1 SUMRIO INTRODUO ..................................................................................................................... 3 1FUNDAMENTOS E SIMBOLOGIA DA MATEMTICA FINANCEIRA ................ 5 1.1Objetivos de Aprendizagem .................................................................................... 6 1.2O Valor do Dinheiro no Tempo .............................................................................. 6 1.3Valor Presente ......................................................................................................... 8 1.4Perodo..................................................................................................................... 9 1.5Taxa de Juros e Juro ................................................................................................ 9 1.6Diagrama de Fluxo de Caixa ................................................................................. 11 1.7Regras Bsicas da Matemtica Financeira ............................................................ 15 1.8Simbologia Comparativa ....................................................................................... 16 1.9Checando a Aprendizagem .................................................................................... 17 1.10Aplicando Seus Conhecimentos ............................................................................ 19 1.11Resolvendo Exerccios .......................................................................................... 18 2REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES .............................................................. 19 2.1Objetivos de Aprendizagem .................................................................................. 19 2.2Capitalizao Simples ........................................................................................... 20 2.3Equivalncia de Capitais a Juros Simples ............................................................. 24 2.4Desconto Simples .................................................................................................. 26 2.4.1Comercial ou Bancrio ou Por fora................................................................ 27 2.4.2Racional ou Por dentro ................................................................................... 29 2.5Checando a Aprendizagem .................................................................................... 32 2.6Aplicando Seus Conhecimentos ............................................................................ 32 2.7Resolvendo Exerccios .......................................................................................... 32 3CAPITALIZAO COMPOSTA ............................................................................... 36 3.1Objetivos de Aprendizagem .................................................................................. 36 3.2Capitalizao Composta ........................................................................................ 37 3.3Equivalncia de Capitais a Juros Compostos ........................................................ 43 3.4Desconto Composto Racional ............................................................................... 44 3.5Checando a Aprendizagem .................................................................................... 45 3.6Aplicando Seus Conhecimentos ............................................................................ 46 3.7Resolvendo Exerccios .......................................................................................... 46 4TAXAS ......................................................................................................................... 49 4.1 Objetivos de Aprendizagem .................................................................................. 50 4.2Fundamentos Bsicos ............................................................................................ 50 4.3Taxa Nominal, Taxa Efetiva e Taxa Equivalente .................................................. 51 4.4Taxa de Inflao, Taxa Real e Taxa Aparente ...................................................... 53 4.5Selic ....................................................................................................................... 54 4.5.1Definio ....................................................................................................... 55 4.5.2Metodologia de Clculo ................................................................................ 55 4.5.3Comentrios ................................................................................................... 56 4.5.4Divulgao ..................................................................................................... 56 4.5.5Simulao do clculo da taxa Selic ............................................................... 57 4.6Tpico sobre Formao de Juros ........................................................................... 59 4.7Checando a Aprendizagem .................................................................................... 60 2 4.8Aplicando Seus Conhecimentos ............................................................................ 61 4.9Resolvendo Exerccios .......................................................................................... 61 5CAPITALIZAO CONTNUA ................................................................................ 64 5.1Objetivos de Aprendizagem .................................................................................. 64 5.2Capitalizao Contnua ou Infinitesimal ............................................................... 65 5.3Comparando os Regimes de Juros......................................................................... 69 5.4Checando a Aprendizagem .................................................................................... 70 5.5Aplicando Seus Conhecimentos ............................................................................ 70 5.6Resolvendo Exerccios .......................................................................................... 70 6SRIES DE PAGAMENTOS ...................................................................................... 75 6.1Objetivos de Aprendizagem .................................................................................. 75 6.2Sries Uniformes ................................................................................................... 76 6.2.1Sries postecipadas ........................................................................................ 76 6.2.2Sries antecipadas .......................................................................................... 80 6.2.3Sries diferidas .............................................................................................. 81 6.3Sries Peridicas Uniformes Crescentes ............................................................... 85 6.4Perpetuidades......................................................................................................... 85 6.5Sries Variveis ..................................................................................................... 86 6.6Sistemas de Amortizao de Emprstimos ........................................................... 87 6.6.1 Tabela PRICE ................................................................................................ 88 6.6.2Sistema de Amortizao Constante ............................................................... 89 6.6.3Sistema de Amortizao Mista (SAM) .......................................................... 92 6.6.4 Sistema Americano ............................................................................................. 92 6.6.5. Comparando os sistemas de amortizao ...................................................... 92 6.7Checando a Aprendizagem .................................................................................... 94 6.8Aplicando Seus Conhecimentos ............................................................................ 93 6.9Resolvendo Exerccios .......................................................................................... 93 7ANLISE DE INVESTIMENTOS ............................................................................ 105 7.1Objetivos de Aprendizagem ................................................................................ 108 7.2Valor Presente Lquido (VPL) ............................................................................ 108 7.3Taxa Interna de Retorno (TIR) ............................................................................ 111 7.4Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM) ..................................................... 114 7.5Perodo Payback .................................................................................................. 116 7.6ndice de Lucratividade (IL) e Taxa de Rentabilidade (TR) ............................... 117 7.7 Checando a Aprendizagem .................................................................................. 118 7.8Aplicando Seus Conhecimentos .......................................................................... 119 7.9Resolvendo Exerccios ........................................................................................ 119 8 PRINCIPAIS FRMULAS/RELAES E TPICOS REFERENTES AO USO DA HP 12C .................................................................................................................... 123 8.1Quadro-Resumo das Principais Frmulas Estudadas .......................................... 123 8.2Tpicos bsicos sobre a calculadora HP 12C. .................................................. 124 GLOSSRIO ..................................................................................................................... 132 BIBLIOGRAFIA SUGERIDA ............................................ Error! Bookmark not defined. 