de referência

Wm(s) = kmZm(s)Rm(s) (3.30)

onde km é um ganho escolhido pelo projetista, Zm(s) é um polinômio mônico Hurwitz eRp(s) é um polinômio mônico Hurwitz. Zm(s) possui mm raízes e Rm(s) possui nm raízes,de tal modo de que o grau relativo de (3.30) é n∗ = nm −mm, onde n∗ é igual a 1.

A ação de controle é expressa por

u = θTω (3.31)

onde ω =[ω1

T ;ω2T ; y; r

]T, e ω1,ω2 ∈ Rnp−1. O vetor de ganhos θ =

[θ1

T ;θ2T ; θy; θr

]T,

e θ1,θ2 ∈ Rnp−1.A atualização de ω1 e ω2 é realizada através das seguintes equações

ω1 = Fω1 + qu (3.32)

eω2 = Fω2 + qy (3.33)

onde ω1(0) = 0 e ω2(0) = 0. O par (F,q) é controlável, F ∈ Rnp−1×np−1 e q ∈ Rnp−1.A implementação digital de (3.32) e (3.33) pode ser realizada da seguinte forma

ω1(k + 1) = (I + FT )ω1(k) + qTu(k) (3.34)

eω2(k + 1) = (I + FT )ω2(k) + qTy(k) (3.35)

Uma lei de adaptação possível pode ser expressa por

θ = −Γωe1sgn(ρ∗) (3.36)

onde ρ∗ = kp/km, sgn(.) representa a função sinal, e Γ = ΓT > 0, ou seja Γ é simétricae definida positiva (autovalores de Γ localizados no semiplano direito do plano complexoC).

A implementação digital de (3.36) pode ser realizada da seguinte forma

θ(k + 1) = θ(k)− TΓω(k)e1(k)sgn(ρ∗) (3.37)

Lembrando que estas equações são válidas apenas para o controle de plantas comgrau relativo unitário.


Para o controle de plantas de grau relativo arbitrário, algumas modificações sãonecessárias.

3.1.5 Planta de ordem np com parâmetros desconhecidos: grau relativo arbitrário

Quando o grau relativo da planta for n∗ > 1, o algoritmo de adaptação pode serescrito da seguinte forma

θ = −Γζε1sgn(ρ∗) (3.38)

onde o erro aumentado ε1 = e1 + θTζ −Wm

(θTω

)(vide Apêndice A) sendo que o termo

Wm

(θTω

)representa a filtragem do sinal escalar θTω pelo modelo de referência Wm(s),

ou Wm(z) para o caso discreto. E por fim, temos ζ = WmIω.O erro aumentado ε1 está diretamente relacionado às provas de estabilidade para

garantir que haja convergência paramétrica do vetor θ.Maiores detalhes sobre as equações desenvolvidas neste capítulo podem ser encon-

trados em (IOANNOU; SUN, 1996)).

3.2 Normalização de leis adaptativas

O leitor notará que as leis adaptativas apresentadas nas seções anteriores possuemum grave problema: a lei adaptativa diverge quando a amplitude da referência é grande.Para resolver este problema utiliza-se normalização.

A normalização consiste em dividir a lei de adaptação por uma função quadráticam2. Este sinal de normalização m2 normalmente é composto pelo sinais internos da malhafechada. Algumas soluções interessantes são

m2 = 1 + ωTω (3.39)

oum2 = 1 + ζTζ (3.40)

ou aindam2 = 1 + ζTΓζ (3.41)

Veja que o termo 1, nas equações, é utilizado para evitar que m2 cruze por 0.Assim, teremos, por exemplo, a seguinte lei adaptativa normalizada

θ = −Γζε1sgn(ρ∗)m2 (3.42)


Quando m2 = 1 dizemos que a lei adaptativa é não-normalizada.A implementação digital de (3.42) pode ser realizada da seguinte forma

θ(k + 1) = θ(k)− TΓζ(k)ε1(k)sgn(ρ∗)m2(k) (3.43)

3.3 Função σ-modification

A função σ-modification tem o objetivo de aumentar a robustez da lei de adaptaçãoparamétrica. Esta função pode ser expressa por

σ(t) =

0 se ‖θ(t)‖ < M0

σ0 se ‖θ(t)‖ ≥M0(3.44)

onde σ0 é o valor máxima de σ(t),Mo é um limitante superior do vetor ‖θ∗‖ eM0 > 2‖θ∗‖.Nota-se que a função σ-modification em (3.44) apresenta uma descontinuidade do

tipo degrau quando ‖θ‖ = M0. Esta descontinuidade pode, eventualmente, tornar aadaptação oscilatória.

Para suavizar o degrau da função σ, podemos expressar a função da seguinte forma

σ(t) =

0 se ‖θ(t)‖ < M0

σ0

(‖θ(t)‖M0

− 1)

se M0 ≤ ‖θ(t)‖ ≤ 2M0

σ0 se ‖θ(t)‖ > 2M0

(3.45)

e, nesse caso, M0 > ‖θ∗‖.Como, normalmente, não sabemos o valor de ‖θ∗‖, M0 é sobre-dimensionado.Assim, a lei de adaptação paramétrica pode ser expressa por

θ(t) = −σ(t)Γθ(t)− Γζ(t)ε1(t)sgn(ρ∗)m2(t) (3.46)

e a sua implementação digital pode ser realizada através da seguinte equação

θ(k + 1) = (I− Tσ(k)Γ)θ(k)− T Γζ(k)ε1(k)sgn(ρ∗)m2(k) (3.47)

3.4 Rejeição de distúrbios periódicos

Em muitas aplicações, a planta é sujeita a distúrbios externos periódicos. Estesdistúrbios podem ser atenuados através da sua medição e, concomitantemente, pela suaincorporação na lei de controle.


Seja um sistema modelado por espaço de estados com um distúrbio periódico d(t)

x(t) = −ax(t) + bu(t) + fd(t) (3.48)

Por simplicidade, suponhamos que d(t) seja um sinal senoidal mensurável

d(t) = Asin(ωt+ φ) (3.49)

Expressando o distúrbio d(t) como

d(t) = Asin(ωt+ φ) = Accos(ωt) + Assin(ωt) (3.50)

Podemos incorporar (3.50) na ação de controle da seguinte forma

ud(t) = θccos(ωt) + θssin(ωt) (3.51)

onde θc e θs são parâmetros a serem identificados.Deste modo, a lei de adaptação paramétrica irá identificar os pesos θc e θs para

a atenuar o distúrbio da planta. Note que é necessário a obtenção das componentes emcosseno e seno (isto é, em fase e em quadratura) do respectivo distúrbio, a partir damedição do mesmo.

Se o distúrbio d(t) não for senoidal, podemos estender a técnica considerando maiscomponentes harmônicas, tal como

ud(t) =klim∑k=1

(θckcos(ωkt) + θsksin(ωkt)) (3.52)

e, por fim, adicionar a equação (3.52) na lei de controle

utotal(t) = u(t) + ud(t) (3.53)

3.5 Controle adaptativo por modelo de referência: realimentação de estados

As equações apresentadas anteriormente, supõe que temos acesso apenas aos sinaisde entrada e de saída da planta, u e y.

Mas se tivermos acesso aos estados da planta, ou seja, o vetor X = [x1;x2;x3; ...;xn]T ,os vetores ω1 e ω2 poderão ser substituídos pelo vetor de estado X. Deste modo, é pos-sível entender que os vetores ω1 e ω2 têm a função de estimar informações dos estadosinternos da planta.


3.6 Exercícios

3.6.1 Planta de primeira ordem

Considere uma planta Gp(s) = 0,5s+ 1 e um modelo de referência Wm(s) = 2

s+ 2 .Então, resolva:

a) Projete e simule um controlador por modelo de referência em tempo contínuo etempo discreto para a respectiva planta, com um período de amostragem T = 10ms;

b) Projete e simule um controlador adaptativo por modelo de referência em tempodiscreto com T = 10ms. Compare os resultados para γ = 1, 2 e 3.

3.6.2 Planta de segunda ordem: grau relativo n∗ = 1

Considere uma planta Gp(s) = −2s− 10s2 − 2s+ 1 e um modelo de referência Wm(s) =

3s+ 3 .

Então, projete e simule um controlador adaptativo por modelo de referência emtempo discreto com T = 1ms.

3.6.3 Planta de segunda ordem: grau relativo n∗ = 2

Seja o circuito elétrico RLC (2.1). Considere L = 1 mH, C = 100 µF e R =100 Ω com condições inicias nulas. Projete um controlador adaptativo por modelo dereferência em tempo discreto para controlar a tensão y, considerando T = 100µs. Utilizea abordagem entrada-saída.

4 Estimação de Parâmetros em Tempo Real

Imagine que você deseja identificar automaticamente os valores de indutância, ca-pacitância e resistência de um circuitos elétrico LCR de estrutura conhecida (Figura 2.1).

Este capítulo tem o objetivo de apresentar algumas técnicas de estimação dos parâ-metros de plantas em tempo real que podem ser utilizada em estruturas de controladoresadaptativos indiretos, conforme a Figura 4.1.

Figura 4.1 – Controlador Adaptativo com Estimação de Parâmetros em tempo real (Fonte:(IOANNOU; SUN, 1996)).

Neste capítulo, estudaremos estimadores de: um parâmetro, dois parâmetros epara um número arbitrário de parâmetros.

4.1 Estimação de um parâmetro

Seja um sistema físico modelado da seguinte forma

y(t) = θ∗u(t) (4.1)

onde deseja-se estimar o parâmetro θ∗. Uma solução possível é

θ∗ = y(t)u(t) (4.2)

no entanto, esta solução não é muito interessante pois u(t) 6= 0.Uma ideia seria calcular θ(t) (estimação de θ∗), tal que y(t)→ y(t), onde y(t) é a

estimação de y(t).

