APOSTILA GEODESIA E TOPOGRAFIA - UFSM 2011

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UFSM | Notas de Aula – Geodésia e Topografia – Prof. Jaime Freiberger; Prof. Carlito V de Moraes; Prof. Eno D Saatkamp – março/2011.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE CIÊNCIAS RURAIS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL

SETOR DE GEODÉSIA E TOPOGRAFIA

GEODÉSIA E TOPOGRAFIA

EGR1008 – Topografia e Elementos de Geodésia

EGR1026 – Topografia e Noções de Geodésia

Fundamentos de Geodésia e Topografia

SANTA MARIA-RS, 2011.

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SUMÁRIO

1. FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA .................................................................................................................................... 5

1.1 Aspectos históricos da Geodésia: definição, objetivos e importância............................................................................ 5

1.2 Superfícies de referência em Geodésia ........................................................................................................................ 6

1.2.1 Modelo esférico ..................................................................................................................................................... 7

1.2.2 Modelo elipsoidal .................................................................................................................................................. 7

1.2.3 Modelo geoidal ...................................................................................................................................................... 7

1.2.4 Modelo plano ......................................................................................................................................................... 7

1.3 Altitudes, desvio da vertical e ondulação geoidal .......................................................................................................... 8

1.4 Sistemas de referência em Geodésia ............................................................................................................................ 9

1.5 Geometria do elipsóide de revolução. ........................................................................................................................... 9

1.5.1 Elipse geradora ..................................................................................................................................................... 9

1.5.2 Elipsóide GRS80 ................................................................................................................................................. 12

1.5.3 Latitude geocêntrica e latitude reduzida .............................................................................................................. 12

1.5.4 Raios de curvatura e seções normais ................................................................................................................. 12

1.5.4.1 Raio de curvatura da seção meridiana .................................................................................................. 13

1.5.4.2 Raio de curvatura da seção transversal meridiana ............................................................................... 13

1.5.4.3 Raio de curvatura de seção α................................................................................................................ 14

1.5.4.4 Outros raios de curvatura ...................................................................................................................... 15

1.5.4.5 Seções normais recíprocas ................................................................................................................... 15

1.6 Sistemas de Coordenadas .......................................................................................................................................... 16

1.6.1 Sistema de coordenadas cartesianas ................................................................................................................. 16

1.6.2 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso esférico ......................................................................................... 18

1.6.3 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso elipsoidal ....................................................................................... 19

1.6.4 Transformação de coordenadas geodésicas ...................................................................................................... 21

1.6.5 Transporte de coordenadas no elipsóide. ........................................................................................................... 23

1.6.5.1 Problema Geodésico Direto (PGD) ....................................................................................................... 23

1.6.5.2 Problema Geodésia Inverso (PGI)......................................................................................................... 26

2. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TOPOGRAFIA ........................................................................................................... 29

2.1 Definição de Topografia ............................................................................................................................................... 29

2.2 Medição de alinhamentos ............................................................................................................................................ 30

2.3 Medição de distâncias ................................................................................................................................................. 33

2.3.1 Processos Diretos ............................................................................................................................................... 33

2.3.2 Processos Indiretos ............................................................................................................................................. 36

2.3.2.1 Estadimetria ........................................................................................................................................... 36

2.3.2.2 Medição eletrônica de distâncias (MED) ............................................................................................... 39

3. GONIOLOGIA................................................................................................................................................................. 40

3.1 Medição de ângulos horizontais e verticais ................................................................................................................. 40

3.2 Instrumentação ............................................................................................................................................................ 42

3.3 Conceitos de azimute, contra-azimute e rumo ............................................................................................................ 42

3.4 Operações com rumo e azimute .................................................................................................................................. 46

3.4.1 Cálculo do azimute como função das coordenadas cartesianas dos vértices do alinhamento ........................... 46

3.4.1.1 Cálculo do azimute como função do rumo ............................................................................................ 46

3.4.1.2 Cálculo do azimute pela fórmula de Grafarend ..................................................................................... 48

3.4.2 Transporte de azimute no plano .......................................................................................................................... 49

3.5 Medição de direções horizontais e verticais ................................................................................................................ 52

3.5.1 Medição de direções horizontais: cálculo de ângulos horizontais horários ......................................................... 52

3.5.2 Medição de ângulos verticais .............................................................................................................................. 53

4. PLANIMETRIA ................................................................................................................................................................ 56

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4.1 Métodos de levantamento topográfico planimétrico .................................................................................................... 56

4.1.1 Método das coordenadas polares ....................................................................................................................... 56

4.1.2 Método das coordenadas bipolares .................................................................................................................... 57

4.1.3 Método da poligonação ....................................................................................................................................... 59

4.1.3.1 Linhas poligonais abertas ...................................................................................................................... 59

4.1.3.2 Linhas poligonais fechadas ................................................................................................................... 61

4.2 Medida de superfície no plano topográfico .................................................................................................................. 63

4.2.1 Área de triângulos ............................................................................................................................................... 63

4.2.2 Área de polígonos por coordenadas polares ...................................................................................................... 64

4.2.3 Processo das coordenadas (fórmula dos trapézios segundo Gauss) ................................................................. 67

4.3 Cálculo de cadernetas topográficas ............................................................................................................................ 69

4.3.1 Cálculo em linha poligonal aberta ....................................................................................................................... 70

4.3.2 Cálculo em linha poligonal fechada (polígono) ................................................................................................... 70

4.3.3 Desenho técnico topográfico ............................................................................................................................... 70

5. ALTIMETRIA .................................................................................................................................................................. 74

5.1 Levantamento Topográfico Altimétrico ........................................................................................................................ 75

5.2 Métodos de nivelamento .............................................................................................................................................. 75

5.2.1 Nivelamento Geométrico ..................................................................................................................................... 76

5.2.1.1 Nivelamento geométrico simples ........................................................................................................... 76

5.2.1.2 Nivelamento geométrico composto ....................................................................................................... 78

5.2.1.3 Nivelamento de vértices de poligonais .................................................................................................. 79

5.2.2 Nivelamento Trigonométrico ............................................................................................................................... 81

5.2.2.1 Influência da curvatura terrestre ............................................................................................................ 84

5.2.2.2 Influência da refração atmosférica ......................................................................................................... 85

5.2.2.3 Influência da curvatura terrestre e da refração atmosférica .................................................................. 85

5.3 Noções de Topologia ................................................................................................................................................... 87

5.3.1 Traçado de curvas de nível: método numérico ................................................................................................... 88

5.4 Terraplenagem ............................................................................................................................................................ 90

6. DIVISÃO DE ÁREAS E LOCAÇÃO ................................................................................................................................ 90

7. INTRODUÇÃO AO NAVSTAR-GPS............................................................................................................................... 92

7.1 Posicionamento ........................................................................................................................................................... 92

7.1.1 Contextualização e conceito ............................................................................................................................... 92

7.1.2 Referencial e sistemas de coordenadas ............................................................................................................. 92

7.1.3 Introdução ao sistema de projeção cartográfica UTM ......................................................................................... 95

7.1.4 Sistemas de referência do Sistema Geodésico Brasileiro e do GPS .................................................................. 97

7.2 Sistema de Posicionamento Global por Satélites ........................................................................................................ 97

7.2.1 Introdução ........................................................................................................................................................... 97

7.2.2 Principio básico do posicionamento por GPS ..................................................................................................... 98

7.2.3 Fontes de erro no posicionamento por GPS ..................................................................................................... 100

7.2.4 Características técnicas principais do NAVSTAR-GPS .................................................................................... 101

7.2.5 Tipos de receptores GPS, métodos e técnicas de posicionamento .................................................................. 103

7.2.6 Outros sistemas de posicionamento por satélites ............................................................................................. 105

Cadernetas de Campo ....................................................................................................................................................... 107

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Sumário das práticas de campo

Prática de campo 1: medição de distâncias com trena e baliza ............................................................................... 35

Prática de campo 2: medição de distâncias por taqueometria ................................................................................. 38

Prática de campo 3: determinação de azimutes ....................................................................................................... 44

Prática de campo 4: determinação de ângulos horizontais horários......................................................................... 54

Prática de campo 5: determinação de ângulos zenitais ............................................................................................ 55

Prática de campo 6: determinação de distâncias por interseção à vante ................................................................. 57

Prática de campo 7: levantamento planialtimétrico por coordenadas polares com teodolito e trena ........................ 58

Prática de campo 8: levantamento planialtimétrico por coordenadas polares com teodolito e mira ......................... 58

Prática de campo 9: levantamento planialtimétrico por coordenadas polares com estação total ............................. 58

Prática de campo 10: elaboração de croqui.............................................................................................................. 58

Prática de campo 11: levantamento planialtimétrico por poligonação ...................................................................... 62

Prática de campo 12: nivelamento geométrico simples ............................................................................................ 77

Prática de campo 13: nivelamento geométrico composto ........................................................................................ 81

Prática de campo 14: divisão de área e locação ...................................................................................................... 91

Prática de campo 15: posicionamento GPS – método absoluto ............................................................................. 106

Prática de campo 16: posicionamento GPS – método relativo estático .................................................................. 106

Prática de campo 17: transporte de coordenadas no elipsóide .............................................................................. 106

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1. FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA

1.1 Aspectos históricos da Geodésia: definição, objetivos e importância

Consta que o termo “geodésia” do grego 1, foi usado pela primeira vez por Aristóteles (384-322

a.C.). Geodésia pode significar tanto divisões (geográficas) da Terra como também o ato de dividir a terra, por

exemplo, entre proprietários. A Geodésia é uma Engenharia que trata do levantamento e da representação da

forma e da superfície da terra (definição clássica de Helmert) global e parcial, com as suas feições naturais e

artificiais bem como a determinação do campo gravitacional da Terra.

Dentre os fatos da antiguidade que se tem notícia, e que marcaram o desenvolvimento dos estudos

geodésicos, está a comprovação da esfericidade da Terra por Eratóstenes (276-194 a.C.), matemático,

bibliotecário e astrônomo grego. Ele comprovou pela trigonometria a esfericidade da Terra e mediu com relativa

precisão o perímetro de sua circunferência.

Na era moderna, juntamente com o Renascimento e a ascensão do Humanismo, houve grande estímulo

à pesquisa científica e intelectual. A passagem do feudalismo da Idade Média para a Idade Moderna com a

ascensão dos estados-nação europeus foi marcada pelos “descobrimentos” ou Grandes Navegações. Esta é a

designação dada ao período da história que decorreu entre o século XV e o início do século XVII durante o qual

os europeus exploraram intensivamente o globo terrestre em busca de novas rotas de comércio. Os

historiadores geralmente referem-se à era dos descobrimentos como as explorações marítimas pioneiras

realizadas neste período por portugueses e espanhóis, que estabeleceram relações com África, Américas e

Ásia, em busca de uma rota alternativa para as “Índias”, movida pelo comércio de ouro, prata e especiarias.

A passagem entre os séculos XVII e XVIII foi marcada pelo Iluminismo, movimento cultural que se

desenvolveu na Inglaterra, Holanda e França. Nessa época, o desenvolvimento intelectual, que vinha

ocorrendo desde o Renascimento, deu origem a ideias de liberdade política e econômica, por profundas

mudanças na forma de pensar, pelas descobertas científicas e tecnológicas e pela Revolução Industrial. Além

das idéias iluministas que se espalhavam pelo mundo (inclusive no Brasil, com a Inconfidência Mineira), a

Europa e América do Norte também assistiam a novas descobertas e inventos. O avanço científico dessa

época mostrou ao homem informações reais quanto à descrição da órbita dos planetas e do relevo da Lua, a

descoberta da existência da pressão atmosférica e da circulação sangüínea e o conhecimento do

comportamento dos espermatozóides, por exemplo. O século XVIII é também chamado Século das Luzes.

A Astronomia foi um dos campos que deu margem às maiores revelações. Seguindo a trilha de

estudiosos da Renascença, como Nicolau Copérnico, Johann Kepler e Galileu Galilei, o inglês Isaac Newton

(1642-1727) elaborou um novo modelo para explicar o universo. Auxiliado pelo desenvolvimento da

Matemática, que teve em Blaise Pascal (1623-1662) um de seus maiores representantes, ele ultrapassou a

simples descrição do céu, chegando a justificar a posição e a órbita de muitos corpos siderais. Além disso,

anunciou ao mundo a lei da gravitação universal, que explicava desde o movimento de planetas até a simples

queda de uma fruta. Newton foi ainda responsável por avanços na área do cálculo e pela decomposição da luz,

mostrando que a luz branca, na verdade, é composta por sete cores, as mesmas do arco-íris.

Tanto para o estudo dos corpos celestes como para a observação das minúsculas partes do mundo, foi

necessário ampliar o campo de visão do homem. Os holandeses encarregaram-se dessa parte, descobrindo

que a justaposição de várias lentes multiplicava a capacidade da visão humana. Tal invento possibilitou a

1Termo Geodésia em grego: = terra + = eu divido.

6


Robert Hooke (1635-1703) construir o primeiro microscópio, que ampliava até 40 vezes pequenos objetos

(folhas, ferrões de abelha, patas de insetos). Este cientista escreveu um livro sobre suas observações e criou o

termo célula, hoje comum em Biologia. A Biologia progrediu também no estudo do homem com a identificação

dos vasos capilares e do trajeto da circulação sanguínea. Descobriu-se também o princípio das vacinas - a

introdução do agente causador da moléstia no organismo para que este produza suas próprias defesas.

Na Química, destaca-se Antoine Lavoisier (1743-1794), famoso pela precisão com que realizava suas

experiências. Essa característica auxiliou-o a provar que, “embora a matéria possa mudar de estado numa

série de reações químicas, sua quantidade não se altera, conservando-se a mesma tanto no fim como no

começo de cada operação”. Atribuiu-se a ele a frase "na natureza nada se perde, nada se cria, tudo se

transforma".

Muitos outros inventores e estudiosos permitiram, por exemplo, a descoberta da eletricidade, a invenção

da primeira máquina de calcular, a formulação de uma teoria, ainda hoje aceita, para explicar a febre, a

descoberta dos protozoários e das bactérias. Surgiu a Geologia, a partir da qual se desenvolveu uma teoria que

explicava a formação da Terra, refutando a versão bíblica da criação do mundo em sete dias.

Neste período, a questão que envolvia a real forma da Terra ainda não estava resolvida. É nesse

contexto de descobertas e invenções que se travou um dos grandes debates da época e que estava

relacionado à forma da Terra ou, mais especificamente, relacionado ao seu achatamento. Essa questão,

amplamente discutida no início do século XVIII, na Europa continental e na Inglaterra, contrapôs newtonianos e

cartesianos. Eles buscaram, por diferentes caminhos, provas para solucionar essa polêmica.

Supunha-se que a Terra era redonda e achatada. No entanto, não se sabia em torno de qual direção se

dava este achatamento: se no sentido dos pólos ou do equador. Essa discordância estava diretamente ligada

às diferentes concepções científicas que colocavam em jogo disputas filosóficas e políticas. No século XVIII,

dois países disputavam a hegemonia mundial em todas as áreas: Inglaterra e França. Os franceses, de modo

geral, seguiam a linha cartesiana e resolveram formar duas expedições para comprovar a hipótese de

achatamento no sentido do equador. Uma expedição foi para a Lapônia e outra para Quito, no Equador.

Nessas localidades, por meio do método da triangulação e pelo quadrante, eles mediram o raio da Terra.

Essa movimentação científica (preparar expedições, estabelecer unidades de medida, comprovar

hipóteses, etc.) não pretendia apenas confirmar a forma da Terra, mas, sobretudo ressaltar a importância

cultural e científica de uma determinada linha de pensamento.

No século XIX aparece a figura do geodesista alemão Friedrich Robert Helmert, na época presidente do

escritório central do Instituto Internacional de Medições da Terra em Potsdam. É considerado o pai da

Geodésia moderna por criar e reunir fundamentos matemáticos e físicos das teorias modernas da Geodésia

para a sua definição clássica: a ciência que estuda a forma, a dimensão e o campo gravitacional terrestre.

Helmert divide a Geodésia em Geodésia Superior, composta pela Geodésia Física e Astronômica e pela

Geodésia Matemática, e Geodésia Inferior, também chamada Topografia ou Geodésia Prática.

1.2 Superfícies de referência em Geodésia

Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para sua representação que devem

ser simples, regulares e geométricos, e que mais se aproximem da forma real do globo. Em uma primeira

aproximação, as irregularidades da superfície terrestre podem ser negligenciadas, reduzindo o problema à

determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado. Devido a essas irregularidades, adotam-

se modelos ou superfícies de referência mais simples, regulares e com características geométricas conhecidas

que permitam a realização de reduções e sirvam de base para cálculos e representações. As superfícies

utilizadas em levantamentos são o plano topográfico, a esfera, o elipsóide de revolução e o geóide.

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1.2.1 Modelo esférico

Em determinadas aplicações, por exemplo, na Astronomia, a Terra pode ser considerada uma esfera.

Um ponto localizado na superfície desta esfera pode ser localizado por meio das coordenadas latitude e

longitude astronômicas.

1.2.2 Modelo elipsoidal

A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução ou biaxial, figura geométrica regular proposta

por Newton como a que mais se aproxima da figura da Terra. Esta figura é gerada pela rotação de uma semi-

elipse em torno de um de seus eixos, então chamado eixo de revolução. Se o eixo de revolução for o eixo

menor, tem-se um elipsóide achatado. Ao contrário, será um elipsóide alongado. Um elipsóide de revolução é

definido por dois parâmetros de sua geometria: os semi-eixos maior e menor, denominados a e b,

respectivamente. Também pode ser definido por seu semi-eixo menor a e por seu achatamento f, que é a

relação matemática entre os dois semi-eixos. Esta definição é a usada tradicionalmente na Geodésia.

1.2.3 Modelo geoidal

É definido pelo nível médio dos mares (NMM) em repouso, prolongado através dos continentes. É o

modelo “natural” da Terra, ou seja, da forma como ela se apresenta, e por isso é modelo que mais se aproxima

da forma da Terra. Trata-se de uma superfície irregular e de complexo tratamento matemático. O geóide é

definido como uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível que melhor se ajusta

ao NMM, que por sua vez é estabelecido por uma origem altimétrica (datum).

1.2.4 Modelo plano

Adotado na Topografia, onde não se considera a influência dos erros sistemáticos devidos à curvatura da

Terra e ao desvio da vertical. Assume-se que a porção de Terra em estudo seja plana. Trata-se de uma

simplificação, considerada válida dentro de certos limites a fim de facilitar os cálculos topográficos. A este

plano, denominado plano topográfico local ou superfície de projeção, são lançados os pontos medidos na

superfície do terreno. As caracterísiticas deste plano são:

a) é horizontal, ou seja, é perpendicular à direção vertical naquele local;

b) possui os eixos cartesianos:

- das abscissas (coordenadas x), orientado positivamente no sentido leste;

- das ordenadas (coordenadas y), orientado positivamente no sentido norte;

- eixo z, quando se determinam informações altimétricas2, pode ser utilizado este terceiro eixo,

ortogonal ao plano topográfico e com sentido oposto ao do vetor gravidade (ou direção vertical)

naquele local. Idealmente, este eixo é materializado pelo eixo principal do instrumento, quando de sua

instalação sobre o ponto.

c) dimensão máxima limitada a 80 km a partir da origem (NBR13133, p. 5);

2 Mais detalhes serão vistos na seção de Altimetria.

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Geralmente, este sistema cartesiano tem origem no ponto origem do levantamento topográfico e o

mesmo é utilizado como referencial local para determinação das coordenadas dos pontos levantados. As

projetantes de cada ponto são ortogonais ao plano topográfico.

1.3 Altitudes, desvio da vertical e ondulação geoidal

Conforme visto, o geóide é uma superfície equipotencial da gravidade terrestre que mais se aproxima do

NMM. O geóide serve para a definição da coordenada altitude ortométrica, representada por H, por isso diz-se

que o geóide é uma superfície de referência das altitudes. A altitude ortométrica (H) de um ponto P qualquer

na superfície física é a distância contada ao longo da linha vertical do ponto P ao geóide. A vertical do lugar,

direção tangente à linha vertical é a linha de força do campo da gravidade que passa neste ponto. Ela

representa a direção do vetor gravidade g e é materializada pelo fio de prumo ou pelo eixo vertical de um

teodolito nivelado corretamente. A altitude geométrica ou elipsoidal do ponto P, representada por h, é a

distância contada ao longo da normal ao elipsóide que passa pelo ponto P.

Figura 1 – Altitudes, desvio da vertical e ondulação geoidal

Foi visto que a superfície de referência em Geodésia é o elipsóide de revolução. Trata-se de uma

superfície geométrica que se aproxima da forma da Terra, contudo, geralmente não é paralela nem coincide

com o geóide. Dessa forma, ocorre um desvio entre a normal ao elipsóide, ao longo do qual é medida a altitude

geométrica (h) e a vertical, ao longo da qual é medida a altitude ortométrica (H). Esta diferença é denominada

desvio da vertical, representado por θ. A distância de separação entre o elipsóide e o geóide é denominada

ondulação geoidal ou ondulação do geóide, representada por ∆N. Ela indica a variação do geóide em

relação ao elipsóide e normalmente oscila de 30 metros, podendo chegar a 100 metros (TORGE, 2001, p.

77). A altitude geométrica pode ser convertida em altitude ortométrica por meio da relação

NhH

Eq. 1

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A ondulação geoidal pode ser obtida por diferentes processos, tais como: método astrogeodésico

(nivelamento astronômico), altimetria celeste, coeficientes do geopotencial (harmônicos esféricos) e rastreio de

satélites artificiais (perturbações orbitais). No Brasil, a ondulação geoidal é disponibilizada pelo IBGE (programa

MapGeo). Outra forma de se obter a ondulação geoidal aproximada de uma região é por meio do rastreio de

uma RN de altitude ortométrica conhecida (capítulo 5).

1.4 Sistemas de referência em Geodésia

Posicionamento consiste na determinação da posição de objetos no espaço em relação a um

referencial específico convencionado. Assim, georreferenciar significa associar pontos da superfície física

terrestre a um referencial especifico denominado sistema geodésico de referência (SGR). Basicamente, o

estabelecimento de um SGR consiste de duas fases:

a) Sua concepção ou definição teórica. São estabelecidos: a origem do sistema, o fator de escala, a

orientação dos eixos e o sólido geométrico de referência entre outros parâmetros. Esta concepção é

chamada system (ingl. sistema).

b) Sua realização. É a materialização de uma rede de estações com coordenadas determinadas no

próprio sistema de referência que formará o arcabouço de referência para o posicionamento de mais

pontos neste referencial. A realização do sistema é chamada frame (ingl. arcabouço).

Um sistema de referência é formado por um conjunto de regras que especifica os infinitos pontos no

espaço por meio de um conjunto de números reais denominados coordenadas. Um dos principais objetivos da

Geodésia e Topografia é a determinação da posição relativa destes pontos. Fundamental é que seja expressa

em um sistema de coordenadas, pois os sistemas de coordenadas regulamentam a localização de pontos em

superfícies, como por exemplo, uma esfera, um elipsóide ou um plano. É com base em determinados sistemas

de coordenadas que é descrita geometricamente a superfície terrestre.