3 INTRODUO AMATEMTICAFINANCEIRAtemporobjetooestudododinheiroemfunodo tempo.Atualmente,oclculofinanceiroeaanlisedeinvestimentossoferramentas imprescindveisparaatomadadedeciseseagestofinanceiratantodasempresas como das pessoas. Em outras palavras, fato que ter habilidade para lidar com clculos e investimentos , hoje em dia, um requisito fundamental no cotidiano das pessoas e das empresas. Estaapostila,queabordaosprincipaistemasrelacionadoscomaMATEMTICA FINANCEIRA,cobreosseguintestpicos,queconstituemaementadadisciplinade mesmo nome: Juros simples e juros compostos; Tipos de taxas de juros (nominais e efetivas, aparentes e reais); Efeito da inflao; Descontos; Sistemas de amortizao; Planos de financiamento; Oramento de capital; Avaliao de alternativas para a tomada de deciso de aplicao de capital; Payback simples e descontado; Valor presente lquido (VPL) e taxa interna de retorno (TIR); ndice de lucratividade. Esses temas foram agrupados em seis captulos centrais, alm de um captulo de reviso dasprincipaisfrmulasedetpicosreferentesaousododaHP12C.Noprimeiro captulo, so apresentados o objeto de estudo, os fundamentos, os conceitos bsicos e a simbologiadaMATEMTICAFINANCEIRA.Essecaptuloimportanteparaqueo alunoentendaarelevnciadoestudodessadisciplinaeparaqueeleentreemcontato comalinguagemutilizadanaMATEMTICAFINANCEIRA.Tomou-seodevido cuidadodeutilizar-setodaasimbologiadaHP12Cporacreditar-sequeessa ferramentaserfundamentalnavidaprofissionaldoaluno;almdisso,apresentado, 4 ao final desse primeiro captulo, um quadro-resumo em que so sintetizadas as diversas nomenclaturase simbologiasempregadas por outros autores.No segundocaptulo,so descritos e discutidos a capitalizao simples e os descontos. Aqui, oaluno conhecer, dentre outras, as operaes de desconto de ttulos de crdito de curto prazo, prticas que realmenteocorremnomercadofinanceiroemsetratandodecapitalizaolinear.Uma vezcompreendidaacapitalizaosimples,passa-se,nocaptulotrs,capitalizao composta:soexplicitadososconceitoseosclculosreferentesaessacapitalizao paraqueoalunoentendaoefeitoexponencialdodinheiroemfunodotempo.Jno quarto captulo, d-se espao a uma discusso mais aprofundada sobre taxas de inflao (efetiva, nominal, proporcional e linear) e Selic (aparente, real e equivalente). No quinto captulo,retoma-seacapitalizaodessavezcontnua,quedemandaum conhecimento prvio de taxa nominal e taxa efetiva. No sexto captulo, so abordadas as sriesdepagamentosuniformesediferidasantecipadasepostecipadas,almdos principais sistemas de amortizao utilizados. E, no stimo captulo, discorre-se sobre a anlisedeinvestimento,assuntopicedetodooestudoanterior,hajavistaqueos tpicostratadosnosoutroscaptulosdesguamparadarbaseaessaanlise.Seria,de formageral,oassuntomaisimportante(emborademaiorcomplexidade),noqualh necessidadedeconhecer-setodososconceitos,tcnicas,recursos(comoHP12Ce MS Excel) para que se tenha bom desempenho. Todos esses sete captulos centrais so introduzidos por um caso que, alm de colocar o aluno em contato com situaes reais, demandaumacompreensomaisaprofundadadosconceitosedosclculosaserem abordadosetambmsoencerradoscomsugestesdeleituraecomvriasquestes abertas para uma maior solidificao do conhecimento desenvolvido no captulo. Alm disso,semprequeaplicvel,soapresentadostodososprocedimentosenvolvidosno uso do MS Excel e da HP 12C para a resoluo de problemas financeiros. Ao final dossetecaptulos,tambmconstaumglossrio,emquesoexplicitadososprincipais conceitosabordadosaolongodestaapostila,quepodemserteisnodiaadia financeiro,almdeumabibliografiacomasprincipaisobrasrelacionadas MATEMTICA FINANCEIRA. 5 1FUNDAMENTOS E SIMBOLOGIADA MATEMTICA FINANCEIRA Luiz,queacabaradetirarcarteira,estavaloucoporumcarrousadoqueestavasendo vendido pelo valor de R$ 20.000,00. Segundo ele, era um grande negcio: o carro tinha menosdedoisanosdeidade,eracompletoetinhabaixaquilometragem!Noentanto LuiztinhaapenasR$4.000,00emmoseresolveuprocurarumemprstimobancrio. Estavatoafoitoqueentrounositedeumbancoefezasimulaodofinanciamento. Considerando que Luiz j tinha R$ 4.000,00, a simulao retornou s colunas 1, 2 e 3 da tabela abaixo e Luiz calculou sozinho os valores dispostos na quarta coluna. Prazo (meses)Valor da parcelaJuros (% a.m.)Total pago 48R$ 589,332,6178%R$ 28.287,84 36R$ 691,282,6141%R$ 24.886,08 24R$ 907,752,6325%R$ 21.789,00 12R$ 1.583,542,7504%R$ 19.002,48 6R$ 2.951,982,9839%R$ 17.771,88 Luiz no conseguiu entender no apenas por que os valores das taxas de juros eram to diferentes dependendo do prazo, mas tampouco por que o valor total pago ao final seria to mais elevado que o emprstimo de R$ 16.000,00. Conformevocpoderentenderaofinaldestaapostila,notoaqueosjurostm valoresdiferentes.Almdisso,vocvaientenderquesomarosvaloresdasparcelase compararcomovalorinicial,comofezLuiz,noalgotosimplesassim;afinal,as quantias no esto na mesma data! Dequalquerforma,vocestconvidadoamergulharnomundodaMatemtica Financeira! Ao final desse estudo, que abranger seis captulos desta apostila, retome o casodeLuiz:voc,certamente,vaientendertodososnmerosdatabelaacimae 6 constatar que a Matemtica Financeira no um bicho de sete cabeas. Na verdade, ela fazpartedonossodia-a-diaedom-laamelhorreceitaparatersucesso,sejana empresa, seja na vida pessoal. 1.1Objetivos de Aprendizagem Neste captulo, os objetivos de aprendizagem so: 1. Entender o valor do dinheiro no tempo; 2. Compreender os conceitos de capital, taxa de juros e juros, e fluxo de caixa; 3. Entrar em contato com as regras bsicas da Matemtica Financeira. Apsleratentamenteocontedodestecaptulo,voccertamenteterumanoomais slida e bem orientada da Matemtica Financeira. 1.2O Valor do Dinheiro no Tempo Para comear a compreender a Matemtica Financeira, necessrio, antes de mais nada, entenderovalordodinheironotempo.Eissonodifcil!Vejaumexemplo:seu amigopede-lheemprestadoR$100,00eslhepagaseismesesdepoisessesmesmos R$ 100,00.SerqueR$100,00hojetemomesmovalorqueR$100,00daquiaseis meses? Aresposta,obviamente,no.SevoctivessedeixadoR$100,00napoupana,esse valorteriasidomaiordentrodeseismeses.Ouainda,sevoctivesseutilizadoesses R$ 100,00paracomprardiversositensdeumacestabsicahoje,voc,muito provavelmente, no conseguiria comprar esses mesmos itens daqui a seis meses por um valor igual a R$ 100,00, pois h de considerar-se a inflao do perodo. 7 Essaideiadevariaodovalordodinheironotempoestesquematizadanafiguraa seguir. Observe, pela figura, que a semirreta que corresponde ao valor inicial , aps um dado perodo, menor que a semirreta que corresponde ao valor final. Nesse esquema, o valor inicialumaquantiarecebida,eovalorfinalumaquantiapaga.Esseseria,por exemplo,ocasodeumemprstimobancriotomadosobapticadaquelequepedeo dinheiro(umapessoaouempresa).Noentantovocpodemodificarasdireesdas semirretas,sepensarsobapticadoprpriobanco:ovalorinicialseriaovalor emprestado, e o valor final seria o valor pago ao final do prazo acordado. Almdisso,esseesquemamostraocasodeumvalortomadoinicialmenteepago somenteaofinaldedeterminadotempo.Noentanto,comojvistonocasodo emprstimosimuladoporLuiznoinciodestecaptulo,opagamentopodeocorrerem diversas parcelas, que, sozinhas, so menores que o valor inicial, mas, ao todo, somam maisqueovalorinicial(lembrando,porm,quesetratadeumasomadequantias registradas em datas diferentes!). Tempo Valor inicial Valor final 8 Observe, na figura acima, que o pagamento efetuado por meio de diversas parcelas, as quais podem ser de igual valor (parcelas fixas) ou com valores distintos. Tanto na primeira como na segunda figura, j possvel abstrair quais so os principais conceitos da Matemtica Financeira,a saber: o valor inicial, o tempo, o valor final e o que faz esse valor inicial ser diferente aps determinado perodo. Em outras palavras, o valor inicial o valor presente, o tempo o perodo, o valor final o valor futuro, e o quefazessevalorinicialaumentarataxadejuros.Essalinhadetempo,quetem entrada e sada de capital reguladas por uma taxa de juros, constitui o que chamamos de diagrama de fluxo de caixa. Esses conceitos sero abordados nas prximas sees deste captulojuntamentecomossmbolosqueosrepresentaroaolongodestelivro. importantefrisarque,dependendodoautoroudorecursoutilizadoparaoperaes financeiras(e.g.,HP12CouMSExcel),essasimbologiapodeserdiferente. Portanto,paraterumpanoramadessasdiferentessimbologias,soapresentadas,no Captulo 8, as principais frmulas e relaes aplicadas Matemtica Financeira. 1.3Valor Presente TambmchamadodecapitalouvaloratualerepresentadoporPV,ovalorpresente correspondeaqualquervalorexpressoemmoedaedisponvelemdeterminadapoca. Em outras palavras, o capital o valor inicial que tomado ou emprestado em um dado perodo. No caso de Luiz, por exemplo, o capital o valor de R$ 16.000,00 que ele quer pedir emprestado junto ao banco. Ou ento, se voc compra uma TV LCD 32 no valor deR$2.000,00parapagaremdozeparcelascom1.0%a.m.dejuros,sementrada,o Valor inicial PERODO Parcelas 9 capital corresponde aos R$ 2.000,00, que o valor total da TV. Se voc der uma entrada deR$200,00osjurosvoincidirsobreR$1.800,00,osquais,ento,passamasero capital dessa transao. 1.4Perodo Operodo,representadoporn,oprazo(ouaquantidadedetempo),previamente acordadoe,emgeral,calculadoemmesesouanos,parapagar-seovalortomadoou receberovaloremprestado.Normalmente,quantomaistempodemora-separapagar uma dvida ou quanto mais prazo d-se para o pagamento de um emprstimo, maior o risco da transao. Devido a esse impacto do tempo no grau de risco de uma transao, possvelque,emdeterminadoscasos,sejamcobradastaxasdejurosdiferentes, dependendo do prazo dado para pagamento. Ou ainda, devido a esse impacto, que se observa a existncia de um tempo mximo para pagamento de determinada operao ou aindaasolicitaodegarantiasperenes(comoumimvelouautomvel)dequeo acordo ser mantido dentro do perodo acordado. 1.5Taxa de Juros e Juro A taxa de juros, representada por i, consiste na razo entre os juros recebidos (ou pagos) ao final de um perodo de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado). J o juro, representado por J, constitui a remunerao que incide sobre o capital emprestado. De forma mais simplificada, pode-se dizer que o juro corresponde ao aluguel pago pelo uso do dinheiro alheio. Possuir recursos quer dizer ser capaz, dentre outras coisas, de comprar bens de consumo ouservios,adquirirbensdeproduo,comprarimveisparausoprpriooupara revenda,emprestaraterceiros,adquirirttulosderendafixaouvarivel,manteruma poupana para enfrentar eventualidade ou guardar espera de melhor oportunidade de uso.Nocasoespecficodequemsedispeaemprestaressesrecursos,avalia-se,alm 10 dasdiversasoutrasaplicaesquedeixarodeserimplementadasdeimediato,os seguintes fatores: 1. Risco: corresponde possibilidade ou probabilidade de aquele que empresta noresgatarodinheiro(oupensandosoboutrongulo,apossibilidadeoua probabilidade de aquele que pede emprestado no pagar o valor devido). 2. Despesas: refere-se, grosso modo, a todos os gastos operacionais, contratuais e tributriosenvolvidosnaformalizaodoemprstimoenaefetivaoda cobrana. 3. Inflao:consistenondicededesvalorizaodopoderaquisitivodamoeda previstoparaoprazodoemprstimo(emgeral,significaomnimo,almdas despesas,quedeversercobradosobreovaloremprestadoparaqueocapital emprestado hoje tenha valor similar no futuro). 4. Ganho(oulucro):umaimportnciafixadaemfunodasdemais oportunidadesdeinvestimentos(custodeoportunidade),ouseja,uma quantia que, alm de superar a desvalorizao da inflao, visa a recompensar a privaoqueaquelequetemrecursossofrepordispordeseucapitalpara terceiros. Asomadessesquatrofatoresimplicaqueareceitaaferidacomosjurosdeveser suficienteparacobrirorisco,asdespesaseaperdadopoderaquisitivodocapital emprestado, alm de proporcionar certo lucro ao dono do recurso emprestado. A despeito desses fatores, verifica-se, no mundo financeiro atual, que muitas aplicaes resultamemtaxasnegativasdejuros,quandoconsideradooefeitoinflacionrio, sobretudo nos pases cujos preos internos tm sido elevados de forma mais acentuada. Noobstante,cumprelembrarque,nafaltademelhoropo,omaisaconselhvele bvio aplicar recursos a taxas negativas (sofrendo um pequeno prejuzo) que deixar de aplicar e, obviamente, sofrer um prejuzo muito maior. Almdessesfatores,deve-seapontartambmofatodequeataxadejuros influenciadapelousoqueserfeitodosrecursosemprestadosporpartedaqueleque 11 toma o emprstimo. Em geral, quanto maior o grau de premncia desses recursos, maior pode ser o valor da taxa de juros. 