apostila_calculoI

8/2/2019 apostila_calculoI

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Funes Reais de Varivel Real:Limites, Continuidade e Clculo Diferencial

Jos Antnio Caldeira DuarteDepartamento de Matemtica

Escola Superior de Tecnologia de Setbal

Fevereiro de 2005


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ndice

1 Limite 21.1 Definio de limite segundo Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Definio de limite segundo Heine . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Extenso da definio de limite aos casos de a = e l = 101.5 lgebra dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Continuidade 152.1 Definio de continuidade segundo Cauchy . . . . . . . . . . . 15

2.2 Prolongamentos por continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Propriedades das funes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Clculo diferencial 273.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Interpretao geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.2 Aplicaes fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.3 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.4 Diferenciabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Regras de derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Teoremas fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5 Derivadas de ordem superior primeira . . . . . . . . . . . . . 483.6 Frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7 Monotonia, extremos de funes, concavidades e pontos de

inflexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7.1 Monotonia e extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7.2 Concavidades e pontos de inflexo . . . . . . . . . . . . 55

3.8 Assimptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.9 Estudo de uma funo e esboo do grfico . . . . . . . . . . . 59

1


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1 Limite

Podemos afirmar que o conceito fundamental no qual toda a anlise matemticase estrutura o conceito de limite!

Dada uma funo f : D IR IR, e sendo a um ponto de acumulaode D, diz-se que a funo f tende para um limite l IR, quando x tendepara a, e escreve-se simbolicamente

limxa

f(x) = l,

se f(x) estiver to perto quanto se queira de l, para todos os pontos x ondea funo esteja definida, e suficientemente prximos de a.

1.1 Definio de limite segundo Cauchy

A primeira definio formal de limite que iremos apresentar deve-se a Cauchy.Diz-se que a funo f tende para um limite l IR, quando x tende para

a (ponto de acumulao de D), se e s se, qualquer que seja o nmero realpositivo existir um nmero real , tambm positivo, tal que, sempre quex seja um ponto pertencente a D\{a} e verificar a condio |x a| < , setenha |f(x) l| < .

Simbolicamente a proposio

limxa

f(x) = l,

pode ser escrita

> 0 > 0, x (x D\{a} |x a| < = |f(x) l| < ) .Analisemos agora com algum detalhe esta definio.Qualquer que seja o valor fixado, ele vai definir uma vizinhana de l,

V (l) .

( ) lxf )(a-xD\{a}xx00 ( ) lxf )(a-xD\{a}xx00 ( ) lxf )(a-xD\{a}xx00

.

E para esse , ter que existir sempre uma vizinhana de a V (a) ,

( lxf )(a-xD\{a}xx00 ( lxf )(a-xD\{a}xx00 ( lxf )(a-xD\{a}xx00

2


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tal que, sempre que x pertena ao domnio de f e a esse vizinhana de a

( lxf )(a-xD\{a}xx00 ( lxf )(a-xD\{a}xx00 ( lxf )(a-xD\{a}xx00

a sua imagem f(x) pertence vizinhana de l.

( ) lxf )(a-xD\{a}xx00 ( ) lxf )(a-xD\{a}xx00 ( ) lxf )(a-xD\{a}xx00.

O conceito de limite pode facilmente ser interpretado geometricamente.

l

a

l

a

Figura 1: O grfico de uma funo real de varivel real numa vizinhana doponto (a, l) .

Considere-se uma vizinhana arbitrria de l, V (l) , (figura 2).

ll-

l+

a

ll-

l+

a

Figura 2: Uma vizinhana arbitrria de l, V (l) .

A definio de limite :

todos os pontos x suficientemente perto de atero as suas imagens em V (l) .

3


5/63

Neste caso, comecemos por ver quais os pontos que tm por imagem l +

e l ,(figura 3).

ll-

l+

a a2a1

ll-

l+

a a2a1

Figura 3: Os objectos das imagens l e l .

Faamos agora

= min {d(a1, a), d(a2, a)} = d(a1, a)

e construamos a vizinhana de a, V (a) .Todos os pontos que pertencem a V (a) tm imagem em V (l) , (figura

4).

ll-

l+

aa+a-

ll-

l+

aa+a-

Figura 4: Todos os pontos que pertencem a V (a) tm imagem em V (l) .

O significado intuitivo desta definio o de que, se considerarmos apenasvalores de x suficientemente prximos de a, os valores correspondentes def(x) estaro to prximos quanto se queira de l.

Exemplo 1 A figura 5 representa o grfico da funo f(x) = 2x; vejamos oque significa lim

x12x = 2.

4


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-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5 0.5 1 1.5 2x

Figura 5: O grfico da funo f(x) = 2x.

De acordo com a definio apresentada anteriormente afirmar-se que

limx1

2x = 2

equivalente a

> 0 > 0, x (x D\{1} |x 1| < = |2x 2| < ) .Faamos, por exemplo,

= 0.5;

existir um nmero > 0 de tal forma que a implicao anterior seja ver-dadeira?

Comecemos por ver qual o intervalo definido pela condio

|2x 2| < 0.5.Trata-se do intervalo

]1.5, 2.5[.

Vejamos agora quais os pontos do domnio da funo cujas imagens soos extremos desse intervalo. 2.5 = 2x x = 1.25

1.5 = 2x x = 0.75 .

Fazendo = 0.25 torna-se evidente (ver figura 6) que para todos os valoresde x que satisfaam a condio

|x 1| < 0.25se tem

|2x 2| < 0.5.

5


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-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5 0.5 1 1.5 2x

1.250.75

2+=

2-=

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5 0.5 1 1.5 2x

1.250.75

2+=

2-=

Figura 6: As vizinhanas V0.25(1) e V0.5(2).

Para demonstrar quelimx1

2x = 2,

isto ,

> 0 > 0, x (x D\{1} |x 1| < = |2x 2| < ) ,

comecemos por majorar |2x 2| por uma funo de |x 1| .Neste caso,

|2x 2| = 2 |x 1| .Ora, se

|x 1| < = 2

,

conclumos que

|2x 2| = 2 |x 1| < 2 = 22

= .

Temos ento demonstrado que para qualquer fixado, sempre poss-vel definir um nmero real positivo , igual a /2, tal que, sempre que umnmero x pertena ao domnio da funo e vizinhana de 1, a sua imagempertencer vizinhana de 2.

1.2 Definio de limite segundo Heine

Iremos agora apresentar uma outra definio de limite, a definio de limi-te segundo Heine, que se demonstra ser equivalente definio de limitesegundo Cauchy.

Dada uma funo f : D IR IR, e sendo a um ponto de acumulaode D, diz-se que a funo f tende para um limite l, quando x tende para a,

6


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se e s se para qualquer sucesso real de termos de D convergente para a

(por valores distintos de a, isto , a partir de certa ordem, xn 6= a),

xn a,

se tenhaf(xn) l.

Esta definio especialmente til para provar a no existncia de limite;de facto, se conseguirmos definir duas sucesses convergentes para o mesmovalor a de tal forma que as sucesses transformadas convergem para valoresdistintos, fica provado que a funo no tem limite.

Exemplo 2 Considere-se a funo f : IR\{0} IR definida por

f(x) = sin1

x.

As sucessesxn =

1

ne

yn =1

2

+ 2n

convergem ambas para zero.No entanto, as sucesses transformadas

f(xn) = sin11n

= sin n = 0 0

ef(yn) = sin

11

2+2n

= sin

2+ 2n

= 1 1

covergem para valores distintos, pelo que no existe limite da funo f

quando x tende para zero.A figura 7 ilustra este exemplo.

7


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-1

-0.5

0

0.5

1

-0.2 -0.1 0.1 0.2x

Figura 7: O grfico da funo f(x) = sin 1x

.

1.3 Limites laterais

Vamos agora considerar o caso do limite de uma funo no ponto a relativoa um conjunto que resulte da interseco do domnio da funo com um dosintervalos ]a, +[ e ] , a[1.

Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D

]a, +

[

(quando existe) chama-se limite de f no ponto a direita ou limite def(x) quando x tende para a por valores superiores e simbolicamenteescreve-se

limxa+

f(x).

A proposiolimxa+

f(x) = l

poder portanto ser representada simbolicamente por

> 0

> 0,

x ((x

D

a < x < a + ) =

|f(x)

l| < ) .

