UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica1

ALUNO: _______________________________________________ SUMRIO 1. Nmeros e Operaes 1.1. Conjuntos dos nmeros Naturais...................................2 1.2. Conjuntos dos nmeros Inteiros.....................................2 1.3. Conjuntos dos nmeros Racionais.................................7 1.4. Conjuntos dos nmeros Irracionais..............................13 1.5. Conjuntos dos nmeros Reais.....................................14 Exerccios................................................................14 2. lgebra.......................................................................................24 2.1. Operaes com polinmio............................................25 2.2. Produtos Notveis....................................................... 27 2.3. Fatoraes....................................................................28 2.4. Fraes Algbricas.......................................................30 Exerccios................................................................31 3. Radicais.....................................................................................34 3.1. Operaes....................................................................35 3.2. Racionalizao.............................................................36 Exerccios................................................................38 4. Equaes e Inequaes...........................................................41 4.1. Equaes do 1 Grau...................................................42 4.2. Equaes do 2 Grau...................................................43 Exerccios................................................................48 4.3. Inequaes do 1 Grau.................................................51 4.4. Inequaes do 2 Grau.................................................52 Exerccios................................................................53 Referncias Bibliogrficas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica2 1.NMEROS E OPERAES Introduo Ahistriadosnmerosacompanhaahistriadacivilizao humana e a crescente necessidade de resolver os problemas de ordem prtica surgidos da vida em comunidade. Nostemposprimitivos,acontagemdeanimais deuorigemaosnmerosnaturais.Como desenvolvimento do comrcio entre os seres humanos, a necessidadedecalcularcrditosedbitos,deuorigem aosnmerosinteiros.Jadivisodeterraspodeter originado os nmeros fracionrios. Comotempo,parafacilitaro estudo,osnmerosforamreunidosem diferentesconjuntos.Vocjviuque,para designar cada um dos conjuntos numricos, usamosumaletramaiscula convencionadacomolinguagemuniversal.Assim, temos: 1.1.Conjunto dos nmeros Naturais So todos os nmeros positivos inclusive o zero. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 1.2.Conjunto dos nmeros Inteiros So todos os nmeros positivos e negativos inclusive o zero. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 1.2.1.Operaes Adio e Subtrao: Sinaisiguais:Somam-seosvaloresabsolutosed-seosinal comum. Sinaisdiferentes:Subtraem-seosvaloresabsolutosed-seo sinal do maior. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica3 Exerccios resolvidos: a) 2 + 4= 6 b) 2 4= 6c) 5 3= + 2 = 2 d) 5 + 3= 2 e) 2 + 3 1 2 = 5 3= 2 f) 1 3 + 2 4 + 21 5 32 = 23 45= 22 Multiplicao e Diviso Sinais iguaisresposta positiva Sinais diferentesresposta negativa Isto : Exerccios resolvidos: a) 12 . 3 = 36e) 4 : 2 = 2 b) (-12) . (-3) = 36f) 20 : ( - 5) = - 4 c) 2 . (-2) = -4 g) 520 =+ 4 = 4 d) (-2) . 3 = -6h) 520 = - 4 Potncias Existe uma forma abreviada de escrever uma multiplicao de fatores iguais. No caso Nessa operao, que denominada potenciao, temos: a potncia, que indica um produto de fatores iguais; a base, ou seja, o fator que se repete; o expoente, que indica quantas vezes a base se repete como fator. Expoente Base 3 fatores iguais a 7 7 . 7 . 7 = 7 3 ) ( ) ( . ) () ( ) ( . ) () ( ) ( . ) () ( ) ( . ) ( = + = ++ = + = + + ) ( ) ( : ) () ( ) ( : ) () ( ) ( : ) () ( ) ( : ) ( = + = ++ = + = + + UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica4 Assim: 2 = 2 . 2 . 2 = 8 2 = 8 (- 1)4 = (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = 1 (- 1)4 = 1 CASOS PARTICULARES: a) A potncia de expoente 1 (1 grau) igual base: a1 = a 21 = 2 b) Toda potncia de base 1 igual a 1: 1 = 1 117 = 1 c) Toda potncia de base 0 igual a 0: 0 = 0 09 = 0 d) Toda potncia de expoente par positiva: (- 2)4 = 16 24 = 16(- 3) = 9 3 = 9 e) Toda potncia de expoente mpar tem o sinal da base: 3 = 27(- 3) = - 27 25 = 32(- 2)5 = - 32 f) Toda potncia de base diferente de zero e expoente zero igual a uma unidade. a0 = 1, com a 0 50 = 1 ( - 72)0 = 1 Realmente:1 a 1 a :a a a :040 4 - 4 4= == =44aa g) Toda potncia de expoente negativo igual ao inverso da base: 221aa =

25151522= = 254957752 2= ||

\|= ||

\| ( ) 49 77122= = ||

\| h)Todapotnciadebase10,escrevemosdireitadaunidade tantos zeros quantas forem s unidades do expoente. 10 = 100 200 = 2 . 100 = 2 . 10 300 000 = 3 . 100000 = 3 . 105 3 . 108 = 300 000 000 107 = 10 000 000 4000 = 4 . 10 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica5 Propriedades da Potenciao: Multiplicao de potncias de mesma base: Mantm-se a base comum e somam-se os expoentes. Realmente:{5 2 3 vezes 5 vezes 2vezes 32 2 2 . 2 . 2 . 2 . 2 2 . 2 = = =+43 42 13 2 1 Diviso de potncias de mesma base: Mantm-se a base comum e diminuem-se os expoentes. Realmente: 2 4 - 6 vezes 6 vezes 4465 55 . 5 . 5 . 55 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 55= = =4 48 4 47 643 42 1 Multiplicao de potncias de mesmo grau: Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum. Realmente:2 . 7 = 2 . 2 . 7 . 7 = (2 . 7) Diviso de potncias de mesmo grau: Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum. Realmente: 22272 72.72 7 . 72 . 2 72||

\|= = = Potenciao de potncia: Eleva-se a base ao produto dos expoentes. Realmente: ( )6 3 3vezes 23 32 2 2 . 2 = = =+3 2 1232 ( )6 2 . 3 32 2 2 = =2