Ao se posicionar um ponto, são atribuídas coordenadas que indispensavelmente deverão estar

referenciadas a um sistema de coordenadas. Existem diversos sistemas, alguns empregados em disciplinas

como a Geometria e a Trigonometria, que normalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou

tridimensional.

1.5 Geometria do elipsóide de revolução.

O elipsóide de revolução foi proposto por Isaac Newton (1643-1727) como figura geométrica fundamental

para a representação da Terra. O elipsóide de revolução3 é o sólido gerado pela rotação de uma elipse (elipse

geradora) em torno de um de seus eixos.

1.5.1 Elipse geradora

A elipse é definida por dois parâmetros: o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b.

3 Revolução: em geometria, revolução significa a rotação de um corpo em volta de um eixo real ou imaginário.

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Figura 2 – Elipse

Outros parâmetros fundamentais são derivados a partir da relação matemática entre dois elementos.

Normalmente, empregam-se os parâmetros a e f para se definir um elipsóide. Denomina-se achatamento

polar f à razão da diferença entre o semi-eixo maior e o semi-eixo menor pelo semi-eixo maior:

a

b-af .

Eq. 2

O valor do achatamento, situado no intervalo 0 ≤ f ≤ 1 indica o quanto o elipsóide se aproxima ou se afasta da

forma esférica.

Excentricidade linear E é o segmento que liga o centro ao foco da elipse:

22222 baEEba .

Eq. 3

Figura 3 – Excentricidade linear E

A partir da excentricidade angular α, definem-se as duas excentricidades numéricas:

f1a

bcosα

Eq. 4

ea

Esena (primeira excentricidade numérica)

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Eq. 5

e'b

Etana (segunda excentricidade numérica)

Eq. 6

Relaciona-se a primeira excentricidade numérica Eq. 5 com os semi-eixos a partir da substituição do termo da

excentricidade linear E na primeira parte da Eq. 3:

2

2222222

a

baeaeba

Eq. 7

Da mesma forma, relaciona-se a segunda excentricidade numérica Eq. 5 com os semi-eixos a partir da

substituição do termo da excentricidade linear E na Eq. 3:

2

2222222

b

bae'be'ba

Eq. 8

Após manipulações algébricas, deduzem-se as relações matemáticas entre as excentricidades numéricas:

2

22

e'1

e'e

Eq. 9

2

22

e-1

ee'

Eq. 10

A partir das equações anteriores, obtêm-se as seguintes relações:

f1

be'1ba 2

Eq. 11

f)a(1e1ab 2

Eq. 12

2

2

e'1

11e11f

Eq. 13 22 f2fe

Eq. 14

2

22

f)-(1

ee' .

Eq. 15

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1.5.2 Elipsóide GRS80

Existem vários tipos de elipsóides utilizados em diferentes países e continentes. Podem ser elipsóides

com orientação local – que melhor se adapte à porção de superfície da Terra que se deseja representar – ou

com orientação global, de origem geocêntrica (centro do globo), que é um modelo generalizado para toda a

Terra. Atualmente, o Sistema Geodésico Brasileiro adota como modelo geométrico o elipsóide GRS80 (ingl.

Geodetic Reference System – 1980), atualmente recomendado pelo IAG, cujos parâmetros são:

Quadro 1 – Parâmetros do elipsóide GRS80

Semi-eixo maior a = 6378137 m

Semi-eixo menor b = 6356752,3141 m

Excentricidade linear E = 521854,0097 m

1ª excentricidade e2 = 0,00669438002290

2ª excentricidade e’2 = 0,00673949677548

Achatamento f = 0,00335281068118

Inverso do achatamento 1/f�= 298,257222101

1.5.3 Latitude geocêntrica e latitude reduzida

Em questões teóricas de Geodésia, são uteis os conceitos de latitude geocêntrica e latitude reduzida.

A latitude geocêntrica ψ de um ponto P à superfície do elipsóide é o ângulo formado entre o raio vetor,

constituído a partir deste ponto ao centro do sólido, e a projeção deste vetor no plano do equador. A latitude

reduzida (ou paramétrica) β de um ponto P corresponde ao ângulo formado entre o raio vetor, constituído a

partir de um ponto em um círculo circunscrito ao elipsóide – o qual corresponde à projeção no círculo do ponto

P sobre o elipsóide – ao centro geométrico deste círculo e a projeção daquele vetor no plano do equador.

Figura 4 – Latitudes geocêntrica e reduzida

A relação entre as latitudes geodésica (φ), geocêntrica (ψ) e reduzida (β) é dada por:

tantantan 211 -f)(β-f)(ψ .

Eq. 16

1.5.4 Raios de curvatura e seções normais

13


Seções normais no elipsóide de revolução são as seções determinadas pela intersecção de qualquer

plano que contém a normal e a superfície do elipsóide. O raio de curvatura de uma seção normal ao elipsóide

depende do azimute dessa seção normal. Em cada ponto da superfície existem sempre duas seções normais

mutuamente perpendiculares entre si, cujas curvaturas assumem o valor máximo e mínimo. As seções normais

que verificam o valor máximo e mínimo de curvatura dizem-se seções normais principais, que são:

- seção meridiana (símbolo: M), gerada pelo plano normal de um ponto que passa pelos dois pólos; e

- seção transversal meridiana 4 (símbolo: N), gerada pelo plano normal de um ponto, perpendicular ao

plano do meridiano, também designada por grande normal.

1.5.4.1 Raio de curvatura da seção meridiana

Para uma curva qualquer sobre o plano, F(x)z , o raio de curvatura em um dado ponto desta curva é

dado por: 23

2

2

2

1

/

dx

zd

dx

dz

ρ

.

Eq. 17

Da aplicação desta fórmula ao arco de meridiano chega-se à expressão do raio de curvatura da seção

meridiana:

Figura 5 – Raio de curvatura da seção meridiana

4 Seção transversal meridiana: na literatura encontra-se também a denominação seção de curvatura do primeiro vertical.

322

2

1

1

)e(

)ea(M

sin

.

Eq. 18

1.5.4.2 Raio de curvatura da seção transversal meridiana

A relação entre o raio de curvatura da seção transversal meridiana e o raio do paralelo é mostrada na seguinte.

O raio de curvatura de paralelo (símbolo: p) que contém um dado ponto na superfície do elipsóide é expresso

pelo Teorema de Meusnier (Eq. 21), onde φ é a latitude do ponto. Substituindo na expressão do raio do

paralelo, igual a x, vem a equação do raio de curvatura da seção transversal meridiana:

221 sine

aN

.

Eq. 19

A pequena normal (símbolo: N’) é dada por:

14


)eN(N' 21 .

Eq. 20

Figura 6 – Raio de curvatura da seção transversal meridiana

cossin N)º(Np 90

Eq. 21

1.5.4.3 Raio de curvatura de seção α

O Teorema de Euler dá-nos a curvatura de qualquer secção normal em função das curvaturas das

secções principais:

2

2

1

2 sincos1

ρ

θ

ρ

θ

ρ ,

Eq. 22

onde ρ é o raio de curvatura arbitrário, ρ1 e ρ2 os raios de curvatura principais máximo e mínimo,

respectivamente, e θ é o ângulo medido a partir da seção principal de maior raio de curvatura. Como N é

normalmente maior que M, α = 90º – θ e

M

α

N

α

Rα

221 cossin .

Eq. 23

O raio de curvatura para uma seção orientada pelo azimute geodésico α assume a forma:

22 cossin NM

MNRα

.

Eq. 24

15


1.5.4.4 Outros raios de curvatura

O raio médio de curvatura, também conhecido como raio de curvatura médio Gaussiano, é definido pelo

valor médio integral de R ao longo da variação de azimute de 0º a 360º:

ππ

α dααMαN

MN

πdαR

πR

2

0

22

2

0

0sincos2

1

2

1

Eq. 25

MNR 0 (média geométrica dos raios principais).

Eq. 26

1.5.4.5 Seções normais recíprocas

As normais relativas a dois pontos sobre a superfície de uma espera convergem para o centro do sólido,

logo, são coplanares. O mesmo não acontece no caso do elipsóide de revolução salvo no caso particular de

ambos pertencerem ao mesmo paralelo ou ao mesmo meridiano. Ou seja, duas normais ao elipsóide somente

definem um plano no caso de pertencerem a pontos situados em mesma latitude ou em mesma longitude.

Na Figura 7, a normal ao elipsóide no ponto A e o ponto A1 determinam um plano interceptador da

superfície elipsoidal conforme uma seção normal (trajeto AaA1) que não contém a normal de A1. Analogamente,

a normal de A1 e o ponto A definem um plano do qual resulta outra seção normal (trajeto A1a1A) distinta da

primeira.

O trajeto A1aA1 é a seção normal que contém a normal de A, sendo então chamada direta em relação a

A e recíproca em relação a A1. O trajeto A1a1A é a seção normal que contém a normal de A1, sendo chamada

direta em relação a A1 e recíproca em relação a A.

Figura 7 – seções normais recíprocas

Considerando agora três pontos quaisquer na superfície do elipsóide de maneira que formem um

triângulo elipsóidico. Se fosse possível, de cada um dos vértices P, Q e R visar os outros pontos com um

teodolito, o triângulo PQR, devido à duplicidade das seções normais, não ficaria determinado de maneira única.

16


Figura 8 – Definição de linha geodésica

O menor caminho entre dois pontos na superfície do elipsóide não é representado nem pela seção

normal direta nem pela recíproca, mas sim por uma curva reversa5 situada entre as duas seções normais,

denominada geodésica. Ela pode ser definida como uma linha ou curva que liga dois pontos sobre uma

determinada superfície, pela menor distância, de forma que a normal em cada ponto coincide com a normal à

superfície. Exemplos:

a) No plano: a geodésica é uma linha (segmento de reta);

b) Na esfera: a geodésica é um arco de círculo máximo;

c) No elipsóide: a geodésica é uma curva reversa situada entre as seções normais direta e recíproca.

1.6 Sistemas de Coordenadas

Basicamente, são utilizados dois tipos de sistemas de coordenadas para a definição unívoca da posição

de pontos: o sistema de coordenadas cartesianas (ou retangulares) e o sistema de coordenadas curvilíneas

(elipsoidais ou esféricas), cuja base é a geometria de um elipsóide ou esfera.

1.6.1 Sistema de coordenadas cartesianas

No caso bidimensional, utiliza-se normalmente o sistema de coordenadas cartesianas (ou retangulares).

Trata-se de um sistema de eixos ortogonais no plano denominados eixos coordenados. Este sistema é

constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si e com origem no cruzamento delas.

5 Curva reversa: é a curva que não está circunscrita em um plano.

17


Figura 9 – Eixos cartesianos (caso bidimensional)

Um ponto P qualquer é definido neste sistema por meio de duas coordenadas: uma, denominada abscissa

(coordenada do eixo x) e outra denominada ordenada (coordenada do eixo y). A representação matemática

deste ponto P com abscissa x e ordenada y é P(x, y) ou P=(x,y).

No caso tridimensional, ao sistema de eixos coordenados é adicionado um terceiro eixo coordenado Z.

São mutuamente perpendiculares e se interceptam em um único ponto, que define a origem. A representação

de um ponto neste sistema de coordenadas é dada por P(x,y,z) ou P=(x,y,z).

Figura 10 – Eixos cartesianos (caso tridimensional)

Em Geodésia, um sistema de coordenadas é denominado global quando sua origem for geocêntrica

(origem no centro de massa da Terra), e local ou regional quando sua origem estiver deslocada do geocentro.

18


Figura 11 – Sistema de coordenadas geodésicas cartesianas geocêntrico global

Assim, o sistema de coordenadas geodésicas cartesianas geocêntrico global, utilizado como

sistema de coordenadas terrestres fundamental, possui as seguintes características:

a) Possui sua origem no centro de massa (CM) da Terra, incluindo a hidrosfera e a atmosfera;

b) É fixo à Terra, isto é, gira com ela;

c) Eixo Z aponta para o pólo Norte terrestre convencional médio (sentido positivo);

d) O plano equatorial contém os eixos X e Y e é perpendicular ao eixo Z;

e) O plano XZ é gerado pelo meridiano convencional médio de Greenwich;

f) O eixo Y completa o sistema destrogiro;

1.6.2 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso esférico

Outra forma de se posicionar um ponto P qualquer no espaço tridimensional é por meio de coordenadas

curvilíneas. Supõe-se que, ao sistema de coordenadas cartesianas, seja sobreposto o sistema de coordenadas

esféricas. Neste sistema, as coordenadas do ponto P são dadas pelo afastamento r entre a origem do sistema

e o ponto P, pelo ângulo β formado entre o segmento r e a projeção ortogonal deste segmento sobre o plano

xy, e pelo ângulo α que a projeção do segmento r sobre o plano xy forma com o semi-eixo X. Assim, o ponto P,

determinado pelo terno cartesiano (x,y,z), pode ser expresso também pelas coordenadas esféricas (r,α,β), ou

seja, P(r,α,β) ou P=(r,α,β), de forma que a relação entre os dois sistemas é obtida pelo vetor posicional

β

βα.

βα.

r

z

y

x

sin

cossin

coscos

Eq. 27

19


Figura 12 – Sistema de coordenadas curvilíneas – caso esférico

1.6.3 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso elipsoidal

Supõe-se agora que, ao sistema de coordenadas cartesianas, seja sobreposto o sistema de

coordenadas elipsoidais. Quando é utilizado o elipsóide como superfície de referência, a determinação das

coordenadas de um ponto P qualquer de sua superfície acontece de forma semelhante ao sistema de

coordenadas cartesianas e ao sistema de coordenadas esféricas. A definição dos eixos coordenados é a

mesma, contudo a origem do sistema cartesiano OXYZ é o centro do elipsóide de semi-eixo maior a e semi-

eixo menor b (Figura 13).

Figura 13 – Sistema de coordenadas curvilíneas – caso elipsoidal

20


As coordenadas elipsoidais de um ponto P qualquer da superfície do elipsóide são definidas por:

a) Latitude elipsoidal (φ): ângulo que a normal6 forma com sua projeção no plano do equador, sendo

positiva para o Norte e negativa para o Sul;

b) Longitude elipsoidal (λ): ângulo diedro formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano do

lugar, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste, tomada como origem o meridiano de

Greenwich.

Figura 14 – Sistema de coordenadas geodésicas cartesianas e curvilíneas

Este sistema de coordenadas é denominado sistema de coordenadas geodésicas cartesianas e curvilíneas

quando utilizado para a representação geométrica da Terra. Na figura seguinte está representado um ponto P

qualquer na superfície física da Terra. Pela figura, tem-se:

- P’: ponto de interceptação da normal de P;

- φ: latitude geodésica ou elipsoidal. É o ângulo formado entre a normal de P e sua projeção no plano do

equador. Seus valores são de:

0 < φ ≤ 90º no hemisfério sul;

-90 < φ ≤ 0º no hemisfério norte; e

φ = 0º no equador.

- λ: longitude geodésica. É o ângulo formado entre o plano meridiano médio de Greenwich e o plano

meridiano do ponto P que contém a normal de P, convencionada positiva para Leste. Seus valores são de:

0 ≤ λ ≤ 90º a leste de Greenwich;

-180 < λ < 0º a oeste de Greenwich; e

λ = 0º em Greenwich.

- h (segmento PP’): altitude geométrica ou elipsoidal do ponto P. É medida ao longo da normal entre a

superfície do elipsóide e a superfície topográfica.

6 Normal: é a reta ortogonal à superfície elipsóidica que passa pelo ponto em questão.

21


- Segmento P’Q: pequena normal (N’);

- Segmento P’O’: grande normal (N).

Assim, o ponto P localizado na superfície física é caracterizado univocamente no sistema de coordenadas

geodésicas cartesianas, pelas suas coordenadas cartesianas (x,y,z), ou seja, P(x,y,z), e no sistema de

coordenadas geodésicas curvilíneas (φ,λ,h), pelas suas coordenadas elipsoidais, ou seja, P(φ,λ,h), de forma

que a relação entre os dois sistemas é obtida pelas equações

coscoshNx

Eq. 28

sincoshNy

Eq. 29

sin' hNz

Eq. 30

1.6.4 Transformação de coordenadas geodésicas

Uma transformação de coordenadas geodésicas é necessária quando se exige:

a) Expressar as coordenadas de um ponto em um sistema de referência diferente do que foi utilizado

originalmente para sua obtenção;

b) Alterar a natureza das coordenadas.

No Brasil, é relevante o fato de que o sistema de referência oficial está em transição. O SAD-69 (South

American Datum – 1969) é diferente do sistema utilizado pelo NAVSTAR-GPS, o WGS-84 (World Geodetic

System – 1984). Ainda coexistem com o sistema oficial outros sistemas mais antigos que compartilham a

mesma necessidade.

Uma transformação de coordenadas entre sistema de referência pode ser conduzida conforme a posição

e a dimensão relativas dos conjuntos dos eixos cartesianos, de forma que serão necessárias:

a) Apenas translações dos eixos cartesianos;

b) Translações e escalonamento dos eixos cartesianos;

c) Translações, escalonamento e rotações dos eixos cartesianos;

O objetivo é aproximar o sistema de referência original ao sistema de referência de destino. Nos casos

mais usuais da Geodésia, são necessárias apenas translações dos eixos cartesianos, dado o paralelismo dos

eixos cartesianos dos sistemas de referência normalmente empregados.

Ao se transformar coordenadas geodésicas, na prática, pode-se deparar com quatro casos:

1º caso: transformação de coordenadas cartesianas entre sistemas de referência

O que ocorre é a translação dos eixos cartesianos por meio da adição de parâmetros de transformação

fornecidos pelo órgão oficial, o IBGE.

Δz

Δy

Δx

z

y

x

z

y

x

12

Eq. 31

22


Os parâmetros de transformação entre SAD69 e SIRGAS2000 encontram-se na resolução R.PR 1∕2005 (de

25∕02∕2005, folha 7∕7) publicada pelo IBGE:

SAD69 para SIRGAS2000

a1=6.378.160 m ∆X= –67,35 m

f1=1 ∕ 298,25 ∆Y= +3,88 m

a2=6.378.137 m ∆Z= –38,22 m

f2=1 ∕ 298,257222101

SIRGAS2000 para SAD69

a1=6.378.137 m ∆X= +67,35 m

f1=1 ∕ 298,257222101 ∆Y= –3,88 m

a2=6.378.160 m ∆Z= +38,22 m

f2=1 ∕ 298,25

Onde:

a1, f1 = parâmetros geométricos do elipsóide do sistema de origem;

a2, f2 = parâmetros geométricos do elipsóide do sistema de destino;

(∆X, ∆Y, ∆Z) = parâmetros de transformação entre os sistemas.

2º caso: transformação de coordenadas elipsoidais entre sistemas de referência

Podem ser empregadas as equações simplificadas de Molodenskii:

180

21

11111111

1

cossinsincossinsin zyxaffaM

Eq. 32

1801

11

11

cossincos

yxN

Eq. 33

111111

2

11 sinsincoscoscossin zyxaaffaN

Eq. 34

Onde:

a : diferença entre semi-eixos maior ( 12 aa );

f : diferença entre achatamentos ( 12 ff );

x : diferença entre coordenadas x;

Parâmetros de translação y : diferença entre coordenadas y;

z : diferença entre coordenadas z;

1a : semi-eixo maior do elipsóide no sistema de referência S1;

1f : achatamento do elipsóide no sistema de referência S1;

1 : latitude geodésica no sistema de referência S1;

1 : longitude geodésica no sistema de referência S1;

2 : latitude geodésica no sistema de referência S2;

2 : longitude geodésica no sistema de referência S2;

N : diferença de ondulação geoidal.

A latitude e a longitude do ponto 2 são dadas pelas equações Eq. 35 e Eq. 36, respectivamente:

23


12

Eq. 35

12

Eq. 36

3º caso: transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas elipsoidais

São usadas as seguintes fórmulas:

Grafarend: ,arctansgnsgn2

1sgn

2

11180

x

yxyy

3600| R

Eq. 37

Bowring:

,cos

sin1'arctan

3222

32

uaeyx

ufaez

9090| R

Eq. 38

onde:

b

a

yx

zu

22tan .

Eq. 39

,sincos2

22

N

azyxh 0| hRh

Eq. 40

4º Caso: transformação de coordenadas elipsoidais em coordenadas cartesianas

Podem ser usadas as fórmulas deduzidas da geometria do sistema de coordenada curvilíneas e cartesianas

(Eq. 28, Eq. 29, e Eq. 30), onde N’ é calculado a partir da Eq. 20.

1.6.5 Transporte de coordenadas no elipsóide.

Transportar coordenadas significa “determinar valores de pontos na superfície da Terra em função de

uma origem”. Para o transporte de coordenadas utilizam-se dois processos denominados:

1) Problema Geodésico Direto (PGD) ou Primeiro Problema Principal Geodésico; e

2) Problema Geodésia Inverso (PGI) ou Segundo Problema Principal Geodésico.

1.6.5.1 Problema Geodésico Direto (PGD)

O PGD consiste do transporte de coordenadas no elipsóide de revolução quando se conhece as coordenadas

geodésicas de um ponto P1 do elipsóide (φ1, λ1), a distância s e azimute geodésico Ag para um segundo ponto

P2, e o objetivo é calcular as coordenadas do segundo ponto.

24


Figura 15 – Problema Geodésico Direto

São realizadas transformações de coordenadas geodésicas em:

- diferença de latitude geodésica ∆φ;

- diferença de longitude geodésica ∆λ; e

- diferença de azimute ∆Ag.

12

Eq. 41

12

Eq. 42

AgAgAg 1221

Eq. 43

Os problemas geodésicos direto e inverso são resolvidos com o emprego das fórmulas de Puissant. São

adequadas para linhas de até 80 km e oferecem precisão de 1ppm (1mm/km). As equações seguintes

consideram dois pontos denominados 1 e 2.

a) Transporte da latitude

2

2

222 2 ff

a

bae

Eq. 44

2/3

1

22

2

1

1

1

sene

eaM

Eq. 45

2/1

1

221

1 sene

aN

Eq. 46

"1

1

1 senMB

Eq. 47

25


"12 11

1

senNM

tgC

Eq. 48

1

22

11

2

12

"1cos3

sene

senseneD

Eq. 49

2

1

1

2

6

31

N

tgE

Eq. 50

"1

cos

1

1212

senM

ASh

g

Eq. 51

12

22

1212

22

121212 cos" ggg AsenSEhAsenSCASB

Eq. 52

2121212 """ D

Eq. 53

1212

Eq. 54

b) Transporte da longitude

2/1

2

222

1 sene

aN

Eq. 55

22

121212

cos

N

senAST

Eq. 56

661

"1"

2

12

2

2

2

121212

T

N

S

sen

T

Eq. 57

1212

Eq. 58

c) Transporte do azimute:

2

21

m

Eq. 59

26


"1cos12

1 22 sensenF mm

Eq. 60

312121212 "2

1sec"" Fsen m

Eq. 61

º1801221 gg AA

Eq. 62

São conhecidos:

- 1 e 1 (latitude e longitude elipsoidais do ponto 1);

- Ag12 (azimute geodésico no sentido do ponto 1 ao ponto 2); e

- S12 (distância geodésica entre os dois pontos).