De forma idntica, ao limite de f(x) quando x tende para a relativo aoconjunto D] , a[ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a esquerda ou limite de f(x) quando x tende para a por valoresinferiores e simbolicamente escreve-se

limxa

f(x).

1 claro que s poderemos falar deste limite se o ponto a for ponto de acumulao dainterseco considerada.

8


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Tendo em ateno a definio de limite segundo Heine, torna-se claro que

s existir limxaf(x) se os limites laterais esquerda e direita existirem eforem iguais.

Exemplo 3 Considere-se a funo definida do seguinte modo:

f(x) =

x2 + 1, se x 0x2, se x < 0

Neste caso, e como a figura 8 ilustra,

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 1 2 3x

Figura 8: Os limites laterais no ponto zero so diferentes.

limx0f(x) = 0

elimx0+

f(x) = 1;

podemos pois concluir que no existe limx0

f(x).

Para provar quelimx0+

f(x) = 1

teremos que provar que

> 0 > 0, x(x D 0 < x < 0 + ) = x2 + 1 1 < .Ora

x2 + 1 1 = x2 = |x| |x| < = 2.

Fazendo =

fica demonstrado que, sempre que

0 < x < ,

9


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se tem x2 + 1 1 = x2 = |x| |x| < = 2 = .Analogamente, para provar que

limx0

f(x) = 0

teremos que provar que

> 0 > 0, x(x D 0 < x < 0) =x2 0

< .

Ora x2 0 = x2 = |x| |x| < = 2.Fazendo

=

fica demonstrado que, sempre que

< x < 0,

se tem

x2 0

= x2 = |x| |x| < = 2 = .

1.4 Extenso da definio de limite aos casos de a = e l =

As definies de limite at agora apresentadas restringiram-se ao caso de ae l serem ambos reais. Vamos ento extender essas definies aos casos dea = ou l = .

A primeira situao que iremos tratar a de a = + e l ser um nmeroreal.

A proposiolim

x+f(x) = l e l IR

equivalente a

> 0M > 0, x (x D x > M) = |f(x) l| < .

Podemos interpretar geometricamente esta definio do seguinte modo:qualquer que seja a vizinhana de l considerada, sempre possvel determi-nar um nmero real M tal que, para todos os nmeros reais maiores que M

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e pertencentes ao domnio da funo, as suas imagens estaro na vizinhana de l.

A funo f(x) = 3x2

x2+1, cujo grfico est representado na figura 9 tende

para 3 quando x tende para infinito.

0

1

2

3

4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

Figura 9: O grfico da funo f(x) = 3x2

x2+1.

No caso de a = + e l = +,

limx+

f(x) = +L > 0M > 0, x (x D x > M) = f(x) > L.

A figura 10 ilustra esta situao. A funo f(x) = ex 1 tende para maisinfinito quando x tende para mais infinito.

-1

0

1

2

L

4

5

-1 -0.5 0.5 1 M 2x

-1

0

1

2

L

4

5

-1 -0.5 0.5 1 M 2x

Figura 10: O grfico da funo f(x) = ex 1.

Se a for um nmero real e l = +, a proposiolimxa

f(x) = + e a IR

equivalente a

L > 0 > 0, x (x D\{a} |x a| < ) = f(x) > L.

Na figura 11 est representado o grfico da funo f(x) =

1x1

e claro

que, qualquer que seja o nmero real L fixado, possvel determinar uma

11


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vizinhana de 1, de tal modo que, para todos os pontos dessa vizinhana,

as suas imagens so maiores que L.

0

5

10

15

20

0.5 1 1.5 2

L

1+1-0

5

10

15

20

0.5 1 1.5 2

L

1+1-

Figura 11: O grfico da funo f(x) = 1x1 .1.5 lgebra dos limites

Proposio 1 (Unicidade do limite) O limite de uma funo quando e-xiste nico.

Dem. Para demonstrar este resultado admitamos que existem dois nmerosreais, b e b0, tais que

limxa

f(x) = b

elimxa

f(x) = b0.

De acordo com a definio de limite segundo Heine teremos

xn, xn a f(xn) b

exn, xn a f(xn) b0.

Ento.f(xn) f(xn) = 0

ef(xn) f(xn) b b0

concluindo-se queb b0 = 0 b = b0.

12


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Proposio 2 Sejam f, g e h funes reais de varivel real definidas nummesmo intervalo I e tais que

f(x) g(x) h(x), x I.

Sendo a um ponto interior de I, se

limxa

f(x) = limxa

h(x) = b,

entolimxa

g(x) = b.

Dem. Como exerccio.

Exemplo 4 Esta proposio pode ser utilizada para demonstrar um resul-tado muito conhecido,

limx0

sin x

x= 1.

Tendo em considerao a figura 12

Figura 12: O crculo trigonomtrico.

e comparando as reas dos tringulos OAB, OAC e do sector circularOAB, podemos concluir que, se 0 < x <

2,

1

2sin x 0 > 0, x (x D |x a| < = |f(x) f(a)| < ) ,

ou mais simplesmentelimxa

f(x) = f(a).

15


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Analisemos agora com algum detalhe esta definio.Qualquer que seja o valor fixado, ele vai definir uma vizinhana de f(a),

V (f(a)) .

( ) )()(a-xDxx00 afxf( ) )()(a-xDxx00 afxf( ) )()(a-xDxx00 afxf

E para esse , ter que existir sempre uma vizinhana de a, V (a) ,

( ) )()(a-xDxx00 afxf( ) )()(a-xDxx00 afxf

tal que, sempre que x pertena ao domnio de f e a esse vizinhana de a


a sua imagem f(x) pertence vizinhana de f(a).


O conceito de continuidade pode tambm ser facilmente interpretado geo-metricamente tal como aconteceu com o conceito de limite.

f (a)

a

f (a)

a

Considere-se uma vizinhana arbitrria de f(a), V (f(a)) .

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f (a)

f ( a ) +

a

f ( a ) -

a1 a2

f (a)

f ( a ) +

a

f ( a ) -

a1 a2

A condio de continuidade de f em a :

todos os pontos x suficientemente perto de a

tero as suas imagens em V (f(a)) .Neste caso, comecemos por ver quais os pontos que tm por imagem

f(a) + = f(a1) e f(a) = f(a2).

f (a)

f ( a ) +

a

f ( a ) -

a1

a2

f (a)

f ( a ) +

a

f ( a ) -

a1

a2

Faamos agora

= min {d(a1, a), d(a2, a)} = d(a1, a)

e construamos a vizinhana de a, V (a) .

f (a)

f ( a ) +

a

f ( a ) -

a1 a2

f (a)

f ( a ) +

a

f ( a ) -

a1 a2

Todos os pontos que pertencem a V (a) tm imagem em V (f(a)) .

Exemplo 7 Considere-se a funo f definida por f(x) = 5x + 1.Esta funo contnua em qualquer ponto x0 pertencente a IR.Os pontos (x, y) que verificam a condio

f(x0) < y < f(x0) +

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formam uma faixa horizontal J de largura 2 que contm (x0, f(x0)).

-1

0

1

2

-1 1 2x

x0

f(x0)

f(x0)+

f(x0)-

-1

0

1

2

-1 1 2x

x0

f(x0)

f(x0)+

f(x0)-

Figura 13: A faixa J.

A continuidade de f em x0 significa que ser possvel construir uma outrafaixa vertical I, definida por

x0 < x < x0 +

de tal forma que qualquer ponto do grfico de f que esteja em I tambmestar em J.

-1

0

1

2

6

7

-1 1 2 3x

x0

f(x0)

f(x0)+

f(x0)-

-1

0

1

2

6

7

-1 1 2 3x

x0

f(x0)

f(x0)+

f(x0)-

Figura 14: A faixa I.

Na prtica, provar que esta funo contnua, por exemplo em x = 5,

significa que qualquer que seja o valor de que se tome, ter que ser possveldefinir um outro valor > 0 tal que, para qualquer ponto x pertencente aodomnio de f e verificando a condio |x 5| < , se tenha |f(x) f(5)| < .

Como calcular esse valor ?

|f(x) f(5)| = |5x + 3 28| = |5x 25| = 5 |x 5| .

Quando |x 5| < , tem-se

|f(x) f(5)| < 5.

18


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Tomando para um valor inferior a 5

, resulta que

|f(x) f(5)| < 55

,

isto ,|f(x) f(5)| < .

