Apostila Geometria Euclidiana II

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO DEPARTAMENTO DE CINCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMTICA MODALIDADE EDUCAO A DISTNCIA

Geometria Euclidiana IIProfessora: Antnia Jocivania Pinheiro

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II

Governo Federal Ministro de Educao Fernando Haddad Universidade Aberta do Brasil Responsvel pela Diretoria da Educao a Distncia Joo Carlos Teatini de Souza Clmaco Universidade Federal Rural do Semi-rido Reitor Josivan Barbosa de Menezes Feitoza Pr-Reitor de Graduao Jos de Arimatea de Matos Equipe NEAD Ncleo de Educao a Distncia Coordenadora UAB Karla Rosane do Amaral Demoly Coordenadora adjunta UAB Ktia Cilene da Silva Apoio Tcnico e Pedaggico Janini Aparecida Dias Mspoly Genes Coordenadora do Curso de Licenciatura em Matemtica Modalidade Educao Distncia Valdenize Lopes do Nascimento Coordenador de Tutoria do Curso de Licenciatura em Matemtica Modalidade Educao Distncia Fabrcio de Figueiredo Oliveira2


SumrioUNIDADE 01: PONTOS, RETAS E PLANOS NO ESPAO .................................................................. 5 PRIMEIRAS NOES: ENTES GEOMTRICOS, CONCEITOS E PROPOSIES ................................................................. 5 POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS ............................................................................................................... 7 DETERMINAO DE PLANOS .......................................................................................................................... 10 POSIES RELATIVAS DE RETA E PLANO ........................................................................................................... 12 POSIES RELATIVAS DE DOIS PLANOS ............................................................................................................ 13 UNIDADE 02: PERPENDICULARIDADE E APLICAES ................................................................ 16 PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO ..................................................................................................... 16 PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS .............................................................................................................. 17 PROJEO ORTOGONAL SOBRE UM PLANO ...................................................................................................... 18 DISTNCIAS GEOMTRICAS ........................................................................................................................... 19 NGULO DE UMA RETA COM UM PLANO ......................................................................................................... 20 LUGARES GEOMTRICOS............................................................................................................................... 21 UNIDADE 03: DIEDROS, TRIEDROS E POLIEDROS CONVEXOS ................................................. 22 DIEDROS ................................................................................................................................................... 22 TRIEDROS .................................................................................................................................................. 24 POLIEDROS CONVEXOS ................................................................................................................................. 25 UNIDADE 04: PRISMA .......................................................................................................................... 28 PRISMA: CONCEITO, ELEMENTOS, CLASSIFICAO E SECES .............................................................................. 28 REA LATERAL E REA TOTAL DO PRISMA ........................................................................................................ 30 VOLUME DO PRISMA ................................................................................................................................... 32 UNIDADE 05: PIRMIDE ..................................................................................................................... 35 PIRMIDE: CONCEITO, ELEMENTOS, CLASSIFICAO E SECES ........................................................................... 35 REA LATERAL E REA TOTAL DA PIRMIDE ..................................................................................................... 39 VOLUME DA PIRMIDE ................................................................................................................................. 40 UNIDADE 06: CILINDRO ...................................................................................................................... 43 CILINDRO: CONCEITO, ELEMENTOS E CLASSIFICAO ......................................................................................... 43 REA LATERAL E REA TOTAL DO CILINDRO...................................................................................................... 45 VOLUME DO CILINDRO ................................................................................................................................. 46 UNIDADE 07: CONE .............................................................................................................................. 47 CONE: CONCEITO, ELEMENTOS E CLASSIFICAO .............................................................................................. 47 REA LATERAL E TOTAL DO CONE ................................................................................................................... 49 VOLUME DO CONE ...................................................................................................................................... 50 UNIDADE 08: ESFERA .......................................................................................................................... 51 ESFERA: CONCEITO E ELEMENTOS .................................................................................................................. 51 REA DA SUPERFCIE ESFRICA ...................................................................................................................... 52 VOLUME DA ESFERA .................................................................................................................................... 53 UNIDADE 09: SLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS ..................................................................... 55

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Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana IITRONCO DE PIRMIDE DE BASES PARALELAS .................................................................................................... 55 TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS .......................................................................................................... 58 UNIDADE 10: INSCRIO E CIRCUNSCRIO DE SLIDOS ........................................................ 60 ESFERA E CUBO .......................................................................................................................................... 60 ESFERA E CILINDRO...................................................................................................................................... 61 ESFERA E CONE RETO................................................................................................................................... 63 CILINDRO E CONE RETOS .............................................................................................................................. 64 SIMBOLOGIA .......................................................................................................................................... 67

