Apostila Matematica ColFundamental 1 8
description
Transcript of Apostila Matematica ColFundamental 1 8
APOSTILA DE MATEMTICA BSICA - Coleo Fundamental - 1/8
Apostila de Matemtica Bsica
Assunto:
MATEMTICA BSICAColeo Fundamental - volume 1/8
Autor:
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff FerreiraSumrio
Unidade 1 Reviso de Tpicos Fundamentais do Ensino Mdio04
1.1 Apresentao04
1.2 Simbologia Matemtica mais usual04
1.3 Conjuntos Numricos05
1.4 Operaes com Nmeros Relativos07
1.4.1 Soma ou Adio07
1.4.2 Subtrao ou Diferena08
1.4.3 Multiplicao09
1.4.4 Diviso09
1.4.5 Potenciao10
1.4.6 Radiciao11
1.4.7 Produto14
1.4.8 Expoente Nulo15
1.4.9 Expoente Negativo15
1.4.10 Expoente Fracionrio16
1.4.11 Emprego de Potncias de Dez para simplificar a representao de certos nmeros16
1.5 Produtos Notveis16
1.5.1 Quadrado de um binmio16
1.5.2 Produto da Soma de dois termos pela diferena entre eles17
1.5.3 Cubo de um binmio17
1.6 Equaes19
1.6.1 Equao do 1. grau com uma Incgnita19
1.6.2 Equao do 2. grau com uma Incgnita20
1.7 Progresso Aritmtica (P. A.)22
1.7.1 Definio22
1.7.2 Classificao22
1.7.3 Termo Geral23
1.7.4 Propriedades23
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. A.25
1.8 Progresso Geomtrica (P. G.)28
1.8.1 Definio28
1.8.2 Classificao29
1.8.3 Termo Geral29
1.8.4 Propriedades30
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. G.32
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano35
1.10 Equao reduzida da Reta37
1.11 Noo de Aplicao42
1.12 Exerccios Propostos43
1.13 Respostas dos Exerccios Propostos46
1.14 Nmeros Complexos47
1.14.1 Introduo47
1.14.2 Potncias de j50
1.14.3 Representaes e Formas de um Nmero Complexo51
a) Representaes51
b) As Frmulas de Euler e suas decorrncias54
c) Formas55
c.1) Cartesiana ou Retangular55
c.2) Trigonomtrica55
c.3) Exponencial ou de Euler55
c.4) Polar ou de Steinmetz55
c.5) Algumas Formas Polares Especiais60
c.6) Complexo Conjugado60
1.14.4 Operaes com Nmeros Complexos62
a) Igualdade62
b) Adio e Subtrao62
c) Multiplicao67
d) Diviso69
e) Potenciao71
f) Radiciao74
1.14.5 Desigualdade do Tringulo82
1.14.6 Curvas e Regies no Plano Complexo84
a) Circunferncia84
b) Disco Fechado86
c) Disco Aberto87
d) Exterior da Circunferncia87
e) Coroa Fechada88
f) Coroa Aberta88
g) Circunferncia Unitria88
h) Reta que une dois pontos89
1.15 Exerccios Propostos sobre Nmeros Complexos90
1.16 Respostas dos Exerccios Propostos sobre Nmeros Complexos97
Unidade 2 Somatrios, Produtrios e uma Introduo s Medidas de Posio115
2.1 Introduo aos Somatrios115
2.2 Definio formal de somatrio116
2.3 Propriedades dos Somatrios118
2.4 Somatrio Duplo125
2.5Propriedade dos Somatrios Duplos127
2.6Exerccios Propostos sobre Somatrios128
2.7Respostas dos Exerccios Propostos sobre Somatrios132
2.8Introduo aos Produtrios134
2.9Definio Formal de Produtrio134
2.10Propriedades dos Produtrios135
2.11Exerccios Propostos sobre Produtrios137
2.12Respostas dos Exerccios sobre Produtrios139
2.13Introduo s Medidas de Posio140
2.14Mdia Aritmtica Dados No-agrupados140
2.15Mdia Aritmtica Dados Agrupados141
2.16Mdia Geral143
2.17Mdia Geomtrica Dados No-agrupados143
2.18Mdia Geomtrica Dados Agrupados144
2.19Mdia Harmnica Dados No-agrupados145
