APOSTILA_MATFIN_CEFET_3

MATEMÁTICA FINANCEIRA

LISTA 2 – TEXTOS E EXERCÍCIOS

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO

ERON

“O que se é obrigado a descobrir por si próprio deixa um caminho na mente que se pode percorrer novamente sempre que se tiver necessidade”

Lichtenberg

MATEMÁTICA FINANCEIRA ERON

2

CONTEÚDOS

1. Um breve texto sobre inflação, correção monetária e índices

2. Taxa efetiva e nominal

3. Capitalização contínua

4. Índice de preços

5. Taxa acumulada

6. Taxa real de juros

7. Séries de capitais

INFLAÇÃO, CORREÇÃO MONETÁRIA E ÍNDICES

Inflação

Na maioria dos países do mundo – especialmente no Brasil – não é preciso ser economista para se ter uma correta noção intuitiva do que é a inflação: é um


3

aumento generalizado e persistente dos preços ou, vendo por outro ângulo, uma diminuição persistente do poder aquisitivo do dinheiro.

Pode-se encontrar, porém, uma outra definição: segundo, por exemplo, o dicionário Michaelis inflação é "emissão excessiva de papel-moeda, provocando a redução do valor real de uma moeda em relação a determinado padrão monetário estável ou ao ouro". Realmente, essa é a origem histórica da palavra inflação, que vem da idéia de que a causa do aumento de preços é o resultado de uma emissão excessiva de papel-moeda que incha ou "infla" o volume de dinheiro em circulação. Essa é apenas uma das possíveis causas imediatas do fenômeno que interessa diretamente aos agentes econômicos, isto é, o aumento geral e persistente de preços, mas era a única considerada relevante pelos economistas liberais que cunharam a palavra (seu primeiro uso, em inglês, data de 1838). O nome do fenômeno acabou por se confundir com o de sua suposta causa.

Mais tarde, economistas de outras escolas – marxistas e keynesianos, principalmente – enfatizaram uma análise mais ampla das causas do fenômeno sobre outros aspectos, não só monetários como tecnológicos, políticos e sociais. Enfatizaram raízes mais fundamentais do fenômeno: para os keynesianos, os aumentos dos custos dos fatores de produção. Para os marxistas, esses aumentos de custos refletem movimentos da luta de classes, ou da luta entre facções da classe dominante procurando apropriar-se de uma parcela maior do produto social. Uns e outros viram que, sob determinadas condições políticas e sociais, pode ser uma estratégia racional, do ponto de vista dos governos, colocar mais dinheiro em circulação para possibilitar os aumentos de preços e redistribuir pela sociedade os custos de uma crise setorial, em vez de se arriscar a acirrar as tensões sociais e gerar uma crise geral. Em certos casos, o keynesianismo recomenda até provocar conscientemente o aumento de preços como forma de desestimular a poupança, estimular a produção e combater o subemprego de trabalho e capitais.

Assim, Keynes, em 1936, já falava em diferentes tipos de inflação, como inflação de rendas, inflação de lucros, inflação de mercadorias e inflação de capital. Mais tarde passou a se falar de inflações setoriais, inflação de energia, inflação deste ou daquele setor e até inflação de salários. O ponto de partida da discussão foi o vocabulário já assimilado pelos economistas, para os quais o nome da desvalorização do dinheiro era "inflação", mas a palavra acabou por se vincular mais ao aumento de preços, cuja existência todos reconhecem, do que às contestadas causas. Acabou sendo redefinida como uma condição dos preços e não da moeda.

Mesmo keynesianos e marxistas admitem que o aumento do volume de dinheiro mais rápido que o aumento do volume da produção é, na maioria dos casos, um elo importante na cadeia de causas que resulta no aumento geral de preços. Mas mesmo nesses casos, não existe uma correlação precisa entre a proporção desses volumes e o nível de preços. Ou seja, não é possível prever a taxa de inflação apenas a partir das taxas de aumento do volume de moeda em circulação e do crescimento do PIB. O que as pessoas fazem com o dinheiro também é importante – o entesouramento, reduzindo a velocidade de circulação, pode contrabalançar o aumento do volume de moeda; por outro lado, a rejeição da moeda (devido à expectativa de desvalorização) exacerba seus efeitos.


4

A adoção do keynesianismo pelos países centrais legitimou na prática a inflação permanente. Não mais se esperava seriamente a estabilidade dos preços a longo prazo. Porém, nos anos 70 o abandono do padrão-ouro (que veremos adiante) e o acirramento dos conflitos sociais e internacionais na esteira dos choques do petróleo e da rebelião do Terceiro Mundo gerou uma crise de confiança na moeda e no sistema que só se agravou quando os governos tentaram amortecê-la pelas vias keynesianas. O ritmo da desvalorização da moeda ultrapassou aquilo que a classe dominante julgava tolerável.

Dos anos 80 em diante, economistas neoliberais (principalmente os da escola austríaca de Mises e Hayek) procuraram restabelecer a hegemonia teórica do aumento do volume de papel-moeda como causa única (e sinônimo) de inflação, tese que veio a ser chamada de monetarismo. Seu próprio êxito parcial pode ser interpretado como decorrente de mudanças do cenário político e social: por exemplo, o enfraquecimento do movimento sindical e o colapso do bloco soviético criaram condições que tornaram menos útil o jogo de aumentos nominais de salário versus inflação. Antes instrumento regulador da luta de classes, agora podia ser substituída pelo confronto direto com as reivindicações trabalhistas. A nova correlação de forças favoreceu os interesses do capital financeiro – cujo interesse como grande credor sem acesso direto a ativos reais é geralmente o da estabilidade monetária – contra o do capital agrícola, industrial e comercial – que, como devedores em dinheiro e possuidores de ativos reais, tendem a ganhar com uma inflação moderada, que além do mais, lhes dá mais flexibilidade para manipular preços e salários.

Entretanto o êxito do monetarismo foi parcial, tanto na teoria quanto na prática. Na teoria, por que economistas e leigos continuam pensando em inflação como aumento de preços mais do que aumento do volume de dinheiro. Na prática, por que mesmo nos modelos do neoliberalismo, EUA e Reino Unido, os bancos centrais não se atrevem a tentar impor a ferro e fogo uma inflação zero: colocam não só limites máximos, como também mínimos para a inflação. Explicitamente ou não, procuram manter uma inflação da ordem de 2% ao ano – moderada, mas suficiente para aumentar os preços em mais de 60% no prazo de uma geração e dar um pouco de flexibilidade às relações de produção.

Na prática, continuamos vivendo a era da inflação permanente. Para a maioria dos bancos centrais, continua sendo uma estratégia, frente à ameaça de recessão, deixar a inflação subir um pouco acima do esperado pelo mercado. Isso reduz ligeiramente os salários reais sem provocar o tipo de reação que seria gerada por um corte salarial explícito determinado pelo governo (só na Argentina essa alternativa é vista como viável!). Isso incentiva, até certo ponto, o emprego e a produção, ao menos enquanto não se fazem sentir os efeitos sobre o consumo da redução dos salários reais.

Moeda e inflação

Mesmo do ponto de vista monetarista, a definição de inflação do Michaelis como "emissão excessiva de papel-moeda" é insatisfatória. Importa mais o volume total de dinheiro, do qual o papel-moeda é uma parcela, nem sempre a mais relevante.


5

Nas economias modernas, o papel-moeda emitido pelos Bancos Centrais é uma parcela pequena do dinheiro em circulação. Uma parcela muito maior se deve à moeda puramente contábil emitida pelos bancos estatais ou privados na forma de crédito. Quando alguém deposita seu dinheiro num banco, permite que o banco faça empréstimos com base nesses depósitos e amplie na prática a quantidade de dinheiro em circulação: o depositário continua sendo proprietário do dinheiro na sua conta, mas ao mesmo tempo o banco é proprietário do dinheiro novo que emprestou para um devedor. O devedor, por sua vez, deposita parte do dinheiro recebido do banco em outra conta bancária (talvez no mesmo banco), repetindo o processo e permitindo que o valor original do papel-moeda seja multiplicado muitas vezes. Em economias com governos não gravemente deficitários e moedas relativamente estáveis, a parte mais importante do controle da inflação é realizado através não do controle da quantidade de dinheiro em espécie (meio circulante) mas do controle do volume dessa moeda de crédito, geralmente através da elevação da taxa de juros, que inibe a multiplicação do crédito, ou da imposição aos bancos privados do depósito compulsório de parte do seu numerário no Banco Central.

Nas economias antigas e medievais, o papel-moeda era desconhecido (salvo na China imperial), mas mesmo assim aquilo que identificamos como inflação existia. Naquela época e mesmo em datas mais recentes, muitos governantes, geralmente devido às suas próprias dificuldades financeiras, reduziram a quantidade de metal precioso correspondente à unidade monetária:

– reduzindo a porcentagem de metal precioso na liga utilizada nas moedas, como fizeram os imperadores romanos que foram diminuindo a quantidade de prata usada em seu denarius até transformá-lo numa moeda de puro cobre;

– reduzindo o peso das próprias moedas, como no caso da Inglaterra, cuja moeda "libra" correspondia realmente a uma libra troy (373,2 g) de prata até 1274, mas sofreu reduções sucessivas até chegar a um terço de libra troy de prata em 1551;

– mudando o nome das moedas metálicas em circulação, como fizeram os portugueses em 1826, quando fizeram a mesma moeda de ouro que valia 6 mil e 400 réis passar a valer 7 mil e 500.

