Apostila EAD Matematica 2

1Calcule as porcentagens abaixo:

1) 10% de 385 ..........

2) 10% de 75 ..........

3) 10% de 8 ..........

4) 1% de 950 ..........

5) 1% de 23 ..........

6) 20% de 750 ..........

7) 20% de 81 ..........

8) 30% de 420 ..........

9) 40% de 2500 ..........

10) 50% de 38,4 ..........

11) 25% de 48 ..........

12) 5% de 90 ..........

13) 5% de 210 ..........

14) 15% de 42 ..........

15) 11% de 120 ..........

16) 16% de 600 ..........

17) 21 % de 250 ..........

18) 60% de 920 ..........

19) 61% de 1100 ..........

20) 75% de 1200 ..........

PORCENTAGEM

RASCUNHO

2MINIMO MULTIPLO COMUM (M.M.C)

O nmero mltiplo comum entre dois nmerosnaturais e obtido a partir da interseo dos mltiplosnaturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. Om.m.c pode ser calculado pelo produto de todos osfatores primos, considerados uma nica vez e de maiorexpoente.

Exemplo:Qual o m.m.c entre 4 e 6?

OBS: O m.m.c pode ser calculado peladecomposio simultnea em fatores primos.

Exemplos:Calcule o m.m.c dos nmeros:a) 12, 24 e 144

b) 8, 10 e 15

01. Trs navios fazem viagens entre dois portos. Oprimeiro cada 4 dias, o segundo cada 6 dias e oterceiro cada 9 dias. Tendo esses navios partidojuntos. Depois de quantos dias voltaro a sair juntosnovamente do mesmo local.a) 18 dias.b) 24 dias.c) 32 dias.d) 36 diase) 54 dias.

02. Numa Repblica, o Presidente deve permanecerem seu cargo durante 4 anos, os Senadores, 6 anose os Deputados, 3 anos. Se em 1929 houve eleiespara os trs cargos, em que ano se realizaronovamente juntas as eleies para esses cargos?a) 1932b) 1935c) 1941d) 1944e) 1948

TESTES DE CONCURSOS

MNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.) eMXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

303. Dois ciclistas percorrem uma pista circular nomesmo sentido, o primeiro percorre-a em 35segundos e o segundo, em 30 segundos. Tendopartido juntos, depois de quantos segundos seencontraro, novamente no ponto de partida?a) 6 segundosb) 7 segundosc) 90 segundosd) 120 segundose) 210 segundos

04. Dois nibus partem simultaneamente de Santongelo para itinerrios diferentes. Um parte doterminal a cada 80 minutos e o outro a cada hora. Otempo decorrido entre duas partidas simultnease consecutivas do terminal, e:a) 4 horasb) 3 horas 10 minutosc) 2 horas 50 minutosd) 10 horase) 30 minutos

05. Suponha que um cometa A atinja o ponto maisprximo da Terra, em sua orbita, a cada 20 anos,um cometa B a cada 30 anos e um cometa C acada 70 anos. Se em 1985 os trs estiveremsimultaneamente o mais perto possvel da Terra,ento a prxima ocorrncia desse fato se dar noano de:a) 2105b) 2405c) 2600d) 8642e) 3600

06. Estudos e simulaes so necessrias paramelhorar o trnsito. Por exemplo, imagine que, deum terminal rodovirio partam os nibus de trsempresas A, B e C.Os nibus da empresa A partem a cada 15 minutos;da empresa B, a cada 20 minutos; da empresa C, acada 25 minutos.As 7h, partem simultaneamente 3 nibus, um decada empresa. A prxima partida simultnea dosnibus das 3 empresas ser as:a) 9h.b) 9h50min.c) 10h30min.d) 11h.e) 12h.

07. (FGR / 2007 / PREF. PITANGUI / MG FISCAL DE OBRAS) Trs torneiras,A, B e C, esto com mau funcionamento, ou seja,no fecham corretamente, assim deixam cair umpingo dgua de tempos em tempos. A torneira Adeixa cair a cada 15 segundos, a torneira B a cada10 segundos e a torneira C a cada 20 segundos.Sendo assim, se as trs torneiras deixaram cairjuntas os pingos dguas nesse exato momento,depois de quantos minutos deixaro cair outro pingodgua simultaneamente?a) 60.b) 5.c) 1.d) 45.e) 55

08. (POLCIA MILITAR/MG / 2007 / SOLDADO DE PRIMEIRA CLASSE) NaINTENDNCIA, local onde fica guardado oarmamento do 13 Batalho da PMMG, ha mais de200 e menos de 300 revlveres . Agrupando-os emdzias ou em dezenas, sobram no final 2 revlveres. CORRETO afirmar que esses revlveres podemser agrupados, exatamente:a) de 8 em 8b) de 9 em 9c) de 11 em 11d) de 13 em 13e) de 15 em 15

09. (IDEJURE / 2008 / PREF. VITORINO/PR / AGENTE DE APOIO OPERACIONAL)Uma pessoa toma 3 medicamentos A, B e C daseguinte forma:Medicamento A = 1 em 1 horaMedicamento B = 2 em 2 horasMedicamento C = 3 em 3 horas

Se a pessoa tomou os tres medicamentos juntosas 12hs de domingo tomara novamente os 3medicamentos juntos:a) As 12 hs de segunda-feira;b) As 20 hs de domingo;c) As 16 hs de segunda-feira;d) As 18 hs de domingo;e) As 16 hs de domingo.

10. (COVNEST / 2007 / POLCIA MILITAR/PB / SOLDADO) O fluxo depassageiros no terminal rodovirio em CampinaGrande aumenta gradativamente no ms de junho.A cada 30 minutos chega um nibus de JooPessoa e a cada 40 minutos, um nibus de Recife.De quanto em quanto tempo os horrios dechegada dos nibus coincidem?a) de 3 em 3 horasb) de 1 em 1 horac) de 2 em 2 horasd) de 1/2 em 1/2 horae) de 4 em 4 horas

411. (MOURA MELO / 2008 PREF. PARAIBUNA/SP / AGENTE COMUNITRIO DESADE) Numa corrida de, automveis, o primeirocorredor d a volta completa na pista em 8segundos; o segundo, em 9 segundos e o terceiro,em 10 segundos. Quantas voltas tero dado cadaum, respectivamente, at o momento em quepassaro juntos na linha de sada?a) 60; 54; 48.b) 45; 40;36.c) 45; 28; 17.d) 40; 35;30.e) 45; 35; 30.

12. (SELECT / 2008 / PREF. SANTA CRUZ DO CAPIBARIBE/PE / AGENTECOMUNITRIO DE SADE) Sistematicamente, em certo pas,as eleies de prefeito acontecem a cada 4 anos,governador a cada 5 anos e de presidente, a cada 6anos. Em outubro de 2004, as eleies coincidiram.Garantimos que o prximo encontro acontecer em:a) 2040b) 2044c) 2064d) 2074e) 2068

13. (UPENET / IAUPE / 2008 / PREF. CAMARAGIBE/PR / AGENTE DE APREENSO)Em uma estao, os metros partem na direoleste de 30 em 30 minutos, e na direo sul, de 40em 40 minutos. Em um instante, os metros partiramjuntos, da mesma estao. Quanto tempo depois,isso acontecera novamente, considerando ter sidomantida a regularidade?a) 100 minutos.b) 110 minutos.c) 120 minutos.d) 115 minutos.e) 90 minutos.

14. (IF/BA / 2008 / PREF. SANTOANTNIO DE JESUS/BA / AGENTE DE COMBATES ENDEMIAS) Uma pessoa possui um nmero demoedas antigas compreendido entre 250 e 300.Agrupando essas moedas de 20 em 20, ou de 40em 40, ou ainda de 70 em 70, sempre sobram 8. Onmero de moedas que essa pessoa possui e:a) 268b) 272c) 278d) 280e) 288

15. (COPERV / UFPB / 2008 / CAGEPA / AGENTE DE MANUTENO) Em umaresidncia, h trs torneiras, Tl, T2 e T3, de mesmodimensionamento, com vazamentos em formas depingo dgua. Sabe-se que T1 pinga a cada 3segundos, T2, a cada 4 segundos e T3, a cada 5segundos. A partir do instante em que as trstorneiras pingaram simultaneamente, e corretoafirmar que elas voltaro a pingar, ao mesmo tempo,aps:a) 20sb) 40sc) 60sd) 30se) 50s

16. (VUNESP / 2008 / SAAE DE SOROCABA/SP / AGENTE DE MANUTENO DEVECULOS) Uma firma que imprime um grande nmerode folhetos de propaganda, para uma campanhade despoluio do ar, notou que os cartuchos detinta acabavam regularmente ao mesmo tempo.O cartucho de tinta colorida era suficiente paraimprimir 400 folhetos, e o cartucho de tinta preta,suficiente para 600 folhetos. Considerando-se que,no comeo da impresso, os dois cartuchos sonovos, a nova troca desses cartuchos, ao mesmotempo, ser feita quando tiver sido impresso umnmero de folhetos igual a:a) 900.b) 1 000.c) 1 100.d) 1 200.e) 1 300.

1) D2) C

3) E4) A

5) B6) E

7) C8) C

9) D10) C

11) B12) C

13) C14) E

15) C16) D

Gabarito

5MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

O mximo divisor comum (m.d.c.) entre doisnmeros naturais e obtido a partir da interseo dosdivisores naturais, escolhendo-se a maior. O m.d.c. podeser calculado pelo produto dos fatores primos que socomuns tomando-se sempre o de menor expoente.

Exemplo:Qual o m.d.c. de 12 e 20?

OBS: O m.d.c. pode ser calculado peladecomposio simultnea em fatores primos,tomando apenas os fatores que dividemsimultaneamente.