1.6Diagrama de Fluxo de Caixa Comojapontado,odiagramadefluxodecaixaumarepresentaogrficaque consisteemumalinhadetempocomeventosfinanceiros(ouseja,entradaesadade caixa) regulados por uma taxa de juros. Veja um exemplo: FV=?0 1 2 3 4 5 6 MESES i = 2,5%SADA100 100 100 100 100 100 VALOR O que esse diagrama nos diz? Essediagramapoderepresentar,porexemplo,seisdepsitosiguaismensaise consecutivos no valor de R$ 100,00 em uma conta-investimento que os remunera taxa de2,5%a.m.Nessecaso,quer-sesaberqualseriaovaloracumulado(valorfuturo)ao final do perodo. Esse fluxo de caixa tambm pode ser representado na forma de tabela. Veja: 12 PerodoValor ($) 00 1100 2100 3100 4100 5100 6100 FV? Para calcular-se esse valor futuro (FV) no MS Excel, basta selecionar a funo VFe preencher os campos como mostra a figura a seguir. Observe que o resultado do clculo R$ 638,77. Para fazer esse mesmo clculo na HP 12C, basta fazer o seguinte: f FIN6n 2.5id 100CHS PMT FV 13 Novisor,encontra-se,ento,oresultado 638,77,queidnticoaoverificadono MS Excel. Ou ainda, pode-se utilizar a frmula FV = PMT [ (( 1 + i )n - 1 ) / i ] para calcular esse valor. Essa frmula ser explicada no Captulo 5, quando forem abordadas as sries de pagamentos uniformes. interessanteobservaralgunsdosprincpiosapontadosporSamanez(2007,p.224), quando da montagem do fluxo de caixa para a avaliao de um projeto. Veja: 1.Osfluxosdecaixadevemserestimadosembaseincremental,ouseja,os nicos fluxos relevantes so aqueles decorrentesda aceitao do projeto. Por exemplo, um imvel alugado por uma empresa afeta o fluxo de caixa somente novalorreferenteaodbitomensal(ovalordoaluguel).Ovalordoimvel, embora esteja em poder da empresa, no afeta o fluxo de caixa. 2.Osefeitosfiscais(economiasdeimposto)ededepreciao,bemcomo quaisqueroutrosefeitosderivadosdaaceitaodoprojeto,devemser considerados.Deve-seconsiderar,porexemplo,queadepreciaoeos impostos vo reduzir a riqueza de uma empresa. 3.Osefeitosderivadosdoprojetodevemserincludos(impactodoprojetoem outros setores da empresa). Por exemplo, o lanamento de mais de uma linha deprodutopoderetirarvendasdeumprodutojfabricadopelaempresa. Assim,parasaberorealimpactodessanovalinhadeprodutonaempresa, deve-se considerar o lucro incremental da empresa como um todo. 4.Os custos passados j gastos (custos afundados ou custos irrecuperveis)no serorecuperados,seoprojetonoforempreendido.Comonosovalores incrementais, esses custos no devem constar no fluxo de caixa. Por exemplo, umaempresainvestiuR$1.000.000,00empesquisaedesenvolvimento (P&D) para lanar um produto. Concludas as pesquisas, foi constatado que o produto apresenta um defeito irreversvel e, portanto, no ser fabricado. Com isso, a empresa incorreu em um custo irrecupervel. 14 5.Oscustosnoindiretamenteatribudosaoprojetodevemseralocados somente, se forem incrementais, ou seja, se atingirem o projeto ou decorrerem dele. 6. Osfluxosdevidosaofinanciamentonodevemserincludosnofluxode caixaparaavaliaodaviabilidadeeconmicadoinvestimentodecapital.O valor de um financiamento entra no caixa e, posteriormente, sai em forma de pagamento. No entanto, os juros pagos devem ser considerados. 7.Osefeitosdainflao,nosfluxosdecaixaenaavaliao,devemreceber tratamentoadequado.Emoutraspalavras,nosepodemisturaroucomparar valores inflacionados com valores reais. 8.Ovalorresidualoudeliquidaodoprojetodeveserestimadodemodo consistente.Amelhorformadeavaliar-seovalorresidualfazendouma pesquisa de mercado. Almdessasregras,importanteteremmentequetodososvaloresdireitadeuma data focal so valores futuros e todos os valores esquerda dessa data so considerados valores presentes. Outro ponto importante destacar a diferena entre um fluxo de caixa de investimento e um fluxo de caixa de financiamento. Ofluxoabaixodefinanciamento,poishumaentradadecaixa,seguidadevrias sadas. 43210 15 Jofluxoabaixodeinvestimento,poishumasadadecaixa,seguidadevrias entradas. 1.7Regras Bsicas da Matemtica Financeira UmavezcientedosconceitosedasimbologiabsicadaMatemticaFinanceira, necessrio ter em mente algumas regras bsicas. 1.Nuncaarredondarosclculosintermedirios:somenteosvaloresfinais podemserarredondados;osvaloresintermedirios,quandoarredondados, podem comprometer os resultados de forma bastante significativa. 2.Sempre desenvolver o fluxo de caixa: esse procedimento essencial para que se estabelea uma linha de raciocnio e possa-se visualizar o todo sem perder-se diante da grande diversidade de dados e da complexidade das relaes entre eles. 3.Jurosincidemsomentesobreosaldodevedor:parecebvio,masamaioria dos erros de alunos est em desafiar essa regra, pagando juros sobre valores j quitados (ou seja, no devidos). 4.Ao utilizar a HP 12C, atente-se para a necessidade de acionar o c no visor da calculadora (STO EEX): sem essa configurao, a calculadora desenvolve juroscompostosnoperodointeiroejurossimplesnoperodosimples(e.g., paratrsmesese15dias,acalculadoratrabalhacomtrsmesesdejuros 4321 0 16 compostose15diasdejurossimples).Voltaremosaessaquestocommais detalhes no Captulo 3. 5.Aoaplicarasfrmulas,todasastaxasdevemestarnaformadecimal.Por exemplo,10%correspondema0,1.NaHP12C,usa-seataxapercentual, semosinalde%.NoMSExcel,usam-seambasasformas(lembrando-se que, na forma percentual, obrigatrio introduzir o sinal de %). 6.Se no houver nenhuma disposio em contrrio, tanto em contratos como em exerccios,oanoserde360dias,opagamentoserpostecipadoea capitalizaosertotalmentecomposta(comocnovisordaHP12C). Trata-se, pois, do ano comercial, que diferente do ano civil, que tem 365 ou 366dias.Tem-seaindaoanofinanceiro,de252dias,queaplicado,em geral,nasoperaesbancriasoufinanceiras,hajavistaquehexpediente apenas nos dias teis. 7.AoutilizaroMSExcel,atente-separaaconfiguraoTipo0,que correspondeapagamentospostecipados(ouseja,sementrada).Essa configuraocorrespondeaogEnddaHP12C.Docontrrio,tem-seo g Begin,naHP12CouTipo1noMSExcel,quecorrespondea pagamento antecipado (isto , com entrada). 8.Compararvaloressomentenamesmadata:emrazodofatodeodinheiro desvalorizar-secomotempo,nopossvelcompararquantiasemdatas distintas,ou seja,R$100,00hojenosoequivalentesaR$100,00amanh, depois de amanh, daqui a dois dias, no ms que vem ou no prximo ano. 1.8Simbologia Comparativa Oquadro,aseguir,mostraasdiferentessimbologiasenomenclaturasutilizadasnos maisdiversoslivros,apostilaseferramentasdeMatemticaFinanceira.Recorraaele sempre que necessrio. 17 Nomenclatura Valor futuro Valor presente TaxaPerodoPagamentoJuros MontanteCapitalRateTempoParcelaJuro AcumuladoPrincipalPrazoPrestao Simbologia FVPVINPMTJ MCrNperPGTOI SPm VFVP A 1.9Checando a Aprendizagem Marquenoquadroaseguirosconhecimentosquevocdefatoadquiriucomaleitura destecaptulo.Casoachequealgumdessesconhecimentosaindanoestbem consolidado, retome a leitura do captulo ou consulte seu professor. Voc entende o valor do dinheiro no tempo. Voc compreende o conceito de capital. Voc domina o conceito de taxa de juros e juro. Voc domina o conceito de fluxo de caixa. Voc sabe as regras bsicas da Matemtica Financeira. 18 1.10 Aplicando Seus Conhecimentos Antigamente,eramuitocomumconseguirdescontosnopagamentovistadediversos produtos.Hojeemdia,essalgicaparecenoestarsendoaplicadamais:asempresas no tm dado (s pessoas fsicas) descontos no pagamento vista, preferindo estender o nmero de pagamentos sem juros e sem entrada. Apartirdanooquevocadquiriunestecaptuloacercadovalordodinheirono tempo,expliquese,nascondiesatuais,isso,semdescontovista,melhorpagar tudodeumavezouparcelaracompra.Almdisso,casoamelhoroposejao parcelamento,qualaquantidadedeparcelamaisadequadadopontodevistado consumidor final? Fundamente a sua resposta. 1.11 Resolvendo Exerccios DICA:Astrsquestesqueseseguemsodenaturezaterica.Portantono necessrio encontrar o valor das variveis. 1)Marcelo adquiriu um CDB no valor de x. Sabendo que a taxa de remunerao foi de i%a.m.equeoresgate,apsseismeses,foidey,faaodiagramaeatabelado fluxo de caixa. 2)Joana abriu, no ms de fevereiro, uma conta-investimento que remunera a uma taxa dei%a.m.SabendoqueJoanafezdepsitosnos30,60,90e120dias,faao diagrama e a tabela dos fluxos de caixa. 3) Daniela fez um financiamento, a uma taxa de i % a.m., para comprar uma geladeira nova no valor de x. Esse financiamento seria pago em cinco parcelas mensais iguais e consecutivas no valor de w. Faa o diagrama e a tabela dos fluxos de caixa. 19 2REGIME DE CAPITALIZAO SIMPLES OSr.Igorprecisoudecapitaldegiroemsuaempresaeresolveudescontaruma duplicatanovalordeR$2.000,00quevenceemtrezemeses.Ele,contudo,ficou surpreso, quando o rapaz que lhe atendeu na factory mostrou-lhe a memria de clculos, considerando que a factory cobra uma taxa de 10% a.m. a juros simples. Multiplicando a taxa de 10% a.m. (0,1) pelo perodo de 13 meses, tem-se 1,3. Esse valor ,ento,multiplicadopelovalordefacedottulo(R$2.000,00),obtendo-se R$ 2.600,00.Esseseriaovalordodesconto.Logo,ovalorlquidoareceberseriaR$- 600,00(R$2.000,00R$2.600,00).Emoutraspalavras,oSr.Igorteriaquedeixara duplicata na empresa e ainda pagar R$ 600,00. Verifica-se,portanto,queessecasoabsurdo,nosendo,portanto,compatvelcomo mercado.Oqueexplicaessaaberraofinanceiraqueouataxamuitoalta,ouo perodomuitoextenso,ouambososcasos.Issoserve,portanto,paraexplicarqueos descontossimplessseprestamparaoperaesdecurtoprazo(ouseja,paraperodos de tempo curto). 2.1Objetivos de Aprendizagem Neste captulo, os objetivos de aprendizagem so: 1. Aprender o conceito e como calcular juros simples;2. Entender o conceito e como calcular equivalncia de capitais a juros simples; 3. Compreender o conceito e como calcular descontos simples. Apsleratentamenteocontedodestecaptulo,vocsabercomoequandorealizar operaes, envolvendo juros simples e descontos. 20 2.2Capitalizao Simples Acapitalizaosimplesumregimedecapitalizaoemqueataxadejurosincide, exclusivamente,sobreocapitalinicial.Emoutraspalavras,voltandoaoCaptulo1,a capitalizao simples aquela representada pela seguinte figura. Para calcular os juros na capitalizao simples, multiplica-se o valor presente pela taxa e pelo perodo, conforme a seguinte frmula. J = PV in A partir dessa frmula de juros, pode-se encontrar o valor futuro, que nada mais que o valor presente mais os juros.FV = PV + J Desenvolvendo essa frmula, tem-se: FV = PV + PV in Colocando PV em evidncia, obtm-se: FV = PV (1 + in) Valor inicial Valor final Tempo 21 bomlembrarque,paraaplicaressafrmula,oieondevemestarnamesma unidade. Por exemplo, se a taxa for mensal, o perodo tambm deve ser mensal. No caso dedivergnciaentreasunidades,deve-serealizarumaequivalncia,sabendo-seque mais fcil mudar o tempo (perodo). Logo, se tiver uma taxa de 10% a.a. e o perodo for de 4 semestres, deve-se considerar o perodo como equivalente a dois anos. Veja agora alguns exemplos em que se aplica essa frmula. 1)UmvalordeR$100,00aplicadoporseismeses,ataxadejurossimplesde 10% a.m. Calcule o montante (FV). FV = PV (1 + in) FV = 100 (1 + 0,1 x 6) FV = 100 (1,6) FV = 160 Logo, o montante de R$ 160,00. Cumpre observar que se pode calcular os juros simples na HP 12C; porm a taxa deve ser anual e o perodo (n) deve corresponder a dias. Veja: f FIN180n 120id 100CHS PV F INT + 2)UmapessoaresgatoudeumaaplicaoovalordeR$10.000,00.Sabendo-sequea taxa de juros simples foi de 10% e que o capital ficou aplicado por cinco meses, calcule o valor presente. Pode-se, a partir de FV = PV (1 + in), escrever a frmula em funo de PV. 22 FVPV=1 + in Fazendo-se os clculos: 10.000PV=1 + 0,1 5 - 10.000PV=1, 5 PV=6.666, 67 Assim, o valor presente equivale a R$ 6.666,67. 