Devem ser calculados:

- 2 e 2 (latitude e longitude elipsoidais do ponto 2); e

- Ag21 (azimute geodésico no sentido do ponto 2 ao ponto 1).

1.6.5.2 Problema Geodésia Inverso (PGI)

No PGI, são conhecidas as coordenadas geodésicas de dois pontos P1(φ1,λ1) e P2(φ2,λ2) do elipsóide e o

objetivo é calcular a distância geodésica s entre os pontos.

Figura 16 – Problema Geodésico Inverso

21221/

m

m

sene

aN

Eq. 63

2322

2

1

1/

m

m

sene

eaN

Eq. 64

27


"1

1

senMB

m

m

Eq. 65

2"1cos"

1212

gmm AsenSsenNx

Eq. 66

2cos

5,0cos"1212

12 g

m

ASB

y

Eq. 67

Azimute geodésico :

y

xAtg g

212

Eq. 68

daí:

,2

arctansgnsgn2

1sgn

2

11180

12

y

xyxxAg

Eq. 69

em que o valor da primeira parcela efetua a determinação da solução final no quadrante correto;

2cos

2 1212

12

gg A

y

Asen

xS

Eq. 70

São conhecidas:

- 1 e 1 (latitude e longitude elipsoidais do ponto 1); e

- 2 e 2 (latitude e longitude elipsoidais do ponto 2).

Devem ser calculados:

- Ag12 (azimute geodésico no sentido do ponto 1 ao ponto 2); e

- S12 (distância geodésica entre os dois pontos).

Na Figura 17 é apresentada a caracterização mais completa e detalhada do transporte de coordenadas

geodésicas na superfície do elipsóide de referência, e no quadro seguinte são apresentadas as grandezas

conhecidas e as incógnitas para cada tipo de solução, assinaladas com X.

28


Figura 17 – Transporte de coordenadas geográficas geodésicas na superfície do elipsóide de referência

Prática de campo 17: página 106.

29


2. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TOPOGRAFIA

2.1 Definição de Topografia

’(topos): lugar, espaço de terreno;

Topografia: vocábulo de origem grega

’(grafia): traçar sinais para escrever, descrever.

Topografia é a ciência aplicada que trata os princípios e os métodos de determinação do contorno, das

dimensões e da posição de uma parte limitada da superfície terrestre sem levar em conta a curvatura da Terra.

A topografia pode ser considerada uma particularidade da Geodésia. Trabalha-se essencialmente com medidas

angulares (ângulos) e lineares (distâncias) realizadas na superfície física (topográfica) a partir das quais são

calculadas grandezas geométricas tais como alinhamentos, coordenadas, áreas e volumes. Ao final, possibilita-

se representar graficamente estes elementos mediante o desenho técnico topográfico.

A topografia é dividida em:

a) Topometria

b) Topologia: trata das formas do terreno e as leis que regem seu modelamento.

A distância entre dois pontos e o ângulo horizontal entre alinhamentos são grandezas denominadas

observações. O conjunto de operações executadas no terreno com o objetivo de realizar estas observações e

assim obter os dados para a descrição do lugar é denominado levantamento topográfico. Em países como

Alemanha, qualquer construção, reforma ou demolição necessita de uma autorização. Antes de se colocar um

projeto em prática, o engenheiro deve se informar sobre os requisitos jurídicos que estabelecem as diretrizes

de uma obra em uma determinada cidade ou região. À documentação da obra, junto com os projetos

definidores, descrições, desenhos, documentos técnicos, escritura e outros itens, deve estar associado um

plano de situação, que é um levantamento topográfico contendo:

- Posição, altitude e proprietário do lote; escala e orientação ao norte; denominação do lote, dados cartorários,

limites jurídicos com os confrontantes e o conteúdo existente na propriedade;

- Largura e dimensões das ruas vicinais; posicionamento dos dutos de águas pluviais e de esgoto e a cota de

fundo;

- Diretrizes jurídicas para a utilização da obra, que relacionam as regras sobre o tipo e o tamanho de obra que

se pode edificar;

- Levantamento dos equipamentos existentes, memoriais (obeliscos) e árvores protegidas por lei, poço

artesiano, divisas, em suma: levantamento de tudo o que existe no lote, e de preferência, dependendo da

importância, reconhecer também o que existe nos lotes vizinhos;

- Levantamento minucioso do local onde está prevista a obra. Há de se realizar um levantamento das

distâncias limítrofes da superfície em questão, por exemplo, as superfícies das paredes externas da

construção, as distâncias de áreas publicas e de áreas verdes, de estacionamento de veículos pesados, do

- Planimetria: trata dos métodos de representação de pontos no

plano horizontal, os métodos de cálculo de medida de superfície

(área) e a planta do desenho topográfico;

- Altimetria: trata da medição de alturas por nivelamento.

30


acesso dos bombeiros, da área de parquinhos para crianças, de locais de descarte de resíduos (lixo), de locais

de depósito de materiais de construção, de canteiros de obras, de poços d´água, dutos de eletricidade, gás,

água, óleo, hidrantes, entre outros.

O levantamento topográfico pode ser de três naturezas: planimétrico, altimétrico ou planialtimétrico.

No levantamento planimétrico procura-se determinar a posição relativa dos pontos considerando apenas

as dimensões planas. Distâncias, ângulos e alinhamentos horizontais garantem o posicionamento relativo de

objetos por meio de pontos coordenados, que posteriormente podem ser representados em uma planta

topográfica.

No levantamento altimétrico interessam as diferenças de altura entre pontos. Elas são determinadas pelo

processo chamado nivelamento.

O levantamento planialtimétrico engloba os levantamentos planimétrico e altimétrico, que podem ser

realizados simultaneamente no mesmo processo.

Os levantamentos topográficos são a base para diversos trabalhos de engenharia em que se faz

relevante o conhecimento da forma, da dimensão e dos limites dos terrenos. Por exemplo:

a) Projeto e execução de estradas; b) Construção de pontes, viadutos e túneis; c) Locação de obras; d) Terraplanagem;

e) Planejamento rural e urbano; f) Irrigação e drenagem; g) Monitoramento de estruturas; e h) Projetos ambientais.

Um levantamento topográfico típico pode ser cumprido em cinco etapas:

1) Identificação da necessidade;

2) Reconhecimento do terreno (in loco);

3) Levantamento de campo;

4) Cálculos de Escritório;

5) Locação (quando necessário).

Ou, simplificadamente, serviços de:

1) Campo; e

2) Escritório.

2.2 Medição de alinhamentos

A Topografia tem por objetivo representar uma porção da superfície terrestre por meio de desenhos

construídos com elementos gráficos primitivos, por exemplo, o ponto e a linha.

a) Ponto

Os pontos definem o fim e o início de linhas, bem como o vértice de polígonos. Chamado ponto

topográfico, sua materialização é feita com piquetes cravados no solo. Ao seu lado é cravada uma estaca

testemunha, e nela deve ser escrita a identificação do ponto.

31


Figura 18 – Piquete e estaca testemunho

b) Linha

As linhas unem pontos topográficos em uma sequência lógica a fim de formar polígonos planos com

dimensão e orientação tomada a partir de um alinhamento conhecido. Estes polígonos são a base para as

operações matemáticas da topografia. Na figura, os pontos topográficos A e B definem o alinhamento AB, onde

a distância dAB é uma de das coordenadas deste alinhamento.

Figura 19 – Alinhamento definido entre dois piquetes

Foi visto que o plano é a entidade adotada pela Topografia para a representação da região medida, ou

seja, esta região ou porção de superfície em estudo é considerada um plano horizontal no qual são projetadas

as grandezas de observação, como por exemplos a distância e o alinhamento entre dois pontos. Com base

neste conceito topográfico, as distâncias serão representadas em planta sempre conforme o valor da projeção

dos pontos no plano horizontal uma vez que a planta topográfica é uma projeção horizontal.

Na figura, chama-se distância inclinada d’ a distância entre os pontos que definem o alinhamento AB no

terreno e distância horizontal ou reduzida d a distância entre os pontos que definem a projeção horizontal do

alinhamento AC. Para efeito de representação planimétrica e cálculo de área, as distâncias inclinadas devem

ser reduzidas às dimensões de suas bases produtivas7.

7 Bases produtivas: entende-se por bases produtivas as dimensões que são aproveitadas de fato. Na agricultura, por exemplo,

a maioria das plantas se desenvolve procurando o centro da Terra, o que faz com que a área utilizada seja a projeção horizontal. O

mesmo acontece com as edificações, pois se exige que os terrenos sejam aplainados para que elas possam ser construídas.

32


Figura 20 – Distância horizontal (reduzida) d e distância inclinada d’

Empregam-se balizas para prolongar o ponto topográfico ao longo de sua vertical para permitir que a

distância horizontal seja tomada com a máxima fidelidade possível. Para garantir a verticalidade da baliza

durante as medições, emprega-se um prumo de bolha acoplado ao corpo do instrumento.

Figura 21 – Emprego de balizas para a medição de distâncias horizontais

Exemplifica-se a medição da distância entre dois pontos conforme a situação mostrada na Figura 22.

Figura 22 – Medição de distâncias horizontais com trena e baliza em vários lances

33


2.3 Medição de distâncias

Distâncias podem ser medidas por dois processos:

2.3.1 Processos Diretos

A medida de distâncias de forma direta ocorre quando uma distância é determinada a partir da

comparação com uma grandeza padrão, ou unidade retilínea, denominada diastímetro. De acordo com a

natureza do diastímetro, a medição dos alinhamentos pode ser classificada em baixa, média e alta precisão.

Baixa precisão: Usada em levantamentos expeditos, quando a precisão é pouco exigida. Exemplos:

passo do homem ou do animal de monta, rodas e câmbios de veículos (odômetro e velocímetro), som e relógio;

Média precisão: Indicada para levantamentos comuns. Exemplos: cadeia ou corrente de agrimensor, fitas

e trenas de aço, lona ou fibra;

Alta precisão: designadas para levantamentos geodésicos. Exemplo: fio de ínvar, que possui coeficiente

de dilatação próximo a zero.

A operação com trena e baliza exige o trabalho de duas pessoas. No piquete mais baixo é obrigatório o

posicionamento de uma baliza para garantir a projeção horizontal. A medição pode ser feita em lance único

quando a distância entre os dois pontos é menor que a extensão máxima da trena. Ao contrário, será

necessária a medição de vários lances (também chamadas trenadas), ou seja, a distância a ser medida é

dividida em segmentos orientados no mesmo alinhamento, que no final deverão ser somados.

Situações:

a) Trena horizontal com a origem da medição posicionada diretamente no ponto mais alto – piquete B –

e medida de distância tomada no eixo da baliza verticalizada no piquete A.

Figura 23 – Trena horizontal com origem da medição no piquete e medição de distância na baliza

b) Trena horizontal com o zero posicionado no eixo da baliza posicionada no ponto mais baixo –

piquete A – e medida de distância tomada diretamente no piquete B.

- Diretos; e

- Indiretos;

34


Figura 24 – Trena horizontal com origem na baliza e medição de distância no piquete

c) Trena horizontal com o zero posicionado no eixo da baliza posicionada no ponto mais baixo –

piquete A – e medida de distância tomada no eixo da baliza posicionada no piquete B.

Figura 25 – Trena horizontal com origem e medição de distância em duas balizas

d) Trena inclinada e determinação de desnível, com o zero e medida de distância diretamente no ponto.

Figura 26 – Trena inclinada com origem e medição de distância nos piquetes

35


Observações:

a) Na situação c podem ser aplicadas correções de variação de temperatura, catenária e tensão

aplicada, no caso de levantamentos precisos;

b) Na medição de vários lances, o controle de trenadas deve ser feito em caderneta de campo. Com o

uso da corrente de agrimensor, O controle era feito também com fichas, pequenas lanças de metal

que eram cravadas no local da trenada e recolhidas pelo auxiliar de ré. O alinhamento das trenadas

deve ser mantido para que não surjam curvas ao longo da medição.

Figura 27 – Medição com trena em vários lances e alinhamento das trenadas

Prática de campo 1: medição de distâncias com trena e baliza

a) Objetivos:

- Determinar uma distância horizontal em vários lances com trena;

- Adquirir a noção de alinhamento em medição segmentada por vários lances de trena;

- Aferir a medida do passo.

b) Materiais:

- Trena de 20m e caderneta de campo 01.

c) Procedimentos:

Estabelecer duas estações (piquetes) A e B distantes entre si não mais que cerca de 120 m. Medir 3 vezes a distância

AB, partindo de A para B, depois de B para A e finalmente de A para B. Caminhar em passos normais pelo alinhamento

AB. Contar a quantidade de passos e anotar na caderneta. Realizar três contagens, partindo de A para B, depois de B

para A e finalmente de A para B. Calcular a média aritmética das três observações e o comprimento médio do passo.

36


2.3.2 Processos Indiretos

As distâncias são obtidas indiretamente a partir de grandezas que se relacionam por meio de modelos

matemáticos conhecidos, não havendo, portanto, necessidade de percorrê-las para compará-las à grandeza

padrão.

2.3.2.1 Estadimetria

Denomina-se Taqueometria o processo indireto de medição de distâncias pelo princípio estadimétrico em que

se empregam:

- Estádia: régua ou mira estadimétrica graduada em centímetros; e

- Taqueômetro: instrumento para medição ótica de distância. Exemplos: teodolito e nível.

O princípio geométrico dos métodos taqueométricos, pelo modo mais simples, pode ser exemplificado com o

emprego de um nível (ângulo zenital constante e igual a 90º). Supõe-se a situação: um nível instalado na

estação A com visada a uma mira posicionada na estação B.

Figura 28 – Princípio da Estadimetria

Geometricamente, tem-se a semelhança de triângulos:

37


b'a'

fABd

d

AB

f

b'a'

Eq. 71

Considerando que

Kb'a'

f

Eq. 72

e que

HABAB

Eq. 73

então

HKd

Eq. 74

Logo

CdD

CHKD ,

Eq. 75

onde C assume valor 0 cm para equipamentos com lunetas analáticas8 e de 25 a 50 cm para lunetas aláticas.

O modo mais comum da estadimetria ocorre quando se emprega um teodolito, que permite a variação do

ângulo zenital. Supõe-se a situação da figura seguinte. Do triângulo BB’M:

HsenZH'H

H'senZ

2

H2

H'

senZ

Eq. 76

Do triângulo OMO’:

d'

dsenZ

senZd'd .

Eq. 77

Substituindo a Eq. 74 na Eq. 77, tem-se:

KsenZH'd .

Eq. 78

Substituindo H da Eq. 76 na Eq. 78, tem-se

8 Analática e alática: luneta distanciométrica analática possui um sistema de lentes que faz com que o vértice do ângulo

diastiométrico venha a cair em um ponto do eixo ótico no interior da luneta. Se esse ponto é o centro do instrumento, ela é

centralmente analática. Esse problema foi resolvido ao se adotar para a objetiva um sistema composto de duas lentes: a primeira das

quais constitui a objetiva propriamente dita e a segunda, chamada lente analática, é colocada no interior da luneta de modo que o

foco anterior do sistema, e, portanto, o ponto analático, coincida com o centro do instrumento. Na luneta estadimétrica alática, o foco

exterior da objetiva muda conforme a focalização do ponto visado.

38


nZHsenZ.K.sed

ZHKsend 2 .

Eq. 79

Figura 29 – Taqueometria com emprego de teodolito

Deduz-se a diferença de nível entre os dois pontos:

M)(iZHKsenZ.cosΔH

Eq. 80

onde:

i : altura do instrumento;

M : leitura do fio médio;

Prática de campo 2: medição de distâncias por taqueometria

a) Objetivos:

- determinar distâncias horizontais por taqueometria;

- analisar e comparar os resultados dos processos direto (trena) e indireto (taqueometria).

b) Materiais: teodolito com tripé, mira, tripé para suporte da mira, trena de 20m e caderneta de campo 02;

c) Procedimentos:

Medir com trena a distância entre quatro estações (piquetes) estabelecidas em mesmo um alinhamento, separadas entre

si por distâncias aproximadas.

39


Figura 30 – Prática de campo de Taqueometria

Com o aparelho estacionado na estação A, efetuar as leituras estadimétricas e ângulo zenital com a mira posicionada nas

estações P1, P2 e P3 (serão determinadas as distâncias A=>P1, A=>P2 e A=>P3). Medir a altura do instrumento para

posterior cálculo de desníveis. Analisar e comparar os resultados obtidos entre os processos direto (trena) e indireto

(taqueometria).

2.3.2.2 Medição eletrônica de distâncias (MED)

A medição de distâncias na Topografia e na Geodésia sempre representou um problema devido

principalmente e dois fatores: o tempo de execução e a dificuldade de se obter precisão.

Breve histórico:

- 1904: Hülsmeyer (Alemanha) construiu o primeiro radar (ingl. radio detection and ranging). Demonstrou

a possibilidade de se detectar um navio em alto mar, mas não sua distância;

- 1934: Pierre David (França) construiu um sistema de detecção de objetos por ondas de rádio de alta

frequência, usado atualmente para localização de aviões;

- 1947: Eric Bergstrand (Suécia) desenvolveu o Geodímetro (ingl. geodetic distance meter), um medidor

de distâncias baseado no tempo de propagação de um feixe de radiação infravermelho desde sua saída até o

retorno do mesmo ao dispositivo gerador após sua reflexão em uma superfície ou alvo;

- 1949: Eric Bergstrand fabricou o primeiro MED, que pesava cerca de 100 kg;

1953: a empresa sueca AGA produz o primeiro MED comercial, o AGA Modelo 1;

- 1954: Cel. Harry Baumann (África do Sul) construiu o Telurômetro (Tellus: Terra, globo em grego;

meter: medição). Este sistema envolvia duas estações, a master e a remota, ambas ativas. Princípio de

medição baseado na comunicação de voz e medição de sinais transmitidos na onda portadora. Uso militar,

precisão melhor que a do Geodímetro. Após o advento do telurômetro vem a revolução dos satélites artificiais.

- 1965: construído o primeiro MED que emprega o laser, que gera menos ruídos e tem alcances maiores;

- 1968: aparecem os distanciômetros ótico-eletrônicos;

- 1970-1980: são produzidos os MED’s para teodolitos. Com o advento dos teodolitos eletrônicos, esta

combinação modular deu início à primeira geração de equipamentos hoje denominados “estações totais”.

40


3. GONIOLOGIA

Gônio (grego) significa canto, ângulo. Goniometria é a ciência que estuda os processos e instrumentos

utilizados na avaliação numérica dos ângulos. Estes conceitos são aplicados nos levantamentos topográficos.

A Goniografia estuda a reprodução geométrica do ângulo numérico determinado no campo. Em topografia, os

ângulos medidos são os diedros e a determinação é feita com instrumentos denominados goniômetros, que

podem medir tanto ângulos horizontais como verticais, ou os dois.

3.1 Medição de ângulos horizontais e verticais

O ângulo horizontal é uma das coordenadas polares definidoras de planimetria do ponto topográfico. É

definido pelo ângulo formado por dois planos verticais que contém as direções formadas pelo ponto ocupado e

os pontos visados. É medido sempre na horizontal, por isso o teodolito deve estar rigorosamente nivelado.

Figura 31 – Definição de ângulo horizontal

A medição do ângulo vertical, junto com a medição da distância inclinada, tem duas finalidades: servir ao

cálculo da distância horizontal (reduzida) e do desnível entre pontos topográficos. A definição do que

genericamente se chama “ângulo vertical” depende da origem de sua contagem. Define-se ângulo vertical

(símbolo V) o ângulo formado entre a linha do horizonte (plano horizontal) e a linha de visada, sendo a origem

de contagem do ângulo a própria linha do horizonte.

Figura 32 – Definição de ângulo vertical

41


Os ângulos verticais registrados acima desta linha são positivos ou ascendentes, variando de 0 a +90,

enquanto os indicados abaixo desta linha são negativos ou descendentes, variando de 0 a –90.

Define-se ângulo zenital (símbolo: Z) o ângulo formado entre a vertical do lugar e a linha de visada,

sendo o zênite a origem de contagem do ângulo, que varia de 0 a 180.

Figura 33 – Definição de ângulo zenital

Define-se ângulo nadiral (símbolo N) o ângulo formado entre a vertical do lugar e a linha de visada,

sendo o nadir a origem de contagem do ângulo, que varia de 0 a 180.

Figura 34 - Definição de ângulo nadiral

A relação entre o ângulo zenital e o ângulo vertical é dada por:

o90VZ

Z90V o se o90Z

o90ZV se o90Z .

Eq. 81

A relação entre o ângulo zenital e o ângulo nadiral (N) é dada por:

o180ZN

Z180N o .

Eq. 82

42


3.2 Instrumentação

A construção de instrumentos medidores de ângulos acompanha a evolução da engenharia. A groma,

aparato da era romana para medição de alinhamentos, é o primeiro instrumento de medição angular que se

tem notícia. Na sequência, a dioptra (dio: através; optero: observar) permitia também a medição de ângulos

verticais. Na era moderna, surgiram os instrumentos ótico-mecânicos, por exemplo os clinômetros para

medição rápida de ângulos verticais e os teodolitos (theo: visar; hodos: caminho), para medição precisa de

ângulos horizontais e verticais.

3.3 Conceitos de azimute, contra-azimute e rumo

Os ângulos horizontais são a base para a orientação de alinhamentos. Definem-se três grandezas

angulares: o rumo, o azimute, e o contra-azimute.

a) Azimute

Azimute (símbolo Az) é o ângulo diedro que a meridiana forma com um alinhamento projetado no plano

horizontal e que tem as seguintes características:

é um ângulo horizontal;

é um ângulo horário;

a origem de contagem é a direção Norte.

o intervalo é 0 Az < 360 (unidades grau, grado ou radiano).

Figura 35 – Conceito de Azimute

43


Denomina-se azimute magnético o ângulo diedro medido com a bússola, com origem na direção do

meridiano magnético (plano que passa pelo eixo longitudinal da agulha) até o alinhamento a um ponto

requerido no terreno. Bússola (ingl. compass; esp. brúxula) é um instrumento que possui uma agulha ou corpo

metálico imantado em uma de suas extremidades a qual é atraída para a direção do Norte Magnético (símbolo:

NM).

A declinação magnética é o ângulo, variável com o tempo e a posição geográfica, que a meridiana

magnética forma com a meridiana geográfica (ou verdadeira), sendo contada a partir desta. Meridiana é a linha

do plano horizontal formada pela interseção deste com o plano do meridiano (que pode ser o magnético ou o

geográfico) que passa pelo local do observador (ponto de observação). A declinação magnética é negativa

quando o norte magnético estiver a oeste do geográfico, e positiva quando ele estiver a leste do geográfico. Ela

faz parte da composição das cartas do mapeamento sistemático do Brasil, das cartas fundiárias e dos laudos

das ações judiciais: ação demarcatória e ação divisória (art. 960 da lei 5869/1973 do Código de Processo Civil).

Tendo em mãos uma bússola e a informação da declinação magnética contida em uma carta (declinação

magnética na data do levantamento e a variação anual), torna-se possível a orientação com certa precisão.