Exemplos:Calcule o m.d.c. dos nmeros:a) 36 e 120

b) 105, 245, 875

c) 80 e 120

d) 80 e 288

e) 63, 108 e 135

6TESTES DE CONCURSOS

01. Para levar os alunos de certa escola a um museu,pretende-se formar grupos que tenham iguaisquantidades de alunos e de modo que, em cadagrupo, todos sejam do mesmo sexo. Se nessaescola estudam 1350 rapazes e 1224 garotas ecada grupo devera ser acompanhado de um nicoprofessor o nmero mnimo de professoresnecessrios para acompanhar todos os gruposnessa visita e:a) 18b) 68c) 75d) 126e) 143

02. Considere dois rolos de barbante, um com 96m eoutro com 150m de comprimento. Pretende-secortar todo o barbante dos dois rolos em pedaosde mesmo comprimento. O menor numero depedaos que poder ser obtido e:a) 38b) 41c) 43d) 52e) 55

03. Se x,y e z so nmeros naturais em que m.m.c (z,y,x)= 10 e m.d.c (z, y, x) = 10, ento:a) x = y = zb) x + y + z = 20c) x + y + z = 10d) x . y . z = 20e) x . y . z = 100

04. (COVNEST / 2007 / POLCIA MILITAR/PB / SOLDADO) Um grupo deturistas embarcou em dois nibus: um com 42pessoas e outro com 30 pessoas, todos comdestino a Campina Grande, para participarem dosfestejos juninos. Os guias queriam organizar gruposcom o mesmo nmero de pessoas, mas semmisturar as que vieram nos dois nibus. Elesqueriam tambm que esse nmero, por grupo,Fosse o maior possvel. Quantos grupos foramformados em cada nibus?a) 1 e 10b) 6 e 6c) 2 e 2d) 3 e 3e) 7 e 5

1) D2) C

3) E4) E

Gabarito

7NMEROS PROPORCIONAISREGRA DE TRS SIMPLES E COMPOSTA

Introduo

Razo

Proporo

Propriedades da Proporo

8Anotaes

Grandezas Inversamente Proporcionais

Grandezas Diretamente Proporcionais

APLICAO EM AULA

9APLICAO EM AULAREGRA DE TRS SIMPLES

10

APLICAO EM AULA

REGRA DE TRS COMPOSTA

11

TESTES DE REFORO

12

1) C2) C

3) C4) D

5) C6) A

7) D8) A

9) A10) B

11) D12) C

13) C14) C

15) D

Gabarito

13

Vejamos alguns exemplos:

1. Dividir 100 em partes proporcionais a 2 e 3.

2. Dividir 120 em partes proporcionais a 3 e 5.

3. Divida o nmero 153 em trs partes que sejamproporcionais a 3,5 e 9.

4. Dividir 121 em partes diretamente proporcionais a1, 1/2 e 1/3.

5. Determinar nmeros A e B diretamenteproporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferenaentre eles 60.

QUESTES DE CONCURSOS01. (PETROBRAS) UM milionrio vivo decidiu repartir

sua fortuna entre seus 3 filhos e 2 sobrinhos demodo que a parte de cada filho e a de cada sobrinhofosse diretamente proporcional aos nmeros 5 e 2,respectivamente. A frao de fortuna que coube acada sobrinho foi de:a) 2/7b) 2/9c) 2/13d) 2/15e) 2/19

DIVISO PROPORCIONAL

DIVISO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Dividir um nmero em partes diretamente a dois ou mais parcelas que sejam diretamente proporcionais aosnmeros dados.

14

02. (CONVEST / 2007 / POLCIA MILITAR / PB)SOLDADO) Quais das sucesses abaixo soformadas por nmeros diretamente proporcionaisaos da sucesso 3, 4, 5, 6, 7?a) 7, 6, 5, 4, 3b) 9, 12, 15, 18, 21c) 2, 4, 6, 8, 10d) 1, 3, 5, 7, 9e) 5, 10, 15, 20, 25

03. (PUC-SP) Dois amigos jogaram na loteria esportiva,sendo que o primeiro entrou com R$ 140,00 e osegundo com R$ 220,00 Ganharam um prmio deR$ 162.000,00, Como deve ser rateado o prmio ?a) R$ 63.000,00 e R$ 99.000,00b) R$ 50.000,00 e R$ 112.000,00c) R$ 70.000,00 e R$ 92.000,00d) R$ 54.000,00 e R$ 108.000 ,00e) R$ 53.000,00 e R$ 109.000,00

04) (U. Mogi/ SP) Numa sociedade, houve um lucro deR$ 800,00. Os capitais dos scios A e B so,respectivamente, R$ 1.500,00 e R$ 900,00. Osscios A e B recebero em reais lucros,respectivamente, de:a) R$ 550,00 e R$ 250,00b) R$ 600,00 e R$ 200,00c) R$ 500,00 e R$ 300,00d) R$ 520,00 e R$ 260,00e) R$ 530,00 e R$ 270,00

05) (B.B) Numa loja de automveis, os vendedoresrecebem comisses proporcionais ao nmero decarros que vendem. Se, em uma semana, o gerentepagou um total de $ 8.280,00 a quatro funcionriosque venderam 3, 6, 7 e 9 carros, respectivamentequanto ganhou o que menos carros vendeu?a) $ 993,60b) $ 808,00c) $ 679,00d) $ 587,10e) $ 507,60

06) (B.B) Certa herana foi dividida de formadiretamente proporcional as idades dos herdeiros,que tinham 35, 32 e 23 anos. Se o mais velhorecebeu $ 525.000,00 quanta coube ao mais novo?a) $ 230,000,00b) $ 245,000,00c) $ 325,000,00d) $ 345,000,00e) $ 350,000,00

07) (PGR) Uma pea de tecido foi dividida em 4 partesproporcionais aos nmeros 10, 12, 16 e 20.Sabendo-se que a pea tinha 232 metros, ocomprimento do menor corte foi de:a) 20 mb) 40 mc) 30 md) 48 me) 64 m

08) (B.B) 165 balas foram distribudas entre 3 irmos,cujas idades somadas totalizavam 33 anos.Sabendo-se que a distribuio foi diretamenteproporcional a idade de cada um, que o mais moorecebeu 40 balas e 0 do meio, 50, calcular suasidades.a) 6, 13 e 14b) 7, 9 e 17c) 3, 12 e 18d) 6, 11 e 16e) 8, 10 e 15

09) (PETROBRAS) Dividindo-se $ 3.800,00 em partesinversamente proporcionais a 1, 3 e 4, a menor partecorrespondera a:a) $ 475,00b) $ 520,00c) $ 600,00d) $ 620,00e) $ 644,00

10) (CVM) Uma partida de 15 dzias de canetas deveser repartida por 3 sees, proporcionalmente aonmero de seus funcionrios. Na primeira seoh 20 funcionrios, na segunda h 3/4 do nmerode funcionrios da primeira e na terceira 2/3 donmero de funcionrios da segunda. A sero demaior nmero de funcionrios recebe um total de:a) 80 canetasb) 100 canetasc) 20 canetasd) 60 canetase) 40 canetas

GABARITO:01.E; 02.B; 03.A; 04.C; 05.A; 06.A; 07.B; 08.E; 09.C; 10.A

15


01. Dividir 52 em partes inversamente proporcionais a4 e 9.

02. Dividir 84 em partes inversamente proporcionais a3,5 e 6.

03. Dividir 650 em partes inversamente proporcionaisa 2, 3 e 4

04. Encontre o nmero que ao ser dividido em partesinversamente proporcionais a 2, 3 e 10 gera 42como a menor das partes.

DIVISO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Dividir um nmero em partes inversamente a dois ou mais nmeros reparti-lo em parcelas que sejaminversamente proporcionais aos nmeros dados.

05. Determinar nmeros A e B inversamenteproporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferenaentre eles 10.

QUESTES DE CONCURSOS

01. (TELERJ) Dividindo $ 66.000,00 em partesinversamente proporcionais a 1, 2 e 3, a maior partecorresponder a:a) $ 24.000,00b) $ 33.000,00c) $ 36.000,00d) $ 44.000,00e) $ 60.000,00

02. (TRT) Certa quantia foi dividida entre duas pessoas,em partes inversamente proporcionais a 7 e a 15.Sabendo que a diferena entre as partes e de $160,00, o valor, em reais, da menor parte e de:a) 160,00b) 120,00c) 265,00d) 240,00e) 140,00

03. (CFC) Se os ngulos de um tringulo soinversamente proporcionais aos nmeros 1, 3 e 6,ento a soma das medidas dos dois menoresngulos desse tringulo em graus, e:a) 120b) 80c) 60d) 40e) 20

04. (CFC) Os nmeros 25, 15 e a so inversamenteproporcionais aos nmeros 6, b e 20. Logo,a) a = bb) a < bc) a > bd) a = b + 2,5e) nda GABARITO:

01.C; 02.E; 03.C; 04.B;

16

DIVISO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS COMPOSTA

Temos os problemas que solicitam a diviso de um nmero em partes diretamente proporcionais a outrogrupo de nmeros, assim) como aqueles que pedem a diviso em partes inversamente proporcionais, Temostambm os casas onde em uma mesma situao um nmero de ser dividido em partes diretamente proporcionaisa um grupo de nmeros e em partes inversamente proporcionais a um outro grupo de nmeros.


1) Decompor o nmero 58 em duas partes A e Bdiretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamenteproporcionais a 5 e 7.

2) Divida o nmero 981 em partes diretamenteproporcionais a 2, 6 e 3 e inversamenteproporcionais a 5, 9 e 4, respectivamente.

3) Divida o nmero 600 em partes diretamenteproporcionais a 12, 4, 2 e 6 e inversamenteproporcionais a 6, 2, 3 e 18, respectivamente .

4) Divida o nmero 579 em partes diretamenteproporcionais a 7, 4 e 8 e inversamenteproporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente.

5) Um pai distribuiu R$ 546,00 aos seus 2 filhos empartes diretamente proporcionais a mdia final nadisciplina de matemtica e em partes inversamenteproporcionais ao nmero de faltas em todo o anoletivo. O primeiro filho teve media final 9 e faltou 8vezes, enquanto que o segundo filho teve mdiafinal 8 e faltou 3 vezes. Quantos reais elesganharam respectivamente?

6) Obter nmeros A e B diretamente proporcionais a 4e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferena entre eles 21.