3)Lucas resgatou de uma aplicao o valor de R$ 1.000,00. Sabendo-seque a taxa de jurossimplesfoide10%equeovalorinicialeradeR$800,00,calculeporquanto tempo o dinheiro de Lucas ficou aplicado. Novamente, pode-se, a partir de FV = PV (1 + in), escrever a frmula em funo de n. FV1 inPVFVin =1PVFV1PVn = i= +| | |\ . Substituindo-se os valores apresentados no problema: 23 ( )1.0001800n = 0,11,25 1n = 0,10, 25n = 0,1n = 2,5| | |\ . Por conseguinte o dinheiro de Lucas ficou aplicado por 2,5 meses. 4)Apscincomeses,MarcelaresgatoudeumaaplicaoovalordeR$12.000,00. Sabendo-sequeelahaviaaplicadoinicialmenteR$10.000,00,calculeataxadejuros simples dessa aplicao. Mais uma vez, pode-se, a partir de FV = PV (1 + in), escrever a frmula em funo de i. FV1 inPVFVin =1PVFV1PVi = n= +| | |\ . 24 Substituindo-se os valores na frmula: ( )12.000110.000i = 51,2 1i = 50, 2i = 5i = 0,04| | |\ . Assim, constata-se que a taxa foi de 4% a.m. a juros simples. 2.3Equivalncia de Capitais a Juros Simples Dois capitais so equivalentes quando tm o mesmo valor em uma determinada data de avaliao(oudatafocal).importantedestacarque,nocasodosjurossimples,a mudana da data focal necessariamente muda o valor encontrado. Essa questo pode ser pensadatambmdaseguinteforma:doisoumaiscapitaisrepresentativosdeumadata qualquer so equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum (ou data focal). Veja um exemplo: A uma taxa de juros simples de 15%, tem-se que R$ 115,00 vencveis daqui a um ano e R$100,00dehojesoequivalentes.Explica-se:osR$100,00dehoje,capitalizados, produziriam exatamente R$ 115,00 dentro de um ano; ou ento, os R$ 115,00, do final doprimeiroano,resultariamemR$100,00seatualizadosparahoje.Emoutras 25 palavras, ambos os capitais produzem, numa data de comparao (data focal) e taxa de 15% ao ano, resultados idnticos. Veja um segundo exemplo: Alexandretemosseguintescompromissosapagar:R$2.000,00daquiatrsmesese R$ 2.500,00daquiaoitomeses.Eledesejatrocaressesdbitospordoispagamentos iguais(umpara10meseseoutropara15meses).Calculeovalordessespagamentos, considerando uma taxa de juros simples de 10% a.m. Graficamente, pode-se visualizar os dados desse problema da seguinte forma: Fluxo 0 3 8 10 15 mesesdata focal2.000/(1+0,10x3)2.0002.500/(1+0,10x9)2.500X/(1+0,10x10)X/(1+0,10x15)X X Observe que, pelo princpio da equivalncia de capitais, deve-se eleger uma data focal, trazer,paraela,todososvaloresdofluxodecaixae,sento,efetuarasoperaes nessa data (seja igualando-os, somando-os ou subtraindo-os e assim por diante). Nocasodesseexemplo,deve-setrazertodososvaloresparaadata0.Emoutras palavras,osvaloresdeR$2.000,00edeR$2.500,00,assimcomoosvaloresdeX (referentesaosmeses10e15),devemsertrazidosparaadatazero.Apartirdeento, pode-se procederaos clculos, como segue, em que os valores equivalentes do 3e do 8 meses so igualados aos valores equivalentes do dcimo e do dcimo quinto meses. 26 61 , 252 . 39 , 035 , 927 . 25 , 212135 , 927 . 215 10 , 0 1 10 10 , 0 1 8 10 , 0 1500 . 23 10 , 0 1000 . 2==|.|

\|+ =- ++- +=- ++- +xxxx x Logo,ospagamentosaseremefetuadosno10eno15mesessonovalorde R$ 3.252,61. Alemdisso,cumpredestacarque,noregimedecapitalizaosimples,ataxavaria linearmenteemfunodotempo.Assimsendo,quandosequerconverterumataxa diria em mensal, basta multiplicar essa taxa por 30 e, quando se deseja converter uma taxa mensal em anual, basta multiplicar essa taxa por 12. Caso se deseje o contrrio, sair de uma taxa referente a um perodo maior por outro menor, basta dividir pelos mesmos valores. 2.4Desconto Simples Odescontoconsisteemumabatimentoquesefaz,quandoumttulodecrdito resgatado antes do seu vencimento. A modalidade de desconto simples apresenta ampla aplicaonasoperaesbancriasdecurtoprazo.Nessecaso,obanco,naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no ttulo (valor nominal). A diferena entre o valor nominal e o valor lquido pago ao portador do ttulo o que se chama de desconto. O desconto pode ser representado pelo seguinte diagrama. 27 Ovalorfuturo(FV)ovalorquevoctemdireitoderecebernovencimento(n).No entanto,sehouveantecipaonorecebimento,haverumsacrifcio,queovalor desconto. Em outras palavras, receber-se- um valor menor, como se pode perceber na diferena entre as semirretas que correspondem a PV e a FV. Existemduasmodalidadesdedesconto:odescontoracionalsimplesoupordentro, que incide sobre o PV, e o desconto comercial simples ou por fora, que incide sobre o FV. Essas modalidades sero discutidas nas sees a seguir. 2.4.1 Desconto Comercial ou Bancrio ou Por foraO desconto comercial corresponde forma como o desconto comumente realizado no mercado. Veja um exemplo. SuponhaumttulodecrditodeR$100,00queserdescontadocomercialmenteum ms (perodo n) antes de seu vencimento taxa de 10% a.m. Para calcular o desconto, utiliza-se a seguinte conveno: 28 Taxa de desconto comercial = d = 10% a.m. Desconto comercial = Dc = ? n = perodo = 1 Valor do ttulo = FV = valor do resgate = valor de face = valor nominal = valor futuro R$100,00 PVc = valor descontado = valor lquido (a receber aps o desconto) = ? Com essa conveno, calcula-se o desconto comercial pelas seguintes frmulas: Dc = FV PVc ou Dc = FVdnJuntando-se as duas frmulas, obtm-se: FVdn = FV PVc PVc = FV FVdn Logo obtm-se a seguinte frmula: PVc = FV(1 dn) Substituindo-se os valores de acordo com o problema dado, encontra-se: 29 Logo o valor a receber, aps o desconto de R$ 90,00 e, por conseguinte, o desconto de R$ 10,00. 2.4.2 Desconto Racional ou Por dentroO desconto racional no realizado no mercado, mas serve para verificar a taxa real de uma operao de desconto. Vejaumexemplo,considerandoomesmottulodecrditodeR$100,00daseo anterior.Essettuloserdescontadoracionalmenteumms(perodon)antesdeseu vencimento taxa de 10% a.m. Taxa de desconto racional = i = 10% a.m. Valor descontado = valor lquido a receber = PVr = ? Desconto racional = Dr = ? Para calcular o desconto racional, utilizam-se as frmulas: Dr = FV PVr ou Dr = PVrin Juntando-se as frmulas, obtm-se: FV = PVr(1+in) Logo: PVr =FV/(1+in) Substituindo-se os valores, de acordo com o problema dado, encontra-se: 30 Relao entre Desconto Comercial e Racional FVovalordeface,ouvalornominal,ouvalorderesgatedottulonasduas modalidades de desconto; Se i=d, temos PVc< PVr e Dc > Dr; Se PVr =PVc, temos i > d e Dc = Dr; OPVestcontidoemFV,pois,normalmente,ovalorfuturooumontante maior que o valor presente ou principal. Logo por fora refere-se ao FV e por dentro ao PV; Taxa efetiva de desconto linear o mesmo que taxa de desconto racional; Ttulos de crdito: nota promissria, cheque, duplicata, letra de cmbio e outros; 31 Boleto bancrio no duplicata; Relao entre as taxas de desconto comercial e racional; PVc=FV(1dn)ePVr=FV/(1+in),SePVc=PVr,entoastaxasiedsero diferentes. Logo, temos FV(1 dn) = FV/(1+in). Explicitando i i = d/(1 dn) Explicitando d d = i/(1 + in) 2.5Checando a Aprendizagem Marquenoquadroaseguirosconhecimentosquevocdefatoadquiriucomaleitura destecaptulo.Casoachequealgumdessesconhecimentosaindanoestbem consolidado, retome a leitura do captulo ou consulte seu professor. Voc entende o conceito e sabe como calcular juros simples. Voc sabe calcular equivalncia de capitais a juros simples. Voc sabe em que casos ocorreme comocalcular descontos simples. 32 2.6Aplicando Seus Conhecimentos Apartirdosexemplosmostradosnassubsees2.4.1e2.4.2,expliqueporqueo desconto bancrio diferente do desconto racional. 2.7Resolvendo Exerccios (obs: data focal = ltima data do enunciado) 1)Ao aplicar R$ 80.000,00, durante 17 meses, so resgatados R$ 140.000,00. Qual a taxa anual de juros simples obtida na operao?2)Em quantos meses um capital de R$ 28.000,00, aplicado taxa de juros simples de 48% a.a., produz um montante de R$ 38.080,00? 3)Umcapitalaplicadotransformou-seemR$13.000,00.Considerandoumataxade juros simples de 42% a.a. e uma remunerao de R$ 4.065,29, determine o prazo da aplicao. 4)UmcapitaldeR$135.000,00transformou-seemR$180.000,00aps44diasde aplicao. Calcule a taxa de juros obtida na operao. 5)UmcapitaldeR$4.500,00foidivididoemtrsparcelasqueforamaplicadaspelo prazo de um ano: a primeira, a juros simples de 4% a.t.; a segunda, a juros simples de6%a.t.;eaterceira,ajurossimplesde10%a.t.Sabendoqueorendimentoda primeiraparceladeR$160,00equeorendimentodastrsparcelastotaliza R$ 1.320,00, calcule o valor de cada parcela. 6)Umcapitalacrescidodeseusjurosde21mesessomaR$156.400,00.Omesmo capital diminudo de seus juros de nove meses reduzido a R$ 88.400,00. Calcule o capital e a taxa de juros simples obtida. 7)Doiscapitais,umdeR$2.400,00eoutrodeR$1.800,00,foramaplicadosauma mesmataxadejurossimples.Calculeataxa,considerandoqueoprimeirocapital rendeu, em 48 dias, R$ 17,00 a mais que o segundo em 30 dias.33 8)Umcapitalfoiaplicadoajurossimplesde42%a.a.durante50dias.Calculeo capital,sabendoque,seadiferenaentreeleeosjurosobtidosfosseaplicada mesma taxa, haveria um rendimento de R$ 988,75 em um trimestre. 9)Aplicadoajurossimplespeloprazodeumano,umcapitaltransformou-seem R$ 13.000,00.Essemontantefoireaplicadopormaisdoisanosaumataxa20% maiorqueaobtidanaprimeiraaplicao,obtendo-seummontantefinalde R$ 22.360,00. Calcule ovalor docapital inicialmente aplicadoea taxa de juros ao ano qual foi aplicado. 10)Uma pessoa levantou um emprstimo de R$ 3.000,00 a juros simples de 18% a.a,. paraserliquidadodaquia270dias.SeapessoaamortizarR$1.000no75dia, quanto dever pagar na data de vencimento para liquidar a dvida?11)Umaempresatemduasdvidasapagar:aprimeira,deR$2.500,00,contratadaa juros simples de 2.5% a.m., vence em 45 dias; e a segunda, de R$ 3.500,00 a juros simplesde3%a.m.,venceem90dias.Calculeaquantianecessriaparaliquidar ambasasdvidasno180dia,considerandoque,no30dia,aprimeiradvidafoi amortizadacomR$1.500,00e,no60dia,asegundafoiamortizadacom R$ 3.000,00. 12) Uma pessoa tem duas dvidas a pagar: a primeira, de R$ 1.000,00, vence em 45 dias; e a segunda, de R$ 3.500,00, vence em 120 dias. Pretende-se liquidar as dvidas por meiodedoispagamentosiguaiscomvencimentosno90e180dia, respectivamente.Calculeoimportedecadapagamento,seambasasdvidasforam contratadas a juros simples de 2% a.m.13) No dia 26 de maio, foi contratado um emprstimo de R$ 7.000,00 a juros simples de 24%a.a,.parasertotalmenteliquidadoem90dias.Nodia16dejunho,foram amortizadosR$3.000,00e,nodia11dejulho,foramamortizadosR$2.500,00. Determine a data de vencimento da dvida e a quantia que dever ser paga naquela data para liquid-la. 14) Hoje uma pessoa tem duas dvidas: a primeira, de R$ 8.000,00, vence em 36 dias; e 34 asegunda,deR$12.000,00,venceem58dias.Prope-seapag-laspormeiode dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de 24% a.a., calcule o valor de cada pagamento. 15) Resolva o exerccio anterior tomando como data focal o 45 dia. 16)UmaduplicatadeR$180.000,00descontadaquatromesesantesdeseu vencimento. Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre, calcule o valor do descontoeovalorliberadonasmodalidadesdedescontoracionalededesconto comercial. 17) Considerandoqueumbancoaplicaumataxasimplesdedescontode15%a.m.e liberaR$18.900,00nodescontocomercialdeumttulocomvencimentoparatrs meses, calcule o valor de resgate e a taxa de desconto efetiva linear. 