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UNIVERSIDADE ESTCIO DE S

FENMENOS DE TRANSPORTE

Professor: Rosemberg

2015

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Captulo I Definio e propriedades dos fluidos

I.1-Definio de fluido

A matria apresenta-se no estado slido ou no estado fluido, este abrangendo os estados lquido e gasoso. O espaamento e a atividade intermoleculares so maiores nos gases, menor nos lquidos e muito reduzido nos slidos.

Figura 1 Configurao das molculas nas trs fases da matria

Os slidos cristalinos tem tipicamente superfcies planas bemdefinidas, chamadas de faces do cristal, que fazem ngulos definidos umas com as outras. Essas faces so formadas por camadas ordenadas de tomos. Slidos amorfos no tm faces bem-definidas a menos que tenham sido cortados ou molhados.

Figura 2 Arranjos cbicos de slidos

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O arranjo de tomos, ons e molculas dentro de um cristal determinado por difrao de Raios X. Cada arranjo mostrado acima possibilita um empacotamento dos tomos levando a densidades diferentes.

Figura 3 Densidade atmica dos arranjos cbicos de slidos

Fluido qualquer substncia que se deforma continuamente quando submetido a uma tenso de cisalhamento, ou seja, ele escoa isso implica se o fluido permanece esttico no existiro foras de cisalhamento atuando.

Fluidos existem como lquido (gua, gasolina), gs (ar, hidrognio) e como uma combinao de lquido e gs (vapor mido).

Todos os fluidos possuem certo grau de compressibilidade e oferecem pequena resistncia mudana de forma. A fora F que age em uma rea A pode ser decomposta em uma componente normal F

n e uma componente tangencial Ft, como mostra a Figura abaixo.

A fora dividida pela rea na qual ela age chamada tenso. O vetor fora dividida pela rea o vetor de tenso, a componente normal da fora dividida pela rea a tenso normal e a fora tangencial dividida pela rea a tenso de cisalhamento.

Figura 4 Representao esquemtica dos tensores sobre uma superfcie.

A Tenso de Cisalhamento a razo entre a o mdulo da componente tangencial da fora a rea da superfcie sobre a qual a fora est sendo aplicada.

Equao 01

4

I.2-Propriedades dos fluidos

As propriedades dadas no presente material so aquelas gerais de fluidos que so de interesse em Engenharia: Massa especfica, peso especfico, densidade, viscosidade cinemtica, viscosidade dinmica.

I.2.1 Viscosidade absoluta ou dinmica() Consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. Suponhamos que a

placa superior em um dado instante passe a se movimentar sob a ao de uma fora tangencial.

A fora Ft, tangencial ao fluido, gera uma tenso de cisalhamento. O fluido adjacente placa superior adquire a mesma velocidade da placa (princpio da

aderncia) As camadas inferiores do fluido adquirem velocidades tanto menores quanto maior for

a distncia da placa superior ( surge um perfil de velocidades no fluido ). Tambm pelo princpio da aderncia, a velocidade do fluido adjacente placa inferior zero.

Como existe uma diferena de velocidade entre as camadas do fluido, ocorrer ento uma deformao contnua do fludo sob a ao da tenso de cisalhamento.

As partculas fluidas juntas s superfcies slidas adquirem as velocidades dos pontos das superfcies com as quais esto em contato, fenmeno denominado Princpio da aderncia.

Figura 5 Deformao de um fluido entre duas placas

A definio de viscosidade est relacionada com a Lei de Newton: A tenso de cisalhamento diretamente proporcional variao de velocidade ao longo da direo normal as placas

Na medida em que afasta da parede, a velocidade do fluido relativa parede aumenta, variando desde a velocidade da superfcie (zero) at um valor mximo finito (V0). Essa variao de velocidade chamado de perfil de velocidade ou gradiente de velocidade.

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A relao de proporcionalidade pode ser transformada em igualdade mediante uma constante, dando origem equao 1 ( Lei de Newton ).

Equao 02

A viscosidade dinmica ( ) o coeficiente de proporcionalidade entre a tenso de cisalhamento e o gradiente de velocidade. O seu significado fsico a propriedade do fluidoatravs da qual ele oferece resistncia s tenses de cisalhamento. Os fluidos que apresentam esta relao linear entre a tenso de cisalhamento e a taxa de deformao so denominados newtonianos e representam a maioria dos fluidos.

O valor da viscosidade dinmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em particular, esta viscosidade depende muito da temperatura. Os gases e lquidos tem comportamento diferente com relao dependncia da temperatura, conforme mostra a Tabela 1:

A Tabela 2 abaixo mostra a relao entre a viscosidade absoluta e o comprimento de cadeia de Hidrocarbonetos.

Tabela 2 Valores de viscosidade de alguns hidrocarboneto.

As unidades de viscosidade nos sistemas de unidades mais comuns so :

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CGS : [] poise = dina x s / cm2 { poise = 100 cetipoise (cp) }

Mtrico Gravitacional ( MK*S ) : [] = kgf s/ m2

Sistema Internacional ( SI ) : [] = N x s / m2 {1 N/m2 = 1 Pa (Pascal)} I.2.2 - Massa especfica (), Peso especfico() e densidade relativa(d)

Massa especfica a razo entre a massa do fluido e o volume que contm esta massa.

Equao 03

Onde: = massa especfica ou densidade absoluta; m = massa do fluido; V = volume do fluido. A Tabela 3 mostra a massa especfica para alguns fluidos e slidos a 20C. Tabela 3 - massa especfica para alguns fluidos e slidos a 20C

As unidades de massa especfica nos sistemas de unidades mais comuns so:

No CGS:

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No SI:

No MKS: Peso especfico a a razo entre o peso do fluido e o volume que contm esta quantidade

de matria.

Equao 04

As unidades de Peso especfico nos sistemas de unidades mais comuns so:

No CGS:

No SI:

No MKS:

Densidade relativa a razo entre a massa especfica do fluido em questo e a massa especfica de uma substncia de referncia numa temperatura definida, sendo assim uma grandeza adimensional. Se o fluido for lquido a substncia de referncia a gua a 25C e se o fluido for um gs a substncia de referncia o ar a 25C.

Equao 05

Na indstria do petrleo, a densidade relativa de derivados do petrleo geralmente dado em termos de uma escala hidromtrica chamada API. uma escala arbitrria que mede a densidade dos lquidos derivados do petrleo. Foi criada pelo American Petroleum Institute - API, juntamente com a National Bureau o fStandards.Quanto maior densidade o leo tiver, menor ser seu grau API. O API calculado segundo a expresso:

8

Equao 06

Petrleos com API maior que 30 so considerados leves; entre 22 e 30 API, so mdios; abaixo de 22 API, so pesados; com API igual ou inferior a 10, so petrleos extra pesados. Obs: A indstria do petrleo elegeu a temperatura de 60F (15,5C) como a temperatura padro.

I.2.3 Viscosidade cinemtica( ) - a razo entre a viscosidade absoluta e a massa especfica do fluido, ou seja:

Equao 07

As unidades de Viscosidade cinemtica nos sistemas de unidades maiscomuns so:

No CGS: (Stokes)

No SI:

No MKS:

Exerccios resolvidos

1) Um reservatrio reservatrio de leo que possui uma massa de 825 kg tem uma capacidade de 0,917 m3 determine a massa especfica, peso especfico e densidade do leo.

9

2) Um fluido tem uma viscosidade dinmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massaespecfica de 0,85kg/dm3. Determinar asua viscosidade cinemtica.

3) Duas placas planas paralelas esto situadas a 3mm de distncia. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, enquanto a inferior est imvel. Considerando que um leo(v=0,15Stokes e =905Kg/m3) ocupa o volume entre elas, determinar a tenso de cisalhamento que agir sobre o leo.

V=0,15Stokes=0,15cm2/s=1,5m2/s

Como x905=0,0136(N.s)/m2

Logo: ou seja =18,1Pa

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Captulo I I Fundamentos da Hidrosttica

II.1 Introduo

Considera-se um fluido em repouso quando no h velocidade diferente de zero em nenhum dos seus pontos e, neste caso, esta condio de repouso conhecida por Hidrosttica. Os princpios da Hidrosttica ou Esttica dos Fluidos envolvem o estudo dos fluidos em repouso e das foras sobre objetos submersos. II.2 Lei de Stevin

Considere um elemento de fluido em repouso num referencial inercial conformeo esquema mostrado na figura 6.

Figura 6 Elemento de um fluido em repouso

Em cada uma das faces do elementoo vetor tenso t tem mdulo igual a presso p orientado normalmente`a face no sentido de compresso, e o elemento est sujeito ao seu peso (fora do corpo) na direo vertical. Obviamente, nas direes x e y as foras de superfcie nas faces opostas devem se equilibrar. A resultante das foras desuperfcie na direo z :

Equao 8

e a fora peso(gravitacional) Equao 9

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Uma vez que a resultante total deve ser nula (caso contrrio o fluido aceleraria) tem-se:

Eq. 10

Dividindo (Eq. 10) pelo volume do elemento xyz:

Equao 11

Tomando-se o limite quando z 0, tem-se a Equao Diferencial da Hidrosttica:

Equao 12

Concluses: 1 A diferena de presses entre 2 pontos de uma massa lquida em equilbrio igual diferena de profundidade multiplicada pelo peso especfico.

2 No interior de um fluido em repouso, pontos de uma mesma profundidade suportam a mesma presso.

II.3 Princpio de Pascoal

Segundo Pascal:

A presso exercida sobre a superfcie da massa lquida transmitida no seu interior, integralmente e em todas as direes.

A Figura 7 mostra como este princpio aproveitado atravs do funcionamento de uma prensa hidrulica. Quando uma fora F1 exercida para baixo sobre o pisto menor de rea A1 (ramo da esquerda), o lquido (incompressvel) contido no dispositivo exerce uma fora para cima de mdulo F2 sobre o pisto maior de rea A2 (ramo da direita). A fim de manter o sistema em equilbrio, uma carga externa (no mostrada) deve exercer uma fora para baixo no valor de F2 sobre o pisto menor. A variao de presso P produzida pela fora de entrada F1 exercida pelo pisto

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menor transferida ao pisto maior, sobre o qual passa a atuar uma fora de sada F2. A equao que segue relaciona estas grandezas:

Figura 7 Prensa hidrulica

Equao 13

Como A2 > A1, pela relao acima fica claro que a fora de sada F2 exercida sobre a carga maior que a fora de entrada F1.

