Apostila Matemática - Provão - Ensino Médio

8/14/2019 Apostila Matemtica - Provo - Ensino Mdio

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Introduo 2A Funo Y = Ax + B ...................................................................................... 3Equao de 2 Grau ........................................................................................... 6A Matemtica e o Dinheiro ................................................................................ 16A Trigonometria do Tringulo Retngulo .......................................................... 17O Coeficiente Angular ...................................................................................... 21Resolvendo Problemas com Logartomo ............................................................ 26Progresso Aritmtica ....................................................................................... 36

Somando os Temos de uma Progresso Aritmtica ............................................ 41Progresso geomtrica ....................................................................................... 43Matrizes............................................................................................................ 47Combinao....................................................................................................... 59Equao exponencial ......................................................................................... 60Matemtica Comercial e Financeira .................................................................... 63Bibliografia ........................................................................................................ 69

NDICE


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INTRODUO

Por que estudar matemtica? Para que ela serve? Certamente voc j se fez essa pergunta. Amatemtica est muito mais presente em sua vida, no seu dia-a-dia, do que voc pensa. Em todas asatividades humanas, das mais simples s mais sofisticadas, usa-se matemtica.

Todos ns usamos matemtica diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar eao receber o troco, estamos fazendo matemtica. Quando lemos no pacote de macarro: Cozinhar em 1litro de gua fervente para cada 100 gramas de massa, estamos lidando com uma informao quecontm matemtica.

Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez bom em matemtica. engano! Fazercontas rapidamente uma habilidade que se adquire com a prtica. Muito mais importante que fazercontas com rapidez descobrir quais so as operaes que devemos usar para resolver um problema.

Portanto, em matemtica omais importante o raciocnio.

Esta apostila foi feita para que voc se prepare para os exames do provo. E o resultado queesperamos a sua aprovao. Mas lembre-se, muito mais que o certificado de concluso do ensino mdio,vai valer o que voc realmente aprendeu. isto, e no um diploma, que vai lhe ajudar a passar numconcurso para emprego e a resolver muitas outras situaes do cotidiano.


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AFUNO(Y = AX + B)

Sendo a forma equacionada da funo de 1 grau a equao y = ax + b e que o seu grfico sempreuma reta, temos que observar alguns valores que modificam o sentido desta reta o que iremos descobrirlogo a seguir.

1) Se a = 0, a nossa equao fica com a forma y = b e passaremos a cham la defuno constante.Seu grfico uma reta horizontal. Veja :

y

b y = b

x

Se a 0, a expresso y = ax + b chama sefuno do primeiro grau, Ainda, se a>0 ( a positivo )ela uma funo crescente ; se a < 0 ( a negativo ) , ela uma funo decrescente, como mostram osgrficos :

Y y

a > 0 a < 0

x x

FUNES DO 1 GRAU

Vamos aprender agora um pouco mais sobre a funo do 1 grau, que a nica cujo grfico uma reta.

Inicialmente precisamos rever o grfico da funo do 1grau.Como construlo ?

Y = 1 x + 12

Atribumos a x dois valores quaisquer e calculamos os valores correspondentes de y. Na tabela aseguir, fizemos x = 0 e x = 4. Os valores de y foram calculados, os pontos marcados no plano cartesiano eo grfico construdo .


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4

yx y

0 1 3 -4 3

1 -

4

Agora, precisamos fazer o contrrio. Dados dois pontos de uma funo do 1 grau, comoproceder para descobrir uma frmula que a represente ? Acompanhe o exemplo a seguir.

EXEMPLODescobrir a funo do 1 grau que contm os pontos (3,9 ) e (5,13) .Soluo: A funo do 1 grau tem a forma y = ax + b . Vamos substituir nessa expresso os dois dados.

Substituindo ( 3,9 ) 9 = a . 3 + bSubstituindo (5 , 13 ) 13 = a . 5 + b

Organizando essas equaes, temos um sistema :3a + b = 95a + b = 13

Para resolver, vamos trocar os sinais da primeira equao e depois somar :

1) -3a b = - 92) 5a + b = 13

2a = 4 a = 2Substituindo a = 2 na primeira equao temos

- 3 . 2 + b = -9b = - 9 + 6b = 3

Logo a funo procurada e y = 2.x + 3

A RAIZ DA FUNOA raiz da funo y = ax + b o valor de x que torna y igual a zero. Por isso esse valor de x tambm e

chamado dezero da funo. Vamos calcular, por exemplo a raiz ( ou o zero ) da funo y = 2x 3Fazendo y = 0 , temos

2x 3 = 02x = 3

x = 32

O valor x = 3 a raiz ( ou o zero ) funo y = 2x 3 Como voc v no grfico abaixo, a

2raiz da funo o ponto onde a reta corta o eixo dos x.

*

*


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5

yy = 2x - 3

3 x2

- 3 raiz

EXEMPLO

No Brasil, as temperaturas so medidas em graus Celsius. Nos Estados Unidos, elas so medidasem outra escala : em graus Farenheit. Um tcnico est trabalhando com um motor americano e astemperaturas de funcionamento esto nesta escala, que ele desconhece. Felizmente, existe uma frmulaque permite relacionar a escala americana com a que usamos aqui:

Y = 5x 1609

onde: y a temperatura em graus Celsius ( C )x a temperatura em graus Farenheit ( F )

Como e o grfico dessa funo ?Soluo : Para fazer o grfico de uma funo do 1 grau, necessitamos de dois pontos quaisquer . Vamosescolher y = 0, que a temperatura em que a gua congela, e y = 100, que a temperatura em que a guaferve:

y = 0 5x 160 = 09

5x 160 = 05x = 160x = 160 = 32

5

y = 100 5x 160 = 1009

5x 160 = 900

5x = 1.0601.060 = 2125

Observe ento a tabela e o grfico

x y y( C )

32 0 100212 100

32 212 x (F)


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veja que o zero ( ou raiz ) de funo y = 5x - 160 x = 32:Observe que, na escala Farenheit, a gua congela a 32F e ferve a 212 F.

EXERCCIO 1Faa o grfico da funo y = 0,4x + 2

EXERCCIO 2Determine a funo do 1 grau que contm os pontos :a) ( 1, -3 ) e ( 6, 7 );b) (1, 3 ) e ( 5, - 1).

EXERCCIO 3Na funo da temperatura que mostramos no Exemplo acima, qual o coeficiente angular ?

EXERCCIO 4O taxmetro determina o preo da corrida em unidades taximtricas ( Uts). Estas so depois convertidas

em reais e a tabela de converso diferente em cada cidade. O taxmetro parte de um valor de UTs paracasa quilmetro rodado.Vicente fez vrias corridas de txi. Verificou que, percorridos 3 Km, o taxmetro marcou 3 UTs;percorridos 8 Km, o taxmetro marcou 5 UTs. Seja x o nmero de quilmetros percorridos e y o nmerode UTs marcado, determine:a) y em funo de x,b) quantas UTs o taxmetro marca em uma corrida de 20 Km.

EQUAES DE 2 GRAU

Chama-se equao de 2 grau com uma varivel toda equao que pode ser colocada na forma :ax2 + bx + c = 0 , onde x varivel e a, b e c so coeficientes.A equao ax2 + bx + c ( a 0 ) , chamada equao incompleta quando b = 0 ou c = 0 , ou ambos sonulos .

1) 2x2 5x = 0 ( c = 0 )2) x2 9 = 0 ( b = 0 )3) 3x2 = 0 ( b = 0 e c = 0 )

1 Caso : Equaes da forma ax2 + bx = 0

Exemplo: Resolver fatorandoX2 4x = 0X (x 4 ) = 0X = 0 ou X 4 = 0V = {0,4}

Nesse caso, uma das razes sempre zero.2 Caso : Equaes da forma ax2 + c = 0Exemplo :Resolver as equaes:

1) x2 81 = 0x2 = 81x = 81 => x = 9 v { - 9 , 9 }


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2) 7x2 28 =07x2 = 28x2 = 28

7x2 = 4

x = + 4x = + 2x = { -2 , 2 }

3) x2 + 16 = 0x2 = - 16x = + -16 x R

RESOLUO DE EQUAES COMPLETAS

A resoluo de uma equao completa do 2grau pode ser obtida pela frmula de Bskara.= b2 4ac discriminante da equao.

Se 0 , podemos escrever : x= -b 2a

Se < 0 , a equao no admite razes reais.

Exemplo:

Resolver as equaes:1) x2 + 8x +12 = 0Soluo:Temos a = 1 , b = 8 e c= 12Calculando o valor de : = b2 4ac = (8)2 4 .1 . 12 = 64 48 = 16

x = -b 2a

x1 = - 8 + 4 = -2x = - 8 4 = -8 4 2

2 . 1 2x2 = - 8 4 = - 6

2

As razes da equao so x1 = -2 e x2 = - 6V = { - 6 , - 2 }

2 ) (x 1 )2 = x + 5


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x2 2x + 1 = x + 5x2 2x x + 1 5 = 0x2 3x 4 = 0a = 1, b = - 3 c = - 4

= b2 4 a c

= ( - 3 ) 2 4 . 1 . (-4 ) = 9 + 16= 25

Substituindo na frmula :

X = - b 2 a

x = - ( - 3 )25 = 3 5 x1 = 3 + 5 = 8 = 4

2 1 2 2 2

x2 = 3 5 = - 2 = - 12 2

V = { - 1 , 4 }

EQUAES FRACIONRIAS

Exemplo :Resolver a equao:2 + 2 + 5 = 0 ( x 0 e x 1 )

3x x 1 3

2 ( x 1 ) + 6x + 5x( x 1 ) = 0 .3 x ( x 1 ) 3 x ( x 1 ) 3 x ( x 1 )

2x 2 + 6x + 5x2 5x = 0

5 x2 + 3x 2 = 0

= ( + 3 )2

4 . 5 . ( - 2 ) = 9 + 40 = 49x = - 3 7 x1 = - 3 + 7 = 4 = 2 .

10 10 10 5

x2 = - 3 7 = - 10 = - 110 10

V = { - 1 , 2 }

5


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9

EXERCCIOS:

1 ) 5x2 3x = 0 Resp.: {0, 3 }5

2) x2 x = 0 Resp.: { 0 , 1 }

3) 4x2 12x = 0 Resp.: { - 3 ,0 }

4) (x + 5 )2 = 25 Resp.: {0, - 10}

5) x(x 3 )2 = 25 Resp.: {0, 5 }

6) x2 49 =0 Resp.: { -7, 7 }

7) 16 = 9x2 Resp.: {- 4 , 4 }3 3

8) 5x2 15 Resp.: {3 , -3 }

9) x2 + 8x + 12 = 0 Resp.: {1, 3 }4

10) ( x + 4 ) . ( x 1 ) = 5x + 20 Resp.: V = { - 4 , 6 }

11) x + 1 = 7 Resp.: { 6 }

x 5

12) 4x2

4x + 2 = 0 Resp.: 13) x2 2x + 1 = 0 Resp.: {1}

14) x 1 = x Resp.: {2}

x 4

15) x - 2 = x 5 Resp.: {3 }x + 1 x 1 x2 1

16) x2 - x = 5 x + 4 Resp.: {- 11 , 2 }

2 3 617) x2 - 1 = 3x + 1 Resp.: { 5, - 1 }

3 2 2

18) x + 10 = 4x 2 Resp.: {- 4 , 4 }2 x 2

DISCUSSO DAS RAZES

Se > 0 , a equao tem duas razes reais e diferentes.

