F U N D A M E N T O Sda

M A T E M T I C AD I S C R E T A

J . H U N T E R

GEN I Informao Online

Diferenciando-se dos livros-texto tradicionais, Fundamentos da Matemtica Discreta foi concebido para abordar o tema em amplitude, mantendo o encadeamento e a uniformidade das ideias.

O autor apresenta cinco tipos de pensamento matemtico ao longo da obra: lgico, relacional, recursivo, quantitativo e analtico. Ordenados sequencialmente, cada captulo trata de um dos tpicos mencionados, o que possibilita a compreenso efetiva do texto.

O Captulo 5, sobre o pensamento analtico, aplica o contedo abordado nos quatro captulos anteriores aos estudos da complexidade algortmica e da preciso de programas. Dessa forma, a leitura proporciona a compreenso da ocorrncia e da eficincia dos algoritmos. Alm disso, a obra permite que os estudantes desenvolvam o pensamento ao ponto de poderem encontrar, cotidianamente, estruturas matemticas aplicadas.

Voltado a cursos de graduao de matemtica e cincia da computao, o livro tambm pode ser trabalhado por diversas outras reas, devido a demonstraes de inmeras e variadas aplicaes, como padres em DNA, redes sociais, estrutura de linguagem, modelos de populao e msica dodecafnica. Complementam a obra exerccios propostos, exemplos e demonstraes.

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Essas empresas, respeitadas no mercado editorial, construram catlogos inigualveis, com obras que tm sido decisivas na formao acadmica e no aperfeioamento de vrias geraes de profissionais e de estudantes de Administrao, Direito, Enfermagem, Engenharia, Fisioterapia, Medicina, Odontologia e muitas outras cincias, tendo se tornado sinnimo de seriedade e respeito.

Nossa misso prover o melhor contedo cientfico e distribu-lo de maneira flexvel e conveniente, a preos justos, gerando benefcios e servindo a autores, docentes, livreiros, funcionrios, colaboradores e acionistas.

Nosso comportamento tico incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental so reforados pela natureza educacional de nossa atividade, sem comprometer o crescimento contnuo e a rentabilidade do grupo.

F U N D A M E N T O S

A T E M A T I C AD I S C R E T A

DAVID J. H U N T E RW E S T M O N T C O LLEG E

T ra d u o Paula Porto M artins

R e v is o T c n ic a Jairo da Silva Bochi

Departamento de Matemtica, PUC-Rio

da

Btblioteca Untyefs,1 lngBWMLA

O autor e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido crdito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro, dispondo-se a possveis acertos caso, inadvertidamente, a identificao de algum deles tenha sido omitida.

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Apesar dos melhores esforos do autor, da tradutora, do editor e dos revisores, inevitvel que surjam erros no texto. Assim, so bem-vindas as comunicaes de usurios sobre correes ou sugestes referentes ao contedo ou ao nvel pedaggico que auxiliem o aprimoramento de edies futuras. Os comentrios dos leitores podem ser encaminhados LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora Ltda.

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ESSENTIALS OF DISCRETE MATHEMATICS, FIRST EDITION -JORIGINAL ENGLISH LANGUAGE EDITION PUBLISHED BY

Jones & Bartlett Publishers, Inc.40 Tall Pine Drive Sudbury, MA 01776

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Capa: Brian Moore/Kristin E. Ohlin

Imagem de capa: Cortesia de David J. Hunter

Imagens de miolo: Todas as fotos, exceto a Figura 3.2, foram gentilmente cedidas por David J. Hunter. A Figura 3.2 foi gentilmente cedida por Pau Ateia e Christophe Gol (www.math.smith.edu/phyllo). Ilustraes tcnicas de George Nichols.

Editorao Eletrnica: GENESIS - Carmen Beatriz

CIP-BRASIL. CATALOGAO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

H922f

Hunter, David J.Fundamentos da matemtica discreta / David J. Hunter ; traduo Paula Porto Martins ; reviso tcnica Jairo da Silva Bochi. - Rio de Janeiro : LTC, 2011.

Traduo de: Essentials of discrete mathematics ISBN 978-85-216-1810-2

1. Matemtica. 2. Computao - Matemtica. I. Martins, Paula Porto. II. Bochi, Jairo da Silva. III. Ttulo.

11-0490. CDD: 510CDU: 51

SUMARIO

Prefcio ix Exerccios 2.1 372.2 Conjuntos 40Como U sar Este Livro xi 2.2.1 Adeso e Conteno 40

Captulo 1 Pensam ento Lgico 1 2.2.2 Novos Conjuntos a Partir de Antigos 411.1 Lgica Formal 1 2.2.3 Identidade 42

1.1.1 Conectivos e Proposies 2 Exerccios 2.2 431.1.2 Tabelas Verdade 2 2.3 Funes 451.1.3 Equivalncias Lgicas 4 2.3.1 Definio e Exemplos 45

Exerccios 1.1 5 2.3.2 Funes Injetivas e Sobrejetivas 471.2 Lgica Proposicional 8 2.3.3 Funes Novas a Partir de Velhas 49

1.2.1 Tautologias e Contradies 8 Exerccios 2.3 501.2.2 Regras de Deduo 9 2.4 Relaes e Equivalncias 521.2.3 Sequncias de Prova 10 2.4.1 Definio e Exemplos 521.2.4 Vai-Volta 11 2.4.2 Grafos de Relaes 52

Exerccios 1.2 11 2.4.3 Relaes versus Funes 531.3 Lgica de Predicados 13 2.4.4 Relaes de Equivalncia 53

1.3.1 Predicados 13 2.4.5 Aritmtica Modular 551.3.2 Quantificadores 14 Exerccios 2.4 561.3.3 Traduo 14 2.5 Ordem Parcial 581.3.4 Negao 15 2.5.1 Definio e Exemplos 581.3.5 Duas Construes Comuns 16 2.5.2 Diagramas de Hasse 59

Exerccios 1.3 17 2.5.3 Ordenao Topolgica 601.4 Lgica em Matemtica 19 2.5.4 Isomorfismo 61

1.4.1 0 Papel das Definies em 2.5.5 lgebras Booleanas* 62Matemtica 20 Exerccios 2.5 63

1.4.2 Outros Tipos de Sentenas 2.6 Teoria dos Grafos 65Matemticas 21 2.6.1 Grafos: Definies Formais 65

1.4.3 Contraexemplos 21 2.6.2 Isomorfismo entre Grafos 661.4.4 Sistemas Axiomticos 22 2.6.3 Contagem de Grau 67

Exerccios 1.4 24 2.6.4 Caminhos e Circuitos Eulerianos 671.5 Mtodos de Demonstrao 26 2.6.5 Caminhos e Circuitos Hamiltonianos 68

1.5.1 Demonstraes Diretas 26 2.6.6 rvores 691.5.2 Demonstrao por Contraposio 27 Exerccios 2.6 711.5.3 Demonstrao por Contradio 28

Exerccios 1.5 29 C aptulo 3 Pensam ento Recursivo 733.1 Relaes de Recorrncia 73

C aptulo 2 Pensam ento Relacional 32 3.1.1 Definio e Exemplos 732.1 Grafos 32 3.1.2 A Sequncia de Fibonacci 74

2.1.1 Arestas e Vrtices 32 3.1.3 Modelando com Relaes de2.1.2 Terminologia 33 Recorrncia 752.1.3 Modelando Relacionamentos com Exerccios 3.1 77

Grafos 34 3.2 Solues em Forma Fechada e Induo 79

Tvi Sumrio

3.2.1 Adivinhando uma Soluo em FormaFechada 79

3.2.2 Sequncias Polinomiais: UsandoDiferenas1 80

3.2.3 Verificando uma Soluo porInduo 80

Exerccios 3.2 833.3 Definies Recursivas 84

3.3.1 Definies e Exemplos 843.3.2 Escrevendo Definies Recursivas 863.3.3 Geometria Recursiva 873.3.4 Piadas Recursivas 89

Exerccios 3.3 893.4 Demonstraes por Induo 91

3.4.1 O Princpio da Induo 913,.4.2 Exemplos 923.4.3 Induo Forte 943.4.4 Induo Estrutural 96

Exerccios 3.4 973.5 Estruturas Recursivas de Dados 99

3.5.1 Listas 993.5.2 Eficincia 1013.5.3 Arvores de Busca Binria

Revisitadas 102Exerccios 3.5 102

Captulo 4 Pensam ento Q uantitativo 1054.1 Tcnicas Bsicas de Contagem 105

4.1.1 Adio 1054.1.2 Multiplicao 1064.1.3 Mesclando Adio e Multiplicao 108

Exerccios 4.1 1094.2 Selees de Arranjo 111

4.2.1 Permutaes: O Princpio doArranjo 111

4.2.2 Combinaes: O Princpio daSeleo 112

4.2.3 O Teorema do Binmio* 114Exerccios 4.2 1154.3 Contando com Funes 117

4.3.1 Bijees 1184.3.2 O Princpio do Compartimento no

Pombal 1204.3.3 O Princpio Generalizado do

Compartimento no Pombal 1204.3.4 Teoria de Ramsey* 121

Exerccios 4.3 1214.4 Probabilidade Discreta 124

4.4.1 Definies e Exemplos 1244.4.2 Aplicaes 1254.4.3 Valor Esperado 127

Exerccios 4.4 1274.5 Contando Operaes em Algoritmos 129

4.5.1 Algoritmos 129

4.5.2 Pseudocdigo 1304.5.3 Sequncia de Operaes 1304.5.4 Laos 1314.5.5 Vetores 1324.5.6 Ordenao 133

Exerccios 4.5 1344.6 Estimativas 136

4.6.1 O Crescimento das Funes 1364.6.2 Objetivos de Estimativas 1384.6.3 Propriedades de O-Grande 139

Exerccios 4.6 140

Captulo 5 Pensam ento Analtico 1425.1 Algoritmos 142

5.1.1 Mais Pseudocdigos 1425.1.2 Condies Prvias e Condies

Posteriores 1435.1.3 Algoritmos Iterativos 1445.1.4 Funes e Algoritmos Recursivos 145

Exerccios 5.1 1475.2 Trs Tipos Comuns de Algoritmos 148

5.2.1 Algoritmos de Percurso 1485.2.2 Algoritmos Gulosos 1505.2.3 Algoritmos Dividir-e-Conquistar 152

Exerccios 5.2 1545.3 Complexidade de Algoritmos 156

5.3.1 O Bom, o Mau e o Mdio 1565.3.2 Clculos Aproximados de

Complexidade 158Exerccios 5.3 1605.4 Cotas na Complexidade 163

5.4.1 Algoritmos como Decises 1635.4.2 Uma Cota Inferior 1655.4.3 Busca em um Vetor 1655.4.4 Ordenao 1655.4.5 P versus NP 166

Exerccios 5.4 1675.5 Verificao de Programas 168

5.5.1 Verificao versus Teste 1685.5.2 Verificando Algoritmos Recursivos 1695.5.3 Buscando e Ordenando 1705.5.4 As Torres Hani 171

Exerccios 5.5 1725.6 Invariantes de Laos 174

5.6.1 Verificando Algoritmos Iterativos 1745.6.2 Buscando e Ordenando 1765.6.3 Usando Invariantes para Projetar

Algoritmos 178Exerccios 5.6 178

Captulo 6 Pensando A travs deAplicao 181

6.1 Padres no DNA 1826.1.1 Mutaes e Distncia Filogentica 182

Sumrio vii

6.1.2 rvores Filogenticas 1836.1.3 UPGM 183

Exerccios 6.1 1866.2 Redes Sociais 187

6.2.1 Definies c Terminologias 1876.2.2 Noes de Equivalncia 1886.2.3 Agrupamento Hierrquico 1906.2.4 Grafos com Sinal e Equilbrio 192

