Apostila_Nivelamento

Material de Nivelamento

Apoio: Prefeitura de São José dos Campos

CASD Vestibulares Nivelamento - Índice

Nivelamento

ÍNDICE

Matemática Álgebra Números e Operações...........................................................1 Operações com números em representação decimal...........7 Divisibilidade.........................................................................10 MDC e MMC.........................................................................13 Frações.................................................................................16 Razões e Proporções...........................................................22 Regra de Três ......................................................................28 Matemática Financeira.........................................................33 Operando com potências.....................................................39 Fatoração.............................................................................47 Linguagem Matemática........................................................56 Equações do 1º grau............................................................61 Sistemas do 1º grau.............................................................66 Equação do 2º grau..............................................................69

Geometria Ângulos.................................................................................75 Triângulos e Quadriláteros...................................................80 Polígonos..............................................................................88 Teorema de Pitágoras..........................................................92 Trigonometria Básica............................................................95 Semelhança e Teorema de Tales........................................99 Círculo e Área do Círculo...................................................104 Calculando Volumes...........................................................108

FÍSICA

Transformação de Unidades..................................................112 Notação Científica.............................................................115 Vetores..............................................................................118

QUÍMICA

Introdução ......................................................................................127

O que a Química estuda? Por quê? ..............................................127 Estados Físicos da Matéria............................................................128 Substância Simples ou Composta?................................................129

Substância Pura ou Mistura? .........................................................130 Sistema Homogêneo ou Heterogêneo? ........................................131 Separação de Misturas ..................................................................132

Modelos Atômicos ..........................................................................138 Principais características do átomo ...............................................140 Semelhanças Atômicas .................................................................141

A unidade de massa atômica .........................................................142 Massa atômica. Massa molecular...................................................143 O número de Avogadro e o conceito de Mol..................................143

Exercícios Propostos......................................................................146

PORTUGUÊS

Fundamentos da Dissertação.........................................................151 Exercícios de Figuras e Funções de Linguagem...........................162 Introdução à Literatura....................................................................170

Variações Linguísticas....................................................................173 Conceitos Iniciais............................................................................177

CASD Vestibulares Nivelamento - Algebra 1

ÁLGEBRA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO II –– NNÚÚMMEERROOSS EE OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS

1 – ORGANIZANDO OS NÚMEROS

O primeiro contato que temos com os números é pela contagem, quando surgem, de maneira natural, os números 1, 2, 3, 4 etc. Mais tarde, quando estudamos nosso sistema de numeração, aparece o 0 (zero). Ele é usado para indicar a ausência de unidades numa determinada ordem de um número. Chamamos de

conjunto dos números naturais – símbolo – o conjunto

formado pelos números 0, 1, 2, 3, ...

= {0, 1, 2, 3, ...}

Neste conjunto são definidas as operações

elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão. Quais dessas operações têm sempre como resultado um número natural? Isso é o mesmo que perguntar:

A soma de dois números naturais é sempre um

número natural? A diferença de dois números naturais é sempre

um número natural? O produto de dois números naturais é sempre

um número natural? O quociente de dois números naturais é sempre

um número natural?

Então verificamos que: A soma e o produto de dois números naturais são sempre números naturais. Veja: 7 - 3 = 4 é um número natural. 3 - 7 = -4 não é um número natural

Quando queremos fazer uma subtração em que o primeiro número é menor que o segundo, precisamos usar os números negativos, que não são números naturais.

Para tornar possível qualquer subtração passamos a trabalhar com um conjunto de números formado pelos números naturais mais os números negativos: os números inteiros.

Chama-se conjunto dos números inteiros –

símbolo – o seguinte conjunto:

= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}

Este conjunto pode ser representado numa reta

numérica da seguinte maneira:

Figura 1 – Representação do conjunto numa reta numérica

Observamos que: *os números negativos estão à esquerda do zero, portanto todo número negativo é menor que zero;

*os números positivos estão à direita do zero, portanto todo número positivo é maior que zero; *um número é sempre menor que o número que está à sua direita. *os números negativos estão à esquerda dos números positivos, logo todo número negativo é menor que qualquer número positivo; Exemplos: -3 < 0 (-3 é menor que zero)

-1 < 1 (-1 é menor que 1) -3 < -1 (-3 é menor que -1) 2 > -1 (2 é maior que -1) 0 > -7 (zero é maior que -7)

No conjunto distinguimos três subconjuntos notáveis:

+ = {0, 1, 2, 3, ...} =

(chamado conjunto dos inteiros não negativos)

- = {0, -1, -2, -3, ...}

(chamado conjunto dos inteiros não positivos)

* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

(chamado conjunto dos inteiros não nulos)

Os números inteiros são geralmente utilizados nos seguintes casos:

. Temperaturas acima ou abaixo de 0oC;

. Altitudes acima e abaixo do nível do mar Agora temos que:

A soma de números inteiros é um inteiro;

O produto de números inteiros é um inteiro;

A subtração de números inteiros é um inteiro; Também já sabemos que:

Na divisão de dois números naturais, o quociente só será um número natural quando o primeiro número (o dividendo) for múltiplo do segundo (o divisor).

Assim: 16

4 = 4 é um número natural.

Quando isso não acontece, usamos outros números para indicar o quociente.

Exemplos:

5

2 = 2,5 ou

1

3= 0,333...

Assim, chamamos de conjunto dos números

racionais – símbolo – o conjunto dos números que

tem representação finita ou infinita periódica (frações, dízimas periódicas, decimais exatos e os números inteiros).

2 Nivelamento - Algebra CASD Vestibulares

Neste conjunto podemos destacar os seguintes subconjuntos:

+ = conjunto dos racionais não negativos

- = conjunto dos racionais não positivos

* = conjunto dos racionais não nulos

Agora temos: . As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são sempre possíveis no conjunto dos números racionais, com uma única exceção: não é possível dividir nenhum número por zero!

. Qualquer número racional pode ser representado por um ponto na reta numérica. Exemplo: Assinale na reta numérica um número racional entre 0 e 1:

Figura 2 – Representação de um número racional entre 0 e 1

(o número 0,5) na reta numérica

Será possível marcar na reta outro número

racional entre 0 e 1 diferente de 0,5? Entre 0 e 0,5, dividindo ao meio o segmento, podemos marcar o número 0,25. E agora, será que ainda podemos marcar outro número racional entre 0 e 0,25? O mesmo processo pode ser repetido: dividindo o novo segmento ao meio, marcaremos o número 0,125. Continuando sempre o mesmo raciocínio, podemos imaginar que entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais. Daí a impossibilidade de escrever todos eles.

Para ter uma idéia mais clara dos conjuntos numéricos, é interessante representá-los por diagramas, que são representações gráficas de conjuntos por meio de uma curva fechada. Podemos escrever os elementos do conjunto dentro do diagrama ou apenas o nome do conjunto junto à curva.

Figura 3 – Diagrama que representa os conjuntos

2 – A RETA E OS NÚMEROS REAIS

Vimos que os números racionais podem ser: frações, inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas. Observe estes dois números: 0,25 e 0,252525...

O primeiro tem duas casas decimais, portanto um número finito de casas decimais. Por isso, é chamado de decimal exato. O segundo tem um número infinito de

casas decimais com um período que se repete (25). Esse número é conhecido como dízima periódica. Vejamos o que acontece com o número decimal 0,010110111...

Ele tem uma infinidade de casas decimais que não se repetem, portanto, não é decimal periódico. Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número. Após a vírgula, a 1ª casa decimal é o zero, seguido do número 1; depois outro zero, seguido duas vezes do número 1, e assim por diante. Logo, os próximos algarismos serão o zero e depois quatro vezes o número 1. Esse número não é racional. Ele é um exemplo de número irracional.

Todo número irracional tem representação decimal infinita e não periódica. O símbolo do conjunto dos

números irracionais é .

Outro exemplo de número irracional, bastante conhecido e muito importante em Matemática,

especialmente usado em geometria, é o número = 3,141592... Ao estudar a operação de radiciação, e particularmente a raiz quadrada, vimos que nem todo número natural tem raiz quadrada natural. Os números naturais 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, são chamados quadrados perfeitos. As raízes quadradas desses números são também números naturais:

0 0 16 4 64 8

1 1 25 5 81 9

4 2 36 6 100 10

9 3 49 7

Os outros números naturais, diferentes dos

números quadrados perfeitos, têm como raízes quadradas números irracionais. Outras raízes, com índices diferentes de 2 e que não são números naturais, também são números irracionais. Por exemplo:

3 4 4 5

3 100

Ao fazer o cálculo das raízes a seguir numa calculadora, encontramos os seguintes resultados:

2 1,414213... 3 1,73205... 5 2,23606...

Os pontos que aparecem no final do número não

aparecem no visor da máquina de calcular. Eles indicam que as casas decimais continuariam a aparecer se a máquina fosse maior e comportasse mais algarismos.

Vimos também que podemos assinalar todos os números racionais na reta numérica, associando a cada número um ponto da reta bem determinada. Podemos fazer o mesmo com os números irracionais?

Na prática, localizamos uma raiz quadrada na reta quando conhecemos um valor aproximado da raiz. Por

exemplo: localize o número 5 na reta numérica.

Vejamos quais são os números quadrados perfeitos mais próximos de 5: 5 está entre 4 e 9 , logo 4<5<9

5 está entre 4 e 9 , logo 4 < 5 < 9

CASD Vestibulares Nivelamento - Algebra

3

5 está entre 2 e 3 , logo 2 < 5 < 3

Assim, podemos assinalar a 5 entre os números 2 e 3.

Procurando o valor de 5 por tentativa, teremos uma

localização mais exata. Sabendo que 5 está entre 2 e

3, podemos escrever que 5 = 2 ,...