Se

= 0 , a equao tem duas razes reais e iguaisSe < 0, a equao no tem razes ( reais )


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Atravs do ( discriminante ) podemos discutir a existncia das razes.

Exemplo :Determine o valor de K na equao 2x2 3x + 4K = 0, para que as razes.

a) sejam reais e diferentes.b) sejam reais e iguais .

c) no sejam reais.

Clculo do discriminante; = b2 4ac = (-3)2 4 .2.4K = 9 32K

a) razes so reais e diferentes : > 09 32K >0

-32K > -932K < 9k < 9 .

32

b) razes so reais e iguais : = 09 32K = 0- 32K = -932K = 9k = 9 .

32

c) razes no so reais:

< 09 32K < 0-32K < -932K > 9K > 9 .

32

Propriedade das Razes (Relaes de Girard )

Existem, entre as razes x1 e x2 e os coeficientes a , b, c, importantes relaes conhecidas comorelaes de Girard.

Soma da Razes

x1 + x2 = - b ou s = - b .a a

Produto das Razes

x1 . x2 = c ou p = c .

a a


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Exemplos:

1) Calcular a soma e o produto das razes das equaes :a) x2 + 7x + 12 = 0

S = x1 + x2 = - b . P = x1 . x2 = c .a a

S = x1 + x2 = -7 P = x1 . x2 = 12

b) x2 - 2ax + a2 < 0S = x1 + x2 = - b = + 2

a

ac) P = x1 . x2 = c = a

2

2) Determinar o valor de K na equao 4x2 ( K 2 ) x + 3 para que a soma das razes seja .

Temos : x1 + x2 = - b = k 2a 4

k - 2 = 3 .4

k - 2 = 3 .4 4

k 2 = 3k = 5

Composio de uma Equao

Podemos compor uma equao do 2 grau a partir das relaes de soma e de produto de suas razes .

Como x1 + x2 = - b e x1 . x2 = c, temos :a

x2 ( x1 + x2 ) x + x1 . x2 = 0 ouS P

X2 Sx + p = 0 em que S a soma e P o produto das razes.

Exemplo:Compor a equao do 2 grau cujas razes so 2 e 5 :x1 + x2 = 2 + 5 = 7x1 . x2 = 2 . 5 = 10

Substituindo a soma e o produto das razes em x2 - Sx + P = 0 , obteremos :x2 7x + 10 = 0

a) y2 + 3y 4 = 0 Resp.: S = -3 e P = -4b) x2 + 9x 20 = 0 Resp.: S = -9 e P = -20c) 2x2 + 5x + 2 = 0 Resp.: S = - 5 e P = 1

2d) x2 - 7x + 10 = 0 Resp.: S = 7 e P = 10


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Antes de construir o grfico da funo y = ax2 + b + c . possvel saber como ser a suaconcavidade . Basta observar o sinal do coeficiente a:

Se a > 0 ( a positivo ), a concavidade estar voltada para cima:

a > 0 concavidade voltada para cima

Se a < 0 ( a negativo ) , a concavidade estar voltada para baixo

a < 0 concavidade voltada para baixo

AS RAZES

As razes de uma funo so os pontos onde seu grfico corta o eixo dos x na funo do 2 grauy = ax2 + b + c , se y = 0 obtemos a equao ax2 + bx + c =0. Podemos, ento , ter trs casos:

A equao tem duas razes diferentes. A parbola, ento, corta o eixo dos x em dois pontosdistintos.

x1 x2

Fig A : a funo tem duas razes: x1 e x2

A equao tem apenas uma raiz. A parbola , ento, tangente ao eixo dos x.

Fig B: a funo tem uma nica raiz:


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A equao no tem raiz . A parbola, ento, no corta o eixo dos x.

xFig C: a funo no tem razes

EXEMPLO

Tomemos como exemplo a funo:

Y = x2 6x + 8

Para construir seu grfico assinalando poucos pontos, devemos inicialmente verificar se a funopossui razes. Vamos ento resolver a equao x2 6x + 8 = 0 usando a frmula que aprendemos:

X = - ( - 6 ) ( - 6 )2 - 4 . 1 . 82 . 1

x = 6 36 32 = 6 4 = 6 22 2 2

As razes da nossa funo so, portanto :x1 = 6 - 2 = 4 = 2 x1 = 2

2 2

x2 = 6 + 2 = 8 = 4 x2 = 42 2

Descobrimos que o grfico da nossa funo corta o eixo dos x nos pontos x1 = 2 e x2 = a esabemos tambm que a parbola ter concavidade voltada para cima porque a = 1 (positivo). Basta, ento,para construir a tabela, atribuir a x outros valores prximos aos que j temos. muito importante atribuira x o valor x1 + x2 , porque ele fica bem no meio das razes e vai determinar o ponto mais baixoda parbola : 2

X Y

1 3

x1= 2 0

(x1+x2)/2 = 3 -1

1 2 3 4 5- 1

x2 = 4 05 3

3


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OVRTICENo grfico que acabamos de construir, ponto V = ( 3, -1 ) o vrtice da parbola. Ele o ponto

mais baixo da parbola quando a > 0.

Vrtice (a > 0)

No grfico da funo y = - x2 + 6x, que voce viu no incio dste assunto, o ponto ( 3 ,9) tambmo vrtice da parbola, que fica no ponto mais alto do grfico, porque a < 0 .

Vrtice ( a < 0 )

Para a construo do grfico de uma funo do 2 grau, o vrtice seu ponto mais importante. possvel encontra-lo de forma bastante simples. Chamando de xv a abscissa do vrtice da parbola y = ax2+ bx + c, temos :

Xv = - b .2a

Alm disso, se a funo possui razes x1 e x2 podemos encontrar a abscissa do vrticedeterminando o seu ponto mdio, ou seja :

Xv = x1 + x22

A IMAGEMComo voc j sabe, a imagem de uma funo o conjunto dos valores de y que correspondem

aos valores de x no domnio. Recorde essa noo observando o grfico :

y2

Grfico da funo

y1imagem y1 y y2

-1

2 3 4

3

9

0


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Para determinar a imagem de uma funo do 2 grau (cujo domnio o conjunto de todos osnmeros reais ), precisamos conhecer seu vrtice. Se a > 0, ento o vrtice o ponto mais baixo de seugrfico, e neste caso, a imagem da funo fica assim:

Observando o grfico anterior e chamando de yv a ordenada do vrtice da parbola, a imagemser o conjunto de todos os valores de y tais que y > = yv. Se a< 0, ocorre o contrrio: a concavidadeestar voltada para baixo e a imagem ser o conjunto dos nmeros reais tais que y < = yv .

EXEMPLOConsideremos a funo y = x2 4x + 5 .

Sabendo que ela tem concavidade votada para cima, pois a= 1 .

Para fazer um esboo de seu grfico, determinamos seu vrtice. Primeiro, precisamos encontrar suaabscissa :

Xv = - b = - ( - 4 ) = 22 a 2 . 1

Substitumos ento esse valor de x na funo para encontrar a ordenada do vrtice :

Yv = 22 4 . 2 + 5 = 1

Portanto, o vrtice o ponto ( 2 , 1 ) e, como a concavidade est voltada para cima, o grfico tem esteaspecto:

A imagem da funo ento o conjunto dos valores de y tais que y 1.

EXERCCIO 1

Faa o grfico da funo y = x2

Sugesto : Organize uma tabela atribuindo a x os valores - 2 , -1 , 0 , 1 e 2

imagem

yvx

grfico da funo

y

imagem vrtice1

2 x


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EXERCCIO 2

Observe o exemplo e faa um pequeno esboo do grfico das funes calculando o vrtice daparbola e verificando sua concavidade.

Exemplo: Y = x2 6x + 7

xv = - b = - ( -6 ) = 3Vrtice 2 a 2 . 1

yv = = 32 6 . 3 + 7 = 9 18 + 7 = - 2

A MATEMTICA E O DINHEIRO

Muita Gente pensa que a Matemtica, em relao ao dinheiro, s serve para fazer troco e paracalcular o total a pagar no caixa. No bem assim. Sem a matemtica, no conseguiramos entender

nossos contracheques, calcular nossos aumentos de salrio, perceber os produtos que aumentaramdemasiadamente de preo etc...

Nesta aula, vamos conhecer as porcentagens, os juros compostos e diversas outra coisas quefazem parte do nosso dia-a-dia , como aumentos de descontos, Aconselhamos que voc confira osclculos desta aula usando uma calculadora, a qual tambm dever ser usada para a resoluo dosexerccios.

PORCENTAGEM

Vamos comear com um exemplo.

Se o preo de um artigo era de R$ 4,00 e passou a ser de R$ 5,00, o aumento de preo foi de R$1,00 sobre um preo de R$ 4,00, e a frao que representa o aumento do preo, chamada de taca deaumento, . comumente preferimos representar essas fraes em centsimos, que so chamados deporcentos e representados por % . Como = 0,25 ou seja , 25 centsimos, a taxa de aumento do preo foide 25%.

Vejamos mais alguns exemplos.

EXEMPLO 1O preo de um artigo era de R$ 36,00 e sofreu uma diminuio de 15% . Para quanto passou ?

Soluo : Como 15% = 0,15, a diminuio de preo foi de 0,15 . 36 = 5,40 = R$ 30,60

EXEMPLO 2

Uma loja oferece um desconto de 20% nos preos, para pagamento vista . Quanto custa, vista,um artigo cujo preo de R$ 45,00 ?

Soluo : O desconto de 0,20 . 45 = 9 . O preo para pagamento vista R$ 45,00 R$ 9,00 = R$36,00.

{


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AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS

Imagine que um produto sofra um aumento de 30% em um ms e um de 20% no ms seguinte,Qual ser a taxa de aumento total que sofrer o preo do produto nesses dois meses ?