17

Uma equao pode ser escrita na forma ax + b =0 ondea e b so nmeros reais que conhecidos, com a 0, x representauma incgnita e o expoente de x 1, chamada de equao do 1grau a uma incgnita. Os nmeros conhecidos so chamadoscoeficientes. Um valor que pode ser atribudo a incgnita, talque torne a sentena verdadeira chamado de raiz ou soluo daequao. O conjunto das razes ou solues de uma equao chamado de conjunto soluo e pode ser indicado pela letra S.

Exemplos:

a) 3. (2x 1) = 2 . (x +3)

b) 1 = x

1) Resolva as equaes abaixo:

a) =

b) 3x = 6

x 12

x + 23

x + 15

x 12

3 x3

4x - 15

2 - 5x6

EQUAES DE 1 GRAU

EXERCCIOS

SISTEMAS DO 1o GRAU

Sistemas de equao do 1o grau

Um sistema de equao do 1 grau um conjunto deequaes do 1o grau que devem ser resolvidas juntas pois umadepende da outra. Neste ponto, veremos apenas sistemas deduas equaes e de duas incgnitas. Para resolvermos estessistemas, veremos os dois mtodos mais comuns: Mtodo desubstituio e mtodo de adio.

Mtodo de Substituio

Este mtodo consiste em isolar e substituir uma dasincgnitas. Achar o seu valor depois de substituir o resultadopara calcular a segunda

Exemplo:

Resolva o sistema a seguir:

Mtodo de AdioEste mtodo consiste em adicionar as duas equaes

membro a membro, com o objetivo de obter uma equao quetenha apenas uma incgnita. Para isso, escolheremos umaincgnita cujos coeficientes devem ser simtricos.

Exemplo: Resolva o sistema a seguir:

x + y = 502x + 5y = 154

x + y = 6x y = 10

18

1) Resolva os sistemas abaixo:

a) 3x y = 5x + 2y = 4

b) 2x y = 12x + 3y = 21

Problemas do 1o Grau

Resolver problemas prticos utilizando a matemtica,possui uma nica dificuldade: equacionamento do problemadado atravs de smbolos e operaes matemticas.

No existe um mtodo especfico para a soluo de umproblema. Pode-se no entanto adotar um procedimento prticoafim de facilitar a resoluo desse.

Ler com muita ateno o problema; Verificar quem ou o que a incgnita do problema,

atribuindo mesma um smbolo (x, por exemplo); Escrever a equao de acordo com os dados do

problema; Atravs de processos algbricos desenvolvidos

anteriormente, resolver a equao obtida; Fazer a interpretao da soluo no correspondente

problema.

EXERCCIOS

Exemplos:

a) A soma da metade de um nmero com 10 resulta 35. Qual esse nmero?

b) A metade de um nmero aumentada de 20 igual ao triplodo mesmo nmero, menos 45. Calcule esse nmero.

c) A soma de dois nmeros 96 e a diferena entre eles 34.Calcule esses nmeros.

1) Numa sala h tamboretes de 3 pernas e cadeiras de 4 pernas.Sendo 43 o nmero total de pernas e 12 o nmero total decadeiras e tamboretes, determine o nmero de cadeiras.

2) Num quintal havia uma poro de meninos e cachorros.Contando as cabeas eu obtive 22; contando os ps euobtive 68. Quantos meninos e quantos cachorros haviamno quintal?

EXERCCIOS

19

3) Pagou-se uma compra no valor de R$ 950,00 com notas deR$ 10,00 e R$ 50,00, num total de 47 notas. Quantas notasde cada espcie foram usadas no pagamento?

4) Uma pessoa participa de um jogo onde uma moeda honesta lanada100 vezes. Cada vez que ocorre cara ela ganhaR$ 10,00 e, cada vez que ocorre coroa, perde R$ 5,00. Seaps os 100 lanamentos a pessoa teve um ganho lquidode R$ 25,00, quantas vezes deve ter ocorrido cara na moeda?

01) A soluo da equao + + = 5x

a)

b)

c)

d)

e)

02) Achar um nmero por inteiro tal que os seus diminudosde 7 seja igual a metade aumentada de 2.a) 30b) 20c) 18d) 14e) 10

TESTES

2 . (x + 3)3

5 . (2x 1)2

16

12131632

23

03) Roberto tem no momento R$ 200,00 em cdulas de R$10,00 e de R$ 5,00. A quantidade de cdulas de R$ 10,00

equivalem a da quantidade de cdula de R$ 5,00. A

quantidade de cdulas de R$ 10,00 que Roberto possui :a) 10b) 12c) 16d) 18

04) Somando-se os de um nmero x com os de um nmero

y, obtm-se 84. Se o nmero x a metade do nmero y,ento a diferena y x igual a:a) 25b) 45c) 30d) 60

05) Um aluno recebe 3 dlares por problemas que acerta e paga2 dlares por problema que erra. Fez 50 problemas erecebeu 85 dlares. Pode-se dizer que acertou:a) 37 problemasb) 13 problemasc) 17 problemasd) 15 problemase) 35 problemas

45

34

23

35

GABARITO01. A02. A03. B04. B05. A

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1. DEFINIO

Chama-se funo polinomial do 1o grau, a qualquer funo fde IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b sonmeros reais dados e a 0.

Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficientede x e o nmero b chamado termo constante.

Vejamos alguns exemplos de funes polinomiais do 1o grau.

1) y = 2x + 5 a = b =

2) y = 3x - 4 a = b =

3) y = -3x - 7 a = b =

4) y = 4x a = b =

2. IDENTIFICAO DE ELEMENTOS DA FUNO

f(x) = ax + b

a: coeficiente angular ou parmetro angular ou declive oudeclividade.

b: parmetro linear ou coeficiente linear ou termo conhecidoou termo de grau zero.

x: varivel independente.y: varivel dependente,

Exemplos:

1) Dada a funo f(x) = -3x + 6, calcule:

a) f(2) b) f(1) c) f

2) Dada a funo f(x) = 2x + 5, calcule x para que:a) f(x) = 5 b) f(x) = 1 c) f(x) = -1

3) Dada a funo f(x) = ax + b, sabendo que f(0) = 3 e f(-3) = 0,calcule a, b e f(2).

4) Um vendedor recebe mensalmente um salrio composto de duaspartes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma varivel,que corresponde a uma comisso de 8% do total de vendas queele fez durante o ms.a. Expressar a lei da funo que representa seu salrio mensal.b. Calcular o salrio do vendedor sabendo que durante um

ms ele vendeu R$ 50.000,00 em produtos.

5) O preo a ser pago por uma corrida de txi inclui uma parcelafixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende dadistncia percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cadaquilmetro rodado custa R$ 0,86:a) Expresse o valor P a ser pago em funo da distncia x

(em quilmetros) percorrida.b) Calcule o preo de uma corrida de 11 Km.c) Calcule a distncia percorrida por um passageiro que pagou

R$ 21,50 pela corrida.

( )13

FUNO DE 1 GRAU

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01) Seja f(x) = ax + b uma funo afim. Sabe-se que f(-1) = 4 ef(2) = 7. Calcule o valor de f(8).

02) Seja f uma funo real, de varivel real, definida por f(x) = ax + bSe f(1) = -9 e a2- b2 = 4, calcule o valor de a- b.

03) Determine a lei da fuo do 1o grau que passa pelos pontos (1,7)e (2,9).

04) Na produo de peas, uma fbrica tem um custo fixo deR$ 16,00 mais um custo varivel de R$ 1,50 por unidadeproduzida. Sendo x o nmero de peas unitrias produzidas,determine:a) A lei da funo que fornece o custo da produo de x

peas;b) Calcule o custo de produo de 400 peas.

05) Para produzir colares feitos com sementes de aa, uma artesteve uma despesa de R$ 24,00 na aquisio de matria prima.Sabendo que o preo de custo por unidade produzida deR$ 2,00 e que a artes pretende vender cada colar por R$ 5,00,analise as afirmativas abaixo:A lei matemtica que permite calcular a receita bruta R, a serobtida com a venda desses colares, em funo da quantidade x deunidades vendidas, R(x) = 5,00x.A lei matemtica que permite calcular o custo total C decorrentedessa produo, em funo da quantidade x de colares produzidos C(X) = 24,00 + 2,00x.A venda desses produtos s dar lucro se a quantidade de colaresvendidos for superior a 8.

correto afirmar que:a) todas as afirmativas so verdadeirasb) todas as afirmativas so falsasc) somente as afirmativas lI e III so falsasd) somente as afirmativas I e II so verdadeirase) somente as afirmativas I e III so verdadeiras

06) Uma pessoa vai escolher um plano de sade entre duas opes:A e B. Condies dos planos:

Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 eR$ 20,00 por consulta num certo perodo.Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 eR$ 25,00 por consulta num certo perodo.

Temos que o gasto total de cada plano dado em funo donmero de consultas x dentro do periodo pr-estabelecido.Vamos determinar:a) A funo correspondente a cada plano.b) Em qual situao o plano A mais econmico; o plano B

mais econmico; os dois se equivalem.

EXERCCIOS

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3. GRFICO DE UMA FUNO POLINOMIAL DO 1o GRAU

Para construir o grfico de uma funo polinomial do 1o grau,atribumos valores do domnio varivel x e calculamos as respectivasimagens.

Exemplo 1:Vamos construir, por exemplo, o grfico da funo real f dada

por y = 2x - 1.

Exemplo 2:Vamos construir o grfico da funo y = -2x + 3.

1) Construir o grfico das funes reais abaixo:

a) f(x) = 2x - 3

b) f(x) = - 3x + 2

2) Um mvel se desloca numa rodovia da cidade A para a cidade B,segundo a funo s(t) = 100 + 80t, sendo s (espao) em km e t(tempo) em horas. Sabendo que A est localizada no km 100desta rodovia e B dista 350 km de A, pede-se:a) o grfico da funo s;b) a posio do mvel para t = 3 horas;c) o tempo de viagem gasto pelo mvel para chegar ao destino;d) a posio do mvel para t = 0. Explique o significado

disso.

4. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNO POLINOMIAL DO 1o GRAU

Voc j estudou o crescimento e o decrescimento de umafuno qualquer. No caso da funo polnomial do lo grau, podemosdeterminar se ela crescente ou decrescente pelo sinal do coeficientea da varivel x na lei de formao f(x) =ax + b.

