Apostila Professor Linhares

Apostila de Matemática Professor: Linhares e Júlio.

[...] a Matemática procura compreender os modelos

que permeiam o mundo que

nos rodeia assim como a mente dentro de nós. […]

Assim é necessário enfatizar:

— a procurar de soluções, e não apenas a

memorização de procedimentos;

— a exploração de modelos, e não apenas a

memorização de fórmulas;

— a formulação de conjecturas, e não apenas a

resolução de exercícios.

[...] com essas ênfases, os estudantes terão a

oportunidade de estudar a Matemática

como uma disciplina exploradora, dinâmica, que se

desenvolve, em lugar

de ser uma disciplina que tem um corpo rígido,

absoluto, fechado, cheio de regras

que precisam ser memorizadas.

Shoenfeld (1992). 26/01/2011

Prof: Linhares e Júlio Página 2

Análise Combinatória

Fatorial de um número:

Definições especiais:

Arranjo simples:

n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

0!=1

1!=1

ades.possibilid 242.3.4 lugar 3º o para adespossibilid

2 elugar 2º o para adespossibilid 3 sobrando lugar, 1º o para adespossibilid 4 Existem :R

lugares? primeiros trêsos para adespossibilid as são Quantas mundo. do campeões

dos torneioo disputam Flamengo) e Paulo São Santos, (Grêmio, futebol de timesQuatro 3)

negativo. número um de fatorial existe não pois ,7 :Resposta

-8x

7x

2

151

2

2251 056

56 x 56))(1( 56)!1(

)!1)()(1( 56

)!1(

)!1(

.56)!1(

)!1( equação a Resolva 2)

1020010100100100.101100!99

!99.100.101!99.100

!99

!101!100

.!99

!101!100 expressão da valor o Calcule 1)

2

2

x

xxxx

xxxx

xxx

x

x

x

x

)!(

!,

pn

nA pn

40

17

80

34

872

202430

)!18(

!8

)!29(

!9

)!25(

!5

)!34(

!4

)!26(

!6

. Calcule )4

1,82,9

2,53,42,6

1,82,9

2,53,42,6

AA

AAA

AA

AAA


números. 3366.7.8!5

!5.6.7.8

!5

!8

)!38(

!81.

:então s,disponívei

números 8 existem ainda trêsoutros os para e (2), adepossibilid uma apenas existe algarismo

primeiro o Para 3000). e 2000 entre está (pois algarismos quatro ter deve número O :R

9? e 6,7,81,2,3,4,5, entre escolhidos distintos

algarismospor formados 3000 e 2000 entre doscompreendi números os são Quantos 6)

números. 1366472 é 5por divisíveis de número O :Resposta

números. 648.8!7

!7.8.

!7

!7.8

!7

!8.

!7

!8

)!18(

!8.

)!18(

!8.1.

0).ser pode algarismo segundo (o adespossibilid 8 existem tambémalgarismo segundo

o para E ).algarismos 2 de número um seria (senão 0 comcomeçar pode não número o pois

ades,possibilid 8 ainda existem algarismo primeiro o Para (5). adepossibilid uma apenas existe

algarismo terceiroo para :5 com terminam5por divisíveis quantos calculamos Agora

números. 728.9!7

!7.8.9

!7

!9

)!29(

!91.

:é 0 com terminamque 5por divisíveis de número o Portanto s.disponívei números 9 existem

ainda primeiros dois os para e (0), adepossibilid 1 apenas existe algarismo terceiroo Para

:0 com terminamque 5por divisíveis de número ocalcular vamos

ntePrimeirame 5. comou 0 com terminar deve ele 5, divisívelser número um Para :R

5. POR DIVISÍVEIS SEJAM c)

números. 8!7

!7.8

!7

!8

)!18(

!81.1.

:adespossibilid 8 existem ainda segundo o Para (5). adepossibilid 1 apenas existe

também terceiroo para e (2), adepossibilid 1 apenas existe algarismo primeiro o Para :R

5. COM TERMINEM E 2 COM COMECEM b)

números. 728.9!7

!7.8.9

!7

!9

)!29(

!91.

:sdisponívei números 9 existem ainda dois outros os para e (1) adepossibilid

1 apenas existe primeiro o para que sendo ,algarismos êspossuir tr pode número O :R

1. COM COMECEM a)

:que modo de repetir, os sem ),5,6,7,8,9(0,1,2,3,4 decimal sistema

do algarismos o comformar podemos distintos algarismos 3 de números Quantos 5)

3,8

1,81,8

2,9

1,8

2,9

A

AA

A

A

A


Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de

agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.

Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do

outro apenas pela natureza dos elementos componentes.

!nPn

maneiras. 1152576576 é totalo Portanto

maneiras. 57624.24!4!.4.

: também temosposição primeira na dama uma Colocando

maneiras. 57624.24!4!.4.

