Filtros Passivos 1

F i l t r os P as s ivos O f i l t r o é um circuito que permite a passagem de s inais apenas em determinadas freqüências . Ele pode ser clas s ificado em:

• Filtro Pas sa Baixas (F.P.B.) • Filtro Pas sa Altas (F.P.A.) • Filtro Pas sa Faixa (F.P.F.) • Filtro Rejeita Faixa (F.R.F.)

Os filtros são cons iderados pas s ivos quando são formados apenas por dispos itivos pas s ivos , como res is tores , capacitores e indutores . Outra caracter ís tica dos fi ltros pas s ivos é o fato de o ganho de tensão ser sempre menor ou igual a 1 (ou 0db), já que não pos suem nenhum dispos itivo ativo capaz de amplificar os s inais . F i l t r o P as s a B aixas – F .P .B . Um filtro pas sa baixas (F.P.B.) ideal tem uma curva de respos ta em frequência como mostrada na figura abaixo:

Cur va de R es pos t a em F r equência do F i l t r o P as s a B aixas I deal

Para as freqüências abaixo da freqüências de cor te (ù c), o ganho é igual a um, is to é, a tensão de saída é igual a tensão de entrada. Para freqüências acima da frequência de cor te, o ganho é zero, is to é a tensão de saída será nulo. Porém, na prática, não é pos s ível cons truir - se um fi ltro com um cor te tão brusco na respos ta em frequência. F i l t r o P as s a B aixas com Cir cuit o R L O circuito RL sér ie, como mos trado abaixo, funciona como um filtro passa baixas , pois nas baixas freqüências , o indutor comporta- se como uma res is tência baixa (XL < < R), fazendo com que a maior par te da tensão recaia sobre o res is tor de saída. Já nas freqüências altas , o indutor comporta- se como uma res is tência alta (XL > > R), fazendo com que a tensão no res is tor de saída seja muito pequena.

A

v

0

ùc ù

Filtros Passivos 2

F i l t r o P as s a B aixas com Ci r cui t o R L

Nes te circuito, a expres são da tensão de saída Vs (tensão no res is tor ) em função da tensão de entrada VE é dada por :

EVLJR

⋅+

=ω

RAv

Des ta forma, o ganho de tensão des te filtro é:

LJRVVs

E ω+== R

Av

Dividindo-se o numerador e o denominador por R, tem-se:

+

=

RL

jω

1

1A V

A expres são do ganho de tensão des te fi ltro pode ser apresentada em função de sua frequência de cor te:

Ganho de T ensão:

+

=

c

jωω

1

1A V Frequência de Cor te:

LR

C =ω

Como podemos observar , o ganho de tensão é um número complexo e ,

por tanto, pos sui um módulo e fase. As s im, o ganho de tensão será representado gener icamente por um número complexo na forma AV = AV á As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são dadas por:

Módulo: 2

C

V

)(1

1A

ωω+

= Fase: C

arctgωωα −=

A partir da expressão do módulo do ganho em função da freqUência, pode-se esboçar a curva de resposta em frequência AV x ù deste filtro, cons iderando-se que:

VE VS

L

R

Filtros Passivos 3

ù =0 ◊ AV = 1

ù = ù C ◊ 707,02

1A V

==

0→⇒∞→ Avω

Resposta em Frequência do F.P.B. (Módulo) Obs er vação: A freqüência de cor te é também conhecida como frequência de meia potência, pois é nes sa frequência que a potência de saída é a metade da potência de entrada. A par tir da expressão da fase do ganho em função da frequência, pode- se esboçar o gráfico á x ù , cons iderando-se que:

ù =0 ◊ -arctg 0 = 0° ù = ù C ◊ á = -arctg 1 = -45º

°−→⇒∞→ 90αω

A curva de respos ta em frequência (Módulo) des te fi ltro pode, também, ser dada em decibel(dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por : AV(dB) = 20.log AV As s im: ù =0 ◊ AV (dB) = 20.log 1 = 0dB

ù = ù C ◊ dBdB 32

1log.20)(A V

−==

dBdBAv

C

C

C 20100

1log.20

101

1log.20)(.10

2−=≅

+

=⇒=

ωω

ωω

dBdBAv

C

C

C 40100

1log.20

1001

1log.20)(.100

22−=≅

+

=⇒=

ωω

ωω

Pode- se então, esboçar a curva de respos ta em frequência (módulo) AV(dB) x ù

0 ù ùC

AV 1

0,707

0 ù

ùC á

-90°

-45°

Resposta em frequência do F.P.B. (fase)