Observe o quadro abaixo:

X Y (x, y)

1

-3

23

-1-2-3

1 2 3-1-2

y

x

X Y (x, y)

1

-3

23

-1-2-3

1 2 3-1-2

y

x

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a < 0

f(x) crescente

a > 0

f(x) decrescente

EXERCCIOS

23

12345678901234

12345678901234

12345678901234

12345678901234

12345678901234

12345678901234

12345678901234

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1234567890123

1234567890123

1234567890123

1234567890123

1234567890123

1234567890123

1234567890123

1234567890123

Exemplo:

1) Identifique como crescente ou decrescente as seguintes funesdo 1o grau.a) y = 5x + 1

b) y = -2x + 3

c) f(x) =

d) f(x) = 8 - x

5. ZERO OU RAIZ DA EQUAO DO 1o GRAU

Chama-se zero ou raiz da funo polinomial do 1 grauf(x) = ax + b, a 0 ,o nmero real x tal que f(x) = 0.

Temos: f(x) = 0 ax + b = 0 x = -

Ento, a raiz da funo f(x) = ax + b e a soluo da equao do

1 grau ax + b = 0, ou seja, x = -

Exemplo:

1) Determine a raiz ou zero de cada funo:a) y = 5x - 10b) y = -2x + 6c) y = 4x

d) y = + 1

ATENO!

Graficamente, a raiz aabscissa do ponto deinterseco da reta com oeixo x.

ba

ba

x2

x2 - 1

ATENO!

Caractersticas de um grfico de uma funo do 1o grau Com a > 0 o grfico ser crescente. Com a < 0 o grfico ser decrescente. Na construo de um grfico de uma funo do 1o grau basta

indicar apenas dois valores para x, pois o grfico uma reta euma reta formada por, no mnimo, 2 pontos.

Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto a raiz da funo. Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto o valor de b.

1) Dados os grficos abaixo, escreva a sentena y = ax + bcorrespondente a cada um deles:

a)

b)

c)

Exemplo:

Vamos construir o grfico dafuno f(x) = 2x 2

EXERCCIOS

24

2) (Vunesp-SP) Apresentamos a seguir o grfico do volume dolcool em funo de sua massa, a uma temperatura fixa de 0 C.

Baseado nos dados do grfico, determine:a) a lei da funo apresentada no grficob) qual a massa (em gramas) de 30 cm3 de lcool

3) Seja a funo f(x) representada pelo grfico calcule f1(2)

1) (UFSM) Sabe-se que o preo a ser pago por uma corrida de txiinclui uma parcela fixa, que denominada bandeirada, e umaparcela varivel, que funo de distncia percorrida. Se preoda bandeirada R$ 4,60 e o quilmetro rodado RS 0,96, adistncia percorrida pelo passageiro que pagou RS 19,00, para irde sua casa ao shopping, de:a) 5 kmb) 10 kmc) 15 kmd) 20 kme) 25 km

2) (UFSM) A funo que representa o valor a ser pago aps umdesconto de 7% sobre o valor x de uma mercadoria a) f(x) = 0,93 xb) f(x) = 0,07 xc) f(x) = 1,7 xd) f(x) = -7 xe) f(x) = 1,07 x

3) (UFRGS) Para que os pontos (1; 3) e (3; -1) pertenam aogrfico da funo dada por f(x) = ax + b, o valor de b -a deve sera) 7.b) 5.c) 3.d) - 3.e) - 7.

4) (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma funo afim. Sabendo-se quef(-1) = 4 e f(2) = 7. O valor de f(8) :a) 0b) 3c) 13d) 23e) 33

5) (UFSM) Seja f: R R uma funo definida por f(x) = mx + p. Sef passa pelos pontos A(0,4) e B(3,0), ento f1 passa pelo pontoa) (8,-2)b) (8,3)c) (8,-3)d) (8,2)e) (8,1)

6) (PEIES) O salrio mensal, em R$, de um vendedor dado porS(x) = 112 + 0,05x, onde x o total de suas vendas mensais.

Baseando-se na situao proposta, assinale V nas afirmativasverdadeiras e F nas falsas.( ) Se, no ms, o vendedor totalizar R$ 1.500,00 em vendas,

seu salrio ser de R$ 197,00.( ) O vendedor dever vender R$ 40.000,00 para que seu

salrio seja de R$ 2.112,00.

TESTES

25

( ) Entre os grficos a seguir, o que melhor representa S(x) o III.

I. II.

III.

A seqncia correta a) F - F - V.b) V - V - F.c) F - V - F.d) V - F - V.e) V - F - F.

7) (PEIES)

Na figura indicado o preo pago por uma corrida de txi, emfuno da distncia percorridaNessas condies, o valor a ser pago num trajeto de 5Km , emreais,a) 8,00b) 8,13c) 8,50d) 8,75e) 9,00

8) (Fuvest-SP) O conjunto das solues, no conjunto IR dos nmeros

reais, da inequao > x :

a) vaziob) IRc) {x IR | x < 0}d) {x IR | x > -1}e) {x IR | x < -1 }

9) (UFSM) Assinale V (Verdadeira) ou F (falsa) em cada uma dasafirmaes referentes a uma funo do primeiro grau f(x) cujogrfico passa pelos pontos A (1,-1) e B (-1,3):( ) f(x) decrescente, e seu grfico intercepta o eixo das

abcissas no ponto (- , 0).

( ) f(x) crescente, e seu grfico intercepta o eixo da ordenadasno ponto (0,1).

( ) O valor de 2f(- ) + f(2) 1

A seqncia correta :a) F - F - Fb) F - F - Vc) V - F - Vd) V - V - Fe) F- V - V

10) (UFRGS/ 06) Considere o grfico abaixo, que apresenta a taxamdia de crescimento anual de certas cidades em funo donmero de seus habitantes.

A partir desses dados, pode-se afirmar que a taxa mdia decrescimento anual de uma cidade que possui 750.000 habitantes a) 1,95%.b) 2,00%.c) 2,85%.d) 3,00%.e) 3,35%.

11) Sabendo que os pontos , 0 e 3, - pertencem ao

grfico da funo f(x) ax + b, com x IR, assinale V nas afirmativasverdadeiras e F nas falsas.

( ) Se x > ento f(x) > 0.

( ) Se x > 0, ento f(x) 0 se x ] , )

( ) A funo bijetora e sua inversa f1 (x) = +

( ) Dos grficos a seguir, o que melhor representa f(x) (II)

(I) (II)

(III)

A seqncia correta :a) V - V - Fb) V - F - Vc) F - F - Vd) F - V - Ve) F - V - F

13) (PEIES) Um objeto se movimenta sobre uma trajetria retilnea.Sua posio varia com o tempo, de acordo com o grfico

Ento, pode-se afirmar:a) Entre 2 e 3 segundos, o mvel percorreu 23 metros.b) O mvel parou no instante t = 4 segundos.c) De 1 a 2 segundos, o mvel percorreu 20 metros.d) De 2 a 4 segundos, o mvel percorreu 36 metros.e) No instante t = 4 segundos, o mvel passou pela posio

s = 100 metros.

12

12a

xa

12a

53

1 2 3 4 5 6

14) (UFRGS) Em maro de 2007, o menor preo oferecido por umacompanhia telefnica para uma ligao do Brasil aos EstadosUnidos era de RS 0,95 o minuto. O mesmo servio pela intemetcustava R$ 0,05 o minuto e mais R$ 0,10 da taxa de conexo dachamada. Em ambas as situaes, o preo por segundocorrespondia a 1/60 do preo por minuto. Nessas condies,para que uma ligao telefnica, do Brasil para os Estados Unidos,tivesse um custo menor via companhia telefnica que internet, adurao dessa ligao deveria ser, em nmeros inteiro desegundos, no mximo, dea) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

15) (UPF) Sendo f(x) = x - 3 e g(x) = 2x + 5, os valores reais de x,para que se tenha f(x) < g(x), sero:a) x> 0b) x < 0c) x > -8

d) x >

e) x < 8

16) (PEIES) - Dadas as funes reais f(x) = 2x -4 e g(x) = -x +4, ainterseco dos intervalos tais que f(x) > 0 e g(x) 0 a) * = {x / x < 0}b) ] 2, 4]c) * = {x / x > 0}d) [2,4[e) ]2,4[

17) (UFRGS) Todos os valores reais de x para quais se tem

0 so:

a) x < -2 ou x 3b) x 3c) x -2d) x < -8 ou x 3e) x -2 ou x 3

18) (PEIES) A soluo da inequao (3 x) (x ) < 0 o conjunto

a) ] , 3 [

b) [ , 3]

c) ( -, [ ] 3, )

d) ( -, ] [ 3, )

e) ( , 3]GABARITO1-C 2-A 3-A 4-C 5-C 6-C 7-D 8-B 9-C 10-C

27

FUNO QUADRTICA

34

DEFINIO

Toda funo do 2o grau deve ser dos reais para os reais,definida pela frmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a deve pertencerao conjunto dos reais menos o zero e b e c devem pertencer aoconjunto dos reais.

Ento, podemos dizer que a definio de funo do 2o grau :

f: R R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a R* e b e c R

Numa funo do segundo grau, os valores de b e c podem seriguais a zero, quando isso ocorrer a equao do segundo grau serconsiderada incompleta.

01) f(x) = x2 2x + 4

02) f(x) = 6x2 - 3

03) f(x) = x2 + x

04) f(x) = -3x2

05) f(x) = -4x2 2

Exemplos:

1) Dada a funo f(x) = x2 - 5x + 4, calcule:

a) f(0)

b) f(-1)

c) f(4)

2) Dada a funo f(x) = 2x2 + 2x - 4, calcule x para que:

a) f(x) = -4;

b) f(x) = 0.

3) Um corpo lanado ao solo verticalmente para cima tem posioem funo do tempo dada pela funo h(t) = 40t - 5t2, em que aaltura h dada em metros e o tempo t dado em segundos.Determine:a) a altura em que o corpo se encontra em relao ao solo no

instante t = 3 s

b) os instantes em que o corpo est a uma altura de 60 m dosolo

28

Concavidadevoltada para

cima

Concavidadevoltada para

baixo

GRFICO

O grfico da funo definida de IR em IR por:

f(x) = ax2 + bx +c (a 0)

uma curva chamada parbola.Dependendo do sinal do coeficiente a, a parbola pode ter

sua concavidade voltada para cima ( a > 0) ou voltada para baixo(a < 0), conforme mostra na figura.

a > 0

A parbola possui um eixo de simetria, que a intercepta numponto chamado vrtice.