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Unidade 01: Pontos, Retas e Planos no Espao

Primeiras Noes: Entes Geomtricos, Conceitos e ProposiesEntes Geomtricos Os entes geomtricos elementares, que fundamentam a geometria, so pontos, retas e planos. Esses entes geomtricos elementares so aceitos sem nenhuma definio. Notaes

Textuais:

Grficas: r P P O ponto P A reta r O plano

Conceitos e Proposies Na geometria, os conceitos primitivos so aceitos sem demonstrao. Espao: o conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto desenvolveremos a Geometria Espacial. Exemplo: Qualquer conjunto de pontos, uma reta, um cubo, uma esfera ou um plano um subconjunto do espao. Axioma: pricipio to evidente, que no precisa de demonstrao. Em matemtica, o termo axioma, postulado e hiptese so palavras sinnimas. 5

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II Exemplo 1: Axioma Fundamental Existem infinitos pontos, retas e planos. Exemplo2: Dois pontos distintos, A e B, determinam uma reta . Proposio: So propriedades ou afirmaes geomtricas que so aceitas mediante demonstraes. A proposio se compe de duas partes: Hiptese e Tese. Vejamos terminologias para certas proposies, chamamos ento de: Teorema toda proposio de grande relevncia; Lema uma proposio que ser utilizada na demonstrao de outra ou de um teorema; Corolrio a denominao de toda proposio que conseguncia imediata de outra ou de um teorema; Esclio qualquer proposio extrada da demonstrao de outra. Exemplo: Teorema Dada uma reta e um ponto fora dela, ento eles determinam um nico plano que os contm. Observao: A demonstrao do teorema pode se compor de duas etapas, existncia e unicidade. Sejam P o ponto, r a reta e o plano. Hiptese: P Tese: ! | P e r Demonstrao do teorema: Existncia: Tomando dois pontos Q e R, em r, temos que P, Q e R determinam um plano , j que estes pontos no so colineares pois P e Q,R r. P r R P

Q Q Sendo determinado pelos pontos P, Q e R, temos que P e como Q alm disso, Q , R r temos ainda que r , isto , o plano contm a reta r.

R

R e,

Unicidade: Mostraremos que o nico plano determinado por r e P. Suponhamos que exista um plano , passando por r e P. Logo, como contm r e P, e r contm Q e R temos que determinado pelos pontos P, Q e R. Mas j temos que tambm determinado por estes pontos, portanto . Isto , o plano nico. Postulados que relacionam ponto, reta e plano: P1. A reta infinita; P2. Por um ponto qualquer, podem passar infinitas retas; P3. Por dois pontos distintos passa uma nica reta; P4. Um ponto qualquer de uma reta divide essa reta em duas semi-retas; P5. Dados dois pontos, h um segmento de reta que os une; P6. Por trs pontos no-colineares passa um nico plano; 6


P7. O plano infinito ou ilimitado; P8. Por uma reta, podem ser traadas uma infinidade de planos; P9. Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regies chamadas semi-espao.

Posies Relativas de Duas RetasNo espao, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas. Retas concorrentes: Duas retas r e s so concorrentes quando elas se interceptam num nico ponto P. r P s Retas paralelas: Duas retas r e s so paralelas se, ou so coincidentes ou so coplanares e no tm ponto em comum. Denotamos por r s. r r s r s r s r ,s er s r s s

r

s

Retas reversas: Duas retas so ditas reversas quando uma no tem interseo com a outra e elas no so paralelas. Isto significa que elas esto em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no cho de uma casa e uma reta s, no paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.

r

7


Conclumos ento que:

r e s distintas

r e s distintas

Casos particulares 1. r 2. s s perpendiculares t ortogonais, onde r

t. s

.

r s

. t

r

r e s perpendiculares

s e t ortogonais s e r perpendiculares

Exerccios Resolvidos 1. Dada uma reta r, marque trs pontos distintos A,B e C, em r, e um ponto D fora de r. Quantas retas podemos determinar com esses pontos ? Soluo: Quatro retas determinadas pelos pontos: AB, AD, BD e CD. D B C