32 4 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS EM TEMPO REAL

Então, define-se a estimação de y(t) como

y(t) = θ(t)u(t) (4.3)

Assim, o erro de estimação de y(t) é

ε1(t) = y(t)− y(t) = y(t)− θ(t)u(t) (4.4)

Define-se, também, o erro de estimação paramétrico θ(t) como

θ(t) = θ(t)− θ∗ (4.5)

Substituindo (4.1) em (4.4), temos

ε1(t) = θ∗u(t)− θ(t)u(t) = −θ(t)u(t) (4.6)

Agora, vamos encontrar uma equação diferencial para calcular θ(t), de modo aminimizar a função custo

J(θ) = 12ε

21 = 1

2 (y(t)− θ(t)u(t))2 (4.7)

Usando a regra de MIT em (4.7), podemos escrever

θ = −γ ∂J∂θ

= −γ∂(1

2 (y − θu)2)

∂θ(4.8)

Resolvendo (4.8), temos

θ = γ (y − θu)u = γε1u (4.9)

Deste modo, a equação (4.9) é uma lei de estimação não normalizada para umparâmetro θ.

Um método interessante para a obtenção de leis adaptativas é a análise de estabi-lidade de Lyapunov, que será demonstrado a seguir.

Seja uma função quadrática V

V = θ2

2γ (4.10)

se conseguirmos provar que V ≤ 0, então θ será limitado e, consequentemente, o sistemaserá estável.

A derivada temporal de V é

V = θ ˙θγ

= θθ

γ(4.11)

4 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS EM TEMPO REAL 33

note que ˙θ = θ, pois θ∗ é uma constante.Se definirmos a seguinte lei adaptativa

θ = γε1u (4.12)

e substituindo (4.12) em (4.11), temos

V = θε1u (4.13)

Agora substituindo (4.6) em (4.13), temos

V = −θ2u2 = −ε21 ≤ 0 (4.14)

Veja que a lei adaptativa (4.12) garante que V ≤ 0 e, deste modo, o sistema éestável, pois θ é limitado. Utilizando a teoria de normas (vide Apêndice B), temos queθ ∈ L∞ . No entanto, para que o erro paramétrico θ tenda a zero, também será necessárioque o sinal u(t) seja suficientemente rico em frequência (IOANNOU; SUN, 1996).

4.2 Estimação de dois parâmetros

Considere uma planta de primeira ordem expressa em espaço de estados

x(t) = −ax(t) + bu(t), x(0) = x0 (4.15)

onde a e b são constantes mas desconhecidos. Os sinais u e x estão disponíveis paramedição. Assumiremos que a > 0 (planta estável) e b 6= 0.

O objetivo será estimar a e b, tal que x(t)→ x(t).Assim, o erro de estimação de x é

ε1 = x− x (4.16)

O modelo de estimação em espaço de estados é expresso por

˙x(t) = −a(t)x(t) + b(t)u(t), x(0) = x0 (4.17)

A equação (4.17) é conhecida como modelo paralelo.Agora, devemos encontrar equações diferenciais para se calcular a(t) (estimação de

a) e b(t) (estimação de b) em tempo real.Usaremos, novamente, o método de Lyapunov. Então, seja uma função quadrática

V = 12(ε2

1 + ã2 + b2)

(4.18)

onde ã(t) = â(t)− a e b(t) = b(t)− b, são os erros paramétricos de â(t) e b(t), respectiva-


mente. Se conseguirmos provar que V ≤ 0, então ε1(t), ã(t) e b(t) são sinais limitados.A derivada temporal de V é

V = ε1ε1 + ãã + b ˙b (4.19)

ou tambémV = ε1ε1 + ãâ + b

˙b (4.20)

pois ã(t) = â(t) e ˙b(t) = ˙b(t), pelo fato de a e b serem constantes.

Agora, precisamos encontrar uma equação para ε1. Assim, derivando (4.16) emrelação ao tempo, temos

ε1 = x− ˙x (4.21)

Substituindo (4.15) e (4.17) em (4.21), podemos escrever

ε1 = −a(x− x) + (a− a)x− (b− b)u (4.22)

ou simplesmenteε1 = −aε1 + ãx− bu (4.23)

Agora, substituindo (4.23) em (4.20), temos

V = −aε21 + ãxε1 − buε1 + ãâ + b

˙b (4.24)

Se definirmos as seguintes leis adaptativas

â = −xε1 (4.25)

e˙b = uε1 (4.26)

a equação (4.24) será simplesmente

V = −aε21 ≤ 0 (4.27)

Veja que as leis adaptativas (4.25) e (4.26) garantem que V ≤ 0. Deste modo,considerando que o sinal u seja suficientemente rico em frequência, os erros paramétricosa e b tendem a zero.

Ainda, se quisermos adicionar ganhos de adaptação γ1 > 0 e γ2 > 0, podemosescolher a seguinte função quadrática

V = 12

(ε2

1 + ã2

γ1+ b2

γ2

)(4.28)


Definindo as seguintes leis adaptativas

â = −γ1xε1 (4.29)

e˙b = γ2uε1 (4.30)

a derivada temporal de V (4.28) será simplesmente

V = −aε21 ≤ 0 (4.31)

4.3 Estimação de vários parâmetros: caso vetorial

Considere uma planta de ordem np expressa em espaço de estados

X(t) = AX(t) + Bu(t),X(0) = X0 (4.32)

onde A e B são matrizes constantes mas desconhecidas. Os sinais u e X estão disponíveispara medição. Assumiremos que os autovalores de A estão localizados no semiplanoesquerdo do plano complexo C (planta estável).

O objetivo será estimar A e B, tal que X(t)→ X(t).Assim, o erro de estimação de X é

ε1 = X− X (4.33)

O modelo de estimação em espaço de estados é

˙X(t) = −A(t)X(t) + B(t)u(t), X(0) = X0 (4.34)

Agora, devemos encontrar equações diferenciais para se calcular A(t) (estimaçãode A) e B(t) (estimação de B).

Usando o método de Lyapunov: seja uma função quadrática V

V = ε1TPε1 + tr

(ATPAγ1

)+ tr

(BTPBγ2

)(4.35)

onde A(t) = A(t) − A e B(t) = B(t) − B, são os erros paramétricos de A(t) e B(t),respectivamente. Ainda, P = PT > 0, PA + ATP = −I, e γ1,γ2 > 0. Se conseguirmosprovar que V ≤ 0, então ε1(t), A(t) e B(t) são limitados.

Precisamos encontrar uma equação para ε1. Assim, derivando (4.33) em relaçãoao tempo, temos

ε1 = X− ˙X (4.36)


Substituindo (4.32) e (4.34) em (4.36), podemos escrever

ε1 = A(X− X

)+(A−A

)X−

(B−B

)u (4.37)

ou simplesmenteε1 = Aε1 + AX− Bu (4.38)

Então, utilizando (4.38) é possível escrever a derivada temporal de V como

V = −ε1Tε1 + 2tr

ATP ˙Aγ1

− ATPε1XT + BTP ˙Bγ2

− BTPε1uT (4.39)

ou também

V = −ε1Tε1 + 2tr

ATP ˙Aγ1

− ATPε1XT + BTP ˙Bγ2

− BTPε1uT (4.40)

pois ˙A(t) = ˙A(t) e ˙B(t) = ˙B(t), pelo fato de A e B serem constantes.Agora, definimos as seguintes leis de estimação de parâmetros

˙A = γ1ε1XT (4.41)

e˙B = γ2ε1uT (4.42)

Assim, substituindo (4.41) e (4.42) em (4.40), temos

V = −ε1Tε1 ≤ 0 (4.43)

Veja que as leis adaptativas (4.41) e (4.42) garantem que V ≤ 0. Agora, conside-rando um sinal u(t) suficientemente rico em frequência temos que os erros paramétricosA(t) e B(t) tendem a zero.

Note que todas as leis de estimação de parâmetros obtidas são equações diferenciaisde primeira ordem. Para implementar estas leis digitalmente, utilize a aproximação deEuler, apresentada no Capítulo 2.

Maiores detalhes sobre as equações desenvolvidas neste capítulo podem ser encon-trados em (IOANNOU; SUN, 1996)).


4.4 Exercícios

4.4.1 Estimação de um parâmetro

Seja um circuito elétrico modelado pela lei de Ohm: i(t) = v(t)R

, onde v é a tensão,i é a corrente e R é a resistência elétrica. Suponha que R = 2. Então, projete e programeum estimador em tempo discreto para o parâmetro R, considerando que v é a variável deentrada (ou variável de excitação).

4.4.2 Estimação de dois parâmetros

Um sistema dinâmico é representado pela seguinte equação: x(t) = −ax(t)+bu(t).Suponha que a = 10 e b = 10. Então, projete e programe um estimador em tempo discretopara os dois parâmetros.

4.4.3 Estimação dos parâmetros de um circuito LCR

Seja o circuito elétrico LCR (Figura 2.1). Considere L = 1 mH, C = 100 µF e R =20 Ω. Projete um estimador de parâmetros em tempo discreto que identifique R, L e Cautomaticamente. Obs.: todos os estados estão disponíveis para medição.

5 Algoritmos do tipo Gradiente e LS

Os capítulos anteriores apresentaram leis adaptativas que consideram o ganho deadaptação γ ou Γ constante.

No entanto, em muitas situações é interessante se ter um elevado ganho de adapta-ção nos transitórios para agilizar a adaptação dos parâmetros. Mas quando estes ganhossão muito elevados, o sistema adaptativo pode se tornar instável.

