Apostila_Estatística_ADS 13 Parte I

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SOROCABA

APOSTILA DE ESTATSTICA

CURSO: PROCESSAMENTO DE DADOS

Ao escrever esta Apostila no pretendi outra coisa, seno proporcionar aos alunos da disciplina ESTATSTICA , a facilidade de dispor de notas de aulas dos temas do Programa da Disciplina. O acompanhamento das aulas e a pesquisa em Bibliografia sobre o assunto, tornam-se necessrias para o adequado aproveitamento do curso.

PROF. OSNI PAULA LEITE

NDICE PGINA

1.0 Definies Estatsticas 01

1.1 Por que estudar Estatstica 1.2 Natureza dos Dados 1.3 Tipos de Dados 1.4 Tipos de Levantamentos 1.5 Planejamento de Experimentos

2.0 Amostragem 05 2.1 Definies 2.2 Amostragem Aleatria Baseada em Nmeros Aleatrios 2.3 Outros planos de Amostragem 2.4 Amostragem por Julgamento (No Probabilstica) 2.5 Amostragem Probabilstica

3.0 Anlise Exploratria de Dados 13 4.0 Distribuio de Freqncias 13

5.0 Apresentao Grfica 17

5.1 Diagrama de Ordenadas 5.2 Diagrama de Barras 5.3 Diagrama de Crculos 5.4 Diagrama de Setores Circulares 5.5 Diagrama Linear

6.0 Montagem de uma Distribuio de Freqncias 23 7.0 Apresentao Grfica das Variveis Quantitativas 26

7.1 Histogramas e Polgonos das Freqncias 7.2 Histogramas e Polgonos das Freqncias Relativas 7.3 Polgono de Freqncia Acumulada ou Ogiva 7.4 Polgono de Freqncia Acumulada Relativa

8.0 Tipos de Distribuio 31 8.1 Distribuio Simtrica ou em Forma de Sino 8.2 Distribuio assimtrica 8.3 Distribuio Modal, Amodal, Bimodal e Multimodal 8.4 Apresentao Tipo Ramo e Folhas 8.5 Pictograma

9.0 Medidas de posio ou Tendncia Central 37 9.1 Mdia Aritmtica Simples 9.2 Mdia Aritmtica Ponderada 9.3 Mediana 9.4 Moda

10.0 Medidas de Variabilidade (Disperso) 41

10.1 Amplitude 10.2 Desvio Padro

10.2.1 Desvio Padro Amostral 10.2.2 Desvio Padro da Populao

10.2.3 Representao Grfica do Desvio Padro

10.2.4 Sistematizao Para o Clculo 10.3 Varincia 45

11.0 Probabilidade 46 11.1 Espao Amostral 11.2 Trs Origens da Probabilidade 11.3 Matemtica da Probabilidade

12.0 Tcnicas de Contagem 53 12.1 Princpios de Multiplicao 12.2 Permutao, Arranjo e Combinao 12.3 Regras de Contagem Exerccios 13.0 Distribuio de Probabilidades 61

13.1 Distribuio Binomial Exerccios 13.2 Distribuio de Poisson Exerccios 14.0 Distribuio Normal 69

Exerccios 15.0 Correlao 76

15.1 Introduo 76 15.2 Relao Funcional e Relao Estatstica 77 15.3 Diagrama de Disperso 78 15.4 Correlao Linear 79 15.5 Coeficiente de Correlao Linear 81 15.6 Cuidados com os Erros na Interpretao de Correlao 83

16.0 Regresso 87 16.1 Ajustamento de curvas 89 16.2 Mtodo dos Mnimos Quadrados 91

1.0 Confiabilidade da Amostra 1.1 Planejamento da Amostra 1.2 Erros provenientes da Amostragem 1.3 Erros no provenientes da Amostragem 1.4 Planejamento geral da Pesquisa 1.5 Distribuies Amostrais 1.6 Erro Padro da Mdia 1.7 O Teorema Central do Limite 2.0 Estimativa e Tamanho de Amostras 2.1 Aspectos Gerais 2.2 Estimativa de uma Mdia Populacional: Grandes Amostras 2.3 Estimativa de uma Mdia Populacional: Pequenas Amostras 2.4.Estimativa de uma Proporo Populacional 2.5 Estimativa de uma Varincia Populacional

ESTATSTICA

1.0 DEFINIES DE ESTATSTICA

Etimologicamente a palavra estatstica vem de status expresso latina que significa,

sensu lato, o estudo do estado. Os primeiros a empregarem esse termo foram os

Alemes seguidos pela Itlia, Frana, Inglaterra e ainda por outros paises.

Para Levasseur a estatstica : O estudo numrico dos fatos sociais.

Yule define estatstica como: Dados quantitativos afetados marcadamente por uma

multiplicidade de causas.

Uma definio mais usual nos dias de hoje seria: Um mtodo cientifico que permite a

anlise, em bases probabilstica, de dados coligados e condensados

Ou ainda podemos dizer que : A coleta, o processamento, a interpretao e a

apresentao de dados numricos que pertencem ao domnio da estatstica

1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATSTICA?

Por hora podemos dizer que o raciocnio estatstico largamente utilizado no governo e

na administrao; assim, possvel que, no futuro, um empregador venha a contratar ou

promover um profissional por causa do seu conhecimento de estatstica.

1.2 A NATUREZA DOS DADOS O dados estatsticos constituem a matria prima das pesquisas estatsticas, eles surgem

quando se fazem mensuraes ou se restringem observaes.

Estatstica descritiva: Trata-se da descrio e resumo dos dados. Probabilidade: um estudo que envolve o acaso. Interferncia: a analise e interpretao de dados amostrais (Amostragem). Modelo: So verses simplificadas (Abstraes) de algum problema ou situao real.

-1-

1.3 TIPOS DE DADOS

Quantitativos Contnuos

Discretos Qualitativos Nominais

Por postos

As variveis contnuas podem assumir qualquer valor num intervalo contnuo. Os dados

referentes a tais variveis dizem-se dados contnuos. Ex. Peso, comprimento, espessura

onde usa-se a mensurao.

As variveis discretas assumem valores inteiros de dados discretos so os resultados da

contagem de nmeros de itens. Ex. alunos da sala de aula, nmero de defeitos num carro

novo, acidentes de uma fbrica.

Os dados nominais surgem quando se definem categorias e se conta o nmero de

observaes pertencentes a cada categoria. Ex.: atuam dentro das variveis Qualitativas

as quais devemos associar a valores numricos para que possamos processar

estatisticamente. Ex.: cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos), sexo (masculino e

feminino), desempenho (excelente, bom, sofrvel, mau) etc.

Os dados por postos consistem de valores relativos atribudos para denotar ordem:

primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Ex.: concurso de beleza se classificam em

1,2,3 colocadas.

TABELA: 1 A mesma populao pode originar diferentes tipos de dados.

TIPOS DE DADOS

POPULAES CONTNUOS DISCRETOS NOMINAIS POR POSTO

Alunos de administrao idade/peso N. De classes Homens/Mulheres 3 grau

-2-

1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS

Os levantamentos podem ser classificados em contnuos, peridicos e ocasionais:

CONTNUO: Quando os eventos vo sendo registrados medida que ocorrem.Exemplos

os registros civis dos fatos vitais (nascimento, bitos e casamentos).

PERIDICOS: Acontecem ciclicamente. Exemplo o rescenceamento, feito no Brasil a

cada dez anos.

OCASIONAIS: So aqueles realizados sem a preocupao de continuidade ou

periodicidade preestabelecidas, exemplos a maioria dos trabalhos de investigao

cientifica.

DADOS PRIMRIOS: Quando o investigador no encontra dados publicados adequados

ao seu estudo, parte para a realizao de um inqurito, isto , os dados so levantados

diretamente na populao no momento da investigao.

DADOS SECUNDRIOS: Quando o investigador para verificar as sua hipteses de

trabalho utiliza- se de dados j existentes, arquivados, registrados ou publicados. Podem

ser at mesmo dados gerados pelo Departamento de Estatsticas de Populaes da

Fundao Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE).

-3-

1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS

1- Definio do problema Um Estudo ou Uma Anlise 2- Formular plano para coleta de dados adequados

3- Coligir os dados

4- Analisar e interpretar os dados

5- Relatar as concluses

EXERCCIOS E-1 1- Identifique os seguintes exemplos em termos de tipos de dados:

a- 17 gramas b- 3 certos, 2 errados

c- 25 segundos

d- 25 alunos na classe

e- tamanho de camisa

f- Km/litro

g- O mais aprazvel

h- O mais lento

i- 5 acidentes no ms de maio

Responder as perguntas:

1- Defina o termo Estatstica 2- Responder a pergunta: Por que estudar estatstica?

3- Dar exemplos de como um administrador pode se beneficiar do

conhecimento de Estatstica?