Essa uma pergunta interessante, porque a maioria das pessoas pensam, erroneamente, que a

taxa de aumento total foi de 30% + 20% = 50% . Se o preo do produto era de 100 (sempre podemostomar o preo do produto) , o primeiro aumento to de 30% de 100, isto , de 0,30 .100 = 30 o que elevouo preo do produto para 100 + 30 = 130, isto , de 0,20 . 130 = 26, o que elevou o preo do produto para130 + 26 = 156. O aumento total foi de 156 100 = 56 sobre o preo de 100. A taxa total de aumento foide

56 = 0,56 = 56%100

Vejamos mais alguns exemplos:

Exemplo 3O preo de um artigo sofreu dois descontos sucessivos, de 30% e de 20% . Qual foi a taxa total

de desconto ?

Soluo: Se preo do artigo era 100, o primeiro desconto foi de 0,30 . 100 = 30, o que baixou o preo para100 30 = 70 ; o segundo desconto foi de 0,20 . 70 = 14 o que mudou o preo para 70 14 = 56. Areduo total do preo foi de 100 56 = 44 sobre um preo de 100. A taxa total de desconto foi de .

44 = 0,44 = 44%100

A TRIGONOMETRIA DO TRINGULO RETNGULO

Neste captulo vamos estudar os tringulos retngulos. Voc j sabe que tringulo retngulo qualquer tringulo que possua um ngulo reto e que , para este tipo de tringulo, h vrias propriedadesimportantes.

Dois de seus lados so perpendiculares entre si e so , portanto, alturas do tringulo, que facilita oclculo de sua rea:

A = cateto . cateto2

Teorema de Pitgoras : ( hipotenusa ) 2 = ( cateto ) 2 + ( cateto ) 2


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Como a soma dos ngulos de qualquer tringulo 180, num tringulo retngulo um dos ngulos reto (90 ) e os outros dois so sempre agudos e complementares (soma = 90 ) .

vamos descobrir como podemos estabelecer relaes entre ngulos de um tringulo (ngulosagudos) e seus lados. ser que existem tais ralaes ? essa nossa primeira preocupao. A seguir,caso existam, sero respondidas perguntas naturais como : valem sempre ? ; como enuncia-las ?

etc.

CONSTRUINDO TRINGULOS RETNGULOS SEMELHANTES

Dado um ngulo agudo qualquer, possvel desenhar um tringulo retngulo ?

Sim. Podemos desenhar, na verdade , uma infinidade de tringulos retngulos.

Vamos anotar algumas observaes sobre esses tringulos retngulos:

Para todos eles, um dos ngulos mede x.

O outro ngulo agudo mede 90 - x, pois o complemento de x . O terceiro ngulo, como no poderia deixar de ser, reto. Ento todos eles possuem os mesmos ngulos. Lembrando a aula anterior, podemos concluir que : todos estes Tringulos retngulos so

semelhantes Se so semelhantes , ento seus lados so proporcionais .

Podemos ento afirmar que, ficando um ngulo agudo, todos os tringulos retngulos,construdos com esse ngulo sero semelhantes e, portanto, tero lados proporcionais. Observe queacabamos de descobrir que h uma relao entre ngulos agudos e lados de um tringulo retngulo .

Precisamos agora verificar como podemos enunciar esse relao mais claramente, usandolinguagem matemtica.

bc = ah

X

x

a

c

b

h


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Podemos compreender essa propriedade lembrando como se calcula a rea de um tringulo. Nocaso do tringulo retngulo da figura acima, ela igual a bc e tambm igual a ab . Portanto, claro quebc = ah . 2 2

RELACIONANDO LADOS E NGULOS

Voc j sabe que, em todo tringulo retngulo. Os lados so chamados hipotenusa (o maior lado )e catetos ( lados perpendiculares ) . Precisamos, em funo dos ngulo, diferenciar a nomenclatura doscatetos. Veja a figura abaixo.

O cateto que fica em frente ao ngulo agudo que estamos utilizando chama-se cateto oposto, e ocateto que est sobre um dos lados desse ngulo chama-se cateto adjacente.

Observe que, se o ngulo do problema for o outro ngulo agudo do tringulo, a nomenclatura oposto eadjacente troca de posio (veja a figura ao lado), pois depende do ngulo utilizado.

Vamos ento reescrever as propores obtidas na figura 1 usando essa nomenclatura . Em relao aongulo x , temos :

hipotenusa

Cateto oposto

Catetoadjacente

yhipotenusa

Cateto adjacente

Cateto oposto


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Relaes Trigonomtricas

As relaes que acabamos de generalizar so chamadas relaes trigonomtricas e recebemnomes especiais.

A primeira chamada seno do ngulo x e escreve-se :Sen x = cateto oposto .

Hipotenusa

A segunda chamada cosseno do ngulo x e escreve-se :

Cos x = cateto adjacente .Hipotenusa

A ltima denomina-se tangente do ngulo x e escreve-se:

tg x = cateto opostocateto adjacente

EXEMPLO 1

Voc j conhece o tringulo pitagrico. Vamos obter as relaes trigonomtricas para um de seus nguloagudos.

Observe agora que, para qualquer outro tringulo semelhante a este, obtemos o mesmo resultado.

Sen x= 3/5 . 0,6


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21

EXEMPLO 2

Uma escada est apoiada em um muro de 2m de altura, formando um ngulo de 45 Forma-se,portanto, um tringulo retngulo issceles. Qual o comprimento da escada ?

Representando a vista lateral geometricamente, podemos construir o tringulo retngulo a seguir.Usando o co-seno do ngulo de 45 que a escada forma com o muro , descobrimos o valor de x ,

que ser o comprimento da escada.

O COEFICIENTE NGULAR

Neste assunto iremos estudar a equao da reta que ax + by + c =0, chamada equao geral dareta, e aprendemos a constru-la quando so dados dois de seus pontos. Seja P = ( 5 , 4 ) o ponto dado.

Vamos comear fazendo um desenho da reta x + 2y 9 = 0 . Para isso, precisamos conhecer dois de seuspontos. Como as coordenadas de P so x = 5 e y = 4, vamos aproveitar esses valores para determinar ospontos de reta que possuem essa abcissa e essa ordenada. Substituindo esses valores, um de cada vez, naequao da reta, temos:

X = 5 5 + 2y 9 = 0 2y = 4 y = 2Y = 4 x + 2 . 4 9 = 0 x = 9 - 8 x = 1

Conseguimos ento, dois pontos da reta: A = ( 5 , 2 ) e B = ( 1, 4 )O desenho fica assim :


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No tringulo retngulo PAB da figura acima, conhecemos os comprimentos dos catetos: AP = 2 eBP = 4 . Para calcular a hipotenusa, aplicamos o Teorema de Pitgoras :

AB2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20

AB = 20 = 4 . 5 = 2 5

Representando por da distncia do ponto reta temos, pela relao que mostramos anteriormente:

2 . 4 = 25 . d d = 4 = 4 . 5 = 4 5 = 1,795 5 5 5

Finalmente, vamos apresentar uma frmula que faz o mesmo clculo que acabamos de realizar. O pontodado ser representado por P = ( Xn ,Yn ) e a reta por ax + by + c = 0.

P = ( x0 , y0 )dax + by + c = 0d = ax0 + by0 + c

a2 + b2

Observe o clculo da distncia do ponto P = (5 ,4 ) a reta x + 2y 9 = 0 , agora usando a frmula :

d = | 5 + 2 . 4 9 | = | 5 + 8 9 | = 4 = 4 512 + 22 5 5 5

O resultado, como era de se esperar, o mesmo, e essa frmula, que no indispensvel, mostra-sebastante prtica.

Observe a figura a seguir :

B

y

Reta x + 2y . 9 = 0

A B P

Q

C

X

d

P

A

51

4

2

x


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Os tringulos ABC e APQ so semelhantes. Como seus lados so proporcionais, podemos escrever :

AB = AP ou BC = PQ ou BC = PQAC AQ AC AQ AB AP

E se aumentarmos o ngulo x ou diminuirmos P, essas propores se alteram .Teramos agora:

AB = AP ou BE = PF ou BE = PEAE AF AE AF AB AP

Essas propores que se alteram conforme o ngulo varia - confirmam nossa suspeita de que huma relao entre lados e ngulos agudos de um tringulo retngulo tais relaes recebem nomesespeciais como veremos ainda nesta aula.

Repare inicialmente que essa equao pode ser escrita de outra forma deixando a letra Y isoladado lado esquerdo da equao. Quando fazemos isso obtemos uma expresso chamada equao reduzidada reta, que nada mais do que a nossa conhecida funo do 1 grua . Observe o exemplo a seguir.

EXEMPLO 1

Escrever a equao 2x 3y + 3 = 0 na forma reduzida.

Soluo:

Vamos trabalhar a equao dada para deixar a letra Y sozinha do lado esquerdo:

2x 3y + 3 = 0

-3y = - 2x 3

3y = 2x + 3

y = 2x + 3 .3 3

y = 2x + 13

A esta . Essa a equao reduzida da reta. Ela tem a forma y = mx + p , onde, no nosso exemplo,m = 2/3 e p = 1

Observe o significado desses nmeros m ep diretamente na equao que serviu de exemplo . Repare que.

A B P

Q

F

E

C

x


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24

Y = 2x + 13

se x = 0 ento y = 1

se x = 3 ento y = 3

com esses dois pontos, podemos fazer o grfico da reta.

Veja que a reta corta o eixo dos y no ponto y = 1 e que a tangente do ngulo que ela faz com adireo horizontal 2/1 (cateto oposto sobre cateto adjacente)

De forma geral, na equao y = mx = p, o nmero p, chamado coeficiente linear, e o ponto ondea reta corta o eixo dos y.

O nmero m, chamado do coeficiente angular a tangente do ngulo que a reta forma com adireo horizontal.

Se o coeficiente angular for positivo, a reta representar uma funo crescente. Se for negativo,representar uma funo decrescente.

GRFICOS DE y = mx + p

Observe, nos exemplos seguintes, que podemos determinar a equao reduzida da reta quando

conhecemos os coeficientes angular e linear.


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M = 4 . (coeficiente angular)3

p = -2 ( coeficiente linear )

Equao reduzida da reta :

Y = 4x - 23

m = - 2 . ( coeficiente angular )5

p = 7 (coeficiente linear)

Equao reduzida da reta

Y = - 2x + 75

Devemos enfatizar que o coeficiente angular representa o valor que a funo cresce 9 (oudecresce ) quando x aumenta uma unidade. No grfico a seguir, representamos a funo y = mx + p .Nele, voc pode notar que, quando x assume valores inteiros, os valores de y formam uma progressoaritmtica de razo m.

Quando x aumenta uma unidade, y aumenta m unidade .


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AFRMULA DO COEFICIENTE ANGULAR

Veremos, agora, como determinar o coeficiente angular de uma reta a partir de dois quaisquer deseus pontos. Na figura a seguir, mostramos uma reta passando pelos pontos (x1, y1 ) e ( x2 , Y 2 ). Otringulo retngulo formado tem o cateto vertical igual a y2 y 1 e o cateto horizontal igual a x2 x1 .Dividindo o cateto vertical pelo horizontal, obtemos a frmula do coeficiente angular.