18) Adiferenaentreovalordeumdescontocomercialeovalordeumdesconto racional simples de R$ 50.000,00. Considerando que o prazo de antecipao de oito meses e que a taxa simples de 30% a.a, calcule o valor de resgate do ttulo. 19) UmaduplicatadeR$880.000,00foidescontadacomercialmenteoitomesesantes dovencimento.Considerandoumataxadedescontoefetivalineardaoperaode 145% a.a, calcule o valor liberado pelo banco. 20) UmttulodeR$240.000,00foidescontado43diasantesdovencimentopelo descontocomercialsimples,aplicando-seumadeterminadataxadedesconto. Considerando uma taxa de desconto efetiva linear da operao de 6% a.m, calcule o valor liberado.21) Admita-sequeumaduplicatatenhasidosubmetidaadoistiposdedescontos:no primeiro caso, a juros simples e taxa de 10% a.a, com vencimento em 180 dias e desconto por fora; no segundo caso, com desconto por dentro, mantendo as demais condies.Sabendo-sequeasomadosdescontos,porforaepordentro,foide R$ 635,50. Qual o valor nominal do ttulo? 35 GABARITO 1)52,94% a.a. 2)9 meses 3)13 meses 4)22,73% a.m. 5)J1=FV1-PV1 FV1=PV1(1+in)J2+J3=1160PV2+PV3=35001000,00; 1500; 2000 6)156.400=PV+J88.400=PV-J 108.800 e 25% a.a. 7)10% a.a. J=PVin 8)J1=PV1*0,0012*50988,75=(PV1-J1)*i*90 9)10.000 e 30% 10) 2.307,50 11) 1548,75 12) 2.296,12 13) 24/08 e 1.708,67 14) 10.120,20 15) 10.119,82 16) Dr=51.428,57; Dc=72.000; Vr=128.571,43; Vc=108.000 17) N=34.363,64; de=27,27% a.m. 18) 1.500.000,00 19) 447.457,63 20) 220.994,48 21) 6.510,00 36 3CAPITALIZAO COMPOSTA Ser que a aposentadoria garante a manuteno dos padres de vida que uma pessoa tinha antes de aposentar-se? Umartigorecente,darevistaFortune,sobreaposentadorianosEUAmostraqueseuma senhoradigamos,asenhoraJones,queganha,hojeemdia,US$85.000,00anuais, aposentasse-seem2001,comumaexpectativadevidade20anos,elareceberia,nesse mesmoano,80%desuareceitapr-aposentadoria,oequivalenteaUS$68.000,00.No entanto,seainflaofossede5%a.a.,asuarendaprecisariaaumentarparaUS$ 110.675,00, em 10 anos e, para US$ 180.424,00, em 20 anos. E se a inflao fosse de 7% a.a, a renda da senhora Jones precisaria, em 20 anos, subir para US$ 263.139,00! bvio que se trata deapenas uma projeo!Dificilmente uma aposentadoria seguiriaas inflaesdessaforma.Logooquesepercebequearespostaperguntanoinciodeste captuloqueaaposentadorianogaranteamanutenodospadresdevidadeuma pessoa tal qual eram antes de ela se aposentar. Independentementedisso,comoquearevistaFortunechegouaessesvalorescombase apenasnovalordaaposentadoriahoje,nosndicesdeinflaoenosperodosdetempo apontados? Este captulo ajudar-lo- a responder a essa pergunta! 3.1Objetivos de Aprendizagem Neste captulo, os objetivos de aprendizagem so: 1. Aprender o conceito de capitalizao composta e como calcular juros compostos;2. Entender o conceito e como calcular equivalncia de capitais a juros compostos; 3. Adquirir noes de desconto composto racional. 37 Apsleratentamenteocontedodestecaptulo,vocsabercomoequandorealizar operaes, envolvendo juros e descontos compostos. 3.2Capitalizao Composta Oregimedejuroscompostosomaiscomumnomercadofinanceiro.Nesseregime,os jurosgerados,acadaperodo,soincorporadosaoprincipalparaclculodosjurosdo perodoseguinte.Nessecaso,pode-seutilizaramesmafigurajmostradanos captulos 1 e 2. A diferena aqui, como se pode observar, comparando-se essa figura com a do Captulo 2, que,paratodoperododetemponsuperiora1,ovalorfinal,noregimedejuros compostos,necessariamentemaiorqueomontantefinalnoregimedejurossimples, considerando-sequeovalorinicialtenhasidoomesmo.Arazodissoqueomontante crescedeformaexponencialaolongodotempo,seguindoostermosdeumaprogresso geomtrica. Podem-sededuzirasfrmulasdecapitalizaocomposta,apartirdoseguinteraciocnio indutivo matemtico. Tempo Valor inicial Valor final 38 Considere os juros e o valor futuro como sendo, respectivamente: J = PV i e FV=PV+J Em n=0, J=0 e FV=PV. Em n=1, J=PVi e FV=PV+PViFV=PV(1+i) Em n=2, J= PV(1+i)i e FV= PV(1+i) + PV(1+i)iFV= PV(1+i)(1+1)FV=PV(1+i)2 Em n=3, J= PV(1+i)2i e FV= PV(1+i)2+ PV(1+i)2iFV= PV(1+i)2(1+i)FV= PV(1+i)3 Logo, em n=n,FV=PV(1+i)n bomlembrar,novamente,que,paraaplicaressafrmula(talqualafrmulade capitalizaosimples),oieondevemestarnamesmaunidade.Porexemplo,sea taxaformensal,operodotambmdevesermensal.Nocasodedivergnciaentreas unidades,deve-serealizarumaequivalncia,sabendo-sequemaisfcilmudarotempo (perodo). Logo, se tiver uma taxa de 10% a.a. e o perodo for de quatro semestres, deve-se considerar o perodo como equivalente a dois anos. Veja agora alguns exemplos em que se aplica essa frmula. 1)UmvalordeR$100,00aplicadoporseismeses,ataxadejuroscompostosde 10% a.m. Calcule o montante (FV). FV= PV(1+i)n FV = 100 (1 + 0,1) 6 FV = 100 (1,1) 6 FV = 100 (1,7716) FV = 177,16 39 Logo, o valor do montante de R$ 177,16. Esse mesmo valor poderia ser obtido na HP 12C. Veja f FIN6n 10id 100CHS PVFVNo visor: 177,16. Observequeessemesmoproblemahaviasidoresolvidoparaacapitalizaosimples, dando um resultado igual a R$ 160,00. 2) Uma pessoa resgatou de uma aplicao o valor de R$ 10.000,00. Sabendo-se que a taxa dejuroscompostafoide10%equeocapitalficouaplicadoporcincomeses,calculeo valor presente. Pode-se, a partir de FV= PV(1+i)n, escrever a frmula em funo de PV. nFVPV=(1+i) Fazendo-se os clculos: 5510.000PV=(1+0,1)10.000PV=(1,1)10.000PV=(1,6105)PV=6.209,21 40 Assim, o valor presente equivale a R$ 6.209,21. Esse mesmo valor poderia ser obtido na HP 12C. Veja f FIN5n 10id 10000CHS 0FV PVNo visor: R$ 6.209,21. 3)CludiafezumaaplicaodePVreaisemumfundodeinvestimentos,quepagauma taxa de juros de 10,4% por semestre. No final de cada semestre, os juros so incorporados ao capital. Nesse caso, o capital de Cludia dobrar em quanto tempo? Novamente, pode-se, a partir de FV= PV(1+i)n, escrever a frmula em funo de n. nnFV(1 i)PVFVLNLN(1 i)PVFVLNnLN(1 i)PVFVLNPVn = LN(1 i)| | = + |\ .| | = + |\ .| | = + |\ .| | |\ .+ Assim, resolvendo o problema dado: 41 nnnnFV=PV(1+i)2PV=PV(1+0,104)2=1,104log2=log1,1040,3010=n0,0430,3010n=0,043=7,0057 semestres Por conseguinte o capital de Cludia dobrar em 7,0057 semestres. Na HP: f FIN10.4id1CHS PV2 FVndNo visor: 8,0000 Observe que esse resultado diferente daquele encontrado a partir da frmula. Deve-se ter muitocuidadoaocalcularonnaHP12C,poiselaarredondaovalorparamais,oque tornaoclculoincorretoenoconfivel.Recomenda-se,pois,noutilizaraHPpara calcular-se o perodo (n). Como alternativa, pode-se utilizar o MS Excel com xito, pois oresultadoconfivel.Paratanto,bastaprocurarafunoNPerepreencherosdados conforme a figura a seguir. 42 4)Apscincomeses,MarcelaresgatoudeumaaplicaoovalordeR$12.000,00. Sabendo-sequeelahaviaaplicadoinicialmenteR$10.000,00,calculeataxadejuros simples dessa aplicao. Mais uma vez, pode-se, a partir de FV= PV(1+i)n, escrever a frmula em funo de i. 1n1nFV1 iPVFVi =1PV| | = + |\ .| | |\ . Substituindo-se os valores na frmula: 43 ( )( )151512.000i =110.000i =1, 2 1i =1, 03714 1i = 0,03714| | |\ . Assim, constata-se que a taxa foi de 3,71% a.m. a juros compostos. 3.3Equivalncia de Capitais a Juros Compostos Comojapontadonocaptuloanterior,doiscapitaissoequivalentes,quandotmo mesmo valor em uma determinada data de avaliao (data focal); afinal, como j discutido, R$ 1.000,00 na data de hoje no so iguais a R$ 1.000,00 em uma data futura, haja vista o impactodefatorescomoinflaoetaxadejuros.Assimsendo,montantesemdatas diferentes s devem ser somados aps terem sido transformados em valores de uma mesma data, mediante aplicao correta de uma taxa de juros. Veja um exemplo: Joocomprouumaparelhodeteleviso,cujopreovistaeradeR$500,00,emduas parcelas iguais, sendo que a primeira foi paga no ato da compra e a outra no ms seguinte. Os juros cobrados foram de 4% ao ms. Qual foi o valor das parcelas? 44 Observe que o resultado corresponde a duas parcelas de R$ 254,90. Na HP 12C, pode-se efetuar esses clculos da seguinte forma: f FIN1 n4i1 CHSFVPVNo visor: 0,961538462 Somandoessevaloramais1(queaparceladadatafocal),obtm-se1,961538462,que ser o divisor de R$ 500,00. 1,961538462x = 500500x = 1,961538462x = 254,90 3.4Desconto Composto Racional Assimcomonoregimedecapitalizaosimples,odescontocompostoracionalum abatimentosobreomontante.Nocaso,essedescontonadamaisqueacharPV,como mostra a figura a seguir. 45 O desconto racional composto , portanto, FV PV. Para achar o PV, utiliza-se a mesma forma da capitalizao composta. PV=FV/(1+i)n Alm disso, cumpre apontar que o desconto comercial composto no se aplica no mercado, maspodesercalculadoassimcomoosimples.Comonoutilizadonomercado,esse clculo no ser abordado neste material. 3.5Checando a Aprendizagem Marque no quadro a seguir os conhecimentos que voc de fato adquiriu com a leitura deste captulo.Casoachequealgumdessesconhecimentosaindanoestbemconsolidado, retome a leitura do captulo ou consulte seu professor. Vocentendeoconceitoesabecomocalcularjuros compostos. Voc sabe calcular equivalncia de capitais a juros compostos. Voc sabe um pouco sobre desconto composto racional. PVFV Capitalizar Descontar 46 3.6Aplicando Seus Conhecimentos Compareosvaloresencontradosnoexemplo2daseo3.2(emqueseaplicamjuros compostos) com o mesmo exemplo 2 da seo 2.2 (em que se utilizam juros simples). Qual a diferena que voc observa? Do ponto de vista de quem faz uma aplicao, melhor que acapitalizaosejasimplesoucomposta?Edopontodevistadequemfazum emprstimo, seria melhor que a capitalizao fosse simples ou composta? 3.7Resolvendo Exerccios Exerccios mais bem elaborados sobre juros compostos sero dados aps o captulo cinco, quetratadetaxas.Porora,solicitam-seapenasosexercciosqueseguem,quesode natureza mais simples. 1) Um capital aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 3%. Depois dequantotempoessecapitalestarduplicado?Observeque,paracalcularn,nosedeve utilizar a HP 12C, pois ela arredonda o valor para mais, o que, muitas vezes, pode gerar uma distoro considervel. 2)Qualovalordosjuroscompostosobtidos,emoitomeses,taxade10%aoms,de forma que o montante seja R$ 1.071,80? 3) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante seis meses, taxa de 2% ao ms, atinge o montante de R$ 1.000,00. 4)Obtenhaocapitalinicialque,aplicadoajuroscompostosdurante1anoe4meses, taxa de 4,5% ao ms, atinge o montante de R$ 1.617,90. 5)Sabe-seque,h9meses,umapessoainvestiudeterminadaquantiaemumaaplicao que remunera seus aplicadores taxa de juros compostos de 2% ao ms e que, atualmente, o saldo dessa pessoa de R$ 1.792,64. Ento qual a quantia inicialmente aplicada? 47 6)UmcapitaldeR$200.000,00aplicadoajuroscompostosde10%aoano.Calculeo montante aps quatro anos. 7)Certocapitalaplicadoemregimedejuroscompostosaumataxaanualde13%. Depois de quanto tempo esse capital estar triplicado? Observe que, para calcular n, no se deve utilizar a HP 12C, pois ela arredonda o valor para mais, o que, muitas vezes, pode gerar uma distoro considervel. 