Apostila equacoes

Solução de Equações Diferenciais

1. Introdução

Os modelos matemáticos de sistemas físicos são representados por uma ou mais equações diferenciais ordinárias. A determinação do comportamento de sistemas exige, desta forma, a solução de uma ou mais equações diferenciais. Nesta apostila são revisados de forma sucinta os principais tipos de equações diferenciais que são utilizadas no estudo de sistemas mecânicos sujeitos a vibrações. Maiores detalhes poderão ser encontrados na literatura citada em anexo, ou em qualquer uma das inúmeras obras disponíveis sobre o tema. Especial atenção será dada às equações lineares com coeficientes constantes do tipo homogênea e não-homogênea, para as quais sempre é possível encontrar uma solução analítica. Deve-se salientar que o estudo do comportamento dinâmico de qualquer sistema físico é absolutamente impossível sem o conhecimento básico de equações diferenciais. Sendo que o estudo e projeto de sistemas mecânicos fazem parte das tarefas fundamentais de um engenheiro, torna-se claro que o engenheiro deve obrigatoriamente possuir conhecimentos sólidos sobre equações diferenciais e sua solução. A seguir é dada uma definição do que seja uma equação diferencial.

Definição 1:

Uma equação envolvendo uma função dependente de uma única variável e as suas derivadas é denominada de equação diferencial ordinária (EDO). A maior derivada da função que aparece na equação define a ordem da equação diferencial.

Por exemplo, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é dada na sua forma geral como:

a x a x f t1 0⋅ + ⋅ =& ( ) onde &x dxdt

= (1)

Na equação acima utilizou-se a conhecida notação &x dxdt

= . f(t) é uma uma função do tempo

t determinada (conhecida). Caso os coeficientes a0 e a1 que aparecem na equação (1) são constantes, ou funções do tempo, a equação acima é denominada linear, caso contrário ela será denominada não-linear. Caso ambos os coeficientes a0 e a1 sejam constantes, a equação será chamada de equação diferencial de primeira ordem linear com coeficientes constantes. Da mesma forma, a equação que segue será chamada de equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, caso os coeficientes a0 , a1 e a 3 sejam todos constantes.

a x a x a x f t2 1 0⋅ + ⋅ + ⋅ =&& & ( ) &&x d xdt

=2

2 (2)

PUCRS - DEM - Prof. Luís Alberto Pereira- Solução de Equações Diferenciais

2

A seguir são dados mais alguns exemplos de equações diferenciais ordinárias dos tipos discutidos até aqui.

a) Equação diferencial de primeira ordem, linear, com coeficientes constantes:

2 0⋅ + =&x x (3)

b) Equação diferencial de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes:

&& & ( )x x x sen t+ ⋅ + ⋅ = ⋅3 9 2 (4)

c) Equação diferencial de segunda ordem linear:

( )&& &x t x x+ ⋅ − ⋅ + ⋅ =2 1 2 0 (5)

d) Equação diferencial de primeira ordem linear:

& ( ) ( )x sen t x sen t+ ⋅ = ⋅3 (6)

e) Equação diferencial de primeira ordem não-linear:

2 2⋅ + =&x x t (7)

f) Equação diferencial de segunda ordem não-linear:

( )&& &x x x x+ + ⋅ + ⋅ =1 9 0 (8)

2. Formas Padronizadas de Equações de Primeira e Segunda Ordem

A seguir são apresentadas as formas segundo as quais as equações diferenciais lineares de primeira e segunda ordem são encontradas em casos de interesse para o estudo de sistemas físicos. A forma padronizada permite uma interpretação mais clara das várias grandezas físicas envolvidas, tais como constantes de tempo e freqüências naturais.