2.20Mdia Harmnica Dados Agrupados146
2.21Exerccios Propostos sobre Medidas de Posio149
2.22Exerccios de Reviso sobre Medidas de Posio151
2.23Respostas dos Exerccios Propostos sobre Medidas de Posio152
2.24Respostas dos Exerccios de Reviso sobre Medidas de Posio152
Unidade 3 Matrizes, um primeiro enfoque153
3.1.Apresentao153
3.2.Introduo Histrica153
3.3.Conceitos Fundamentais154
3.4.Matrizes Especiais e Operaes com Matrizes160
3.4.1 Matriz Linha161
3.4.2 Matriz Coluna161
3.4.3 Matriz Quadrada161
3.4.4 Matriz Triangular164
3.4.5 Matriz Diagonal164
3.4.6 Matriz Escalar165
3.4.7 Matriz Identidade ou Matriz Unidade165
3.4.8 Matriz Nula ou Matriz Zero166
3.4.9 Igualdade de Matrizes166
3.4.10 Transposio de matrizes167
3.4.11 Matriz Oposta168
3.4.12 Matriz Conjugada169
3.4.13 Matriz Simtrica170
3.4.14 Matriz Anti-simtrica171
3.4.15 Matriz Hermitiana173
3.4.16 Matriz Anti-hermitiana173
3.4.17 Soma ou Adio de Matrizes174
3.4.18 Subtrao ou Diferena de Matrizes178
3.4.19 Produto de um Nmero Complexo por uma Matriz179
3.4.20 Produto de Matrizes186
3.4.21 Matriz Peridica204
3.4.22 Matriz Idempotente205
3.4.23 Matriz Nilpotente ou Nulipotente206
3.4.24 Polinmio de uma Matriz206
3.4.25 Matrizes em Blocos ou Partio de Matrizes207
3.5 Exerccios Propostos211
3.6 Respostas dos Exerccios Propostos218
Unidade 1
Reviso de Tpicos Fundamentais do Ensino Mdio
1.1 Apresentao
Esta a primeira unidade da disciplina Matemtica 1 dos cursos da rea de Informtica da Universidade Estcio de S.
Devido flagrante heterogeneidade dos alunos, e j tendo tido vrias turmas anteriores de experincia, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos bsicos que entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os estudantes que estejam fora do bom combate h algum tempo, ou h muito tempo, possam colocar suas idias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares.
1.2 Simbologia Matemtica mais usual
Esperamos que o estudante conhea a seguinte simbologia:
a) = (igual )
b) ( (diferente de)
c) ( ou
(conjunto vazio)
d) ( (pertence )
e) ( (no pertence )
f) ( (est contido)
g) ( (no est contido)
h) ( (contm)
i) (no contm)
j) ((existe pelo menos um)
k)
(no existe)
l) (|(existe e nico)
m) | (tal que / tais que)
n) ((ou)
o) ((e)
p) (interseo dos conjuntos A e B)
q) (unio dos conjuntos A e B)
r) ((para todo e qualquer, qualquer que seja)
s) ((implica)
t) ((implica e a recproca equivalente)
u) ((donde se conclui)
1.3 Conjuntos Numricos
lgico que, para a Matemtica, os conjuntos de maior importncia so aqueles formados por nmeros, e certos conjuntos numricos so especialmente importantes devido s propriedades das operaes entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:
a) N
o conjunto dos nmeros inteiros no-negativos.
b) Z
o conjunto dos nmeros inteiros.
c) Q sendo p ( Z, q ( Z e q (0.
o conjunto dos nmeros racionais.
So exemplos de nmeros racionais: , , , etc.
So exemplos de nmeros irracionais: (pi), (base dos logaritmos neperianos), , , etc.
d) R o conjunto dos nmeros reais, formados por todos os nmeros racionais e irracionais, e costumamos associar tais nmeros aos pontos de uma reta que, por definio, infinita em ambos os sentidos.