:maneiras de totalnúmero como temosposição primeira na cavalheiro um Colocando

C-D-C-D-C-D-C-Dou D-C-D-C-D-C-D-C

:issofazer de maneiras duas Existem:R

damas. duas e scavalheiro dois juntos fiquem não que forma

de fila, numa s,cavalheiro 4 e damas 4 dipostasser podem maneiras quantas de Calcule 8)

anagramas. 1201.2.3.4.5!5.1.1.1.1

:é totalo Então ades.possibilid 5 existem letras 5 outras as para e

(E), 1 existe só tambémúltima para e (A), adepossibilid 1 existe letra primeira a Para

E. com terminameA POR COMEÇAM b)

anagramas. 7201.2.3.4.5.6!6.1.1

:é totalo Então ades.possibilid 6 existem

letras 6 outras as para e (A), adepossibilid uma apenas existe letra primeira a Para

A. POR COMEÇAM a)

:EDITORA palavra da anagramas Quantos 8)

números. 1201.2.3.4.5!5

8? e 1,2,3,5por formadosser podem distintos algarismos 5 de números Quantos )7

44

44

5

6

5

PP

PP

P

P

P

)!(!

!,

pnp

nC pn


comissões. 52515.352

30.

!3

210

!2!.4

!4.5.6.

!4!.3

!4.5.6.7

)!46(!4

!6.

)!37(!3

!7

.. produto o é resultado O

- MOÇAS

- RAPAZES

moças? 4 e rapazes

3 comformar podemos comissões quantas moças, 6 e rapazes 7 com reunião Numa 11)

saladas. de tipos21024

5040

!4

5040

!4!.6

!6.7.8.9.10

)!610!.(6

!10

feitas?ser podem

diferentes espécies 6 contendo salada, de tiposquantos frutas, de espécies 10 Com 10)

.Chaver pode não porque resposta a é não 1 :obs

.5 :Resposta

1''

5'

2

166 056

056 06

3323

026

22

0!2

)1.(

!3

)2).(1.(

0)!2(!2

)!2).(1.(

)!3(!3

)!3).(2).(1.(

0)!2(!2

!

)!3(!3

!

.0 equação aResolver 9)

4,63,7

4,6

3,7

6,10

1,3

2

23223

2223

2,3,

CC

C

C

C

m

m

m

mmmm

mmmmmmmm

mmmmmm

mmmmm

m

mmm

m

mmmm

m

m

m

m

CC mm


Binômio de Newton

Introdução

Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².

Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3

Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)4 = (a + b)

3 (a+b) = (a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3) (a+b)

= a4 + 4a

3b + 6a

2b

2 + 4ab

3 + b

4

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de

modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da

anterior, ou seja, de .

Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo

é muito trabalhoso.

Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio,

conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico

inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são

coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de

Pascal.

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente

binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por

(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por

analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o

denominador. Podemos escrever:


É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

Exemplos:

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª)

Se n, p, k e p + k = n

então

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a

soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados

complementares.

Exemplos:

2ª) Se n, p, k e p p-1 0


então

Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel,

matemático alemão, 1487 - 1567).

Exemplos:

Triângulo de Pascal

A disposição

ordenada dos

números binomiais,

como na tabela ao

lado, recebe o nome

de Triângulo de

Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador

são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma

coluna.

Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os

números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1.

Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:


Construção do triângulo de Pascal

Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes

propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de

cada linha é igual à soma daquele

que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa

à esquerda deste último (relação

de Stifel).

Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção

do triângulo:


Propriedade do triângulo de Pascal

P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos

extremos são iguais.

De fato, esses binomiais são complementares.

P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .

De modo geral temos:

P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do

1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à

direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

1 + 4 + 10 + 20 = 35

P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma

diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao

elemento imediatamente abaixo deste.

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton

Como vimos, a potência da forma , em que a, , é

chamada binômio de Newton. Além disso:

quando n = 0 temos

quando n = 1 temos

quando n = 2 temos

quando n = 3 temos

quando n = 4 temos


Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de

Pascal. Então, podemos escrever também:

De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do

desenvolvimento do binômio de Newton:

Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade,

variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em

unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1

termos.


Fórmula do termo geral do binômio

Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos

que cada um deles é da forma .

Quando p = 0 temos o 1º termo:





..............................................................................

Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser

expresso por:


Cilindro

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um

círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento ,

paralelo à reta r :

Assim, temos:


Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os

segmentos congruentes e paralelos a r.

Elementos do cilindro

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: os círculos de centro O e O'e raios r

altura: a distância h entre os planos

geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das

circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r .


Áreas

Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua

planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos

círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :

b) área da base ( AB):área do círculo de raio r

c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases


Volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de

Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano ,

paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma

área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.

Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro

é o produto da área da base pela medida de sua altura:

Vcilindro = ABh

No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de

raio r ;

portanto seu volume é:


Esfera

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do

espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um

eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por

uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa

superfície e ao seu interior.

Volume

O volume da esfera de raio R é dado por:


Partes da esfera

Superfície esférica

A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do

es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.

Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em

torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

Cone circular

Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora

de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos

.


Elementos do cone circular

Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

altura: distância h do vértice V ao plano

geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num

ponto da circunferência

raio da base: raio R do círculo

eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo

vértice do cone

Cone reto

Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone

reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela

rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus

catetos.


Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

G2 = h2 +

R2

Secção meridiana

A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que

contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:


Áreas

Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um

setor circular de raio g e comprimento :

Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): área do setor circular

b) área da base (AB):área do circulo do raio R

c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base


Volume

Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes

de sólidos de revolução. Observe a figura:

d = distância do

centro de gravidade

(CG) da sua

superfície ao eixo e

S=área da superfície

Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma

superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:

Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela

rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:

O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação.

