Universidade Tuiuti do Paraná - UTP

FORMAS DE REMUNERAÇÃO DO CAPITAL

O capital imobilizado por um período de tempo pode ser remunerado de diversas formas. A mais comum é a de se estabelecer uma taxa, por unidade de tempo, sobre o capital imobilizado. Daqui resultam duas variantes para a remuneração do capital, quais sejam: Juros Simples e Juros Compostos.

JUROS SIMPLES

Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial aplicado (também chamado de Principal) é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator de proporcionalidade é a taxa de juros.

TAXA DE JUROS

O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa.

Forma percentual da taxa de juro

Neste caso, a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100 (cem)

Exemplo: qual o juro que rende um capital de $1.000,00 aplicado por 1 ano à taxa de juros de 10% ao ano?

Juro =

Juro = 10,00 x 10 x 1 = $100,00

Então, é de $100,00 o total de juros que a aplicação rende em 1 ano.

Forma Unitária

Agora a taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, estamos calculando o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo referido pela taxa.

Se tivermos uma taxa de 0,12 ao ano, então a aplicação de $1,00 por um ano gera um juro de $0,12

Exemplo: O exemplo anterior, com a taxa na forma unitária (0,10 aa)

Juro = $1000,00 x 0,10 x 1 =

Juro = $100,00

Para transformar a forma percentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa na forma percentual por 100.

Forma percentual Transformação Forma Unitária

12 % aa 0,12 aa

6 % as 0,06 as

1 % am 0,01 am

De modo análogo, para transformar a taxa de juros da forma unitária para a forma percentual, basta que se multiplique a taxa de juros unitária por 100.

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DIAGRAMA DE CAPITAL NO TEMPO

Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo. Este fluxo é mais conhecido na prática como Fluxo de Caixa e pode ser representado do seguinte modo:

500 400 400

0 1 2 3 4 5 6 Entradas ( + )

Saídas ( - )

1000 300

Esta representação é muito útil para situações em que é necessário visualizar-se o que está ocorrendo quando temos entradas e saídas de capital no tempo.

As convenções empregadas são as seguintes:- A reta horizontal é um escala de tempo, com a progressão de tempo dando-se da esquerda

para a direita. Os períodos de tempo aparecem representados em intervalos contíguos, de modo que cada número representa os períodos acumulados. Podemos também utilizar a reta sem a escala, mas indicando o número de períodos envolvidos.

- As flechas significam entradas ou saídas de dinheiro. Assim, uma flecha para baixo significa uma saída ou aplicação de dinheiro ( ou um valor negativo) e uma flecha para cima significa uma entrada ou recebimento de dinheiro ( ou um valor positivo). Para que a convenção ficasse completa, o tamanho da flecha deveria representar proporcionalmente o valor do capital que está entrando ou saindo.

CÁLCULO DO JURO

Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial aplicado (também chamado de Principal) é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator de proporcionalidade é a taxa de juros.

Exemplo: Suponha-se que se tome emprestada a quantia de $1000 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10%aa. Qual será o valor a ser pago como juro?

Capital inicial ( C ) = Principal ( P ) = $1000Taxa de juro ( i ) = 10%aaNúmero de períodos ( n ) = 2 anos

Primeiro juro = $1000 x 0,10 x 1 = $100,00Segundo juro = $1000 x 0,10 x 1 = $100,00

O juro total é igual a

Jurototal = J1 + J2 = 100,00 + 100,00 = $200,00

Pode-se também:J = C i nJ = 1000 x 0,1 x 2 = $200,00

J = C.i.n é a fórmula básica para o cálculo de juro em um regime simples de capitalização.

Um fator importante diz respeito ao fato de que o prazo de aplicação ( n ) deve estar expresso, nas fórmulas, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa ( i ) considerada.

MONTANTE

Define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial.

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Sendo P o principal, aplicado por n períodos e à taxa de juros i, temos o montante M como sendo

M = P.(1 + i.n)

TAXA PROPORCIONAL

Considerando-se duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadas respectivamente aos períodos n1 e n2, referidos à unidade comum de tempo das taxas.

Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ou seja:

Como em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Logo:

i1.n2 = i2..n1

Exemplo:

Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de20% ao ano são proporcionais.

i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a.n1 = 3 mesesn2 = 12 meses

que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Logo as taxas são proporcionais.

TAXA EQUIVALENTE

Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicando um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo juro.

É evidente que, no regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes. É, portanto, indiferente falar que duas taxas de juros são proporcionais ou que são equivalentes.

TEMPO EXATO E TEMPO APROXIMADO

Na contagem do número de dias entre duas datas, as duas modalidades usuais são: Tempo exato e tempo aproximado.

Tempo Exato:

Nesta contagem considera-se o número de dias do calendário.Ex.: Janeiro = 31 dias, Fevereiro = 28 ou 29 dias, Março = 31 dias.

Tempo Aproximado:

Nesta contagem, considera-se o ano comercial, em que todos os meses indistintamente têm 30

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dias, inclusive o mês de Fevereiro.

Para o caso de aplicações, conta-se a quantidade de passagens de um dia para o outro, isto é, a quantidade de dias que a aplicação “dormiu” na mão do tomador.

PERÍODOS NÃO-INTEIROS

Já foi visto que o juro e o principal se supõem devidos apenas no final do prazo de aplicação. Entretanto, podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação ( n ) não é um número de períodos a que se refere a taxa dada, sendo necessário considerarem-se frações de períodos para que não se cometa erro no valor final.

Podem-se obter soluções através de duas etapas:1ª - Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de períodos.2ª - Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente.

O juro total será igual à soma do juro referente à parte inteira de períodos com o juro da parte fracionária. O montante será a soma do principal com o juro.

Exemplo: Qual o juro e qual o montante de um capital de $1000 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses?

Solução:Em 5 anos existem 10 semestreEm 9 meses existem 1 semestre e 3 mesesLogo em 5 anos e 9 meses 11 semestre e 3 meses

Cálculo do juro:1ª etapa:J1 = 1000 x 0,12 x 11 = $1320,00

2ª etapa: cálculo do juro proporcional ao trimestre

im =

Portanto, J2 = 1000 x 0,06 x 1 = $60,00

Logo o total de juros é:

J = J1 + J2 = 1320 + 60 = $1380,00

Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente se se lembrar que 3 meses é igual a 0,5 semestres. Assim 5 anos e 9 meses equivale a 11,5 semestres

J = 1000 x 0,12 x 11,5 = $1380

Montante:

M = C + J

M = 1000 + 1380 = $2380,00

JURO COMERCIAL(OU ORDINÁRIO), EXATO E BANCÁRIO

Há três modalidades básicas de cálculo dos juros simples. Elas diferem entre si pela forma de considerar o tempo (exato ou aproximado) e a base anual de dias.

No juro comercial ou ordinário, é considerado tempo aproximado, e a base anual é de 360 dias.

No juro bancário (pela regra dos banqueiros) é considerado tempo exato (calendário), e a base anual é de 360 dias.

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No juro exato, é considerado tempo exato(ano calendário), mas a base anual é de 366 dias para o ano bissexto e 365 para não bissexto.

JURO COMERCIAL (ou Ordinário)

JURO EXATO

Exemplo: Qual é o juro exato de um capital de $10.000 que á aplicado por 40 dias e à taxa de 36%a.a.

JURO BANCÁRIO(pela regra dos banqueiros)

Observe que no numerador considera-se o tempo exato, diferentemente do denominador, em que o tempo é aproximado.

VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL

VALOR NOMINAL

É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Se após o vencimento o compromisso não for saldado, entende-se que o mesmo continuará tendo seu valor nominal, acrescido de juros e de eventuais multas por atraso.

20.000 ( Valor Nominal)

0 12 (meses)

O valor nominal da aplicação é igual a $20.000,00 no mês 12.

VALOR ATUAL

É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento.

Para calcular o valor atual é necessário especificar o valor nominal, a data de cálculo e a taxa de juros a ser utilizada na operação.

O cálculo do valor atual, pressupõe que já se tenha um compromisso que vence numa data futura.