Definição 2: Uma equação diferencial de primeira ordem linear com coeficientes constantes é expressa na forma padrão como:

)t(fx1

x =⋅τ

+& τ > 0 (9)

A constante τ é chamada de constante de tempo, ela fornece uma medida da rapidez com que o sistema reage a uma determinada entrada (por exemplo, um distúrbio representado por um impulso). A forma padrão (9) é comum a uma série de fenômenos físicos, os quais podem ser de natureza bastante distinta: elétrica, química, mecânica, etc....

Exemplo:


3

Considere o sistema formado por um amortecedor e uma mola no qual a massa é desprezível, conforme mostra a figura 1. A força que age no sistema é dada por f(t), a constante de mola é k e o amortecimento é dado por b. A partir da aplicação das leis de Newton, fica estabelecido que a equação que governa o comportamento deste sistema é da seguinte forma:

b x k x f t⋅ + ⋅ =& ( ) (10)

Dividindo-se a equação por b, obtém-se a forma padronizada:

& ( )x kb

x f tb

+ ⋅ = (11)

Comparando-se a última equação com a forma padrão (9) pode-se verificar que a

constante de tempo é dada por kb=τ .

Definição 3: Uma equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes é expressa na forma padrão como:

&& & ( )x x x f tn n+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =2 2ξ ω ω (12)

Na equação anterior ξ é a constante de amortecimento e ωn freqüência natural não amortecida. A equação (12) descreve o comportamento de uma série de sistemas, incluindo sistemas mecânicos, elétricos, etc...

Exemplo: O sistema mola-massa-amortecedor mostrado na figura 2 é representado pela seguinte equação:

m x b x k x f t⋅ + ⋅ + ⋅ =&& & ( ) (13)

k

x(t)

b

figura 1 - Exemplo de Sistema Mecânico de Primeira Ordem


4

Dividindo-se toda a equação anterior por m, obtém-se a forma padronizada:

&& & ( )x bm

x km

x f tm

+ ⋅ + ⋅ = (14)

Comparando-se a equação (14) com (12), obtém-se as seguintes relações para os parâmetros ξ e ω n :

ωnkm

2 = ⇒ ωnkm

= (15)

2 ⋅ ⋅ =ξ ωnbm

⇒ ξ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅

bm

mk

bm k

12

12

(16)

3. Equações Diferenciais Ordinárias, Lineares com Coeficientes Constantes

Uma das principais propriedades das equações diferenciais ordinárias (EDO), lineares e com coeficientes constantes é que elas sempre possuem uma solução analítica que pode ser encontrada de forma sistemática. No entanto, nem todas as equações diferenciais possuem esta propriedades, existindo equações que não possuem solução na forma analítica, sendo que a sua solução deve ser encontrada de forma numérica. Esta propriedade é portanto válida apenas para as EDO lineares e com coeficientes constantes, não sendo válida para sistemas lineares com coeficientes variáveis no tempo.( Uma exceção constitui-se o caso de equações de primeira ordem com coeficientes, para as quais sempre existe uma solução analítica). EDO lineares com coeficientes constantes representam sistemas com parâmetros fixos, ou seja sistemas em que os parâmetros não variam ao longo do tempo.

3.1 Equações Homogêneas Uma EDO linear, com coeficientes constantes de ordem n e homogênea pode ser expressa na seguinte forma geral:

k

m

x(t)

b

f(t)

Posição de equilíbrio

figura 2 - Exemplo de Sistema Mecânico de Segunda Ordem


5

( ) ( ) ( )x a x a x a x a x a x a xnn

nn

n+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =−−

−−

11

22

3 2 1 0 0L &&& && & (17)

Na equação anterior a a a a a n0 1 2 3 1, , , , K − são constantes e ( )x d xdt

nn

n= .