Tga = m = y2-y1x2 x1

RESOLVENDO PROBLEMAS COM LOGARITMOS

Vamos lembrar que quando escrevemos, por exemplo, log2=0,301, significa que 100,301 = 2 .Usamos aqui sempre a base 10 e, por isso, os nossos logaritmos so chamados decimais. Existem

tambm logaritmos em outras bases. Por exemplo, a igualdade 25=32 significa que o logaritmo de 32 nabase 2 igual a 5. como a teoria bsica dos logaritmos a mesma em qualquer base, continuaremos nossoestudo tratando apenas do logaritmos decimais . So eles que aparecem nas tbuas dos livros didticos enas calculadoras cientificas.

EXEMPLO 1

Um juiz determinou o pagamento de uma indenizao at certa data. Determinou tambm que,caso o pagamento no fosse feito, seria cobrada uma multa de R$2,00 que dobraria a cada dia de atraso.Em quantos dias de atraso essa multa seria superior a 1 milho de reais ?

Soluo : A multa determinada pelo juiz pode parecer pequena , se o atraso no pagamento for de poucodias. Mas ela cresce com uma rapidez muito grande.

Chamando de x o nmero de dias de atraso no pagamento, o valor da dvida ser 2 x . Veja;

1 dia de atraso x = 1 multa = 21 = 2

2 dias de atraso x = 2 multa = 22 = 4

3 dias de atraso x = 3 multa = 23 = 8 e assim por diante.


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Como vemos, as multas crescem em progresso geomtrica, Devemos calcular em que dia essamulta atinge 1 milho de reais, ou seja, devemos resolver a equao:

2x = 1.000.000

para resolver essa equao preciso aplicar o logaritmo nos dois lados:

log2x = log 1.000.000

log 2x = log 106

Agora vamos aplicar a propriedade do logaritmo da potncia:

X . log 2 = 6 . log 10

Como log 10 = 1 e sabendo que log 2 = 0,301, temos :

X . 0,301 = 6

X = 6 = 19,930,301

Assim, conclumos que no 20 dias de atraso a multa ter passado de 1 milho de reais.

Veja outro exemplo que necessita do clculo pela tbua de logaritmos.

EXEMPLO 2

Se log x= 1,6395, determine x.

Soluo:

Vamos recordar, inicialmente, que o logaritmo se constitui de duas partes: a caracterstica e amantissa . A caracterstica o nmero que est antes da virgular e a mantissa o nmero que aparecedepois da vrgula. A tbua de logaritmos apresentada na aula passada nos d apenas as mantissas , mas acaracterstica nos d a seguinte informao :

Nmeros Caracterstica

Entre 1 e 9 0

Entre 1 e 9 1

Entre 1000 e 999 2

Entre 1000 e 999 3

Como log x = 1,6395 tem caracterstica 1 . Ento, sabemos que o nmero x est entre 10 e 99 . Assim,procuramos a mantissa 6395 na tbua.


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TBUA DE LOGARTMOS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

40

4142

43

44

6021

61286232

6335

6435

6021

61286243

6345

6444

6042

61496253

6355

6454

6053

61636263

6365

6464

6064

61706274

6345

6474

6075

61806284

6385

6484

6085

62916294

6395

6193

6096

62016304

6405

6503

6107

62126314

6415

6513

6117

62226325

6425

6522

Uma vez encontrada a mantissa, vamos que na coluna da esquerda est o nmero 43 e na linha decima o nmero 6. Juntando esse nmeros, formamos o nmero 436, faltando apenas colocar a vrgula nolugar certo. Como o nosso nmero est entre 10 e 9+9 , ento x = 43,6.

EXEMPLO 3

Um construtor deseja fazer um reservatrio de gua para conter 5000 litros e que tenha a formade um cubo. Quanto deve medir o lado desse cubo?

Soluo:

Um cubo uma caixa que tem comprimento, largura e altura iguais.O volume de uma caixa o produto de suas dimenses: comprimento x largura x altura. Logo, se

o lado do cubo mede a, seu volume ser a . a . a = a3. Por outro lado, sabemos que 1m3 igual a 1000litros . Portanto, se essa caixa deve conter 5000 litros, seu volume ser 5m3. Devemos ento resolver aequao:

a3 = 5

O valor de a ser a medida em metros do lado desse cubo. Aplicando logaritmo dos dois lados e,em seguida, a propriedade da potncia temos :

Log a3 = log 5

3 . log a = log 5

Na tbua de logaritmos encontramos log 5 = 0,699. Logo:

3 . log a = 0,699

3 . log a = 0,699 . => log a = 0,2333


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Como agora sabemos que o logaritmo de a igual a 0,233, vamos procurar na tbua delogaritmos a mantissa 233.

Encontrando a mantissa 2330, verificamos que esquerda existe o nmero 17 e acima o nmero1. Juntando esses algarismos formamos o nmero 171. Falta apenas colocar a virgula no lugar correto.Repare que calculamos log a = 0,233. Esse nmero possui caracterstica 0, ou seja , o valor de a est entre1 e 9 . Portanto , o valor do lado do cubo 1,71 m.

Dessa forma, o construtor saber que construindo um reservatrio de gua com a forma de umcubo de 1,71 m de lado, ele ter a capacidade de conter 5000 litros de gua.

LOGARITMOS

Considere um nmero a ( positivo e diferente de 1 ) , e um nmero b na base a ao expoente xque se deve dar base a de tal modo que a potncia obtida seja igual a b :

b = ax log a b = x

forma exponencial forma logartmica

onde:

b o logaritmando

a a base

x o logaritmo

Exemplos:* log10 100 = 2 , pois 10

2 = 100

* log 327 = 3 , pois 33 = 27

* log31= 0 , pois 30 = 1

Observao : No existe, por exemplo, log2( -4 ) . Lembre-se de que a equao 2x = - 4 no tem soluo

para X E R.

Conseqncia da definio:

Loga1 = 0

Logaa = 1

Log aam = m

Log ba = logca b = c


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Aplicao:

1. Calcular log41, log55,log5125

a) log41 = 0

b) log55 = 1c) log5125 = log55

3 = 3

2. Sabendo que loga12 = log ax + 3 , calcule x :

Usando a propriedade de logaritmos, teremos:

X + 3 = 12

X = 12 3

X = 9

3. Determine o logaritmo de 8 na base 2 :

Soluo:

Log2 8 = log2 23 = log223/2 = 3/2

4. Resolva a equao log23x 2 = 3

Soluo :

log23x 2 = 3 3x 2 = 23 3x 2 = 8 3x = 10 x = 10/3

5. Calcule loga9 = 2

Soluo :

Loga9=2

a2 = 9

a=

3note que a = -3 tambm soluo de a2 = 9 , mas como a base tem que ser sempre positiva, s serve ovalor a = 3 como resposta .

6 . Para que valores de x exista , o logaritmando deve ser sempre positivo. Neste caso o logaritmando 3x+ 2 .

Logo ;

3x + 2 > 0

3x > - 2x > - 2/3


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PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

* 1 Propriedade:

Consideremos por exemplo, log24.8

Log24 = 2Sabemos que :

Log28 = 3

Teremos, ento :

Log24.8 = log24 + log28 = 2 + 3 = 5

Podemos concluir que :

Logab.c = logab + logac

Observe os seguintes exerccios aplicado a propriedade:1 . Se a soma dos logaritmos de dois nmeros , na base 2 , 5, determine o produto desses nmeros.

Soluo:

Sejam x e y esses nmeros temos ento :Log2x + log2y = 5Log 2x.y = log 2x + log 2 yLogo : log 2x . y = 5

x . y = 25x . y = 32

O produto dos nmeros 32.

2. Resolva a equao:

log2( x + 2 ) 9+ log2 ( x 2 ) = 5

C.E. x + 2 > 0 x - 2 > 0

Soluo :

log2 ( x + 2 ).( x 2 ) = 25

x2 4 = 32

x 2 = 36

x 6

verificando : para x = 6 para x= - 6

x + 2 > 0 6 + 2 > 0 ( v ) - 6 + 2 > 0 ( f )x 2 > 0 6 2 > 0 ( v ) - 6 2 > 0 ( f ) => s = { 6 }


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*2 Propriedade :

Consideremos

log2 2/16log22 = 1

sabemos que log216 = 4 teremos, ento : log2 2/16 = log22 log216 = 1 4 ( 4 ) = -3podemos concluir que : loga b/c = log b log c

Exemplos:

1. sendo log ab = 2 e logac = 3, determine loga b/c

soluo :

logab/c = log ab - logac = 2 3 = -1

loga b/c = - 1

2. Resolva a equao : log2x2 + 1 log2 x = 1 .

Soluo :


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3 Propriedade :

Consideramos o seguinte exemplo :

MUDANA DE BASE :

Efetuamos a mudana de um logaritmo de base a para um logaritmo de base c, atravs da frmula :

Logab = logcb .log ca


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EXEMPLO :

1)mudar para base 2 os logaritmos :

EXERCCIO1.) Calcule, aplicando a definio de logaritmo :

2.) D o valor de:


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3.) Resolva as equaes :

4.) Sendo logba = 4 e logbc = 1 , encontre o valor de :

5.) Determine o conjunto soluo das equaes :

6.) Sendo log2 = 0,3 , log3 = 0,4 e log5 = 0,7 , calcule :

SUCESSO OU SEQNCIA

SUCESSO NUMRICA

Sucesso ou seqncia todo conjunto em que consideramos os elementos dispostos em certaordem. Uma seqncia numrica pode ser finita ou infinita.

EXEMPLO:

(1 , 3 , 5 , 7 , 9 ) uma seqncia finita.

(-2, 4, 6 , ... ) uma seqncia infinita


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PROGRESSES ARITMTICAS

Quando escrevemos qualquer quantidade de nmeros, um aps o outro, temos o que chamamosde seqncia. As seqncias so , freqentemente, resultado da observao de um determinado fato oufenmeno. Imagine, por exemplo, que uma pessoa da cidade de Mag ( Rio de Janeiro ) tenha anotado astemperaturas mximas em cada dia do ms de abril de 1995. O resultado pode ser visto na seguinte tabela

:

DIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...TEMPERATURAMXIMA ( C )

31 32 32 29 31 34 33 34 26 25 28 27 30 29 ...

Na linha de cima, temos a seqncia dos dias e, na de baixo, a seqncia das temperaturas. Nessaseqncia, dizemos que o primeiro termo 31, o segundo termo 32, o sexto termo 34.

conveniente representar cada termo de uma seqncia pela letra a , seguida de um ndice que

indica a sua ordem.Assim, na seqncia das temperaturas, temos:

a1 = 31a2 = 32a6 = 34

a9 = 26 etc

Quando desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqncia, escrevemos an. Assim, noexemplo que acabamos de dar, an representa a temperatura mxima registrada no dia n.