Fig. 1.1 Representao grfica de alguns elementos do conjunto R.
e) , sendo x ( R, y ( R e , o conjuntos dos nmeros complexos (voltaremos a tal assunto na seo 1.14).
Quando inclumos o smbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excludo do conjunto. Assim, temos:
f)
EMBED Equation.3N e
o conjunto dos nmeros naturais.
g) Z e
h)
EMBED Equation.3 Q e
i)
EMBED Equation.3 R e
j)
EMBED Equation.3 C e
Quando inclumos o smbolo + (mais), estamos indicando que foram excludos todos os nmeros negativos dos conjunto.
k)
EMBED Equation.3 Z e
EMBED Equation.3 o conjunto dos nmeros inteiros no negativos.
l)
EMBED Equation.3 Q e
o conjunto dos nmeros racionais no negativos
m)
EMBED Equation.3 R e
o conjunto dos nmeros reais no negativos.
Quando acrescentamos o smbolo (menos) estamos indicando que foram excludos todos os nmeros positivos do conjunto. Assim, temos:
n)
EMBED Equation.3 Z e
o conjunto dos nmeros inteiros no positivos.
o)
EMBED Equation.3 Q e
o conjuntos dos nmeros racionais no positivos.
p)
EMBED Equation.3 R e
o conjunto dos nmeros reais no positivos.
Devemos notar que o zero elemento dos conjuntos , , , , , . Se exclumos o zero destes conjuntos, teremos:
q)
EMBED Equation.3 Z e
r)
EMBED Equation.3 Z e
s)
EMBED Equation.3 Q e
t)
EMBED Equation.3 Q e
u)
EMBED Equation.3 R e
v)
EMBED Equation.3 R e
O conjunto chamado conjunto dos nmeros reais estritamente positivos e o conjunto dos nmeros reais estritamente negativos. Os outros tm nomes semelhantes.
Notemos a propriedade:
isto , todo nmero natural inteiro, todo nmero inteiro racional, todo nmero racional real e todo nmero real tambm complexo.
1.4 Operaes com Nmeros Relativos
( Ilustrao 1.1: Nmeros relativos
1.4.1 Soma ou Adio
Quando os nmeros tm o mesmo sinal basta conserv-lo e adicionar os nmeros; quando os sinais so contrrios subtramos o menor do maior, e o sinal que prevalece o deste ltimo. bom lembrar tambm que o sinal mais (+) antes de um parntese no vai alterar o sinal do nmero que est entre parnteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parntese for o de (). Se no houver nenhum sinal antes do parntese estar implcito que o sinal ser o de mais (+).
( Ilustrao 1.2a)
b)
c)
d)
Quando devemos somar mais de dois nmeros relativos o resultado obtido somando o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante at a ltima parcela.
( Ilustrao 1.3
2
Podemos tambm adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as negativas e, em seguida, somar os dois nmeros de sinais contrrios obtidos.
( Ilustrao 1.4
Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:
soma das parcelas positivas:
soma das parcelas negativas:
soma de ambos os resultados:
1.4.2 Subtrao ou Diferena
Cumpre observar que o sinal de menos () antes de um parntese troca o sinal do nmero que est entre parnteses e, no mais, procedemos como na operao anterior.
( Ilustrao 1.5a)
b)
c)
d)
Para as operaes de multiplicao e diviso que viro logo a seguir vale a seguinte regra: Nmeros de mesmo sinal do sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrrios conduzem sempre resultados negativos.
1.4.3 Multiplicao
( Ilustrao 1.6
a)
b)
c)
d)
1.4.4 Diviso
( Ilustrao 1.7
a)
b)
c)
d)
1.4.5 Potenciao
Quando, em uma multiplicao, os fatores so todos iguais, em mdulo e em sinal, esta operao recebe o nome de potenciao. Assim sendo, a potncia de um nmero o produto de fatores iguais a este nmero, sendo representada por:
Conforme veremos a seguir, toda potncia de expoente par positiva, qualquer que seja o sinal da base, porm, toda potncia de expoente mpar tem o sinal de base.