Deve-se atentar que neste caso o lado direito é zero, ou seja não existe função de entrada no sistema. Neste caso a resposta do sistema é baseada apenas nas condições iniciais, as quais fisicamente estão associadas à energia armazenada no sistema no instante inicial. A fim de se determinar a solução, assume-se inicialmente que a solução da equação (17) é da forma:

( )x t e t= ⋅λ (18)

onde λ é uma constante a ser determinada. Substituindo expressão (18) em (17), obtém-se:

( )λ λ λ λ λ λ λnn

nn

n ta a a a a a e+ ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ =−−

−− ⋅ ⋅

11

22

33

22

1 0 0L (19)

Uma vez que e tλ⋅ é sempre diferente de zero, a equação acima será verdadeira quando a expressão entre parênteses for igual a zero, resultando:

λ λ λ λ λ λnn

nn

na a a a a a+ ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + =−−

−− ⋅1

12

23

32

21 0 0L (20)

A equação (20) é chamada de equação característica ou equação auxiliar e pode ser escrita diretamente a partir da equação (17). Trata-se de um polinômio de grau n, o qual possui n raízes. Por este motivo a equação (20) também é chamada de polinômio característico, denominação que será usada doravante. Denominando-se as raízes de (2) por λ λ λ λ1 2 3, , , K n obtém-se uma solução para (17) correspondente a cada uma das raízes de (20). As soluções possíveis, também chamadas de soluções fundamentais, serão dadas por:

( )x t e t1

1= ⋅λ , x t e t2

2( ) = ⋅λ , ( )x t e t3

3= ⋅λ , ....... ( )x t entn= ⋅λ (21)

Caso todas as soluções acima sejam linearmente independentes, a solução geral da equação diferencial homogênea (17) é dada pela seguinte expressão, a qual é uma combinação linear das soluções fundamentais:

( )x t K e K e K e K eht t t

ntn= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2 31 2 3λ λ λ λK (22)

Pode-se facilmente verificar que (22) é realmente a solução de (17) substituindo-a em (22). Na expressão (22) foi assumido que todas as raízes do polinômio característico são distintas. Caso o polinômio possua raízes iguais, como por exemplo λ λ1 2= , deve-se então assumir como soluções fundamentais ( )x t e t

11= ⋅λ e ( )x t t e t

22= ⋅ ⋅λ . Neste caso a solução

será dada por:

( )x t K e K t e K e K eht t t

ntn= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2 31 2 3λ λ λ λK (23)


6

Caso uma das raízes for repetida m vezes, por exemplo λ λ λ λ λ1 2 3 4= = = = =K m , então a solução geral será dada por:

( )x t K e K t e K t e K t e K e K eht t t

mm t

mt

ntm n= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

+⋅ ⋅+

1 2 32 1

11 1 1 1 1λ λ λ λ λ λK K

(24)

O número de vezes que a raiz aparece repetida é dado por m e denominado de multiplicidade da raiz. A solução deste tipo de equação diferencial envolve, desta forma , a determinação das raízes do polinômio característico. Caso uma ou mais raízes do polinômio sejam complexas, torna-se conveniente escrever a solução de uma outra forma. Uma vez que os coeficientes a a a a a n0 1 2 3 1, , , , K − da equação diferencial são todos reais, sempre que houver raízes complexas as mesmas aparecerão em pares conjugados: se houver uma raiz da forma λ α β1 = + j , haverá igualmente uma raiz da forma λ α β2 = − j . A parte da solução envolvendo estas raízes será portanto escrita como:

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]tsinBtcosAe

tsin2K1Kjtcos2K1Ke

eKeKeeKeK

t

t

tj2

tj1

tt2

t1

21

⋅β⋅+⋅β⋅⋅=

⋅β⋅−⋅+⋅β⋅+⋅=

⋅+⋅⋅=⋅+⋅

⋅α

⋅α

⋅β−⋅β⋅α⋅λ⋅λ

(25)

A forma (25) pode ainda ser rescrita utilizando um único termo, conforme segue:

K e K e K e tt t t1 2

1 2⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅λ λ α β φcos( ) (26)

Na forma acima K e φ são constantes a serem determinadas no lugar de K 1 e K2 .