8) Qual a taxa de juros compostos mensal que equivalente a uma taxa anual de 42%? Se estivssemos calculando para juros simples, qual seria essa taxa?9) No regime de juros compostos, a taxa de 6% a. m. corresponde a uma taxa equivalente de quanto ao ano?10) Considerando o ms comercial de 30 dias corridos, qual a taxa de juros compostos para uma aplicao de 13 dias, correspondente a uma taxa de juros de 9% ao ms? 11)Sevocaplicarhoje,dia1dejaneiro,R$100.000,00aumataxadejurosde5%ao ms,qualovalordosjurosarecebernodia30dejunhodomesmoano?Determine tambm os juros, caso o valor fosse de 12% ao bimestre. Compare e comente as respostas. GABARITO 1) 24 meses 2) R$ 571,80 3) R$ 887,97 4) R$ 800,00 5) R$ 1.500,00 6) R$ 292.820,00 7) 9 meses 8) 2,97% a.m. 9) 101,22% a.a. 10) 3,80% 11) R$ 134.009,5641 e R$ 140.492,8000 48 4TAXAS Foipublicada,nocadernoOpinio,daFolhadeSoPaulode31dejulhode2007,a seguinte reportagem: Antes tarde O VOLUME de crdito domstico saltou de 21,9% do PIB em abril de 2003 para 32,3% do PIB em junho de 2007. Essa expanso foi liderada pelas pessoas fsicas, queabsorviam38%dosemprstimosepassarampara49%noperodo consideradasasmodalidadesemqueoEstadonodeterminaastaxasdejuro. Noprimeirosemestredesteano,ocrditosfamliascontinuoucrescendomais rapidamente que o empresarial. As grandes companhias acessaram outras fontes de financiamento,comoemissesdeaesettulosdedvida.De2004a2006,o valoranualdessasoperaesmaisquequadruplicou,passandoaR$122bilhes. At25dejulho,omontantedascaptaesde2007jchegavaaR$73bilhes. Hindicaes,noentanto,dequeasgrandesempresasvoltaramatomarcrdito bancrio.Amdiadiriadecontrataodeemprstimoscomjurosflutuantes, dirigidos sobretudo s grandes corporaes, cresceu 15,9% em junho, chegando a R$ 982 milhes. O estoque desses emprstimos avanou 2,5% no ms e atingiu R$ 66,5 bilhes. A maioriadasoperaesestindexadataxadoCDI(instrumentousadopelos bancosparaemprestardinheiroentresi),quesegueaSelic,fixadapeloBanco Central. A reduo dos juros e a expanso do mercado de capitais vo provocando o que a concorrncia bancria j deveria ter propiciado h muito tempo. Os bancos entenderamqueasoperaesdachamadafinanadireta(aes,debnturesetc.) soumaameaaaumfilodemercado,ocrditocorporativo,noqualathavia pouco atuavam vontade para praticar taxas extorsivas. Antes tarde do que nunca. Comovocpodeobservar,ataxasfazempartedonossodiaadiaeseroestudadascom mais ateno neste captulo. 49 4.1Objetivos de Aprendizagem Neste captulo, os objetivos de aprendizagem so: 1. Distinguir e transformar taxa nominal, taxa efetiva e taxa equivalente;2. Distinguir e transformar taxa de inflao, real e aparente; 3. Compreender a formao da taxa Selic; 4. Adquirir noes de como so formados os juros. Apsleratentamenteocontedodestecaptulo,vocsabercomoequandorealizar operaes envolvendo as diferentes taxas abordadas.

4.2Fundamentos Bsicos Assim como no estudo de capitalizao, o estudo das taxas requer alguns cuidados. Veja: 1. O perodo de capitalizao da taxa deve coincidir com o perodo do fluxo de caixa. 2. Nas frmulas, a taxa deve ser utilizada na forma decimal. 3. O ndice de erros nesse tpico muitogrande, de modo que se deve adquirir um conhecimentoplenoantesdepassarparaoprximocaptulo.Comoeleconstitui umpr-requisitoparaoprximocaptulo,recomenda-semuitaatenoaos conceitos e aos exemplos dados. 4.Sempreutilizar,nasfrmulas,nacalculadoraenoMSExcel,ataxaefetiva. Nunca utilize as taxas nominais. 5. Para identificar uma taxa nominal, basta observar que dada uma taxa dada num perodoqualquer(normalmente,aoano)quecapitalizadaemumperodo 50 distinto. 6. Normalmente, as taxas so aplicadas em capitalizao composta. 4.3Taxa Nominal, Taxa Efetiva e Taxa Equivalente A taxa nominal aquela em que o perodo de capitalizao da operao difere do perodo dataxa.Porexemplo,quandosefalaem12%a.acapitalizadossemestralmente,ataxa efetivacorrespondea(a.a/2=6%a.s).Assimsendo,ataxanominaldeveseranalisada somentedepoisdetransformadaemtaxaefetiva.Valeapontarqueataxanominaluma taxanormalmenteutilizadanomercadofinanceiro,poistransmiteaimpressodequese paga menos juros. No entanto, quando transformada em uma taxa efetiva, constata-se que a taxa realmente paga substancialmente maior. J a taxa efetiva aquela que ser utilizada nas frmulas, na calculadora e no MS Excel. Trata-se, portanto, de uma frmula simplificada para aplicao, uma vez que o perodo de capitalizaodaoperaocoincidecomoperododataxa(1+i)n =(1+i)n.Porexemplo, 12% a.a. capitalizados anualmente ou simplesmente 12% a.a. A taxa equivalente, porsua vez, a transformao de uma taxaefetiva de um perodo de capitalizaoparaoutro.Porexemplo,pode-setransformarumataxaefetivaaoanoem uma taxa efetiva semestral. Veja um exemplo, envolvendo essas trs taxas. 1)Ataxade12%a.acapitalizadosmensalmentepodesertransformadaemumataxa equivalente ao ano (isso , capitalizada anualmente). 51 n n12 1121212% a.a (taxa nominal)1% a.m (taxa efetiva)12 meses(1 + i) (1 +)(1 0, 01) (1 )(1, 01) 1(1, 01) 11,1268 10,1268 12, 68%meses anomesesmesesiiiiii==+ = += += = = = Poresseexemplo,pode-seperceberque,paracalcularaequivalnciaentreduastaxas, necessrioigualaressastaxasconsiderandoqueoperodonmaiortemqueserum mltiplodoperodonmenor.Porexemplo,umanotemdozemeses;logo,para transformar-se uma taxa anual em uma taxa mensal, necessrio elevar a taxa mensal a 12. Observe que essa taxa nominal de 12% a.a capitalizados mensalmente corresponde a uma taxaefetivade12,68%,ouseja,umataxamaiordoqueprimeiravista.Quantomaiora taxa nominal, maior ser essa distoro. Veja o exemplo a seguir: 2) Suponha que oBanco Alfa divulgue uma taxa de 140% a.a e o BancoBeta tenha uma taxade100%a.acapitalizadosmensalmente.Qualdessesbancoscobraamenortaxa efetiva? 52 Comosepodeobservar,ataxadoBancoAlfajumataxaefetiva,masobancoBeta dispeumataxanominal.Dessaforma,nosepodecompararasduastaxasdiretamente, de modo que necessrio transformar a taxa nominal em taxa efetiva anual. n n12 11212100% a.a (taxa nominal)8, 333...% a.m (taxa efetiva)12 meses(1 + i) (1 +)(1 0, 08333...) (1 )(1, 08333...) 1(1, 08333...) 12, 613035 11, 613035 161, 3035% .meses anomesesmesesiiiiii a a==+ = += += = = = Poressesclculos,verifica-sequeataxaaparentementemenordobancoBeta,na verdade, consideravelmente superior taxa do banco Alfa (161,3035 X 140%). 4.4Taxa de Inflao, Taxa Real e Taxa Aparente A taxa de inflao a aquela que mede a desvalorizao generalizada da moeda. J a taxa realaquelaqueestlivredeinflao.Poroutrolado,ataxaaparenteumataxareal inflacionada. Veja um exemplo: Considerando-se que a taxa Selic de 2008 de 13,75% a.a (sendo uma taxa aparente) e que a inflao foi de 5% a.a., calcule a Selic real. 53 A frmula para calcular-se qualquer uma das taxas depende de saber-se o valor das outras duas. A R I(1 i ) (1 i )(1 i ) + = + + em que iA a taxa aparente, iR a taxa real e iI a taxa de inflao. Substituindo-se os valores na frmula: RRRRRR(1 0,1375) (1 i )(1 0,05)(1,1375) (1 i )(1,05)1,1375(1 i )1, 051 i 1, 08333i 1, 08333 1i 0, 08333+ = + += ++ =+ == = 4.5Selic AtaxaSelic(SistemaEspecialdeLiquidaoeCustdia)umametadetaxabsicade juros estabelecida pelo Comit de Poltica Monetria (COPOM). Trata-se de uma taxa que tem por objetivo controlar a inflao e o consumo e direcionar os rumos da economia. Assubseesde4.5.1a4.5.4,aseguir,esclarecemsobreaSeliceforamextradasda pginadoBancoCentraldoBrasil(http://www3.bcb.gov.br/selic/html/ help_taxaSelic.html). 54 4.5.1Definio ataxaapuradanoSelic,obtidamedianteoclculodataxamdiaponderadaeajustada dasoperaesdefinanciamentoporumdia,lastreadasemttulospblicosfederaise cursadasnoreferidosistemaouemcmarasdecompensaoeliquidaodeativos,na formadeoperaescompromissadas.Esclarecemosque,nessecaso,asoperaes compromissadassooperaesdevendadettuloscomcompromissoderecompra assumidopelovendedor,concomitantecomcompromissoderevendaassumidopelo comprador,paraliquidaonodiatilseguinte.Ressaltamos,ainda,queestoaptasa realizaroperaescompromissadas,porumdiatil,fundamentalmente,nasinstituies financeirashabilitadas,taiscomobancos,caixaseconmicas,sociedadescorretorasde ttulos e valores mobilirios e sociedades distribuidoras de ttulos e valores mobilirios. 4.5.2Metodologia de ClculoA taxa mdia ajustada das mencionadas operaes de financiamento calculada de acordo com a seguinte frmula: 252nj=1nj=1Lj Vj selic =1 100 % a.aVjTaxa ( | || | | | (| || (| | \ . (| || | (| | | |(|\ . \ .\ . em que: Lj: fator dirio correspondente taxa da j-sima operao; Vj: valor financeiro correspondente taxa da j-sima operao; n: nmero de operaes que compem a amostra. 55 Aamostraconstituda,excluindo-sedouniversoasoperaesatpicas,assim consideradas: -nocasodedistribuiosimtrica:2,5%dasoperaescomosmaioresfatores dirios e 2,5% das operaes com os menores fatores dirios; -nocasodedistribuioassimtricapositiva:5%dasoperaescomosmaiores fatores dirios; -nocasodedistribuioassimtricanegativa:5%dasoperaescomosmenores fatores dirios.OclculofeitodiretamentepelosistemaSelicapsoencerramentodasoperaes,em processo noturno. 4.5.3ComentriosDoexposto,podemosconcluirqueataxaSelicorigina-sedetaxasdejurosefetivamente observadas no mercado.Astaxasdejurosrelativassoperaesemquestorefletem,basicamente,ascondies instantneas de liquidez no mercado monetrio (oferta versus demanda de recursos). Essas taxasdejurosnosofreminflunciadoriscodotomadorderecursosfinanceirosnas operaescompromissadas,umavezqueolastrooferecidohomogneo. Como todas as taxas de juros nominais, por outro lado, a taxa Selic pode ser decomposta ex post,emduasparcelas:taxadejurosreaisetaxadeinflaonoperodoconsiderado.AtaxaSelic,acumuladaparadeterminadosperodosdetempo,correlaciona-se positivamente com a taxa de inflao apurada ex post. 56 4.5.4Divulgao A divulgao da taxa Selic responsabilidade do Departamento de Operaes do Mercado Aberto, Diviso de Administrao do Selic (Demab/Dicel). Primeiramente,ataxadivulgadaparatodososparticipantesdaRededoSistema FinanceiroNacional(RSFN),pormeiodeenviodoarquivoASEL002emmensagem GEN0015, anexado no bloco USERMSG. A atualizao no Sisbacen (PTAX860) e na pgina do BCB na Internet (www.bcb.gov.br) d-selogoemseguida,poisfeitaautomaticamentecombasenocontedodessa mensagem.Posteriormente,aotrminodoprocessamentonoturnodoSelic,ataxafica disponvel para consulta na pgina Selic RTM (www.selic.rtm), destinada exclusivamente aos participantes da Rede de Telecomunicaes para o Mercado RTM (www.rtm.net.br). NohhorriopredeterminadoparaadivulgaodataxaSelic.Podemosdizerque, normalmente,eladivulgadaentre20he21h.Emsituaesexcepcionais,o processamento noturno pode ser postergado e a divulgao pode ocorrer mais tarde. 4.5.5Simulao do clculo da taxa Selic Observe a tabela a seguir. 57 Nela, admite-se que foram negociados os seguintes ttulos pblicos federais s respectivas taxas:Ttulo 1: R$ 100,00, a 0,02% a.d. Ttulo 2: R$ 300,00, a 0,03% a.d. Ttulo 3: R$ 400,00, a 0,01% a.d. Ttulo 4: R$ 200,00, a 0,04% a.d. Assim,astaxasserodivididasporcemesersomado1acadauma,comomostraa segunda coluna da tabela. A partir de ento, calcula-se a mdia ponderada desses valores, multiplicando-secadavalormonetriopelovalordataxa.Emseguida,divide-seesse resultadopelosomatriodastaxasdasegundacoluna.Depois,eleva-seoresultadoa252 conforme a frmula de clculo da taxa Selic, que considera o ano financeiro. Ento subtrai-se 1 do valor encontrado e multiplica-se o resultado por 100, encontrando-se, assim, a taxa Selic anual para o dia hipottico em questo. Observe novamente a frmula da taxa Selic. ( )( )( )( )( )( )2522521.000, 23 selic =1 100 % a.a1.000, 00 selic =1, 00023 1 100 % a.a selic =01, 059665 1 100 % a.a selic =0, 059665 100 % a.a selic = 5, 9665% a.aTaxaTaxaTaxaTaxaTaxa ( | || | (| | | |(\ .