-4-

2.0 AMOSTRAGEM

AMOSTRAGEM VERSUS SENSO: Uma amostra usualmente envolve o estudo de uma

parcela dos tens de uma u a , enquanto que o censo requer o estudo de todos

os tens.

estries ao enso:

- Custo

- opulaes infinitas

- Dificuldade nos critrios reciso)

- rodutos de testes Destrutivos f sforos, munies)

- empo despendido atualizao)

- ipos de informaes mais restritivas

asos de excesso:

- opulaes pequenas

- Amostras grandes em relao a populao

- e exige preciso completa

- e j so disponveis informaes completas

2.1 DEFINIES: POPULAO: o conjunto de indivduos (ou objetos), que tem pelo menos uma varivel

comum observvel.

AMOSTRA: qualquer sub-conjunto da populao extrada para se realizar estudos

estatsticos

.

-5-

POPULAO

AMOSTRA

A estatstica indutiva a cincia que busca tirar concluses probabilsticas sobre a

populao, com base em resultados verificados em amostras retiradas dessa populao.

Entretanto no basta que saibamos descrever convenientemente os dados da amostra

para que possamos executar, com xito, um trabalho estatstico completo. Antes de

tudo preciso garantir que a amostra ou amostras que sero utilizadas sejam obtidas por

processos adequados.

- O que necessrio garantir, em suma, que a amostra seja Re resentativa da

populao.

Dois aspectos nas amostras so fundamentais, e que do a sua representatividade em

termos:

- Qualitativos: Amostras que representem todas as sub-populaes, quando for o caso.

- Quantitativos: Que possua quantidade de dados suficientes para representar a

Populao.

Na indstria onde amostras so freqentemente retiradas para efeito de Controle da

Qualidade dos produtos e materiais, em geral os problemas de amostragem so mais

simples de resolver.

Por outro lado, em pesquisas sociais, econmicas ou de opinio, a complexibilidade

dos problemas de amostragem so normalmente bastante grandes.

- Interferncia estatstica envolve a formulao de certos julgamentos sobre um todo

aps examinar apenas uma parte, ou a amostra, dele.

A probabilidade e a amostragem esto estreitamente correlacionadas e juntas formam o

fundamento da teoria de interferncia.

- Amostragem o ato de retirar amostra, isto , a ao.

- Amostra a quantidade de dados especificado para representar a populao.

-6-

Amostragem aleatria permite estimar o valor do erro possvel, isto , dizer quo

prxima est amostra da populao, em termos de representatividade.

Amostragem no aleatria no apresenta esta caracterstica.

vrios mtodos para extrair uma amostra talvez o mais importante seja a amostragem

aleatria de modo geral, a amostragem aleatria exige que cada elemento tenha a

mesma oportunidade de ser includo na amostra.

Nas Populaes discretas uma amostra aleatria aquela em que cada item da

populao tem a mesma chance de ser includo na amostra.

Nas Populaes contnuas, uma amostra aleatria aquela em que a probabilidade de

incluir na amostra qualquer intervalo de valores igual percentagem da populao que

est naquele intervalo.

Populaes finitas: quando, temos constitudo por nmeros finitos, ou fixos de

elementos, medidas ou observaes.

Ex.: Peso bruto de 3000 latas de tinta de um certo lote de produo.

Populaes infinitas: so aquelas que contm, pelo menos hipoteticamente, um

nmero infinito de elementos.

Ex. Produo de carros V.W. produzidos no Brasil e a serem produzidos (universo

volkswagem), processo probabilstico.

2.2 AMOSTRAGEM ALEATRIA BASEADA EM NMEROS ALEATRIOS

(RANDMICOS)

As tabelas de nmeros aleatrios contm os dez algarismos 0,1,2,3,4,......,9. Esses

nmeros podem ser lidos isoladamente ou em grupos; podem ser lidos em qualquer

ordem. A probabilidade de qualquer algarismo aparecer em qualquer ponto 1/10.

Portanto todas as combinaes so igualmente provveis.

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Conceitualmente, poderamos construir uma tabela de nmeros aleatrios numerando

dez bolinhas com os algarismos de 0 a 9 , colocando-as numa urna, misturando bem e

extraindo uma de cada vez, com reposio, anotando os valores obtidos.

A titulo de ilustrao poderamos querer selecionar aleatoriamente 15 clientes de uma

lista de 830 de um grande magazine, a finalidade poderia ser :

Estimar a freqncia de compras;

Determinar o valor mdio de cada compra;

Registrar as queixas contra o sistema.

2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM

Amostragem probabilstica versus Amostragem no probabilstica

Os planos de amostragem probabilstica so delineados de tal modo que se conhece a

probabilidade de todas as combinaes amostrais possveis. Em razo disso, pode-se

determinar a quantidade de varivel amostral numa amostra aleatria e uma estimativa

do erro amostral. A amostragem aleatria um exemplo da amostragem probabilstica.

A amostragem no probabilstica a amostragem subjetiva, ou por julgamento, onde a

variabilidade amostral no pode ser estabelecida com preciso, conseqentemente, no

possvel nenhuma estimativa do erro amostral.

A verdade que, sempre que possvel, deve-se usar a amostragem probabilstica.

2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NO PROBABILSTICA)

Se o tamanho da amostra bem pequeno; digamos, de uns 5 itens, a amostragem

aleatria pode dar resultados totalmente no representativos, ao passo que uma pessoa

familiarizada com a populao pode especificar quais os itens mais representativos da

populao.

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Exemplo: Uma equipe mdica deve trabalhar com pacientes que se apresentem com

voluntrios para testar um novo medicamento. Nenhum desses grupos podem ser

considerados como uma amostra aleatria do p blico em geral, e seria perigoso tentar

tirar concluses gerais com base em tal estudo. Todavia, os resultados poderiam

proporcionar uma base para a elaborao de um plano de amostragem aleatrio para

validar os resultados bsicos. Os perigos inerentes pesquisa mdica , bem como outro

tipo de pesquisa, freqentemente obrigam a limitar a pesquisa inicial a um pequeno

grupo de voluntrios.

Exemplo: A aplicao de hormnios em mulheres na menopausa, aps um perodo de

tempo notou-se o aumento das chances de adquirirem cncer de mama, doenas

cardacas etc.

2.5 AMOSTRAGEM PROBABILSTICA

SISTEMTICA

ESTRATIFICADA

CONGLOMERADO

AMOSTRAGEM SISTEMTICA

muito parecida com a amostragem aleatria simples. Podemos ter uma amostragem

realmente aleatria, escolhendo-se cada K-sima amostra, onde K obtem-se dividindo o

tamanho da populao pelo tamanho da amostra.

K= N onde: N= Tamanho da Populao n n= Tamanho da Amostra

EX. N= 200 e n=10 ento K=200/10 = 20

Significa que ser escolhido um item a cada seqncia de 20 de uma lista. Para iniciar

pode-se usar uma tabela de nmeros aleatrios de 0 a 9 para iniciar os grupos. Por

exemplo se der o 9, escolhemos o 9, 29, 39 ,49 , etc.

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AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

Pressupe a diviso da populao em sub-grupos Homogneos (Estratos), procedendo

ento a amostragem de cada sub-grupo. Ex.: Para se fazer o inventrio do estoque,

comum termos 10% dos itens representarem cerca de 60% do valor total em quanto que

os 90% restantes representam s 40% do valor total (Curva A,B,C; Pareto; regra 80/20).

AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO

Pressupe a disposio dos itens de uma populao em sub-grupos heterogneos

(sub-populaes) representativos da populao global. Neste caso cada conglomerado

pode ser encarado como uma minipopulao.

Ex.: Estudo pr-eleitoral para medir a preferncia dos eleitores. (Sub-grupos: sexo,

educao, faixa etria, poder aquisitivo, regio da habitao,etc)

-10 -

RESUMO

A finalidade da amostra permitir fazer interferncia sobre a populao aps inspeo

de apenas parte dela. Fatores com custo, ensaios destrutivos e populaes infinitas,

tornam a amostragem prefervel a um estudo completo (Censo) da populao.

Naturalmente espera-se que a amostra seja representativa da populao da qual foi

extrada.

Potencialmente, este objetivo atingido quando a amostragem aleatria.

Para populaes discretas o termo A eatri significa que cada item da populao tem

a mesma chance de participar na amostra.

No caso de populaes contnuas, significa que a probabilidade de incluir qualquer valor

de um dado intervalo de valores igual proporo com valores naquele intervalo.

As amostras aleatrias podem ser obtidas:

- Atravs de um processo de mistura, com o embaralhamento de cartas;

- Pela utilizao de um processo mecnico (Misturadores);

- Utilizando-se uma tabela de nmeros aleatrios para proceder seleo de uma lista.

Em certas condies, podem ser mais eficientes variantes da amostragem aleatria

simples, tais como amostragem sistemtica (peridica), estratificada (sub-grupos

Homogneos), ou amostragem por aglomerados (sub-grupos convenientes e

heterogneos).

A principal vantagem da amostragem aleatria que se pode determinar o grau de

variabilidade amostral, o que essencial na interferncia estatstica. amostragem no

probabilstica falta esta caracterstica.