Para que voc entenda bem o significado desta ltima frase, e de outras do mesmo tipo, substituan por nmeros naturais: 1 , 2 , 3 etc . Fazendo isso, voc obtm as seguintes frases :

a1 representa a temperatura mxima registrada no dia 1 :

a2 representa a temperatura mxima registrada no dia 2 ; e assim por diante.

Voc pode usar as seqncias para registrar diversas observaes, como a produo de uma fbricaem cada ms, o nmero de telefonemas que voc d por dia, a taxa de inflao mensal, etc.

Nesta aula e nas prximas, vamos estudar certas seqncias muito especiais. Por sua regularidade,conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se progressoaritmtica.

Uma progresso aritmtica uma seqncia na qual, dado um primeiro termo, obtemos todos osoutros acrescentado sempre a mesma quantidade. Por exemplo, vamos partir do nmero 7 e acrescentar 3,diversas vezes :

7 10 13 16 19 22

+3 +3 +3 +3 +3

O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razo ( R) portanto,nesse exemplo, temos:

a1 = 7 e R = 3


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Veja agora outros exemplos de progresses aritmticas e sua classificao :

3,7,11,15,19,23...

temos R = 4.

uma progresso crescente. 9,7,5,3,1,-1,-3,-5,...

temos R = -2

uma progresso decrescente.

4,4,4,4,4,4,4,...

temos R = 0 .

uma progresso estacionria.

Dada uma progresso aritmtica, como calculamos sua razo ? Pense ! No difcil. Como arazo a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, podemos dizer que :

A razo de uma progresso aritmtica a diferena entre qualquer termo e o anterior.

Assim, retomando os trs ltimos exemplos, temos

Na 1 progresso : R = 7 3 = 7R = 11 7 = 4

R = 15 11 = 4 etc.Na 2 progresso : R = 7 9 = - 2

R = 5 7 = - 2 etc.Na 3 progresso : R = 4 - 4 = 0

Passamos ento a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progressoaritmtica ( de agora em diante representada por PA ) de razo R :

a1 a2 a3 a4 a5 a6 an

+R +R +R +R +R +R +R

Suponha que voc conhea o primeiro termo ( a1 ), e a razo ( R ) . Como faremos para calcularqualquer outro termo ? Observe as igualdades.

a2 = a1 + ra3 = a1 + 2ra4 = a1 + 3ra5 = a1 + 4r


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Vemos ento que, para calcular um termo qualquer ( an ) preciso somar ao 1 termo . n 1 vezes arazo. Ou seja :

Frmula do Termo Geral

an = a1 + ( n 1 ) r

Para entender bem o que estamos fazendo, imagine que voc est no 1 degrau de uma escada edeseja chegar ao 10 Quantos degraus deve subir ? claro que so 9. Se voc est no 1 degrau e desejachegar ao 25 quantos deve subir ? Deve subir 24, lgico. Ento, para chegar ao degrau nmero n.devemos subir n 1 degraus.

Observe a aplicao dessa frmula nos exemplos seguintes:

Exemplo

Qual o trigsimo ( 30 ) termo da progresso aritmtica : 10,17,24,31,38,...?

Soluo. A razo da progresso R = 17 10 = 7 e o primeiro termo a1 = 10 . Desejamos calcular otrigsimo termo, ou seja a30. A partir da frmula do termo geral :

an = a1 ( n 1 ) r

Substituindo a letra n por 30, obtemos :

Da, a30 = a1 + ( 30 1 )r

a30 = 10 + 29 . 7

a30 = 213

Portanto, o trigsimo termo da progresso dada 213.

EXEMPLO

Um aluno escreveu todos o nmero mpares desde 17 at 63. Quantos nmeros ele escreveu ?

Soluo. A progresso desse exemplo a seguinte:

17,19,21,23,...63.

O primeiro termo 17. o ltimo termo pe 63 e a razo e 2. Escrevemos ento:

a1 = 17an =63r = 2

Substituindo esse valores na frmula do termo geral calcularmos n que o nmero de termos daprogresso :


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an = a1 + (n 1) r63 = 17 + (n 1) 246 . 17 = 2n - 246 = 2n - 248 = 2nn = 24

A progresso tem, portanto, 24 termos

EXEMPLOEm janeiro de certo ano, Joo estava ganhando R$ 70,00 por ms. Seu patro prometeu aumentar

seu salrio em R$ 4,00 todos os meses. Quanto Joo estar ganhando em dezembro do ano seguinte ?

Soluo: se o salrio de Joo aumenta R$ 4,00 todos os meses, ento a seqncia dos salrios umaprogresso aritmtica de razo 4.

Vamos organiz-la assim:

Usando a frmula do termo geral, temos :a24 = a1 + 23ra24 = 70 + 23 . 4a24 = 70 + 92a24 = 162

Portanto, com esses pequenos aumentos mensais , Joo estar ganhando, em dezembro do ano seguinte,R$ 162,00.

ALGUMAS PROPRIEDADES DA PROGRESSO ARITMTICA

O GRFICOPodemos visualizar os termos de uma progresso aritmtica por meio de um grfico com este:Os valores dos termos so representados pelas barras verticais que formam o desenho de uma

escada . Nessa escada, a altura de cada degrau a razo da progresso aritmtica.


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UMA OUTRA FRMULA

Se voc est no 6 degrau de uma escada e deseja chegar ao 10, quantos degraus deve subir ? Aresposta simples : 4 degraus . Podemos escrever isso em linguagem matemtica.a 10 = a6 + 4r

De modo geral , se estamos no degrau de nmero n e desejamos chegar ao degrau de nmero m,

devemos subir m n degraus. A nossa nova frmula, que relaciona dois termos quaisquer, ento aseguinte:

am = na + ( m n ) r

EXEMPLOTodos os anos, uma fbrica aumenta a produo, em uma quantidade constante. No 5 ano de

funcionamento, ela produziu 1.460 e no 8 ano, 1940. Quantas peas ela produziu no primeiro ano defuncionamento? Devemos calcular a1 ou seja, a produo inicial. Tememos ento nossa ltima frmula:

am = na + (m- n ) r

e faamos m = 8 e n = 5. ela fica assim:

a8 = a5 + ( 8 5 ) r

substituindo os valores conhecidos, temos :

1.940 = 1.460 + 3r

1.940 1.460 = 3r

r = 160

Sabemos agora que a razo 160, ou seja, a produo da fbrica aumenta em 160 peas a cadaano. Para calcular o primeiro termo da progresso . faamos m = 5 e n = 1 na frmula que estamosusando. Ela fica assim:

a5 = a1 + (5 1 ) r ou

a5 = a1 + 4r

como os valores de a5 e R so conhecidos, podemos fazer s substituies

1.460 = a1 + 4 . 160

1.460 = a1 + 640

1.460 640 = a1

a1 = 820

conclumos ento que, no primeiro ano de funcionamento, essa fbrica produziu 820 peas.

Para terminar, repare que temos duas frmulas, muito parecidas, para relacionar dois termos de

uma progresso aritmtica e sua razo. A segundo mais geral. Ela capaz de calcular qualquer termo deuma PA se voc conhece a razo e, tambm, um outro termo qualquer.


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SOMANDO OS TERMOS DE UMA PROGRESSO ARITMTICA

No assunto anterior, mostramos como calcular qualquer termo de uma progresso aritmtica seconhecemos um de seus termos e a razo. Nesta aula, vamos aprender a somar rapidamente qualquerquantidade de termos de uma PA. Deduziremos a frmula da soma dos termos de uma progressoaritmtica usando a mesma idia que um menino de 10 anos teve no ano de 1787. Esse menino, que se

tornou um dos maiores matemticos de todos os tempos, chamava-se Carl Friedrich Gauss, e umapequena parte de sua histria a que relatamos a seguir.

O menino Gauss era alemo e vivia na cidade de Brunswick, onde, aos 10 anos, freqentava aescola local. Certo dia, para manter a classe ocupada, o professor mandou que os alunos somassem todosos nmeros de 1 a 100. Mas para sua enorme surpresa, o pequeno Gauss anunciou a resposta quaseimediatamente : D 5.050,

Vamos mostrar como ele calculou de cabea a soma :

1 + 2 + 3 + ... + 100

primeiro vamos representar por S essa soma.Depois, escrevemos a mesma soma na ordem inversa e, em seguida , somamos as duas, termos a termo.

S = 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + .... + 3 + 2 + 1

2S=101 + 101 + 101 + ....+101 + 101 + 101

assim, duas vezes S igual soma de 100 parcelas, todas iguais a 101 . logo:

2S = 100 . 101

2S = 10.100

S = 5.050

No h dvida de que esse episdio da vida do menino Gauss nos mostra uma idia brilhante .Vamos aproveita-la para deduzir a frmula da soma dos termos de qualquer progresso aritmtica.

Como vimos na aula passada, podemos imaginar os termos de uma progresso aritmtica comoos degraus de uma escada . Veja uma de sete degraus , por exemplo.

Agora, como faremos para calcular a soma das alturas de todos os degraus ?


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42

Podemos usar a idia do menino Gauss. Vamos considerar duas escadas iguais e encaixar uma na outra,como mostra o desenho a seguir

Observando o desenho, vemos que a1 + a7 igual a a2 + a8 que igual a a3 + a9 e assim pordiante. Temos ento:

S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7S = a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1

Somando as duas igualdades, obtemos , do lado esquerdo, 2S e, do lado direito, 7 vezes a1 + a ... Logo :

2S = (a1 + a7 ) . 7S = (a1 . a 7 ) 7

2

O raciocino utilizado para obter a soma dos 7 temos da progresso que nos serviu de exemplopode ser aplicado a qualquer outra. Portanto, se uma progresso tiver n termos, a soma de todos eles ser:

Sn = ( a1 + an ) . n2

Nesta frmula , bom lembrar que : a1 o primeiro termo,

an = o ltimo termo,

n = o nmero de termos.

EXEMPLO

Calcule a soma dos 30 primeiros nmeros impares.

Soluo : Os nmeros mpares so :

1 , 3 ,5 , 7, 9 , 11 , ...


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43

Eles formam uma progresso aritmtica de razo 2. Para calcular o trigsimo ( 30 ) termo dessaprogresso, precisamos usar a frmula an = a1 + ( n 1 ) r que aprendemos na aula passada. Substituindoento n por 30. obtemos :

a30 = a1 + ( 30 1 ) r

a30 = 1 + 29 . 2a30 = 59

vamos usar a frmula da soma dos termos de uma progresso aritmtica fazendo tambm n = 30

S = ( a1 + a30 ) 302

Substituindo os valores do primeiro e do ltimo termo, temos:

S = ( 1 + 59 ) . 30 = 60 . 30 = 9002 2

conclumos ento que a soma dos 30 primeiros nmeros mpares :1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + .... + 59 = 900

PROGRESSES GEOMTRICAS

Neste assunto, vamos abordar outra importante seqncia: a progresso geomtrica. possvelque voc j tenha ouvido algum preocupado com o nmero de habitantes do nosso planeta dizer a

seguinte frase: A produo de alimentos cresce em progresso aritmtica enquanto a populao mundialcresce em progresso geomtrica.