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20.000 ( valor nominal )

0 12

VALOR FUTURO

Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento. É o mesmo que o Montante, quando a data considerada for a do vencimento da aplicação.

TAXA MÉDIA, TEMPO MÉDIO E CAPITAL MÉDIO

Cada uma das três médias, a da taxa, a do tempo e a do capital é obtida por meio do cálculo da média ponderada, em que os outros dois elementos do cálculo representam pesos.

Por exemplo: No cálculo da taxa média, o capital e o tampo são pesos, no cálculo do tempo médio, a taxa e o capital são pesos.

Exemplo: Utilizando os dados abaixo, em que os capitais, colocados às respectivas taxas, durante os tempos especificados, rendem juros totais de $357,00, calcular a taxa única (taxa média) que permita aos capitais, nos tempos especificados, renderem os mesmo juros totais.

Capital Taxa mensal Tempo(em meses) Juros$1000,00 4,5% 2 $90,00$500,00 2% 6 $60,00$2300,00 3% 3 $207,00

Soma $357,00

Cálculo da Taxa média

Taxa média =

Verificação: Calculemos os juros utilizando a taxa média encontrada.

Capital Taxa mensal Tempo(em meses) Juros$1000,00 3% 2 $60,00$500,00 3% 6 $90,00$2300,00 3% 3 $207,00

Soma $357,00

Exercícios:1) Calcular a taxa de juros trimestral proporcional ás seguintes taxas:

a) 24%aab) 36% abc) 6% as

Resp.:a) 6%atb) 54%atc) 3%at

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2) Determinar a taxa de juros anual proporcional, dadas as seguintes taxas:d) 3%ate) 27%aqf) 5%am

Resp.:a) 12%aab) 81%aac) 60%aa

3) Calcular o juro simples referente a um capital de $1000,00 aplicado conforme hipóteses a seguir:Taxa de juro Prazo

15%aa 1 ano17% aa 4 anos21%aa 5 meses26,8%aa 30 meses30,8%aa 5anos e meio38%aa 4 anos e 8 meses

Resp.:a) $150,00b) $680,00c) $87,50d) $670,00e) $1694,00f) $1773,33

4) Que montante receberá um aplicador que tenha investido $5000,00, se as hipóteses de taxas de aplicação e respectivos prazos forem:

Taxa de juro Prazo18%aa 6 meses31,8% aa 2 anos e 7 meses42%aa 4anos e 3 meses

Resp.:a)$5450,00b)$9107,50c)$13925,00

5) Qual é a taxa de juros anual cobrada em cada um dos casos abaixo, se uma pessoa aplicou o capital de $1000,00 e recebeu:

Montante Prazo$1420,00 2 anos$1150,00 10 meses$1350,00 1 ano e 9 meses

Resp.:a) 21%aab) 18%aac) 20%aa

6) Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras?Capital Inicial Montante Taxa de Juros

$800,00 $832,00 16%aa$1200,00 $2366,00 22%aa

Resp.:a)0,25 anosb)4,41668 anos

7) Uma loja vende um gravador por $1500,00 a vista. A prazo, vende por $1800,00, sendo $200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada?Resp.:23,07%aa

8) Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a

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taxa de juros for de25%aa?Resp.:20 anos

9) Em quanto tempo o montante produzido por um capital de $1920,00 aplicado a 25%aa se igual ao montante de um capital de $2400,00 aplicado a 15aa? Admitir que ambos sejam investidos na mesma data.Resp.: 4 anos

10) Se um capital de $2000,00 rendeu $840,00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de juros equivalente trimestral?Resp.:5,25%at

11) Uma pessoa aplicou $1500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de $3000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu?Resp.:10%as

12) A quantia de $1500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% aa pelo prazo de 100 dias. Qual será o juro desta aplicação se for considerado:

a) juro comercial?b) juro exato

Resp.:a)$175,00b)$172,60

13) Um capital de $2500,00 foi aplicado à taxa de 25%aa em 12 de fevereiro de 19X5. Se o resgate foi efetuado em 3 de maio de 19X5, qual será o juro comercial recebido pelo aplicador?Resp.:$138,89

