FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SOROCABA
APOSTILA DE ESTATSTICA
CURSO: PROCESSAMENTO DE DADOS
Ao escrever esta Apostila no pretendi outra coisa, seno proporcionar aos alunos da disciplina ESTATSTICA , a facilidade de dispor de notas de aulas dos temas do Programa da Disciplina. O acompanhamento das aulas e a pesquisa em Bibliografia sobre o assunto, tornam-se necessrias para o adequado aproveitamento do curso.
PROF. OSNI PAULA LEITE
NDICE PGINA
1.0 Definies Estatsticas 01
1.1 Por que estudar Estatstica 1.2 Natureza dos Dados 1.3 Tipos de Dados 1.4 Tipos de Levantamentos 1.5 Planejamento de Experimentos
2.0 Amostragem 05 2.1 Definies 2.2 Amostragem Aleatria Baseada em Nmeros Aleatrios 2.3 Outros planos de Amostragem 2.4 Amostragem por Julgamento (No Probabilstica) 2.5 Amostragem Probabilstica
3.0 Anlise Exploratria de Dados 13 4.0 Distribuio de Freqncias 13
5.0 Apresentao Grfica 17
5.1 Diagrama de Ordenadas 5.2 Diagrama de Barras 5.3 Diagrama de Crculos 5.4 Diagrama de Setores Circulares 5.5 Diagrama Linear
6.0 Montagem de uma Distribuio de Freqncias 23 7.0 Apresentao Grfica das Variveis Quantitativas 26
7.1 Histogramas e Polgonos das Freqncias 7.2 Histogramas e Polgonos das Freqncias Relativas 7.3 Polgono de Freqncia Acumulada ou Ogiva 7.4 Polgono de Freqncia Acumulada Relativa
8.0 Tipos de Distribuio 31 8.1 Distribuio Simtrica ou em Forma de Sino 8.2 Distribuio assimtrica 8.3 Distribuio Modal, Amodal, Bimodal e Multimodal 8.4 Apresentao Tipo Ramo e Folhas 8.5 Pictograma
9.0 Medidas de posio ou Tendncia Central 37 9.1 Mdia Aritmtica Simples 9.2 Mdia Aritmtica Ponderada 9.3 Mediana 9.4 Moda
10.0 Medidas de Variabilidade (Disperso) 41
10.1 Amplitude 10.2 Desvio Padro
10.2.1 Desvio Padro Amostral 10.2.2 Desvio Padro da Populao
10.2.3 Representao Grfica do Desvio Padro
10.2.4 Sistematizao Para o Clculo 10.3 Varincia 45
11.0 Probabilidade 46 11.1 Espao Amostral 11.2 Trs Origens da Probabilidade 11.3 Matemtica da Probabilidade
12.0 Tcnicas de Contagem 53 12.1 Princpios de Multiplicao 12.2 Permutao, Arranjo e Combinao 12.3 Regras de Contagem Exerccios 13.0 Distribuio de Probabilidades 61
13.1 Distribuio Binomial Exerccios 13.2 Distribuio de Poisson Exerccios 14.0 Distribuio Normal 69
Exerccios 15.0 Correlao 76
15.1 Introduo 76 15.2 Relao Funcional e Relao Estatstica 77 15.3 Diagrama de Disperso 78 15.4 Correlao Linear 79 15.5 Coeficiente de Correlao Linear 81 15.6 Cuidados com os Erros na Interpretao de Correlao 83
16.0 Regresso 87 16.1 Ajustamento de curvas 89 16.2 Mtodo dos Mnimos Quadrados 91
1.0 Confiabilidade da Amostra 1.1 Planejamento da Amostra 1.2 Erros provenientes da Amostragem 1.3 Erros no provenientes da Amostragem 1.4 Planejamento geral da Pesquisa 1.5 Distribuies Amostrais 1.6 Erro Padro da Mdia 1.7 O Teorema Central do Limite 2.0 Estimativa e Tamanho de Amostras 2.1 Aspectos Gerais 2.2 Estimativa de uma Mdia Populacional: Grandes Amostras 2.3 Estimativa de uma Mdia Populacional: Pequenas Amostras 2.4.Estimativa de uma Proporo Populacional 2.5 Estimativa de uma Varincia Populacional
ESTATSTICA
1.0 DEFINIES DE ESTATSTICA
Etimologicamente a palavra estatstica vem de status expresso latina que significa,
sensu lato, o estudo do estado. Os primeiros a empregarem esse termo foram os
Alemes seguidos pela Itlia, Frana, Inglaterra e ainda por outros paises.
Para Levasseur a estatstica : O estudo numrico dos fatos sociais.
Yule define estatstica como: Dados quantitativos afetados marcadamente por uma
multiplicidade de causas.
Uma definio mais usual nos dias de hoje seria: Um mtodo cientifico que permite a
anlise, em bases probabilstica, de dados coligados e condensados
Ou ainda podemos dizer que : A coleta, o processamento, a interpretao e a
apresentao de dados numricos que pertencem ao domnio da estatstica
1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATSTICA?
Por hora podemos dizer que o raciocnio estatstico largamente utilizado no governo e
na administrao; assim, possvel que, no futuro, um empregador venha a contratar ou
promover um profissional por causa do seu conhecimento de estatstica.
1.2 A NATUREZA DOS DADOS O dados estatsticos constituem a matria prima das pesquisas estatsticas, eles surgem
quando se fazem mensuraes ou se restringem observaes.
Estatstica descritiva: Trata-se da descrio e resumo dos dados. Probabilidade: um estudo que envolve o acaso. Interferncia: a analise e interpretao de dados amostrais (Amostragem). Modelo: So verses simplificadas (Abstraes) de algum problema ou situao real.
-1-
1.3 TIPOS DE DADOS
Quantitativos Contnuos
Discretos Qualitativos Nominais
Por postos
As variveis contnuas podem assumir qualquer valor num intervalo contnuo. Os dados
referentes a tais variveis dizem-se dados contnuos. Ex. Peso, comprimento, espessura
onde usa-se a mensurao.
As variveis discretas assumem valores inteiros de dados discretos so os resultados da
contagem de nmeros de itens. Ex. alunos da sala de aula, nmero de defeitos num carro
novo, acidentes de uma fbrica.
Os dados nominais surgem quando se definem categorias e se conta o nmero de
observaes pertencentes a cada categoria. Ex.: atuam dentro das variveis Qualitativas
as quais devemos associar a valores numricos para que possamos processar
estatisticamente. Ex.: cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos), sexo (masculino e
feminino), desempenho (excelente, bom, sofrvel, mau) etc.
Os dados por postos consistem de valores relativos atribudos para denotar ordem:
primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Ex.: concurso de beleza se classificam em
1,2,3 colocadas.
TABELA: 1 A mesma populao pode originar diferentes tipos de dados.
TIPOS DE DADOS
POPULAES CONTNUOS DISCRETOS NOMINAIS POR POSTO
Alunos de administrao idade/peso N. De classes Homens/Mulheres 3 grau
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1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS
Os levantamentos podem ser classificados em contnuos, peridicos e ocasionais:
CONTNUO: Quando os eventos vo sendo registrados medida que ocorrem.Exemplos
os registros civis dos fatos vitais (nascimento, bitos e casamentos).
PERIDICOS: Acontecem ciclicamente. Exemplo o rescenceamento, feito no Brasil a
cada dez anos.
OCASIONAIS: So aqueles realizados sem a preocupao de continuidade ou
periodicidade preestabelecidas, exemplos a maioria dos trabalhos de investigao
cientifica.
DADOS PRIMRIOS: Quando o investigador no encontra dados publicados adequados
ao seu estudo, parte para a realizao de um inqurito, isto , os dados so levantados
diretamente na populao no momento da investigao.
DADOS SECUNDRIOS: Quando o investigador para verificar as sua hipteses de
trabalho utiliza- se de dados j existentes, arquivados, registrados ou publicados. Podem
ser at mesmo dados gerados pelo Departamento de Estatsticas de Populaes da
Fundao Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE).
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1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
1- Definio do problema Um Estudo ou Uma Anlise 2- Formular plano para coleta de dados adequados
3- Coligir os dados
4- Analisar e interpretar os dados
5- Relatar as concluses
EXERCCIOS E-1 1- Identifique os seguintes exemplos em termos de tipos de dados:
a- 17 gramas b- 3 certos, 2 errados
c- 25 segundos
d- 25 alunos na classe
e- tamanho de camisa
f- Km/litro
g- O mais aprazvel
h- O mais lento
i- 5 acidentes no ms de maio
Responder as perguntas:
1- Defina o termo Estatstica 2- Responder a pergunta: Por que estudar estatstica?
3- Dar exemplos de como um administrador pode se beneficiar do
conhecimento de Estatstica?
-4-
2.0 AMOSTRAGEM
AMOSTRAGEM VERSUS SENSO: Uma amostra usualmente envolve o estudo de uma
parcela dos tens de uma u a , enquanto que o censo requer o estudo de todos
os tens.
estries ao enso:
- Custo
- opulaes infinitas
- Dificuldade nos critrios reciso)
- rodutos de testes Destrutivos f sforos, munies)
- empo despendido atualizao)
- ipos de informaes mais restritivas
asos de excesso:
- opulaes pequenas
- Amostras grandes em relao a populao
- e exige preciso completa
- e j so disponveis informaes completas
2.1 DEFINIES: POPULAO: o conjunto de indivduos (ou objetos), que tem pelo menos uma varivel
comum observvel.