O que essa frase significa ?

A primeira parte da frase diz que o aumento da produo de alimentos constante, ou seja, acada ano aumenta do mesmo valor. A segunda parte da frase fala de uma seqncia cujo crescimento cada vez mais rpido.

Para que voc tenha uma primeira idia do que vamos estudar, mostramos, no desenho seguinte,alguns termos de uma progresso aritmtica e de uma progresso geomtrica, situados sobre uma rgua.Observe o crescimento, cada vez mais rpido , da progresso geomtrica.

Progresso geomtrica (ou simplesmente PG ) uma seqncia de nmeros no nulos em quecada um deles, multiplicado por um nmero fixo. Fornece o prximo elemento da seqncia. Esse nmerofixo chama-se razo, e os elementos da seqncia so os termos da progresso geomtrica.

Por exemplo, vamos obter os termos de uma progresso geomtrica de razo 2, partindo donmero 3 .


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44

3 6 12 24 48 96 192 384 768 1.536...

x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 ...

Observe como o crescimento rpido.

Os termos da progresso geomtrica so representados, como em qualquer seqncia, por a1, a2 ,a3 , ......, an e a razo ser representada pela letra q . Assim, no exemplo anterior , temos a1 = 3 , a2 = 6, a3= 12 etc. e q = 2 .

Se cada termo da PG multiplicado pela razo d o termo seguinte, ento podemos afirmar que :

A razo da PG igual a qualquer termo dividido pelo anterior.

No nosso estudo, vamos considerar apenas progresses geomtricas de termos positivos. So asque tm interesse prtico e ocorrem em diversos fenmenos naturais.

Observe trs exemplos que mostram a classificao das progresses geomtricas:

a1 = 2 , q = 5

PG : 2, 10 ,50 ,250, 1.250, ...

uma progresso crescente.

a1 = 8 , q =1/2

PG : 8, 4 , 2 , 1 , , ...

uma progresso decrescente .

a1 = 3, q = 1

PG : 3, 3 , 3 , 3 , 3 , 3, ....

uma progresso estacionria.

Pelo que vimos acima, conclumos que, se a razo for maior que 1, a progresso geomtrica crescente e, se a razo for um numero entre 0 e 1 , a progresso decrescente .

Vamos agora obter uma frmula para determinar qualquer termo de uma PG a partir do primeiro

termo e da razo. Observe ento uma progresso geomtrica qualquer:

a1 a2 a3 a4 a5...... an

xq xq xq xq xq ....

A partir da definio de PG, temos que a2 = a1 . q

O terceiro termo a3 = a2 . q = a1 . q = a1 . q . q = a1 . q2. O quarto termo a4 = a3 . q = a1 . q

2 .q = a1 . q

3 e assim por diante.

a2 = a1 . q a4 = a1 . q3

a3 = a1 . q2 a5 = a1 . q

4


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Para obter ento o termo de ordem n, devemos multiplicar o primeiro termo pela razo n 1vezes, ou seja:

Frmula do termo geralan = a1 . qn-1

EXEMPLODeterminar o 12 termo da PG 7, 14 , 28 ....

Como a razo da PG igual a qualquer termo dividido pelo anterior, temos que:

q = 14 = 27

para calcular o 12 termo dessa progresso, substitumos n por 12 na frmula do termo geral .Temos ento:

a12 = a1 . q11

Substituindo os valores do primeiro termo e da razo, encontramos:

a12 = 7 . 211

a12 = 7 . 2.048 = 14.336

EXEMPLO

Existem bactria que se reproduzem de forma extremamente rpida. Um exemplo a bactria

que causa a sfilis (chamada treponema pallidum): cada uma delas se transforma em 8 iguais no perodode 1 hora. Se uma bactria desse tipo comea a se reproduzir, quantas ela sero 12 horas depois, supondoque nenhuma delas tenha morrido?

Soluo: A populao de bactria forma uma progresso geomtrica:

Momento inicial a1 = 11 hora depois a2 = 82 horas depois a3 = 34

Vemos ento que, 12 horas depois, devemos calcular o 13 termo da progresso geomtrica coma1 = 1 e q = 8 . Aplicando novamente a frmula do termo geral, com n=13, temos:

a13 = a1 . q12

substituindo os valores do primeiro termo e da razo, encontramos :

a13 = 1. 812

Esse resultado d o incrvel nmero 68.719.476.736, ou seja, mais de 68 bilhes de bactrias !


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Resolva a equao com que o primeiro membro representa a soma dos termos e uma PG infinita: 80x + 40x + 20x + .... = 320 .

Soluo : a1 = 80x

q = 40x = 1 .

80x 2S = a1 .

1 - q

320 = 80x 160 = 8x x = 2 S{2 }1/2

1. Encontre o termo geral da P.G.(1.5,...)

Resp.: an =5

2. Determine o nmero de termos da P.G. (1,2,....,256).

Resp.: 9

3. Numa P.G. de razo 4, os termos extremos so 3 e 768. Calcule o nmero de termos .

Resp.: n = 5

4.Interpole trs meios geomtricos entre 4 e 324.

Resp.: (4,12,36,106,324)

5. Interpole quatro meios geomtricos entre 1/18 e 432.Resp.: (1/18, 1/3 , 2, 12, 72, 432 )

6. Calcule a soma dos cinco primeiros termos da P.G.

(3, 3, 3,....)

Resp.: 53

7. Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G. (1,3,9,27...)

Resp.: S10 = 295248. Calcule a soma dos termos da P.G. (2,1,1/2 ,1/4,...)

Resp.: S = 4

9. Resolva as equaes :

a) x + x + x + ... = 81 S = {54 }3 9

b) x2 - x2 + x2 - x2 .... = 6 S = {-3, 3 }

2 4 8


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MATRIZES

Matrizes so tabelas de nmeros dispostos em linhas e colunas.

MATRIZ DO TIPO ( m x n ):

Denominamos matriz do tipo ( m x n) matriz que tem m linhas e n colunas.

Exemplo: -1 2

3 4

0 3 3 x 2

a matriz do tipo 3x2, pois tem 3 linhas e 2 colunas.

As matrizes podem ser representadas das seguintes formas:

Atravs de parnteses ( ).

Atravs de colchetes [ ] .

Atravs de barras duplas || ||.

Para dar nome s matrizes usamos letra maisculas. Os elementos de uma matriz so representadospor letras minsculas, acompanhada por ndices, i ej , que indicam a linha e a coluna, respectivamente,

onde se encontra o elemento da matriz:

a i j colunalinha

EXEMPLO:

matriz -1 0 3 vamos associar a matriz

2 1 4

A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

ento : a11 = -1, a12 = 0 , a13 = 3, a21 = 2 , a22 = 1 e a23 = 4

Uma matriz pode ser genericamente representada :

( )

)

()(


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lei de formao: A = (aij ) m x n

Exemplos : escreva a matriz A = (aij ) 3x2 tal que aij = 2i j.

Soluo: a matriz 3 x 2 do tipoa11 a12

a21 a22

a31 a32

para obtermos o valor de cada elemento da matriz, basta substituir os valores de i e j na lei deformao aij = 2 i j.

Desta forma, teremos :

a11 = 2 . 1 1= 1 a21 = 2 . 2 1 = 3 a31 = 2 . 3 1 = 5

a12 = 2 . 1 2 = 0 a22 = 2 . 2 2 = 2 a32 = 2 . 3 2 = 4

portanto, 1 0

A= 3 2

5 4

MATRIZ LINHA :

a matriz que possui apenas uma linha.

EXEMPLO:

A = ( 3 -1 2 ) a matriz linha ( 1 x 3 )

MATRIZ COLUNA:

E a matriz que possui apenas uma coluna.

Exemplos:

A = 3 a matriz coluna ( 2 x 1 )

-2

MATRIZ QUADRADA:

a matriz que tem o mesmo nmero de linhas e colunas, isto , m = n.

a) 2 4

-1 3 2x2 matriz quadrada de ordem 2

)(

)(

)(

)(


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b) 1 3 0

2 1 5

4 3 2 3x3 matriz quadra de ordem 3

DIAGONAL PRINCIPAL

DIAGONAL SECUNDRIA

Diagonal principal: formada pelos elementos ( a11, a22, a23 ) com i = j

Diagonal secundria: formada pelos elementos ( a13,a22,a31).

toda matriz cujos elementos da diagonal principal so iguais unidade, Ser indicada por In,onde n a ordem da matriz.

EXEMPLO:

1 0 0

In = 0 1 0

0 0 1

1 Sabendo que a matriz C abaixo nula, determine os valores de a e b .

C = 2a + 4 0

0 3-y

Soluo: para matriz C dada seja nula, devemos ter:

2a + 4 = 0 -4 a = -2

3 y = 0 - y = -3 y = 3

duas matrizes A e B de mesma ordem, so iguais se seus elementos correspondentes forem iguais .

)(

)(

)(


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EXEMPLOS:

1) sejam as matrizes

2 3 - 4 3x 3 -y

A= 3 1 5 e B = 3 + 3z 1 5

Determine x, y e z para que A = B.

Soluo:

3x = 2 x = 2/3

-y = - 4 y = 4

3 + 3z = 3 3z = 0 z = 0

2) Dadas as matrizes A = 2 x -y e B= 2 2 , determine x e y para A = B

3 6 3 x+y

Soluo :

x y = 2

x + y = 6

2x = 8

x = 4

Substituindo x = 4 em x y = 2, obtemos y = 2. Portanto x = 4 e y = 2.

SOMA

Considerando duas matrizes A e B, do mesmo tipo, denominamos matriz soma de A e B matrizC = A + B, do mesmo tipo que A e B, de tal forma que cada um de seus elementos seja igual soma doselementos correspondentes nas matrizes A e B.

EXEMPLO:

Se A = -2 4 e B = 3 -1

3 2 5 -3

A + B = -2 + 3 4 1

3+5 2 3 , portanto , A + B= 1 3

8 -1

)( )(

)( )(

)(

)()(

)(


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SUBTRAO:

Matriz Oposta: dada a matriz A, denomina-se matriz oposta de A a matriz A, cujo elemento da linha i eda colunaj o oposto do elemento que est na linha i e na coluna j da matriz A.

EXEMPLO:

4 -3 2 -4 3 -2

Se A = 0 1 -5 , ento sua oposta A= 0 -1 5

3 -1 2 3 1 -2

considerando duas matrizes A e B, do mesmo tipo, subtrai-se a matriz B da matriz A queequivale soma da matriz A com a matriz oposta a B , isto : A B = A + ( - B ).

