APOSTILA MATDIS - Engenharia Informática 2014 -...

MATEMÁTICA

DISCRETA

SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

1°°°° PERÍODO

Aluno:_____________________________________

FFAACCUULLDDAADDEE DDEE CC II ÊÊNNCC II AASS SSOOCC IIAA II SS EE AAPPLL IICCAADDAASS DDOO PPAARRAANNÁÁ

MMAATTEEMMÁÁTT IICCAA DD II SSCCRREETTAA -- 11 °°SSII

1 PROBAB IL ID ADE & EST AT Í ST I CA I – PROFA . ANDRESSA ASSAKA ANDRESSA .ASSAKA@GMA IL .COM

MATEMÁTICA DISCRETA

Carga Horária: 72 horas/aula

Avaliações

Cada nota bimestral será baseada na média das notas obtidas nos trabalhos (peso 3,0) e da nota da

prova bimestral (peso 7,0), isto é: NB trabalhos NP= +∑

Datas das Avaliações

20/04 – Prova Bimestral (em horário de aula)

22/06 – Prova Bimestral (em horário de aula)

04/07 – Prova Final (horário extraordinário, turma unificada, verificar ensalamento)

Observações Importantes

• O curso é presencial, isto é, a presença em 75% das aulas é obrigatória (Obs.: legalmente, não são

justificadas faltas por motivo de trabalho);

• Deixe seu celular mudo, por educação. Não é permitido o uso de celular em noite de prova;

• A utilização de laptops, notebooks, netbooks, smartphones, tablets, etc. será permitida somente nas

aulas que requerem uso de planilhas eletrônicas;

• Material requerido para as aulas: calculadora científica (qualquer marca e modelo);

• Não serão aceitos trabalhos enviados por email;

• Trabalhos entregues fora do prazo valerão nota inversamente proporcional ao tempo de entrega

(quanto mais tempo demorar, menor a nota máxima do trabalho);

• Alunos que atingirem média semestral igual ou superior a 7,0 são aprovados por média;

• Alunos que atingirem média semestral inferior a 7,0 e igual ou superior a 4,0 farão avaliação final

(valor 10,0 – conteúdo de todo o semestre, sem consulta);

• Alunos com média semestral abaixo de 4,0 devem refazer a disciplina no próximo semestre.

Em caso de dúvidas relativas à confecção dos trabalhos, perguntas podem ser enviadas por email:

[email protected] ou podem ser feitas pessoalmente nas instalações da FACET de terça a sexta,

das 18:30 às 18:55, ou no intervalo das aulas.

Curitiba, fev 2011.



2 PROBAB IL ID ADE & EST AT Í ST I CA I – PROFA . ANDRESSA ASSAKA ANDRESSA .ASSAKA@GMA IL .COM

Discreta por que...

... não fala muito?

... não é extravagante?

... não é indiscreta?

... não é deselegante?

... é educada????

Matemática Discreta, também chamada Matemática Finita, é o estudo das estruturas matemáticas

que são fundamentalmente discretas, no sentido de não suportarem ou requererem a noção de continuidade.

Grande parte (não todos), dos objetos estudados na matemática discreta são conjuntos contáveis, como os

inteiros.

A Matemática Discreta tornou-se popular em décadas recentes devido às suas aplicações na ciência da

computação. Conceitos e notações da matemática discreta são úteis para o estudo ou a expressão de objetos ou

problemas em algoritmos de computador e linguagens de programação.



1 MATEMÁT ICA D I S CR ETA – PROFA . ANDRESSA ASSAKA ANDRESSA .ASSAKA@GMA IL .COM

CAPÍTULO 1 – TEORIAS DOS CONJUNTOS..........................................................................................................................3 1 CONJUNTOS , ELEMENTOS E CONCEITOS...............................................................................................................3

1.1 PERTINÊNCIA .............................................................................................................................................................4 1.2 CONJUNTOS IMPORTANTES......................................................................................................................................5 1.3 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS............................................................................................................................5 1.4 ALFABETOS, PALAVRAS E LINGUAGENS ...............................................................................................................6 1.5 SUBCONJUNTOS E IGUALDADE DE CONJUNTOS ....................................................................................................7 1.6 DIAGRAMAS DE VENN..............................................................................................................................................8

1.6.1 ARGUMENTOS E DIAGRAMAS DE VENN .......................................................................................................9 2 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS......................................................................................................................................12

2.1 UNIÃO E INTERSEÇÃO.............................................................................................................................................12 2.2 COMPLEMENTARES.................................................................................................................................................13 2.3 DIFERENÇA ..............................................................................................................................................................13 2.4 CONJUNTO DAS PARTES .........................................................................................................................................14 2.5 PRODUTO CARTESIANO..........................................................................................................................................14

2.5.1 PROPRIEDADES DOS PRODUTOS CARTESIANOS, UNIÃO E INTERSEÇÃO .................................................15 2.6 UNIÃO DISJUNTA.....................................................................................................................................................16

3 DUALIDADE..............................................................................................................................................................16 3.1 CONJUNTOS FINITOS...............................................................................................................................................18

4 RELAÇÕES................................................................................................................................................................20 4.1 RELAÇÃO BINÁRIA ..................................................................................................................................................20 4.2 TIPOS DE RELAÇÕES ................................................................................................................................................21

4.2.1 RELAÇÃO FUNCIONAL...................................................................................................................................21 4.2.2 RELAÇÃO INJETORA .......................................................................................................................................22 4.2.3 RELAÇÃO TOTAL ............................................................................................................................................22 4.2.4 RELAÇÃO SOBREJETORA ...............................................................................................................................23

4.3 MONOMORFISMO .....................................................................................................................................................23 4.4 EPIMORFISMO ...........................................................................................................................................................24 4.5 ISOMORFISMO ..........................................................................................................................................................24

CAPÍTULO 2 – LÓGICA......................................................................................................................................................................33 1 PROPOSIÇÕES...........................................................................................................................................................33

1.1 SENTENÇAS MATEMÁTICAS ..................................................................................................................................33 1.2 FUNÇÕES PROPOSICIONAIS ....................................................................................................................................34 1.3 AXIOMAS E TEOREMAS...........................................................................................................................................34

1.3.1 PRINCÍPIOS DAS PROPOSIÇÕES .....................................................................................................................34 2 CONECTIVOS E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS..........................................................................................................35

2.1 CONJUNÇÃO.............................................................................................................................................................35 2.2 DISJUNÇÃO...............................................................................................................................................................35 2.3 NEGAÇÃO.................................................................................................................................................................36 2.4 QUANTIFICADORES .................................................................................................................................................36 2.5 TABELAS-VERDADE ...............................................................................................................................................37 2.6 PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS................................................................................................................................38 2.7 PROPOSIÇÕES BICONDICIONAIS .............................................................................................................................39

3 EQUIVALÊNCIA LÓGICA E LEIS DA LÓGICA..............................................................................................................41 3.1 LEIS DA LÓGICA .......................................................................................................................................................42

3.1.1 QUADRO-RESUMO .........................................................................................................................................44 4 ARGUMENTOS E PROVAS........................................................................................................................................44

4.1 TAUTOLOGIAS ..........................................................................................................................................................44 4.2 CONTRADIÇÃO ........................................................................................................................................................45 4.3 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS............................................................................................................45 4.4 ARGUMENTO............................................................................................................................................................46




4.4.1 ARGUMENTO VÁLIDO ...................................................................................................................................46 4.4.2 ARGUMENTO INVÁLIDO................................................................................................................................47 4.4.3 CONSTRUÇÃO DO SILOGISMO ......................................................................................................................48 4.4.4 AS REGRAS DO SILOGISMO...........................................................................................................................49

4.5 ARGUMENTAÇÃO E TABELAS-VERDADE.............................................................................................................51 5 CIRCUITOS LÓGICOS................................................................................................................................................61

5.1 SITUAÇÕES PRÁTICAS .............................................................................................................................................64 CAPÍTULO 3 – TEORIA DOS GRAFOS.....................................................................................................................................69 1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................69

1.1 AS SETE PONTES DE KÖNIGSBERG ........................................................................................................................69 1.2 O PROBLEMA DA COLORAÇÃO DE MAPAS ..........................................................................................................70

2 ELEMENTOS DOS GRAFOS......................................................................................................................................71 2.1 VÉRTICES E ARESTAS ............................................................................................................................................71 2.2 ORDEM DE UM GRAFO............................................................................................................................................72 2.3 ISOMORFISMOS ........................................................................................................................................................73 2.4 GRAU DE UM VÉRTICE ............................................................................................................................................74

2.4.1 O LEMA DOS APERTOS DE MÃOS.................................................................................................................75 2.4 CAMINHOS...............................................................................................................................................................77

3 CONEXIDADE DE GRAFOS........................................................................................................................................78 4 CIRCUITOS E CIRCUITOS EULERIANOS...................................................................................................................79

4.1 O TEOREMA DE EULER...........................................................................................................................................79 4.2 PROVA DO TEOREMA DE EULER............................................................................................................................80

5 GRAFOS EULERIANOS.............................................................................................................................................81 6 GRAFOS HAMILTONIANOS.......................................................................................................................................85

6.1 O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE ................................................................................................................85 7 CICLOS.....................................................................................................................................................................86

7.1 CICLOS HAMILTONIANOS.......................................................................................................................................86 7.2 CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE UM CICLO HAMILTONIANO ...................................................87 7.3 O PRINCÍPIO DAS GAVETAS ...................................................................................................................................90

8 ÁRVORES.................................................................................................................................................................93 8.1 SUBGRAFOS..............................................................................................................................................................93 8.2 CRITÉRIOS PARA DETERMINAR SE UM GRAFO É UMA ÁRVORE..........................................................................95 8.3 RAÍZES E ÁRVORES BINÁRIAS...............................................................................................................................95 8.4 ÁRVORES E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS................................................................................................................96

9 GRAFOS PLANARES.................................................................................................................................................98 BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................................100




Capítulo 1 – Teorias dos Conjuntos

1 CONJUNTOS , ELEMENTOS E CONCEITOS

O conceito de conjunto é fundamental, pois, praticamente, todos os conceitos desenvolvidos em

Computação e Informática, bem como seus resultados, são baseados em conjuntos ou construções sobre

conjuntos.

Um conjunto é uma coleção, sem repetições e sem ordenação, de nenhum ou diversos objetos

denominados elementos. Frequentemente, os conjuntos são simbolizados por letras maiúsculas: A, B, X, Y,

M,... e os elementos são representados por letras minúsculas: a, b, x, y, n,...

Exemplos:

a) as vogais

b) os dígitos

c) os números pares

d) , a, ,

e) os dias da semana

f)

Observando os exemplos, deve ficar claro que um conjunto não precisa ser constituído de elementos

que compartilhem as mesmas características ou propriedades.

Um conjunto que lista todos os seus elementos, em qualquer ordem, separados por vírgulas e entre

chaves, é denominado denotação por extensão:




A definição de um conjunto por propriedades é denominada denotação por compreensão:

Que pode ser interpretada como sendo: o conjunto de todos os elementos n, tal que n é um número

par.

Assim, a forma geral de definição de um conjunto por propriedades fica:

E é tal que um determinado elemento a é elemento desse conjunto se a propriedade for verdadeira

para a, ou seja, para o conjunto:

Tem-se que Pelé é elemento do conjunto B e Bill Gates não é elemento de B.

Embora seja possível definir qualquer conjunto por compreensão, é conveniente especificar conjuntos

de outra forma:

1.1 PERTINÊNCIA

Se um determinado elemento a é elemento de um conjunto A, então:

Caso contrário, afirma-se que a não pertence ao conjunto A:

Exemplo:

Relativamente ao conjunto de vogais, V, tem-se que:

a V

h V

Relativamente ao conjunto B, composto por brasileiros:

Pelé B

Bill Gates B




1.2 CONJUNTOS IMPORTANTES

Um conjunto importante é o conjunto vazio, ou seja, o conjunto sem elementos { } , frequentemente

representado por ∅ .

Exemplo:

a)

b)

Outro tipo de conjunto importante é o conjunto unitário, ou seja, um conjunto constituído por apenas

um elemento. Existem, portanto, infinitos conjuntos unitários. Um conjunto unitário é geralmente denotado

por 1.

Exemplo:

a)

b)

c)

Os seguintes conjuntos são importantes na Matemática em geral e possuem uma denotação

universalmente aceita:

�

�

�

�

�

1.3 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Um conjunto pode possuir um número finito ou infinito de elementos.

Um conjunto finito, ao contrário de um infinito, pode ser denotado por extensão, ou seja, todos os

elementos podem ser listados.

Exemplo:

a) os seguintes conjuntos são finitos:




b) os seguintes conjuntos são infinitos

1.4 ALFABETOS, PALAVRAS E LINGUAGENS

Um alfabeto é um conjunto finito. Os elementos de um alfabeto são denominados de símbolos ou

caracteres. Assim, o conjunto vazio é um alfabeto, e um conjunto infinito não é um alfabeto.

Uma palavra, ou cadeia de caracteres ou sentença, sobre um alfabeto é uma sequência finita de

símbolos do alfabeto justapostos.

Portanto, uma cadeia sem símbolos é uma palavra válida e o símbolo ε denota a cadeia vazia, palavra

vazia ou sentença vazia

Se ∑ representa um alfabeto, então, *∑ denota o conjunto de todas as palavras possíveis sobre ∑ .

Exemplo:

a) São alfabetos:

b) Não são alfabetos:

c)

d)

e)

f)

g)

h)

A noção de conjunto permite e definição de linguagem, um dos conceitos mais fundamentais em

Computação e Informática. Uma linguagem formal ou, simplesmente, linguagem, é um conjunto de palavras

sobre um alfabeto.

Exemplo:

Suponha o alfabeto { }a,b∑ = , então:

a)




b)

1.5 SUBCONJUNTOS E IGUALDADE DE CONJUNTOS

Além da noção de pertinência, outra noção importante é a de continência, que permite introduzir os

conceitos de subconjunto e de igualdade dos conjuntos.

Se todos os elementos de um conjunto A também são elementos do conjunto B, então se pode afirmar

que A está contido em B:

Ou, alternativamente, que B contém A:

Nesse caso, A B⊆ ou B A⊇ , afirma-se que A é subconjunto de B.

Adicionalmente, se A B⊆ , mas existe b B∈ tal que b A∉ , então se afirma que A está contido

propriamente em B, ou que A é subconjunto próprio de B:

Exemplo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Um conjunto especial e importante é o conjunto universo, denotado por U, que contém todos os

conjuntos que estão em consideração. Ou seja, o conjunto universo define o “contexto da discussão” (entenda

que U não é um conjunto fixo). Uma vez definido o conjunto universo U, para qualquer conjunto A:

Os conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, possuírem os mesmo elementos. Formalmente:

Exemplo:

a)

b)

c)




Teorema:

(i) Para todo conjunto A, tem-se A U∅⊆ ⊆

(ii) Para todo conjunto A, A A⊆

(iii) Se A B⊆ e B C⊆ , então A C⊆

(iv) A B= , se e somente se A B⊆ e B A⊆

Esse último item ilustra claramente a definição de igualdade. Verifique que a repetição dos elementos

pode ser desconsiderada. É importante distinguir claramente os conceitos de pertinência e continência.

Exemplo:

Considere o conjunto { } { }{ }A 1,2,3, , a , b,c= ∅

a) { }1 A, { }1 A

b) ∅ A, ∅ A

c) { }a A, { }b,c A

d) { }1,2,3 A, { }1,2,3 A

1.6 DIAGRAMAS DE VENN

Um diagrama de Venn é uma representação em forma de figura, na qual os conjuntos são

representados por áreas delimitadas por curvas no plano.

O conjunto universo U é representado pelo interior de um retângulo, e os outros conjuntos, por discos

contidos dentro desse retângulo. Se A B⊆ , o disco que representa A deve estar inteiramente contido no disco

que representa B:

Se A e B são disjuntos, isto é, se eles não possuem elementos em comum, então o disco representado

por A estará separado do disco representado por B:




Entretanto, se A e B são dois conjuntos arbitrários, é possível que alguns objetos estejam em A, mas

não em B, alguns estejam em B, mas não em A, alguns estejam em ambos e alguns não estejam nem em A

nem em B; portanto, em geral:

Considere o conjunto de todos os carros vendidos em certa concessionária. Um vendedor classificou

os carros em três subconjuntos, de acordo com os opcionais de cada carro.

D = {carros com direção hidráulica},

A = {carros com ar condicionado},

V = {carros com vidro elétrico}

Os diagramas abaixo representam as seguintes situações:

a) Carros com, pelo menos, alguma das três opções.

b) Carros com ar condicionado, mas sem direção hidráulica e sem vidro elétrico.

c) Carros com direção hidráulica ou ar condicionado, mas sem vidro elétrico.

d) Carros com vidro elétrico e ar condicionado.

e) Carros com vidro elétrico, ar condicionado e direção hidráulica.

f) Conjunto dos carros vendidos sem nenhum dos três opcionais.