AMOSTRA: qualquer sub-conjunto da populao extrada para se realizar estudos
estatsticos
.
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POPULAO
AMOSTRA
A estatstica indutiva a cincia que busca tirar concluses probabilsticas sobre a
populao, com base em resultados verificados em amostras retiradas dessa populao.
Entretanto no basta que saibamos descrever convenientemente os dados da amostra
para que possamos executar, com xito, um trabalho estatstico completo. Antes de
tudo preciso garantir que a amostra ou amostras que sero utilizadas sejam obtidas por
processos adequados.
- O que necessrio garantir, em suma, que a amostra seja Re resentativa da
populao.
Dois aspectos nas amostras so fundamentais, e que do a sua representatividade em
termos:
- Qualitativos: Amostras que representem todas as sub-populaes, quando for o caso.
- Quantitativos: Que possua quantidade de dados suficientes para representar a
Populao.
Na indstria onde amostras so freqentemente retiradas para efeito de Controle da
Qualidade dos produtos e materiais, em geral os problemas de amostragem so mais
simples de resolver.
Por outro lado, em pesquisas sociais, econmicas ou de opinio, a complexibilidade
dos problemas de amostragem so normalmente bastante grandes.
- Interferncia estatstica envolve a formulao de certos julgamentos sobre um todo
aps examinar apenas uma parte, ou a amostra, dele.
A probabilidade e a amostragem esto estreitamente correlacionadas e juntas formam o
fundamento da teoria de interferncia.
- Amostragem o ato de retirar amostra, isto , a ao.
- Amostra a quantidade de dados especificado para representar a populao.
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Amostragem aleatria permite estimar o valor do erro possvel, isto , dizer quo
prxima est amostra da populao, em termos de representatividade.
Amostragem no aleatria no apresenta esta caracterstica.
vrios mtodos para extrair uma amostra talvez o mais importante seja a amostragem
aleatria de modo geral, a amostragem aleatria exige que cada elemento tenha a
mesma oportunidade de ser includo na amostra.
Nas Populaes discretas uma amostra aleatria aquela em que cada item da
populao tem a mesma chance de ser includo na amostra.
Nas Populaes contnuas, uma amostra aleatria aquela em que a probabilidade de
incluir na amostra qualquer intervalo de valores igual percentagem da populao que
est naquele intervalo.
Populaes finitas: quando, temos constitudo por nmeros finitos, ou fixos de
elementos, medidas ou observaes.
Ex.: Peso bruto de 3000 latas de tinta de um certo lote de produo.
Populaes infinitas: so aquelas que contm, pelo menos hipoteticamente, um
nmero infinito de elementos.
Ex. Produo de carros V.W. produzidos no Brasil e a serem produzidos (universo
volkswagem), processo probabilstico.
2.2 AMOSTRAGEM ALEATRIA BASEADA EM NMEROS ALEATRIOS
(RANDMICOS)
As tabelas de nmeros aleatrios contm os dez algarismos 0,1,2,3,4,......,9. Esses
nmeros podem ser lidos isoladamente ou em grupos; podem ser lidos em qualquer
ordem. A probabilidade de qualquer algarismo aparecer em qualquer ponto 1/10.
Portanto todas as combinaes so igualmente provveis.
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Conceitualmente, poderamos construir uma tabela de nmeros aleatrios numerando
dez bolinhas com os algarismos de 0 a 9 , colocando-as numa urna, misturando bem e
extraindo uma de cada vez, com reposio, anotando os valores obtidos.
A titulo de ilustrao poderamos querer selecionar aleatoriamente 15 clientes de uma
lista de 830 de um grande magazine, a finalidade poderia ser :
Estimar a freqncia de compras;
Determinar o valor mdio de cada compra;
Registrar as queixas contra o sistema.
2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM
Amostragem probabilstica versus Amostragem no probabilstica
Os planos de amostragem probabilstica so delineados de tal modo que se conhece a
probabilidade de todas as combinaes amostrais possveis. Em razo disso, pode-se
determinar a quantidade de varivel amostral numa amostra aleatria e uma estimativa
do erro amostral. A amostragem aleatria um exemplo da amostragem probabilstica.
A amostragem no probabilstica a amostragem subjetiva, ou por julgamento, onde a
variabilidade amostral no pode ser estabelecida com preciso, conseqentemente, no
possvel nenhuma estimativa do erro amostral.
A verdade que, sempre que possvel, deve-se usar a amostragem probabilstica.
2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NO PROBABILSTICA)
Se o tamanho da amostra bem pequeno; digamos, de uns 5 itens, a amostragem
aleatria pode dar resultados totalmente no representativos, ao passo que uma pessoa
familiarizada com a populao pode especificar quais os itens mais representativos da
populao.
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Exemplo: Uma equipe mdica deve trabalhar com pacientes que se apresentem com
voluntrios para testar um novo medicamento. Nenhum desses grupos podem ser
considerados como uma amostra aleatria do p blico em geral, e seria perigoso tentar
tirar concluses gerais com base em tal estudo. Todavia, os resultados poderiam
proporcionar uma base para a elaborao de um plano de amostragem aleatrio para
validar os resultados bsicos. Os perigos inerentes pesquisa mdica , bem como outro
tipo de pesquisa, freqentemente obrigam a limitar a pesquisa inicial a um pequeno
grupo de voluntrios.
Exemplo: A aplicao de hormnios em mulheres na menopausa, aps um perodo de
tempo notou-se o aumento das chances de adquirirem cncer de mama, doenas
cardacas etc.
2.5 AMOSTRAGEM PROBABILSTICA
SISTEMTICA
ESTRATIFICADA
CONGLOMERADO
AMOSTRAGEM SISTEMTICA
muito parecida com a amostragem aleatria simples. Podemos ter uma amostragem
realmente aleatria, escolhendo-se cada K-sima amostra, onde K obtem-se dividindo o
tamanho da populao pelo tamanho da amostra.
K= N onde: N= Tamanho da Populao n n= Tamanho da Amostra
EX. N= 200 e n=10 ento K=200/10 = 20
Significa que ser escolhido um item a cada seqncia de 20 de uma lista. Para iniciar
pode-se usar uma tabela de nmeros aleatrios de 0 a 9 para iniciar os grupos. Por
exemplo se der o 9, escolhemos o 9, 29, 39 ,49 , etc.
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AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
Pressupe a diviso da populao em sub-grupos Homogneos (Estratos), procedendo
ento a amostragem de cada sub-grupo. Ex.: Para se fazer o inventrio do estoque,
comum termos 10% dos itens representarem cerca de 60% do valor total em quanto que
os 90% restantes representam s 40% do valor total (Curva A,B,C; Pareto; regra 80/20).
AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO
Pressupe a disposio dos itens de uma populao em sub-grupos heterogneos
(sub-populaes) representativos da populao global. Neste caso cada conglomerado
pode ser encarado como uma minipopulao.
Ex.: Estudo pr-eleitoral para medir a preferncia dos eleitores. (Sub-grupos: sexo,
educao, faixa etria, poder aquisitivo, regio da habitao,etc)
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RESUMO
A finalidade da amostra permitir fazer interferncia sobre a populao aps inspeo
de apenas parte dela. Fatores com custo, ensaios destrutivos e populaes infinitas,
tornam a amostragem prefervel a um estudo completo (Censo) da populao.
Naturalmente espera-se que a amostra seja representativa da populao da qual foi
extrada.
Potencialmente, este objetivo atingido quando a amostragem aleatria.
Para populaes discretas o termo A eatri significa que cada item da populao tem
a mesma chance de participar na amostra.
No caso de populaes contnuas, significa que a probabilidade de incluir qualquer valor
de um dado intervalo de valores igual proporo com valores naquele intervalo.
As amostras aleatrias podem ser obtidas:
- Atravs de um processo de mistura, com o embaralhamento de cartas;
- Pela utilizao de um processo mecnico (Misturadores);
- Utilizando-se uma tabela de nmeros aleatrios para proceder seleo de uma lista.
Em certas condies, podem ser mais eficientes variantes da amostragem aleatria
simples, tais como amostragem sistemtica (peridica), estratificada (sub-grupos
Homogneos), ou amostragem por aglomerados (sub-grupos convenientes e
heterogneos).
A principal vantagem da amostragem aleatria que se pode determinar o grau de
variabilidade amostral, o que essencial na interferncia estatstica. amostragem no
probabilstica falta esta caracterstica.
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QUESTES PARA RECAPITULAO EXERCICIOS E-2
1- Em que circunstncia a amostragem prefervel a um censo completo?
2- Quando se deve preferir um censo a uma amostragem?
3- Defina Amostra Aleat ria.
4- Descreva os vrios mtodos de obteno de uma amostra aleatria. Como escolher
o mtodo a ser usado em determinada situao?