As constantes que aparecem na solução homogênea serão determinadas a partir das condições iniciais do sistema. Uma equação de ordem n possuirá n condições iniciais, as quais envolverão o valor da função e as suas n-1 derivadas, simbolizadas por ( )x t0 , ( )&x t0 , ( )&&x t 0 ,

( )&&&x t0 , ..... , ( ) ( )x tn0 , onde t0 é o instante inicial. Em geral, utiliza-se t0 0= sendo as

condições iniciais representadas por ( )x 0 , ( )&x 0 , ( )&&x t0 , ( )&&&x 0 , ..... , ( ) ( )x n 0 .

Deve-se notar que a resposta homogênea depende apenas dos parâmetros do sistema, representados pelas constantes a a a a a n0 1 2 3 1, , , , K − . A solução homogênea representa assim o comportamento natural do sistema quando o mesmo não possui excitação externa. Por este motivo x th( ) é também conhecida como resposta natural ou resposta livre.

Exemplo 1: Encontre a solução homogênea da equação diferencial dada por && &x x x+ ⋅ + ⋅ =3 2 0 . solução: O polinômio característico é dada por λ λ2 3 2 0+ ⋅ + = , cujas raízes são λ1 1= − e λ 2 2= − . De acordo com (22) a solução homogênea será:


7

( )x t K e K eht t= ⋅ + ⋅− − ⋅

1 22 (27)

As constantes K 1 K 2 e serão determinadas utilizando-se as condições iniciais.

Exemplo 2: Encontre a solução da equação diferencial homogênea dada por &&& && &x x x x+ ⋅ + ⋅ + ⋅ =4 5 2 0 .

solução:

O polinômio característico é dado por λ λ λ3 24 5 2 0+ ⋅ + ⋅ + = , cujas raízes são λ1 2= − , λ λ2 3 1= = − . Neste caso existe uma raiz repetida (m=2) e a solução será, de acordo com a equação (24):

( )x t K e K e K t eht t t= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅− ⋅ − −

12

2 3 (28)

As constantes K 1 , K 2 e K 3 serão determinadas utilizando-se as condições iniciais.

Exemplo 3: Encontre a solução da equação diferencial homogênea dada por &&& && &x x x x+ ⋅ + ⋅ + ⋅ =5 8 6 0 . solução: O polinômio característico é dado por λ λ λ3 25 8 6 0+ ⋅ + ⋅ + = , cujas raízes são λ1 3= − , λ2 1= − + j e λ3 1= − + j . Neste caso, além de uma raiz real, existem duas raízes complexas conjugadas. De acordo coma equação (22), a solução será dada por:

( )x t K e K e K eht j t j t= ⋅ + ⋅ + ⋅− ⋅ − + ⋅ − − ⋅

13

21

31( ) ( ) (29)

Reformulando de acordo com a equação (25) pode-se também expressar a equação (29) como:

( ) [ ]x t K e e A t B tht t= ⋅ + ⋅ + ⋅− ⋅ −

13 cos( ) sin( ) (30)

Alternativamente, de acordo com a equação (26), pode-se também expressar a equação (29) como:

( )x t K e K e tht t= ⋅ + ⋅ +− ⋅ −

13 cos( )φ (31)

As constante que aparecem na solução serão determinadas a partir das condições iniciais.

3.2 Equações Não-Homogêneas Uma equação de ordem n do tipo linear não homogênea e com coeficientes constantes é geralmente expressa da seguinte forma:


8

( ) ( ) ( )x a x a x a x a x a x a x f tnn

nn

n+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =−−

−−

11

22

3 2 1 0L &&& && & ( ) (32)

Os coeficientes a a a a a n0 1 2 3 1, , , , K − são constantes e a função f(t) é uma função dada e conhecida (prescrita, dada, determinada), denominada também de função de entrada (na literatura em inglês também conhecida com forcing function). A solução geral da equação (32) é obtida a partir da superposição de duas soluções: a solução homogênea e a solução particular. A solução homogênea é a solução que corresponde ao caso em que f(t) é identicamente zero, a qual já foi determinada anteriormente e denominada de x th( ) . Por sua vez, a solução particular é denominada de x tp ( ) e será determinada aqui. A solução geral da equação diferencial não-homogênea é portanto x t x t x th p( ) ( ) ( )= + .