Exemplo:Uma prensa hidrulica tem dois mbolos de reas iguais a 10 cm2 e 80 cm2. Calcular a fora transmitida ao mbolo maior, quando se aplica ao menor uma fora de 120 N.

II.3 Princpio de Arquimedes

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Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido em equilbrio recebe uma fora vertical para cima denominada empuxo, de intensidade igual, mas de sentido contrrio ao peso da poro deslocada de fluido e aplicada no ponto onde estava localizado o centro de massa desta poro de fluido.

Figura 8 Corpo imerso em um fluido esttico

Esta fora denominada empuxo ser tanto maior quanto mais denso for o lquido e sua origem est relacionada com o fato da presso no lquido aumentar com a profundidade (Princpio de Stevin). Considere um objeto totalmente imerso em um fluido esttico, como na Figura 8. Considere, tambm, elementos finitos de volume que sero utilizados para determinao da fora vertical sobre o corpo em funo da presso hidrosttica. Da Equao 12 tem-se:

Equao 14

A fora vertical dFE resultante sobre o volume elementar igual a:

Observe que (h2-h1)dA = dV volume do elemento cilndrico. A fora total FB denominada fora de empuxo obtida por integrao sobre todo o volume do objeto, ou seja:

Equao 15

Onde V o volume do objeto. Como liq a densidade do lquido (e no do objeto), temos que liq.V corresponde massa do lquido deslocado pela imerso do objeto e

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ento pode-se anunciar o resultado anterior (equao 2.20) como Princpio de Arquimedes.

II.3.1 - Equilbrio de corpos imersos e flutuantes

Seja um corpo mergulhado em um lquido. Sabemos que apenas duas foras agem sobre ele: o seu peso P e o empuxo E.

Distinguem-se trs casos, que veremos a seguir:

1 caso: O peso maior que o empuxo (P > E). Neste caso o corpo descer com acelerao constante (condies ideais). Verificando-se as expresses de P e E, conclui-se que isso acontecer se a densidade do corpo for maior que a densidade do lquido.

2 caso: O peso menor que o empuxo (P < E). Neste caso o corpo subir com acelerao constante at ficar flutuando na superfcie do lquido. Isso acontecer quando a massa especfica do corpo for menor que a massa especfica do lquido, isto ,

Quando o corpo, na sua trajetria de subida, aflorar na superfcie do lquido, o empuxo comear a diminuir, pois diminuir a parte submersa e, portanto, o volume do lquido deslocado. O corpo subir at que o empuxo fique igual ao peso do corpo, que constante. Nesta condio (P = E) o corpo ficar em equilbrio, flutuando no lquido. 3 caso: O peso igual ao empuxo (P = E). Neste caso o corpo ficar em equilbrio, qualquer que seja o ponto em que for colocado. Isso acontecer quando a massa especfica do corpo for igual a massa especfica do lquido, isto ,

Exemplo 1: Um cubo de madeira de densidade 0,2 g/cm3 e aresta 20 cm flutua na gua. Determinar a altura da parte imersa do cubo. Considere a densidade da gua igual a 1 g/cm3.

Como Vc = Vl

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Captulo III Fundamentos da Hidrodinmica.

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A hidrodinmica estuda o comportamento dos fluidos em movimento, abrangendo uma gama enorme de fenmenos comuns do nosso dia-a-dia. As equaes desenvolvidas a base para o dimensionamento de bombas, compressores, tubulaes, vlvulas, tanques, torres, entre outros inmeros equipamentos que trabalham com o escoamento de um fluido, seja ele lquido ou gasoso.

III. 1 Definies

III.1.1 Linha de corrente

Linha de Corrente a linha tangente aos vetores velocidades de diferentes partculas no mesmo instante.

Figura 8 Representao de linha de corrente em escoamento de fluido

No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente, definidas por suas partculas fluidas.

III.1.2 Movimento permanente

Quando fixado um ponto num sistema de referncia, neste ponto, com o decorrer do tempo, no mudam as propriedades.

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O nvel do reservatrio no muda com o tempo.

Figura 9 Representao de um movimento permanente de um fluido

III.1.3 - Movimento Transiente ou no permanente

Quando fixado um ponto num sistema de referncia, neste ponto, com o decorrer do tempo, mudam as propriedades.

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O nvel do reservatrio diminui com o tempo.

Figura 10 Representao de um movimento transiente

III.1.4 Vazo volumtrica (Q)

o volume de fluido que atravessa uma seco transversal por unidade de tempo e pode ser calculado segundo a equao:

t

VQ = Equao 16

Velocidade mdia uma velocidade fictcia constante na seo tal que multiplicada

pela rea resulta na vazo do lquido.

Q = A.Vm Equao 17

Nos sistemas usuais so as seguintes as unidades utilizadas:

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sistema CGS: cm3/s (centmetro por segundo);

sistema MKS (tcnico): m3/s (metro cbico por segundo);

sistema SI: m3/s (metro cbico por segundo);

III.1.5 Vazo Mssica (Qm)

o massa de fluido que atravessa uma seco transversal por unidade de tempo e pode ser calculado segundo a equao:

t

mQ = Equao 18

Nos sistemas usuais so as seguintes as unidades utilizadas:

sistema CGS: g/s (grama por segundo);

sistema MKS (tcnico): utm/s (unidade tcnica de massa por segundo);

sistema SI: Kg/s (Quilograma por segundo);

A vazo mssica relaciona-se com a vazo volumtrica segundo a equao:

QQm .= Equao 19

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III.1.6 Escoamento compressvel e incompressvel

Os escoamentos onde as variaes de densidade do fluido so desprezveis denominam-se incompressveis. Quando estas variaes no podem ser desprezadas os escoamentos so ditos compressveis. Para a maioria dos casos prticos os escoamentos de lquidos so incompressveis. Os gases tambm podem se comportar como fluidos incompressveis desde que a velocidade do escoamento seja pequena em relao velocidade do som neste gs.

CvM = Equao 20

M = nmero de Mach, V = velocidade do fluido, C = velocidade do som

Para M < 0,3, a variao da massa especfica inferior a 5% e o escoamento pode ser considerado incompressvel.

III.2 Equao da Continuidade

Figura 11 Volume de controle diferencial em coordenadas retangulares.

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Pelo Princpio da conservao de massa aplicado ao volume de controle da Figura 11 temos:

0 controle de volume

dointerior no massa da Variao

controle de superfcie da atravs

massa de fluxo O=

+

Matematicamente temos:

0... =

+

+

+

tz

w

yv

x

u Equao 21

Aplicando o princpio de conservao da massa para um escoamento permanente unidimensional de um fluido em uma tubulao sem bifurcao temos:

Figura 12 Conservao de massa em escoamento de fluido em tubulao.

222111 .... vAvA = Equao 22

Para fluidos incompressveis a equao 22 pode ser simplificada em:

2211 .. vAvA = Equao 23

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Exemplo 1 - Ar escoa num tubo convergente. A rea da maior seo do tubo 20 cm e a da menor 10 cm. A massa especfica do ar na seo 1 0,12 utm/m enquanto que na seo 2 0,09 utm/m.

Sendo a velocidade na seo 1 de 10 m/s, determinar a velocidade na seo 2 e

a vazo em massa.

Aplicando a equao da continuidade ao sistema temos:

Como mQvAvA == 222111 .... temos:

III.3 Classificao do escoamento

Em 1883, Osborne Reynolds publicou um estudo sobre os escoamentos que atualmente conhecido como Experimento de Reynolds, que consiste

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basicamente na injeo de um corante lquido na posio central de um escoamento de gua interno a um tubo circular de vidro transparente. O comportamento do filete de corante ao longo do escoamento no tudo define trs caractersticas distintas (Gomes, M. H. R). Os escoamentos viscosos so classificados como escoamentos laminar e turbulento tendo por base a sua estrutura. O escoamento laminar se caracteriza pelo movimento suave e em lminas ou camadas de fluidos. O escoamento turbulento caraterizado por movimentos aleatrios, tridimensionais de partculas fluidas adicionadas ao movimento principal. No escoamento laminar vlida a relao entre a tenso de cisalhamento e o gradiente de velocidade (lei de viscosidade de Newton). Para o escoamento turbulento flutuaes aleatrias e tridimensionais da velocidade transportam quantidade de movimento atravs das linhas de corrente do escoamento aumentando a tenso de cisalhamento efetiva. Desta forma nos escoamentos turbulentos no existe uma relao universal entre o campo de tenses e o campo de velocidades. Segundo Reynolds o escoamento pode ser classificado em: Laminar ou Turbulento.

Figura 13 Representao esquemtica do experimento de Reynolds(. Para caracterizar se um escoamento laminar ou turbulento existe um parmetro adimensional denominado nmero de Reynolds (Re):

Equao 24 Onde:

V uma velocidade caracterstica do escoamento; _ a massa especfica; D o dimetro da tubulao a viscosidade dinmica do fluido; v a viscosidade cinemtica do fludo.

A partir das concluses de Reynolds temos:

Re 2000 - tem-se o escoamento laminar; 2000 < Re < 2400 - tem-se o escoamento em transio; Re >2400 tem-se o escoamento turbulento.

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Exemplo 1- gua flui por um tubo de 1in de dimetro interno. A viscosidade cinemtica da gua 105ft2/s. Determinar a maior vazo possvel em que o fluxo ainda seja laminar.