EXEMPLO:

Dada a matriz A = -1 4 e B= 5 2 , determine A B .

3 -2 -1 4

Soluo :

- 1 4 + -5 -2 = -6 2

3 -2 1 -4 4 -6 -B

considerando um nmero real K e uma matriz A (m x n ), multiplicar o nmero K pela matriz A

significa multiplicar todos os elementos da matriz A pelo nmero K.

EXEMPLO :

Considere a matriz A = - 2 4 e o nmero real K = 3

1 -3

soluo:

3A

=3. -2 4 -6 12

1 -3 3 -9

A operao de multiplicao efetuada multiplicando-se linha por coluna, isto ,cada elementode uma linha multiplicado pelo elemento correspondente de uma coluna e, em seguida, os produtos soadicionados.

Na multiplicao de duas matrizes A e B, o nmero de colunas de A deve ser igual ao nmero delinhas de B; o produto AB ter o mesmo nmero de linhas de A e o mesmo nmero de colunas de B.

A m x n . Bn x p = A . Bm x p.

)( )(

)( )()( )( )(

)

)( )(

(


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EXEMPLO:

Dadas as matrizes A= 2 -1 e B = -1 3 0

0 3 1 2 -1

determine AxB.Soluo:

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, Se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I ,dizemos que a matriz B a matriz inversa de A, e indicamos por A-1.

EXEMPLO:

Determinar a inversa da matriz A= 3 4

1 0

Soluo :

seja A 1 = I2

sabemos que A-1 = a b

c d

3 4 a b = 1 0 3a + 4c 3b + 4d = 1 0

1 0 c d 0 1 a b 0 1

pela igualdade de matrizes, teremos os sistemas:

3a + 4c = 1 3b + 4d = 0

a = 0 b = 1

3 . 0 + 4c = 1 4c = 1 c = 1/4

3 . 1 + 4d = 0 4d = 3 d = - 3 /4

Portanto : A 1= 0 1

1/4 -3/4

1. Dada a matriz A = 1 2 , determinar a oposta de A

-1 -4

)( )(

)(

)(( (

(

( ( ))

)

))

( )


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53

2. classificar as matrizes dadas quanto ao tipo e ordem:

a) A = 1 3 b) -2 1

0 0 0 3

4 -1

c) ( 2 4 5 ) d) A= 2

3

-1

3. sendo A = 1 0 2 e B= 3 0 1 , calcule:

-4 1 3 4 2 -1

a) A + B b) A - B c) B - A

4. Dadas as matrizes A= 1 2 e b= 4 -1 , determinar :

0 3 0 2

a) 1/3 b) 3B c)2A - 3B d)2At + 3Bt

5. Dada a matriz A= -2 5 , calcule o produto A . At

4 -16. Efetue os produtos :

a) 5 1 . 4 2 3 d) 1 3 . 4

2 -3 1 1 1 2 4 3

3 5

b) 1 2 . 5 4 e) 1 3 . 1 0 5

3 4 2 3 4 2 2 6 3

6 -1

c ) ( 1 5 8 ) . 0

1

3

Seja A matriz quadrada de segunda ordem A = a11 a12

a21 a22

(((

)

))))( (

)(

)()(

)( )

))))(

( (

(

(

( (

))

)(

( )


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Denomina-se determinante associado matriz A o nmero obtido pela diferena entre osprodutos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundria..

Representa-se em determinante de segunda ordem por: det

A = a11 a12 = a11 . a22 - a21 . a12

a21 a22

EXEMPLOS:

1) D o valor do determinante -2 1

3 4

Soluo :

-2 1 = ( -2 ) . 4 3 1 = - 8 - 3 = - 11

3 4

2) x - 2 -1 = 0

4 3

Soluo :

X 2 1 = 0

4 3

3 ( x 2 ) 4 ( - 1 ) = 0

3x 6 + 4 = 0

3x - 6 + 4 = 0

3x = 2

x = 2 / 3

S + 2/3

Regra de Sarrus:

Seja a matriz A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

||

||

||

||

| |

| |


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anota-se a matriz dada e repete-se, direita , a primeira e a segunda colunas, conforme o esquema abaixo:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

- - - + + +

multiplicando os elementos segundo cada diagonal e associando aos produtos o sinal indicado, teremos :

det A= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 - a11 . a23 . a32 - a12. a21 . a33

EXEMPLO:

Calcular o determinante da matriz A , sendo

A = 1 - 1 0

2 3 1

-2 0 4

Soluo

A = 1 - 1 0 1 -1

2 3 1 2 3-2 0 4 -2 0

MENOR COMPLEMENTAR:

Chama-se menor complementar Dij relativo a um elemento aij da matriz A o determinanteassociado matriz quadrada de segunda ordem, obtida em A, e que se obtm eliminando, em A, a linha ea coluna em que se encontra o elemento considerado.

EXEMPLO:

Seja a matriz A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13 D11 = a22 a23 eliminando a 1 linha a 1 coluna

a21 a23 a23 a32 a33 eliminando a 2 linha a 3 coluna

a31 a32 a33 D23 = a11 a12

a21 a32

| |

| || |

||


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COFATOR

Chama-se cofator de aij o nmero real que se obtm multiplicando ( - 1 ) ij pelo menor complementar deaij

Aij = ( - 1 )i + j . Dij em que Aij cofator

Da matriz anterior temos :

1 linha 1 coluna

A11 = ( - 1 )i + j . D11 = a22 a23

a32 a33

A23 = ( - 1 ) 2 + 3 . D 23 = a11 a12

a31 a32

Dada a matriz A = - 1 0 2

3 -1 1 , calcule :

4 -2 1

a) A11 b)A32

Soluo :

a) A = -1 0 2

3 -1 1

4 -2 1

a) Aij = ( - 1 ) i + j . Dij

A11 = ( - 1 )1 + 1 . D 11

A11 = 1 . -1 1

-2 1

A11 = 1

Seja matriz quadrada de ordem n indicada a seguir:

b) A = -1 0 2

3 -1 1

4 -2 1


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A32 = ( - 1 ) 3 + 2 . - 1 2

3 1

Seja matriz quadrada de ordem n indicada a seguir

a11 a12 ... ana21 a22 ... a2n

a31 a32 ... a3n

am1 am2 amn

o determinante desta matriz dado por :

det = a11A11 + a12A12 + a13A13 + ... ainAin

EXEMPLO :

Calcular o determinante da matriz A, sendo :

A= 2 -1 3

0 4 5

6 -2 1

Soluo:

Para se aplicar esse mtodo escolhe-se uma linha ou uma coluna.

Pelos elementos da primeira linha:

Det A= a11

.A11

+ a12

. a13

. A13

.

Det A = 2 (14 ) + ( - 1 ) . (+30 ) = 3 . ( - 24 )

Det A = 28 - 30 - 72

Det A = - 74

1 . Calcule o valor de :


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2. Resolva as equaes:

3. Calcule o valor dos determinantes:

4. Sendo a= -1 1 -1 e B = 3 0 1 , calcule 3a + 2b .

-2 3 -3 -1 6 2

2 0 4 -2 1 4

5. Resolva as seguintes equaes em R :

6. Dada a matriz A = -3 2 , calcule cofatores A12 e A 22 .

4 0

7. Calcule os cofatores A21, A23,A31 e A33 da matriz

0 -2 1

A= 3 2 4

-1 6 -3

8. Calcule os seguintes determinantes, aplicando o teorema de Laplace:

1 2 3 0 1 -2

a) 4 5 6 b) 3 -2 1

7 8 9 0 1 0


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AS COMBINAES

UMA FRMULA PARA O CLCULO DAS COMBINAES

Vamos supor que temos n objetos disponveis para escolha e que, destes , vamos escolher pobjetos ( p < n ). O nmero de maneiras de se fazer essa escolha chama-se combinao e representa-se

por Cp

n . Portanto, o nmero de combinaes de n elementos p a p calculado por :

Cpn = n ! .(n p )!p!

Em nosso exemplo, temos n = 5 e p = 3 . Aplicando a frmula , obtemos :

C35 = 5! = 5! = 5 . 4 . 3! = 5! . 4 = 10(5 3 )!3! 2! 3! 2! 3! 2

Vamos resolver mais alguns problemas nos prximos exemplos. Leia com ateno o enunciado,

interprete-o e tente resolver cada exemplo sozinho.

Assim voc poder verificar se realmente compreende o problema e sua soluo.

EXEMPLO

Em um hospital h apenas 5 leitos disponveis na emergncia. Dez acidentados de um nibuschegam e preciso escolher 5 para ocupar os leitos. Os outros ficariam em macas, no corredor dohospital. De quantas formas poderamos escolher 5 pessoas que ficariam nos leitos ?

Soluo:

Na realidade, os responsveis pela emergncia estudariam cada caso e escolheriam os maisgraves, mas imagine que todos tenham a mesma gravidade.

Neste caso, h duas coisa a observar : 10 pessoas, 5 sero escolhidas e a ordem em que a escolha feita no importa. Trata-se, ento , de uma combinao onde:

N = 10 ( nmeros de objetos disponveis )

P = 5 ( nmero de objetos a serem escolhidos )

Usando a frmula , temos :

C510 = 10! = 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 3 . 2 . 7 . 6 = 252(10 5 )! 5! 5! 5! 5! 5! 5 4 3 2 1

Logo, h 252 formas de escolher as 5 pessoas que iro ocupar os 5 leitos.

Exemplo

Uma pequena empresa quer formar um time de futebol e 15 funcionrios se inscreveram, dizendoque aceitam jogar em qualquer posio. De quantas formas possvel escolhe os 11 jogadores do time ?

Soluo:De 15 operrios , 11 sero escolhidos e a ordem de escolha no importa, pois queremos escolher

apenas os jogadores sem determinar as posies campo .


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Temos, ento, as caractersticas de uma combinao de 15 pessoas (n = 15) para formar gruposde 11 (p = 11).

Usando a frmula:

C1115 = 15 = 15 . 14 . 13 . 12 . 11! = 15 . 14 . 13 . 12 = 15 . 7 . 13 = 1365

(15 11 )! 11! 4 ! 11! 4 . 3 . 2 . 1

Assim , os jogadores podem ser escolhidos de 1365 formas diferentes.

EQUAES EXPONENCIAIS

Resolver uma equao encontrar os valores da incgnita que tornam a equao verdadeira. Nocaso da equao exponencial, para resolv-la, procuraremos obter sempre uma igualdade de duaspotncias de mesma base, pois sabemos que, se duas potncias de mesma base so iguais, ento, seusexpoentes tambm so iguais. Por exemplo, para resolver a equao 3x = 243, podemos decompor onmero 243, em fatores primos e escrev-lo em forma de potncia, assim:

3x=35

logo, x = 5

A soluo da equao x = 5 .

