SUMÁRIO

1.0 VETORES 04

2.0 BASES 11

3.0 PRODUTO ESCALAR 15

4.0 PRODUTO VETORIAL 18

5.0 PRODUTO MISTO 20

6.0 ESTUDO DA RETA 22

7.0 ESTUDO DO PLANO 26

8.0 CADERNO DE EXERCÍCIOS 29

9. BIBLIOGRAFIA 40

4

1. VETORES 1.1 TRATAMENTO GEOMÉTRICO Noção Intuitiva

Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Tais grandezas são as vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer o seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais. Segmentos Orientados

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem (ponto A) do segmento, o segundo chamado extremidade (ponto B).

O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB.

Dados dois segmentos orientados AB e CD, então AB=CD (isto é, AB coincide com CD) se e somente se A=C e B=D. Segmentos nulos e opostos

Segmentos nulos: são aqueles cuja origem coincide com a extremidade. Segmentos opostos: dado um segmento orientado AB, o segmento orientado BA

diz-se oposto de AB. Comprimento

Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado podemos associar um número real (positivo ou nulo), seu comprimento, que é a sua medida em relação àquela unidade.

AB : indica o comprimento do segmento AB. Direção e sentido

Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm a mesma direção se as retas AB e CD são paralelas (ou coincidentes).

Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm a mesma direção.

Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

5

mesmo sentido sentidos contrários

Segmentos Eqüipolentes

O segmento orientado AB é eqüipolente ao segmento orientado CD se AB e CD têm mesmo comprimento, direção e sentido. Indica-se .CD~AB

Se AB e CD são nulos e não colineares, dizer que CD~AB equivale a dizer que AC//BD e CD//AB , isto é, que ABCD é um paralelogramo.

Propriedades da eqüipolência 1. AB~AB (reflexiva) 2. Se CD~AB , então AB~CD (simétrica) 3. Se CD~AB e EF~CD , então EF~AB (transitiva) 4. Dado AB e o ponto C, existe um único ponto D tal que CD~AB (transporte) 5. Dois segmentos nulos são sempre eqüipolentes. 6. Se CD~AB , então DC~BA 7. Se CD~AB , então BD~AC Vetores

Chama-se vetor determinado por um segmento orientado AB o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. O vetor determinado por AB indica-se por

A.-Bou AB

CD~ABCDAB ⇔=

Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos eqüipolentes entre si.

Como todos os segmentos nulos são eqüipolentes entre si, eles determinam um

único vetor chamado vetor nulo, que se indica por O .

Dado ABv = , o vetor BA chama-se oposto de AB e se indica por AB− ou por

v− . Propriedades

1. OAA =− 2. ( ) BAAB −=−− 3. Se CDAB −=− , então BDAC −=−

6

Casos Particulares de Vetores

a) Dois vetores v e u são paralelos, e indica-se por v//u , se os seus representantes tiverem a mesma direção.

b) Dois vetores v e u são iguais, e indica-se por vu = , se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido.

c) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor nulo.

d) Um vetor u é unitário se 1u = .

e) Dois vetores v e u são ortogonais, e indica-se por vu ⊥ , se algum representante

de u formar ângulo reto com algum representante de v . f) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores

estão representados. É importante observar que dois vetores v e u quaisquer são sempre coplanares.

Adição de Vetores

Consideremos dois vetores v e u e um ponto qualquer A. Tomemos

vBC e uAB +=+= .

O vetor AC − construído acima chama-se soma do vetor u com o vetor v e se indica por

vu + . Propriedades da Adição

A1. uvvu +=+ (comutativa)

A2. ( ) ( )wvuwvu ++=++ (Associativa)

A3. u0u =+

A4. ( ) 0uu =−+ Diferença de Vetores

Dados dois vetores v e u , o vetor ( )vuw −+= , chama-se diferença de v e u e se indica

por vu − .

Se tomarmos vBC e uAB +=+= e construirmos o paralelogramo ABCD, verifica-se

que a soma vu + é representado pelo segmento AD e a diferença vu − por CB.

7

Multiplicação de Número Real por Vetor

Dado um vetor 0v ≠ e um número real 0≠α , chama-se produto do número real α por

um vetor v , o vetor vα tal que:

a) módulo: vu ⋅α=α , isto é, o comprimento de vα é igual ao comprimento de

v multiplicado por α ;

b) direção: vα é paralelo a v ;

c) sentido: vα e v têm o mesmo sentido se 0>α , e contrário se 0<α . Se 0=α ou

0v = , então 0v =α Ângulo de Dois Vetores

O ângulo entre os vetores não-nulos v e u é o ângulo θ formado por duas sem-retas

OB e OA de mesma origem O , onde OAu = , OBv = e π≤θ≤0 ( θ em radianos) ou º180º0 ≤θ≤ .

Se v//u e v e u têm o mesmo sentido, então 0=θ .

8

1.2 O TRATAMENTO ALGÉBRICO 1.2.1 Vetores no Plano

Consideremos dois vetores u e vrr

não-paralelos, representados com a origem no mesmo ponto O, sendo s e r retas contendo estes representantes, respectivamente.

Os vetores y e x,d,c,b,arrrrrr

, representados na figura, são expressos em função de

u e vrr

por

u2v0y u2v4c

u0v4x u4v5b

uv3d u3v2a

rrrrrr

rrvrrr

rrrrrr

+=−−=

+=+=

−=+−=

De modo geral, dados dois vetores quaisquer u e v

rr não paralelos, para cada vetor

wr

representado no mesmo plano de u e vrr

, existe uma só dupla de números reais b e a tal que ubvaw

rrr+= .

A figura a seguir ilustra esta situação, onde u e vrr

são vetores não paralelos quaisquer e w

ré um vetor arbitrário do plano determinado por u e v

rr.

9

Quando o vetor wr

é expresso como ubvawrrr

+= , diz-se que wr

é combinação linear u e v

rr. O conjunto { }u,vB

rr= é chamado base no plano. Aliás, qualquer conjunto de

dois vetores não paralelos constitui uma base no plano. Embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, nós a pensamos como um conjunto ordenado. Então, dada uma base qualquer no plano, todo vetor desse plano é combinação linear dos vetores dessa base, de modo único.