Exemplo 2 Calcular o nmero de Reynolds e identificar se o escoamento laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulao com dimetro de 4cm escoa gua com uma velocidade de 0,05m/s. Dados: = 1,0030 103 Ns/m e =1000kg/m3

Re=1994 (Escoamento laminar) II.4 Equao da conservao de Energia para um Volume de Controle

A primeira lei da termodinmica um enunciado da conservao de energia aplicado a um sistema. Esse princpio de conservao afirma que a soma algbrica de toda energia que cruza a fronteira do sistema deve ser igual variao na energia do sistema. Como calor (Q)

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e trabalho (W) so as nicas formas de energia (E) que podem atravessar uma fronteira de sistema, pode-se escrever a primeira lei (para um processo que conduz o sistema do estado 1 para um estado 2):

Q 1 2 Calor trocado com o sistema durante o processo 1 2, ou apenas Q

W1 2 Trabalho trocado com o sistema durante o processo 1 2, ou apenas W

O sinal negativo do trabalho proveniente da conveno de sinais:

Q calor: definido como a energia em transito devido diferena de temperaturas e que no esta associada com transferncia de massa.

Calor no energia armazenada ou possuda por um sistema ou volume de controle, ou seja, no uma propriedade (propriedade qualquer caracterstica observvel do sistema). A troca de calor de ou para um sistema necessariamente exige uma mudana de estado daquele sistema e a quantidade de calor trocada uma funo do caminho que o sistema segue durante o processo que causa a mudana de estado. W trabalho: forma de energia em transito no associada com transferncia de massa, e devido diferena de um potencial que no seja temperatura. Do mesmo modo que o calor no uma propriedade do sistema.

O volume de controle (C) ilustrado abaixo (em linha tracejada) usado para obteno da equao da conservao da energia. Uma quantidade de massa, ou seja, um sistema, que ocupa diferentes regies nos instantes t e t + t mostrado atravessando o volume de controle.

Equao 25

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Em um determinado instante de tempo t a energia do volume de controle )(tEVC e corresponde a soma da energia interna, cintica e potencial gravitacional da massa contida no volume de controle. Passado um intervalo de tempo t, o fluido contido na regio (1) indicada na figura, entra completamente no volume de controle. Simultaneamente outra quantidade de fluido (que estava no volume de controle) sai pela regio (2). Para os dois instantes no tempo a energia do sistema :

(sistema formado pela regio 1 e o volume de controle)

(sistema formado pela regio 2 e o volume de controle) Durante o intervalo de tempo em que h escoamento, calor e trabalho so trocados com o meio. A massa e energia dentro do volume de controle podem variar, e as massas, m

1 e m

2 no so necessariamente iguais. Usando a equao da conservao

de energia para o sistema (Eq.25) temos: WQtEttE =+ )()( Equao 28

Substituindo as equaes Eq.26 e Eq.27 na Eq.28:

Rearranjando a ltima equao:

Dividindo pelo intervalo de tempo t:

Equao 27

Equao 26

Equao 27

Equao 28

27

Tomando o limite para o intervalo de tempo tendendo a zero:

Assim:

Generalizando para diversas entradas e sadas:

II.4 Equao de Bernoulli

Considerando o desenvolvimento de um escoamento em regime permanente, na ausncia de trocas de calor, mquinas e perdas 21,0,0 uuWQ vc ===

e ..

2

.

1 mmm ==

ainda fluido incompressvel ( 21 = )

Simplificando:

Dividindo pela acelerao da gravidade:

Equao 29

Equao 30

Equao 31

Equao 32

Equao 33

Equao 33

28

A equao Eq.34 conhecida como Equao de Bernoulli.

Muitos livros texto adotam a nomenclatura carga (H):

Deste modo, a equao de Bernoulli pode ser escrita da seguinte forma:

21 HH =

Exemplo 1 : Determine a velocidade do jato de lquido na sada do reservatrio de grandes dimenses mostrado na figura. Considere =1000Kg/m3 e g=10m/s2

Aplicando a Equao de Bernoulli entre os ponto 1 e 2 temos:

Conclui-se que: 22

1 **2 zgV = 21 **2 zgV = Substituindo temos:

5*10*21 =V V1= 10m/s

Equao 34

Equao 35

Equao 36

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Fundamentos da Transferncia de Calor

ndice

Captulo 1 Conceitos Fundamentais

Captulo 2 Equaes Bsicas da Transferncia de Calor por Conduo

Captulo 3 Conduo de Calor Unidimensional em Regime Permanente

Captulo 4 Conduo de calor bidimensional em regime permanente

Captulo 5 - Conduo de calor em regime transitrio

Captulo 6 - Transferncia de calor por conveco

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Captulo 1 Conceitos Fundamentais

1.1 - INTRODUO

Sabe-se da prtica que um objeto quente em contato com um objeto frio torna-se mais frio, enquanto o objeto frio torna-se mais quente. A explicao mais aceitvel que alguma entidade transferida do corpo quente para o corpo frio, e chamamos esta entidade de calor, Q. Assim dizemos que o calor sempre passa no sentido do corpo de maior temperatura para o corpo de menor temperatura. Isso leva ao conceito de temperatura como sendo a fora motriz para a transferncia de energia na forma de calor.

A taxa com que o calor transferido de um corpo para outro proporcional a diferena de temperatura entre os dois corpos, sendo assim, quando no h diferena de temperatura entre os corpos no h transferncia de calor. Segundo a termodinmica, calor nunca visto como estocado no interior de um corpo. Assim como trabalho, ele s existe como energia em trnsito de um corpo para outro, ou entre o sistema e sua vizinhana. Quando energia na forma de calor adicionada a um corpo, ela armazenada no na forma de calor, mas como energia cintica e potencial dos tomos e molculas que constituem o corpo.

A termodinmica trata das transies quantitativas e das transformaes de energia em calor nos sistemas materiais. A transferncia de calor a cincia que trata das taxas de troca de calor entre um corpo quente denominado fonte e um corpo frio denominado receptor.

Transmisso de calor a denominao dada passagem da energia trmica ( que durante a transferncia recebe o nome de calor) de um corpo para outro ou de uma parte para outra de um mesmo corpo. Essa transmisso pode se processar de trs mecanismos diferentes: conduo, conveco e radiao. Entretanto no dia a dia esses mecanismos ocorrem simultaneamente.

1.2 Mecanismo e Equaes Bsicas da Transferncia de Calor.

A - CONDUO

o processo de transmisso de calor em que a energia trmica passa de um local para outro atravs das partculas do meio que os separa. Na conduo a passagem da energia de uma regio para outra se faz da seguinte maneira: na regio mais quente, as partculas tm mais energia, vibrando com mais intensidade; com esta vibrao cada partcula transmite energia para a partcula vizinha, que passa a vibrar mais intensamente; esta transmite energia para a seguinte e assim sucessivamente. Neste mecanismo de transferncia de calor o transporte se d atravs de um material fixo, como a parede indicada na figura abaixo.

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Verifica-se experimentalmente, que o fluxo de calor( a quantidade de calor que flui atravs da placa) proporcional rea transversal da placa normal ao fluxo de calor A, diferena de temperatura entre os meios (1) e (2) que ela separa e inversamente proporcional espessura da placa x. Se T for a temperatura em qualquer parte da placa e x for a espessura da placa na direo do fluxo de calor, a quantidade de calor que flui ser dada pela conhecia equao de Fourier:

=

dxdTkAdQ

(1)

O termo dxdT

denomina-se gradiente de temperatura e possui sinal negativo

quando supomos que a temperatura mais elevada seja a da face da placa para x=0 e que a temperatura mais baixa corresponda face para x= X. A constante de proporcionalidade k peculiar aos processos de transferncia de calor por conduo e conhecida como condutividade trmica. Os metais so muito bons condutores de calor, logo, apresentam k maior, enquanto a madeira pssima condutora de calor, logo, apresenta k menor.

Figura 1 Transferncia de calor em placa.

Unidades e dimenses

[ ] [ ][ ][ ][ ][ ]TALqK.

.

=

No sistema Internacional(SI) temos:

KmWK.

32

No sistema ingls temos:

FfthBtuK

..

B- CONVECO

Na conveco ocorre a transferncia de calor entre uma poro quente e uma quantidade fria de um fluido por meio movimento do prprio fluido, que constitui uma corrente de conveco. Um fluido aquecido localmente em geral diminui a densidade e, por conseguinte tende a subir sob o efeito gravitacional, sendo substitudo por fluido mais frio, o que gera naturalmente, o que denominamos, corrente de conveco. Consideremos uma sala na qual se liga um aquecedor eltrico em sua parte inferior. O ar em torno do aquecedor se aquece, tornando-se menos denso que o restante. Com isto ele sobe e o ar frio desce, havendo uma troca de posio do ar quente que sobe e o ar frio que desce. A esse movimento de massas de fluido chamamos conveco natural e as correntes de ar formadas so correntes de conveco. Caso a agitao seja provocada por qualquer outra mecanismo, como por exemplo um agitador, a conveco denominada conveco forada. Portanto, conveco um movimento de massas de fluido, trocando de posio entre si. Este tipo de transferncia de calor pode ser descrito pela equao que imita a equao da conduo e dada por:

hAdTdQ = (2)

A constante de proporcionalidade h um termo que influenciado pela natureza do fluido e pela natureza da agitao. Esta constante denominada coeficiente de transferncia de calor. Quando a equao 2 escrita na forma integral, ela denominada lei de Newton do resfriamento.

2) beira-mar, a areia, tendo calor especfico sensvel muito menor que o da gua, se aquece mais rapidamente que a gua durante o dia e se resfria mais rapidamente durante a noite.

DURANTE O DIA: O ar prximo da areia fica mais quente que o restante e sobe, dando lugar a uma corrente de ar da gua para a terra. o vento que, durante o dia, sopra do mar para a terra.

DURANTE A NOITE: O ar prximo da superfcie da gua se resfria menos. Com isto

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ele fica mais quente que o restante e sobe, dando lugar a uma corrente de ar da terra para a gua. o vento que, durante a noite, sopra da terra para o mar.

Figura 2 Conveco de calor a beira mar.

Nas geladeiras o congelador sempre colocado na parte superior, para que o ar se resfrie na sua presena e desa, dando lugar ao ar mais quente que sobe.As prateleiras so feitas em grades (e no inteirias) para permitir a conveco do ar dentro da geladeira.