6- Explique rapidamente as caractersticas:
a. da amostragem por conglomerado;
b. da amostragem estratificada;
c. da amostragem sistemtica.
6- Que amostragem por julgamento e em que circunstncia deve ser usada?
7- Que amostragem probabilstica e quando deve ser usada?
8- Explique o significado de Amostra Aleat ria quando a populao :
a. contnua b. Discreta
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3.0 ANLISE EXPLORATRIA DE DADOS
Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador se v s voltas com o problema de
analisar e entender uma massa de dados, relevantes ao seu particular objeto de
estudos.
De modo geral, podemos dizer que a essncia da cincia a observao e que seu
objetivo bsico a interferncia. Esta parte da metodologia da cincia que tem por
objetivos a coleta, reduo, anlise e modelagem dos dados, a partir do que, finalmente,
faz-se a interferncia para uma populao, da qual os dados (amostras) foram obtidos.
4.0 DISTRIBUIO DE FREQNCIA
Para cada tipo de varivel existem tcnicas mais apropriadas para resumir as
informaes. Porem podemos usar algumas tcnicas empregadas num caso, podemos
adapt-las para outros.
Quando se estuda uma varivel, o maior interesse do pesquisador conhecer a
distribuio dessa varivel atravs das possveis realizaes (valores) da mesma.
Exemplo: Dados relativos a uma amostra de 36 funcionrios de uma populao de 2000
funcionrios da empresa Milsa. Ver resultados anotados na tabela abaixo.
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TABELA 1
N ESTADO GRAU DE N DE SALRIO IDADE REGIO DE
CIVIL INSTRUO FILHOS (X SAL. MIN) ANOS MESES PROCEDNCIA
1 solteiro 1 grau --- 4 26 03 interior
2 casado 1 grau 1 4,56 32 10 capital
3 casado 1 grau 2 5,25 36 05 capital
4 solteiro 2 grau --- 5,73 20 10 outro
5 solteiro 1 grau --- 6,26 40 07 outro
6 casado 1 grau 0 6,66 28 00 interior
7 solteiro 1 grau --- 6,86 41 00 interior
8 solteiro 1 grau --- 7,39 43 04 capital
9 casado 2 grau 1 7,59 34 10 capital
10 solteiro 2 grau --- 7,44 23 06 outro
11 casado 2 grau 2 8,12 33 06 interior
12 solteiro 1 grau --- 8,46 27 11 capital
13 solteiro 2 grau --- 8,74 37 05 outro
14 casado 1 grau 3 8,95 44 02 outro
15 casado 2 grau 0 9,13 30 05 interior
16 solteiro 2 grau --- 9,35 38 08 outro
17 casado 2 grau 1 9,77 31 07 capital
18 casado 1 grau 2 9,8 39 07 outro
19 solteiro superior --- 10,53 25 08 interior
20 solteiro 2 grau --- 10,76 37 04 interior
21 casado 2 grau 1 11,06 30 09 outro
22 solteiro 2 grau --- 11,59 34 02 capital
23 solteiro 1 grau --- 12,OO 41 00 outro
24 casado superior 0 12,79 26 01 outro
25 casado 2 grau 2 13,23 32 05 interior
26 casado 2 grau 2 13,6 35 00 outro
27 solteiro 1 grau --- 13,85 46 07 outro
28 casado 2 grau 0 14,69 29 08 interior
29 casado 2 grau 5 14,71 40 06 interior
30 casado 2 grau 2 15,99 35 10 capital
31 solteiro superior --- 16,22 31 05 outro
32 casado 2 grau 1 16,61 36 04 interior
33 casado superior 3 17,26 43 07 capital
34 solteiro superior --- 18,75 33 07 capital
35 casado 2 grau 2 19,4O 48 11 capital
36 casado superior 3 23,3O 42 02 interior
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Freqncia e percentagem da amostra de 36 empregados da empresa Milsa segundo o
grau de instruo.
TABELA 2
Freqncia e percentagem dos 2000 empregados (Populao) da empresa Milsa (Censo
x Probabilidade)
TABELA 3
Freqncia e percentagens dos 36 empregados (Amostra) da empresa Milsa
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GRAU DE TABULAO FRQNCIA FREQ. RELATIVA
INSTRUO F FR %
1 grau I I I I I I I I I I I I 12 33,33
2 grau I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 50,OO
superior I I I I I I 6 16,67
TOTAL 36 100
GRAU DE FRQNCIA FREQ. RELATIVA FREQ. RELATIVA
INSTRUO F FR % Censo FR % Provvel
1 grau 650 32,50 33,33
2 grau 1020 51,00 50,OO
superior 330 15,50 16,67
TOTAL 2000 100 100
TABELA 4
CLASSE DE SALRIOS FRQNCIA FREQ. RELATIVA
F FR %
4 I------- 8 10 27,78
8 I------- 12 12 33,33
12 I------- 16 8 22.22
16 I------- 20 5 13,89
20 I------- 24 1 2,78
TOTAL 36 100
Freqncias e percentagem dos empregados da empresa Milsa, segundo N de filhos
TABELA 5
NMERO DE FILHOS FREQNCIA FREQ. RELATIVA
Xi F FR %
0 4 20
1 5 25
2 7 35
3 3 15
5 1 5
TOTAL 20 100
Exercicio -Representar a distribuicao de frequencia para Idade e a Regiao de procedencia dos funcionarios da Empresa Milsa.
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5.0 REPRESENTAO GRFICA DAS VARIVEIS
QUANTITATIVAS
A representao grfica da distribuio de freqncias de uma varivel tem a vantagem
de, rpida e concisamente, informar sobre a variabilidade da mesma.
Podemos optar por vrios tipos de grficos, porem qualquer que seja ele, devemos
especificar os elementos essenciais para a sua interpretao, que so:
- o ttulo;
- o corpo;
- o cabeario;
- as colunas indicadoras.
TTULO a indicao que, precedendo a tabela, colocado na parte superior da
mesma. Deve ser preciso, claro e conciso, indicando a natureza dos fatos estudados (o
que), e a poca (quando) em que o mesmo foi observado.
CORPO da tabela o conjunto de linhas e colunas que contem respectivamente, as
sries Horizontais e verticais de informaes. Casa, cela ou clula o cruzamento de
uma linha com uma coluna, onde se tem a freqncia com que a categoria (ou categorias)
aparecem.
CABEARIO parte da tabela em que designada a natureza (as categorias, as
modalidades da varivel) do contedo de cada coluna.
COLUNA INDICADORA parte da tabela em que designada a natureza (as
categorias, as modalidades da varivel) do contedo de cada linha.
Os elementos complementares de uma tabela so:
- Fontes;
- Notas.
FONTE o indicativo, no rodap da tabela, da entidade responsvel pela sua
organizao ou fornecedora dos dados primrios. A razo da presena da fonte no
somente honestidade cientifica, mas tambm permitir ao leitor a possibilidade de
consultar o trabalho original de onde procedem as informaes.
NOTAS so colocadas no rodap da tabela para esclarecimentos de ordem geral. E so
numeradas, podendo-se tambm usar smbolos grficos, sendo comum o asterisco.
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6.0 APRESENTAO GRFICA
A apresentao grfica dos dados e respectivos resultados de sua anlise pode tambm
ser feita sob forma de figuras, em geral grficos ou diagramas.
Grficos devem ser auto-explicativos e de fcil compreenso, de preferncia sem
comentrios inseridos.Devem ser simples, atrair a ateno do leitor e inspirar confiana.
6.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS
Para sua construo traada uma reta horizontal (ou vertical) de sustentao; a partir de
pontos eqidistantes na reta, traa-se perpendiculares cujos comprimentos sejam
proporcionais s freqncias.
freqncias
12
10
8
6
4
2
0
4 I------- 8 8 I------- 12 12 I------- 16 16 I------- 20 20 I------- 24
Salrios
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6.2 DIAGRAMA DE BARRAS
A mesma distribuio acima poderia ser representada por meio de diagrama que levasse
em conta a magnitude da rea da figura geomtrica, j que a vista repousa melhor
sobre uma superfcie do que sobre uma linha.
freqncias
12
10
8
6
4
2
0
4 I-----
-- 8 8 I-----
-- 12 12 I-----
-- 16 16 I-----
-- 20 20 I-----
-- 24
salrios
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6.3 DIAGRAMA DE CRCULOS
Alem do retngulo, outra figura geomtrica utilizada o crculo ou conjunto de crculos.
Lembrando que a rea do crculo o produto do nmero irracional = (3,1416) pelo
quadrado do raio (r), isto , C= .r , e desde que as reas dos diversos crculos
devem ser proporcionais s magnitudes das freqncias, isto , C = . f onde o fator
de proporcionalidade, segue-se que:
. f = . r , ou seja, r = .f Se chamar de `, tem-se :
portanto, os raios dos crculos devem ser proporcionais a raiz quadrada das freqncias
das modalidades da varivel.