am . an = am + n am : an = am - n (am)n = am . n an . bn = (a.b)n nnnbaba||

\|= UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica6 Radicais Aoelevarumnmeroaoquadradosignificaobterumprodutode dois fatores iguais a esse nmero. Por exemplo: 92 = 9 . 9 = 81 Aoperaoinversadeelevaraoquadradoextrairumaraiz quadrada. Dizemos que 9 uma raiz quadrada de 81 porque 9 . 9 = 81. Representamos a raiz pelo smbolo . Assim: 4 16=porque4 = 16 2 83= porque2 = 8 81 -4 1.2.2. Expresses numricas Pararesolverexpressesnumricasrealizamosprimeiroas operaesdemultiplicaoediviso,naordememqueestas estiveremindicadas,edepoisadiesesubtraes.Em expressesqueaparecemsinaisdereunio:(),parnteses,[], colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operaes eliminando-se, na ordem: parnteses, colchetes e chaves, isto , dos sinais interiores paraosexteriores.Quandofrentedosinaldareunioeliminado estiverosinalnegativo,trocam-setodosossinaisdostermos internos. Exerccios Resolvidos: 4 643= Radicando Raiz cbica ndice a) 2 + [ 2 ( 3 + 2 ) 1 ] = 2 + [ 2 5 1 ] = 2 + [ 2 6 ] = 2 + [ - 4 ] = 2 4 = - 2b) 2 + {3 [ 1 + ( 2 5 + 4 ) ] + 8 } = 2 + {3 [ 1 + ( 6 5 ) ] + 8 } = 2 + {3 [ 1 + ( + 1 ) ] + 8 } = 2 + {3 [ 1 + 1 ] + 8 } = 2 + {3 [ +2 ] + 8 } = 2 + {3 2 + 8 } = 2 + {11 2 } = 2 + 9 = 11 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica7 c) { 2 [ 3 . 4 : 2 2 ( 3 1 ) ] } + 1 = { 2 [ 12 : 2 2 . 2 ] } + 1 = { 2 [ 6 4] } + 1 = { 2 [ +2 ] } + 1 = { 2 2 } + 1 = 0+ 1 1 1.2.2.Valor absoluto ou Mdulo Observearetanumrica,ondeestorepresentadosalguns nmeros inteiros: distnciaentreumnmeroeozeronaretachamamosde mduloouvalorabsolutodonmero.Indicamosomdulodeum nmero pelo smbolo . Porexemplo,adistnciado4ataorigem4unidades,ou seja, o mdulo do 4 4. Exerccios Resolvidos: a)9 9 = b)5 5 = +c)0 0 =d)4 4 = 1.3.Conjunto dos nmeros Racionais So todos os nmeros que podem ser escrito sob a forma de frao ba, comZ b e a e0 b . )` = 0 , , b Z b abaQonde r denominadonumeradorba= maiscomumencontrarmosnmerosracionaisescritosna forma de nmero decimal do que na forma de frao. Observe alguns exemplos: 0- 2- 3 - 4- 1+ 1 + 2+ 3+ 4 4 4 - = UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica8 i. Decimais exatos 1)75 , 010075=(l-se: setenta e cinco centsimos) 2)5 , 429=(l-se: quatro inteiros e cinco dcimos) 3) 125 , 189 = (l-se: um inteiro e cento e vinte e cinco milsimos negativos) ii. Decimais infinitos com dzima peridica 4) __7 , 0 7777 , 097= = K 5) ___25 , 0 2525 , 09925= = K 1.3.2.Operaes com fraes Adio e Subtrao: FRAES COM DENOMINADORES IGUAIS Paraadicionarousubtrairfraescommesmodenominador, devemosadicionarousubtrairosnumeradoreseconservaro denominador. Exerccios Resolvidos 1) 6167 1 5676165 = += + 2)Joaquimgasta 94doseusalriocomaluguele 91com alimentao.a) Que frao do salrio ela gastou no total? b) depois de pagas essas despesas, que frao do salrio sobrou? Resoluo a) Adicionando os gastos, temos: 959194= + b) O salrio de Joaquim corresponde a um inteiro ((

= 199 949599951 = = Portanto, Joaquim gastou 95 do salrio e sobraram 94. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica9 1.3.3.Decomposio de um nmero em fatores primos. A decomposio de um nmero em um produto de fatores primos feita por meio do dispositivo prtico que ser mostrado nos exemplos a seguir. Exerccios resolvidos: 1) 30 = 2 . 3 . 5

2) 45 =32 . 5 OBS: Nmero primo um nmero que possui apenas dois divisores: o prprio nmeroe o nmero 1. Veja os primeiros nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... 1.3.4. Mnimo mltiplo comum (m.m.c.). Omnimomltiplocomumdevriosnmerosomenor nmero divisvel por todos eles. Exerccio resolvido: 1) Calcular o m.m.c. (12, 16, 8) = 48 FRAES COM DENOMINADORES DIFERENTES Exerccios Resolvidos 1) 3166326562765 . 169 . 36529= = + = + = + mmc (2, 6) = 6 2) 41 + 32 + 51 = 6012 40 15 + + = 6067 6 : 26 : 6 : 2 30 15 5 1 2 3 5 2 . 3 . 5 453 153 55 1 32 . 5 12 , 16 , 82 6 8 42 3 4 22 3 2 12 3 1 13 11 148 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica10 3) 65 62 3 62 63 31 21=+= + = + 4) 32 64 64 - 5 3 64-65 63 32-65 21= =+= + = + 5)JoaquimeFrancisco estopintandoummuro.Joaquimjpintou 43 do muro, e Francisco 81. a) Que parte do muro eles j pintaram no total? b) Quanto que Joaquim pintou a mais que Francisco? Resoluo a) 8781 68143=+= + b) 8581 68143== Portanto,elespintaramjuntos 87domuroeJoaquimpintou 85amais que Francisco. Multiplicao: Exerccios Resolvidos 1) 141525.73+ = ||

\| ||

\|2) 3832. 4 = ||

\|3)152 52.31= ||

\| ||

\|4)( )143-72.41. 3 = ||

\| ||

\| Paramultiplicarasfraes,devemosmultiplicar numeradorescomnumeradoresedenominadorescom denominadores. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica11 Diviso: Exerccios Resolvidos 1) 21564529.3592:35= + =||

\| =||

\| 2) 24181.318 :31 = = 3) 34-12.32-2132= ||

\|=||

\| 4) 61 31.21 321= = Paradividirumafraoporoutrafrao,devemosmultiplicara primeira frao pelo inverso da segunda frao. Potenciao: Exerccios Resolvidos 1) 25953.53532= ||

\| ||

\| = ||

\|2) 6427433 = ||

\|3)19170= ||

\| Para calcular a potncia de um nmero fracionrio, eleva-se o numerador e o denominador ao expoente da frao. Radiciao: Exerccios Resolvidos 1) 53259259= =2) 21813=: 3 Inverter a segunda frao UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica12 3) 41 4) 21813 = 1.3.4.Operaes com os nmeros decimais: Adio e Subtrao: Exerccios Resolvidos 1) 4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049 +429 , 13 , 232 , 4 8, 049 2) Calcular o permetro do retngulo abaixo: P = 3,23 + 3,23 + 1,572 + 1,572 = 9,604 cm Multiplicao: Exerccios Resolvidos 1) 7,32 . 12,5 = 91,500 = 91,5 500 500 500 500 , 9173214643660, 12, 7532x 2) Calcular a rea do retngulo abaixo: A = 3,23 . 1,572 = 5,07756 cm25,08 cm2 3,23 cm 1,572 cm 3,23 cm 1,572 cm Observe que as parcelas so dispostas de modo que se tenha vrgula sobre vrgula. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica13 Diviso: Exerccios Resolvidos 1) 56 : 3 18, 6

2) 29 : 0,2=29,0 : 0,2 = 145 1.4.Conjunto dos nmeros Irracionais um nmero que no pode ser escrito sob a formadefrao.Osnmerosirracionaistm infinitosdecimaisno-peridicos.Encontramos essesnmerosnasrazesnoexatas,eno nmero (pi). Por exemplo: 2= 1,414213562 ... = 3,14159265 ... 2 9 00 2 -21 45 0 9 -8 1 0 - 1 0 0 5 63 -31 8 , 6 ... 2 6 -2 4 2 0 - 1 8 2 0 Na diviso de nmeros inteiros comea-se operar normalmente. Quando o resto for diferente de zero, (como no exemplo ao lado), acrescenta-se zero ao resto e uma vrgula no quociente e comea a diviso novamente.Na diviso de nmeros decimais, antes de operar devemos igualar as casas decimais, completando com zero, como no exemplo ao lado. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica14 1.5.Conjunto dos nmeros Reais Auniodosconjuntosdosnmerosracionaiscomoconjunto dosnmerosirracionaisconstituioconjuntodosnmerosreais, representado pela letra.Assim,todonmeronaturalreal,domesmomodoquetodo nmerointeiroouracionalouirracionaltambmsonmerosreais, como mostra o diagrama.