Figura 3 Conveco de calor em uma geladeira.

34

C - RADIAO

o processo de transmisso de calor atravs de ondas eletromagnticas (ondas de calor). A energia emitida por um corpo (energia radiante) se propaga at o outro, atravs do espao que os separa. Entretanto, uma parte da energia absorvida pelo receptor e outra parte refletida pelo receptor. Na conduo de calor atravs de um slido, o mecanismo consiste de um mecanismo de transmisso de calor atravs de um corpo, cujas molculas, exceto vibraes, permanecem sempre em posies fixas.

Na conveco, o calor inicialmente absorvido de uma fonte pelas partculas do fluido imediatamente adjacente a ela e ento transferido para o interior do fluido misturando-se com ele. Ambos mecanismos necessitam da presena de um meio para conduzir o calor de uma fonte at o receptor. A transmisso de calor por radiao no necessita de um meio intermedirio, e o calor pode ser transmitido por radiao atravs do vcuo absoluto.

Quando uma radiao incide sobre um material, parte dessa radiao absorvida, parte refletida e parte transmitida, conforme mostra a Figura abaixo:

Pelo princpio de conservao de energia temos:

Boltzmann verificou que o fluxo mximo de radiao que uma superfcie pode emitir proporcional a temperatura absoluta elevada a quarta potncia, ou seja:

4AdTdQ = (3)

Esta relao ficou conhecida como a lei da quarta potncia, na qual T a temperatura absoluta. uma constante de Stefan-Boltzmann e um fator peculiar a cada radiao e denominada-se emissividade.

35

Unidades e dimenses

No sistema Internacional(SI) temos:

428

.

10.67051,5Km

W

=

No sistema ingls temos:

428

..

10.173,0Ffth

Btu

=

Captulo 2 Equaes Bsicas da Transferncia de Calor por Conduo.

36

2.1 Introduo

A lei de Fourier foi desenvolvida a partir da observao dos fenmenos da natureza em experimentos. Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante medido aps a variao das condies experimentais. Consideremos, por exemplo, a transferncia de calor atravs de uma barra de ferro com uma das extremidades aquecidas e com a rea lateral isolada termicamente, como mostra a Figura abaixo.

Figura 4 Transferncia de calor em barra metlica

Com base em experincias, variando a rea da seo da barra, a diferena de temperatura e a distncia entre as extremidades, chega-se a seguinte relao de proporcionalidade:

dxdTAKQ ..=

(1) onde, k, condutividade trmica do material;

Essa relao ficou definida como sendo a Lei de Fourier pode ser enunciada da seguinte maneira: A quantidade de calor transferida por conduo, por unidade de tempo, em um material, igual ao produto das seguintes quantidades:

k, condutividade trmica do material; A , rea transversal ao sentido do fluxo de calor e ao gradiente de temperatura.

37

A condutividade trmica dos slidos muito maior do que a dos lquidos, por sua vez maior que a dos gases, conforme pode ser observado na Figura 5. Conseqentemente mais fcil transmitir calor em um slido do que em um lquido do que em um gs. A condutividade trmica dos slidos pode crescer ou decrescer com a temperatura, enquanto a condutividade trmica da maioria dos lquidos decresce com o aumento de temperatura, embora a gua seja uma exceo notvel. As Figuras a seguir explicitam bem essas caracteristicas

Figura 5 Comparao da condutividade de diversos materiais(Incropera, F. P)

38

Figura 6 Comportamento da condutividade de diversos slidos com a temperatura(Incropera, F. P)

2.2 Equao Geral da Conduo de calor

2.2.1 Balano de energia em coordenadas cartesianas

Consideremos a transferncia de calor por conduo atravs de uma parede plana submetida a uma diferena de temperatura. Um bom exemplo disto a transferncia de calor atravs da parede de um forno, como pode ser visto na figura 1.7, que tem espessura L, rea transversal A e foi construdo com material de condutividade trmica k. Do lado de dentro do forno uma fonte de calor mantm a temperatura na superfcie interna da parede constante e igual a T1 enquanto que a temperatura da superfcie externa permanea igual a T2.

39

Figura 7 Transferncia de calor em coordenadas cartesianas

Aplicado a equao de Fourier, tem-se:

dxdTAKQ ..=

Fazendo a separao de variveis, obtemos :

dTAKdxQ ..=

Na Figura 7 vemos que na face interna ( x=0 ) a temperatura T1 e na face externa ( x=L ) a temperatura T2. Para a transferncia em regime permanente o calor transferido no varia com o tempo. Para a rea transversal da parede A e a condutividade k constante, a integrao da equao 1.2, fica assim:

= 2

1

..

0

T

T

l

dTAKdxQ

).(.)0( 12 TTAKLQ =

Considerando que ( T1 - T2 ) a diferena de temperatura entre as faces da parede (.T ), o fluxo de calor a que atravessa a parede plana por conduo :

TL

AKQ =

.

(2)

Analogia entre Resistncia Trmica e Resistncia Eltrica

40

Dois sistemas so anlogos quando eles obedecem a equaes semelhantes. Por exemplo, a equao 2 que fornece o fluxo de calor atravs de uma parede plana pode ser colocada na seguinte forma:

AKLT

Q.

=

O denominador e o numerador da equao acima podem ser entendidos assim:

T , a diferena entre a temperatura o potencial que causa a transferncia de calor;

K.AL

, equivalente a uma resistncia trmica (R) que a parede oferece transferncia de calor;

Portanto, o fluxo de calor atravs da parede pode ser expresso da seguinte forma :

RTQ =

(3) onde: T potencial trmico;

R a resistncia trmica da parede.

Consideremos um sistema de paredes planas associadas em srie, submetidas a uma diferena de temperatura. Assim, haver a transferncia de um fluxo de calor contnuo no regime permanente atravs desta parede composta.

Analisemos a transferncia de calor atravs da parede de um forno, que pode ser composta de uma camada interna de refratrio (condutividade k1 e espessura L1), uma camada intermediria de isolante trmico ( condutividade k2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de ao ( condutividade k3 e espessura L3). A figura abaixo ilustra o perfil de temperatura ao longo da espessura desta parede composta:

41

O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas individualmente:

)(. 211

11 TTL

AKQ =

; )(.

322

22 TTL

AKQ =

;

)(. 433

33 TTL

AKQ =

Colocando em evidncia as diferenas de temperatura nas equaes acima e somando membro a membro obtemos:

11

121

.

.

AKLQTT

=

22

232

.

.

AKLQTT

= ; 11

143

.

.

AKLQTT

=

Somando as equaes acima temos:

( )11

1

22

2

11

1433221

.

.

.

.

.

.

AKLQ

AKLQ

AKLQTTTTTT

++=++

Rearranjando os termos da equao acima temos:

( )

++=

11

1

22

2

11

141

.

.

.

.

.

.

AKL

AKL

AKLQTT , ou seja:

42

( ) ( )32141 RRRQTT ++=

( )( )321

41

RRRTTQ++

=

(4)

2.2.2 - Balano de energia em coordenadas cilndricas

Consideremos um cilindro vazado submetido uma diferena de temperatura entre a superfcie interna e a superfcie externa, como pode ser visto na Figura 8.

Figura 8 Transferncia de calor em coordenada cilndrica.

O fluxo de calor que atravessa a parede cilndrica poder ser obtido atravs da equao de Fourier, ou seja :

drdTAKQ ..=

, onde o termo drdT

o gradiente de temperatura na

direo radial.

Para configuraes cilndricas a rea uma funo do raio :

LrA ..2pi=

Substituindo na equao de Fourier, obtemos:

43

drdTLrKQ )...2.( pi=

Fazendo a separao de variveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2 chega-se a:

=2

1

2

1

.2.T

T

r

r

dTLKr

drQ pi , ou seja: ( ) ( )121 ...2lnln 2 TTLKrQ = pi

Aplicando-se propriedades dos logaritmos, obtemos:

( )121

2...2ln TTLK

r

rQ =

pi

O fluxo de calor atravs de uma parede cilndrica ser ento :

( )121

2ln

...2 TT

r

r

LKQ

=

pi

(5)

O conceito de resistncia trmica tambm pode ser aplicado parede cilndrica. Devido analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede cilndrica tambm pode ser representado como:

RTQ =

onde: T potencial trmico;

R a resistncia trmica da parede cilndrica

Ento para a parede cilndrica, obtemos:

44

RTT

r

r

LKQ =

=

1

2ln

...2 pi LK

r

rLnR

...21

2

pi

=

Para o caso geral em que temos uma associao de n paredes cilndricas associadas em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor dado por :

total

total

RTQ )(=

onde: nn

oiit RRRRR ...21 ++==

=

2.2.3 - Conduo de Calor Atravs de uma Configurao Esfrica

Consideremos uma esfera oca submetida uma diferena de temperatura entre a superfcie interna e a superfcie externa, como pode ser visto na Figura 9.

Figura 9 Transferncia de calor em coordenada esfrica

O fluxo de calor que atravessa a parede esfrica poder ser obtido atravs da equao de Fourier, ou seja:

drdTAKQ ..=

, onde o termo drdT

o gradiente de temperatura na direo

radial.

45

Para configuraes esfricas a rea uma funo do raio : 2..4 rA pi= . Substituindo na equao de Fourier, obtemos:

drdT

rKQ )..4.( 2pi=

Fazendo a separao de variveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, chega-se a seguinte expresso :

=

2

1

2

1

)..4.( 22T

T

r

r

dTrKdrrQ pi ( )12

21

..411 TTKrr

Q =

pi

Rearranjando a equao acima temos:

( )2121

..411 TTKrr

Q =

pi

O fluxo de calor atravs de uma parede esfrica ser ento:

( )2121

11..4 TT

rr

KQ

=

pi

(6)

46

47

Exerccios

1) Considere um aquecedor eltrico de superfcie que dissipa 500W uniformemente sobre um lado, com rea de 0,5m2, de uma placa de gesso, com isolamento trmico perfeito do lado oposto, conforme mostrado na Figura abaixo. A placa tem icm de espessura e a temperatura na superfcie externa de 27C. Determine a temperatura do gesso na superfcie que faceia o aquecedor. Dados: K= 0,79W/m.K

2)Um processo de transferncia de calor em regime permanente ocorre atravs de um envlucro com uma espessura de 5mm e K= 0,35w/m.K cuja temperatura intyerna desconhecida e a temperatura da superfcie de 85C para uma rea de troca e 4cm2. O lado externo esta exposto a um fluido com T =25C e h = 25W/m2 K e = 0,9. Determine a taxa de calor transferida por conveco e radiao e a temperatura T1 necessria.

3) Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de 25 cm de

48

espessura, so feitas de tijolos com condutividade trmica de 0,14 Kcal/h.m.oC e a rea das janelas so consideradas desprezveis. A face externa das paredes pode estar at a 40 oC em um dia de vero. Desprezando a troca de calor pelo piso e teto, que esto bem isolados, pede-se o calor a ser extrado da sala pelo condicionador ( em HP ). Dado: 1HP = 641,2 Kcal/h

4) Uma parede de um forno constituda de duas camadas: 0,20 m de tijolo refratrio (k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura da superfcie interna do refratrio 1675 oC e a temperatura da superfcie externa do isolante 145 oC. Desprezando a resistncia trmica das juntas de argamassa, calcule: a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; b) a temperatura da interface refratrio/isolante.

49

5)Um tubo de ao ( k = 35 kcal/h.m.oC ) tem dimetro externo de 3, espessura de 0,2, 150 m de comprimento e transporta amnia a -20 oC ( conveco na pelcula interna desprezvel ). Para isolamento do tubo existem duas opes: isolamento de borracha ( k = 0,13 kcal/h.m.oC ) de 3 de espessura ou isolamento de isopor ( k = 0,24 kcal/h.m.oC ) de 2 de espessura. Por razes de ordem tcnica o mximo fluxo de calor no pode ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face externa do isolamento 40 oC, pede-se :

a) As resistncias trmicas dos dois isolamentos; b) Calcule o fluxo de calor para cada opo de isolante e diga qual isolamento deve ser usado;

c) Para o que no deve ser usado, calcule qual deveria ser a espessura mnima para atender o limite.

3 - Equao da Difuso de calor

3.1- Coordenadas cartesianas

50

Consideremos o fluxo de calor atravs de um elemento de volume de lados dx, dy e dz, representado pelo cbico da figura abaixo.

Figura 11- difuso de calor em um elemento de volume de coordenadas cartesianas

Para tal sistema temos que:

dxx

qqq xxdxx

+=+

(1)

dyyq

qq yydyy

+=+

(2)

dzz

qqq zzdzz

+=+

(3)

51

A equao 1 afirma que a componente x da taxa de transferncia de calor no ponto x + dx igual ao valor da componente em x mais o produto da variao da taxa em relao a x por dx.

Levando em considerao que no interior do elemento de volume pode haver uma fonte de energia que proporciona um termo referente taxa de gerao de calor. Este termo pode ser representado por:

dxdydzqEg

=

(4)

onde :

q a taxa de gerao de energia por unidade de volume do meio(w/m3).

Considerando ainda que pode ocorrer variao quantidade de calor que acumulada pelo material no interior do volume de controle. Esse termo pode ser equacionado pela expresso:

dxdydzt

TCpEac

=

.

(5)

onde: t

TCp

. corresponde a taxa de variao, em funo do tempo, da energia

interna do meio, por unidade de volume.

Aplicando a equao de balano de energia para o volume de controle temos:

acsge EEEE

=+

(6)

Considerando as expresses que representam cada uma dos termos da equao 6 temos:

dxdydzt

TCpqqqdxdydzqqqq dzzdyydxxzyx

=+++ +++

.

(7)

Substituindo as equaes 1, 2, 3 na equao 7 temos:

52

dxdydzt

TCpz

dzqqdyyq

qdxx

qqdxdydzqqqq zzy

yx

xzyx

=

++++

.

(8)

Rearranjando a equao 8 temos:

dxdydzt

TCpz

dzqdyy

qdx

x

qdxdydzq zyx

=

.

(9)

Como as taxas de conduo de calor podem ser representadas pela equao de Fourier, ou seja:

x

TKdydzqx

=

(10)

yTKdxdzqy

=

(11)

z

TKdxdyqz

=

(12)

Substituindo as equaes 10, 11 e 12 na equao 10 e dividindo pelas dimenses do volume de controle temos:

t

TCpqz

TKzy

TKyx

TKx

=+

+

+

.

(13)

Caso a condutividade trmica possa ser considerada constante para o estudo em questo a equao 13 pode ser simplificada:

53

t

TKq

z

TyT

x

T

=+

+

+

12

2

2

2

2

2

(14)

onde : Cpk.

= denominada difusividade trmica

Para sistemas que operam em regime permanente no pode haver variao da energia acumulada, logo temos:

0=+

+

+

q

z

TKzy

TKyx

TKx

(15)

Para um sistema onde a transferncia de calor for unidimensional(por exemplo na direo x) e se no houver gerao de energia a equao 15 resume-se em:

0=

dxdTK

dxd

(16)

ou seja:

0"

=

dxdq x

(17)

3.1.1 Propriedades relevantes dos materiais

No estudo da transferncia de calor so empregadas vrias propriedades dos materiais. Essas propriedades so denominadas propriedades termofsicas e constituem uma combinao entre as propriedades de transporte e as propriedades termodinmicas. As primeiras incluem os coeficientes de difuso de calor, como por exemplo, a condutividade trmica(K) enquanto as segundas referem-se ao estado de equilbrio do sistema. Um exemplo destas propriedades, exaustivamente empregadas na anlise termodinmicas de sistemas, so a densidade() e a capacidade calorfica(Cp). O produto dessas duas propriedades (.Cp),expresso em [J/m3 K], mede

54

a capacidade do material em armazenar energia trmica, e denominado capacidade calorfica volumar.

As substncias com densidade elevada apresentam calores especficos pequenos, como conseqncia, slidos e lquidos, que so meios muito bons para armazenar energia, apresentam capacidade calorfica volumar comparveis(.Cp>1MJ/m3.K), conforme pode ser observado na Tabela A3. Em contrapartida, os gases que apresentam baixa densidade so pouco apropriados para armazenar energia trmica(.Cp~1KJ/m3.K)

No estudo da transferncia de calor, a difusividade trmica uma propriedade que mede a relao entre a capacidade de o material conduzir energia trmica e a sua capacidade de armazenar energia trmica. Essa propriedade expressa segundo a equao:

CpK.

=

(18)

Os materiais com grande respondem rapidamente as variaes do ambiente trmico, enquanto os materiais com pequeno respondem mais lentamente e levam mais tempo para atingir uma nova condio de equilbrio.

Exemplo:

Calcular difusividade trmica para os seguintes materiais , nas condies mencionadas, mediante aos valores de K, e Cp da Tabela A.

a) Alumnio puro a 300K

b) Alumnio puro a 700K

55

c) Carbeto de silcio a 1000K

d) Uretana

56

3.2 Coordenadas Cilndricas

Consideremos o fluxo de calor atravs de um elemento de volume de lados dr, d e dz, representado pela figura abaixo.

Figura 12 difuso de calor em um elemento de volume de coordenada cilndrica.

Quando a difuso de calor expressa em coordenada cilndrica, o vetor de fluxo de calor apresenta a seguinte forma geral:

+

+

==z

TkTr

jr

TiKTKq 1

.'

(19)

onde:

57

r

TKq r

='

=

Tr

Kq'

z

TKq z

='

(20)

So as componentes do fluxo de calor nas direes radial, circunferencial e axial, respectivamente. Aplicando a equao de balano de energia para o volume de controle temos expresso pela figura 12, obtm-se a seguinte equao geral:

t

TCpqz

TKz

TKrr

TKrrr

=+

+

+

.

112

(21)

Exemplo.

A distribuio de temperatura em uma parede de 1m de espessura, num certo instante dado por:

2)( cxbxaxT ++=

onde T a temperatura em C e x, em metros, enquanto a=900C, b=-300C/m e c=-

50C/m2. Uma gerao de calor uniforme 3/1000 mWq =

, atua na parede, numa rea

de 10m2. As propriedades da parede so: =1600Kg/m3, K=40w/m e Cp= 4Kj/Kg.K.

a)Determinar a taxa de transferncia de calor afluente parede(x=0) e efluente (x=1m)

b) A taxa de variao da energia acumulada na parede.

58

c)A variao de temperatura com o tempo em x=0,025 e 0,5m

59

60

61

62

3.3 Conduo com gerao de energia trmica em estado estacionrio

63

Nesta seco iremos monitorar o efeito de processos que esto ocorrendo no interior do volume de controle, sobre a distribuio de temperatura. Particularmente iremos estudar sistemas nos quais h gerao de energia trmica oriunda da converso de alguma outra forma de energia.

A gerao de energia trmica envolve a converso de energia eltrica em trmica no interior de um condutor. A taxa de gerao de energia, pela passagem de uma corrente eltrica (i) atravs de um meio de resistncia eltrica (R) dado segundo a expresso:

2.iRE =

(22)

Se tal gerao de potncia (W) ocorrer uniformemente em um meio de volume V, tem-se que a taxa de gerao volumar dado segundo a expresso:

ViR

VEq

2.

==

(23)

A gerao de energia pode ocorrer em funo da desacelerao e absoro de nutrons, ou em funo de reaes exotrmicas ou endotrmicas que ocorrem no interior do volume de controle.

3.4.1- Gerao de energia em sistemas com coordenadas cartesianas.

Imagine uma parede plana na qual h gerao de energia por unidade de volume de tal forma que as superfcies se mantm a temperaturas T1 e T2.