Os números b e a da expressão são chamados componentes ou coordenadas de wr

na base B. Dependência Linear

Consideremos alguns casos particulares: 1º) O conjunto de dois vetores { } v//u0,v0,u com ,v,u

vrrrvr≠≠ . Por exemplo:

Temos: u3vrr

−= , que é equivalente a 0vu3 =+rr

Num caso geral, poderíamos ter: uvrr

α= , com R∈α , o que equivale

a: ( )a

b- onde ,0b,0a,0ubva =α≠≠=+

rrr; dizemos que assim v

ré uma combinação linear

de ur

e que o conjunto { }u,vrr

é linearmente dependente. 2º) O conjunto de dois vetores { } 0v0,u com ,v,u ≠≠

rrvr, onde u e v

rrnão são

paralelos. Não existe R∈α , tal que uv

rrα= , logo v

rnão é uma combinação linear de u

r.

Neste caso, a equação vetorial 0ubvarrr

=+ somente é verdadeira se 0b e 0a == ,

pois , e 0u0v0rrr

=+ , e dizemos que o conjunto { }u,vrr

é linearmente independente.

3º) O conjunto de três vetores { }w,v,u

rrr, com w e v,u com 0,w e v,u

rrrrrr≠ coplanares

(paralelos a um plano). Por exemplo:

10

Temos: wv3u2

3 rrr=+ , logo w

ré uma combinação linear de v e u

rr.

A equação wv3u2

3 rrr=+ equivale a: 0w2v6u3

rrrr=−+ .

Neste caso, dizemos que o conjunto { }w,v,urrr

é linearmente independente.

4º) O conjunto de três vetores { }w,v,urrr

, com w e v,u onde 0,w e v,urrrrrr

≠ não são coplanares (não existe um plano que seja paralelo aos três vetores). Por exemplo:

Não existem R, ∈βα tais vuwrrr

β+α= , logo wr

não é combinação linear de v e urr

.

Neste caso a equação vetorial 0wcvbuarrrr

=++ somente é verdadeira se

0w0v0u0 pois 0,c e 0b,0arrrr

=++=== .

Dizemos que o conjunto{ }w,v,urrr

é linearmente independente. Em todos esses casos, observamos que:

1) Se a equação 0va...vava nn2211

rrrr=+++ , com Ra,...,a,a n21 ∈ , é

verdadeira, e pelo menos um dos coeficientes ai é diferente de zero, então o conjunto { }n21 v,...,v,v

rrré linearmente dependente, e um desses vetores, pelo menos, é

combinação linear dos outros do conjunto.

2) Se a equação 0va...vava nn2211

rrrr=+++ somente é verdadeira se

0a...aa n21 ==== , então o conjunto { }n21 v,...,v,vrrr

é linearmente independente, e nenhum desses vetores é combinação linear dos demais vetores do conjunto.

Definição: Dados n vetores n21 v,...,v,v

rrr, dizemos que o conjunto { }n21 v,...,v,v

rrré

linearmente dependente se existirem n escalares: n21 a,...,a,a , não todos nulos, tais que:

0va...vava nn2211

rrrr=+++

No caso contrário, isto é, se 0va...vava nn2211

rrrr=+++ implicar que

0a...aa n21 ==== , então o conjunto { }n21 v,...,v,vrrr

linearmente independente.

11

2. BASES

Uma base no espaço é uma terna ( )321 e,e,errr

formada por três vetores linearmente

independentes. Podemos considerar somente os vetores de um plano. Neste caso uma base é

formada por dois vetores desse plano linearmente independentes. Se considerarmos somente os vetores de uma reta, uma base será simplesmente um vetor não nulo dessa reta. Estudaremos propriedades dos vetores por meio de suas coordenadas em relação a uma base, em três dimensões; mas os resultados obtidos se aplicam também em duas dimensões ou em uma dimensão. Se os vetores 321 e,e,e

rrrformam uma base, então todo vetor v

rse exprime de

maneira única como combinação linear de 321 e,e,errr

, isto é, existe um único terno de

escalares ( )321 a,a,a tais que 332211 eaeaeavrrrr

++= .

Os escalares 321 a,a,a chamam-se coordenadas (ou componentes) de vr

em

relação à base ( )321 e,e,errr

. Reciprocamente, dada uma terna ( )321 a,a,a de números

reais, existe um único vetor cujas coordenadas são 321 a,a,a .

Fixada uma base ( )321 e,e,errr

, e sendo 332211 eaeaeavrrrr

++= , costuma-se

representar o vetor vr

, por meio da terna ( )321 a,a,a ou ainda, por meio da matriz coluna

3

2

1

a

a

a

.

Escreve-se então ( )321 a,a,av =r

ou

=

3

2

1

a

a

a

vr

Teorema. Se ( )321 a,a,au =r

e ( )321 b,b,bv =r

, então

( )( )

ααα=α

+++=+

321

332211

a,a,au

ba,ba,bavur

rr

Corolário. Dois vetores ( )321 a,a,au =

r e ( )321 b,b,bv =

r são linearmente dependentes

(paralelos) se as coordenadas forem proporcionais, isto é: 3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a== . Se não existir

proporcionalidade, v e urr

serão linearmente independentes. Teorema. Três vetores ( )321 a,a,au =

r, ( )321 b,b,bv =r

e ( )321 c,c,cw =v

são linearmente

dependentes se 0

c c c

b b b

a a a

321

321

321

==∆

Corolário. Para que w e v,urrr

sejam linearmente independentes é necessário e suficiente

que 0≠∆ .

12

2.1 Bases Ortonormais Uma base ortonormal é uma base formada por vetores unitários dois a dois ortogonais.

Em geral, uma base ortonormal é indicada por { }k,j,irrr

. Dois vetores são ortogonais se podem ser representados por segmentos ortogonais. Isto é, os vetores v e u

rrsão ortogonais se, tomado um ponto qualquer A, e

sendo vAC e uABvv

+=+= , o triângulo ABC é retângulo em A. Aplicando o teorema de Pitágoras chegamos à seguinte conclusão:

Para que os vetores v e urr

sejam ortogonais é necessário e suficiente que: 222

vuvurrrr

+=+ .