Voc J sabe que o grfico de uma funo qualquer corta oeixo Ox nas razes da funo. Desse modo, dependendo dodiscriminante , h trs situaes possveis.

> 0 - A parbola corta o eixo Ox em dois pontos. = 0 - A parbola tangencia o eixo Ox. < 0 - A parbola no corta o eixo Ox.

Exemplos:

1) Construir o grfico da funo y = x2.

2) Construir o grfico da funo y = -x2 + 2x + 3.

ZEROS E UMA FUNO QUADRTICA

Chama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2o grauf(x) = ax2 + bx + c, a 0, os nmeros reais x tais que f(x) = 0.

Ento as razes da funo f(x) = ax2 + bx + c so as soluesda equao do 2o grau ax2 + bx + c = 0, as quais so dadas pelachamada frmula de Bhaskara:

Exemplos:

1) Determinar os zeros da funo y = x2 - 4x - 5.

2) Determinar os zeros da funo y = x2 - 2x + 6.

-b b - 4 . a . c2 . a

x =x =x =x =x =

29

1) Determine as razes ou zeros de cada funo:

a) f(x) = x2 - 5x + 6.

b) f(x) = 2x2 - 3x 5.

2) Determine p a fim de que o grfico f(x) = 2x2 + x+ (p - 1) nointercepte o eixo das abscissas.

3) (UFPEL) O valor de m para a equao x2 6x + m = 0 admitarazes reais e iguais :a) 3b) 6c) 9d) 0e) - 6

VRTICE DA PARBOLA

o ponto de extremo de uma funo do 2o grau.

Coordenadas do Vrtice

As coordenadas do vrtice da parbola obtida atravs dafuno do 2o grau y = ax2 + bx + c (xv, yv), onde:

Exemplos:

1) Determine o ponto V(xv, yv) vrtice da parbola que representao grfico das seguintes funes:

a) y = x2 - 6x + 5

b) y = 3x2 - 4x

xxxxxvvvvv = e y = e y = e y = e y = e yvvvvv = = = = =-b-b-b-b-b2a2a2a2a2a

-----4a4a4a4a4a

EXERCCIOS

30

1) Encontre o ponto V(xv, yv), vrtice da parbola, que representao grfico das seguintes funes:

a) y = x2 - 6x + 5

b) y = 3x2 2x + 2

2) (UFSE)- O grfico da funo f, de IR em IR, definida porf(x) = -2x2 - x uma parbola cujo vrtice o ponto.

a) (- ; - ).

b) ( ; - ).

c) (- ; - ).

d) ( ; ).

e) (- ; ).

3) (PUC) - O vrtice da parbola y = x2 - 2x - 8 o pontoa) (2, 1).b) (-9, 3).c) (1, -9).d) (-2, 4).e) (2, 3).

4) (UPF) A funo em IR, dada por f(x) = -x2 - 6x -5, representauma parbola cujo vrtice o ponto:a) (0, 0)b) (0, -5)c) (-3, 4)d) (-6, -5)e) nda

IMAGEM

O conjunto imagem lm da funo y = ax2 + bx + c, a 0, oconjunto dos valores que y pode assumir. H duas possibilidades:

1o quando a > 0

2o quando a < 0

Exemplos:

1) Determine o conjunto imagem das seguintes funes quadrticas:

a) f(x) = x2 - 10x + 9

b) f(x) = -3x2 + 2x 1

c) f(x) = x2 6x

14

12

14

12

14

18

14

18

14

18

{ }Im = y IR | y yv = - 4a

{ }Im = y IR | y yv = - 4a

EXERCCIOS

31

1) Determine o conjunto imagem das seguintes funes quadrticas.

f(x) = x2 - 5x + 4

2) (PUC) - A imagem da funo f: IR IR, definida porf (x) = x2 - 1, o intervaloa) [-1; + ).b) (-1; + ).c) [0; + ).d) (-; -1).e) (-; - 1].

3) A imagem da funo f: IR IR, definida por f(x) = x2 + l0x 16 a) {y IR/ y > -1}.b) {y IR/ y < 9}.c) {y IR/ y > 9}.d) {y IR/ y > - 10}.e) {y IR/ y < 10}.

4) (PUC) Se a imagem da funo f definida por f(x) = -3x2 - 6x - 2m o intervalo (-; -4], ento o valor de m

a)

b) 1

c)

d) - 1

e) - 14

5) (ULBRA) O conjunto imagem da funo real dada porf(x) = x2 - 9 a) IRb) [3 ; +)c) (- ; 3)d) (- ; -9]e) [-9; +)

VALOR MNIMO OU VALOR MXIMODA FUNO QUADRTICA

Pelos esboos dos grficos das funes quadrticas voc podeperceber que, dependendo da posio da parbola (concavidade paracima ou para baixo), a funo pode ter um valor mnimo ou um valormximo, e que esses valores correspondem ordenada do vrtice daparbola.

Exemplos:

1) Determine o valor mximo (ou mnimo) e o ponto de mximo(ou mnimo) de cada uma das funes abaixo definidas em IR:

a) y = 2x2 + 5x

b) y = -3x2+ 12x

2) Estima-se que, daqui a x anos, o nmero de pessoas que visitaroum determinado museu ser dado por N(x) = 30x2 - 120x + 3000.a) Atualmente, qual o nmero de pessoas que visitam o museu?b) Quantas pessoas visitaro o museu no 10o ano?c) Daqui a quantos anos ser registrado o menor nmero de

visitantes?

72

12

Se a > 0, f(x) possui valormnimo

Se a < 0, f(x) possuivalor mximo

EXERCCIOS

32

1) Determine as coordenadas do vrtice para cada funo a seguir,diga se ela admite valor mximo ou mnimo e d o conjuntoimagem

a) y = 2x2 + 5x - 3

b) y = 2x2 - 6x

c) y = -x2 + 2x + 15

2) Vamos supor que um fabricante possa vender x unidades de umdeterminado produto pelo preo P = 1 000 - 0,01 . x reais porunidade e que o custo dessas x unidades sejaC = 250. x + 100 000 reais. Qual deve ser a produo da fbricapara que o lucro seja o mximo possvel?

3) Uma pedra lanada do solo verticalmente para cima. Ao fim det segundos, atinge a altura h, dada por h = 40t 5t2.a) Calcule a posio da pedra no instante 2 s.b) Calcule o instante em que a pedra passa pela posio

75 m, durante a subida.c) Determine a altura mxima que a pedra atinge.d) Construa o grfico da funo h para 0 t 8.

4) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numapartida de futebol, teve sua trajetria descrita pela equaoh(t) = -2t2 + 8t (t 0), onde t o tempo medido em segundos eh(t) a altura em metros da bola no instante t. Determine, apso chute:a) o instante em que a bola retornar ao solo;b) a altura mxima atingida pela bola.

5) Um projtil lanado da origem O (0, 0), segundo um referencialdado, percorre uma trajetria parablica cuja funorepresentativa y = ax2 + bx. Sabendo que o projeto atinge suaaltura mxima no ponto (2,4), escreva a funo dessa trajetria.

6) (PUC) A trajetria de um projtil foi representada no plano

cartesiano por y = - + com uma unidade representando

um quilmetro. A altura mxima que o projtil atingiu foi:a) 40 mb) 64 mc) 16,5 md) 32 me) 62,5 m

7) (FURG) Ao ser batida uma falta em uma partida de futebol, atrajetria da bola tal, que sua altura h, em metros, varia com otempo t, em segundos, de acordo com a equaoh = -t2 + 10t, 0 t 10.

Com base nos dados do problema assinale a alternativa correta.a) a altura mxima atingida pela bola de 25 m.b) a distncia do local da falta at o local onde a bola atinge o

solo de 20 m.c) o valor t para o qual a bola atinge sua altura mxima

maior do que 5 segundos.d) a bola neste intervalo de tempo, atinge 3 vezes o solo.e) a bola comea a descer a partir de 6 segundos.

x64

x16

EXERCCIOS

33

( )b2a 4a,

8) (UFRGS) Uma bola colocada no cho chutada para o alto,percorrendo uma trajetria descrita por y = -2x2 + 12x, onde y a altura, dada em metros. A altura mxima atingida pela bola de:a) 36mb) 18mc) 12md) 6me) 3m

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DEUMA FUNO QUADRTICA

O vrtice da parbola que representa uma funo quadrticaevidencia tambm os intervalos onde a funo crescente e onde ela decrescente. Conforme o quadro abaixo:

Exemplo:

1) Para que valores reais de x crescente a funo:a) f(x) = 2x2 - 6x - 1

2) Para que valores de x decrescente a funo:a) f(x) = 3x2 - 4x + 1

1) Para que valores reais de x crescente a funo:

f(x) = x2 5x + 6

2) Para que valores reais de x decrescente a funo:

f(x) = -x2 + 6x - 9

3) (UFPE) Considere a seguinte funo quadrtica f(x) = x2 - 5x + 6.Assinale a alternativa correspondente ao conjunto de todos ospontos onde esta funo crescente.a) (-; 2].b) [2;3].c) (-; 2,5)d) (2,5; +).e) [2; 2, 5].

CONSTRUO DA PARBOLA

possvel construir o grfico de uma funo do 2 grau semmontar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro deobservao seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parbola.2. Os zeros definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo

dos x.3. O vrtice V indica o ponto de mnimo

(se a > 0), ou mximo (se a < 0).4. A reta que passa por V e paralela ao eixo dos y o eixo de

simetria da parbola.5. Para x = 0 temos y = a . 02 + b . 0 = c; ento p (0, c) o ponto

em que a parbola corta o eixo dos y.

{ }

{ }

f(x) crescente para

f(x) decrescente para

f(x) crescente para

f(x) decrescente para

{ }

{ }

b2a

b2a

b2a

b2a

x IR | x -

x IR | x -

x IR | x -

x IR | x -

EXERCCIOS

34

8.1. Significando grfico dos coeficientes a, b e c

a determina o sentido da concavidade.

b corte no eixo y subindo ou descendo.

c valor em que a parbola intercepta o eixo y.