Exerccios 1) Simplifique as expresses numricas: a) 9 + 3 . 2 = b) 8 . 7 18 = c) 6 . 12 + 6 . 8 = d) 9 . 15 6 .15 = e) 8 . 3 20 + 4 . 2 = f) 100 3 . 24 = g) 256 2 . 72 2 . 36 = h) 9 . 7 7 . 9 + 1 = i) 40 . 8 : 2 = j) 28 : 4 . 7 = l) 45 : 5 45 : 9 = m) 48 : 16 + 3 . 2 = n) 98 : 7 6 : 3 = o) 42 : 6 5 = p) 27 : 3 : 3 : 3 . 10 = q) 45 15 : 5 . 3 = r) 100 0 : 4 . 10 = s) 0 : 12 + 3 . 9 = UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica15 2) Calcule: a) 9(10 + 2 ) = b) 9(2 + 5) 10(6 2) = c) 54 : (9 . 3 3 . 3) + 3 . 1 = d) 6(42 : 7 4) 0 : 3 = e) (4 . 8 : 2) : 8 + 2 . 5 = f) 256 : (32 : 2 : 2 : 2) : 4 = g) [15 + 2(3 + 4)] = h) [45 (3 . 5 2)] : 8 =i) 6[(36 : 9 3) . (8 : 2)] : 3 = j) 6 . 8 + [48 : 12 48 : (4 + 12)] = l) 48 2[125 : 5 (8 36 : 6)] : 2 = m) 100 {2[25 (27 : 9 + 24 7)]} : 2 = n) 6{48 : [6 . 6 (16 : 4 + 8)]5} = o) 200 : {3[3 . 10 : 30] + (2 . 1)} = p) {54 + [72 : 2 + (7 . 9 6 : 2)] + 3} : 9 = 3) Simplifique as expresses numricas: a) 302 : [23 . 22 (92 : 32) + 2 .16- 1] = b) 44 [96 : (22 .9 ) + 82 :64 ]24 = c)16. 33 [112 ( 9.49 )1100 ] + 23 = d) 122 122 : [(92 - 31 ) :100 ]7 = e) 63 :81 : 22 - 38= f) 416 [103 : 52 (72 32) :100 ] : 9 = 4) Calcule o valor de cada expresso numrica: a)= + 81 4b)= 72 81c)= 64 100d)= 64 100e)= 2 212 13f)= 2 24 5g)= +2 212 5h)( ) =2100i)= 4 81 3j)= + 64 2 3 52l)= + + +1 2 3 23 3 2 4 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica16 m)= 1 10 : 100n) ( ) =281o)( ) = 249p)= 2 23 5q)= + 2 2) 3 ( ) 4 (r)= 2 2) 8 ( ) 10 (s)= 2 2) 4 ( 5t)= + ) 4 )( 7 ( 4 ) 3 (2 5) Simplifique as expresses numricas: a) 2 + 3 1 = b) 2 5 + 8 =c) 1 3 8 + 2 5 =d) 15 + ( - 25) ( - 81) = e) 18 + ( - 29) (+ 45) =f) 104 45 28 = g) ( - 73) + ( - 98) = h) + ( + 9 5 + 1) ( - 4 3 + 2) = i) ( + 10 20) + ( - 40 + 50 60) = 6) Calcule: a) 8 ( 2 + 3) = b) 20 ( 5 1 ) = c) 16 9 ( 4 + 3) ( -12 + 7) = d) ( - 3 + 6 11) ( - 1 2 15 + 16) + ( 17 20 + 3) = e) (- 8 + 1) ( - 9 3) = f) ( -1 2 3) ( +7 -6 +8) = g) (-5 + 3 10) ( -16 + 8 - 9) = 7) Calcule: a) o triplo de 2: b) o qudruplo de -1: c) o dobro de 4 adicionado a 5: d) o triplo de + 2 adicionado a 10: e) o dobro de 2 adicionado ao triplo de 1: f) o qudruplo de -3 adicionado ao dobro de 12: 8) Efetue as multiplicaes: a) 2 . 8 = b) (+ 5) . (- 3) = UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica17 c) 6 . (+ 1,75) = d) (+ 5) . (- 4) = e) 10 . (- 9) = f) (- 1,2) . (-1,5) = g) 4 . (- 15) = h) -10 . (+ 10) = i) (- 0,7) . (+ 0,8) = j) 100 . 10 = l) (- 15) . ( + 16) = m) (- 0,5) . (- 0,5) = n) 2 . (- 2) . (- 2) = o) (- 3) . (- 4 ) . (- 1) = p) 1. ( + 5) . (- 10) = q) (+ 6) . (- 6) . (+ 2) . (- 2) = r) (- 10) . (- 1) .(+ 4) . (+ 17) . 0 = 9) Calcule os quocientes: a) 30 : (- 6) = b) 50 : (+ 2) = c) 30 : (+ 5) = d) 121 : (- 11) = e) 20 : (- 20) = f) 20 : (- 1) = g) [(- 16) : (- 2)] : (- 2) = h) [(- 4) : (- 1)] . [(- 20) : (- 4)] = i) [(+ 8) : (- 4)] : [(- 20) : (- 10)] = j) [(+ 7) . (- 3)] : [(- 4) : (+ 4)] = l)= 1 . 2) 5 ( : ) 5 ( : 100 m)= + + 2 23 3) 5 ( ) 5 )( 2 ( ) 2 () 5 ( ) 2 ( n) 24 =o) 28 =p) 520 = q) 2) 1 ).( 4 ( =r) 17) - (2 . 5) - 3 1 (+ =s) 1(+ 3) - 5 . 2 - 4 . 3 2 = UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica18 10) Calcule: a) a metade de 80: b) a tera parte de 60: c) a quarta parte de 20: d) a quinta parte de 100: e) a metade de -10 multiplicado por 4: f) o dobro de - 8 dividido por - 4: g) a tera parte de + 60 dividida por -10: h) a quarta parte de 100 adicionada metade de 18: 11) Calcule as potncias: a) 1 =b) 04 =c) (- 2) = d) (- 4) = e) (- 2)4 = f) (- 4)4 = g) 2 . 25 = h) 2 . 3-1 = i) 35 : 34 = j) 34 : 3 . 35 = l) 24 . 54 = m) (2 . 3)0 = n) 153 : 33 = o) (- 4)6 : 26 = p) (3)2 = q) (-22)5 = r) (- 3)2 = s) 432 = t) (2 . 3) = u) (3 . 5 . 2)-1 = v) 535||

\| = x) 2432||

\| = z) 4-2 = 12) Calcule: a) o quadrado de 9: b) o cubo de 1: c) a quarta potncia de 2: d) a quinta potncia de zero: UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica19 e) o quadrado de 5 adicionado ao cubo de -1: f) a tera parte do cubo de 3: g) o cubo de 1 multiplicado pelo quadrado de 6: h) a quarta parte do quadrado de 6: 13) Use os smbolos de > (maior), < (menor) ou = (igual) e compare as potncias: a) 53 ___ (- 5)3 b) (- 2)2 ___ - 22 c) 43 ___ (- 4)3 d) 14 ___ ( - 1)4 e) (- 3)2 ___ (- 3)3 f) ( - 4)1 ___ (- 4)0 g) 42 ___ (- 2)3 h) 52 ___ - 5- 2 i) 331 ___ 3- 3 14) O produto dos resultados das trs expresses representa o nmero de anos que durou a construo de um castelo. Se ele comeou a ser construdo no ano 250 a.C., em que ano terminou a construo? {(- 2) + (- 3)( - 9) + 4(- 5) [- 5. (- 1)]}(- 2) - 5 [6(-6 )(- 3) + 100(- 1)](- 3) + 19 {- 100 + (- 64)(- 2) (- 2)(- 2)(- 2)(- 2) 1. 17}(- 1) 15) Escreva como uma nica potncia de base 3. Depois, efetue a potenciao. a) [(- 3)5]2 : (- 3)8 = b) [(- 3)1]2(-3)3 : (- 3)4 = c) (- 3)10(- 3)6 : [(- 3)2]8 = d) (- 3)6 : (- 3)2 : [(- 3)1]0 = e) = 3 03 6 3 8) 3 ( ) 3 (] ) 3 [( : )] 3 [( f) = 5 25 10] ) 3 [() 3 ( ) 3 ( 16) Determine o mnimo mltiplo comum de 8 e 12. 17) Qual o mmc do 10 e 18? 1 2 3 Fique atento aos sinais e parntese. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica20 18) Calcule as operaes com as fraes: = = = = = += += += +751413h)15743g)5265f)9221e)151032d)9665c)12491b)6123a) i)2 -34 43-121= +j) 4 -45 37= + 19) Determine cada produto e escreva na forma mais simples: =((