Figura 4 – Representação de (entre 2 e 3) na reta numérica

Experimentamos então alguns números, por exemplo: 2,1 = (2,1)² = 4, 41, que é um valor ainda distante de 5. 2,2 = (2,2)² = 4, 84, que é bem próximo de 5. 2,3 = (2,3)² = 5, 29, que já é maior do que 5.

Então, podemos representar 5 na reta com uma

localização razoável, ou seja, próxima do valor exato do número:

Figura 5 – Representação de (entre 2,2 e 2,3) na reta numérica

Sabendo que é possível representar na reta os números racionais e os irracionais, podemos chamá-la reta real. Na reta real os números estão ordenados. O número a é menor que qualquer número x colocado à sua direita e maior que qualquer número y à sua esquerda.

O conjunto dos números reais ( ), que é a

reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais e pode ser representado pelo diagrama abaixo:

Figura 6 – diagrama que representa os conjuntos

Assim concluímos que o conjunto dos números reais é aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, os decimais exatos ou periódicos (que são os números racionais) e os decimais não exatos e não periódicos (números irracionais).

O diagrama mostra a relação entre os diversos

conjuntos: todo número natural é inteiro; todo número inteiro é racional; todo número racional é real, assim

como, todo número irracional é também real. Inversamente, todo ponto de reta real representa um número, que pode ser racional ou irracional. E nenhum número é racional e irracional ao mesmo tempo.

Destacamos em três outros subconjuntos:

+ = conjunto dos reais não negativos

- = conjunto dos reais não positivos

* = conjunto dos reais não nulos

3 – REVENDO AS OPERAÇÕES

A Matemática é uma ciência que está sempre presente em nosso dia-a-dia. Neste capítulo, recordaremos algumas propriedades das operações com números naturais de grande utilidade para a resolução de problemas que necessitam de um cálculo mais rápido, ou seja, o cálculo mental.

Estudaremos também as expressões numéricas, suas regras e seus sinais de pontuação.

Observe a seguinte situação: Fazendo compras num “shopping”, uma pessoa resolveu somar mentalmente seus gastos. Qual a melhor maneira de fazer esse cálculo, para a seguinte soma:

R$ 18,00 + R$ 40,00 + R$ 32,00? 18 + 40 + 32 =

Trocar a ordem das duas primeiras parcelas. = 40 + 18 + 32 =

Associar as duas últimas parcelas e somar. = 40 + (18 + 32) =

= 40 + 50 = 90

As etapas seguidas para esse tipo de cálculo foram baseadas, intuitivamente, nas propriedades da adição: propriedade comutativa (comutar = trocar) e associativa (associar = juntar). Na 1ª propriedade, vimos que é possível trocar a ordem das parcelas sem alterar o resultado.

“A ordem das parcelas não altera a soma”.

Na 2ª propriedade, vimos que a associação de duas ou mais parcelas pode ser feita de maneiras diferentes, sem que o resultado seja alterado. Veja como poderia ser feito, de outra maneira, a adição do exemplo anterior:

18 + 40 + 32 = Somar as duas primeiras parcelas

= (18 + 40) + 32 = Decompor a última parcela

= 58 + 30 + 2 = Trocar a ordem das duas últimas parcelas

= (58 + 2) + 30 = Associar as duas primeiras parcelas e somar.

= 60 + 30 = 90

Será que na multiplicação podemos aplicar as mesmas propriedades da adição? Veja o exercício resolvido 1.


Exercício Resolvido 1:

Calcule a área de um terreno retangular de 15 m de largura x 20 m de comprimento.

Resolução: Multiplicando as dimensões do terreno, temos: Área do retângulo:

20 x 15 = 300 m² ou 15 x 20 = 300 m² Logo, concluímos que a propriedade comutativa também é válida para a multiplicação, portanto:

“A ordem dos fatores não altera o produto.”

Em relação à propriedade associativa, podemos concluir o mesmo resultado, ou seja, a associação de dois fatores de uma multiplicação, de diferentes maneiras, não altera o produto. No exemplo a seguir, aplicaremos a propriedade associativa para facilitar o cálculo mental:

237 x 25 x 4 = = 237 x (25 x 4) =

= 237 x 100 = = 23.700

Agora, veremos uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição ou a multiplicação e a subtração. Observe:

Exercício Resolvido 2: Calcule o perímetro de um terreno retangular de

15 m de largura x 20 m de comprimento. Como o perímetro é a soma dos lados do terreno, esse cálculo pode ser feito de duas maneiras diferentes: Resolução: *Multiplicando as dimensões do terreno por 2 e somando o resultado: Perímetro = 2 x 15 + 2 x 20 = 30 + 40 = 70 m *Somando as duas dimensões e multiplicando o resultado por 2: Perímetro = 2 x (15 + 20) = 2 x 35 = 70 m Observe que, nos dois casos, o resultado é o mesmo. Então, podemos concluir que:

2 x (15 + 20) = 2 x 15 + 2 x 20 Nesse caso, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Essa propriedade também é válida quando relacionada à subtração, podendo ser aplicada ao cálculo mental. Por exemplo: Multiplique 18 por 99, sem efetuar a conta de multiplicação: 18 x 99 = 18 x (100 - 1) = 18x100-18x1=1800 - 18 = 1782

Podemos assim resumir as propriedades da adição e da multiplicação: 1) Associativa da Adição:(a + b)+ c = a + (b + c) 2) Comutativa da Adição: a + b = b + a 3) Elemento Neutro da Adição: a + 0 = a 4) Associativa da Multiplicação: (ab)c = a(bc) 5) Comutativa da Multiplicação: a . b = b . a 6) Elemento Neutro da Multiplicação: a . 1 = a 7) Distributiva da Multiplicação relativamente à adição: a(b + c) = ab + ac

Além das propriedades das operações que vimos até aqui, é preciso conhecer as regras adequadas para a resolução de expressões numéricas. Expressão numérica é uma seqüência de números que seguem determinadas operações.

Veja os exemplos:

- Calcular o valor da expressão: 15 + 12 - 10 Esse exemplo envolve duas operações - a adição e a subtração – que podem ser efetuadas na ordem em que aparecem: 15 + 12 - 10 = 27 - 10 = 17

- Calcular o valor da expressão: 98 - 12 . 3 + 36

3

Essa expressão apresenta as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão. Inicialmente, devemos efetuar as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem. Em seguida, efetuamos as adições e subtrações, também na ordem em que ocorrem:

98 - 12 . 3 + 36

3 = 98 - 36 + 12 = 62 + 12 = 74.

Se tentarmos calcular essa expressão de outra maneira, o resultado poderá ser diferente. Nesse caso, é preciso estabelecer uma determinada ordem para calcular a expressão. Para que isso aconteça, é preciso obedecer aos sinais de pontuação. Um dos sinais mais utilizados é chamado de parênteses ( ). Ao encontrá-lo em uma expressão, devemos efetuar as operações que estão dentro dele e, em seguida, continuar resolvendo as outras. Além dos parênteses, temos também os colchetes [ ] e as chaves { }, que podem aparecer em algumas expressões. Assim, após resolvermos as operações que estão entre os parênteses, devemos resolver as que estão entre os colchetes e, em último lugar, as que estão entre chaves. Observe as expressões abaixo:

1) 5 + (12 3)

3

= 5 +

15

3 = 5 + 5 = 10

Efetua-se a operação entre parênteses. Efetua-se a divisão e, em seguida, a adição.

2) [(11 12).3 9]

15

= [23.3 9]

15

=[69 9]

15

=

60

15 = 4

Efetua-se a operação entre parênteses. Efetuam-se as operações entre colchetes, de acordo com a ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão.

3){15 [2.(9 3)]}

3

=

{15 [2.6]}

3

=

{15 12}

3

=

3

3= 1

Efetuam-se as operações entre parênteses, de acordo com a ordem estabelecida. Efetua-se a operação entre colchetes. Efetua-se a operação entre chaves. Determina-se o valor da expressão. Em caso de ocorrerem expressões numéricas que apresentem operações de potenciação e radiciação, ou apenas uma delas, estas deverão ser efetuadas antes da multiplicação e da divisão. Veja: (5² - 6 x 2²) x 3 = (25 - 6 x 4) x 3 = = (25 - 24) x 3 = 1 x 3 =

= 3.


5

Efetuam-se as potenciações. Efetuam-se as operações entre parênteses, na ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão. Para calcular uma expressão numérica, devemos seguir a seguinte regra sobre a ordem das operações: 1º) Efetuam-se as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem. 2º) Efetuam-se as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem. 3º) Efetuam-se as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. Se houver sinais de pontuação, efetuam-se primeiro as operações entre parênteses ( ), depois as entre colchetes [ ] e,por último,as que estão entre chaves { }.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nível I

1. Escreva os números inteiros menores que 1. 2. Escreva um número racional maior que 2. 3. Escreva ao lado de cada sentença V se ela for verdadeira ou F se ela for falsa: a) ( ) - 6 é um número inteiro, logo é racional. b) ( ) 2,516 é um número decimal exato, logo é racional. c) ( ) 0,494949... é um número racional. d) ( ) - 5 é um número natural. 4. Dê exemplos de dois números racionais maiores que 5. Assinale na reta numérica os números:

6. Assinale na reta numérica os seguintes números reais:

- 2,5 0,75 2 π - 0,666...

7. Assinale V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa:

a)( ) 1

3é um número real menor que 1.

b)( ) 10 é um numero real menor que 3

c)( ) 2,151617... é um número racional. d)( ) - 5 é um número inteiro, logo é um número real. e)( ) π não é um número real.

f)( ) 3 é um número real

g)( ) 3 é um número racional

8. De acordo com a sentença abaixo, escreva uma expressão e determine o seu valor: “Somei 127 com 356 e subtraí o resultado de 1000”.