O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer ponto. Se ur

é ortogonal a v r

, então u

ré ortogonal a wv

rv+ . Se u

ré ortogonal a v

r e λ é um número real qualquer,

então ur

é ortogonal a vv

λ . Vamos agora calcular o módulo de um vetor a partir das suas coordenadas em

relação a uma base ortonormal.

Seja { }k,j,irrr

uma base ortonormal e kzjyixvrrrr

++= um vetor qualquer.

Como kzr

é ortonormal a jyixrr

+ , temos 222

kzjyixvrrrr

++= . Mas jyixrr

⊥ , donde

222jyixjyixrrrr

+=+ e portanto : 2222

kzjyixvrrrr

++= . Sendo 1kji ===rrr

,

temos finalmente: 2222zyxv ++=

r

13

Vejamos a expressão de ortogonalidade de dois vetores, a partir de suas coordenadas em relação a uma base ortonormal.

Consideremos os vetores kzjyixu 111

rrrr++= e kzjyixv 222

rrrr++= .

Os vetores v e urr

são ortogonais se e somente se 222

vuvurrrr

+=+ , ou seja

( ) ( ) ( ) 22

22

22

21

21

21

221

221

221 zyxzyxzzyyxx +++++=+++++

Simplificando a expressão acima, temos a condição de ortogonalidade:

0zzyyxx 212121 =++ 2.2 Mudança de Base Em situações mais gerais, ou em problemas mais difíceis, torna-se, às vezes, crucial saber efetuar uma mudança de base. Suponhamos que, numa certa situação, as coordenadas dos vetores estão sendo dadas em relação a uma base )w,v,u(E

rrr= , e por algum motivo, torna-se necessário

trocar esta base por outra ( )111 w,v,uFrrr

= . Esta troca afeta, naturalmente, as coordenadas, de todos os vetores. Para efetuar rapidamente esta troca de coordenadas (tanto de E para F, como de F para A) existe a chamada “matriz mudança” da base E para a base F. Sejam então E e F duas bases. Chamaremos

)w,v,u(Errr

= de base “velha”

( )111 w,v,uFrrr

= de base “nova” Os vetores da base nova são dados em função da base velha, isto é

( )( )( ) ,Ea,a,awavauau

,Ea,a,awavauau

,Ea,a,awavauau

3323133323133

3222113222122

3112113121111

=++=

=++=

=++=

rrrr

rrrr

rrrr

Com esta notação, chama-se matriz mudança de E para F a seguinte matriz:

=

33 3231

23 2221

13 1211

EF

aa a

aa a

aa a

M

(Observe quer as coordenadas do primeiro vetor da base nova formam a primeira

coluna da matriz mudança. Indica-se, para resumir, assim FEM→ )

Exemplo: )w,v,u(E

rrr= e ( )111 w,v,uF

rrr= , onde

( )( )( ) ,E0,1,0w0vu0u

,E1,0,2wv0u2u

,E1,1,1wvuu

3

2

1

=++=

=++=

−=−+=

rrrr

rrrr

rrrr

14

Seja ( )E1,3,1z =r

. Quais são as coordenadas de zr

na base F?

Se FEM→ , então EF

1M →−

Para calcular 1M− , determine a matriz mudança de base e depois, encontre um

processo que lhe permitirá calcular a 1M− .

tc

1 M.Mdet

1M =−

, :Mc matriz dos cofatores de M, ( ) ijji

c Adet1M +−=

15

3. PRODUTO ESCALAR

Chama-se produto escalar de dois vetores

kzjyixv e kzjyixu 222111

rrrrrrrr++=++= , e se representa por vu

rr⋅ , ao número real

212121 zzyyxxvu ⋅+⋅+⋅=⋅rr

.

O produto escalar de vpor urr

também indicado por v,uvv

e se lê “ vescalar urr

”.

Propriedades do Produto Escalar Para quaisquer vetores w e v,u

rrre o número real α , é fácil verificar que:

( )( ) ( ) ( )

( )2

uuu )V

0,0,00u se 0uu e 0u se 0uu )IV

vuvuvu III)

wuvuwvu II)

uvvu )I

rrr

rrrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrr

rrrr

=⋅

===⋅≠>⋅

α⋅=⋅α=⋅⋅α

⋅+⋅=+⋅

⋅=⋅

Definição Geométrica de Produto Escalar A

B C Se v e u

rrsão vetores não-nulos e θ o ângulo entre eles, então θ⋅⋅=⋅ cosvuvu

rrrr.

Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC da figura acima, temos

θ⋅⋅⋅−+=− cosvu22v2u2vurrrrrr

(1)

Por outro lado, vu22v2u2vurrrrrr

⋅⋅−+=− (2)

Comparando as igualdades (1) e (2), obtemos: θ⋅⋅=⋅ cosvuvurrrr

, º180º0 ≤θ≤

Conclusão: O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado.

Em relação ao sinal de vurr

⋅ é o mesmo de θcos , ou seja:

Se

=θ⇔=θ⇔=⋅

≤θ<⇔<θ⇔<⋅

<θ≤⇔>θ⇔>⋅

º900cos0vu

º180º900cos0vu

º90º00cos0vu

rv

rv

rv

16

Cálculo do ângulo de dois vetores

Da igualdade θ⋅⋅=⋅ cosvuvurrrr

, vem vu

vucos rr

rr

⋅

⋅=θ= , fórmula a partir da qual se

calcula o ângulo θ entre os vetores v e urr

não-nulos. Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor

Seja o kzjyixvrrrr

++= não-nulo. Ângulos diretores de vr

são os ângulos

γβα e , que vr

forma com os vetores k e j,irrr

, respectivamente.

Cossenos diretores de v

rsão os cossenos de seus ângulos diretores, isto é

γβα cos e cos ,cos .