64

Figura 13 Conduo de calor em geometria plana com gerao

Admitindo que a conduo ocorre em regime permanente tem-se:

= 0

dtdT

Para coordenadas cartesianas tem-se:

0

dydT

e

0

dzdT

Admitindo que a condutividade trmica(K) mantm-se constante na faixa de temperatura de operao, a equao de difuso de calor pode ser simplificada em:

22

11

2

2

)(2)(1

0

TxTccTxTcc

Kq

dxTd g

=

=

=+

(24)

Integrando a equao 24 temos:

1CxKq

dxdT g +=

(25)

Integrando a equao acima temos a soluo geral da equao, em termos da temperatura do sistema:

65

212

2)( CxCx

Kq

xT g ++=

(26)

Aplicando a cc1 a equao 26 temos:

12112

11 2)( TCxCx

Kq

xT g =++=

(27)

A equao 27 mostra que para a conduo de calor em regime permanente, com gerao de calor, a distribuio de temperatura apresenta um perfil parablico, conforme mostra a figura abaixo:

Figura 14 perfil de temperatura

Aplicando a cc2 a equao 26 temos:

22212

22 2)( TCxCx

Kq

xT g =++=

(28)

Subtraindo a equao 28 da equao 27 temos:

66

12121122

2 )()(2 TTxxCxxKqg

=+

(29)

A partir da equao 29 pode-se concluir que:

( )

+

=

1122

21212

1 )(2)(1

xxK

qTT

xxC g

(30)

Substituindo a equao 30 na equao 28 temos:

+

+=

)()(22

12

21212

12112 xxK

qTT

xx

xx

Kq

TC gg

(31)

Para um processo de conduo de calor em regime permanente, com gerao de calor em coordenadas cartesianas a equao de Fourier se apresenta da seguinte forma:

dxdTKAq =

Substituindo a equao 25 na equao acima temos:

67

+=

1CxKq

KAq g ou seja:

=

KCxqAq g 1

(32)

Exerccio

1) Um longo cilindro macio de 10cm de raio, consiste de um material nuclear reativo, cuja condutividade trmica 0,5W/mK e gera 2400W/m3 uniformemente em seu volume. Esse cilindro encapsulado em outro cilindro oco com raio externo de 20cm e condutividade trmica de 4W/mK. Determine a temperatura na superfcie externa da cpsula, sabendo que a temperatura ambiente de 100C e a h=20W/m2K.

68

3.4.1- Gerao de energia em sistemas radiais.

A gerao de calor pode se d em diferente geometria radial. Considerando o cilindro macio, representado na figura abaixo.

69

Figura 15 Conduo de calor em cilindro macio com gerao de energia trmica.

Consideremos o sistema representado pela figura 15, que opera em regime permanente e com condutividade trmica do material constante na faixa de temperatura de trabalho. Aplicando a equao da conduo de calor para o sistema de coordenada cilndrica (equao 21) ao sistema representado pela figura 15 e fazendo as devidas consideraes tem-se:

01 =+

Kq

drdT

rdrd

r

g

(33)

Rearranjando a equao acima temos:

rKq

drdT

rdrd g

=

Integrando a expresso acima, admitindo que a gerao de calor uniforme temos:

70

12

2Cr

Kq

drdT

rg +=

(34)

Rearranjando a equao 34 temos:

r

Cr

Kq

drdT g 1

2+=

Integrando a expresso acima, admitindo que a gerao de calor uniforme temos:

21

2

ln4

.)( CrCKrq

rT g ++=

(35)

A equao 35 representa a soluo geral para a distribuio de temperatura para o sistema em estudo.

Considerando as condies de contorno abaixo possvel determinar os valores das constantes C1 e C2 , ou seja:

00

=

=rdrdT

e sTrT =)( 0

Aplicando a primeira condio de contorno a equao 34 temos:

C1 =0 (36)

71

Aplicando a segunda condio de contorno a equao 35 temos:

Quando r=r0 T(r0)=Ts , ou seja:

201

20 ln

4.

CrCKrq

T gs ++=

Trabalhando a equao acima temos:

Krq

TC gs 4

20

2

+=

(37)

Substituindo a equao 37 na equao 35 temos:

s

g Tr

r

Krq

rT +

=

20

220 1

4.)(

(38)

Calculando a temperatura no eixo mediante a equao 38 e dividindo a equao 38 pelo resultado obtido, tem-se:

2

00

1)(

=

r

r

TTTrT

s

s

(39)

onde T0 a temperatura no eixo.

72

A equao 38 possibilita determinar a taxa de transferncia de calor como funo da distncia ao eixo.

A relao entre a temperatura de superfcie(TS )e a temperatura do fluido(TS ) pode ser determinada pelo balano de energia na superfcie ou seja:

))(2()( 020

= TTLrhLrq spipi ou

hqrTTs 2

+=

(40)

3.4.2 Condies de contorno e condio inicial

A distribuio de temperatura em um meio pode ser determinada atravs da resoluo da equao de transferncia de calor por conduo para o sistema em estudo. Entretanto, essa soluo depende das condies fsicas estabelecidas nas fronteiras do meu sistema e do instante inicial, quando o fenmeno for dependente do tempo. A primeira denominada condio de contorno e a segunda denominada condies iniciais. Como a expresso de difuso de calor por conduo uma equao de segunda ordem nas coodernadas espaciais, h necessidade de duas condies de contorno para cada coordenada. Entretanto essa mesma expresso de primeira ordem em relao ao tempo, necessitando apenas de uma condio inicial. Na tabela abaixo se verifica a principal condio de contorno encontrada no estudo da transferncia de calor.

Tabela 1 Principais condies de contorno estudadas em transferncia de calor

73

A primeira condio de contorno faz referncia situao na qual a superfcie( em x=0) apresenta temperatura constante(Ts). Essa situao verificada na pratica quando a superfcie encontra-se em contato com um slido ou um lquido em transio de fase. Essa condio denominada condio de Dirichlet ou condio de contorno de primeira espcie.

A segunda condio de contorno, na qual a superfcie(x=0) apresenta um fluxo

constante de calor( sq

). Na prtica essa situao pode ser verificada quando a superfcie encontra-se em conato com um calefator eltrico, sendo que, quando o fluxo de calor nulo, um caso especial dessa segunda condio de contorno. Essa condio de contorno denominada condio de Newmann, ou contorno de contorno de segunda espcie.

As condies de contorno de terceira espcie so aquelas nas quais a superfcie encontra-se aquecida ou resfriada por um fluxo convectivo, sendo necessrio um balano de energia na superfcie para seu equacionamento.

3.5 Transferncia de calor em superfcies expandidas.

74

Superfcies expandidas ou aletas consiste de um slido que sofre transferncia de energia por conduo no interior de suas fronteiras e tambm transferncia de energia por conveco ou radiao, ou por ambos entre as suas fronteiras e as vizinhanas.

Para um melhor entendimento do papel desempenhado pelas aletas na transferncia de calor consideremos um exemplo prtico. Imaginemos que se pretende aumentar a taxa de transferncia de calor de um sistema de aquecimento que utiliza gua quente que escoa por uma tubulao. O fluxo de calor transferido para o ambiente pode ser obtido pela seguinte expresso:

321 RRRTTq ei++

=

(41)

onde: ii Ah

R.

11 = ; LK

r

r

R ie

..2.

ln

2pi

= e ee Ah

R.

13 =

As principais formas de promover esse aumento so:

Aumentar a velocidade de escoamento do fluido; Aumentar a diferena de temperatura entre o fluido e a superfcie; Substituir o material por outro que apresente maior termocondutividade(K); Aumentar a rea interna (alterar dimenso); Aumentar a rea externa (colocar aletas)

sistema representado pela figura 16

Imaginemos.

A necessidade de se aumentar a taxa de transferncia de calor fez com que o homem promovessem alteraes nos sistemas em estudo

75

4.0 Conduo de calor bidimensional em regime permanente

4.1 - Introduo

Nos captulos anteriores do nosso estudo de calor nos preocupamos apresentar solues para problemas cujo gradiente de temperatura era predominante na direo de uma nica coordenada. Em muitos problemas prticos, a considerao de uma conduo unidimensional insatisfatrio, necessitando uma abordagem mais realista, que leve em conta os efeitos multidimensionais. Neste captulo iremos estudar uma tcnica para o equacionamento de conduo bidimensional de calor em regime permanente.

4.2- Equacionamento

Imaginemos um slido prismtico, comprido onde uma conduo bidimensional de calor se processa, conforme mostra a figura 1. Considere que duas das quatro superfcies esto isoladas e as outras se encontram a temperaturas constantes T1 e T2 sendo que 21 T T > . A transferncia de calor de calor por conduo ocorrer da superfcie 1 para a superfcie 2 e segundo a equao de Fourrier, fluxo de calor um vetor em todos os pontos normal as isotermas. As direes do vetor de fluxo de calor so representados pelas linhas de fluxo trmico e o vetor a resultante das componentes do fluxo trmico nas direes x e y, conforme mostra a Figura 1.

76

Figura 1 Conduo de calor bidimensional em slido prismtico.

O primeiro objetivo a ser alcanado consiste em determinar a distribuio de temperatura no meio, T(x,y), o que para o sistema em estudo, passa pela resoluo da equao de difuso de calor. Na conduo bidimensional de calor, sem gerao de calor e em regime permanente, esta equao toma o seguinte arranjo:

022

2

2

=

+

yT

x

T

(1) Superando a dificuldade de se resolver a equao 1, podemos nos

empenharmos na determinao das componentes do fluxo de calor, por meio da equao das taxas:

x

TKq x

=" ;

yTKq y

=

" ; z

TKq z

=" ; (2)

A soluo da equao 1 pode ser feita com base numa resoluo analtica, grfica ou numrica, entretanto vamos nos determos na soluo analtica. Para tal devemos adotar o mtodo da separao de variveis.

4.3 Mtodo da Separao das Variveis.

O mtodo de Separao de Variveis se aplica diretamente soluo de um problema simulado por uma equao diferencial parcial e com condies de contorno lineares e homogneas, com exceo de uma condio de contorno que linear e no-homognea. Para introduzirmos a aplicao do Mtodo de Separao das Variveis, na resoluo de problemas de conduo bidimensional de calor, consideraremos o sistema da Figura 2.