9. Demonstre a maneira mais simples para calcular, mentalmente, o resultado da operação: 300 + 895 + 700 =

10. Calcule o valor da expressão:



Nível II 13. Calcule o valor da expressão:



16. Calcule o valor da expressão: 17. Calcule o valor da expressão:




21. Coloque parênteses nas expressões, de modo a obter os resultados indicados: a) b)

c)

GABARITO

1. 0,-1,-2,-3,-4... 2. qualquer numero da forma a/b onde a e b são inteiros e a dividido por b seja maior que 2. Por exemplo: 5/2 3. a) V b) V c) V d) F 4. -1,33 e -1,22 são exemplos (há infinitas soluções possíveis) 5.

6.


7. a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F 8. Expressão: ; Valor:

9.

10.

11.

12.

13. 14.

15.

16. 17.

18.

19. 20.

21. a)

b)

c)

CASD Vestibulares Nivelamento - Álgebra 7

ÁLGEBRA Nivelamento

CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII –– OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM NNÚÚMMEERROOSS EEMM

RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO DDEECCIIMMAALL

1 – SOMA

Para somar dois números que estão na representação decimal, ou seja, representados com vírgula devemos olhar se eles possuem o mesmo número de casas decimais. Se eles possuírem basta fazer a soma normal conservando o lugar da vírgula. Acompanhe o exercício resolvido a seguir.

Exercício Resolvido 1: Somar 13,43 com 1,49. Resolução: Note que, os dois números possuem duas casas decimais. Logo basta fazer a conta normal!!!

1 3 , ¹4 3 + 1 , 4 9

1 4 , 9 2 Resposta: 13,43 + 1,49 = 14,92

Mas como faremos para somar números com casas decimais diferentes? O próximo exercício resolvido trata desse tipo de problema.

Exercício Resolvido 2: Somar 12,123 com 3,4. Resolução:

Para somar 12,123 com 3,4 precisamos primeiro ver que o primeiro possui três casas decimais e o segundo possui uma casa decimal. Assim, para somar os dois devemos igualar o número de casas, para isso, basta adicionar 2 zeros no 3,4, ou seja, escrever ele como 3,400 e fazer o mesmo procedimento anterior (observe que ao adicionarmos dois zeros no 3,4 não modificamos o número pois os zeros foram adicionados após a vírgula). Logo,

1 2 , 1 2 3 + 3 , 4 0 0

1 5 , 5 2 3 Resposta: 12,123 + 3,4 = 15,523 Observe que sempre devemos colocar as vírgulas uma embaixo da outra.

Assim, o procedimento é o seguinte:

Olhar se os números tem a mesma quantidade de casas decimais.

Se eles tiverem somar normal conservando o lugar da vírgula.

Se não tiverem igualar o número de casas decimais colocando zeros em um dos números. E depois, somar normalmente.

2 – SUBTRAÇÃO

A subtração de dois números com vírgula é o mesmo procedimento que a soma. Por exemplo, se quisermos subtrair 3,5 de 14,23. Devemos primeiro notar que um deles tem uma casa decimal e o segundo possui duas casas decimais. Assim, devemos adicionar zeros para igualar o número de casas decimais e fazer a subtração normalmente conservando o local da vírgula.

3

1

1 4 , 2 3 - 3 , 5 0

1 0 , 7 3

3 – MULTIPLICAÇÃO Para realizar a multiplicação de dois números devemos realizar os seguintes passos:

Passo 1: Fazer a multiplicação dos números como se eles não tivessem vírgula.

Passo 2: Somar a quantidade de casas decimais dos operandos.

Passo 3: Colocar a vírgula no resultado da multiplicação de forma que o número de casas decimais seja igual a quantidade calculada no segundo passo.


Multiplicar 3,6 por 12,47. Resolução: Primeiramente, fazemos a conta normalmente.

1 2, 4 7 x 3, 6

7 4 8 2 3 7 4 1 *

4 4 8 9 2

Agora devemos colocar a vírgula no resultado. 12,47 possui duas casas decimais e 3,6 possui uma casa decimal. Assim, o resultado deve ter 1+2=3 casas decimais. Logo

8 Nivelamento - Álgebra CASD Vestibulares

1 2, 4 7 x 3, 6

7 4 8 2 3 7 4 1 *

4 4, 8 9 2

Assim, Resposta: 12,47 x 3,6 = 44,89

4 – DIVISÃO

Antes de dividir números com vírgula, devemos aprender como fazer divisão quando o resultado não é exato. Um exemplo simples é 41:2=20,5.

Para realizar esse tipo de divisão devemos proceder da seguinte maneira:

Começar dividindo normalmente

Quando o número que restar for menor que o divisor devemos adicionar zeros até que este fique maior e continuar a divisão.

Quando o primeiro zero dor adicionado devemos colocar uma vírgula no quociente.

Se mais de um zero seguido for adicionado, a partir do segundo devemos colocar um zero no quociente.


Efetue a divisão de 41 por 2. Resolução: Calculando a divisão de 41:2 temos:

41 2

4 20

01 Até agora, só foi feita a divisão normal. E

temos o resto 1 dessa divisão, para prosseguir devemos adicionar um zero no 1 para que ele fique maior que o 2. Como esse é o primeiro 0 adicionado precisamos colocar uma virgula no quociente.

41 2

4 20,

010

E prosseguimos a divisão normalmente.

41 2

4 20,5

010 10

0

Resposta: 41:2 = 20,5


Efetue a divisão de 65 por 16. Resolução:

65 16

64 4

01 Novamente o numero que sobrou é menor que

o divisor, então devemos adicionar um zero no nele e uma virgula no quociente.

65 16

64 4,

010 Note que 10 continua menor que 16 então

devemos adicionar outro zero. Como este foi o segundo zero seguido adicionado devemos colocar zero no quociente.

65 16

64 4,0

0100

Prosseguindo com a divisão

65 16

64 4,06

0100 096

04

O numero que restou é menor que o divisor, logo devemos adicionar um zero nele.

65 16

64 4,06

0100 096

040

Prosseguindo 65 16

64 4,0625

0100 096

040 032

080 080

0 Resposta: 65:16 = 4,0625 Agora, já sabemos como dividir dois números inteiros mesmo que a divisão não seja exata. Resta agora aprendermos a dividir dois números com vírgula. Para dividir dois números que possuem vírgula basta retirar as casas decimais deles antes de dividir. Para isso basta andar com vírgula a mesma quantidade de casas decimais nos dois números. Veja o próximo exercício resolvido.


Exercício Resolvido 6: Efetue a divisão de 34,65 por 0,5. Resolução: Devemos notar que o primeiro número possui duas casas decimais e o segundo apenas uma casa decimal. Assim, como a maior quantidade de casas decimais é 2 devemos andar duas casas nos dois números e efetuar a divisão. Assim, e

Efetuando a divisão

3465 50

300 69,3

465 450

150 150

0 Resposta: 34,65:0,5 = 69,3 Note que o que acabamos de fazer para retirar a vírgula da divisão foi multiplicar os dois números por 100. Abaixo mostramos, através das frações, porque o resultado fica o mesmo.

Obs: Em alguns casos a divisão não pode ser representada com uma quantidade finita de casas decimais. Como no exemplo abaixo:

7:3=2,333333333333333333333333333...

Assim, quando estiver fazendo uma divisão preste atenção para ver se os números estão se repetindo!!!


Nível I 1. Efetue os cálculos abaixo

a) 12,3+3,4 i) 20,34 x 5002

b) 3,56+10,98 j) 20,34 x 50,02

c) 10,34+7,4 l) 345,67-124,90

d) 4,5-3,47 m) 32 :5

e) 3,78 x 2 n) 3,2:5

f) 4,56 x 1,2 o) 45:4

g)123,454-450,2001 p) 146:25

h)345,4+134,654 q) 41:6

Nível II 2. Efetue os cálculos abaixo.

a) 1234,4543-32,99 e) 2,25:0,025

b) 123,454 x 12,43 f) 2,4211:1,1

c) 1,3 x 223,231 g) 324,123 :0,6

d) 45,3 : 0,9 h)4,096 : 0,64

3. Encontre o resultado das expressões a)

b)

c)

d)

e)

GABARITO 1.

a) 15,7 i) 101740,68

b) 14,54 j) 1017,4068

c) 17,74 l) 220,77

d) 1,03 m) 6,4

e) 7,56 n) 0,64

f) 5,472 o) 11,25

g)-326,7461 p) 5,84

h) 480,054 q) 6,8333...