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QUESTES PARA RECAPITULAO EXERCICIOS E-2

1- Em que circunstncia a amostragem prefervel a um censo completo?

2- Quando se deve preferir um censo a uma amostragem?

3- Defina Amostra Aleat ria.

4- Descreva os vrios mtodos de obteno de uma amostra aleatria. Como escolher

o mtodo a ser usado em determinada situao?

6- Explique rapidamente as caractersticas:

a. da amostragem por conglomerado;

b. da amostragem estratificada;

c. da amostragem sistemtica.

6- Que amostragem por julgamento e em que circunstncia deve ser usada?

7- Que amostragem probabilstica e quando deve ser usada?

8- Explique o significado de Amostra Aleat ria quando a populao :

a. contnua b. Discreta

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3.0 ANLISE EXPLORATRIA DE DADOS

Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador se v s voltas com o problema de

analisar e entender uma massa de dados, relevantes ao seu particular objeto de

estudos.

De modo geral, podemos dizer que a essncia da cincia a observao e que seu

objetivo bsico a interferncia. Esta parte da metodologia da cincia que tem por

objetivos a coleta, reduo, anlise e modelagem dos dados, a partir do que, finalmente,

faz-se a interferncia para uma populao, da qual os dados (amostras) foram obtidos.

4.0 DISTRIBUIO DE FREQNCIA

Para cada tipo de varivel existem tcnicas mais apropriadas para resumir as

informaes. Porem podemos usar algumas tcnicas empregadas num caso, podemos

adapt-las para outros.

Quando se estuda uma varivel, o maior interesse do pesquisador conhecer a

distribuio dessa varivel atravs das possveis realizaes (valores) da mesma.

Exemplo: Dados relativos a uma amostra de 36 funcionrios de uma populao de 2000

funcionrios da empresa Milsa. Ver resultados anotados na tabela abaixo.

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TABELA 1

N ESTADO GRAU DE N DE SALRIO IDADE REGIO DE

CIVIL INSTRUO FILHOS (X SAL. MIN) ANOS MESES PROCEDNCIA

1 solteiro 1 grau --- 4 26 03 interior

2 casado 1 grau 1 4,56 32 10 capital


4 solteiro 2 grau --- 5,73 20 10 outro


6 casado 1 grau 0 6,66 28 00 interior

7 solteiro 1 grau --- 6,86 41 00 interior

8 solteiro 1 grau --- 7,39 43 04 capital






14 casado 1 grau 3 8,95 44 02 outro





19 solteiro superior --- 10,53 25 08 interior

20 solteiro 2 grau --- 10,76 37 04 interior



23 solteiro 1 grau --- 12,OO 41 00 outro

24 casado superior 0 12,79 26 01 outro







31 solteiro superior --- 16,22 31 05 outro


33 casado superior 3 17,26 43 07 capital

34 solteiro superior --- 18,75 33 07 capital

35 casado 2 grau 2 19,4O 48 11 capital

36 casado superior 3 23,3O 42 02 interior

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Freqncia e percentagem da amostra de 36 empregados da empresa Milsa segundo o

grau de instruo.

TABELA 2

Freqncia e percentagem dos 2000 empregados (Populao) da empresa Milsa (Censo

x Probabilidade)

TABELA 3

Freqncia e percentagens dos 36 empregados (Amostra) da empresa Milsa

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GRAU DE TABULAO FRQNCIA FREQ. RELATIVA

INSTRUO F FR %

1 grau I I I I I I I I I I I I 12 33,33

2 grau I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 50,OO

superior I I I I I I 6 16,67

TOTAL 36 100

GRAU DE FRQNCIA FREQ. RELATIVA FREQ. RELATIVA

INSTRUO F FR % Censo FR % Provvel

1 grau 650 32,50 33,33

2 grau 1020 51,00 50,OO

superior 330 15,50 16,67

TOTAL 2000 100 100

TABELA 4

CLASSE DE SALRIOS FRQNCIA FREQ. RELATIVA

F FR %

4 I------- 8 10 27,78

8 I------- 12 12 33,33

12 I------- 16 8 22.22

16 I------- 20 5 13,89

20 I------- 24 1 2,78

TOTAL 36 100

Freqncias e percentagem dos empregados da empresa Milsa, segundo N de filhos

TABELA 5

NMERO DE FILHOS FREQNCIA FREQ. RELATIVA

Xi F FR %

0 4 20

1 5 25

2 7 35

3 3 15

5 1 5

TOTAL 20 100

Exercicio -Representar a distribuicao de frequencia para Idade e a Regiao de procedencia dos funcionarios da Empresa Milsa.

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5.0 REPRESENTAO GRFICA DAS VARIVEIS

QUANTITATIVAS

A representao grfica da distribuio de freqncias de uma varivel tem a vantagem

de, rpida e concisamente, informar sobre a variabilidade da mesma.

Podemos optar por vrios tipos de grficos, porem qualquer que seja ele, devemos

especificar os elementos essenciais para a sua interpretao, que so:

- o ttulo;

- o corpo;

- o cabeario;

- as colunas indicadoras.

TTULO a indicao que, precedendo a tabela, colocado na parte superior da

mesma. Deve ser preciso, claro e conciso, indicando a natureza dos fatos estudados (o

que), e a poca (quando) em que o mesmo foi observado.

CORPO da tabela o conjunto de linhas e colunas que contem respectivamente, as

sries Horizontais e verticais de informaes. Casa, cela ou clula o cruzamento de

uma linha com uma coluna, onde se tem a freqncia com que a categoria (ou categorias)

aparecem.

CABEARIO parte da tabela em que designada a natureza (as categorias, as

modalidades da varivel) do contedo de cada coluna.

COLUNA INDICADORA parte da tabela em que designada a natureza (as

categorias, as modalidades da varivel) do contedo de cada linha.

Os elementos complementares de uma tabela so:

- Fontes;

- Notas.

FONTE o indicativo, no rodap da tabela, da entidade responsvel pela sua

organizao ou fornecedora dos dados primrios. A razo da presena da fonte no

somente honestidade cientifica, mas tambm permitir ao leitor a possibilidade de

consultar o trabalho original de onde procedem as informaes.

NOTAS so colocadas no rodap da tabela para esclarecimentos de ordem geral. E so

numeradas, podendo-se tambm usar smbolos grficos, sendo comum o asterisco.

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6.0 APRESENTAO GRFICA

A apresentao grfica dos dados e respectivos resultados de sua anlise pode tambm

ser feita sob forma de figuras, em geral grficos ou diagramas.

Grficos devem ser auto-explicativos e de fcil compreenso, de preferncia sem

comentrios inseridos.Devem ser simples, atrair a ateno do leitor e inspirar confiana.

6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS

Para sua construo traada uma reta horizontal (ou vertical) de sustentao; a partir de

pontos eqidistantes na reta, traa-se perpendiculares cujos comprimentos sejam

proporcionais s freqncias.

freqncias

12

10

8

6

4

2

0

4 I------- 8 8 I------- 12 12 I------- 16 16 I------- 20 20 I------- 24

Salrios

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6.2 DIAGRAMA DE BARRAS

A mesma distribuio acima poderia ser representada por meio de diagrama que levasse

em conta a magnitude da rea da figura geomtrica, j que a vista repousa melhor

sobre uma superfcie do que sobre uma linha.

freqncias

12

10

8

6

4

2

0

4 I-----

-- 8 8 I-----

-- 12 12 I-----

-- 16 16 I-----

-- 20 20 I-----

-- 24

salrios

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6.3 DIAGRAMA DE CRCULOS

Alem do retngulo, outra figura geomtrica utilizada o crculo ou conjunto de crculos.

Lembrando que a rea do crculo o produto do nmero irracional = (3,1416) pelo

quadrado do raio (r), isto , C= .r , e desde que as reas dos diversos crculos

devem ser proporcionais s magnitudes das freqncias, isto , C = . f onde o fator

de proporcionalidade, segue-se que:

. f = . r , ou seja, r = .f Se chamar de `, tem-se :

portanto, os raios dos crculos devem ser proporcionais a raiz quadrada das freqncias

das modalidades da varivel.

Assim se quisermos representar graficamente a distribuio da tabela 1.4, os raios do

crculo devero ser:

r1 = 27,78 . `= 5,27 . ` 5,27. 3 = 15.8 mm

r2 = 33,33 . `= 5.77 . ` 5,77. 3 = 17,3 mm

r3 = 22.22. `= 4,71. ` 4,71. 3 = 14,1 mm

r4 = 13,89 . `= 3.72. ` 3,72. 3 = 11,1 mm

r5 = 2,78 . ` = 1,66 ` 1,66. 3 = 5,00 mm

A figura abaixo representa esta distribuio, com um ` adotado de 3 mm.

2,7% %

22,22 %

27,78 %

33,33 %

13,89

%

r = `. f

-20-

6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES Outra opo seria atravs de setores circulares, na qual se divide a rea total de um

crculo em subreas (setores) proporcionais as freqncias.