( Ilustrao 1.8
a)
b)
c)
d)
Para executar a potenciao de um nmero relativo em uma minicalculadora, a seqncia de operaes simples:
(a) Determinar :
1.) Digitamos a base (2)
2.) Pressionamos a tecla exponencial
(CASIO modelo fx-82LB)
ou
(CASIO modelo fx-6300 G)
,
que depende do modelo da minicalculadora.
3.) Digitamos o expoente (4)
4.) Pressionamos a tecla exponencial
(CASIO modelo fx 82LB)
ou
(CASIO modelo fx 6300G),
que depende do modelo da minicalculadora.
5.) Vai aparecer o nmero 16 no visor da calculadora.
(b) Determinar :
Primeiramente digitamos a base (2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 LB, por exemplo) digitamos o nmero 2 e depois apertamos a tecla para trocar o sinal para menos. Em outras (CASIO fx 6300G) apertamos a tecla e depois digitamos o nmero 2. O restante da seqncia de operaes igual a do item a: tecla exponencial, expoente...
A esta altura interessante notar a diferena entre a potenciao seqencial e a potenciao escalonada, que sero analisadas logo a seguir.
( Ilustrao 1.9
a) Potenciao Seqencial:
, que tambm pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e multiplicando-se os expoentes:
b) Potenciao Escalonada:
que pode ser entendida como , ou seja:
1.4.6 Radiciao
a) Raiz n-sima de um nmero:
Dizemos que um nmero b a raiz n-sima exata de um nmero a quando
e ela representada por
Denomina-se radiciao a operao pela qual se obtm a raiz n-sima de um nmero. Nas operaes exatas, a radiciao a operao inversa da potenciao.
Temos ento:
Assim sendo
porque
porque
No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e no usual escrever este ndice no radical.
No caso de n = 3 a raiz se diz cbica, mas este ndice aparece no radical.
b) Valor algbrico dos radicais:
Se o radicando considerado em valor absoluto (mdulo), a radiciao uma operao unvoca. No entanto, se este radicando um nmero relativo a unicidade, em alguns casos, no estar mais garantida e por isso vamos considerar trs casos:
1.) ndice par e radicando positivo.
Neste caso o radical admitir duas razes reais e simtricas no conjunto dos nmeros reais, bem como um par complexo conjugado (vide exerccio proposto 39, item j da seo 1.15).
2.) ndice mpar.
Sendo o ndice do radical um nmero mpar, temos uma raiz no conjunto dos nmeros reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e (n 1) razes no conjunto dos nmeros complexos (vide exerccio proposto 38, item f, da seo 1.15).
3.) ndice para e radicando negativo.
Neste caso no existe nenhum valor do conjunto do nmeros reais que elevado ao ndice para seja igual ao radicando. Este assunto ser abordado na seo 1.14.
( Ilustrao 1.10
1. caso
2. caso
3. caso
Observao: pelo que foi exposto, se algum lhe perguntar qual o valor de , a resposta e simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algbrico do teremos ento ( 3.
A determinao de razes atravs de minicalculadoras simples:
a) Determinar :
a.1) Utilizando uma CASIO fx-82 LB:
1.) Digitamos o radicando 625
2.) Pressionamos as teclas e a fim de convocar a operao
3.) Digitamos o expoente 4
4.) Pressionamos a tecla
5.) O nmero 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se desejamos o valor algbrico da raiz a resposta completa ( 5.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.) Digitamos o ndice 4
2.) Pressionamos a tecla
3.) Digitamos o radicando 625
4.) Pressionamos a tecla
5.) O nmero 5 aparece no visor
b) Determinar :
a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB
1.) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla para trocar o seu sinal
2.) Pressionamos as teclas e a fim de convocar a operao
3.) Digitamos o ndice 5
4.) Pressionamos a tecla
5.) O valor 2 aparece no visor.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.) Digitamos o ndice 5
2.) Pressionamos a tecla
3.) Pressionamos a tecla e depois o valor 32
4.) Pressionamos a tecla
5.) O valor 2 aparece no visor.
Observao: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas de modelos diferentes, so totalmente diferentes. O que no esperar de modelos de outros fabricantes?
Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua prpria calculadora, a fim de se familiarizar com o uso da mesma.