2.

a) 1201,4643 e) 90

b) 1534,53322 f) 2,201

c) 290,2003 g) 540,205

d) 50,3333... h) 6,4

3. a) 24,7995 b) 3 c) 117,667 d)0,003333... e) 31


ÁLGEBRA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO IIIIII –– DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE

1 – DIVISIBILIDADE Um número natural a é divisível por um número natural b quando existir um número natural k tal que a= b.k. Nesse caso, também dizemos que b é divisor de a e a é múltiplo de b. Exemplos:

4 é divisível por 2, pois 4 = 2 x 2 e 2 é um número natural;

5 não é divisível por 2, pois 5 = 2 x 2,5 e 2,5 não é um número natural;


7 não é divisível por 3, pois 7 = 3 x 2,333... e 2,333... não é um número natural;





* Observação: 0 é divisível por todos os números naturais (podemos dizer também que 0 é múltiplo de todos os números naturais), pois 0=0.n; * Observação: 1 é divisor de todos os números naturais, pois n=1.n;

2 – CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

. Divisibilidade por 2 – um número será divisível por 2

se, e somente se, ele for par, ou seja, o algarismo das unidades for 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. Exemplos: 4, 12, 26, 138 . Divisibilidade por 3 – um número é divisível por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 3, 6, 12, 336 . Divisibilidade por 4 – um número é divisível por 4 se, e somente se, o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Exemplos: 128, 12328, 72, 164 . Divisibilidade por 5 – um número é divisível por 5 se , e somente se, o seu último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 5, 2025, 20, 770 . Divisibilidade por 6 – um número é divisível por 6 se, e somente se, for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, ou seja, o número precisa ser par e divisível por 3. Exemplos: 18,138, 960, 1254

. Divisibilidade por 9 – um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplos: 9, 18, 135, 13464 . Divisibilidade por 10 – um número é divisível por 10 se, e somente se, o seu último algarismo for 0. Exemplos: 10, 13540, 1110

3 – NÚMEROS PRIMOS

Um número natural p, com p0 e p1 é dito primo quando este é divisível apenas pelos naturais 1 e p. Logo todo número primo tem exatamente dois divisores. Exemplos: 2,3,5,7,11,13,... * Observação: 1 não é primo, pois 1 só tem um divisor (que é o próprio 1); * Observação: 2 é o único número primo que é par;

3.1 – Decomposição de um número em fatores primos Todo número inteiro pode ser decomposto ou fatorado num produto de números primos. Exemplos: 6, decomposto como 2 x 3.

12, decomposto como 2 x 2 x 3. 25, decomposto como 5 x 5. 17, decomposto como 17. 135, decomposto como 3 x 3 x 3 x 5. Além disso, a decomposição em fatores primos é única, se não nos importarmos com a ordem dos fatores.

3.2 – Regra para decompor um número em fatores primos 1º) Divida o número pelo seu menor divisor primo; 2º) Divida o quociente da divisão anterior pelo seu menor divisor primo, e faça isto sucessivamente. Exemplos:

72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1

34 2 17 17 1

CASD Vestibulares Nivelamento - Álgebra

11

4 – DIVISORES DE UM NÚMERO

Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando sua fatoração em números primos.

Segue-se a seguinte regra: 1º) Decompõe-se o número em fatores primos. Depois, traça-se uma linha vertical e escreve-se os fatores primos do lado esquerdo da linha, um embaixo do outro; 2º) Do lado direito da linha vertical, escreve-se o número 1 no alto, pois 1 é divisor de qualquer número; 3º)Multiplica-se sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escreve-se esses produtos ao lado de cada fator primo, do lado direito da linha vertical; 4º)Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Exercício Resolvido 1: Encontre todos os divisores de 72. Resolução: Do exemplo do tópico 3.2, tem-se que a decomposição de 72 em fatores primos é 72=2.2.2.3.3. Então, seguindo os passos da regra acima, tem-se:

1 2 2 2 4 2 8 3 3,6,12,24 3 9,18,36,72

Resposta: os divisores de 72 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 e 72.

Exercício Resolvido 2: Encontre todos os divisores de 60. Resolução: Primeiro, vamos decompor 60 em fatores primos:

60 2 30 2 15 3 5 5 1

Agora, vamos encontrar os divisores seguindo a regra:

1 2 2 2 4 3 3,6,12 5 5,10,15,20,30,60

Resposta: os divisores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.


Nível I

1. Considere os números: 21, 32, 41, 55, 126, 384, 570, 2541, 7920. Pergunta-se: a) Quais deles são divisíveis por 2? b) Quais deles são divisíveis por 3? c) Quais deles são divisíveis por 4? d) Quais deles são divisíveis por 5? e) Quais deles são divisíveis por 6? f) Quais deles são divisíveis por 9? g) Quais deles são divisíveis por 10? 2. Entre os seguintes números, quais deles são primos? a) 2 b) 5 c) 9 d) 27 e) 29 f) 31 g)45 h) 47 i) 49 3. Quantos números primos existem entre 90 e 100? 4. Decomponha os seguintes números em fatores primos: a) 12 b) 18 c) 30 d) 300 e) 1000 5. Decomponha os seguintes números em fatores primos: a) 7 b) 15 c) 36 d) 315 e) 1080

Nível II 6. Para cada número abaixo, determine os seus divisores: a) 12 b) 18 c) 30 d) 300 e) 1000 7. Para cada número abaixo, determine os seus divisores: a) 7 b) 15 c) 36 d) 315 e) 1080 8. Para cada número abaixo, determine os seus divisores: a) 8 b) 28 c) 42 d) 280 e) 2520

GABARITO

1. a) 32, 126, 384, 570, 7920 b) 21, 126, 384, 570, 2541, 7920 c) 32, 384, 7920 d) 55, 570, 7920 e) 126, 384, 570, 7920 f) 126, 7920 g) 570, 7920 2. Os números primos são 2, 5, 29, 31 e 47. 3. Há 1 número primo (97) entre 90 e 100 4. a) 12=2.2.3 b) 18=2.3.3

Nivelamento - Álgebra CASD Vestibulares 12

c) 30=2.3.5 d) 300=.2.2.3.5.5 e) 1000=2.2.2.5.5.5 5. a) 7=7 b) 15=3.5 c) 36=2.2.3.3 d) 315=3.3.5.7 e) 1080=2.2.2.3.3.3.5 6. a) 1, 2, 3, 4, 6, 12. b) 1, 2, 3, 6, 9, 18. c) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. d) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300. e) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000. 7. a) 1, 7. b) 1, 3, 5, 15. c) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. d) 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315. e) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 27, 30, 36, 40, 45, 54, 60 , 72, 90, 108, 120, 135, 180, 216, 270, 360, 540, 1080. 8. a) 1, 2, 4, 8. b) 1, 2, 4, 7, 14, 28. c) 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. d) 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280. e) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 56, 60, 63, 70, 72, 84, 90, 105, 120, 126, 140, 168, 180, 210, 252, 280, 315, 360, 420, 504, 630, 840, 1260, 2520.


ÁLGEBRA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV –– MMDDCC EE MMMMCC

1 – MDC

Sejam dois ou mais números naturais não simultaneamente nulos. Então esses números podem ter divisores comuns. O máximo divisor comum (MDC) entre esses números é o maior número entre os seus divisores comuns. Exemplos: Divisores de 6: 1, 2, 3, 6 Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores comuns de 6 e 12: 1, 2, 3, 6 Logo, MDC(6,12) = 6 Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Divisores comuns de 20 e 24: 1, 2, 4 Logo, MDC(20,24) = 4 Divisores de 6: 1, 2, 3, 6 Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores de 15: 1, 3, 5, 15 Divisores comuns de 6, 12 e 15:1, 3 Logo, MDC(6,12,15) = 3 Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Divisores comuns de 12,20 e 24: 1, 2, 4 Logo, MDC(12,20,24) = 4

Para calcular o MDC entre dois ou mais números, devemos seguir uma série de passos: 1º) Decompomos os números em fatores primos. 2º) Tomamos os fatores comuns com o menor expoente. 3º) Multiplicamos esses fatores comuns entre si.


Calcule o MDC entre 16 e 40. Resolução:

16 2 8 2 4 2 2 2 1

Logo, 16 = 2

4 e 40 = 2

3.5 Assim, o único

fator comum é o 2, que tem expoente 4 no 16 e expoente 3 no 40. Então o menor expoente para o 2 é 3.

Resposta: MDC(16,40)=2

3=8

Exercício Resolvido 2: Calcule o MDC entre 80 e 300. Resolução:

80 2 40 2 20 2 10 2 5 5 1

Logo 80=2

4.5 e 300=2

2.3.5

2. Assim, os

fatores primos comuns são 2 e 5. O 2 tem expoente 4 no 80 e expoente 2 no 300, então o menor expoente para o 2 é 2. O 5 tem expoente 1 no 80 e expoente 2 no 300, então o menor expoente para o 5 é 1. Resposta: MDC(80,300)=2

2.5=4.5=20

1.1 – Números primos entre si

.Dois números inteiros a e b, não nulos, são chamados primos entre si se, e somente se, o único divisor comum de a e b é 1, ou seja o MDC entre eles é 1.

.Dois números inteiros consecutivos sempre são primos entre si. .Dois números primos e diferentes são primos entre si. Exemplos: MDC(5,6)=1, logo 5 e 6 são primos entre si; MDC(3,5)=1, logo 3 e 5 são primos entre si; MDC(6,8)=2, logo 6 e 8 não são primos entre si; MDC(9,12)=3, logo 9 e 12 não são primos entre si;

2 – MMC

Um número a é múltiplo de b, quando existir

um número natural k, tal que a=b.k. Exemplos: 4 é múltiplo de 2, pois 4 = 2 x 2 325 é múltiplo de 13, pois 325 = 13 x 25 Então para calcular os múltiplos de um número, temos que multiplicá-lo pelos números inteiros. Observação: Todos os naturais são múltiplos do número 1; Observação:. 0 é múltiplo de qualquer natural;

40 2 20 2 10 5 1

2 5

300 2 150 2 75 25 5 1

3 5 5


Sejam dois ou mais números naturais não nulos. Então esses números podem ter múltiplos comuns. O mínimo múltiplo comum (MMC) entre esses números é o menor número, maior do que zero, entre os seus múltiplos comuns.

Exemplos: Múltiplos de 2: 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,... Múltiplos de 5: 0,5,10,15,20,25,... Múltiplos comuns de 2 e 5: 0,10,20,... Logo, MMC(2,5)=10 Múltiplos de 4: 0,4,8,12,16,20,24,28,... Múltiplos de 8: 0,8,16,24,... Múltiplos comuns de 4 e 8: 0,8,16,24,... Logo, MMC(4,8)=8 Múltiplos de 2: 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,... Múltiplos de 4: 0,,4,8,12,16,20,24,28,... Múltiplos de 5: 0,5,10,15,20,25,... Múltiplos comuns de 2, 4 e 5: 0,20,... Logo, MMC(2,4,5)=20 Para calcular o MMC. entre dois ou mais números, devemos seguir também uma série de passos: 1º) Decompomos os números em fatores primos. 2º) Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente. 3º) Multiplicamos esses fatores entre si.