Assim, as leis adaptativas apresentadas até aqui, com um ganho de adaptação cons-tante, são denominadas de leis do tipo Gradiente. Por exemplo, a seguinte lei adaptativa

θ = −Γζε1sgn(ρ∗)m2 (5.1)

é denominada: lei gradiente de adaptação normalizada.Uma classe de lei adaptativas, muito utilizada em controle adaptativo, é baseada no

método dos mínimos quadrados, ou LS (Least-Squares). Estas leis adaptativas permitemque a taxa de adaptação seja elevada, somente nos transitórios, o que agiliza bastante oprocesso de adaptação de parâmetros. Um exemplo de lei de adaptação é apresentadoabaixo

θ = −Pζε1sgn(ρ∗)m2 (5.2)

onde a matriz P, que define a taxa de adaptação, é variável.Anteriormente, a regra de MIT foi utilizada a partir de uma função custo baseada

no erro quadrático, já o método LS é baseado na integral do erro quadrático, como émostrado a seguir

J(θ) = 12

∫ t

0ε2

1(τ)dτ (5.3)

Através dessa teoria é possível se obter diferentes equações diferenciais matriciais,tal como

P = −PζζTPm2 (5.4)

onde P(0) = P0, sendo que P = PT . A matriz P é também chamada de matriz decovariância.

Para implementação digital de (5.4), a seguinte equação pode ser utilizada

P(k + 1) = P(k)− T P(k)ζ(k)ζT (k)P(k)m2(k) (5.5)

Na literatura, diferentes leis adaptativas LS podem ser encontradas (vide revisãobibliográfica no Capítulo 1).

40 5 ALGORITMOS DO TIPO GRADIENTE E LS

5.1 Exercício

Considere uma planta Gp(s) = 1s2 + s+ 1 e um modelo de referência Wm(s) =

1s2 + 2s+ 1 .

Então, projete e simule um controlador adaptativo por modelo de referência emtempo discreto com T = 10ms, utilizando uma lei adaptativa do tipo LS.

6 Análise de Estabilidade de Controladores Adaptativos

Neste capítulo, uma atenção especial será dada a análise de estabilidade de con-troladores adaptativos. A abordagem utilizada aqui baseia-se na teoria de estabilidade deLyapunov.

Inicialmente, uma pequena revisão de álgebra linear é apresentada para dar umsuporte ao leitor.

6.1 Revisão de álgebra linear

Considere uma matriz P ∈ Rn×n e um vetor ζ ∈ Rn×1. As seguintes propriedadessão válidas:

1) Seja uma matriz P e um vetor ζ, então: (Pζ)T = ζTPT .2) Seja uma matriz P = PT e um vetor ζ, então: (Pζ)T = ζTP.3) Seja uma matriz inversível P = PT , então: (P−1)T = P−1.4) Seja uma matriz inversível P = PT definida positiva, ou P > 0, então: P−1 >

0. Obs.: uma matriz definida positiva é aquela que possui todos os seus autovaloreslocalizados no semiplano direito do plano complexo C.

5) Seja uma matriz P = PT > 0 e um vetor ζ, onde ||ζ|| > 0, então: ζTPζ > 0.6) Seja uma matriz inversível P = PT > 0 e um vetor ζ, onde ||ζ|| > 0, então:

ζTP−1ζ > 0.Com estas seis propriedades, o leitor terá maior facilidade para entender o desen-

volvimento das equações matriciais apresentadas a seguir.

6.2 Análise de estabilidade de um controlador adaptativo por modelo dereferência: lei adaptativa do tipo gradiente

Seja uma planta de fase mínima Gp(s) de ordem np com grau relativo arbitrário

Gp(s) = kpZp(s)Rp(s)

(6.1)

Considere um modelo de referência

Wm(s) = kmZm(s)Rm(s) (6.2)

com grau relativo igual ao da planta Gp(s).

42 6 ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS

A ação de controle é expressa por

u = θTω (6.3)

onde ω =[ω1

T ;ω2T ; y; r

]T, e ω1,ω2 ∈ Rnp−1. O vetor de ganhos θ =

[θ1

T ;θ2T ; θy; θr

]T,

e θ1,θ2 ∈ Rnp−1.A atualização de ω1 e ω2 é realizada através das seguintes equações

ω1 = Fω1 + qu (6.4)

eω2 = Fω2 + qy (6.5)

onde ω1(0) = 0 e ω2(0) = 0. O par (F,q) é controlável, F ∈ Rnp−1×np−1 e q ∈ Rnp−1.A lei de adaptação possível é expressa por

θ = −Γζε1sgn(ρ∗)m2 (6.6)

onde a forma computável do erro aumentado é ε1 = e1 +θTζ−Wm

(θTω

)(vide Apêndice

A) e m2 = 1 + ζTΓζ.Seja uma função definida positiva

V = 12 θ

TΓ−1θ (6.7)

lembrando que θ(t) = θ(t)− θ∗.Derivando (6.7), temos

V = 12

˙θTΓ−1θ + 12 θ

TΓ−1 ˙θ = ˙θTΓ−1θ (6.8)

Considerando sgn(ρ∗) = 1, e também ε1 = θTζ (vide Apêndice A), a derivada

temporal do erro paramétrico é

˙θ = θ = −Γζ

(θTζ)

m2 (6.9)

A transposta de (6.9) é

˙θT = θT = −

ζTΓ(θTζ)

m2 (6.10)

Subsituindo (6.9) e (6.10) em (6.8), temos

V = −ζTΓ

(θTζ)

Γ−1θ

m2 = −ζT(θTζ)θ

m2 (6.11)

6 ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS 43

como θTζ = ζT θ, podemos escrever (6.11)

V = −

(θTζ)2

m2 ≤ 0 (6.12)

Veja que a lei adaptativa (6.6) garante que V ≤ 0. Deste modo, considerandosinais suficientemente ricos em frequência na malha fechada, pode-se garantir que o erroparamétrico θ tende a zero.

6.3 Análise de estabilidade de um controlador adaptativo por modelo dereferência: lei adaptativa do tipo LS

Agora, considere a seguinte lei de adaptação paramétrica do tipo LS

θ = −Pζε1sgn(ρ∗)m2 (6.13)

ondeP = −PζζTP

m2 (6.14)

e o erro aumentado ε1 = e1 + θTζ −Wm

(θTω

)(vide Apêndice A) e m2 = 1 + ζTΓζ.

Seja uma função definida positiva

V = θTP−1θ (6.15)

Derivando (6.15), temos

V = ˙θTP−1θ + θT ˙P−1θ + θTP−1 ˙θ (6.16)

Considerando sgn(ρ∗) = 1, e também ε1 = θTζ, a derivada temporal do erro

paramétrico pode ser expressa por

˙θ = θ = −Pζ

(θTζ)

m2 (6.17)

A transposta de (6.17) é

˙θT = θT = −

ζTP(θTζ)

m2 (6.18)

A derivada temporal de P−1 pode ser expressa por

˙P−1 = −P−1PP−1 (6.19)

44 6 ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS

substituindo (6.14) em (6.19), temos

˙P−1 = ζζT

m2 (6.20)

Subsituindo (6.17), (6.18) e (6.20) em (6.16), temos

V = −

(θTζ)2

m2 ≤ 0 (6.21)

Veja que a lei adaptativa formada por (6.13) e (6.14) garante que V ≤ 0. Destemodo, considerando sinais suficientemente ricos em frequência na malha fechada, pode-segarantir que o erro paramétrico θ tende a zero.

Todas as análises de estabilidade apresentadas até aqui foram desenvolvidas emtempo contínuo. Estas análises são válidas também para o tempo discreto, somentequando o período de amostragem T for suficientemente pequeno. Se T não for suficien-temente pequeno, teremos que utilizar uma função de Lyapunov discreta V (k) e provarque ∆V (k) = V (k + 1)− V (k) ≤ 0.

7 Incertezas

Este capítulo apresenta, brevemente, alguns conceitos sobre a modelagem de in-certezas.

7.1 Incertezas estruturadas

Uma incerteza estruturada é o não conhecimento da localização exata dos polose zeros da planta. Por exemplo, uma planta de primeira ordem pode ser representadamatematicamente por

x(t) = −(a+ δa)x(t) + (b+ δb)u(t) (7.1)

onde δa e δb são incertezas nos parâmetros conhecidos a e b.

7.2 Incertezas não-estruturadas

Uma incerteza não-estruturada é o não conhecimento do comportamento do ganhoe da fase da planta em certas frequências. Por exemplo, uma planta pode ser representadamatematicamente por

G(s) = Gp(s) [1 + µm∆m(s)] (7.2)

onde Gp(s) é a parte modelada da planta, µm é o peso da dinâmica multiplicativa e ∆m

é a função de transferência da dinâmica multiplicativa, ou

G(s) = Gp(s) + µa∆a(s) (7.3)

onde µa é o peso da dinâmica aditiva e ∆a é a função de transferência da dinâmica aditiva,ou

G(s) = Gp(s) [1 + µm∆m(s)] + µa∆a(s) (7.4)

ou, até mesmo por fatores estáveis

G(s) = Np(s) + ∆1(s)Dp(s) + ∆2(s) (7.5)

onde ∆1(s) e ∆2(s) são Hurwitz, e Gp(s) = Np(s)Dp(s)

.

8 Aspectos de Implementação Digital

8.1 Usar ou não Usar um Controlador Adaptativo: Eis a Questão!

O leitor pode se perguntar: em quais situações poderei utilizar um controladoradaptativo?; ou: posso resolver o problema com um controlador mais simples?