1.6.1 ARGUMENTOS E DIAGRAMAS DE VENN

Muitas afirmativas feitas verbalmente são afirmativas sobre conjuntos e podem ser descritas através

de Diagramas de Venn. Assim, eles podem ser usados para determinar se um argumento é válido ou não

válido.

Exemplo: Mostre que o seguinte argumento é válido:

S1: Minhas panelas são os únicos objetos de metal que possuo.

S2: Eu acho todos os seus presentes muito úteis.

S3: Nenhuma das minhas panelas é de muita utilidade.

S: Seus presentes para mim não são feitos de metal.




As afirmativas S1, S2 e S3 são as hipóteses e a afirmação S é a conclusão. O argumento é válido se a

conclusão S seguir logicamente as hipóteses.

Por S1, os objetos de metal estão contidos no conjunto de panelas e, por S3, o conjunto de panelas e o

conjunto de objetos úteis são distintos; logo, desenhando o diagrama de Venn:

Por S2, o conjunto “seus presentes” é um subconjunto do conjunto dos objetos úteis e, portanto,

desenha-se:

A conclusão é válida de acordo com o Diagrama de Venn porque o conjunto “seus presentes” é

diferente do conjunto de objetos de metal.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) Quais dentre esses conjuntos são iguais: { }r, t, s , { }r, t, r,s , { }t,s, t, r , { }s,s, t, t, r, r ?

02) Liste os elementos dos conjuntos. Considere { }N 1,2,3, 4,...= .

a) { }A x x N,3 x 12= ∈ < <

b) { }B x x N,x é par, x 15= ∈ <

c) { }C x x N,4 x 3= ∈ + =

03) Considere os conjuntos:

∅ , { }A 1= , { }B 1,3= , { }C 1,5,9= , { }D 1,2,3,4,5= , { }E 1,3,5,7,9= , { }U 1,2,3,...,8,9=

Insira o símbolo correto ⊆ ou ⊄ , em cada par de conjuntos:

a) ∅ A b) B C c) C D d) D E




e) A B f) B E g) C E h) D U

04) Mostre que { }A 2,3,4,5= não é um subconjunto de { }B x x , x é par= ∈� .

05) Mostre que { }A 2,3,4,5= é um subconjunto próprio de { }C 1,2,3,...,8,9= .

06) As informações seguintes referem-se a um grupo de 100 alunos:

- todos os homens têm mais de 20 anos

- há 50 mulheres no grupo

- há 60 alunos com mais de 20 anos

- há 25 mulheres casadas

- há 15 alunos casados com mais de 20 anos

- há 10 mulheres casadas com mais de 20 anos

Pergunta-se:

a) há quantos alunos casados?

b) quantas mulheres solteiras têm mais de 20 anos?

c) quantos homens solteiros têm menos de vinte anos?

d) quantos homens são casados?

e) quantos alunos têm menos de vinte anos?




2 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

2.1 UNIÃO E INTERSEÇÃO

A união entre dois conjuntos A e B, escrita por, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a

A, juntamente com todos os elementos que pertencem a B, isto é, { }A B x x A ou x B= ∈ ∈∪

A representação da união entre A ou B, pelo diagrama de Venn, fica:

A interseção dos dois conjuntos A e B, representada por A B∩ , é o conjunto dos elementos comuns

que pertencem a A e B, isto é { }A B x x A e x B= ∈ ∈∩ .

A representação da interseção entre A e B, pelo diagrama de Venn, fica:

Teorema:

São equivalentes A B⊆ , A B A=∩ e A B B=∪


01) Seja { }A 1,2,3,4= , { }B 3,4,5,6,7= , { }C 2,3,5,7= . Encontre:

a) A B∪

b) A C∪

c) A B∩

d) A C∩

02) Suponha que M denote o conjunto de estudantes do sexo masculino de uma universidade C, e F

denote o conjunto de estudantes do sexo feminino na universidade C. Como seria representado o total de

estudantes da universidade C? O total de estudantes que têm o mesmo sexo?




2.2 COMPLEMENTARES

Todos os conjuntos considerados em cada situação são subconjuntos de um conjunto universo fixo, U.

O complementar absoluto, ou simplesmente, complementar de um conjunto A, denotado por CA , é o

conjunto dos elementos que pertencem a U, mas não pertencem a A; isto é, { }CA x x U, x A= ∈ ∉ :

Atenção!!! Algumas referências bibliográficas utilizam a notação A ',~ A ou A¬ para o

complementar de A.

Exemplos:

- Dados o conjunto universo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e o conjunto A = {0, 1, 2}, tem-se que

CA =

- Dados o conjunto universo e o conjunto A = {0, 1, 2}, tem-se que CA =

2.3 DIFERENÇA

Sejam A e B conjuntos. A diferença entre os conjuntos A e B, denotada por A B− , considera todos

os elementos que pertencem ao conjunto A e que não pertencem ao conjunto B, ou seja:

{ }A B x x A x B− = ∈ ∧ ∉

O conjunto A B− é chamado de “A menos B” . Seu diagrama de Venn se encontra a seguir:




EXERCÍCIO RESOLVIDO

01) Suponha que { }U 1,2,3,...= , o conjunto de inteiros positivos, seja o conjunto universo, e que

{ }A 1,2,3,4= , { }B 3,4,5,6,7= , { }C 6,7,8,9= e { }E 2,4,6,8,...= . Quais os conjuntos complementares

de A, B, C, D e E? Encontre A B− , C D− e E A− .

2.4 CONJUNTO DAS PARTES

A operação que, aplicada a um conjunto A, resulta num conjunto constituído de todos os subconjuntos

de A é denominada conjunto das partes de A e é denotada por:

( ) { }P A x x A= ⊆

Se o número de elementos de um conjunto X é n, então o números de elementos de P(X) é 2n.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {a}, B = {a, b} e C = {a, b, c}, tem-se que:

- P(∅ ) =

- P(A) =

- P(B) =

- P(C) =

2.5 PRODUTO CARTESIANO

Antes de definir a operação produto cartesiano, será definida uma sequência de n elementos como

sendo uma n-upla ordenada, ou seja, n objetos em ordem fixa. Particularmente, dizemos que uma 2-upla é

uma par ordenado e é representada por x, y ou ( )x, y .

Observação: A ordem dos elementos é importante! Logo, ( )x, y y, x≠ .

Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A por B é como segue:

{ }A B a,b a A b B× = ∈ ∧ ∈




Denotamos o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo como 2A A A× = .

Observações:

- Não-comutatividade: A C C A× ≠ ×

- Não-associatividade: ( ) ( )A B C A B C× × ≠ × ×

2.5.1 PROPRIEDADES DOS PRODUTOS CARTESIANOS, UNIÃO E INTERSEÇÃO

- Distributividade sobre a União: ( ) ( ) ( )A B C A B A C× = × ×∪ ∪

- Distributividade sobre a Interseção: ( ) ( ) ( )A B C A B A C× = × ×∩ ∩

Exemplos:

01) Dados os conjuntos A = {a}, B = {a, b} e C = {0, 1, 2}, tem-se que:

- A B×

- B C×

- C B×

- 2A

- 2B

- A×�

- ( )A B C× ×

- ( )A B C× ×

- A×∅

- A∅×

- 2∅

02) Considere três conjuntos A, B e C. Quantos produtos fundamentais podem ser formados?

Liste-os e faça o diagrama de Venn mostrando as áreas de cada produto.




2.6 UNIÃO DISJUNTA

A união disjunta, ou diferença simétrica, dos conjuntos A e B, denotada por A B⊕ , ou A B+ ,

consiste no conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B, mas não a ambos, isto é,

( ) ( )A B A B A B⊕ = −∪ ∩

É também possível escrever a diferença simétrica da seguinte forma: ( ) ( )A B A B B A⊕ = − −∪ .

Exemplos:

01) Suponha { }A 1,2,3, 4,5,6= e { }B 4,5,6,7,8,9= . Assim,

a) A B−

b) B A−

c) A B⊕

O diagrama de Venn, nesse caso, fica:

02) Dados os conjuntos D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, V = {a, e, i, o, u}, P = {0, 2, 4, 6,...} e A = {a,

b, c}, tem-se que:

- D + V =

- D + P =

- ∅+∅ =

- A +∅ =

- A + AC =

3 DUALIDADE

Conjuntos envolvidos em operações de união, interseção e complementares seguem as várias leis

listadas a seguir:

Lei de Idempotência

a) A A A=∪

b) A A A=∩

Leis de Associatividade

a) ( ) ( )A B C A B C=∪ ∪ ∪ ∪

b) ( ) ( )A B C A B C=∩ ∩ ∩ ∩




Lei de Comutatividade

a) A B B A=∪ ∪

b) A B B A=∩ ∩

Lei de Distributividade

a) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=∪ ∩ ∪ ∩ ∪

b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=∩ ∪ ∩ ∪ ∩

Lei de Identidade

a) A A∅ =∪

b) A U A=∩

c) A U U=∪

d) A ∅ =∅∩

Lei de Involução ( )CCA A=

Lei dos Complementares a) CA A U=∪

b) CA A =∅∩

c) CU =∅

d) C U∅ =

Lei DeMorgan a) ( )C C CA B A B=∪ ∩

b) ( )C C CA B A B=∩ ∪

Existem dois métodos de demonstrar as leis listadas. Uma delas é através das definições das operações

e, a outra, é pelo diagrama de Venn. Por exemplo, considere a Lei DeMorgan ( )C C CA B A B=∪ ∩

Método 1:

Método 2:




3.1 CONJUNTOS FINITOS

Conforme visto anteriormente, um conjunto é dito finito se contém exatamente m elementos distintos,

onde m denota um número inteiro e não negativo. Caso contrário, o conjunto é dito infinito. Por exemplo, o

conjunto vazio, ∅ , e o conjunto de letras do alfabeto são conjuntos finitos, enquanto que o conjunto de

positivos inteiros pares, { }2,4,6,8,... é infinito.

A notação ( )n A será usada para indicar o número de elementos de um conjunto finito CA . Outras

notações para os mesmos elementos: #A , A ou ( )card A .

Se A e B são conjuntos finitos disjuntos, então A B∪ é também finito e ( ) ( ) ( )n A B n A n B= +∪ .

Ao contar os elementos de A B∪ , primeiramente, conte os que estão em A. Existem ( )n A

elementos em A. Os únicos outros elementos de A B∪ são aqueles que estão em B, mas não em A. Mas

como A e B são disjuntos, nenhum elemento de B está em A e, portanto, existem ( )n B elementos que estão

em B, mas não estão em A. Assim, ( ) ( ) ( )n A B n A n B= +∪ .

Há também uma maneira de encontrar ( )n A B∪ mesmo quando os conjuntos não estão disjuntos.

Se A, B e C são conjuntos finitos, então A B C∪ ∪ também é

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A,B,C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C= + + − − − +∩ ∩ ∩ ∩ ∩


01) Considere os dados a seguir sobre 120 estudantes de matemática no que diz respeito aos idiomas

francês, alemão e russo.

65 estudam francês

45 estudam alemão

42 estudam russo

20 estudam francês e alemão

25 estudam Francês e russo

15 estudam alemão e russo

8 estudam os três idiomas

Determine o número de alunos que estuda pelo menos um dos três idiomas e faça o diagrama de Venn

com o número correto de estudantes.




Os problemas a seguir se referem ao conjunto universo { }U 1,2,3,...,8,9= e aos conjuntos

{ }A 1,2,3, 4,5= , { }B 4,5,6,7= , { }C 5,6,7,8,9= , { }D 1,3,5,7,9= , { }E 2,4,6,8= , { }F 1,5,9= .

02) Determine:

a) A B∪ e A B∩ b) A C∪ e A C∩

c) B D∪ e B D∩ d) D E∪ e D E∩

e) E E∪ e E E∩ f) D F∪ e D F∩

03) Determine:

a) A’, B’, D’ e E’ b) A-B, B-A, D-E, F-D c) A B⊕ , C D⊕ , E F⊕

04) Determine:

a) ( )A B E∩ ∪ b) ( )A E '−

c) ( )A D B−∩ d) ( ) ( )B F C E∩ ∪ ∩

05) Mostre que é possível que A B A C=∩ ∩ sem que B C= .

06) Determine quais os conjuntos finitos:

a) { }A estações do ano=

b) { }B estados do Brasil=

c) { }C inteiros positivos menores que 1=

d) { }D inteiros ímpares=

e) { }E divisores inteiros positivos de 12=

f) { }F cães do Brasil=

07) em uma pesquisa com 60 pessoas, verificou-se que:




25 lêem Folha de São Paulo

26 lêem Gazeta do Povo

26 lêem Tribuna do Paraná

9 lêem Folha e Tribuna

11 lêem Gazeta e Folha

8 lêem Gazeta e Tribuna

3 lêem os três jornais

a) Encontre o número de pessoas que lêem pelo menos um dos três jornais.

b) Preencha um diagrama de Venn sobre o problema.

c) Ache o número de pessoas que lêem exatamente um jornal.

4 RELAÇÕES

4.1 RELAÇÃO BINÁRIA

Dados dois conjuntos A e B, uma relação binária R de A em B é um subconjunto de um produto

cartesiano A B× , ou seja R A B⊆ × , onde:

- A é o domínio, origem ou conjunto de partida de R

- B é o contra-domínio, destino ou conjunto de chegada de R

Para R A B⊆ × , se a,b R∈ , então se pode afirmar que "a relaciona-se com b". Pode-se denotar a

relação R da seguinte forma: R A B: → e um elemento a,b R∈ pode ser denotado por aRb.

Exemplos:

Sejam A = {a}, B = {a, b} e C = {0, 1, 2}. São exemplos de relações:

- ∅ é uma relação de A em B

- A B×

- Relação de Igualdade de A em A:

- Relação "menor" de C em C:

- Relação de C em B:




Endorrelação: dado um conjunto A, uma relação do tipo R :A A→ é dita uma Endorrelação ou

Auto-Relação. Assim, tem-se que origem e destino fazem parte do mesmo conjunto, denotado por A,R .

Uma relação binária pode ser representada no diagrama de Venn:

A seguir, algumas definições referentes ao conceito de relação:

a) a,b R∈ : R está definida para a, e b é a imagem de a.

b) Domínio de definição: é o conjunto de todos os elementos de A para os quais R está definida.

c) Conjunto imagem: conjunto de todos os elementos de B que estão relacionados com algum

elemento de A.

Exemplos:

Dados os conjuntos A = {a}, B = {a, b} e C = {0, 1, 2}, tem-se:

- para a endorelação C,< , o domínio de definição é o conjunto {0, 1} e o conjunto imagem

é o conjuto {1, 2]

- para a relação =: A B→ , o domínio de definição é o conjunto {a} e o conjunto imagem também é o

conjunto {a}.

4.2 TIPOS DE RELAÇÕES

4.2.1 RELAÇÃO FUNCIONAL

Uma relação binária R :A B→ é uma relação funcional se, e somente se:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2a A b B b B aRb aRb b b∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ → =∩

Em outras palavras, temos que para uma relação ser funcional, cada elemento do conjunto origem

deve estar relacionado a um elemento do conjunto destino, no máximo.

Exemplo:

Dada a relação 2X : Z Z→ , tal que { }2 2 2X x, y Z y x= ∈ = , tem-se que, para cada inteiro x,

existe no máximo um inteiro y tal que y = x2.




Pode-se visualizar uma relação funcional no diagrama de Venn. Considerando a relação R :A A→ ,

tal que { }R a,a , b,c= e A = {a, b, c}, o correspondente diagrama fica:

Observe que, de fato, cada elemento do conjunto origem está relacionado a, no máximo, um elemento

do conjunto destino (o que significa que podem haver elementos da origem não relacionados a algum

elemento do destino).

4.2.2 RELAÇÃO INJETORA

Relação injetora é o conceito dual (inverso) de relação funcional.

Uma relação binária R :A B→ é uma relação injetora se, e somente se:

( ) ( )( )( )1 2 1 2 1 2b B a A a A a Rb a Rb a a∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ → =∩

Em outra palavras, para um relação ser injetora, cada elemento do conjunto destino deve estar

relacionado a, no máximo, um elemento do conjunto origem.

Exemplo:

Dada a relação R :A B→ , tal que A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e R = { }1,1 , 1, 2 , 2,3 , tem-se que

cada elemento de B está relacionado a, no máximo, um elemento de A. Veja a seguir o diagrama que

representa a relação R.

4.2.3 RELAÇÃO TOTAL

Uma relação binária R :A B→ é uma relação total se, e somente se:

( ) ( )( )a A b B aRb∀ ∈ ∃ ∈




Em outras palavras, para uma relação ser total, todos os elementos do conjunto origem devem estar

relacionados a algum elemento do conjunto destino. O domínio de definição é o próprio conjunto A.