O valor da declinação magnética pode ser determinado de várias formas:

- mediante os métodos astronômicos de determinação da meridiana geográfica (por visadas ao Sol ou a

estrelas), em conjunto com uma bússola;

- de carta magnética, por interpolação de curvas isogônicas (curvas de igual declinação magnética) e

curvas isopóricas (curvas de igual variação anual da declinação magnética). No Brasil, o Observatório Nacional

(endereço eletrônico www.on.br) é o órgão responsável pela confecção e fornecimento da carta magnética do

Brasil, editada a cada 5 anos;

- mediante modelo matemático, por programas computacionais. Na internet encontram-se disponíveis

algumas páginas que permitem o cálculo ´on-line’. Por exemplo, nos endereços

http://www.ngdc.noaa.gov/geomag/declination.shtml e http://geomag.nrcan.gc.ca/apps/mdcal_e.php pode-se

calcular a declinação para qualquer parte do planeta (é usado modelo mundial). No Brasil, é recomendável usar

o modelo que utiliza dados de estações nacionais monitoradas pelo Observatório Nacional (ON), o qual

disponibiliza o programa Geomag disponível no endereço http://obsn3.on.br/~jlkm/magdec/.

Observações:

a) O azimute magnético é medido normalmente com precisão de 30’, e depende da resolução do

marcador de ângulos da bússola, no caso de ela ser analógica;

b) Denomina-se linha de fé da bússola a linha passante pelas indicações N-S (norte-sul);

c) Denomina-se declinação magnética o ângulo que a meridiana magnética forma com a meridiana

geográfica.

44


Prática de campo 3: determinação de azimutes

a) Objetivos:

- Medição de azimutes magnéticos com a bússola;

- Transformação para azimutes verdadeiros empregando a declinação magnética;

b) Materiais: bússola, tripé e caderneta de campo 03;

c) Procedimentos: com a bússola, realizar a medição do azimute magnético do alinhamento entre a estação da bússola

e uma baliza posicionada em um ponto qualquer. Desenhar o croqui de situação e calcular o valor da declinação

magnética usando a carta magnética do Brasil. Calcular o azimute verdadeiro do alinhamento. Consultar a página

<http://obsn3.on.br/~jlkm/magdec/> para conferir o cálculo da declinação magnética.

b) Contra-azimute

Contra-azimute é o ângulo que a meridiana passante pelo ponto final do alinhamento forma com este

alinhamento.

Figura 36 – Conceito de contra-azimute

Dado o azimute de um ponto P1 para o ponto P2 (símbolo: 21Az

), o seu contra-azimute é o azimute do

alinhamento do ponto P2 para o ponto P1 (símbolo: 12Az

), dado por:

1802112 AzAz ,

Eq. 83

Onde:

180Az 21 se

18021Az ou

180Az 21 se

18021Az

Exemplos: dado o azimute dos alinhamentos, calcule o contra-azimute:

a) 45Az 21

45


b) 802Az 43

c) '157565Az

d) "'301212043Az

e) 18043Az

f) 043Az

c) Rumo

Rumo (símbolo: R) é o ângulo que a meridiana forma com um alinhamento projetado no plano horizontal

e que tem as seguintes características:

é um ângulo horizontal;

é ângulo horário nos quadrantes NE e SO;

é ângulo anti-horário nos quadrantes SE e NO;

possui duas origens de contagem:

- da direção N para:

L se o alinhamento estiver no quadrante NE;

O se o alinhamento estiver no quadrante NO;

- da direção S para:

L se o alinhamento estiver no quadrante SE;

O se o alinhamento estiver no quadrante SO;

o intervalo em que se situa é 0 R 90;

ao valor numérico do rumo é acrescentada a notação do quadrante.

46


Figura 37 – Definição de Rumo

3.4 Operações com rumo e azimute

3.4.1 Cálculo do azimute como função das coordenadas cartesianas dos vértices do alinhamento

Dados dois pontos coordenadas P1(x1,y1) e P2(x2,y2) que definem o alinhamento 2

PP1 , o azimute 21Az

desse alinhamento poderá ser obtido de duas formas:

pelo azimute como função do rumo;

pela fórmula de Grafarend.

3.4.1.1 Cálculo do azimute como função do rumo

Dados os pontos P1(x1,y1) e P2(x2,y2), exprimem-se: )(RAz 2121 f e ),y,y, x,(x)(R 212121 ff

.

Do triângulo AP1P2, obtém-se:

12

1221

yy

xx

Δy

Δx Aztan

12

1221

yy

xxarctang

Δy

ΔxarctanR

.

Eq. 84

47


Figura 38 – Descrição do azimute em função do rumo

Como 0R (não existe rumo negativo), logo

Δy

ΔxarctangR 21 .

Eq. 85

Observando o sinal de Δx e Δy nos quadrantes, tem-se o azimute )(RAz 2121 f dado por:

2121 RAz se o quadrante for NE;

Eq. 86

2121 RAz 180 se o quadrante for SE

Eq. 87

2121 R180Az se o quadrante for SO;

Eq. 88

2121 RAz 360 se o quadrante for NO.

Eq. 89

Exemplos: calcule (R)Az f dos alinhamentos definidos pelos pontos dados:

a) P1=(100;200)m e P2=(300;400)m

48


b) P3=(3000;2000)m e P4=(4000;1000)m

c) P5=(1000;2000)m e P6=(100;200)m

d) P7=(100;–200)m e P8=(–100;200)m

3.4.1.2 Cálculo do azimute pela fórmula de Grafarend

Dado o alinhamento 2

PP1 , o azimute pode ser calculado diretamente pela fórmula de Grafarend:

Δy

Δxarctan)Δy).sgn(Δxsgn(

2

1)Δxsgn(

2

11180Az 21

,

Eq. 90

onde

Δx

ΔxΔx)(sgn , 0Δx e

Δy

ΔyΔy)(sgn , 0Δy .

Eq. 91

A função Δx)(sgn exprime o sinal algébrico do argumento Δx e a função Δy)(sgn exprime o sinal

algébrico do argumento Δy . Os símbolos Δx e Δy chamam-se grandezas absolutas (ou módulos) dos

números reais Δx e Δy , respectivamente.

Exemplos. Com a fórmula de Grafarend, calcule o azimute dos alinhamentos definidos pelos pontos

dados:

49


a) P1=(100;200)m e P2=(300;400)m

b) P3=(3000;2000)m e P4=(4000;1000)m

c) P5=(1000;2000)m e P6=(100;200)m

d) P7=(–1000;2000)m e P8=(100;–200)m

3.4.2 Transporte de azimute no plano

Em um plano topográfico, é dado o alinhamento 2

PP1 pelo azimute 21Az

, o alinhamento 3PP2 e o

ângulo horizontal horário 2α .

Figura 39 – Transporte de azimute no plano

Chama-se transporte de azimute a determinação do azimute do alinhamento 3PP2 , notado pelo símbolo

32Az e dado por:

50


21232 αAzAz

Eq. 92

Substituindo o termo 12Az da Eq. 83 na Eq. 92, tem-se:

18022132 αAzAz

Eq. 93

Exemplos. Dados:

a) 45Az 21 , 10α2 , calcule 32Az .

b) 001Az 43 , 60α4 , calcule 54Az .

c) 270Az 65 , 001α6 , calcule 76Az .

d) '18143Az BA , '1285αB , calcule CBAz .

e) "'4012220Az DC , "'301530αD , calcule EDAz .

f) 801Az 21 , 180α2 , calcule 32Az .

51


Exercícios.

1) Transformar os seguintes rumos em azimute e vice-versa. Representar os quadrantes e os ângulos.

a) R=3025’ SE

b) Az=3343’

c) R=3815’ NW

d) Az=23340’30”

2) Você é o responsável técnico pela divisão de sistemas transmissores de sinais eletromagnéticos de uma

empresa que necessita instalar quatro antenas com as seguintes orientações magnéticas dadas a seguir.

Entretanto, a bússola que você utiliza apresenta a orientação em forma de rumo. Calcule as

correspondentes orientações em rumo e represente-as em gráficos.

Painel 1: Az=4515’




3) Uma determinada rota é dada em rumo magnético. Converta-se para azimute.

Rota A: R=4515’NE

Rota B: R=2430’SE

Rota C: R=4025’SW

Rota D: R=2520’NW

52


4) Em um projeto de tubulação de drenagem, você foi contratado para determinar com precisão o azimute do

alinhamento entre cada nó da tubulação. A partir do azimute inicial "'1030201Az 21 e dos ângulos

horizontais horários 12'50"97α,07'05"275α,15'95α 432 , determine os azimutes 32Az , 43Az

e 54Az . Represente na figura estes azimutes.

Figura 40 – Projeto de tubulação de drenagem

3.5 Medição de direções horizontais e verticais

3.5.1 Medição de direções horizontais: cálculo de ângulos horizontais horários

Um ângulo horizontal horário formado por dois alinhamentos é dado pela diferença de duas direções

horizontais observadas com o teodolito.

Figura 41 – Conceito de direções e ângulos horizontais horários

53


Onde:

- A é o ponto (estação) em que o teodolito está instalado;

- P1, P2, P3 e P4 são os pontos visados;

- 1AP define a direção cujo valor (r1) é dado pelo círculo horizontal;




Por se tratarem de equipamentos mecânicos fabricados em série, os teodolitos estão sujeitos a conter

erros de natureza sistemática. Estes erros se originam da excentricidade do limbo horizontal causada pela

imperfeição de centragem do eixo vertical de rotação, como também de possíveis erros de impressão da

graduação no círculo. Estas influências podem ser minimizadas por meio da pontaria completa: uma visada em

posição direta da luneta (símbolo: PD) e outra visada em posição inversa (símbolo: PI). Neste raciocínio, foram

desenvolvidos alguns métodos para a obtenção a medida de uma direção horizontal, tais como:

método da repetição e reiteração;

método das direções;

método de Schreiber.

O método das direções está descrito na NBR13133∕94 da ABNT. Algumas definições são dadas a seguir:

a) Leituras conjugadas são as observações de uma direção horizontal nas posições direta e inversa da luneta;

b) Série (símbolo: n) é o conjunto de leituras conjugadas desde a primeira direção até a última e desta até a

primeira;

c) Intervalo de reiteração (símbolo: I) é o intervalo entre a direção da origem de séries consecutivas. Para n

séries, o intervalo de reiteração é:

n

180I

Eq. 94

d) A média das leituras conjugadas é o valor do ângulo procurado:

2

180PIPDM

,

Eq. 95.

onde

180 se 180PI ;

180 se 180PI .

3.5.2 Medição de ângulos verticais

Tratando de instrumentos ótico-mecânicos e alguns ótico-eletrônicos, a origem do círculo vertical é fixa e

depende da construção do instrumento (definições no item 3.1):

54


a) Instrumento zenital: a origem do ângulo vertical está na direção do zênite, e o ângulo é chamado

ângulo zenital (símbolo: Z);

b) Instrumento nadiral: a origem do ângulo vertical está na direção do nadir, e o ângulo é chamado

ângulo nadiral (símbolo: N);

c) Instrumento com medição do ângulo vertical: a origem do ângulo vertical está no plano do horizonte,

e o ângulo é chamado ângulo vertical (símbolo: V);

A leitura do ângulo zenital Z é feita também por leitura conjugada. O intervalo de variação de Z é:

0 Z 180 na posição direta da luneta;

180 Z 360 na posição inversa da luneta.

A média das duas observações é dada por:

2

PDPI360M

Eq. 96

Prática de campo 4: determinação de ângulos horizontais horários

a) Objetivos:

Medição de direções horizontais e cálculo de ângulo horizontal horário pelo método das direções;

b) Materiais:

Teodolito, duas balizas, caderneta de campo 04.

c) Procedimentos:

Instalar o teodolito em uma estação topográfica materializada por um piquete. Esta estação será denominada, por

exemplo, estação “A”. Serão estabelecidos dois pontos P1 e P2, materializados por piquetes.

Figura 42 – Prática de campo: medição de direções horizontais

Posicionar as balizas nos pontos P1 e P2. Realizar a pontaria nos pontos, fazendo coincidir o retículo vertical com a baliza.

Sempre que possível, focalizar o mais próximo possível do piquete (prego). Realizar as observações pelo método das

direções. Anotar os dados na caderneta de campo 04 e efetuar os cálculos;

Exemplo de uma série:

Série Leitura

Conjugada

Direções horizontais

= r2 – r1 1r (P1) 2r (P2)

1

PD 000’ 13433’

PI 18001’ 31435’

M 000’30” 13434’ 13433’30”

55


Prática de campo 5: determinação de ângulos zenitais

a) Objetivos:

Medição de direções verticais e cálculo de ângulo zenital pelo método das direções.

b) Materiais:

Teodolito, caderneta de campo 05.

c) Procedimentos:

Instalar o teodolito em uma estação topográfica materializada por um piquete, pode ser a mesma, aproveitada da prática

anterior. Estabelecer dois pontos P1 e P2, no topo e na base do objeto a ser medido, respectivamente. Realizar as

medições de direções verticais com visadas no topo e na base do objeto. Anotar os dados na caderneta de campo 03 e

efetuar os cálculos.

Figura 43 – Prática de campo: medição de direções verticais

Exemplo de uma série:

Série Leitura

Conjugada

Direções verticais

P1 (topo)

1

P2 (base)

2

1

PD 6450’ 10958’

PI 29512’ 25003’

M 6449’ 13457’30”

Medir com trena a distância horizontal d entre o ponto de estação do teodolito (A) e o ponto na base do objeto (P2) para o

cálculo da altura do objeto por trigonometria. Comparar os resultados com outros grupos.

56


4. PLANIMETRIA

Designa-se o termo planimetria a parte da Topografia que estuda os métodos de caracterização de

pontos no plano horizontal (plano perpendicular à vertical materializada pelo eixo vertical de um teodolito

nivelado), os métodos de cálculo de medida de superfície (área) nesse plano e a representação gráfica

(desenho topográfico).

4.1 Métodos de levantamento topográfico planimétrico

Os principais métodos são:

a) Método das coordenadas polares (irradiações);

b) Método das coordenadas bipolares (interseção à vante);

c) Método da poligonação;

d) Combinação destes métodos.

4.1.1 Método das coordenadas polares

Consiste na união do pólo (estação do teodolito) a todos os pontos a serem levantados por meio de

ângulos horizontais com origem no eixo polar e por meio de distâncias. O eixo polar deve ser orientado em

relação à linha meridiana.

Figura 44 – Método das coordenadas polares

Ponto

Coordenadas Polares

Ângulo horizontal

horário Distância [m]

P1 1 d1

P2 2 d2

P3 3 d3

P4 4 d4

57


4.1.2 Método das coordenadas bipolares

Também conhecido por interseção à vante, este método caracteriza cada ponto por ângulos horizontais

horários e por distância a partir de pontos extremos conhecidos, chamados pólos, que constituem uma base de

comprimento conhecido.

Figura 45 – Método das coordenadas bipolares (interseção à vante)

Exemplo de aplicação: determinação de distâncias a objetos inacessíveis.

Prática de campo 6: determinação de distâncias por interseção à vante

a) Objetivos:

- Determinar distâncias pelo método das coordenadas bipolares (interseção à vante);

- Determinar a altura de objetos;

- Aplicar o método das direções nestas determinações.

b) Materiais:

- Teodolito, trena, caderneta de campo 06.

c) Procedimentos:

Materializar duas estações A e B (distantes entre si cerca de 50 metros). Medir com trena a distância precisa entre elas,

a qual será denominada base c. Estabelecer um ponto C sobre um alinhamento vertical no objeto para o qual será

determinada a distância horizontal. Instalar o teodolito em uma das estações e realizar o cálculo do ângulo horizontal

horário (pelo método das direções) entre os alinhamentos adjacentes. Repetir o procedimento para a outra estação;

Calcular a distância horizontal da estação do teodolito ao ponto C. Com a luneta do teodolito apontada para o ponto C,

prender o movimento do círculo horizontal e medir os ângulos zenitais referentes à posição da luneta no topo e na base

do objeto. Calcular a altura do objeto.

58


Prática de campo 7: levantamento planialtimétrico por coordenadas polares com teodolito e trena

a) Objetivos: levantamento planimétrico pelo método das coordenadas polares para a determinação da área de um

polígono proposto pelo professor. Medição de distâncias com trena e medição angular com teodolito. Cálculo de

desníveis.

b) Materiais: Teodolito, trena de 20 metros, duas balizas, prumo de bolha e caderneta de campo 07;

c) Procedimentos: instalar o teodolito em uma estação topográfica materializada por um piquete. Realizar as visadas e

efetuar as medições angulares e as medições de distância com trena; anotar os dados na caderneta de campo e efetuar

os cálculos.

Prática de campo 8: levantamento planialtimétrico por coordenadas polares com teodolito e mira

a) Objetivos: levantamento planialtimétrico pelo método das coordenadas polares e medição de distâncias por

Estadimetria. Determinação da área do mesmo polígono proposto na prática 07.

b) Materiais: teodolito, trena de 3 metros e caderneta de campo 08.

c) Procedimentos: instalar o teodolito em uma estação topográfica materializada por um piquete (pode ser o mesmo

piquete estabelecido na prática anterior). Realizar as visadas e efetuar as observações estadimétricas e angulares.

Anotar os dados em caderneta de campo e efetuar os cálculos.

Prática de campo 9: levantamento planialtimétrico por coordenadas polares com estação total

a) Objetivos: levantamento planialtimétrico pelo método das coordenadas polares e medição de distâncias por MED.

Determinação da área do mesmo polígono proposto nas práticas 07 e 08.

b) Materiais: estação total, trena de 3 metros e caderneta de campo 09.

c) Procedimentos: instalar a estação total em uma estação topográfica materializada por um piquete (pode ser o mesmo

piquete estabelecido nas duas práticas anteriores); realizar as visadas e efetuar as observações de ângulo e distância;

Anotar os dados em caderneta de campo e efetuar os cálculos .

Prática de campo 10: elaboração de croqui

a) Objetivo: reconhecimento da área a ser levantada pelo método da poligonação. Desenho dos detalhes em croqui

(estações de poligonal, pontos de divisa e outros pontos irradiados, árvores, construções, redes de energia elétrica, rede

de águas pluviais, etc.).

b) Materiais: lápis, borracha e caderneta de campo 10.

59


4.1.3 Método da poligonação

Estabelece a ligação sucessiva de pontos por meio de ângulos horizontais horários (obtidos por

diferença de direções medidas por teodolitos ou taquímetros) e por meio de distâncias obtidas por medição

direta ou indireta. Geometricamente, a poligonação pode constituir:

a) uma linha poligonal aberta (não se forma um polígono);

b) uma linha poligonal fechada (forma-se um polígono).

4.1.3.1 Linhas poligonais abertas

Os tipos de linhas poligonais abertas são:

a) Linha poligonal aberta sem apoio em ponto coordenado e sem orientação azimutal:

Figura 46 – Linha poligonal aberta sem apoio em ponto coordenado e sem orientação azimutal

b) Linha poligonal aberta com orientação azimutal no ponto inicial:

Figura 47 – Linha poligonal aberta com orientação azimutal no ponto inicial

c) Linha poligonal aberta com orientação azimutal no ponto inicial e no ponto final

Figura 48 – Linha poligonal aberta com orientação azimutal no ponto inicial e no ponto final

60


d) Linha poligonal aberta com apoio em ponto coordenado inicial e com orientação azimutal no

ponto inicial

Figura 49 – Linha poligonal aberta com apoio em ponto coordenado inicial e com orientação azimutal no ponto inicial

e) Linha poligonal aberta com apoio em ponto coordenado inicial e final e orientação azimutal no

ponto inicial e final

Figura 50 – Linha poligonal aberta com apoio e orientação azimutal em pontos coordenados inicial e final

61


4.1.3.2 Linhas poligonais fechadas

São aquelas que partem de um ponto com coordenadas conhecidas e retornam ao mesmo ponto

configurando um polígono com o qual é possível se verificar o erro de fechamento angular e linear. Os tipos

principais de polígonos fechados são:

a) Linha poligonal fechada sem apoio em ponto coordenado e sem orientação azimutal

Figura 51 – Linha poligonal fechada sem apoio em ponto coordenado e sem orientação azimutal

b) Linha poligonal fechada sem apoio em ponto coordenado e com orientação azimutal

Figura 52 – Linha poligonal fechada sem apoio em ponto coordenado e com orientação azimutal

62


c) Linha poligonal fechada com apoio em ponto coordenado e com orientação azimutal

Figura 53 – Linha poligonal fechada com apoio em ponto coordenado e com orientação azimutal

Prática de campo 11: levantamento planialtimétrico por poligonação

a) Objetivo: Levantamento planialtimétrico por poligonação;

b) Materiais: Estação Total com tripé, prisma refletor com bastão, par de rádios, trena de aço portátil de 3 metros,

piquetes, estacas, marreta e caderneta de campo 11;

c) Procedimentos: gerar uma poligonal topográfico e nela amarrar o levantamento planialtimétrico da área sugerida pelo

professor. Os dados devem ser anotados em planilha. O croqui gerado na prática 10 deverá ser completado.

63


4.2 Medida de superfície no plano topográfico

A medida de superfície chama-se área (símbolo: S) e sua unidade é o m2 (e seus múltiplos e

submúltiplos). A superfície destinada a fins fundiários é o are (símbolo: a; 1a = 100m2), seu múltiplo hectare

(símbolo: ha; 1ha = 10.000m2) e seu submúltiplo centiare (símbolo: ca; 1ca = 1m2).

Os principais métodos de cálculo de área são:

a) Gráfico (decomposição do polígono em figuras elementares);

b) Por instrumentos (planímetros);

c) Analítico (área de figuras elementares; área por coordenadas polares; área por coordenadas

cartesianas, integral definida);

d) Métodos numéricos (por exemplo: fórmula de Simpson).

4.2.1 Área de triângulos

Algumas fórmulas geométricas para o cálculo de área de triângulos:

a) Triângulo retângulo:

Figura 54 – Área de triângulo retângulo

a.b2

1S

Eq. 97

b) De um triângulo qualquer, dados os três lados

Figura 55 – Área de um triângulo qualquer pela fórmula de Heron

c)b)(pa)(pp(pS ,

Eq. 98

onde p é o semi-perímetro:

c)b(a2

1p

Eq. 99

64


c) De um triângulo qualquer, dados dois lados e o ângulo compreendido entre eles

Figura 56 – Área de um triângulo equivalente à metade da área de um trapézio

αa.b.sen2

1S

Eq. 100

4.2.2 Área de polígonos por coordenadas polares

a) Quando o pólo é interno ao polígono

Figura 57 – Área de polígono com pólo interno a ele

b) Quando o pólo é externo ao polígono

65


Figura 58 – Área de polígono com pólo externo a ele

c) Quando o pólo é coincidente com o vértice do polígono

Figura 59 – Área de polígono com pólo coincidente com o vértice do polígono

A partir da Eq. 100, tem-se a área S de um polígono cujas coordenadas dos vértices são coordenadas

polares (ângulo horizontal horário e distância do ponto ao pólo) é dada por:

)r.sen(r.dd2

1S i1i1i

n

1i

i

Eq. 101

66


Exemplos. Calcular a área dos polígonos.