Exemplos:

1) O grfico da funo y = ax2 + bx + c :

Determine:Os valores de a, b e c.

2) O grfico da funo f(x) = ax2 + bx + c :a) Determinar os valores de a, b e c.b) Calcule f(4).

1) Indique a funo quadrtica y = ax2 + bx +5 correspondente aogrfico.

2) A figura representa a funo definida pora) f(x) = x2 - 2x + 2.b) f(x) = x2 + x - 2.c) f(x) = x2 + x + 2.d) f(x) = -x2 + x - 2.e) f(x) = x2 + 2x + 2.

a > 0 a < 0

b > 0 b = 0 b < 0

C > 0 C < 0 C = 0

EXERCCIOS

35

3) O grfico da funo y = ax2 + bx + c :

4) (UFSM-RS) Sabe-se que o grfico representa uma funoquadrtica. Esta funo :

a) + x +

b) x

c) x

d) x2 - 2x - 3e) x2 + 2x 3

5) O trinmio y = ax + bx + c est representado na figura.Marque a alternativa corretaa) a > 0, b > 0, c < 0.b) a < 0, b < 0, c < 0.c) a < 0, b > 0, c < 0.d) a < 0, b > 0, c > 0.e) a < 0, b < 0, c > 0.

6) Baseado no grfico do trinmio y = ax2 + bx + c, podemosgarantir que

a) a > 0 e duas razes distintas.b) a < 0 e uma raiz dupla.c) a = 0 e no apresenta razes reais.d) a > 0 e uma raiz real dupla.e) a < 0 e duas razes reais distintas.

7) (PUC) Um veculo foi submetido a um teste para a verificaodo consumo de combustvel. O teste consistia em fazer o veculopercorrer, vrias vezes, em velocidade constante, uma distnciade 100 km em estrada plana, cada vez a uma velocidade diferente.Observou-se ento que, para velocidades entre 20 km/h e 120km/h, o consumo de gasolina, em litros, era funo da velocidade,conforme mostra o grfico seguinte.

Se esse grfico parte de uma parbola, quantos litros decombustvel esse veculo deve ter consumido no teste feito velocidade de 120 km/h?a) 20b) 22c) 24d) 26e) 28

8) (PEIES - 2000)

A figura indica a trajetria parablica do salto de uma r e destacaa distncia horizontal mxima (8 dm) e a altura mxima (2 dm)atingidas.

A funo quadrtica que expressa a altura em relao distnciahorizontal dada por:a) f(x) = 0, 125x2 + xb) f(x) = -0, 125x2 + xc) f(x) = -0, 25x2 + 1,5xd) f(x) = -x2 + 4,5xe) f(x) = -0,5 x2 + 2,5x

x2

32

x2

32

x2

92

36

1) (VUNESP - SP) - O grfico da funo quadrtica definida pory = x2 mx + (m - 1), em que m IR, tem um nico ponto emcomum com o eixo das abscissas. Ento, o valor de y que essafuno associa a x = 2 :a) - 2b) -1c) 0d) 1e) 2

2) (UFSM) O vrtice da parbola definido por y = x2 - 6x +5, estlocalizadoa) no eixo xb) no eixo yc) no 2o quadranted) no 4o quadrantee) na origem do sistema.

3) (PUC - RS) - A imagem da funo f: IR IR, definida porf(x) = x2 - 1, o intervalo:a) [-1; +)b) (-1; +)c) [0; +)d) (-; -1)e) (-; -1]

4) (UFRGS) A imagem da funo f: IR IR, definida porf(x) = -x2 + x - 2 a) ( ; 2)b) [2 ; )

c) (-; )

d) ( ; +)

e) (-; - ]

5) (UFRGS) Se f: IR IR definida por f(x) = x2 + 4x +3 e A, Be C. So os pontos de interseco do grfico de f com os eixoscoordenados, ento a rea do tringulo ABC :a) 3

b)

c)

d) 10e) 13

6) A parbola na figura abaixo tem vrtice no ponto (-1, 3) erepresenta a funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c.

Portanto, a + b .a) - 3b) - 2.c) - 1.d) 0.e) 1.

7) (UFRGS) - Um menino chutou uma bola. Esta atingiu alturamxima de 12 metros e voltou ao solo 8 segundos aps o chute.Sabendo que uma funo quadrtica expressa a altura y da bolaem funo do tempo t de percurso, essa funo :a) y = -t2 + 8t

b) y = - t + 3t

c) y = t + 6t

d) y = t + 2t

e) y = - t + t

8) De acordo com a funo f(x) = ax2 + bx + c, representada a seguir CORRETO afirmar que:a) a > 0; b > 0; c < 0b) a < 0; b > 0; c < 0c) a > 0; b < 0; c > 0d) a > 0; b > 0; c > 0e) a < 0; b < 0; c < 0

9) (UFRGS) Se p um nmero real, a equao x2 + x + 1 = p possuiduas razes reais distintas se, e somente se,

a) p >

b) p

d) p > 0.e) p um nmero real qualquer.

74

74

74

3292

38

34

38

23

163

34

34

43

TESTES

37

10) (FURG) Seja f: uma funo definida porf(x) = ax2 + bx + c , onde a > 0 e c < 0.

Quanto s suas razes, podemos afirmar quea) no so reais.b) so reais e de mesmo sinal.c) so reais e de sinais diferentes.d) so nulas.e) so iguais e no-nulas.

11) (UFRGS) - Se a funo f(x) = ax2 + bx + c, representada pelogrfico da figura, os valores de a, b, c podem ser respectivamente.

a) 1, 2, -3

b) 2, 4, 2

c) 3, 1, 2

d) 2, -1, 2

e) -1, -1, -1

12) Num terreno plano, um corpo lanado de um ponto no solo,descrevendo uma trajetria parablica de equao

y = +20x. Se x e y so expressos em metros, a distncia

entre o ponto de lanamento e o ponto em que o corpo toca osolo novamente , em metros, igual aa) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

13) (PEIES) A parbola representada na figura o grfico da funoy = ax2 + bx + c, com x IR.

A soma e o produto das razes dessa funo valem,respectivamente,a) 5; 4.b) - 5; 4.c) 4; -5.d) 4; 5.e) - 4;-5.

14) (UFSM) A funo quadrtica que melhor se adapta ao grfico aseguir :a) y = x2 + 4x - 5b) y = x2 - 4x + 5c) y = -x2 - 4x + 5d) y = x2 + 5x + 5e) y = - x2 + 4x + 5

15) (UFSM) O grfico que representa a funo y = 4x2 5x(1 + x) :a) b)

c) d)

e)

16) (PEIES) Numa microempresa de confeces, o custo dirio daproduo de x camisas dado por f(x) = x2 - 40x + 410 em R$. Ocusto mnimo da produo diria , em R$.a) 5b) 15c) 10d) 18e) 21

17) (UFSM)

Na produo de xunidades mensais deum produto, umafbrica tem umcusto, em reais,descrito pela funode 2o grau, represen-tada parcialmente nafigura. O custo mnimo , em reais,a) 500b) 645c) 660d) 675e) 690

18) (UFRGS) Para que a parbola da equao y = ax2 + bx - 1contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b so,respectivamente,a) 3 e -3.

b) e - .

c) 3 e - .

d) e -3.

e) 1 e

x2

8

5

2

13

13

13

13

13

GABARITO:1-D 2-D 3-A 4-E 5-A 6-A 7-C 8-D 9-A 10-C 11-A12-D 13-C 14-E 15-E 16-C 17-D 18-B

38

Transformao de Unidades

Exemplos:Transforme as unidades abaixo:

1) 52 m = ---------------------------------------------------- dm

2) 7,2 m = ---------------------------------------------------- cm

3) 8,5 m = -------------------------------------------------- m m

4) 93 m = --------------------------------------------------- dam

5) 70 m ------------------------------------------------------ hm

6) 895 m = --------------------------------------------------- km

7) 14 dam = ------------------------------------------------ dm

8) 28,3 hm = ------------------------------------------------- cm

9) 59 cm = -------------------------------------------------- dm

10) 1538 mm = --------------------------------------------- dam

UNIDADES DE MEDIDA

MEDIDA DE COMPRIMENTO

No sistema mtrico decimal, a unidade padro para medir comprimentos o metro, cuja abreviao m.Existem os mltiplos e os submltiplos do metro, veja na tabela:

quilo (k) mil vezesmltiplos hecto (h) cem vezes

deca (da) dez vezes

deci(d) dcima parte submltiplos centi (c) centsima parte

mil(m) milsima parte{ {

11) 9,98 mm = ---------------------------------------------- m m

12) 62 km = ------------------------------------------------- dam

13) 1,75 km = ------------------------------------------------ dm

14) 23,4 km ------------------------------------------------- dam

15) 15 hm = --------------------------------------------------- cm

16) 280 cm = ------------------------------------------------- dm

17) 590 dam = ------------------------------------------------- m

18) 30 m = ----------------------------------------------------- cm

19) 75 mm = --------------------------------------------------- m

20) 2560 cm = ------------------------------------------------- m

Mltiplos Unidade-padro Submltiplos

quilm hectm decm metro decim centim milm

km hm dam m dm cm m m

1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

39

MEDIDAS DE SUPERFCIE

No sistema mtrico decimal, a unidade padro para medir superfcies o metro quadrado, cuja representao m. O metro quadrado a medida da superfcie de um quadrado de um metro de lado. Como na medida decomprimento, na rea tambm temos os mltiplos e os submltiplos.

Exemplos:Transforme as unidades abaixo


quilm hectm decm metro decim centim milm

km hm dam m dm cm mm

1 000 000 m 10 000 m 100 m 1 m 0,01 m 0,0001 m 0,000001 m

1) 29 m = -------------------------------------------------- dm

2) 5 m = ----------------------------------------------------- cm

3) 6,7 m = ------------------------------------------------ mm

4) 85 m = ------------------------------------------------- dam

5) 9 m = ---------------------------------------------------- hm

6) 900 m = ------------------------------------------------- km

7) 7 dam = ------------------------------------------------ dm

8) 690 mm = ---------------------------------------------- cm

9) 1500 cm = -------------------------------------------- dam

10) 8 hm = -------------------------------------------------- dm

MEDIDAS DE CAPACIDADE

Para medirmos o volume de lquidos e gases que ocupam totalmente determinados recipientes, usamos asunidades de capacidade.