77

Figura 2 Conduo bidimensional de calor numa chapa retangular

Estamos interessados na distribuio de temperatura no meio, e para simplificarmos a resoluo, vamos introduzir uma varivel:

12

1

TTTT

=

(3)

Transformando a equao 1 por meio da equao 3 temos:

022

2

2

=

+

yx

(4) Como a expresso acima uma equao derivada de segunda ordem em

relao a x e a y, para sua soluo so necessria duas condies de contorno para cada coordenada x e y:

0),0( =y e 0)0,( =x

0),( =yL e 1),( =wx

78

Verifique que por meio da transformao da equao 3, trs das quatro condies de contorno so homogneas e o valor de encontra-se entre 0 e 1.

Aplicando a tcnica da separao das variveis e admitindo que soluo possa ser expressa pelo produto de duas funes (X e Y), sendo que uma dependente de x e a outra dependente de y temos:

)().(),( yYxXyx = (5)

Derivando a equao 5 com base na equao 4 temos:

22

2 11dy

YdYdx

XdX

=

(6)

Como a equao 6 de variveis separveis, ou seja, cada um dos dois termos da equao depende de uma de variveis diferentes, a igualdade d verdadeira(para qualquer valor de x e de y) se os dois membros forem iguais a uma mesma constante. Se arbitrarmos um valor para tal constante, 2 temos:

0222

=+ Xdx

Xd

(7)

0222

= Ydy

Yd

(8)

As solues gerais para as equaes 7 e 8 so respectivamente:

79

xsenCxCX 21 cos += (9)

yy eCeCY + += 43 (10)

Sendo assim a soluo geral para a conduo bidimensional em regime permanente sem gerao torna-se:

))(cos( 4321 yy eCeCxsenCxC ++= (11)

Para determinarmos a soluo especfica devemos substituir as condies de contorno. Aplicando a condio de contorno 0),0( =y , temos que C1=0.

Aplicando a condio ed contorno 0)0,( =x na equao 11 temos:

0)( 432 =+ CCxsenC

A expresso acima s pode ser satisfeita se 43 CC = , uma vez que se C2 =0 elimina-se a dependncia com varivel x, o que contradiz a essncia do problema.

Aplicando a condio 0),( =yL na equao 11 temos:

0)(42 = yy eeLsenCC

Para que a expresso acima satisfaa uma das solues para a equao, consiste em fazer assumir valores discretos par os quais 0=Lsen . Estes valores devem satisfazer a equao:

Lnpi = ,...3,2,1=n

(12)

Levando em considerao a equao 12 a soluo desejada torna-se:

80

=

Lyn

Lxn

eeL

xnsenCC

pipipi 42

(13)

Combinando as constantes e considerando que a nova constante pode depender de n , logo temos:

Lyn

senhL

xnsenCyx n

pipi =),(

(14)

A expresso acima apresenta um nmero infinito de solues que satisfazem a equao diferencial e as condies de contorno. Uma soluo mais adequada obtida pela superposio com a forma:

Lyn

senhL

xnsenCyx

n

n

pipi

=

=

1),(

(15)

A soluo da equao acima passa pela determinao da constante segundo a expresso:

( )[ ]( )LwnsenhnC

n

n /112 1

pipi

+=

+

...3,2,1=n

(16)

Substituindo a equao 16 na equao 11 temos:

( ) ( )( )Lwnsenh

LynsenhL

xnsen

nyx

n

//112),(

1

pi

pipi

pi

+=

+

(17)

81

A equao 17 uma srie convergente, na qual pode ser calculado para qualquer valor de x e de y. Os resultados aparecem na forma de isotermas numa chapa retangular, conforme indicado na figura 3.

Figura 3 Isotermas de conduo bidimensional numa chapa retangular

4.3 O fator de forma da conduo

A configurao de um sistema que participa da transferncia de calor influencia na taxa de transporte de energia trmica, conforme indicado na equao abaixo:

TSKq =

(18)

onde: S o fator forma de conduo.

O fator forma foi calculado para numerosos sistemas bidimensionais e encontram-se resumidos na Tabela abaixo.

82

83

84

Exerccios

1) Uma chapa retangular bidimensional est sujeita a condio de contorno com temperatura constante, conforme a figura indica. Calcular a temperatura no centro da chapa, considerando os 5 primeiros termos no nulos da srie infinita que deve ser somada.

85

2)Um furo cilndrico, com dimetro D=0,3m, broqueado ao longo do eixo de u bloco sodo, com seco reta quadrtica, com lado W=2m. O furo paralelo ao comprimento do bloco, que vale L=2m. A condutividade trmica do material do bloco k=300w/mK. Um fluido quente que passa atravs do furo mantm uma temperatura da superfcie interna T1=175C, enquanto a superfcie externa mantida a T2=25C.

86

3) Dois oleodutos paralelos, separados por 0,5m, esto enterrados num solo de condutividade trmica 0,5W/mK. Os dimetros externos dos dutos so respectivamente 100 e 75mm e as temperaturas so 175 e 5C. Estimar a taxa de transferncia de calor, entre os dutos, por unidade de comprimento.

87

Captulo 06 Transferncia de Calor por Conveco.

I Introduo

A conveco de um fluido tem uma forte uma forte influncia sobre o processo de transferncia de calor, conforme mencionado nos captulos precedentes. At o momento s focalizamos nossa ateno na transferncia de calor por conduo e s consideramos a conveco na medida em que ela se apresenta como condio de contorno nos problemas de conduo.

Nesta seco vamos examinar mais alguns detalhes de situaes de escoamentos e da correlao com a transferncia de calor, bem como desenvolver modelo matemtico para quantificar a energia transferida.

II Camada limite

Quando um fluido escoa ao longo de uma superfcie, seja o escoamento em regime Laminar ou turbulento, as partculas na vizinhana da superfcie so desaceleradas em virtude das foras viscosas. A poro de fluido contida na regio de variao substancial de velocidade, ilustrada na figura 1, denominada de camada limite hidrodinmica.

88

Figura 1 representao esquemtica da camada limite hidrodinmica

Consideremos agora o escoamento de um fluido ao longo de uma superfcie quando existe uma diferena de temperatura entre o fluido e a superfcie. Neste caso, O fluido contido na regio de variao substancial de temperatura chamado de camada limite trmica. Por exemplo, analisemos a transferncia de calor para o caso de um fluido escoando sobre uma superfcie aquecida, como mostra a figura 1.15. Para que ocorra a

transferncia de calor por conveco atravs do fluido necessrio um gradiente de temperatura ( camada limite trmica ) em uma regio de baixa velocidade ( camada limite hidrodinmica ).

O mecanismo da conveco pode ento ser entendido como a ao combinada de conduo de calor na regio de baixa velocidade onde existe um gradiente de temperatura e movimento de mistura na regio de alta velocidade. Portanto:

89

Na regio de baixa velocidade a conduo mais importante

Na regio de alta velocidade a mistura entre o fluido mais quente e o mais frio mais importante.

III Escoamento externo

Considere o escoamento de um fluido que se aproxima de uma superfcie plana, onde o fluido e a superfcie apresentam temperaturas diferentes, conforme mostra a Figura 3. Uma transferncia de calor e de quantidade de movimento ocorre entre o fluido e a superfcie slida, a qual admitimos ter temperatura constante Ts e uma velocidade igual a zero. O atrito viscoso desacelera o fluido, de modo que sua velocidade, essencialmente paralela a superfcie, varia do valor na corrente livre, V, distante da superfcie, at zero na superfcie. A distancia medida, normal a superfcie, e sobre a qual a velocidade varia, chamada camada limite dinmica, ou de velocidade.

Figura 3- Representao esquemtica das camadas limite dinmica e trmica

Essa camada definida como sendo a distncia , onde a velocidade atingiu 99% do valor da velocidade de corrente livre V. a temperatura apresenta uma variao similar do valor da corrente livre T at a temperatura da superfcie Ts, sobre uma distncia correspondente a camada limite trmica T. Essas duas camadas esto esquematizadas na Figura 4.

90

Figura 4- Representao esquemtica da camada limite dinmica e trmica

A taxa de calor local "

q , avaliada no fluido em contato com a superfcie, em

y=0, dado segundo a expresso:

0

'

=

=

Yytkq

(1)

Para toda a camada limite trmica, a lei de resfriamento de Newton pode ser escrita da seguinte forma:

)("

= TThq s (2)

A partir da igualdade das equaes 1 e 2 pode se expressar o coeficiente de transferncia de calor por conveco da seguinte forma:

( )

==

TT

yTK

hs

y 0

(3)

Para a determinao desse coeficiente de transferncia de calor , a temperatura T(x,y) deve ser conhecida de forma a permitir a avaliao do gradiente na superfcie. O valor de h dado equao 3, normalmente varia conforme o local na superfcie e a

91

medida que a camada limite trmica cresce no sentido da corrente livre, h geralmente decresce com x. A taxa mdia de transferncia de calor, para uma dada rea da superfcie, torna-se ento:

== sss hdATTdAqQ )(" (4)

que pode expressar com um valor mdia de h, segundo a expresso:

= smedio hdALh 1

(5)

Pa ra uma condio onde o coeficiente uniforme na direo z(normal ao plano x-y), o valor mdio avaliado sobre um comprimento do no domnio de x como sendo:

= hdxLhmedio

1

(6)

O nmero de Nusselt pode ser definido e correlacionado com o gradiente de temperatura segundo a expresso:

==

=TT

LyT

KhLNu

sy 0

(7)

O valor local e o valor local de Nu so relacionados com os valores correspondentes de h segundo a equao:

KLhNu medio=

(8)

Um escoamento laminar sobre uma placa plana leva ao desenvolvimento de uma camada-limite tal que o nmero de Nusselt local (Nu=hx/K), varia numa forma proporcional a raiz quadrada de x, ou seja:

92

21

xK

xhNu medio =

(9)

O coeficiente de transferncia de calor local h comporta-se ento segundo a expresso:

21

= Cxhx (10)

O coeficiente de transferncia de calor mdio de x=0 at x=L resulta da integrao de acordo com a equao 6, ou seja:

dxCxL

hL

mdio

=

0

211

(11) Logo temos:

Lmdio hCLh 22 21

==

(12) A camada limite sobre uma placa plana possui diversas regies, conforme

mostra a figura 5. Ela possui uma seco inicial , constituda por uma camada limite laminar seguida de uma regio de transio e de uma camada limite completamente turbulenta. A transio ocorre num local onde o nmero de Reynolds crtico atingido.