Podemos pois concluir que a funo f contnua em x = 5.

Exerccio 1 Prove que a funo f(x) = x2 contnua no ponto x = 2.

Soluo 1 O grfico da funo a parbola da figura 15 .

0

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4x

Figura 15: O grfico da funo f(x) = x2.

O que se pretende provar que

> 0 > 0, x (x D |x 2| < = |f(x) 4| < ) .Tendo em conta que

|f(x) 4| =x2 4

= |x + 2| |x 2| == |4 + (x 2)| |x 2| (4 + |x 2|) |x 2| (4 + ),

e escolhendo = 2 + + 4, a raiz positiva de (4 + ) = , podemosconcluir que

|f(x) 4| 0

ef(1) = 8 < 0.

Ento f(1) f(0) < 0;aplicando o teorema de Bolzano (a funo f contnua no intervalo [1, 0]),podemos garantir a existncia de um ponto pertencente ao intervalo [1, 0]onde a funo se anula, isto , a equao dada tem uma soluo real.

Teorema 7 (de Weirstrass) Qualquer funo contnua num conjunto fechadoe limitado tem mximo e mnimo nesse conjunto.

De notar que no sendo satisfeita alguma das condies do teorema

a funo ser contnua

o conjunto ser fechado

o conjunto ser limitado

no se pode garantir a existncia de mximo e de mnimoAs figuras seguintes ilustram o que acabou de ser referido.

Se no se exigisse a continuidade a funo poderia no ter mximo.

24


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a b

f ( a )

f ( b )

a b

f ( a )

f ( b )

Figura 21: Funo descontnua no intervalo [a, b] e sem mximo nesse inter-valo.

Se no se exigisse que o intervalo fosse fechado a funo poderia noter mximo.

a b

f ( a )

a b

f ( a )

Figura 22: Funo sem mximo no intervalo [a, b[.

Se no se exigisse que o intervalo fosse limitado a funo poderia noter mximo.

0

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4x

f ( x ) = x2

] -, + [

0

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4x

f ( x ) = x2

] -, + [

Figura 23: Funo sem mximo no intervalo ], +[ .

25


27/63

Observao 1 No entanto estas condies so apenas condies suficientes;

no so necessrias. Isto significa que existem funes que, embora noverificando algumas das condies do teorema, atingem mximo e mnimonum determinado intervalo.

Teorema 8 (continuidade da funo inversa) Seja f : I IR IRuma funo contnua e estritamente montona em I. Ento

1. f invertvel em I,

2. f1 estritamente montona,

3. f1 contnua.

2.3 Propriedades das funes contnuas

Proposio 9 Sendo f eg funes contnuas ema, tambm as funesf+g,f g, f g, e no caso de g(a) 6= 0, f /g, so contnuas em a.

Proposio 10 Se f uma funo contnua em a e g contnua em f(a)ento g f contnua em a.

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3 Clculo diferencial

3.1 Derivada

Definio 1 Seja f : I = [a, b] IR IR uma funo real de varivel reale c ]a, b[. A derivada da funo f no ponto c, que se representa por f 0(c) definida por

f 0(c) = limxc

f(x) f(c)x c

caso este limite exista. Deste modo f diz-se derivvel em c; ao processo depassagem ao limite que conduz obteno de f 0(c) denomina-se derivao.

Repare-se que nesta definio a derivada pode ser finita ou infinita.

Definio 2 Se uma funo f admite derivada finita num ponto c Df,diz-se diferencivel em c.

Observao 2 A funo f diz-se diferencivel num intervalo aberto]a, b[ se for diferencivel em cada ponto deste intervalo.

Para alm da notao f 0 para a derivada de uma funo f existem outrasnotaes para a derivada de y = f(x):

dy

dx; y 0;

d

dx[f(x)] ; Dx [f(x)]

A notao f 0, introduzida por Lagrange (1736-1813) no final do sculoXVIII, pe em evidncia que f 0 uma nova funo obtida a partir de f porderivao, indicando-se o seu valor num ponto genrico x por f 0(x).

A definio de derivada de uma funo num ponto c tambm pode serapresentada da seguinte forma

f 0(c) = limx

0

f(c +x) f(c)x

; .

basta que na definio anterior se efectue a mudana de varivel

x = x c.

Seguidamente iremos apresentar algumas interpretaes do conceito dederivada.

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3.1.1 Interpretao geomtrica

A equao da recta tangente a um grfico de uma funo num ponto obtm-seatravs do clculo do seu declive, por um processo de aproximaes sucessivasde rectas secantes que passem por esse ponto. Se na figura 24, (c, f(c)) oponto de tangncia e (c +x, f(c +x)) outro ponto do grfico de f, odeclive da recta secante que passa por esses dois pontos

msec =f(c +x) f(c)

c +x c =f(c +x) f(c)

x

A fraco anterior designa-se por razo incremental. O denominadorx diz-se o incremento de x, a varivel independente, e o numeradorf(c +x) f(c) = y = f o incremento de y, a varivel dependente..

x

(c, f (c ) )

(c+ x, f(c+ x))

f(c+ x) -f (c )

x

f(x)

Figura 24: A recta que passa pelos pontos (c, f(c)) e (c +x, f(c +x)).

Quando x 0 a recta secante aproxima-se da tangente, como podemosver na figura 25:

x

y

x

y

Recta tangente

Figura 25: A recta tangente.

28


30/63

Definio 3 Sef est definida num intervalo que contm c e existe o limite

limx0

y

x= limx0

f(c +x) f(c)x

= m = f0(c)

ento a recta que passa por (c, f(c)) com declive m diz-se a recta tangenteao grfico de f no ponto (c, f(c)).

A equao da recta tangente ao grfico de uma funo num ponto (c, f(c)) portanto

y f(c) = f0(c)(x c),

e a equao da recta normal2

y f(c) = 1f0(c)

(x c), se f0(c) 6= 0,

oux = c, se f0(c) = 0.

Exemplo 12 Determine o declive das rectas tangentes ao grfico de f(x) =x2 + 1 nos pontos (0, 1) e (1, 2).

Vamos considerar um ponto genrico (x, f(x)) do grfico de f.O declive da recta tangente neste ponto vem dado por

limx0

f(x +x) f(x)x

= limx0

x2 + 2x(x) + (x)2 + 1 x2 1x

= limx0

2x(x) + (x)2

x= lim

x0(2x +x) = 2x

Portanto, o declive da recta tangente ao grfico de f, em qualquer ponto(x, f(x)), dado por m = 2x (Note-se que x se mantm constante, no clculodo limite). Assim, no ponto (0, 1) o declive m = 2(0) = 0 e no ponto (

1, 2)

m = 2(1) = 2.

3.1.2 Aplicaes fsica

Velocidade Considere-se um ponto P, mvel sobre um eixo, sendo a suaposio em cada instante t determinada pela sua abcissa x = s(t). A funos(t) representa pois, o espao percorrido pelo ponto at ao instante t.

2No plano, duas rectas so perpendiculares se o declive de uma igual ao simtrico doinverso do declive da outra, isto , m1 = 1

m2

.

29


31/63

Sendo t0 e t dois instantes distintos (com t0 < t), uma medida da rapi-

dez do movimento de P no intervalo de tempo [t0, t] ser dada pelo quociente

s(t) s(t0)t t0

=espao percorrido

tempo gasto,

que designada por velocidade mdia.A velocidade instantnea de P no instante t0 ser

v(t0) = limtt0

s(t) s(t0)t t0

= s0(t0).

A velocidade instantnea de P no instante t0 portanto a derivada dafuno s(t) calculada em t0.

Acelerao De modo anlogo se pode definir acelerao mdia no intervalode tempo [t0, t]

v(t) v(t0)t t0

.

A acelerao instantnea de P no instante t0 ser

a(t0) = limt

t0

v(t) v(t0)

t t0= v0(t0).

A acelerao instantnea de P no instante t0 a derivada da funovelocidade, v(t) calculada em t0.

Observao 3 Em geral, a razo incremental

f(x) f(a)x a

pode ser interpretada como a taxa de variao mdia da funo f no intervalo[a, x] . Quando x tende para a, o limite da razo incremental representa a taxa

de variao instantnea da funo no ponto a.

Exemplo 13 f(x) = x3.A derivada da funo f no ponto 0

f0(0) = limx0

f(x) f(0)x 0 = limx0

x3

x= 0.