A unidade padro de medida de capacidade o litro, cujo smbolo o .

1 = 1dm

Para valores diferentes de 1 litro, ou seja valores maiores ou menores que essa medida, usam-se osmltiplos e submltiplos de 1 litro:- Os mltiplos so: quilolitro, hectolitro e decalitro.- Os submltiplos so: decilitro, centilitro e mililitro.

Mudana de unidades de capacidade


1) 53 = ------------------------------------------------------- c2) 2,8 = ------------------------------------------------------- d3) 7 = -------------------------------------------------------- m4) 91 = ----------------------------------------------------- da5) 775 = ------------------------------------------------------ k


k h da d c m1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

6) 83 = ------------------------------------------------------- h7) 7 h = ----------------------------------------------------- da8) 1000 d = ------------------------------------------------ da9) 300 m = --------------------------------------------------- d10) 6 k = -------------------------------------------------------- c

40

MEDIDAS DE MASSA

Massa de um corpo sua quantidade de matria. A unidade de massa o grama, cujo smbolo g.Para valores diferentes de 1 grama, ou seja, valores maiores ou menores que essa medida, usam-se os

mltiplos e submltiplos de 1 grama:- Os mltiplos so: quilograma, hectograma e decagrama.- Os submltiplos so: decigrama, centigrama e miligrama.

Mudana de unidades de massa

Na tabela abaixo, 1 g est representado em cada um de seus mltiplos e submltiplos:


1) 30 kg = ------------------------------------------------------ g

2) 2,5 hg = ----------------------------------------------------- g

3) 8 dag = ------------------------------------------------------ g

4) 21 dg = ------------------------------------------------------ g

5) 9 cg = -------------------------------------------------------- g


kg hg dag g dg cg mg1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

6) 800 mg = --------------------------------------------------- g

7) 13 kg = ------------------------------------------------------ g

8) 50 cg = ---------------------------------------------------- dg

9) 500 mg = ------------------------------------------------- dg

10) 3 dag = ----------------------------------------------------- cg

MEDIDAS DE TEMPOMEDIDAS DE TEMPOMEDIDAS DE TEMPOMEDIDAS DE TEMPOMEDIDAS DE TEMPO

A unidade-padro de tempo o segundo, cujosmbolo o s.

Quando se quer trabalhar com valores diferentesde 1 segundo, usam-se os mltiplos do segundo.

Mltiplos minuto hora dia

Smbolos min h d

Exemplos:Transforme as unidades:

1) 3 dias = ----------------------------------------------- horas

2) 5 horas = ------------------------------------------ minutos

3) 8 min = ------------------------------------------ segundos

4) 60 horas = ---------------------------------------------- dias

5) 180 minutos = --------------------------------------- horas

6) 240 segundos = --------------------------------- minutos

Situaes especiais

Transforme as medidas abaixo

1) 3,5 horas = ---------------------------------------- minutos

2) 6,2 minutos = ---------------------------------- segundos



5) 2,8 horas = ---------------------------------------- minutos


De mltiplos do segundo possuem os seguintesvalores:

1 dia = 24 horas1 hora = 60 minutos1 minuto - 60 segundos

Transformaes

41

ESTUDO DO TRINGULO

Definio

Tringulo um polgono formado por trs lados.

Elementos do Tringulo

A, B, C: vrtices a, b, c: lados A, B, C: ngulos internos , , : ngulos externos

Classificao dos tringulos

QUANTO AOS LADOS

EQILTERO: 3 lados iguaisISSCELES: 2 lados iguaisESCALENO : 3 lados desiguais

QUANTO AOS NGULOS

ACUTNGULO: 3 ngulos agudosRETNGULO: 1 ngulo retoOBTUSNGULO: 1 ngulo obtuso

^ ^ ^

^ ^ ^

b

GEOMETRIA PLANA

Anotaes

Propriedades:

* A Soma dos ngulos internos de qualquer tringulo 180o.

A + B + C = 180

* Qualquer ngulo externo de um tringulo igual soma dos doisngulos internos que no lhe so adjacentes.

= B + C = A + C = A + B

rea e permetro do tringulo

A =

P = a + b + c

b = base h = altura p = permetro

Exemplos:

1) Calcule o valor de x nos seguintes casos:

a)

b)

^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

b . h2

42

c)

d)

01 Os ngulos internos de um tringulo so expressos por 4x + 9o,6x + 5o e 5x 29o. Calcule x.a) 13o

b) 15o

c) 18o

d) 24o

e) 25o

2) URGS - Na figura, o ngulo x medea) 30o

b) 45o

c) 60o

d) 65o

e) 75o

3) UCS - A medida do ngulo interno ^B do tringulo ABC da figuraabaixo a) 98o

b) 114o

c) 126o

d) 134o

e) 150o

4) (ULBRA) - A soma de trs ngulos mede 180o, sabendo que = x + 10, ^b = 5x a e c^ = 3a - 10, os valores de , ^b e c^ so,respectivamente,a) 20o, 30o, 130o.b) 30o, 60o, 90.c) 20o, 60o, 80.d) 30o, 50o, 100,e) 30o, 70o, 80.

EXERCCIOS

QUADRILTEROS NOTVEIS

Definio:

Quadriltero o polgono que possui quatro lados.

Propriedade:

A soma das medidas dos ngulos internos de um quadriltero 360o.

Principais Quadrilteros

Quadrado

Formulrio:

A =

d = 2 P = 4

a =

= lado d = diagonalP = permetro a = aptema

Retngulo

Formulrio:

A = b . h

P = 2b + 2h

d2 = b2 + h2

b = base h = altura d = diagonal

Paralelogramo

Formulrio

A = b . h

b = base h = altura

Propriedades:

Os lados opostos de um paralelogramo so congruentes.

Os ngulos opostos de um paralelogramo so congruentes.

As diagonais de um paralelogramo interceptam-se no pontomdio.

2

43

Losango

Formulrio:

A =

P = 4

= lado D = diagonal maiord = diagonal menor P = permetro

Propriedades:

As diagonais de um losango so perpendiculares entre si. A diagonal de um losango bissetriz do seu ngulo interno.

Trapzio

A = h

B = base maiorb = base menorh = altura

OBS: H dois tipos de trapzio que recebem nomes especiais:

Trapzio retngulo: Trapzio issceles:Possui ngulo reto. Os ngulos da base so congruentes.

Exemplos:

1) (ULBRA) Um quadrado tem 64 m de rea. Seu permetro, emmetros,

2) (ULBRA) A rea de um trapzio mede 120 cm2. Se suas basesmedem 40 cm e 60 cm, sua altura mede

3) Classifique cada sentena seguinte como verdadeira (V) ou falsa(F).( ) O paralelogramo um trapzio.( ) As diagonais de um paralelogramo so bissetrizes dos

seus ngulos internos.( ) As diagonais de um paralelogramo tm medidas iguais.( ) As diagonais de um retngulo so perpendiculares entre si.( ) As diagonais de um losango interceptam-se mutuamente

ao meio.

4) Num retngulo, uma dimenso o dobro da outra. Se a rea doretngulo 128 cm2, calcule o seu permetro.

5) Calcule a rea e o permetro de um losango cujo lado mede 5cme a diagonal maior 8cm.

D . d2

B + b2( )

h

Anotaes

44

1) (UFRGS) Aumentando-se a medida da base de um retngulo em10% e a medida de sua altura em 20%, a rea desse retnguloaumenta dea) 20%b) 22%c) 30%d) 32%e) 40%

2) (UFRGS) Dois dos lados opostos de um quadrado tm umaumento de 40% e os outros dois lados opostos tm umdecrscimo de 40%. A rea deste quadradoa) aumenta 20%b) aumenta 16%c) permanece inalteradad) diminui 16%e) diminui 20%

3) (PUCRS) Deseja-se ladrilhar uma parede retangular cujasdimenses so: comprimento, 1,5 m e altura 2,4m. Empregam-se ladrilhos quadrados de 20 cm de lado. Sero necessriosa) 900 ladrilhosb) 90 ladrilhosc) 180 ladrilhosd) 9000 ladrilhose) nenhuma resposta correta

4) (UFRGS) As diagonais de um quadriltero so perpendicularese interceptam-se no ponto mdio, se, e somente se, o quadriltero uma) trapzio retngulob) trapzio isscelesc) retngulod) losangoe) paralelogramo

5) (UFRGS) Em um losango, a soma dos ngulos obtusos odobro da soma dos ngulos agudos. Sabendo que a medida dadiagonal menor 4, a diagonal maior medea) 6b) 4c) 2 2d) 2 3e) 4 3

EXERCCIOS

6) (UFRGS) Observe comateno o retngulo ABCD,na figura ao lado.Considerando as relaesexistentes entre suasdimenses e a diagonal, area desse retngulo serigual aa) 12 unidades de rea.b) 48 unidades de rea.c) 108 unidades de rea.d) 192 unidades de rea.e) 300 unidades de rea.

7) (UFRGS) Na figura abaixo est representado o retngulo (ABCD)com 105 m2. Usando as medidas indicadas (DG = 10 m e BF= 2 m), verificamos que o lado do Quadrado (EFCG) mede

a) 85 mb) 42,5 m

c) 8 m

d) 5 m

e) 3 m

8) (UFRGS) A rea do polgono da figura 30. O lado x mede

a)

b) 3c) 4d) 5e) 17

9) (ULBRA) - Sabendo-se que um litro de tintad para pintar 6m2, a quantidade de tintapara pintar a parede do desenho dea) 42 litrosb) 40 litrosc) 10 litrosd) 7 litrose) 6 litros

10) (UFRGS) - Um quadrado e um tringulo equiltero tm o mesmopermetro. A razo entre a rea do tringulo e a rea do quadrado

a)

b)

c)

d)

e)

156

4 33

4 39

3449

34

45

HEXGONO REGULAR

Definio

o hexgono que possui seis lados iguais e seis ngulosinternos iguais, cada um medindo 120o.