A

8


2. Quantas retas h no espao? Demonstre. Soluo: Infinitas. De fato, consideremos dois pontos distintos do espao A e B. Esses pontos determinam uma reta r. r B A Seja C um ponto do espao, fora da reta r. Os pontos A e C determinam uma reta s, e os pontos B e C determinam uma reta t. C A B s Desse modo, podemos construir tantas retas quantas quisermos, isto , Construiremos infinitas retas. 3. Mostre que, trs retas duas a duas concorrentes, no passando por um mesmo ponto, esto contidas no mesmo plano. Soluo: Consideremos trs retas r,s e t tais que , e , onde A, B e C so pontos no-colineares. C A B r t

r t

s Dados os pontos A, B e C existe um nico plano que os contm, assim . C A B s 9

r t


Sendo os pontos dois a dois distintos e esto contidas no mesmo plano , j que

temos que r, s e t , e

Exerccio: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) Duas retas ou so coincidentes ou so distintas. b) Duas retas ou so coplanares ou so reversas. c) Duas retas distintas determinam um plano. d) Duas retas concorrentes tm um ponto comum. e) Duas retas concorrentes tm um nico ponto comum. f) Duas retas que tm um ponto comum so concorrentes. g) Duas retas concorrentes so coplanares. h) Duas retas coplanares so concorrentes. i) Duas retas distintas no paralelas so reversas. j) Duas retas que no tm ponto comum so paralelas. k) Duas retas que no tm ponto comum so reversas. l) Duas retas coplanares ou so paralelas ou so concorrentes. m) Duas retas no coplanares so reversas.

Determinao de PlanosUm plano pode ser determinado por qualquer uma das situaes: i) Por trs pontos no colineares. P R ii) Por uma reta e um ponto fora dela. P r Q

iii)

Por duas retas concorrentes. s r 10


iv)

Por duas retas paralelas distintas. r s

Exerccios Resolvidos 1. Quantos so os planos que passam por uma reta dada? Justifique sua resposta. Soluo: Infinitos. Seja r a reta dada. Como existem infinitos pontos, tomemos A um ponto fora de r. Temos, ento que a reta r e o ponto A determinam um plano . Fora do plano , tomamos um ponto B. Desse modo, temos que a reta r e o ponto B determinam um plano . Fora de e , tomamos um ponto C. A reta r e o ponto C determinam um plano . r A

B

C

Desse modo, podemos construir, por r, tantos planos quantos quisermos, isto , construiremos infinitos planos. 2. Quantos planos passam por dois pontos distintos? Justifique sua resposta. Soluo: Infinitos. Sejam A e B tais pontos distintos. Pelo postulado P3, temos que existe uma nica reta r passando por eles. Logo, como vimos no exerccio anterior, existem infinitos planos passando pela reta r, portanto, pelos pontos A e B.

Exerccio: Classifique em verdadeiro(V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) Trs pontos distintos determinam um plano. 11

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II b) Um ponto e uma reta determinam um nico plano. c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. d) Trs retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou trs planos. e) Trs retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou trs planos.

Posies Relativas de Reta e PlanoUma reta e um plano podem apresentar em comum: i) Dois pontos distintos: P Q r A reta est contida no plano e

ii)

Um nico ponto: r P A reta e o plano so concorrentes

iii)

Nenhum ponto em comum r A reta e o plano so paralelos

Exerccios Resolvidos 1. Sejam s uma reta concorrente ao plano e r uma reta tal que . Quais podem ser as posies relativas entre r e s? Soluo: Seja P o ponto de interseco de s e , isto , s H, ento, duas possibilidades:

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Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II i) A reta r contm P: neste caso, r e s so concorrentes; s ii) P r

A reta r no contm P: logo, r e s so reversas. s r P

2. Sejam s uma reta paralela ao plano e r uma reta contida em . Quais podem ser as posies relativas de r e s? Soluo: Como s // , temos que , logo , j que Temos ento que s e r no podem ser concorrentes, portanto s podem ser paralelas ou reversas. s s r r

Exerccio: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) b) c) d) e) Uma reta e um plano que tm um ponto comum so concorrentes. Uma reta e um plano paralelos no tm ponto comum. Se uma reta est contida num plano, eles tm um ponto comum. Se uma reta paralela a um plano, ela paralela a qualquer reta do plano. Se um plano paralelo a uma reta, qualquer reta do plano reversa reta dada. f) Se uma reta paralela a um plano, existe no plano uma reta concorrente com a reta dada.