Logo:


CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos números naturais (IN)

Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:

IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto IN.

Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre

uma reta, como mostra o gráfico abaixo:

Conjunto dos números inteiros (Z)

O conjunto IN é subconjunto de Z.

Temos também outros subconjuntos de Z:

Z* = Z-{0}

Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}

Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z+=IN.

Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta,

conforme mostra o gráfico abaixo:

IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}


b

a

Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na

forma de fração (com o numerador e denominador Z). Ou seja, o

conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números

inteiros com as frações positivas e negativas.

Exemplos:

Assim, podemos escrever:

É interessante considerar a representação decimal de um número

racional , que se obtém dividindo a por b.

Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:

Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:

Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de

número racional.

racionais. números são exemplo,por ,2

3 ,1 ,

5

3 ,1 ,

4

52 :Então , -

}0 e , com , |{ bZbZab

axxQ

3

3

2

2

1

11 )

3

9

2

6

1

33)

b

a

75,320

75 25,1

4

5 5,0

2

1

...1666,16

7 ...428571428571,0

7

6 ...333,0

3

1


Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja,

os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois

inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de

2 e a raiz quadrada de 3:

Um número irracional bastante conhecido é o número

=3,1415926535...

Conjunto dos números reais (IR)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais,

definimos o conjunto dos números reais como:

O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são

todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:

IR* = IR-{0}

IR+ = conjunto dos números reais não negativos

IR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por

exemplo:

Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

...7320508,13

...4142135,12

IR=Q {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}


Determinantes

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas

e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome

de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;

cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando

são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o

número real a11:

det M =Ia11I = a11

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas

barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I =

5

M = [-3] det M = -3 ou I -3

I = -3

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante

associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:


Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença

entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos

elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Menor complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma

matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1,

associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que

passam por aij .

Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor

complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a

coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:


b) Sendo , de ordem 3, temos:

Cofator

Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento

aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j

.

MCij .

Veja:

a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da

matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:


Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser

obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha

ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até

m, .

Regra de Sarrus

O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um

dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:


2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal

principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos

das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal

secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos

das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal

negativo):

Assim:


Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o

Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3

Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de

uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos

empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e

depois aplicar a regra de Sarrus.

Propriedades dos determinantes

Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as

seguintes propriedades:

P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o

determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu

determinante é nulo.

Exemplo:


P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares

dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é

nulo.

Exemplos:

P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera

quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos

elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª,

temos:

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:


P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em

uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de

uma matriz muda de sinal.

Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal

principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos

dessa diagonal.

Exemplos:


P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal

secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos

elementos dessa diagonal multiplicado por .

Exemplos:

P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,

. Como:

Exemplo:

P12)

Exemplo:


Equações algébricas

(com uma variável)

Introdução

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de

igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer

"igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples:

subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10


A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "

desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade

denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser

escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a

diferente de zero.

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto

universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma

equação.

Observe este outro exemplo:

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.


Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto

verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que

variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que

tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como

conjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e

pode ser indicado por S.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes

da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à

seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número.

Determinar o valor de cada membro da equação.

Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número

considerado é raiz da equação.


Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes

das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0

=> -2 = 0. (F)


=> -1 = 0. (F)


=> 0 = 0. (V)


=> 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) -

5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 =

1 => -5 = 1. (F)


1 => -3 = 1. (F)


1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.


Função de 1º grau - Afim

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer

função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b

são números reais dados e a 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o

número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é

uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los

com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é

.

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os

dois com uma reta.


x y

0 -1

0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como

veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0,

temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto

em que a reta corta o eixo Oy.

Zero e Equação do 1º Grau

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a

0, o número real x tal que f(x) = 0.

Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0

Vejamos alguns exemplos:

1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:

f(x) = 0 2x - 5 = 0

2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:

g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10

corta o eixo das abicissas:

O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) =


0; então:

h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

Crescimento e decrescimento

Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada

vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -10 -7 -4 -1 2 5 8

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes

valores de y também aumentam. Dizemos, então que a

função y = 3x - 1 é crescente.

Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é

positivo (a > 0);

a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é

negativo (a < 0);


Justificativa:

para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde

vem f(x1) < f(x2).

para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde

vem f(x1) > f(x2).

Sinal

Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para

os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de

x para os quais y é negativo.

Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu

sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos

possíveis:

1º) a > 0 (a função é crescente)

y > 0 ax + b > 0 x >

y > 0 ax + b < 0 x <

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é

negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)

y > 0 ax + b > 0 x <


y > 0 ax + b < 0 x <

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo

para valores de x maiores que a raiz.


EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a

incógnita aparece em expoente.

Exemplos de equações exponenciais:

1) 3x =81 (a solução é x=4)

2) 2x-5

=16 (a solução é x=9)

3) 16x-4

2x-1-10=2

2x-1 (a solução é x=1)

4) 32x-1

-3x-3

x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)

Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos

importantes:

1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma

base;

2º) aplicação da propriedade:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) 3x=81

Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3

x = 3

4

E daí, x=4.

2) 9x = 1

Resolução: 9x = 1 9

x = 9

0 ; logo x=0.