1.4.7 Produto e Diviso de Potncias de Mesma Base
a) Para multiplicar potncias de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
b) Para dividir potncias de mesma base, repetimos a base e subtramos o expoente do denominador do expoente do numerador.
( Ilustrao 1.11
a)
b)
c)
d)
1.4.8. Expoente Nulo
Toda potncia de expoente nulo igual unidade.
Ilustrao 1.12
Observao:
So excees e , que no tm qualquer significado numrico, sendo smbolos de indeterminao, e so abordados em Anlise Matemtica na parte de Limites.
1.4.9 Expoente Negativo
Toda potncia de expoente negativo equivale a uma frao cujo numerador a unidade e o denominador a potncia com o expoente positivo ou seja: . (1)( Ilustrao 1.13
a)
b)
Observaes:1)Em conseqncia do exposto anteriormente temos:
(2)2)Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustrao 11 por outro caminho:
1.4.10 Expoente Fracionrio
Toda potncia de expoente fracionrio equivale a uma raiz cujo ndice o denominador da frao e cujo radicando a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:
(3)( Ilustrao 1.14
Determinar os valores algbricos das seguintes operaes:
a)
b)
c)
1.4.11 Emprego de Potncias de Dez para simplificar a representao de certos Nmeros
( Ilustrao 1.15
No Brasil:Nos E.U.A.:
a) *(
b) *(
c)
(
d)
(
(*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhes, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. J h alguns anos aboliram-se os pontos separatrizes de classes, mantendo-se agora um espao entre as mesmas.
1.5 Produtos Notveis
1.5.1 Quadrado de um binmio
a) :
ou
(4)b) :
ou
(5)
1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferena entre eles
:
ou
(6)
1.5.3 Cubo de um binmio
a)
ou
(7)b)
ou
(8)( Ilustrao 1.16
a)
b)
c)
d)
e)
1.6 Equaes
1.6.1 Equao do 1 Grau com uma Incgnita
Toda equao do 1 grau com uma incgnita pode ser reduzida a forma
(9)em que .
Sua soluo :
(10)
Exemplo 1.1
Resolver as seguintes equaes do 1 grau:
a)
b)
c)
d) (sendo p ( 0)
Soluo:
a)
b)
c)
d)
1.6.2 Equao do 2 Grau com uma Incgnita
A forma geral da equao do 2 grau com uma incgnita :
(11)onde .
Vamos ento transformar a equao em outra equivalente, de modo que o primeiro membro seja um quadrado perfeito do tipo indicado na equao (4).
a) Transpondo a constante para o segundo membro, vem:
b) Multiplicando por , teremos:
c) Somando aos dois membros, resulta:
d) Verificando que o 1 membro um quadrado perfeito, teremos:
e) Extraindo as razes quadradas de ambos os membros, obtemos:
(12)que a conhecida frmula da Bhaskara, onde
.....(13) o discriminante da equao, e trs casos podem ocorrer:
1)
( teremos duas razes reais e desiguais.
2)
( teremos duas razes reais e iguais.
3)
( no teremos razes no conjunto dos nmeros reais, e este caso ser abordado na seo 1.14.
Exemplo 1.2
Resolver as seguintes equaes do 2 grau:
a)
b)
c)
Soluo:a)
b)
c)
e esta equao no admite razes no campo real. Sua soluo ser apresentada na subseo 1.14.1 ( e so as suas razes).
1.7 Progresso Aritmtica (P.A.)
1.7.1 Definio
uma sucesso de termos
()
finita ou infinita, sendo que, a partir do 2 termo inclusive, a diferena entre um termo qualquer e o seu antecedente igual a uma quantidade constante r, denominada razo da progresso, ou seja:
As seguintes seqncias so exemplos de P.A.:
a) ( e
b) ( e
c) ( e
d) e
e) ( e
1.7.2 Classificao
As progresses aritmticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razo r:
P.A. crescente
P.A. constante ou estacionria
P.A. decrescente
1.7.3 Termo geral
A partir da definio, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma:
Observe que cada termo obtido adicionando-se ao primeiro um nmero de razes r igual posio do termo menos uma unidade, ou seja:
O termo de ordem n da P.A. dado, portanto, pela frmula a seguir:
(14)que pode tambm ser obtida da seguinte maneira:
Somando membro a membro estas n 1 igualdades obtemos a expresso do termo de ordem n.
e
(14)que a mesma equao anteriormente encontrada.