Filtros Passivos 4

Pelos resultados obtidos , percebe-se que, a par ti da frequência de cor te ù C, cada vez que a frequência aumenta de um fator igual a 10, o ganho diminui em 20dB. Diagr ama de B ode Uma forma s imples e prática de representar a curva de respos ta em frequência de um filtro é através do diagrama de Bode (pronuncia- se Bode). Es te diagrama representa o módulo do ganho AV(dB) em função da frequência, fazendo-se a aprox imação por trechos de retas (as s íntotas ). A figura abaixo mos tra o Diagrama de Bode do filtro pas sa baixas analisado. Des tes gráficos , podemos concluir que:

a) A escala do ganho de tensão é l inear , mas a escala de frequência é logar ítmica, devendo o gráfico ser feito em papel monolog.

b) Na frequência de cor te, o ganho de tensão é de –3dB em relação ao patamar .

c) Acima da frequência de cor te, o ganho diminui à taxa de 20 dB por década.

d) D) Usando a aprox imação de retas (diagrama de Bode), o maior er ro

cometido é de 3 dB na frequência de cor te. E xemplo: Dado o circuito a seguir , pede- se:

0

ù

10ùC AV(dB)

-40

-20

100ùC ùC

-3

Resposta em Frequência do F.P.B. (Módulo em dB)

0

ù

10ùC AV(dB)

-40

-20

100ùC ùC

-3

Diagrama de Bode do F.P.B.

Filtros Passivos 5

a) Frequência de cor te em rd/s e em Hz.

srdLR

C /1010.100

10.1 43

3

=== −ω Hzf CC 1592

210

2

4

===ππ

ω

b) Expres são complexa do ganho

43

V

101

1

101,0.

1

1

1

1A

ωωω jjRL

j +=

+

=

+

=

c) Expressão do módulo do ganho

2

4

2

C

V

101

1

)(1

1A

+

=+

=ω

ωω

e) Esboçar o gráfico do módulo do ganho em dB em função da frequência e) A frequência quando a diferença de fase entre a entrada e a saída é –45° .

CC

srdtgarctgarctg ωωωωωωωα ==⇒=⇒=°⇒−=°−⇒−= /10

101

1045

1045 4

444

F i l t r o P as s a B aixas com Cir cuit o R C O circuito RC sér ie, como mos trado na figura abaixo, funciona como um filtro pas sa baixas , pois nas baixas freqüências , o capacitor de saída compor ta- se como uma res is tência alta (XC> > R), fazendo comque a maior par te da tensão recaia sobre ele.

L = 100mH

R = 1KÙ VE VS

0

ù

105 AV(dB)

-40

-20

106 104

-3

Filtros Passivos 6

Já nas altas freqüências , o capacitor compor ta- se como uma res is tência baixa (XC< < R), fazendo com que a tensão na saída seja muito pequena.

Nes te circuito , a expressão da tensão de saída VS (T ensão no capacitor ) em função da tensão de entrada VE é dada por :

EC

CS V

jXRjX

V .−

−=

F i l t r o P as s a B aixas com Ci r cu i t o R C Des ta forma, o ganho de tensão des te filtro é:

CjR

CjjXR

jXVV

AC

C

E

SV

.1

.1

ω

ω

+=

−−

== Dividindo-se o numerador e o denominador por R e

s implificando a expres s ão , tem-se:

CRjAV ..1

1ω+

=

A expressão do ganho de tensão des te filtro pode ser apresentada em função de sua frequência de cor te, com segue: Ganho de T ens ão: F r equência de Cor t e:

C

V

jA

ωω+

=1

1

RCC

1=ω

Como o ganho de tensão é um número complexo, ele pode ser representado gener icamente na forma AV = AV á. As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função de frequência são dadas por: Módulo Fase

2

C

V

)(1

1A

ωω+

= C

arctgωωα −=

Como se vê, estas expressões são iguais às do filtro passa baixas com circuito RL analisado anteriormente, com a ressalva de que as freqüências de corte são calculadas de formas diferente, pois elas dependem dos dispositivos utilizados nos filtros (RL ou RC). Desta forma, o esboço das curvas de resposta em frequência (módulo: AV x á e fase: á x ù ) deste filtro, tem o mesmo aspecto que as do filtro anterior, como mostra a figura abaixo:

R

C VS VE

Filtros Passivos 7

A curva de respos ta em frequência (módulo) des te filtro pode, também, ser dada em decibel (dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por : AV(dB) = 20.log AV Pode-se, então esboçar a curva de respos ta em frequência (em módulo) AV(dB) x ù , e na forma normal em diagrama de bode:

E xemplo: -Projetar um filtro pas sa baixa com fc = 1KHZ . S olução: -Adotando-se R= 10KÙ, tem-se:

nFfR

CCR

fC

C 1610.110.10.2

1..2

1..2

133 ===⇒=

πππ

Usando o valor comercial mais próximo C=15nF, a frequência de corte sofrerá uma pequena alteração, porém insignificante face às tolerâncias dos dispositivos, como pode ser observado a seguir:

KHzCR

fC 061,110.1510.10.2

1..2

193 === −ππ

F i l t r o P as s a Alt as – F .P .A.