Figura 60 – Cálculo de área (polígono 1)

Quadro 2 – Caderneta de campo (polígono 1)

Pólo

(estação)

Ponto visado

Direção Distância

[m]

A

1 000º00’00’’ 25,45

2 038º13’03,4’’ 48,05

3 068º25’04,8’’ 49,14

4 104º31’46,6’’ 46,22



Pólo (estação)

Ponto visado


[m]

A

1 000º00’00’’ 325,456

2 048º13’03,4’’ 342,057

3 088º55’02,8’’ 249,192

4 214º21’59,8’’ 346,225

5 301º31’19,4’’ 295,584

67




Pólo

(estação)

Ponto visado


[m]

A

1 000º00’00’’ 120,62

2 035º12’35’’ 210,74

3 075º42’24’’ 215,55

4 100º05’55’’ 168,22

4.2.3 Processo das coordenadas (fórmula dos trapézios segundo Gauss)

Determina-se a superfície em função das coordenadas retangulares dos seus vértices, como se detalha

na planilha de cálculo completo das coordenadas e área de uma poligonal fechada. As fórmulas de Gauss são

deduzidas facilmente da Figura 63 para o cálculo da área de um polígono fechado qualquer em função das

coordenadas dos seus vértices.

Figura 63 – processo das coordenadas para o cálculo de áreas

Generalizando:

1ii

n

1i

1i

n

1i

i yxxy2

1S

Eq. 102

68


Exemplos. Calcular a área dos polígonos definidos pelos pontos:

a) P1(10;100)m; P2(500;100)m; P3(500;20)m; P4(10;20)m;

b) P1(1.327,60;487,78)m; P2(1.507,60;267,78)m; P3(1.237,60;27,78)m; P4(967,60;137,78)m; P5(1.077,60;327,78)m.

c) A(130;220)m; B(160;130)m; C(100;130)m; D(80;185)m;

69


4.3 Cálculo de cadernetas topográficas

Vistos os conceitos de linhas poligonais aberta e fechada, o próximo passo é calcular as cadernetas de

campo. Antes, define-se o transporte de coordenadas cartesianas no plano como a determinação das

coordenadas de um ponto P2(x2;y2) quando em um plano são dados:

a) Dois pontos P1 e P2;

b) Os valores das coordenadas do ponto P1;

c) A distância 21d entre esses pontos;

d) O azimute 21Az .

Figura 64 – Transporte de coordenadas no plano

Assim:

).sen(AzdΔxd

Δx)sen(Az 2121

21

21

Eq. 103

).cos(AzdΔyd

Δy)cos(Az 2121

21

21

Eq. 104

A abscissa x2 e a ordenada y2 são dadas por:

).sen(AzdxxΔxxx 21211212

Eq. 105

).cos(Azdyyyyy 21211212 Δ

Eq. 106

70


Exemplos. Calcular por transporte de coordenadas no plano as coordenadas x e y dos pontos solicitados.

Elabore um croqui.

a) P1(1000;1000)m; 21d = 800,00m; 21Az = 60º. P2(x2;y2) = ?

b) A(1000;1000)m; BAd = 800,00m; BAAz = 120º. B(xB;yB) = ?

c) C(100;4000); 8Cd = 1.000,289m; 8CAz =315º59’00,8”. P8(x8;y8) = ?

4.3.1 Cálculo em linha poligonal aberta

São transportados azimutes e coordenadas de pontos em linha poligonal aberta. Não há controle de

fechamento angular.

4.3.2 Cálculo em linha poligonal fechada (polígono)

São transportados azimutes e coordenadas de pontos em linha poligonal fechada. Há controle do erro de

fechamento angular por meio do cálculo do erro angular, cálculo da tolerância angular do cálculo da

compensação angular. Após o cálculo das projeções horizontais, calcula-se o erro linear absoluto e o erro

linear relativo para a obtenção das compensações das projeções ortogonais.

Exercício em sala: Resolução da planilha de poligonal fechada e irradiações (TP5 e TP6 – Prof.Carlito).

4.3.3 Desenho técnico topográfico

O desenho de um trabalho de engenharia deve se feito conforme a normatização vigente. Elementos

básicos como por exemplo a tabela de símbolos (legenda), conteúdo textual e o tamanho da folha devem

seguir um padrão estabelecido pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas). Empregam-se os

formatos de papel da série “A”. O formato origem é o chamado A0, conforme prescreve a NBR13142\1999.

71


Trata-se de um retângulo de área 1m2 a partir do qual, por bipartição ou duplicação, obtêm-se os demais

formatos:

QUADRO 5 – Formatos da série A

Formato Dimensões [mm]*

Altura Largura

2A0 1189 1682

A0 841 1188

A1 594 841

A2 420 594

A3 297 420

A4 210 297

A5 148 210

A6 105 148

*orientação: paisagem (papel deitado).

A planta topográfica pode ser elaborada em quatro passos:

1. Encontrar a orientação da folha;

A orientação da folha pode ser estar no modo paisagem (papel deitado), em que a maior dimensão é a

sua largura, na direção do eixo x, ou no modo retrato (papel em pé), em que a maior dimensão é a sua altura,

na direção do eixo y. A regra é acomodar o desenho na folha de forma que se aproveite o máximo sua área útil.

Assim, se:

(xmáx – xmín) < (ymáx – ymín) => Retrato

(xmáx – xmín) ≥ (ymáx – ymín) => Paisagem

O espaço útil de desenho é a parte da folha que sobra após a delimitação de suas margens e da região

que receberá o selo, a legenda e demais elementos textuais:

Figura 65 – Esquema de folha de projeto e suas delimitações

72


Das dimensões do papel, descontam-se:

Na largura (x):

Na altura (y):

2. Determinação da escala do desenho

Para o início do desenho, há duas situações:

a) quando a escala é pré-estabelecida (logo, o formato e a orientação do papel devem ser encontrados); ou

b) quando o formato e a orientação do papel é pré-estabelecido (logo, a escala deve ser calculada).

Qual seja a situação, deve-se conhecer e utilizar o conceito de escala. Escala é o fator de aumento ou redução

de um objeto obtido pela relação direta entre o seu tamanho real e o tamanho para o qual ele será

representado. Dessa forma:

Dimensão_real => 1 (100%)

Dimensão_representada => Escala

Logo:

realDimensão

darepresentaDimensãoEscala

_

_

Eq. 107

Este cálculo deve ser realizado para as duas direções (x e y), sendo que a escala adotada deverá ser a mesma

para as duas direções, ou seja, prevalece a que resultar maior denominador. Por praticidade, escolhe-se um

valor arredondado, ascendente.

Exemplos:

a) Um trabalho topográfico é delimitado pelas seguintes coordenadas retangulares máximas e mínimas:

xmáx= 7.235,62m; xmín= 4.095,10m; ymáx= 5.326,38m; ymín= 2.525,91 m; O desenho deverá ser feito na escala

1 : 5.000. Encontre o formato e a orientação do papel.

b) Um veículo de dimensões 2,50m x 1,55m deve ser representado em um folder de formato A4 no modo

paisagem. Admitindo margens de 1cm, calcule a escala que permita o melhor aproveitamento da folha.

- orelha no lado esquerdo de 25 mm;

- borda de 10 mm na margem direita + selo de 175 mm,

- borda de 10 mm nas margens superior e inferior.

73


3. Determinação das coordenadas centrais xc e yc;

2

xxx mínmáx

C

Eq. 108

2

yyy mínmáx

C

Eq. 109

4. Quadriculação

A quadriculação (ou malha quadricular) é um conjunto de linhas espaçadas regularmente entre si,

normalmente de 10 em 10 centímetros, que sinalizam o valor de uma coordenada cartesiana. São as

chamadas linhas de abscissa constante e linhas de ordenada constante. Elas servem para auxiliar o desenhista

a localizar as coordenadas dos pontos. A definição das linhas de abscissa e de ordenada constantes parte das

coordenadas centrais xc e yc. Ao ponto médio da área útil da folha são atribuídas, por convenção, as

coordenadas centrais xc e yc. A partir destas coordenadas convenciona-se a linha constante mais próxima

(deve-se atentar para a relação das distâncias com a escala do desenho). Por fim, lançam-se as demais linhas

de coordenada constante, em que o lado das quadrículas deverá corresponder, em escala, à dimensão real do

intervalo entre as linhas constantes.

74


5. ALTIMETRIA

Altimetria é ciência que estuda a medição de alturas entre um ponto e uma superfície adotada, chamada

referencial altimétrico. O referencial altimétrico pode ser uma superfície horizontal arbitrária ou a superfície

altimétrica que integra um sistema geodésico. No caso que envolve um sistema geodésico, há a dependência

de uma superfície equipotencial do campo da gravidade terrestre. As superfícies equipotenciais são

denominadas geopes, e em um sistema geodésico o geope adotado é o geóide, o geope que mais se aproxima

do nível médio dos mares (NMM). O NMM é definido por observações maregráficas em um ponto chamado

datum altimétrico. A partir deste datum altimétrico, uma rede de pontos altimétricos é materializada por marcos

ao longo dos territórios. Cada ponto deste chama-se RN (referência de nível).

A distância medida ao longo da linha vertical entre o ponto e o datum altimétrico é chamada altitude

ortométrica. Pela impossibilidade de se obter medições ao longo dessa linha, recorre-se à medição ao longo

da vertical do lugar por meio da diferença de nível entre pontos, com emprego de instrumentos. A altitude

passa a se chamar altitude pseudo-ortométrica. Se a distância for medida ao longo da vertical e a superfície de

referência altimétrica for uma superfície horizontal arbitrária, essa distância é chamada cota.

Figura 66 – Definição de altitude e cota

As altitudes no Brasil são determinadas a partir da Rede Altimétrica Brasileira, estabelecida e mantida

pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Esta é um exemplo de rede vertical, definida como

um conjunto RNs. As RNs são identificadas por uma coordenada chamada altitude, que é determinada a partir

de um ponto origem do datum vertical. Exemplo: RN 1792 (IBGE) H=85,758m.

Breve histórico da rede de nivelamento brasileira:

- 13.10.1945: Início dos trabalhos de nivelamento de alta precisão, marcando o início do estabelecimento

da Rede Altimétrica do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). Foi no distrito Cocal do município Urussanga-SC,

onde está localizada a RN 1-A.;

- Dezembro 1946: conexão com a estação maregráfica de Torres-RS;

- 1958: substituição do datum de Torres pelo datum de Imbituba-SC. A rede altimétrica contava com mais

30 mil km de linhas de nivelamento;

- 1979: linhas de nivelamento chegam no Acre e Roraima;

75


- 1980: início da informatização dos cálculos e ajustamentos.

Figura 67 – Exemplo de uma RN do IBGE

Atualmente, as informações sobre a rede altimétrica brasileira podem ser obtidas na Internet

(IBGE).Devem ser conhecidos o nome da RN e sua posição aproximada (latitude e longitude).

5.1 Levantamento Topográfico Altimétrico

É definido pela ABNT como um levantamento com o objetivo exclusivo de se determinar as alturas

relativas a uma superfície de referência de pontos de apoio e/ou de pontos de detalhes, pressupondo o

conhecimento de suas posições planimétricas. Por fim, o objetivo é a representação altimétrica da superfície.

5.2 Métodos de nivelamento

São 3 os métodos básicos para a determinação de desníveis:

a) nivelamento geométrico ou direto.

Nivelamento que realiza a medida da diferença de nível entre pontos no terreno por intermédio de

leituras correspondentes a visadas horizontais, obtidas com o instrumento nível, em miras posicionadas

verticalmente nos referidos pontos.

b) nivelamento trigonométrico.

Nivelamento que realiza a medição de nível entre pontos no terreno, indiretamente, a partir da

determinação do ângulo vertical da direção que os une e da distância entre estes. O fundamento de cálculo é a

relação trigonométrica entre o ângulo e a distância medidos, levando em consideração a atura do centro do

limbo vertical do teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado.

a) nivelamento taqueométrico.

Nivelamento trigonométrico em que as distâncias são obtidas taqueometricamente e a altura do sinal

visado é obtida pela visada do fio médio do retículo da luneta do teodolito em uma mira posicionada

verticalmente no ponto cuja diferença de nível em relação à estação do teodolito é objeto de determinação.

A NBR13133 estabelece quatro classes de nivelamento de linhas ou circuitos, abrangendo métodos de

medida, instrumentação e materialização dos marcos:

a) classe IN: nivelamento geométrico para o estabelecimento de RN para apoio altimétrico;

76


b) classe IIN: nivelamento geométrico para a determinação de altitudes ou cotas em vértices de poligonal

para levantamentos topográficos destinados a projetos básicos e obras de engenharia;

c) classe IIIN: nivelamento trigonométrico para a determinação de altitudes ou cotas em poligonais e em

levantamentos de perfis para estudos preliminares;

d) classe IVN: nivelamento taqueométrico destinado a levantamentos de perfis para estudos

preliminares.

5.2.1 Nivelamento Geométrico

Também denominado de nivelamento direto, é o procedimento de transporte de altitude ou de cota

conhecidas de um ponto para outros pontos para os quais se quer determinar suas respectivas altitudes ou

cotas. Para tanto, são efetuadas medições de distância ao longo da vertical entre o ponto e o referencial

altimetrico. Esta distância é chamada diferença de nível entre o ponto de altitude ou cota conhecida e o ponto

de altitude ou cota desconhecida.

Os instrumentos utilizados para o transporte de altitude ou de cota neste tipo de nivelamento são os

instrumentos nível com auxílio de réguas graduadas (também chamada mira ou estádia), de prumos de

cantoneira, das sapatas de mira e das cadernetas de campo. A luneta do nível não possui movimento na

direção vertical, mas somente na direção horizontal, de forma que o eixo de visada da luneta materializa um

plano horizontal.

5.2.1.1 Nivelamento geométrico simples

Normalmente, o nivelamento visa determinar o desnível entre uma referência de nível (RN) e um ponto

P, ou a vários outros pontos. Denomina-se nivelamento simples quando as operações de nivelamento são

realizadas com o instrumento estacionado em uma única estação. A situação do nivelamento simples entre

dois pontos é visualizada na figura seguinte. Observa-se que o plano horizontal formado pelo eixo de visada da

luneta intercepta a mira 1, posicionada verticalmente sobre o ponto 1, e a mira 2, posicionada verticalmente

sobre o ponto P2.

Figura 68 – Nivelamento geométrico simples

77


Assim, tem-se:

a) O plano horizontal do nível intercepta as miras posicionadas na RN e no ponto P1;

b) A leitura da mira da RN somada à altitude da RN é a altitude do plano horizontal, também chamada

altitude do instrumento;

c) A altitude do ponto P é a altitude do plano horizontal subtraída da leitura na mira sobre o ponto P

(Lv):

VIP LHH ,

Eq. 110

onde:

RRNI LHH .

Eq. 111

Logo:

VRRNP LLHH

Eq. 112

Exemplo: Seja a RN1792 H do IBGE, de altitude H=85,758m sobre a qual foi posicionada verticalmente a

mira de ré, e sejam os pontos P1, P2, P3, P4, P5 e P6 sobre os quais foi posicionada verticalmente a mira de

vante. Determinar as altitudes dos pontos de 1 a 6.

1º) Cálculo da altitude do instrumento: 38387625175885 ,,, IRRNI HLHH m;

2º) Cálculo das altitudes: VII LHH .

Quadro 6 – Exemplo de nivelamento geométrico simples

Estação Ponto

Visado

Leituras [m] Altitude do

instrumento

IH [m]

Altitude [m] Ré Vante

A

RN 1792 H 1,625 -

87,383

-

1 - 1,389 85,994

2 - 2,446 84,937

3 - 1,512 85,871

4 - 3,123 84,260

5 - 2,857 84,526

6 - 2,665 84,718

Prática de campo 12: nivelamento geométrico simples

a) Objetivo: Nivelamento geométrico simples.

b) Materiais: instrumento nível com tripé, mira de 4 metros e caderneta de campo 12.

c) Procedimentos: determinar os desníveis de 1 a 8. Preencher a caderneta de campo, controlando a distância do

aparelho à ré e à vante (diferença não deve ser superior a 4 m).

78


5.2.1.2 Nivelamento geométrico composto

A situação de um nivelamento geométrico a partir de uma RN para um ponto P ou para vários pontos

com o nível instalado em mais de uma posição, i.e., quando existem várias estações do instrumento, é

chamada nivelamento geométrico composto. Neste conceito, definem-se as seguintes expressões:

a) Visada a vante intermediária: é a visada na mira sobre cada ponto a partir de uma estação do

instrumento, exceto a visada na mira sobre o último ponto;

b) Visada a vante de mudança: é a visada na mira sobre o último ponto, a partir de uma estação do

instrumento. Esta mira de vante passar depois a ser a mira de ré, a partir da próxima estação do

instrumento.

Exemplo: dado o croqui de um nivelamento geométrico composto que partiu do ponto P1 de altitude H1=100,00

m e cujos dados se encontram no quadro abaixo, calcule as altitudes dos pontos de P2 a P15.

Quadro 7 – Exemplo de nivelamento geométrico composto

Estação

Leituras Visadas [m] Altitude do

instrumento

IH [m]

Altitude [m] Ponto Ré

Vante

Intermed. mudança

A

1 3,456 - -

103,456

100,000

2 - 1,354 - 102,102

3 - 0,265 - 103,191

4 - 3,476 - 99,980

5 - 2,045 - 101,411

6 - - 1,648 101,808

B

6 2,343 - -

104,151

-

7 - 2,876 - 101,275

8 - 3,126 - 101,025

9 - 1,469 - 102,682

10 - 3,023 - 101,128

11 - - 2,348 101,803

C

11 3,468 - -

105,271

-

12 - 1,568 - 103,703

13 - 2,444 - 102,827

14 - 1,770 - 103,501

15 - - 3,421 101,850

Somas 9,267 7,417

Figura 69 – Exemplo de nivelamento geométrico composto

- P2 a P15, P7 a P10, P12 a P14: vantes intermediárias;

- P6 a P11: vantes de mudança.

79


A altitude do ponto final P15 será dada por:

)()( mudançaVRfinal LLHPH 115

Eq. 113

5.2.1.3 Nivelamento de vértices de poligonais

Quando a poligonal é geometricamente aberta, o nivelamento é iniciado em um ponto e altitude (ou cota)

conhecida e terminará em um ponto de altitude (ou cota) desconhecida. Neste caso é necessário efetuar o

contra-nivelamento, que é o nivelamento de volta, que parte do último ponto nivelado e termina no ponto inicial.

A finalidade do contra-nivelamento é determinar o erro de nivelamento.

Figura 70 – Nivelamento e contra-nivelamento

Quando a poligonal é geometricamente aberta e possui apoio nos pontos inicial e final (ou seja, os

pontos têm altitude ou cota conhecidas) não há a necessidade de efetuar o contra-nivelamento pois o erro no

nivelamento é dado pela diferença entre a altitude (ou cota) transportada do ponto inicial para o ponto final e a

altitude (ou cota) conhecida do último ponto.

Figura 71 – Nivelamento de poligonal geometricamente aberta

Quando a poligonal é geometricamente fechada e possui apoio altimétrico no ponto inicial, o erro no

nivelamento é dado pela diferença entre a altitude (ou cota) do ponto inicial e a altitude (ou cota) calculada

neste ponto pelo nivelamento.

Figura 72 – Nivelamento de poligonal geometricamente fechada

80


Para o cálculo de verificação do procedimento de campo, as seções devem ser niveladas e

contraniveladas, o chamado nivelamento geométrico duplo. Os desníveis obtidos nos dois casos devem ser

comparados. A diferença encontrada deve estar abaixo de uma tolerância estabelecida, dada por:

knt ,

Eq. 114

onde n , dado em milímetros, é o erro médio do instrumento para um nivelamento duplo de 1 km, e k é a média

das distâncias percorridas no nivelamento e contra-nivelamento.

Exemplo: sejam os dados de um nivelamento e contra-nivelamento de uma seção, definida pelos pontos A e B.

Pede-se verificar o trabalho.

- Desnível obtido no nivelamento: ∆HNIV = 2,458 m

- Desnível obtido no contra-nivelamento: ∆HNIV = –2,460 m

- Distâncias niveladas: DNIV = 215,13 m

DNIV = 222,89 m

- Erro do instrumento: n = 20 mm/Km

a) Erro cometido: ε = ∆HNIV – ∆HCON = |2,458| – |2,460| = 0,002 m = 2 mm.

b) Distância média nivelada: 0,219012

DDD CONNIV

m

km.

c) Tolerância: 9,40,2190120t mm.

Como ε < t, ou seja, 2 mm < 9,4 mm, logo o desnível pode ser dado pela média aritmética do desnível obtido no

nivelamento e contra-nivelamento mas com o sinal igual ao do nivelamento:

2,4592

HHH CONNIV

AB

m.

Os dados de um nivelamento geométrico composto são organizados em uma planilha de cálculo, na qual

são efetuados:

a) O cálculo das altitudes (ou cotas) provisórias: VIP LHH ; RRNI LHH ;

b) A verificação dos cálculos:

n

1i

iV(mudança)

n

1i

iRinicialfinal )(L)(LHH ;

c) O cálculo do erro no nivelamento: ConhecidaoNivelament HHε ;

d) O cálculo da tolerância (erro permitido): knt ;

e) A verificação da precisão do nivelamento (decisão conforme aceitação ou rejeição dos dados):

Se: | ε | > t : rejeição;

| ε | < t : aceitação;

f) O cálculo da distribuição do erro: n

εΔε , onde n é a quantidade de estações ocupadas pelo

instrumento;

g) O cálculo da correção: ΔεiCi , onde i é o número da estação a ser corrigida;

h) O cálculo das altitudes (ou cotas) definitivas (unidade metros com resolução de 3 casas decimais).

81


Prática de campo 13: nivelamento geométrico composto

a) Objetivo: Nivelamento geométrico composto.

b) Materiais: instrumento nível com tripé, mira de 4 metros, sapata e cadernetas de campo 13-A e 13-B.

c) Procedimentos: transportar a altitude de uma RN para um piquete de poligonal, determinada na prática 11. Executar o

nivelamento e o contranivelamento. Preencher a caderneta de campo controlando a distância do aparelho à ré e à vante

(diferença não deve ser superior a 4 m).

5.2.2 Nivelamento Trigonométrico

Também chamado nivelamento indireto, é o procedimento da altimetria que transporta a altitude (ou

cota) conhecida de um ponto para outro ponto por meio da resolução de um triângulo retângulo do qual se

conhece o ângulo zenital e a distância entre os pontos.

Figura 73 – Nivelamento trigonométrico

Onde:

0: centro ótico do instrumento;

Z: ângulo zenital;

A: ponto de visada no alvo, orientado pelo ângulo zenital;

B: ponto de intersecção da vertical em P2 e o plano horizontal que contém o centro ótico;

Ai: altura do instrumento (distância ao longo da vertical do lugar entre o ponto e o centro ótico do instrumento);

Aa: altura do alvo;

d': distância inclinada;

d: distância horizontal;

dV: distância vertical;

H1: altitude do ponto 1 (instrumento);

H2: altitude do ponto 2 (alvo);

∆H: diferença de altitude entre P1 e P2.