||

\|+ ||

\|= ||

\| ||

\|= ||

\| ||

\|+= ||

\|+ ||

\| = ||

\| ||

\|= ||

\|+ ||

\|23.34. 4 )107.52)68.43)25.32. 6 )710.25)43.68)fedcba g) 53- .21= ||

\| h) 21. = ||

\|41 i) 516.411= ||

\|+ j)= 52.31 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica21 l)= ||

\|||

\|+ ||

\|52- .31.37 m)= ||

\|||

\| 52- .61- 20) Efetue e simplifique se possvel: = == ||

\|+ = ||

\|+ +51: 4 d)31: 0,5 c)81:21b)29:43a)

= ||

\|=2) ( :21f)2 :67e) 21) Calcule: a)=41.32:21 b)= ||

\| 51:52- . 2c)= ||

\|+21:42 31 d)=+ 3311 e)=++ 2122111 f)=+++++ 1 111111 111 g)= ||

\|+++ +1179:43 3241 31 21 g) 21=31 h) 325= i) 49313= UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica22 22) efetue as operaes: a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =b) 4,03 + 200 + 51,2 =c) 32,4 21,3 =d) 48 33,45 =e) 2,1 . 3,2 =f) 48,2 . 0,031 =g) 3,21 . 2,003 =h) 8,4708 : 3,62 =i) 682,29 : 0,513 =j) 2803,5 : 4450 =l) (FUVEST) 0 , 2 2 , 33 , 0 . 2 , 0 =m) 0,041 . 21,32 . 401,05 n) 0,0281 : 0,432 o) 1 , 54,82 . 31 , 2 p) 285 , 04,32 . 021 , 0 23) Qual a soma do dobro de 4,75 e o triplo de -1,2? 24) Calcule: a) o qudruplo de 1,3: b) o dobro de -5,2: 25) Rafaela apostou que 1,6 . (- 0,25) 104 . Ele ganhou a aposta? 26) Calcule o mdulo do resultado de231. 2 ||

\| . UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica23 Respostas: 1) a.15b.38c.120d.45e.12f.28g.40h.1i.160j.49l.4m.9n.12o.2p.10q.36r.100s.27 2) a.108b.23c.6d.12e.12f.16g.29h.4i.8j.49l.25m. 95n. 60o.40p. 17 3) a.30b.0c.16d.18 e.4f. 8 4) a.11b.3c.2d.6e.5f.3g.13h.100i.25j.23l.6m.3 n.81o.-49p.4 q.-5r.6s.-3 t.11 5) a.4 b.1c.-15d.41 e.-56 f.31 g.-171 h.-4i.-40 6) a.- 13b.- 24c.- 27 d.3e.19 f.- 15g.5 7) a.- 6b.- 4c.- 13d.- 4e.- 7f.12 8) a.-16b.-15c.-10,5 d.-20e.-90f.1,8g.-60 h.-100i.-0,56j.1000 l.-240 m.0,25n. 8o. -12p. 50q.144 r.0 9) a.-5b.-25c.6d.11e.-1f.20g.-4h.20i.-1j.21l.2m.3n.-2 o.-4 p.4 q.-2 r.-12s.-1 10) a.-40b.20c.-5d.20e.-20f.4g.-2h.-34 11) a.1b.0 c.-8 d.-64 e.+16 f.256 g.256 h.32 i.3 j.2187 l.10000 m.1 n.125 o.64 p.729 q.-1024r.729 s.162 t.216 u.901 v.2433125 x.65614 z.161 12) a.81 b.-1c.16d.0e.24f.-9g.-36h.9 13) a.=b.> c.= d.< e.> f.< g.< h.< i.> 14) 1.-52.-53.5 R.125a.C. 15) a.(-3)2 = 9b.(-3)1 = 3c.(-3)0 = 1 d.(-3)4 = 81 e.(-3)3 = -27f.(-3)5 = -243 16) mmc(8, 12) = 2417) mmc(10, 18) = 90 18) a.35b.94 c.23d.34 e.185 f.3013 g.6017 h.143i.43 j. 125-19) a.-1 b.725 c.10 d.-1 e.257 f.-8 g.103-h.81- i. 544 j.152l.352 m.151 20) a.61 b.-4 c.23 d.-20 e.127 f.41g.23 h.215i.2752-21) a.163 b.-4c.35 d.94 e.27 f.109 g.21 22) a.9,59 b.255,23 c.11,1 d.14,55 e.6,72 f.1,4942 g.6,43 h.2,34 i.1,33 j.0,63 l.0,05 m.350,57 n.0,065 o.2,18 p.0,32 23) -13,124) a.5,2 b.-10,4 25) Sim26)38 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica24 2. lgebra Introduo Algebraconsideradaaaritmticasimblicaporqueemprega letras para representar nmeros. Observe o retngulo: AreadesseretnguloA=3.2=6cm2.Agora,como representaramos, algebricamente, a rea do retngulo? De modo geral, representamos por b a base do retngulo qualquer e por h a sua altura, escrevemos por meio de uma frmula o clculo de rea: A = b . hou A = bh onde as letras b e h so chamadas de variveis. Observe o exemplo: Qual o nmero cujo dobro adicionado a 5 d como resultado 25? Soluo Representamos o nmero desconhecido por x, ento: 2 . x + 5 = 25 2x = 25 5 2x = 20 x = 220 x = 10 Portanto o nmero desconhecido o nmero 10. Expresses algbricas Expressesmatemticasformadasporletrasounmeroe letras so chamadas de expresses algbricas.Por exemplo: 7a2b 3 cm 2 cm - 7 a2 b Coeficiente numrico: - 7 Varivel ou parte literal: a2 b A expresso algbrica 7a2b formada por um termo, ou seja, um monmio. O valor desconhecido representado pela letra x chamado de incgnita da equao. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica25 Doisoumaismonmiosquepossuemamesmaparteliteralso chamados monmios ou termos semelhantes. Por exemplo: a. 8ae 12a b.3xy2 e 275xyc. a2b3, 9a2b3 e 11 a2b3 Uma expresso algbrica formada por um monmio ou uma soma de monmios chama-se polinmio. Valor Numrico Valornumricodeumaexpressoonmeroobtidoquandose substituemasvariveispornmeroseseefetuamasoperaes indicadas. Exerccio resolvido: 1. Qual o valor numrico da expresso x2 5x + 6 para x = -3? (-3)2 5.(-3) + 6 9 + 15 + 6 30 2.1. Operaes com os polinmios. 2.1.1. Adio e Subtrao de polinmios. Somentepossvelsomarousubtrairtermossemelhantes. Quandoestamosadicionandoousubtraindoostermos semelhantesdeumaexpresso,dissemosqueestamos simplificandooureduzindoostermossemelhantes.Paraisso, repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. Exerccio resolvido: a. 3xy 4xy + 7xy + 5xy = 8xy + 3xy b. 3x + 7x x 10x = - x c. (x2 5x + 6) (3x2 + x 1) = x2 5x + 6 - 3x2 - x + 1= - 2x2 6x + 7 2.1.2. Multiplicao de polinmios. Multiplicam-seoscoeficientese,aseguir,multiplicam-seas partesliterais.Paraamultiplicaodaspartesliterais,usamosa propriedade da potncia: an . am = an + m UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica26 Exerccios resolvidos: a. ( - 3ay) . ( + 2ay) = - 6ay b. 2x . ( 5x + 4) = 10x2 + 8x c. (2x + 1).(4x- 3) = 8x2 - 6x + 4x 3 = 8x2 2x - 3 2.1.3. Diviso de polinmios. 1Caso:Divisodemonmios.Divide-seocoeficiente numrico e a parte literal correspondentes. Para dividir as partes literais, usamos a propriedade da potncia: an : am = an - m