Esses expedientes permitiram aos soberanos – freqüentemente com apoio de cortesãos e nobres endividados – aliviar temporariamente seus orçamentos, obrigando seus credores, seus homens e seus fornecedores a aceitar quantidades menores de ouro e prata do que aquela a que originariamente tinham direito. Rapidamente, porém, essa estratégia era anulada pela elevação geral dos preços. Estes, sem dúvida, são casos em que a tradicional análise monetarista se aplica sem grandes reparos – salvo que a análise fica incompleta se não se explicar, em primeiro lugar, quais foram as condições que levaram os soberanos a recorrer a essa saída e não a outras (como, por exemplo, o aumento de impostos ou o cancelamento unilateral de suas dívidas).


6

Outra causa para o aumento de preços, porém, foi a desvalorização do próprio metal precioso, por causas em geral alheias à vontade dos governantes. Notoriamente, cercos, guerras, catástrofes climáticas e desastres naturais sempre fizeram subir os preços dos artigos de primeira necessidade, mas são casos de aumento não persistente, que se reverte quando o funcionamento da economia é normalizado, o que não é o que normalmente se entende por inflação. O caso, porém, foi diferente quando os espanhóis conquistaram o México e o Peru com suas riquíssimas minas de ouro e prata e depois começaram a aplicar técnicas mais eficientes de mineração e purificação de metais, aumentando enormemente a quantidade de metais preciosos em circulação. Entre 1500 e 1650, os preços – medidos em gramas de prata, não em unidades monetárias – subiram cerca de 400% (em média 1% ao ano ou mais de 30% a cada geração) e nunca mais voltaram aos níveis do final da Idade Média. Mesmo em países que não desvalorizaram suas unidades monetárias durante esse período (como Espanha e Portugal), isso teve todos os efeitos que hoje identificamos com inflação, enfraquecendo a posição relativa dos credores frente aos devedores. Foi ou não inflação?

Correção ou atualização monetária

Correção ou atualização monetária é o resultado das variadas técnicas adotadas pelo legislador ou pelo jurista para ajustar as dívidas ao seu conteúdo real, diante das modificações circunstanciais que impedem o funcionamento da moeda como medida de valor. Também se chama correção do valor monetário ou revalorização dos créditos.

Pode se dizer que correção monetária é o reajuste dos capitais envolvidos em operações financeiras (ativas ou passivas) com a finalidade de anular, ou pelo menos atenuar, os efeitos da inflação. A taxa utilizada nesse reajuste é chamada de taxa de correção monetária.

No Brasil, a prática da atualização monetária foi introduzida em 1964, pela mesma Lei que criou a ORTN, com a finalidade de corrigir os valores do ativo imobilizado, das depreciações e dos débitos fiscais. Posteriormente foi adotada também nas operações financeiras em geral.

A permanência da inflação por muitos anos obrigou a uma grande utilização da atualização monetária no País para corrigir não só valores financiados e aplicações financeiras, mas também aluguéis, serviços e taxas.

Os índices utilizados para o cálculo da taxa de atualização monetária nem sempre foram os mesmos para os vários fins, mas o mais difundido é o índice de inflação que corresponde à variação da ORTN, da OTN, do BTN, do BTN-TR ou outros, conforme a época e o tipo de valor que deve ser atualizado.

Origem da correção monetária

Desvalorização acelerada da moeda, dificuldade para obtenção de empréstimos públicos, especialmente os de longo prazo, e necessidade de alongamento de prazo para pagamento de dívida pública mobiliária são fatores que podem contribuir para que um país venha a introduzir no seu ordenamento jurídico a correção monetária.


7

Objetivando alongar prazo de pagamento da dívida pública mobiliária e ao mesmo tempo garantir aos investidores indexação dos valores por eles emprestados, foi autorizado o Poder Executivo federal, pela Lei nº 4.357, de 16 de julho de 1964, a emitir Obrigações do Tesouro Nacional até o limite de títulos em circulação de setecentos bilhões de cruzeiros, observadas, entre outras condições, vencimento entre 3 e 20 anos e juros mínimos de 6% ao ano, calculados sobre o valor nominal atualizado, periodicamente, em função das variações do poder aquisitivo da moeda nacional (art. 1º, § 1º).

Nascia, assim, a correção monetária no Brasil.Mas, para que não ficassem desequilibrados os dois lados da balança, num

dos pratos as dívidas da União e no outro seus créditos tributários, revelou-se conveniente estender a correção monetária aos tributos pagos após vencidos os prazos fixados em lei.

A correção monetária só alcançou, inicialmente, a dívida pública mobiliária (Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional) e, quanto a tributos, passou a ser (a) obrigatória sua incidência sobre o valor original dos bens do ativo imobilizado das pessoas jurídicas; (b) permitida sobre o custo de aquisição de imóvel, na venda por pessoa física (Lei nº 4.357, de 1964, art. 3º); e (c) obrigatória sobre débitos fiscais decorrentes de não-recolhimento na data de vencimento, inclusive contribuições previdenciárias, adicionais ou penalidades, que não fossem efetivamente liquidados no trimestre civil em que deveriam ter sido pagos (Lei nº 4.357, de 1964, arts. 7º e 8º).

Lei nº 5.670, de 2 de julho de 1971 – Dispõe sobre o Cálculo da Correção Monetária.

Art. 1º – O cálculo da correção monetária não recairá, em qualquer caso, sobre período anterior à data em que tenha entrado em vigor a lei que a instituiu.obs.dji: Art. 652, Citação do devedor e nomeação de bens – Penhora, avaliação e arrematação - Execução por quantia certa contra devedor solvente – Diversas espécies de execução – Processo de execução - Código de Processo Civil - L-005.869-1973; Cobrança e correção monetária dos débitos fiscais nos casos de falência – DL-000.858-1969; Correção monetária; Correção monetária nos débitos oriundos de decisão judicial – L-006.899-1981; Manutenção da correção monetária automática semestral dos salários, de acordo com o índice nacional de preços ao consumidor – INPC - L-007.238-1984; Regulamenta a L-006.899-1981, que determina a aplicação de correção monetária nos débitos oriundos de decisão judicial - D-086.649-1981

Art. 2º – Esta Lei aplica-se aos processos pendentes, inclusive às liquidações de sentenças, ainda não transitadas em julgado, que fixem o valor do débito ou da indenização.

Parágrafo único. Não se aplica, porém, o preceito deste artigo, quando, na data da entrada em vigor desta Lei, a sentença transitada em julgado haja expressamente fixado termo inicial diverso para a incidência da correção monetária.


8

Os índices de inflação

No caso do Brasil o índice oficial é hoje o IPCA (Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo) calculado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), criado em 1980. Representa as necessidades médias de famílias com renda (salarial ou não) de 1 a 40 salários mínimos em onze capitais brasileiras que contêm 30% da população do país (Rio de Janeiro desde janeiro/1979; Porto Alegre, Belo Horizonte e Recife desde julho/1979; São Paulo, Brasília e Belém desde janeiro/1980; Fortaleza, Salvador e Curitiba desde outubro/1980; e Goiânia desde janeiro/1991). O IPCA recebeu o adjetivo "amplo" para distingui-lo do Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC), criado em 1979 para representar as necessidades dos consumidores de famílias com renda de 1 a 8 salários mínimos e chefe assalariado. Ou seja, nele as necessidades e preferências da classe média têm um grande peso. Ele reflete o custo de reprodução da vida social, ao passo que o INPC reflete mais estritamente o custo de reprodução da força de trabalho.

No caso dos EUA (e na prática, também dos países que têm sua moeda vinculada ao dólar por uma taxa de câmbio fixa, como a Argentina) o índice oficial é o CPI calculado pelo Departamento de Estatísticas do Trabalho (Bureau of Labor Statistics – BLS), que representa as necessidades médias de uma amostragem de todos os consumidores urbanos norte-americanos, escolhidos entre 87% da população total dos EUA e também dá um grande peso ao consumo das classes médias. O BLS também calcula um índice específico das famílias assalariadas, chamado CPI-W, que é análogo ao nosso INPC e diz respeito a 32% da população daquele país, mas recebe pouca atenção do mercado financeiro.

No Brasil, vale notar, há muitos outros indicadores de custo de vida, calculados por instituições com variáveis graus de autonomia em relação ao Estado, que recebem contínua atenção da imprensa e do mercado financeiro. Para citar os mais importantes em escala nacional, há o Índice de Custo de Vida do Departamento Intersindical de Estudos Estatísticos e Socioeconômicos (ICV-DIEESE, que pesquisa famílias com renda de 1 a 30 salários mínimos), o Índice de Preços ao Consumidor da Fundação Getúlio Vargas (IPC-FGV, famílias de 1 a 33 salários mínimos) e o Índice de Preços ao Consumidor da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de São Paulo (IPC-FIPE, famílias de 1 a 20 salários mínimos). Além disso, ao contrário do que ocorre na maioria dos países, grande parte do mercado prefere confiar não num índice de preços ao consumidor, mas no Índice Geral de Preços da Fundação Getúlio Vargas (IGP-FGV) – uma média mais ou menos arbitrariamente ponderada entre o índice de preços ao consumidor (IPC), índice de preços no atacado (IPA) e índice nacional de construção civil (INCC) como principal indicador de inflação. Paradoxalmente, nos EUA, paraíso da livre iniciativa, não existe nenhum índice de preços ao consumidor amplamente divulgado além do calculado pelo governo federal.