Geometricamente, f0(0) representa o declive da recta tangente o grficode f no ponto (0, f(0)) como a figura 26 ilustra.

30


32/63

-100

-50

0

50

100

-4 -2 2 4x

A recta tangente ao

grfico da funo

y=x3 no ponto (0,0).-100

-50

0

50

100

-4 -2 2 4x

A recta tangente ao

grfico da funo

y=x3 no ponto (0,0).

Figura 26: O grfico da funo y = x3 e a recta tangente no ponto (0, 0).

Exemplo 14 g(x) = 3

x.A derivada da funo g no ponto 0

g0(0) = limx0

g(x) g(0)x 0 = limx0

3

x

x= +.

Neste caso, g0(0) = + significa que a recta tangente ao grfico de g noponto (0, g(0)) uma recta vertical.

3.1.3 Derivadas laterais

Tendo em ateno que a derivada de uma funo definida custa de umlimite e que esse limite existe se e s se existirem e forem iguais os limiteslaterais, tem-se que

f0(a) = limxa

f(x) f(a)x a =

= limxa+

f(x) f(a)x a =

= limxa

f(x) f(a)x a .

Os limites esquerda e direita da razo incremental so o que se definecomo derivadas laterais da funo f, e representam-se por

f0e(a) = limxa

f(x) f(a)x a

e

f0d(a) = limxa+

f(x) f(a)x a .

31


33/63

Em termos geomtricos as derivadas laterais correspondem aos declives

das semitangentes direita e esquerda ao grfico da funo f no ponto deabcissa x = a.

Exemplo 15 A funo f(x) = 3

x2 no tem derivada na origem pois

f0d(0) = limx0+

3

x2

x= +

e

f0e(0) = limx0

3

x2

x= .

A figura 27 mostra que as semitangentes ao grfico da funo f(x) = 3x2no ponto zero, esquerda e direita, so a parte positiva do eixo dos yy.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-4 -2 2 4 x0

0.5

1

1.5

2

2.5

-4 -2 2 4 x

Figura 27: As semitangentes ao grfico da funo f(x) = 3

x2 no ponto zero, esquerda e direita, so a parte positiva do eixo dos yy.

Observao 4 S existe derivada de uma funo num ponto quando as semi-

tangentes esto no prolongamento uma da outra.

A definio de funo derivvel num intervalo I = [a, b] baseia-se noconceito de derivada lateral.

Definio 4 Uma funo diz-se derivvel em I = [a, b] se e s se for de-rivvel em todos os pontos do intervalo ]a, b[ e existirem f0d(a) e f

0

e(b).

32


34/63

3.1.4 Diferenciabilidade e continuidade

Existe uma relao estreita entre os conceitos de continuidade e de diferen-ciabilidade de uma funo, que vamos agora passar a analisar com o auxliode alguns exemplos.

Exemplo 16 A funo f(x) = |x 2| contnua em x = 2, como se podeobservar na figura 28

x3210-1

3

2

1

f(x)=|x-2|

m=1m=-1

f(x)

Figura 28: Uma funo contnua mas no diferencivel.

Contudo as duas derivadas laterais nesse ponto fornecem os seguintesresultados

f0e(2) = limx2


|x 2| 0x 2 = limx2

2 xx 2 = 1

e

f0d(2) = limx2+

f(x) f(2)x 2 = limx2+

|x 2| 0x 2 = limx2+

x 2x 2 = 1

No sendo os dois limites laterais iguais, podemos concluir que f no derivvel em x = 2, e o grfico de f no tem recta tangente no ponto (2, 0).

Exemplo 17 A funo f(x) = 3

x contnua em x = 0, mas como o limite infinito

limx0


3

x 0x

= limx0

13

x2= +

f no diferencivel em x = 0.

33


35/63

Embora sendo contnua num ponto, a funo do exemplo (16) no admite

derivada nesse ponto. Por outro lado a continuidade em x = 0 da funodo exemplo (17) no impede a existncia de derivada nesse ponto, que sendoinfinita exclui contudo, a possibilidade de a funo ser diferencivel em x = 0.A concluir vejamos um caso em que, embora sendo descontnua num ponto,uma funo pode ser derivvel nesse ponto:

Exemplo 18 Seja f uma funo definida por

f(x) =

1 , x < 00 , x = 01 , x > 0

.

f(x) descontnua em x = 0, pois

limx0+

f(x) = 1 6= limx0

f(x) = 1 6= f(0) = 0

No entanto

f0d(0) = limx0+

f(x) f(0)x

=1

0+= +

f0e(0) = limx0

f(x) f(0)x

=10

= +

logo existe derivada em x = 0, pois

f0d(0) = f0e(0) = +.A funo derivvel mas no diferencivel em x = 0.

Como acabmos de ver a continuidade de uma funo num ponto noimplica a sua diferenciabilidade nesse ponto; no entanto o recproco ver-dadeiro.

Teorema 11 Se f diferencivel em x = c, ento f contnua em x = c.

Dem. Para mostrar que f contnua em x = c, vamos verificar que f(x)tende para f(c) quando x

c. Sabendo que f diferencivel em x = c

temos:

limxc

[f(x) f(c)] = limxc

(x c) f(x) f(c)

x c

=

hlimxc

(x c)i

limxc

f(x) f(c)x c

= (0) [f 0(c)] = 0

Como a diferena [f(x) f(c)] tende para zero, quando x c, conclumosque lim

xcf(x) = f(c), logo f contnua em x = c.

34


36/63

Observao 5 Sabendo que uma implicao e a sua contra recproca tm o

mesmo valor lgico podemos garantir que se uma funo no contnua numponto ento tambm no diferencivel nesse ponto.

3.2 Regras de derivao

Vamos iniciar esta subseco relembrando algumas das regras de derivaomais usuais.

Considerando: u = f(x) , v = g (x) , funes diferenciveis e k e a cons-tantes reais, tem-se

k0

= 0x0 = 1(x)0 = x1, IR(sin x)0 = cos x(cos x)0 = sin x(ex)0 = ex

(ax)0 = ax ln a(ln x)0 = 1

x

(loga x)0 = 1

xloga e

(tan x)0 = sec2 x

(cot x)0

= cosec2

x(sec x)0 = sec x tan x(cosec x)0 = cosec x cot x

Teorema 12 Sef eg so funes diferenciveis no ponto a ento as funesf + g, f g e fg tambm so diferenciveis em a e

(f + g)0(a) = f0(a) + g0(a),

(f g)0(a) = f0(a) g0(a)e

(fg)0

(a) = f0

(a)g(a) + f(a)g0

(a).

Se g(a) 6= 0 tem-se que f /g diferencivel em a e

(f/g)0(a) =f0(a)g(a) f(a)g0(a)

g2(a).

Dem. Iremos apenas demonstrar o primeiro resultado apresentado j que

35


37/63

os outros so idnticos.

(f + g)0(a) = limxa

(f + g)(x) (f + g)(a)x a

= limxa

f(x) + g(x) f(a) g(a)x a

= limxa

f(x) f(a) + g(x) g(a)x a

= limxa

f(x) f(a)

x a +g(x) g(a)

x a

= lim

xa

f(x)

f(a)

x a+ lim

xa

g(x)

g(a)

x a= f0(a) + g0(a).

O teorema da derivao da funo composta justifica a tabela de derivadasque apresentamos a seguir.

Teorema 13 (Derivada da F. Composta) Seja g : D IR IR umafuno diferencivel em a e f : E IR IR diferencivel em g(a). Entof

g diferencivel em a e

(f og)0 (a) = f0 (g (a)) g0 (a) .

Dem. Designando f(g (x)) por F(x) queremos provar que F0 (a) =f0 (g (a)) g0 (a).

Ento, recorrendo definio de derivada,

F0 (a) = limxa

f(g (x)) f(g (a))x a =

= limxa

f(g (x)) f(g (a))

g (x) g (a)

g (x) g (a)

x a , com g (x) 6= g (c)(1)=

limxa

f(g (x)) f(g (a))g (x) g (a)

limxa

g (x) g (a)x a

= (2)

= f0 (g (a)) g0 (a)

Se g(x) g(a) = 0 para uma infinidade de valores de x, quando x a, necessria uma pequena alterao demonstrao,pois a passagem de (1)para (2) no vlida. (Os alunos podem consultar [1] para a demonstraocompleta deste teorema.)