Assim se quisermos representar graficamente a distribuio da tabela 1.4, os raios do
crculo devero ser:
r1 = 27,78 . `= 5,27 . ` 5,27. 3 = 15.8 mm
r2 = 33,33 . `= 5.77 . ` 5,77. 3 = 17,3 mm
r3 = 22.22. `= 4,71. ` 4,71. 3 = 14,1 mm
r4 = 13,89 . `= 3.72. ` 3,72. 3 = 11,1 mm
r5 = 2,78 . ` = 1,66 ` 1,66. 3 = 5,00 mm
A figura abaixo representa esta distribuio, com um ` adotado de 3 mm.
2,7% %
22,22 %
27,78 %
33,33 %
13,89
%
r = `. f
-20-
6.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES Outra opo seria atravs de setores circulares, na qual se divide a rea total de um
crculo em subreas (setores) proporcionais as freqncias.
Lembrando que o crculo compreende setores cujas reas (S) so produto do raio (r) pelo
tamanho do arco (a), isto , S = r.a, e com S deve ser proporcional a freqncia f, tem-se
S= .f , onde o fator de proporcionalidade; ento:
.f = r. a
a = . f r Se chamarmos de `, tem-se = `. f , isto , os arcos e os respectivos r ngulos centrais de um crculo igual a 360, e sendo F a freqncia total, tem-se
360 = `. F
ou seja: `= 360 Portanto a = 360. f F F Assim, a distribuio de freqncia da tabela 4 representando faixas de salrios fica:
a1 = 360 x 27,78 = 100 100
a2 = 360 x 33,33 = 120 100
a3 = 360 x 22,22 = 80 100
a4 = 360 x 13,89 = 50 100
S5 = 360 x 2,78 = 10 100
-21-
Diagrama de Setores Circular
.
Diagrama de Setores Circular feito automaticamente pelo excel
120 50 100 80
10
-22-
6.5 DIAGRAMA LINEAR
No diagrama linear deve-se plotar os pontos nos eixos como foi feito no diagrama de
barras e em seguida unir esses pontos por semi-retas contituindo-se desta forma o
diagrama linear.
-23-
6.6 O PICTOGRAMA
freqncias
12
x
10 x
x
8
6
x
4
2
x
0
4 I------- 8 8 I------- 12 2 12 I------- 16 16 I------- 20 20 I------- 24
salrios
A figura abaixo mostra um exemplo de apresentao pictogrfica de dados
temporais
(comumente encontrada em jornais, revistas e relatrios de vrios tipos), no caso abaixo
representa a populao dos Estados Unidos.
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Cada smbolo = 10 milhes de pessoas Pictograma da populao dos Estados Unidos
-24-
7.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIAS
A anlise estatstica de dados relativos a uma amostra de uma populao, requer uma
aglutinao organizada de informaes, conforme regras cuja prtica demonstrou serem
eficientes.
Consideremos uma relao de pesos de pacotes de manteiga, em gramas, de uma
amostra de 100 pacotes extrados parcialmente de um processo automtico de
empacotamento.
15 A especificao de fabricao 215 gramas (200 a 230 gramas)
TABELA 6
AMOSTRA PESO
AMOSTRA PESO
AMOSTRA PESO
AMOSTRA PESO
AMOSTRA PESO
1 207 21 220 41 210 61 210 81 217
2 213 22 204 42 214 62 220 82 211
3 210 23 213 43 219 63 213 83 213
4 215 24 211 44 215 64 217 84 218
5 201 25 214 45 217 65 214 85 213
6 210 26 217 46 213 66 219 86 216
7 212 27 224 47 218 67 214 87 218
8 204 28 211 48 214 68 215 88 216
9 209 29 220 49 215 69 223 89 206
10 212 30 209 50 212 70 217 90 212
11 215 31 214 51 221 71 213 91 207
12 216 32 208 52 211 72 218 92 213
13 221 33 217 53 218 73 207 93 215
14 219 34 214 54 205 74 210 94 212
15 222 35 209 55 220 75 208 95 223
16 225 36 212 56 203 76 214 96 210
17 215 37 208 57 216 77 211 97 226
18 218 38 215 58 222 78 205 98 224
19 213 39 211 59 206 79 215 99 214
20 216 40 216 60 221 80 207 100 215
O agrupamento destes dados em sub-grupos feito com base nos seguintes conceitos:
-25-
Amplitude total ( R.T.): a diferena entre a medida mxima e a medida mnima. No
caso da amostra de pacotes de manteiga acima, temos:
R.T. = 226 201 = 25 gramas
Nmero de classes (d) : o nmero de divises que estipulamos para a Amplitude
Total.
Normalmente pode-se usar d = n onde n= n mero de itens na amostra para o
exerccio temos d = 100 10 classes, porem deve-se utilizar sempre que possvel
nmero impar de classes no caso 9 classes.
Classe: o intervalo de variao das medidas.
Amplitude do intervalo de classe (R.I.): a diferena entre os valores mximos e
mnimos de cada classe.
Amplitude intervalo de cada classe R.I . = R.T
Nmero de Classes No caso do exerccio temos:
Amplitude intervalo de cada classe R.I . = 25 = 2,7 aprox. 3 7
RI adotado = 3 RT adotado = 27 diferenca 2 comeca uma antes do menor e termina um antes do maior valor. As classes devem ser mutuamente exclusivas, para que no haja duvida na localizao
dos valores das variveis, podemos dai utilizar as seguintes simbologias para os
intervalos:
0 ----I 10 intervalo aberto & fechado, para significar que o intervalo compreende os
valores da varivel maiores do que 0 (excludo) e at 10 (inclusive);
0 I---- 10 intervalo fechado & aberto, para significar que compreende os valores da
varivel a partir de 0 (inclusive) e at 10 (exclusive);
0 ----- 10 Intervalo aberto & aberto, para significar que compreende valores maiores do
que 0 e menores do que 10.
0 I----I 10 intervalo fechado & fechado, para significar que compreende os valores da
varivel a partir de 0 (inclusive) e at 10 (inclusive).
-26-
TABELA de DISTRIBUIO das FREQNCIAS
Para a facilidade e metodizao do processo de anlise estatstica, monta-se um tabela
que agrupe as informaes obtidas, de forma de Tabela de Freqncias. Para os pacotes
em pauta, teremos a seguinte tabela de freqncias:
TABELA 7
VALOR COMPRIMENTO FREQ. FREQUENCIA FREQUENCIA FREQUENCIA
CLASSE CLASSE TABULAO F RELATIVA % ACUM. ACUM. REL.%
1 200 ---I 203 I I 2 2 2 2
2 203 ---I 206 I I I I I I 6 6 8 8
3 206 ---I 209 I I I I I I I I I I 10 10 18 18
4 209 ---I 212 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 36 36
5 212 ---I 215 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 28 28 64 64
6 215 ---I 218 I I I I I I I I I I I I I I I I I I 18 18 82 82
7 218 ---I 221 I I I I I I I I I I 10 10 92 92
8 221 ---I 224 I I I I I I 6 6 98 98
9 224 ---I 227 I I 2 2 100 100
100 100%
Onde:
Freqncia (F) = o numero de vezes que as medidas ocorrem no intervalo de classes
Freqncia relativa (FR) = a percentagem da freqncia de cada classe em relao ao
total de elementos.
FR = F d x 100 n Freqncia acumulada (FA) = a soma das freqncias at o intervalo de classe
considerado.
Ex. Fa5 = F1+ F2 + F3 + F3 + F5 2+ 6+ 10+ 18+ 28 = 64
Freqncia acumulada relativa (FAR) = a soma das freqncias relativas at o
intervalo considerado
Far3 = Fr1 + Fr2 + Fr3 2 + 6 + 10 = 18
-27-
7.1 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQNCIAS
freqncias
28
21
14
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES
-28-
POLIGONO DE FREQNCIAS
7.2 HISTOGRAMA E POLIGONO DAS FREQNCIAS RELATIVAS
%
28%
21%
14%
7%
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES
-29-
POLIGONO DE FREQNCIA RELATIVA
7.3 POLIGONO DE FREQNCIA ACUMULADA OU OGIVA
F.AC.
100
80
60
40
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES
-30-
7.4 POLIGONO DA FREQNCIA ACUMULADA RELATIVA
POLIGONO DE FREQNCIAS ACUMULADA
%
F.AC REL.
100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
0 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CLASSES
- 31 -
POLIGONO DE FREQNCIAS ACUMULADA RELATIVA
8.0 TIPOS DE DISTRIBUIO As distribuies de freqncia podem se apresentar de diversas formas conforme as
figuras a seguir:
8.1 DISTRIBUIO SIMTRICA OU EM FORMA DE SINO
A distribuio simtrica quando os valores se distribuem igualmente em torno da mdia
(X)
A) Normal
B) Alongada
-32-
C) Achatada
8.2 DISTRIBUIO ASSIMTRICA aquela em que as freqncias dos valores medidos, se distribuem de forma desigual
em torno da mdia.