Tudo isso reflete desconfiança – não só por parte dos trabalhadores, como também dos capitalistas – nos cálculos oficiais dos preços ao consumidor, manipulados para subestimar o aumento real de preços durante décadas de inflação elevada. O caso mais grave foi o do período 1973/1974, quando, em pleno auge da ditadura militar, a inflação começou a recrudescer. O próprio ministro Mário Henrique Simonsen, membro da FGV acabou reconhecendo a manipulação num relatório de 1978 intitulado "O problema inflacionário em 1974", onde revelou


9

que o critério de manipulação tinha sido usar os preços tabelados pelo governo, ao invés dos preços realmente pagos pelos consumidores. O IPC oficial foi de 13,7% em 1973 e seu item alimentação de 16,4%, ao passo que os valores corretos respectivos foram de 26,6 e 41,4%. Na década de 80, houve outras tentativas de manipular os índices oficiais do IBGE e da FGV que quase liqüidaram definitivamente a credibilidade dessas instituições.

As forças sociais que têm interesse em subestimar a inflação são muitas e geralmente mais poderosas do que aquelas que podem se beneficiar de uma estimativa realista ou exagerada. Entre estes últimos contam-se, naturalmente, o movimento sindical, os trabalhadores e os pensionistas em geral, mas também empresas cujos preços e tarifas são reajustados em função da inflação por contratos de longo prazo – empresas de energia elétrica e outras concessionárias de serviços públicos, empreiteiras e alguns fabricantes de bens de capital sob encomenda, companhias de seguros e credores de dívidas de longo prazo reajustáveis em função da inflação.

Do outro lado, estão a maioria dos empresários privados, já que o cálculo da inflação é um recurso importante na mobilização dos trabalhadores e do movimento sindical, mesmo quando o reajuste de salários, benefícios e pensões em função do aumento do custo de vida não é garantido pela lei ou por convenções trabalhistas – e também porque parte de suas dívidas pode ser reajustada pela inflação. Além disso, uma inflação aparentemente baixa é um argumento a favor de políticas monetárias frouxas, que (ao menos no curto prazo) beneficiam devedores e empresários em geral e mais especialmente negócios arriscados e especuladores das bolsas.

São os governos, porém, que têm a mais longa lista de razões para subestimar a inflação real – apoiar a classe burguesa em suas negociações com os trabalhadores, conter reajustes dos pagamentos da previdência social e dos vencimentos de servidores públicos, conter os juros pagos por títulos governamentais de longo prazo (quando reajustáveis pela inflação) e aparentar um desempenho bom ou menos ruim na gestão da economia. Quanto a este último aspecto, note que quando um governo subestima a inflação não são só os indicadores do aumento do custo de vida que parecem mais benignos: como boa parte do cálculo do Produto Interno Bruto real é obtida deflacionando (isto é, descontando a inflação) do crescimento nominal de vendas setoriais, subestimar a inflação implica superestimar o crescimento da economia, da renda per capita, da produtividade e dos salários reais.

Há, por isso, todo um arsenal de técnicas e argumentos mais ou menos científicos para justificar uma inflação subestimada. Já que, em certo sentido, cestas de consumo como as do IPCA substituíram o ouro como padrão do valor de troca e se tornaram o sustentáculo do sistema monetário mundial, vale a pena tentar entender com mais exatidão o que são, como são estabelecidas e em que medida realmente representam aquilo que dizem representar.

Índices de Laspeyres

A maioria dos índices de inflação no Brasil e no mundo – incluindo o ICV-DIEESE, o IPCA e o INPC – são índices de Laspeyres. Isso significa que são


10

baseadas no preço de uma cesta de produtos cuja quantidade é supostamente fixa.

Por exemplo, a lei que instituiu o salário mínimo no Brasil em 1936, dizia que ele deveria ser suficiente para assegurar a ração essencial de um trabalhador. Foi feito um levantamento do consumo efetivo em diversas regiões e dois anos depois, um decreto-lei estabeleceu que a ração essencial diária de um trabalhador do Rio de Janeiro consistia em 200g de carne, 1 copo de leite, 150g de feijão, 100g de arroz, 50g de farináceos, 200g de batata, 300g de legumes, 4 pães, 20g de ,café, 3 frutas, 100g de açúcar, 25g de banha de porco e 25g de manteiga, capazes de fornecer-lhe 3.457 calorias diárias.

A variação de preços de uma cesta como essa poderia ser a base de um índice de inflação. As cestas hoje efetivamente usadas pela maioria dos institutos são muito mais complicadas e abrangem centenas de produtos, cujos pesos são estabelecidos segundo levantamentos estatísticos cuidadosos. Não para definir uma "ração essencial" mínima, mas sim refletir o que em média, as famílias – dentro das faixas de renda consideradas – realmente consomem. Isso pode incluir, por exemplo, cigarros, bebidas alcoólicas e motéis, tanto quanto a chamada "cesta básica".

Nem sempre, porém, foi assim. O primeiro cálculo oficial de inflação no Brasil, divulgado pela Fazenda Nacional de 1920 a 1939 (e calculado retroativamente a partir de 1912) foi baseado nos gastos com a manutenção da família (de alta classe média) do responsável pelo cálculo, o Sr. Leo Affonseca Jr. Só a partir da instituição do salário mínimo foi sentida a necessidade de um cálculo mais científico e mais afinado com a realidade da maioria da população.

A lógica dos índices de Laspeyres é simples (embora na prática o levantamento possa ser muito complicado) e seu significado é intuitivamente claro. Porém, têm um problema: não refletem as mudanças nos padrões de consumo ao longo do tempo. Se levantarmos a ração básica do trabalhador carioca hoje, certamente chegaremos a um resultado bem diferente daquele de 1938. Banha de porco e manteiga foram em grande parte substituídos por óleo de soja e margarina. O consumo médio diário de calorias diminuiu, por diversas causas que nem sempre são decorrentes de um simples empobrecimento.

O trabalho assalariado tornou-se, em média, mais sedentário e menos exigente em termos de esforço físico. Idem quanto ao lazer: desde a introdução da televisão; médicos e nutricionistas passaram a preocupar-se mais com o excesso de peso e gordura. Até a FAO tem reduzido, a cada década, o número recomendado de calorias. E se, além da ração básica, for considerada toda a gama dos gastos familiares, as mudanças serão ainda maiores. Mesmo na classe operária, boa parte das despesas de consumo se referem hoje a produtos que na década de 30 eram luxos burgueses ou nem existiam: automóvel, gasolina, TV, CDs, geladeira, etc.

Como lidar com essas mudanças? A maioria das instituições que calculam índices de Laspeyres procura atualizar as cestas de consumo com levantamentos periódicos. Porém, fazer esses levantamentos é um processo demorado e dispendioso. No Reino Unido, a cesta de consumo é revisada anualmente, mas a maioria dos países só faz isso a cada cinco anos ou mais. O IPCA e o INPC, por exemplo, foram calculados com base numa Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF) de 1987-88 até 1999, quando passaram a ser calculados com base na POF


11

de 1995-96. O IPC da FGV foi calculado com base numa pesquisa de 1992-1993 até 2001, quando se passou a usar uma nova cesta levantada em 1999-2000.

Num período de sete ou oito anos, os padrões de consumo podem mudar significativamente. As instituições que usam o índice de Laspeyres passam, a partir de uma data arbitrária, a fazer os levantamentos de acordo com a nova cesta, o que se chama "encadear" o novo índice com o antigo. Mas é claro que os consumidores não mudam sua cesta de consumo de um dia para o outro – a mudança desses padrões normalmente é gradual.

Muitos economistas entendem que o índice de Laspeyres, ao não reconhecer devidamente essa mudança, tende a introduzir um viés no cálculo, geralmente superestimando a taxa real de inflação. Estudos indicam que, no caso dos EUA, entre 1987 e 1994, o uso do índice de Laspeyres tornou o CPI (cuja média foi de 3,87% a.a.) cerca 0,25% ao ano maior do que seria se tivessem sido usados índices "superlativos", isto é, que prevêem o efeito substituição supondo que a composição das cestas de produtos muda em função dos preços relativos segundo funções matemáticas flexíveis. Estudos no Canadá e Holanda chegaram a números parecidos, entre 0,2% e 0,3% a.a. Por quê? Porque em geral os consumidores procurariam consumir menos daquilo que aumentou mais de preço e tentariam substituí-lo por produtos ou serviços alternativos cujo preço aumentou menos, ou diminuiu. Na realidade, seu custo de vida tenderia a aumentar menos do que o índice de Laspeyres teria indicado.