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) v

z

1v

1,0,0z,y,x

kv

kvcos

v

y

1v

0,1,0z,y,x

jv

jvcos

v

x

1v

0,0,1z,y,x

iv

ivcos

rrrr

rr

rrrr

rr

rrvr

vr

=⋅

⋅=

⋅

⋅=γ

=⋅

⋅=

⋅

⋅=β

=⋅

⋅=

⋅

⋅=α

Observação: É fácil ver que:

a) 12cos2cos2cos =γ+β+α e

b) o versor na direção ( )γβα= cos,cos,cosv

v é vr

v

A demonstração dessas duas igualdades fica como exercício. Projeção de um Vetor sobre Outro

O vetor que determina a projeção de um vetor vr

na direção de um vetor ur

é dado

pela expressão uu

uvvproj

2u

r

r

rrr

r ⋅

⋅=

17

Demonstração: Sejam os vetores u

re vr

não-nulos e θ o ângulo entre eles. Decompondo um dos vetores, digamos v

r, tal que 2v1vv

rrr+= , sendo u2v e u//1v

rrrr⊥ .

O vetor 1vr

é denominado a projeção ortogonal de vr

na direção deur

e indicado por

vuproj1vrrr

= .

Sendo u//1vrr

, temos u1vrr

α= e como uv1vv2vrrrrr

α−=−= é ortogonal aur

, vem

( )uuuv

e 0uuuv ou 0uuv rr

rrrrrrrrr

⋅

⋅=α=⋅α−⋅=⋅α− . Portanto, sendo u1v

rrα= , conclui-se que

uuuuv

vuprojr

rr

rrrr ⋅

⋅

⋅= .

18

4. PRODUTO VETORIAL Definição:

Chama-se produto vetorial de dois vetores ( ) ( )222111 z,y,xv e z,y,xu ==rr

, tomados nesta ordem, e se representa por vuou vu

rrrr∧× , ao vetor

2z 2 y2x1z 1 y1x

k j i

vu

rrr

rr=∧

Propriedades do Produto Vetorial

As propriedades a seguir estão intimamente relacionadas com propriedades dos determinantes. I) 0uu

rrr=∧ , qualquer que seja u

r

II) u v- vurrrr

∧=∧ III) ( ) w uvu wvu

rrrrrrr∧+∧=+∧

IV) ( ) ( )vu m vumrrrr

∧=∧

V) 0vurrr

=∧ se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se v e urr

são colineares.

VI) ( )2vu2v2u2vurrrrrr

⋅−=∧ (Identidade de Lagrange)

VII) O produto vetorial não é associativo, isto é, ( ) ( ) w vu wvurrrrrr

∧∧≠∧∧ Características do vetor vu

rr∧

Consideremos os vetores ( ) ( )222111 z,y,xv e z,y,xu ==rr

. a) Direção de vu

rr∧

O vetor vurr

∧ é simultaneamente ortogonal aos vetores v e urr

.

b) Sentido de vu

rr∧

Convencionamos que a base ( )vu,v,urrrr

∧ tem orientação positiva, utilizando a regra da mão esquerda. O que equivale geometricamente a dizer que a base ( )vu,v,u

rrrr∧ é

positiva se ur

varre o plano π no sentido anti-horário, e o produto vetorial deur

por vr

é orientado positivamente, como indicado na figura abaixo

19

O produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida.

Ainda em relação ao sentido de vurr

∧ , podemos associar estes dois vetores a uma

dupla de vetores unitários escolhidos entre ir

, jr

ekr

. Por exemplo, associando vurr

∧ , com

jirr

∧ e tendo em vista que ( ) k1,0,0

0 1 0

0 0 1

k j i

jir

rr

rr

===∧ , o sentido de kr

daria o sentido

de vurr

∧ . Da mesma forma temos que jik e ikjrrrrrr

=∧=∧ . A tabela de dupla entrada apresenta as seis possibilidades com produto vetorial não-nulo:

∧ ir

jr

kr

ir

0r

kr

- jr

jr

-kr

0r

ir

kr

jr

- ir

0r

c) Comprimento de vurr

∧ Se θ é o ângulo entre os vetores v e u

rrnão-nulos, então θ=∧ senvuvu

rrrr

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial No paralelogramo determinado pelos vetores não-nulos v e u

rr a medida da base é

dada pelo ur

e da altura é θ⋅ senvr

, logo a área do paralelogramo abaixo é

θ⋅⋅=⋅= senvu)altura()base(Arr

, ou seja, vuArr

∧=

Logo podemos afirmar que a área do paralelogramo determinado pelos vetores

v e urr

é numericamente igual ao comprimento do vetor vurr

∧ .

20

5. PRODUTO MISTO

Suponha que queiramos achar o volume V de um paralelepípedo como o da figura:

Sabemos que este volume é igual ao produto da área de uma base pela altura

correspondente. Sendo θ=== ,AEw e ADv,ABurrr

a medida do ângulo entre h ,w e vu

rr∧ a altura relativa à base ABCD, e S a área da base ABCD, temos

hvuh.SV ⋅∧==vr

A altura h relativa à base ABCD é resultado da observação de que o triângulo AME é triângulo em M, logo wcosh

r⋅θ= . O módulo em θcos é necessário, pois poderia ser

π≤θ<π

2, ou seja, θcos é maior do que zero.

Portanto, o volume do paralelepípedo é igual a θ⋅⋅∧== coswvuh.SVrvr

, ou

seja, [ ]wvuV

rrr⋅∧= .

Definição 1: Chama-se produto misto dos vetores w ,v,u

rrao número [ ] wvuw,v,u

rrrrrr⋅∧= .

Proposição 1: Sendo ( )k,j,irrr

uma base ortonormal positiva relativamente à qual

( ) ( ) ( ),z,y,xw,z,y,xv,z,y,xu 333222111 ===rrr

então

[ ] =w,v,urrr

333

222

111

z y x

z y x

z y x

Propriedades do Produto Misto 1. [ ] 0w,v,u =

rrrse, e somente se, w e v,u

rrrsão linearmente dependentes (coplanares).