Posies Relativas de dois PlanosDois planos podem apresentar em comum: i) Trs pontos distintos: P Q R Planos coincidentes ou iguais 13

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II ii) Uma nica reta: Planos concorrentes ou secantes

r

iii)

Nenhum ponto em comum Planos paralelos

Exerccios Resolvidos 1. Sejam e dois pontos distintos e paralelos. Mostre que toda reta r de paralela ao plano . Soluo: Sendo e planos paralelos distintos e mostraremos que Para isso, faremos uso do mtodo indireto de demonstrao, ou seja, vamos supor que a reta r no seja paralela ao plano . Logo, existe pelo menos um ponto tal que Como temos que . Portanto, Mas isso um absurdo, j que, por hiptese, Conclumos ento que 2. Se dois planos so paralelos, todo plano que encontra um deles, encontra o outro. Soluo: Sejam , e trs planos distintos e r uma reta, tais que e Provaremos que encontra segundo a reta s, isto , Seja t uma reta em , concorrente com a reta r. Como , conclumos que t concorrente com . Sendo teremos que t concorrente com o plano num ponto, digamos Q. Logo, como temos que , e portanto existe uma reta, digamos s, tal que e

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Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II Exerccios Propostos 1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) Se dois planos so secantes, ento qualquer reta de um deles concorrente com o outro. b) Se dois planos so secantes, ento uma reta de um deles pode ser concorrente com uma reta do outro. c) Se dois planos so secantes, ento uma reta de um deles pode ser reversa com uma reta do outro. d) Dois planos distintos paralelos tm um ponto comum. e) Se dois planos distintos so paralelos, ento uma reta de um deles paralela ao outro. f) Se dois planos distintos so paralelos, ento uma reta de um e outra reta de outro podem ser concorrentes. g) Se dois planos distintos so paralelos, ento toda reta de um deles paralela a qualquer reta do outro. h) Se dois planos distintos so paralelos, uma reta de um e uma reta do outro so reversas ou paralelas. 2. Quantas retas podemos traar por um ponto no espao? Demonstre. 3. Quantos so os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois? Justifique sua resposta. 4. Quantos planos podemos determinar com trs retas, duas a duas concorrentes, todas passando num mesmo plano? 5. Quantos so os planos determinados por trs retas distintas, duas a duas paralelas? 6. comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balanam, obrigando a colocao de um calo em uma das pernas. Com base no que voc estudou at aqui, explique por que isso acontece. 7. Dois planos e so paralelos distintos e uma reta r paralela a . Quais as posies relativas de r e . 8. Se dois planos so paralelos interceptam um terceiro, ento as intersees so paralelas.

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Unidade 02: Perpendicularidade e AplicaesPerpendicularismo entre Reta e PlanoDefinio: Uma reta r perpendicular a um plano , se ela intersecta o plano em um ponto P e toda reta contida no plano que passa por este ponto perpendicular reta r. r . P s u t

Observao: Uma reta e um plano so oblquos se, e somente se, so concorrentes e no so perpendiculares. Propriedades sobre perpendicularidade entre reta e plano: P1: Para que uma reta seja perpendicular a um plano necessrio e suficiente que ela seja perpendicular a duas retas concorrente desse plano; P2: Por um ponto pode-se conduzir um nico plano perpendicular a uma reta dada. P3: Se uma reta perpendicular a um plano, qualquer reta paralela a ela tambm perpendicular ao plano; P4: Se dois planos so perpendiculares a uma mesma reta, ento eles so paralelos entre si; P5: Se dois planos so paralelos, ento toda reta perpendicular a um deles perpendicular ao outro. Exerccios Resolvidos 1. Classifique em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta. a) Uma reta e um plano secantes so perpendiculares. Resposta: Falso, j que a reta e o plano podem ser secantes oblquos. b) Se uma reta for perpendicular a um plano, ela perpendicular a infinitas retas desse plano. Resposta: Verdadeiro, pela definio de perpendicularismo entre reta e plano. c) Se uma reta perpendicular a duas retas distintas de um plano, ento ela perpendicular ao plano. Resposta: Falso, a reta pode esta contida no plano e ser perpendicular a duas retas paralelas do plano. 16

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II d) Uma reta e um plano so paralelos. Toda reta perpendicular reta dada perpendicular ao plano. Resposta: Falso, veja a figura abaixo. s r r , es Exerccio: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares necessrio que eles sejam secantes. b) Uma reta perpendicular a um plano perpendicular a todas as retas do plano. c) Uma reta perpendicular a um plano forma ngulo reto com qualquer reta do plano. d) Se uma reta perpendicular a duas retas distintas de um plano, ento ela perpendicular ao plano. e) Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano.