Principais índices de inflação

Índice Geral de Preços do IBGE (IGP). Começou a ser calculado em 1947, comparando preços do mês anterior com os do mês corrente, coletados em 18 capitais. Há três grupos de preços: os de produtos no atacado, baseado numa mostragem de cerca de 500 mercadorias, com 60 por cento de peso no índice final; os de preços ao consumidor, com base nas compras de famílias com renda de 1 a 33 salários mínimos, entra com 30 por cento; preços da construção civil, com 10 por cento de peso, baseado em planilhas de custo de empresas de engenharia. Um dos menos precisos índices, justamente pela sua abrangência, num quadro muito dispersivo de inflação. É divulgado em duas versões uma contendo apenas os preços do que é produzido internamente (disponibilidade interna) e outra incluindo preços de importações.

Índice Geral de Preços do Mercado (IGPM) da FGV. Criado a pedido da Federação dos Bancos com uma cláusula que impede sua modificação pelo governo e tinha como função, servir de corretor de contratos bancários aplicável já no dia 30 do mês em curso. É o primeiro a ser divulgado e tem como base os mesmos preços e a mesma ponderação do IGP, mas do dia 20 do mês anterior ao 20 do mês em questão.

Índice Quadrissemanal de Preços ao Consumidor da FIPE. Típico de uma economia hiperinflacionária, é publicado toda semana, com a variação dos preços das quatro semanas anteriores. Restringe-se ao município de São Paulo e afere o custo de vida de famílias com rendas de 2 a 6 salários mínimos. Calcula os preços médios durante quatro semanas e divide pela mesma média de quatro semanas


12

anteriores. Trata-se, portanto, de uma medida rápida das tendências de base dos preços. No índice FIPE a comida pesa 37% do custo de vida das pessoas e a habitação 18%.

Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) do IBGE. Para rendas de 1-8 salários mínimos, foi o índice oficial de inflação de 1979 a 1986.

Índice de Preços ao Consumidor (IPC). Sucedeu ao INPC como índice oficial, até 1990 e difere apenas no período de coleta dos preços.

Índice de Preços ao Consumidor Ampliado (IPCA) IBGE. Para rendas até quarenta salários mínimos.

Índices de Custo de Vida do DIEESE. Para três classes de renda, 1-3 salários mínimos, 1-5 e 1-30. Esse índice se distingue dos demais por incluir como ítens essenciais do custo de vida, despesas com recreação, comunicação, cultura e lazer.

Índice da Cesta Básica (PROCON/DIEESE). Pesquisado em 70 super-mercados em São Paulo, englobando 31 produtos essenciais para famílias com renda até 10,3 salários mínimos; mede a variação ponta a ponta, partida da tese de Milton Friedmam segundo a qual a inflação é apenas um fenômeno monetário.

Núcleo da inflaçãoUma linha de raciocínio que tende a subestimar a inflação real é a que

insiste em que o importante é o "núcleo da inflação", core inflation em inglês, isto é, uma inflação mais ou menos expurgada. Países onde a política do Banco Central é pautada por metas de inflação freqüentemente estabelecem metas para o núcleo da inflação e não para a inflação integral, mas o Brasil por enquanto é exceção – devido à história demasiado embaraçosa da manipulação dos índices no Brasil, aqui não se levaria a sério nada menos que a inflação integral.

Tal como é calculada nos EUA e Reino Unido, o núcleo da inflação é o cálculo do principal índice de preços ao consumidor expurgado de seus componentes geralmente mais "voláteis" – ítens cujos preços variam mais freqüentemente e com mais intensidade – que são os alimentos e a energia. Justamente dois dos grupos de itens mais essenciais à sobrevivência, o que é suficiente para demonstrar que o núcleo da inflação não é o custo de vida real.

O conceito de núcleo de inflação não foi criado apenas para iludir a opinião pública. Separar ítens cujas variações de preços costumam ser mais imprevisíveis e aleatórias pode ser uma ferramenta de análise para se detectar mudanças nas tendências dos preços a médio prazo. E, o que é mais importante, há motivos razoáveis para um banco central trabalhar como um índice como este. Tentar fixar metas precisas para um custo de vida sujeito a flutuações imprevisíveis, aleatórias e incontroláveis – como as provocadas por uma quebra de safra ou uma crise política no Oriente Médio – não só aumenta o risco de fracasso como pode ser uma política econômica desastrosa. Tentar estabilizar a ferro e fogo o custo de vida quando preços importantes como o do petróleo e de alimentos sobem


13

significativamente só é possível forçando a baixa de todos os outros preços, isto é, causando uma deflação generalizada que só pode ser obtida através de forte recessão e desemprego em massa. Aceitar aumentos do custo de vida produzido por tais "choques externos", mesmo quando esses aumentos podem ser persistentes, às vezes é o mal menor.

Uma coisa, porém, é dizer que tal inflação pode ser vista como mal menor, outra dizer que ela não existe ou não é "realmente" inflação. Alimentos e combustíveis pesam no custo de vida, e muito. Muitas vezes, as flutuações de seus preços têm vida curta, mas isso não significa que não possam também apresentar tendências persistentes: o esgotamento de terras agrícolas e de reservas de petróleo resultam em altas irreversíveis – a menos que sejam compensados por avanços tecnológicos, com os quais nem sempre se pode contar. Quando se trata de reajustar salários e pensões, querer aplicar o "núcleo de inflação" é sem dúvida uma trapaça.

Texto por Ana Carolina S. P. Faria, Faculdade de Pará de Minas.

TAXA EFETIVA E NOMINAL [Quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa]. Temos uma taxa nominal de juros quando o prazo de formação e incorporação de juros ao capital inicial não coincide com aquele a que a taxa se refere. Neste caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional (ou linear) à taxa nominal.

Por exemplo: Considere uma taxa de 36% ao ano, capitalizados mensalmente. Temos:

Taxa nominal = 36% ao ano

Taxa proporcional simples

(taxa definida para o período de capitalização) = =

3% ao mês

Taxa efetiva de juros: ao ano.

Observação: Para que 36% ao ano fosse considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta. (Faça as contas!, você deve encontrar 2,6% ao mês.)


14

Um meio para calcular o montante quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa é dado por:

a) Calculamos a taxa proporcional simples correspondente a um período de capitalização.

b) Potenciamos esta taxa pelo número de períodos de capitalização existente no intervalo de tempo a que se refere a taxa nominal.

Temos:

Onde k é o número de capitalizações para 1 período da taxa nominal.

A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. Tudo isto pode ser resumido na seguinte

demonstração: temos que se , . Por outro lado, queremos que

este montante seja o mesmo para uma certa capitalização , logo, .

Assim,

.

E, portanto, a taxa efetiva é dada por: .

Exemplos

a) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação. Resp.: $ 1.340,10 e a.a.

b) Sabendo-se que uma taxa nominal de 12% a.a. é capitalizada trimestralmente, calcular a taxa efetiva.

Resp: a.a.

c) Um banco emprestou a importância de $ 1.0000,00 por 1 ano. Sabendo-se que o banco cobra a taxa de 12% a.a., com capitalização mensal, pergunta-se qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final de 1 ano.

Resp: a.a. e $ 1.126,83.


15

d) A taxa de juros cobrada pelo Banco A é de 30% a.a., sendo sua capitalização anual. O Banco B, numa campanha promocional, informa que sua taxa é de 27% a.a., tendo como algo a diferenciá-la apenas o fato de sua capitalização ser mensal. Qual é a melhor taxa para o cliente ? ' Resp: Banco A.

Exercícios sobre taxa nominal e efetiva

1 – Qual a taxa efetiva anual nas hipóteses abaixo:Item

Taxa Nominal

Capitalização

a) 24% a.a. mensalb) 28% a.a. Trimestralc) 21% a.a. Quadrimestr

ald) 40% a.a. Semestrale) 30% a.a. Anual

2 – Se um banco deseja ganhar 30% a.a. como taxa efetiva, que taxa nominal anual deverá pedir em cada hipótese de capitalização abaixo:

a) mensal b) trimestral c) quadrimestral d) semestral

3 – Uma empresa toma emprestado $ 100.000,00 pelo prazo de 2 anos. Se a taxa do banco for de 28% a.a., com capitalização trimestral, de quanto será o montante devolvido ? 4 – Se uma empresa deseja ganhar a taxa efetiva de 50% a.m., que capitalização deverá exigir para uma taxa nominal de 41,38% a.m. ? (responda com o valor mais próximo possível)

a) k=3 dias. b) k=5 dias.

c) k=8 dias. d) k=10 dias (capitalização a cada 3 dias).

5 – Os rendimentos de uma aplicação de $ 12.800,00 somaram $ 7.433,12 ao final de 36 meses. Determinar a taxa efetiva mensal de juros desta aplicação.

Respostas1) a) 26,82% b) 31,08% c) 22,50% d) 44% e) 30%2) a) 26,53% b) 27,12% c) 27,42% d) 28,04 3) $ 171.818,604) d) 5) a.m.

JUROS CONTÍNUOS. Foram apresentadas diversas situações em que os juros são capitalizados por cada período, com freqüência cada vez maior, como anual, semestral, trimestral, mensal, diária, etc. Pode-se ainda prever uma forma de


16

capitalização infinitamente grande, que ocorre a cada instante infinitesimal, conhecida por capitalização contínua.

O cálculo do montante na capitalização contínua é obtido fazendo na expressão

.

Assim, , ou seja,

Onde (constante de Euler ou e neperiano) é um número irracional que serve de base para os logaritmos naturais ou neperianos e . A taxa i é chamada taxa instantânea.