5) 23x-1

= 322x

)0 e 1( aanmaa nm

4

3 logo ; 33 33 273 :Resolução

273 )4

.4 então ; 4

3

4

3

4

3

4

3

256

81

4

3 :Resolução

256

81

4

3 )3

4

3

4 34

4

4

4

4

x

x

xxx

x

xxx

x


Resolução: 23x-1

= 322x

23x-1

= (25)

2x 2

3x-1 = 2

10x ; daí 3x-1=10,

de onde x=-1/7.

6) Resolva a equação 32x

–6.3x–27=0.

Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:

32x

–6.3x–27=0 (3

x)

2-6.3

x–27=0

Fazendo 3x=y, obtemos:

y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y’=-3 e y’’=9

Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y:

y’=-3 3x’

= -3 não existe x’, pois potência de base positiva é

positiva

y’’=9 3x’’

= 9 3x’’

= 32 x’’=2

Portanto a solução é x=2

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a

variável aparecendo em expoente.

A função f:IRIR+ definida por f(x)=a

x, com a IR

+ e a1, é

chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o

conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que

zero).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar:

quando a>1;

quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores

de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:


X -2 -1 0 1 2

y 1/4 1/2 1 2 4

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)



X -2 -1 0 1 2

Y 4 2 1 1/2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que

a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem

raízes;

b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);

c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é

positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:


a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm

mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR+


x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm

sentidos diferentes)

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a

incógnita aparece em expoente.

Exemplos de inequações exponenciais:

Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos

importantes:

1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma

base;


a>1 0<a<1

am > an m>n

(as desigualdades têm mesmo sentido)

am > an m<n

(as desigualdades têm sentidos

diferentes)

)32 para satisfeita é (que 03125150.5-25 4)

-3) xpara satisfeita é (que 5

4

5

4 3)

real) x todopara satisfeita é (que 22 2)

)4 é solução (a 813 1)

x

3

12-2x 2

x

x

x

x

x

x


EXERCÍCIO RESOLVIDO:

negativos) (reais IRS Portanto

0 44

:obtemos 1, quemaior é (4) base a Como

.44 14 Porém,

14 daí, e 114.11 114).1641(

:sejaou , 114.164.44

: temos4por lados os ambos ndoMultiplica

.4

114.44

4

4 escritaser pode inequaçãoA

:Resolução

4

11444 )1

-

0

0

11

x

-

x

xx

xxx

xxx

xxx

xxx


FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é

chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o

conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR

(reais).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Temos 2 casos a considerar:

quando a>1;

quando 0<a<1.

Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em

cada caso:

3) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)



x 1/4 1/2 1 2 4

y -2 -1 0 1 2

4) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)




x 1/4 1/2 1 2 4

y 2 1 0 -1 -2

Nos dois exemplos, podemos observar que

d) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;

e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é

x=1;

f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é

Im=IR.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR


x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm

mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR


x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm

sentidos diferentes)


EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve

logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em

ambos.

Exemplos de equações logarítmicas:

7) log3x =5 (a solução é x=243)

8) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)

9) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)

10) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)

Alguns exemplos resolvidos:

1) log3(x+5) = 2

Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5

log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4

Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto

solução é S={4}.

2) log2(log4 x) = 1

Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0

log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então

log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16

Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o

conjunto solução é S={16}.

3) Resolva o sistema:

Resolução: condições de existência: x>0 e y>0

Da primeira equação temos:

log x+log y=7 => log y = 7-log x

Substituindo log y na segunda equação temos:

3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>

=> log x =3 => x=103

Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:

1log.2log.3

7loglog

yx

yx


log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=10

4.

Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto

solução é S={(103;10

4)}.

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve

logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em

ambos.

Exemplos de inequações logarítmicas:

1) log2x > 0 (a solução é x>1)

2) log4(x+3) 1 (a solução é –3<x1)

Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos

importantes:

1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma

base;


a>1 0<a<1

logam > logan m>n>0

(as desigualdades têm mesmo sentido)

logam > logan 0<m<n

(as desigualdades têm sentidos

diferentes)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) log2(x+2) > log28

Resolução: Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1)

Como a base (2) é maior que 1, temos:

x+2>8 e, daí, x>6 (S2)

O conjunto solução é S= S1 S2 = {x IR| x>6}.

Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está

representado logo abaixo no desenho:


2) log2(log3x) 0

Resolução: Condições de existência: x>0 e log3x>0

Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim:

log2(log3x) log21

Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x 1.

Como log33 = 1, então, log3x log33 e, daí, x 3, porque a base (3) é

maior que 1.

As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x IR| x 3}.


Função Quadrática

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer

função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a,

b e c são números reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0

5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a

0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor

correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6


Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c,

notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 +

bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação

do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de

Bhaskara:

Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor

obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando é zero, há só uma raiz real;

quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto

de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo

e um ponto de máximo V.


Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:


Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto

dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,

a < 0


Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a

tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação

seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos

x;

3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou

máximo (se a< 0);

4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de

simetria da parábola;

5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em

que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e

determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x

para os quais y é positivos.

Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os

seguintes casos:

1º- >0

Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1


x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o

indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x1 ou x > x2)

y < 0 x1 < x < x2

quando a < 0

y > 0 x1 < x < x2

y < 0 (x < x1 ou x > x2)


2º - = 0

quando a > 0

quando a < 0


3º - < 0

quando a > 0


quando a < 0

GEOMETRIA ANALÍTICA

Retas

Introdução

Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma

correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um

único número real e vice-versa.

Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita

(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u,

unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos

determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento

Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA

e xB , temos:


A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que

corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem

desse segmento.

Plano cartesiano

A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês

René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos

associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par

ordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa

correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano

cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (

ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.),

podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar

algebricamente representações gráficas.

Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:


Exemplos:

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)

B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão

em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos

Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles,

temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e

B(4, -5):


Equações de uma reta

Equação geral

Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de

alinhamento de três pontos.

Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e

distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P

alinhados, podemos escrever:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são

simultaneamente nulos , temos:

ax + by + c = 0

(equação geral da reta r)

Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta.

Assim, dado o ponto P(m, n):


se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;

se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

Acompanhe os exemplos:

Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e

B(2, 4).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r

do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0,

temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então P r.

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2 0

Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.


Geometria Analítica: Circunferência

Equações da circunferência

Equação reduzida

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano

eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da

circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da

circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência.

Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)

2 =r

2 é a equação reduzida da circunferência e

permite determinar os elementos essenciais para a construção da

circunferência: as coordenadas do centro e o raio.


Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (

C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y

2 = r

2 .

Equação geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da

circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de

centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )

2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Geometria Analítica - Cônicas

Elipse

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a

um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o

conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses

pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2

< 2a, temos:


A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos

focos dessa trajetória.

A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus

respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos

focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte

feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:


focos : os pontos F1 e F2

centro: o ponto O, que é o ponto médio de

semi-eixo maior: a

semi-eixo menor: b

semidistância focal: c

vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

eixo maior:

eixo menor:

distância focal:

Relação fundamental

Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2

, retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b

2 + c

2

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e

< 1.

Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito

pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.


Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da

elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

Nessas condições, a equação da elipse é:


Hipérbole

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a

um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de

hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença

das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e

F1F2 = 2c, temos:


A figura obtida é uma hipérbole.

Observação:Os dois ramos da

hipérbole são determinados por um

plano paralelo ao eixo de simetria de

dois cones circulares retos e opostos

pelo vértice:

Parábola

Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de

parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.

Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma

reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:


1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas

parabólicas.

3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o

foco.

4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de

seu eixo com velocidade constante é parabólica.


Matrizes

Introdução

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das

matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia,

Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

Química Inglês Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o

número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e

colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou

colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são

enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:


Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de

0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto,

uma matriz 3 x 3.

Veja mais alguns exemplos:

é uma matriz do tipo 2 x 3

é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus

elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que

indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam,

respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na

matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.


Na matriz , temos:

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.

Denominações especiais

Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações

especiais.

Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por

exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.

Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna.

Por exemplo, , do tipo 3 x 1

Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo

número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por

exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem

2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal

secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na

secundária, temos i + j = n + 1.

Veja:


Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)

Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é

representada por 0m x n.

Por exemplo, .

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que

não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da

diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada

por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:


Assim, para uma matriz identidade .

Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-

se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por

exemplo:

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A

corresponde à 2ª coluna de At.

Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por

exemplo,

é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 =

4, ou seja, temos sempre a ij = a ij.

Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de

todos os elementos de A. Por exemplo, .


Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se,

todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

.

Operações envolvendo matrizes

Adição

Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas

matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo

:

A + B = C

Exemplos:

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes

propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)


c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre

essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

Multiplicação de um número real por uma matriz

Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x

por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada

elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:

B = x.A

Observe o seguinte exemplo:

Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais

quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A


b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A +

B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x

+ y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

Multiplicação de matrizes

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do

produto dos sus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C

= (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos

produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos

elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz para entender como se

obtém cada Cij:

1ª linha e 1ª coluna





Assim, .

Observe que:

Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a

propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes :

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de

colunas de A for igual ao número de linhas de B:


A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de

colunas de B(n):

Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes,

valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou

( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de

ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a

multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou

seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica,

necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de

mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A .

Representamos a matriz inversa por A-1

.


Grandezas - Introdução

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.

As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.

Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o

comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou

mais grandezas. Por exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a

velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a

velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto

maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as

grandezas são o tempo e a produção.

Grandezas diretamente proporcionais

Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela

abaixo:

Tempo

(minutos) Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas

são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.

5min ----> 100Kg

10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.

5min ----> 100Kg

15 min ----> 300Kg

Assim:


Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente

proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é

igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual

a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o

relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo,

assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125

10 100

16 62,5

20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas

são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.

5m/s ----> 200s

10 m/s ----> 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta

parte.

5m/s ----> 200s

20 m/s ----> 50s

Assim:


Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a

razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os

valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual

ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra

grandeza.


POLINÔMIOS

Definição

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função

definida pela relação P(x)=anxn + an-1.x

n-1 + an-2.x

n-2 + ... + a2x

2 + a1x

+ a0.

Onde:

an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes.

n IN

x C (nos

complexos) é a variável.

GRAU DE UM POLINÔMIO:

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o

coeficiente an0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e

indicamos gr(P)=n. Exemplos:

a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.

b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.

c) P(x)=4x5+7x

4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.

Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se

obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela

relação que define o polinômio. Exemplo:

Se P(x)=x3+2x

2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:

P(x)= x3+2x

2+x-4

P(2)= 23+2.2

2+2-4

P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).

Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz

ou zero desse polinômio.


Alguns exercícios resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x

2-ax+1, calcular o valor de a.

Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.

P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)

2-a.(-3)+1 = 0

3a = -10 => a=-10/3

Resposta: a=-10/3

2º) Calcular m IR para que o polinômio

P(x)=(m2-1)x

3+(m+1)x

2-x+4 seja:

a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau

Resposta:

a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x

3 devem ser

diferentes de zero. Então:

m2-10 => m

21 => m1

m+10 => m-1

Portanto, o polinômio é do 3º grau se m1 e m-1.

b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a

zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então:

m2-1=0 => m

2=1 => m=1

m+10 => m-1

Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.

c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x

3 devem ser

iguais a zero. Então:

m2-1=0 => m

2=1 => m=1

m+1=0 => m=-1

Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.

3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se

P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).

Resolução:

Temos o polinômio: P(x)=x3+ax

2+bx+c.

Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).

Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0 => (1)3+a.(1)

2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1

P(2)=0 => (2)3+a.(2)

2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8

P(3)=30 => (3)3+a.(3)

2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3


Temos um sistema de três variáveis:

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:

a=9, b=-34, c=24

Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x

2-34x+24.

O problema pede P(-1):

P(-1)= (-1)3+9(-1)

2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24

P(-1)= 66

Resposta: P(-1)= 66

Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e

indicamos A(x)B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para

qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois

polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos

correspondentes sejam iguais.

Exemplo:

Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x

2+x+1)+(bx+c)(x+1).

Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes

do segundo membro temos:

x2-2x+1 ax

2+ax+a+bx

2+bx+cx+c

1x2-2x+1 (a+b)x

2+(a+b+c)x+(a+c)

Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

Substituindo a 1ª equação na 2ª:

1+c = -2 => c=-3.

Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:

a-3=1 => a=4.

Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:

4+b=1 => b=-3.

Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

3c3b9a

-8c2b4a

-1cba

1

2

1

ca

cba

ba


Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus

coeficientes nulos.

Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.

Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x),

que satisfaçam as duas condições abaixo:

1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0

Nessa divisão:

P(x) é o dividendo.

D(x) é o divisor.

Q(x) é o quociente.

R(x) é o resto da divisão.

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x)

é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Exemplo:

Determinar o quociente de P(x)=x4+x

3-7x

2+9x-1 por D(x)=x

2+3x-2.

Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

)( )(

)(D )(

xQxR

xxP

Se D(x) é divisor de P(x) R(x)=0

)( 12

23

15

462

1952

)( 12 23

23 197

2

2

23

23

2234

2234

xRx

xx

xx

xxx

xxx

xQxxxxx

xxxxxx


Verificamos que:

Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1.

Utilizando o método da chave temos:

Logo: R(x)=3

A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2.

Agora calculamos P(x) para x=1/2.

P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3

P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)

Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao

valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

Teorema do resto

Note que –b/a é a raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1.

Resolução: Achamos a raiz do divisor:

x+1=0 => x=-1

Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):

P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)

Resposta: R(x) = -5.

R(x)Q(x)

2

D(x)

2

P(x)

234 1)(2x 1)2x-(x 2)-3x(x 1-9x7x-xx

3

2 24

12 324

2

2

xxx

xxx

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a).


Teorema de D’Alembert

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x

2-

px+2 seja divisível por x-2.

Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.

P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19

Resposta: p=19.

Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do

polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão

de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2.

Temos:

a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1)

b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2)

E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq.

3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o

divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=cx+d

Da eq.3 vem:

P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d

Fazendo:

x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)

x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Resolvendo o sistema obtemos:

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0

2

1

rdcb

rdca


Observações:

1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:

P(a)= r1 =0

P(b)= r2 =0

Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:

2ª) Generalizando, temos:

Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) então

P(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).

Exemplo: Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá

resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?

Resolução:

0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1)

1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)

E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o

divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=ax+b

Da eq.3 vem:

P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b

Fazendo:

x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4)

x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

0 00 )( 1221

ba

ararx

ba

rrxR

baba

ararx

ba

rrxR

baba

arard

ba

rrc

com , )( :Logo

com , e

1221

1221

8

6

ba

b


Logo, b=6 e a=2.

Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6

Resposta: R(x) = 2x+6.

O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da

forma (ax+b).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio

P(x)=3x3-5x

2+x-2 por (x-2).

Resolução:

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o

divisor é de grau 1.

Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:

1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo

ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.

2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.

3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo

e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o

resultado abaixo deste.

4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º

coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o

resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da

divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do

quociente.

RESTOQ(x) QUOCIENTE DO ESCOEFICIENT

P(x) DE ESCOEFICIENTDIVISOR DO RAIZ

4 3 1 3

2)2.(3 1)2.(1 5)2.(3

2 1 5 3 2


Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinômio é do 2º grau.

De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que

admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da

seguinte forma:

Exemplos: 1) Fatorar o polinômio P(x)=x

2-4.

Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.

Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).

2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.

Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2.

Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.

Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos

decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do

2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x

2-x.