Perpendicularismo entre PlanosDefinio: Dois planos so ditos perpendiculares quando um contm uma reta perpendicular ao outro.

r

que r

tal

Observaes: 1) Temos como consequncia da definio que, se uma reta perpendicular a um plano, qualquer outro plano que a contenha perpendicular ao primeiro. 2) Uma condio necessria e suficiente para que dois planos secantes sejam perpendiculares que toda reta de um deles, perpendicular interseo, seja perpendicular ao outro. 3) Dois planos so ditos oblquos quando so secantes e no perpendiculares. 17

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II Exerccio: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) Se dois planos so secantes, ento eles so perpendiculares. b) Se dois planos so perpendiculares, ento eles so secantes. c) Se dois planos so perpendiculares, ento toda reta de um deles perpendicular ao outro. d) Dois planos perpendiculares a um terceiro so perpendiculares entre si. e) Se dois planos so perpendiculares a um terceiro, ento eles so paralelos.

Projeo Ortogonal sobre um Plano

Projeo de um ponto P r P = projP P

Projeo de um segmento de reta Q P P = proj Q , onde

Projeo de uma reta (r r P

)

P = projr

P=projP e Q=projQ

Projeo de uma reta (r / ) r = projr r r

Projeo de uma figura S S S = projS

Exerccio: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) A projeo ortogonal de um ponto sobre um plano um ponto. b) A projeo ortogonal de um segmento sobre um plano sempre um segmento. c) A projeo ortogonal, sobre um plano, de um segmento contido numa reta, no perpendicular ao plano, menor que o segmento ou congruente a ele. d) Se um segmento tem projeo ortogonal congruente a ele, ento ele paralelo ao plano de projeo ou est contido nele. 18

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II e) A projeo ortogonal de um tringulo, sobre um plano, sempre um tringulo.

Distncias GeomtricasDefinio i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. A distncia entre dois pontos o comprimento do segmento que une esses dois pontos. A distncia entre um ponto P e uma reta r a distncia entre e , onde o p da perpendicular baixada de at r. A distncia entre um ponto e um plano a distncia entre e , onde o p da perpendicular baixada de at . A distncia entre duas retas concorrentes ou coincidentes nula. A distncia entre duas retas paralelas r e s a distncia entre um ponto qualquer e a reta s. A distncia entre duas retas reversas r e s a distncia entre os pontos e pertencentes a reta perpendicular comum a r e s. A distncia entre uma reta r e um plano paralelo a r a distncia entre um ponto qualquer da reta r at o plano A distncia entre dois planos paralelos a distncia entre um ponto qualquer de um deles e outro plano. . Por exemplo, ,

Notao: Denotamos a distncia entre duas figuras por , , e assim por diante.

Exerccio: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. a) Se um segmento oblquo a um plano , com A em , ento a distncia entre P e A a distncia entre P e b) A distncia entre um ponto e um plano a distncia entre o ponto e qualquer ponto do plano. c) A distncia entre uma reta e um plano paralelos a distncia entre um ponto qualquer do plano e a reta. d) A distncia entre uma reta e um plano paralelos a distncia entre um ponto qualquer da reta e um ponto qualquer do plano. e) A distncia entre uma reta e um plano paralelos a distncia entre um ponto qualquer da reta e o plano. 19

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II f) A distncia entre duas retas reversas a distncia entre um ponto qualquer de uma e a outra reta.

ngulo de uma Reta com um PlanoDefinio: Dada uma reta r e um plano oblquos, definimos o ngulo entre r e , denotado por como sendo o ngulo agudo que a reta forma com a sua projeo ortogonal sobre o plano.

=

r r

, onde r = projr

Observaes: 1) Se a reta r e o plano so perpendiculares, ento o ngulo entre eles reto. (r =90) 2) Se a reta r paralela ou est contida num plano , temos que o ngulo entre r e nulo. ( r // ou r ) Uma justificativa para a definio de ngulo entre retas e plano dada pelo teorema a seguir: Teorema: Se uma reta r oblqua a um plano e r = {A}, ento , onde r = projr e s uma reta qualquer em contendo o ponto A. Demonstrao: P r A . P r e e , 20

s B

Seja B um ponto de s tal que , onde P = projP. Sendo oblquo a temos que < Analisando os triangulos PAP e PAB temos comum, logo PP < PB, isto , h se o cilindro for oblquo e g = h se o cilindro for reto. 3) A seco meridiana de um cilindro um: paralelogramo se o cilindro for obliquo; retngulo se o cilindro for reto; quadrado se o cilindro for eqiltero, assim g = h = 2r. 44


rea Lateral e rea Total do CilindroA superfcie do cilindro formada por duas partes planas (as bases) e uma parte curva (superfcie lateral). Veja:

r

h 2r

Analisando o cilindro planificado temos a rea lateral ( ) do cilindro dada pela rea do retngulo de base 2r e altura h, onde r o raio da base. Assim

Como a base um circulo de raio r temos que sua rea dada por

A rea total ( ) do cilindro dada pela soma da rea lateral com o dobro da rea da base, j que os dois crculos so congruentes e, portanto possuem a mesma rea. Logo, 45

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II Conclumos ento que

Observao: Se o cilindro for obliquo, sua superfcie lateral planificada ser um paralelogramo e a rea do paralelogramo tambm o produto da base pela altura, logo as frmulas acima continuam valendo.