Calcule o MMC entre 24 e 45. Resolução:

Logo 24=23.3 e 45=3

2.5. Assim, os fatores comuns e

não-comuns são 2,3,5. O maior expoente para o 2 é 3, o maior expoente para o 3 é 2 e o maior expoente para o 5 é 1.

Resposta: MMC(24,45)=2

3.3

2.5=8.9.5=360


Calcule o MMC entre 16, 24 e 80. Resolução: Nos exercícios resolvidos acima, vimos que 16=2

4,

24=23.3 e 80=2

4.5. Assim, os fatores comuns e não-

comuns são 2,3,5. O maior expoente para o 2 é 4, o maior expoente para o 3 é 1 e o maior expoente para o 5 é 1. Resposta: MMC(16,24,80)=2

4.3.5=16.3.5=240

3 – PRODUTO DO MDC PELO MMC

Se temos 2 números naturais a, b não nulos, então a.b=MDC(a,b).MMC(a,b) Exemplos: MDC(2,5)=1 e MMC(2,5)=10, então: MDC(2,5).MMC(2,5)=1.10=10=2.5 MDC(20,24)=4 e MMC(20,24)=120, então. MDC(20,24).MMC(20,24)=4.120=480=20.24 Observação: Se dois números são primos entre si, o MMC entre eles é o seu produto.


Sabe-se que o MDC entre dois números é 10 e o MMC entre eles é 210. Se um deles é igual a 70, quanto vale o outro?

Resolução: Se n é o número desconhecido, tem-se que:

Resposta: O outro número vale 30.


Nível I

1. Encontre o MDC entre os seguintes números: a) 5,10 b) 56,60 c) 100,150 d) 6,18,24 e) 10,15,22

2. Para cada par de números, indique se eles são primos entre si ou não. a) 16,18 b) 14,15 c) 7,21 d) 7,11 e) 1,8

3. Encontre o MMC entre os seguintes números: a) 5,8 b) 40,60 c) 25,80 d) 4,15,20 e) 25,35,40 4. Sabendo que dois números são primos entre si e que o produto entre eles é 100, quais são os dois menores múltiplos comuns positivos desses números? 5. Sabendo que o produto de dois números é 1134 e que o seu MMC é 81, determine o MDC entre eles. 6) O produto de dois números é 2160 e o seu MDC é 6. Calcule o MMC entre esses números.

24 2 12 2 6 3 1

2 3

45 3 15 3 5 1

5


15

Nível II

7. O pedreiro Pedro Natal possui 3 fios de arame de comprimentos diferentes. O primeiro tem 40 metros, o segundo tem 42 metros, e o terceiro tem 60 metros. Ele deseja cortar os fios em partes de mesmo comprimento, de forma que não haja sobra de arame. Qual o maior comprimento possível para cada corte dos fios, de forma que os 3 fios sejam cortados em pedaços do mesmo tamanho? 8. A lâmpada de um farol pisca uma vez a cada 20 segundos. Outro farol possui uma lâmpada que pisca uma vez a cada 22 segundos. Sabendo que as duas lâmpadas começam a piscar juntas, depois de quanto tempo voltarão a piscar juntas novamente? 9. Determinar os dois menores múltiplos comuns positivos dos números 45, 54 e 81. 10. Determine k no número A=2

k.5

2, sabendo que o

MDC entre A e 120 é 20. 11. Determine m e n nos números A=2

m.15 e

B = 4.3n, sabendo-se que o MMC entre A e B é 360.

12. Determine o valor de x no número N=3.5

2.2

x+1,

para que o MDC entre 96, N e 240 seja 24.

GABARITO

1. a) 5 b) 4 c) 50 d) 6 e) 1 2. a) Não b) Sim c) Não d) Sim e) Sim 3. a) 40 b) 120 c) 400 d) 60 e) 1400 4. 100 e 200 5. 14 6. 360 7. 2 metros. 8. 220 segundos. 9. 270 e 540. 10. k=2 11. m=3, n=2 12. x=2


ÁLGEBRA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO VV -- FFRRAAÇÇÕÕEESS

1 – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

Neste capítulo vamos rever operações com frações, verificando a validade das propriedades operatórias dos números racionais. Veremos também o cálculo de expressões numéricas com frações, de acordo com a ordem em que as operações devem ser efetuadas.

Dado o símbolo a , sendo a e b números b

naturais e b diferente de zero. Chamamos:

.a de fração; b . a de numerador; . b de denominador.

Temos que se a é múltiplo de b, então a

b é um

número natural.

Por exemplo: Na fração 24

3 temos: 24 é o numerador e

3 é o denominador. A divisão de 24 por 3, nos dá o quociente 8. Assim a fração representa um número natural e 24 é múltiplo de 3.

1.1 – O significado de uma fração

Como já vimos anteriormente, os números

fracionários constituem o conjunto dos números racionais e podem ser números naturais ou não. Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Fulgêncio comeu3

4 de um chocolate.

Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Fulgêncio teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as

partes comidas por Fulgêncio, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.

1.2 – Classificação das frações

As frações se classificam da seguinte maneira: .Fração própria: o numerador é menor que o

denominador: Exemplos:

.Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao

denominador. Exemplos: 4 5 10

, ,3 5 8

.Fração aparente: o numerador é múltiplo do

denominador. Exemplos: 6 24 8

, ,3 12 4

.Frações equivalentes: frações que têm o mesmo valor, mas cujos termos são diferentes.

Exemplos: 1 2

,2 4

Para obtermos frações equivalentes, é preciso multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural diferente de zero. Por exemplo, ao determinarmos as frações

equivalentes a 2

3, temos:

Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

1.3 – Simplificação de frações

Uma fração equivalente a 9

12, com termos

menores, é 3

4. A

fração 3

4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da

fração pelo fator comum 3. Podemos dizer também que

a fração 3

4 é uma fração simplificada de

9

12.

A fração 3

4 não pode ser simplificada, por isso é

chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum, ou seja, 3 e 4 são primos entre si.


1.4 – Adição e subtração de frações Temos que analisar dois casos:

1.4.1 – Frações homogêneas (que têm denominadores iguais) A adição e a subtração de frações homogêneas (que têm denominadores iguais) são efetuadas, repetindo-se os denominadores e efetuando-se as devidas operações com os numeradores. Veja:

a)3 2 3 2 5

7 7 7 7

b) 5 3 5 3 2

8 8 8 8

As propriedades da adição de números naturais

também são válidas para a adição de números fracionários. Propriedade comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma

2 1 1 2 3

5 5 5 5 5

Propriedade associativa: podemos associar duas ou mais parcelas, de maneiras diferentes, sem que o resultado (soma) seja alterado.

3 1 5 3 1 5 9

8 8 8 8 8 8 8

Importante: Uma fração do tipo 9

8, que tem o

numerador maior que o denominador (imprópria), é

maior que a unidade (8

8). Portanto, pode ser escrita na

forma de número misto. O número misto é formado por uma parte inteira e uma parte fracionária:

9 8 1 1 11 1

8 8 8 8 8 → número misto lê-se:

um inteiro e um oitavo

1.4.2 – Frações heterogêneas (que têm denominadores diferentes)

No caso de efetuarmos a adição e a subtração com frações heterogêneas (que têm denominadores diferentes), é preciso transformá-las em frações equivalentes diferentes que tenham denominadores iguais.

As frações equivalentes que servem como ferramenta para efetuar a adição ou subtração terão denominadores iguais ao MMC dos denominadores das frações iniciais.

Vamos efetuar a seguinte adição:

Como o número 6 é o MMC entre 2 e 3, ele será o

denominador das frações equivalentes às frações dadas.

3 2

6 6

3 2 5

6 6

Então, é preciso multiplicar o numerador e o

denominador de cada fração, pelo mesmo número, de maneira a obtermos o denominador 6. Para subtrair frações, seguimos o mesmo procedimento:

5 1 15 4 15 4 11

8 6 24 24 24 24

(MMC entre 6 e 8: 24)

Sempre que efetuamos qualquer operação com

frações, devemos encontrar o resultado mais simples possível, ou seja, uma fração equivalente que seja irredutível.

O processo usado para simplificar uma fração é a aplicação da mesma propriedade usada para encontrar frações equivalentes, ou seja:

Na simplificação da fração 64

60, temos:

Repare que para encontrar a fração irredutível

equivalente, dividimos 60 e 64 por 4, que é o MDC entre 60 e 64.

Portanto, 16

15 é a forma simplificada da fração

64

60 :

Observação: para encontrar a fração irredutível equivalente a uma fração qualquer, basta dividir o numerador e o denominador da fração original pelo MDC entre eles! Vejamos um exemplo de expressões com frações:

5 7 3

6 12 8 (MMC entre 6, 8, 12: 24)

20 14 9

24 24 24

6 9

24 24

15 5

24 8 (Simplificação)

1 1

2 3

20 Nivelamento – Algebra CASD Vestibulares

Para você resolver uma expressão com frações, você deve efetuar as operações na ordem em que aparecem e simplificar o resultado.

1 21

10 5 (MMC entre 5 e 10:10)

10 1 4

10 10 10

(O número natural 1 foi escrito como uma fração, no

caso: 10

10.)

9 4

10 10

5 1

10 2 (Simplificação – não esqueça!)