2. Propriedade Cíclica: [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]v,u,wu,w,vw,v,urrrrrrrrr

======== .

3. [ ] [ ] [ ]w,v,uw,v,uw,v,uu 2121

rrrrrrrrrr+=+

21

4. [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] ℜℜℜℜ∈∈∈∈∀∀∀∀============ ααααα ,w,v,uw,v,uw,v,uw,v,urrrrrrrrrrrr

Volume do Tetraedro

Sejam A, B, C e D ponto não-coplanares. Portanto, os vetores

AD e AC,AB também são não-coplanares. Em conseqüência, estes vetores determinam

um paralelepípedo cujo volume é ( )AD,AC,ABV = . Este paralelepípedo, por sua vez,

pode ser repartido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho e, portanto, o volume de cada prisma é a metade do volume do paralelepípedo. Por outro lado, sabemos que o prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. Assim, o volume do tetraedro é um terço do volume do prisma, que é metade do volume do paralelepípedo, logo

( )AD,AC,AB6

1V

6

1V pedoparalelepítetraedro == .

22

6. Estudo da Reta Consideremos um ponto ( )111 z,y,xA e um vetor não-nulo ( )c,b,av =

r. Só existe

uma reta r que passa por A e tem a direção do vetor vr

. Um ponto ( )z,y,xP pertence a r se, e somente se, o vetor

AP for paralelo a vr

, isto é, vtAPr

= (1) para algum .Rt ∈ De (1), vem vtAP

r=− ou vtAP

r+= (2)

ou, em coordenadas ( ) ( ) ( )c,b,atz,y,xz,y,x 111 += (3)

Qualquer uma das equações (1), (2) ou (3) é denominada equação vetorial da

reta r. Da equação vetorial da reta ( ) ( ) ( )c,b,atz,y,xz,y,x 111 += , pela condição de

igualdade, obtém-se

+=

+=

+=

tc1zz

tb1yy

ta1xx

(4) As equações (4) são chamadas equações

paramétricas da reta r. Das equações paramétricas tczz tbyy taxx 111 +=+=+= supondo

,0c,b,a ≠

vem tc

zz t

b

yy t

a

xx 111 =−

=−

=−

Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades

c

zz

b

yy

a

xx 111 −=

−=

− (5)

As equações (5) são denominadas equações simétricas da reta r.

23

Reta definida por dois pontos A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção

do vetor ABv =r

. Retas Paralelas aos Planos Coordenados Uma reta é paralela a um dos planos yOzou xOz,xOy se seus vetores diretores forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula. A figura abaixo mostra a reta r xOy//r que passa pelo ponto ( )4,2,1A − e tem vetor

diretor ( )0,3,2v =r

(a 3ª componente é nula porque xOy//vr

).

Um sistema de equações paramétricas de r é

=

+=

+−=

4z

t32y

t21x

Retas Paralelas aos Eixos Coordenados Uma reta é paralela a um dos eixos Ozou Oy ,Ox se seus vetores diretores forem

paralelos a ( ) ( )0,1,0j aou 0,0,1i ==rr

ou a ( )1,0,0k =r

. Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas.

24

Ângulo de duas retas Sejam as retas 21 r e r com as direções de 21 v e v

rr, respectivamente. Chama-se

ângulo de duas retas 21 r e r o menor ângulo entre os vetores diretores. Logo, sendo θ este ângulo, tem-se

2

0 com ,vv

vvcos

21

21 π≤θ≤

⋅

⋅=θ rr

rr

Retas Ortogonais Sejam as retas 21 r e r com as direções de 21 v e v

rr, respectivamente. Então

0vvrr 2121 =⋅⇔⊥

25

Observação: Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Se as retas forem concorrentes, diz-se que são perpendiculares. Interseção de Duas Retas Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Também são coplanares as retas que são paralelas. Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas.

26

7. Estudo do Plano Equação Geral do Plano Seja ( )111 zyxA ,, um ponto pertencente a um plano π e ( )cban ,,=

r, 0n ≠r

, um vetor normal (ortogonal) ao plano. Como π⊥n

ré ortogonal a todo vetor representado em π . Então, um ponto

( )zyxP ,, pertence a π se, e somente se, o vetor AP é ortogonal a nr

, isto é, ( ) 0APn =−⋅r

ou ( ) ( ) 0zzyyxxcba 111 =−−−⋅ ,,,, ou ( ) ( ) ( ) 0zzcyybxxa 111 =−⋅+−⋅+−⋅ ou, ainda

0czbyaxczbyax 111 =−−−++ .

Fazendo dczbyax 111 =−−− , obtemos 0dczbyax =+++ . Esta equação é a equação geral do plano π .

Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano Seja ( )000 zyxA ,, um ponto pertencente a uma plano π e ( )111 cbau ,,=

re

( )222 cbav ,,=r

dois vetores paralelos a π , porém, v e urr

não-paralelos.

Para todo ponto P do plano, os vetores v e uAPrr

, são coplanares. Um ponto

( )zyxP ,, pertence a π se, e somente se, existem números reais te h tais que vtuhAPrr

+=− ou vtuhAPrr

++= ou, em coordenadas ( ) ( ) ( ) ( ) R t h, cbatcbahzyxzyx 222111000 ∈++= ,,,,,,,,, . (1)

Esta equação é denominada equação vetorial do plano π . Os vetores v e urr

são vetores diretores de π . Da equação (1) obtém-se ( ) ( )tchcztbhbytahaxzyx 210210210 ++++++= ,,,, que, pela condição de

igualdade, vem

++=

++=

++=

tchczz

tbhbyy

tahaxx

210

210

210

, Rth ∈,

Estas equações são chamadas equações paramétricas de π e te h são variáveis auxiliares denominadas parâmetros.

27

Observação:

Existe uma outra maneira de se obter uma equação geral de π : como

( )zyxP ,, representa um ponto qualquer do plano, os vetores v e uAPrr

, são coplanares e,

portanto, o produto misto deles é nulo, ou seja, ( ) 0v uAP =rr

,, .