Lembrando que o crculo compreende setores cujas reas (S) so produto do raio (r) pelo

tamanho do arco (a), isto , S = r.a, e com S deve ser proporcional a freqncia f, tem-se

S= .f , onde o fator de proporcionalidade; ento:

.f = r. a

a = . f r Se chamarmos de `, tem-se = `. f , isto , os arcos e os respectivos r ngulos centrais de um crculo igual a 360, e sendo F a freqncia total, tem-se

360 = `. F

ou seja: `= 360 Portanto a = 360. f F F Assim, a distribuio de freqncia da tabela 4 representando faixas de salrios fica:

a1 = 360 x 27,78 = 100 100

a2 = 360 x 33,33 = 120 100

a3 = 360 x 22,22 = 80 100

a4 = 360 x 13,89 = 50 100

S5 = 360 x 2,78 = 10 100

-21-

Diagrama de Setores Circular

.

Diagrama de Setores Circular feito automaticamente pelo excel

120 50 100 80

10

-22-

6.5 DIAGRAMA LINEAR

No diagrama linear deve-se plotar os pontos nos eixos como foi feito no diagrama de

barras e em seguida unir esses pontos por semi-retas contituindo-se desta forma o

diagrama linear.

-23-

6.6 O PICTOGRAMA

freqncias

12

x

10 x

x

8

6

x

4

2

x

0

4 I------- 8 8 I------- 12 2 12 I------- 16 16 I------- 20 20 I------- 24

salrios

A figura abaixo mostra um exemplo de apresentao pictogrfica de dados

temporais

(comumente encontrada em jornais, revistas e relatrios de vrios tipos), no caso abaixo

representa a populao dos Estados Unidos.

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

Cada smbolo = 10 milhes de pessoas Pictograma da populao dos Estados Unidos

-24-

7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIAS

A anlise estatstica de dados relativos a uma amostra de uma populao, requer uma

aglutinao organizada de informaes, conforme regras cuja prtica demonstrou serem

eficientes.

Consideremos uma relao de pesos de pacotes de manteiga, em gramas, de uma

amostra de 100 pacotes extrados parcialmente de um processo automtico de

empacotamento.

15 A especificao de fabricao 215 gramas (200 a 230 gramas)

TABELA 6

AMOSTRA PESO

AMOSTRA PESO

AMOSTRA PESO

AMOSTRA PESO

AMOSTRA PESO

1 207 21 220 41 210 61 210 81 217

2 213 22 204 42 214 62 220 82 211

3 210 23 213 43 219 63 213 83 213

4 215 24 211 44 215 64 217 84 218

5 201 25 214 45 217 65 214 85 213

6 210 26 217 46 213 66 219 86 216

7 212 27 224 47 218 67 214 87 218

8 204 28 211 48 214 68 215 88 216

9 209 29 220 49 215 69 223 89 206

10 212 30 209 50 212 70 217 90 212

11 215 31 214 51 221 71 213 91 207

12 216 32 208 52 211 72 218 92 213

13 221 33 217 53 218 73 207 93 215

14 219 34 214 54 205 74 210 94 212

15 222 35 209 55 220 75 208 95 223

16 225 36 212 56 203 76 214 96 210

17 215 37 208 57 216 77 211 97 226

18 218 38 215 58 222 78 205 98 224

19 213 39 211 59 206 79 215 99 214

20 216 40 216 60 221 80 207 100 215

O agrupamento destes dados em sub-grupos feito com base nos seguintes conceitos:

-25-

Amplitude total ( R.T.): a diferena entre a medida mxima e a medida mnima. No

caso da amostra de pacotes de manteiga acima, temos:

R.T. = 226 201 = 25 gramas

Nmero de classes (d) : o nmero de divises que estipulamos para a Amplitude

Total.

Normalmente pode-se usar d = n onde n= n mero de itens na amostra para o

exerccio temos d = 100 10 classes, porem deve-se utilizar sempre que possvel

nmero impar de classes no caso 9 classes.

Classe: o intervalo de variao das medidas.

Amplitude do intervalo de classe (R.I.): a diferena entre os valores mximos e

mnimos de cada classe.

Amplitude intervalo de cada classe R.I . = R.T

Nmero de Classes No caso do exerccio temos:

Amplitude intervalo de cada classe R.I . = 25 = 2,7 aprox. 3 7

RI adotado = 3 RT adotado = 27 diferenca 2 comeca uma antes do menor e termina um antes do maior valor. As classes devem ser mutuamente exclusivas, para que no haja duvida na localizao

dos valores das variveis, podemos dai utilizar as seguintes simbologias para os

intervalos:

0 ----I 10 intervalo aberto & fechado, para significar que o intervalo compreende os

valores da varivel maiores do que 0 (excludo) e at 10 (inclusive);

0 I---- 10 intervalo fechado & aberto, para significar que compreende os valores da

varivel a partir de 0 (inclusive) e at 10 (exclusive);

0 ----- 10 Intervalo aberto & aberto, para significar que compreende valores maiores do

que 0 e menores do que 10.

0 I----I 10 intervalo fechado & fechado, para significar que compreende os valores da

varivel a partir de 0 (inclusive) e at 10 (inclusive).

-26-

TABELA de DISTRIBUIO das FREQNCIAS

Para a facilidade e metodizao do processo de anlise estatstica, monta-se um tabela

que agrupe as informaes obtidas, de forma de Tabela de Freqncias. Para os pacotes

em pauta, teremos a seguinte tabela de freqncias:

TABELA 7

VALOR COMPRIMENTO FREQ. FREQUENCIA FREQUENCIA FREQUENCIA

CLASSE CLASSE TABULAO F RELATIVA % ACUM. ACUM. REL.%

1 200 ---I 203 I I 2 2 2 2

2 203 ---I 206 I I I I I I 6 6 8 8

3 206 ---I 209 I I I I I I I I I I 10 10 18 18

4 209 ---I 212 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 36 36

5 212 ---I 215 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 28 28 64 64

6 215 ---I 218 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 82 82

7 218 ---I 221 I I I I I I I I I I 10 10 92 92

8 221 ---I 224 I I I I I I 6 6 98 98

9 224 ---I 227 I I 2 2 100 100

100 100%

Onde:

Freqncia (F) = o numero de vezes que as medidas ocorrem no intervalo de classes

Freqncia relativa (FR) = a percentagem da freqncia de cada classe em relao ao

total de elementos.

FR = F d x 100 n Freqncia acumulada (FA) = a soma das freqncias at o intervalo de classe

considerado.

Ex. Fa5 = F1+ F2 + F3 + F3 + F5 2+ 6+ 10+ 18+ 28 = 64

Freqncia acumulada relativa (FAR) = a soma das freqncias relativas at o

intervalo considerado

Far3 = Fr1 + Fr2 + Fr3 2 + 6 + 10 = 18

-27-

7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQNCIAS

freqncias

28

21

14

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

-28-

POLIGONO DE FREQNCIAS

7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQNCIAS RELATIVAS

%

28%

21%

14%

7%

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

-29-

POLIGONO DE FREQNCIA RELATIVA

7.3 POLIGONO DE FREQNCIA ACUMULADA OU OGIVA

F.AC.

100

80

60

40

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

-30-

7.4 POLIGONO DA FREQNCIA ACUMULADA RELATIVA

POLIGONO DE FREQNCIAS ACUMULADA

%

F.AC REL.

100 %

80 %

60 %

40 %

20 %

0 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES

- 31 -

POLIGONO DE FREQNCIAS ACUMULADA RELATIVA

8.0 TIPOS DE DISTRIBUIO As distribuies de freqncia podem se apresentar de diversas formas conforme as

figuras a seguir:

8.1 DISTRIBUIO SIMTRICA OU EM FORMA DE SINO

A distribuio simtrica quando os valores se distribuem igualmente em torno da mdia

(X)

A) Normal

B) Alongada

-32-

C) Achatada

8.2 DISTRIBUIO ASSIMTRICA aquela em que as freqncias dos valores medidos, se distribuem de forma desigual

em torno da mdia.

A) Assimtrica Positiva

-33-

B) Assimtrica Negativa

8.3 DISTRIBUIO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL

Chamamos de moda numa distribuio, ao valor da medida ou classe que corresponde

freqncia mxima. Sob o critrio da moda as distribuies classificam-se em:

A) DISTRIBUIO MODAL Quando a distribuio tem freqncia mxima ela

denominada modal.

mo

-34-

B) DISTRIBUIO AMODAL Quando a distribuio no tem moda

B) DISTRIBUIO BIMODAL Quando a distribuio tem duas modas.

mo mo

C) DISTRIBUIO MULTIMODAL Quando a distribuio tem mais de duas modas

mo mo mo

-35-

8.4 APRESENTAO TIPO RAMO-E-FOLHAS Uma alternativa para o uso da tabela de distribuio de freqncias usar o grfico do

tipo ramo-e-folhas.