As repostas desses questionamentos não são óbvias. Alguns itens devem ser levadosem consideração, por exemplo:

- Estou disposto a aprender a técnica de controle adaptativo?- O modelo da planta é incerto?- Há evidente imprevisão acerca do comportamento dinâmico da planta?- O sistema é sujeito à ruídos de grande amplitude?- Terei um microcontrolador rápido o suficiente para realizar todos os cálculos

necessários?- O custo do microcontrolador é pequeno em relação ao sistema como um todo?Se você respondeu SIM à maioria das perguntas acima, um sistema de controle

adaptativo pode ser uma boa opção para a sua aplicação.É claro que um controlador PI (Proporcional-Integral) é muito mais simples que um

controlador adaptativo e, muitas vezes, um controlador simples pode dar conta do recado.No entanto, deve se ter consciência que num sistema adaptativo, um computador irárealizar o projeto do sistema de controle em tempo real, considerando todas as variaçõesdo sistema em malha fechada. E é claro, que nenhum ser humano consegue ter maiorprecisão e exatidão do que um computador digital.

8.2 A Necessidade de Sinais Ricos em Frequência

Como foi comentado nas seções anteriores, para se garantir convergência paramé-trica é necessário que os sinais da malha fechada, no caso de controladores adaptativos,sejam suficientemente ricos em frequência. No caso de estimadores de parâmetros emtempo real, o sinal de entrada u deve ser rico em frequência.

Deste modo, um compromisso deve ser obedecido entre o teor de ruído durante oprocesso de adaptação e o desempenho da variável a ser controlada. Enquanto sinais comalto teor de frequência podem ajudar no processo de adaptação de parâmetros, distorçõespodem ocorrer na variável controlada. Deste modo, recomenda-se que em problemas decontrole o projetista utilize um tempo de inicialização para a identificação dos parâmetrosde modo que essa inicialização dure apenas um pequeno intervalo de tempo.

48 8 ASPECTOS DE IMPLEMENTAÇÃO DIGITAL

8.3 Entrada-Saída ou Realimentação de Estados

A abordagem de controle por realimentação de estados pode diminuir o tamanho doalgoritmo devido a não necessidade de geração dos sinais interno ω1 e ω2. No entanto, umagrande quantidade de sensores deve ser utilizada para medição dos estados da planta. Jáos sistemas de controle adaptativo que medem apenas a entrada e saída da planta, utilizamuma quantidade menor de sensores, no entanto o algoritmo se torna mais extenso.

8.4 O Normalizador m2

Foi visto que as leis de adaptação não normalizadas podem divergir quando osinal de referência possui amplitude muito elevada. Este problema é resolvido através dautilização de sinais de normalização m2.

Diferentes sinais de normalização podem ser utilizados. No entanto, um compro-misso entre robustez e velocidade de adaptação deve ser obedecido. Sinais de normalizaçãocom amplitude elevada tornam o sistema adaptativo mais robusto, no entanto podem tor-nar o mecanismo de adaptação muito lento, o que é indesejável em certas situações. Paraobedecer este compromisso deve-se analisar, com cuidado, qual sinal m2 apresenta melhordesempenho para a planta em questão.

8.5 Lei de Adaptação Gradiente e LS

Leis de adaptação do tipo Gradiente são mais simples de serem realizadas devidoa menor quantidade de cálculos que é necessária para a sua implementação. Isto sedeve ao fato da matriz Γ ser constante e também por ela poder ser múltipla da matrizidentidade (Γ = γI). Já, as lei de adaptação do tipo LS, necessitam do cálculo de todos oselementos da matriz de covariância P a cada período de amostragem. Assim, dependendoda ordem da planta, a atualização de P pode ser a tarefa mais extensa a ser realizadapelo microprocessador. Uma solução para diminuir o tempo de cálculo de P é determinarapenas os elementos acima da diagonal principal e os da diagonal principal. Como P ésimétrica, os elementos da diagonal inferior são idênticos aos da diagonal superior.

Mas em aplicações em que o tempo de processamento não é o fator mais impor-tante, uma lei de adaptação LS pode nos fornecer uma grande velocidade de adaptaçãoparamétrica nos transitórios.

8 ASPECTOS DE IMPLEMENTAÇÃO DIGITAL 49

8.6 Ordem de Atualização das Variáveis do Controlador Adaptativo

Antes de se programar o algoritmo adaptativo, o projetista deve construir umfluxograma para definir a correta ordem de atualização das variáveis do sistema. Muitoserros de programação ocorrem devido à ordem incorreta das equações.

Esta ordem de atualização não é única e, assim, o mesmo sistema de adaptaçãopode ser implementado de diferentes formas. Por exemplo: uma lei de adaptação podeser caculada da seguinte forma

θ1(k + 1) = θ1(k)− Tγζr(k)e1(k) (8.1)

ou tambémθ1(k) = θ1(k − 1)− Tγζr(k − 1)e1(k − 1) (8.2)

O formato (8.1) nos mostra que a atualização da variável θ1 pode se localizar nofinal do algoritmo, já que ela só será utilizada no instante de tempo de k + 1. Já oformato (8.2) indica que a variável θ1 será utilizada no instante de tempo de k. As duasformas poderão utilizadas, desde que se obedeça a ordem de implementação do sistemaadaptativo.

8.7 Discretização das Equações Diferenciais

Para a discretização das equações, a Transformada Z foi utilizada. No entanto,para a dicretização da planta, utiliza-se normalmente um retentor de ordem zero, ou doinglês ZOH (zero-order-hold) em série com a função de transferência G(s). Para a discre-tização de equações diferenciais de primeira ordem no domínio do tempo, a aproximaçãode Euler é bem prática de ser utilizada, desde que o período de amostragem T seja sufi-cientemente pequeno. Para a discretização dos filtros restantes, pode ser utilizar ZOH outransformação bilinear.

8.8 Projeto do Mecanismo de Adaptação de Parâmetros θ

Em resumo, os seguintes itens devem ser projetados:- Valor inicial do vetor de parâmetros θ(0): se, por ventura, for possível ter alguma

ideia do valor incial de θ∗, o desempenho transitório será ligeiramente melhorado, já queo processo de adaptação ocorrerá mais rápido.

- Ganho de adaptação Γ para leis de adaptação do tipo Gradiente: quanto maiorfor o valor desta matriz, mais rápido será o processo de adaptação. No entanto, valores

50 8 ASPECTOS DE IMPLEMENTAÇÃO DIGITAL

muito elevados para este ganho, podem tornar o sistema instável. Então, tenha cuidadoe moderação na escolha deste item.

- Valor inicial da matriz de covariância P(0) = p0I: quanto maiores forem oselementos da matriz P, mais rápido será a convergência no período transitório do sistema.Mas assim como ocorre com a matriz Γ, valores muito elevados para P(0), podem tornaro sistema instável.

- Escolha do par (F,q): Existe uma grande liberdade para a escolha deste par.No entanto, para que os vetores ω1 e ω2 possam ser controlados, o par (F,q) deveser controlável (matriz de controlabilidade com rank completo). Os autovalores de F,normalmente, são bem mais elevados do que os autovalores da planta a ser controlada.E, também, é comum projetar o par (F,q), de tal modo que o filtro (sI− F)−1 q tenhaganho de 0 dB na banda passante desejada.

8.9 Frequência de amostragem 1/T

Para uma razoável discretização, utilize uma frequência de amostragem de, nomínimo, dez vezes o módulo da frequência do maior polo dominante.

9 Resolução dos Exercícios Propostos

Exercício da Seção 2.7:a) d

2y(t)dt2

+ 1RC

dy(t)dt

+ 1LC

y(t) = 1LC

u(t).

b) G(s) =1LC

s2 + 1RCs+ 1

LC

.

c) G(z) = 9.9979004409.10−6 + 1.9995800882.10−5z−1 + 9.99790044091.10−6z−2

1− 1.9995600924z−1 + 0.99960008398z−2 .d) y[k] = 9.9979004409.10−6u[k]+1.9995800882.10−5u[k−1]+9.99790044091.10−6u[k−

2] + 1.9995600924y[k − 1]− 0.99960008398y[k − 2].e) Diagrama de Bode de G(s): utilize a função bode(); Diagrama de Bode de G(z):

utilize a função dbode().f), h) Código do Matlab:

%Revisão de filtros digitais e solução numérica de sistemas dinâmicos

clcclear allclose all

format long e

%Parâmetros do circuito LCRR=100;L=1e-3;C=25e-6;

wo=1/sqrt(L*C); %Frequência natural de oscilação

%Função de transferência contínua (em s)num_s=1/(L*C);den_s=[1 1/(R*C) 1/(L*C)];G_s=tf(num_s,den_s)

%Discretização da planta (em z)Ts=1e-6;[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,Ts,’tustin’);G_z=tf(num_z,den_z,Ts)

%Reserva de memória para os vetores de interessentotal=30e3;y=zeros(1,ntotal);u=ones(1,ntotal);tempo1=zeros(1,ntotal);tempo2=zeros(1,ntotal);

52 9 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

X=zeros(2,ntotal);

%Coeficientes da G(z)b0=num_z(1);b1=num_z(2);b2=num_z(3);

a0=den_z(1);a1=den_z(2);a2=den_z(3);

%Matriz de EstadosA=[0 -1/L;1/C -1/(R*C)];B=[1/L;0];Ad=(eye(2)+A*Ts); %Discretização por EulerBd=B*Ts; %Discretização por Euler

%Programar a equação de recorrênciafor k=3:ntotalu(k)=1;y(k)=b0*u(k)+b1*u(k-1)+b2*u(k-2)-a1*y(k-1)-a2*y(k-2);tempo1(k)=(k-3)*Ts;end