Quando as expressões apresentam os sinais de

pontuação, devemos seguir os mesmos passos das expressões numéricas do capítulo 1, ou seja: 1º) Inicialmente, efetuamos as operações que estão entre parênteses ( ). 2º) Em seguida, as que estão entre colchetes [ ]. 3º) E, por último, as que estão entre chaves { }. Observe:

3 1 1 15 4 12 2

4 5 6 20 20 6

11 1 33 10 232 2 2

20 6 60 60 60

120 23 97 60 37 371

60 60 60 60 60 60

1.5 – Multiplicação e divisão de frações Na figura abaixo, dividida em quatro partes

iguais, temos assinalado uma das partes que representa

1

4 da figura.

Para representar 1

3 da parte assinalada, ou

seja, 1

3 de

1

4, vamos dividir essa parte (

1

4) em três

partes iguais e, em seguida, estender a divisão para a figura toda.

Observe que cada parte da figura, após a

segunda divisão, equivale a 1

12 da figura toda, logo:

1

3 de

1

4 =

1

3.1

4=

1

12

Então, para multiplicar frações, devemos

multiplicar os numeradores e os denominadores entre si. Quando fazemos uma multiplicação de frações, podemos simplificar a operação usando o processo de cancelamento. Veja:

1

2

5 4 5 4 5. .

8 9 8 9 18

Para multiplicar uma fração por um número inteiro,

devemos multiplicar esse número pelo numerador da fração e repetir o denominador. Por exemplo:

2 . 3 6

5 5

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração, como é mostrado no exemplo abaixo:

8

8 3 243 24 3 4 12

3

x

Nas expressões numéricas com frações,

devemos lembrar que a ordem em que as operações devem ser efetuadas é a mesma que já aprendemos no capítulo anterior, ou seja: 1º) Potenciação e radiciação; 2º) Multiplicação e divisão; 3º) Adição e subtração;


Calcule o valor da expressão

Resolução:

1

41

4


2 – DÍZIMAS PERIÓDICAS

Sabemos que, quando dividimos um número inteiro por outro, podemos encontrar como quociente um número inteiro ou um número decimal. Por exemplo:

Vejamos, agora, o que acontece quando dividimos 41 por 9:

Se continuarmos a conta, encontraremos sempre o algarismo 5 no quociente, e o resto será sempre o mesmo (5).

Se fizermos essa conta numa máquina de calcular, aparecerá no visor o número 4.5555555 (ou seja, 4,5555555). Nesse caso, o algarismo 5 aparece repetido 7 vezes. Se a mesma conta for feita numa máquina maior, encontraremos um resultado com o algarismo 5 repetido mais vezes (9 ou 11 vezes). Concluímos, então, que a divisão de 41 por 9 nunca termina e que os pontos indicam que o algarismo 5 se repete indefinidamente. O número 4,555... é chamado de dízima periódica e o algarismo 5 é o período da dízima. Podemos dizer também que a parte inteira da dízima (que é o número que vem antes da vírgula) é 4. Podemos também representar a dízima periódica

colocando um traço sobre o período: 4, 5 .

Como essa dízima é gerada pela divisão

,

pode-se dizer que a geratriz da dízima é a fração

.

Daqui a pouco vamos estudar a geratriz com mais detalhes.

Assim, uma dízima periódica é um número decimal que tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente.

Vejamos outros exemplos de geratrizes e as respectivas dízimas periódicas:

O período é 8, a parte inteira é 1.

O período é 21, a parte inteira é zero.

Nesses dois exemplos, os períodos aparecem logo após a vírgula. Elas são chamadas de dízimas periódicas simples. As dízimas nas quais aparece algum outro número entre a vírgula e o período, são chamadas de dízimas periódicas compostas. Por exemplo: 1,4888... O período é 8, a parte não-periódica é 4, a parte inteira é 1. 0,3272727... O período é 27, a parte não-periódica é 3, a parte inteira é zero.

Os números que vimos até agora podem ter muitas representações, como:

5; 5,0; 10

2...

0,8; 0,80; 4

5...

0,666...; 6

9;

8

12...

Além disso, observamos que todos esses números

podem ser representados em forma de fração. Por isso, todos eles são números racionais.

2.1 – Encontrando a fração geratriz de uma dízima periódica

Acabamos de notar que todo número na forma decimal exata ou de dízima periódica pode ser

convertido à forma de fração a

b e, portanto, representa

um número racional. Quando o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos diferentes de zero, ele é chamado de um decimal exato e ao transformá-lo na forma de fração obtemos um número fracionário cujo numerador é um número natural e cujo denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas depois da vírgula do número dado. Exemplos:

45

0,45100

731235

73,123510.000

Quando o número decimal é uma dízima periódica, sempre é possível determinar a fração que originou a dízima periódica. Como acabamos de ver, esta fração é denominada de geratriz da dízima periódica. Seguem abaixo exemplos de como transformar uma dízima periódica em fração: 1º) 0,5555...

.

50,555... 9 5

9

10 5,555...

x x x

x

2º) 0,4747...

470,474747... 99 47

99

100 47,4747...

x x x

x

3º) 0,2373737...

0,2373737...

23510 2,3737... 990 235

990

1000 237,3737...

x

x x x

x

4º) 7,989898...


7917,989898... 99 791

99

100 798,989898...

x x x

x

5º) 3,68424242....

3,68424242...

36474100 368,424242... 9.900 36474...

9.900

10.000 36842,424242...

x

x x x

x

Agora observe o número 0,10110111011110 ....

Ele tem infinitas casas decimais, mas sem período. Será que você pode concluir como serão as casas decimais seguintes? A parte decimal começa com 1 seguido de zero, depois 11 seguido de zero, depois 111 seguido de zero e assim por diante. Ou seja, o número nunca terá um fim nem um período. Como ele não é um decimal exato nem uma dízima, ele não é um número racional. Um número desse tipo é chamado de número irracional. Um número irracional não é resultado de nenhuma divisão de números inteiros; ele não pode ser escrito em forma de fração. Já vimos um número

irracional muito conhecido, o número , que vale aproximadamente 3,1416. Você verá mais adiante exemplos de números irracionais, que surgem naturalmente em muitos cálculos matemáticos.


Nível I

1. Determine a menor fração entre

2. Determine a maior fração entre

3. Coloque em ordem crescente os seguintes números

racionais:

4. Complete o quadro de modo que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e da diagonal seja a mesma:

2

3

1

12

1

2

5

12

7

12

1

3

1

6

5. Efetue e simplifique o resultado, sempre que possível:

a)

b)

c)

d)

6. Ao receber seu salário, Pedro gastou 2

5 com o

aluguel e ½ do que sobrou em custos com alimentação. Que fração do salário ainda restou?

7. Diga se estes números são racionais ou irracionais: a) 4 b) 4,333 c) 4,33... d)1,010010001... e) 4,330 f) 0

8. Efetue as divisões com quociente decimal:

a)

b)

c)

9. Agora, sem efetuar a conta, dê o resultado decimal de:

a)

b)

c)

10. Escreva a representação decimal de:

a)

b)

c)

d)

11. Escreva se a representação decimal é finita, infinita e periódica ou infinita e não-periódica:

a)17

5 b) 3,45 c) 0,35

d) 0,12131415... e) 4

6 f) π

12. Escreva estes números racionais na forma de fração: a) 3 b) 2,5 c) 0,555... d) 0

13. Coloque na forma de uma fração irredutível os seguintes números racionais: a) 0,4 b) 0,444... c) 0,32 d) 0,323232... e) 54,2 f) 5,423423423...

Nível II

14. Calcule o valor de:

0,2.0,7 4.0,01

0,5.0,2

15. Resolva (cuidado com números mistos):

a)

2 5 2 30,5

4 3 5 4

0,63: 0,1

x x x

b)

2 1 5 23 : 5 3

5 2 3 4

10,75

5

x

x


16. Resolva as expressões:

a)

1 1

5 30,999...3 1

5 15

b) 0,363636... (0,012 45) =

c)

9

13

06,0...333,0

d) 0,333... : 0,06

13 1

9

e)

75,05

1

34

2

3

5

5

2

3

5

4

2

f)

18

9

3

2

54,3

44,1...555,1

2,1...777,0

17. Resolva a expressão abaixo:

Lembre-se que os números embaixo do traço são a parte periódica de uma dízima.

GABARITO

1.

2.

3.

4.

5. a)

b)

c)

d)

6.

7. a) Racional b) Racional c) Racional d) Irracional e) Racional f) Racional 8. a) 0,111... b) 0,222... c) 0,333... 9. a) 0,444... b) 0,555... c) 0,666...

10.a) 0,1313... b) 0,35 c) 6,2222... d) 4,26666...

11. a) Finita b) Finita c) Finita d) Infinita e não-periódica e) Infinita e periódica f) Infinita e não-periódica

12. a)

b)

c)

d)

13. a)

b)

c)

d)

e)

f)

14. 1

15. a)

b)

16. a) b)

c)

d)

e)

f)

17.


ÁLGEBRA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO VVII –– RRAAZZÕÕEESS EE PPRROOPPOORRÇÇÕÕEESS

1 – RAZÕES E PROPORÇÕES

1.1 - Razão

A razão entre dois números a e b 0, nessa

ordem, é o quocientea

b (lê-se “a está para b” ou “a

para b”). Este é um conceito bastante importante em nosso cotidiano. Vejamos:

Se uma caixa d’água produz uma sombra de 20 m e um homem com 1,80 m de altura produz uma sombra de 1,20 m, medidas no mesmo local e na mesma hora, qual é a altura da caixa? Comparando o comprimento da sombra do homem com sua altura, medidos em centímetros (cm), encontramos:

120

180=

2

3 , depois de simplificar a fração.

A razão é uma das formas que usamos para

comparar dois números. Dizemos que a razão entre o

comprimento da sombra e a altura do homem é de 2

3 ou

2/3 ou 2 : 3 que se lê 2 para 3. Como as medidas foram feitas na mesma hora e no mesmo local, a razão entre o comprimento da sombra da caixa d’água e sua altura

também será 2

3 . A altura da caixa d’água é igual a 30

m, pois a razão 20

30 é igual a

2

3.