Do triângulo retângulo OAB:

82


Zd'dVd'

dVZ coscos

Eq. 115

ZddVZ

ddV

dV

dZ cot

tantan

Eq. 116

A diferença de nível entre P1 e P2 é dada por

ai AHAdV

ai AAdVH .

Eq. 117

E a altitude do ponto P2 é dada por

HHH 12

Eq. 118

No caso de se utilizar uma mira, a distância horizontal é obtida a partir da resolução de dois triângulos

retângulos, cujos lados são:

- a distância superior na direção da visada orientada pelo ângulo zenital Zs;

- a distância inclinada inferior na direção da visada orientada pelo ângulo zenital Zi; e

- a diferença entre as leituras correspondentes (Ls e Li) efetuadas pela interseção do fio estadimétrico

médio da luneta.

Figura 74 – Nivelamento trigonométrico com mira

As grandezas indicadas na figura são:

Zs: ângulo zenital superior (ângulo que orienta a visada superior na mira);

Zi: ângulo zenital inferior (ângulo que orienta a visada inferior na mira);

83


Do triângulo OAC:

d

LaZ

La

dZ s

s

s

s

cottan

Eq. 119

Do triângulo OBC:

d

LaZ

La

dZ i

s

i

i

cottan

Eq. 120

Subtraindo membro a membro das equações:

d

LaLa

d

La

d

LaZZ issi

is cotcot

is

is

ZZ

LLd

cotcot

,

Eq. 121

onde: is LL , 1800 sZ e 1800 iZ . Esta equação é válida somente para ângulos zenitais

obtidos na posição direta da luneta. Na posição inversa, a equação fica:

)cot()cot( is

is

ZZ

LLd

360360,

Eq. 122

onde: is LL , 360180 sZ e 360180 iZ .

Novamente, do triângulo OAB:

ss ZddVdV

dZ cottan

Eq. 123

si LHAdV

si LAdVH .

Eq. 124

Substituindo dV da Eq. 123 na Eq. 124:

sis LAZdH cot

Eq. 125

A altitude do ponto P2 é dada pela Eq. 118.

84


5.2.2.1 Influência da curvatura terrestre

No nivelamento em distâncias curtas (consideram-se inferiores a 300 m), concebe-se, na estação do

instrumento, um plano horizontal e tangente à esfera terrestre, e determina-se a diferença de altitude (ou cota)

em relação a esse plano. No ponto visado (alvo) é negligenciado o afastamento entre o plano horizontal e a

esfera terrestre. Entretanto, este afastamento aumenta à proporção em que cresce a distância entre o

instrumento e o alvo. Dessa forma, a curvatura terrestre deve ser considerada no cálculo da altitude.

Figura 75 – Efeito da curvatura terrestre no nivelamento trigonométrico

Considera-se a Terra na forma de esfera com raio 6.370 km. Para a distância horizontal d, resulta a

influência da curvatura terrestre Ic segundo o teorema de Pitágoras:

Figura 76 – Situação geométrica do efeito da curvatura

222

c dR)I(R

222

cc

2 dRI2RIR

,2R

I

2R

d

2R

IdI

2

c

22

c

2

c

onde

0,2R

I2

c

logo

.2R

dI

22

c

Eq. 126

85


Assim, o efeito da curvatura terrestre é somado à diferença de altitude:

c12 IHHH

Eq. 127

5.2.2.2 Influência da refração atmosférica

Um raio luminoso que passa pela atmosfera sofre um desvio de direção, de modo que o ângulo zenital z’

medido na estação do instrumento em P1 para o alvo sobre o ponto P2 sobre um desvio angular ∆z.

Figura 77 – Influência da refração atmosférica

A refração atmosférica “falsifica” o cálculo de dV, tornando-o dV’. A influência da refração atmosférica é

dada por:

2R

dkI

2

R

Eq. 128

onde k é o coeficiente de refração atmosférica. Seu valor médio aproximado é 0,13 para o Brasil. A

expressão a altitude H2 fica:

R12 IHHH Δ

Eq. 129

5.2.2.3 Influência da curvatura terrestre e da refração atmosférica

Por fim, a expressão da altitude considerando os efeitos da curvatura terrestre e da refração atmosférica

fica:

cR12 IIHHH Δ

Eq. 130

86


Exemplos:

1) Com um teodolito instalado no ponto P1, foram realizadas leituras em uma mira posicionada no ponto P2.

Foram medidos os correspondentes ângulos zenitais. Calcule o desnível entre os dois pontos.

Ls = 3,000 m; Li = 1,000 m; Zs = 8005’00”; Zi = 8130’00” Ai = 1,650 m.

2) Com uma estação total, deve-se calcular o desnível entre a tomada de água em um rio e um bebedouro

situado no alto de uma colina. Foram medidos:

Distância horizontal: h = 122,848 m; ângulo zenital: Z = 8110’25”; Ai = 1,40 m; Aa= 1,670 m.

3) No transporte de altitude de uma RN para um ponto denominado K1, obtiveram-se os seguintes dados:

h = 795,430 m; Z = 8515’48”; Ai = 1,680 m; Aa= 2,050 m. Se a altitude da RN é 152,544 m, calcule a altitude do

ponto considerando os erros de influência da refração atmosférica e da curvatura terrestre. Considere k=0,13;

R = 6.350 km.

87


5.3 Noções de Topologia

Topologia é a parte da Topografia e também da Cartografia que estuda as formas do terreno e as leis

que regem seu modelamento. Os elementos básicos deste estudo são:

Ponto cotado. É a forma mais simples de representação do relevo.

Figura 78 – Ponto cotado

Curvas de nível. É a forma mais usual para representar o relevo de uma superfície. São constituídas por

linhas traçadas em uma carta topográfica ou em uma planta.

Figura 79 – Curvas de nível

As curvas devem ser projetadas conforme um intervalo altimétrico chamado equidistância, estabelecido

conforme a escala do trabalho. Devem ser numeradas para possibilitar sua leitura, e assim classificadas em

curvas mestras e secundárias.

Quadro 8 – Escalas e eqüidistâncias

Escala Equidistância [m] Aplicação

1:250.000 100 Diretoria do Serviço

Geográfico (DSG) –

Exército Brasileiro

1:100.000 40

1:50.000 20

1:25.000 10

1:10.000 5

Serviços gerais de

Topografia

1:5.000 5

1:2.000 2

1:1.000 1

1:500 (ou maiores) 0,25 a 0,50

88


Observações:

a) as curvas não tem cantos, ou seja, são “lisas” (Figura 80-a);

b) Duas curvas de nível nunca se encontram e tampouco se unem em uma só (Figura 80-b, -c).

Figura 80 – Considerações sobre as curvas de nível

5.3.1 Traçado de curvas de nível: método numérico

A partir do levantamento topográfico altimétrico são obtidos diversos pontos com cotas ou altitudes

conhecidas. A partir destes pontos é que as curvas de nível serão desenhadas. É fundamental que os pontos

possuam coordenadas planas (coordenadas polares) a fim de que sejam representadas na carta. A quantidade

suficiente de pontos e a posição estratégica deles no terreno são fatores que decidem a representação fiel do

terreno por meio das curvas de nível.

O método numérico é uma forma de se obter curvas de nível por meio do cálculo de interpolação. Devem

ser conhecidas as cotas dos pontos, a distância horizontal entre eles e a equidistância das curvas de nível.

Exemplo: dados os pontos coordenados A (c=73,2 m) e B (c=86,1 m), calcule os pontos de cotas

intermediárias para uma equidistância de 5 metros.

Prática em sala de aula:

Calcular e desenhar as curvas de nível a partir dos pontos cotados.

a) Efetuar a triangulação;

b) Calcular (equidistância 1 m) e identificar em cada ramo da triangulação o ponto por onde passam as curvas;

c) Traças as curvas, ligando os pontos de mesma cota, identificar e negritar as curvas mestras;

d) Não apagar triangulação nem marcações.

89


90


5.4 Terraplenagem

Terraplanagem é o conjunto de procedimentos que envolvem escavação, transporte e depósito de terra

para a execução de obras, por exemplo, na construção de estradas e obras de pequeno ou grande porte.

Em função da dimensão e do tipo da obra, tornam-se indispensáveis estudos geotécnicos além do

levantamento planialtimétrico. Por meio deles é avaliada a estrutura geológica do terreno bem como os tipos de

materiais que o compõem, sua estabilidade dentre outras variáveis.

Além de exigências técnicas devem ser avaliadas alternativas mais econômicas do movimento de terra.

Por meio de um projeto de terraplanagem é possível se obter o volume de material de limpeza do terreno, o

cálculo das áreas das seções transversais, o cálculo dos volumes (cubação) do movimento de terra e a locação

topográfica dos cortes e aterros.

Além dos aspectos técnicos, é necessário conhecer os equipamentos mecânicos destinados a estas

tarefas bem como o dimensionamento das equipes de trabalho, o planejamento dos serviços e a definição dos

custos.

6. DIVISÃO DE ÁREAS E LOCAÇÃO

A divisão e a demarcação de terras têm por objetivo a partilha de uma dada superfície em partes

menores, equivalentes ou não entre si, onde a soma dos mesmos coincide com a área total que foi dividida.

Ocorrem em situações como desmembramentos e divisão de uma propriedade comum.

O procedimento de divisão de terras compreende três aspectos: o geométrico, o jurídico e o econômico.

Do ponto de vista geométrico, o processo inicia com a aplicação dos métodos tradicionais de levantamento

topográfico (medição, cálculo e representação), passa pelo cálculo dos elementos de locação e finaliza com a

materialização (locação) dos vértices que delimitam as novas parcelas. Os aspectos jurídicos se referem

basicamente à interpretação dos títulos de propriedade e identificação de suas partes em detalhe na descrição

do imóvel. No estudo econômico são analisadas as variáveis que compõem o valor do imóvel.

A divisão de polígonos topográficos por método analítico consiste na aplicação da fórmula de Gauss e da

equação da reta. Nas fórmulas, são conhecidas as coordenadas dos vértices existentes e as incógnitas são as

coordenadas dos vértices a serem determinados.

Ao se tratar da locação de uma obra, o engenheiro deve estar seguro sobre os limites do lote em que ela

será executada, ou seja, a localização exata das divisas da propriedade. Esta etapa deve ser feita por meio da

conferência de documentos e escrituras em confronto com o levantamento topográfico. Eventualmente, é

necessária que as divisas sejam reconstituídas (ou relocadas). O profissional de Agrimensura tem a

responsabilidade sobre o imóvel, que é propriedade de quem o contrata. Procedimentos errôneos podem trazer

conseqüências sérias, por exemplo, demolições, atraso da obra, embargo e indenizações.

A locação de pontos e de alinhamentos depende de referências pré-existentes no terreno, ou seja, de

pontos de controle a partir dos quais sairão os alinhamentos e distâncias necessárias para a locação. Estes

pontos devem ser medidos no levantamento topográfico para que posteriormente, em escritório, possa ser

elaborado um plano de locação. Na escolha dos pontos de controle deve-se observar que eles podem ser

utilizados mais tarde para uma eventual utilização em medições subseqüentes (e.g., interligação de visadas,

acessos, ampliação da obra, etc.). Além disso, pontos considerados importantes devem ser materializados em

local seguro, de forma duradoura, e amarrados a outros pontos de controle. A disposição de um arquivo de

pontos de controle é recomendável em qualquer obra de grande porte. Tal arquivo deve conter, além das

91


coordenadas e altitude dos pontos, todas as informações sobre a localização, a origem, a locação e a eventual

proteção do marco. Se a locação for feita a partir destes pontos de controle, recomenda-se inspecionar suas

coordenadas por meio de medições preliminares.

A locação pelo método ortogonal é usada nas locações simples de obras, por exemplo, na locação de

residências onde se devem observar as distâncias das divisas no projeto da obra. Na locação dos pontos

empregam-se reduções perpendiculares com prumo, trena e balizas a partir de uma linha de saída. Pelo

alinhamento sobre a linha de locação, resultam mais pontos. Quando se exige alta precisão, por exemplo, a

locação de edifícios feitos com peças pré-moldadas, deve-se utilizar uma trena de precisão para a edição de

distâncias e um teodolito para a obtenção dos ângulos retos e alinhamentos (atualmente existem as estações

totais). Conforme a locação se torna mais detalhada e complicada, recorre-se a outros métodos.

Como a marcação dos pontos se perde durante a execução da fundação da obra (o furo as estacas é

feito exatamente no piquete), os pontos são então amarrados em um madeiramento chamado gabarito de

locação. Ele é montado ao redor, normalmente paralelo ao alinhamento da obra, em uma distância que permite

a escavação para a execução dos alicerces. No gabarito, são fixados pregos de forma que definem

alinhamentos em duas direções. Desta forma os pontos locados são transferidos para o gabarito. Por fim,

amarram-se linhas de náilon nos devidos pregos, que, bem esticadas, materializam os alinhamentos. Os

pontos definidos pelo cruzamento destas linhas são os pontos locados. Em grandes obras, onde se tem vários

alinhamentos, estes podem ser calculados a partir de um sistema de coordenadas local. Da mesma forma, a

locação pode ser feita por coordenadas polares.

Prática de campo 14: divisão de área e locação

a) Objetivo: cálculo de divisão de áreas e projeto da locação das divisas por coordenadas polares.

b) Materiais: Planta do levantamento topográfico (prática 11), estação total, bastão com prisma, piquetes, marreta.

c) Procedimentos: Por divisão de áreas, separar do lote uma área pré-estabelecida, determinar os pontos que a

delimitam e locá-los por coordenadas polares com estação total.

92


7. INTRODUÇÃO AO NAVSTAR-GPS

7.1 Posicionamento

7.1.1 Contextualização e conceito

Desde que o Homem “vaga” sobre a terra, ele necessita e busca maneiras de saber onde se encontra e

para onde vai, ou seja, de posicionar-se. Ele se preocupa em saber sua localização para determinar por

exemplo sua área de ocupação e explorar novos lugares.

Antigos viajantes marcavam seus caminhos com pedras, e, quando caía neve ou chuva, apagavam-se

as marcas. Com a exploração dos oceanos os problemas pioraram: não existia lugar para empilhar as pedras

nem marcas para se referenciar, a única coisa para se referenciar eram as estrelas, e somente com medições

cuidadosas (e apenas nas noites claras). Ainda assim não se tinha precisão.

O homem moderno, com o desenvolvimento da eletrônica, inventou novos sistemas de posicionamento

baseados em sinais de rádio emitidos da superfície da Terra ou em satélites em sua órbita. As principais

vantagens são independência de condições meteorológicas e possibilidade de aprimoramentos do sistema

(modernizações). O sistema de radionavegação mais popular da atualidade é o Sistema de Posicionamento

Global – GPS. Sua capacidade fundamental é a localização espacial (posicionamento).

A aplicação do posicionamento está nas mais diversas atividades: navegação e controle de aeronaves,

veículos terrestres e embarcações, agricultura de precisão, cadastro técnico, lazer (pesca, passeios), atividades

bélicas (monitoramento de tropas, direcionamento de mísseis, etc). Enfim, a aplicação do posicionamento é

ilimitada. Entretanto, o que o GPS e outros sistemas modernos de posicionamento fazem é fundamentalmente

a determinação da localização espacial associada a um instante (tempo). O que é feito com esta informação é

mera aplicação na atividade desejada ou em curso, e esta aplicação geralmente requer outros elementos de

processamento e controle que são alheios, mas associados (ou mesmo integrados) à função fundamental do

sistema de posicionamento. Ou seja, o GPS por si só não realiza as atividades citadas. Mesmo que de

importância fundamental, ele é mera ferramenta que gera os dados de posição que serão utilizados para o

desenvolvimento daquelas atividades.

7.1.2 Referencial e sistemas de coordenadas

Posicionamento refere-se à determinação da localização, o que implica na necessidade de se adotar

uma referência. Tecnicamente, a posição do objeto que se deseja localizar deve estar atrelada a um sistema

de referência. Um referencial é composto de um conjunto de elementos física e geometricamente definidos

(eixos cartesianos, figura geométrica, etc.) e espacialmente orientados, que servem de referência para, em

relação a ele (o referencial), determinar a localização (coordenadas) de pontos (objetos) no espaço de seu

domínio.

93


Tecnicamente, parte dos sistemas de referência estão associados ao corpo da Terra e podem ser de

abrangência regional (servem para um estado, país ou continente) ou global (para a Terra toda), e este é o

caso do sistema de referência WGS84 (World Geodetic System of 1984), usado pelo NAVSTAR-GPS.

Pode haver diversos tipos de coordenadas associadas a um sistema de referência terrestre. Os mais

utilizados modernamente são as coordenadas geográficas elipsóidicas e as cartesianas elipsóidicas, as

quais são genericamente conhecidas por coordenadas geodésicas (Figura 81). Na sequência são

caracterizados os elementos e grandezas associadas.

P: ponto da superfície física da terra (SFT). Também pode ser um ponto no espaço próximo a ela; Caracterização dos elementos e grandezas representados na figura 2:

OA=OB : semi-eixo maior (a) do elipsóide;

OC : semi-eixo menor (b) do elipsóide;

O: origem do sistema cartesiano e centro geométrico do elipsóide. Nos sistemas geocêntricos, a origem coincide com o centro de massa (CM) da Terra;

IRP: InternacionalReference Pole ou IERS Reference Pole (IERS- International Earth Rotation and Reference Service). O IRP é o substituto do antigo CIO – Conventional Internacional Origin- que correspondia à posição média do pólo no período 1900-1905. A orientação do IRP (e, por conseqüência, do IRM) foi determinada em 1984 pelo BIH (Bureau International de l’Heure) e é mantido pelo IERS;

IRM: Internacional Reference Meridian;

OZOYOX : sistema cartesiano triortogonal, onde: O eixo OZ é orientado em sentido ao IRP; o eixo OX é orientado na interseção do IRM com o plano equatorial, e o eixo OY completa um sistema dextrógiro;

PE: ponto de interseção da normal por P com a superfície do elipsóide;

PQ: ponto de interseção da normal por P com o plano equatorial;

PR: ponto de interseção da normal por P com o eixo de rotação;

RE PP = N : grande normal;

QE PP = N’ : pequena normal;

ZP= PzO = PPO ;

P : latitude geográfica elipsóidica do ponto P. É o ângulo formado entre a normal pelo ponto e sua

projeção no plano equatorial (observar abaixo a convenção dos sinais);

P : longitude geográfica elipsóidica do ponto P. É o ângulo (diedro) entre os planos do meridiano de

referência e o plano do meridiano do ponto (observar abaixo a convenção dos sinais);

EPP = hP: altitude geométrica ou elipsoidal do ponto P. É a distância do ponto P até o elipsóide, ao

longo da normal;

PPP zyx ,, : coordenadas cartesianas elipsóidicas do ponto P;

PPP h,, : coordenadas geográficas elipsóidicas do ponto P.

94


Figura 81 – Coordenadas Geodésicas: representação e caracterização dos elementos e grandezas associadas

Assim, o ponto P pode ser posicionado univocamente (definição de sua localização no espaço

tridimensional) por meio de suas coordenadas cartesianas elipsóidicas ( PPP zyx ,, ) ou por meio de suas

coordenadas geográficas elipsóidicas ( PPP h,, ), ambas consideradas genericamente por coordenadas

geodésicas. Um ponto georreferenciado é definido por essas coordenadas.

O valor da latitude geográfica elipsóidica de um ponto segue a convenção:

No hemisfério norte: 0° < P 90° ;

No hemisfério sul: - 90° P < 0° ;

No equador: P =0° .

O valor da longitude geográfica elipsóidica de um ponto geralmente segue a convenção:

A leste do meridiano de referência (de Greenwich): 0° < P 180° ;

No hemisfério sul: - 180° P < 0° ;

No meridiano de referência (Greenwich): P =0° .

95


7.1.3 Introdução ao sistema de projeção cartográfica UTM

Além das coordenadas geodésicas geográficas e cartesianas, é comum o uso das coordenadas planas

da projeção cartográfica “Universal Transverse Mercator” – UTM9.

De forma geral, as projeções cartográficas projetam geométrica ou matematicamente os elementos da

superfície da Terra referenciados a um modelo elipsóidico dela em um plano ou em superfícies desenvolvíveis

em um plano, tais como o cilindro e o cone. Entretanto, não há como projetar elementos de uma superfície

curva (elipsóide) em uma superfície plana sem que haja algum tipo de deformação ou distorção. Assim, as

projeções são classificadas de acordo com suas propriedades, ou seja, o tipo de deformação na representação.

As projeções podem ser: conformes (conserva os ângulos de figuras pequenas), equivalentes (conserva as

áreas), eqüidistantes (conserva a escala sobre uma linha ou conjunto delas) e afiláticas (não conserva

ângulos nem áreas e nem comprimentos, mas minimiza todas as distorções).

O sistema UTM tem como principais características: a) Projeção conforme, de natureza cilíndrica, cuja superfície é transversa ao eixo de rotação da Terra e

secante a ela; b) A superfície de referência (elipsóide) é dividida em 60 zonas ou fusos;

c) Cada fuso é identificado por um número (F) de 1 a 60 e tem 6° de amplitude (3° de longitude a leste e a oeste a partir do meridiano central);

d) O número de um fuso pode ser calculado pela expressão: 306

3

MCF

, em que MC é o valor

numérico (número de graus) da longitude do meridiano central do fuso. O primeiro fuso (F=1) tem o meridiano central de longitude -177°, ou seja, é delimitado entre as longitudes -180° e -174°;

e) A longitude do meridiano central de um fuso pode ser calculada pela expressão:

1836 FMC ;

f) Constitui um sistema plano de coordenadas, com ordenada N (Norte) e abscissa E (Este) em metros, com as seguintes convenções: - No hemisfério Sul, a coordenada norte na linha origem (equador) assume o valor N=10.000.000m; - No hemisfério Norte, a coordenada norte na linha origem (equador) assumem o valor N=0 m; - A coordenada Leste na linha de origem (meridiano central do fuso) tem coordenada E=500.000m; - Dessa forma, não há coordenadas negativas.

A projeção (representação na carta) tem como características: a) O conjunto de paralelos e meridianos forma um quadriculado em que os meridianos (linhas verticais

ou quase verticais, denominadas norte de quadrícula) são representados paralelamente à projeção do

meridiano central do respectivo fuso. Isso faz com que representações fora do meridiano central do

fuso tenham o norte de quadrícula com direção ligeiramente diferente do norte verdadeiro ou

geográfico. Essa diferença angular recebe o nome de convergência meridiana plana;

b) A escala é variável em função da latitude e da longitude. Nas duas linhas de secância, ela

corresponde à escala nominal da carta, entre os meridianos de secância é menor que a escala

nominal da carta, e “externamente” aos meridianos de secância ela é maior que a escala nominal da

carta. A figura 2 ilustra este aspecto. A expressão 2

cos22

0

KK possibilita o cálculo do

fator de escala, onde 0K é o coeficiente de redução de escala no meridiano central do fuso, que vale

0,9996, e MC (em radianos).

9 O sistema de projeção cartográfica UTM é apenas um dos diversos tipos de projeção cartográfica. Não é o escopo de este

curso apresentar os detalhes das projeções cartográficas.