%Programa a solução via Eulerfor k=1:ntotalX(:,k+1)=Ad*X(:,k)+Bd*u(k);tempo2(k+1)=(k)*Ts;end

g)d

dt

iL

vc

= 0 − 1

L1C− 1RC

iL

vc

+ 1

L

0

u (9.1)

9 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 53

Exercício da Seção 3.6.1:a) Ganhos do MRC contínuo: θ∗1 = 4 e θ∗2 = 2; Ganhos do MRC discreto: θ∗1 = 3,98

e θ∗2 = 1,98;b) Código no Matlab:

%Controlador MRC aplicado a uma planta de primeira ordem

clcclear allclose allformat long e

%ReferênciaAmp=1; %Amplitude da referênciaT=20; %Período fundamental da referência

%Modelo da planta em snum_s=0.5;den_s=[1 1];G_s=tf(num_s,den_s);b=num_s(1); %Coeficiente do numeradora=den_s(2); %Coeficiente do denominador

%Discretização da plantaTs=0.01; %Período de amostragem[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,Ts,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,Ts)bz=num_z(2); %Coeficiente do numeradoraz=den_z(2); %Coeficiente do denominador

%Modelo de referência em snumW_s=2;denW_s=[1 2];W_s=tf(numW_s,denW_s);bm=numW_s(1); %Coeficiente do numeradoram=denW_s(2); %Coeficiente do denominador

%Discretização do modelo de referência[numW_z,denW_z] = c2dm(numW_s,denW_s,Ts,’zoh’);W_z=tf(numW_z,denW_z,Ts)bmz=numW_z(2); %Coeficiente do numeradoramz=denW_z(2); %Coeficiente do denominador

%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e4; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);


y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);

%Projeto do MRC contínuotheta1_est_s = bm/btheta2_est_s = (am - a)/b

%Projeto do MRC discretotheta1_est = bmz/bztheta2_est = (amz - az)/bz

%theta1_est = 3.980099667498336;%theta2_est = 1.980099667498357;

%Laço de repetição para executação do controlador MRCfor k=2:ntotalr(k)=Amp*square(2*pi*k*Ts/T); %Referência rym(k)=-amz*ym(k-1)+bmz*r(k-1); %Saída do modelo de referência a ser seguido ymy(k)=-az*y(k-1)+bz*u(k-1); %Resposta da planta yu(k)=theta1_est*r(k) - theta2_est*y(k); %Ação de controle u

e1(k)=y(k)-ym(k); %Erro de rastreamento

tempo(k)=(k-2)*Ts; %Vetor tempoend


b) Código do Matlab:%Controlador MRAC aplicado a uma planta de primeira ordem



%Modelo da planta em snum_s=0.5;den_s=[1 1];G_s=tf(num_s,den_s);

%Discretização da plantaTs=0.01; %Período de amostragem[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,Ts,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,Ts)bz=num_z(2); %Coeficiente do numeradoraz=den_z(2); %Coeficiente do denominador

%Modelo de referêncianumW_s=2;denW_s=[1 2];W_s=tf(numW_s,denW_s);am=denW_s(2);


%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e5; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);

theta1=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladortheta2=zeros(1,ntotal); %Ganho do controlador


zetar=zeros(1,ntotal); %r filtrado por am/(s+am)zetay=zeros(1,ntotal); %y filtrado por am/(s+am)

%Taxa de adaptação do mecanismo de adaptação de ganhosg=5;

%Projeto do MRCtheta1_est = bmz/bztheta2_est = (amz - az)/bz

%theta1_est = 3.980099667498336;%theta2_est = 1.980099667498357;

%Filtro digital para obtenção do zetar e do zetay%zetar(s)=F(s)*y(s)%zetay(s)=F(s)*y(s)%F(s)=am/(s+am)num2=am;den2=[1 am];G2=tf(num2,den2);%Discretizando[num2_z,den2_z]=c2dm(num2,den2,Ts,’zoh’);beta=num2_z(2)alfa=den2_z(2)%Obtem-se%zetar(z)=F(z)*y(z)%zetay(z)=F(z)*y(z)%F(z)=beta/(z+alfa)

%Laço de repetição para executação do controlador MRACfor k=2:ntotal

r(k)=Amp*square(2*pi*k*Ts/T);ym(k)=-amz*ym(k-1)+bmz*r(k-1);y(k)=-az*y(k-1)+bz*u(k-1);

theta1(k) = theta1(k-1) - Ts*g*zetar(k-1)*e1(k-1);theta2(k) = theta2(k-1) + Ts*g*zetay(k-1)*e1(k-1);

u(k)=theta1(k)*r(k) - theta2(k)*y(k);

e1(k)=y(k)-ym(k);

%Saídas dos filtros auxiliares para o mecanisno de adaptaçãozetar(k)=-alfa*zetar(k-1)+beta*r(k-1);zetay(k)=-alfa*zetay(k-1)+beta*y(k-1);


tempo(k)=(k-2)*Ts;end


Exercício da Seção 3.6.2:Código do Matlab:

%Controlador MRAC aplicado a uma planta de segunda ordem com grau relativo%igual a 1

%Ioannou



%Modelo da planta em skp=-2;num_s=kp*[1 5];den_s=[1 -2 1];G_s=tf(num_s,den_s)

%Discretização da plantaTs=0.001; %Período de amostragem[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,Ts,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,Ts)

b1=num_z(2)b2=num_z(3)a1=den_z(2)a2=den_z(3)

%Modelo de referênciakm=3;numW_s=km;denW_s=[1 3];W_s=tf(numW_s,denW_s)am=denW_s(2);


%Reserva de espaço para os vetores de interesse


ntotal=1e6; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);w1=zeros(1,ntotal);w2=zeros(1,ntotal);m_2=ones(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);theta1=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladortheta2=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetay=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar=zeros(1,ntotal); %Ganho do controlador

%MRC Contínuotheta1_est=-4;theta2_est=-2;thetay_est= 3;thetar_est= km/kp;


%Par (F,q)F=-1;q=1;

Fd=1+F*Ts;qd=q*Ts;


r(k)=Amp*square(2*pi*k*Ts/T);%r(k)=1;

%Malha aberta%u(k)=r(k);

ym(k)=-amz*ym(k-1)+bmz*r(k-1);

y(k)= -a1*y(k-1)-a2*y(k-2)+b1*u(k-1)+b2*u(k-2);

%Não normalizado, forçar m(k-1)=1%m(k-1)=1;


%Ioannoutheta1(k) = theta1(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*Ts*g*w1(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);theta2(k) = theta2(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*Ts*g*w2(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);thetay(k) = thetay(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*Ts*g*y(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);thetar(k) = thetar(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*Ts*g*r(k-1)*e1(k-1)/m_2(k-1);

w1(k)=exp(F*Ts)*w1(k-1)+inv(F)*(exp(F*Ts)-1)*q*u(k-1);w2(k)=exp(F*Ts)*w2(k-1)+inv(F)*(exp(F*Ts)-1)*q*y(k-1);

%w1(k)=Fd*w1(k-1)+qd*u(k-1);%w2(k)=Fd*w2(k-1)+qd*y(k-1);

%MRC% theta1(k)=theta1_est;% theta2(k)=theta2_est;% thetay(k)=thetay_est;% thetar(k)=thetar_est;

u(k)=theta1(k)*w1(k) + theta2(k)*w2(k) + thetay(k)*y(k) + thetar(k)*r(k);e1(k)=y(k)-ym(k);m_2(k)=1+w1(k)*w1(k)+w2(k)*w2(k)+y(k)*y(k)+r(k)*r(k); %m^2 = 1+w’wtempo(k)=(k-3)*Ts;end



%Controlador MRAC aplicado a um circuito LCR

%Ioannou


%ReferênciaAmp=311; %Amplitude da referênciaT=1/60; %Período fundamental da referência

%ParâmetrosR=100;L=1e-3;C=100e-6;

Ts=1/10e3; %Período de amostragem

%Modelo da planta em s, n*=2kp=1/(L*C);num_s=kp*[0 1];den_s=[1 1/(R*C) 1/(L*C)];G_s=tf(num_s,den_s)

%Discretização da planta[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,Ts,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,Ts)


%Modelo de referência em s, n*=2km=1/(L*C);numW_s=km*[0 1];denW_s=[1 10/(R*C) km]; %amortecimento maior que a plantaW_s=tf(numW_s,denW_s)

%Discretização do modelo de referência[numW_z,denW_z] = c2dm(numW_s,denW_s,Ts,’zoh’);W_z=tf(numW_z,denW_z,Ts)


beta1=numW_z(2)beta2=numW_z(3)alfa1=denW_z(2)alfa2=denW_z(3)

%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e5; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);E1=zeros(1,ntotal); %Erro aumentadov=zeros(1,ntotal);w1=zeros(1,ntotal);w2=zeros(1,ntotal);zetaw1=zeros(1,ntotal);zetaw2=zeros(1,ntotal);zetay=zeros(1,ntotal);zetar=zeros(1,ntotal);m_2=ones(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);theta1=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladortheta2=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetay=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar_est=kp/km;


%Par (F,q)F=-10e3;q=abs(F);

Fd=exp(F*Ts);qd=inv(F)*(exp(F*Ts)-1)*q;


%O sinal de referência inicia como uma forma de onda quadrada (rica em%frequencia) para acelerar o processo de convergência dos ganhos.Ta=1/60;r(k)=100*square(2*pi*k*Ts/Ta);


if k>ntotal/2r(k)=Amp*sin(2*pi*k*Ts/T); %Muda a referência para uma senoideend

if k>2*ntotal/3r(k)=0.5*Amp*sin(2*pi*k*Ts/T); %Muda a amplitude da senoideend


%Modelo de referênciaym(k)= -alfa1*ym(k-1)-alfa2*ym(k-2)+beta1*r(k-1)+beta2*r(k-2);