0 ù ùC

AV 1

0,707

0 ù

ùC á

-90°

-45°

Resposta em frequência do F.P.B. (fase)

Módulo

0

ù

10ùC AV(dB)

-40

-20

100ùC ùC

-3

Normal

0

ù

10ùC AV(dB)

-40

-20

100ùC ùC

-3

Diagrama de Bode do F.P.B.

Diagrama de Bode

Filtros Passivos 8

Um filtro pas sa altas (F.P.ª ) ideal tem uma curva de respos ta em frequência, como mos trada na figura abaixo.

Para freqüências abaixo da frequência de cor te (ù c), o ganho é zero, is to é, a tensão de saída é nula. Para freqüências acima da frequência de cor te, o ganho é igual a um, is to é, a tensão de saída é igual à tensão de entrada. Porém, na prática, não é pos s ível cons truir - se um fi ltro com um cor te tão brusco na respos ta em frequência. F i l t r o P as s a Alt as com Cir cuit o R L O circuito RL sér ie, como mos trado na figura baixo, funciona como um filtro pas sa altas , pois nas baixas freqüências , o indutor de saída comporta- se como uma res is tência baixa (XL< < R), fazendo com que a tensão sobre ele seja muito pequena. Já, nas altas freqüências , o indutor comporta- se como uma res is tência alta (XL> > R), fazendo com que a tensão de saída seja muito alta.

Nes te circuito, a expres são da tensão de saída VS (T ensão no indutor ) em função da tensão de entrada VE é dada por :

EVLJR

L ⋅+

=ω

ω.jAv

Des ta forma, o ganho de tensão des te filtro é:

LJRVVs

E ωϖ+

== L.jAv Dividindo-se o numerador e o denominador por R, tem-se:

−

=

LR

j.

1

1AV

ω

A expres são do ganho de tensão des te filtro pode ser apresentada em função de sua frequência de cor te:

0

ùc ù

AV

1

Curva de Resposta em frequência do Filtro Passa Altas Ideal

L

R

VS VE Filtro Passa Altas com Circuito RL

Filtros Passivos 9

Ganho de T ensão:

−

=

ωωCj1

1AV Frequência de Cor te:

LR

C =ω

Como podemos observar , o ganho de tensão é um número complexo e ,

por tanto, pos sui um módulo e fase. As s im, o ganho de tensão será representado gener icamente por um número complexo na forma AV = AV á As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são dadas por:

Módulo: 2

V

)(1

1A

ωωC+

= Fase: ωω

α Carctg=

A partir da expressão do módulo do ganho em função da freqUência, pode-se esboçar a curva de resposta em frequência AV x ù deste filtro, cons iderando-se que:

00 →⇒∞→⇒= VC A

ωωω

ù = ù C ◊ 707,02

1A V ==

10 →⇒→⇒∞→ AvC

ωωω

Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo) A par tir da expressão da fase do ganho em função da frequência, pode- se esboçar o gráfico á x ù , cons iderando-se que:

900 →⇒∞→⇒= αω

ωω C

ù = ù C ◊ á = arctg 1 = 45º

°−→⇒∞→ 0αω

A curva de respos ta em frequência (Módulo) des te fi ltro pode, também, ser dada em decibel(dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por : AV(dB) = 20.log AV

0 ù ùC

AV 1

0,707

0 ù ùC

á -90°

-45°

Resposta em frequência do F.P.A. (fase)

Filtros Passivos 10

Ass im:

dBdBAv

C

C

C 40100

1log.20

1001

1log.20)(

100 22−=≅

+

=⇒=

ωω

ωω

dBdBAv

C

C

C 20100

1log.20

.101

1log.20)(

10 2−≅

+

=⇒=

ωω

ωω

dBdBAvC 32

1log.20)( −==⇒=⇒ ωω

dBdBAv

C

C

C 01log.20

.101

1log.20)(.10

2=≅

+

=⇒=

ωω

ωω

Pelos resultados obtidos , pode-se perceber que, cada vez que a frequência aumenta de um fator igual a 10, o ganho aumenta em 20dB, até chegar à frequência de cor te ù C. Pode- se então, esboçar a curva de respos ta em frequência (módulo) AV(dB) x ù , na forma normal e como diagrama de Bode.

Exemplo: Dado o circuito a seguir , pede- se:

a) Frequência de cor te em rd/s e em Hz

srdLR

C /1010.1010.10 6

3

3

=== −ω kHzf CC 15,159

210

2

6

===ππ

ω

b) Expres são complexa do ganho

0

ù

ùC/10

AV(dB)

-40

-20

ùC ùC/100

-3

Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo em dB)

10ùC 0

ù

ùC/10

AV(dB)

-40

-20

ùC ùC/100 10ùC

Diagrama de Bode do F.P.A.