Exerccios resolvidos: a. (+6x3 ) : (- 2x) = - 3x2 b. ( - 8 a4b3c) : ( - 12 a2b2 c) = 128 a2b = 32 a2b c. (+ 42abx4) : (+ 7ax) = 6abx Ao dividirmos um monmio por outro, o quociente obtido nem sempre um novo monmio. Veja: (- 6x) : 2x2 = x32x6x2 = 2a7yy 4a14ay22=3452 5pm3mpp 3m= Esses resultados so expresses fracionrias chamadas de fraes algbricas. 2 Caso: Diviso de polinmio por monmio: Divide-se cada termo do polinmio pelo monmio. Exerccios resolvidos: a. (6x2 + 8x) : (- 2x) = - 3x 4 b. (9a2b2 ab3 + 6a3b5) : 3ab2 = 3a - 31b + 2a2b3 3 Caso: Diviso de polinmio por polinmio: Usamos aqui a propriedade distributiva : 4 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica27 Exerccios resolvidos: a. (2x2 5x + 8) : (x 1) = 2x 3 e resto: 5 b. (9x2 36) : (3x +6) =3x 6 a)b) 2.2. Produtos notveis Existemprodutosde polinmiomuitoimportantesno clculoalgbrico,queso conhecidoscomoprodutos notveis.Veleapena reconhec-loseresolve-losde forma imediata. 2.2.1. Quadrado da soma de dois termos: Podemos dizer que: O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Exerccios resolvidos: a. (2 + x) = 2 + 2 . 2.x + x = 4 + 4x + x b. (7x + 2y)2 = 49x2 + 28xy + 4y2 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 1 Termo 2 Termo Quadrado do primeiro termo. + o dobro do produto do 1 pelo 2 termo. + quadrado do segundo termo - 2x2 + 2x 0 - 3x + 8 + 3x 3 0 + 5 2x2 5x + 8x 1 2x - 3 9x2 + 0x - 363x +6 3x - 6 - 9x2 - 18x 0 - 18x - 36 + 18x + 36 0 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica28 2.2.2. Quadrado da diferena de dois termos: Podemos dizer que: O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Exerccios resolvidos:

a. (x 3) = x + 2 . x . (- 3) + (- 3) = x - 6x + 9 b. (7x - 2y)2 = 49x2 - 28xy + 4y2 2.2.3.Produto da soma pela diferena de dois termos: Podemos dizer que: O produto da soma de dois termos por sua diferena igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. Exerccios resolvidos: a. (1 -3 ) . (1 +3 ) = 1 - ( 3 ) = 1 3 = - 2 b. (7x + 2y) . (7x - 2y) = 49x2 - 4y2 2.3. Fatorao Fatorar um polinmio escrev-lo sob a forma de um produto. Fator comum. 1.ax + bx =||

\|+xbxxaxx.= x(a + b) Naexpressofatorada,xofatorcomumcolocadoem evidncia. 2.4c 18 =||

\|21824. 2c = 2(2c 9) Naexpressofatorada,2omximodivisorcomumdos coeficientesnumricos4e18,logoofatorcomumcolocadoem evidncia. (a - b) = a - 2ab + b (a + b) . (a b) = a - b UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica29 3.7ax3 + x2 ==|||

\|+222327.xxxaxx x2(7ax + 1) Naexpresso fatorada, x2aparteliteralde menorgrau,logoo fator comum colocado em evidncia. Podemos ter as trs situaes em uma nica expresso. Veja: 4.8a5b + 12a3 = 4a3(2a2b + 3) 5.( ) a 4ax 2x2ax2ax 8ax 4ax + + = + + Fatorao por agrupamento. 1. ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) 2. 2mx 5ny 2nx + 5my = -n(5y + 2x) + m(2x + 5y) = (5y + 2x)(m n) Naexpressofatorada,osquatrotermosnoapresentamum fatorcomum.Logoagrupamosostermosdedoisemdois,ondeao fatorcomumdoprimeirogrupoebofatorcomumdosegundo grupo. E fatoramos novamente. Diferena entre dois quadrados. 2. 16m2 25n4 = (4m 5n2)(4m + 5n2) Trinmio Quadrado Perfeito. 2.9x2 48xy + 64y2 = (3x 8y)2 1.a2 9= (a 3)(a + 3) 2a91.x2 + 20 x + 100= (x + 10)2 x x =2 1002.x.10 = 20x perfeito Sinal do perfeito UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica30 2.4. Fraes Algbricas Umafraoalgbricacorrespondeaoquocientededuas expresses algbricas. Observe: yx 41 2+yx