%Filtros auxiliareszetaw1(k)= -alfa1*zetaw1(k-1)-alfa2*zetaw1(k-2)+beta1*w1(k-1)+beta2*w1(k-2);zetaw2(k)= -alfa1*zetaw2(k-1)-alfa2*zetaw2(k-2)+beta1*w2(k-1)+beta2*w2(k-2);zetay(k)= -alfa1*zetay(k-1)-alfa2*zetay(k-2)+beta1*y(k-1)+beta2*y(k-2);zetar(k)= -alfa1*zetar(k-1)-alfa2*zetar(k-2)+beta1*r(k-1)+beta2*r(k-2);

%Saída da plantay(k)= -a1*y(k-1)-a2*y(k-2)+b1*u(k-1)+b2*u(k-2);

%Ioannoutheta1(k) = theta1(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*Ts*g*zetaw1(k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);theta2(k) = theta2(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*Ts*g*zetaw2(k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);thetay(k) = thetay(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*Ts*g*zetay(k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);thetar(k) = thetar(k-1) - (thetar_est/abs(thetar_est))*Ts*g*zetar(k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);

w1(k)=Fd*w1(k-1)+qd*u(k-1);w2(k)=Fd*w2(k-1)+qd*y(k-1);

u(k)=theta1(k)*w1(k) + theta2(k)*w2(k) + thetay(k)*y(k) + thetar(k)*r(k); %u=theta’omega

%Erro aumentadoe1(k)=y(k)-ym(k);v(k)= -alfa1*v(k-1)-alfa2*v(k-2)+beta1*u(k-1)+beta2*u(k-2);E1(k) = e1(k) + theta1(k)*zetaw1(k) + theta2(k)*zetaw2(k) + thetay(k)*zetay(k) +thetar(k)*zetar(k) - v(k);

m_2(k)=1+zetaw1(k)*zetaw1(k)+zetaw2(k)*zetaw2(k)+zetay(k)*zetay(k)+zetar(k)*zetar(k);%m^2 = 1 +zeta’zetatempo(k)=(k-3)*Ts;end



%Algoritmo de estimação de parâmetros%Um parâmetro


T=1; %Período do sinal de excitaçãoTs=0.01; %Período de amostragem

ntotal=2e3; %Número total de pontos

%Variáveis de interessey=zeros(1,ntotal);y_e=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);theta=zeros(1,ntotal);E1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);dV=zeros(1,ntotal);

%Ganhos de adaptaçãog=1;

%Parâmetro a ser identificadotheta_est=2;

for k=2:ntotal

u(k)=square(2*pi*k*Ts/T); %Sinal de excitação%u(k)= 1;

y(k)= theta_est*u(k); %Medição da resposta da plantatheta(k)=theta(k-1)+Ts*g*E1(k-1)*u(k-1); %Lei adaptativaE1(k)=y(k)-theta(k)*u(k); %Erro de estimação de yy_e(k)=theta(k)*u(k); %y estimadodV(k)=-E1(k)*E1(k); %Derivada temporal da função de Lyapunovtempo(k)=(k-2)*Ts; %tempoend



%Algoritmo de estimação de parâmetros%Dois parâmetros


%Amplitude do sinal de excitaçãoAmp=1;

T=1; %Período do sinal de excitaçãoTs=0.01; %Período de amostragem

ntotal=1e4; %Número total de pontos

%Variáveis de interessex=zeros(1,ntotal);x_e=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);a_e=zeros(1,ntotal);b_e=zeros(1,ntotal);E1=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);dV=zeros(1,ntotal);

g1=10;g2=10;

a=2; %Parâmetro desconhecidob=1; %Parâmetro desconhecido

for k=2:ntotal

u(k)=Amp*square(2*pi*k*Ts/T); %Sinal de Excitaçãox(k)= (1-a*Ts)*x(k-1)+b*Ts*u(k-1); %Medição da saída da planta (x)a_e(k) = a_e(k-1)-Ts*g1*E1(k-1)*x_e(k-1); %Lei adaptativa para ab_e(k) = b_e(k-1)+Ts*g2*E1(k-1)*u(k-1); %Lei adaptativa para bx_e(k)= (1-a_e(k-1)*Ts)*x_e(k-1) + b_e(k-1)*Ts*u(k-1); %Estimação de xE1(k)=x(k)-x_e(k); %Erro de estimação de xdV(k)=-a*E1(k)*E1(k); %Derivada temporal da função de Lyapunovtempo(k)=(k-2)*Ts; %Tempoend



%Algoritmo de estimação de parâmetros de um circuito LCR%A identificação é realizada a partir da medição da corrente do indutor e%da tensão no capacitor

clcclear allclose alltic

%Sinal de excitação uAmp=1; % amplitude do sinal de exitaçãof=200; % frequencia do sinal de exitaçãoT=1/f; % Período do sinal de excitação

%R, L e CR=20; % Valor do resistorL=1e-3; % Valor do indutorC=100e-6; % Valor do capacitor

ntotal=3e5; % Número total de pontos na simulação

%Variáveis de interessex=zeros(2,ntotal);x1=zeros(1,ntotal);x2=zeros(1,ntotal);x1_e=zeros(1,ntotal); %estimadox2_e=zeros(1,ntotal); %estimadou=zeros(1,ntotal); %Sinal de excitação ua11_e=zeros(1,ntotal); %estimadoa12_e=zeros(1,ntotal); %estimadoa21_e=zeros(1,ntotal); %estimadoa22_e=zeros(1,ntotal); %estimadob1_e=zeros(1,ntotal); %estimadob2_e=zeros(1,ntotal); %estimadom_2=ones(1,ntotal); %NormalizadorE1=zeros(2,ntotal); %Erro de estimação de XE1_1=zeros(1,ntotal);E1_2=zeros(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);dV=zeros(1,ntotal); %derivada da função V (é uma variável escalar)

%Matrizes do sistema em espaço de estadoA=[0 -1/L; 1/C -1/(R*C)];a11=A(1,1)*ones(1,ntotal);a12=A(1,2)*ones(1,ntotal);


a21=A(2,1)*ones(1,ntotal);a22=A(2,2)*ones(1,ntotal);

B=[1/L; 0];b1=B(1)*ones(1,ntotal);b2=B(2)*ones(1,ntotal);

I=eye(2); %Identidade 2x2

%identificação da frequencia polosaut=eig(A);fn1=abs(aut(1))/(2*pi);fn2=abs(aut(2))/(2*pi);

fs=2000*fn1; %Frequencia de amostragemTs=1/fs; %Período de amostragem

%Discretização da plantaAd=expm(A*Ts);Bd=inv(A)*(expm(A*Ts)-eye(2))*B;

%Ganhos de adaptaçãog1=10/Ts; %A divisão por Ts é simplesmente para cortar o Ts do algoritmo de identificaçãog2=g1;

% laço de repetiçãofor k=2:ntotal

u(k)=Amp*square(2*pi*k*Ts/T); %Sinal de Excitaçãox(:,k)= Ad*x(:,k-1)+Bd*u(k-1); %Medição dos estados da planta, xx1(k)=x(1,k); %Estado x1x2(k)=x(2,k); %Estado x2

% normalizador%m_2(k)=1+x(:,k)’*x(:,k);m_2(k-1)=1+u(k-1)*u(k-1);

%Identificar os elementos da matriz Apa11_e(k) = a11_e(k-1)+Ts*g1*E1_1(k-1)*x1_e(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para a11a12_e(k) = a12_e(k-1)+Ts*g1*E1_1(k-1)*x2_e(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para a12a21_e(k) = a21_e(k-1)+Ts*g1*E1_2(k-1)*x1_e(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para a21a22_e(k) = a22_e(k-1)+Ts*g1*E1_2(k-1)*x2_e(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para a22

%Identificar os elementos da matriz Bpb1_e(k) = b1_e(k-1)+Ts*g2*E1_1(k-1)*u(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para b1b2_e(k) = b2_e(k-1)+Ts*g2*E1_2(k-1)*u(k-1)/m_2(k-1); %Lei adaptativa para b2


x1_e(k)= (1+a11_e(k-1)*Ts)*x1_e(k-1)+a12_e(k-1)*Ts*x2_e(k-1)+b1_e(k-1)*Ts*u(k-1); %Estimação de x1x2_e(k)= (1+a22_e(k-1)*Ts)*x2_e(k-1)+a21_e(k-1)*Ts*x1_e(k-1)+b2_e(k-1)*Ts*u(k-1); %Estimação de x2

E1_1(k)=x1(k)-x1_e(k); %Erro de estimação de x1E1_2(k)=x2(k)-x2_e(k); %Erro de estimação de x2E1(:,k)=[E1_1(k);E1_2(k)]; % x-x_e

dV(k)=-E1(:,k)’*E1(:,k); %Derivada temporal da função de Lyapunov

tempo(k)=(k-2)*Ts; %Tempoend

%Parâmetros estimados: R, L e CL_e=1/b1_e(ntotal)C_e=1/a21_e(ntotal)R_e=-1/(a22_e(ntotal)*C_e)


Exercício da Seção 5.1:Código do Matlab:

%Controlador MRAC-LS aplicado a uma planta de segunda ordem com grau relativo%qualquer

%Ioannouclcclear allclose allformat long e


%Modelo da planta em s, n*=2kp=1;num_s=kp*[0 1];den_s=[1 1 1];G_s=tf(num_s,den_s)