Exemplo:

Dada a relação R :A B→ , tal que A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e R = { }1,1 , 2, 2 , 2,3 , tem-se que

cada elemento de A está relacionado a algum elemento de B. Veja a seguir o diagrama que representa a

relação R.

4.2.4 RELAÇÃO SOBREJETORA

Relação sobrejetora é o conceito dual (inverso) de relação total. Uma relação binária R :A B→ é

uma relação sobrejetora se, e somente se:

( ) ( )( )b B a A aRb∀ ∈ ∃ ∈

Em outras palavras, para uma relação ser sobrejetora, todos os elementos do conjunto destino devem

estar relacionados a algum elemento do conjunto origem. O conjunto imagem é o próprio conjunto B.

Na matriz de uma relação sobrejetora, deve existir pelo menos um valor lógico verdadeiro em cada

coluna.

Exemplo:

Dada a relação R :A B→ , tal que A = {a, b, c}, B = {a, b} e R = { }a, b , c,a , tem-se que cada

elemento de B está relacionado a algum elemento de A. Veja a seguir o diagrama que representa a relação R.

4.3 MONOMORFISMO

Uma relação R :A B→ é um monomorfismo se, e somente se, for simultaneamente uma relação

total e injetora.




Dessa forma, o domínio de definição é o próprio conjunto A e cada elemento de B está relacionado

com no máximo um elemento de A.

Exemplo:

A relação : A B= → , onde A = {a} e B = {a, b}, é um monomorfismo.

4.4 EPIMORFISMO

Epimorfismo é o conceito dual (inverso) de monomorfismo. Uma relação R :A B→ é um

epimorfismo se, e somente se, for simultaneamente uma relação funcional e sobrejetora.

Dessa forma, o conjunto imagem é o próprio conjunto B e cada elemento de A está relacionado com

no máximo um elemento de B.

Exemplo:

São exemplos epimorfismo, sendo que onde A = {a}, B = {a, b} e C = {0, 1, 2}:

- : A A= →

- S :C B→ , tal que { }S 0,a , 1,b=

4.5 ISOMORFISMO

Uma relação R :A B→ é um isomorfismo se, e somente se, existe uma relação S: B A→ tal que:

AR S id=� e BS R id=�

onde idA é uma endorrelação de igualdade em A A,= e idB é uma endorrelação de igualdade em B

B,= , chamadas de relação identidade.

Assim, se AR S id=� e BS R id=� , pode-se afirmar que a relação R possui inversa. Ainda, se existe

um isomorfismo entre dois conjuntos, eles podem ser chamados de conjuntos isomorfos.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {a, b, c} e B = {e, f, g} e a relação R :A B→ tal que

{ }R a,e , b, f , g,c= . Prove que R é um caso de isomorfismo.




Teorema: Seja R :A B→ uma relação. Então R é um isomorfismo se, e somente se, R for

simultaneamente um monomorfismo e um epimorfismo.

Dessa forma, uma relação é um isomorfismo se, e somente se, for simultaneamente uma relação total,

injetora, funcional e sobrejetora.

Pode-se observar que para uma relação ser um isomorfismo, os conjuntos origem e destino devem

possuir o mesmo número de elementos.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) Para cada conjunto:

- descreva uma forma alternativa (usando outra forma de notação)

- diga se é finito ou infinito

a) todos os números inteiros maiores que 10 B) { }1,3,5,7,9,11,... c) Todos os países do mundo

02) Para { }A 1= , { }B 1,2= e { }{ }C 1 ,1= , marque as afirmações corretas:

a) A B⊂ b) A B⊆ c) A B∈

d) A B= e) A C⊂ f) A C⊆

g) A C∈ h) A C= i) 1 A∈

j) 1 C∈ k) { }1 A∈ l) { }1 C∈

m) C∅∉ n) C∅⊆

03) Sejam { }M x 2x 6= = e N 3= . Justifique ou refute que M N= .

04) Quais são todos os subconjuntos dos seguintes conjuntos?

a) { }A a,b,c= b) { }{ }B a, b,c ,D= dado que { }D 1,2=

05) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (inclusive nele mesmo)? Justifique.

06) Todo conjunto possui um subconjunto próprio? Justifique.

07) Sejam { }A 0,1,2,3, 4,5= , { }B 3,4,5,6,7,8= , { }C 1,3,7,8= , { }D 3,4= , { }E 1,3= , { }F 1= e X, um

conjunto desconhecido. Para cada item abaixo, determine quais dos conjuntos A, B, C, D, E ou F podem ser

guais a X:

a) X A⊆ e X B⊆ b) X B⊄ e X C⊆

c) X A⊄ e X C⊄ d) X B⊆ e X C⊄




08) Seja A um subconjunto de B e B um subconjunto de C. Suponha que a A∈ , b B∈ , c C∈ , d A∉ ,

e B∉ e f C∉ . Quais das afirmações são verdadeiras?

a) a C∈ b) b A∈ c) c A∉

d) d B∈ e) e A∉ f) f A∉

09) Marque os conjuntos que são alfabetos:

a) Conjunto dos números naturais b) Conjunto dos números primos

c) Conjunto das letras do alfabeto brasileiro d) Conjunto dos algarismos arábicos

e) Conjunto dos algarismos romanos f) Conjunto { }a,b,c,d

g) Conjunto das vogais h) Conjunto das letras gregas

10) Sejam { }a, b,c,..., z∑ = e { }Dígitos 0,1,2,3,...,9= alfabetos. Assim,

a) Para cada um dos alfabetos abaixo, descreva o correspondente conjunto de todas as palavras:

- ∑

- Dígitos

b) discuta as seguintes afirmações:

- português é uma linguagem sobre ∑ , ou seja, é um subconjunto de *∑

Dica: quais os símbolos usados para compor um texto em português?

- � é uma linguagem sobre Dígitos, ou seja, é um subconjunto de Dígitos*

- Dígitos*=�

-Dica: como fica o caso da palavra vazia?

11) Seja A = {a, b, c, d, e}. Determine se as sentenças, abaixo, são verdadeiras ou falsas:

a) {a} ⊂ A b) a ∈ A c) {a} ∈ A

d) ∅⊂ A e) {c, d, e} ⊂ A f) {c, d, e} ∈ A

g) {a, c, f} ⊂ A h) A ⊂ A

i) A ⊂ A e A ≠ A j) {e, b, c, a, d} = A

12) Em uma classe há 15 alunos veteranos dos quais 10 são rapazes, 15 rapazes que não são veteranos e 30

meninas. Quantos alunos há na classe?

13) Dado que:

- todos os nativos de Mindanau devoram pessoas brancas

- todos os nativos de Bornéu devoram pessoas pretas

- Nenhum homem devora ambas, pessoas brancas e pessoas pretas

- João devora pessoas pretas

Decida se cada uma das conclusões abaixo torna o argumento válido.

a) João é nativo de Bornéu b) João não é nativo de Mindanau




14) Avalie a validade do seguinte argumento: Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos,

logo nenhum pássaro é girassol.

15) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Avalie a

validade das conclusões:

a) Alguns baianos são louros

b) Alguns professores são baianos

c) Alguns louros são professores

d) Existem professores louros

16) Determine a validade do seguinte argumento: “Todos os meus amigos são músicos. João é meu amigo.

Nenhum dos meus vizinhos é músico. João não é meu vizinho.”

17) Quais dos seguintes conjuntos são iguais?

{ }2A x x 4x 3 0= − + = , { }2B x x 3x 2 0= − + = , { }C x x , x 3= ∈ <� ,

{ }D x x , x é impar, x 5= ∈ <� , { }E 1,2= , { }F 1,2,1= , { }G 3,1= , { }H 1,1,3=

18) Liste os elementos dos conjuntos seguintes considerando o conjunto universo { }U a,b,c,d,..., y, z= .

Identifique também os conjuntos iguais se existirem:

{ }A x x é vogal= , { }B x x é uma letra da palavra "carroça "= ,

{ }C x x precede "f" no alfabeto= , { }D x x é uma letra da palavra "caroço"=

19) Encontre os elementos de X, considerando que { }A 1,2,...,8,9= , { }B 2,4,6,8= , { }C 1,3,5,7,9= ,

{ }D 3,4,5= , { }E 3,5=

a) X e B são disjuntos

b) X D⊆ mas X B⊄

c) X A⊆ mas X C⊄

d) X C⊆ mas X A⊄

Os problemas a seguir, referem-se aos conjuntos { }U 1,2,...,8,9= , { }A 1,2,5,6= , { }B 2,5,7= ,

{ }C 1,3,5,7,9= .

20) Encontre:

a) A B∩ e A C∩ b) A B∪ e A C∪ c) A’ e C’

21) Encontre:

a) A-B e A-C b) A B⊕ e A C⊕

22) Encontre:




a) ( )A C B−∪ b) ( )A B '∪ c) ( )B C A⊕ −

23) Sejam { }A a,b,c,d,e= , { }B a,b,d, f ,g= , { }C b,c,e,g,h= , { }D d,e, f ,g, h= . Encontre:

a) A B∪ b) B C∩ c) ( )A B D∩ ∪

d) ( )B C D− ∪ e) ( )A D C−∪ f) B C D∩ ∩

g) A B⊕ h) C D⊕ i) C-B

j) ( )A D B∩ ∪ k) ( )C A D− − l) ( )A D B⊕ −

24) Sejam A e B conjuntos pertencentes ao universo U. Avalie as assertivas a seguir, atribuindo a cada uma

(V) para verdadeira ou (F) para falsa. Justifique o motivo de considerar determinada assertiva falsa.

a) A A ' U=∪ b) A A ' =∅∪ c) A U A=∩

d) A A∅ =∪ e) A A A=∪ f) A A A=∩

g) ( )A ' ' A= h) ' U∅ = i) A B B A=∪ ∪

j) A B B A=∩ ∩ k) ( )A B ' A ' B'=∪ ∩ l) ( )A B ' A ' B'=∩ ∪

m) ( ) ( ) ( )A B C A B B C=∪ ∩ ∪ ∩ ∪ n) ( ) ( ) ( )A B C A B B C=∩ ∪ ∩ ∪ ∩

o) ( ) ( )A B C A B C=∪ ∪ ∪ ∪ p) ( ) ( )A B C A B C=∩ ∩ ∩ ∩

25) Dentre as proposições a seguir, assinale as verdadeiras. Considere que: S = {2, a, 3, 4}, R = {a, 3, 4, 1} e

U é o conjunto universo.

a) a S∈ b) a R∈ c) R S=

d) { }a S⊆ e) { }a S∈ f) S∅ ⊆

g) R∅∈ h) { } S∅ ∈ i) U S⊇

26) Quais declarações são verdadeiras e quais são falsas?

a) { }1 1,2,3∈ b) { }1 1,2,3∉ c) { } { }1 1,2,3∈

d) { } { }1 1,2,3∉ e) { } { }1 1,2,3⊆ f) { } { }1 1,2,3⊄

27) Determine, explicitando os elementos constituintes, quais os conjuntos a seguir definidos:

a) Números inteiros, positivos e ímpares;

b) Números inteiros, positivos e cujo resto é 1 quando dividido por 4;

c) Números inteiros, negativos e cujo resto seja -3 quando dividido por 4;

d) Números primos e ímpares;

e) Números primos e pares.

28) Sejam os conjuntos A = {1, 1, 2, 2, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4} e U é o conjunto universo. Ordene

A, B, C e o ∅ de forma que o conjunto da direita seja um subconjunto do conjunto da esquerda.




29) Seja o conjunto universo, U, aquele que corresponde a todas as pessoas. A é o conjunto de todos os

bacharéis em Ciência da Computação, B é o conjunto de todos os contadores (mulheres e homens), C é o

conjunto de todas as mulheres e, finalmente, D é o conjunto de todas as pessoas com idade igual ou superior a

40 anos. Determine o seguinte:

a) O conjunto de todas as mulheres bacharéis em Ciência da Computação e que são também contadoras;

b) O conjunto de todos os homens contadores com idade igual ou superior a 40 anos;

c) O conjunto de todas as mulheres bacharéis em Ciência da Computação com idade abaixo de 40 anos e que

são contadoras.

30) Simplifique a expressão ( ) ( )( )A B C ' A ' B C ' A '∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ , sabendo que A, B e C são conjuntos

finitos.

31) Seja A = {1, 2, 3}. Determine { }{ }A A 2× − e A2.

32) Sabe-se que A = {a,b,c}. Determine A2 e 2A.

33) Sabendo-se que A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, determine P(A ∪ B).

34) Sejam: A = {2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,10}. Para cada uma das relações, explicite seus elementos (pares) e

determine o domínio e a imagem.

a) { }R x, y A B x é divisível por y= ∈ × b) { }R x, y A B xy=12= ∈ ×

c) { }R x, y A B x y 1= ∈ × = + d) { }R x, y A B x y= ∈ × ≤

35) Determine quais dos seguintes conjuntos são finitos:

a) O conjunto das retas paralelas ao eixo x

b) O conjunto das letras do alfabeto

c) O conjunto dos números múltiplos de 5

d) O conjunto dos animais que vivem na Terra

e) O conjunto dos números que são solução da equação 12 7 3x x 5x 15 0+ − − =

f) O conjunto dos círculos contendo a origem (0,0)

36) Foi realizada uma pesquisa com uma amostragem de 25 carros novos à venda para verificar quais dos

opcionais mais populares: ar condicionado (A), rádio (R) e vidros elétricos (V) já estavam instalados. A

pesquisa concluiu que:

15 tinham ar condicionado

12 tinham rádio

11 tinham vidros elétricos

5 tinham ar condicionado e vidros elétricos

9 tinham ar condicionado e rádio

4 tinham rádio e vidros elétricos

3 tinham as três opções




Encontre:

a) número de carros que têm apenas vidros elétricos

b) apenas ar condicionado

c) apenas rádio

d) rádio e vidros elétricos, mas não ar condicionado

e) ar condicionado e rádio, mas não vidros elétricos

f) apenas uma das opções

g) nenhuma das opções

37) Uma pesquisa foi realizada com pessoas que lêem revistas semanais. Entrevistando 200 pessoas,

descobriu-se o seguinte:

85 pessoas compram a revista A,

75 pessoas compram a revista B,

65 pessoas compram a revista C,

30 pessoas compram as revistas A e B,

25 pessoas compram as revistas A e C,

20 pessoas compram as revistas B e C,

10 pessoas compram as três revistas.

Com base nestes dados, responda ao seguinte:

a) Quantas pessoas compram pelo menos uma das revistas?

b) Quantas pessoas não compram nenhuma das três revistas?

c) Quantas pessoas compram exatamente uma das revistas?

d) Quantas pessoas compram exatamente duas das revistas?

38) O técnico da seleção brasileira de futebol convocou 22 jogadores para um amistoso. Destes, 2 são

goleiros, 10 podem jogar na defesa, 10 podem jogar no meio-de-campo e 9 podem jogar no ataque.

Sabe-se também que 4 jogadores podem jogar na defesa e no meio, 5 jogadores podem jogar no meio ou no

ataque e apenas 1 jogador pode jogar na defesa e no ataque.

Os goleiros só podem jogar no gol. Perguntas:

a) Quantos jogadores são tão versáteis que podem jogar na defesa, no meio e no ataque?

b) Quantos podem jogar apenas na defesa?

c) Quantos podem jogar apenas no ataque?

d) Quantos podem jogar no ataque ou no meio, mas nunca na defesa?

39) Uma pesquisa entre pessoas que moram em Niterói e trabalham no Rio revela que, de 50 pessoas

entrevistadas, 20 delas pegam a barca com alguma frequência, 24 pegam ônibus, enquanto que 10 às vezes

pegam barca e às vezes pegam ônibus. Determine:

(a) Quantos passageiros vão apenas de barca?

(b) Quantos passageiros vão apenas de ônibus?




(c) Quantos passageiros se utilizam de outros meios de transporte?

40) Uma pesquisa em um supermercado mostrou que, entre 150 consumidores, 60 compram uma marca A de

sabão em pó, 40 compram uma marca B e 30 compram uma marca C. Dos entrevistados, 10 compram as três

marcas, 20 compram as marcas A e B, 15 compram as marcas A e C e 10 compram as marcas B e C. Com

base nestes dados, determine:

(a) Quantos consumidores compram alguma das três marcas.

(b) Quantos consumidores compram apenas a marca A.

(c) Quantos consumidores compram as marcas A ou B, mas não a marca C.

(d) Quantos compram exatamente duas das marcas.

(e) Quantos compram apenas uma das marcas.

(f) Quantos dos consumidores não compram nenhuma das marcas.

41) Foi realizada uma pesquisa sobre preferências partidárias, perguntando aos entrevistados se já haviam

votado nos partidos A, B, C ou D. A pesquisa trouxe à luz os seguintes fatos:

Do total de 130 pessoas entrevistadas, 17 já votaram no partido D. Estas pessoas que já votaram no partido D

nunca votaram em outro partido.