Resolução:

2x3-x

2-x = x.(2x

2-x-1) colocando x em evidência

Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x

2-x-1=0.

Uma das raízes já encontramos (x=0).

As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.

Portanto, o polinômio 2x3-x

2-x, na forma fatorada é:

2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1x

n-1+...+a1x+a0 admite n

raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2)

anxn+an-1x

n-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)


Observações: 1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes

duplas, triplas, etc.

2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de

multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)

3.


PROBABILIDADE

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de

cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos

de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade

permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um

experimento aleatório.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem

fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso.

Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem

envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento

aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

Exemplo:

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço

amostral, constituído pelos 12 elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número

par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um

número ímpar aparecem}.

2. Idem, o evento em que:

a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e

um número par: A={K2, K4, K6};


Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números

primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um

número ímpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B C = {R3,R5}

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;

B Ac C

c = {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A C =

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente

prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer

de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P =

3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus

eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de

ocorrência de um evento A é sempre:


Propriedades Importantes:

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre

(probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento

certo).

Probabilidade Condicional

Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha

alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o

espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de

ocorrência alterada.

Fórmula de Probabilidade Condicional

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e

E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).

Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato

de já ter ocorrido E1;

P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já

terem ocorrido E1 e E2;

P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato

de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um

sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a

probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os

seguintes eventos:


A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

Assim:

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a

probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem

ou não terem ocorrido.

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2

bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual será a

probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha

na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das

probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a

probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair

azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos:

10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois

houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola

vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que

ela foi reposta na urna.


Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2)

De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão

computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados

uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente

exclusivos:

P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a

probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36

= 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52

cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S)

= 52 cartas. Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52

B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) =

0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso

ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.


Progressões Aritméticas

Progressão aritmética é uma sequência numérica na qual, a partir

do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma

constante, denominada razão.

Logo abaixo temos alguns exercícios de progressões aritméticas

resolvidos.

1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.

2) Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.

rnaan ).1( :P.A. uma de geral termodo Fórmula 1

2

).(S :finita P.A. uma de termosde Soma 1 naa n

n

234 4419 4).1(19 ).1(

:é geral termoo Logo,

.4 )19(15 :razão a sencontramo ntePrimeirame

1

12

nananarnaa

rraar

nnnn

13 8- 10, 7, 4, 1, 2,- 5,- ,

:saritmético meios os interpolar basta razão, a Encontrada

3.r 7

21 217r

7831 7831 ).18(831 ).1(

:razão aencontrar devemos valores,os interpolar Para

P.A.). na termos8 existem Logo, 13. e 8- são que extremos, dois os entre

osinterpolad serão saritmético meios 6 (pois 8 ,13 ,8 :problema No

1

1

r

rrrrnaa

naa

n

n


3) Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos

vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.

(8,4,0).ou (0,4,8) :Resposta

(8,4,0) :P.A

8a (-4)-4a r -4

:4 Para 1)

(0,4,8) :P.A

0a 4-4a r -4

:4 Para 1)

: termoprimeiro o sencontramo Agora

4r 16r 16r 322r 48802r 80248

80562432448

805)624()816(3

805)4(6)4(3

: temosequação segunda na doSubstituin

80563

4 3

312 1233

80442

1233

80)2()(

12)2()(

:acima sistema no ossubstituim Então .2 que e que Sabemos

80

12

111

111

2222

222

22

22

2

1

2

1

111

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

111

1312

2

3

2

2

2

1

321

a

r

a

r

r

rrrrr

rrrrr

rrrr

rraa

rar

ara

rraarraaa

ra

raraa

raraa

raaraa

aaa

aaa


4) Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são

múltiplos de 3.

3. de múltiplos são não 155 logo 3, de múltiplos são 78 números, 233 Dos

78n 3

234n 3-3n231 1)3-(n15246 ).1(

:múltiplos de número o é que , oachar Basta 247). do antes 3 de múltiplo último o é (pois 246 ,3

13) do depois 3 de múltiplo primeiro o é (pois 15

:3 de múltiplos de número ocalcular Para

múltiplos. NÃO de número o resultado como dará que o múltiplos, de número pelo (233) números de total

número osubtrair após logo e 3, de múltiplos SÃO números quantos nteprimeiramecalcular devemos nós

3, de múltiplos são NÃO números quantoscalcular Para números. 233 existem 247 e 13 Entre

1

1

rnaa

nar

a

n

n


5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma

progressão aritmética.

6) Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:

7) Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-

86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:

8) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor

de n.

3

2 23 112

112

2)1()1(3

:P.A. umaser Para 1223

xxxx

xx

xxxx

aaaa

.4 pois 5,k Logo

4 372

372

)3()6()(

15

111

11

111

raa

raaarraa

arara

ararara

kk

k

k

47 4

188 44184

449094

4).1(9094

).1(

: termosde número oencontrar Basta

zero) quemaior ser deve a (pois 94

90

4

:dados seguintes os obtemos enunciado, Pelo

1

n

1

nnn

n

n

rnaa

Sa

a

r

n

n

11 11

12

2

231

2

5291

2

132.1.411

0132 2

)22(132

2

).(

: temossoma da fórmula na doSubstituin

2 222 2).1(2 ).1(

132 ; 2 ; 2

21

1

1

nn

nn

nnnnnaa

S

nananarnaa

Sar

n

n

nnnn

n


PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como

uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro,

multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada

razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja

suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por

exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por

definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:

a1 a2 a3 ... a20 ... an ...

a1 a1xq a1xq2 ... a1xq

19

a1xqn-1

...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral,

também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na

fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1

= 2 x (1/2)4 = 1/8

A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é

aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença

substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões

aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma

repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela


multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não

param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva,

isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de

uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão

aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente.

Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é

conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for

r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n

primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:

Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:

Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:

Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da

soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a

fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)

Temos:


Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas

condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo

na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:

Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100

O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo,

substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta x = 50.


Proporções - Introdução

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg,

e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos

afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas

razões.

Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos

que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à

razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção.


a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos:

Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.

Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36


Razões - Introdução

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart

com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta

dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do

comprimento do carro de corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão,

chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada

metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b

diferente de zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no

exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de

razão. Exemplos:

Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.

Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi

aprovado).

Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:


(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de

três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal

negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .

Observe a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o

número b é denominado consequente. Veja o exemplo:

3:5 =

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.


Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que

envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos,

portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie

em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes

em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente

proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha

com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de

energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia

produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x

(2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar

aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos

afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo,

colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz

um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo

percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade

(Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:


(2ª coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso

diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos

afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo,

colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna.


Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.


3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria

se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos

afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou

determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido

para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por

dia

Prazo para término

(dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o

prazo para término aumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos

afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:


Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas

grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5

horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas

de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que

se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação:


(2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o

número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional

(seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de

caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo

na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o

produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.



Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5

dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?


Homens Carrinhos Dias

8 20 5

4 x 16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos

aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos

inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta.

Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos

inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o

produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos.


3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de

altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o

tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o

x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente

proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente

proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses

exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas

levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas

de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão

extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para

construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16

operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas

por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele

deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média

de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.


5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de

tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com

1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?

Resposta: 2025 metros.


Sistemas Lineares

Equação linear

Equação linear é toda equação da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de

coeficientes das incógnitas

x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente

( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Veja alguns exemplos de equações lineares:

3x - 2y + 4z = 7 -2x + 4z = 3t - y + 4

(homogênea)

As equações a seguir não são lineares:

xy - 3z + t = 8 x2- 4y = 3t - 4

Sistema linear

Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.


A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados

(r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do

sistema.

Matrizes associadas a um sistema linear

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das

incógnitas do sistema.

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz

incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das

equações do sitema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

Sistemas homogêneos

Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da

equações são nulos:


Veja um exemplo:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n

incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais

soluções são chamadas não-triviais.

Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par

ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e

determinado (solução única).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8),

(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por

isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado

(infinitas soluções).

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz

simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem

solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:

a) possível e determinado (solução única);

b) possível e indeterminado (infinitas soluções);

c) impossível (não tem solução).


Sistema normal

Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de

incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema

é diferente de zero.

Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta

associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na

matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos

independentes.

Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.


b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para

n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com

coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos

independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem

solução.

Exemplo:

Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.


Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto

solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

e

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único.

Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.

Propriedades

a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema

equivalente.

Por exemplo:

e

S1 ~S2

b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K

(K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2


c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra

equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um

sistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

Dado , substituindo a equação (II) pela soma do produto

de (I) por -1 com (II), obtemos:

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.

Sistemas escalonados

Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares

em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n).

Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa

regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão

e resolução de quaisquer sistemas lineares.

Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-

nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos

antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º

incógnita diferente de zero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os

coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se

torne escalonado.


Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois

tipos de sistema:

I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:

1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º

equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o

1º coeficiente de x seja igual a 1:

Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -

2, com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3,

com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1,



Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z=-6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3 x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º

equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2




2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:


Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1


Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z

tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º

equação:






2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:


com a 3º equação

O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e

indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de

incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é

chamada grau de indeterminação (GI):

GI= n - m

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:

GI = n-m = 4-3 = 1

Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um

valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse

valor. Sendo t= , substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:

12z - 6 = 30 12z= 30 + 6 =

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:


Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:

Assim, a solução do sistema é dada por S= , com

IR.

Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é

solução para o sistema.


Trigonometria

Catetos e Hipotenusa

Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa

e os lados adjacentes de catetos.

Observe a figura:

Hipotenusa:

Catetos: e

Seno, Cosseno e Tangente

Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa: , m( ) = a.

Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c.

Ângulos: , e .

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as

seguintes razões trigonométricas:

Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto

a esse ângulo e a medida da hipotenusa.


Assim:

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto

adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:


Tangente

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto

oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Assim:

Exemplo:


Observações:

1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre

seno deste ângulo e o seu cosseno.

Assim:

2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.

3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais

positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a

hipotenusa.

As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Considere as figuras:

quadrado de lado l e diagonal

Triângulo eqüilátero de


lado I e altura

Seno, cosseno e tangente de 30º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de

30º, temos:


Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de

45º, temos:



Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de

60º, temos:

Resumindo

x sen x cos x tg x

30º

45º

60º

Apostila Professor Linhares

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