.Haviam 1200 inscritos num concurso, passaram

na prova um total de 240 candidatos. Qual a razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

No caso de mapas geográficos, plantas de casas

ou maquetes de projetos, a escala determina a relação entre as medidas de um desenho e as medidas reais que correspondem a ele.


A planta de uma sala retangular está desenhada

na escala 1:100. Determine as medidas reais dessa sala.

escala 1

100 ou 1:100

Resolução:

A razão entre as medidas que aparecem na

planta da sala e as medidas reais são de 1: 100 ou 1

100

(lê-se 1 para 100), o que significa que as medidas reais são 100 vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta. Para determinar as medidas reais da sala, vamos multiplicar as medidas da planta por 100:

6 cm . 100 = 600 cm = 6 m 8 cm . 100 = 800 cm = 8 m

As medidas reais da sala são, portanto, 6 m e 8

m. O mesmo deveria ser feito com qualquer outra medida que aparecesse na planta, como, por exemplo, largura e altura de portas e janelas. Vimos que uma razão compara dois números pela divisão. Assim podemos definir:

Dados os números a e b cuja razão é dada por a

b

temos que o número a é chamado antecedente ou primeiro termo e o número b é chamado conseqüente ou segundo termo. Observações:

.A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Por exemplo, a razão entre 1 e 4 pode ser apresentada como

1:4 ou 1

4 ou 0,25.

.A razão entre dois números racionais pode ser

expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Por exemplo, a razão entre 1 e

-8 é 1

8

.Duas razões são denominadas inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Exemplo: 6 8 6 8

. 18 6 8 6

e


O conceito de razão tem diversas aplicações em ciências variadas, dentre elas podemos citar a Física, a Geografia e a Química. Nessas áreas, utilizamos várias vezes razões entre grandezas de espécies diferentes. Vejamos alguns exemplos: - Raquel foi passar suas férias no Rio de Janeiro. Apesar de ter se encantado com a cidade, teve que voltar para São Paulo. A viagem durou 5 horas e o percurso total tinha 450 Km. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?

Razão = 450

90 /5

kmkm h

h

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora"). Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km. - O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km

2. Determine a razão entre o número de

habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?

Razão = 2

6.701.924 tan

145.694

habi tes

km

Razão = 46 hab/km

2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro

quadrado"). Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.

- Um cubo de ferro de 125cm³ de volume tem massa igual a 975g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?

Razão =

Razão = 7,8 g/cm

3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro

cúbico"). Essa razão significa que 1cm

3 de ferro pesa 7,8g.

1.2 - Proporção

Quando encontramos uma igualdade entre duas

razões, a relação matemática é chamada de proporção, e dizemos que as quantidades medidas são proporcionais.

Os números a, b, c e d, com b0 e d0 formam, nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre a e b for igual à razão entre c e d. Representa-se por:

a c

b d

(lê-se a está para b assim como c está para d) Os números a e d são chamados extremos e os números b e c são chamados meios.

Exemplos: 3 27

4 36

1.2.1 – Propriedades das proporções Se os números a, b, c e d formam, nessa ordem, uma proporção, então:

a cad bc

b d

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

a c a b c d

b d b d

A soma (ou diferença) dos dois primeiros está para o segundo, assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos está para o último.

a c a c a c

b d b d b d

A soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes assim como cada antecedente está para o correspondente conseqüente.


Uma pessoa viaja 120 km em 2 horas. Quantas horas levará a mesma pessoa para percorrer 180 km com a mesma velocidade? Resolução:

120

2 =

180

?

Essa igualdade é uma proporção, e os números

que medem as distâncias e o tempo são proporcionais. Quanto maior a distância, maior será o tempo para percorrê-la. Como calcular o número que não se conhece na proporção desse exemplo? Substituindo o ponto de interrogação (?) pela letra x, que é usada em lugar do termo desconhecido,

120

2=

180

x e aplicando a primeira propriedade que

vimos anteriormente: 120x = 2.180, logo 120x = 360

Então x = 360

120 (Aplicando operação inversa)

x = 3 Resposta: a pessoa levará 3 horas para percorrer os 180 km.



Determinar x na proporção: 3 1

6 2

x

x

Resolução:

3 1

2. 3 1. 66 2

xx x

x

2. 2.3 6.1 1.

2 6 6

2 6 6

3 12 4

x x

x x

x x

x x

Resposta:

1.2.2 – Grandezas proporcionais Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido ou contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza são: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. São comuns ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: - Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. - Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, a razão entre A e B for igual a uma constante de proporcionalidade K.

Exemplo: Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos)

Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.

5min 100

10min 200

kg

kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.

5min 100

15min 300

kg

kg

Verifique na tabela que a razão entre a massa de ferro produzida e o tempo correspondente é constante, logo a produção e o tempo são grandezas diretamente proporcionais:

Exercício Resolvido 4: Se (3,x,14,...) e (6,8,y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, quanto vale x + y? Resolução: Se (3,x,14,...) e (6,8,y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então:

3 14

6 8

x

y

De 3

6 8

x , temos

3.84

6x e de

3 14

6 y , temos:

6.1428

3y Assim sendo, x + y = 32

Resposta: Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, o produto entre A e B é igual a uma constante de proporcionalidade K. A . B = K

Exemplo: Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo:

Velocidade (m/s)

Tempo (s)

5 200

8 125

10 100

16 62,5

20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.


5 / 200

10 / 100

m s s

m s s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.

5 / 200

20 / 50

m s s

m s s

Verifique na tabela que o produto entre a velocidade e o tempo correspondente é constante, logo a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais:

Atenção: Em geral, quando se fala em “grandezas proporcionais” subentende-se que são “grandezas diretamente proporcionais”.

Exercício Resolvido 5: Calcule x e y sabendo-se que (1,2,x,...) e (12,y,4,...) são grandezas inversamente proporcionais. Resolução: (1,2,x,...) e (12,y,4,...) são grandezas inversamente proporcionais.

1.12 2. .4 2 12y x y e 4x =12

y = 6 e x = 3

Resposta:

1.2.3 – Divisão proporcional Divisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b e c significa determinar os números x, y e z, de tal modo que:

Exercício Resolvido 6: Divida o número 900 em partes diretamente proporcionais a 3,6,9. Resolução: Sendo x, y e z as partes, temos:

Resposta: as partes são Divisão em partes inversamente proporcionais

Dividir um número M em partes inversamente proporcionais aos números a, b e c significa determinar os números x, y e z, de tal modo que:

e

Exercício Resolvido 7: Divida o número 1400 em partes inversamente proporcionais a 2,4,8. Resolução: Sendo x, y e z as partes, temos:

;

Resposta: as partes são


Nível I

1. Numa sala de aula há 30 alunos, dos quais 12 são meninas: a)Qual a razão do número de meninas para o total de alunos da turma? b)Qual é a razão do número de meninos para o total de alunos da turma? c)Qual é a razão do número de meninas para o número de meninos?

2. Quanto custa 12 canetas se 4 canetas custam R$ 3,50?

3. A planta de uma casa foi feita em escala de 1: 50. Quanto medirá na planta uma parede que mede 20 m?


4. Nesta tabela, devemos encontrar vários pares de números A e B. Complete a tabela de modo que a razão

de A para B seja sempre o número 6

7 .

A B Razão A/B

Forma mais simples de A/B

a) 12 14 12

14

6

7

b) 21

c) 30

d) 100

e) 100

5. Determine o valor de x em cada uma das seguintes igualdades de modo que elas se tornem verdadeiras:

a) 20

8=

6

x b)

14

30=

90

x

c) 3

x =

75

15 d)

4

x =

36

27

6. Para que as grandezas (9; x; 5; ....) e (y; 8; 20;...) sejam diretamente proporcionais (isto é, para que

verifiquem as igualdades 9 5

8 20

x

y ...) os valores de

x e y devem ser, respectivamente:

a) 2 e 36 b)

e

c) 2 e 5

d) 5 e 35 e)5 e 36 7. As grandezas (a; 2; 5;...) e (3; 6; b;...) são de números inversamente proporcionais e a+mb=10. O valor de m é: a) 0,4 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) 5 8. São dados três números reais, a<b<c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b, e c são respectivamente, proporcionais a: a) 1,2 e 3 b) 1,2 e 5 c)1,3 e 4 d)1,3 e 6 e)1,5 e 12

9. A razão entre dois números é 3

8 e a soma do maior

com o dobro do menor é 42. O maior deles é: a) 9 b) 15 c) 24 d) 30 e) 32 10. Dois números na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é: a) 90 b) 96 c) 180 d) 72 e) –124

11. Determine x, y e z, sabendo-se que 4 12 20

x y z e

3x+2z=156

12. Sabe-se que2 1,5

5 6 3

a b c e que a+3b-2c=100. O

valor de a+b-c é: a) 100 b) 80 c) 70 d) 60 e) 50

Nível II 13. Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2,3 e 5 a soma entre a menor e a maior parte é: a) 35 b) 49 c) 56 d) 42 e) 28 14. Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos

números1 1 1

, ,2 3 6

,obtêm-se, respectivamente:

a) 330,220 e110 b) 120,180 e 360 c)360,180 e 120 d) 110,220 e 330 e)200,300 e 160 15. Dividir o número 4200 em: a) partes diretamente proporcionais a 6,10 e 12; b) partes inversamente proporcionais a 3,2 e 4. 16. Um número foi dividido em partes proporcionais a 3,5 e 7. Sabendo-se que a terceira parte vale 420, calcular os valores da primeira parte, da segunda e do número. 17. Repartiu-se certa quantia entre 3 pessoas em partes proporcionais a 5,7 e 9. Sabendo-se que a terceira pessoa recebeu R$1.000 a mais que a segunda pessoa, qual a quantia repartida? 18. Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$20.000,00, R$30.000,00 e R$50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente: a) R$5.000,00; R$10.000,00 e R$25.000,00 b) R$7.000,00; R$11.000,00 e R$22.000,00 c) R$8.000,00; R$12.000,00 e R$20.000,00 d) R$10.000,00; R$10.000,00 e R$20.000,00 e) R$12.000,00; R$13.000,00 e R$15.000,00