17 92+aa Oconjuntodosnmerosreaisparaosquaisodenominadorde umafraoalgbricadiferentedezerodenominadodomnioou campo de existncia da frao. Assim, para a frao 32 2+xy x, o campo de existncia qualquer nmero real diferente de 3, j que a frao no tem nenhum significado quando x = 3, pois anula o seu denominador. Dada uma frao algbrica, vamos considerar que sempre esto excludos os nmeros reais que, colocados no lugar das letras, anulam o seu denominador. Logo: A frao x7, devemos ter x 0. A frao 9423+xx, devemos ter x 3 e x - 3. 2.4.1. Simplificao de fraes Algbricas. Exerccios resolvidos: 1. 3yz 4xy 18xz y 24x24 23 4=2. 2x1) 2(x1) x(x2 2xx x2=++=++ 3. b ab ab) (ab) b)(a (ab 2ab ab a2 2 22 2+= +=+ UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica31 Exerccios 1) Ache o valor numrico da expresso 4x + 2y 3 para x = 5 e y = -2. 2) A rea do trapzio da figura dada pela frmula 2). (2 1h b bA+=, em que b1 e b2 representam suas bases e h sua altura. Determine a rea do trapzio, sendo b1 = 12 cm, b2 = 8 cm e h = 3,5 cm. 3) Escreva a expresso algbrica que representa a rea da figura. 4) Calcule o valor numrico de 9x3 x2 + 31 para x = 31 . 5)Seaexpressoalgbricaa3representaovolumedeumcubode aresta a = 8 cm, qual o volume desse cubo? 6) Encontre o valor numrico da expresso( ) c b a + + 243 para a = 9, b = 12 e c = - 12. 7) Ache a expresso algbrica que representa a rea do retngulo. 8) Que polinmio representa o volume do paraleleppedo? 9) calcule o valor numrico para x4 8x3 + x2 x, para: a) x = 3 b) x = -2 10) Reduza os termos semelhantes: a) (4a 7) + (-2a + 9) = b) (13x 1) + (2x 1) = 5x + 4 3x - 1 a + b a x + 3 x + 2 x + 1 b2 b1 h UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica32 c) (2x2 3x 2) + (2x2 5x + 2) =d) (-4y2 + 5y 3) + (4y2 + 3) = e) (8y3 6y2 + 16y 1) + ( - 8y3 6y2 + 16y 1) = f) (4y 2) (2y + 3) + ( - 2y + 4) = g) (b2 3b + 2) (- b2 + 3b 2) (2b2 4b + 1) = h) (4x 2) (3x2 + 7x 2) + ( - x2 + 1) = i) (x3 y3) + (2x3 4x2y + xy2) (x3 8) = 11) Efetue as multiplicaes: a) 3x2 . 4x3 = b) -2a4 . 5a =c) 6pq2 . ( - 2p3p2) = d) ab . ( - a2b3) = e) 3(2x2 5x + 1) = f) -4(a3 a2 + 2a 3) = g) 2x2(3x2 4x + 5) = h) a(a3 a2 2) = i)y x221 (2x3 xy + 4y2) =j) (x2 5x + 6)(x + 3) = l) (2x + 3)(x 2)(4x 1) = m) (2x + 1)(4x + 3) =n) (2y 6)(3y + 5) =12) Calcule as divises: a) x7 : x2 =e)=62bb b) y4 : y2 =f)=710 3105xyy x c) 4n4 : ( - n) =g)=4 43 4279p np n d) - a6 : (- a10 )=h)=3 55 384a bb a 13) Efetue as divises: a) (16x3 4x2 + 8x) : ( - 4x) =b) (m4 2m3 + m2) : ( - m) =c) (am a2m + a3m) : (+ am) =d) (6a4b2 9a3b + ab) : ab =e) (20a3 15a2 + 30a) : 5a =f) (7m8 14m6 + 28m5) : 7m4 = 14) Simplifique 22 32) 6 )( 8 2 (xx x x +. 15) Efetue [(y2 2y + 4)(y + 2) + (y2 + 2y + 4)(y 2)] : y2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica33 16) Calcule: a) (x2 7x + 10) : (x 2) = b) (2y2 3y 2) : (y 2) = c) (2n2 5n + 7) : (n 3) = d) (10a2 3a 7) : (a 1) = e) (x2 81) : (x + 9) = f) (81 18y + y2) : (- y + 9) = g) (k3 3k2 + 3k 2) : (k 1) = h) (8b3 + 12b2 + 6b + 1) : (2b + 1) = 17) Determine 4 48 12 622 3+ + x xx x x. 18) Efetue: a) (x + y)2 = b) (a + 3)2 = c) (5x + 2)2 = d) (-3 + 4x)2 = e) (2x + y)2 =f) (5a + 2b)2 = g) (3a + 4b)2 = RESPOSTAS: 1) 132) 35 cm23) a(a + b)4) 91 5)512 cm3 6) 97) 15x2 + 7x 48) x3 + 6x2 + 11x + 69) a.-129b. 86 10) a. 2a + 2 b. 15x 2c. 4x2 8xd. 5ye. -12y2 + 32y 2 f. -1 g. -2b + 3 h. -4x2 3x + 1i. 2x3 4x2y + xy2 y3 + 8 11) a. 12x5 b. -10a5c. 12p4q4 d. a3b4e. 6x2 15x +3f.-4a3 + 4a2 - 8a + 12 g. 6x4 8x3 + 10x2h. a4 + a3 + 2a i. 3 2 2 3 5221y x y x y x + j. x3 2x2 9x + 18l. 8x3 6x2 23x + 6 m. 8x2 + 10x + 3n. 6y2 8y 30 12) a. x5 b. y2 c. - 4n3 d. 41ae. 521b f. 213 2y xg. p 31h. 21 13) a. - 4x2 + x 2 b. -m3 + 2m2 m c. 1 am + a2m d. 6a3b 9a2 + 1e. 4a2 3a + 6 f. m4 2m2 + 4m 14) x2 2x 24 15) 2y 16) a. x 5 b. 2y + 1 c. 2n + 1, resto: 10d. 10a + 7 e. x 9 f. y + 9 g. k2 2k + 1, resto: -1 h. 4b2 + 4b + 1 17) x - 2 18) a. x2 + 2xy + y2 b. a2 + 6a + 9c. 25x2 + 20x + 4 d. 9 24x + 16x2 e. 4x2 + 4xy + y2 f. 25a2 + 20ab + 4b2 g. 9a2 + 24ab + 16b2 h. x2 10x + 25 h) (x - 5)2 = i) (2a - 7)2 = j) (6x 2y)2 = l) (11x - y)2 = m) (a - 3)2 = UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica34 3. Radicais Introduo De modo geral podemos escrever: onde Propriedades dos radicais a an n=4 4 643 3 3= = 43 = 64 n n nb a b a . . =5 . 5 52 2x x x = =

nnnbaba=2 83243243333= = =525454= =

p np m n ma a::=4 3 2 : 8 2 : 6 8 6x x x = = n mn ma a.=2 2 64 2 8 646 6 6 3 3= = = =24 3 43 3 = nmn ma a =10 10 102 121= =4 4 64 8 83 3 3 3 232= = = =3 9 9 9215 , 0= = =ndice radicando raiz b an= . 2* = = n e N n a b b an n Multiplicam-seos ndiceseconserva-se o radicando. Expoente fracionrio: Umapotnciacomexpoente fracionriopodeserconvertida numaraiz,cujoradicando abase, ondiceodenominadordo expoente,sendoonumeradoro expoente do radicando. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica35 ( )n p mpn ma a.=( ) 7 7 722= =( )4343 27 34 3= =( ) ( )5 2 4 2 53 . 2 3 . 2 3 . = =52222 Simplificao de radicais Simplificarumradicalsignificaobterumaexpressomais simplesequivalenteaoradicaldado.Paraissoutilizamosas propriedades j citadas. Observe: Exerccios resolvidos: a) 5) (x 5) (x2+ + = + + = + ) 5 ( ) 5 .( ) 5 (3x x xb) 5x 6x 5x 3.x.x. 2 5.x . 3 . 22 2 2 2= = = x x x . . 1802 5 c)9 3 . 34 4 4 8= = =2 43 3 Reciprocamente,paraintroduzirumfatornoradical, multiplica-se o expoente do fator pelo ndice do radical. Observe: 1. 3 32 . 3 2 =332.( )522 2 2180 5 . . 6 5 . 6 x x x x x = = 3.1. Operaes com os radicais. 3.1.1. Adio e subtrao de radicais semelhantes Radicaisdemesmondiceemesmoradicandoso semelhantes.Naadioesubtraoderadicaissemelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. Observe: 3x 2x x . x . 3 . 2 .x .3.x 2 x 122 2 1 2 2 3= = =Fatoramos: 12 = 22.3 Aplicamos o produto de potncias de mesma base para extrair fatores do radicando. x x x x x 5 5 5 ) 1 7 11 ( 5 5 7 5 11 = + = + Coeficientes Potenciao de radicais: Eleva-seoradicando potncia indicada e conserva-se o ndice. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica36 Exerccios resolvidos: a)2 2 - 2 10 - 2 8 2 10 - 2 5 2 3 = = +b) 3 3 3 3 3 3 32 3 2 3 2 6 - 9 2 - 2 5 - 2 6 2 = = + 3.1.2. Multiplicao e diviso de radicais de mesmo ndice Multiplicam-seoudividem-seosradicandoseoscoeficientesentre si e d-se ao produto ou quociente o ndice comum. Observe: Exerccios resolvidos: a)6 3 . 2 3 . = = 2b) 23-2621- = =.2 86 4 c) 4 4 4 430 . ) 2 (-a. . 5 3a . )36 3 . 2 ( a a = d)444215 215 23 .= =44 45 3.2. Racionalizao de denominadores Afrao 35temnoseudenominadorumnmero irracional.Aracionalizaodedenominadoresconsistena obteno de uma frao com denominador racional, equivalente. A essatransformao,damosonomederacionalizaode denominadores. Pararacionalizarodenominadordeumafraodevemos multiplicar os termos dessa frao por uma expresso com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova frao equivalente com denominador sem radical. 1Caso:Odenominadorumradicaldendice2.Nestecaso,o fatorracionalizanteoprprioradicaldodenominador. Observe: Fator racionalizante 55 255 55.51= = =51 3 3 2 3 3 2 320 . 2 . ) 4 . 2 ( . 5 x y x y x y x = UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica37 Exerccios resolvidos: a) 36 33.32= = =9632 b) 63 3 . 23 9 23 33.3 27 - 7 7 73 27 === = c) 1512 3012 2 6 . 512 2 36 512 2 6 .6 . 2 2= = = = =6 5 6 52 2 2 Caso: O denominador uma soma ou diferena de dois termos em queumdeles,ouambos,soradicais.Nestecaso,ofator racionalizanteseraexpressoconjugadadodenominador, onde a expresso conjugada de a + b a b. Observe: Naracionalizaoaparecernodenominadorumproduto notvel do tipo (a + b)(a b) = a - b. Por exemplo: 1. (5 + 3x)(5 3x) = 5 - (3x) = 25 9x2 2.( )( ) ( ) ( ) 3 2 5 2 5 2 5 2 52 2= = = + Exerccio resolvido: a) ( )( )( ) ( )( ) 3 - 2 53 - 2 5 3 -3 - 2 5. 3 -3 - 2 . 5 3 - 23 - 2.3 25 3= = = =+=+ 1 422522 ( ) ( )3 55512 22 - 5 2 -2 - 5 2 -2 - 5 2 - 52 - 5.2 51 2= = =+=+ O fator racionalizante a expresso conjugada do denominador. 2 5 +2 5 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica38 Exerccios 1) Decomponha o radicando em fatores primos e simplifique os radicais: a)=864b)= 288c)=340d)= 320 5e)=xyy x4 616 f)=3 7 3 4c b a g)=3 4 69 b ah)=343 4162xb a 2) Calcule: a)= + 5 10 5 2 - 5 b)= + 8 - 2 3 32c)= +3 3 3d)= + 3 3 35 5 8 5 12e)= + 72 3 75 12 2 32f)= + a a a a 128 32 2 2 5 8 3 3) Efetue: a)= 6 . 3b)( ) ( )= 4 - . 2 -3 3 c)=2844 d)= 525342.yxyx e)=3 7 5 3 2 2 35 . 2 . 6 b a b a abf)= + ) 1 5 )( 1 5 (g)( )( ) = + 8 7 8 7 h)( )( ) = + 5 3 2 5 3 2i)( ) = 263 j)( ) = 3 . 223 2 l)= 33 3 m)= 23 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica39 n)=+242xx o)=xyy x6482 4) Dar a resposta sob forma de radical, das expresses seguintes: a) 432=b) 212 =c) 21212|||