L=10mH

R = 10KÙ

VS VE

Filtros Passivos 11

ωωω

6

3

3 101

1

10.10.10.10

1

1

.1

1

jjL

Rj

AV

−=

−=

−=

−

c) Expres são do módulo do ganho

262V

101

1

)(1

1A

+

=+

=

ωωωC

d) A tensão de saída para VE = 5 0° V e ù = 1,5. ù C Módulo do ganho:

83,0

5,11

1

1

)5,1

(1

1A

22

V =

+

=+

=

c

C

ωω

Fase e do ganho: 7,33

5,11

5,1=== arctgarctg

C

C

ωωα

Para ù = 1,5. ù C : AV = 0,83 33,7° V Por tanto, a tensão de saída nes ta frequência vale: VS = AV VE = 0,83 33,7° . 5 0° = 4,15 33,7° V e) Esboçar o gráfico do módulo do ganho em dB em função da frequência. F i l t r o P as s a Alt as com Cir cuit o R C O circuito RC sér ie, como mos trado abaixo, funciona como um filtor pas sa altas , pois nas baixas freqüências , o capacitor comporta- se como uma res is tência alta (XC> > R), fazendo com que a tensão sobre o res is tor de saída seja muito pequena. Já, nas altas freqüências , o capacitor comporta- se como uma res is tência baixa (XC< < R), fazendo com que a tensão de saída seja muito alta.

0

ù (rd/s)

-40

-20

104

-3

AV(dB)

105 10

6 107

Filtros Passivos 12

Filtro Passa Altas com Circuito RC

Nes te circuito, a expres são da tensão de saída VS (tensão no res is tor ) em função da tensão de entrada VE é dada por :

EC

S VjXR

RV .

−=

Des ta forma, o ganho de tensão de entrada VE é dada por :

Cji

R

RJXRV

Vs

CE

.

RAv

ω+

=−

==

Dividindo-se o numerador e o denominador por R e s implificando a expres são, tem-se:

−

=

CRR

j..

1

1AV

ω

A expres são do ganho de t ens ão des te fi ltro pode ser apresentada em f unção de s ua f r equência de cor t e:

Ganho de T ensão:

−

=

ωωCj1

1AV Frequência de Cor te:

CRC .1=ω

Como podemos observar , o ganho de tensão é um número complexo e ,

por tanto, pos sui um módulo e fase. As s im, o ganho de tensão será representado gener icamente por um número complexo na forma AV = AV á As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são dadas por:

Módulo: 2

V

)(1

1A

ωωC+

= Fase: ωωα Carctg=

Como se vê, estas expressões são iguais às do filtro passa altas com circuito RL analisado anteriormente, com a ressalva de que as frequências de corte são calculadas de forma diferentes, pois elas dependem dos dispositivos utilizados nos filtros (RL ou RC).

Desta forma, o esboço das curvas de resposta em frequência (módulo:AV x ù e fase: á x ù ) deste filtro, tem o mesmo aspecto que as do filtro anterior, conforme a figura baixo:

R

C

VS VE

Filtros Passivos 13

Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo) A curva de respos ta em frequência (Módulo) des te fi ltro pode, também, ser dada em decibel(dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por : AV(dB) = 20.log AV Pode- se então, esboçar a curva de respos ta em frequência (módulo) AV(dB) x ù , na forma normal e como diagrama de Bode.

Exemplo: Projetar um filtro pas sa altas com fc = 200Hz:

Adotando- se C= 0,1 uF, tem-se:

Ω===⇒= − KfC

RCR

fC

C 8200.10.1,0.2

1..2

1..2

16πππ

Usando o valor comercial mais próx imo R= 8k2Ù, a frequência de cor te

sofrerá uma pequena alteração, porém ins ignificante face às tolerâncias dos dispos itivos , como pode ser observado à seguir :

HzCR

fC 19410.1,0.10.2,8..2

1..2

163 === −ππ

0

ù

ùC/10

AV(dB)

-40

-20

ùC ùC/100

-3

Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo em dB)

10ùC 0

ù

ùC/10

AV(dB)

-40

-20

ùC ùC/100 10ùC

Diagrama de Bode do F.P.A.

R

C

VS VE

0 ù ùC

AV 1

0,707

0 ù ùC

á -90°

-45°

Resposta em frequência do F.P.A. (fase)

Filtros Passivos 14

I n t egr ador e D if er enciador Os circuitos integradores e diferenciadores são muito util izados para gerar formas de onda muito específicas como a tr iangular e a impuls iva, a par tir de uma onda quadrada. T ais formas de onda têm muitas aplicações na eletrônica. Pelo nome des tes circuito, ver ifica-se que o integrador e o diferenciador executam eletr icamente, respectivamente, as funções integral e der ivada nos s inais de entrada. I n t egr ador O integrador é um fi ltro pas sa baixas operando numa frequência muito maior que a frequência de cor te.Des ta forma, a função de saída representa a integral da função de entrada. Caso a funão de entrada seja uma onda quadrada com frequência f> > fc, a saída do integrador apresentará uma onda praticamente tr iangular , como mos tra a figura abaixo.