36


38/63

Exemplo 19 Vamos determinar a derivada da funo (f

g) (x) =

3x2

x + 1.

Considerandou = g(x) = 3x2 x + 1

ef(u) =

u,

podemos escrever

(f g) (x) =s

3x2 x + 1| {z }u

=

u = u1

2 .

Logo,

df

dx=

df

du

du

dx=

1

2

3x2 x + 1 12| {z }

dfdu

(6x 1)| {z }dudx

=1

2

(6x 1)3x2 x + 1 .

(ku)0 = ku0

(u)0 = u1u0, IR(

u)0

= u0

2u

( n

u)0

= u0

nnun1

(eu)0

= euu0(au)0 = auu0 ln a(uv)0 = uvv0 ln u + vuv1u0

(ln u)0 = u0

u

(loga u)0 = u

0

u log a

(sin u)0 = u0 cos u(cos u)0 = u0 sin u(tan u)0 = u0 sec2 u(cot u)0 = u0cosec u0 cot u

O teorema da derivao da funo inversa que iremos apresentar a seguirpermite-nos deduzir as expresses das funes derivadas das funes trigono-mtricas inversas.

Teorema 14 (Derivao da funo inversa) Seja f : I IR IR umafuno estritamente montona e contnua em I. Se f diferencivel ema I e f0(a) 6= 0, ento f1 diferencivel em f(a) e

f10(f(a)) =

1

f0(a).

37


39/63

Em linguagem corrente e de uma forma simplificada podemos afirmar

que a derivada da funo inversa igual ao inverso aritmtico da derivadada funo!

Exemplo 20 Seja f a funo definida por

f(x) = arcsin x, x ] 1, 1[.

A funo inversa de f, f1, a funo

x = sin y, y i

2,

2 h.

Como(sin y)0 = cos y, y

i

2,

2

hpodemos concluir que

(arcsin x)0 =1

(sin y)0=

1

cos y=

=1p

1 sin2 y=

1p1 sin2 (arcsin x)

=

=1

1 x2.

Podemos deduzir de uma forma idntica as expresses que seapresentam na tabela seguinte.

(arccos x)0 = 11x2

(arcsin u)0 = u0

1u2

(arccos u)0 = u1u2

(arctan x)0 = 11+x2

(arctan u)0 = u0

1+u2

3.3 Diferencial

Seja f : I = [a, b] IR IR uma funo diferencivel em qualquer pontox ]a, b[ e x IR tal que x +x ]a, b[.

Chama-se acrscimo ou incremento da funo f, correspondente aoacrscimo x da varivel independente, diferena

f = f(x +x) f(x).

38


40/63

Como f diferencivel em x sabemos que existe e finita a derivada

nesse ponto,

f0(x) = limx0

f(x +x) f(x)x

=

= limx0

f

x,

o que nos permite escrever

f

x= f0(x) + com lim

x0 = 0

f = f0

(x)x + x com limx0 = 0

Vejamos em termos geomtricos (figura 29) o que isto significa.

x x+x

y=f(x)

ff(x)x

0

x

f(x)

f(x+x) x

x x+x

y=f(x)

ff(x)x

0

x

f(x)

f(x+x) x

Figura 29: Interpretao geomtrica do conceito de diferencial.

Repare-se que x desprezvel para valores pequenos de x, pois

limx0

x

x= limx0

= 0.

Intuitivamente podemos afirmar que para valores pequenos de x oproduto

f0(x)x

39


41/63

e o acrscimo da funo

f = f(x +x) f(x)tm valores muito prximos.

Ento razovel escrever

f f0(x)x,ou seja,

f(x +x) f(x) + f0(x)x,o que significa que o valor da funo no ponto x +x aproximadamente

igual ao valor da ordenada do ponto da recta tangente ao grfi

co de f em(x, f(x)) , e que tem abcissa x +x.Tem-se ento a seguinte definio.

Definio 5 Supondo f diferencivel em x, chama-se diferencial def emx relativamente ao acrscimo x, ao produto f0(x)x,

dxf(x) = f0(x)x,

ou, mais simplesmente, e sempre que no der origem a confuses,

df = f0(x)x.

Exemplo 21 Calcular um valor aproximado de sin 46.Tendo em ateno que

sin 46 = sin (45 + 1) = sin

4+

180

,

poderemos considerar que se pretende calcular um valor aproximado dafuno

f(x) = sin x

perto do ponto /4. Fazendo

x =

180e

f0(x) = cos x

podemos escrever

sin

4+

180

sin

4

+ cos

4

180=

=

2

2+

2

2

180 0.7194.

40


42/63

Exemplo 22 (Estimao do erro) A medida do raio de uma esfera 0,7

centmetros. Se esta medida tiver uma margem de erro de 0,01 centmetros,estime o erro propagado ao volume V da esfera.

A frmula do volume V = 43

..r3 , sendo r o raio da esfera.Assim, r = 0, 7 e0, 01 r 0, 01Para aproximar o erro propagado ao volume, derivamos V, obtendo

dV

dr= 4..r2

e escrevemos

v dV = 4r2dr = 4 (0, 7)2 (0, 01) ' 0, 06158 cm3

Poder perguntar-se agora se o erro propagado grande ou pequeno. Aresposta dever ser dada em termos relativos, isto , por comparao de dVcom V. Ao quociente

dV

V=

4r2dr43

r3=

3dr

r'

3

0, 7(0, 01) ' 0, 0429

chama-se erro relativo.

A percentagem de erro correspondente

dV

V(100) ' 4, 29 %.

3.4 Teoremas fundamentais

O primeiro resultado que iremos apresentar uma condio necessria parauma funo diferencivel num ponto atingir um extremo nesse ponto.

Teorema 15 Seja f : I = [a, b]

IR

IR uma funo diferencivel em

]a, b[ e c ]a, b[. Se f(c) extremo relativo de f entof0(c) = 0.

Dem. Faremos a demonstrao apenas para o caso de f(c) ser mximorelativo.

Neste caso existe uma vizinhana de c, V(c) =]c , c + [ tal que

f(x) f(c), x V(c).

41


43/63

Ento

f(x) f(c)x c 0, se x ]c, c + [

ef(x) f(c)

x c 0, se x ]c , c[.Passando ao limite ambos os membros das desigualdades anteriores, quando

x tende para zero, obtemos

limxc+

f(x) f(c)x c = f

0

d(c) 0, se x ]c, c + [

elimxc

f(x) f(c)x c = f

0

e(c) 0, se x ]c , c[,

o que permite concluir quef0(c) = 0.

De notar que este teorema s se aplica a pontos interiores do intervalo[a, b]. Por exemplo, a funo f(x) = x definida no intervalo [0, 1] tem mximoe mnimo nesse intervalo (teorema de Weierstrass) e no entanto f0(x) = 1 em

qualquer ponto desse intervalo!O recproco deste teorema no verdadeiro! A derivada de uma funopode ser nula num ponto e no entanto a funo pode no atingir um extremonesse ponto. o que acontece com a funo f(x) = x3 na origem (ver figura26).

Teorema 16 (de Rolle) Sejaf : I = [a, b] IR IR uma funo contnuaemI e diferencivel em ]a, b[. Sef(a) = f(b), ento existe um ponto c ]a, b[tal que f0(c) = 0.

A figura 30 ilustra geometricamente o Teorema de Rolle. Nas condies

enunciadas, existe um ponto c pertencente ao intervalo [a, b] tal que a rectatangente ao grfico da funo f no ponto (c, f(c)) uma recta horizontal(isto , com declive zero, o que equivalente a ter-se f0(c) = 0).

Dem. Pelo teorema de Weierstrass podemos garantir que a funo atingeum mximo, M, e um mnimo, m, no intervalo [a, b] . Se m = M a funo constante e portanto,

f0(x) = 0, x ]a, b[.

42


44/63

a bc

f(a)=f(b)

a bc

f(a)=f(b)

Figura 30: O teorema de Rolle.

Se M 6= m, como f(a) = f(b), pelo menos o mximo ou o mnimo s podeser atingido num ponto c do interior do intervalo [a, b] . Sendo f diferencivelem ]a, b[ tem-se que nesse ponto c,

f0(c) = 0.

Corolrio 17 Entre dois zeros de uma funo diferencivel num intervaloh pelo menos um zero da sua derivada.