\ . ( ( ( Substituindo-se os valores: 58 ( )( )( )( )252% a.a selic =1, 00023 1 100 % a.a selic =01, 059665 1 100 % a.a selic =0, 059665 100 % a.a selic = 5, 9665% a.aTaxaTaxaTaxaTaxa ( ( ( EsseresultadosignificaqueataxaSelicapuradapelosistemanodiaemquestofoide 5,9665%a.a.Seametaformaiorqueovalorapurado,oBancoCentraldeverresgatar ttulos, causando uma escassez e, com isso, aumentando a taxa. Do contrrio, se a meta for menorqueovalorapurado,oBancoCentraldeveremitirttulos,provocandouma abundncia e, com isso, diminuindo a taxa. 4.6Tpico sobre Formao de Juros O juro expressa o preo de troca de ativos disponveis em diferentes momentos do tempo. Trata-sedeumaremuneraopelaalocaodecapital.Paraformar-seumataxadejuros, leva-se em considerao as seguintes taxas e teorias. Taxa de referncia: as decises financeiras so consideradas atraentes somente no caso em queaexpectativaderetornosuperiortaxadejurosdodinheiroutilizado.Emum mercado livre, a taxa de juros formada com base nas taxas de preferncias temporais dos agentes aplicadores e no retorno esperado. Taxa pura ou livre de risco: aquela que precifica os ativos do governo no mercado; logo, constituiataxadejuros-basedosistemaeconmico.Ataxapuranoincluidespesas, inflaesououtrossacrifcios.Elacompreendeapenasaremuneraopelosacrifcioda poupana e constitui o piso para a estrutura de taxas de retorno da economia.59 TeoriadasExpectativas:deacordocomessateoria,astaxasdejurosdelongoprazo devemseramdiageomtricadastaxasdecurtoprazocorrenteseprevistasparao horizonte de maturao de um ativo de longo prazo. TeoriadaPrefernciapelaLiquidez:segundoessateoria,osrendimentosdelongoprazo devemsersuperioresaosdecurtoprazo,incorporando,portanto,umaremunerao adicional pelo risco assumido. Teoria da Segmentao de Mercado: por essa teoria, sugere-se que os agentes econmicos demonstramprefernciasdefinidascomrelaoaosprazosdevencimentodosativos, sendoastaxasdejurosdeterminadaslivrementepelomecanismodeofertaeprocurade cada segmento de mercado. 4.7Checando a Aprendizagem Marque no quadro a seguir os conhecimentos que voc de fato adquiriu com a leitura deste captulo.Casoachequealgumdessesconhecimentosaindanoestbemconsolidado, retome a leitura do captulo ou consulte seu professor. 1.Vocsabedistinguiretransformartaxanominal,efetivae equivalente. Vocsabedistinguiretransformartaxadeinflao,reale aparente. Voc tem noo de como so formados os lucros. 60 4.8Aplicando Seus Conhecimentos AresoluoCMN3.517,de2007,dispesobreainformaoeadivulgaodocusto efetivototalcorrespondenteatodososencargosedespesasdeoperaesdecrditoede arrendamento mercantil financeiro, contratadas ou ofertadas a pessoas fsicas. Explique, a partir do que foi estudado com relao taxa efetiva e taxa nominal, qual a possvel justificativa para tal resoluo. D um exemplo comparativo. 4.9Resolvendo Exerccios 1) Calcule a taxa de juros trimestral equivalente a 6% a.s. com capitalizao mensal. 2)Ataxanominalde12%aosemestre,comcapitalizaomensal,equivaleaqualdestas taxas: a) 6% a.t., b) 26,82% a.a., c) 6,4% a.t., d) 11,8% a.s. ou e) 30% ao ano? 3)Umaagnciaconcedeemprstimos,cobrandoumataxaiguala48%a.a,capitalizada mensalmente.Qualataxaequivalentesemestraldesseemprstimo?Qualataxa equivalente trimestral? 4)Qualataxanominalanualqueumafinanceiradevecobrarparaganhar8%a.a.de juros reais, em um ano em que a inflao ser de 5% a.a.? 5)Umttulorendejurosde6%a.a.comcapitalizaosemestral.Qualataxaefetiva anual de juros? 6)Acercadastaxasutilizadasemjuroscompostos,julgueositensaseguirquantoa verdadeiro (V) ou falso (F): ( )Capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o valorobtidopelasomadocapitalinicialcomosjurosacumuladosato perodo anterior. 61 ( )Duastaxasreferentesaperodosdistintosdecapitalizaosoequivalentes, quandoproduzem,pelaaplicaodeummesmocapitalinicial,omesmo montante no final de determinado perodo de tempo. ( )Quanto maior o nmero de capitalizaes, maior a taxa efetiva. ( )Ataxaefetivade21%aoanocorrespondetaxanominalanualde20%, capitalizadas semestralmente. 7) Em relao s taxas de juros, assinale a alternativa correta. a) A taxa de juros nominal sempre maior que a taxa de juros efetiva. b) A taxa de inflao pode ser obtida da subtrao da taxa nominal da taxa real. c) A taxa de juros real no Brasil representada pela Selic. d) A variao cambial representada pelo conceito de taxa de juros real. 8) No banco ALFA, a taxa mensal de juros compostos 7% e, no banco OLGA, os juros socapitalizadostrimestralmenteaumataxade22%.Apartirdessesdados,avalieas seguintes afirmativas quanto a verdadeira (V) ou falsa (F). () As taxas de juros desses dois bancos so equivalentes. () A taxa de juros semestral do banco OLGA inferior a 50%. () A taxa de juros anual do banco ALFA de aproximadamente 125%. 9) Podemos classificar as taxas de juros como: nominal, efetiva e real. Em relao a essas taxas, podemos dizer que: a) taxa de juros real leva em considerao os efeitos inflacionrios. b) taxa de juros efetiva igual taxa de juros nominal menos a taxa de juros real. c) taxa de juros real no leva em considerao o capital efetivamente recebido. d) taxa nominal e taxa de juros efetiva so sempre iguais. 62 10) Dada uma taxa efetiva anual x %, composta mensalmente, pode-se afirmar que sua taxa nominal anual y % correspondente a taxa ______ mensal da taxa efetiva z %, anualizada ______. As lacunas dessa assertiva so mais bem preenchidas por: a) proporcional linearmente. b) proporcional exponencialmente. c) equivalente linearmente. d) equivalente exponencialmente. e) linear exponencialmente. GABARITO 1) 3,03% a.t. 2) 26,82% a.a. 3) 26,53% a.s; 12,49 % a.t. 4) 13,40% a.a. 5) 6,09% a.a. 6) V-V-V-F 7) a 8) F-V-V 9) c 10) c 63 5CAPITALIZAO CONTNUA No mundo dos investimentos sobretudo no que se refere s aes , frequente o uso de capitalizao contnua nas frmulas de juros. As principais razes para isso so: 1.Acapitalizaocontnuarepresentamelhorumacarteiradeaesbem diversificada,umavezquecadaempresadacarteirapagadividendos,juros, dentre outros, em um dia diferente. 2.A funo de capitalizao contnua matematicamente mais fcil, quando se tem que efetuar clculo integral. Vocver,aolongodestecaptulo,ascaractersticasdacapitalizaocontnua(tambm chamadadeinfinitesimal),bemcomoasoperaesenvolvidasnoclculodessetipode capitalizao. 5.1Objetivos de Aprendizagem Neste captulo, os objetivos de aprendizagem so: 1. Aprender o conceito e como calcular capitalizao contnua;2. Entender a diferena entre capitalizao simples, contnua e composta. Apsleratentamenteocontedodestecaptulo,vocsabercomoequandorealizar operaesenvolvendocapitalizaocontnua,almdadiferenadesseregimecomosde capitalizao simples e de capitalizao composta. 64 5.2Capitalizao Contnua ou Infinitesimal Capitalizar o ato de somar os juros ao principal (PV + J). Essa capitalizao pode ocorrer em diferentes frequncias (e.g., ao ano, ao semestre, ao trimestre, ao ms, ao dia, por hora, por minuto, por segundo... instantaneamente). No caso da capitalizao contnua (ou juros continuamente compostos ou juros instantneos), a frequncia de capitalizao torna-se um nmeroinfinitamentegrande(e.g.,umanoequivaleaumnmeromuitograndede segundos), tendendo ao infinito (+). SuponhauminvestimentodeR$1.000,00quesercapitalizadopelastaxasabaixo,pelo perodo de trs anos. Taxa nominal Frequncia de capitalizao Taxa efetiva anual FV 18% a.a., anualmente1 x8% a.a.R$ 1.259,71 28% a.a., semestralmente2 x8,16% a.a.R$ 1.265,32 38% a.a., trimestralmente4 x8,243% a.a.R$ 1.268,24 48% a.a., mensalmente12 x8,30% a.a.R$ 1.270,24 58% a.a., diariamente360 x8,3278% a.a.R$ 1.271,21 68% a.a., instantneo+ x8,3287% a.a.R$ 1.271,25 Observe que, mesmo aumentando a frequncia de capitalizao de modo que ela tenda ao infinito,omontanteobtidoeataxaefetivaaumentamsuavemente,tendendoauma constante.Issopodeservisualizadonoseguintegrfico,emqueoeixodasabscissas corresponde ao perodo e o eixo das ordenadas corresponde s taxas. 65 Lembre-se de que, para calcular FV, a taxas efetivas, utiliza-se FV= PV(1+i)n. No entanto, quando a taxa nominal, pode-se aplicar a seguinte frmula: mnrFV = PV1+m| | |\ ., em que m a frequncia da capitalizaes da taxa nominal (r) e n o perodo. Essa frmula pode ser reescrita como nmiFV = PV 1+m (| | ( |\ . ( 66 mmilimPV 1+ma.a capitalizado x.x a.a. capitalizado anualmenteilim 1+mm mFazendou =,logo i = i umi mu=m mnmm (| | ( |\ . ( (| | ( |\ . ( ||1=u miuuuuin1uQuando m ,u .i 1m = ium u1Logo,lim 1+u1lim 1+ 2, 7183uLogo, FV = PVee= = (| | ( |\ . ( (| |= = ( |\ . ( Substituindo os valores da taxa 6 da tabela: FV = PVein FV = 1.000 x 2,71830,08x3 FV = 1.000 x 2,71830,24 67 FV = 1.000 x 1,271249 FV = 1.271,25 Almdisso,possveltransformarumataxacompostaemumataxainstantnea(evice-versa). Veja: A frmula para calcular o valor futuro na capitalizao composta nC CFV =PV(1+i ) J a frmula para calcular o valor futuro na capitalizao contnua Ii nIFV =PVe Igualando-se FVC e FVI: PVnC(1+i ) PV =Ii neIiCLogo, 1+i . e = Veja, agora, um exemplo de aplicao. Considerando-se uma taxa instantnea de 8% a.a., calcule a taxa composta equivalente. IiC0,08CCCC1+i1+i1+i 1, 083287i 1, 083287 1i 0, 083287ee==== = 68 Logo, a taxa composta equivalente de 8,3287%. 5.3Comparando os Regimes de Juros Comojobservadoentreosjurossimpleseosjuroscompostos,aquelesgeramvalores futurosmenoresqueestesparatodataxamaiorque1.Parataxasiguaisa1,osvalores gerados so iguais em ambos os casos. E, para taxas menores que 1, os valores gerados so maiores no caso dos juros simples. Comoacapitalizaocontnuaeacapitalizaocompostasoexponenciais,amesma relaoesperadanocasodeumacomparaoentreacapitalizaocontnuaea capitalizaosimples.Noentantointeressanteobservarque,emboraacapitalizao compostaeacapitalizaocontnuaimpliquemcrescimentosexponenciais,asegunda apresentaumcrescimentomaiorqueaprimeira.Essarelaopodesermaisbem visualizada no grfico a seguir. Comparao entre regimes de juros02004006008001000120014000 1 2 3 4 5PerodoValorJuros simples Juros compostos Juros contnuos 69 5.4Checando a Aprendizagem Marque no quadro a seguir os conhecimentos que voc de fato adquiriu com a leitura deste captulo.Casoachequealgumdessesconhecimentosaindanoestbemconsolidado, retome a leitura do captulo ou consulte seu professor. Voc entende o conceito e sabe como calcular capitalizao contnua. Vocsabeadiferenaentreossistemasdecapitalizao contnua, simples e composta. 5.5Aplicando Seus Conhecimentos Dumexemploprtico,explicandoadiferenaentrejurossimples,juroscompostose juroscontnuos.Expliciteemquemomentosumpodegerarmaisretornooumaior endividamento que o outro. 5.6Resolvendo Exerccios 1)CalculeosjurosdeR$1.000,00,aplicadosdurantetrsanos,taxade20%a.a,com capitalizaes semestrais. 2)CalculeosjurosdeR$7.500,00,aplicadosdurante1,5ano,taxade12%a.acom capitalizaes trimestrais.3) Calcule os juros de R$ 2.832,00, aplicados taxa de 9% a.s , durante 10 semestres. 4)CalculeomontantedeR$27.300,00,aplicadostaxade6%a.a,durantedoisanos, capitalizado quadrimestralmente. 