60 pessoas já votaram no partido A

50 pessoas já votaram no partido B

70 pessoas já votaram no partido C

30 pessoas já votaram nos partidos A e C

25 pessoas já votaram nos partidos B e C

22 pessoas já votaram nos partidos A e B.

Sabendo que todos os 130 entrevistados já votaram em algum dos 4 partidos mencionados, determine:

(a) Quantas pessoas já votaram nos 3 partidos?

(b) Quantas pessoas só votaram no partido A?

(c) Quantas pessoas só votaram em um partido?

(d) Quantas pessoas já votaram em exatamente dois partidos?

Represente a situação, por meio de um diagrama de Venn.

42) Use um diagrama de Venn para mostrar se o seguinte argumento é válido: “Bebês são ilógicos. Ninguém

que possa lidar com crocodilos pode ser desprezado. Pessoas ilógicas são desprezadas. Bebês não podem lidar

com crocodilos.”

43) Considere o argumento: “ Todos os dicionários são úteis. Maria possui apenas romances. Nenhum

romance é útil.” Determine se as seguintes conclusões são válidas:

a) Romances não são dicionários

b) Maria não tem um dicionário

c) Todos os livros úteis são dicionários

44) Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que tem clorofila são comestíveis. Logo,




a) algumas plantas verdes são comestíveis.

b) algumas plantas verdes não são comestíveis.

c) algumas plantas comestíveis têm clorofila.

d) todas as plantas que têm clorofila são comestíveis.

e) todas as plantas verdes são comestíveis.

45) Foi feita uma pesquisa em sala de aula com 50 alunos e obteve-se o seguinte resultado. 17 gostavam

somente de coxinha e 21 gostavam somente de risólis. Sabendo que cada aluno gostava de pelo menos um

desses salgadinhos, quantos gostavam de ambos?

46) Numa escola com 630 alunos, 250 estudam matemática, 210 estudam fisica e 90 deles estudam as duas

matérias. Pergunta-se:

a) Quantos alunos estudam somente matemática?

b) Quantos alunos estudam somente fisica?

c) Quantos alunos estudam matemática ou fisica?

d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?

47) Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20

liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois. Quantas pessoas foram consultadas?

48) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas utilizam os produtos A ou B. O produto B é

utilizado por 800 pessoas e 320 utilizam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto

A?

49) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam

vôlei e tênis, e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de

pessoas que jogam tênis.

a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?

b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?

c) Quantos jogam vôlei e não jogam tênis?

50) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antigenos. Em uma

pesquisa efetuada em um grupo com 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles têm o antigeno

A, 35 têm o antigeno B e 18 deles têm o antigeno AB. Nessas condições pede-se o número de pacientes cujo

sangue tem o antigeno O.




Capítulo 2 – Lógica

1 PROPOSIÇÕES

De maneira geral, podemos classificar as sentenças de um idioma da seguinte forma:

Declarativas: Hoje é domingo.

Eu não saí de casa o dia todo.

Interrogativas:

Quem vem lá?

Qual é o seu nome?

Exclamativas:

Lógico!

Viva!

Imperativas: Não matarás!

Feche a porta!

1.1 SENTENÇAS MATEMÁTICAS

Sob o ponto de vista da lógica, um valor verdade pode ser atribuído apenas às sentenças declarativas,

isto é, só se pode julgar que uma sentença seja verdadeira ou falsa, quando se tratar de uma declaração.

x 3> , 7 10< e 32 6= são sentenças matemáticas, sendo que, as duas primeira são verdadeiras e, a

última, falsa.

Alguns exemplos de sentenças às quais não podemos atribuir valor verdade:

1. Vá mais devagar!

2. Quanto custa este livro?

3. Fulano é carioca.

Uma situação parecida pode surgir no contexto matemático. A frase x + 3 = 11 pode ser verdadeira

(caso o valor de x seja 8) ou pode ser falsa (caso x seja diferente de 8).

Leia as seguintes sentenças. Algumas são verdadeiras e outras são falsas:

1. A grama é verde.

2. Dezembro tem 31 dias.

3. Uma semana tem 8 dias.

4. O Sol é uma estrela.

5. O verão é a estação mais fria do ano.




1.2 FUNÇÕES PROPOSICIONAIS

Expressões, que contêm uma ou mais variáveis, são chamadas de funções proposicionais. Quando as

variáveis são substituídas por constantes, a expressão torna-se uma proposição (verdadeira ou falsa, conforme

as constantes atribuídas).

Por exemplo, “x é homem”. Essa função proposicional torna-se uma proposição verdadeira se x =

Sócrates e falsa se x = cadeira. Estas expressões também podem ser chamadas de sentenças abertas.

1.3 AXIOMAS E TEOREMAS

Usando as regras da lógica, pode-se provar quando uma determinada sentença é verdadeira ou falsa.

De acordo com essas regras, parte-se de um conjunto inicial de sentenças básicas, consideradas

verdadeiras, os axiomas, e, usando as regras definidas pela lógica, prova-se a veracidade de novas sentenças.

Estas novas sentenças verdadeiras são chamadas teoremas e podem também ser usadas na demonstração de

novos teoremas.

Em lógica, são consideradas apenas as sentenças que podem ser qualificadas como falsas ou

verdadeiras. Tais sentenças são chamadas de proposições1. Usa-se letras minúsculas, como p, q ou r, para

representá-las.

Proposição, ou sentença, é todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de

sentido completo.

1.3.1 PRINCÍPIOS DAS PROPOSIÇÕES

1° Princípio da Não-Contradição

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa, simultaneamente.

2° Princípio do Terceiro Excluído

Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo

ter outro valor.

1 A palavra proposição também é usada em Matemática, fora do contexto estrito da lógica, como

sinônimo de teorema.




2 CONECTIVOS E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

As proposições mostradas anteriormente são ditas proposições atômicas, pois não podem ser

decompostas em proposições mais simples.

É possível construir proposições mais complexas utilizando os operadores lógicos, chamados de

conectivos.

Por exemplo:

a) Windows é um sistema operacional e C é uma linguagem de programação.

b) Iremos ao cinema ou ao parque.

b) Linux não é um software livre.

c) Se chover muito, eu vou virar sapo.

d) A=B se e somente se A B⊆ e B A⊆

2.1 CONJUNÇÃO

Usando duas proposições p e q pode-se construir uma nova proposição, p e q, chamada de conjunção

de p e q, simbolizada por ∧p q .

A sentença ∧p q é verdadeira caso ambas, p e q, sejam verdadeiras. Em qualquer outra situação, será

falsa.

Exemplo:

• A noite é escura e o dia é claro.

• A rosa é vermelha e o cravo é branco.

• 16 é igual a 4 e 15 é um número primo.

2.2 DISJUNÇÃO

A partir de duas proposições p e q também pode ser construída a proposição composta p ou q,

chamada de disjunção de p e q, ou ∨p q . A proposição ∨p q é verdadeira caso alguma das proposições, p

ou q, seja verdadeira, e será falsa somente se ambas forem falsas.




A proposição composta “ 16 é igual a 4 ou 15 é um número primo” é verdadeira, pois a veracidade

de uma das proposições a torna válida.

2.3 NEGAÇÃO

Usamos a notação ¬p , para indicar a negação da proposição p. As proposições p e ¬p têm valores-

verdade opostos (Princípio da Contradição).

Princípios da lógica Matemática:

- Princípio da Identidade - Todo objeto é idêntico a si mesmo.

- Princípio da Contradição - O contrário do verdadeiro é falso.

- Princípio do Terceiro Excluído - De duas proposições contraditórias uma é verdadeira e a outra é

falsa.

2.4 QUANTIFICADORES

São expressões que aparecem, em geral, no início das frases matemáticas, cuja função é indicar o

universo sobre o qual será feita a afirmação. Exemplos: “para todo”, “cada”, “existe um”, “existe uma”, “não

existe algum”, “não existe alguma”, “nenhum”, “nenhuma”, “qualquer um”, “qualquer uma”,...

Exemplo:

As seguintes proposições têm o mesmo significado:

• Todo mundo é racional.

• Todas as pessoas são racionais.

• Cada pessoa é racional.

• Qualquer pessoa é racional.

O quantificador usado nestes exemplos é chamado de quantificador universal, representado por ∀

(para todo).

Exemplo:

2 2,sen cos 1∀α∈ α+ α =�




Os exemplos apresentam o quantificador existencial, representado pelo símbolo ∃ (existe). Mais uma

vez, todas as proposições têm o mesmo significado.

• Alguma pessoa é bonita.

• Existe pessoa bonita.

• Pelo menos uma pessoa é bonita

Exemplo:

, sen 1∃α∈ α =�

Os quantificadores universais e existenciais são trocados um pelo outro quando é feita a negação de

uma proposição iniciada por um deles. Exemplo:

Outra maneira de enunciar a proposição ¬p seria: pelo menos um aluno não é estudioso, ou mesmo,

há pelo menos um aluno não estudioso.

Atenção! A proposição q: “Nenhum aluno é estudioso” não é a negação de p.

2.5 TABELAS-VERDADE

O valor-verdade de cada proposição é sempre, ou verdadeiro (V), ou falso (F). O valor-verdade de

uma proposição composta é determinado pelos valores-verdade de cada uma das proposições que a compõem

e apresentados em forma de tabelas, denominadas tabelas-verdade.

Por exemplo, considere a conjunção das proposições p e q, que denotamos por ∧p q . Lembre-se de

que ∧p q é verdadeira apenas quando ambas as proposições, p e q, são verdadeiras.

Há quatro possibilidades:

• p é verdadeira e q é verdadeira.

• p é verdadeira e q é falsa.

• p é falsa e q é verdadeira.

• p é falsa e q é falsa.

A tabela-verdade correspondente é:

p: Todo aluno é estudioso. ¬p : Existe aluno que não é estudioso.




As tabelas-verdade correspondentes às proposições ¬p (não p) e ∨p q (p ou q) são:

2.6 PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS

Há frases que se compõem de uma condição e uma consequência, conforme os exemplos:

Se não chover irei a sua festa.

Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.

Se r é um número natural, tal que r < 2, então r 1= .

Sejam p e q duas proposições. A proposição “Se p, então q” é chamada de implicação, onde o

conectivo “Se . . . , então . . .” caracteriza uma condição.

A notação desta proposição é

p q→

As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A, então B”:

Se A, B.

B, se A.

Todo A é B.

A implica B.

A somente se B.

A é suficiente para B.

B é necessário para A.

A proposição p é chamada de hipótese e a proposição q de conclusão ou tese. O valor-verdade da

proposição p q→ depende dos valores-verdade da hipótese e da conclusão, sendo falsa apenas quando p é

verdade e q é falsa.

Há maneiras ligeiramente diferentes de enunciar a proposição p q→ :

• Se p, então q.

• p implica q.

• Para que p seja verdadeira, é necessário que q seja verdadeira.

• Para que q seja verdadeira, é suficiente que p seja verdadeira.




Na verdade, a proposição p q→ é logicamente equivalente à proposição ¬p q∨ , cuja tabela

verdade fica:

Exemplo:

01) Considerando a proposição:

Se eu ganhar na loteria, então nós viajaremos para Fortaleza.

A tabela verdade fica:

É importante perceber que a implicação depende diretamente da conclusão, e não da hipótese.

A primeira possibilidade corresponde à situação ideal, isto é, p e q verdadeiras: Viajamos para

Fortaleza porque eu ganho na loteria, a promessa é cumprida e p q→ é verdadeira.

No caso de não viajarmos para Fortaleza e eu ganhar na loteria, a promessa estará quebrada. Isto

corresponde ao caso p verdadeira e q falsa, tornando p q→ falsa.

Agora, viajamos para Fortaleza, apesar de eu não ter ganhado na loteria. Ótimo! A condição não pode

ser contestada. Isto corresponde ao caso p falsa, q verdadeira e, consequentemente, p q→ verdadeira.

Como última possibilidade, não viajamos à Fortaleza porque eu não ganhei na loteria. A condição não

foi quebrada – corresponde ao caso p e q falsas e p q→ se torna verdadeira.

Note que, quando a hipótese p é falsa, independente do valor-verdade da consequência q, a

implicação p q→ é verdadeira.

Portanto, a única chance de p q→ ser falsa é quando temos uma situação em que a hipótese é

verdadeira e a consequência é falsa.

2.7 PROPOSIÇÕES BICONDICIONAIS

Quando a hipótese é trocada pela consequência de uma proposição p q→ , cria-se uma nova

proposição q p→ chamada de conversão de p q→ , que não são logicamente equivalentes.




Veja numa tabela-verdade a comparação das duas proposições:

Exemplo:

Considere a proposição do tipo p q→ :

Se Linda é brasileira, então ela gosta de samba.

A conversão desta proposição fica:

“Se Linda gosta de samba, então ela é brasileira”

Considere as diferentes possibilidades. Especialmente a situação em que Linda, caindo numa roda de

samba, faz inveja às melhores passistas do lugar e acaba confessando ser uma americana de Miami. Isto é, p é

falsa, mas q é verdadeira.

A proposição “Se Linda é brasileira, então ela gosta de samba” é verdadeira (pois não é falsa), mas a

sua conversão “Se Linda gosta de samba, então ela é brasileira” é falsa, pois, exatamente como no caso acima,

gostar de samba não é coisa apenas de brasileiros ou brasileiras.

Continuando com esse exemplo, tomando a proposição:

Se Linda não gosta de samba, então ela não é brasileira.

Esta proposição é da forma ¬q ¬p→ . A sua tabela verdade, comparada à p q→ fica:

As proposições p q→ e ¬q ¬p→ são logicamente equivalentes, por isso são chamadas

contrapositivas.

Há um tipo de proposição composta por duas proposições iniciais p e q que ocorre com certa

frequência: ( ) ( )p q q p→ ∧ → , isto é, p implica q e que implica p, chamada de bicondicional, denotada

por ↔ .

Dessa forma, a proposição ( ) ( )p q q p→ ∧ → é equivalente a p q↔ , que pode ser lida como “p

se e somente se q” ou mesmo “p é necessário e suficiente para q” e será verdadeira quando ambas as

proposições têm o mesmo valor-verdade.




A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo

valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores lógicos

contrários.

Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as seguintes expressões:

A se e só se B.

Todo A é B e todo B é A.

Todo A é B e reciprocamente.

Se A então B e reciprocamente.

A somente se B e B somente se A.

A é necessário e suficiente para B.

A é suficiente para B e B é suficiente para A.

B é necessário para A e A é necessário para B.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição

bicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B.

Usando a versão ( ) ( )p q q p→ ∧ → de p q↔ , a sua tabela-verdade fica:

3 EQUIVALÊNCIA LÓGICA E LEIS DA LÓGICA

Duas proposições são ditas logicamente equivalentes quando têm os mesmos valores-verdade em

todos os casos possíveis. Quando duas proposições, p e q, são equivalentes, usa-se a seguinte notação:

p q≡

Por exemplo, a proposição – “Marcos é pintor e gosta de pescar”, pode ser negada – “Não é verdade

que Marcos é pintor e gosta de pescar”. Outra maneira é “Marcos não é pintor ou não gosta de pescar”. Estas

duas últimas afirmações são ditas logicamente equivalentes.




As tabelas-verdade são úteis para detectar quando duas proposições são logicamente equivalentes. O

exemplo – “Não é verdade que Marcos é pintor e gosta de pescar” é um caso particular da situação ( )¬ p q∧

equivalente a ¬p ¬q∨ , em que p é “Marcos é pintor” e q é “Marcos gosta de pescar”.

Exemplo:

Ao montar uma tabela-verdade para ( )¬ p q∧ e ¬p ¬q∨ , pode ser facilmente mostrado que as

proposições são logicamente equivalentes.

Nesse problema, constrói-se uma tabela com cindo linhas, na primeira delas, são alinhadas as

diferentes etapas e, nas outras quatro, consideram-se todas as possibilidades, uma vez que há duas proposições

básicas, p e q.

Exemplo:

Construir a tabela-verdade de ( )p q r∧ ∨ .

3.1 LEIS DA LÓGICA

Pode-se utilizar o conceito de equivalência lógica para expressar algumas das leis da lógica.

Lei de Idempotência: Para qualquer proposição p,

p p p∧ ≡ p p p∨ ≡

Além disso, os conectivos ∨ e ∧ são comutativos e associativos.