Podermos estudar a partir de um exemplo prtico:

Observamos os seguintes nmeros de passageiros em 50 viagens de um avio que faz

ponte area Rio - So Paulo:

61 52 64 84 35 57 58 95 82 64

50 53 103 40 62 77 78 66 60 41

58 92 51 64 71 75 89 37 54 67

59 79 80 73 49 71 97 62 68 53

43 80 75 70 45 91 50 64 56 86

SOLUO:

F F.A.

3 5 7 2 2

4 0 1 3 5 9 5 7

5 0 0 1 2 3 3 4 6 7 8 8 9 12 19

6 0 1 2 2 4 4 4 4 6 7 8 11 30

7 0 1 1 3 5 5 7 8 9 9 39

8 0 0 2 4 6 9 6 45

9 1 2 5 7 4 49

10 3 1 50

A MEDIANA NESTE CASO SER = 64

-36-

9.0 MEDIDAS DE POSIO OU DE TENDNCIA CENTRAL

Como o prprio nome indica, a medida de tendncia central visa a determinar o centro da

distribuio. Esta determinao, porem, no bem definida da parece razovel

chamarmos de tendncia central.

So medidas de tendncia central:

MDIA ARITMTICA SIMPLES/PONDERADA;

MEDIANA;

MODA.

9.1 MDIA ARITMTICA SIMPLES

Dada uma distribuio de freqncias, chama-se de mdia aritmtica desta destituio, e

representa-se por a soma de todos os valores da varivel, dividida pelo nmero de

variveis n.

= x n n

Sendo: x i= 1

Exemplo: Calcular a mdia aritmtica simples de 8, 3, 5, 12, 10. = 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7,6 5 5

-37-

9.2 MDIA ARITMTICA PONDERADA K xi .fi i= 1

= K

x fi i= 1

onde: f = freqncia dos nmeros x = nmeros

Exemplo: Calcular a mdia ponderada dos nmeros 5, 8, 6, 2 os quais ocorrem com as

freqncias 3, 2, 4 e 1, respectivamente

Nmeros x = 5, 8, 6, 2

Freqncias f = 3, 4, 2, 1

= 3x5 + 4x8 + 2x6 + 1x2 = 57 = 5,7 3+4+2+1 10

9.3 MEDIANA x )

Se ordenarmos uma seqncia de nmeros do menor para o maior e se a quantidade

desses nmeros for impar, ento a mediana ser o valor do meio, ou a mdia dos dois

valores do meio caso a quantidade de nmeros seja par.

O smbolo que usamos para representar a mediana x l-se x ti .

No caso de calculo da mediana quando estamos trabalhando com distribuio de

freqncia determinamos o valor mais provvel dessa distribuio a partir de:

-38-

x = Freqncia acumulada total = FA (para n er s ares) 2 2

Ou ainda A posio DA MEDIANA definida por { n+1 } -simo elemento quando n 2

mpar temos um n mero inteiro e d a posia o da mediana;

Exemplo: Determine a posio da mediana para a) n=15 b) n=45 c)n=88

a) n+1 = 15+1 = 8, e a mediana o valor do 8 elemento; 2 2

b) n+1 = 45+1 = 23, e a mediana o valor do 23 elemento;

2 2

c) n = 88 = 44 e a mediana o valor correspondente ao valor do 44elemento. 2 2

No caso do exerccio da distribuio dos 100 valores de peso de pacotes de manteiga

temos:

X = n = 100 = 50, e a mediana o valor do 50 elemento

2 2

FA 0 2 8 18 36 64 82 92 98 100

X 200 203 206 209 212 215 218 221 224 227

50

(64 36) (215 212)

(64 50)

= 14 x 3 = 1,5 28

portanto a mediana ser 212 + logo, X = 212 + 1,5 = 213,5

-39-

36 64

212 215

50

valor

9.4 MODA ( X )

Em um conjunto de nmeros a moda o valor que ocorre com maior freqncia, isto , o

valor mais comum.

Exemplos:

1) 2, 2, 3, 7, 8, 8, 8, 9, 10

moda=8

2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

moda = no existe moda)

3) 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9

moda = 4 e 8

Para o exemplo do exerccio das distribuies de freqncias dos pacotes de

manteiga temos que a moda o ponto mdio da classe modal, localiza-se a classe

modal como sendo a classe com maior freqncia e em seguida determina-se seu

ponto mdio.

Classe modal a 5 classe, portanto moda = 212 + 215 = 213,5 2

-40-

10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSO)

As medidas de disperso indicam se os valores esto relativamente prximos uns

dos outros, ou separados. Podemos dizer que disperso o grau com o qual os

valores numricos de uma distribuio tendem a se distanciar em torno de um valor

mdio.

Em todos os casos, o valor zero indica ausncia de disperso; a disperso aumenta

proporo que aumenta o valor da medida (amplitude,desvio-padrao, varincia).

xx x x x x xxx xxx xx x x

a) pequena disperso

xx x x xxx x x x x x x x x xx x x xxx x x x xx x x x x xx

b) grande disperso

10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.)

a medida mais simples de disperso. a diferena entre o maior e o menor valor

das observaes.

R.T. = Xmax Xmin

Embora exista simplicidade de clculo, existem duas restries ao seu generalizado:

1- Utiliza apenas uma parcela das informaes contidas nas observaes. O seu

valor no se modifica mesmo que os valores das observaes variem, desde que

conservem os seus valores Mximo e mnimo.

2- Depende do n er e serva es na amostra. Em geral o valor da amplitude

cresce quando cresce o tamanho da amostra.

-41-

X min.I I x max.

R.T. = pequeno

X min. I I X max.

R.T. = Grande

-42-

10.2 DESVIO PADRO

medida que determina a variao dos valores observados em torno da mdia da

distribuio, e representa a distncia do ponto de inflexo da curva at a linha da mdia.

10.2.1 DESVIO PADRO AMOSTRAL (S)

O desvio padro da amostra representa a disperso da amostra e dada pela equao:

S = (X1- ) + (X2- ) + (X3- ) + ..... +(Xn- ) n

Onde: Xi = Medidas individuais

S = ( Xi - ) n n = Nmero de elementos ou valores 10.2.2 DESVIO PADRO DA POPULAO )

O desvio padro da populao representa a o grau de disperso da populao em torno

da mdia representado por , tambm representa a distncia do ponto de inflexo, e

dado pela expresso:

= (X1- ) + (X2- ) + (X3- ) + ..... +(Xn- ) n - 1

= ( Xi - ) n - 1

-43-

10.2.3 REPRESENTAO GRFICA DO DESVIO PADRO

10.2.4 SISTEMATIZAO PARA O CLCULO

Para sistematizar o clculo do desvio padro de uma amostra utilizado o seguinte

procedimento:

1- Calcular o valor da mdia;

2- Montar a tabela abaixo

observaes Xi

Xi -

(Xi - )

medidas

1 X1 X1 - (X1 - )

2 X2 X2 - (X2 - )

3 X3 X3 - (X3 - )

. . . .

. . . .

. . . . n Xn Xn - ( Xn - )

(Xi- )

-44-

+

3-Aplicam-se as frmulas:

S = ( Xi - ) n

= ( Xi - ) n - 1

10.3 VARINCA Varincia da populao a soma dos quadrados dos desvios de cada observao em

relao mdia de x, divide-se por n 1. Indica-se a Varincia da Populao por .

Podemos fazer a mesma analogia com a Varincia da Amostra dada por S.

Frmula da varincia da Amostra

n

( Xi - ) S = i = 1

n

Frmula da varincia da Populao

n

( Xi - ) = i = 1 onde n 1 = nmero de graus de liberdade

n - 1

Como medida de disperso, a Varincia tem a desvantagem de apresentar unidade de

medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Se os dados esto em

metros, a Varincia fica em metros quadrados.

O desvio padro por sua vez, fica com valor na mesma da unidade da varivel.

-45-

11.0 PROBABILIDADE

O problema fundamental da estatstica consiste em lidar com o acaso e a incerteza.

Chama-se probabilidade de um acontecimento a razo entre o nmero de casos

favorveis ao mesmo e o nmero total de acontecimentos possveis.

Assim quando se considera uma populao limitada de P indivduos, a probabilidade de

cada um ser escolhido, ao acaso, de 1/P.

Laplace definiu probabilidade como: O quociente do n mero de casos favorveis sobre o

nmero de casos igualmente possveis.

or exemplo, se jogarmos uma moeda no viciada para o ar, de modo geral no

podemos afirmar se vai dar cara ou coroa.

Porm existem apenas dois eventos possveis: sair cara ou c r a Nesse exemplo

existe um caso favorvel a esse evento em dois casos possveis. A P (K) = ou 50%.

Considerando-se cara como sucesso e coroa como fracasso e representando-se o

acontecimento favorvel como e o no favorvel como Q, temos as razes:

P= e Q =

Sendo P+Q = 1

Ento P= (1 - Q) e Q = (1 - P)

A probabilidade de um evento A, denotada por P (A), um nmero de 0 a 1, que indica a

chance de ocorrncia do evento A. Quanto mais prxima de 1,00 P(A), maior a

chance de ocorrncia do evento A, e quanto mais prxima de Zero, menor a chance de

ocorrncia do evento A.