Voc ver, agora, vrios outros exemplos de resoluo de equaes exponenciais.

EXEMPLO

Resolver a equao 2x = 2.

Como j sabemos, todo nmero elevado a 1 (um) igual a ele mesmo. Ento podemos escrever:

2x = 21

logo , x = 1

A soluo da equao x = 1

EXEMPLO

Resolver a equao 5 2x = 1

Lembrando que um nmero diferente de zero, elevado a zero, igual a um, a equao pode serescrita assim:

52x = 5n 2x = 0 x = 0

A soluo da equao x = 0


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EXEMPLO

Resolver a equao 33x = 1/9

Uma frao, cujo numerador 1 (um), pode ser escrita na forma de uma potncia de expoentenegativo.

Decompondo o denominador da frao em fatores primos, temos :

33x = 1/32 33x = 3-2

3x = -2 x = - 2/3

A soluo da equao x = - 2 .3

EXEMPLO

Resolva a equao 10 x-1 = 0,001

O nmero 0,001 pode ser escrito com uma potncia de expoente negativo, logo :

10 x1 = 10 3 x 1 = -3 x = -3 + 1 x = -2

A soluo da equao x = - 2

EXEMPLO

Resolver a equao 5 2x + 1 = 5

Vamos escrever a raiz na forma de potncia de expoente fracionrio, como vimos na aula anterior :

5 2x + 1 = 5 2x + 1 =

2x = -1

2x = 1 2 2x = - x = - 2

A soluo da equao x = -

EXEMPLO

Resolva a equao 4 3x 5 = 4 x 1

Neste exemplo, as potncias j esto com as base iguais, portanto, podemos igualar diretamente seusexpoentes.

3x 5 = x 13x x = -1 + 52x = 4

x = 2


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EXEMPLO

Resolva a equao 16 x + 3 = 2 x + 3

Vamos decompor 16 e escrev-lo em forma de potncia de base 2 . Temos que 16 = 2

4

, logo:( 24 ) x + 3 = 2 x + 3 ( vamos aplicar a propriedade da potenciao de potncia )

24(x + 3 ) = 2 x + 3

2 4x + 12 = 2 x + 3 4x - 12 = x + 3

4x x = 12 + 3

3x = 15

x = 5


Em todos os exemplos apresentados at agora, poderamos ter conferido a resposta, substituindoa soluo encontrada na equao dada.

EXEMPLO

Resolva e confira a soluo da equao ( 1 ) x = 10 x 3(100)

Vamos substituir na equao 1/100 por 10 2

(10 2) = 10 x 3

10 2x = 10 x 3 - 2x = x 3

- 2x x = -3

- 3x = - 3

x = 1Vamos agora fazer a verificao. Substituindox, na equao por 1, temos :

1 = 10 1 3100

1 = 10 2 , que uma sentena verdadeira.100

logo, a soluo da equao , de fato, x = 1.


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MATEMTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas so diretamente proporcionais quando , aumentado uma dela, a outra aumenta namesma rao da primeira.

EXEMPLO:

1 hora percorre 80 km

Um automvel em 2 horas percorre 160 km

3 horas percorre 240 km

As raes entre os elementos correspondente so iguais.

1 = 2 = 3 .

80 160 240

As grandezas tempo e distncia so diretamente proporcionais.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminuina mesma rao da primeira.

REGRA DE TRS SIMPLES

um processo prtico para resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionaise inversamente proporcionais.

RESOLUO DE PROBLEMAS

Para resolver problemas envolvendo regra de trs deve-se proceder da seguinte maneira :

- Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido.

- Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido contrrio.

EXEMPLO

1 ) Com 14 litro de tinta, podemos pintar, uma parede de 35m 2.Quando litros so necessrios parauma parede de 15m2.

Soluo: Litros m2

14 35

x 15

14 = 35 35x = 210 x = 210 x = 6

x 15 35Resp.: 6 litros


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2) com 12 operrios podemos construir uma muro em 3 dias. Quantos dias levaro 4 operrios para fazero mesmo muro ?

soluo :

Operrios dias

14 3

4 x

4 = 3 . 4x = 12 . 3 4x = 36 x = 912 x

Resp.: 9 dias

REGRA DE TRS COMPOSTA

um processo prtico que envolve problemas com mais de duas grandezas.

EXEMPLO:

Um nibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia.Quantos quilmetrospercorrer em 10 dias, correndo 14 horas por dia ?

Soluo:

Km dias horas

2232 6 12

x 10 14

2232 = 6 . 12 .x 10 14

2232 = 72 .x 140

72 x = 2232 . 140

x = 312480 Resp.: 4340 km72

Resolva os problemas, aplicando as regras de trs simples e composta.

1) Se oito metros de tecido custam R$ 156,00 qual o preo de 12m de tecidos?

Resp.: R$ 234,00

Operrios e dias so grandezas inversamenteproporcionais. Ento, devemos inverter agrandezaoperrio

Para colocar as setas, compara-secada grandeza com aquela quecontm a incgnita x

Igual razo que contm x como produto das outras razes


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2) Viajando de automvel velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4h para fazer certo percurso.Aumentando a velocidade para 80km/h, em quanto tempo faria esse percurso ?

Resp.: 3h

3 ) Um operrio ganha R$ 396,00 por 12 dias de trabalho. Quanto receber por 25 dias de trabalho?

Resp.: 825,00

4 ) Uma obra construda em 90 dias por 12 operrios. Em quanto tempo essa obra seria construdapor 15 operrios ?

Resp.: 72 dias .

5 ) Uma torneira despeja num tanque 50 litros de gua em 20 minutos. Quantas horas levar paradespejar 600 litros ?

Resp.: 4 horas

6 ) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria umaviagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia ?

Resp.: 8 dias

7 ) Na fabricao de 20 camisas, 8 mquinas gastam 4 horas. Para 4 mquinas produzirem 15 camisas,quantas horas gastam ?

Resp.: 6 horas

PORCENTAGEM UMA RAZO CENTESIMAL REPRESENTADA PELO SMBOLO %(POR CENTO)

EXEMPLO.:

a) 8 = 8% ( l-se 8 por cento )100

b) 5 = 5% ( l-se 5 por cento )100

c) 18 = 18% ( l-se dezoito por cento)100

essa representao ( 8%, 5%, 18%, etc ) chama-se taxa porcentual.

PROBLEMAS DE PORCENTAGEM

So resolvidos atravs da regra de trs simples.

EXEMPLOS:


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1 ) Calcular 8% de R$ 700,00

Soluo:

Porcentagem valor

100 7008 x

100 = 700 100 x = 87008 x 100 x = 5600 x = 5600 x = 56

100 Resp.: R$ 56,00

MTODO PRTICO

Soluo:

8 . 700 = 8700 = 56 Resp .: R$ 56,00100 100

2) Numa escola de 900 alunos, 42% so rapazes .Calcule o nmero de rapazes.Soluo: 42% de 900 = 42 .

100

Resolvendo pelo mtodo prtico: 42 . 900 = 378 Res.: 378 rapazes100

EXERCCIOS1) Calcule as porcentagens.

a) 15 % de R$ 240,00 Resp.: 36,00

b) 100 % de R$ 3218,00 Resp.: 3218,00

c) 0,4 % de R$ 50000,00 Resp.: 200,00

d) 1 % de R$ 3000,00 Resp.: 30,00

e) 3,2 % de R$ 6000,00 Resp.: 192,00

2) Comprei uma bicicleta por R$ 500,00. Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei?

Resp.: 75,00

3) A construo de uma casa ocupar 60% de um terreno de 600m2 .Qual ser a rea restante ?

Resp.: 240km2

4) Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual foi a taxa de porcentagem dos aprovados ?

Resp.: 90%


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5) Um corretor de imveis recebeu R$ 17.000,00 correspondente a 5% de sua comisso. Qual o valor davenda ?Resp.: R$ 340.000,00

6 ) Um produto custa, R$ 400,00 e vendido por R$ 520,00. Qual a taxa de lucro ?

Resp.: 50%Obs.: Lucro : 520 400 = 120

7 ) Comprei um fogo com um desconto de R$ 60,00 que corresponde taca de 5% . Qual era o preo dofogo ?

Resp.: R$ 1.200,00

JUROS SIMPLES

Os juros simples so representados pela letraj .

EXEMPLO:

Quando se deposita numa caderneta de poupana uma certa quantia, por um determinado tempo,recebe-se uma compensao em dinheiro chamadajuros.

Representao:

Capital c (quantia empregada)

Taxa i (porcentagem)

Tempo t (perodo)

Juros j (a renda obtida)

RESOLUO DE PROBLEMAS

Os problema que envolvem juros podem ser resolvidos por meio de uma regra de trs composta.

Frmula :

j = c . i . t100

A frmula vlida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade.

Taxa Tempo

Anual Anos

Mensal Meses

Diria Dias


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EXEMPLO:

1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 6.000,00 empregado taxa de 5% ao ano, durante 4meses.

Soluo:

j = ?

c = 6.000

i = 5% ao ano

t = 4 meses

j = c . i . t j = 6000 . 5 . 4 j = 1200100 100

2) Calcule os juros produzidos por R$ 12.000,00 taxa de 48% ao ano durante 4 meses.

C = 12000 j = c . i . t j = 12000 . 4 . 4 j = 1920t = 4 meses 100 100

i = 48 % ao ano = 4 % ao ms

( 48 : 12 ) resp.: R$ 1920,00

EXERCCIOS:1) Calcule os juros de R$ 18.000,00, durante 3 meses, a uma taxa de 7% ao ms.

Resp.: 3.780,00

2) Por quanto tempo devo aplicar R$ 3.000,00 para que renda R$ 1.400,00 a uma taxa de 12% ao ms ?

Resp.: 4 meses

3) Qual o capital que produziu R$ 18.360,00, durante 17 meses, a uma taxa e 24 % ao ano ?

Resp.: 54.000,00

4 ) Quanto rendeu de juros o capital de R$ 24.000,00 emprestado taxa de 4% ao ms durante 90 dias ?

Resp.: 2.880,00

5) Por quanto tempo devo aplicar R$ 8.000,00 para que renda R$ 2000,00 taxa de 5% ao ms ?


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BIBLIOGRAFIA

01 GIOVANNI.J.Rui e BONJORNO.J.R. Matemtica 2 Grau V . 1 . 2 e 3 . So Paulo : FTD02 MATEMTICA, Novo Telecurso 2 Grau Fundao Roberto Marinho Fundao Bradesco RJ.

1985

03 BIANCHINI; Edwaldo. Matemtica 2 Grau. Vol. nico. So Paulo: Moderna

04 PIERRO NETO, Scipione Di. Matemtica 2 Grau. V. 1 , 2 e 3. So Paulo.

Obs: Outros livros podero ser consultados.

Apostila Matemática - Provão - Ensino Médio

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