\| =d)( )612 3 .= e)=325 5) Racionalizar o denominador das fraes seguintes: a) 71 =b) 73 =c) 2 23 =d) 2 - 52 =e) 11 - 45 =f)=+1 26 g)= 2 3 39 6)Encontreovalonumricodaexpresso2x24x,parax= 1 2 4 + . 7) Calcule o valor da expresso 434y , para y = 16. 8) Calcule o valor da expresso 4110a , para a = 625. 9)Umencanadorquercolocarumcano condutordegualigandoospontosAeC do terreno quadrangular indicado na figura. Sabendoqueareadoterrenode484 m2,quantosreaisoencanadorgastarna compra do cano, se o metro custa R$ 5,00. A B C D UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica40 10) Quanto mede a diagonal do quadrado de lado5 cm? (Sugesto: Use o teorema de Pitgoras) 11) Qual a altura de um tringulo eqiltero de lado igual a3 cm? (Sugesto: Use o teorema de Pitgoras) 12) Qual a distncia entre os pontos A(1, 3) e B(9, 9)? 13)Ocuboumprismaemquetodasasfacessoquadradas. Determine a medida da diagonal do cubo da figura. Respostas: 1) a.4 32b. 2 12 c. 35 2 d.5 40 e.xy y x24 f. 3 2ac abcg. 3 29b b a h. 32xaxab 2) a.5 9 b.2 5 c.3 4 d. 35 19 e.3 9 2 22 f.a 23) a.2 3 b. 2c.2 d. 52yxe. 3 2 3 260 b a b a f. 4g. -1h. 6 i. 4j. 312 3l. 93m. 62 n.2 x o. 8 x4) a. 4 32 b. 21c. 42 d. 66e. 3251 5) a. 77 b. 77 3c. 46d.) 2 5 .( 2 + e. 7) 11 4 ( 5 +f.) 1 2 ( 6 g. 7) 2 3 3 ( 9 +6) 62 7) 328) 29) R$ 155,1010) d =10 cm 11) h = 23cm12) d = 10 unid.13) d = cm 3 10 19 3 9 0 x A B y 10 m 10 m 10 m d UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica41 4.Equaes Introduo Um breve relato sobre a histria das Equaes. As equaes foram introduzidas pelo conselheiro do rei da Frana, HenriqueIV,ofrancsFranoisVite,nascidoem1540.Atravsda matemticaVitedecifravacdigossecretosqueeramensagens escritascomasubstituiodeletraspornumerais.DestaformaVite teve uma idia simples mas genial: fez o contrrio, ou seja, usou letras para representar os nmeros nas equaes.OsinaldeigualdadefoiintroduzidoporRobertRecorde (matemticoingls)queescreveuemumdeseuslivrosqueparaele no existiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas. Um outro matemtico ingls, Thomas Harriot, gostou da idia de seu colega ecomeouadesenharduasretaspararepresentarqueduas quantidades so iguais. Observe: Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a us-lo nas equaes de Vite. Atosurgimentodestesistemadenotaoasequaes eramexpressasempalavraseeramresolvidascommuita dificuldade.AnotaodeVitesignificouopassomaisdecisivoe fundamentalparaconstruodoverdadeiroidiomadalgebra:as equaes.Porisso,FraoisViteconhecidocomooPaida lgebra. Podemosdizerqueequaoumaigualdadeentreduas expresses algbricas. Observe: Ostermoslocalizadosesquerdadosinaldeigualdade formam o 1 membro da equao, e os localizados direita formam o 2 membro. Observe: 400 cm4 m 2x 1 = x + 3 Equao Polinomial do 1 Grau na incgnita x. 4a3 a2 + 3a 2 = 0 Equao Polinomial do 2 Grau na incgnita y. 2y2 5y = 0 Equao Polinomial do 3 Grau na incgnita a. Incgnita:Quantidadedesconhecidadeumaequaoou deumproblema;aquiloquedesconhecidoeseprocura saber; enigma; mistrio. (Dicionrio Silveira Bueno Editora LISA) UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica42 3 2 1 3 2 1membro 2 membro 13 x 1 - 2x+ = Ovaloratribudoincgnitaxparaestaequaoquetorna verdadeiraaigualdadex=4.Logoo4asoluodaequao, denominado razes da equao. 4.1. Equao Polinomial do 1 Grau Denomina-se equao do 1 Grau na incgnita x, toda equao da forma: 4.1.1. Soluo da equao polinomial do 1 Grau. Resolverumaequaodo1Grausignificadeterminarasuas raiz. Observe: Exerccios resolvidos: a) 2x- 1 = x + 3 2x x = 3 + 1 x = 4S = { 4 } b) 2(- 3 y) + 4 = y+ 6 - 6 2y + 4 = y 6 - 2y y = + 6 - 4 + 6 - 3y = + 8 . (- 1) 3y = - 8 38 = y S = )`38 c) 56 - 4x 31 3x -22 - 3x =+ m.m.c. (2, 3, 5) = 30 30) 6 4 .( 6 ) 1 3 .( 10 ) 2 3 .( 15 = + x x x 15(3x 2) 10(3x + 1) = 6(4x 6) 45x 30 30x 10 = 24x 36 45x 30x 24x = - 36 + 30 + 10 -9x = 4 .(- 1)