Leis de Comutatividade: Dadas duas proposições quaisquer, p e q,

p q q p∧ ≡ ∧ p q q p∨ ≡ ∨

Leis de Associatividade: Dadas três proposições quaisquer, p, q e r,




( ) ( )p q r p q r∧ ∧ ≡ ∧ ∧ ( ) ( )p q r p q r∨ ∨ ≡ ∨ ∨

ou, simplificadamente: p q r∧ ∧ p q r∨ ∨

Leis de Distributividade: Dadas três proposições quaisquer, p, q e r,

( ) ( ) ( )p q r p q p r∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨ ( ) ( ) ( )p q r p q p r∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧

Leis de DeMorgan: Para quaisquer proposições, p e q,

( )¬ p q ¬p ¬q∨ ≡ ∧ ( )¬ p q ¬p ¬q∧ ≡ ∨

Leis de Absorção: Para quaisquer duas proposições, p e q,

( )p p q p∨ ∧ ≡

( )p p q p∧ ∨ ≡

Exemplo:

Consideremos as seguintes proposições:

p: 2 é um número inteiro;

q: 2 é maior do que 3;

r: 2 é um número primo.

Conectando-as pode-se montar as seguintes proposições:

a: 2 é um número inteiro, ou 2 é maior do que 3 e primo.

b: 2 é um número inteiro ou maior do que 3, e 2 é um número inteiro ou primo.

As proposições ( )a p q r≡ ∨ ∧ e ( ) ( )b p q p r≡ ∨ ∧ ∨ são logicamente equivalentes. Este é um

caso particular da lei de distributividade. Determine o valor verdade dessas proposições.

A palavra “princípio” pode ser usada como sinônimo de axioma ou de teorema. A mesma coisa

acontece com a palavra “lei”, que está sendo usada para indicar quando determinadas proposições são

logicamente equivalentes e, para isso, deve-se constatar a equivalência usando tabelas-verdade.

Exemplo:




As leis de DeMorgan são usadas para reescrever as negações de proposições. Considere a seguinte

proposição:

“Todo número par é divisível por 2 e existe um número inteiro n tal que 2n = 3”.

Reescreva a negação, usando as leis de DeMorgan.

3.1.1 QUADRO-RESUMO

Para finalizarmos esta parte, vamos montar um quadro com o resumo das principais leis da lógica.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01) Reescreva as proposições abaixo de diferentes maneiras e faça a tabela verdade:

a) Se o tempo estiver bom, irei à praia.

b) Se recebermos uma boa oferta, venderemos o terreno.

4 ARGUMENTOS E PROVAS

4.1 TAUTOLOGIAS

Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C, ... é uma tautologia se ela for sempre

verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.

Exemplo:

A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,

independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:




Outro exemplo de tautologia envolve o conectivo condicional:

( )p q p∧ →

cuja tabela-verdade é:

4.2 CONTRADIÇÃO

Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C, ... é uma contradição se ela for sempre

falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.

Exemplo:

A proposição “A se e somente se não A” é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente

dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

O exemplo mostra que uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente

verdadeiros ou simultaneamente falsos. Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre

falsa, tem-se que:

a negação de uma tautologia é sempre uma contradição

enquanto que

a negação de uma contradição é sempre uma tautologia

4.3 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Conforme visto, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição

dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação não A deve ser falsa e,




sempre que A for falsa, não A deve ser verdadeira. Em outras palavras, a negação de uma proposição deve

ser contraditória com a proposição dada.

A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições

compostas:

4.4 ARGUMENTO

Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, ... Pn, chamadas

premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento.

No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser usados os correspondentes hipótese e tese,

respectivamente.

Os argumentos que têm somente duas premissas são denominados silogismos.

Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:

I. P1: Todos os artistas são apaixonados.

P2: Todos os apaixonados gosta de flores.

C: Todos os artistas gostam de flores.

II. P1: Todos os apaixonados gosta de flores.

P2: Míriam gosta de flores.

C: Míriam é uma apaixonada.

4.4.1 ARGUMENTO VÁLIDO

Um argumento é válido, ou ainda, que ele é legítimo ou bem construído, quando a sua conclusão é

uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: quando um argumento é




válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Isto significa que jamais

se pode chegar a uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for válido.

É importante observar que, ao discutir a validade de um argumento, é irrelevante o valor de verdade

de cada uma das premissas. Em Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou falsidade

das proposições que compõem os argumentos, mas tão-somente a validade destes.

Exemplo:

O silogismo:

“Todos os pardais (P) adoram jogar xadrez (X).

Nenhum enxadrista gosta de óperas (Op).

Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”

está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento válido,

muito embora a verdade das premissas seja questionável. Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum

elemento do conjunto P (pardais) pode pertencer ao conjunto Op (os que gostam de óperas).

4.4.2 ARGUMENTO INVÁLIDO

Um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal construído ou falacioso, quando a

verdade das premisssas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.

Exemplo:

O silogismo:

“Todos os alunos do curso(C) passaram (P).

Maria (m) não é aluna do curso.

Portanto, Maria não passou.”

é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a

verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo). Maria pode ter passado mesmo sem ser aluna do curso, pois a

primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado.




A tabela abaixo traz um resumo das situações possíveis para um argumento:

4.4.3 CONSTRUÇÃO DO SILOGISMO

A estrutura básica do silogismo consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de partida),

de uma premissa menor (termo médio) e de uma conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras

palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride através da premissa menor e infere,

necessariamente, uma conclusão adequada.

Exemplo:

“Todos os atos que ferem a lei são puníveis (Premissa Maior)

A concussão é um ato que fere a lei (Premissa Menor)

Logo, a concussão é punível” (Conclusão)

O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da lógica, as premissas são chamadas de

proposições que, por sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou juízos. O termo é uma

palavra ou um conjunto de palavras que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são

necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o

predicado da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário ou de conexão entre os outros dois

termos (não figura na conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normalmente, é o sujeito da

conclusão). No exemplo acima, punível é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concussão é o

menor.




4.4.4 AS REGRAS DO SILOGISMO

1° Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, médio e menor.

Exemplo de formulação correta:

Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos.

Termo Médio: Mimi é um gato.

Termo Menor: Mimi é um mamífero.

Exemplo de formulação incorreta:

Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede.

Termo Médio: Maria é uma gata(2).

Termo Menor: Maria é quadrúpede.

O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro termos ao invés de três.

2° Os termos da conclusão nunca podem ser mais extensos que os termos das premissas.


Termo Maior: Todas as onças são ferozes.

Termo Médio: Nikita é uma onça.

Termo Menor: Nikita é feroz.


Termo Maior: Antônio e José são poetas.

Termo Médio: Antônio e José são surfistas.

Termo Menor: Todos os surfistas são poetas.

“Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos os surfistas”.

3° O predicado do termo médio não pode entrar na conclusão.


Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei.

Termo Médio: Pedro é homem.

Termo Menor: Pedro pode infringir a lei.


Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei.


Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a lei.




A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é inoportuna.

4° O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extensão universal.


Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilidades.


Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades.


Termo Maior: Alguns homens são sábios.

Termo Médio: Ora os ignorantes são homens

Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios

O predicado “homens” do termo médio não é universal, mas particular.

5° De duas premissas negativas, nada se conclui.


Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero

Premissa Menor: Lulu não é um gato.

Conclusão: (?).

6° De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclusão negativa.


Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser desejados.

Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral.

Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado.

7° A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A premissa mais fraca é sempre a de caráter

negativo.


Premissa Maior: As aves são animais que voam.

Premissa Menor: Alguns animais não são aves.

Conclusão: Alguns animais não voam.


Premissa Maior: As aves são animais que voam.

Premissa Menor: Alguns animais não são aves.




Conclusão: Alguns animais voam.

8° De duas premissas particulares nada se conclui.


Premissa Maior: Mimi é um gato.

Premissa Menor: Um gato foi covarde.

Conclusão: (?)


01) Construa as respectivas tabelas-verdade para constatar que as seguintes proposições são

tautologias:

a) ( )¬ p ¬p∧

b) ( )( )p q p q→ ∧ →

c) ( )p p q→ ∧

d) ( )¬ p q ¬p ¬q∨ ↔ ∧

4.5 ARGUMENTAÇÃO E TABELAS-VERDADE

Considere o seguinte argumento:

P1: Se você estudar, passará no teste.

P2: Você estuda.

C: Você passará no teste.

Suponhamos que uma condição suficiente para passar no teste é estudar, isto é, vamos considerar que,

caso você estude, então você passará no teste.

Você estuda! A conclusão é: você passará no teste.

Analisando a situação, têm-se apenas duas proposições básicas:

p: Você estuda.

q: Você passa no teste.

Verifica-se que, quando p q→ e q são verdadeiras, a implicação ( )( )p q p q→ ∧ → será

também verdadeira.




Usando uma tabela-verdade:

A primeira linha da tabela mostra que, quando ( )1p p q= → e 2p p= são ambas verdadeiras,

temos que a conclusão c q= é verdadeira. Isto significa que os argumentos da forma

Premissas: p q→

p

Conclusão: q

são válidos.

O argumento exemplificado é chamado de método direto ou modus ponens.

Exemplo

Este exemplo ilustrará outro tipo de argumento muito usado.

Premissas:

p1: Se não chover, Mateus irá ao parque.

p2: Se Mateus for ao parque, ele brincará com seus amigos.

Conclusão:

c: Se não chover, Mateus brincará com seus amigos.

Para analisá-lo, serão consideradas as seguintes proposições básicas:

p: Não chove.

q: Mateus vai ao parque.

r: Mateus brinca com seus amigos.

A estrutura deste argumento é

Premissas: p q→

q r→

Conclusão: p r→

Este argumento é válido. A tabela-verdade:




As linhas 1, 5, 7 e 8 indicam que sempre que as premissas são verdadeiras, a conclusão é verdadeira.

A Lei do Silogismo afirma que os argumentos do tipo

Premissas: p q→

q r→

Conclusão: p r→

são válidos.

Exemplo

Premissas:

p1: Se eu ganhar o prêmio de fim de ano da companhia, compro carro novo

p2: Compro carro novo

Conclusão:

c: Ganhei o prêmio da companhia.

Este argumento é formado por apenas duas proposições simples:

p: ganhar prêmio

q: comprar carro

A estrutura deste argumento é

Premissas: p q→

q

Conclusão: p

Esse argumento não é válido, conforme visto anteriormente.

A tabela-verdade de ( )p q q p→ ∧ → :


Em cada um dos argumentos abaixo, destaque as proposições simples que compõem as premissas e as

conclusões. Construa uma tabela-verdade com base nas proposições simples e nas premissas. Determine,

então, a validade ou não do argumento.

01) Se o cachorro escapar, ele pegará o gato. Se o gato for pego, eu estarei em apuros. Portanto, se o

cachorro escapar, eu estarei em apuros.




02) Todas as pessoas inteligentes gostam de Matemática. Romeu é uma pessoa. Romeu não gosta de

Matemática, portanto, Romeu não é inteligente.


01) Determine quais das frases abaixo são proposições:

• Cenouras são saudáveis. • O Brasil é um país tropical.

• Todos os homens são astutos. • Faça as malas.

• A paciência é uma virtude. • Debussy compôs duas sinfonias.

• A paciência é um jogo. • Para todo mal há cura.

• Todo mundo tem um segredo. • Não fume!

• Todo amor é forte. • Quantos anos você tem?

• O quadrado de cada número é não negativo. • Que calor!

• Tom Jobim é um compositor brasileiro. • Quanto custa esta mesa?

02) Construa a negação de cada uma das seguintes proposições:

• A pera é uma fruta.

• Algumas óperas são longas.

• Todos gostam de dançar.

• Algumas pessoas não têm carro.




• Todos têm televisores e geladeiras.

• O dinheiro não traz a felicidade.

• Todo desfile de escola de samba tem mestre-sala e porta-bandeira.

• Dom Quixote é um personagem criado por Miguel de Cervantes.

• Todo amor é forte.

• Nenhum amor é fraco.

03) A negação de "todos os homens são bons motoristas” é:

a) todas as mulheres são boas motoristas;

b) algumas mulheres são boas motoristas;

c) nenhum homem é bom motorista;

d) todos os homens são maus motoristas;

e) ao menos um homem é mau motorista.

04) Assinale a assertiva incorreta.

a) A negação de "2 é par e 3 é ímpar" é "2 não é par ou 3 não é ímpar".

b) A negação de "5 é primo ou 7 é par" é "5 não é primo e 7 não é par".

c) A negação de 2 ≥ 5 é 2 ≤ 5.

d) A negação de "existe um número primo par" é "qualquer número primo não é par".

e) A negação de "nenhum número é inteiro" é "algum número é inteiro".

05) Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo:

a) O tempo será frio e chuvoso.

b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova.

c) Maria não é morena ou Regina é baixa.

d) Se o tempo está chuvoso então está frio.

e) Todos os corvos são negros.

f) Nenhum triângulo é retângulo.

g) Alguns sapos são bonitos.

h) Algumas vidas não são importantes.

06) A proposição “É necessário que todo acontecimento tenha causa” é equivalente a:

a) É possível que algum acontecimento não tenha causa.

b) Não é possível que algum acontecimento não tenha causa.

c) É necessário que algum acontecimento não tenha causa.

d) Não é necessário que todo acontecimento tenha causa.

e) É impossível que algum acontecimento tenha causa.

07) Se não é verdade que “Alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, então é verdade que:

a) todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.

b) nenhuma professora universitária dá aulas interessantes.




c) nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária.

d) nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.

e) todas as aulas interessantes são dadas por professoras universitárias.

08) Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições compostas:

a) p ¬q∨ b) ¬p ¬q∨ c) ¬p ¬q∧

d) ( )¬ ¬p q∧ e) ( )p ¬q ¬p∨ ∧ f) ( )p q ¬q∧ ∨

g) ( )p ¬q r∧ ∨ h) ( )¬p q ¬r∨ ∧

09) Use a tabela-verdade para provar a seguinte lei de distributividade:

( ) ( ) ( )p q r p q p r∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨ . Para isto, preencha a tabela abaixo por etapas.

10) Se Alfredo comer lagosta, ele ficará feliz. Alfredo come lagosta. Podemos concluir que ele está feliz.

11) Se eu trabalhar com afinco, terminarei de pintar minha cerca. Se eu não ficar batendo papo com os

amigos, eu trabalharei com afinco. Eu não terminei de pintar minha cerca. Podemos concluir que fiquei

batendo papo com meus amigos.

12) Se eu comer agrião todos os dias, eu viverei mais do que 80 anos. Eu não como agrião todos os dias.

Lamentavelmente, eu não chegarei à veneranda idade de 80 anos.

13) Se, ao dirigir meu carro, eu não ultrapassar os 80 km por hora, eu não provocarei acidentes. Eu dirijo meu

carro a 100 km por hora, portanto, eu provocarei acidentes.

14) Se fizer bom tempo, vou à praia. Se eu levar minha bola de vôlei, Mariana ficará super feliz. Vou à praia,

mas Mariana não ficou super feliz. Podemos concluir que, eu não levei minha bola de vôlei.

15) Se Maria vier, Joana virá. Se Carla não vier, Joana não virá. Podemos concluir que, se Maria vier, Carla

virá.

16) Se Luiz souber poupar seu dinheiro, ele ficará rico. Se Luiz ficar rico, ele comprará um carro novo. Luiz

comprou um carro novo, podemos, então, concluir que ele soube poupar seu dinheiro.

17) Alguns portugueses são lisboetas. Todos os lisboetas são mexicanos. Logo, alguns mexicanos são

portugueses.

18) Alguns artistas não são geniais. Todos os artistas são pessoas criativas. Logo, algumas pessoas criativas

não são geniais.




19) Se o mal existe, a vida é absurda. Se a vida é absurda, o mal existe. Logo, a vida é absurda se, e só se, o

mal existe.

20) Se Sócrates tem razão, a vida por examinar é absurda. Sócrates tem razão. Logo, a vida por examinar é

absurda.

21) Sócrates era grego. Kant não era grego. Logo, Deus existe.

22) A Justiça é possível se, e só se, Platão tiver razão. Platão tem razão. Logo, a Justiça é possível.

23) Não é verdade que nada é real e que tudo é uma ilusão. Nada é real. Logo, não é verdade que tudo é uma

ilusão.

24) Não se pode definir a arte nem se pode definir o conhecimento. Logo, não é verdade que se pode definir a

arte e se pode definir o conhecimento.

25) Se o conhecimento não for possível, a filosofia é inútil. Logo, se a filosofia não é inútil, o conhecimento é

possível.

26) Se não é verdade que Deus existe e é sumamente bom, a vida não faz sentido. Deus não existe ou não é

sumamente bom. Logo, a vida não faz sentido.

27) Tudo é uma ilusão e se tudo é uma ilusão, nada vale à pena. Logo, nada vale à pena.

28) Não é verdade que nada vale à pena e se tudo é uma ilusão, nada vale a pena. Logo, não é verdade que

tudo é uma ilusão.

29) Não é verdade que se pode definir a arte e o conhecimento. Logo, não se pode definir a arte ou não se

pode definir o conhecimento.

30) Se o conhecimento não for possível e tudo for uma ilusão, a filosofia é inútil. Se a filosofia for inútil,

Platão e Kant estavam enganados.

31) Não é verdade que Platão e Kant estavam enganados. Logo, o conhecimento é possível ou não é verdade

que tudo é uma ilusão.