Exerccios 6.2 1946.3 Estrutura de Linguagens 195

6.3.1 Terminologia 1956.3.2 Mquinas de Estados Finitos 1966.3.3 Recurso 1986.3.4 Questes Adicionais em Lingustica 200

Exerccios 6.3 2006.4 Modelos Populacionais a Tempo Discreto 201

6.4.1 Modelos Recursivos para oCrescimento Populacional 202

6.4.2 Pontos Fixos, Equilbrio e Caos 2036.4.3 Sistemas Predador-Presa 2046.4.4 O Modelo SIR 206

Exerccios 6.4 2066.5 Msica Dodecafnica* 209

6.5.1 Composio Dodecafnica 2096.5.2 Listando Todas as Permutaes 2096.5.3 Transformaes das Sries 2106.5.4 Classes de Equivalncia e Simetria 211

Exerccios 6.5 212

Dicas, Respostas e Solues para Exerccios Selecionados 214

1.1 Lgica Formal 2141.2 Lgica Proposicional 215

1.3 Lgica de Predicados 2151.4 Lgica em Matemtica 2161.5 Mtodos de Demonstrao 2162.1 Grafos 2172.2 Conjuntos 2172.3 Funes 2182.4 Relaes e Equivalncias 2192.5 Ordem Parcial 2192.6 Teoria de Grafos 2203.1 Relaes de Recorrncia 2203.2 Solues ern Forma Fechada e Induo 2213.3 Definies Recursivas 2213.4 Demonstrao por Induo 2213.5 Estruturas Recursivas de Dados 2224.1 Tcnicas Bsicas de Contagem 2234.2 Selees e Arranjos 2234.3 Contando com Funes 2234.4 Probabilidade Discreta 2244.5 Contando Operaes em Algoritmos 2244.6 Estimativas 2245.1 Algoritmos 2255.2 Trs Tipos Comuns de Algoritmos 2255.3 Complexidade de Algoritmos 2255.4 Cotas na Complexidade 2265.5 Verificao de Programas 2265.6 Invariantes de Laos 227

Referncias Selecionadas 228

ndice 230

ndice de Smbolos 235

Prefcio

IntroduoO livro Fundamentos da Matemtica Discreta voltado para graduandos do primeiro ou segundo ano de Cincia da Computao e de Matemtica. Este texto tambm uma excelente fonte de informao para estudantes de outras disciplinas, alm de matemtica discreta.

Diferentemente dos outros livros didticos existentes no mercado, Funda,mentos apresenta o assunto de maneira adequada para um curso abrangente e coeso com durao de um semestre. Os alunos iro aprender a pensar matematicamente e a achar estruturas matemticas em quase tudo.

Embora a maioria dos textos sobre matemtica discreta seja organizada no universo de objetos matemticos, Fundamentos estruturado em torno de cinco tipos de pensamentos matemticos: lgico, relacional, recursivo, quantitativo e analtico. Para reforar essa abordagem, os grafos so introduzidos logo no incio e mencionados ao longo do texto, provendo um contexto mais rico de exemplos e aplicaes.

O livro contm aplicaes por todo o texto, e o ltimo captulo voltado para a explorao de diversos usos do pensamento de matemtica discreta aplicados em uma variedade de disciplinas. Estudos de casos de biologia, sociologia, lingustica, economia e msica podem ser usados como base para estudos independentes ou projetos de iniciao cientfica. Cada captulo tem seu prprio conjunto de exerccios, idealizados para desenvolver habilidades na leitura e na escrita de demonstraes.

Resumos dos CaptulosO Captulo 1 apresenta e enfatiza a importncia do Pensam ento Lgico. O captulo explora formalmente (simbolicamente) a lgica, e segue ensinando o aluno a considerar como a lgica usada em afirmaes e argumentos matemticos. O captulo comea com uma introduo lgica formal, focando a importncia da notao e dos smbolos na matemtica, e em seguida explica como esta pode ser aplicada. O captulo termina com

uma anlise superficial sobre as diferentes maneiras de construo das demonstraes matemticas.

Como a maioria dos problemas matemticos contm diferentes objetos relacionados uns com os outros, o Captulo 2 considera o P ensam ento Relacional. Muitas vezes, encontrar as relaes entre os objetos o primeiro passo para se resolver um problema matemtico. As estruturas matemticas de conjuntos, relaes, funes e grafos descrevem essas relaes, e por isso esse captulo concentra-se em explorar maneiras de usar essas estruturas para formular relaes matemticas. O captulo introduz precocemente a teoria dos grafos e a utiliza nos demais captulos.

O Captulo 3 descreve o Pensam ento Recursivo. Existem muitos objetos na natureza com estruturas recursivas: um galho de uma rvore se parece com uma rvore menor; as ondas do oceano tm a mesma forma que as ondulaes formadas por suas marolas; uma cebola guarda uma cebola menor embaixo de cada camada exterior. Encontrar traos similares em objetos matemticos nos oferece uma ferramenta poderosa. O Captulo 3 comea pelo estudo da ocorrncia simples de relaes e depois considera outras estruturas recursivas em contextos variados. Os estudantes tambm iro dominar definies recursivas, assim como aprender a escrever por conta prpria e ampliar as tcnicas de induo para provar fatos sobre objetos definidos recursivamente.

O Captulo 4 engaja o leitor no Pensam ento Q uantitativo, assim como muitos problemas na matemtica, na cincia da computao e em outras disciplinas envolvem contar os elementos de um conjunto de objetos. O captulo examina as diferentes ferramentas utilizadas para contar certos tipos de conjuntos e ensina os estudantes a pensar sobre os problemas a partir de um ponto de vista quantitativo. Depois de explorar as diferentes tcnicas de enumerao, os estudantes iro refletir sobre as aplicaes, incluindo um primeiro olhar sobre como contar operaes em um algoritmo. Esse captulo tambm exercita a arte de fazer estimativas, uma habilidade valiosa quando difcil enumerar precisamente.

0 Captulo 5 explora o Pensam ento Analtico. Muitas das aplicaes de matemtica discreta so algo-

X Prefcio

ritmos, portanto essencial ser capaz de entend-los e analis-los. Esse captulo se baseia nos quatro fundamentos de pensamento abordados nos quatro primeiros captulos, aplicando os pensamentos quantitativo e relacional ao estudo da complexidade algortmica, e depois aplicando os pensamentos lgico e recursivo no estudo da preciso de programas. Finalmente, os estudantes vo aprender formas matemticas de determinar a ocorrncia e a eficincia dos algoritmos.

O captulo final, Pensando Atravs de Aplicaes, examina diferentes formas de aplicao do pensamento de matemtica discreta: padres em DNA, redes sociais, estrutura de linguagem, modelos de populao e msica dodecafnica.

AgradecimentosGostaria de agradecer aos seguintes revisores por

suas valiosas contribuies e sugestes:

Peter B. Henderson; Butler UniversityUwe Kaiser; Boise State UniversityMiklos Bona; University of FloridaBrian Hopkins; St. Peters CollegeFrank Ritter; The Pennsylvania State UniversityBill Marion; Valparaiso University

Tambm gostaria de expressar minha profunda apreciao equipe da editora Jones and Bartlett. Gostaria de agradecer especialmente ao meu editor de aquisies, Tim Anderson; Amy Rose, diretora de produo; Jennifer Bagdigian, gerente de produo; Katherine Macdonald, editora de produo; Melissa Elmore, editora de produo associada; e Melissa Potter, assistente editorial.

David Hunter Westmont College

Como Usar Este Livro

Este livro indicado para a apresentao de um curso coerente de fundamentos da matemtica discreta, com durao de um semestre, para vrios pblicos diferentes. A Figura 1 mostra um diagrama que descreve as dependncias entre as sees deste livro. A despeito da audincia, o curso deve cobrir as sees classificadas como Parte Central no diagrama: 1.1-1.5; 2.1-2.4; 3.1-3.4; 4.1-4.3; 4.5; 5.1.

, Parte Central^

Alm dessas 18 sees que constituem a parte central do texto, os professores tm muitas opes de sees adicionais para incluir no curso, dependendo do pblico- alvo. Um curso de um semestre deve abranger aproximadamente 5 a 8 sees adicionais. A Tabela 1 mostra trs possveis linhas de curso, com diferentes enfoques para cada uma.

nfase em Cincia , nfase emda Computao Matemtica Interdisciplinar1.1- 1.5 1.1-1.5 1.1-1.52.1-2.4 2.1- 2.6 2.1-2.43.1-3.5 3.1-3.4 3.1-3.44.1-4.6 4.1-4.4 4.1-4.35.1-5.2 5.1 5.15.3-5.4 e/ou 5.5-.6 6.3, 6.4, 6.5 6.1-6.5

T ab e la 1 Trs possveis linhas de curso.

Algumas subsees da parte central (3.2.2, 4.2.3 e 4.3.4) foram marcadas com o smbolo J para indicar que elas podem ser seguramente omitidas sem interromper a continuidade do contedo. As respostas e dicas de exerccios selecionados podem ser encontrados no final do livro. Os exerccios que requerem um esforo extra ou um maior conhecimento foram marcados com um asterisco (*).

Figura 1 Dependncias entre as sees deste livro.

MaterialSuplementar

Este livro conta com materiais suplementares.

O acesso gratuito, bastando que o leitor se cadastre em http://gen-io.grupogen.com.br.

GEN-IO (GEN | Informao Online) o repositrio de material suplementar e de servios relacionados com livros publicados pelo GEN | Grupo Editorial Nacional, o maior conglomerado brasileiro

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e Forense Universitria.

Captulo 1

Pensamento Lgico

O negcio dos matemticos afirmar coisas precisamente. Quando voc l uma sentena matemtica, deve levar a srio cada palavra; uma boa linguagem matemtica transmite uma mensagem clara, sem ambiguidades. Para ler e escrever matemtica, voc deve praticar a arte do pensamento lgico. 0 objetivo deste captulo ajud- lo a se comunicar matematicamente pelo entendimento bsico da lgica.

Ateno: lgica matemtica pode ser difcil especialmente se for a primeira vez que voc v isso. Este captulo comea com o estudo da lgica formal, ou simblica, e depois aplica esse estudo linguagem matemtica. Espere que as coisas sejam um pouco nebulosas no comeo, mas no final (esperamos) a neblina ir clarear. Quando isso acontecer, as sentenas matemticas iro comear a fazer mais sentido para voc.

1.1 Lgica FormalNotao uma parte importante da linguagem matemtica. Os quadros-negros dos matemticos geralmente esto cheios de toda sorte de caracteres e smbolos estranhos; tal exibio pode ser intimidadora para os novatos, mas existe uma boa razo para comunicar dessa maneira. Geralmente o ato de reduzir um problema a uma linguagem simblica nos ajuda ver o que realmente est acontecendo. Em vez de operar no mundo vago da prosa, traduzimos um problema para notao matemtica e depois realizamos manipulaes simblicas bem definidas sobre essa notao. Essa a essncia de uma poderosa ferramenta chamada formalismo. Nesta seo, exploramos como uma abordagem formal lgica pode ajudar a evitar erros de raciocnio.

F igu ra 1.1 Smbolos so uma parte importante da linguagem da matemtica.

1

2 Captulo 1

Uma nota de terminologia: usaremos a palavra formal para descrever o processo que consiste em manipular notaes. Geralmente as pessoas usam essa palavra para significar rigoroso, mas essa no a nossa inteno. Um argumento formal pode ser rigoroso, mas um argumento que no depende de smbolos tambm pode.