Um evento impossvel atribui-se a probabilidade Zero.

Um evento certo tem probabilidade de 1.

As probabilidades podem ser expressas, inclusive por valores decimais, fraes e

percentagem como: 20%; 2 em 10; 0,2; ou ainda 1/5.

-46-

Alm do uso na interpretao de jogos de azar, usa-se ainda a probabilidade mediante

determinada combinao de julgamento, experincia ou dados histricos, para predizer

Quao Provvel a ocorrncia de determinado evento futuro.

H numerosos exemplos de tais situaes no campo dos Negcios e do Governo. A

previso da aceitao de um novo produto, o clculo dos custos de produo, a

contratao de um novo empregado, o preparo do oramento, a avaliao do impacto de

uma reduo de impostos sobre a inflao tudo isso contm algum elemento de Acaso.

11.1 ESPAO AMOSTRAL E EVENTOS

onsideremos o experimento que consiste em extrair uma carta de um baralho de 52

cartas. 52 eventos elementares no espao amostral. Quanto aos eventos podemos

classific-los em:

ESPAO AMOSTRAL

COMPLEMENTO Cartas vermelhas e cartas pretas

No se interceptam cartas de

MUTUAMENTE EXCLUDENTE copas e cartas de paus

NAO SO MUTUAMENTE Cartas de copas e figuras, tem

EXCLUDENTE elementos em comum.

Cartas de paus, ouro, copas e

COLETIVAMENTE EXAUSTIVO A B C D espadas

-47-

A

A B

A B

11.2 TRS ORIGENS DA PROBABILIDADE

H trs maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades, O mtodo Clssico,

quando o espao amostral tem resultados igualmente provveis. O mtodo Emprico, que

se baseia na freqncia relativa de ocorrncia de um evento num grande nmero de

provas repetidas; e o mtodo Subjetivo, que utiliza estimativas pessoais baseadas num

certo grau de crena.

OBJETIVO SUBJETIVO

CLSSICO EMPRICO Opinio Pessoal

(resultados igualmente provveis) (dados histricos)

O Mtodo Clssico

Os jogos de azar (lanamento de moedas, jogo de dados, extrao de cartas)

usualmente apresentam resultados igualmente provveis.

Nestes casos temos:

P(cada resultado) = 1 Nmero de resultados possveis

Se cada carta de um baralho de 52 tem a mesma chance de ser escolhida, ento a

probabilidade de extrair cada uma delas de 1/52 : P (A) = 1/52 1,92%.

Da mesma forma a probabilidade de termos uma cara no lanamento de uma moeda

ou 50%. O mesmo ocorre com uma coroa, ou seja ou 50%.

No caso de um dado temos a probabilidade de dar qualquer nmero: 1,2,3,4,5,6 de 1/6

ou de 16,66%.

-48-

De forma geral vale tambm a expresso:

P(A) = Nmero de resultados associados ao evento A Nmero total de resultados possveis

Por exemplo, a probabilidade de extrao de uma dama, de acordo com esta definio,

P (dama) = 4 damas = 4 = 1 = 7,69% 52 cartas 52 13

Analogamente, a probabilidade de obter nmero mpar no lance de um dado

P(mpar) = 3 faces = 3 ou 50% 6 faces possveis 6

11.3 A MATEMTICA DA PROBABILIDADE

Muitas aplicaes de estatstica exigem a determinao da probabilidade de

combinaes de eventos. H duas categorias de eventos de interesse, A e B, no espao

amostral.

Pode ser necessrio determinar P(A e B), isto ; a probabilidade de ocorrncia de ambos

os eventos.

Em outras situaes, podemos querer a probabilidade de ocorrncia de A ou B P(A ou B).

C cu a Pr a i i a e a c rrncia e is event s independentes P A e B)

Se dois eventos so independentes, ento a probabilidade da ocorrncia de ambos

igual ao produto de suas probabilidades individuais:

P(A e B) = P(A) . P(B)

Exemplo Jogam-se duas moedas equilibradas.Qual a probabilidade da ocorrncia de

ambas darem cara?

razovel admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro.

Alm disso, para moedas equilibradas, P(cara)= . Logo p(cara e cara) ser:

1 moeda 2moeda

x = ou 25%

-49-

C cu a Pr a i i a e a c rrncia e is event s utua ente exc u ente

P(A ou B ocorrer)

Se dois eventos mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrncia de qualquer um

deles a soma de suas probabilidades individuais. Para dois eventos A e B temos:

P(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemplo, qual a probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada de um dado

equilibrado?

P(cinco) ou P(seis) = P (5) + P(6) = 1 + 1 = 2 = 33,33% 6 6 6

C cu a Pr a i i a e a c rrncia e is event s n utua ente

exc u ente P A u B u a s c rrer )

Suponhamos a probabilidade de extrao de uma carta de paus ou um dez de um

baralho de 52 cartas . omo possvel que uma carta seja simultaneamente de paus e

um dez, os eventos no so mutuamente excludentes. Assim devemos excluir a

probabilidade de interseo. Ento temos:

P(paus) = 13 , P(dez)= 4 , P( dez de paus) = 1 ,

52 52 52

P(paus ou dez,ou ambos) = P(paus) + P(dez) - P(dez de paus)

= 13 + 4 - 1 = 16

52 52 52 52

-50-

Carta de paus

Os event s aus e ez se interce ta .

Regra de probabilidade

P (A e B), para eventos independentes (Multiplicao) P(A) x P(B)

P (A ou B), para eventos mutuamente excludentes (Soma) P(A) + P(B)

P (A ou B ou ambos ocorrero), para eventos no mutuamente excludentes

P(A) + P(B) - P(A intercepta B)

-51-

NAIPE

PAUS OUROS COPAS ESPADA

PRETA VERMELHA VERMELHA PRETA

K K K K

Q Q Q Q J J J J

10 10 10 10

9 9 9 9 a carta um dez 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3

2 2 2 2 A A A A

EXERCCIOS

1- Extrai-se uma s carta de um baralho de 52. Determine a probabilidade de obter:

a- Um valete

b- Uma figura

c- Uma carta vermelha

d- Uma carta de ouros

e- Um dez de paus

f- Um nove vermelho ou um oito preto

2- Relacione os resultados possveis do lance de um s dado. Ache a probabilidade e

adicione-as.

3- Joga-se uma vez um dado equilibrado; determine a probabilidade de obter:

a- um seis b- cinco, seis ou sete

c- um nmero par d- um nmero menor que quatro

4- Doze fichas so numeradas de 0 a 12 e colocadas numa urna. Escolhida uma

aleatoriamente, determine a probabilidade de sair:

a- o nmero 3 b- um nmero impar

c- um nmero menor que quatro d- o nmero dez

5- Joga-se um par de dados equilibrados:

a- Qual a probabilidade de ambas as faces serem seis?

b- Qual a probabilidade de ambas as faces serem dois?

c- Qual a probabilidade de ambas as faces serem pares?

6- Sejam P(A) = 0,30, P(B) = 0,80 e P(A e B) = 0,15.

a- A e B so mutuamente excludentes? Explique.

b- Determine P(A ou B).

7- Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A) = 0,31 e P(B) = 0,29.

a- A e b so coletivamente exaustivos? Explique.

b- Determine P(A ou B).

c- Determine P (A e B)

8- Joga-se uma moeda trs vezes. Qual a probabilidade de aparecer coroa trs

vezes? Qual a probabilidade de no aparecer coroa nas trs vezes?

-52-

12.0 TECNICAS DE CONTAGEM

Para utilizar o mtodo clssico (A Priori) da probabilidade, preciso conhecer o nmero

total de resultados possveis de um experimento.

Uma das possibilidades o uso das rvores de deciso, mas quando o numero de

resultados grande, essa lista se torna muito trabalhosa; necessrio ento recorrer a

formulas matemticas para determinar o numero total de resultados possveis.

Suponhamos que um estudante esteja fazendo um teste de 20 questes do tipo

ver a eir -ou-fa s . Suponhamos ainda que ele, no tenha estudado nada, esteja

dando todas as respostas na base do palpite. Qual a probabilidade de ele responder

corretamente todo o teste?

A primeira coisa a fazer determinar o numero total de resultados possveis.

Em segundo lugar devemos explorar suas diversas verses. Imaginemos que o teste

consista de apenas:

Uma questo temos V ou F

Duas questes temos VV, VF, FV, FF

Trs questes temos VVV, VVF, VFF, VFV, FVF, FVV, FFV, FFF

Conclue-se:

Numero de questes : 1 2 3 4

Numero de resultados : 2 4 8 16

Nota-se que se, o numero de itens for grande, a listagem se tornara praticamente

impossvel.

Em seguida podemos ver um diagrama de rvore para determinar todos os arranjos

possveis.