O funcionamento é bas tante s imples . Cons iderando o capacitor inicialmente descar regado VC(0) = 0, em t = 0 é aplicada uma tensão pos itiva na entrada com amplitude VE(0) = E. As s im, o capacitor começa a se car regar com uma cons tante de tempo T < < τ

Como a frequência da onda quadrada é muito maior que a frequência de cor te do filtro, ou seja, T < < τ , antes do capacitor se car regar completamente, a tensão de entrada muda seu valor para VE(T /2) = -E. Então, o capacitor , que se encontrava com a tensão VC(T /2)= VC, pas sa a se descar regar com a mesma cons tante de tempo, até atingir o valor negativo VC(T )= -VC em τ = T , e as s im sucess ivamente. Como vis to anter iormente, a carga do capacitor não é linear .Por tanto, quanto maior for a cons tante de tempo do circuito em relação ao per íodo da tensão de entrada, mais a forma de onda no

capacitor se aprox ima da onda tr iangular , pois maior é a l inear idade, embora a sua amplitude seja menor . E xemplo: Dado o fi ltro passa baixas a seguir , qual deve ser a frequência da onda quadrada de entrada para que o circuito funcione como integrador , ou seja, para que a forma de onda no capacitor seja aprox imadamente uma onda tr iangular?

R

C VS VE

VE

0 T/2

T 3T/2

0 T/2 T 3T/2

2T

2T

t

t

-VE

Vc

-Vc

Circuito Integrador

Forma de Onda do Circuito Integrador

Filtros Passivos 15

S olução:

HzCR

fC 22610.47,0.10.5,1..2

1..2

163 === −ππ

Para funcionar como integrador , a frequência de entrada tem de ser muito maior que fC. Na prática, is to é pos s ível cons iderando- se a frequência pelo menos 10 vezes maior que a frequência de cor te, is to é: kHzf 26,2≥

Dif er enciador O dif er enciador é um fi ltro pas sa altas operando numa frequência muito menor que a frequência de cor te. Desta forma, a função de saída representa a der ivada da função de entrada. Caso a função de entrada seja uma onda quadr ada com frequência f< < fc, a saída do diferenciador apresentará uma onda praticamente impuls iva, como mostra a figura abaixo:

Nes te caso, o pr incípio de funcionamento é baseado no fato de que o capacitor é um cur to circuito para var iações muito bruscas de tensão, o que ocor re nos ins tantes em que a tensão de entrada var ia de –E para E e vice-ver sa, fazendo com que es sas var iações apareçam na saída do circuito, ora na forma de impulsos pos itivos , ora na forma de impulsos negativos .

A par tir des tas var iações , como a tensão de entrada permanece cons tante por um tempo T /2, ele atua como um circuito aber to. S endo T > > τ , o capacitor descar rega- se rapidamente, dando o aspecto mos trado na figura ao lado.

R

C VS VE

Circuito Integrador

1 k5 Ù

0 ,4 7 uF

C

R VS VE

VE

0 T/2

T 3T/2

0 T/2 T 3T/2

2T

2T

t

t

-VE

Vc

-Vc

Circuito Diferenciador

Forma de Onda do Circuito Diferenciador

Filtros Passivos 16

E xemplo: Dado o fi ltro pas sa altas a seguir , qual deve ser a frequência da onda quadrada de entrada para que o circuito funcione como diferenciador?

S olução:

kHzCR

fC 823,410.10.10.3,3.2

1..2

193 === −ππ

Para funcionar como diferenciador , a frequência de entrada tem de ser muito menor que fC. Na prática, is to é pos s ível cons iderando-se a frequência pelo menos 10 vezes menor que a frequência de cor te, is to é: kHzf 3,482≤

Cir cui t os R L C Cir cuit os R L C S ér ie O circuito RLC sér ie é formado por um res is tor , um indutor e um capacitor ligados em sér ie como mos tra a figura abaixo, cuja cor rente foi cons iderada, arbitrar iamente, como tendo fase inicial nula.

Em um circuito RLC sér ie, a tensão total aplicada é a soma vetor ial das tensões no res is tor , capacitor e indutor , is to é: v = vR + vL + vC Com relação ao diagrama fasor ial, sabe-se que:

• A tensão no res is tor es tá em fase com a cor rente; • A tensão no indutor es tá adiantada de 90° em relação à cor rente; • A tensão no capacitor es tá atrasada de 90° em relação à cor rente.

C= 1 0 nF

R = 3 ,3 kÙ VS VE

Circuito Diferenciador

R

L

C

i

vR

vL

vC

v,i

i vR

vL

vC

ù

Circuito RLC Série Diagrama Fasorial

vR

Filtros Passivos 17

Por tanto, as tensões VL e VC es tão defasadas de 180° entre s i, sendo que a soma vetor ial delas é a diferença entre seus módulos , com fase igual à da tensão de maior módulo.