As figuras 31 e 32 ilustram este corolrio do teorema de Rolle.

c2

f(c1)= f(c2)= f(c3)= 0

c3c1 c2

f(c1)= f(c2)= f(c3)= 0

c3c1

Figura 31: Entre dois zeros consecutivos desta funo existem trs zeros daderivada.

43


45/63

c

f(c)=0

c

f(c)=0

Figura 32: Entre dois zeros consecutivos desta funo existe um nico zeroda derivada.

Corolrio 18 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma funo nopode haver mais do que um zero da funo.

Teorema 19 (de Lagrange) Se f : I = [a, b] IR IR uma funocontnua em I e diferencivel em ]a, b[ ento existe pelo menos um pontoc

]a, b[ tal que

f0(c) = f(b) f(a)b a .

Dem. Em termos geomtricos podemos observar que no grfico de umafuno nas condies do teorema de Lagrange, entre dois pontos (a, f(a)) e(b, f(b)) h sempre um ponto (c, f(c)) onde a tangente paralela cordaque une os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) .

A demonstrao do resultado pode ser feita recorrendo funo auxiliar

(x) = f(x) f(b) f(a)b a (x a).

Esta funo verifica as condies do teorema de Rolle no intervalo I pois,para alm de ser contnua em I e diferencivel em ]a, b[, tem-se

(a) = (b) = f(a).

Podemos ento garantir a existncia de um ponto c ]a, b[ tal que

0 (c) = 0.

44


46/63

Como

0 (x) = f0(x) f(b) f(a)

b a ,

0 (c) = f0(c) f(b) f(a)

b a .

Ento,

0 (c) = f0(c) f(b) f(a)

b a = 0,o que permite concluir que existe um ponto c ]a, b[ tal que

f

0

(c) =

f(b)

f(a)

b a .

Vejamos agora uma outra interpretao (mecnica) do teorema de La-grange.

Seja s = s(t) a lei do movimento de um ponto mvel, isto , a funo qued para cada valor de t o espao percorrido.

A velocidade mdia entre os instantes t e t0 ser (com t > t0)

s(t) s(t0)t

t0

.

Se o teorema de Lagrange for aplicvel existir um instante t1 ]t, t0[no qual a velocidade instantnea igual velocidade mdia no intervaloconsiderado.

s0(t1) =s(t) s(t0)

t t0.

Iremos apresentar de seguida algumas consequncias do teorema de La-grange.

Corolrio 20 Nas condies do teorema de Lagrange, se f0(x) = 0, x ]a, b[ ento a funo f uma funo constante no intervalo I = [a, b].

Dem. Sejam x1 e x2 dois quaisquer pontos distintos pertencentes a I.Aplicando o teorema de Lagrange funo f no intervalo [x1, x2] podemos

garantir a existncia de um ponto c ]x1, x2[ tal que

f0(c) =f(x2) f(x1)

x2 x1.

Como f0(c) = 0 conclumos que

f(x2) = f(x1),

o que demonstra que a funo constante no intervalo I.

45


47/63

Corolrio 21 Nas condies do teorema de Lagrange, se f0(x) > 0,

x

]a, b[ ento a funo f uma funo estritamente crescente no intervaloI = [a, b].

Dem. Pretendemos demonstrar que

x1, x2 I, x1 < x2 f(x1) < f(x2).

Sejam x1 e x2 dois pontos quaisquer pertencentes a I e tais que x1 < x2.Aplicando o teorema de Lagrange funo f no intervalo [x1, x2] podemos

garantir a existncia de um ponto c ]x1, x2[ tal que

f

0

(c) =

f(x2)

f(x1)

x2 x1 .Como, por hiptese,

x2 x1 > 0e

f0(c) > 0,

conclumos quef(x2) f(x1) > 0 f(x2) > f(x1).

Corolrio 22 Nas condies do teorema de Lagrange,

f crescente em I = [a, b] f0(x) 0, x I,f decrescente em I = [a, b] f0(x) 0, x I.

Teorema 23 (de Cauchy) Se f, g : I = [a, b] IR IR so funescontnuas emI e diferenciveis em ]a, b[ e se para todo o x ]a, b[, g0(x) 6= 0,ento existe pelo menos um ponto c ]a, b[ tal que

f(b) f(a)g(b) g(a)

=f0(c)

g0

(c)

.

Dem. A demonstrao do resultado pode ser feita recorrendo funoauxiliar

H(x) = f(x) f(a)

f(b) f(a)g(b) g(a)

[g(x) g(a)] .

Esta funo verifica as condies do teorema de Rolle no intervalo I pois,para alm de ser contnua em I e diferencivel em ]a, b[, tem-se

H(a) = H(b) = 0.

46


48/63

Podemos ento garantir a existncia de um ponto c

]a, b[ tal que

H0 (c) = 0.

Como

H0 (x) = f0(x) f(b) f(a)g(b) g(a) g

0(x),

H0 (c) = f0(c) f(b) f(a)g(b) g(a) g

0(c).

Ento,

H0 (c) = f0(c) f(b) f(a)g(b) g(a) g

0(c) = 0,

o que permite concluir que existe um ponto c ]a, b[ tal quef0(c)

g0(c)=

f(b) f(a)g(b) g(a) .

Uma aplicao importante deste teorema relativa ao levantamento deindeterminaes do tipo 0

0

ou

como veremos a seguir.

Corolrio 24 (Regra de Cauchy) Sejamf eg duas funes diferenciveisem ]a, b[ (a, b finitos ou no) e verificando as seguintes condies:

1. g0 (x) 6= 0, x ]a, b[ .2. lim

xaf(x) = lim

xag (x) = 0 ou lim

xaf(x) = lim

xag (x) = +.

Nestas condies, se existir

limxa

f0 (x)

g0 (x)

ento tambm existe

limxa

f0 (x)

g0 (x)

e estes dois limites so iguais.

47


49/63

Exemplo 23 Calcule o seguinte limite:

limx+

log x

2x + 1.

Calculando directamente, obtemos uma indeterminao do tipo

.Aplicando a regra de Cauchy podemos escrever:

limx+

log x

2x + 1= lim

x+

1x

2= lim

x+

1

2x= 0

Exemplo 24 Calcule o seguinte limite:

limx0

x2 sin2 xx3

.

Tal como no exemplo anterior, vamos obter uma indeterminao. Esta do tipo

00

. Aplicando a regra de Cauchy,

limx0

x2 sin2 xx3

= limx0

2x 2sin x. cos x3x2

= limx0

2x sin(2x)3x2

Como a indeterminao permanece00

, vamos aplicar novamente a regra

de Cauchy:

limx0

2x sin(2x)3x2

= limx0

2 2(cos(2x))6x

=

e ainda outra vez,

= limx0

4sin(2x)

6= 0

3.5 Derivadas de ordem superior primeira

Dada uma funo f : D IR IR se a funo derivada, f0, for por sua vezdiferencivel no ponto a, f diz-se duas vezes diferencivel em a e chama-sesegunda derivada de f no ponto a derivada

(f0)0(a) .

A segunda derivada de uma funo representa-se por

f00(a),d2f

dx2ou D2f(a).

A derivada de ordem n da funo f define-se por induo,

f(0)(a) = f(a),

f(n+1)(a) =

f(n)0

(a).

A funo f diz-se n vezes diferencivel no ponto a se e s se existir e forfinita a derivada f(n)(a).

48


50/63

Exemplo 25 Algumas das sucessivas derivadas da funo f(x) = sin x so

f0(x) = cos x = sin

x +

2

,

f00

(x) = sin x = sin

x + 2

2

,

f00

(x) = cos x = sin

x + 3

2

,

f(4)(x) = sin x = sin

x + 4

2

.

Facilmente se demontra por induo que

f(n)(x) = sinx + n2 .De facto,

f(0)(x) = sin

x + 0

2

= sin x.

Admitindo, por hiptese, que

f(n)(x) = sin

x + n

2

,

a derivada de ordem n + 1

f(n+1)(x) =

sin

x + n)2

0 == cos

x + n

2

0

=

= sin

x + (n + 1)

2

.

3.6 Frmula de Taylor

Dada uma funo y = f(x), pretende-se agora aproxim-la por uma outraque seja mais manejvel (em termos de derivao, clculo de valores, etc).Nesta perspectiva, claro que as funes polinomiais so funes muito sim-ples: as suas derivadas so ainda funes polinomiais e para calcular o valorde um polinmio basta apenas utilizar as operaes adio e multiplicao!