-53-

V V VVV

V F VVF

F V VFV

. F VFF

V V FVV

F F FVF

F V FFV

F FFF

Alem disso, o que realmente necessario determinar o numero total de resultados;

nada se tem a ganhar identificando cada resultado.

O diagrama mostra que cada questo dobra o numero total de resultados possveis.(com

duas alternativas V ou F) temos:

1 2=2

2 2 x 2 =4

3 2 x 2 x 2 = 8

4 2 x 2 x 2 x 2 = 16

-54-

UES O 1 N2 N3 RESULTADOS

12.1 O PRINCIPIO DA MULTIPLICAO

NUMERO DE QUESTOES TOTAL DE RESULTADOS

Se fossem quatro escolha para cada questo:

1 4 = 4

2 4 x 4 = 16

3 4 x 4 x 4 = 64

Para solucionar o exerccio do teste, teremos:

20

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x . . . . . . . x 2 = 2 = 1.048.576 ou 1 . 1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . 20 1.048.576

De um modo geral, se ha n decises seqenciais, cada uma com m escolhas, o

n

numero total de resultados m .

12.2 PERMUTAO, ARRANJO E COMBINAO.

Quando a ordem em que os elementos se dispem importante, o numero total de

resultados possveis conhecido como Arranjo ou Permutao. Quando a ordem no

interessa, o numero total de resultados possveis designado como Combinao.

Para o uso na analise combinatria usaremos o numero fatorial representado pelo

smbolo ! como por exemplo 4! le-se uatr Fat ria e significa 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Outros exemplos:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x ..............x 1 = 479.001.600

Os fatoriais crescem de modo extremamente rpido, medida que aumenta o numero-

base.

Felizmente, quase nunca necessrio utilizar-se completamente os fatoriais, pois eles

aparecem em grupos, permitindo cancelamentos:

-55-

ERO DE UES ES O AL DE RESUL ADOS

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! 1 = 1

7! 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 7 x 6 x 5! 7 x 6 42

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 4 x 3 x 2! = 4 x 3 = 12 2! 2 x 1 2!

5! = 5 x 4 x 3! = 5 x 4 = 20 = 10 2! 3! 2 x 1 x 3! 2 x 1 2

s vezes os fatoriais podem envolver soma e subtrao. Exemplos:

( 5 - 3 )! = 2! e no ( 5! - 3! )

( 9 - 2 )! = 7!

( 3 + 1)! = 4!

8! = 8! = 8 x 7 x 6 x 5! = 8 x 7 x 6 = 56

3 ( 8 3 )! 3! . 5! 3 x 2 x 5! 3 x 2

O fatorial de zero igual a um 0! = 1.

O fatorial de 1 igual a um 1! = 1.

ARRANJOS

So agrupamentos que podem variar pela ordem ou natureza dos elementos. Quando se

consideram n elementos distintos tomados x a x chamamos arranjo ou agrupamentos

eneri s que se podem formar com esses n elementos, dispomos de todas as formas

possveis de modo que dois arranjos quaisquer difiram ao menos pela ordem dos

elementos.

Assim, os arranjos possveis com as letras A, B e C so A 3,2 (3 elementos dois a dois)

A 3,2 = AB; BA; AC; CA, BC; CB.

E com os nmeros: 2, 6 e 8 podem ser feitos os seguintes arranjos A 3,2

A 3,2 = 26; 28; 62; 68; 82; 86.

-56-

Outro exemplo: Se ha sete cavalos num preo, quantos arranjos ha considerando 1,2 e

3 lugares?

A n,x = n! ( n x )!

Ou seja, 7 elementos tomados 3 a 3

A 7,3 = 7! = 7! 7 x 6 x 5 x 4! = 7 x 6 x 5 = 210 ( 7 3 )! 4! 4! PERMUTAO

Denomina-se permutao aos arranjos de objetos tomados n a n. Neste caso cada objeto

entra s uma vez em todos os grupos.

Em geral o numero de permutaes distintas com n itens, dos quais n1 so

indistinguveis de um tipo, n2 de outro tipo, etc, :

n1, n2, ....nK

Pn = n! (n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)

Exemplo: Quantas permutaes distintas de 3 letras podemos formar com as letras:

R R R R U U U N 4 3 1

Soluo

Ha 8 letras : 4Rs 3Us 1N dai:

4, 3, 1

P8 = 8! = 280 (4!) (3!) (1!)

-57-

COMBINAO

Chama-se combinao quando no interessa a ordem para denotar o numero de

agrupamentos distintos possveis.

Exemplo: a escolha de 2 tipos de vegetal de um cardpio com 5 tipos. A escolha de

batata e cenoura a mesma que cenoura e batata.

De um modo geral, para agrupamentos de tamanho x extrados de uma lista de n itens, o

numero de combinaes possveis :

C n,x = n! n

x! (n - x )! x

Quantos comits distintos, de 3 pessoas cada um, podemos formar com um grupo de 10

pessoas?

C10,3 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7! = 120 7! 3! 3 x 2 x 7!

De quantas maneiras podemos formar um comit de 1 mulher e 2 homens, de um total

de 4 mulheres e 6 homens.

Mulheres Homens = 4! 6! = 4 x 15 = 60 ( C 4,1 ) ( 6,2 ) 3! 1! 4! 2!

-58-

12.3 REGRAS DE CONTAGEM REGRA DA MULTIPLICAO: o produto do numero de escolhas para uma seqncia de n decises m onde m = numero de escolhas n = decises seqenciais ARRANJOS: numero de agrupamentos em que interfere a ordem

A n,x = n!

( n x )!

PERMUTAO COM REPETIES (OU DISTINGUIVEIS): alguns itens so idnticos, e

a ordem importante.

n1, n2, ....nK

Pn = n! (n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)

COMBINAES: a ordem no importa.

C n,x = n! n

x! (n - x )! x

-59-

1- Calcule:

a- 2! b- 3! c- 10! d- 1! e- 0! 2- Calcule: a- 3 b- 4 c- 5 d- 9 2 4 1 6 3- Determine o numero de arranjos:

a- A 3,2 b- A 4,4 c- A 5,1 d- A 9,6 e- A 1,0 4- Um vendedor de automveis deseja impressionar os possveis compradores com o

maior numero de combinaes diferentes possveis. Um modelo pode ser dotado

de trs tipos de motor, dois tipos de transmisso, cinco cores externas e duas

internas. Quantas so a escolhas possveis?

5- Em um determinado Estado, as placas de licena constam de trs letras e quatro

algarismos. Quantas placas diferentes podemos formar admitindo-se o uso de

todas as (26 letras) e os (10 algarismos)?

6- Quantas permutaes distintas podem ser feitas com as letras da palavra

BLUEBEARD ?

7- Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem

ser conquistados os trs primeiros lugares?

8- De quantas maneiras diferentes podemos escolher um comit de cinco pessoas

dentre oito?

9- A Pizzaria do Joe oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelos,

pimento, enchovas e muzzarella. De quantas maneiras podemos escolher dois

tipos diferente de pizza?

-60-

EXERCICIOS

13.0 DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES Introduzidas s noes fundamentais sobre a teoria das probabilidades, pode-se passar

s chamadas Distribuies de Probabilidades.

Uma distribuio de probabilidades uma distribuio de freqncia relativa para os

resultados de um espao amostral (isto , para os resultados de uma varivel aleatria);

que mostra a proporo das vezes em que a varivel aleatria tende a assumir cada um

dos diversos valores.

onsideremos a varivel aleat ria Numero de caras em duas jogadas de uma moeda

eis a lista dos pontos do espao amostral e os valores correspondentes a v.a.:

(K = cara e C = coroa)

Resultados Valor da v.a.

CC 0 CK 1 KC 1 KK 2 Se a moeda equilibrada, P(K) = P(C) = .As probabilidades dos diversos resultados so: RESULTADOS PROBABILIDADE DO RESULTADO NUMERO DE CARAS P(X) 1 . 1 1 CC = 0 0,25 2 2 4 1 . 1 1 CK = 1 0,25 2 2 4 0,50 1 . 1 1 KC = 1 0,25 2 2 4 1 . 1 1 KK = 2 0,25 2 2 4

-61-

Assim, pois, a distribuio de probabilidades para o numero de caras em duas jogadas

de uma moeda so: NUMERO DE CARAS P(X) 0 0,25 1 0,50 2 0,25 1,00 Note-se que a soma de todas as probabilidades 1,00, como de esperar, pois os

resultados apresentados so mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos. A

mesma distribuio pode ser apresentada em forma acumulada.