A) Assimtrica Positiva
-33-
B) Assimtrica Negativa
8.3 DISTRIBUIO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL
Chamamos de moda numa distribuio, ao valor da medida ou classe que corresponde
freqncia mxima. Sob o critrio da moda as distribuies classificam-se em:
A) DISTRIBUIO MODAL Quando a distribuio tem freqncia mxima ela
denominada modal.
mo
-34-
B) DISTRIBUIO AMODAL Quando a distribuio no tem moda
B) DISTRIBUIO BIMODAL Quando a distribuio tem duas modas.
mo mo
C) DISTRIBUIO MULTIMODAL Quando a distribuio tem mais de duas modas
mo mo mo
-35-
8.4 APRESENTAO TIPO RAMO-E-FOLHAS Uma alternativa para o uso da tabela de distribuio de freqncias usar o grfico do
tipo ramo-e-folhas.
Podermos estudar a partir de um exemplo prtico:
Observamos os seguintes nmeros de passageiros em 50 viagens de um avio que faz
ponte area Rio - So Paulo:
61 52 64 84 35 57 58 95 82 64
50 53 103 40 62 77 78 66 60 41
58 92 51 64 71 75 89 37 54 67
59 79 80 73 49 71 97 62 68 53
43 80 75 70 45 91 50 64 56 86
SOLUO:
F F.A.
3 5 7 2 2
4 0 1 3 5 9 5 7
5 0 0 1 2 3 3 4 6 7 8 8 9 12 19
6 0 1 2 2 4 4 4 4 6 7 8 11 30
7 0 1 1 3 5 5 7 8 9 9 39
8 0 0 2 4 6 9 6 45
9 1 2 5 7 4 49
10 3 1 50
A MEDIANA NESTE CASO SER = 64
-36-
9.0 MEDIDAS DE POSIO OU DE TENDNCIA CENTRAL
Como o prprio nome indica, a medida de tendncia central visa a determinar o centro da
distribuio. Esta determinao, porem, no bem definida da parece razovel
chamarmos de tendncia central.
So medidas de tendncia central:
MDIA ARITMTICA SIMPLES/PONDERADA;
MEDIANA;
MODA.
9.1 MDIA ARITMTICA SIMPLES
Dada uma distribuio de freqncias, chama-se de mdia aritmtica desta destituio, e
representa-se por a soma de todos os valores da varivel, dividida pelo nmero de
variveis n.
= x n n
Sendo: x i= 1
Exemplo: Calcular a mdia aritmtica simples de 8, 3, 5, 12, 10. = 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7,6 5 5
-37-
9.2 MDIA ARITMTICA PONDERADA K xi .fi i= 1
= K
x fi i= 1
onde: f = freqncia dos nmeros x = nmeros
Exemplo: Calcular a mdia ponderada dos nmeros 5, 8, 6, 2 os quais ocorrem com as
freqncias 3, 2, 4 e 1, respectivamente
Nmeros x = 5, 8, 6, 2
Freqncias f = 3, 4, 2, 1
= 3x5 + 4x8 + 2x6 + 1x2 = 57 = 5,7 3+4+2+1 10
9.3 MEDIANA x )
Se ordenarmos uma seqncia de nmeros do menor para o maior e se a quantidade
desses nmeros for impar, ento a mediana ser o valor do meio, ou a mdia dos dois
valores do meio caso a quantidade de nmeros seja par.
O smbolo que usamos para representar a mediana x l-se x ti .
No caso de calculo da mediana quando estamos trabalhando com distribuio de
freqncia determinamos o valor mais provvel dessa distribuio a partir de:
-38-
x = Freqncia acumulada total = FA (para n er s ares) 2 2
Ou ainda A posio DA MEDIANA definida por { n+1 } -simo elemento quando n 2
mpar temos um n mero inteiro e d a posia o da mediana;
Exemplo: Determine a posio da mediana para a) n=15 b) n=45 c)n=88
a) n+1 = 15+1 = 8, e a mediana o valor do 8 elemento; 2 2
b) n+1 = 45+1 = 23, e a mediana o valor do 23 elemento;
2 2
c) n = 88 = 44 e a mediana o valor correspondente ao valor do 44elemento. 2 2
No caso do exerccio da distribuio dos 100 valores de peso de pacotes de manteiga
temos:
X = n = 100 = 50, e a mediana o valor do 50 elemento
2 2
FA 0 2 8 18 36 64 82 92 98 100
X 200 203 206 209 212 215 218 221 224 227
50
(64 36) (215 212)
(64 50)
= 14 x 3 = 1,5 28
portanto a mediana ser 212 + logo, X = 212 + 1,5 = 213,5
-39-
36 64
212 215
50
valor
9.4 MODA ( X )
Em um conjunto de nmeros a moda o valor que ocorre com maior freqncia, isto , o
valor mais comum.
Exemplos:
1) 2, 2, 3, 7, 8, 8, 8, 9, 10
moda=8
2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
moda = no existe moda)
3) 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9
moda = 4 e 8
Para o exemplo do exerccio das distribuies de freqncias dos pacotes de
manteiga temos que a moda o ponto mdio da classe modal, localiza-se a classe
modal como sendo a classe com maior freqncia e em seguida determina-se seu
ponto mdio.
Classe modal a 5 classe, portanto moda = 212 + 215 = 213,5 2
-40-
10.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (DISPERSO)
As medidas de disperso indicam se os valores esto relativamente prximos uns
dos outros, ou separados. Podemos dizer que disperso o grau com o qual os
valores numricos de uma distribuio tendem a se distanciar em torno de um valor
mdio.
Em todos os casos, o valor zero indica ausncia de disperso; a disperso aumenta
proporo que aumenta o valor da medida (amplitude,desvio-padrao, varincia).
xx x x x x xxx xxx xx x x
a) pequena disperso
xx x x xxx x x x x x x x x xx x x xxx x x x xx x x x x xx
b) grande disperso
10.1 AMPLITUDE TOTAL (R.T.)
a medida mais simples de disperso. a diferena entre o maior e o menor valor
das observaes.
R.T. = Xmax Xmin
Embora exista simplicidade de clculo, existem duas restries ao seu generalizado:
1- Utiliza apenas uma parcela das informaes contidas nas observaes. O seu
valor no se modifica mesmo que os valores das observaes variem, desde que
conservem os seus valores Mximo e mnimo.
2- Depende do n er e serva es na amostra. Em geral o valor da amplitude
cresce quando cresce o tamanho da amostra.
-41-
X min.I I x max.
R.T. = pequeno
X min. I I X max.
R.T. = Grande
-42-
10.2 DESVIO PADRO
medida que determina a variao dos valores observados em torno da mdia da
distribuio, e representa a distncia do ponto de inflexo da curva at a linha da mdia.
10.2.1 DESVIO PADRO AMOSTRAL (S)
O desvio padro da amostra representa a disperso da amostra e dada pela equao:
S = (X1- ) + (X2- ) + (X3- ) + ..... +(Xn- ) n
Onde: Xi = Medidas individuais
S = ( Xi - ) n n = Nmero de elementos ou valores 10.2.2 DESVIO PADRO DA POPULAO )
O desvio padro da populao representa a o grau de disperso da populao em torno
da mdia representado por , tambm representa a distncia do ponto de inflexo, e
dado pela expresso:
= (X1- ) + (X2- ) + (X3- ) + ..... +(Xn- ) n - 1
= ( Xi - ) n - 1
-43-
10.2.3 REPRESENTAO GRFICA DO DESVIO PADRO
10.2.4 SISTEMATIZAO PARA O CLCULO
Para sistematizar o clculo do desvio padro de uma amostra utilizado o seguinte
procedimento:
1- Calcular o valor da mdia;
2- Montar a tabela abaixo
observaes Xi
Xi -
(Xi - )
medidas
1 X1 X1 - (X1 - )
2 X2 X2 - (X2 - )
3 X3 X3 - (X3 - )
. . . .
. . . .
. . . . n Xn Xn - ( Xn - )
(Xi- )
-44-
+
3-Aplicam-se as frmulas:
S = ( Xi - ) n
= ( Xi - ) n - 1
10.3 VARINCA Varincia da populao a soma dos quadrados dos desvios de cada observao em
relao mdia de x, divide-se por n 1. Indica-se a Varincia da Populao por .
Podemos fazer a mesma analogia com a Varincia da Amostra dada por S.
Frmula da varincia da Amostra
n
( Xi - ) S = i = 1
n
Frmula da varincia da Populao
n
( Xi - ) = i = 1 onde n 1 = nmero de graus de liberdade
n - 1
Como medida de disperso, a Varincia tem a desvantagem de apresentar unidade de
medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Se os dados esto em
metros, a Varincia fica em metros quadrados.
O desvio padro por sua vez, fica com valor na mesma da unidade da varivel.
-45-
11.0 PROBABILIDADE
O problema fundamental da estatstica consiste em lidar com o acaso e a incerteza.
Chama-se probabilidade de um acontecimento a razo entre o nmero de casos
favorveis ao mesmo e o nmero total de acontecimentos possveis.
Assim quando se considera uma populao limitada de P indivduos, a probabilidade de
cada um ser escolhido, ao acaso, de 1/P.
Laplace definiu probabilidade como: O quociente do n mero de casos favorveis sobre o
nmero de casos igualmente possveis.
or exemplo, se jogarmos uma moeda no viciada para o ar, de modo geral no
podemos afirmar se vai dar cara ou coroa.