96


Figura 82 – Cilindro transverso e secante que forma um fuso da projeção UTM e a variação do fator de escala

Na Figura 83 são apresentados os 60 fusos e as zonas UTM, para o mundo todo. Observe-se que a zona 22J destacada é a que mapeia a maior parte da região sul do Brasil.

Figura 83 – Zonas, fusos e bandas do sistema de coordenadas UTM

Fonte: Fundamentos de Orientação, Cartografia e Navegação Terrestre. Raul M. P. Friedmann. Ed. Pro Books & CEFET-PR, 2003.

97


7.1.4 Sistemas de referência do Sistema Geodésico Brasileiro e do GPS

O Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) é realizado por meio de um conjunto de estações (marcos

geodésicos) estabelecido na superfície do país. O SGB é composto pelas redes fundamentais Planimétrica,

Altimétrica e Gravimétrica e constitui o referencial para a determinação de coordenadas, altitudes e gravidade

no território brasileiro.

A definição, estabelecimento e manutenção do Sistema Geodésico Brasileiro são de responsabilidade

do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - IBGE. Desde 25 de fevereiro de 2005 ele oficializou um novo

sistema geodésico de referência no Brasil, denominado SIRGAS (Sistema de Referência Geocêntrico para as

Américas), que, durante dez anos será concomitante com o sistema anterior SAD69 (South American Datum).

A partir de 2015 permanecerá somente o SIRGAS.

O SAD69 possui uma orientação parcialmente arbitrária, ou seja, a orientação do elipsóide (Elipsóide

Internacional de 1967) tem o eixo de rotação paralelo ao da Terra, mas a origem deste elipsóide não coincide

com o centro de massa da Terra, sendo transladado para que um ponto da superfície desse elipsóide coincida

com um ponto (Datum) da superfície do país. Já o SIRGAS, por ser geocêntrico, não possui um único ponto

Datum, mas uma rede de 21 pontos que pertencem à Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC),

uma rede de estações ativas GPS.

A caracterização atual do Sistema Geodésico Brasileiro é dada na resolução PR-1/2005 do IBGE.

Neste documento estão também os parâmetros de transformação de um sistema para outro. Informações

adicionais bem como os dados das estações pertencentes ao SGB encontram-se na página do IBGE

(www.ibge.gov.br). Na tabela 1 são dados os parâmetros geométricos dos dois sistemas de referencia

atualmente oficiais no Brasil (SAD69 e SIRGAS2000), e do WGS84 utilizado pelo GPS.

Quadro 9 – Parâmetros Geométricos dos elipsóides do WGS84, do SIRGAS e do SAD69

Parâmetros WGS84 SIRGAS2000 SAD69

Semi-eixo maior (a) 6378137,0 m 6378137,0 m 6378160,0 m

Achatamento (1/f) 298,257223563 298,257222101 298,25

7.2 Sistema de Posicionamento Global por Satélites

7.2.1 Introdução

O NAVSTAR GPS (NAVigation System with Time And Ranging Global Positioning System) é um

sistema de radionavegação baseado em satélites artificiais que provê informações para posicionamento

tridimensional, navegação e tempo aos usuários equipados com equipamentos apropriados (os receptores

GPS). Ele foi desenvolvido pelo Departamento de Defesa (Department of Defense - DoD) dos EUA a partir de

1973 com o objetivo de ser o principal sistema de navegação militar norte-americano. É, portanto, um sistema

militar com acesso restrito a usuários civis. Baseia-se em uma constelação de 24 satélites distribuídos em seis

órbitas com cerca de 20.200 km de altitude, cuja configuração final está disponível desde 1995. O arranjo dos

satélites (Figura 84) foi planejado de tal forma que se tenha no mínimo 4 satélites visíveis acima do horizonte,

http://www.ibge.gov.br/

98


em qualquer ponto da superfície da Terra e a qualquer hora. Com uma sofisticada tecnologia de comunicação,

o sistema permite determinar posições tridimensionais sobre qualquer ponto da superfície da Terra, a qualquer

instante e em qualquer condição meteorológica, de forma robusta e relativamente simples, o que foi uma

verdadeira revolução nas técnicas de comunicação e posicionamento.

Figura 84 – Distruição da Constelação dos satélites do GPS

Atualmente, com a tecnologia dos circuitos integrados, os receptores GPS têm se tornado pequenos e

baratos, o que tem potencializado formidavelmente suas aplicações, desde o simples lazer (pesca, ecoturismo),

e necessidades comuns (mapeamento, navegação, rastreio de veículos) até as pesquisas científicas de ponta

(monitoramento de estruturas, estudo das placas tectônicas, etc).

7.2.2 Principio básico do posicionamento por GPS

Embora o GPS empregue alta tecnologia, o princípio básico utilizado no posicionamento é simples. A

base está na medição do raio de ação dos satélites, ou seja, das distâncias entre a antena do receptor GPS do

usuário e as antenas de um grupo de satélites GPS. Devido a alguns erros inerentes em sua determinação,

elas são denominadas de pseudodistâncias.

As frentes das ondas eletromagnéticas emitidas por cada satélite se propagam no espaço de forma

semelhante às ondas que se propagam num lago quando jogamos uma pedra (entretanto, ondas

eletromagnéticas se propagam tridimensionalmente). Assumindo que as posições (órbita) dos satélites e as

distâncias até eles sejam conhecidas, pode-se então determinar a posição do ponto de rastreio pela interseção

das esferas (frentes de onda) no espaço, conforme pode ser observado na Figura 85. No lado direito da mesma

está representada a interseção de duas frentes de onda. Fica a cargo do leitor imaginar uma terceira frente de

onda, quando então a interseção se dá em dois pontos apenas. Um destes pontos se localizará, em algum

momento, sobre a superfície terrestre (no local onde está o usuário com seu receptor GPS).

Este é o principio fundamental do posicionamento pelo GPS: a medida das pseudodistâncias entre o

receptor do usuário e os satélites para o cálculo da posição (intersecção dos raios vetores). Mas como a

distância a um satélite é medida? Por meio da equação velocidade multiplicada pelo tempo de viagem do sinal

(d= v·t). No caso, a velocidade das ondas eletromagnéticas é de aproximadamente 300.000 km/s. Ou seja, o

GPS trabalha determinando o tempo que um sinal de radiação eletromagnética leva para alcançar o receptor

(desde o instante de sua emissão pelo satélite) e então calcula a distância a partir desse tempo. Mas como se

trabalha com a velocidade da luz, faz-se necessário medir intervalos de tempos com extrema precisão para que

a distância seja calculada com erro de pequena magnitude. Pelo fato de haver erro na medida da distância

99


devido à imprecisão na medição de tempo e a outros fatores que serão vistos adiante, aquela distância é

denominada de pseudodistância por não representar a distância geométrica verdadeira.

Figura 85 – Frente de onda dos sianis dos satélites GPS

Como o receptor sabe quando o sinal partiu do satélite? Para isso é usada uma idéia interessante: a

geração exatamente ao mesmo tempo de um código no satélite e no receptor. Este faz então uma comparação

do sinal gerado com aquele sinal recebido para determinar há quanto tempo o receptor gerou o mesmo código,

ou seja, determina o tempo de viagem do sinal comparando e medindo a defasagem entre os dois (Figura 86).

Figura 86 – Comparação dos sinais de código gerado e recebido na determinação do tempo de propagação

O código utilizado pelo GPS é um conjunto complexo de códigos digitais e aparentam ser um sinal de

ruído (por isso denominados PRN - Pseudo-Random Noise), que se repetem mil vezes por segundo. Os

códigos pseudorandômicos são uma genial invenção da engenharia de telecomunicações. Com eles é possível

captar sinais extremamente fracos para comunicação de dados de modo inequívoco, tornando-se um sistema

robusto e prático, pois não se exige um receptor com uma enorme antena direcional, dentre outros fatores.

Entretanto, é necessário que o tempo nos satélites e no receptor estejam perfeitamente sincronizados,

o que é um problema. Do lado dos satélites esse problema é resolvido com relógios atômicos, que são

extremamente precisos, contudo caros (dezenas de milhares de dólares). Têm precisões da ordem de 10-14

segundo e cada satélite pode trazer até quatro unidades. Do outro lado, no receptor, seria inviável dispor de um

relógio atômico. Estes usam osciladores de quartzo semelhantes aos usados em circuitos eletrônicos comuns,

que têm precisão muito menor do que os atômicos. O problema do sincronismo de tempo no receptor (devido à

imprecisão de seu relógio) é então resolvido por meio de uma medição extra a um quarto satélite. Ou seja, se

100


com medições a três satélites teríamos a solução da posição tridimensional (3 equações e três incógnitas), na

realidade são necessárias medições a quatro satélites para que se obtenha também a solução do erro de

sincronismo do receptor relativo ao tempo GPS. Em resumo, são 4 incógnitas: coordenadas tridimensionais x,

y e z do ponto e o erro de sincronismo dos relógios. Com isso, formam-se 4 equações (uma para cada satélite)

para solucionar o posicionamento. Naturalmente que, se for possível rastrear uma quantidade maior de

satélites, melhor, mais precisa e mais confiável será a solução. Na prática, os receptores atuais são capazes de

rastrear até 12 satélites ao mesmo tempo. O conjunto mínimo de equações para a determinação da posição do

receptor (coordenadas x, y, z) e do erro de sincronismo do relógio do receptor (tR) é dado por:

R

R

R

R

tczzyyxx

tczzyyxx

tczzyyxx

tczzyyxx

2

4

2

4

2

4

2

4

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

)()()(PR

)()()(PR

)()()(PR

)()()(PR

Eq. 131

onde:

PRi: pseudodistância entre o satélite i e receptor;

xi, yi, zi : coordenadas cartesianas do satélite i

c : velocidade da luz.

Para a determinação da posição, é necessário o conhecimento da posição dos satélites em suas

órbitas. Como se sabe onde está um satélite que orbita a mais de 20.000 km acima da superfície terrestre? A

resposta é dada pelo conhecimento de sua órbita, que é determinada por parâmetros matemáticos que

descrevem a mesma. Os receptores GPS têm armazenados em sua memória parâmetros denominados

almanaque, que permitem o cálculo da posição aproximada de cada satélite. Os satélites ainda transmitem

parâmetros mais completos denominados efemérides, que permitem o cálculo preciso da posição dos satélites

durante o posicionamento.

7.2.3 Fontes de erro no posicionamento por GPS

Por mais perfeito que possa parecer, existem diversas fontes de erros no posicionamento GPS que são

difíceis de eliminar. As fontes de erro podem ser dependentes dos satélites, da propagação do sinal na

atmosfera e da estação (receptor e antena). O mais significativo dos erros no cálculo da posição ocorre por

causa da ionosfera, camada da atmosfera situada entre 50 e 800 km acima da superfície terrestre que

possuem partículas eletricamente carregadas. Essas partículas afetam a velocidade de propagação das ondas

eletromagnéticas. Depois da ionosfera, os sinais do GPS ainda atravessam a troposfera da Terra, outra fonte

de erro ainda mais difícil de corrigir. Ainda existem os erros decorrentes da imprecisão das efemérides

transmitidas pelos satélites, de ruído no receptor, de multicaminho do sinal, entre outros.

Para usuários civis, o DoD pode ainda impor um erro intencional nos sinais emitidos por satélites: a

S/A (Selective Availability – disponibilidade seletiva), que visa diminuir a precisão no posicionamento dos

usuários civis. Ela foi desligada em maio de 2000. Mesmo assim, usuários mais refinados (ainda que sejam

civis) podem, entretanto, minimizar a maioria dos erros pelo uso de receptores mais avançados em conjunto

com métodos e técnicas adequadas de rastreio e de processamento, embora nesta abordagem geralmente se

tenha uma solução somente após algum tempo, ou seja, não é um posicionamento em tempo real. Também há

opções onde se pode obter soluções em tempo real melhores do que se fosse obtidas no posicionamento

101


absoluto. Estas opções são o DGPS (GPS diferencial) e o RTK (Real Time Kinematic). Elas requerem,

entretanto, uma estrutura mais complexa (estações de referência, sistemas de transmissão de dados, etc.).

Outro fator que influencia na precisão do posicionamento é a geometria formada pelos satélites

rastreados e o usuário. Foi criado um fator que avalia essa geometria, chamado DOP (Dilution Of Precision),

cujo valor é inversamente proporcional ao volume do tetraedro formado por quatro satélites e o receptor do

usuário. Assim, quanto menor o valor do DOP (idealmente menor que 5), melhor será a geometria dos satélites

rastreados e conseqüentemente melhor será o resultado do posicionamento.

7.2.4 Características técnicas principais do NAVSTAR-GPS

Na seção 7.2.2 foi visto que o princípio básico do posicionamento com o GPS consiste na medição de

distâncias entre o usuário (receptor GPS) e pelo menos quatro satélites. Ou seja, conhecendo-se as

coordenadas destes satélites num sistema de referência apropriado, é possível calcular as coordenadas da

antena do receptor do usuário no mesmo sistema de referência dos satélites. O NAVSTAR-GPS provê dois

tipos de serviços:

a) SPS (Standard Positioning Service), o serviço de posicionamento e tempo padrão que está disponível a qualquer usuário da Terra, gratuitamente;

b) PPS (Precise Positioning Service), cujo acesso é restrito aos usuários autorizados (basicamente, militares norte-americanos). Proporciona melhor precisão em tempo real.

O GPS consiste de 3 segmentos principais:

Segmento Espacial: consiste dos 24 satélites distribuídos em 6 planos orbitais com 4 satélites em cada

plano, numa altitude aproximada de 20.200 km. Os planos orbitais são inclinados de 55 em relação ao equador terrestre e o período orbital é de 12 horas siderais, ou seja, para um mesmo ponto de observação na superfície da Terra, a posição dos satélites se repete a cada dia com uma antecedência de 3 minutos e 56 segundos em relação ao dia anterior. Cada satélite GPS transmite informações em duas ondas portadoras, denominadas L1 e L2. Elas são geradas a partir da freqüência fundamental de 10,23 MHz, a qual é multiplicada por 154 e 120 (Figura 87), respectivamente, obtendo-se L1=1.575,42 MHz e L2=1.227,60 MHz.

Figura 87 – Geração de sinais GPS

102


Todos os satélites GPS transmitem sinais nas mesmas freqüências (L1 e L2). Entretanto, cada satélite é

identificado por um código identificador contido no PRN (Pseudo-Random Noise). O PRN é uma seqüência

binária que é modulada sobre as ondas portadoras. Como é gerado por um algoritmo, pode ser univocamente

rastreado e identificado. Ele contém dois códigos importantes: o código C/A (Clear Acquisition – aquisição livre)

e o código P (precise ou protected – preciso ou protegido). O código C/A é gerado a uma razão de 1,023 MHz,

ou seja, consiste de 1.023 bits com período de 1 ms. Cada satélite transmite um código C/A diferente que é

modulado sobre a portadora L1. O código P, de uso restrito, é transmitido a uma razão de 10,23 MHz. Como

seu comprimento de onda é dez vezes menor que o do código C/A, permite medições mais precisas. Ele é

modulado em ambas as portadoras, mas sua decodificação é protegida (criptografada). Denomina-se CDMA

(Code Division Multiple Access – Divisão do código para múltiplo acesso) a técnica pela qual um conjunto de

emissores de um sistema de comunicação transmitem na mesma freqüência onde a identificação do emissor é

feita por códigos particulares.

Além dos códigos C/A e P, os satélites também transmitem dados relativos à sua posição na órbita

(efemérides), ao estado do relógio e parâmetros de correção, dentre outros. Eles são conhecidos como dados

ou mensagens de navegação. Elas são moduladas em ambas as portadoras à razão de 50 bits por segundo,

sendo que uma mensagem completa (data frame – quadro de dados) é composta por 1.500 bits, ou seja, a

cada 30 segundos é completado um quadro.

Concluindo, observa-se que há três tipos de sinais envolvidos no GPS: as portadoras L1 e L2, os

códigos C/A e P e as mensagens de navegação. Essa estrutura permite não só medir a fase da portadora mas

também o tempo de propagação dos códigos modulados sobre as mesmas, que vem a ser as duas

observáveis básicas para o processamento e cálculo da posição do usuário: a fase da portadora e o código.

Segmento de controle: Consiste de 5 estações monitoras (Hawaii, Kwajalein, Ascension Island, Diego

Garcia e Colorado Springs), cuja tarefa é monitorar continuamente os satélites, determinar o sistema de tempo

GPS, calcular as correções dos relógios dos satélites, predizer suas efemérides, atualizar periodicamente as

mensagens de navegação da cada satélite, dentre outras. As cinco estações pertencem à AAF (American Air

Force), sendo que a estação de controle central fica em Colorado Springs. O IGS (Internacional GPS Service)

produz, a partir destas estações monitoras e outras estações do NIMA (National Imagery and Mapping Agency),

efemérides com precisão da ordem de centímetros que servem para determinação precisa das coordenadas

dos satélites. Essas efemérides tornam-se disponíveis aos usuários no prazo de alguns dias a partir da coleta

dos dados permitindo atender às aplicações que exijam precisões melhores.

Segmento dos usuários: É constituído por todas as classes de receptores GPS, os quais se

caracterizam de acordo com os propósitos a que se destinam tais como navegação ou trabalhos geodésicos.

Como o GPS é primariamente um sistema militar, eles utilizam seus receptores para calcular suas posições e

deslocamentos durante manobras de treinamento e combate, e para navegação (por exemplo, a

orientação/navegação automática de mísseis, como foi visto na Guerra do Golfo em 1991). Do outro lado, estão

os usuários civis, que dispõe do emprego de grande variedade de receptores para diversas aplicações.

Um receptor GPS é composto, basicamente, por uma antena que pode ser interna ou externa ao mesmo,

de um circuito de RF (radiofreqüência) para a captação e identificação do sinal, de um circuito com

microprocessador, que realiza o controle do receptor e o processamento do sinal, de uma interface com o

usuário (botões de comando/controle e painel de exibição), de suprimento de energia (pilhas ou bateria) e de

memória para armazenar dados de rastreio e configuração.

O sistema de referência empregado pelo NAVSTAR-GPS é o WGS84 (World Geodetic System 1984).

Trata-se de um sistema geocêntrico. Esta informação é indispensável a todo usuário que vá utilizar o GPS e

almeja compatibilizar dados de rastreio com o sistema de referência do local onde estiver efetuando seu

103


trabalho (ou da carta que ele eventualmente esteja utilizando). Em outras palavras, deve-se utilizar o mesmo

sistema de referência para que os dados sejam compatíveis e comparáveis. Caso contrário, as coordenadas

podem diferir na ordem de dezenas de metros. Outra possibilidade é o usuário configurar seu receptor GPS

para que o mesmo já forneça as coordenadas no sistema de referência desejado. No caso de se trabalhar com

o WGS84 e o SIRGAS2000, eles podem ser considerados coincidentes para a maioria das aplicações práticas,

embora a rigor não o sejam.

7.2.5 Tipos de receptores GPS, métodos e técnicas de posicionamento

Os receptores GPS podem ser classificados conforme os critérios:

a) Aplicação

- receptor de navegação;

- receptor topográfico o para SIG (Sistemas de Informações Geográficas)

- receptor geodésico;

b) Tipo de observáveis rastreadas: - código C/A;

- código C/A e portadora L1;

- código C/A e portadoras L1 e L2;

Os receptores mais simples (e mais baratos) são aqueles que rastreiam e utilizam apenas o código C/A

para o processamento de sua posição em tempo real. São utilizados para navegação e atividades que não

exijam precisão no posicionamento em tempo real. De forma geral, todos os receptores rastreiam o código C/A.

Quando um receptor utiliza somente os dados recebidos pelos satélites e o código C/A para determinar sua

posição, denomina-se posicionamento absoluto. Rastreando no modo absoluto, pode haver um erro superior

à dezena de metros na posição. Com o método diferencial (DGPS), o posicionamento atinge precisões entre 1

e 3 m. Já os receptores que são capazes de rastrear e processar as portadoras L1 e L2 são os mais refinados.

Por métodos e técnicas apropriadas (rastreio por um longo período e pós-processamento relativo), consegue-

se atingir precisões milimétricas com este tipo de equipamento.

Observa-se que existem vários métodos e técnicas de posicionamento por GPS. Quando se necessita

da posição em tempo real com baixa precisão (em média 10 m de erro, com o S/A desativado), utiliza-se o

posicionamento absoluto, onde basta um receptor GPS rastreando os sinais dos satélites para fornecer a

posição instantânea. Caso o usuário necessite precisão maior, em tempo real, há duas opções: O DGPS e o

RTK.

A medida da distância entre os centros de fase da antena de um receptor GPS e da antena do satélite,

medida pelo receptor GPS, é afetada por diversos erros, sendo portanto denominada pseudodistância. O

método DGPS (GPS Diferencial) consiste no posicionamento GPS em tempo real com a aplicação de

correções diferenciais calculadas e transmitidas por uma estação de referência. Seu princípio básico vale-se do

fato que dois receptores GPS que estejam numa mesma região geográfica e que rastreiam simultaneamente os

mesmos satélites, têm os erros atuantes correlacionados (aproximadamente iguais). Essa correlação é

inversamente proporcional à distância entre os receptores. A ocupação de uma estação de coordenadas

conhecidas (estação de referência) possibilita a quantificação dos erros inerentes ao posicionamento absoluto

nesta mesma estação. Eles são calculados pela diferença entre as distâncias calculadas com auxílio das

coordenadas conhecidas (previamente levantadas e consideradas como verdadeiras) e as pseudodistâncias

104


medidas pelo receptor GPS, para cada um dos satélites. Dentre as fontes destes erros pode-se citar os

decorrentes:

- de erros do relógio do satélite e do receptor em relação ao tempo GPS; - do efeito de multicaminho do sinal; - da propagação (refração) do sinal na atmosfera (troposfera e ionosfera); - das efemérides (imprecisão das órbitas); e - do ruído do receptor. Os erros decorrentes do ruído do receptor e do efeito de multicaminho do sinal, assim como os

decorrentes do relógio do receptor não são, entretanto, atenuados pelo método diferencial.

Figura 88 – Princípio básico do método diferencial

As correções diferenciais são transmitidas da estação de referência à estação usuária por meio de um

enlace de comunicação de dados num formato padrão definido pela Radio Technical Commission for Maritime

Services – Special Committee 104, por isso ele é conhecido como formato RTCM. As correções diferenciais

podem ser aplicadas até algumas centenas de quilômetros da estação de referência. Entretanto, a validade

delas é função da distância entre as estações de referência e usuária, isto é, quanto mais próxima a estação

usuária estiver da estação de referência, mais correlacionados estarão os erros entre os dois pontos e melhor

será a precisão no posicionamento do receptor nesta estação (precisão máxima em torno de 1 m).

No RTK (Real Time Kinematic), o princípio é semelhante ao do DGPS. A diferenças básica é que os

receptores utilizados devem ser capazes de rastrear a fase da portadora, de forma que as informações de

correções transmitidas no RTK constituem um volume muito maior de dados. Assim, é exigido um sistema de

comunicação com maior capacidade e grande poder de processamento pelo equipamento do usuário. Com o

RTK atingem-se precisões altíssimas, da ordem do milímetro. Seu alcance confiável se restringe, entretanto, a

10 km da estação de referência dependendo das condições de rastreio.