Uma caracterstica agradvel do formalismo permitir que voc trabalhe sem ter que pensar sobre o que os smbolos significam. Nesse sentido, lgica formal na verdade um uno pensamento lgico. Por que isso uma vantagem? Clculos formais so menos propensos a erros. Voc j est familiarizado com esses fenmenos: muito da aritmtica que voc aprendeu na escola era formal. Voc tem um algoritmo simblico bem definido para multiplicar nmeros usando lpis e papel, e consegue multiplicar de forma bem eficiente nmeros de trs dgitos sem nem pensar muito sobre o que realmente est fazendo. Claro, o formalismo no faz sentido se voc no sabe o que est fazendo; no final de qualquer clculo formal, importante ser capaz de interpretar os resultados.

1.1.1 Conectivos e ProposiesA fim de formalizar a lgica, precisamos de um sistema para traduzir afirmaes em smbolos. Vamos comear com uma definio precisa de sentena.

Definio 1.1 Uma sentena (tambm conhecida por proposio) uma frase declarativa que pode ser falsa ou verdadeira, mas no as duas ao mesmo tempo.

So exemplos de sentenas:

7 mpar.

. 1 + 1 = 4

Se est chovendo, ento o cho est molhado.

O nosso professor de Marte.

Note que no precisamos ser capazes de decidir se a sentena verdadeira ou falsa para que seja uma sentena. Ou nosso professor de Marte, ou nosso professor no de Marte, ainda que no estejamos certos de qual o caso.

Como pode uma frase declarativa falhar em ser uma sentena? Existem duas maneiras principais. Uma frase declarativa pode conter um termo no especificado:

x par.

Nesse caso, x chamado de varivel livre. A veracidade da frase depende do valor de x, logo, se esse valor no especificado, no podemos considerar que essa frase uma sentena. Um segundo tipo de frase declarativa

que no uma sentena ocorre quando uma frase autorreferencial:

Esta frase falsa.

No podemos decidir se essa frase verdadeira ou no. Se dizemos que verdadeira, ento ela diz ser falsa; se dizemos que falsa, ento ela parece ser verdadeira.

Geralmente, uma sentena complicada consiste em vrias sentenas simples unidas por palavras como e, ou, se... ento etc. Essas palavras conec- tivas so representadas pelos cinco conectivos lgicos mostrados na Tabela 1.1. Conectivos lgicos so teis para decompor sentenas compostas em sentenas mais simples. Eles ressaltam propriedades lgicas importantes da sentena.

A fim de utilizar um sistema formal para a lgica, devemos ser capazes de traduzir uma sentena em portugus em sua contrapartida formal. Fazemos isso atribuindo letras para sentenas simples e depois construindo expresses com conectivos.

Exem plo 1.1 Se p a sentena voc est usando sapatos e q a sentena voc no pode cortar as unhas do p, ento

V -* Qrepresenta a sentena: Se voc est usando sapatos, ento no pode cortar as unhas do p. Podemos optar por expressar essa sentena de formas diferentes em portugus: Voc no pode cortar as unhas do p se est usando sapatos, ou Usando sapatos impossvel cortar as unhas do p. A sentena >q traduzida literalmente em No o caso de voc no poder cortar as unhas do p. E claro, em portugus, preferiramos dizer simplesmente, Voc pode cortar as unhas do p, mas isso envolve usar lgica, como veremos na seo seguinte.

1.1.2 Tabelas VerdadeAinda no terminamos de configurar o nosso sistema formal de lgica porque no fomos especficos a respeito dos significados dos conectivos de lgica. E claro que os nomes de cada conectivo sugerem como eles devem ser usados, mas, a fim de elaborar sentenas matematica-

Nome Smboloe A

ou Vno >

implica (se... ento)se e somente se

T abela 1.1 Os cinco conectivos lgicos.

Pensamento Lgico 3

mente precisas, precisamos saber exatamente o que cada conectivo significa.

Definir o significado de um smbolo matemtico mais difcil do que pode parecer. At mesmo o smbolo + de aritmtica ordinria problemtico. Embora todos ns tenhamos um entendimento intuitivo de adio ela descreve como combinar duas quantidades , difcil expressar esse conceito em palavras sem ter que apelar para a nossa intuio. O que combinar significa, exatamente? O que so quantidades, na verdade?

Um jeito simples, mas obviamente no prtico, de definir o sinal de + seria listar todos os problemas possveis de adio, como na Tabela 1.2. E claro que uma tabela como essa no teria fim, mas nos daria, em teoria, uma definio precisa do sinal de +.

E mais fcil lidar com a situao em lgica. Qualquer sentena tem dois valores possveis: verdadeiro (V) ou falso (F). Ento, quando usamos variveis como p ou q para uma sentena lgica, podemos consider-los incgnitas que podem ter um dos dois valores: V ou F. Isso torna possvel definir o significado de cada conectivo usando tabelas; em vez de termos infinitos possveis valores para os nmeros x e y, temos somente duas escolhas para cada varivel p e q.

Agora, vamos estipular o significado de cada conectivo lgico listando os valores V/F para cada caso possvel. O conectivo no o exemplo mais simples, Se p verdadeira, ento >p deve ser falsa, e vice-versa.

P ^PV FF V

Essa tabela de valores chamada de tabela verdade; ela define os valores V/F para os conectivos.

Os conectivos e e ou so definidos pelas seguintes tabelas verdades. Uma vez que temos duas variveis, e cada uma pode ser tanto V como F, precisamos de quatro casos.

X y x + y0 0 00 i 11 0 11 i 22 i 31 2 3

T abela 1.2 Definir o sinal de + listando todos os problemas possveis de adio requereria uma tabela infinita.

V Q pA q V Q P VV V V V V VV F F V F VF V F F V VF F F F F F

A definio do conectivo e, indicado pelo sinal A, o que voc deveria esperar: para que p A q sejam verdade, p deve ser verdade e q deve ser verdade. O conectivo ou, indicado pelo sinal V> um pouco menos bvio. Note que a nossa definio estipula que p v q verdade sempre que p for verdade, ou q for verdade, ou ambos forem verdade. Isso pode ser diferente da forma como o ou utilizado na linguagem cotidiana. Quando lhe oferecem sopa ou salada em um restaurante, o garom no espera que voc pea por ambos.

O conectivo se e somente se diz que duas sentenas tm exatamente os mesmos valores V/F. Assim, sua tabela verdade a seguinte:

P q p q Se voc est usando sapatos, ento nopode cortar as unhas do p.

falsa, voc deveria ser capaz de cortar as unhas do p enquanto usasse sapatos. Em qualquer outra situao, voc teria que admitir que a sentena no falsa (e, se uma sentena no falsa, ela deve ser verdadeira). Se voc no est usando sapatos, ento talvez consiga cortar as unhas do p ou talvez no

4 Captulo 1

consiga por alguma outra razo. Isso no contradiz a sentena p q.

Dito de outra maneira, se voc vive em um mundo sem sapatos, ento a sentena verdadeira por vacuidade: uma vez que voc no pode nunca, de fato, usar sapatos, no falso dizer que Se voc est usando sapatos, ento tudo possvel. Isso explica as duas ltimas linhas da tabela verdade; se p falsa, ento p > q verdade, no importa o que seja q.

1.1.3 Equivalncias Lgicas

Definio 1.2 Duas sentenas so logicamente equivalentes se tm os mesmos valores V/F para todos os casos, ou seja, se elas tm as mesmas tabelas verdades.

Existem algumas equivalncias lgicas que aparecem frequentemente em matemtica, e tambm na vida em geral.

Exemplo 1.2 Considere o seguinte teorema de geometria de ensino mdio:

Se um quadriltero tem um par de lados paralelos, ento ele tem um par de ngulos suplementares.1

Esse teorema da forma p q, em que p a sentena de que o quadriltero tem um par de lados paralelos, e q a sentena de que o quadriltero tem um par de ngulos suplementares.

Podemos ainda afirmar um teorema diferente, representado por > p:

Se o quadriltero no tem um par de ngulos suplementares, ento ele no tem um par de lados paralelos.

Sabemos que esse segundo teorema logicamente equivalente ao primeiro porque a sentena formal p > q logicamente equivalente sentena formal >q > >p, como mostra a seguinte tabela verdade:

lem bre que dois ngulos so suplementares quando somam 180.

p q > >p. Uma vez que o primeiro teorema um teorema de geometria verdadeiro, conclumos que o segundo tambm .

Agora considere a seguinte variao para esse teorema:

Se um quadriltero tem um par de ngulos suplementares, ento ele tem um par de lados paralelos.

Essa sentena da forma q > p. Mas a tabela verdade a seguir mostra que q > p no logicamente equivalente a p q, porque os valores V/F so diferentes na segunda e terceira linhas.

p q > ~^ p chamada de contrapositiva de p , e a sentena q p chamada de recproca. A tabela verdade anterior nos prova que, para qualquer sentena s, a contrapositiva de s logicamente equivalente a s, enquanto a recproca de s pode no ser logicamente equivalente.

Existem muitas situaes em que assumir a recproca pode causar problemas. Por exemplo, suponha que a seguinte sentena seja verdadeira:

Se uma empresa no participa de prticas ilegais de contabilidade, ento uma auditoria no encontrar evidncias de irregularidades.

E certamente razovel assumir isso: no pode haver evidncias de irregularidades uma vez que no existem irregularidades. No entanto, provvel que a recproca no seja verdadeira:

Pensamento Lgico 5

Se uma auditoria no encontra nenhuma evidncia de irregularidades, ento a empresa no participa de prticas ilegais de contabilidade.

Afinal de contas, possvel que os auditores tenham cometido erros.

Nesse momento, voc poderia alegar que o uso de lgica formal parece muito complicado para apenas verificar dedues como esse ltimo exemplo. Esse tipo de coisa apenas senso comum, certo? Bem, talvez. Mas algo que parece bvio para voc pode no ser bvio para outra pessoa. Alm disso, nosso sistema de lgica formal ir lidar com situaes mais complicadas, em que o nosso senso comum costuma falhar. A soluo para o prximo exemplo usa lgica formal. Antes que voc veja a soluo, tente resolver o problema usando o senso comum. Embora a abordagem formal leve um pouco mais de tempo, ela resolve qualquer dvida que voc tenha sobre o seu prprio processo de raciocnio.

Exemplo 1.3 Se Alcides est atrasado, ento Belmiro est atrasado, e, se Alcides e Belmiro esto ambos atrasados, ento a aula chata. Suponha que a aula no seja chata. O que voc pode concluir a respeito de Alcides?

Soluo: Vamos comear traduzindo a primeira frase em smbolos de lgica, usando as seguintes sentenas:

p = Alcides est atrasado. q = Belmiro est atrasado. r = A aula chata.

Seja S a sentena Se Alcides est atrasado, ento Belmiro est atrasado, e, se Alcides e Belmiro esto ambos atrasados, ento a aula chata. Em smbolos, S traduzida como:

5' = (p -> q) a [(p A q) > r]

Agora vamos construir uma tabela verdade para S. Fazemos isso construindo tabelas verdade para as diferentes partes de S, comeando com as de dentro dos parnteses e resolvendo do jeito que j conhecemos.

Linha # P q r p ^ q p A q 0 A q) -* r s1. V V V V V V V2. V V F V V F F3. V F V F F V F4. V F F F F V F5. F V V V F V V6. F V F V F V V7. F F V V F V V8. F F F V F V V

Verifique que a ltima coluna o resultado de e-zar a coluna para p > q com a coluna para (p A q) > r.

Estamos interessados nos possveis valores de p. Sabemos que S verdadeira, logo podemos eliminar as linhas 2, 3 e 4, as linhas em que S falsa. Se tambm assumirmos que a aula no chata, ento poderemos eliminar as linhas em que r verdadeira, isto , as linhas numeradas com nmeros mpares. As linhas que sobraram so as nicas com possveis valores V/F para p, q, e r. linhas 6 e 8. Em ambas as linhas, p falsa. Em outras palavras, Alcides no est atrasado. 0

E x e rc c io s 1.1

1. Sejam dadas as seguintes sentenas:p = Tem gua nos cilindros. q = A junta do cabeote est vazando. r = O carro vai pegar.