NUMERO DE CARAS P(X ou menos) 0 0,25 1 0,75 2 1,00 Graficamente, as distribuies de probabilidade e acumulada se apresentam:

P

1,00 R 1,00

O 1,OO

B

A

P B

R 0,75 I 0,75

O L 0,75

B I

A D

B A

I 0,5 D 0,5

L 0,5 E

I

D A

A C

D 0,25 U 0,25

E 0,25 0,25 M 0,25

U

L

A

0 D 0

0 1 2 A 0 1 2

NUMERO DE CARAS NUMERO DE CARAS

-62-

13.1 DISTRIBUIO BINOMIAL

Suponhamos agora o experimento E4= Lanamento de 4 moedas. A tabela abaixo

mostra todas as possibilidades de combinaes cara/coroa, os eventos que estas

combinaes originam e os valores correspondentes da varivel aleatria X : Numero de

vezes que sai Cara.

N 1, 2, 3, 4 ( N DE VEZ QUE SAI CARA)

1 C C C C 0K e 4C 0

2a C C C K 1K e 3C 1

2b C C K C 2c C K C C 2d K C C C 3a C C K K 2K e 2C 2 3b C K K C 3c K K C C 3d C K C K 3e K C K C 3f K C C K

4a K K K C 3K e 1C 3 4b K K C K 4c K C K K 4d C K K K

5 K K K K 4K e 0C 4

Utilizando as regras do produto para eventos independentes (e) e da adio para

eventos mutuamente exclusivos (ou) possvel calcular as probabilidades associadas

aos valores de X.

A probabilidade de X=0 obtida pelo conhecimento de termos 4 coroas, sabe-se que a

probabilidade de sair coroa , a probabilidade final ser: 0,5x0,5x0,5x0,5 = 0,0625.

-63-

POSSIBILIDADE MOEDA N EVENTO VALOR DE X

Para o calculo da probabilidade X=1 deve-se trabalhar com o evento 1K e 3 como

temos as opes a,b,c,d, que so mutuamente exclusiva, a regra da soma manda

efetuar a adio 0,0625 +0,0625 +0,0625 +0,0625 ou, o que o mesmo de se efetuar o

produto 4x 0,0625 = 0,25.

Desta forma analogamente temos: X EVENTO P(X = x) 0 4 0 4 0 0K e 4C O,0625 = 1 X 0,5 X 0,5 = 1 p q 1 3 1 3 1 1K e 3C O,2500 = 4 X 0,5 X 0,5 = 4 p q 2 2 2 2 2 2K e 2C O,3750 = 6 X 0,5 X 0,5 = 6 p q 3 1 3 1 3 3K e 1C O,0625 = 4 X 0,5 X 0,5 = 1 p q 4 0 4 0 4 4K e 0C O,0625 = 1 X 0,5 X 0,5 = 1 p q

n = numero de moedas p = probabilidade de K = P(K) = 0,5 q = 1 p = probabilidade de C = P(C) = 0,5 Podemos usar a formula: n! = n = combinaes de n individuais tomados x a x. x! (n x)! x Generalizando temos; x n - x

P(x) = n! p . q x! (n x)!

-64-

TOTAL 1,00

Distribuio binomial de x (numero de coroas) para n = 10 X Numero de n ! Distribuio P(X) probabilidade % de C r as e 10 encontrar a jogadas x ! (n x) ! Amostral Amostra 10 p(10) = 10! 10! (10 10)! 1 1/1024 = 0,000976 9 p(9) = 10! 9! (10 9) ! 10 1/1024 = 0,009760 8 p(8) = 10! 8! (10 8) ! 45 1/1024 = 0,043940 7 p(7) = 10! 7! (10 7) ! 120 1/1024 = 0,117180 6 p(6) = 10! 6! (10 6) ! 210 1/1024 = 0,205070 5 p(5) = 10! 5! (10 5) ! 252 1/1024 = 0,246090 4 p(4) = 10! 4! (10 4) ! 210 1/1024 = 0,205070 3 p(3) = 10! 3! (10 3) ! 120 1/1024 = 0,117180 2 p(2) = 10! 2! (10 2) ! 45 1/1024 = 0,043940 1 p(1) = 10! 1! (10 1) ! 10 1/1024 = 0,009760 0 p(0) = 10! 0! (10 0) ! 1 1/1024 = 0,000976 10 TOTAL = 2 = 1024

-65-

EXERCICIOS:

Use a formula binomial para responder s questes abaixo:

1- Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta

algum defeito. Se tal suspeita correta, determine a probabilidade de que, numa

amostra de nove mesas:

a- Haja ao menos uma defeituosa

b- No haja nenhuma defeituosa

2- Dos estudantes de um colgio, 41% FUMAM CIGARROS. Escolhem-se seis ao

acaso para darem sua opinio sobre o fumo.

a- Determine a probabilidade de nenhuma das seis ser fumante.

b- Determine a probabilidade de todos os seis ser fumante.

c- Qual a probabilidade de ao menos a metade dos seis serem fumantes.

3- Doze por cento dos que reservam lugar num vo sistematicamente faltam ao

embarque. O avio comporta 15 passageiros.

a- determine a probabilidade de que todos os 15 que reservaram lugar

compaream ao embarque

b- Se houve 16 pedidos de reserva, determine a probabilidade de uma pessoa

ficar de fora.

4- Um revendedor de automveis novos constatou que 80% dos carros vendidos so

devolvidos ao departamento mecnico para corrigir defeitos de fabricao, nos

primeiros 25 dias apos a venda. De 11 carros vendidos num perodo de 5 dias, qual

a probabilidade de que:

a- Todos voltem dentro de 25 dias para reparo.

b- S um no volte

5- Suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos num estdio de futebol sejam

pedidos sem mostarda. Se sete pessoas pedem cachorro, determine a

probabilidade de que:

a- Todos queiram mostarda

b- Apenas um no a queira.

-66-

13.2 DISTRIBUIO DE POISSON

A chamada Distribuio de Poisson ou de Eventos Raros podem ser considerada um

caso limite da distribuio binomial. Quando n grande e pequeno podemos usar

a aproximao de Poisson para a distribuio Binomial.

difcil dar condies precisas para que se possa usar a aproximao de Poisson, ou

seja, o que significa quando n grande e pequeno. Como regra geral podemos

usar:

n > 100 e n.p < 10 n = Elementos da Populao p = Probabilidade

Exemplo: n = 150 p = 0,05

Temos a distribuio de Poisson com:

n.p = 150 . (0,05) = 7,5

A formula a ser usada :

x - n.p f (x) = (n.p) . e para x = 1, 2, 3, .......

x ! e= 2,718 Exemplo: Sabe-se que 2% dos livros encadernados em uma certa livraria apresentam

defeitos de encadernao. Utilize a aproximao de Poisson da distribuio Binomial para

achar a probabilidade de que 5 entre 400 livros encadernados nessa livraria apresentam

algum defeito de encadernao.

Temos: n = 400 p = 2% = 0,02 x = 5 n.p = 400 . 0,02 = 8

- 8 e = 0,000335

temos ento:

x - n.p 5 - 8

f (x) = (n.p) . e = 8 . e = (32768). (0,000335) = 10,977 = 0,0915

x ! 5! 120 120 -67-

Outro Exemplo: Supnhamos que os defeitos em fios para tear possam ser aproximados

por um processo de Poisson com media de 0,2 defeitos por metro

(p = 0,2) .Inspecionando-se pedaos de fio de 6 metros de comprimento, determine a

probabilidade de menos de 2 (isto 0 ,1) defeitos.

Temos : n = 6 p = 0,2 n . p = 6 . 0,2 = 1,2 x =1 e X = 2 0 -1,2

f(0) = 1,2 e = 1 . 0,301 = 0,301 0! 1 1 -1,2

f(1) = 1,2 e = 1,2 . 0,301 = 0,3612 1! 1 P(x< 1) = P(0) + P(1) (0,301 + 0,3612) = 0,6622 EXERCICIOS:

1- Verifique, em cada caso, se os valores de n e p satisfazem as regras empricas

para a utilizao de Poisson como aproximao da Binomial:

a- n = 500 e p = 0,001

b- n = 100 e p = 0,12

c- n = 60 e p = 0,002

2- Se 0,6% dos detonadores fornecidos a um arsenal so defeituosos, utilize a aproximao de Poisson para a distribuio Binomial para determinar a probabilidade de que, em uma amostra aleatria de 500 detonadores, quatro sejam defeituosos.

3- Em uma certa cidade 3,2% dos habitantes se envolve em, ao menos, um acidente

de carro em um ano. Com o auxilio da aproximao de Poisson para a distribuio

Binomial, determine a probabilidade de que, dentre 200 motoristas escolhidos

aleatoriamente nessa cidade.

a- Exatamente seis se envolvam em ao menos um acidente em um ano;

b- No Maximo oito se envolvam em ao menos um acidente em um ano;

c- Cinco ou mais se envolvam em ao menos um acidente em um ano;

4- Suponha que, em media 2% das pessoas sejam canhotas. Encontre a

probabilidade de 3 ou mais canhotos em 100 pessoas

-68-

14.0 DISTRIBUIO NORMAL (ou de GAUSS, ou de LAPLACE, ou ainda, dos ERROS DAS OBSERVAES)

uma distribuio contnua e simtrica, cujo grfico tem a forma de um sino

Apostila_Estatística_ADS 13 Parte I

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