1.7.4 Propriedades
I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, a mdia aritmtica entre o termo precedente e o termo seguinte.
Com efeito, se
so termos consecutivos de uma P.A., ento podemos escrever:
ou seja,
e
(15)
II) Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqidistantes dos extremos constante e igual soma dos prprios extremos.
Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razo r, e A e B os termos eqidistantes dos extremos, conforme ilustrado a seguir:
()
( expoente (n. de repeties dos fatores iguais)
( base ( o nmero ou fator em questo)
ii9
_1087717744.unknown
_1087717788.unknown
_1087717810.doc
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2
1
0
1
2
3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
_1050572674.unknown
_1050653077.unknown
_1067233348.unknown
_1067234299.unknown
_1050641982.unknown
_1050572659.unknown
_1050572660.unknown
_1050571795.unknown
_1087717821.unknown
_1089790787.unknown
_1089972183.unknown
_1089972546.unknown
_1090186164.unknown
_1090187160.unknown
_1090187277.unknown
_1090187278.unknown
_1090187276.unknown
_1090187219.unknown
_1090186186.unknown
_1090046257.unknown
_1090185572.unknown
_1090046269.unknown
_1090044297.unknown
_1089972407.unknown
_1089972476.unknown
_1089972064.unknown
_1089972137.unknown
_1089970647.unknown
_1089970517.unknown
_1089790911.unknown
_1089790788.unknown
_1087717826.unknown
_1087717829.unknown
_1089789303.unknown
_1089790030.unknown
_1089790530.unknown
_1089790131.unknown
_1089789998.unknown
_1087717830.unknown
_1087717827.unknown
_1087717823.unknown
_1087717825.unknown
_1087717822.unknown
_1087717815.unknown
_1087717818.unknown
_1087717819.unknown
_1087717817.unknown
_1087717813.unknown
_1087717814.unknown
_1087717811.unknown
_1087717799.unknown
_1087717804.unknown
_1087717807.unknown
_1087717808.unknown
_1087717803.unknown
_1087717800.unknown
_1087717796.unknown
_1087717795.unknown
_1087717791.unknown
_1087717792.unknown
_1087717766.unknown
_1087717777.unknown
_1087717782.unknown
_1087717786.unknown
_1087717784.unknown
_1087717778.unknown
_1087717774.unknown
_1087717773.unknown
_1087717768.unknown
_1087717770.unknown
_1087717760.unknown
_1087717764.unknown
_1087717762.unknown
_1087717749.unknown
_1087717748.unknown
_1087717745.unknown
_1087717653.unknown
_1087717699.unknown
_1087717721.doc
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
_1049832705.unknown
_1049832849.unknown
_1049832853.unknown
_1081772576.unknown
_1081772585.unknown
_1081772598.unknown
_1081772613.unknown
_1081772578.unknown
_1081772574.unknown
_1081772575.unknown
_1081772565.unknown
_1049832851.unknown
_1049832852.unknown
_1049832850.unknown
_1049832716.unknown
_1049832847.unknown
_1049832848.unknown
_1049832719.unknown
_1049832711.unknown
_1049832713.unknown
_1049832708.unknown
_1049832686.unknown
_1049832700.unknown
_1049832702.unknown
_1049832696.unknown
_1049832674.unknown
_1049832683.unknown
_1045839168.unknown
_1087717733.unknown
_1087717741.unknown
_1087717739.unknown
_1087717735.unknown
_1087717737.unknown
_1087717727.unknown
_1087717731.unknown
_1087717729.unknown
_1087717723.unknown
_1087717710.unknown
_1087717716.unknown
_1087717718.unknown
_1087717720.unknown
_1087717717.unknown
_1087717713.unknown
_1087717714.unknown
_1087717712.unknown
_1087717705.unknown
_1087717707.unknown
_1087717709.unknown
_1087717706.unknown