O conceito de capitalização contínua perde muito do seu significado nas aplicações práticas, e por isto raramente é usado. Porém, existem ocasiões em que se admite que os fluxos monetários não são devidos ou recebidos em dado instante, mas que se encontram distribuídos no tempo. É o caso, por exemplo, da geração de lucro na operação de uma empresa, que ocorre ao longo do ano e que pode ser associado a um fluxo uniforme. O mesmo se dá com o desgaste dos equipamentos (depreciação) e, como as entradas de caixa são constituídas de lucros gerados mais depreciação, pode-se dizer também que este fluxo pode ser considerado uniformemente distribuído no tempo. Outros exemplos: receitas de vendas de um supermercado, depreciações de ativos fixos, formação do preço de venda, rentabilidade de um título cotado no mercado etc. Nestes casos, e no tratamento matemático de certos modelos decisórios, o conceito de capitalização contínua é muito útil.

Exemplosa.1) Calcular o montante que resulta quando $ 1.000,00 são aplicados à taxa de juros de 12% a.a. por um prazo de 4 anos e com capitalização contínua.

Resp: $ 1.616,07

a.2) Calcule o montante no regime de capitalização composta e compare os resultados.

Resp: $1.537,52

b) Considerando de 4,5% a valorização (tínhamos 100, agora temos 104,5) de uma ação em determinado mês, apurar a taxa de juro instantâneo.

Resp: 4,4% ao mês

Exercícios envolvendo juros contínuos

1 – Determine a taxa de juros instantânea que foi aplicada sobre um capital inicial para que este dobrasse ao final de 1 ano e meio.

Resp: 46,21% a.a.MATEMÁTICA FINANCEIRA

ERON17

2 – Quanto tempo é necessário para que para que $ 1.400,00 renda juros de $ 300,00 considerando uma taxa instantânea de 2,3% ao mês.

Resp: aprox. 8,4 meses.

3 – Qual a taxa anual que com capitalização anual é equivalente a 10% a.a. com capitalização contínua?

Resp.: 10,52% a.a.

ÍNDICE DE PREÇOS. Um índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preço de um período para outro. Índices de preços diferentes medem inflações diferentes. O emprego de um dado índice requer uma análise prévia para determinar se o índice proposto é adequado ao objetivo.

Consideremos um produto que, no instante (chamada época base), tenha um preço e que no instante tenha um preço . Define-se o índice de preços

desse produto entre os instantes e (e indica-se por ) ao número: .

A variação percentual de preços (em relação à época base) é o número , tal que:

, ou seja, .

Assim, a variação percentual de preços de um certo produto é a razão entre o preço final e o inicial menos um (ou ainda, o índice de preços menos 1).

Exemplo. No início de setembro de certo ano o preço de um produto era de R$ 30,00 e no início de outubro do mesmo ano o preço era de R$ 31,00.

a) Qual o índice de preços deste produto entre as duas datas?

b) Qual a variação percentual de preços correspondente?

Resp: a) 1,0333 b) 3,33%.


18

TAXA ACUMULADA. Consideremos três instantes de tempo , tais que . Seja a variação de preços entre e e a variação de preços entre e . A taxa acumulada de variação de preços é a variação percentual de preços entre a data final e a data inicial , e será indicada por .

É válida a seguinte relação: .

A demonstração desta propriedade é feita da seguinte forma

Como e .

Temos .

Exemplo. Em dois anos sucessivos, um determinado produto aumentou 10% e 12% respectivamente. Qual a taxa de aumento acumulada no período?

Resp.: 23,2%

Esta propriedade pode ser generalizada. Suponhamos os instantes sucessivos de tempo e sejam

a variação percentual de preços entre ;

a variação percentual de preços entre ;..........................................................................;

a variação percentual de preços entre .

Então, a taxa acumulada entre a data inicial e a data final é dada por:

.

Exemplo. Em janeiro, fevereiro, março e abril de certo ano, o preço de um produto teve respectivamente os seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa acumulada de aumento no quadrimestre?

Resp.: 18,72%

Exercícios [taxa acumulada e taxa de inflação]

1. Em 1º. de março de certo ano o preço de um produto era de $ 60,00 e em 1º. de dezembro do mesmo ano o preço era de $ 70,00. Qual o aumento percentual de preço?


19

2. Em janeiro o preço médio de uma cesta básica era de $ 150,00 e em fevereiro o preço médio era de $ 153,00. Qual a taxa de inflação de fevereiro?

3. Em agosto de um certo ano o preço de um produto aumentou 2% e em setembro do mesmo ano aumentou 3%. Qual a taxa de aumento acumulado no bimestre?

4. Em um bimestre a taxa acumulada de inflação foi de 5%; no 1º. mês a taxa foi de 2%. Qual a taxa de inflação do 2º. mês?

5. A taxa de inflação acumulada em 5 meses foi de 8%. Qual deverá ser a taxa de inflação no 6º. mês para que a taxa acumulada no semestre seja de 10%?

6. Se em cada um de seis meses consecutivos a taxa de inflação for de 1,7%, qual a taxa acumulada no semestre?

7. Suponha que em quatro meses consecutivos o preço de uma ação tenha caído 5% ao mês. Qual a taxa de queda acumulada no quadrimestre?

8. Qual a taxa mensal de inflação (taxa constante) que deverá vigorar em cada um dos próximos 5 meses, de modo que a taxa acumulada no período seja de 9% ?

9. Certa categoria profissional tem direito a receber 10% de reajuste salarial. Como já obteve adiantamento de 6%, deve receber agora, para completar os 10%, um novo aumento de, aproximadamente: 10. Um investimento foi realizado por dois meses à taxas variáveis a cada mês. Qual a taxa do primeiro mês se no segundo mês o rendimento foi de 20% e o acumulado ao final do prazo de aplicação foi de 58,4%?

Respostas1) 16,67% 2) 2% 3) 5,06% 4) 2,94% 5) 1,85% 6) 10,64% 7) 18,55%8) 1,74% 9) 3,77% 10) 32%

Observação. Do mesmo modo que podem ocorrer aumentos percentuais sucessivos, podemos ter desvalorizações (ou descontos) percentuais sucessivos

produzindo uma taxa acumulada de desvalorização ao logo de diversos períodos consecutivos. A sua expressão matemática dada por

Exemplo. Em março, abril e maio de um certo ano, uma carteira de ações desvalorizou-se 10%, 7% e 5%, respectivamente.

a) Qual a taxa de desvalorização acumulada no trimestre?b) Qual a taxa de valorização que deverá ocorrer em junho do mesmo ano para

recuperar a perda no trimestre?


20

Resp.: a) 20,49% b)25,76%

TAXA REAL DE JUROS. Se um capital é aplicado durante certo período de tempo à

taxa por período, o montante resultante será: . Se no mesmo período

a taxa de inflação for , o capital corrigido monetariamente pela inflação será:

.

– Se dizemos que a taxa de juros apenas recompôs o poder aquisitivo do capital C;– Se dizemos que houve um ganho real em relação à inflação;

– Se dizemos que houve uma perda real em relação à inflação.

Chamamos de ganho real a diferença , que poderá ser positiva (ganho real), negativa (perda real) ou nula.Chamamos de taxa real de juros (e indicamos por ) ao ganho real expresso como percentagem do capital corrigido. Assim,

Podemos simplificar esta expressão do seguinte modo:

, ou seja,

Onde: taxa aparente ou nominal; taxa de inflação e taxa real.

Exemplos

1. Um capital foi aplicado por um ano, à taxa de juros de 22% a.a.. No mesmo período a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros?

Resp.: 8,93%

2. Um investimento realizado por dois anos teve remuneração total de 28%. Se nesse período a inflação anual foi de 10%. Pergunta-se: houve ganho ou perda real? de quanto ?

Resp: teve ganho real de 5,785%

3. Uma instituição financeira remunera o depósito de seus clientes à taxa real de 3% ao mês. Em um bimestre de inflação acumulada de 2%. Determine o ganho nominal de uma aplicação no bimestre.

Resp: 8,21%

Exercícios [taxa real de juros]


21

1. A taxa anual de juros cobrada por uma loja é de 40% a.a. Determinar a taxa real de juros, se a taxa de inflação resultar 15% no mesmo período.

2. Um investidor aplicou $ 10.000,00 numa letra de câmbio e resgatou $ 10.200,00 um mês depois. No mesmo período a taxa de inflação foi de 1,2%.

a) Qual a taxa real de juros no período ?

b) Qual deveria ser o valor de resgate para que a taxa real fosse de 1% ao mês ?

3. Uma pessoa aplicou $ 20.000,00 por dois meses. No mesmo período a taxa de inflação foi de 1,8%. Qual o valor de resgate de modo que a taxa real no período seja nula ?

4. Um banco cobra, em empréstimos pessoais por 1 mês, à taxa real de 2% ao mês. Calcule a taxa que deverá cobrar em seus empréstimos, se as taxas previstas de inflação forem:

a) 0,4% b) 0,8% c) 1,5%

5. Um banco deseja auferir 1% a.m. de taxa real de juros para empréstimos por 6 meses. Qual deverá ser a taxa de juros, se a inflação esperada no período for de 8% ?

6. Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 num CDB prefixado de 60 dias e recebeu como montante $ 51.600,00. No 1º. mês, a taxa de inflação foi de 0,8% e no 2º. Mês, de 0,9%.

a) Qual a taxa de juros auferida no período ?

b) Qual a taxa de inflação acumulada no período ?

c) Qual a taxa real de juros no período ?

d) Qual o ganho real expresso em valores monetários ?

7. Durante dois semestres consecutivos as taxas de inflação foram de 9% e 12%. Se um investidor aplicou seu dinheiro no mesmo período a uma taxa de juros de 19% a.a., qual sua taxa real de perda ?

Respostas1) 21,74%a.a. 2) a) 0,79% a.m. b) $ 10.221,20 3) $ 20.360,004) a) 2,41% a.m. b) 2,82% a.m. c) 3,53% a.m. 5) 14,64% a.s.6) a) 3,2% b) 1,71% c) 1,46% d) $ 746,40 7) 2,52%


22

SÉRIE DE CAPITAIS (ANUIDADES OU RENDAS). Nas operações financeiras o capital pode ser pago (ou recebido) de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos (ou recebimentos) que denominamos Série de Capitais. Abordaremos as séries cujos termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais e consecutivos (série constante ou uniforme) sob o regime de juros compostos.

Rendas ou anuidades representam sucessões de termos, pagamentos ou prestações dispostas em um fluxo de caixa. Assim, as prestações referentes a um financiamento de um bem representam anuidades ou rendas. Cada termo ou prestação da série é chamado de pagamento da renda. Aos intervalos de tempo entre duas prestações denominamos de período da renda.

CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS

1. Quanto ao prazo

a) Temporárias – quando apresentam um número finito de termos.

b) Perpétuas – quando apresentam um número infinito de termos.

2. Quanto ao valor dos termos

a) Constante – quando todos os termos da série são iguais.

b) Variável – quando os termos da série são diferentes.

3. Quanto à periodicidade

a) Periódicas – quando todos os períodos são iguais.

b) Não Periódicas – quando os períodos são diferentes entre si.

4. Quanto à forma de pagamento ou recebimento

a) Imediatas – quando o pagamento ou recebimento dos termos ocorre a partir do primeiro período.

Podem ser:


23

a.1) Postecipadas – quando o pagamento ou recebimento dos termos ocorre no final de cada período.

a.2) Antecipadas – quando o pagamento ou recebimento dos termos ocorre no início de cada período.

b) Diferidas – quando o pagamento ou recebimento dos termos ocorre após um determinado período de carência. Denomina-se carência parcial quando ocorre somente o pagamento de juros.

Podem ser:

b.1) Postecipadas – quando o pagamento ou recebimento dos termos ocorre no final de cada período.

b.2) Antecipadas – quando o pagamento ou recebimento dos termos ocorre no início de cada período.

Séries uniformes. Séries em que os pagamentos ou recebimentos são iguais ao longo de intervalos regulares de tempo.

CASO 1) COM ENTRADA

Considere: A: Valor atual ; E: Valor de entrada (pagamento antecipado) ; P: Valor das prestações

A

E prestações

. Assim,


24

Onde: os termos são dados por

A razão da PG é e a soma dos n termos . De modo que

podemos escrever

e então

Onde A representa o valor atual da série e P cada prestação.

FATOR DE VALOR ATUAL. Podemos escrever do seguinte modo

O fator é chamado Fator de Valor Atual.

O termo lê-se: “a, n cantoneira i” ou, simplesmente, “a, n, i”. Desse modo, o valor atual A da série mencionada pode ser escrito como


25

VALOR FUTURO DA SÉRIE DE CAPITAIS. Para determinarmos o valor futuro (o montante resultante) desta série de capitais na data focal n, à mesma taxa de juros compostos i, fazemos o seguinte

Onde o fator é chamado Fator de Acumulação de

Capital.

Assim, podemos determinar o valor futuro (montante) da série mencionada escrevendo:

.

Observe que existe uma relação entre fator de acumulação de capital e o fator de valor atual dada por:

.

Exemplos:

1. Um automóvel no valor de $ 20.000,00 é financiado em 13 prestações trimestrais, iguais e sucessivas, sendo que a 1ª prestação deve ser paga 90 dias após a liberação do financiamento. Determine o valor dessas prestações para uma taxa de 3% a.t., no regime de juros compostos.

2. Determine o tempo necessário para liquidar um financiamento de $ 1.004,35 com prestações mensais e iguais de $ 210,00, considerando uma taxa nominal de juros compostos de 18% ao ano, capitalizados mensalmente.

3. Uma máquina cujo valor à vista é de $ 30.000,00 será financiada em 20 prestações mensais iguais e sucessivas, além de uma entrada de $ 7.500,00, por ocasião da compra. Determine o valor das 20 prestações mensais, sabendo que o financiamento será realizado a juros compostos de 15% a.a., capitalizados mensalmente, considerando que a 1ª prestação vencerá:

a) 30 dias após a data da compra; b) No ato da compra.

CASO 2) SEM ENTRADA. Basta Considerar .

A


26

prestações Então,

, ou seja, . Logo, .

O valor futuro desta série é dado por .

Exemplos

1. Calcular o capital formado até o fim do 16º mês, mediante 16 prestações mensais de $ 120,00. Suponha que os depósitos são realizados no começo de cada mês e os juros são calculados à razão de 10% ao mês.

2. Juliana gostaria de trocar de carro daqui a um ano e meio. Estima que gastará na troca do veículo cerca de $ 18.000,00. Quanto ela deve depositar mensalmente a partir de hoje em uma caderneta de poupança que rende 1,5% ao mês para poder dispor da quantia desejada?

CASO 3) COM CARÊNCIA. Consideremos que o primeiro pagamento seja realizado após períodos.

A

Carência (k períodos) prestações

Determinaremos um novo valor atual posicionando o mesmo 1 período antes da 1ª prestação, ou seja, para uma carência de k períodos, avançaremos o valor atual A em períodos.

A A’ (k–1) períodos

Carência (k períodos) prestações MATEMÁTICA FINANCEIRA

ERON27

Portanto,

Exemplos

1. Um empréstimo de $ 250.000,00 é realizado com uma taxa de 38% a.a., no regime de juros compostos e deve ser amortizado no prazo de dez anos, com os dois primeiros anos de carência. Determine o valor das oito prestações anuais, iguais e sucessivas, que deverão ser pagas a partir do final do 3º ano.

2. Um financiamento de $ 60.000,00 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros de 2,5% ao mês. Se o início dos pagamentos deve ocorrer ao término de um período de carência de 3 meses, calcular o valor das prestações.

Resp: $ 6.145,34

EXEMPLO DE SÉRIE EM QUE O PERÍODO DOS TERMOS NÃO COINCIDE COM AQUELE A QUE SE REFERE A TAXA. Supondo os termos constantes e periódicos; Calcula-se a taxa equivalente ao período dos termos e recai-se no modelo básico.

Exemplo. Um aparelho de som estereofônico é vendido em 5 prestações de $ 2.000,00 a serem pagas a cada 2 meses. Sendo a taxa de juros cobrada de 3% a.m., qual o valor do aparelho à vista ? Se o mesmo aparelho pudesse ser pago em uma única vez após 10 meses, qual a quantia que a loja cobraria, admitida a mesma taxa de juros ?

Resp.: a) o preço do aparelho à vista é $ 8.404,14. b) Preço após 10 meses é de $ 11.294,46.

SEQÜÊNCIA UNIFORME COM PARCELAS ADICIONAIS. Muitas vezes ocorrem situações de financiamento em que, além da seqüência uniforme de prestações, existem prestações extras (de reforço ou intermediárias). Neste caso, o valor atual do conjunto é a soma do valor atual da seqüência uniforme com o valor atual das prestações de reforço (intermediárias).

Exemplos

1. Um terreno é vendido a prazo em 12 prestações mensais de $ 5.000,00 cada uma, postecipadas, mais duas intermediárias vencíveis no 6º. E no 12º. mês,


28

respectivamente, após a compra, cada uma de $ 20.000,00. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 3,2% a.m. ?

2. Um carro é vendido em oito prestações mensais. As prestações de ordem ímpar são iguais a $ 1.000,00, enquanto que as de ordem par são iguais a $ 2.000,00. Considerando-se a taxa de juros de 2% a.m., qual é o preço à vista ?

Resp.: O preço do carro à vista é $ 10.951,96.

SÉRIES PERPÉTUAS. Séries em que os pagamentos ou recebimentos são infinitos.

A

Pagamentos eternos

implicando em

Onde: , a razão é e a soma dos termos é dada por .

De modo que podemos escrever

. Logo,

Exemplos

1. Se um apartamento está rendendo um aluguel de $ 500,00 por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de 1% a.m., qual seria uma primeira estimativa do valor do imóvel.

Resp.: O imóvel seria avaliado em $ 50.000,00.

2. Marcela completou hoje 24 anos e gostaria de analisar a possibilidade de contribuir para um plano de aposentadoria privada. Pensa em aposentar-se ao completar 55 anos, quando gostaria de contar, a partir de seu aniversário, com uma renda mensal ad eternum igual a $ 3.700,00. Sabendo que a taxa de juros em vigor no mercado para planos de aposentadoria do tipo desejado é igual a 8% ao ano, quanto ela deveria começar a depositar hoje de forma a atingir o que deseja?