Para a determinação da solução particular existe uma série de métodos, sendo o mais conhecido e utilizado o Método dos Coeficientes Indeterminados. Segundo este método a natureza da solução particular é determinada baseando-se na forma da função de entrada f(t) e na forma da solução homogênea. Este método só é aplicável quando f(t) possui um número finito de derivadas linearmente independentes. Na prática, a aplicabilidade do método se resume a funções de entrada do tipo polinomial, seno, cosseno, exponencial e soma e produto destas funções. Estas funções são as mais usuais em engenharia, o que explica a preferência pelo método. A determinação da solução particular é feita de acordo com os passos que seguem:

Passo 1 Para cada termo de f(t), escolha um termo para a solução particular de acordo com a tabela 1. A solução particular será uma combinação linear destes termos. Considere ainda os seguintes casos:

caso 1 : se nenhum dos termos escolhidos da tabela 1 coincide com a solução homogênea, a solução particular não deve ser modificada. caso 2: se algum dos termos escolhidos na tabela 1 coincide com um termo da solução homogênea, o termo da solução particular dever ser modificado para t x tp⋅ ( ) . Caso o termo coincidente for uma raiz repetida com multiplicidade m, a solução particular correspondente a este termo deve ser modificada para t x tm

p⋅ ( ) .


9

Passo 2 A solução particular determinada no passo 1 é uma combinação linear das funções escolhidas na tabela 1 e assim possuem constantes que deverão ser determinadas. A determinação destas constantes é feita substituindo x tp ( ) na equação diferencial

no lugar de x(t) e igualando-se termos semelhantes que aparecem em ambos os lados.

Fisicamente o caso em que a solução particular contém termos que já estão contidos na solução homogênea significa que o sistema está sendo excitado num dos seus modos naturais de vibração, ou seja, o sistema está em ressonância. Neste caso a solução homogênea influencia a solução particular, nos demais casos x tp ( ) é determinado completamente

independente de x th ( ) . A solução particular é também chamada de resposta forçada, uma vez que caracteriza a influência externa no sistema. Para tempos bastante grandes, contados a partir do instante inicial, a resposta do sistema dependerá somente de x tp ( ) , considerando-se que o sistema seja estável. Embora a solução particular x tp ( ) esteja completamente determinada a partir de f(t) e das constantes a a a a a n0 1 2 3 1, , , , K − , a solução homogênea x th ( ) ainda conterá constantes a serem determinadas, as quais serão determinadas pela aplicação das condições iniciais. A seguir são apresentados alguns exemplos que ajudarão a esclarecer como determinar a solução completa x(t) de equações diferenciais não-homogêneas.

Exemplo 1: Encontre a solução da seguinte equação diferencial

&x x t+ ⋅ =2 (33)

sujeita à condição inicial x( )0 1= .

solução: O polinômio característico e raiz correspondente são dados por:

Tabela 1 - Relação entre a função de entrada f(t) e a solução particular x tp ( )

f(t) x tp ( )

k tm⋅ (m=0, 1,2, 3, .... ) b b t b t b tmm

0 1 22+ ⋅ + ⋅ + ⋅K

K ea t⋅ ⋅ b ea t⋅ ⋅

K sen t⋅ ⋅( )ω b t b sen t1 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅cos( ) ( )ω ω

K t⋅ ⋅cos( )ω b t b sen t1 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅cos( ) ( )ω ω

K e sen ta t⋅ ⋅ ⋅⋅ ( )ω [ ]e b t b sen ta t⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅1 2cos( ) ( )ω ω