Volume do CilindroO volume do cilindro dado pelo produto da rea da base (Ab) pela altura (h). Assim: V = Ab.h. Como a base um circulo de raio r, temos que V = .h. portanto

Exemplo: Um cilindro circular reto tem 10 cm de altura e sua base tem 12 cm de dimetro. Calcule a rea lateral, a rea total e o volume do cilindro. Soluo: Sendo o dimetro igual a 12 cm, temos que r = 6 cm. Logo: rea lateral: = rea da base: rea total : Volume: V =

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Unidade 07: Cone

Cone: Conceito, Elementos e ClassificaoConceito Dado um plano , um crculo C contido em e um ponto P, tal que , denominamos cone a reunio de todos segmentos de reta que tm uma extremidade no ponto P e a outra no crculo C.

P

P

C

Elementos Base: o crculo C contido no plano ; Vrtice: o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta; Altura (h): a distncia do vrtice do cone ao plano da base; Eixo: a reta que contm o vrtice P e centro do crculo da base; Geratriz: o segmento com uma extremidade no vrtice P e a outra em um ponto da circunferncia; Superfcie lateral: a reunio de todas as geratrizes do cone; Superfcie do cone: a reunio da superfcie lateral com a base do cone (crculo); Seco meridiana: a regio triangular obtida pela interseo do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

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P

vrtice geratriz

altura eixo

O base Classificao Classificamos o cone de acordo com a posio de seu eixo em relao ao plano da base: Cone oblquo: o cone cujo eixo oblquo a base; Cone reto: o cone cujo eixo perpendicular a base P

O Cone Oblquo

O Cone Reto

Observao: 1) Em um cone circular reto, todas as geratrizes so congruentes entre si; 2) O cone reto pode ser obtido pela rotao completa de um tringulo retngulo em torno da reta suporte de um dos catetos. Neste caso, ; 3) No cone reto, a seco meridiana um tringulo issceles; 4) Todo cone, em que a seco meridiana um tringulo de lados congruentes, chamado de cone eqiltero. Neste caso, a geratriz igual ao dimetro da base, isto , g = d ou g = 2r, onde r o raio da base. 48

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II P

g g g h

O

r

rea Lateral e Total do ConeA superfcie total de um cone reto formada pela superfcie lateral (um setor circular) mais a base (um crculo). Veja: P

g g g

superfcie lateral O base r: raio da base h: altura g: geratriz (raio do setor) : ngulo do setor r 2r

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Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II A superfcie lateral de um cone de raio r e geratriz g equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2r.Logo a rea da superfcie lateral ( ) do cone dada pela rea do setor circular. Assim arco crculo todo: setor: 2 g 2 rea

Portanto,

A rea total do cone dada por r temos que , logo

, como a base um circulo de raio Assim

Volume do ConeO volume do cone um tero do produto da rea da base pela medida da altura, isto , . Como a base do cone um crculo de raio r, temos que logo

Exemplo: Qual o volume da casquinha de um sorvete que tem a forma de um cone reto, sabendo que o raio da base mede 3cm e a altura 12cm? Soluo: A base do cone um crculo de rea: Como o volume da casquinha dado por, , temos

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Unidade 08: Esfera

Esfera: Conceito e ElementosConceito Dados um ponto O e um nmero real positivo r, chamamos de esfera de centro O e raio r, o conjunto de todos os pontos do espao cuja distncia a O menor ou igual a r. Isto , eixo

r O O r r

Observao: 1) Esfera o slido obtido pela rotao completa de um semicrculo em torno de um eixo que contm o dimetro; 2) A esfera um slido limitado por uma superfcie esfrica, formada por todos os pontos pertencentes a essa superfcie e ao seu interior. Elementos Centro da esfera (O): o ponto que fica no centro da esfera; Eixo (e): a reta que passa pelo centro da esfera; Raio (r): a distncia do centro da esfera a qualquer ponto da superfcie esfrica; 51