Por exemplo, cons iderando que VL > VC, tem-se que: vL + vC = ( VL - VC ) 90°

A figura abaixo, mos tra o diagrama de tensões obtido a par tir do diagrama fasor ial da figura anter ior e o respectivo diagrama de impedância, cons iderando que VL > VC. Da figura anter ior , pode-se obter o módulo da t ens ão t ot al aplicada pelo gerador :

( )22CLR VVVV −+=

Como VL > VC. A defasagem Ö da tensão do gerador em relação à cor rente é pos itiva, porém menor que 90° , devido à influência do res is tor . I s to s ignifica que a fase da impedância é também pos itiva, caracter izando um circuito indutivo, no qual a reatância indutiva predomina sobre a capacitiva. No circuito RLC sér ie, a impedância complexa equivalent e do circuito pode ser calculada por :

( )CL XXjRZ −+= ou

−+=

CLjRZ

.1

.ω

ω

O módulo da impedância equivalent e do circuito vale:

( )22CL XXRZ −+= ou

22

.1

.

−+=

CLRZ

ωω

vR

vL

VL -VC V

Ö

Ö

TV

Z

IV

R R=

( )I

VVX CL −=

(a) Diagrama de Tensões (b) Diagrama de Impedâncias

Filtros Passivos 18

A f as e da impedância equivalent e do circuito vale:

( )

RXX

arctg CL −=φ ou R

CL

arctg

−

= .1

.ω

ωφ

O fator de potência do circuito pode ser obtido do diagrama de impedância e vale:

ZR

FP == φcos

De tudo o que foi vis to até aqui, podemos tirar algumas conclusões gerais : * Caso XL > XC ◊ o circuito é indutivo (Ö> 0° ); * Caso XL < XC ◊ o circuito é capacitivo (Ö< 0° ); * Caso XL = XC ◊ o circuito é res is tivo (Ö= 0° ). Es ta última condição (XL = XC) é chamada de r es s onância. Cir cuit o R es s onant e Um circuito res sonante é aquele que apresenta a menor opos ição pos s ível à pas sagem de cor rente elétr ica numa determinada frequência f o, denominada de f r equência de r es s onância do circuito. I s to s ignifica que as freqüências maiores e menores que f 0 encontrarão maior opos ição por par te do circuito res sonante. A figura abaixo mos tra um cir cuit o r es s onant e s ér ie no qual é aplicada uma tensão alternada numa determinada frequência.

Quando a frequência de tensão é tal que XL = XC, a reatância indutiva é anulada pela reatância capacitiva, já que es tão defasadas de 180° . I s to s ignifica que o circuito compor ta- se como se fos se uma r es is t ência pur a. A f r equência de r es s onância f 0 , na qual es te fenômeno ocor re, pode ser determinada da seguinte forma:

⇒=⇒===CLC

LXX CL .1

.1

. 20

00 ω

ωω

CL.1

0 =ω

Como 00 .2 fπω = , tem-se que:

R

L

C

i

v(t)

Circuito Ressonante Série

Filtros Passivos 19

CL

f.2

10 π

= ◊ Frequência de res sonância do circuito

Os gráficos da figura anter ior ( Z = f(ù ) e i= f(ù )) mos tram o comportamento do circuito res sonante sér ie em função da frequência.

Des ta figura, podem-se tirar as seguintes conclusões : * Na frequência de ressonância ù 0 , o circuito é puramente res is tivo e a opos ição à cor rente é mínima, resultando numa cor r ent e máxima I M; * Abaixo da frequência de res sonância, a impedância é capacit iva ( XC> XL ) e a cor rente es tá adiantada em relação à tensão aplicada; * Acima da frequência de res sonância, a impedância é indut iva ( XL > XC) e a cor rente es tá atrasada em relação à tensão aplicada. L ar gur a de F aixa ( L F ) e F at or de Qualidade ( Q) Define- se lar gur a de f aixa ( L F ) ou banda de frequência, como sendo: ciCS ffLF −= Onde fcs ◊ frequência de cor te super ior fci ◊ frequência de cor te infer ior Na frequência de cor te, o valor da cor rente é aprox imadamente 70,7% da cor rente de res sonância I M, como mos tra o gráfico abaixo:

Z

ù

R

ùo

Circuito Capacitivo

Circuito Indutivo

0 0

RV

IM =

ù0

(b) Gráfico da Corrente (a) Gráfico da Impedância Comportamento do Circuito Ressonante Série

ù

Filtros Passivos 20

Es te valor 70,7% cor responde

a 2

MI , ou a uma queda de 3dB

na cor rente máxima. A largura de faixa depende da qualidade da bobina. Uma bobina ideal tem res is tência ôhmica nula, porém, na prática, o fio da bobina possui res is tência. O fator de qualidade QL de uma bobina é definido como sendo:

B

LoL R

XQ =

Onde: LfX oLO ..2π= ◊ reatância da bobina na frequência de res sonância RB ◊ res is tência ôhmica da bobina O f at or de qual idade Q do circuito é dado por :