(a) Traduza a sentena seguinte para smbolos de lgica formal.

Se a junta do cabeote est vazando e tem gua no cilindro, ento o carro no vai pegar.

(b) Traduza a seguinte sentena formal para o portugus comum:

r - ~>{qVp)

2. Sejam dadas as seguintes sentenas:

p = Voc est em Seul. q = Voc est em Gwangju. r = Voc est na Coreia do Sul.

(a) Traduza a sentena seguinte para smbolos de lgica formal:

Se voc no est na Coreia do Sul, ento voc no est em Seul ou em Gwangju.

(b) Traduza a seguinte sentena formal para o portugus comum:

> (r A ->p)

3. Sejam dadas as seguintes sentenas:

p = Voc pode votar. q = Voc tem menos de 18 anos de idade. r = Voc de Marte.

(a) Traduza a sentena seguinte para smbolos de lgica formal.

Voc no pode votar se tem menos de 18 anos de idade ou se voc de Marte.

6 Captulo 1

(b) D a recproca dessa sentena em smbolos de lgica formal.

(c) D a recproca em portugus.

4. Seja s a sentena seguinte:

Se voc est estudando muito, ento est ficando acordado at tarde da noite.

(a) D a recproca de s.(b) D a contrapositiva de s.

5. Seja s a sentena seguinte:

Se est chovendo, ento o cho est molhado.(a) D a recproca de s.(b) D a contrapositiva de s.

6. D um exemplo de um quadriltero que mostre que a recproca da sentena seguinte falsa:

Se um quadriltero tem um par de lados paralelos, ento ele tem um par de ngulos suplementares.

7. Dizemos que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) so iguais quando a = c e b = d. Seja s a sentena seguinte.

Se (a, b) = (c, d), ento a = c.(a) Esta sentena verdadeira?(b) Escreva a recproca de s.(c) A recproca de 5 verdadeira? Explique.

8. D um exemplo de uma sentena verdadeira do tipo se-ento cuja recproca tambm seja verdadeira.

9. Usando tabelas verdade, mostre que p q logicamente equivalente a (p q) A (q p).

10. Use tabelas verdade para estabelecer as seguintes equivalncias.

(a) Mostre que (p v q) logicamente equivalente a p A >q.

(b) Mostre que > {p A q) logicamente equivalente a 'P V ^ q

Essas equivalncias ficaram conhecidas como as leis de De Morgan, em aluso a Augustus De Morgan, lgico do sculo XIX.

11. Use tabelas verdade para mostrar que (a v b) A (> ( a A b)) logicamente equivalente a a *-> >&. (Essa disposio de valores V/F s vezes chamada de ou exclusivo de a e b.)

12. Use a tabela verdade para provar que a sentena[(p V q) A (^p)] - q

sempre verdadeira, independentemente do que sejam p e q.

13. Sejam dadas as seguintes sentenas:p = Amauri est com fome. q = A geladeira est vazia. r = Amauri est zangado.

(a) Use os conectivos para traduzir a sentena seguinte para a lgica formal:

Se Amauri est com fome e a geladeira est vazia, ento Amauri est zangado.

(b) Construa a tabela verdade para a sentena em (a).(c) Suponha que a sentena dada em (a) seja verda

deira, e suponha tambm que Amauri no esteja zangado e a geladeira esteja vazia. Amauri est com fome? Justifique sua resposta usando a tabela verdade.

14. Use tabelas verdade para provar as seguintes propriedades distributivas para lgica proposicional:(a) p A (q v r) logicamente equivalente a (p A q)

V (p A r).(b) p v (q A r) logicamente equivalente a (p v

Pensamento Lgico 7

19. Qual a sentena mais forte? n divisvel por 3. n divisvel por 12.

Explique.20. Os matemticos dizem que a sentena P uma

condio suficiente para a sentena Q se P > Q verdadeira. Em outras palavras, para saber que Q verdadeira, suficiente saber que P verdadeira. Seja x um nmero inteiro. D uma condio suficiente a respeito de x para que x/2 seja um nmero par inteiro.

21. Os matemticos dizem que a sentena P uma condio necessria para a sentena Qn se Q > P verdadeira. Em outras palavras, para que Q seja verdadeira, necessrio que P seja verdadeira. Seja n ^ 1 um nmero natural. D uma condio necessria mas no suficiente a respeito de n para que n + 2 seja primo.

22. Escreva a sentena P necessria e suficiente para Q em smbolos de lgica formal, usando o menor nmero de conectivos possvel.

23. Geralmente podemos simplificar uma sentena complicada em lgica formal. Por exemplo, considere a sentena S = (p A q) v (p A >q).(a) Construa a tabela verdade para S.(b) Ache uma expresso simplificada que seja logi

camente equivalente a S.24. O conectivo NAND simbolizado por T e definido

pela seguinte tabela verdade:V

8 Captulo 1

(c) Assumindo que todos esses relatrios sejam verdadeiros, que processador (es) no est/esto funcionando?

(d) Assumindo que todos os processadores estejam funcionando, que relatrio(s) de estado /so falso (s)?

(e) Assumindo que o relatrio de estado de um processador verdadeiro se e somente se o processador est funcionando, qual o estado de cada processador?

1.2 Lgica ProposicionalDepois de ter trabalhado nos exerccios da seo anterior, voc deve ter notado uma sria limitao no uso de tabelas verdade. Cada vez que voc adiciona uma sentena na tabela verdade, voc deve dobrar o nmero de linhas. Isso torna a anlise de tabelas verdade trabalhosa para todos os exemplos que no aqueles mais simples.

Nesta seo iremos desenvolver um sistema de regras para manipular frmulas em lgica simblica. Esse sistema, chamado de clculo proposicional, ir nos permitir fazer dedues lgicas formalmente. Existem pelo menos trs razes para que faamos isso:

1. Esses mtodos formais so teis para analisar problemas complexos de lgica, especialmente quando o uso de tabelas verdade pouco prtico.

2. As regras de deduo que iremos estudar so comu- mente usadas na discusso matemtica.

3. O sistema de regras de deduo e sequncias de demonstrao um exemplo simples de demonstrao matemtica.

Dessas trs, a ltima a mais importante. O processo mecnico de escrever sequncias de demonstrao em clculo proposicional ir nos preparar para escrever demonstraes mais complicadas em outras reas da matemtica.

1.2.1 Tautologias e ContradiesExistem algumas sentenas em lgica formal que so sempre verdadeiras, no importam quais sejam os valores V/F das sentenas componentes. Por exemplo, a tabela verdade para (p A q) p a seguinte:

p q p A q (p A q )-^ pV V V VV F F VF V F VF F F V

Uma sentena como essa chamada de tautologia, e escrevemos

(pAg)=>ppara indicar esse fato. A notao A => B significa que a sentena A D verdadeira em todos os casos; em outras palavras, a tabela verdade para A > B composta apenas por Vs. Analogamente, o smbolo denota a tautologia contendo o conectivo (p V g) -ipA->.(b) - ' (pAq) -rp V -.qr.

Quando a tautologia da forma (CA D) => E, geralmente preferimos escrever

como alternativa. Essa notao destaca o fato de que, se voc conhece tanto C quanto D, ento voc pode concluir E. O uso do conectivo A implcito.

Exem plo 1.5 Use a tabela verdade para provar o seguinte:

Soluo: Seja S a sentena [p A (p > q)] > q. Vamos construir a nossa tabela verdade determinando as partes de S e trabalhando de dentro para fora dos parnteses.

p q p -^ q P A {p - q) 5V V V V VV F F F VF V V F VF F V F V

Uma vez que a coluna para S toda composta de Vs, fica provado que S uma tautologia. 0

A tautologia do Exemplo 1.5 conhecida como modus ponens, o que em latim significa modo afirmativo. Esse conceito remonta aos filsofos estoicos da Grcia antiga, que afirmavam da seguinte forma:

Se o primeiro, ento o segundo; mas o primeiro; portanto o segundo.

Nos exerccios, voc ter a oportunidade de provar um resultado relacionado chamado modus tollens (modo

Pensamento Lgico 9

de negao). Nos smbolos de lgica, essa tautologia se Equivalncia Nomeescreve da seguinte forma: p 4$ -i-ip dupla negao

'l p q 44 -ipV q implicao^ r ^ ~~P ~i(p A q) 44 >p V >q

^ ^ ' -i(p V q) 44 -ip A ->qleis de De Morgan

p V q 44- qV pTambm existem as sentenas em lgica formal que p A q 44 q Ap

comutatividade

nunca sao vexdadexxas. Uma sentena cuja tabela vexdade t \ / composta apenas por Fs chamada de contradio. ^ ^ r) 44 {p q) r

p V (q V r) 44 (p V q) V rassociatividade

Exemplo 1.6 Use uma tabela verdade para mostrar Tabela 1-3 Regnt de Equivalncia.que p A > p uma contradio.

Soluo:

V - p p A ->pV F FF V F

Em outras palavras, uma sentena e sua negao nunca podem ser ambas verdadeiras. 0

Uma sentena em lgica formal que no uma tautologia nem uma contradio chamada de contingncia. Uma contingncia tem tanto Vs quanto Fs em sua tabela verdade, assim sua verdade contingente nos valores V/F de suas sentenas componentes. Por exemplo, p A q, p v q e p > q so todas contingncias.

1.2.2 Regras de DeduoTautologias so importantes porque mostram como uma sentena pode ser logicamente deduzida de outra. Por exemplo, suponha que saibamos que as sentenas seguintes so verdadeiras:

Nosso professor no dono de uma espaonave.Se o nosso professor de Marte, ento nosso professor dono de uma espaonave.

Podemos aplicar a tautologia modus tollens para deduzir que Nosso professor no de Marte. Esse um argumento vlido, ou deduo, que nos permite concluir essa ltima sentena dadas as duas primeiras.

Toda tautologia pode ser usada como uma regra que justifica a deduo de uma nova sentena a partir de uma antiga. Existem dois tipos de regras de deduo: regras de equivalncia e regras de inferncia. Regras de equivalncia descrevem equivalncias lgicas, enquanto regras de inferncia descrevem quando uma sentena mais fraca pode ser deduzida de uma sentena mais forte. As regras

de equivalncia dadas na Tabela 1.3 podem ser verificadas usando tabelas verdade. Se A e B so sentenas (possivelmente compostas de muitas outras sentenas unidas por conectivos), ento a tautologia A B permite que se faa somente uma coisa:

1. Dado A, deduza B.

Em outras palavras, voc pode concluir uma sentena mais fraca, B, se j estabeleceu uma sentena mais forte,

2Uma palavra sobre notao: em geral usamos p, q, r, ... para representar sentenas simples, e usamos A, B, C, ... para denotar sentenas que so (possivelmente) feitas de sentenas simples e de conectivos lgicos. Essa conveno, no entanto, puramente expositiva e no exprime nenhuma diferena de sentido.

10 Captulo 1

Inferncia Nome

^ 1 P a q conjuno* J

p u modus ponensP ^ q J

U t , modus tollensp ^ q j

pAq=>p simplificaop => pV q adio

Tabela 1.4 Regras de Inferncia.

A. Por exemplo, modus tollens uma regra de inferncia: a sentena mais fraca

B = Nosso professor no de Marte.

resulta de uma sentena mais forte

A = Nosso professor no dono de uma espao- nave, e se o nosso professor de Marte, ento ele dono de uma espaonave.

Se A verdadeira, ento B deve ser verdadeira, mas no vice-versa. (Nosso professor pode ser dono de uma espaonave e ser de Jpiter, por exemplo.) A Tabela 1.4 lista algumas regras teis de inferncia, todas as quais podem ser verificadas usando tabelas verdade.