Ângulo de dois planos Sejam os planos 21 e ππ com vetores normais 21 n e n

rr, respectivamente.

Chama-se ângulo de dois planos 21 e ππ o menor ângulo que um vetor normal a

1π forma com um vetor normal a .2π Sendo θ este ângulo, tem-se 21

21

nn

nncos rr

rr

⋅

⋅=θ com

20

π≤θ≤ .

Planos Perpendiculares Consideremos dois planos 21 e ππ , e sejam 21 n e n

rrvetores normais a 21 e ππ ,

respectivamente. Sendo 0nnnn 212121 =⋅⇔⊥⇔π⊥πrrrr

Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano

28

Sejam uma reta r com a direção do vetor vr

e um plano π , sendo nr

um vetor normal

a π . Se

α=⇔⇔π⊥

=⋅⇔⊥⇔π

nvn//vr II)

0nvnvr// )Irrrr

rrrr

Interseção de dois planos A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. Interseção de reta com plano A interseção de uma reta com um plano é um ponto.

29

CADERNO DE EXERCÍCIOS

30

Tratamento Geométrico

1) No triângulo ABC, seja bAC e aABvr

== . Construir um representante de cada um dos vetores:

a) 2

barr

+ b)

2

barr

− c) b

2

1a2

rr− d) b

2

1a

rr+

C

br

A B a

r

2) Dados os vetores c e b ,arrr

, de acordo com a figura, construir o vetor xr

tal que:

a) cb2a4xrrvr

−−= b) cbaxrrvr

++= c) ( )cab2xrvrr

+−=

ar

br

c

r

3) Dados os vetores c e b ,arrr

, de acordo com a figura, construir x3

cba2

rr

rr=+−

ar

br

c

r

4) Dados os vetores ,w e v,urrr

de acordo com a figura, construir o vetor sw21

v3u2rrrr

=+− .

5) Ache as somas dos vetores indicados na figura, nos casos:

31

Tratamento Algébrico 1. Dados os vetores ( ) ( )1,2-v e 1,3u =−=

rr, determinar o vetor x

rtal que:

a) ( ) xu2x3

1vu4

rvrrv−=+− b) ( ) ( )u3x42uv2x3

rrrvr−=−−

2. Dados os pontos ( ) ( )1,1-B e 4,3A − e o vetor ( )3,2v −=

r, calcular:

a) ( ) v2ABr

+− b) ( ) vBAr

−− c) ( )AB2B −+ 3. Dados os pontos ( ) ( )1,1,5B e 3,2,2A − e o vetor ( )4,3,1v −=

r, calcular:

a) v3Ar

+ b) ( ) vBAr

−− c) ( )AB3v2 −−v

4. Dados os pontos ( ) ( )4,1,2B,3,2,1A −− e ( ),1,3,1C −− determinar o ponto D tal que

0CDABr

=+ Lembre-se CDCD e ABAB −=−= 5. Sabendo que w2v4u3

rrr=− , determinar b,a e c , sendo ( ) ( )2,b,av,c,1,2u −=−=

rre

( )0,1,4w −=r

.

6. Dados os vetores ( ) ( )2,1,1b,0,1,2a −==rr

e ( )1,2,2c −=r

determinar o vetor xr

tal que

2

bx

4

cb

3

axrrrrrr

+=

−−

−

7. Determinar os vetores y e xrr

que satisfazem o sistema:

−=+−

=+

)1,2,1(yx2

)1,2,0(y2xrr

rr

8. Determinar os vetores y,xrr

e zr

que satisfazem:

( )( )

( )

−=−−

−=++−

=−−

1,2,2zy2x2

2,1,1z2y3x

0,1,2zy2x

vvr

rrv

vrr

32

Dependência Linear 1. Dados os vetores ( ) ( )1,1,1v,1,3,2u −=−=

rre ( )0,4,3w −=r

, a) determinar o vetor x

rde modo que w2x4xvu3

rrrrr+=+− ;

b) encontrar os números 21 a,a e 3a tais que ( )5,13,2wavaua 321 −−=++vrr

2. Exprimir o vetor ( )7,7,3p −=

rcomo combinação linear dos vetores ( ),0,1,2a =

r

( )2,1,1b −=r

e ( )1,2,2c −=r

. 3. Quais dos seguintes vetores ( ) ( ) ( )9,21,14w,3,9,6v,2,6,4u −=−−=−=

rrre ( )5,15,10t −=

r

são paralelos. 4. Dado o vetor ( )5,2,3w =

r, determinar a e b de modo que os vetores ( )1,2,3u −=

re

( ) w2b,6,avrr

+= sejam paralelos.

5. Determine o único valor real de m para o qual o vetor ( )6,1m,2u +=r

e

( )m2,4,1mv −=r

sejam paralelos.

6. A reta que passa pelos pontos ( )1,5,2A − e ( )0,3,1B é paralela à reta determinada por

( )1,1,3C −− e ( )n,m,0D . Determinar o ponto D. 7. Determine os valores reais de a para que sejam coplanares os vetores

( ) ( ) ( ){ }2a,0,1,1,1,0,a,1,1 −− .

8. Mostrar que o conjunto de vetores da forma )yx,yx,x2(v −+=r

são coplanares com os vetores (0,1,-1).w e )1,1,2(u ==

rr

9. Mostre que os vetores ( ) ( ) ( )0,1,1w e 1,0,1v,0,1,1u ===rrr

formam uma base do espaço.

10. Verifique se o conjunto formado pelos vetores ( ) ( ) ( )4,-4,14-w e 2,0,4v ,1,2,1u ==−=rrv

é

linearmente dependente ou linearmente independente.

11. Determine m e n para que o conjunto formado pelos vetores ( )1,3,1mu +=r

e

( )1-4,2,2nv =r

seja linearmente dependente.