29

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

1. Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 3% a.m., sendo o número de prestações igual a 10 e R$ 1500,00 o valor de cada prestação mensal, vencendo a primeira um mês após a compra.

2. Um produto é vendido à vista por $ 40.000,00 ou a prazo em três prestações mensais iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros do financiamento for de 7% a.m. ?

3. Um aparelho eletrônico é vendido à vista por $ 6.000,00, mas pode ser financiado à taxa de 2,5% a.m.. Obter o valor de cada prestação nas seguintes condições de financiamento:

a) 12 prestações mensais iguais sem entrada;

b) 18 prestações mensais iguais sem entrada; e

c) 24 prestações mensais iguais sem entrada.

4. Um barco é vendido à vista por $ 6.000,00, ou então com 20% de entrada mais 4 prestações mensais e iguais. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros for de 6% a.m. ?

5. Um terreno é vendido à vista por $ 80.000,00, ou então a prazo em 24 prestações mensais iguais (antes da correção monetária) postecipadas. Se a taxa de juros do financiamento for de 1,5% a.m., pede-se:a) o valor de cada prestação antes de serem corrigidas monetariamente; e

b) o valor das 3 primeiras prestações atualizadas, supondo taxas de correção de

1,8%, 2% e 1,9% no 1º., 2º. e 3º. mês, respectivamente.

6. Um eletrodoméstico é vendido nas seguintes condições: – entrada de $ 70,00; e – 5 prestações mensais de $ 80,00 cada. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% a.m., pede-se o preço à vista.

7. Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de $ 800,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada . Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 4,5% a.m. ?


30

8. Um automóvel é vendido à vista por $ 40.000,00, ou então 30% de entrada mais 12 prestações mensais de $ 3.000,00 cada uma, corrigidas monetariamente pelo índice de correção da caderneta de poupança.

a) Qual a melhor alternativa para um comprador que aplica todo seu dinheiro na caderneta de poupança e tem fundos para comprar à vista ?b) qual a perda monetária em valor presente, se ele escolher a pior alternativa ? (assuma que a caderneta de poupança rende juros reais de 0,5% a.m.)

9. Uma determinada empresa precisa tomar uma decisão: comprar uma máquina à vista por $ 980.000,00 ou a prazo em 12 prestações mensais de $ 99.630,00, atualizadas monetariamente pelo IGP–M. Sabendo-se que a taxa para aplicação oscila entre 2% a.m. e 3% a.m. + IGP–M, qual a melhor alternativa para a empresa ?

10. O preço à vista de um carro é de $ 250.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 24 prestações mensais iguais, imediatas e postecipadas de $ 14.494,18, com 20% de entrada. Nessas condições, a taxa mensal de juros que estaria sendo cobrada pela venda do carro é :

a) 2% b) 3% c) 4% d) 5%

11. Na liberação de um empréstimo de $ 1.000.000,00 foi cobrada uma taxa de abertura de crédito de $ 10.000,00, uma taxa de cadastro de $ 12.000,00 e um seguro no valor de $ 5.000,00. Se o empréstimo foi pago em 10 prestações mensais postecipadas de $ 280.000,00, qual a taxa efetiva de juros ?

12. Um determinado banco anunciou no Natal de 199Y o seguinte:“Neste Natal, a financeira X tem um presente para você: um empréstimo pessoal de até $ 3.500,00. Assim, você vai poder comprar muitos presentes e programar festas divertidas. O empréstimo pode ser pago em até seis meses, a partir de janeiro de 199Y”. Escolha aqui seu plano de pagamento:

Númerode

prestações

Janeiro

Fevereiro

Março Abril MaioJunh

o

1 3.592,75

2 1.820,66

1820,66

3 1.230,46

1.230,46

1.230,46

4 935,52 935,52 935,52 935,52

5 758,58 758,58 758,58 758,58

758,58


31

6 641,81 641,81 641,81 641,81

641,81

641,81

Qual a taxa de juros para cada plano ?

13. O que é preferível: comprar uma geladeira por $ 1.800,00 em 3 parcelas mensais iguais sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada, ou comprar a mesma geladeira em 12 prestações mensais iguais postecipadas e no valor de $ 160,00 cada uma, sabendo-se que a taxa de juros vigente no mercado para aplicadores é de 5% a.m. ?

14. Para o dono de uma loja, qual a melhor alternativa: financiar uma mercadoria cujo preço à vista é de $ 1.200,00 em 10 prestações mensais e iguais postecipadas de $ 143,00; ou vender à vista e aplicar num fundo que rende uma taxa mensal constante e tal que o montante após 10 meses seja de $ 1.652,00 ?

15. Em um grande jornal de Salvador, lemos no dia 1º. de dezembro de 2006 o seguinte anúncio:

“Compre hoje um automóvel usado e só comece a pagar em 30 de março de 2007”.

Um cidadão, motivado pela propaganda, vai à loja e verifica que poderá pagar o automóvel em 10 prestações mensais e iguais de $ 1.044,33 cada. Sendo de $ 7.412,93 o valor à vista, calcule a taxa de juros mensal ou anual cobrada pela loja.

16. Uma moto é vendida em 12 prestações mensais. As prestações de ordem ímpar são iguais a $ 500,00 e as de ordem par valem 50% a mais. Considerando-se a taxa de juros de 3% a.m., calcule o preço à vista desse veículo.

17. No financiamento de um aparelho eletrodoméstico, no valor de $ 1.800,00, a financeira situada em um grande magazine cobra uma taxa de abertura de crédito de 1% e juros de 55% do valor do aparelho, sendo o financiamento amortizado em 10 prestações mensais iguais e postecipadas. Para o cálculo das prestações, a financeira adiciona o valor do aparelho aos juros e à taxa de abertura de crédito, dividindo esse total por 10 prestações. Qual é a taxa efetiva para financiado ?

18. O banco Salvador, para um financiamento em 12 meses (prestações postecipadas), propõe o seguinte esquema:

Prestação mensal = valor do financiamento 12Juros do banco = 26% do valor financiado

O valor liberado para o cliente é igual ao valor do financiamento menos o total de juros. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pelo banco ? E a taxa equivalente anual ?


32

E se além dos juros o banco cobrar uma taxa de serviço de 2% sobre o valor financiado, qual seria a taxa de juros mensal cobrada ?

19. Considere a tabela abaixo:

Juro ao mês

em %Número de prestações (fora a primeira ou entrada)

Juro ao ano em

%3 5 11 15 17 23 35

2 2,88 4,71 9,79 12,85 14,29 18,29 25,00 26,823 2,83 4,58 9,25 11,94 13,17 16,44 21,48 42,574 2,78 4,45 8,76 11,12 12,17 14,86 18,66 60,105 2,72 4,33 8,31 10,38 11,27 13,49 16,37 79,586 2,67 4,21 7,89 9,71 10,48 12,30 14,50 101,227 2,62 4,10 7,50 9,11 9,76 11,27 12,95 125,228 2,58 3,99 7,14 8,56 9,12 10,37 11,65 151,829 2,53 3,89 6,81 8,06 8,54 9,58 10,56 181,2610 2,49 3,79 6,50 7,61 8,02 8,88 9,64 213,84

Como usar a tabela:a) Subtraia do preço à vista o valor da entrada ou da primeira prestação.b) Divida o valor efetivamente financiado (passo 1) pelo valor de cada

prestação.c) Localize o resultado do passo 2 na coluna do número de prestações, fora a

entrada.d) Siga na horizontal até a primeira coluna da esquerda, que indica o juro

mensal aproximado do financiamento.

Agora, com base na tabela e considerando planos de financiamento a juros compostos, com parcelas mensais e iguais, sendo a primeira paga no ato da compra, indique quais itens a seguir são falsos ou verdadeiros:

a) Um consumidor que adquira um bem no valor de $ 238,00 em 12 prestações de $ 28,00 estará pagando um juro mensal de 7%.

b) Se um bem no valor de $ 998,00 for adquirido em 6 prestações a um juro mensal de 8%, então o valor de cada prestação será superior a $ 190,00.

c) O valor à vista de um bem, adquirido em 16 parcelas de $ 100,00 cada uma, a juros mensais de 6%, é inferior a $ 1.000,00.

d) Segundo a tabela, se um bem for financiado para dois clientes distintos, em prazos diferentes mas com a mesma taxa de juros, sendo o prazo para o primeiro cliente igual à metade do prazo dado para o segundo, então o valor da parcela a ser paga pelo primeiro cliente será o dobro da parcela paga pelo segundo.


33

e) O valor de 14,50 encontrado na coluna correspondente a 35 prestações

é o cálculo aproximado do valor de .

f) O valor 42,57%, localizado na última coluna, corresponde à taxa de juros anual equivalente à taxa mensal de 3%.

g) A partir da tabela, obtém-se que .

h) Para um comprador que paga a primeira prestação no ato da compra, a opção de pagamento em 6 prestações, com juros compostos de 4% a.m., é mais vantajosa, isto é, implica desembolsar um montante menor do que a opção de pagamento em 12 prestações, com juros compostos de 2% a.m..

i) Se o sistema de capitalização fosse simples, a tabela dada não seria adequada para se calcular, por exemplo, o valor de uma determinada prestação.