T

Lo

RX

Q =

Onde: RT ◊ res is tência ôhmica total do circuito A largura de faixa do circuito es tá relacionada com o fator de qualidade através da expres são:

Qf

LF o=

Por tanto, quanto maior é a qualidade da bobina, menor é a largura da faixa ou mais aguda é a curva i= f(ù ), is to é, melhor é o circuito res sonante, pois ele se torna mais seletivo, como mos tra a figura abaixo:

i

f fci fo fcs

0,707.IM

RV

I M =

0

Largura de Faixa do Circuito Ressonante

0,707.IM

RV

IM =

i

f 0 f0

LF1

LF2

Q2

Q1 > Q2

Qualidade do Circuito Ressonante

Filtros Passivos 21

E xemplo: 1) Em um Circuito RLC sér ie, tem-se: R= 100Ù, L= 1mH e C= 0,1uF. S e a tensão do gerador é 10 0° V, pedem-se: a) Frequência de res sonância do circuito

S olução:

kHzCL

fo 915,1510.102

1.2

173

===−−ππ

b) A cor rente fornecida pelo gerador na frequência de res sonância. S olução: -Na res sonância, o circuito é somente res is tivo, por tanto: Z = R= 100Ù

mAZV

I 10010010 ===

c) O ângulo de defasagem entre tensão do gerador e cor rente na res sonância. S olução: -Na res sonância, o circuito é somente res is tivo e, por tanto, o ângulo de defasagem é zero (Ö = 0). d) A cor rente e defasagem se f = 20kHz S olução: XL = 2ð.f.L = 2ð.20.103.10 -3 = 125,7Ù

Ω=== − 6,7910.10.20.2

1..2

173ππ Lf

XC

Ω∠=Ω+=⇒−+=−+=

7,241101,461006,797,125100.1

. jzjjC

jLjRZω

ω

Por tanto: mAZv

i

7,249,907,24110

010 −∠=∠∠==

Como XL > XC, nes ta frequência o circuito é indutivo (20kHz > fo). e) Cor rente e defasagem se f = 10kHz S olução:

XL= 2ð.f.L = 2ð.10.103.10 -3 = 62,8Ù Ω=== − 2,15910.10.10.2

1..2

173ππ Cf

XC

Filtros Passivos 22

mAjZjjC

jLjRZ

9,439,1384,961002,1598,62100.1

. −∠=Ω−=⇒−+=−+=ω

ω

Por tanto: mAZv

i

9,433,729,434,138

010 ∠=−∠

∠==

Como XC > XL, nes ta frequência o circuito é capacitivo (10kHz < fo). 2- Em um circuito RLC sér ie, tem-se: VR = 6V; VC = 20V; VL = 12V e

i = 10 0° mA. Pede- se:

a) A impedância complexa: S olução:

Ω=== − 60010.106

3IV

R R Ω=== − kI

VX L

L 2,110.1012

3 Ω=∴ kjX L 2,1

Ω=== − kI

VX C

C 210.1020

3 Ω−=∴ kjX C 2

Ω−∠=Ω−=−+=−+= kkjjjC

jLjRZ o5318,06,022,16,0.1

.ω

ω

b) T ensão aplicada no circuito S olução:

ViZv

5310010.531. −∠=∠−∠== c) Diagrama Fasor ial

v,i

I (10mA)

VL(12V)

VC(20V)

VR(6V)

VC-VL(8V) V(10V)

ù

Filtros Passivos 23

3- Dado o circuito res sonante a seguir , pedem-se:

a) Frequência de res sonância S olução:

kHzCL

fo 68,21210.6,5.10.1002

1.2

196

===−−ππ

b) Fator de qualidade da bobina S olução: XLo = 2ð.212,68.103.100.10 -6 = 133,63Ù

7,168

63,133 ===B

LoL R

XQ

c) Fator de qualidade do circuito S olução:

42,7810

63,133 =+

==T

Lo

RX

Q

d) Largura de faixa do circuito S olução:

kHzQf

LF o 66,2810.68,212 3 ===

e) Valor de R para que a largura de faixa seja 10% da frequência de res sonância

1010.68,212

10.268,213

3 =⇒=⇒= QQQ

fLF o Ω=⇒

+=⇒

+= 363,5

863,133

10 RRRR

XQ

B

Lo

Cir cuit o R L C P ar alelo

v

R=10Ù

L=100uH

RB = 8Ù

C = 5,6nF

i

0,707.IM

IM

0 198,35 212,68 227,01 F(kHz)

LF = 28,66kHz

Filtros Passivos 24

O circuito RLC paralelo é formado por um res is tor , um indutor e um capacitor ligados em paralelo, como mos tra a figura abaixo, cuja tensão foi cons iderada, arbitrar iamente, como tendo fase inicial nula.