14) Um capital de $5000,00 rendeu $625,00 de juro. Sabendo-se que a taxa de juro contratada foi de 30%aa e que a aplicação foi feita dia 18 de março de 19X6, pergunta-se qual foi a data de vencimento, se:

a) considerou-se juro comercial;b) considerou-se juro exato

Resp.:a) 150 diasb) 152 dias

15) Qual é o valor nominal de uma Nota Promissória de$7575,76, assinada hoje com vencimento daqui a 10 meses, se a taxa de aplicação for de 38,4% aa?Resp.:$10000,00

16) O valor de uma Nota Promissória é de $4770,00. Qual é seu valor atual 3 meses antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24%aa?Resp.:$4500,00

17) Certa pessoa aplicou $10000,00 à taxa de 29%aa pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercado for de 32%aa na ocasião da transferência?Resp.:$11558,54

18) Calcular os juros e o montante de $4.000,00 aplicados à taxa de 3%am durante 4 mesesResp.: $4480,00

19) A que taxa o capital de $1500,00 produz, em cinco meses, juros de $187,50?Resp.: 2,5%am

20) Durante quanto tempo a importância de $2000,00 deve ficar aplicada à taxa de 0,05%ad, para produzir juros de $40,00?Resp.: 40 dias

21) Que capital devo aplicar para obter, em 60 dias, à taxa diária de 0,15%, juros de $207,00?Resp.: $2300,00

22) Em quanto tempo um capital colocado à taxa de 40% aa rende juros simples iguais a seu valor?

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Resp.: 2,5 anos

23) O preço à vista de determinado televisor é $800,00. Entretanto, em dois pagamentos, com entrada, na ocasião de $200,00, e outro em 60 dias, o preço sobe para $824,00. Qual é a taxa cobrada no parcelamento?Resp.: 0,02 ou 2%am

24) Qual é a opção de aplicação a juros simples mais vantajosa: aplicar um capital a 5%am ou aplicar, durante o mesmo tempo, 1/4 desse capital a 45% aa e o restante a 6,5%am?Resp.: A segunda opção, que representa uma taxa de 69,75%aa

25) O capital de $3450,00, aplicado em 10 de janeiro de 1996, à taxa de 5% am, para render $480,74 de juros simples exatos, até que data deverá permanecer aplicado?Resp.: 4 de abril de 1996 (85 dias)

26) Calcular o juros simples (pela regra dos banqueiros) do capital de $755,00 aplicado à taxa de 4,5%am, de 8 de janeiro a 25 de março de 1997?Resp.: $86,07

27) O capital de $7600,00, aplicado em 6 de janeiro de 1992, à taxa de 22,5%aa, para render $570,00 de juros simples ordinários, até que data deverá permanecer aplicado?Resp.: 6 de maio de 1992 (120 dias)

28) Calcular os juros simples exatos, ordinários e pela regra dos banqueiros, para um capital de $4500,00 colocado à taxa de 30%as(ao semestre), no período de 10 de janeiro a 10 de abril de 1996?Resp.: juros exatos = 671,31Juros ordinários = 675,00Juros bancários = 682,50

29) Foram aplicados, na mesma data, os seguintes capitais: $570,00 a 4% am, em dois meses, $4500,00 a 3,5%am em 3 meses e $520,00 a 3%am em 60 dias. Objetivando estabelecer vencimento único para as 3 aplicações, calcular o tempo médio, ou seja, em quantos dias esses capitais colocados às respectivas taxas renderão os mesmos juros totais.Resp.: 84 dias aproximadamente

30) Puseram-se a render juros três capitais a saber: $2660,00 a 4,5%am, em 45 dias, $1200,00 a 5%am em 60 dias, e $1250,00 a 3,5%am em 3 meses. Calcular a taxa média.Resp.: 4,25%am aproximadamente.

31) Coloquei certa quantia a juros simples à taxa de 2%am. Após dois anos obtive um montante de $7400,00. Qual foi a quantia aplicada?Resp.: $5000,00

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