Porm existem apenas dois eventos possveis: sair cara ou c r a Nesse exemplo
existe um caso favorvel a esse evento em dois casos possveis. A P (K) = ou 50%.
Considerando-se cara como sucesso e coroa como fracasso e representando-se o
acontecimento favorvel como e o no favorvel como Q, temos as razes:
P= e Q =
Sendo P+Q = 1
Ento P= (1 - Q) e Q = (1 - P)
A probabilidade de um evento A, denotada por P (A), um nmero de 0 a 1, que indica a
chance de ocorrncia do evento A. Quanto mais prxima de 1,00 P(A), maior a
chance de ocorrncia do evento A, e quanto mais prxima de Zero, menor a chance de
ocorrncia do evento A.
Um evento impossvel atribui-se a probabilidade Zero.
Um evento certo tem probabilidade de 1.
As probabilidades podem ser expressas, inclusive por valores decimais, fraes e
percentagem como: 20%; 2 em 10; 0,2; ou ainda 1/5.
-46-
Alm do uso na interpretao de jogos de azar, usa-se ainda a probabilidade mediante
determinada combinao de julgamento, experincia ou dados histricos, para predizer
Quao Provvel a ocorrncia de determinado evento futuro.
H numerosos exemplos de tais situaes no campo dos Negcios e do Governo. A
previso da aceitao de um novo produto, o clculo dos custos de produo, a
contratao de um novo empregado, o preparo do oramento, a avaliao do impacto de
uma reduo de impostos sobre a inflao tudo isso contm algum elemento de Acaso.
11.1 ESPAO AMOSTRAL E EVENTOS
onsideremos o experimento que consiste em extrair uma carta de um baralho de 52
cartas. 52 eventos elementares no espao amostral. Quanto aos eventos podemos
classific-los em:
ESPAO AMOSTRAL
COMPLEMENTO Cartas vermelhas e cartas pretas
No se interceptam cartas de
MUTUAMENTE EXCLUDENTE copas e cartas de paus
NAO SO MUTUAMENTE Cartas de copas e figuras, tem
EXCLUDENTE elementos em comum.
Cartas de paus, ouro, copas e
COLETIVAMENTE EXAUSTIVO A B C D espadas
-47-
A
A B
A B
11.2 TRS ORIGENS DA PROBABILIDADE
H trs maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades, O mtodo Clssico,
quando o espao amostral tem resultados igualmente provveis. O mtodo Emprico, que
se baseia na freqncia relativa de ocorrncia de um evento num grande nmero de
provas repetidas; e o mtodo Subjetivo, que utiliza estimativas pessoais baseadas num
certo grau de crena.
OBJETIVO SUBJETIVO
CLSSICO EMPRICO Opinio Pessoal
(resultados igualmente provveis) (dados histricos)
O Mtodo Clssico
Os jogos de azar (lanamento de moedas, jogo de dados, extrao de cartas)
usualmente apresentam resultados igualmente provveis.
Nestes casos temos:
P(cada resultado) = 1 Nmero de resultados possveis
Se cada carta de um baralho de 52 tem a mesma chance de ser escolhida, ento a
probabilidade de extrair cada uma delas de 1/52 : P (A) = 1/52 1,92%.
Da mesma forma a probabilidade de termos uma cara no lanamento de uma moeda
ou 50%. O mesmo ocorre com uma coroa, ou seja ou 50%.
No caso de um dado temos a probabilidade de dar qualquer nmero: 1,2,3,4,5,6 de 1/6
ou de 16,66%.
-48-
De forma geral vale tambm a expresso:
P(A) = Nmero de resultados associados ao evento A Nmero total de resultados possveis
Por exemplo, a probabilidade de extrao de uma dama, de acordo com esta definio,
P (dama) = 4 damas = 4 = 1 = 7,69% 52 cartas 52 13
Analogamente, a probabilidade de obter nmero mpar no lance de um dado
P(mpar) = 3 faces = 3 ou 50% 6 faces possveis 6
11.3 A MATEMTICA DA PROBABILIDADE
Muitas aplicaes de estatstica exigem a determinao da probabilidade de
combinaes de eventos. H duas categorias de eventos de interesse, A e B, no espao
amostral.
Pode ser necessrio determinar P(A e B), isto ; a probabilidade de ocorrncia de ambos
os eventos.
Em outras situaes, podemos querer a probabilidade de ocorrncia de A ou B P(A ou B).
C cu a Pr a i i a e a c rrncia e is event s independentes P A e B)
Se dois eventos so independentes, ento a probabilidade da ocorrncia de ambos
igual ao produto de suas probabilidades individuais:
P(A e B) = P(A) . P(B)
Exemplo Jogam-se duas moedas equilibradas.Qual a probabilidade da ocorrncia de
ambas darem cara?
razovel admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro.
Alm disso, para moedas equilibradas, P(cara)= . Logo p(cara e cara) ser:
1 moeda 2moeda
x = ou 25%
-49-
C cu a Pr a i i a e a c rrncia e is event s utua ente exc u ente
P(A ou B ocorrer)
Se dois eventos mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrncia de qualquer um
deles a soma de suas probabilidades individuais. Para dois eventos A e B temos:
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Exemplo, qual a probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada de um dado
equilibrado?
P(cinco) ou P(seis) = P (5) + P(6) = 1 + 1 = 2 = 33,33% 6 6 6
C cu a Pr a i i a e a c rrncia e is event s n utua ente
exc u ente P A u B u a s c rrer )
Suponhamos a probabilidade de extrao de uma carta de paus ou um dez de um
baralho de 52 cartas . omo possvel que uma carta seja simultaneamente de paus e
um dez, os eventos no so mutuamente excludentes. Assim devemos excluir a
probabilidade de interseo. Ento temos:
P(paus) = 13 , P(dez)= 4 , P( dez de paus) = 1 ,
52 52 52
P(paus ou dez,ou ambos) = P(paus) + P(dez) - P(dez de paus)
= 13 + 4 - 1 = 16
52 52 52 52
-50-
Carta de paus
Os event s aus e ez se interce ta .
Regra de probabilidade
P (A e B), para eventos independentes (Multiplicao) P(A) x P(B)
P (A ou B), para eventos mutuamente excludentes (Soma) P(A) + P(B)
P (A ou B ou ambos ocorrero), para eventos no mutuamente excludentes
P(A) + P(B) - P(A intercepta B)
-51-
NAIPE
PAUS OUROS COPAS ESPADA
PRETA VERMELHA VERMELHA PRETA
K K K K
Q Q Q Q J J J J
10 10 10 10
9 9 9 9 a carta um dez 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3
2 2 2 2 A A A A
EXERCCIOS
1- Extrai-se uma s carta de um baralho de 52. Determine a probabilidade de obter:
a- Um valete
b- Uma figura
c- Uma carta vermelha
d- Uma carta de ouros
e- Um dez de paus
f- Um nove vermelho ou um oito preto
2- Relacione os resultados possveis do lance de um s dado. Ache a probabilidade e
adicione-as.
3- Joga-se uma vez um dado equilibrado; determine a probabilidade de obter:
a- um seis b- cinco, seis ou sete
c- um nmero par d- um nmero menor que quatro
4- Doze fichas so numeradas de 0 a 12 e colocadas numa urna. Escolhida uma
aleatoriamente, determine a probabilidade de sair:
a- o nmero 3 b- um nmero impar
c- um nmero menor que quatro d- o nmero dez
5- Joga-se um par de dados equilibrados:
a- Qual a probabilidade de ambas as faces serem seis?
b- Qual a probabilidade de ambas as faces serem dois?
c- Qual a probabilidade de ambas as faces serem pares?
6- Sejam P(A) = 0,30, P(B) = 0,80 e P(A e B) = 0,15.
a- A e B so mutuamente excludentes? Explique.
b- Determine P(A ou B).
7- Sejam A e B mutuamente excludentes, P(A) = 0,31 e P(B) = 0,29.
a- A e b so coletivamente exaustivos? Explique.
b- Determine P(A ou B).
c- Determine P (A e B)
8- Joga-se uma moeda trs vezes. Qual a probabilidade de aparecer coroa trs
vezes? Qual a probabilidade de no aparecer coroa nas trs vezes?
-52-
12.0 TECNICAS DE CONTAGEM
Para utilizar o mtodo clssico (A Priori) da probabilidade, preciso conhecer o nmero
total de resultados possveis de um experimento.
Uma das possibilidades o uso das rvores de deciso, mas quando o numero de
resultados grande, essa lista se torna muito trabalhosa; necessrio ento recorrer a
formulas matemticas para determinar o numero total de resultados possveis.
Suponhamos que um estudante esteja fazendo um teste de 20 questes do tipo
ver a eir -ou-fa s . Suponhamos ainda que ele, no tenha estudado nada, esteja
dando todas as respostas na base do palpite. Qual a probabilidade de ele responder
corretamente todo o teste?
A primeira coisa a fazer determinar o numero total de resultados possveis.