32) Se legalizarmos as drogas, toda a gente poderá drogar-se. Se toda a gente puder drogar-se, acabaremos na

mais completa barbárie. Logo, se legalizarmos as drogas, acabaremos na mais completa barbárie.

33) Se Sócrates era ateniense, era grego. Se era grego, não era egípcio. Logo, se Sócrates era ateniense, não

era egípcio.

34) Ou podemos conhecer tudo ou não podemos conhecer nada. Mas não podemos conhecer tudo. Logo, não

podemos conhecer nada.

35) Ou existo ou não existo. Mas não é verdade que eu não existo. Logo, eu existo.

36) Três alunos são suspeitos de não estarem matriculados no Curso de Raciocínio Lógico. O Aparecido

entrevistou os três, para cobrar a matrícula, e obteve os seguintes depoimentos:

AURO: “Joaquim não pagou e Cláudia pagou”

JOAQUIM: “Se Auro não pagou, Cláudia também não pagou”

CLÁUDIA: “Eu paguei, mas pelo menos um dos outros não pagou”

Pede-se:




a) Exprimir simbolicamente os depoimentos

b) Identificar os pagantes e os não pagantes, supondo que todos os depoimentos são verdadeiros

4) Identificar os mentirosos, supondo que todos pagaram as matrículas.

37) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa.

Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo.

a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.

c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.

d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

38) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a

mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais

velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a) Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro.

b) Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade.

c) Carlos e João são mais moços do que Pedro.

d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro.

e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade.

39) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo Contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo

exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio têm opniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se

Maria estiver certa, então Julio está enganado. Se Julio estiver enganado, então Luis está enganado. Se Luis

estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo

exibido, ou José não ira ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo,

a) O filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido.

b) Luis e Julio não estão enganados.

c) Julio está enganado, mas Luis não.

d) Luis está enganado, mas Julio não.

e) José não irá ao cinema.

O texto abaixo refere aos exercícios de 40 a 43:

Chapéuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana. A Raposa e o Lobo Mau

eram duas estranhas criaturas que freqüentavam a floresta. A Raposa mentia às segundas, terças e quartas-

feiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O Lobo Mau mentia às quintas, sextas e sábados, mas

falava a verdade nos outro dias da semana. (Adaptado de Linguagem Lógica de Iole de Freitas Druck)

40) Um dia Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa e o Lobo Mau descansando à sombra de uma árvore.

Eles disseram:

Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir.




Lobo Mau: Ontem foi um dos meus dias de mentir.

A partir dessas afirmações, Chapéuzinho Vermelho descobriu qual era o dia da semana. Qual era?

41) Em outra ocasião Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa sozinha. Ela fez as seguintes afirmações:

Eu menti ontem.

Eu mentirei daqui a 3 dias.

Qual era o dia da semana?

42) Em qual dia da semana é possível a Raposa fazer as seguintes afirmações?

Eu menti ontem.

Eu mentirei amanhã.

43) Em que dias da semana é possível a Raposa fazer cada uma das seguintesafirmações:

a) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã.

b) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã.

c) Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã.

d) Menti ontem se e somente se mentirei amanhã.

44) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a

verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz:

“Tania é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está

sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está

sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:

a) Janete, Tânia e Angélica

b) Janete, Angélica e Tânia

c) Angélica, Janete e Tânia

d) Angélica, Tânia e Janete

e) Tânia, Angélica e Janete

45) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a

verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo,

a) Nestor e Júlia disseram a verdade

b) Nestor e Lauro mentiram

c) Raul e Lauro mentiram

d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade

e) Raul e Júlia mentiram.

46) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é:

a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.

b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.

c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista.

d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.




e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.

47) Das premissas: “Nenhum herói é covarde. Alguns soldados são covardes.” Pode-se corretamente concluir

que:

a) alguns heróis são soldados.

b) alguns soldados não são heróis.

c) nenhum herói é soldado.

d) alguns soldados não são heróis.

e) nenhum soldado é herói.

48) Determine o valor verdade da sentença ( ) ( )A B C A B C∧ → ↔¬ ∧ ∨ , sabendo-se que VAL(A) =

V, VAL(B) = F e VAL (C) = V. Obs.: VAL = valor-verdade

49) Determinar o valor verdade da sentença ( ) ( )A B C C D→ ¬ ↔ ∧ ∨ , sabendo que VAL(A) = V,

VAL(B) = F, VAL(C) = F, VAL(D) = V

50) Diversas formas de negação são apresentadas para cada uma das sentenças a seguir. Qual é a correta?

-Algumas pessoas gostam de Matemática. - Todo o mundo gosta de sorvete.

a) Algumas pessoas não gostam de Matemática a) Ninguém gosta de sorvete..

b) Todo o mundo não gosta de Matemática. b) Todo o mundo não gosta de sorvete.

c) Todo o mundo gosta de Matemática. c) Alguém não gosta de sorvete.

- Alguns retratos estão velhos ou apagados. - Todo o mundo é alto e magro.

a) Nenhum retrato está velho ou apagado. a) Alguém é baixo e gordo.

b) Alguns retratos não estão velhos ou apagados. b) Ninguém é alto e magro.

c) Todos os retratos não estão velhos ou não estão apagados. c) Alguém é baixo ou gordo.

51) Sejam A, B e C as seguintes sentenças:

A: Rosas são vermelhas.

B: Violetas são azuis.

C: Açúcar é doce.

Traduza as seguintes sentenças compostas para notação simbólica.

a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis.

b) Rosas são vermelhas e, ou bem violetas são azuis ou bem açúcar é doce.

c) Sempre que violetas são azuis, as rosas são vermelhas e o açúcar é doce.

d) Rosas são vermelhas apenas se as violetas não forem azuis e se o açúcar for azedo.

e) Rosas são vermelhas e, se o açúcar for azedo, então as violetas não são azuis ou o açúcar é doce.

52) Com o uso de letras para denotar as sentenças componentes, traduza as seguintes sentenças compostas

para notação simbólica:

a) Se os preços subirem, as construções ficarão mais caras, mas se as construções não forem caras, elas serão

muitas.




b) Tanto ir para cama como nadar é condição suficiente para trocar de roupa; no entanto, trocar de roupa não

significa que se vai nadar.

c) Ou vai chover ou vai nevar, mas não ambos.

d) Se Janete vencer ou perder, ela estará cansada.

e) Ou Janete irá vencer ou, se perder, ficará cansada.

53) Traduza para o português as seguintes representações:

a) B C'∨ b) ( )C A' B∧ ↔ c) ( )B C' ' A∧ →

d) ( )A B C'∨ ∧ e) ( )B' A C∨ → f) ( )C A' B∧ ↔

g) ( )A B C'∨ ∧ h) A B B' A '∧ ↔ ∨

54) Em um determinado país, todos os habitantes são ou um contador de verdade que sempre fala a verdade

ou mentirosos que sempre mentem. Viajando neste país, você encontra dois habitantes, Paulo e Luiz. Paulo

diz "Se eu for um contador de verdades, Luiz também é um contador de verdades". Paulo é um mentiroso ou

um contador de verdade? E Luiz?

55) Construa tabelas-verdade para as seguintes representações. Indique as tautologias e as contradições.

a) ( )A B A' B→ ↔ ∨ b) ( ) ( )A B C A B C∧ ∨ → ∧ ∨

c) ( )A A' B' '∧ ∨ d) A B A'∧ →

e) ( ) ( ) ( )A B A C B C→ → ∨ → ∨ f) ( )A B A→ →

g) A B B' A '∧ ↔ ∨ h) ( ) ( )A B' A B '∨ ∧ ∧

i) ( )A B C' A ' C ∨ ∧ → ∨ j) ( )B' A B A' ∧ → →

k) ( )A B A B → ∧ → l) ( )A B B' A∧ ∧ →

m) ( )A B A B '⊕ ↔ ↔

5 CIRCUITOS LÓGICOS

O termo digital é usado diariamente. O mundo está repleto de computadores interligados, telefonia

digital, transmissão de dados via satélite e uma variedade de gadgets: smartphones, tablets, câmeras, agendas,

relógios, etc.

Internamente, nesses equipamentos eletrônicos, encontram-se os circuitos lógicos ou circuitos digitais,

onde sinais devem ser selecionados ou combinados de maneira controlada.




Os circuitos lógicos são usados para produzir decisões do tipo verdadeiro ou falso, baseados nas

múltiplas entradas de sinais, que podem ser de dois tipos: tensão elétrica alta (ligado) ou tensão elétrica baixa

(desligado)2. Eles são formados por linhas condutoras, chamadas de entradas, que recebem os sinais iniciais, e

estão ligadas umas às outras por conectores diversos, chamados de portas, e terminam em uma saída que emite

o sinal resultante. Na verdade, as portas são os tipos mais básicos, mais elementares, de circuitos lógicos. O

nível de voltagem na saída de cada um deles depende dos sinais dados nas entradas, de acordo com as leis da

lógica. A voltagem, ou tensão elétrica, alta corresponde ao valor-verdade verdadeiro, enquanto que a voltagem

baixa corresponde ao valor-verdade falso.

As três portas básicas estão listadas abaixo, com os seus respectivos diagramas:

1. Porta de inversão ou porta “NÃO”

2. Porta “E”

3. Porta “OU”

Exemplo

Construir o circuito lógico correspondente à função proposicional ( )p q ¬r∨ ∧ .

Agora, para completar o circuito, fazemos a conexão destas duas partes com uma porta “E”:

2 Para nós é natural realizar tarefas matemáticas com dez dígitos. No entanto, para que um circuito use dez dígitos, é necessário que ele opere com dez níveis diferentes de voltagem - um para cada dígito – aumentando a complexidade em projetar e construi-los.




A tabela-verdade desta proposição esclarece o funcionamento do circuito. Por exemplo, sob que

circunstâncias se dará a saída um sinal de alta voltagem? Isto é equivalente a querer saber quando

( )p q ¬r∨ ∧ .

A tabela-verdade fica:

A tabela indica que a saída estará ligada, isto é, um sinal de alta voltagem será gerado, quando a

entrada r estiver desligada e pelo menos uma das fontes p ou q estiver ligada.

É muito comum construir uma tabela usando apenas os dígitos 0 e 1 em lugar das letras F e V

(sistema binário), permitindo “operar” com os números, usando a seguinte regra: ∨ (ou) funciona como soma

enquanto que ∧ (e) funciona como produto.

Atenção!!! Para facilitar a compreensão, convenciona-se como “soma” de 1 com 1 o valor 1, isto é,

1 1 1∨ = .

Nas tabelas-verdade:

O comutador “NÃO”, ¬ , apenas reverte de um dígito para o outro:

Exemplo




A tabela do circuito lógico equivalente à função proposicional ( )p q r∧ ∧¬ pode ser escrita usando

o sistema binário:

A saída emitirá sinal de alta voltagem (ligada) nos casos onde o número 1 aparece. Isto ocorrerá em

três situações: sempre que a entrada r estiver ligada aparecerá o dígito 0 na coluna r e, pelo menos, uma das

entradas p ou q estiver ligada.

5.1 SITUAÇÕES PRÁTICAS

A seguir, duas situações práticas, que requerem construção de circuitos lógicos, serão abordadas.

Exemplo

Quer-se instalar um alarme sonoro num carro (saída) que soará caso o motorista desligue a chave de

ignição (entrada) com os faróis acesos (entrada).

Construindo a tabela-verdade associada a esta situação, pode-se perceber que a campainha deve soar

apenas quando os faróis estiverem acesos e a ignição estiver desligada.

A tabela-verdade da função proposicional ¬i f∧ fica:

Este circuito é formado de uma porta de inversão no sinal, que vem da chave de ignição, e uma porta

“E” unindo os dois sinais resultantes:




Exemplo

Mostrar que o circuito de um sistema de alarme contra incêndio com dois sensores de fumaça

(entradas) e uma campainha (saída) é correspondente ao circuito da porta “OU”.

Exemplo

Desenhar o circuito correspondente à função proposicional ( ) ( )¬p q p ¬q∧ ∨ ∧

.

Construindo a tabela-verdade:

Conclui-se que este circuito produzirá o sinal ligado quando uma, e somente uma, das duas entradas p

e q estiver ligada. Este circuito pode ser substituído por uma única porta, chamada de “OU Exclusivo”,

representada por:

Exemplo:




O dono de uma casa quer instalar um sistema de alarme que deverá ser acionado (uma campainha C

soará), caso qualquer uma de duas janelas, J1 ou J2, seja forçada, e caso a energia elétrica E esteja ligada.

Uma primeira companhia apresentou o seguinte projeto:

Função proposicional::

Tabela verdade:

O dono da casa achou que o projeto estava “super faturado” e solicitou a outra companhia um sistema

mais econômico. A pessoa encarregada do caso, na segunda companhia, analisou a proposição que

corrresponde ao circuito:

Função proposicional::

Tabela verdade:

As duas tabelas-verdade mostram que os sistemas são equivalentes, sendo que o segundo sistema

utiliza uma porta a menos. Neste sentido ele é “melhor” que o primeiro.





01) Desenhe o circuito lógico correspondente à proposição ( ) ( ) ( )( )p q p r q r∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ¬ .

Construa sua tabela-verdade e mostre que é equivalente ao circuito ( ) ( )( )p r q r∧ ∨ ∧ ¬ . Desenhe o

circuito lógico correspondente a última proposição.

02) Desenhe um circuito lógico com apenas quatro portas e que seja equivalente ao circuito lógico

abaixo. Para isto, escreva a proposição correspondente e use as leis da lógica para simplificá-la.

03) Considerando o diagrama lógico da figura, determine a expressão lógica da função F representada

no diagrama.

04) Determine as expressões das funções lógicas representadas no diagrama.

05) Determine e simplifique a expressão lógica da função F.




06) A tripulação de um avião é composta de dois pilotos e um engenheiro. Descreva um circuito que

gere um alarme quando o engenheiro deixa seu posto ou quando ambos os pilotos deixam seus lugares.




Capítulo 3 – Teoria dos Grafos

1 INTRODUÇÃO

1.1 AS SETE PONTES DE KÖNIGSBERG

Conta-se que, no século XVIII, havia sete pontes cruzando

o rio Pregel, que banhava a pequena cidade universitária prussiana

de Königsberg, hoje Kaliningrad, Rússia. Quatro delas ligavam as

margens opostas a uma pequena ilha formada nesse rio, outras

duas ligavam as margens opostas a uma outra ilha, próxima à

primeira, e a última ponte ligava as duas ilhas, conforme a figura.

Os habitantes de Königsberg costumavam passear na cidade nas tardes ensolaradas de Domingo, mas

nunca tinham conseguido dar um passeio especial: sair de casa, atravessar todas as pontes uma só vez e

regressar a casa. No entanto, a dúvida quanto à possibilidade persistia.

Euler, em 1735, conseguiu provar, com clareza, que não era possível dar o tal passeio. Para

demonstrar esta impossibilidade apresentou à Academia de Ciências Russa de São Petersburgo um diagrama

em que fazia a seguinte analogia: à terra, representada pelas duas margens, e às duas ilhas, associou quatro

pontos; às sete pontes, associou sete linhas. O diagrama era algo parecido com o da figura:

Feita tal associação, o problema das sete pontes ficou restrito a traçar o diagrama descrito, com um

movimento contínuo, sem levantar o lápis do papel e sem traçar uma linha mais de uma vez.




1.2 O PROBLEMA DA COLORAÇÃO DE MAPAS

O problema consiste em saber quantas cores são necessárias

para colorir um mapa, usando cores distintas sempre que duas regiões

tenham uma fronteira comum. Se as regiões se encontram em um único

ponto, como as regiões A e E ou B e F na figura a seguir, então elas

podem ser coloridas com a mesma cor.

Se o cartógrafo dispuser de muitas cores, não há problema. Ele

poderia, por exemplo, usar uma cor diferente para cada região. A

questão toda está em usar o menor número possivel de cores, tornando

o problema bem mais interessante.

Outras fronteiras possíveis estão ilustradas a seguir:

O que os dois problemas têm em comum?

A mesma idéia usada por Euler no caso do Problema das Pontes de Königsberg pode ser usada para

abordar o Problema da Coloração de Mapas, com a seguinte adaptação: substitui-se as regiões por pontos e

ligamos com arcos aqueles pontos cujas regiões correspondentes têm uma fronteria em comum. Os diagramas

correspondentes aos três primeiros exemplos são:




O Problema de Coloração de Mapas, nesses exemplos, passa a ser o de atribuir a cada ponto uma cor,

de forma que, quando dois pontos estão ligados por um arco, eles têm cores distintas, formando diagramas.

Tais diagramas representam objetos matemáticos que chamamos de grafos.

A Teoria dos Grafos tem sido usada nas mais diversas atividades humanas: em ciência da

computação, nas redes de telefonia, de comunicações, em engenharia de trânsito, etc.