_1087717702.unknown
_1087717703.unknown
_1087717700.unknown
_1087717676.unknown
_1087717688.unknown
_1087717694.unknown
_1087717696.unknown
_1087717698.unknown
_1087717695.unknown
_1087717691.unknown
_1087717692.unknown
_1087717690.unknown
_1087717683.unknown
_1087717686.unknown
_1087717687.unknown
_1087717684.unknown
_1087717680.unknown
_1087717678.unknown
_1087717679.unknown
_1087717664.unknown
_1087717670.unknown
_1087717673.doc
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
_1049116431.unknown
_1049116926.unknown
_1049125544.unknown
_1049125548.unknown
_1049800209.unknown
_1049800444.unknown
_1049125549.unknown
_1049125546.unknown
_1049125540.unknown
_1049116468.unknown
_1049116884.unknown
_1049116452.unknown
_1049115794.unknown
_1049116197.unknown
_1049116289.unknown
_1049115901.unknown
_1049115103.unknown
_1049115783.unknown
_1049115061.unknown
_1087717675.unknown
_1087717672.unknown
_1087717666.unknown
_1087717669.unknown
_1087717665.unknown
_1087717658.unknown
_1087717661.unknown
_1087717662.unknown
_1087717660.unknown
_1087717656.unknown
_1087717657.unknown
_1087717654.unknown
_1087717607.unknown
_1087717629.unknown
_1087717642.unknown
_1087717648.unknown
_1087717650.unknown
_1087717652.unknown
_1087717649.unknown
_1087717645.unknown
_1087717646.unknown
_1087717644.unknown
_1087717634.unknown
_1087717638.unknown
_1087717641.unknown
_1087717635.unknown
_1087717631.unknown
_1087717633.unknown
_1087717630.unknown
_1087717618.unknown
_1087717623.unknown
_1087717626.unknown
_1087717627.unknown
_1087717625.unknown
_1087717621.unknown
_1087717622.unknown
_1087717619.unknown
_1087717612.unknown
_1087717615.unknown
_1087717617.unknown
_1087717614.unknown
_1087717610.unknown
_1087717611.unknown
_1087717608.unknown
_1087717564.unknown
_1087717586.unknown
_1087717596.unknown
_1087717602.unknown
_1087717604.unknown
_1087717606.unknown
_1087717603.unknown
_1087717599.unknown
_1087717600.unknown
_1087717598.unknown
_1087717591.unknown
_1087717594.unknown
_1087717595.unknown
_1087717592.unknown
_1087717588.unknown
_1087717590.unknown
_1087717587.unknown
_1087717575.unknown
_1087717580.unknown
_1087717583.unknown
_1087717584.unknown
_1087717582.unknown
_1087717578.unknown
_1087717579.unknown
_1087717576.unknown
_1087717570.unknown
_1087717572.unknown
_1087717574.unknown
_1087717571.unknown
_1087717567.unknown
_1087717568.unknown
_1087717566.unknown
_1087717543.unknown
_1087717554.unknown
_1087717559.unknown
_1087717562.unknown
_1087717563.unknown
_1087717560.unknown
_1087717556.unknown
_1087717558.unknown
_1087717555.unknown
_1087717548.unknown
_1087717551.unknown
_1087717552.unknown
_1087717550.unknown
_1087717546.unknown
_1087717547.unknown
_1087717545.unknown
_1087717533.unknown
_1087717538.unknown
_1087717541.unknown
_1087717542.unknown
_1087717539.unknown
_1087717535.unknown
_1087717537.unknown
_1087717534.unknown
_1087717519.unknown
_1087717527.unknown
_1087717530.unknown
_1087717531.unknown
_1087717528.unknown
_1087717524.unknown
_1087717526.unknown
_1087717522.unknown
_1087717510.unknown
_1087717514.unknown
_1087717516.unknown
_1087717511.unknown
_1087717504.unknown
_1087717507.unknown
_1087717509.unknown
_1087717506.unknown
_1087717499.unknown
_1087717502.unknown
_1087717503.unknown
_1087717500.unknown
_1087717496.unknown
_1087717498.unknown
_1087717495.unknown
_1087717494.unknown