70 5)Quantoterumapessoanofimde20meses,seaplicarR$25.000,00aumataxade 5% a.m.6)Umapessoaaplicou3/4doseucapital,capitalizadossemestralmente,aumataxade 20% a.a. O restante aplicou taxa de 24% a.a., mas capitalizado trimestralmente. Calcule o montanteobtidonofimdequatroanos,sabendo-sequeaprimeiraparcelaproporcionou R$ 12.865,38 de juros.7)Qualocapitalque,colocadoajurosde12%a.a,capitalizadotrimestralmente,produz, em trs anos, o montante de R$ 4.002,68?8)Umapessoaaplicou2/3doseucapitala12%a.a.,comcapitalizaotrimestral,eo restante a 10% a.a., com capitalizao semestral. No fim de trs anos, os juros obtidos pela primeiraparcelaexcederamosobtidospelasegundaemR$20.457,04.Qualocapital aplicado?9)Qualocapitalque,aplicadodurantequatroanos,taxade12%a.a.,capitalizado mensalmente, produz R$ 367,56 de juros a mais do que seria produzido com capitalizaes semestrais?10)Umcapitalfoiaplicadotaxade22%a.a.durantetrsanoscomcapitalizaes semestrais. Se a taxa fosse de 24% a.a., capitalizado trimestralmente, os juros produzidos a mais seriam de R$ 1.417,82. Calcule o capital. 11)QualotemponecessrioparaqueocapitaldeR$2.500,00,aplicadotaxade 22% a.a., com capitalizaes semestrais, produza o montante de R$ 5.190,40? 12)DurantequantotempoocapitaldeR$2.500,00,aplicadotaxade5%a.m.,produz R$ 1.700,48 de juros, com capitalizaes mensais? 13)DurantequantotempoocapitaldeR$8.000,00,aplicadotaxade4%a.b.,rende R$ 3.841,95 juros com capitalizaes bimestralmente? 14)DurantequantotempoocapitaldeR$17.000,00,aplicadotaxade8%a.a.,produzR$ 36.927,87de juros com capitalizaes anuais?71 15)DurantequantotempoocapitaldeR$2.800,00,aplicadotaxade10%a.a., capitalizado semestralmente, rende juros de R$ 441,35?16)DurantequantotempoocapitaldeR$8.000,00,aplicadotaxade6%a.b., capitalizado trimestralmente, rende R$ 10.938,91 de juros? 17)Aplicadodurantecincoanos,ocapitaldeR$7.815,00rendeuR$4.771,14dejuros. Considerando capitalizaes anuais, qual a taxa empregada na operao? 18)OcapitaldeR$2.420,00,investidodurante4semestres,rendeuR$752,13dejuros. Considerando capitalizaes semestrais, qual a taxa de juros empregada? 19) O capital de R$ 7.500,00, aplicado durante quatro anos, com capitalizaes semestrais, rendeu R$ 2.764,27 de juros. Qual a taxa empregada? 20)OcapitaldeR$2.800,00,aplicadodurantetrsanos,comcapitalizaestrimestrais, rendeu R$ 5.075,46 de juros. Qual a taxa empregada? 21)OcapitaldeR$5.500,00,investidodurantedoisanos,comcapitalizaes quadrimestrais, rendeu R$ 4.787,28 de juros. Qual a taxa empregada? 22)DividaaimportnciadeR$42.356,61emtrspartes,detalmodoque,aplicadasa 20% a.a.,comcapitalizaessemestrais,produzammontantesiguaisem5,3e2anos respectivamente.23)CalculeodescontodeumttulodeR$22.000,00,quevencedentrode90dias, considerando a taxa de 12% a.a., com capitalizaes trimestrais. 24)CalculeodescontodeumttulodeR$5.000,00,quevencedentrode180dias, considerando a taxa de 5% a.m., com capitalizaes mensais. 25)CalculeodescontodeumttulodeR$385.000,00,resgatado20mesesantesdo vencimento, considerando a taxa de 18% a.a., com capitalizaes quadrimestrais. 72 26)CalculeovaloratualdeumttulodeR$10.000,00,resgatadodoisanoseseismeses antes do vencimento, taxa de 20% a.a., com capitalizaes semestrais. 27)CalculeovaloratualdeumttulodeR$7.900,00,resgatadoseismesesantesdo vencimento, considerando uma taxa de 24% a.a., com capitalizaes mensais. 28)Odescontodeumttulo,vencveldentrode15meses,deR$1.082,37.Calculeo valornominaldottulo,sabendo-sequeataxaempregadade20%a.a.,com capitalizaes trimestrais.29) O valor atual de um ttulo, vencvel dentro de dois anos, de R$ 10.132,62. Calcule o valornominal,sabendo-sequeataxaempregadade36%a.a.,capitalizada quadrimestralmente.30)UmttulocomvencimentoparadaquiaseisanosfoiresgatadoporR$55.683,74. Calculeovalornominaldottulo,considerandoataxade10%a.a.comcapitalizaes semestrais.31) Um ttulo de R$ 20.000,00 foi resgatado por R$ 14.945,16. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 12% a.a., com capitalizaes semestrais, calcule o tempo de antecipao do pagamento.32)UmttulodeR$50.000,00,pagoantecipadamente,sofreudescontodeR$10.575,34. Sabendo-sequeataxaempregadafoide12%a.a.,comcapitalizaesbimestrais,qualo tempo de antecipao?33) Um ttulo de R$ 15.000,00 foi resgatado por R$ 7.625,24. Sabendo-se que o ttulo foi antecipado em 5 anos, calcule a taxa empregada, considerando capitalizaes semestrais. 34) Um ttulo de R$ 28.000,00 foi pago antecipadamente, com desconto de R$ 12.194,73. Sabendo-se que o ttulo era para trs anos, calcule a taxa empregada nessa operao, com capitalizaes semestrais.73 35)UmemprstimodeR$500.000,00deverserpagocomdoispagamentosiguais, vencveisdentrodecincoeoitomeses,respectivamente.Calculeovalordospagamentos considerando a taxa de 5% a.m.36) Osnar Reteiro fez um emprstimo de R$ 1.000.000,00 em um banco que cobra juros de 6%a.s.Decorridostrssemestres,Osnarpaga30%doemprstimooriginalecombina liquidarorestantedadividaemdoispagamentosiguais,efetuadoscincoeoitosemestres aps a data do emprstimo. Calcule os pagamentos. 37) O Sr B. Bado fez um emprstimo e ficou de pagar no fim de trinta meses o montante deR$600.000,00Depoisde10meses,elequerliquidaradvidacomdoispagamentos iguais,vencendooprimeiroimediatamenteeosegundodaaseismeses.Calculeovalor dessespagamentos,sabendo-sequeataxaempregadafoide3%a.m.,comcapitalizaes mensais. 38)ASrta.P.KadofezumemprstimodeR$200.000,00paraserpagonofimde24 meses,juntamentecomosjurosde7%a.m.Passadosoitomeses,elaquermodificara forma de pagamento, propondo pagar o emprstimo em quatro pagamentos mensais, iguais econsecutivos,vencendooprimeirodaadoismeses.Calculeovalordospagamentos, sabendo-seque,nonovocontrato,ataxaestipuladafoide8%a.m.,comcapitalizaes mensais para toda a operao 39)OSr.B.Arofezumemprstimotaxade10%a.s.parapagaremtrspagamentos iguais, semestrais e consecutivos, no valor de R$ 200.000,00 cada. O primeiro pagamento vence trs semestres aps o emprstimo. Se ele quiser pagar a divida com dois pagamentos iguais,efetuandooprimeiroquatrosemestresapsoemprstimoeosegundocinco semestresapsoprimeiropagamento,qualserovalordecadapagamento,sabendo-se que a taxa para o novo contrato de 12% a.s., capitalizados semestralmente. 40) Foram feitos, na mesma poca, os seguinte emprstimos: R$ 100.000,00 para pagar, ao fim de cinco anos, a juros de 9% a.a.; R$ 200.000,00 para pagar, em dois anos, a juros de 7% a.a.; e R$ 150.000,00 para pagar, em quatro anos, a juros de 8% a.a. Se a dvida total fossepagacomdoispagamentosanuais,iguaiseconsecutivo,vencendooprimeirotrs 74 anosapsocontratoinicial,qualseriaovalordecadapagamento?Considereataxade 10% a.a. para o novo contrato e capitalizaes anuais para toda a operao. GABARITO 01 - R$ 771,56. 02- R$ 1.455,39 03 - R$ 3.872,37 04 - R$ 30.744,23 05 - R$ 66.332,44 06 - R$ 33.641,7007 - R$ 2.807,4008 - R$120.000,00 09 - R$ 20.000,0010 - R$ 10.000,0011 - 7 semestres12 10,64 meses 13 - 10 bimestres14 - 15 anos15 - 03 semestres16 -10 trimestres 17 - 10% a.a.18 - 7% a.s.19 - 4% a.s20 - 9% a.t. 21- 11% a.q 22 -R$ 10.000,00 R$ 14.641,00 R$ 17.715,61 23 - R$ 640,7724 - R$ 1.268,92 25 - R$ 97.305,6026 - R$ 6.209,2127 - R$ 7.014,9728 R$5.000,00 29 - R$ 20.000,0030 - R$100.000,0031 - 3 0 meses32 - 02 anos 33 - 14% a.a.34 - 20% a.a35 - R$342.380,0336 - R$544.213,46 37 - R$180.793,6338 - R$120.708,2139 - R$384.433,5240 - R$313.735,71 75 6SRIES DE PAGAMENTOS Em uma reportagem recente no Estado de Minas, foi mostrado o caso de uma senhora cuja rendaeradeR$527,00mensaisequedeviaR$15.000,00paraaoperadoradecartode crdito, cuja taxa era de 12% a.m. Nesse caso, levando-se em considerao que ela poderia dispor de todo o seu salrio para pagar essa dvida, quanto tempo seria necessrio para ela quitar sua dvida? RecorrendoHP12C,digitandoovaloratualdodbitoeospagamentosfuturos, percebe-se que, aps introduzir o fluxo de caixa, aparece a mensagem de ERRO 5 no visor. Isso demonstra que impossvel liquidar essa dvida mesmo pagando R$ 527,00 mensais, porqueessevalornocobresequerosjuros(12%deR$15.000,00=R$1.800,00). Conclui-se, portanto, que se trata de uma situao de insolvncia financeira. 6.1Objetivos de Aprendizagem Neste captulo, os objetivos de aprendizagem so: 1. Compreender como funcionam as sries uniformes;2. Entender as sries variveis; 3. Estudar as sries perptuas 4. Saber as diferenas entre os principais sistemas de amortizao. Apsleratentamenteocontedodestecaptulo,vocsabercomocalcularasdiferentes sries e como montar as diferentes tabelas referentes aos sistemas de amortizao PRICE, SAC, SAM e americano. 76 6.2Sries Uniformes Assriesperidicasuniformes,tambmchamadasderendascertas,podemserdivididas em sries postecipadas, antecipadas e diferidas. 6.2.1Sries postecipadas Assriespostecipadassoaquelasemqueospagamentosocorremnofinaldecada perodo (e no no incio ou origem). Em outras palavras, no existe entrada. So exemplos desse tipo de srie os pagamentos de fatura de carto de crdito. SuponhaqueAlexandredepositeR$1.000,00,mensalmente,emumacontaquerende 10% a.m. O fluxo dessa operao est representado a seguir. PMT (1+i)3 PMT (1+i)2 PMT (1+i)1 1000 PMT 1000 PMT 1000 PMT 1000 PMT a4 543210 Data focal a3a2 a10 PMT (1+i)0 77 Oclculodassriesuniformesdepagamentotemcomopilarasomadostermosdeuma progresso geomtrica finita. Relembrando a soma dos termos de uma PG finita: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128 correspondem, respectivamente, a 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 28 A soma dos termos grifados, arbitrariamente representados por a1, a2 e a3, respectivamente : S3 = a1+a1q1+a1q2, em que q a razo (diviso de um termo pelo anterior), a qual, no caso, equivale a 2. Multiplicando-se todos os termos dessa equao por q, tem-se: S3q = a1q1+a1q2+a1q3 Subtraindo-se a primeira equao da segunda, tem-se: S3q S3 = a1q3 a1 Logo, S3(q 1) = a1(q3 1). Portanto 313a (q 1)S =q 1 , o que implica que: n1na (q 1)S =q 1 Voltando ao exemplo e aplicando a frmula de PG: 78 3130 44444a (q 1)S =q 1 1,1 [(1,1) 1]S =1,1 1 1[(1, 4641) 1]S =1,1 1 (0, 4641)S =0,1 S = 4,641 Logo, o FV igual a Sn x PMT (4,641 x 1.000), o que resulta em R$ 4.641,00. No caso especfico da srie de pagamento postecipada, pode-se seguir o seguinte raciocnio para se abstrair a frmula. FV = PMT (1 + i)3 + PMT (1 + i)2 + PMT (1 + i)1 + PMT (1 + i)0 Colocando-se PMT em evidncia: FV = PMT [(1 + i)3 + (1 + i)2 + (1 + i)1 + (1 + i)0] Multiplicando-se a frmula anterior pela razo, que corresponde prpria taxa (1 + i): FV (1 + i) = PMT [(1 + i)4 + (1 + i)3 + (1 + i)2 + (1 + i)1] Subtraindo-se a primeira frmula da segunda, obtm-se FV (1 + i) FV = PMT [(1 + i)4 1] 79 444FV[(1+i) -1) = PMT [ (1 + i)- 1]FV(i) = PMT [ (1 + i)- 1]PMT [ (1 + i)- 1]FV = i Logo a frmula genrica : nPMT [ (1 + i)- 1]FV = i Para achar PV, basta substituir nessa frmula FV por FV = PV(1 + i)n.Nessasfrmulas,oclculodeFV,PMTensotranquilamenteencontrados.Noentanto, hmaiorcomplexidadenoclculodei,poistrata-sedeumpolinmiodeensimograu. Portanto, nesses casos, o ideal recorrer HP 12C. Para calcular qualquer um dos valores (PV, PMT, i, n ou FV) na HP 12C, basta inserir os valores restantes, lembrando-se de ativar a configurao g END. Veja um exemplo. A empresa Tesla investiu R$ 10.000,00 em umprojeto cujo retorno foram 12 parcelas de R$ 1.000,00. Calcule a taxa de retorno desse investimento. O fluxo de caixa dessa operao : Calculando na HP 12C 1 43212 ... 11 80 f FINg END12nd 10000CHS PV 1000PMT i nNo visor: 2,92285%. Atente-separaofatodequePVtemquesernegativo(CHS);docontrrio,acalculadora irregistrarERRO5,relativoafluxodecaixa.Almdisso,observequeomnimo necessrio para utilizarem-se as funes financeiras da HP 12C consiste em uma entrada e uma sada de caixa. 6.2.2Sries antecipadas Assriesantecipadassoaquelasemqueospagamentossoefetuadosnoinciodecada perodo. Equivalem a uma compra