Respostas dos exercícios

1) $ 12.795,80 2) $ 15.242,07 3) a) $ 584,92 b) $ 335,48 c) $

418,02

4) $ 1.385,24 5) a) $ 3.993,93 b) $ 4.065,82; $ 4.147,14; $

4.225,93

6) $ 416,36 7) $ 3.670,02

8) a) Comprar à vista. b) $ 6.856,80 9) Á vista. 10) d) 11)

25,90% a.m.

12) a) 2,65% a.m. b) 2,68% a.m. c) 2,71% a.m. d) 2,73% a.m. e) 2,74% a.m. f)

2,80% a.m.

13) Pagar em 12 meses 14) Vender a prazo. 15) 4,2% a.m.

16) $ 6.256,24

17) 9,03% a.m. 18) 4,97% a.m.; 78,97% a.a.

19) a) V b) V c) F d) F e) V f) V g) V h) V i) V


34

QUESTÕES PARA REVISÃO DOS CONTEÚDOS

QUESTÃO 01. Responda apenas V (verdadeiro) ou F (falso) para cada alternativa

a) Se aplicamos C reais capitalizados continuamente por um período inteiro, obtemos um montante maior que em qualquer outro tipo de capitalização.b) A relação matemática entre a taxa efetiva e a taxa nominal é dada por

, Onde k é o número de capitalizações para 1 período da taxa nominal.

c) Temos uma taxa nominal de juros quando o prazo de formação e incorporação de juros ao capital inicial não coincide com aquele a que a taxa se refere, configurando o surgimento de uma outra taxa, chamada efetiva, a qual é sempre menor que a taxa nominal.

d) Uma das grandes vantagens do regime de juros compostos é que nos permite garantir que uma comparação feita em uma certa data focal permanece válida em qualquer outra data focal.

e) A capitalização contínua é uma forma de capitalização muito pequena, que ocorre em períodos discretos e é comumente utilizada no cotidiano das empresas e pessoas.

f) Em relação a uma série de pagamentos uniformes em capitalização composta, dado o valor presente (VP), a taxa de juros (i) e o número de períodos (n), a expressão matemática que relaciona o pagamento periódico uniforme (PMT)

ao valor presente (VP) é dada por .

g) Um índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preço de um período para outro. Índices de preços diferentes medem inflações diferentes.

h) A maioria dos índices de inflação no Brasil e no mundo – incluindo o ICV-DIEESE, o IPCA e o INPC – são índices de Laspeyres. Isso significa que são baseadas no preço de uma cesta de produtos cuja quantidade é supostamente fixa.

i) Pode se dizer que correção monetária é o reajuste dos capitais envolvidos em operações financeiras (ativas ou passivas) com a finalidade de anular, ou pelo


35

menos atenuar, os efeitos da inflação. A taxa utilizada nesse reajuste é chamada de taxa de correção monetária.

j) Uma renda é dita postecipada quando o pagamento ou recebimento dos termos ocorre no final de cada período. E uma renda é antecipada, quando o pagamento ou recebimento dos termos ocorre no início de cada período.

QUESTÃO 02. O banco A oferece empréstimos pessoais por 1 ano a juros compostos, sendo a taxa de 18% a.a.. O banco B, pelo mesmo empréstimo e prazo, cobra juros compostos à taxa de 14,4% a.a., capitalizados mensalmente.

a) Para um tomador de empréstimos por 1 ano, qual dos bancos é preferível ?

b) Qual deveria ser a taxa nominal anual do banco B para que fosse indiferente

para o tomador do empréstimo a escolha do banco ?

QUESTÃO 03. Uma pessoa aplicou R$ 50.000,00 num CDB prefixado de 60 dias e recebeu como montante R$ 51.600,00. No 1º. mês, a taxa de inflação foi de 0,8% e no 2º. mês, de 0,9%.

1. Qual a taxa de juros auferida no período ?

2. Qual a taxa de inflação acumulada no período ?

3. Qual a taxa real de juros no período ?

4. Qual o ganho real expresso em valores monetários ?

QUESTÃO 04. Do mesmo modo que podem ocorrer aumentos percentuais sucessivos, podemos ter desvalorizações (ou descontos) percentuais sucessivos

produzindo uma taxa acumulada de desvalorização (d) ao logo de diversos períodos consecutivos. A sua expressão matemática é dada por

Em março, abril e maio de um certo ano, uma carteira de ações desvalorizou-se 10%, 7% e 5%, respectivamente.

a) Qual a taxa de desvalorização acumulada no trimestre ?

b) Qual a taxa de valorização que deverá ocorrer em junho do mesmo ano para

recuperar a perda no trimestre ?

QUESTÃO 05. Ana compra de um amigo uma casa, cujo valor à vista é de R$ 150.000,00, nas seguintes condições: Entrada de R$ 50.000,00 mais prestações mensais de R$ 18.598,04, com 13 meses de carência. Sabendo-se que a taxa de juros contratada é de 4,5 % ao mês, qual o número de prestações ?


36

QUESTÃO 06. Juliana gostaria de trocar de carro daqui a dois anos. Estima que gastará na troca do veículo cerca de R$ 18.000,00. Quanto ela deve depositar mensalmente, a partir de hoje, em uma aplicação de renda que remunera o capital em 1,5% ao mês para poder dispor da quantia desejada ?

QUESTÃO 07. Na venda de um imóvel, o proprietário pede R$ 100.000,00 de entrada, 36 prestações mensais de R$ 3.000,00 e 3 parcelas anuais de R$ 20.000,00. Uma contraposta lhe é feita no seguinte esquema: Entrada de R$ 80.000,00, 12 parcelas mensais de R$ 4.000,00, seguidas de 12 parcelas mensais de R$ 9.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros vigente é de 1,25% ao mês. Qual é a melhor opção para o vendedor?

QUESTÃO 08. Calcule o valor mais próximo do valor atual no inicio do primeiro período da seguinte série de pagamentos, cada um relativo ao fim de cada período, à taxa de juros compostos de 10% ao período.

Período 1 2 3 4 5 6 7 8Valor 3000 2000 2000 2000 1000 1000 1000 1000

a) 11.700,00 b) 10.321,00 c) 10.094,00 d) 9.715,00e) 9.414,00

QUESTÃO 09. Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros compostos de 3% ao mês.

a) R$ 500,00 b) 535,00 c) 542,00 d) 559,00 e) 588,00

QUESTÃO 10. Uma pessoa aplica um capital unitário recebendo a devolução por meio de uma anuidade formada por doze pagamentos semestrais, com o primeiro pagamento sendo recebido ao fim de seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre. Admitindo que ela consiga aplicar cada parcela recebida semestralmente a uma taxa de juros compostos de 12% ao semestre, qual o valor mais próximo do montante que ela terá disponível ao fim dos doze semestres ?

a) 2,44 b) 2,89 c) 3,25 d) 3,54e) 3,89

Algumas expressões matemáticas úteis:


37

Consulte também os sites (dentre os muitos que existem)

< www.bcb.gov.br >

< www.planalto.gov.br >

< www.dinheirovivo.com.br >

< www.fgv.br >

< www.andima.com.br >

<http://www.calculoexato.com.br/adel/default.asp>

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

0. A. L. Bruni, R. Fama. Matemática Financeira – com HP12C e Excel. Editora Atlas,

2007.

1. J. D. V. Sobrinho. Matemática Financeira, 7ª edição. Atlas 2000.

2. W. F. Mathias, J. M. Gomes. Matemática Financeira, 3ª edição. Atlas 2002.

3. C. H. R. Boaventura. Matemática Financeira – Uma Abordagem Prática. CTRH,

2005.

4. A. Assaf Neto. Matemática Financeira e suas Aplicações, 8ª edição. Editora Atlas,

2003.

5. S. Hazzan, J. N. Pompeo. Matemática Financeira, 5ª Edição. Editora Saraiva,

2003.

6. F. Ayres Jr. Matemática Financeira, coleção Schaum. Editora Mcgraw-Hill.

7. A. C. Castelo Branco. Matemática Financeira aplicada. Editora Makron Books.

8. M. Juer. Praticando e aplicando matemática financeira. Editora Qualitymark.

9. A. L. Puccini. Matemática financeira objetiva e aplicada. Editora LTC.

10. C. P. Samanez. Matemática financeira. Prentice Hall.

11. A. J. Tosi. Matemática financeira com utilização do Excel. Editora Atlas.

12. L. J. Gitman. Princípios de Administração Financeira Essencial, 2ª Edição.

Bookman, 2004.


38

http://www.calculoexato.com.br/adel/default.asp

http://www.andima.com.br/

http://www.fgv.br/

http://www.dinheirovivo.com.br/

http://www.planalto.gov.br/

http://www.bcb.gov.br/

13. O. Pilagallo. A aventura do dinheiro – uma crônica da história milenar da

moeda. Publifolha, 2000.

14. C. A. Di Augustini, N. S. Zelmanovits. Matemática Aplicada à Gestão de

Negócios. FGV, 2005.

Existe uma infinidade de livros versando sobre matemática financeira, você pode escolher outros que não estejam na referência acima.


39

APOSTILA_MATFIN_CEFET_3

Documents

Transcript of APOSTILA_MATFIN_CEFET_3