K e ta t⋅ ⋅ ⋅⋅ cos( )ω [ ]e b t b sen ta t⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅1 2cos( ) ( )ω ω


10

λ + =2 0 ⇒ λ = −2

Desta forma, a solução homogênea será x t K eht( ) = ⋅ − ⋅2 . Como a função do lado

direito é um polinômio de primeiro grau, a solução particular será da forma x t A t Bp ( ) = ⋅ + , de acordo com a primeira linha da tabela 1. Verifica-se também

que a solução particular não contém nenhum termo que coincide com algum termo da solução homogênea, não sendo portanto necessário modificá-la. As constantes A e B serão determinadas inserindo-se a solução particular na equação (33), resultando então:

2 2⋅ ⋅ + ⋅ + =A t A B t( ) ⇒ 2 1

2 0⋅ =+ ⋅ =

AA B

⇒ A

B

=

= −

12

14

Assim, a solução particular será x t tp ( ) = ⋅ −12

14

e a solução geral será dada por:

x t x t x t t K eh pt( ) ( ) ( )= + = ⋅ − + ⋅ − ⋅1

214

2 (34)

A constante K será determinada a partir da aplicação da condição inicial à equação (34):

x K e K( )0 12

0 14

14

12 0= ⋅ − + ⋅ = − + =− ⋅ ⇒ K = 54

A solução para equação diferencial dada e sujeita à condição inicial x(0)=1 será, finalmente a seguinte:

x t t e t( ) = ⋅ − + ⋅ − ⋅12

14

54

2 (35)

Pode-se facilmente verificar que para um tempo bastante grande a solução da

equação será dada apenas por x t tp ( ) = ⋅ −12

14

. A solução homogênea possui uma

amplitude que decai com o tempo.

Exemplo 2: Resolva a seguinte equação diferencial

&& &x x x e t+ ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅3 2 2 4 (36)

sujeita às condições iniciais x( )0 1= e &( )x 0 1= − .

solução: O polinômio característico e as raízes associadas são:

λ λ2 3 2 0+ ⋅ + = ⇒ λ 1 1= − e λ 2 2= −


11

De acordo com a expressão (22), a solução homogênea será então:

x t K e K eht t( ) = ⋅ + ⋅− − ⋅

1 22 (37)

A função de entrada é do tipo mostrado na segunda linha da tabela 1, ela terá portanto a forma x t K ep

t( ) = ⋅ − ⋅4 . Uma vez que esta função exponencial não

coincide com nenhum termo da solução homogênea, não se torna necessário modificá-la. Substituindo-se x tp ( ) na equação diferencial (36) pode-se determinar

a constante K, conforme segue:

16 12 2 24 4 4 4⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅K e K e K e et t t t ⇒ 6 24 4⋅ ⋅ = ⋅− ⋅ − ⋅K e et t

Da última equação resulta K =13

sendo solução particular então expressa por

x t ept( ) = ⋅ − ⋅1

34 e a solução geral expressa por:

x t x t x t K e K e eh pt t t( ) ( ) ( )= + = ⋅ + ⋅ + ⋅− − ⋅ − ⋅

1 22 41

3 (38)

Aplicando-se as duas condições iniciais à solução geral pode-se determinar as constantes K 1 e K2 . Aplicando-se a condição x( )0 1= resulta:

x K e K e e K K( )0 13

13

110

22 0 4 0

1 2= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + =− − ⋅ − ⋅ (39)

Para a aplicação da segunda condição & ( )x 0 1= − deve-se primeiro derivar a solução geral :

&( )x t K e K e et t t= − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅− − ⋅ − ⋅1 2

2 42 43

&( )x K e K e e K K0 2 43

2 43

110

22 0 4 0

1 2= − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − − ⋅ − = −− − ⋅ − ⋅ (40)

Resolvendo-se o sistema de equações formado por (39) e (40) resulta K 153

= e

K 2 1= − . Desta forma para a solução geral obtém-se:

x t e e et t t( ) = ⋅ − + ⋅− − ⋅ − ⋅53

13

2 4 (41)