1.2.3 Sequncias de ProvaAgora temos ferramentas suficientes para deduzir novas tautologias das j conhecidas. Uma sequncia de prova (ou sequncia de demonstrao) uma sequncia de sentenas e razes para justificar uma assero da forma A => C. A primeira sentena, A, dada.3 A sequncia de prova pode ento listar sentenas Bu B2, B3, etc., desde que cada nova sentena possa ser deduzida de uma ou mais sentenas prvias usando alguma regra de deduo. E claro que essa sequncia de sentenas deve culminar em C, a sentena que estamos tentando provar a partir de A.

Exemplo 1.7 Escreva uma sequncia de prova para a assero

Vq

=> r.

/

3Frequentemente so dadas vrias sentenas.

Soluo:

Sentenas Razesl .p dada2- p -> q dada3. q > r dada4. q modus ponens, 1, 25. r modus ponens, 4, 3

Toda vez que provamos alguma coisa, temos uma nova regra de inferncia. As regras na Tabela 1.4 so suficientes para comearmos, mas deveramos nos sentir livres para usar as asseres j provadas em provas futuras. Por exemplo, a assero provada no Exemplo 1.7 ilustra a propriedade transitiva do conec- tivo >.

Uma outra coisa a ser notada no Exemplo 1.7 que ele foi bastante fcil s tivemos que aplicar o modus ponens duas vezes. Compare isso com a abordagem da tabela verdade: a tabela verdade para

b A {p - q) A (q - r)] > r

consistiria em oito linhas e vrias colunas. Tabelas verdade so mais fceis de ser feitas, mas tambm podem ser muito mais tediosas.

Sequncias de prova devem lembrar os tipos de prova que voc costumava fazer na geometria no ensino mdio. As regras so simples: comece com o que dado, veja o que voc consegue deduzir, finalize com o que voc est tentando provar. Aqui est um exemplo mais difcil:

Exemplo 1.8 Prove:

pV g q

Soluo:

Sentenas Razes1. p V q dada2. 1 p dada3. -i(^p) V q dupla negao, 14. -1 p q implicao, 35. q modus ponens, 4, 2

Note que na etapa 3 dessa prova, usamos uma das regras de equivalncia (dupla negao) para fazer a substituio na frmula. Isso permitido: uma vez que '(P ) logicamente equivalente a p, ele pode tomar o lugar de p em qualquer frmula.

Pensamento Lgico 11

1.2.4 Vai-voltaSe voc est tendo problema em encontrar uma sequncia de prova, tente a abordagem vai-volta: considere as sentenas que esto a urn passo frente da que foi dada, e tambm as sentenas que esto um passo atrs da sentena que voc est tentando provar. Repita esse processo, construindo um caminho de dedues a partir da sentena dada, assim como um caminho de dedues que termina na sentena que voc quer provar. Se tudo for bem, voc ir descobrir um jeito de fazer esses dois caminhos se encontrarem no meio. O prximo exemplo ilustra essa tcnica.

Exemplo 1.9 Na Seo 1.1, usamos tabelas verdade para mostrar que uma sentena logicamente equivalente sua contrapositiva. Neste exemplo iremos construir uma sequncia de prova para uma direo dessa equivalncia lgica:

p > q => ->q ~>p

Soluo: Aplicamos a abordagem vai-volta. A nica sentena dada p > q, ento procuramos, entre todas as nossas regras de deduo, alguma que resulte dessa sentena. A nica candidata >p v Q, pela regra de implicao, ento usamos essa por tentativa como o segundo passo da sequncia de prova. Agora consideramos a sentena que estamos tentando provar, 'q > 'p, e procuramos uma sentena da qual >q > >p resulte. Uma vez que a implicao uma regra de equivalncia, tambm podemos us-la para dar r at a sentena >(> q) v >p, que propomos como a penltima sentena da nossa demonstrao. Dando um passo frente da sentena dada e um passo para trs do nosso objetivo, reduzimos a tarefa de provar

p > q => -iq > ->p

para a tarefa mais simples (tomara!) de provar -i pV q => -i(-i) V -i p.

Agora razoavelmente fcil ver como terminar a prova: podemos intercambiar as duas sentenas ao redor do sinal v usando comutatividade e ento simplificar usando dupla negao. Agora podemos escrever a sequncia de prova:

Sentenas Razes1 -p -> q dada2. -rp V q implicao3. q V -ip comutatividade4. -i(~iq) V -ip dupla negao5. -iq > -ip implicao

Usamos a abordagem vai-volta para andar para a frente do passo 1 ao passo 2, e depois para andar para trs do passo 5 ao passo 4. Em seguida, conectamos o passo 2 com o passo 4 usando uma sequncia de prova simples. 0

Voc deve ter notado que na Seo 1.1 provamos a sentena mais forte

p > q -> -ip

usando tabelas verdade; esse exemplo anterior somente prova a direo => dessa equivalncia. Para provar a outra direo, precisamos de uma outra sequncia de prova. No entanto, nesse caso, essa outra sequncia de prova mais fcil de se escrever, porque todas as regras de deduo que usamos so reversveis. Implicao, comutatividade e dupla negao so todas regras de equivalncia, ento poderamos escrever uma nova sequncia de prova com as etapas na ordem inversa e teramos uma prova vlida da direo

E x e rc c io s 1.2

1. Use as tabelas verdade para estabelecer a tautologia modus tollens:

2. Complete a coluna das razes na sequncia de prova seguinte. Certifique-se de indicar a que etapa(s) cada regra de deduo se refere.

Sentenas Razesl . p A ( g V r ) dada2. i(p A q) dada3. -1 p V i q

J < 4

5. q > -ip6. p7. -n(-ip)8. -iq9. qV r10. r V q11. V q12. -ir q13. 1(ir*)14. r15. p A 7

3. Justifique cada concluso com uma regra de deduo.

(a) Quem artstico deve ser tambm criativo. Jose- lino no criativo. Portanto, Joselino no artstico.

(b) Leondio atltico e tambm inteligente. Portanto, Leondio atltico.

(c) Quem tem 18 anos de idade pode votar. Mafalda tem 18 anos de idade. Portanto, Mafalda pode votar.

(d) Matilde nunca esteve no norte de Saskatoon ou no sul de Santo Domingo. Em outras palavras, ela nunca esteve no norte de Saskatoon e nunca esteve no sul de Santo Domingo.

4. Sejam xe y nmeros inteiros. Dada a sentena:

x > y ou x mpar.

que sentena segue da usando-se a regra de implicao?

5. Seja Q um quadriltero. Dadas as sentenas:

Se Q um losango, ento Q um paralelogramo.

Q no um paralelogramo.

que sentena segue dessas usando-se a regra modus tollens?

6. Sejam xe y nmeros. Simplifique a sentena seguinte usando as leis de De Morgan e a dupla negao:

No o caso que x no maior que 3 e y no encontrado.

7. Escreva uma sentena que resulta da sentena

Hoje est ensolarado e quente,

pela regra de simplificao.

8. Escreva uma sentena que resulta da sentena

Esta sopa tem um gosto esquisito,

pela regra de adio.

9. Reveja o Exerccio 1.1.27. Suponha que todos os relatrios de estado a seguir esto corretos:

O processador B no est funcionando e o processador C est funcionando.

O processador A est funcionando se e somente se o processador B est funcionando.

Pelo menos um dos processadores A , B no est funcionando.

12 Captulo 1

Seja a = ilA est funcionando, b = B est funcionando e c = C est funcionando.

(a) Se voc j no o fez, escreva cada relatrio de estado nos termos de a, b e c, usando os smbolos de lgica formal.

(b) Como voc justificaria a concluso de que B no est funcionando? (Em outras palavras, dadas as sentenas na parte (a), qual regra de deduo permite concluir >6?)

(c) Como voc justificaria a concluso de que Cest funcionando?

(d) Escreva uma sequncia de prova que conclua que A no est funcionando. (Em outras palavras, dadas as sentenas na parte (a), escreva uma sequncia de prova para concluir a.)

10. Escreva uma sequncia de prova para a seguinte assero. Justifique cada etapa.

p > 1> => - 'a

14. Escreva uma sequncia de prova para estabelecer que p p A p uma tautologia.

15. Escreva uma sequncia de prova para estabelecer que p p v P uma tautologia. (Dica: Use as leis de De Morgan e o Exerccio 14.)

16. Escreva uma sequncia de prova para a seguinte assero. Justifique cada etapa.

~'{~'P * q) V (~ip A iq) = >p A >q

17. Escreva uma sequncia de prova para a seguinte assero. Justifique cada etapa.

Pensamento Lgico 13

(pV g)V (pV r ) = ->r > (p V q)

18. Considere a seguinte assero.->(~>p V q) =$ pW q

(a) Encontre uma sentena que esteja um passo frente da sentena dada.

(b) Encontre uma sentena que esteja a um passo atrs do objetivo. (Use a regra de adio ao contrrio para encontrar a sentena da qual o objetivo ir resultar.)

(c) D uma sequncia de prova para a assero.(d) A sua prova reversvel? Por que sim ou por

que no?

19. Use a tabela verdade para mostrar que

no uma tautologia. (Este exemplo mostra que a substituio no vlida para regras de inferncia, em geral. Substituir a sentena mais fraca, q, pela sentena mais forte, p, na expresso 7? no funciona.)

20. (a) Preencha as razes na sequncia de prova seguinte. No se esquea de indicar a que etapa(s) cada regra de deduo se refere.

Sentenas Razes1. V -* (p V -1 q) V r5. -1 (p Ag) Vr6. ( p A g ) ^ r

(b) Explique por que a prova da parte (a) reversvel.

(c) A prova da parte (a) (juntamente com a sua inversa) estabelece a seguinte tautologia:

p > (q r) (p A q )>r

Portanto, para provar uma assero da forma A D C, suficiente provar

em seu lugar. Use esse fato para reescrever a tautologia

p A (q > r) q > (pAr)

como uma tautologia da forma

em que C no contm o conectivo (O processo de reescrever uma tautologia desse jeito chamado de mtodo dedutivo.)

(d) D uma sequncia de prova para a tautologia reescrita na parte (c).

21. Este exerccio ir conduzi-lo a obter uma prova da propriedade distributiva de A sobre V- Vamos provar:

p A ( (p A g) V (p Ar) .

(a) A assero anterior a mesma que a seguinte:p A (q V r) =*> -i (p A q) (p Ar) .

Por qu?(b) Use o mtodo dedutivo para reescrever a tauto

logia da parte (a).(c) Prove a tautologia que voc reescreveu.

22. Use a tabela verdade para mostrar que (a > b) A (a A ife) uma contradio.

23. A sentena a > > a uma contradio? Por que sim ou por que no?

1.3 Lgica de PredicadosQuando definimos o que uma sentena, dissemos que a frase da forma

x parno uma sentena, porque seus valores V/F dependem de x. A escrita matemtica, no entanto, quase sempre lida com frases desse tipo; frequentemente expressamos ideias matemticas em termos de uma varivel desconhecida. Esta seo explica como estender nosso sistema formal de lgica para lidar com essas situaes.

1.3.1 PredicadosDefinio 1.3 Um predicado uma frase declarativa cujos valores V/F dependem de uma ou mais variveis. Em outras palavras, um predicado uma frase declarativa com variveis que, aps terem recebido valores especficos, transformam a frase em uma sentena.

Usamos a notao de funo para denotar predicados. Por exemplo,

P(x) = x par e Q(x, y) = x mais pesado que y

14 Captulo 1

so predicados. A sentena P(8) verdadeira, enquanto a sentena

Q(pena, tijolo)

falsa.Implcito em um predicado est o domnio (ou

universo) de valores que a varivel ou as variveis podem assumir. Para P(x), o domnio poderia ser de nmeros inteiros; para Q(x, y), o domnio poderia ser alguma coleo de objetos fsicos. Em geral, vamos declarar o domnio juntamente com o predicado, a menos que j esteja claro pelo contexto.