510.5Re ==

cc

Vx

(13)

93

Figura 5 Comportamento da camada limite sobre uma superfcie plana.

Neste ponto o escoamento torna-se instvel e flutuaes aleatrias ocorrem no topo do movimento mdio, na camada limite prxima do movimento livre. Essas flutuaes, vrtices de tamanho e intensidade variados, intensificam a mistura do fluido prximo da superfcie da parede com o fluido com o fluido afastado a superfcie da parede. Isto aumenta a troca de energia, resultando num valor de h maior do que seria num escoamento laminar. A taxa de crescimento da camada limite com a distncia mais rpida para um escoamento turbulento, tipicamente x-4/5, quando comparada para um crecimento escoamento laminar, proporcional a x1/2, e acompanhada por um decrscimo mais gradual no valor de h local, em comparao com o caso laminar.

Para as duas situaes de escoamento sobre placa plana, laminar e turbulento, com D sendo a distncia da borda de ataque, a correlao para o nmero de Nusselt mdio dado segundo a equao:

31

PrRe nDmed CNu =

(14)

onde a constante C e o expoente n encontram-se listados na tabela abaixo:

Tabela 1 Valores das constantes C e n para diversos escoamentos

94

Para valores menores de Reynolds, as contribuies laminar e turbulenta podem ser usadas para formar o hmdio empregado na equao 6 da seguinte forma:

+=

xc L

xCturbulentoarlamdio dxhdxhL

h0

min1

(15)

Entretanto para grandes Re, a contribuio laminar muito pequena, de modo que o valor mdio de Nu pode ser formado, com exatido suficiente apenas pela contribuio turbulenta.

Quando existe um grande diferena entre as temperaturas da corrente livre e da superfcie, os valores das propriedades tais como , e K podem ser afetados, para tal correlaes especiais so desenvolvidas com base na equao 14. Uma forma bastante interessante consiste em avaliar as propriedades do fluido na temperatura de filme ou de pelcula que definida segunda a equao:

)(21

+= TTT sf

(16)

Essa temperatura empregada par avaliar as propriedades necessrias para o clculos do nmero de Reynolds e do nmero de Nusselt na equao 14.

95

Exerccios

1) Ar a 25C escoa com velocidade de 10m/s, paralelamente sobre uma superfcie plana superior de um chip de computador, que quadrado de 3Cm de lado. Se a potncia dissipada atravs da superfcie superior de chip de 5W, qual a temperatura da superfcie? Considere a viscosidade cinemtica do ar =1,6.10-5 m2/s, K= 0,026W/mK com Pr=0,7.

2)Numa caldeira gases quentes de combusto, a 1500K, escoam a 44m/s atravs de dutos de ao para ferver gua a 225C interior dos dutos. Os dutos tm dimetros D= 10Cm e uma temperatura de superfcie de 227C. Qual a taxa de transferncia de calor por conveco, por metro de comprimento de duto.

96

97

Iv- Escoamento interno

Um escoamento em regime permanente de um tanque para o interior de um tubo desenvolve uma regio de transio logo aps a entrada (a extenso desta regio conhecida como comprimento de entrada), antes de se tornar um escoamento completamente desenvolvido, conforme mostra a figura abaixo. A presena das paredes sentida atravs da camada limite que aumenta at englobar todo o fluido. Ao longo dessa regio de transio, a velocidade atravs do escoamento varia de um perfil uniforme e constante, chamado perfil reto, para um perfil que funo suave da distncia da linha ao centro. O perfil de velocidade para o escoamento completamente desenvolvido possui um mximo na linha de centro do tubo, o local mais distante da parede, e um mnimo, zero, na parede. Para um escoamento laminar no interior de um tubo, o perfil evolui para o de uma parbola, enquanto o perfil para o escoamento turbulento desenvolvido possui um gradiente acentuado prximo a parede, sendo mais achatado na regio central do tubo, algo entre o perfil parablico e o perfil reto. Se for laminar at encher o tubo, o perfil de velocidade parablico quando plenamente desenvolvido.

Se a camada limite torna-se turbulenta antes da fuso, haver escoamento turbulento completamente desenvolvido na regio hidrodinamicamente desenvolvida e o perfil de velocidade neste caso mais achatado.

Figura 6- Representao esquemtica da camada limite de velocidade para um escoamento interno.

98

Quando a temperatura do fluido (T) diferente da temperatura da superfcie do tubo (Ts) ocorre a transferncia de calor convectiva e comea a se desenvolver a camada limite trmica. O perfil de temperatura plenamente desenvolvido depender da condio da superfcie: temperatura constante ou fluxo de calor constante.No entanto, independente da condio da superfcie a diferena entre a temperatura do fluido e a temperatura de entrada aumenta com o aumento de x.

Figura 7 Representao da camada limite trmica para um escoamento interno.

A vazo mssica atravs do tubo determinada por integrao sobre a rea da seco transversal, ou seja:

cmc AVdAVm .... ==

(17)

A velocidade mdia empregada para caracterizar o escoamento, segundo a equao:

99

==

c

cc

m dAVAAmV ..

.

1.

(18)

Para um escoamento de constante e perfil de velocidade V(r), em um tubo com

4.

2DAcpi

= temos:

==2

022 ).(

8...2).(

.

4D

m drrVDdrrrV

DV pi

pi

(19) Essa velocidade media usada para determinar o nmero de Reynolds, na

avaliao do atrito e da transferncia de calor. Analogamente poderemos definir uma temperatura mdia, Tm para caracterizar o nvel de energia do escoamento. Para expressar o fluxo de energia no escoamento em funo da temperatura, vamos considerar o escoamento monofsico e empregar o calor especfico da seguinte forma:

cv dATCVE ....=

(20) Ento, se a temperatura mdia for definida por:

mv TCmE ..

=

(21)

Logo teremos que:

=

v

Acv

m

Cm

dATCVT c

.

....

(22)

Para um escoamento de um fluido incompressvel, num tubo circular, com Cv constante temos:

100

= rdrrTVCCm

T vv

m .2).(.....

1pi

(23) Fazendo as devidas simplificaes temos:

=2

02 ).().(

.

8D

m

m rdrrTrVDVT

(24)

Como pode ser observado na equao 24 necessita do prvio conhecimento dos perfis de velocidade e de temperatura para sua avaliao.

Considere o volume de controle da figura abaixo para a qual o balano de energia pode se representado por:

00 ==+

dtdE

HmQHm vcx (25)

Como os termos de fluxo de entalpia pode ser expresso com a temperatura mdia, oi seja:

0..0 mp TCmHm

= e mpx TCmHm ...

=

A transferncia de calor integrada sobre a superfcie com permetro P como sendo:

dxPqdAqQ s ..""

==

(26)

Substituindo a equao 26 na equao 25 temos:

101

dxPqTCmTCm pmp ..."

0

+=

(27)

Derivando a equao 27 em relao a x temos:

Pqdx

dTCmTCmdxd m

pmp .0...."

+==

(28)

A partir da expresso acima temos que a equao diferencial da temperatura mdia , a partir da qual esta pode ser determinada.

=

p

m

Cm

Pqdx

dT

.

.

"

(29)

A soluo da equao 29 ser dada para duas condies de contorno: a fluxo

de calor constante na superfcie,

"q e a de temperatura constante na superfcie. Para a

condio de fluxo de calor constante na superfcie, um permetro P e uma capacidade calorfica constante, ou seja o lado direito da equao 29 constante. A integrao desta equao obtem-se:

x

Cm

PqTTp

mm

+=.

.

"

0

(30)

Considerando que a temperatura varia linearmente em funo de x e que o fluxo de calor pode ser determinado segundo a equao 31, verifica-se que Ts varia com x quando o fluxo de calor constante.

)("

ms TThq =

(31)

102

Na regio de entrada, onde a camada limite se desenvolve, h decresce a medida que a diferena de temperatura cresce, atingindo um valor constante para o escoamento completamente desenvolvido, conforme mostra a figura abaixo:

Figura 8 Variao axial da temperatura mdia: (a) fluxo de calor constante na superfcie; (b) temperatura constante na superfcie.

Se a temperatura da superfcie constante, a equao 29 pode ser integrada aps a mudana de varivel a forma sm TT = . Assim teremos:

=

pCm

Phdxd

.

.

(32)

A integrao da equao 32 por separao das variveis leva a:

=L

pCm

PhdL

0.

.

0

103

Resolvendo a equao acima dentro do limite e integrao temos:

medio

P

L

P

L hmC

LPhdxCm

PLn

== .

.00

(33)

O valor de h ser determinado com base na equao 6 e assumindo que sAPL = seja a rea total da superfcie. O nmero de unidade de transferncia definido segundo a expresso:

==

RCmCm

AhNUTPP

smedio

..

1

.

.

(34)

A equao 34 expressa a razo entre a capacidade de transferncia de calor (hA) ou

(1/R) e a capacidade trmica do escoamento

PCm. . Cada um desses termos um

ataxa de energia (potncia) por grau de diferena de temperaturas. A soluo da equao 33 com base na equao 34 encontra-se representada pela figura 8 b e expressa segundo a equao:

NUTL e

= .0

(35)

A transferncia de calor total quantificada segundo a expresso:

RTCmTTCmq mlLPmLmP

===

)()( 00,,

(36)

Onde mlT representa a temperatura mdia logartmica, e pode ser determinada

segundo a equao:

104

( ) ( ) ( )

=

=

==

smL

sm

mLm

L

LLLPml

TTTT

Ln

TT

LnNUT

RCmT0

0,,

0

000.

(37)

105

106