Em segundo lugar devemos explorar suas diversas verses. Imaginemos que o teste
consista de apenas:
Uma questo temos V ou F
Duas questes temos VV, VF, FV, FF
Trs questes temos VVV, VVF, VFF, VFV, FVF, FVV, FFV, FFF
Conclue-se:
Numero de questes : 1 2 3 4
Numero de resultados : 2 4 8 16
Nota-se que se, o numero de itens for grande, a listagem se tornara praticamente
impossvel.
Em seguida podemos ver um diagrama de rvore para determinar todos os arranjos
possveis.
-53-
V V VVV
V F VVF
F V VFV
. F VFF
V V FVV
F F FVF
F V FFV
F FFF
Alem disso, o que realmente necessario determinar o numero total de resultados;
nada se tem a ganhar identificando cada resultado.
O diagrama mostra que cada questo dobra o numero total de resultados possveis.(com
duas alternativas V ou F) temos:
1 2=2
2 2 x 2 =4
3 2 x 2 x 2 = 8
4 2 x 2 x 2 x 2 = 16
-54-
UES O 1 N2 N3 RESULTADOS
12.1 O PRINCIPIO DA MULTIPLICAO
NUMERO DE QUESTOES TOTAL DE RESULTADOS
Se fossem quatro escolha para cada questo:
1 4 = 4
2 4 x 4 = 16
3 4 x 4 x 4 = 64
Para solucionar o exerccio do teste, teremos:
20
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x . . . . . . . x 2 = 2 = 1.048.576 ou 1 . 1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . 20 1.048.576
De um modo geral, se ha n decises seqenciais, cada uma com m escolhas, o
n
numero total de resultados m .
12.2 PERMUTAO, ARRANJO E COMBINAO.
Quando a ordem em que os elementos se dispem importante, o numero total de
resultados possveis conhecido como Arranjo ou Permutao. Quando a ordem no
interessa, o numero total de resultados possveis designado como Combinao.
Para o uso na analise combinatria usaremos o numero fatorial representado pelo
smbolo ! como por exemplo 4! le-se uatr Fat ria e significa 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
Outros exemplos:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x ..............x 1 = 479.001.600
Os fatoriais crescem de modo extremamente rpido, medida que aumenta o numero-
base.
Felizmente, quase nunca necessrio utilizar-se completamente os fatoriais, pois eles
aparecem em grupos, permitindo cancelamentos:
-55-
ERO DE UES ES O AL DE RESUL ADOS
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! 1 = 1
7! 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 7 x 6 x 5! 7 x 6 42
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 4 x 3 x 2! = 4 x 3 = 12 2! 2 x 1 2!
5! = 5 x 4 x 3! = 5 x 4 = 20 = 10 2! 3! 2 x 1 x 3! 2 x 1 2
s vezes os fatoriais podem envolver soma e subtrao. Exemplos:
( 5 - 3 )! = 2! e no ( 5! - 3! )
( 9 - 2 )! = 7!
( 3 + 1)! = 4!
8! = 8! = 8 x 7 x 6 x 5! = 8 x 7 x 6 = 56
3 ( 8 3 )! 3! . 5! 3 x 2 x 5! 3 x 2
O fatorial de zero igual a um 0! = 1.
O fatorial de 1 igual a um 1! = 1.
ARRANJOS
So agrupamentos que podem variar pela ordem ou natureza dos elementos. Quando se
consideram n elementos distintos tomados x a x chamamos arranjo ou agrupamentos
eneri s que se podem formar com esses n elementos, dispomos de todas as formas
possveis de modo que dois arranjos quaisquer difiram ao menos pela ordem dos
elementos.
Assim, os arranjos possveis com as letras A, B e C so A 3,2 (3 elementos dois a dois)
A 3,2 = AB; BA; AC; CA, BC; CB.
E com os nmeros: 2, 6 e 8 podem ser feitos os seguintes arranjos A 3,2
A 3,2 = 26; 28; 62; 68; 82; 86.
-56-
Outro exemplo: Se ha sete cavalos num preo, quantos arranjos ha considerando 1,2 e
3 lugares?
A n,x = n! ( n x )!
Ou seja, 7 elementos tomados 3 a 3
A 7,3 = 7! = 7! 7 x 6 x 5 x 4! = 7 x 6 x 5 = 210 ( 7 3 )! 4! 4! PERMUTAO
Denomina-se permutao aos arranjos de objetos tomados n a n. Neste caso cada objeto
entra s uma vez em todos os grupos.
Em geral o numero de permutaes distintas com n itens, dos quais n1 so
indistinguveis de um tipo, n2 de outro tipo, etc, :
n1, n2, ....nK
Pn = n! (n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)
Exemplo: Quantas permutaes distintas de 3 letras podemos formar com as letras:
R R R R U U U N 4 3 1
Soluo
Ha 8 letras : 4Rs 3Us 1N dai:
4, 3, 1
P8 = 8! = 280 (4!) (3!) (1!)
-57-
COMBINAO
Chama-se combinao quando no interessa a ordem para denotar o numero de
agrupamentos distintos possveis.
Exemplo: a escolha de 2 tipos de vegetal de um cardpio com 5 tipos. A escolha de
batata e cenoura a mesma que cenoura e batata.
De um modo geral, para agrupamentos de tamanho x extrados de uma lista de n itens, o
numero de combinaes possveis :
C n,x = n! n
x! (n - x )! x
Quantos comits distintos, de 3 pessoas cada um, podemos formar com um grupo de 10
pessoas?
C10,3 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7! = 120 7! 3! 3 x 2 x 7!
De quantas maneiras podemos formar um comit de 1 mulher e 2 homens, de um total
de 4 mulheres e 6 homens.
Mulheres Homens = 4! 6! = 4 x 15 = 60 ( C 4,1 ) ( 6,2 ) 3! 1! 4! 2!
-58-
12.3 REGRAS DE CONTAGEM REGRA DA MULTIPLICAO: o produto do numero de escolhas para uma seqncia de n decises m onde m = numero de escolhas n = decises seqenciais ARRANJOS: numero de agrupamentos em que interfere a ordem
A n,x = n!
( n x )!
PERMUTAO COM REPETIES (OU DISTINGUIVEIS): alguns itens so idnticos, e
a ordem importante.
n1, n2, ....nK
Pn = n! (n1!) (n2!) (n3!) ......(nk!)
COMBINAES: a ordem no importa.
C n,x = n! n
x! (n - x )! x
-59-
1- Calcule:
a- 2! b- 3! c- 10! d- 1! e- 0! 2- Calcule: a- 3 b- 4 c- 5 d- 9 2 4 1 6 3- Determine o numero de arranjos:
a- A 3,2 b- A 4,4 c- A 5,1 d- A 9,6 e- A 1,0 4- Um vendedor de automveis deseja impressionar os possveis compradores com o
maior numero de combinaes diferentes possveis. Um modelo pode ser dotado
de trs tipos de motor, dois tipos de transmisso, cinco cores externas e duas
internas. Quantas so a escolhas possveis?
5- Em um determinado Estado, as placas de licena constam de trs letras e quatro
algarismos. Quantas placas diferentes podemos formar admitindo-se o uso de
todas as (26 letras) e os (10 algarismos)?
6- Quantas permutaes distintas podem ser feitas com as letras da palavra
BLUEBEARD ?
7- Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem
ser conquistados os trs primeiros lugares?
8- De quantas maneiras diferentes podemos escolher um comit de cinco pessoas
dentre oito?
9- A Pizzaria do Joe oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelos,
pimento, enchovas e muzzarella. De quantas maneiras podemos escolher dois
tipos diferente de pizza?
-60-
EXERCICIOS
13.0 DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES Introduzidas s noes fundamentais sobre a teoria das probabilidades, pode-se passar
s chamadas Distribuies de Probabilidades.
Uma distribuio de probabilidades uma distribuio de freqncia relativa para os
resultados de um espao amostral (isto , para os resultados de uma varivel aleatria);
que mostra a proporo das vezes em que a varivel aleatria tende a assumir cada um
dos diversos valores.
onsideremos a varivel aleat ria Numero de caras em duas jogadas de uma moeda
eis a lista dos pontos do espao amostral e os valores correspondentes a v.a.:
(K = cara e C = coroa)
Resultados Valor da v.a.
CC 0 CK 1 KC 1 KK 2 Se a moeda equilibrada, P(K) = P(C) = .As probabilidades dos diversos resultados so: RESULTADOS PROBABILIDADE DO RESULTADO NUMERO DE CARAS P(X) 1 . 1 1 CC = 0 0,25 2 2 4 1 . 1 1 CK = 1 0,25 2 2 4 0,50 1 . 1 1 KC = 1 0,25 2 2 4 1 . 1 1 KK = 2 0,25 2 2 4
-61-
Assim, pois, a distribuio de probabilidades para o numero de caras em duas jogadas
de uma moeda so: NUMERO DE CARAS P(X) 0 0,25 1 0,50 2 0,25 1,00 Note-se que a soma de todas as probabilidades 1,00, como de esperar, pois os
resultados apresentados so mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos. A
mesma distribuio pode ser apresentada em forma acumulada.