12. Mostrar que os vetores (1,1,1)w e (0,1,1)v ),1,0,1(u ==−=rvr

são linearmente independentes. 13. Mostrar que os vetores (6,-3,-1)w e (2,-1,1)v ),3,1,2(u ==−=

rvrsão linearmente

dependentes.

33

14. Quais as condições que devem satisfazer ,Rk ∈ para que os vetores ),k,0,1(u =r

k)(1,1,v =r

e )2k,1,1(w =r

sejam linearmente dependentes. 15. Verificar se são unitários os seguintes vetores:

==

6

1,

6

4,

6

1v )1,1,1(urr

16. Determinar o valor de n para que o vetor

=

5

4,

5

2,nv

vseja unitário.

17. Seja o vetor ( ) ( ) kj2mi7mvrrrr

++++= . Calcular m para que 38v =v

.

18. Dados os pontos ( ) ( ) ( ),1,2,0C e 4,2,1B ,1,0,1A − determinar o valor de m para que

,7v =r

sendo BCACmv +=r

19. Dados os pontos m)1,-2m B(8, e )4,1m,3(A −− , determinar m de modo que

.35AB =

20. Qual é o valor de α para que os vetores

( ) kj2i1b e k4j5iarrrrrrrr

+++α=−+α= sejam ortogonais?

21. Dados os vetores ( ) ( ) ( )αα=+α=α= ,8,2c e 2,-5,2b ,,1,2arrr

, determinar o valor de

α para que o vetor barr

+ seja ortogonal ao vetor acrr

− .

22. Dados os vetores ( ) ( ) ,2,1,1b ,2,4,3a ==rr

obter um vetor de módulo 3 que seja ao

mesmo tempo ortogonal aos vetores ba2rr

− e barv

+ .

34

Produto Escalar 1) Determinar os ângulos internos do triângulo de vértices C(-1,2,1) e )1,0,1(B),3,1,2(A − .

2) Calcular n para que seja de 30º o ângulo entre os vetores ( ) .j e 2,n,1urr

=

3) Determinar o vetor vr

, paralelo ao vetor ( ) 18.vu que tal ,2,1,1u −=⋅−=rrr

4) Qual o valor de α para que os vetores ( ) ( )1,2,4b e 4,5,a +α=−α=rr

sejam ortogonais? 5) Determinar um vetor de módulo 2 ortogonal a ( ) e 2,2,3u =

ra ( ).1,1,0v =

r

6) Sabe-se que .4

1-cos e

2

1cos,2v =β=α=

rDeterminar v

r.

7) Determinar o vetor vr

, sabendo que 5v =r

, vr

é ortogonal ao

eixo ( )0,2,3w e 6wv,z0 ==⋅rrr

. 8) Determinar o vetor v

r, ortogonal ao eixo z0 , que satisfaz as condições

-5,wv e 10uv =⋅=⋅rvrr

sendo ( ) ( )1,-1,2w e 1,3,2u =−=rr

. 9) Determinar o vetor projeção do vetor ( )3,2,1u −=

rna direção de ( ).2,1,2v −=

r

10) Qual o comprimento do vetor projeção de ( )2,5,3u =r

sobre o eixo x? 11) Determinar as coordenadas do vetor v

rsabendo-se que v

ré ortogonal aos vetores

( ) ( )1,-2,3w e 1,3,2u =−=rr

e que satisfaz à condição ( ) 61,1,2v =−⋅r

.

12) Na figura abaixo vr

é ortogonal a ur

. Se 4,1wu e 7u =⋅=rrr

pedem-se:

a) achar ,R∈α tal que .utrr

α= b) achar R, e ∈γβ tais que uwvrrr

γ+β= .

13) Achar o perímetro do triângulo ABC de vértices ( ) ( ) ( ).4,14,4C e 17,6,4B,5,2,1A −−

35

Produto Vetorial

1) Dados os pontos ( ) ( ) ( )2,-1,-3C e 1,0,3B,1,1,2A − , determinar o ponto D tal que ACBCAD ∧= . 2) Determinar o vetor x

rtal que ( ) ( ) ( )2,5,34,-2,1x e 73,4,1x −=∧−=−⋅

rr.

3) Dados os vetores ( ) ( ) ( ),1,2,0w e 3-4,1-v ,1,1,3u ===

rrr determinar x

rde modo que wx

rr⊥ e

.vuxrrr

=∧ 4) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores ,u-v e v2u

rrrr+ sendo

( ) e 0,2,3u −=r

( ).0,-1,-2v =r

5) Dados os vetores ( ) ( ) ,2,2,1-v e 2,1,3u =−=

rrcalcular

a) área do paralelogramo determinado por ;v e urr

b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .v

r

6) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por ( ) ( )1,-2,2v e 1,3,mu =−=

rr seja igual a 26 .

7) Sabendo que 30º e 4v ,6u ==

rro ângulo entre ,v e u

rr calcular a área do triângulo

determinado por ;v e urr

8) Dados os vetores ( ) ( ) ( ),2,-3,0w e 2,0,0v,0,1,1u ==−=

rrrpede-se determinar o vetor z

r

paralelo a wr

e que verifique a condição .vuzrrr

=∧

9) Seja o triângulo ABC, onde ( ) ( ).1,0,2BC e 0,1,1BA =−−= Pede-se: a) a área do triângulo; b) o comprimento h da altura do triângulo, relativa ao vértice B; c) um vetor H

r

que dê a direção da altura do triângulo relativa ao vértice B.

36

Produto Misto 1) Calcular o produto misto dos vetores ( ) ( ) ( );2,3,4w,3,3,1v,5,3,2u −=−==

rrr

2) Verificar se são coplanares os vetores ( ) ( ) ( );4,1,2w,1,0,1v,1,1,2u −=−=−=

rrr

3) Qual deve ser o valor de m para que os vetores ( ) ( ) ( )1,3,1w,2,1,1v,0,m,2u −−=−==

rrr

sejam coplanares? 4) Verificar se os pontos D(-2,1,-3) e )2,2,0(C),2,0,1(B),4,2,1(A −− estão no mesmo plano. 5) Calcule o volume V do paralelepípedo determinado pelos vetores,

( ) ( ) ( )3,3,0AD,1,1,1BE,1,0,1AB === . 6) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores ( ) ( )1,0,2v,4,1,3u =−=

rre ( )5,1,2w −=

r.

Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores v e urr

.

7) Qual o volume do cubo determinado pelos vetores ?k e j,ivrr

8) Sejam D(6,1,-3) e )1,1,2(C),1,0,5(B),1,2,1(A − vértices de um tetraedro. Calcular o volume deste tetraedro.

9) Sabendo que os vetores (-3,1,-2)AD e )3,1,m(AC),4,1,2(AB =−=−= determinam um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m.

10) Sejam, em relação a uma base ortonormal e positiva ( )k,j,irrr

, os vetores:

(((( )))) (((( )))) (((( ))));3,1,1w,1,4,2v,0,2,4u ====−−−−========rrr

Sejam O ;vuOD e wOC;vOB;uOA

rrrrr++=+=+=+= é um ponto qualquer escolhido

como origem; calcule: a) o volume do paralelepípedo de base OABD, que tem OC como uma aresta; b) o volume da pirâmide de base OABD e vértice C; c) o volume do tetraedro OABC, cuja base é o triângulo OAB e vértice C. d) os vetores w e v,u

rrrsão coplanares?

37

Reta 1) Dada a reta ( ) ( ) ( )0,3,2t3,2,1z,y,x:r −+−= , escrever equações paramétricas de r.

2) Dada a reta

+−=

−=

+=

t24z

t3y

t2x

:r , determinar o ponto de r tal que:

a) a ordenada seja 6; b) a abscissa seja igual à ordenada; c) a cota (coordenada z) seja o quádruplo da abscissa.

3) Determinar o ponto da reta 4

z

1

3y

2

1x:r =

−

+=

−que possui

a) abscissa 5; b) ordenada 2. 4) Escrever equações paramétricas das retas que passam pelo ponto ( )3,5,4A − e são, respectivamente, paralelas aos eixos Oz e yO ,Ox . 5) Determinar o ângulo entre as seguintes retas:

a) −

=+

=

−=

=

−−=

1

1z

1

6y

2

x:s

t23z

ty

t2x

:r b)

−=

=

−

+=

−=

−

3

2z

4

y

1x

:s e 2

1z

1

y

2

4x:r

6) Determinar o valor de n para que seja de 30º o ângulo entre as retas

3

z

5

y

4

2x:r

==−

e

−=

+=

2x2z

5nxy:s .

7) Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2, nos casos:

a) ( )

+=

=

=

=−

3-2xz

3-xy:s e

-1y

3x:r 1,2,3A

b) ( )

=

+−=

=

−

==

2z

1ty

t3x

:s e 2

3z1

y

2x

:r 0,0,0A

8) Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

a)

+=

+=

+−=

−=

1xz

7-3xy:s e

5xz

3x2y:r b)

+=

=

+=

−

=−

+=

−

3t-8z

t-4y

t-1x

:s e 4

2z

3

1y

2

3x:r

38

Plano 1) Seja o plano 04zyx3: =−−+π . Calcular:

a) O ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada 3; b) O ponto de π que tem abscissa 0 e cota 2; c) O valor de k para que o ponto )1k,2,k(P − pertença a π ; d) O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota; e) O valor de k para que o plano 07z4y4kx:1 =−+−π seja paralelo a π .

2) Determinar uma equação geral do plano paralelo ao plano 05zy3x2: =+−−π e que

contenha o ponto ).1,2,4(A − 3)Dada a equação geral do plano 06zy2x3: =−−−π , determinar um sistema de equações paramétricas de π . 4) Escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos: a) ( ) ( ) ( )1,1,-1C e 1,2,-1-B ,2,0,1A b) ( ) ( ) ( )4,2,3C e 3,-1,3-B ,3,1,2A 5) Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos ( ) ( )3,1,-2-B e 2,2,1A − e

é perpendicular ao plano 08zyx2:1 =+−+π 6) Encontrar uma equação geral do plano que contém as retas

−=

−

−=

+−=

−=

1y

1

1z

3

1-x

:s e 2xz

3x2y:r .

7) Determinar o ângulo entre os seguintes planos: a) 03zyx2 e 06zy2x: 21 =+−−=π=−+−π

b)

+=

−=

+=

π

=

+=

−+=

π

thz

h2y

t2x

: e

hz

t2hy

th1x

: 21

8) Determinar o valor de m para que seja de 30º o ângulo entre os planos

07z2myx:1 =−++π 02z3y5x4 e 2 =+++=π . 9) Determinar m para que os planos 21 e ππ sejam perpendiculares:

01z4my3x2: e 01-3z-ymx: 21 =++−π=+π 10) Dados a reta e o plano π , determinar o valor de m para que se tenha ,r e //r π⊥π nos seguintes casos:

a) 03-2z-y-mx: e

t4z

t21y

t3x

:r =π

=

+−=

+−=

39

b) ( ) ( ) ( ) 0mz2y3x: e m,-12,t1,2,0z,y,x:r =++π+= 11) Determinar a equação da reta que representa a interseção dos planos 21 e ππ .

a) 04z3yx e 01z2yx3: 21 =−−+=π=−+−π

b) 07zy2x e 01zy2x3: 21 =−−+=π=−−−π

12) Sejam a reta r e o plano π dados por 0.4-z-4y2x: e 2xz

3x2y:r =+π

+−=

−=Determinar

o ponto de interseção. :

40

BIBLIOGRAFIA

BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan. Geometria Analítica: Um tratamento

Vetorial. 2ª ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. p. 385.

KLÉTÉNIC. Problemas de Geometria Analítica. Tradução de Regina Régis

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LIMA, Roberto de Barros. Curso Básico de Vetores (uma iniciação à álgebra

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STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo:

Pearson Education, 1987. p. 292.

WATANEBE, Renate; MACHADO, Trajano Couto. Vetores e Geometria Analítica

volume 1. 7ª ed. São Paulo: Editora Afiliada, 1999. p.195.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson

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