%Discretização da plantaTs=0.01; %Período de amostragem[num_z,den_z] = c2dm(num_s,den_s,Ts,’zoh’);G_z=tf(num_z,den_z,Ts)


%Modelo de referência em s, n*=2km=1;numW_s=km*[0 1];denW_s=[1 2 1];W_s=tf(numW_s,denW_s)

%Discretização do modelo de referência[numW_z,denW_z] = c2dm(numW_s,denW_s,Ts,’zoh’);W_z=tf(numW_z,denW_z,Ts)

beta1=numW_z(2)beta2=numW_z(3)alfa1=denW_z(2)alfa2=denW_z(3)


%Reserva de espaço para os vetores de interessentotal=1e5; %Número total de pontos no gráficosr=zeros(1,ntotal);ym=zeros(1,ntotal);y=zeros(1,ntotal);u=zeros(1,ntotal);e1=zeros(1,ntotal);E1=zeros(1,ntotal); %Erro aumentadov=zeros(1,ntotal);w1=zeros(1,ntotal);w2=zeros(1,ntotal);zetaw1=zeros(1,ntotal);zetaw2=zeros(1,ntotal);zetay=zeros(1,ntotal);zetar=zeros(1,ntotal);zeta=zeros(4,ntotal);m_2=ones(1,ntotal);tempo=zeros(1,ntotal);theta1=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladortheta2=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetay=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar=zeros(1,ntotal); %Ganho do controladorthetar_est=kp/km;THETA=zeros(4,ntotal); %Ganho do controlador

%Matriz PP=zeros(4,4,ntotal);%Elementos da diagonal principalp1=zeros(1,ntotal);p2=zeros(1,ntotal);p3=zeros(1,ntotal);p4=zeros(1,ntotal);

%Par (F,q)F=-1;q=1;

%Laço de repetição para executação do controlador MRAC

%Inicialização da matriz Pp0=1000;

%Inicialização da Matriz: P(0) = p0*IP(1,1,1)=p0;P(1,1,2)=p0;

P(2,2,1)=p0;


P(2,2,2)=p0;

P(3,3,1)=p0;P(3,3,2)=p0;

P(4,4,1)=p0;P(4,4,2)=p0;

for k=3:ntotal

r(k)=Amp*square(2*pi*k*Ts/T);%r(k)=1;


%Modelo de referênciaym(k)= -alfa1*ym(k-1)-alfa2*ym(k-2)+beta1*r(k-1)+beta2*r(k-2);

%Filtros auxiliareszetaw1(k)= -alfa1*zetaw1(k-1)-alfa2*zetaw1(k-2)+beta1*w1(k-1)+beta2*w1(k-2);zetaw2(k)= -alfa1*zetaw2(k-1)-alfa2*zetaw2(k-2)+beta1*w2(k-1)+beta2*w2(k-2);zetay(k)= -alfa1*zetay(k-1)-alfa2*zetay(k-2)+beta1*y(k-1)+beta2*y(k-2);zetar(k)= -alfa1*zetar(k-1)-alfa2*zetar(k-2)+beta1*r(k-1)+beta2*r(k-2);%Junta num vetor sózeta(:,k)=[zetaw1(k);zetaw2(k);zetay(k);zetar(k)];

%Matriz P%Pure LSP(:,:,k)=P(:,:,k-1)-Ts*P(:,:,k-1)*zeta(:,k-1)*zeta(:,k-1)’*P(:,:,k-1)/m_2(k-1);

%Elementos da diagonal principalp1(k)=P(1,1,k);p2(k)=P(2,2,k);p3(k)=P(3,3,k);p4(k)=P(4,4,k);

%Saída da plantay(k)= -a1*y(k-1)-a2*y(k-2)+b1*u(k-1)+b2*u(k-2);

%Ioannou - RLSTHETA(:,k) = THETA(:,k-1) -P(:,:,k-1)*(thetar_est/abs(thetar_est))*Ts*zeta(:,k-1)*E1(k-1)/m_2(k-1);

theta1(k) = THETA(1,k);theta2(k) = THETA(2,k);thetay(k) = THETA(3,k);


thetar(k) = THETA(4,k);

w1(k)=exp(F*Ts)*w1(k-1)+inv(F)*(exp(F*Ts)-1)*q*u(k-1);w2(k)=exp(F*Ts)*w2(k-1)+inv(F)*(exp(F*Ts)-1)*q*y(k-1);

u(k)=theta1(k)*w1(k) + theta2(k)*w2(k) + thetay(k)*y(k) + thetar(k)*r(k); %u=theta’omega

%Atualização do erro aumentado: E1 = theta_til’zetae1(k)=y(k)-ym(k);v(k)= -alfa1*v(k-1)-alfa2*v(k-2)+beta1*u(k-1)+beta2*u(k-2);E1(k) = e1(k) +theta1(k)*zetaw1(k) + theta2(k)*zetaw2(k) + thetay(k)*zetay(k) + thetar(k)*zetar(k) - v(k);

m_2(k)=1+zetaw1(k)*zetaw1(k)+zetaw2(k)*zetaw2(k)+zetay(k)*zetay(k)+zetar(k)*zetar(k);

tempo(k)=(k-3)*Ts;end

APÊNDICES

Apêndice A – Equação do Erro de Rastreamento e Erro Aumentado

A análise apresentada aqui desconsidera incertezas não-estruturadas.Sem perda de generalidade, considere kp = km = 1 e θr(t) = 1 , então a lei de

controle (6.3), pode ser expressa por

u = θTω + r (A.1)

Subtraindo θ∗Tω dos dois lados de (A.1), temos

u− θ∗Tω = θTω + r − θ∗Tω (A.2)

ou simplesmenteu− θ∗Tω = θ

Tω + r (A.3)

onde θ∗T =[θ∗T1 ;θ∗T2 ; θ∗y

]é o vetor de parâmetros desejados. Então, pode-se escrever

(A.3) comoθTω + r = u− θ∗Tω = u− θ∗T1 ω1 − θ∗T2 ω2 − θ∗yy (A.4)

ou aindaθTω + r = [1− f1(s)−Gp(s)f2(s)]u (A.5)

onde f1(s) = θ∗T1 (sI− F)−1 q, f2(s) = θ∗y + θ∗T2 (sI− F)−1 q e θ = θ − θ∗ é o vetor errodos parâmetros.

De (A.5), obtemos o sinal de referência (sinal de entrada do modelo de referênciaWm(s))

r = [1− f1(s)−Gp(s)f2(s)]u− θTω (A.6)

Quando θ = θ∗, temos θ = 0, e consequentemente y = ym. Nesta situação, pode-seescrever

[1− f1(s)− f2(s)Gp(s)]u = W−1m (s)Gp(s)u (A.7)

o que implica dizer que

Gp(s) = Wm(s) [1− f1(s)− f2(s)Gp(s)] (A.8)

Como y = Gp(s)u, usando (A.8) podemos escrever

y = Gp(s)u = Wm(s) [1− f1(s)− f2(s)Gp(s)]u (A.9)

Substituindo (A.5) em (A.9), temos

y = Wm(s)θTω + r (A.10)

76 Apêndice A – Equação do Erro de Rastreamento e Erro Aumentado

Agora, usando (A.10) o erro de rastreamento pode ser reescrito da seguinte forma

e1 = y − ym = Wm(s)θTω (A.11)

Para se definir o erro aumentado ε1, considere a seguinte igualdade

Wm

(θ∗Tω

)= θ∗T (Wmω) (A.12)

Como θ∗ = θ − θ, (A.12), pode ser reescrito como

Wm

(θTω

)−Wm

(θTω)

= θT (Wmω)− θT (Wmω) (A.13)

ou tambémθTζ −Wm

(θTω)

= θTζ −Wm

(θTω

)(A.14)

considerando ζ = WmIω.A igualdade (A.14) é fundamental para escrever o erro aumentado ε1. O lado direito

de (A.14) é computável e é utilizado para cálculo do erro aumentado em um ambientedigital. Já o lado esquerdo de (A.14) não é computável, mas é muito útil para as provasteóricas de estabilidade.

Então, somando o termo θTζ −Wm

(θTω

)de (A.14) ao erro de rastreamento e1,

temos o erro aumentado computável digitalmente

ε1 = e1 + θTζ −Wm

(θTω

)(A.15)

E, somando o termo θTζ−Wm

(θTω)de (A.14) ao erro de rastreamento e1, temos

o erro aumentado para fins de análise de estabilidade

ε1 = e1 + θTζ −Wm

(θTω)

= θTζ (A.16)

Analisando (A.16), é possível concluir que quando o vetor erro de parâmetrosθ → 0 temos que ε1 → 0.

Apêndice B – Normas Lp

Para funções do tempo X(t), a norma Lp é definida por

‖X‖p =(∫ ∞

0‖X(t)‖pdt

)1/p(B.1)

para p ∈ [1,∞) e dizemos que X ∈ Lp quando ‖X‖p existe (isto é, ‖X‖p é finito).A norma L∞ é definida por

‖X‖∞ = sup‖X(t)‖,t ≥ 0 (B.2)

e dizemos que X ∈ L∞ quando ‖X‖∞ existe.Quando um sinal X ∈ L∞, ‖X‖ é apenas limitado em amplitude. Se um sinal

X ∈ L2, ‖X‖ possui energia finita (sinal de energia). E, por fim, se um sinal X ∈ L1,‖X‖ é assintoticamente estável.

REFERÊNCIAS

ANDERSON, B. D. O.; LANDAU, I. D. Least squares identification and the robuststrict positive real property. Circuits and Systems I: Fundamental Theory andApplications, IEEE Transactions on, v. 41 , Issue: 9, p. 601 – 607, 1994.