94- x = S = )`94 ax + b = 0 , com a e b e a 0 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica43 VERIFICAO OU PROVA REAL Substitui-searaizencontradaemcadaumdosmembrosda equao dada. Os valores numricos devem ser iguais. Observe: 2x- 1 = x + 3 2 . 4 1 = 4 + 3 8 1 = 7 7 = 7 Logo a soluo para x = 4 verdadeira. d)Qualonmerocujodobroaumentadode9igualaoseu qudruplo diminudo de 21? O nmero desconhecido representamos por x. Ento, 2x + 9 = 4x 21 2x 4x = - 21 9 - 2x = - 30.(- 1) 2x = 30

230= x x = 15S = {15} e)UmlitrodovinhoAcustaR$6,00,eolitrodotipoB,R$4,80. QuantoslitrosdevinhoAsedevemisturara100litrosdevinhoB para se obter um vinho C, que custe R$ 5,50 o litro? ABC Preo por litro (R$)6,004,805,50 Volume (em Litros)x100100 + x 6 . x + 4,8 . 100 = 5,5 . (100 + x) 6x + 480 = 550 + 5,5x 6x 5,5x = 550 480 0,5x = 70 5 , 070= xx = 140 Logo, devem-se misturar 140 litros do vinho A. 4.2. Equao Polinomial do 2 Grau Denomina-seequaodo2Graunaincgnitax,toda equao da forma: ax2 + bx + c = 0 , com a, b e c e a 0 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica44 Nasequaesescritasnaformaax2+bx+c=0,chamamosdea, b e c de coeficientes.E a equao est na forma reduzida. Observe: x2 5x + 6 = 0a = 1, b = - 5 e c = 6 7x2 x = 0a = 7, b = 1 e c = 0 x2 36 = 0a = 1, b = 0 e c = - 36 4.2.1. Soluo de Equaes de 2 Grau Resolverumaequaodo2Grausignificadeterminarassuas razes. Observe os casos: 1Caso.Seb=0ec=0,dizemosqueaequaoincompleta. Observe: Exerccio resolvido: 1) 3 x = 0 x = 30 x = 0 S = {0} 2 caso: Se c = 0 e b0, dizemos que a equao incompleta. Observe:

Exerccio resolvido: 1) 3 x - 12 x = 0x . (3 x 12) = 0x = 0ou 3 x 12= 0 3 x = 12 x = 4S = {0, 4} 3 caso: Se b = 0 e c0, dizemos que a equao incompleta. Observe: Exerccio resolvido: 1) x - 4 = 0 x = 4x =4 x = 2ou x = -2S = {-2, 2} a x = 0 a x + bx = 0 ax + c = 0 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica45 4caso:Seb 0ec 0,dizemosqueaequaocompleta. Observe: Aresoluodaequaocompletade2 grau obtidaatravsde umafrmulaquefoidemonstradoporBhaskara,matemticohindu nascidoem1114.Pormeiodelasabemosqueovalordaincgnita satisfaz a igualdade: 2a4.a.c b bx2 = Denominamosdiscriminanteoradicandoc a b . . 42 que representado pela letra grega (delta). c a b . . 42 = Podemos escrever a frmula de Bhaskara como: 2abx = De acordo com o discriminante, temos trs casos a considerar: > 0tm-se duas razes reais e diferentes; = 0tm-se duas razes reais e iguais; 0 ax + b 0 ax + b 0, com a e b e a 0. Resolver uma inequao do 1 Grau significa encontrar todos os nmeros que tornem a inequao verdadeira. Porexemplo,vamosdeterminaroconjuntosoluoda inequao 3x + 2 < 8. 3 2 1 43 42 1membro membrox 2 18 2 3 < + 3x + 2 < 8 3x < 8 2 3x < 6 x < 36 x < 2 logo, S = { x | x < 2} Geometricamente, essa soluo representada na reta real da seguinte forma: 0- 2 - 3 - 1+ 1 + 2+ 3+ 4 a b ( a diferente de b) a > b (a maior do que b) a < b (a menor do que b) a b (a maior ou igual a b) a b (a menor ou igual a b) Verificao: x = 1 3x + 2 < 8 3 . 1 + 2 < 8 5 < 8 ( V ) Verificao: x = 0 3x + 2 < 8 3 . 0 + 2 < 8 2 < 8 ( V ) Observa-se que as solues so satisfeitas para os nmeros menores que 2. Observa-se que a bolinha est aberta sob o nmero 2, isto significa que este nmero no pertence a soluo. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica52 Exerccio resolvido: 1) 5x + 6 3(1 x) + 9 - 5x + 6 3 3x + 9 - 5x + 3x 3 + 9 6 - 2x 12. ( - 1) 2x - 12 212 xx- 6 S = { x | x- 6} Geometricamente a soluo ser: 5.2. Inequao do 2 grau Asinequaesdo2Graunavarivelxpodemserescritas nas seguintes formas: ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c 0 e ax2 + bx + c < 0, com a, b, e c e a 0. Pararesolverumainequaodo2Graudevemosproceder do seguinte modo: Realizar um estudo do sinal da funo y = ax2 + bx + c; Determinarosvaloresdexqueatendamadesigualdadeda inequao. Exerccio resolvido: 1) Resolver a inequao x2 5x + 4 0. Soluo:i) As razes da equao so x = 4ex = 1; ii) Traar um esboo do grfico e fazer o estudo do sinal; iii) Como o sinal de desigualdade , temos bolinha fechada; - 7 - 6- 5- 4- 8 Semprequemultiplicarou dividirainequaoporum nmeronegativo,inverte-se o sinal da desigualdade. Observa-se que a bolinha est fechada sob o nmero - 6, isto significa que este nmero pertence a soluo. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica53 iv) Como o sinal de desigualdade , ou seja, maior ou igual, queremos os sinais positivos; S = { x | x1 ou x 4} 2) Resolver a inequao x2 5x + 4 < 0. Soluo:i) As razes da equao so x = 4ex = 1; ii) Traar um esboo do grfico e fazer o estudo do sinal; iii) Como o sinal de desigualdade + +e)15x 421x52 f) 32x 73x 7+ 2) Determine o conjunto soluo das inequaes: a) x2 3x 0b) -2x2 10x 0 c) x2 + 16 > 0 d) 2x2 16 < 0 e) x2 5x + 6 > 0f) x2 + 5x + 4 0 x 14 - - - - - -+ + + + ++ + + + +x 14 - - - - - - - + + + + + + + + + + UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Projeto de Ensino: Curso de Matemtica Bsica54 Respostas: 1) a. { x | x- 1} b. { x | x 21} c.{ x | x< 4}d.{ x | x> 41} e. { x | x 45 } f. { x | x 423 }2) a. { x | x0 ou x 3}b. { x | x- 5 ou x 0} c. { x | - 4 < x < 4} d. { x |2 2 < x 3} f.{ x | - 4 x -1 } Referncias Bibliogrficas BONJORNO,JosRoberto,etal.Matemtica:fazendoa diferena. 1. ed. So Paulo: FTD, v.1, v.2, v.3 e v.4, 2006. GUELLI,Oscar.Matemtica:umaaventuradopensamento.8. ed. So Paulo: tica, v.1, v.2, v.3 e v.4, 1999. DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemtica: conceito e histria. 6. ed. So Paulo: Scipione, v.4, 1998. SOUZA,MariaHelena&SPINELLI,Walter.Matemtica.So Paulo: Ativa, v.6, 1999.