Suponhamos ento que as derivadas da funo y = f(x) existem e sofinitas no ponto a pertencente ao domnio at ordem n + 1.

O que pretendemos fazer determinar um polinmio

y = Pn(x) = C0 + C1(x a) + C2(x a)2 + + Cn(x a)n

49


51/63

de grau no superior a n tal que

Pn(a) = f(a)

P0n(a) = f0(a)

P00n (a) = f00(a)

P(n)n (a) = f(n)(a)

de esperar que este polinmio seja num certo sentido uma boa aproxi-mao da funo f numa vizinhana do ponto a.

Tem-se entoPn(a) = C0 = f(a).

Calculando as sucessivas derivadas do polinmio Pn(x) at ordem n,

P0

n(x) = C1 + 2C2(x a) + + nCn(x a)n1,P

00

n (x) = 2C2 + 3 2C3(x a)2 + + n(n 1)Cn(x a)n2,...

P0

n(x) = n(n 1) . . . 3 2Cn,

concluimos que

P0

n(a) = C1 = f(a),

P00

n (a) = 2C2 = f0(a) C2 = f

0(a)

2,

...

P0

n(a) = n(n 1) . . . 3 2Cn = f(n)(a) Cn =f(n)(a)

n!.

O polinmio que obtemos portanto

Pn(x) = f(a) + f0(a)(x a) + f00

(a)2!

(x a)2 + + f(n)

(a)n!

(x a)n.

Este o chamado polinmio de Taylor de ordem n da funo f.No caso de a = 0 o polinmio chama-se polinmio de Mac-Laurin de

ordem n.Designando por Rn(x) a diferena entre a funo f(x) e o seu polinmio

de Taylor de ordem nRn(x) = f(x) Pn(x)

50


52/63

vem quef(x) = Pn(x) + Rn(x).

Para todos os valores de x, tais que Rn(x) seja pequeno, o polinmioPn(x) ser uma boa aproximao da funo f(x).

O grau de preciso dessa aproximao, isto , o erro cometido quando seaproxima a funo f(x) pelo seu polinmio de Taylor, precisamente dadopor Rn(x).

De entre as vrias expresses que se podem deduzir para calcular Rn(x)apresentamos uma devida a Lagrange,

Rn(x) =

f(n+1)()

(n + 1)! (x a)n

, ]a, x[ ,com

limxa

Rn(x)

(x a)n = 0.

Formalmente tm-se os seguintes resultados.

Teorema 25 Seja f uma funo definida num intervalo aberto I, contnuae n vezes diferencivel no ponto a I; ento, para qualquer x pertencenteao intervalo I, vlida a frmula (de Taylor):

f(x) = f(a) + f0 (a) (x a) + f00

(a)2!

(x a)2 + f000

(a)3!

(x a)3 + ... +

+f(n) (a)

n!(x a)n + Rn (x)

onde Rn (x) uma funo que verifica a condio:

limxa

Rn (x)

(x a)n = 0.

Definio 6 Chama-se Resto de Ordem n da frmula de Taylor funo

Rn (x) .

Definio 7 Chama-se erro () associado aproximao def(x) porPn (x),ao valor absoluto de Rn (x):

= |Rn (x)| = |f(x) Pn (x)| .

Exemplo 26 Em 25 demonstrou-se que a derivada de ordem n da funoseno

f(n)(x) = sin

x + n

2

,

51


53/63

pelo que

f(2n+1)(0) = (1)ne

f(2n)(0) = 0.

O polinmio de Mac-Laurin da fiuno f(x) = sin x portanto,

Pn (x) = x x3

3!+

x5

5! x

7

7! + (1)n x

2n+1

(2n + 1)!.

Exemplo 27 O polinmio de Mac-Laurin dafi

uno f(x) = ex

Pn (x) = 1 + x +x2

2!+ +

xn

n!,

pois as sucessivas derivadas da funo exponencial na origem assumem ovalor 1.

f0(x) = (ex)0 = ex f0(0) = 1,f00(x) = (ex)0 = ex f00(0) = 1,

...

f(n)(x) = (ex)0 = ex f(n)(0) = 1.Exemplo 28 Para calcular um valor aproximado de e0.1 podemos recorrer teoria que acabou de ser exposta. O polinmio de Mac-Laurin da funof(x) = ex

Pn (x) = 1 + x +x2

2!+ +

xn

n!

Repare-se que este polinmio pode ser visto como uma boa aproximaoda funo numa vizinhana do ponto 0, pois os valores que o polinmio eas respectivas derivadas assumem no ponto zero so exactamente iguais aos

valores que a funo e as suas derivadas tomam.Se atendermos figura 33, esta ideia torna-se mais clara.

52


54/63

x3210-1-2

5

4

3

2

1

0

-1

!212

xxy ++=

xy +=1

xey =

Figura 33: Aproximao linear e quadrtica da funo f(x) = ex.

Fazendo a aproximao pelo polinmio do 1o grau (aproximao linear),

P1 (x) = 1 + x (3)

obtem-se e0.1 1.1.Fazendo a aproximao pelo polinmio do segundo grau (aproximao

quadrtica),

P2 (x) = 1 + x +x2

2!(4)

obtem-se e0.1

1.105.O grau de preciso da aproximao, isto , o erro cometido dado a partirdo resto Rn (x), da a particular importncia que este assume.

3.7 Monotonia, extremos de funes, concavidades epontos de inflexo

3.7.1 Monotonia e extremos

J vimos anteriormente que uma condio necessria (mas no suficiente)para que uma funo f, diferencivel no ponto a, atinja um extremo nesse

ponto, a sua derivada anular-se em a.Chamam-se pontos de estacionaridade de uma funo f, aos pontosque anulam a sua derivada, isto , s solues da equao

f0(x) = 0.

Para esclarecer se um ponto de estacionaridade ou no um ponto demximo ou de mnimo, podemos recorrer ao estudo do sinal da primeiraderivada da funo numa vizinhana desse ponto.

Assim, se a tal que f0(a) = 0,

53


55/63

se f0(x) > 0,

x

], a[, com < a (o que significa que a funo f

crescente no intervalo) e se f0(x) < 0, x ]a, [, com a < (o quesignifica que a funo f decrescente no intervalo), ento f(a) ummximo relativo;

se f0(x) < 0, x ], a[, com < a (o que significa que a funo f decrescente no intervalo) e se f0(x) > 0, x ]a, [, com a < (oque significa que a funo f crescente no intervalo), ento f(a) ummnimo relativo.

Repare-se que estas condies para a existncia de extremo so vlidasmesmo que a funo f no admita derivada no ponto x = a.

O estudo dos mximos e mnimos de uma funo pode ainda fazer-serecorrendo segunda derivada de acordo com o teorema seguinte.

Teorema 26 Seja f uma funo que admite 2a derivada contnua numavizinhana de um ponto de estacionaridade a. Sef00(a) < 0 ento f(a) ummximo; se f00(a) > 0 ento f(a) um mnimo.

Iremos apresentar um esboo da demonstrao do primeiro resultado.Como a 2a derivada contnua numa vizinhana de a e f00(a) < 0, temos

a garantia que f00(x) < 0 nalguma vizinhana V do ponto a. Tem-se portantoque

(f

0

(x))

0

< 0, x V(a).Isto significa que a funo f0(x) decrescente em V(a) (a sua derivada negativa); mas como f0(a) = 0 ter-se- para os pontos x V(a),

se x < a f0(x) > 0e

se x > a f0(x) < 0,o que implica que f(a) seja um mximo.

Este teorema pode ser generalizado da seguinte forma.

Teorema 27 Seja f uma funo n vezes diferencivel no ponto a, com n2, e suponha-se que, sendo nulas em a todas as derivadas de f de ordem

superior primeira e inferior a n, se temf(n) (a) 6= 0, isto ,

f0 (a) = f00 (a) = ... = f(n1) (a) = 0

f(n) (a) 6= 0

1. Sen mpar, f(a) no extremo de f.

2. Sen par, f(a) um

mximo relativo se f(n) (a) < 0, emximo relativo se f(n) (a) > 0.

54


56/63

3.7.2 Concavidades e pontos de inflexo

Definio 8 Diz-se que uma funo f, diferencivel no intervalo I = ]a, b[,tem a concavidade voltada para cima em I, se e s se o grfico de fest acima da recta tangente em todos os pontos de I.