Em um circuito RLC paralelo, a cor rente total fornecida pelo gerador é a soma vetor ial das cor rentes no res is tor , capacitor e indutor , is to é: i = iR + iL + iC

Com relação ao diagrama fasor ial, sabe-se que: * A cor rente no res is tor es tá em fase com tensão;

* A cor rente no indutor es tá atrasada de 90° em relação à tensão; * A cor rente no capacitor es tá adiantada de 90° em relação à tensão. Por tanto, as cor rentes iL e iC es tão defasadas de 180° entre s i, sendo que a soma vetor ial delas é a diferença entre seus módulos , com fase igual à da cor rente de maior módulo. Por exemplo, cons iderando que I C > I L, tem-se que: iC + iL = (I C- I L) 90° A figura abaixo mos tra o diagrama de cor rentes obtido a par tir do diagrama fasor ial da figura anter ior e o respectivo diagrama de impedância, cons iderando que I C > I L.

v R L C

i

iR iL IC

Circuito RLC Paralelo

v,i

v iR

iL

iC

(b) Diagrama Fasorial

ù

Filtros Passivos 25

Da figura (a), pode- se obter o módulo da cor r ent e t ot al fornecida pelo gerador :

( )22LCR IIII −+=

Como I C > I L, a defasagem Ô da cor rente em relação à tensão é pos itiva, porém menor que 90° , devido à influência do res is tor . I s to s ignifica que a fase da impedância é negativa, caracter izando um circuito capacitivo, no qual a reatância capacitiva predomina sobre a indutiva. No circuito RLC paralelo, a impedância complexa equivalente do circuito pode ser calculada por :

CL jXjXRZ −

++= 1111

Desenvolvendo- se es ta expres são, obtém-se a impedância complexa:

( )CLCL

CL

XXjRXXXXR

Z−+

=....

ou )1..(.

..2 −+

=CLjRL

LRZ

ωωω

O módulo da impedância equivalent e do circuito vale:

( ) 222 ).(

..

CLCL

CL

XXRXX

XXRZ

−+−= ou

( )LCLR

arctg.

1... 2

ωωφ −−=

O f at or de pot ência do circuito pode ser obtido do diagrama de impedância da figura (b), e vale:

⇒==Z

RFP1

1cosφ

RZ

FP =

v,i

(IC - IL)

iR

i

iC

iL

v

ù

Ô Ô

VZ11 =

VI

RR=1

( )V

IIX

CL −=1

(a) Diagrama de Correntes (b) Diagrama de Impedâncias

Correntes e Impedância no Circuito RLC Paralelo

Filtros Passivos 26

Nes te caso, as conclusões que podem ser tiradas são as seguintes :

• Caso XL > XC ◊ o circuito é capacitivo ( Ô < 0° ); • Caso XL < XC ◊ o circuito é indutivo ( Ô > 0° ); • Caso XL = XC ◊ o circuito é res is tivo ( Ô = 0° ).

Es ta última condição também cor responde à r es s onância do circuito. Para o circuito RLC paralelo valem também as expres sões da frequência de res sonância (ù o ou fo), is to é:

CLo .

1=ω ou CL

fo .21

π=

Mas nes te caso, como os dispos itivos es tão em paralelo, os gráficos da impedância e da cor rente (Z = f(ù ) e i= f(ù )) são como mos tra a figura abaixo:

Des ta figura, podem-se tirar as seguintes conclusões :

• Na frequência de res sonância ù o, o circuito é puramente res is tivo e a opos ição à cor rente é máx ima, resultando numa cor rente mínima I m;

• Abaixo da frequência de res sonância, a impedância é indut iva ( XC > XL ) ;

• Acima da frequência de res sonância, a impedância é capacit iva ( XL > XC) . E xemplo:

1- Dado o circuito a seguir , pedem-se:

ù

R

Z

ùo

Circuito Capacitivo

Circuito Indutivo

ùo ù

i

RV

Im =

(a) Gráfico da Impedância (b) Gráfico da Corrente

Comportamento do Circuito Ressonante Paralelo

Filtros Passivos 27

a) Cor rente complexa em cada componente e cor rente total S olução:

mARv

iR 2002010

0203 =°∠=°∠== mAj

Xv

iC

C 40904090500

020 =°∠=°−∠

°∠==

mAjXv

iL

L 1009010090200020 −=°∠=

°∠°∠==

mAjjjiiii LCR °−∠=−=−++=++= 6,7125,6360201004020

b) I mpedância complexa S olução:

Ω°∠=°−∠

°∠== − 6,712,3166,7110.25,63

0203i

vZ

c) Diagrama Fasor ial S olução:

R 1kÙ

XL 200Ù

XC 500Ù

Vv o020∠=

i

iL

IR

IC

V(20V)

v,i

IC(40mA)

IR(20mA)

IL-IC (60mA)

i (63,25mA)

IL(100mA)

71,6°

ù

Filtros Passivos 28