2 ELEMENTOS DOS GRAFOS

2.1 VÉRTICES E ARESTAS

Um grafo é um par de conjuntos disjuntos G = (V,A), onde A é um subconjunto das partes de V, tal

que cada um de seus elementos é um conjunto com exatamente dois elementos.

Denotamos V = V (G) e chamamos seus elementos ( )v V G∈ de vértices de G. Os elementos de A

= A(G) são da forma { }1 2v ,v , com v1 e v2 elementos de V(G), chamados de arestas.

Geralmente, um grafo G é considerado como uma coleção de vértices, alguns dos quais, ligados por

arestas, representados por diagramas. Cada vértice é desenhado com uma bolinha e cada arestas por linhas que

ligam os vértices.

Exemplos:

01) Seja G = (V,A) o grafo definido pelos conjuntos V(G) = {v1, v2, v3, v4} e A(G) = {v1v2, v3v2, v3v1,

v4v3}. Faça a representação gráfica de G.




02) Dada uma representação gráfica, obtenha os conjuntos que definem o grafo G.

Segundo esta definição, o diagrama representando as Pontes de Königsberg não representa um grafo,

pois seria impossível distinguir, por exemplo, as duas arestas que conectam C com A. Isto porque, segundo a

definição, dois vértices podem ser ligados por, no máximo, uma aresta. Esta dificuldade pode ser contornada

introduzindo novos vértices, nomeados de acordo com as pontes.

Desta forma podemos distinguir a passagem de A para C pela ponte c ou pela ponte d.

Desenhe o grafo das Pontes. Identifique o conjunto vértices e o conjunto arestas.

O grafo G com v´ertices V (G) = {A,B,C,D, a, b, c, d, e, f, g} e arestas A(G) =

{Ac,Ad,Aa,Ab,Cc, Cd,Cg,Ba,Bb,Bf, fD, eD, gD} pode ser representado

da seguinte maneira:

2.2 ORDEM DE UM GRAFO

O número de vértices de um grafo G é chamado de ordem do grafo G.

Um mesmo grafo pode ter diferentes representações gráficas, dependendo da posição que os vértices

são dispostos e as arestas são desenhadas.

Exemplo:

Os dois diagramas a seguir representam o mesmo grafo G com ordem 5.




A diferença básica de um diagrama para o outro é o posicionamento do vértice v4.

Escreva os conjuntos V e A de cada caso.

Um grafo G é completo se quaisquer dois de seus vértices são adjacentes.

Denota-se por Kn o grafo completo de ordem n.

Exemplo:

Dado um conjunto de três elementos V = {v1, v2, v3}, quantos grafos simples podem ser construídos,

tais que V (G) = V ?

2.3 ISOMORFISMOS

Dois grafos G e G’ são isomorfos se houver uma correspondência biunívoca entre os conjuntos dos

seus vértices que preserva suas adjacências, isto é, se dois vértices de G são adjacentes, então os seus

correspondentes vértices de G’ também são adjacentes e viceversa.

Exemplos:

01) Qual correspondência entre os vértices deve ser estipulada para que os grafos a seguir sejam

isomorfos?




02) Mostre qual correspondência entre vértices faz com que os grafos G e G’ sejam isomorfos.

2.4 GRAU DE UM VÉRTICE

Seja G um grafo e seja ( )v V G∈ um vértice de G. Chama-se grau de v o número de arestas ligadas

a v e denotamos esse número por grau(vn). Se v é um vértice isolado, então o grau(vn) é nulo.

Exemplo

Calcule o grau de cada vértice do grafo representado pela figura a seguir.

Pode-se montar uma tabela:

Note que, grau(v1) + grau(v2)+ · · ·+ grau(v6) =

Pode-se perceber que a soma dos graus dos vértices é 2x7 , igual a duas vezes o número de arestas.

Teorema: Seja G uma grafo com vértices v1, v2, . . . , vn. Se m é o número de arestas de G, então

( )n

ii 1

grau v 2m=

=∑




Prova: Se o grafo G não tem arestas, todos os vértices têm grau zero e a afirmação é verdadeira.

Se o grafo G tem arestas, cada uma delas contribuirá com duas unidades na soma total dos graus dos

vértices, pois cada aresta conecta dois vértices distintos.

Exemplo:

Considere o grafo a seguir:

Número de vertices:

Número de arestas:

Faça uma tabela com o grau dos vertices:

Em particular, o teorema garante que, em qualquer grafo, há um número par de vértices de grau ímpar,

uma vez que a soma dos graus é um número par.

Por exemplo, não existe um grafo com três vértices tendo graus 1, 2 e 2, respectivamente, pois a soma

dos graus seria 1 + 2 + 2 = 5, um número ímpar.

2.4.1 O LEMA DOS APERTOS DE MÃOS

Numa festa estavam 23 pessoas. Num determinado momento, o anfitrião afirmou categoricamente, na

rodinha em que conversava, que o número de pessoas que havia cumprimentado um número ímpar de

pessoas era par, e tal afirmação foi acompanhada de um certo clima de ceticismo.

Dúvida cabia, pois seria pouco provável que tal afirmação fosse verificada naquela altura da festa.

Além disso, por conta de alguns desafetos, algumas pessoas que estavam na festa não se cumprimentavam de

forma alguma.

Pressionado por alguns para dar conta de sua afirmação, o anfitrião disse:




– Ora, isto decorre do chamado “Lema dos Apertos de Mãos”, que diz que, numa reunião qualquer, o

número de pessoas que cumprimentam um número ímpar de pessoas é par, independente de quantas pessoas

há na festa.

Ou seja, para cada festa, pode ser construído um grafo da seguinte maneira: cada pessoa da festa é

representada no grafo por um vértice. Cada cumprimento entre duas pessoas é representado por uma aresta

ligando os dois vértices correspondentes.

Este grafo representa uma festa com sete pessoas, uma delas muito

popular. Ela cumprimentou as outras seis. Outras duas pessoas

cumprimentaram apenas duas outras pessoas. Três pessoas cumprimentaram

três pessoas e a última cumprimentou outras cinco. Neste exemplo, quatro

pessoas cumprimentaram um número ímpar de pessoas. Para completar a

prova do lema basta notar que o grau de cada vértice diz, exatamente, o

número de cumprimentos feitos pela pessoa correspondente aquele vértice.


01) Seja G um grafo com vértices v1, v2, v3, v4, v5 e v6. Sabendo que os correspondentes graus são 0, 2, 2, 3, 2

e 1, calcule o número de suas arestas. Podemos afirmar que este grafo tem vértices isolados? Quantos? Por

que?

02) Podemos construir grafos de ordem 4 com os seguintes graus:

a) 2, 1, 3 e 2? b) 1, 2, 1 e 3?

c) 0, 0, 3 e 2? d) 3, 1, 5 e 1?

03) Represente graficamente o grafo G = (V(G), A(G)) onde:

a) V(G) = {v1, v2, v3, v4} e

A(G) = {v1v2, v2v3, v2v4, v4v3}.

b) V (G) = {v1, v2, v3, v4} e

A(G) = {v1v2, v1v3, v1v4, v2v3, v2v4, v3v4}.

c) V (G) = {v1, v2, v3, v4, v5} e

A(G) = {v1v2, v2v3, v3v1, v2v4, v3v5, v5v4}.

d) V (G) = {v1, v2, v3, v4, v5} e

A(G) = {v1v2, v2v3, v3v4, v4v5, v1v5}.

04) Determine o grau de cada vértice dos grafos representados a seguir.

Em cada caso verifique a validade do teorema da soma dos graus e do número de arestas.




05) Determine quais grafos do exercício 4 são isomorfos uns aos outros.

06) Construa K6. Qual é o grau de cada vértice de Kn? Se você fosse construir K10, quantas arestas desenharia?

Em geral, quantas arestas tem Kn? Verifique a validade do Lema do Aperto de Mãos.

2.4 CAMINHOS

Um caminho ligando o vértice v até o vértice w é uma sequência de vértices adjacentes v0, v1, v2, … ,

vk (ou de arestas a1 = v0v1, a2 = v1v2, … , ak = vk−1vk adjacentes), tais que

a) v0 = v

b) vk = w

Esse caminho é demonstrado escrevendo a sequência de vértices v0v1v2v3 … vk−1vk

Exemplo:

Seja G o grafo representado na figura abaixo:




O traço reforçado indica um caminho ligando o vértice v0 até o vértice v5. Descreva o caminho:

Outro caminho entre estes dois vértices pode ser representado por:

Reproduza os vertices e trace os caminhos:

a) v1v2v0v1v3v5

b) v2v4v3v2

c) v0v1v2v1v3v4v5

Lembre!!! Para que uma palavra represente um caminho, é necessário que dois vértices seguidos

sejam adjacentes.

3 CONEXIDADE DE GRAFOS

Um grafo G é conexo se quaisquer dois de seus vértices podem ser ligados por algum caminho. Em

particular, se um grafo G é conexo e tem mais do que um vértice, ele não pode ter vértices isolados.

Um grafo não é conexo quando pelo menos dois de seus vértices não podem ser conectados por algum

caminho. Neste caso, o grafo será composto de uma união disjunta de grafos conexos.

Cada um destes grafos conexos é chamado de uma componente conexa do grafo.

Na figura estã dois grafos, um conexo e o outro composto por três components conexas:

A representação do grafo pode ser formada de um só pedaço, mas o grafo não ser conexo, como

acontece no grafo a seguir:




4 CIRCUITOS E CIRCUITOS EULERIANOS

Diz-se que um caminho entre v e w é um caminho simples se cada uma das arestas que o compõem é

usada uma só vez. Quando v é igual a w, tem-se um caminho simples e fechado, que chamamos de circuito.

Finalmente, um dado circuito é euleriano se ele contém todos os vértices do grafo.

Relembrando as pontes, reflita se o grafo da figura admite um circuito euleriano. Isto é, se existe um

caminho simples (sem arestas repetidas) e fechado (começando e terminando num mesmo vértice) que

percorra todos os vertices.

4.1 O TEOREMA DE EULER

Leonhard Euler publicou nos anais da Academia de Ciência da Rússia, em 1736, o artigo Solutio

problematis ad geometriam situs pertinentis – Uma solução de um problema da geometria da posição, onde

ele respondia a questão das pontes.

Teorema: Um grafo G admite um circuito euleriano se, e somente se, G é conexo e todos os vértices

de G têm grau par.

Note que todos os vértices do grafo do Problema das Pontes, rotulados por letras maiúsculas, têm grau

ímpar, não permitindo um circuito euleriano, respondendo a questão definitivamente.




Exemplo

Use o teorema de Euler para decidir qual dos grafos abaixo admite um circuito euleriano.

Construa alguns exemplos de grafos e decida se eles admitem ou não circuitos eulerianos.

4.2 PROVA DO TEOREMA DE EULER

O teorema afirma que as condições necessárias e suficientes para que um grafo G admita um circuito

euleriano são:

a) G é conexo;

b) todos os vértices de G têm grau par.

O enunciado desse Teorema é do tipo ( )∧ ↔p q r , onde p, q e r são as seguintes proposições:

p: o grafo G ´e conexo;

q: cada vértice do grafo G tem grau par;

r: o grafo G admite um circuito euleriano.

Primeiro, deve-se considerar que as condições são necessárias, isto é, ( )→ ∧r p q .

Supõe-se que G admite um circuito euleriano denotado por v0v1v2v3 … vk−2vk−1 (vk=v0).

Realmente, usando trechos sequênciais deste circuito, pode-se construer caminhos (simples) ligando

quaisquer dois vértices do grafo, pois todos os vértices aparecem no circuito. Portanto, o grafo G é conexo.

Para observar que cada vértice tem grau par, basta lembrar que cada aresta da lista acima aparece uma

única vez e para calcular o grau de um certo vértice vi, basta contar quantas vezes ele aparece na lista e

multiplicar por dois, tomando cuidado com o vértice v0, pois ele inicia e termina a lista (único vértice listado

duas vezes).

Exemplo

Verifique se o grafo a seguir admite o um circuito euleriano.




Para concluir que um grafo não admite um circuito euleriano, basta que ele não seja conexo ou que

tenha vértices de grau ímpar.

5 GRAFOS EULERIANOS

Considere o seguinte grafo G:

O grafo G tem dois vértices de grau ímpar: v1 e v2. Consequentemente, G não admite um circuito

euleriano. No entanto, se a condição de retornar ao vértice de partida for desconsiderada, é possível percorrer

todo o grafo G passando por cada aresta uma única vez:

v1v2v3v1v4v3v6v4v5v6v2

O grafo G não admite um circuito euleriano, mas admite um caminho simples que contém todas as

suas arestas. Quando isto ocorre, diz-se que o grafo G é um grafo euleriano.

Exemplo

Verifique quais dos grafos representados a seguir, são eulerianos.




Teorema: Um grafo G admite um caminho euleriano se, e somente se, é conexo e tem, no máximo,

dois vértices de grau ímpar.


01) Considere o grafo G a seguir e identifique quais dos caminhos indicados são simples, quais são circuitos e

quais são circuitos eulerianos:

a) v4v1v3v0

b) v5v0v3v1v2

c) v3v4v5v0v1v2v3

d) v0v1v2v3v1v4v5v0v3v4

e) v3v4v1v0v3v2v1

f) v1v4v5v0v1

g) v3v1v2v3v0v1v3v4

h) v1v3v0v5v4v1v3v2v1

02) Quais dos grafos a seguir são conexos? Indique quais são as components conexas daqueles grafos que não

são conexos.




03) Considere os grafos representados a seguir. Determine quais admitem um circuito euleriano e quais são

grafos eulerianos. Nos casos afirmativos, encontre um circuito euleriano ou atravesse o grafo, caso ele seja um

grafo euleriano.

04) Para que valores de n o grafo Kn admite um circuito euleriano?

05) As informaçõees necessárias para construir um determinado grafo podem ser armazenadas numa tabela,

da seguinte forma: Se o grafo for de ordem n a tabela será quadrada com uma linha e uma coluna reservada

para cada vértice, respectivamente.

A interseção de uma coluna com uma linha é preenchida com o número 1 ou com o número 0, caso os

vértices correspondentes sejam adjacentes ou não, respectivamente. Observe que a diagonal que vai do canto

superior esquerdo do quadrado para o canto inferior direito será preenchida com zeros, pois num grafo não há

laços. Por exemplo, o grafo G a seguir tem ordem 4 e sua tabela está disposta ao seu lado.

Note que a tabela é simétrica em relação à diagonal, pois se o vértice vi é adjacente ao vértice vj, então

vj também é adjacente a vi.




No exemplo dado, a quarta coluna tem um zero na primeira posição indicando que v4 não é adjacente

a v1 e, como a terceira coluna tem três números 1 e um número 0, sabemos que o grau de v3 é 3.

Esta tabela é chamada de matriz de adjacência do grafo.

Represente o gráfico G de ordem 5 correspondente à seguinte matriz de adjacência:

06) Um jovem casal morava no interior de um certo estado, na cidade de Altamira. As cidades mais próximas

de Altamira são Bicas, Candeias, Diamantina, Estrela do Sul, Figueiras e Galo Branco. Elas são conectadas

por uma rede de estradas um tanto mal cuidadas. O rapaz prometeu casar-se com a moça assim que terminasse

o trabalho de recuperação destas estradas, pois havia acabado de firmar um contrato com as prefeituras das

cidades para fazer isto. Ele prometeu à jovem que iniciaria os trabalhos em Altamira e prosseguiria sobre cada

trecho de estrada retornando, no fim do trabalho, à Altamira.

Será que o jovem é sincero? Poderá a moça confiar em seu noivo?

Para responder as questões, uma tabela sera fornecida. Nela estão marcadas com 1 as cidades que

estão ligadas por uma estrada, e com 0 onde não há estrada conectando as cidades.




6 GRAFOS HAMILTONIANOS

6.1 O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE

Um caixeiro viajante quer iniciar uma nova rota de vendas e deverá visitar um conjunto de cidades

ligadas por diversas estradas. O caixeiro viajante quer estabelecer uma rota de visitas às cidades de forma que

ele passe por cada cidade uma só vez, retornando, no fim de sua jornada, à cidade da qual partiu.

Colocando a situação em grafos, cujos vértices representam as cidades e as arestas representam as

estradas que ligam as cidades, o problema consiste em achar um circuito onde cada vértice aparece uma única

vez.

Nos dois exemplos há cinco cidades ligadas pelas estradas, porém, de maneiras diferentes. O grafo da

esquerda admite um circuito que contém todas as cidades, cada uma representada uma só vez: v1v2v3v5v4v1.

O grafo da direita, por sua vez, não pode ter os vertices percorridos desta forma. Em qualquer

caminho percorrido, é necessário retornar a alguma cidade para completar o circuito.