Exemplo 3: Resolva a equação diferencial


12

( )&&x x sen t+ ⋅ = ⋅ ⋅ω ω2 2 (42)

sujeita às condições inicias x( )0 0= e & ( )x 0 1= .

solução: O polinômio característico e as suas raízes são dados respectivamente por:

λ ω2 0+ = ⇒ λ ω1 = + ⋅j e λ ω2 = − ⋅j

Neste caso existem raízes complexas e a solução homogênea pode ser dada na seguinte forma, de acordo com a equação (26):

( ) ( )x t K t K sen th ( ) cos= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅1 2ω ω

A função de entrada coincide com a forma mostrada na terceira coluna da tabela 1. Desta forma pode-se expressar a solução particular como

( ) ( )x t A t B sen tp ( ) cos= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ω ω . Uma vez que os termos da solução particular coincidem com os termos da solução homogênea, deve-se modificar a solução particular para ( ) ( )[ ]x t t A t B sen tp ( ) cos= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ω ω , de acordo com o exposto anteriormente. Substituindo-se x tp ( ) na equação diferencial (42), pode-se

determinar as constantes A e B. Após esta substituição resulta:

( ) ( )− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2 2 2A sen t B t sen tω ω ωcos ( ) ⇒ AB

= −=

10

Para a solução particular obtém-se então ( )x t t tp ( ) cos= − ⋅ ⋅ω e a solução geral

será:

( ) ( )x t x t x t K t K sen t t th p( ) ( ) ( ) cos cos( )= + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅1 2ω ω ω (43)

A aplicação das condições iniciais à equação (43) permite determinar as constantes K 1 e K 2 :

( ) ( )x K K sen K( ) cos cos( )0 0 0 0 0 01 2 1= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = =ω ω ω

Derivando-se x(t) para obter &( )x t e calculando-se &( )x 0 obtém-se:

&( )x K0 1 12= ⋅ − =ω ⇒ K22

=ω

A solução geral será finalmente dada por:

( )x t sen t t t( ) cos( )= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅2ω

ω ω (44)


13

Conforme pode-se facilmente verificar, o sistema se encontra em ressonância e a amplitude da resposta tende ao infinito conforme o tempo aumenta. Trata-se de um sistema de segunda ordem não-amortecido, onde a freqüência da função de entrada coincide com a freqüência natural do sistema.

Exemplo 4: Encontre a solução geral da equação

( )&& &x x x e sen tt+ ⋅ + ⋅ = ⋅−4 5 (45)

sujeita às condições inicias x( ) .0 0 2= e & ( )x 0 0= .

solução: O polinômio característico e as raízes correspondentes são dados por:

λ λ2 4 5 0+ ⋅ + = ⇒ λ1 2= − + j e λ2 2= − − j

De acordo com a equação (26), a solução homogênea para o caso de raízes complexas conjugadas pode ser dada como:

( ) ( )[ ]x t e K t K sen tht( ) cos= ⋅ ⋅ + ⋅− ⋅2

1 2

A função de entrada corresponde à forma mostrada na quinta coluna da tabela 1. A solução particular será portanto do tipo

( ) ( )[ ]x t e A t B sen tpt( ) cos= ⋅ ⋅ + ⋅− (46)

Uma vez que nenhum dos termos da solução particular corresponde a termos da solução homogênea, não será necessário modificá-la. Inserindo-se x tp ( ) na equação

diferencial original, obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B e t B A e sen t e sen tt t t+ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −2 2cos ⇒ A BB A

+ ⋅ =− ⋅ =

2 02 1

Desta forma resulta A = −25

e B =15

. Com estes valores a equação particular

torna-se ( ) ( )[ ]x t e t sen tpt( ) cos= ⋅ ⋅ − ⋅ +−1

52 e solução geral será:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

x t x t x t

x t e K t K sen t e t sen t

h p

t t

( ) ( ) ( )