Formulrio:

A =

P = 6

a =

= lado P = permetro a = aptema

Exemplos:

1) Calcule a rea do hexgono regular cujo lado mede 8 cm.

2) Calcule a rea do quadrilteroACDE, sabendo que o lado dohexgono regular ABCDEFmede 4 cm.

3) O aptema de um hexgono regular mede 7 3 cm. Determine opermetro do hexgono.

4) Sabendo-se que um lado de um hexgono regular mede 6cm, adistncia entre dois lados paralelos mede, em m

1) A rea do hexgono regular, cujo aptema 3 cm mede:

a) 6 3 cm2b) 3 cm2c) 8 3 cm2d) 5 3 cm2e) n.d.a.

2) (UFRGS) - Os tringulos equilteros concntricos da figura tm,cada um, rea a. A rea do polgono regular sombreado

a)

b)

c) a

d)

e)

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12345678901234567890

12345678901234567890

6 34

32

3a4

2a3

3a2

5a3

a

F

C

EXERCCIOS

Anotaes

46

CRCULO

Definio:

o conjunto de todos os pontos de um plano interiores auma circunferncia e pertencentes a ela.

Formulrio:

A = R2

C = 2 R

D = 2R

R = raio C = comprimento D = dimetro

Coroa Circular

a parte compreendida entre dois crculos de mesmo centro.

ACC = (R2 r)

ACC = rea coroa circular.R = raio maior.r = raio menor

Setor Circular

a parte do crculo compreendida entre dois raios.

Formulrio:

A =

A =

=

R = raio = comprimento arco = ngulo setor

Exemplos:

1) Qual a rea da parte sombreada da figura?

a)

b)

c)

2) (UFRGS) Na borda de uma praa circular foram plantadas 47roseiras, espaadas de 2m entre si. O valor, em metros, que maisse aproxima do dimetro desta praa

3) (UFRGS) Um ciclista percorreu 9 km com uma bicicleta cujasrodas tm 30 cm de raio. Multiplicando o nmero de voltasdadas por uma das rodas por , tem-se:

R2

R 360

R 180

47

Tringulo Equiltero Inscrito e Circunscrito

Formulrio:

= R 3 r = a

R = . h a =

a = . h

Nomenclatura: = lado R = raio a = aptema h = altura

Quadrado Inscrito e Circunscrito

Formulrio:

= R 2 a =

r = a

= 2 . r

Hexgono Regular Inscrito e Circunscrito

= R r = a a =

Nomenclatura: = lado R = raio a = aptema

Exemplos:

1) Quanto mede a altura de um tringulo equiltero inscrito numacircunferncia de raio 4 cm?

2) Quanto mede o raio da circunferncia inscrita num tringuloequiltero cuja altura 3 3 cm?

3) Calcule a rea de um quadrado inscrito numa circunferncia cujoraio mede 4 2 cm.

4) Calcule a rea da coroa circulardeterminada pelas circunfernciasinscrita e circunscrita a um quadradode lado 8cm.

FIGURAS INSCRITAS E CIRCUNSCRITAS NO CRCULO

23

13

36

2

Nomenclatura: = lado a = aptemaR = raio

32

48

5) A rea do hexgono regular inscrito num crculo de raio 2 iguala

6) A figura a seguir mostra um tringuloequiltero de lado 6 e o seu circuloinscrito. Calcule a rea da figuradestacada:

7) Calcule a rea do crculo inscrito em um hexgono cujo permetro 24 cm.

1) (UCS) A figura abaixo mostra um tringulo equiltero, de lado6 cm, e o seu circulo inscrito. A rea da parte hachurada a) 3 3 cm2b) 3 cm2

c) 3 3 - cm2d) 3 - 3 cm2e) 3 cm2

2) (UFRGS) O aptema de um tringulo equiltero inscrito em umcrculo mede 1cm. A rea, em cm2, do hexgono inscrito nestecrculo a) 3b)

c) 4 3d) 6 3e) 24 3

3) (UFRGS) O quadrado da figura estinscrito no crculo de dimetro igual a2. A rea da regio hachurada a) - 1b) - 2c) - 4d) 2 - 2e) 4 - 8

4) (UFRGS) A razo entre a rea do quadrado circunscrito a umcrculo e a rea do hexgono regular inscrito no mesmo crculo

a)

b)

c) 6 3d) 4 3e)

5) (UFRGS) A rea da coroa limitada pelas circunferncias Inscritae circunscrita a um quadrado de lado 3

a)

b)

c) 2

d)

e)

6) (UFRGS) A medida do lado de um tringulo equiltero 6. Area da coroa determinada pelos crculos inscrito e circunscritoao tringulo

a) 3b) 3c) 9d) 10e) 12

3 32

8 36

8 39

46

3 22

32

94

92EXERCCIOS

49

GEOMETRIA ESPACIAL

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123456789012345678901234567890121234567

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DEFINIO:

Um poliedro limitado por uma superfcie prismtica fechadae por duas seces planas paralelas dessa superfcie prismtica.

ELEMENTOS DE UM PRISMA

Observe o prisma da figura seguinte. Vamos destacar seuselementos.

CLASSIFICAO DOS PRISMAS

Um prisma pode ser reto, quando suas arestas laterais soperpendiculares s bases, ou oblquo, quando as arestas laterais sooblquas em relao s bases.

Um prisma reto chamado de regular quando suas basesso polgonos regulares.

Num prisma qualquer, se a base um tringulo, o prisma chamado de prisma triangular; se a base um quadriltero, ele chamado de prisma quadrangular; se a base um pentgono, ele chamado de prisma pentagonal, e assim por diante.

REAS E VOLUME DOS PRINCIPAIS PRISMAS

Prisma Triangular Regular

Base Triangular Regular

Formulrio:

Ab =

A = permetro da base . h

At = A + 2Ab

V = rea da base . h

Nomenclatura: = Aresta ou lado da Base H = AlturaAb = rea da Base Al = rea LateralAt = rea Total V = Volume

Exemplos:

1) Calcule a rea lateral, a rea total e o volume de um prismatriangular regular cuja aresta da base mede 6cm e a altura doprisma mede 8 cm.

2) Uma barra de chocolate tem o formato dafigura ao lado. Calcule o volume dechocolate contido nessa barra.

(Use 3 = 1,73.)

PRISMAS

35

50

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1234567890123456789012

1234567890123456789012

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12345678901234567890123

12345678901234567890123

Prisma Reto de Base Triangulo Retngulo

Base Tringulo Retngulo

Formulrio:

Ab =

A = P . h

AT = A + 2AbV = Ab . h

Exemplos:

1) Determine a rea lateral, a rea total e o volume de um prismareto de altura 10 cm e cuja base um tringulo retngulo decatetos 12 cm e 9 cm.

2) Calcule o volume e a rea total de um prisma reto de altura 15cm, sabendo que sua base um tringulo retngulo cujos catetosmedem 6cm e 8cm.

3) A base de um prisma reto um tringulo retngulo cujos catetosmedem 5 cm e 12 cm. Calcule a rea da base, a rea lateral e a reatotal desse prisma cuja altura igual a 10 cm.

1) (UECE ) Um prisma reto tem por base um tringulo retngulocujos catetos medem 3m e 4m. Se a altura deste prisma igual hipotenusa do tringulo da base, ento seu volume, em m3, igual a:a) 60b) 30c) 24d) 12e) 6

2) (UCS) A calha da figura a seguir tema forma de um prismatriangular reto. O nguloABC mede 90o, e asmedidas citadas sointernas e em metros.

O volume mximo de gua que a calha poder conter em metroscbicos, igual aa) 45b) 90.c) 180.d) 1800.e) 2700.

Prisma Quadrangular Regular

Base quadrada

Formulrio:

Ab =

A = P . h

AT = A + 2Ab

V = Ab . h

Exemplos:

1) Calcule o volume e a rea total de um prisma regular quadrangularcujas arestas, lateral e da base, medem, respectivamente, 8 cm e 5 cm.

b . c2

3

EXERCCIOS

51

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123456789012345678901234

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Prisma Hexagonal Regular

Base Hexagonal Regular

Formulrio:

Ab = 6 .

A = P . h

AT = A + 2Ab

V = Ab . h

Exemplos:

1) Um fabricante de embalagens de papelo quer construir umacaixa em forma de prisma hexagonal regular.

Sabendo que a altura da caixa de 20 cm e que o lado do polgonoda base mede 16 cm, calcule a rea de papelo necessria para seconstruir essa embalagem. Admita que se utilize 25% a mais dematerial do que o estritamente calculado, devido s sobras depapelo e para que seja possvel fazer colagens necessrias confeco da caixa. (Use 3 = 1,73.)

2) Calcule a rea lateral, a rea total e o volume de um prismahexagonal regular cuja base est inscrita num crculo de raio 4cm,sabendo que a altura do prisma mede 9cm.

3) (UPF) A base de um prisma hexagonal regular reto est inscritonum crculo de 10cm de dimetro. A altura desse prisma, paraque a rea lateral seja 201 cm2 mede:

4) Calcule a rea lateral, a rea total e o volume de um prismaregular hexagonal de altura 5 cm, sabendo que as arestas da basemedem 4 cm.

1) (UFPEL) Um recipiente com a forma de um prisma hexagonalregular, de altura igual a 15 cm e lado da base igual a 4 cm, contmmel at 2/3 de sua altura. Qual o volume de mel que est contidono recipiente?

2) Uma jarra tem a forma de um prisma hexagonal reto com arestada base medindo 5 cm e altura 32 cm.a) Qual a capacidade, em litros dessa jarra?b) Para preparar um suco nessa jarra, devo acrescentar 1

pacote de suco em p para cada 400 m de gua. Quantospacotes preciso utilizar se quiser a jarra totalmente cheiade suco?

3) (UFPA) Num prisma regular de base hexagonal, a rea lateralmede 36 m2 e a altura 3 m. A aresta da base :a) 2 mb) 4 mc) 6 md) 8 me) l0 m

34

EXERCCIOS

52

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12345678901234567890123456789

12345

Apostila EAD Matematica 2

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