NUMERO DE CARAS P(X ou menos) 0 0,25 1 0,75 2 1,00 Graficamente, as distribuies de probabilidade e acumulada se apresentam:
P
1,00 R 1,00
O 1,OO
B
A
P B
R 0,75 I 0,75
O L 0,75
B I
A D
B A
I 0,5 D 0,5
L 0,5 E
I
D A
A C
D 0,25 U 0,25
E 0,25 0,25 M 0,25
U
L
A
0 D 0
0 1 2 A 0 1 2
NUMERO DE CARAS NUMERO DE CARAS
-62-
13.1 DISTRIBUIO BINOMIAL
Suponhamos agora o experimento E4= Lanamento de 4 moedas. A tabela abaixo
mostra todas as possibilidades de combinaes cara/coroa, os eventos que estas
combinaes originam e os valores correspondentes da varivel aleatria X : Numero de
vezes que sai Cara.
N 1, 2, 3, 4 ( N DE VEZ QUE SAI CARA)
1 C C C C 0K e 4C 0
2a C C C K 1K e 3C 1
2b C C K C 2c C K C C 2d K C C C 3a C C K K 2K e 2C 2 3b C K K C 3c K K C C 3d C K C K 3e K C K C 3f K C C K
4a K K K C 3K e 1C 3 4b K K C K 4c K C K K 4d C K K K
5 K K K K 4K e 0C 4
Utilizando as regras do produto para eventos independentes (e) e da adio para
eventos mutuamente exclusivos (ou) possvel calcular as probabilidades associadas
aos valores de X.
A probabilidade de X=0 obtida pelo conhecimento de termos 4 coroas, sabe-se que a
probabilidade de sair coroa , a probabilidade final ser: 0,5x0,5x0,5x0,5 = 0,0625.
-63-
POSSIBILIDADE MOEDA N EVENTO VALOR DE X
Para o calculo da probabilidade X=1 deve-se trabalhar com o evento 1K e 3 como
temos as opes a,b,c,d, que so mutuamente exclusiva, a regra da soma manda
efetuar a adio 0,0625 +0,0625 +0,0625 +0,0625 ou, o que o mesmo de se efetuar o
produto 4x 0,0625 = 0,25.
Desta forma analogamente temos: X EVENTO P(X = x) 0 4 0 4 0 0K e 4C O,0625 = 1 X 0,5 X 0,5 = 1 p q 1 3 1 3 1 1K e 3C O,2500 = 4 X 0,5 X 0,5 = 4 p q 2 2 2 2 2 2K e 2C O,3750 = 6 X 0,5 X 0,5 = 6 p q 3 1 3 1 3 3K e 1C O,0625 = 4 X 0,5 X 0,5 = 1 p q 4 0 4 0 4 4K e 0C O,0625 = 1 X 0,5 X 0,5 = 1 p q
n = numero de moedas p = probabilidade de K = P(K) = 0,5 q = 1 p = probabilidade de C = P(C) = 0,5 Podemos usar a formula: n! = n = combinaes de n individuais tomados x a x. x! (n x)! x Generalizando temos; x n - x
P(x) = n! p . q x! (n x)!
-64-
TOTAL 1,00
Distribuio binomial de x (numero de coroas) para n = 10 X Numero de n ! Distribuio P(X) probabilidade % de C r as e 10 encontrar a jogadas x ! (n x) ! Amostral Amostra 10 p(10) = 10! 10! (10 10)! 1 1/1024 = 0,000976 9 p(9) = 10! 9! (10 9) ! 10 1/1024 = 0,009760 8 p(8) = 10! 8! (10 8) ! 45 1/1024 = 0,043940 7 p(7) = 10! 7! (10 7) ! 120 1/1024 = 0,117180 6 p(6) = 10! 6! (10 6) ! 210 1/1024 = 0,205070 5 p(5) = 10! 5! (10 5) ! 252 1/1024 = 0,246090 4 p(4) = 10! 4! (10 4) ! 210 1/1024 = 0,205070 3 p(3) = 10! 3! (10 3) ! 120 1/1024 = 0,117180 2 p(2) = 10! 2! (10 2) ! 45 1/1024 = 0,043940 1 p(1) = 10! 1! (10 1) ! 10 1/1024 = 0,009760 0 p(0) = 10! 0! (10 0) ! 1 1/1024 = 0,000976 10 TOTAL = 2 = 1024
-65-
EXERCICIOS:
Use a formula binomial para responder s questes abaixo:
1- Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta
algum defeito. Se tal suspeita correta, determine a probabilidade de que, numa
amostra de nove mesas:
a- Haja ao menos uma defeituosa
b- No haja nenhuma defeituosa
2- Dos estudantes de um colgio, 41% FUMAM CIGARROS. Escolhem-se seis ao
acaso para darem sua opinio sobre o fumo.
a- Determine a probabilidade de nenhuma das seis ser fumante.
b- Determine a probabilidade de todos os seis ser fumante.
c- Qual a probabilidade de ao menos a metade dos seis serem fumantes.
3- Doze por cento dos que reservam lugar num vo sistematicamente faltam ao
embarque. O avio comporta 15 passageiros.
a- determine a probabilidade de que todos os 15 que reservaram lugar
compaream ao embarque
b- Se houve 16 pedidos de reserva, determine a probabilidade de uma pessoa
ficar de fora.
4- Um revendedor de automveis novos constatou que 80% dos carros vendidos so
devolvidos ao departamento mecnico para corrigir defeitos de fabricao, nos
primeiros 25 dias apos a venda. De 11 carros vendidos num perodo de 5 dias, qual
a probabilidade de que:
a- Todos voltem dentro de 25 dias para reparo.
b- S um no volte
5- Suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos num estdio de futebol sejam
pedidos sem mostarda. Se sete pessoas pedem cachorro, determine a
probabilidade de que:
a- Todos queiram mostarda
b- Apenas um no a queira.
-66-
13.2 DISTRIBUIO DE POISSON
A chamada Distribuio de Poisson ou de Eventos Raros podem ser considerada um
caso limite da distribuio binomial. Quando n grande e pequeno podemos usar
a aproximao de Poisson para a distribuio Binomial.
difcil dar condies precisas para que se possa usar a aproximao de Poisson, ou
seja, o que significa quando n grande e pequeno. Como regra geral podemos
usar:
n > 100 e n.p < 10 n = Elementos da Populao p = Probabilidade
Exemplo: n = 150 p = 0,05
Temos a distribuio de Poisson com:
n.p = 150 . (0,05) = 7,5
A formula a ser usada :
x - n.p f (x) = (n.p) . e para x = 1, 2, 3, .......
x ! e= 2,718 Exemplo: Sabe-se que 2% dos livros encadernados em uma certa livraria apresentam
defeitos de encadernao. Utilize a aproximao de Poisson da distribuio Binomial para
achar a probabilidade de que 5 entre 400 livros encadernados nessa livraria apresentam
algum defeito de encadernao.
Temos: n = 400 p = 2% = 0,02 x = 5 n.p = 400 . 0,02 = 8
- 8 e = 0,000335
temos ento:
x - n.p 5 - 8
f (x) = (n.p) . e = 8 . e = (32768). (0,000335) = 10,977 = 0,0915
x ! 5! 120 120 -67-
Outro Exemplo: Supnhamos que os defeitos em fios para tear possam ser aproximados
por um processo de Poisson com media de 0,2 defeitos por metro
(p = 0,2) .Inspecionando-se pedaos de fio de 6 metros de comprimento, determine a
probabilidade de menos de 2 (isto 0 ,1) defeitos.
Temos : n = 6 p = 0,2 n . p = 6 . 0,2 = 1,2 x =1 e X = 2 0 -1,2
f(0) = 1,2 e = 1 . 0,301 = 0,301 0! 1 1 -1,2
f(1) = 1,2 e = 1,2 . 0,301 = 0,3612 1! 1 P(x< 1) = P(0) + P(1) (0,301 + 0,3612) = 0,6622 EXERCICIOS:
1- Verifique, em cada caso, se os valores de n e p satisfazem as regras empricas
para a utilizao de Poisson como aproximao da Binomial:
a- n = 500 e p = 0,001
b- n = 100 e p = 0,12
c- n = 60 e p = 0,002
2- Se 0,6% dos detonadores fornecidos a um arsenal so defeituosos, utilize a aproximao de Poisson para a distribuio Binomial para determinar a probabilidade de que, em uma amostra aleatria de 500 detonadores, quatro sejam defeituosos.
3- Em uma certa cidade 3,2% dos habitantes se envolve em, ao menos, um acidente
de carro em um ano. Com o auxilio da aproximao de Poisson para a distribuio
Binomial, determine a probabilidade de que, dentre 200 motoristas escolhidos
aleatoriamente nessa cidade.
a- Exatamente seis se envolvam em ao menos um acidente em um ano;
b- No Maximo oito se envolvam em ao menos um acidente em um ano;
c- Cinco ou mais se envolvam em ao menos um acidente em um ano;
4- Suponha que, em media 2% das pessoas sejam canhotas. Encontre a
probabilidade de 3 ou mais canhotos em 100 pessoas
-68-
14.0 DISTRIBUIO NORMAL (ou de GAUSS, ou de LAPLACE, ou ainda, dos ERROS DAS OBSERVAES)
uma distribuio contnua e simtrica, cujo grfico tem a forma de um sino
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