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II Superfcie esfrica: o conjunto dos pontos do espao tais que a distncia deles ao centro O seja igual ao raio r; Seco plana: qualquer crculo obtido pela interseco de um plano perpendicular a uma reta que passe pelo centro da esfera. Se o plano passar pelo centro da esfera, obtemos como seco um crculo mximo da esfera; Plos: so as intersees da superfcie com o eixo; Equador: a circunferncia de uma seco plana que contem o centro(O) e perpendicular ao eixo(e); Paralelo: a circunferncia de uma seco plana perpendicular ao eixo(e); Meridiano: a circunferncia da seco determinada por um plano que contm o eixo (e). plo superfcie esfrica

paralelo equador

plo meridiano

rea da Superfcie EsfricaA rea da superfcie esfrica de raio r dada por:

Exemplo: 1. Determine a rea da superfcie da esfera de raio 9 cm. Soluo: Sendo r = 9 cm e = 3,14, temos que

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Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II 2. A rea de uma superfcie esfrica . Calcule o valor do raio r. Soluo: Como a rea da superfcie esfrica temos

Volume da EsferaConsidere um cilindro eqiltero de raio R, altura 2R e P o ponto mdio do eixo do cilindro. Tomemos dois cones tendo como base as do cilindro e P como vrtice comum. Chamemos de S o slido que obtido tirando do cilindro eqiltero os dois cones descritos acima. O volume do slido S tal que:

Consideremos agora, apoiados em um plano , esse slido S e uma esfera E de raio R, como mostra a figura abaixo:

2R

d

r

R

P Q M

2R

Observe que: P

issceles, pois o cilindro eqiltero, logo

Q

M

53

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II Seja um plano paralelo a , tal que a interseco do plano com a esfera S seja um crculo de raio r (seco). Se d a distncia do centro da esfera ao plano , temos: logo, a rea da seco dada por: Alm disso, tambm secciona o slido S e esta seco ser uma coroa circular de raios R e d ( j que, issceles ). Portanto a rea desta coroa circular dada por:

Como as reas das seces so iguais, conclumos pelo princpio de Cavalieri, que a esfera E tem o mesmo volume que o slido S. Logo, o volume da esfera dado por:

Exemplo: Quantos 5 cm

cabem, aproximadamente, na vasilha abaixo ? Volume do cilindro com r = 2,5 cm e h = 8 cm: cilindro V =

8 cm

Volume da esfera de raio R = 7cm: V = esfera Volume da vasilha: V = 14 cm Considerando = 3,14, temos Como ento

54


Unidade 09: Slidos Semelhantes - TroncosTronco de Pirmide de Bases ParalelasConceito Considere uma pirmide de vrtice V e altura H. Traando um plano paralelo a base, que secciona a pirmide a uma distncia h do vrtice, obtm dois poliedros: uma pirmide de vrtice V e altura h e um poliedro que chamado tronco da pirmide inicial.

V

h H

Note que, o tronco da pirmide tem: Duas bases: a base da pirmide inicial (base maior) e a seco determinada pelo plano (base menor); Faces laterais: as faces laterais so trapzios; Altura: a distncia entre as bases do tronco. Sua medida h1 = H h. base menor face lateral base maior 55 altura: h1 = H h

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II Exemplos: Uma pirmide tem a altura medindo 30 cm e rea da base igual a 150 cm. Qual a rea da seco superior (base menor) do tronco desta pirmide, obtido pelo corte desta pirmide por um plano paralelo base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirmide 17 cm? Soluo: Temos pela figura abaixo que h = H h1 = 30 17 = 13 cm, j que H = 30 cm e h1 = 17 cm.

h H = 30 cm

h1 = 17 cm

Portanto, como

temos,

Volume do Tronco de Pirmide Consideremos o tronco de pirmide abaixo: V h D A D A B 56 B h1 C C H

B = base maior b = base menor H = altura da pirmide VABCD h = altura da pirmide VABCD h1 = altura do tronco V = volume do tronco


Conclumos da figura que: vol. do tronco (V) = vol. da pirmide VABCD vol. da pirmide VABCD, onde, vol. da pirmide VABCD = e vol. da pirmide VABCD = Ento:

O volume deve ser dado em funo dos elementos do tronco da pirmide e Basta ento calcular H em funo desses elementos. Temos da propriedade da seco transversal que:

Substituindo ento na frmula do volume temos:

sendo,

temos,

Portanto,

57


Tronco de Cone de Bases ParalelasConceito Considere um cone circular reto de vrtice V e altura H. Seja um plano paralelo base que secciona o cone, de acordo com a figura: V h H