Equaes so predicados. Por exemplo, se E{x) representa a equao

x2 x 6 = 0,

ento E{3) verdadeira e E{4) falsa. Consideramos equaes como frases declarativas, em que o sinal = faz o papel de um verbo.

1.3.2 QuantificadoresSozinhos, os predicados no so sentenas porque contm variveis livres. Podemos transform-los em sentenas subtituindo as variveis por valores especficos do domnio; porm muitas vezes queremos obter uma sentena sem usar valores especficos. Um quantificador modifica um predicado ao descrever se alguns ou todos os elementos do domnio satisfazem o predicado.

Vamos precisar somente de dois quantificadores: universal e existencial. O quantificador universal para todo denotado por V. Ento a sentena

(Vx)P(x)

diz que P(x) verdadeira para todo x que est no domnio. O quantificador existencial existe denotado por 3. A sentena

(3 x)P(x)

diz que existe um elemento x do domnio tal que P(x) verdadeira; em outras palavras, P(x) verdadeira para pelo menos um valor de x no domnio.

Por exemplo, se E(x) a equao x2 x 6 = 0 no domnio dos nmeros reais, ento a expresso

(3x)(x)

diz: Existe algum nmero real x tal que x2 x 6 = 0, ou de maneira mais simples, A equao o? x 6 = 0 tem uma soluo. A varivel x no mais uma varivel livre, uma vez que o quantificador 3 muda o papel que ele desempenha na sentena.

Se Z(x) representa a equao x 0 = 0 nos nmeros reais, a expresso

(Vx)Z(x)

significa Para todos os nmeros reais x, vale que x 0 = 0. Novamente, essa uma sentena sem variveis livres, uma vez que o alcance de valores possveis de x claramente especificado.

Quando colocamos um quantificador em frente a um predicado, formamos uma sentena quantificada. Uma vez que o quantificador restringe o alcance de valores para as variveis no predicado, a sentena quantificada ou verdadeira ou falsa (mas no ambas). Nos exemplos anteriores, (3x)E(x) e (Vx)Z(x) so ambas verdadeiras, enquanto a sentena

(Vx)P(x)

falsa, uma vez que alguns nmeros reais no satisfazem a equao x2 x 6 = 0.

O real poder da lgica de predicados vem de combinar quantificadores, predicados e os smbolos de lgica propo- sicional. Por exemplo, se quisssemos afirmar que existe um nmero negativo que satisfaz a equao a? x 6 = 0, poderamos definir um novo predicado

N(x) = x negativo.

Ento a sentena(3x)(iV(x) A E(x))

traduzida para Existe algum nmero real x tal que x negativo e x2 x 6 = 0.

O escopo de um quantificador a parte da frmula qual o quantificador se refere. Em uma frmula complicada em lgica de predicados, importante usar parnteses para indicar o escopo de cada quantificador. Em geral, o escopo o que est dentro do conjunto de parnteses aps o quantificador:

(Vx)(...escopo de V...), (3x)(...escopo de 3...).

Na sentena (3x)(iV(x) A E(x)), o escopo do quantificador 3 a expresso N(x) A E(x).

1.3.3 TraduoExistem muitas formas diferentes de escrever sentenas quantificadas em portugus. Traduzir sentenas de uma forma para a outra, entre o portugus e a lgica de predicados, uma habilidade que requer prtica.

Exemplo 1.10 No domnio de todos os carros, sejam os predicados:

P(x) = x consome pouco combustvel.

Pensamento Lgico 15

Q(x) = x grande.

ento a sentena (\/x)(Q(x) > ^P(x)) poderia ser literalmente traduzida para

Para todos os carros x, se x grande, ento x no consome pouco combustvel.

No entanto, uma traduo mais natural da mesma sentena

Todo carro grande consome muito combustvel.

ouNo existem carros grandes que consumam

pouco combustvel.Se quisssemos dizer o oposto, ou seja, que existem

alguns carros grandes que consomem pouco combustvel, poderamos escrever a seguinte sentena:

(3x)(P(x)AQ{x))

Daremos uma demonstrao formal de que essa negao correta no Exemplo 1.13.

O exemplo seguinte mostra como uma sentena matemtica aparentemente simples rende uma frmula um tanto complicada em lgica de predicados. O uso cuidadoso de predicados ajuda a revelar a estrutura lgica de uma afirmao matemtica.

Exemplo 1.11 No domnio de todos os nmeros inteiros, seja P(x) = x par. A seguir, veja como podemos expressar o fato de que a soma de um nmero par com um nmero mpar mpar:

(Vx)(Vy)[(P(x) A ^P(y)) - (-P (* + y))]

E claro que a traduo literal dessa sentena quantificada Para todo nmero inteiro x e para todo nmero inteiro y, se x par e y no par, ento x + y no par, mas normalmente dizemos algo informal como Um nmero par mais um nmero mpar mpar.

Esse ltimo exemplo usou dois quantificadores universais para expressar um fato sobre um par arbitrrio x, y de nmeros inteiros. O prximo exemplo mostra o que pode acontecer quando combinamos quantificadores universal e existencial na mesma sentena.

Exemplo 1.12 No domnio de todos os nmeros reais, seja G(x, y) o predicado x > y. A sentena

(Vy){3x)G{x,y)

diz literalmente que Para todos os nmeros y, existe algum nmero x tal que x > y, ou, mais simples ainda,

Dado qualquer nmero y, existe algum nmero que maior que y. Essa sentena claramente verdadeira: o nmero y + 1 sempre maior que y, por exemplo. No entanto, a sentena

(3x){Vy)G(x,y)

traduzida literalmente como Existe um nmero x tal que para todos os nmeros y temos x > y. Em linguagem mais simples, essa sentena diz: Existe algum nmero que maior do que qualquer outro nmero. Essa sentena claramente falsa, porque no existe um nmero maior que todos os outros.

A ordem dos quantificadores importa. Em ambas as sentenas, feita uma afirmao de que x maior que y. Na primeira sentena, primeiramente lhe dado um nmero arbitrrio y, e ento a afirmao que possvel achar algum x que seja maior que ele. No entanto, a segunda sentena afirma existir algum nmero x tal que, dado qualquer outro y, o maior dos dois ser x. Na segunda sentena, voc deve decidir o que x antes de escolher y. Na primeira sentena, voc escolhe y antes para em seguida escolher x.

1.3.4 NegaoA coisa mais importante que voc precisa ser capaz de fazer com lgica de predicados escrever a negao de uma sentena quantificada. Como em lgica propo- sicional, existem algumas equivalncias formais que descrevem como a negao funciona. A Tabela 1.5 lista duas regras importantes para formar o oposto de uma sentena quantificada. E fcil ver o padro formal dessas duas regras: para negar uma sentena quantificada, traga a negao para dentro do quantificador e troque o quan- tificador.

Vamos interpretar as regras de negao no contexto de um exemplo. No domnio de todas as pessoas, seja L(x) o predicado x um mentiroso. A regra universal de negao diz que a negao para Todas as pessoas so mentirosas Existe uma pessoa que no mentirosa. Em smbolos,

-i[(Vx)L(x)]

16 Captulo 1

Equivalncia Nome'[(Vx)P(x)] P(x)) negao universal-i[(3x)P(x)] (Vx)(-iP(x)) negao existencial

Tabela 1.5 Regras de negao para lgica de predicados.

deveria ser. Podemos responder a essa questo negando a sentena formal

(Vx)(Q(x) -> -B(x)) (1-3.1)

usando uma sequncia de prova. Vamos supor como dada a negao da sentena 1.3.1 e deduzir uma sentena equivalente.

Sentenas RazesL - [(Vx)(Q(x) iP(x))] dada2. (3x)->(Q(x) -iP(x)) negao universal3. (3 x H -Q (x )V -P (x )) implicao4. (3x)(-i(-iQ(x)) A -i(-iP(x))) lei de De Morgan5. (3x)(Q(x) A P(x)) dupla negao6. (3x)(P(x) A Q{x)) comutatividade

Note que o resultado de nosso argumento formal concorda com a negao intuitiva que fizemos no Exemplo 1.10: existe algum carro que grande e que consome pouco combustvel.

Exemplo 1.14 Considere o domnio constitudo pelas faces do icosaedro truncado (tambm conhecido como bola de futebol):

Agora considere os predicados seguintes:

P(x) = x um pentgono.H(x) = x um hexgono.

B(x, y) = x faz fronteira com y".

Aqui dizemos que dois polgonos fazem fronteira um com o outro se eles compartilham uma aresta. Confirme que

as observaes seguintes so verdadeiras para qualquer icosaedro truncado:

1. Dois pentgonos nunca fazem fronteira um com o outro.

2. Todo pentgono faz fronteira com algum hexgono.

3. Todo hexgono faz fronteira com um outro hexgono.

Escreva essas sentenas em lgica de predicados e tambm as suas negaes. Simplifique as sentenas negadas de modo que nenhum predicado permanea dentro do escopo de uma negao. Traduza a sua sentena negada de volta para o portugus.

Soluo: A formalizao dessas sentenas se d da seguinte forma.

1. (Vx)(Vy)((P(x) AP(y)) -* --B(x,y))

2. (Vx)(P(x) > (3y)(H(y) A B(x,y)))

3. (Vx)(H(x) -> (3y)(H(y) A B(x,y)))

Vamos negar (2) e deixar as outras como exerccio. Veja se voc consegue descobrir as razes para cada equivalncia.

q(Vx)(P(x) (3y)(ff(y) AB(x,y)))) (3x)H P(x) - (3y)(H(y) A B(x, y)))] (3x)h(-.P(x) V (3y)(tf(y) A B(x,y)))|-S- (3x)[-i-i(P(x) A ^(3y)(H(y) A B(x.y))))

(3x)[-i-i(P(x) A (Vy)-.(ff(y) A B(x,y)))| (ix)(P(x) A (Vy)-i(P(y) A B(x,y)))

(3x) (P(x) A (Vy) (iH (y) V -iB(x, y))) (3x)(P(x) A (Vy)(P(y) - -nB(x, y)))

Essa lltima sentena diz que existe um x tal que x um pentgono e, para qualquer y, se y um hexgono, ento x no faz fronteira com y. Em outras palavras, existe algum pentgono que no faz fronteira com hexgonos. Se voc descobriu um slido com essa propriedade, ele no poderia ser um icosaedro truncado. 0

1.3.5 Duas Construes ComunsExistem duas expresses que aparecem com frequncia, e conhecer a lgica de predicados para essas expresses torna a traduo muito mais fcil. A primeira sentena

Todo (alguma coisa) (alguma outra coisa).

Por exemplo, Todos os jogadores de beisebol so ricos, ou Todas as ovelhas so brancas. Em geral, se P(x)

Pensamento Lgico 17

e Q(x) so os predicados x (alguma coisa) e x (alguma outra coisa) respectivamente, ento a expresso de lgica de predicados

(Vx)(P(x) Q(x))

traduzida como Para todo x, se x (alguma coisa), ento x (alguma outra coisa). Dito de forma mais simples, Todos os as com a propriedade (alguma coisa) devem ter a propriedade (alguma outra coisa), ou mais simples ainda, Todo (alguma coisa) (alguma outra coisa). No domnio de todas as pessoas, se R(x) representa r rico e B(x) representa x jogador de beisebol, ento

(Yx)(P(x) - R{x))

a sentena Todos os jogadores de beisebol so ricos. A segunda construo da forma

Existe um (alguma coisa) que (alguma outra coisa).