No problema das pontes era necessário percorrer todas as arestas,

passando por cada uma delas uma só vez e, para conseguir isto, era

permitido passer por alguns vértices mais do que uma vez. Agora, no

problema do caixeiro viajante, busca-se percorrer todos os vértices,

passando por cada um deles uma única vez, não importando que,

eventualmente, algumas arestas não sejam incluídas no circuito.




7 CICLOS

Ciclo é todo circuito que, além de não repetir as arestas, não repete vértices.

Exemplo

Seja G o grafo de ordem 5 representado a seguir:

Escreva o circuito euleriano desse grafo:

Escreva os dois ciclos possíveis desse grafo:

7.1 CICLOS HAMILTONIANOS

Se há um ciclo que contenha todos os vértices do grafo G dizemos que este admite um ciclo

hamiltoniano. Neste caso, diz-se que G é hamiltoniano.

Exemplo

Quais dos seguintes grafos admite um ciclo hamiltoniano?

O nome, ciclo hamiltoniano, é uma homenagem a Sir William Rowan Hamilton. Em 1859 Sir William

propôs um quebra-cabeça baseado num dodecaedro, uma figura sólida que tem vinte vértices e trinta arestas.

Sir Hamilton deu a cada vértice o nome de uma cidade famosa e o jogo consistia em tentar ‘viajar’ ao redor do

mundo passando por cada uma das cidades uma única vez. Só se poderia viajar de uma cidade para a outra

através de alguma aresta do dodecaedro.




Para visualizar o problema não é necessário usar um modelo de dodecaedro, basta planificar o

problema. O quebra-cabeça proposto por Sir Hamilton consiste em encontrar um ciclo hamiltoniano para o

grafo obtido do dodecaedro pelo processo de planificação:

7.2 CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE UM CICLO HAMILTONIANO

A questão da existência ou não de um ciclo hamiltoniano para um determinado grafo é mais difícil do

que sua contrapartida euleriana. No entanto, a experiência sugere que, quanto mais arestas, melhor. Sendo

que, a distribuição destas arestas entre os vértices também é importante.

Se as condições do enunciado forem satisfeitas por um certo grafo G, então ele admitirá um ciclo

hamiltoniano. Porém, há grafos que não satisfazem as hipóteses do teorema e, no entanto, admitem ciclos

hamiltonianos.

Teorema: Seja G um grafo de ordem n (n ≥ 3). Se grau(V) ≥ n/2 para cada vértice V de G, então G

admite um ciclo hamiltoniano.

Se um grafo tem 4 vértices, para podermos usar o teorema, cada vértice deverá ter pelo menos grau 2,

mas, atenção, caso ele seja de ordem 5, cada um dos vértices deverá ter pelo menos grau 3.

Exemplo

Usando lápis e papel, construa alguns exemplos de grafos com 5, 6 e 7 vértices, cada um deles com

todos os vértices de grau maior ou igual a 3, 3 e 4, respectivamente.




Atenção!!! O converso do teorema é falso, isto é, há grafos com muitos vértices, mas com graus

pequenos, que admitem ciclos hamiltonianos. Por exemplo, um polígono com 17 lados admite um ciclo

hamiltoniano (basta percorrer o polígono uma vez), mas o grau de cada um de seus vértices é 2.

Prova do Teorema

A primeira etapa consiste em constatar que o grafo G é conexo. Note que ser conexo é uma condição

necessária para que o grafo admita um ciclo hamiltoniano.

Considere o seguinte exemplo:

E impossível chegar a qualquer vértice de índice par começando em algum vértice de índice ímpar e

vice-versa. A razão disto é que este grafo não é conexo, mas formado por duas componentes conexas, cada

uma delas sendo um ciclo.

Lema: Se G é um grafo de ordem n(≥ 3) e grau(V ) ≥ n/2 para todo vértice V de G, então o grafo

G é conexo

Suponha que G satisfaça a hipótese do lema, mas não seja conexo. Então G é composto por mais de

uma componente conexa.

Vamos chamar de C a componente conexa que tem o menor número de vértices. A ordem de C é

menor ou igual a n/2. Note que, em grafos conexos, o grau de cada vértice é, no máximo, igual à ordem do

grafo menos um.

Mas cada vértice de C tem grau maior ou igual que n/2, por hipótese, e isto é uma contradição.

Conclui-se, então, que G é conexo.




A segunda etapa será a de conseguir um caminho K com as seguintes propriedades:

a) K é um caminho simples (as arestas não se repetem) sem vértices repetidos;

b) Qualquer caminho que tenha estas duas características é, no máximo, tão longo quanto K.

A partir deste caminho especial conseguiremos o desejado ciclo hamiltoniano.

Seja G o grafo seguinte:

A ordem de G é 6 e cada um de seus vértices tem grau 3. Como G é um grafo conexo, as hipóteses do

teorema são satisfeitas. Considere K o seguinte caminho simples, onde todos os vértices de G comparecem: A

C F B D E.

Este caminho satisfaz as duas características que mencionamos antes: as arestas AC, CF, FB, BD e

DE comparecem uma única vez, e como todos os vértices estão presentes, não há caminho mais longo sem

que haja repetição de vértices.

Observe os vértices que estão nos extremos do caminho: A e E.

O vértice A está ligado ao vértice C pela aresta que já faz parte do caminho K, além de ser, também,

adjacente a B e D.

O vértice E, por sua vez, está ligado aos vértices C e F, além de ser adjacente a D pela aresta que faz

parte do caminho K.

Colocando estas informações em um esquema:

Note que os vértices B e F, adjacentes a A e E, respectivamente, estão dispostos um após o outro, no

caminho K.




Parte-se de A para B usando a aresta indicada no esquema pelo arco superior. Agora parte-se de B

para E usando o caminho K: B para D e depois para E.

Para passar de E para F usa-se a aresta indicada no esquema pelo arco inferior. Finalmente, retorna-se

para A, usando o trecho do caminho K original: de F para C e daí de volta para A, fechando o ciclo:

ABDEFCA.

Nesta construção do ciclo hamiltoniano foi crucial o fato de os extremos do caminho K, os vértices A

e E, estarem ligados aos vértices adjacentes F e B do interior do caminho, permitindo a construção do ciclo

hamiltoniano.

Nas circunstâncias da hipótese do teorema,

a) existe um caminho simples K = v0v1v2... vi−1vivi+1...vk com vi = vj sempre que i = j, tal que K tem o

maior comprimento entre todos os caminhos simples com esta propriedade;

b) existem dois vértices vi e vi+1 no caminho K tais que vi é adjacente a vk e vi+1 é adjacente a v0:

Conclui-se, então, que v0 vi+1 vi+2 . . . vk−1 vk vi−1 vi−2 . . . v2 v1 v0 é um ciclo hamiltoniano.

7.3 O PRINCÍPIO DAS GAVETAS

Na portaria de um prédio de 17 apartamentos há um conjunto de caixas de correspondência, uma para

cada apartamento, chamadas de escaninhos. O porteiro encarregado de distribuir a correspondência recebeu 9

panfletos azuis com propaganda de uma pizzaria, e recebeu também, 9 panfletos amarelos com propaganda de

uma vídeo-locadora para distribuir entre os moradores do prédio. Ele experimentou colocar os panfletos nos




escaninhos, de maneira que, cada apartamento recebesse pelo menos um deles. Após a distribuição ele

observou que:

a) Um apartamento ficou sem receber panfleto.

b) Todos os apartamentos receberam panfletos amarelos e azuis.

c) Um apartamento recebeu um panfleto amarelo e um panfleto azul.

d) As pizzas eram azuis e os vídeos amarelos.

O intrigado porteiro retirou todos os panfletos dos escaninhos e procedeu a uma nova distribuição. Ele

observou que novamente um apartamento recebeu um panfleto de cada cor.

Princípio das Gavetas: Se n + 1 ou mais objetos são dispostos em n ou menos gavetas, então, pelo

menos uma gaveta recebe mais de um objeto.

Exemplo:

Seja G o seguinte grafo de ordem 6:

Analise o grafo para ver se há possibilidade de um ciclo hamiltoniano. Em caso positivo, escreva o ciclo.


01) Seja G o grafo representado a seguir:

Quais dos seguintes caminhos são fechados, simples? Quais são

circuitos?

Quais são ciclos?

a) v0v3v1v4v5

b) v5v4v3v0v1v4v5

c) v2v1v4v3v0




d) v1v4v3v1v2v3v4

e) v4v1v3v0v5v4

02) Quais dos seguintes grafos admitem um ciclo hamiltoniano? Caso sua resposta seja afirmativa, encontre-

os pada cada grafo.

03) Divida um retângulo de tamanho m por n em quadrados iguais de tamanho 1 por 1 e considere isto como

uma representação de um grafo que tem cada cruzamento por vértice. As figuras abaixo representam os casos

2×4, 3×4 e 4×4. Estes grafos admitem ciclos hamiltonianos?




8 ÁRVORES

8.1 SUBGRAFOS

Sejam G = (V,A) e G’ = (V’,A’) dois grafos. As operações de conjuntos podem ser usadas para criar

novos grafos:

( )G G ' V V ',A V '=∪ ∪ ∪ , ( )G G ' V V ',A V '=∩ ∩ ∩

Se V ' V⊂ e A ' A⊂ , pode-se afirmar que G’ é um subgrafo de G denotado, simplesmente, por

G ' G⊂ .

Exemplo

Sejam G e G’ grafos de ordem 5 e 4, respectivamente, com V (G) = {v1, v2, v3, v4, v5} e V (G_) = {v3,

v4, v5, v6}. Suas representações gráficas, bem como as representações gráficas de G G '∪ e G G '∩ ficam:




Exemplo

Os grafos G1 e G2 representados a seguir são tais que 51 2G G K=∪ .

Neste exemplo os dois grafos têm exatamente os mesmos vértices, mas qualquer aresta de um deles

não é aresta do outro. Desta forma, G1 ∩ G2 é o grafo de ordem 5, com todos os vértices isolados.

O grafo K3 ´e o menor grafo que contém um ciclo (circuito onde não há repetição de vértices). No

exemplo anterior, viu-se que K5 pode ser escrito como a união de dois subgrafos, pois K5 admite dois ciclos

(hamiltonianos) de 5 vértices: v1v2v3v4v5v1 e v1v3v5v2v4v1.

Uma árvore é um grafo conexo e que não tem ciclos, como as árvores genealógicas, por exemplo.

Quando um grafo G não tem ciclos, é chamado de acíclico. Assim, uma árvore é um grafo conexo e acíclico.

Exemplo

Considere todas as árvores possíveis contendo 5 vértices:




Os vértices de grau 1 de uma árvore são chamados de folhas. Veja que, se uma folha for retirada,

consequentemente tirando também a única aresta que a conecta ao próximo vértice, o grafo restante ainda será

uma árvore, pois continuará conexo e acíclico.

As árvores são usadas em Ciência da Computação para representar expressões algébricas e ordenar e

armazenar informações.

8.2 CRITÉRIOS PARA DETERMINAR SE UM GRAFO É UMA ÁRVORE

Teorema: Seja G um grafo conexo de ordem ≥ 3. As seguintes afirmações sobre G são equivalentes:

a) G é uma árvore;

b) quaisquer dois vértices de G são ligados de maneira única por um caminho;

c) G é minimamente conexo, isto é, se subtrairmos uma só aresta de A(G), o grafo resultante não é

conexo;

d) G é maximamente acíclico, isto é, se acrescentarmos uma só aresta ao grafo G, que conecte dois

vértices não adjacentes, digamos u e v, o grafo obtido G+ = (V(G), A(G) ( ) ( ) { }( )G V G ,A G uv+ = ∪ .

O teorema diz que ( ) ( ) ( ) ( )a b c d↔ ↔ ↔ .

Teorema: Todo grafo G conexo, de ordem n, é uma árvore se, e somente se, tem n − 1 arestas.

8.3 RAÍZES E ÁRVORES BINÁRIAS

Em Ciência da Computação usa-se um tipo especial de árvores, chamadas de árvores enraizadas. Uma

árvore é enraizada quando escolhemos um de seus vértices como principal, chamado de raiz.

Seja G uma árvore enraizada cuja raiz é denotada por r. Dados dois vértices v e w de G, suponha que

v pertença ao caminho (único) que liga r a w. Então v é um ancestral de w e w é um descendente de v. Se vw

é uma aresta de G, então v é dito pai de w, e w é chamado de filho de v. A raiz não possui pai. Se todos os

pais têm, no máximo, dois filhos, a árvore é dita binária.




Exemplo

Árvore binária enraizada em r e com 7 folhas.

8.4 ÁRVORES E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Os elementos que compõem uma expressão algébrica (constantes e variáveis) são todos representados

por vértices. As arestas indicarão de que maneira a expressão é composta (as operações entre as constantes e

as variáveis).

Exemplo

Represente a árvore da expressão ( )x y

2z

+:

Escreva a expressão representada pela árvore:


01) Sejam G e G’ os grafos definidos por: V(G) = {v1, v2, v3, v4} e A(G) = {v1v2, v1v3, v2v3, v3v4}, V (G’) =

{v1, v2, v3, v5} e A(G’) = {v1v5, v1v2, v2v5, v2v3, v3v5}. Represente G e G’ graficamente. Determine e

represente os seguintes grafos: G G '∪ , G G '∩ , G G '− e G ' G− .

02) Considere os algarismos 1, 2, ..., 8, 9 e 0, representados pelo padrão digital:




Suponha que cada um deles represente um grafo onde os traços são as arestas e as esquinas são os vértices. O

número 1, por exemplo, é uma árvore com três vértices e duas arestas.

Quais algarismos representam árvores? Quais não representam árvores? Justifique sua resposta.

03) Desenhe todas as árvores com seis vértices. (Dica: há 6 delas)

04) Em cada caso a seguir, desenhe um grafo satisfazendo a propriedade dada ou explique por que não há um

tal grafo.

a) Um grafo conexo com 5 vértices e 5 arestas.

b) Uma árvore com 5 vértices e 5 arestas.

c) Uma árvore com 7 arestas cuja soma dos graus é 12.

d) Uma árvore com 9 vértices, com graus 3, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 1 e 1.

e) Um grafo com 7 vértices, duas componentes conexas e 10 arestas.

f) Uma árvore com 171 vértices e 170 arestas.

g) Uma árvore com todos os vértices pares.

05) Cada uma das árvores binárias a seguir representa uma expressão algébrica. Encontre-as.

06) Use árvores binárias para representar as seguintes expressões:

a) 2 x 1

3 y

+−

b) ( )22x 3y

x y+ +

−

07) Escreva K7 como a união de três grafos cíclicos disjuntos.




9 GRAFOS PLANARES

Um grafo é planar se for possível dispor seus vértices em um plano de modo que nenhum par de suas

arestas se cruzem. O grafo correspondente ao tetraedro é o K4, o grafo simples completo de 4 vértices:

Apesar de, na primeira representação, haver um par de arestas que se cruzam, como isto não ocorre

com os outros, dizemos que K4 é planar.

Exemplo:

Um engenheiro civil foi chamado para ajudar com a legalização de uma construção que havia sido

feita sem supervisão profissional qualificada. Três casas, representadas de agora em diante por C1, C2 e C3,

estavam conectadas a uma central elétrica E, a uma central telefônica T e a uma central fornecedora de gás G.

Para fazer seu trabalho, o engenheiro fez um esquema que representava estas ligações. Após algumas

tentativas, ele se rendeu ao fato de que era impossível desenhar tal esquema sem que alguma das ligações se

cruzassem:

Veja que estão faltando algumas ligações. Por exemplo, casa C3 tem gás e telefone, mas não tem

energia elétrica.

O grafo que representa esta situação: as casas e as centrais são indicadas por vértices e as ligações são

as arestas, é chamado de K3,3.

O grafo completo K5 é um segundo exemplo de grafo que não é planar, lembrando que K5 denota o

grafo completo de 5 vértices.





01) Mostre que os diagramas a seguir representam K3,3. Isto é, mostre que estes grafos são isomorfos.

02) Mostre que os grafos representados pelos seguintes diagramas são isomorfos e que eles não são planares.

03) Mostre que o seguinte grafo não é planar. (Dica: Tente K3,3)

04) Os grafos representados abaixo são isomorfos? Justifique sua resposta.



100MATEMÁT ICA D I S CR ETA – PROFA . ANDRESSA ASSAKA ANDRESSA .ASSAKA@GMA IL .COM

BIBLIOGRAFIA

Abe, Jair Minoro; Scalzitti, Alexandre; Silva Filho, João Inácio. Introdução à Lógica para Ciência da

Computação. São Paulo: Arte e Ciência, 2001.

Alencar Filho, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002.

Gersting, Judith L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. Rio de Janeiro, LTC,

1998.

Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. São Paulo:

Bookman, 2008.

Menezes, Paulo Blauth. Matemática Discreta para Computação e Informática. 2 Ed. Porto Alegre:

Editora Sagra Luzzato, 2005.

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