Obtemos ento, dois slidos: um cone de vrtice V e altura h e outro slido, chamado tronco do cone inicial: base menor

base maior Destacamos no tronco do cone: Duas bases: a base maior (base do cone inicial) e a base menor (seco determinada por ); Altura ( ): a distncia entre as bases do tronco. Sua medida h1 = H h. Geratriz ( ): a diferena das medidas das geratrizes dos dois cones, isto , onde a geratriz do cone inicial e a geratriz do cone determinado por

Volume do Tronco do Cone Dado o cone de vrtice V, altura H e base de raio R,seccionado paralelamente a uma altura h1 de sua base, destacamos o tringulo retngulo VOP. Temos por semelhana de tringulo que: 58

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II V V

h r h1 O R

h r h1 O R P

como

, temos

Como

temos que:

Sendo

e

temos que:

Portanto,

59


Unidade 10: Inscrio e Circunscrio de SlidosEsfera e CuboEsfera Inscrita em Cubo Considere uma esfera de raio r inscrita em um cubo cujas arestas medem a. Existe uma relao entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera. Como a superfcie esfrica intersecta o cubo em seis pontos, localizados nos centros das faces, temos trs pares de pontos diametralmente opostos.

r r a r a a A segunda figura nos mostra a interseo de um plano, paralelo a duas faces do cone passando pelo centro da esfera (que o mesmo do cone), com o cone. Assim, vemos claramente que a medida de cada aresta do cubo igual ao dobro da medida do raio da esfera. Isto , a

Esfera Circunscrita em Cubo Considere uma esfera de raio r circunscrita em um cubo cujas arestas medem a. Observe que os vrtices do cubo pertencem a superfcie esfrica.

60


D d

a

Assim, a medida da diagonal do cubo (D) igual ao dobro da medida do raio da esfera. Como temos pelo teorema de Pitgoras que

mas, sendo

temos que

logo:

Exemplo: Uma esfera esta inscrita em um cubo cujo o volume igual a Calcule o volume da esfera. Soluo: Como o volume do cubo dado por onde a a aresta do cubo, temos que: Sendo onde r o raio da esfera, temos que volume da esfera ser: , e portanto o

Esfera e CilindroEsfera Inscrita em Cilindro Considere uma esfera de raio R inscrita em um cilindro reto de altura h e raio da base r. 61


R

2R

2R Como a esfera intersecta as bases do cilindro nos seus centros, e o crculo mximo da esfera congruente as bases do cilindro, ento e ou seja, o cilindro eqiltero.

Esfera Circunscrita em Cilindro Considere um cilindro reto de altura h e raio da base r inscrito numa esfera de raio R. Observe a figura a seguir:

h

2R

2r

No tringulo retngulo (destacado na figura) de catetos medindo h e 2r e hipotenusa medindo 2R, podemos escrever:

62


Esfera e Cone RetoEsfera Inscrita em Cone Reto Considere uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h. Seja g a medida da geratriz do cone.

g

h-r

r

r R

Observando a figura podemos, por meio de uma semelhana de tringulos, estabelecer a seguinte proporo:

Esfera Circunscrita em Cone Reto Considere uma esfera de raio R, circunscrevendo um cone de raio r e altura h.

R h- R r 63 R

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II No tringulo retngulo em destaque, podemos escrever:

Se o cone eqiltero, temos que

. Logo pela relao anterior:

Cilindro e Cone RetosCone Inscrito em Cilindro Considere um cilindro de altura h e raio da base R. Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura:

h R

Note que o vrtice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro, e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Assim, os raios das bases do cone e do cilindro so iguais, da mesma forma que as medidas das alturas.

Cone Circunscrito em Cilindro Reto Considere um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H.

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g H- h r G

h r R- r

G-g

R Considerando os tringulos semelhantes abaixo, temos as seguintes propores:

G H g II h III G-g

H- h I

R

r

R- r

65

Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia Geometria Euclidiana II De I e II, temos:

De II e III, temos:

De I e III, temos:

Exemplo: Se um cilindro cuja altura mede 10 cm esta inscrito em cone reto cuja geratriz mede 25 e com raio da base medindo 20 cm, calcule o volume desse cilindro. Soluo: Sendo h = 10, G = 25 e R= 20, temos pelo teorema de Pitgoras que:

Logo usando semelhana de tringulos temos: H r 25 Portanto,

10 20

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SimbologiaSmbolos Significado Smbolos Significado Pertence interseco no pertence unio conjunto vazio est contido Existe no est contido Existe um s contm no existe perpendicular para todo ortogonal Diferente ento Coincidentes equivale // paralela a diedro R Semiplano AB ngulo

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