ASTRÖM, K. J. Adaptive feedback control. Proceedings of the IEEE, v. 75, p. 185 –217, 1987.

. Robust and adaptive pole placement. American Control Conference, Atlanta,Ga, USA, p. 2423 – 2428, 1988.

ASTRÖM, K. J.; KANNIAH, J. A fast adaptive controller for motion control. MotionControl Proceedings, Asia-Pacific Workshop on Advances in, p. 63 – 68, 1993.

ASTRÖM, K. J.; WITTENMARK, B. A survey of adaptive control applications. Deci-sion and Control, Proceedings of the 34th IEEE Conference on, v. 1, p. 649 –654, 1995.

CÂMARA, H. T. Uma contribuição ao controle de motores de indução trifásicossem o uso de sensores mecânicos. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federalde Santa Maria, Santa Maria, UFSM, 2007.

CARATI, E. G.; MONTAGNER, V. M.; GRÜNDLING, H. A. A single-phase ac powersource using robust model reference adaptive control. IEEE International Conferenceon Industrial Eletronics, Control and Instrumentation, p. 1428 – 1432, 2000.

CARATI, E. G.; RICHTER, C. M.; GRÜNDLING, H. A. A three-phase ac power sourceusing robust model reference. Proceedings of the 39th IEEE Conference on Deci-sion and Control, Sydney, Australia, p. 4078 – 4083, 2000.

DATTA, A. Robustness of discrete-time adaptive controllers: An input-output approach.IEEE Transactions on Automatic Control, v. 38, n. 12, p. 1207 – 1211, 1993.

DUARTE, M. A.; NARENDRA, K. S. A new approach to model reference adaptivecontrol. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, v. 3,p. 53–73, 1989.

FLORA, L. D.; GRÜNDLING, H. A. Design of a robust model reference adaptive vol-tage controller for an electrodynamic shaker. Revista Brasileira de Eletrônica dePotência (SOBRAEP), v. 13, n. 3, p. 133 – 140, 2008.

GIRI, F. et al. A globally convergent pole placement indirect. IEEE Transaction onAutomatic Control, v. 34, n. 3, 1989.

GOODWIN, G. C.; HILL, D. J.; PALANISWAMI, M. A perspective on convergence ofadaptive control. Automatica, v. 20, n. 5, p. 519–531, 1984.

80 REFERÊNCIAS

GRÜNDLING, H. A. Controle Adaptativo Robusto por Modelo de Referência.Tese (Doutorado) — Instituto Tecnológico de Aeronautica, ITA, 1995.

GRÜNDLING, H. A.; CARATI, E. G.; PINHEIRO, J. R. A robust model reference adap-tive controller for ups applications. Proceedings on IEEE International ConferenceIndustrial Electronics, Control Instrumentation, New Orleans, LA, p. 901 – 905,1997.

HSU, L. Variable structure model reference adatipve control (vs-mrac) using only inputand output measurements: Part ii. Proceedings of the 27th Conference on Decisionand Control, v. 3, p. 2396 – 2401, 1988.

IOANNOU, P.; DATTA, A. Robust adaptive control: A unified approach. Proceedingsof the IEEE, v. 79, p. 1736 – 1768, 1991.

IOANNOU, P. A.; SUN, J. Robust Adaptive Control. [S.l.: s.n.], 1996.

IOANNOU, P. A.; TSAKALIS, K. S. A robust direct adaptive controller. IEEE Tran-sactions on Automatic Control, v. 31, n. 2, p. 1033 – 1043, 1986.

. A robust discrete-time adaptive controller. IEEE Proceedings of 25th Confe-rence on Decision and Control, n. 2, p. 1033 – 1043, 1986.

. The class of unmodeled dynamics in robust adaptive control. American ControlConference, 1988, Atlanta, Ga, USA, p. 337 – 342, 1988.

KHOO, I. H.; REDDY, H. C. Delta operator based design of 1-d and 2-d filters: Anoverview. Circuits and Systems, APCCAS, IEEE Asia Pacific Conference on,p. 1442 – 1445, 2008.

LI, G.; GEVERS, M. Comparative study of finite wordlength effects in shift and deltaoperator parameterizations. IEEE Transactions on Automatic Control, v. 38, n. 5,p. 803 – 807, 1993.

LOZANO-LEAL, R.; COLLADO, J.; MONDIÉ, S. Model reference adaptive controlwithout a priori knowledge of the high frequency gain. IEEE Transactions on Au-tomatic Control, v. 35, n. 1, p. 71 – 78, 1990.

LOZANO-LEAL, R.; GOODWIN, G. C. A globally convergent adaptive pole placementalgorithm without a persistency of excitation requirement. Automatic Control, IEEETransactions on, p. 795 – 798, 1985. ISSN 0018-9286.

MARTINS, O. S. Comparação de técnicas de controle de velocidade Sensorlessaplicadas a motores de indução em plataforma DSP. Dissertação (Mestrado) —Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, UFSM, 2006.

MASSING, J. et al. Adaptive current control for grid-connected converters with lcl-filter.Industrial Electronics, IEEE Transactions on, v. 59, p. 4681 – 4693, 2012.

REFERÊNCIAS 81

MIDDLETON, R. H.; GOODWIN, G. C.Digital Estimation and Control: A UnifiedApproach. [S.l.]: Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1990.

MILLER, D. E. A new approach to adaptive control: no nonlinearities. Systems andControl Letters, v. 49, p. 67–79, 2003.

MORSE, A. S. A three-dimensional universal controller for the adaptive stabilizationof any strictly proper minimum-phase system with relative degree not exceeding two.Automatic Control, IEEE Transactions on, v. 30 , Issue: 12, p. 1188 – 1191, 1985.

NARENDRA, K.; LIN, Y.-H.; VALAVANI, L. Stable adaptive controller design, part ii:Proof of stability. Automatic Control, IEEE Transactions on, v. 25 , Issue: 3, p.440 – 448, 1980.

NARENDRA, K. S.; ANNASWAMY, A. M. A new adaptive law for robust adaptationwithout persistent excitation. Automatic Control, IEEE Transactions on, v. 32, p.134 – 145, 1987. ISSN 0018-9286.

NEWMAN, M. J.; HOLMES, D. G. Delta operator digital filters for high performanceinverter applications. IEEE Transaction on Power Electronics, v. 18, n. 1, p. 454 –477, 2003.

OGATA, K. Discrete-time Control Systems. 2. ed. Universidade de Michigan: [s.n.],1995. ISBN 0130342815, 9780130342812.

PADGETT, W. T.; ANDERSON, D. V. Fixed-Point Signal Processing. [S.l.]: Car-negie Mellon University, 2009.

QINGZHENG, G.; FEI, G.; CHANGMAO, Z. Indirect robust model reference adaptivecontrol for discrete-time system with output uncertainty. Proceedings of the 30thChinese Control Conference, p. 2216 – 2221, 2011.

RIBEIRO, L. A. S.; JACOBINA, C. B.; LIMA, A. M. N. Estimação de parâmetros evelocidade de máquinas. Revista da SBA Controle e Automação, v. 8, p. 66 – 76,1997.

RICHTER, C. M. Teoria de Controle Adaptativo Robusto Multivariável porModelo de Referência. Tese (Doutorado) — Universidade Federal de Santa Maria,2003.

ROHRS, C. E. et al. Robustness of adaptive control algorithms in the presence of unmo-deled dynamics. Decision and Control, 1982 21st IEEE Conference on, v. 21, p.3–11, 1982.

SÁEZ, V. et al. Fixed point implementation of iir filters using delta operator appliedto distributed power generation systems. IECON’10 - 36th Annual Conference onIEEE Industrial Electronics Society, p. 1709 – 1714, 2010.

82 REFERÊNCIAS

SALGADO, M. E.; GOODWIN, G. C.; MIDDLETON, R. H. Modified least squaresalgorithm incorporating exponencial resetting and forgetting. Control InternationalJournal, v. 47, n. 2, p. 477 – 491, 1988.

STEFANELLO, M. Projeto e desenvolvimento de uma Fonte de Potência CATrifásica a quatro fios. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal de Santa Maria,Santa Maria, UFSM, 2006.

STEFANELLO, M. Controle Adaptativo Robusto de Estrutura Variável por Mo-delo de Referência Aplicado a Filtros Ativos de Potência. Tese (Doutorado) —Universidade Federal de Santa Maria, UFSM, 2010.

STEFANELLO, M.; GRÜNDLING, H. Stability analysis of a combined direct and variablestructure adaptive control. Control Theory and Applications, IET, v. 5, p. 764 –774, 2010.

STEFANELLO, M. et al. Design of a robust model reference adaptive control for a shuntactive power filter. p. 158 – 163, 2008.

TAMBARA, R. V. Desenvolvimento de uma Fonte de Potência CA para geraçãode Formas de onda de até 2kHz. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal deSanta Maria, UFSM., 2010.

TAMBARA, R. V. et al. Analysis of performance of an rmrac controller in discrete-timevia z transform and delta transform. 37th Annual Conference on IEEE IndustrialElectronics Society (IECON), p. 492 – 497, 2011.

. Digital implementation os a rmrac controller using z transform and delta trans-form. Congresso Brasileiro de Eletrônica de Potência (COBEP), Natal, RN, 2011.

. Projeto de um controlador adaptativo robusto por modelo de referência aplicadoa uma fonte de potência ca. Congresso Brasileiro de Automática (CBA), Bonito -MS, 2010.

. A digital rmrac controller based on a modified rls algorithm applied to the controlof the output currents of an lcl-filter connected to the grid. European Power Electro-nics conference (EPE), Lille, France, 2013.

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