Por exemplo, Existe um jogador de beisebol rico, ou Existe uma ovelha branca. Essa expresso tem a seguinte forma em lgica de predicados:

(3x)(P(x) A Q{x))

Note que isso se traduz literalmente como Existe algum x tal que x (alguma coisa) e x (alguma outra coisa), que o que queremos. No domnio dos mamferos, se O(x) o predicado r uma ovelha e F(x) o predicado ux branca, ento

(3x)(F(x) A O(x))

seria traduzida para Existe uma ovelha branca. Note que voc tambm poderia dizer Existe uma ovelha de cor branca, Algumas ovelhas so brancas, ou, at de uma forma mais esquisita, Existe um mamfero branco que uma ovelha. Todas essas sentenas significam a mesma coisa.

E xe rc c io s 1.3

1. No domnio dos nmeros inteiros, seja P(x, y) o predicado ax y = 12. Diga se cada uma das sentenas a seguir verdadeira ou falsa:

(a) P(3,4)(b) P(3,5)(c) P(2,6)V P(3,7)

(d) (Vx)(Vy)(P(x,t/) - P(ytx))(e) (Vx)(3y)P(x,y)

2. No domnio de todos os pinguins, seja (x) o predicado ux perigoso. Traduza as seguintes sentenas quantificadas para o portugus cotidiano:

(a) (Yx)D(x)(b) (3x)D(x)(c) -i(3x)D(x)(d) (3x)^D(x)

3. No domnio de todos os filmes, seja V(x) o predicado r violento. Escreva as sentenas seguintes usando smbolos de lgica de predicados:

(a) Alguns filmes so violentos.(b) Alguns filmes no so violentos.(c) Nenhum filme violento.(d) Todos os filmes so violentos.

4. No domnio de todos os livros, considere os predicados seguintes.

H(x) = x pesado.

C(x) = r confuso.

Traduza as sentenas seguintes de lgica de predicados para o portugus cotidiano:

(a) (Vx)(//(x) -> C(x))(b) (3 r)(C (r)A i(r))(c) (V r)(C (r)V if(r))(d) (3x)(P(x) A^C (x))

5. Considere os seguintes predicados no domnio de todas as plantas:

P(x) = x venenosa.

Q(x) = Jacinto comeu x.

Traduza as sentenas seguintes para a lgica de predicados.

(a) Algumas plantas so venenosas.(b) Jacinto nunca comeu uma planta venenosa.(c) Existem algumas plantas no venenosas que

Jacinto nunca comeu.

6. No domnio dos nmeros inteiros no nulos, seja 7(x, y) o predicado ux / y um nmero inteiro. Determine se as sentenas seguintes so verdadeiras ou falsas, e explique por qu.

(a) (\/y)(3x)I(x,y)(b) (3x){Vy)I(x,y)

7. O domnio dos predicados seguintes o conjunto de todos os negociantes que trabalham na Bolsa de Valores de Tquio.

P(x, y) = x ganha mais dinheiro que y. Q{x,y) = x f- y

Traduza as sentenas seguintes de lgica de predicados para o portugus simples, cotidiano. (No traduza simplesmente palavra por palavra; tente escrever sentenas que faam sentido.)

(a) (\fx){3y)P{x,y)(b) (3y){Vx){Q{x,y) -> P(x,y))

(c) Qual sentena impossvel nesse contexto? Por qu?

8. Traduza a sentena a seguir para lgica de predicados usando as duas construes comuns da Seo 1.3.5. Exponha quais so seus predicados, juntamente com o domnio de cada um.

(a) Todos os nmeros naturais so inteiros.(b) Alguns nmeros inteiros so naturais.(c) Todas as ruas em Cozumel, no Mxico, so de

mo nica.(d) Algumas caladas em Londres no tm rampas

de acesso modernas.

9. Escreva a sentena seguinte em lgica de predicados. Defina quais so seus predicados. Use o domnio de todos os quadrilteros.

(a) Todos os losangos so paralelogramos.(b) Alguns paralelogramos no so losangos.

10. Sejam dados os seguintes predicados. O domnio constitudo por todas as pessoas.

R(x) = ax grosseiro.

R(x) = x agradvel.

C(x) = x uma criana.

(a) Escreva as sentenas seguintes usando lgica de predicados.

Existe pelo menos uma criana grosseira.

(b) Negue formalmente a sua sentena feita na parte(a).

(c) Escreva a traduo em portugus da sua sentena negada.

11. No domnio de todas as pessoas, considere o predicado a seguir.

P(x, y) = x precisa amar y.

18 Captulo 1

(a) Escreva a sentena Todo mundo precisa de algum para amar usando a lgica de predicados.

(b) Negue formalmente a sua sentena da parte (a).(c) Escreva a traduo em portugus da sua sentena

negada anteriormente.12. O domnio para este problema uma coleo de

nmeros no especificados. Considere o predicadoP(x, y) = x maior que y.

(a) "Traduza a sentena a seguir usando a lgica de predicados.

Para todo nmero existe um outro maior que ele.

(b) Negue a sua expresso da parte (a) e simplifique-a de forma que no restem quantificadores dentro do escopo de uma negao.

(c) Traduza a sua expresso da parte (b) para um portugus compreensvel. No use variveis na sua traduo para o portugus.

13. Qualquer equao ou desigualdade com variveis um predicado no domnio dos nmeros reais. Diga se cada uma das sentenas seguintes verdadeira ou falsa:(a) (Va;)(a:2 > x )(b) {3x){x2 - 2 = 1)(c) [3x){x2 + 2 = 1)(d) (Vx)(3 y)(x2 + y == 4)(e) LU + y == 4)

14. O domnio dos predicados seguintes formado pelos nmeros inteiros maiores que 1.

Pix) = x primo.Q(x, y) = x divide y.

Considere as sentenas a seguir.Para todo x que no primo, existe algum primo y que o divide.

(a) Escreva a sentena usando a lgica de predicados.

(b) Negue formalmente a sentena.(c) Escreva a traduo em portugus da sua sentena

negada anteriormente.15. Escreva a sentena a seguir usando a lgica de predi

cados e negue-a. Diga quais so os seus predicados, juntamente com os seus domnios.

Sejam x e y nmeros reais. Se x racional e y irracional, ento x + y irracional.

Consulte o Exemplo 1.14.(a) D as razes para cada passo

Pensamento Lgico 19

(b) D a negao formal da sentena (1). Simplifique sua resposta de forma que no restem quan- tificadores dentro do escopo de uma negao. Traduza a sua sentena negada novamente para o portugus.

(c) D a negao formal da sentena (3). Simplifique a sua resposta. Traduza a sua sentena negada novamente para o portugus.

17. No domnio de todos os tringulos, considere os predicados a seguir.

R(x) = x um tringulo retngulo.

B(x) = x tem um ngulo obtuso.

Considere as sentenas a seguir:

51 = -i(3x)(R(x) A B(x))52 = (Vx)(R(x) - ->B{x))

(a) Escreva uma sequncia de prova para mostrar que S1 S2.

(b) Escreva Sl em portugus comum.(c) Escreva S2 em portugus comum.

18. Sejam dados os predicados a seguir no domnio de todas as aulas de cincia da computao:

I(x) = r interessante.U(x) = x til.

H(x, y) = x mais difcil que y.M{x, y) = x tem mais alunos que y.

(a) Escreva as sentenas seguintes usando a lgica de predicados:

i. Todas as aulas de CC so teis.ii. H algumas aulas teis de CC que no so

interessantes.iii. Toda aula interessante de CC tem mais

alunos do que qualquer aula de CC que no interessante.

(b) Escreva a seguinte sentena de lgica de predicados usando um portugus cotidiano. No traduza somente palavra por palavra; sua sentena deve fazer sentido.

{3x)[I{x) A{Vy){H{x7y) - M(y,x))}

(c) Negue formalmente a sentena da parte (b). Simplifique a sua negao de forma que no restem quantificadores dentro do escopo de uma negao. Diga quais regras de derivao foram usadas.

(d) D a traduo da sua sentena negada usando um portugus cotidiano. 19

19. Sejam dados os predicados a seguir no domnio de todos os carros.

F(x) x rpido.S(x) = x esportivo.E(x) = x caro.

A(x, y) = x mais seguro que y'\

(a) Escreva as sentenas seguintes usando a lgica de predicados.

i. Todos os carros esportivos so rpidos.ii. Existem carros rpidos que no so espor

tivos.iii. Todo carro esportivo caro.

(b) Escreva a seguinte sentena de lgica de predicados usando um portugus cotidiano. No traduza somente palavra por palavra; sua sentena deve fazer sentido.

(V a p M S M ^ P s /X i^ A ^ x - ) ) ](c) Negue formalmente a sentena da parte (b).

Simplifique a sua negao de forma que no restem quantificadores dentro do escopo de uma negao. Diga quais regras de derivao foram usadas.

(d) D a traduo da sua sentena negada usando um portugus cotidiano.

20. (a) D um exemplo de par de predicados P(x) e Q{x)em algum domnio para mostrar que o quantifi- cador 3 no se distribui sobre o conectivo A. Isto , d um exemplo mostrando que as sentenas

(3x)(P(x) A Q{x)) e (3x)P(x) A {3x)Q{x)

no so logicamente equivalentes.(b) E verdade, porm, que 3 distribui sobre V- Isto ,

(3x)(P(x) V Q(x)) (3x)P(x) V (3x)Q(x)

uma regra de equivalncia para a lgica de predicados. Verifique que seu exemplo da parte (a) satisfaz essa equivalncia.

21. (a) D um exemplo que mostre que V no se distribuisobre V-

(b) E um fato que V se distribui sobre A. Confira se o seu exemplo da parte (a) satisfaz essa regra de equivalncia.

1.4 Lgica em MatemticaExistem muito mais coisas que poderamos dizer sobre lgica simblica; ns apenas comeamos a arranhar a superfcie. Mas desenvolvemos ferramentas suficientes para nos ajudar a pensar cuidadosamente sobre os tipos de linguagem usados pelos matemticos. Esta seo d

20 Captulo 1

uma viso geral das partes bsicas do discurso matemtico.

A maior parte dos livros de textos matemticos (incluido este) rotula sentenas importantes com um ttulo, tal como Teorema, Definio ou Demonstrao. O nome de cada sentena descreve o papel que ela exerce no desenvolvimento lgico de um assunto. Assim, importante entender os diferentes significados dos rtulos dessas sentenas.

1.4.1 O Papel das Definies em Matemtica

Em matemtica, quando chamamos uma sentena de definio, queremos dizer algo diferente da noo usual do dia a dia. As definies do dia a dia so descritivas. O objeto que est sendo definido j existe, e a inteno da definio de descrever o objeto. Quando um dicionrio define algum termo, ele est caracterizando o jeito que o termo comumente usado. Por exemplo, se olharmos a definio de mozarela no Dicionrio Aurlio de Lngua Portuguesa, iramos ler o seguinte.

Queijo magro de leite de bfala, ou, quando produzido industrialmente, ger. de leite de vaca, e us. na culinria de origem italiana.

Os autores do Aurlio fizeram o melhor que podiam para descrever o que o termo mozarela significa. Uma boa definio de dicionrio aquela que faz um bom trabalho descrevendo alguma coisa.

Em matemtica, por outro lado, uma definio uma sentena que estipula o significado de um novo termo, smbolo ou objeto. Por exemplo, um livro comum de geometria pode definir retas paralelas da seguinte forma:

Definio 1.4 Duas retas so paralelas se elas no tm pontos em comum.

O papel dessa definio no descrever retas paralelas; mais o de especificar exatamente o que queremos dizer quando usamos a palavra paralela. Uma vez que as retas paralelas foram definidas dessa forma, a sentena / e m so paralelas significa / e m no tm pontos em comum. Podemos ter uma ideia intuitiva de como / e m devem parecer (por exemplo, elas devem apontar para a mesma direo), mas, para quaisquer argumentos futuros, a nica coisa que realmente sabemos a respeito de / e m que elas no tm pontos de interseo.