( ) cos cos

= +

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +− ⋅ −2

1 215

2 (47)

Aplicando-se as condições iniciais da mesma forma que no exemplo anterior resultará K 1 0 6= . e K2 1= . Desta forma a solução geral será dada por:


14

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]x t e t sen t e t sen tt t( ) . cos cos= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ +− ⋅ −2 0 6 15

2 (48)

Finalmente, deve-se se notar que quando a resposta do sistema tende a crescer em amplitude conforme o tempo aumenta, o sistema é dito instável. Pelo que foi visto, isto acontecerá sempre que alguma raiz do polinômio característico possuir uma parte real positiva, levando x th ( ) a aumentar indefinidamente para tempos crescentes. Por outro lado,

sistemas em que todas as raízes possuem parte real negativa são estáveis, uma vez que x th( ) tende a zero para tempos crescentes. Raízes com partes reais igual a zero levam a respostas com amplitudes constantes (oscilações com amplitudes constantes), caracterizando em geral sistemas estáveis. Este é o caso, por exemplo, de um sistema mola-massa sem amortecimento. Raízes com parte real igual a zero e repetidas fazem com que termos do tipo t tn ⋅ ⋅ +cos( )ω φ apareçam na resposta e caracterizam sistemas instáveis. Sistemas estáveis exigem, portanto, que as raízes do polinômio característico possuam todas parte real negativa e que as raízes puramente imaginárias sejam simples. Salienta-se que o estudo da estabilidade de sistemas é um tema complexo, especialmente quando se trata de sistemas variáveis no tempo e do tipo não-linear; a discussão aqui apresentada se destina meramente a introduzir o tema no contexto de equações diferenciais.

4. Problemas Propostos

1) Responda se as seguintes equações são lineares ou não-lineares:

a) &x x e t+ = − b) &x x e x+ = −

c) && & ( )x x x sen t+ + =3

2) O movimento de rotação de um sistema mecânico sujeito a um torque senoidal é descrito pela equação 0 25 2. & ( )⋅ + = ⋅x x sen t . Expresse a equação diferencial na forma padronizada e determine a constante de tempo.

3) O modelo matemático de um sistema mecânico é descrito pela equação diferencial 2 6 8⋅ + ⋅ + ⋅ =&& & ( )x x x f t , onde f(t) é uma função conhecida do tempo. Expresse a equação na forma padronizada e determine a freqüência natural não-amortecida e a constante de amortecimento.

4) Determine a solução das equações diferenciais homogêneas que seguem. Utilize as condições iniciais para a determinação das constantes.

a) && &x x x+ ⋅ + ⋅ =2 5 0 x( )0 0= e &( )x 0 2=

b) && &x x+ ⋅ =3 0 x( )0 0= e &( )x 0 3= −

c) &&& &x x+ ⋅ =4 0 x( )0 1= , &( )x 0 2= e &&( )x 0 0=

5) Determine a solução geral das equações diferenciais que seguem utilizando o Método dos


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Coeficientes Indeterminados.

a) &x x e t+ = ⋅ −2 x( )0 1=

b) && &x x e t+ ⋅ = − ⋅2 2 x( )0 0= e & ( )x 0 2=

c) && & ( )x x x sen t+ ⋅ + = ⋅2 2 x( )0 1= e &( )x 0 2=

5. Bibliografia

1) Dynamic Systems - Modeling and Analysis. H. V. Vu, R. S. Esfandiari. McGraw-Hill. 1997.

2) Principles and Techniques of Vibrations. L. Meirovitch. Prentice Hall. 1997.

3) Ordinary Differential Equations. M. Tenenbaum, H. Polland. Dover Publications. 1985.

4) State Variables for Engineers. P. M. Derusso, R. J. Roy, C. H. Close. Robert Krieger Publishing Company. 1990.

5) Equações Diferenciais. Coleção Schaum. Frank Ayres.

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