De forma anloga se define concavidade voltada para baixo.

a b c a b ca b ca b c a b c

Figura 34: Concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo.

Intuitivamente aceita-se que se f0(x) uma funo crescente em I, a con-cavidade est voltada para cima, e se f0(x) uma funo decrescente em I,

a concavidade est voltada para baixo.Repare-se na figura 34: quando a con-cavidade est voltada para cima f0(a) < f0(b) < f0(c); quando a concavidadeest voltada para baixo f0(a) > f0(b) > f0(c).

Tem-se ento a seguinte condio suficiente para determinar os pontos deinflexo de uma funo..

Teorema 28 Seja f uma funo n vezes diferencivel no ponto a, com n 2, e suponha-se que, sendo nulas em a todas as derivadas de f de ordemsuperior primeira e inferior a n, se temf(n) (a) 6= 0, isto ,

f

00

(a) = f

000

(a) = ... = f

(n

1)

(a) = 0f(n) (a) 6= 0

1. Sen mpar, a um ponto de inflexo de f.

2. Sen par, f tem a

concavidade voltada para cima, se f(n) (a) > 0, econcavidade voltada para baixo, se f(n) (a) < 0.

Observao 6 Resulta deste teorema, que se f admite 2a derivada no in-tervalo aberto I, ento:

55


57/63

se f00 (a) > 0,

x

I

f tem concavidade voltada para cima

se f00 (a) < 0, x I f tem concavidade voltada para baixo.

Exemplo 29 Considere-se a funo f(x) = x4. Tem-se

f0 (x) = 4x3 f0 (0) = 0f00 (x) = 12x2 f00 (0) = 0f000 (x) = 24x f000 (0) = 0f(4) (x) = 24 f(4) (0) > 0

Pela aplicao imediata dos teoremas 27 e 28 pode concluir-se que f(0) um

mnimo relativo e que a funo tem concavidade voltada para cima.

Definio 9 Um ponto onde ocorra uma mudana de concavidade do grficode uma funo diz-se um ponto de inflexo.

3.8 Assimptotas

Definio 10 Considere-se uma funo f : IR{a} IR. Uma recta ver-tical x = a uma assimptota vertical de f se

limxa+

f(x) = ou limxa

f(x) = .

Definio 11 Considere-se uma funo f : IR IR. Uma recta horizontaly = b uma assimptota horizontal de f se

limx+

f(x) = b ou limx

f(x) = b.

Exemplo 30 Dada a funo f(x) = 2x6x+3

, vamos estudar alguns aspectosdo seu comportamento, com a finalidade de detectar a existncia ou no deassimptotas.

O domnio da funo o conjunto Df = IR{3} .Calculando os limites,

limx3

f(x) = limx3

2x 6x + 3

= +

e,

limx3+

f(x) = limx3+

2x 6x + 3

= ,

conclui-se que a recta x = 3 uma assimptota vertical de f.

56


58/63

Calculando os limites

limx+

f(x) = limx+

2x 6x + 3

= limx+

2 6x

1 + 3x

= 2

e,

limx

f(x) = limx

2x 6x + 3

= limx

2 6x

1 + 3x

= 2,

conclui-se que a recta y = 2 assimptota horizontal de f.Graficamente tem-se

x1050-5-10-15

y

15

10

5

0

-5

-10

-15

Figura 35: Assimptotas horizontal e vertical..

Uma recta de equao y = mx + b tambm uma assimptota de umafuno f se

limx

[f(x) (mx + b)] = 0.Analisando o que sucede quando x + (aplicando-se o mesmo ao com-portamento de f quando x ) claro que se

limx+

[f(x)

(mx + b)] = 0

ento

limx+

f(x)

x m b

x

= 0 lim

x+

f(x)

x m = 0

(pois limx+

b

x= 0)

limx+

f(x)

x= m

57


59/63

Por outro lado, tem-se tambm que,

limx+

[f(x) (mx + b)] = 0 lim

x+[f(x) mx b] = 0

limx+

[f(x) mx] = b.

Daqui advm a seguinte definio,

Definio 12 Considere-se uma funo f : IR IR. Se os limites

limx

f(x)

x = m

limx

[f(x) mx] = b

existirem e foremfinitos, ento os seus valores so respectivamente o declivem e a ordenada na origem b da assimptota oblqua (y = mx + b) de f.

Observao 7 Repare-se que as assmptotas horizontais podem ser obtidasa partir da definio anterior.

Exemplo 31 Dada a funo f(x) = x22x+1x+1

, definida no intervalo ]

1, +

[,

vamos averiguar a existncia de assimptotas.Vamos primeiro analisar a existncia de uma assimptota vertical em x =

1 (apenas por valores direita, dada a definio da funo):

limx1+

f(x) = limx1+

x2 2x + 1x + 1

=1 + 2 + 1

0+= +.

Conclui-se que existe uma assimptota vertical de equao x = 1.Quanto s assimptotas no verticais:

limx+f(x) = limx+

x2

2x + 1

x + 1 = limx+

1

2x

+ 1x2

1x +

1x2 = +,

logo no existem assimptotas horizontais;

58


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Calculando os limites

limx+

f(x)

x= lim

x+

x2 2x + 1(x + 1) x

= limx+

x2 2x + 1x2 + x

=

= limx+

1 2x

+ 1x2

1 + 1x

= 1 (m = 1)

e

limx+

[f(x) mx] = limx+

[f(x) x] = limx+

x2 2x + 1

x + 1 x

=

= limx+

x2 2x + 1 x2 xx + 1 = limx+

3x + 1x + 1 =

= limx+

3 + 1x

1 + 1x

= 3 (b = 3),

conclui-se que existe uma assimptota oblqua de equao y = x 3.Graficamente tem-se

x151050-5

15

10

5

0

-5

-10

-15

Figura 36: Assimptota oblqua.

3.9 Estudo de uma funo e esboo do grfico

O estudo de uma funo compreende habitualmente os seguintes estudosparciais:

1. Domnio

2. Pontos de descontinuidade e assmptotas verticais

59


61/63

3. Interseco com os eixos e simetrias

4. Intervalos de monotonia e extremos

5. Concavidades e pontos de inflexo

6. Assimptotas no verticais.

Com base neles possvel esboar o grfico da funo.

Exemplo 32 Vamos estudar e esboar o grfico da funo f(x) = 2x22x+1(x+1)2

1. Domnio: Df = IR{1} .2. Pontos de descontinuidade e assimptotas verticais:

comolim

x1f(x) = + e lim

x1+f(x) = +

conclui-se que a recta x = 1 uma assimptota vertical.3. Intervalos de monotonia e extremos:

calculando a primeira derivada da funo f,

f0 (x) = 6x 4(x + 1)3

podemos analisar estas caractersticas no quadro seguinte,

x 1 23 +6x 4 0 +

(x + 1)3 0 + + +f0 + nd 0 +f % nd & 1

5%

(por nd entenda-se no definida). Conclui-se que a funo tem um mn-imo relativo em f

23

= 1

5, sendo crescente em ], 1[ , decrescente

em1, 2

3

e crescente em

23

, + .4. Concavidades e pontos de inflexo:

calculando a segunda derivda da funo f,

f00 (x) =12x + 18

(x + 1)4,

60


62/63

podemos analisar estas caractersticas com o auxlio do quadro seguinte:

x 1 32

+12x + 18 + + + 0

(x + 1)4 + 0 + + +f00 + nd + 0 f nd 2

5

.

Conclui-se que a funo tem um ponto de inflexo em32

, 25

, tendo a

concavidade voltada para cima de ], 1[ 1, 32

e voltada para

baixo de 32

, + .5. Assimptotas no verticais:como

f(x) =2x2 2x + 1

(x + 1)2= 2 +

6x 1(x + 1)2

,

elim

xf(x) = 2 e lim

x+f(x) = 2

ento existe uma assimptota horizontal de equao y = 2.

Reunindo toda a informao anterior podemos esboar o grfico da funo:

x

20100-10-20

y

20

15

10

5

0

Figura 37: Grfico da funo f(x) = 2x22x+1(x+1)2

.

61


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Referncias

[1] Apostol, Tom M.,(1967) Calculus, Volume I, Second edition, John Wiley& Sons, Inc., New York.

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