Em certo sentido, uma definio matemtica cria o objeto que define. Sem uma definio de retas para

lelas, no pode haver discusses matemticas a respeito de retas paralelas. Uma definio de dicionrio, por contraste, no cria nada novo; ns no achamos que os autores do Aurlio so do ramo de fabricao de mozarela, por exemplo.

Por que essa distino importante? Ela implica que todo o significado de uma sentena matemtica depende de definies dos termos envolvidos. Se voc no entende uma sentena matemtica, comece a olhar para as definies de todos os termos. Essas definies estipulam os significados dos termos. A sentena no far sentido sem eles.

Por exemplo, suponha que queiramos declarar e demonstrar alguns fatos a respeito de nmeros pares e mpares. J sabemos o que so nmeros pares e mpares; ns todos chegamos a essa tarefa com uma imagem-conceito de pare mpar aprendidos previamente. Nossa imagem-conceito o que pensamos quando ouvimos o termo: um nmero par termina em um dgito par, um nmero mpar no pode ser dividido em duas partes iguais etc. Quando escrevemos matematicamente, no entanto, importante no confiarmos muito nessas imagens-conceito. Qualquer sentena matemtica sobre nmeros pares e mpares deriva seu significado de definies, as quais especificamos a seguir.

Definio 1.5 Um nmero inteiro n par se n = 2k para algum nmero inteiro k.

Definio 1.6 Um nmero inteiro n mpar se n = 2k + 1 para algum nmero inteiro k.

Dadas essas definies, podemos justificar a sentena 17 mpar ao constatar que 17 = 2-8 + 1. De fato, essa equao o significado preciso da sentena que diz 17 mpar; existe algum nmero inteiro k (nesse caso, k = 8) tal que 17 = 2k + 1. Voc j sabia que 17 mpar, mas, a fim de demonstrar matematicamente que 17 mpar, voc precisa usar a definio.

Definies matemticas devem ser extremamente precisas, o que pode torn-las um tanto limitadas. Frequentemente nossas imagens-conceito contm muito mais informao do que a definio fornece. Por exemplo, provavelmente todos ns concordamos que impossvel um nmero ser par e mpar ao mesmo tempo, mas esse fato no se segue imediatamente das Definies 1.5 e 1.6. Para dizer que um dado nmero n par significa que n = 2kx para algum nmero inteiro ku e dizer que n mpar dizer que n = 2A^ + 1 para algum nmero inteiro k (Note que e Apodem ser diferentes.) Agora, isso possvel? Isso implicaria 2kx = 2k^ + 1, que diz que 1 = 2(kj AQ, mostrando que 1 par, pela Definio 1.5. Neste momento podemos contestar que 1 mpar, logo ele no pode ser par, mas esse raciocnio

Pensamento Lgico 21

circular: tentvamos mostrar que um nmero no pode ser par e mpar ao mesmo tempo. Ainda no mostramos este fato, portanto no podemos usar esse fato em nosso argumento. Acontece que as Definies 1.5 e 1.6 por si ss no so suficientes para mostrar que um nmero no pode ser par e mpar ao mesmo tempo; para fazer isso precisamos de mais fatos sobre nmeros inteiros, como veremos na Seo 1.5.

Uma contestao razovel a essa discusso que nossa definio de nmeros inteiros mpares era muito limitada; por que no definir um nmero inteiro mpar como um nmero inteiro que no par? Isso certamente admissvel, mas depois seria difcil4 mostrar que um nmero inteiro mpar n pode ser escrito como 2k + 1 para algum nmero inteiro k. E no podemos ter duas definies para o mesmo termo. Estipular uma definio geralmente envolve uma escolha da parte do autor, mas, uma vez feita essa escolha, ficamos presos a ela. Ns escolhemos definir nmeros inteiros mpares como na Definio 1.6, ento isso o que queremos dizer por mpar.

Uma vez que as definies so imposies, elas so sentenas logicamente se e somente se. No entanto, comum escrever definies na forma

[Objeto] x [termo definido] se [propriedade definida sobre :r].

Todos os exemplos precedentes tomam essa forma. Em lgica de predicados, se

D(x) = x [termo definido]P(x) = [propriedade definida de x]

ento a definio anterior realmente significa o seguinte.

(Vx)(P(x) D(x))

No entanto, no o que a definio diz sobre valor nominal. Definies se parecem com sentenas se ... ento, mas ns a interpretamos como sentenas se e somente se porque essas so definies. Por exemplo, a Definio 1.4 estipula a propriedade que define as retas paralelas, no apenas uma propriedade que algumas retas paralelas podem ter. Estritamente falando, realmente deveramos usar se e somente se no lugar de se em nossas definies. Mas o uso de se to difundido que a maioria dos matemticos acharia uma definio como

Duas retas so paralelas se e somente se elas no tm pontos em comum.

estranha de ler. Visto que essa sentena uma definio, redundante dizer se e somente se.

4Na verdade, seria impossvel, sem informaes adicionais.

1.4.2 Outros Tipos de Sentenas Matemticas

Definies so uma parte crucial em matemtica, mas existem outros tipos de sentenas que ocorrem frequentemente na escrita matemtica. Qualquer sistema matemtico precisa comear com algumas suposies. Sem sentenas nas quais se apoiar, nunca seramos capazes de provar nenhuma sentena nova. Sentenas que so assumidas sem demonstrao so chamadas de postulados ou axiomas. O exemplo seguinte um axioma padro a respeito dos nmeros naturais.

Se n um nmero natural, ento n + 1.Axiomas so tipicamente sentenas fundamentais bem bsicas a respeito dos objetos que descrevem. Qualquer teorema em matemtica baseado na suposio de algum conjunto de axiomas subjacentes. Por isso, dizer que teoremas so verdadeiros no dizer que os teoremas so verdadeiros em um sentido absoluto, somente que so verdadeiros, dado que algum conjunto especfico de axiomas verdadeiro.

Um teorema uma sentena que se segue logicamente de uma outra sentena previamente estabelecida ou dada. Antes de uma sentena ser chamada de teorema, devemos ser capazes de prov-la. Uma demonstrao um argumento vlido, baseado em axiomas, definies e teoremas provados, que demonstra a verdade de uma sentena. As sequncias de derivao que fizemos na Seo 1.2 eram demonstraes matemticas bem bsicas. Na prxima seo, vamos ver exemplos mais interessantes de demontraes.

Tambm usamos os termos lema, proposio e corolrio para nos referir a tipos especficos de teoremas. Usualmente os autores iro chamar um resultado de lema se eles o usam para provar um outro resultado. Alguns autores no fazem distino entre um teorema e uma proposio, mas essa ltima geralmente se refere a um resultado que talvez no seja to significativo quanto um teorema mais sofisticado. Um corolrio um teorema que se segue imediatamente de um outro resultado via um argumento curto.

Uma ltima palavra sobre terminologia: uma sentena que planejamos demonstrar chamada de afirmao. Uma sentena que ainda no sabemos demonstrar mas que suspeitamos ser verdadeira chamada de conjectura.

1.4.3 ContraexemplosSentenas matemticas frequentemente so da forma

(Vx)P(x). (1.4.1)Vimos na seo anterior que a negao da sentena 1.4.1

{3x)^P(x). (1.4.2)

Biblioteca UniversitriaBU/NILAB ---------------- LU----------

22 Captulo 1

Ento ou a sentena 1.4.1 verdadeira ou a sentena 1.4.2 verdadeira, mas no ambas. Se podemos encontrar um nico valor para x que faa >P(x) verdadeira, ento sabemos que a sentena 1.4.2 verdadeira, e, portanto, tambm sabemos que a sentena 1.4.1 falsa.

Por exemplo, podemos ser tentados a fazer a seguinte sentena.

Todo nmero primo mpar. (1.4.3)

Mas 2 um exemplo de um nmero primo que no mpar, portanto a sentena 1.4.3 falsa. Um valor particular que mostre que a sentena falsa chamado de um contraexemplo da sentena.

Outra forma lgica comum em matemtica a sentena universal se-ento:

(Vx)(P(ir) - Q(x))

Para encontrarmos um contraexemplo de uma sentena dessa mesma forma, precisamos achar algum x que satisfaa a negao

(3x)-.(P(:r) - Q{x)).

Essa ltima sentena equivalente (usando implicao e as leis de De Morgan) a

(3x)(P(x)A^Q (x)).

Ento um contraexemplo algo que satisfaz P e que viola Q.

Exemplo 1.15 Ache um contraexemplo para a sentena a seguir.

Para todas as sequncias de nmeros a^ , a 03, ..., se

Pensamento Lgico 23

mentos modernos de geometria plana usam axiomas baseados no sistema dos nmeros reais. Os axiomas no Exemplo 1.16 usam construes da lgica de predicados. De qualquer maneira, esses sistemas pr-requisitos tambm podem ser definidos axiomaticamente, logo, os sistemas que os usam so ainda fundamentalmente axiomticos.

Definies podem ajudar a fazer um sistema axiomtico de uso mais amigvel. Na geometria quatro pontos do Exemplo 1.16, poderamos fazer as seguintes definies. Nessas (e outras) definies, a palavra que est sendo definida est em itlico.

Definio 1.7 Uma reta l passa por um ponto x se x est em /.

A Definio 1.7 nos d uma alternativa conveniente para usar o termo indefinido est em. Por exemplo, no primeiro axioma, um pouco estranho dizer ux est em l e y est em V\ mas a Definio 1.7 nos permite reformular a frase para / passa por x e y. A definio no adiciona nenhuma caracterstica nova ao sistema; ela apenas nos ajuda a descrever as coisas mais facilmente. Isso basicamente o que qualquer definio matemtica faz. A definio seguinte uma leve reafirmao da Definio 1.4, modificada para caber na terminologia desse sistema.

Definio 1.8 Duas retas, l e m, so paralelas se no existe um ponto x tal que x est em l e x est em m.

Agora poderamos reformular a frase do segundo axioma do Exemplo 1.16 da seguinte forma.

2. Dados uma reta l e um ponto x que no est em I, existe uma nica reta m passando por x tal que m paralela a l.

Um teorema simples e a prova podem parecer assim.

F ig u ra 1.3 Um modelo para o sistema axiomtico do Exemplo 1.16 usando bolinhas e curvas.

Teorem a 1.1 No sistema axiomtico do Exemplo 1.16, existem pelo menos duas retas distintas.

Demonstrao Pelo Axioma 3, existem pontos distintos x, ye z. Pelo Axioma 1 existem uma reta ^passando por x e y e uma reta 4 passando por y e z. Pelo Axioma 4, x, y e z no esto na mesma reta, portanto lv e 4 devem ser retas distintas.

Um modelo de um sistema axiomtico uma interpretao em algum contexto no qual todos os termos indefinidos tm significados e todos os axiomas so sustentados. Modelos so importantes porque mostram que possvel que todos os axiomas sejam verdadeiros, pelo menos em algum contexto. E qualquer teorema que segue dos axiomas tambm deve ser verdadeiro para qualquer modelo vlido.

Vamos fazer um modelo para o sistema no Exemplo 1.16. Seja um ponto uma bolinha preta, e seja uma reta uma curva fechada simples. Um ponto est em uma reta se a bolinha preta est dentro da curva. A Figura 1.3 mostra esse modelo. Verifique que todos os axiomas so sustentados.

Esse modelo no combina realmente com a nossa imagem-conceito de pontos e retas em geometria simples, mas ainda um modelo vlido. Em um sistema axiomtico, as propriedades dos objetos so determinadas pelos axiomas e descritas pelos teoremas e pelas definies. Podemos achar que sabemos como pontos e retas deveriam se parecer, mas falando matematicamente sabemos apenas tudo aquilo que podemos demonstrar sobre eles. Nos exerccios voc ir constru