Na maioria dos trabalhos que exigem precisão intermediária (decímetros ou mesmo centímetros) são

utilizados receptores que rastreiam a portadora L1, de custo intermediário. O procedimento de pós-

processamento com estes receptores é praticamente idêntico àquele com receptores de dupla frequência. Os

receptores L1 são largamente aplicados no cadastro, daí a denominação popular de receptor topográfico ou

receptor para cadastro.

Quando se necessita de posições com mais precisão (ordem decimétrica, centimétrica ou mesmo

milimétrica) sem a necessidade de que este posicionamento seja em tempo real, faz-se uso do método de

posicionamento relativo com pós-processamento. Neste caso, emprega-se um receptor GPS por determinado

tempo sobre o ponto cujas coordenadas se deseja determinar. Este tipo de receptor deve estar conectado a

105


uma antena de boa qualidade (geralmente separada do receptor). Cuidados especiais devem ser tomados na

instalação da antena e na configuração do receptor. Após o rastreio, os dados são descarregados em um

microcomputador para o pós-processamento. Este é feito com o auxílio de programas específicos, onde são

utilizadas informações de rastreio simultâneo de uma estação de referência (daí o termo posicionamento

relativo), efemérides precisas (que podem ser obtidas do IGS), modelos ionosféricos, dentre outras. Deve-se

perceber que este tipo de trabalho não é realizado por usuários comuns, devendo ser feito por profissionais

com alto nível de conhecimento sobre GPS. O custo dos equipamentos envolvidos neste tipo de levantamento

é alto, em especial os de dupla freqüência que são os mais utilizados no estabelecimento de marcos em redes

de referência fundamentais e na pesquisa científica.

No pós-processamento relativo necessitam-se dados de rastreio em uma estação de referência para

serem processados em conjunto dos dados do rastreio do receptor do usuário. A estação de referência é dita

passiva quando se trata de um marco de coordenadas conhecidas sobre o qual o usuário instala a antena de

seu receptor. É dita estação de referência ativa quando há um sistema em funcionamento contínuo que

realiza a recepção, armazenamento e disponibilização destes dados na estação. No Brasil, há as estações

ativas oficiais da Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo – RBMC, sob responsabilidade do IBGE (órgão

responsável pela Cartografia e Geodésia no Brasil). A RBMC é composta por dezenas de estações distribuídas

estrategicamente no país. Os dados são disponibilizados na internet gratuitamente a partir do dia subseqüente

ao rastreio. Também existem estações de referência ativas de instituições privadas ou autárquicas, como, por

exemplo, as bases do INCRA e bases de empresas privadas. Os programas de pós-processamento relativo,

geralmente comercializados em conjunto com o receptor, fazem combinações matemáticas das observações

das estações de referência e usuária minimizando erros e permitindo a determinação de coordenadas com

precisão melhor que aquela do posicionamento absoluto.

7.2.6 Outros sistemas de posicionamento por satélites

O NAVSTAR-GPS é o mais popular dos sistemas de posicionamento por satélites. Entretanto, há outros sistemas funcionais ou em desenvolvimento. O quadro a seguir apresenta um breve resumo das características desses sistemas.

Sistema País

Quantidade de satélites

(nominal + reserva)

Início ou período de desenvolvimento

Outras características

NAVSTAR-GPS

EUA 21+3 1973 6 planos orbitais

Altitude aprox. 20200 km

GLONASS URSS

(Rússia) 21+3 1976

3 planos orbitais Altitude aprox. 19100 km

GALILEO União

Européia 30+3 2008-2010

3 planos orbitais Altitude aprox. 23600 km

BEIDOU (COMPASS)

China 35 2000-2020

Alguns satéilites em órbitas geoestacionárias (aprox. 36000 km) para cobrir a China e a região

Ásia-Pacífico (até 2012), e os demais não-geoestacionários para cobertura global (entre

2012 e 2020).

IRNSS Índia 7 2010-2012 Órbitas provavelmente geoestacionárias

QZSS Japão 3 ou 4 2010-2013 Órbitas geoestacionárias (QZ: Quase Zenitais)

106


Prática de campo 15: posicionamento GPS – método absoluto

a) Objetivo: Navegação com o GNSS pelo método absoluto.

b) Materiais: Receptor de navegação.

c) Procedimentos: realizar navegação autônoma e efetuar o registro da coordenada de um ponto de partida. Executar

uma trajetória qualquer e programar o receptor para orientar a trajetória de retorno ao ponto de partida.

Prática de campo 16: posicionamento GPS – método relativo estático

a) Objetivo: Levantamento GNSS pelo método relativo estático.

b) Materiais: Receptor topográfico com acessórios, bipé com bastão, caderneta de campo 14.

c) Procedimentos: determinação das coordenadas geodésicas de pontos topográficos pelo método estático rápido.

Prática de campo 17: transporte de coordenadas no elipsóide

a) Objetivo: Transporte de coordenadas no elipsóide.

b) Materiais: Estação total, bastão com prisma, caderneta de campo 15, planilha de cálculo do programa Excel.

c) Procedimentos: determinação das coordenadas geodésicas de um ponto topográfico por transporte de coordenadas.

De preferência, trabalhar com os mesmos pontos da prática 16 para a conferência e comparação dos resultados.

107


Cadernetas de Campo

Caderneta 01 – Medição com trena e aferição do passo

Caderneta 02 – Medição de distâncias por taqueometria

Caderneta 03 – Medição de azimute magnético

Caderneta 04 – Cálculo de ângulos horizontais

Caderneta 05 – Cálculo de ângulos verticais e altura de objetos

Caderneta 06 – Interseção à vante

Caderneta 07 – Levantamento planialtimétrico por coordenadas polares (teodolito e trena)

Caderneta 08 – Levantamento planialtimétrico por coordenadas polares (taqueometria)

Caderneta 09 – Levantamento planialtimétrico por coordenadas polares (estação total)

Caderneta 10 – Elaboração de croqui

Caderneta 12 – Nivelamento geométrico simples

Caderneta 13 – Nivelamento geométrico composto (exercício de sala)

Caderneta 13 – Nivelamento geométrico composto

Caderneta 14 – Levantamento GPS

Caderneta 15 – Transporte de coordenadas no elipsóide

UFSM Universidade Federal de Santa Maria – Centro de Ciências Rurais – Departamento de Engenharia Rural – Setor de Geodésia e Topografia

EGR1008 – Topografia e Elementos de Geodésia / EGR1026 – Topografia e Noções de Geodésia – Prof. Adj. Jaime Freiberger Junior

TURMA

MEDIÇÃO COM TRENA E AFERIÇÃO DO PASSO

CADERNETA

01 x Prático Pesquisa sala x campo extra-sala individual x grupo p.108

Equipe: ________ Operadores___________________________________________________________________________ Data: _____/_____/_________

Equipamento: Número de série:

Objetivos: Medição direta de um alinhamento com trena. Aferição do passo.

1ª PARTE: medição com trena

Medição Estações Quantidade de Trenadas

Comprimento [m] Saída Chegada Nominal 1 Adicional 2 Total 3

1

2

3

Comprimento (média) 4 =

1 Comprimento Nominal: comprimento total da trena. 2 Comprimento Adicional: medição restante, que não completa uma trenada. 3 Comprimento total = (Quantidade de Trenadas x Comprimento Nominal) + Comprimento Adicional 4 Comprimento (média): média aritmética dos comprimentos totais do trecho obtidos nas medições 1 e 2.

2ª PARTE: aferição do passo

Operadores Contagem dos passos

Comprimento do passo médio 5 I II III

Média Aritmética

1

2

3

4

5

6

5 Comprimento do passo médio = Comprimento do Trecho (média) ÷ Média Aritmética das contagens dos passos



TURMA

MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS POR TAQUEOMETRIA

CADERNETA




Objetivos: Medição de distâncias por taqueometria. Verificação dos resultados com medidas de trena.

Trecho Nome

Operador(a)

Leituras estadimétricas

K = 100□ 50□

Z

[ ‘ “]

d

[m]

Tdd

[m]

Li M Ls

A=>P1

A=>P2

A=>P3

Altura do instrumento: iA = _____________.

Conferência das leituras: 2

LLM is

Número gerador: is LLH

Distância horizontal: ZH.K.send 2

Desnível: M)(AZ Z.cos H.K.senΔH i

Distâncias horizontais medidas

com trena (dT):

A=>P1 = ____________

P1=>P2 = ___________

P2=>P3 = ___________

A=>P2 = ___________

A=>P3 = ___________

Constantes de Multiplicação Teodolito ZEISS THEO-080A



TURMA

MEDIÇÃO DE AZIMUTE MAGNÉTICO

CADERNETA




Objetivos: Croqui do levantamento: de azimute magnético. Transformação de azimute magnético em azimute verdadeiro.

Azimute Magnético do alinhamento obtido com bússola:

Az (M) = ________________________________

Declinação magnética:

δ = ________________________________

Azimute Verdadeiro do alinhamento:

Az (V) = Az (M) + δ

Az (V) = ________________________________

Carta Magnética do Brasil – 2000.0 (Recorte do estado do Rio Grande do Sul)

]C)F[(ACδ ipaig

δ – Declinação Magnética; Cig – Curva Isogônica (declinação em graus – valor interpolado); Cip – Curva Isopórica (variação anual – valor interpolado); A – Ano de observação (2000); Fa – Fração do ano.

Fração do ano (Fa):

01 Jan a 19 Jan 20 Jan a 24 Fev 25 Fev a 01 Abr 02 Abr a 07 Mai 08 Mai a 13 Jun 14 Jun a 19 Jul 20 Jul a 25 Ago 26 Ago a 30 Set 01 Out a 06 Nov 07 Nov a 12 Dez 13 Dez a 31 Dez

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Cálculos:

Obs.: verificação e cálculo da declinação magnética pela página <http://obsn3.on.br/~jlkm/magdec/>

http://obsn3.on.br/~jlkm/magdec/



TURMA

CÁLCULO DE ÂNGULOS HORIZONTAIS

CADERNETA

04

x Prático Pesquisa sala x campo extra-sala individual x grupo p.111



Objetivos: Praticar a medição de direções horizontais e cálculo do ângulo horizontal horário pelo método das direções.

Séries (n)

Leituras conjugadas

DIREÇÕES HORIZONTAIS (ri) ÂNGULO HORIZONTAL HORÁRIO

1r 2r (n) = r2 – r1

(n é o numero da série)

desvio da média

(n)αα(n)

n: ______

Operador(a):

________________

PD

PI

M

n: ______

Operador(a):

________________

PD

PI

M

n: ______

Operador(a):

________________

PD

PI

M

n: ______

Operador(a):

________________

PD

PI

M

n: ______

Operador(a):

________________

PD

PI

M

Média aritmética dos ângulos horários => (n)αα

Quantidade de série: n =

Intervalo de reiteração: n

180I

0

Esquema das reiterações (fixação da origem em alguns minutos próximo aos valores pré-estabelecidos):

2

180PIPDM

,

0

0

180 PI se

180 PI se

Croqui de localização dos pontos:



TURMA

CÁLCULO DE ÂNGULOS VERTICAIS E ALTURA DE OBJETOS

CADERNETA




Objetivos: Medição de direções verticais e cálculo de ângulos verticais pelo método das direções. Cálculo da altura de objetos.

Leituras (n)


DIREÇÕES VERTICAIS (ri) Cálculo da altura

Z1 (topo) Z2 (pé)

n = 1 (______________)

Operador:

________________

PD

PI

M

n = 2 (______________)

Operador:

________________

PD

PI

M

n = 3 (______________)

Operador:

________________

PD

PI

M

n = 4 (______________)

Operador:

________________

PD

PI

M

n = 5 (______________)

Operador:

________________

PD

PI

M

Média aritmética: 1Z 2Z

Método das direções:

2

PDPI360M

0

Cálculo da altura do objeto:

1

0 Z90 1γ 0

2 90-Z2γ

)tana(tanh 21



TURMA

INTERSEÇÃO À VANTE

CADERNETA




Objetivos: Medição de direções horizontais e verticais pelo método das direções para o cálculo do ângulo horizontal horário e de ângulos zenitais. Determinação de distâncias pelo método das coordenadas bipolares (interseção à vante). Cálculo da altura de objetos

Estação do Instrumento



ABrB CArC

= rC – rB

A

PD

PI

M =




ABrA BCrC

= rC – rA

B

PD

PI

M =

Séries: n = ; Intervalo de reiteração: n

180I

0

Esquema das reiterações (valores pré-estabelecidos):

2

180PIPDM

0 ,

0

0

180 PI se

180 PI se



DIREÇÕES VERTICAIS (ângulo zenital Zi)

2

PDPI360M

0 Z1 (topo) Z2 (pé)

B

PD

PI

M

Croquis:

c = ___________

β)αsen(180

αc.sena

0

1

0 Z90 1γ

0

2 90-Z2γ )tga(tgh 21 γγ

Cálculos:



TURMA

LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO POR COORDENADAS POLARES (TEODOLITO E TRENA)

CADERNETA


Equipe: ________ Operadores___________________________________________________________________________ Equipamento: _________________________________________________ Data: _____/_____/_________

Operador:

Código Ré Estação Ponto Visado

Descrição Direção ri [º ‘ “] Distância Z [º ‘ “] Ai Aa S=½ Di. Di+1. sen αi Desnível

S= Operador:



S= Operador:



S=



TURMA

LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO POR COORDENADAS POLARES (TAQUEOMETRIA)

CADERNETA



Ponto Visado

Direção ri [º ‘ “] Leituras estadimétricas

H = fs-fi Z [º ‘ “] Di = H.K.sen2Z αi = ri+1-ri S=½ Di. Di+1. sen αi Desnível

fs M fi

Operador(a):

S= Operador(a):

S= Operador(a):

S=



TURMA

LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO POR COORDENADAS POLARES (ESTAÇÃO TOTAL)

CADERNETA



Operador:



A

S= Operador:



A

S= Operador:



A

S=



TURMA

ELABORAÇÃO DE CROQUI

CADERNETA

10 x Prático Pesquisa sala x campo extra-sala x individual x grupo p.117

Equipe: ________ Operador_______________________________________________________________________________ Data: _____/_____/_________

Objetivos: Reconhecimento do terreno e elaboração de croqui.



TURMA

LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO POR POLIGONAÇÃO (ESTAÇÃO TOTAL)

CADERNETA



Código (Observação)

Ré Estação Ponto Visado

Descrição Ângulo Horizontal

Horário [º ‘ “] Distância [m] Ângulo Zenital

Z [º ‘ “] Ai [m] Aa [m] Desnível [m]



TURMA

NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES

CADERNETA

12

Instrumento_____________________________________ Número de série:________________________ Data: _____/_____/_________ p.119

Desnível 1: da estação A para a estação B. Operador(a):________________________ Pontos visados Distância [m]

RÉ

Leitura estadimétrica [m] Distância [m] VANTE

Fio Nivelador (FN) Desnível (∆h)

RE VANTE RE VANTE RE VANTE

A B

Desnível 2: da estação B para a estação C. Operador(a):________________________ Pontos visados Distância [m]

RÉ Leitura estadimétrica [m] Distância [m]

VANTE Fio Nivelador (FN)

Desnível (∆h) RE VANTE RE VANTE RE VANTE

Desnível 3: da estação C para a estação D. Operador(a):________________________ Pontos visados Distância [m]

RÉ




Desnível 4: da estação B para a estação D. Operador(a):________________________ Pontos visados Distância [m]

RÉ




Desnível 5: da estação B para a estação E. Operador(a):________________________ Pontos visados Distância [m]

RÉ




Desnível 6: da estação A para a estação C. Operador(a):________________________ Pontos visados Distância [m]




Desnível 7: da estação D para a estação E. Operador(a):________________________ Pontos visados Distância [m]




Desnível 8: da estação A para a estação E. Operador(a):________________________ Pontos visados Distância [m]

RÉ




2

FFM is

is FFH

100.HD

VANTERÉLLΔh

L: leitura do fio nivelador (fio médio).



TURMA

NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO

CADERNETA

13-A x Prático Pesquisa sala x campo extra-sala individual x grupo p.120



Nivelamento Pontos visados Distância [m]



Desnível RE VANTE RE VANTE RE VANTE

d(RÉ) =

d (VANTE) = FN (RE) = FN (VANTE) = ΔH

Desnível:

n

1i

n

1i

FN(VANTE)FN(RÉ)ΔH =

Distância nivelada:

n

1i

n

1i

N (VANTE) d(RÉ) dD ` =



TURMA

NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO

CADERNETA

13-B x Prático Pesquisa sala x campo extra-sala individual x grupo p.121



Contranivelamento Pontos visados Distância [m]



Desnível RE VANTE RE VANTE RE VANTE

d(RÉ) =


Desnível:

n

1i

n

1i


Distância contra-nivelada:

n

1i

n

1i

CN (VANTE) d(RÉ) dD ` =

Distância média nivelada: 2

DDu CNN =

Erro de nivelamento: CONNIV ΔHΔHε =

Tolerância altimétrica: uet (u em km); t =

Se tε2

CONNIV ΔHΔHΔH

=



TURMA

NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO (EXERCÍCIO DE SALA)

CADERNETA

13-C x Prático Pesquisa sala x campo extra-sala individual x grupo p.122



N I V E L A M E N T O

Pontos visados Distância [m] RÉ


Fio Nivelador (FN) Desnível


RN 217 A1

0,747 1,686

0,649 1,584

0,555 1,481

A1 A2

1,057 1,395

0,957 1,296

0,856 1,197

A2 A3

1,694 1,535

1,597 1,435

1,500 1,334

A3 A4

1,608 1,624

1,508 1,525

1,408 1,425

A4 A5

1,835 1,195

1,738 1,095

1,641 0,995

A5 A6

1,748 1,415

1,649 1,318

1,550 1,221

A6 A7

1,523 1,545

1,427 1,443

1,331 1,340

A7 A8

1,756 1,352

1,659 1,256

1,562 1,158

A8 A9

2,115 0,585

2,010 0,490

1,905 0,394

A9 HV04

3,090 0,430

2,978 0,315

2,866 0,200

d(RÉ) =


Desnível:

n

1i

n

1i


Distância nivelada:

n

1i

n

1i

N (VANTE) d(RÉ) dD ` =



TURMA

NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO (EXERCÍCIO DE SALA)

CADERNETA

13-D x Prático Pesquisa sala x campo extra-sala individual x grupo p.123



C O N T R A – N I V E L A M E N T O

Pontos visados Distância [m] RÉ


Fio Nivelador (FN) Desnível


HV04 B1

0,438 3,097

0,323 2,985

0,208 2,872

B1 B2

0,602 2,131

0,506 2,027

0,410 1,922

B2 B3

1,345 1,747

1,247 1,651

1,149 1,554

B3 B4

1,547 1,528

1,446 1,431

1,345 1,333

B4 B5

1,421 1,753

1,324 1,655

1,226 1,556

B5 B6

1,185 1,825

1,086 1,728

0,987 1,630

B6 B7

1,622 1,608

1,523 1,507

1,424 1,406

B7 B8

1,539 1,700

1,439 1,602

1,338 1,503

B8 B9

1,389 1,061

1,299 0,961

1,208 0,860

B9 RN 217

1,687 0,748

1,585 0,650

1,483 0,552

d(RÉ) =


Desnível:

n

1i

n

1i


Distância contra-nivelada:

n

1i

n

1i

CN (VANTE) d(RÉ) dD ` =

Distância média nivelada: 2

DDu CNN =

Erro de nivelamento: CONNIV ΔHΔHε =

Tolerância altimétrica: uet (u em km); t =

Se tε2

CONNIV ΔHΔHΔH

=



TURMA

LEVANTAMENTO GPS

CADERNETA



Objetivos: Rastreio da portadora L1 pelo método relativo estático. Processamento da observável em programa de computador.

Informações do rastreio

Receptor: Antena: Objetivo:

□ Ashtech Promark 2 (Patr. 093816); □ ASH110454 (S/N:11813); □ Apoio imediato (C2);

□ Ashtech Promark 2 (Patr. 093817); □ ASH110454 (S/N:11840); □ Limite (C4);

□ Ashtech Promark 2 (Patr. 093818); □ ASH110454 (S/N:11813); □ Cadastro/outro: ________.

□ Ashtech Promark 2 (Patr. 093819); □ ASH110454 (S/N:12023);

□ Leica GX 1202 (Patr. 115612); □ LEIAX1202 (S/N:05390005);

Local: _______________________ Marco: ______________ Altura da antena: ________ m (distância vertical entre ARP e marco).

Início: _____h: _____min: ____seg.; ID Arquivo: ______________________

Final: _____h: _____min: ____seg.. ________________________________

- Vegetação: □Densa; □Pouca; □Nenhuma.

- Construções ao redor: □Sim; □Não.

- Vento: □Forte; □Médio; □Fraco.

- Chuva: □Sim; □Não; □Garoa.

Informações do pós-processamento

Programa: Estação de referência:

□ Ashtech Solutions Marco: ___________________________;

□ Leica Geo Office (LGO) ID Arquivo (Rinex):_______________________________________________________;

Resultados:

Coordenadas do marco: Desvio-padrão: Solução:

Latitude: ___________________________________________ σ = __________________

Latitude: ___________________________________________ σ = __________________

Altitude Geométrica: _______________________________ σ = __________________

Observações, anotações e ocorrências:

Início: _____h: _____min: _____seg.; Final: _____h: _____min: _____seg.

□ Horário de verão (GPS –02h00min);

□ Horário normal (GPS –03h:00min).

□ Fixa

□ Flutuante

□ Parcial



TURMA

TRANSPORTE DE COORDENADAS NO ELIPSÓIDE

CADERNETA




Objetivos: Transporte de coordenadas no elipsóide. Resolução dos problemas direto (PGD) e inverso (PGI) da Geodésia.

O croqui mostra a situação em que as coordenadas geodésicas de um piquete de apoio imediato deverão ser transportadas para uma estação de poligonal (determinada na prática de campo 11). Para tanto, é necessária a resolução dos Problemas Geodésicos Direto e Inverso (PGD e PGI). O piquete de apoio imediato (estação do instrumento – M031) e o marco M006 (estação de ré) têm suas coordenadas determinadas por levantamento GPS pelo método relativo estático. Para fins de conferência, efetuar o procedimento também para o marco M037.

Dados de campo (Trimble 3305DR, precisão nominal angular 5” e linear 2mm + 2ppm):

Tipo de Observ.

Estação Ponto visado

Distância geométrica

[m]

Direção horizontal

horária

Ângulo zenital (Z)

Ai Aa

Quadro de coordenadas conhecidas (SIRGAS2000.4)

Ponto Tipo Latitude Longitude Altitude

geom. [m]

M031 Marco -29º43’11,07185” -53º43’01,65573” 100,513

M006 Marco -29º43’10,08974” -53º43’04,31145” 100,851

M037 Marco -29º43’14,14710” -53º42’58,93930” 100,904

APOSTILA GEODESIA E TOPOGRAFIA - UFSM 2011

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