GABARITO

1. a)

b)

c)

2. R$10,50 3. 0,40 m 4.

A

B

Razão A/B

Forma mais

simples de A/B

a) 12 14 12/14 6/7

b) 18 21 18/21 6/7

c) 30 35 30/35 6/7

d) 600/7 100 (600/7)/100 6/7

e) 100 700/6 100/(700/6) 6/7

5. a) 15 b) 42 c) 15 d) 3


6. A 7. D 8. C 9. C 10. B 11. 12. D 13. B 14. A

15. a) b)

16. Primeira parte:180; Segunda parte:300;Total: 900 17. R$10.500,00 18. C



CCAAPPÍÍTTUULLOO VVIIII –– RREEGGRRAA DDEE TTRRÊÊSS

1 – REGRA DE TRÊS SIMPLES Imagine que seja necessário resolver os

seguintes tipos de problemas:

1) Uma pessoa paga pelo quilo de feijão R$ 1,20. Quanto ela pagará se comprar 12 quilos de feijão?

2) Num acampamento, há 48 pessoas e alimento suficiente para 30 dias. Se 16 pessoas forem embora, para quantos dias ainda haverá alimento? Para resolver esses problemas, em que sabemos três informações e queremos descobrir uma quarta informação desconhecida, normalmente é utilizada a regra de três simples. Regra de três é um assunto importantíssimo, que é necessário não só na matemática, mas também em física e principalmente em química. A idéia por trás desse assunto é ilustrada nos exercícios resolvidos a seguir. Trate de aprender muito bem!

1.1 – Regra de três simples direta


Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de 80 km/h, quantos quilômetros percorrerá em 2 horas? Resolução: Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:

Tempo Espaço

1h 80 km

2h x

A letra x representa o valor desconhecido do

problema. Tempo e espaço são grandezas diretamente

proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra também aumenta e quando uma diminui, a outra também diminui. Na tabela acima, cada grandeza está associada a uma

razão (

para o tempo e

para o espaço).

Como o tempo é diretamente proporcional à grandeza que tem o x, não precisamos inverter a razão correspondente ao tempo para montar a proporção correta entre as grandezas. Veja:

Nas contas acima, aplicamos a propriedade fundamental das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos! Resposta: o ônibus percorrerá 160 km em 2 horas.

Exercício Resolvido 2: Calcule a altura de uma torre que projeta uma sombra de 28,80m no mesmo instante em que uma árvore de 4,2m de altura, plantada verticalmente, projeta uma sombra de 3,6m. Resolução: Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:

Altura Sombra

x 28,8

4,2 3,6

Quanto maior é a altura de um objeto, maior é a sua sombra, então a altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais. Na tabela acima, cada grandeza está associada a uma

razão (

para a altura e

para a sombra).

Como a sombra é diretamente proporcional à

grandeza que tem o x, não precisamos inverter a razão correspondente à sombra para montar a proporção correta entre as grandezas. Veja:

Resposta: A altura da torre é 33,6m.

Nos dois exercícios acima, as duas grandezas sempre eram diretamente proporcionais, por isso a regra de três era direta. Repare que uma das grandezas tinha o x (o espaço no exercício 1 e a altura no exercício 2) e a outra não tinha o x (o tempo no exercício 1 e a sombra no exercício 2). Para montar a proporção correta, nós não invertemos a razão da grandeza sem o x, pois as duas grandezas eram diretamente proporcionais. No entanto, se as duas grandezas fossem inversamente proporcionais, a regra de três seria inversa. Nesse caso, para montar a proporção correta entre as grandezas, precisamos inverter a razão da grandeza sem o x para montar a proporção correta. Isso está ilustrado nos exercícios resolvidos do próximo assunto.


29

1.2 – Regra de três simples inversa


Um ônibus, com velocidade média de 80 km/h, leva 5 horas para percorrer uma estrada. Quanto tempo gastará para percorrer a mesma estrada se o ônibus desenvolver velocidade média de 100 km/h? Resolução: Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:

Tempo(h) Velocidade média (km\h)

5 80

X 100

Quanto maior é a velocidade média do ônibus, menos tempo ele leva para percorrer a estrada, então o tempo e a velocidade média são grandezas inversamente proporcionais. Na tabela acima, cada grandeza está associada a uma

razão (

para o tempo e

para a velocidade média).

Como o número de operários é inversamente proporcional à grandeza que tem o x, precisamos inverter a razão correspondente ao número de operários para montar a proporção correta entre as grandezas. Veja:

Resposta: O ônibus gastará 4 horas.

Exercício Resolvido 4: Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Quanto tempo levaria 4 pintores para fazer o mesmo serviço? Resolução: Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:

Pintores Tempo

2 18h

4 x

Quanto mais pintores nós temos, menos tempo eles levam para pintar a parede, então o número de operários e o número de dias são grandezas inversamente proporcionais. Na tabela acima, cada grandeza está associada a uma

razão (

para o número de pintores e

para o tempo).

Como o número de operários é inversamente proporcional à grandeza que tem o x, precisamos inverter a razão correspondente ao número de operários para montar a proporção correta entre as grandezas. Veja:

Resposta: 4 pintores levariam 9 horas.


Cinco operários constroem uma casa em 360 dias. Quantos dias serão necessários para que 15 operários construam a mesma casa? Resolução: Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:

Operários Dias

5 360

15 x

Quanto mais operários nós temos, menos dias eles levam para construir a casa, então o número de operários e o número de dias são grandezas inversamente proporcionais. Na tabela acima, cada grandeza está associada a uma

razão (

para o número de operários e

para o

número de dias). Como o número de operários é inversamente

proporcional à grandeza que tem o x, precisamos inverter a razão correspondente ao número de operários para montar a proporção correta entre as grandezas. Veja:

Resposta: Serão necessários 120 dias.

2 – REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Na regra de três simples, nós sempre tínhamos apenas duas grandezas no problema: uma com o x e outra sem o x. Dependendo se as grandezas eram inversamente ou diretamente proporcionais, nós invertemos ou não invertemos a razão da grandeza sem o x.

Agora, nós vamos estudar os problemas que envolvem a regra de três composta. Nesses problemas, aparecem mais de duas grandezas, sendo que só uma tem o x e as outras não têm o x.

A idéia é a mesma da regra de três simples: para cada grandeza sem o x, nós analisamos se ela é inversamente ou diretamente proporcional à grandeza com o x. Se for inversamente proporcional, nós invertemos a razão dessa grandeza. Se for diretamente proporcional, nós não invertemos a razão dessa grandeza.

Em seguida, para montar a proporção correta, temos que igualar a razão da grandeza com o x ao produto das razões das grandezas sem o x.

Esse método está ilustrado nos exercícios resolvidos a seguir.


Exercício Resolvido 6: Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Resolução: Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:

Homens Carrinhos Dias

8 20 5

4 x 16

Quanto mais homens nós temos, mais

carrinhos eles podem montar, então o número de homens e o número de carrinhos são grandezas diretamente proporcionais.

Quanto mais carrinhos nós montamos, mais dias eles levam para serem montados, então o número de carrinhos e o número de dias são grandezas diretamente proporcionais. Na tabela acima, cada grandeza está associada a uma

razão (

para o número de homens,

para o número

de carrinhos e

para o número de dias).

Como o número de homens é diretamente proporcional à grandeza que tem o x, não precisamos inverter a razão correspondente ao número de horas. Como o número de dias é diretamente proporcional à grandeza que tem o x, não precisamos inverter a razão correspondente ao volume.

Para montar a proporção correta, precisamos igualar a razão do número de carrinhos (que é a grandeza que tem o x) ao produto das razões das outras grandezas:

Resposta: Serão montados 32 carrinhos.


Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m

3

de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m

3?

Resolução: Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:

Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Quanto mais caminhões nós temos, menos

horas eles levam para descarregar a areia, então o número de caminhões e o número de horas são grandezas inversamente proporcionais.

Quanto mais caminhões nós temos, maior é o volume de areia que eles podem descarregar, então o número de caminhões e o volume são grandezas diretamente proporcionais.

Na tabela acima, cada grandeza está associada

a uma razão (

para o número de horas,

para o

número de caminhões e

para o volume).

Como o número de horas é inversamente proporcional à grandeza que tem o x, precisamos inverter a razão correspondente ao número de horas. Como o volume é diretamente proporcional à grandeza que tem o x, não precisamos inverter a razão correspondente ao volume.

Para montar a proporção correta, precisamos igualar a razão do número de caminhões (que é a grandeza que tem o x) ao produto das razões das outras grandezas (sem esquecer de inverter a razão do número de horas):

Resposta: Serão necessários 25 caminhões.


Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia abriram um canal de 238 metros de comprimento em 17 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal em 25 dias de 7 horas de trabalho? Resolução: Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:

Operários Horas / dia Comprimento N º de dias

25 10 238 17

X 7 686 25

Quanto mais operários nós temos, menos horas

por dia são necessárias para abrir o canal, então o número de operários e o número de horas por dia são grandezas inversamente proporcionais.

Quanto mais operários nós temos, maior é o comprimento do canal que eles podem abrir, então o número de operários e o comprimento são grandezas diretamente proporcionais.

Quanto mais operários nós temos, menos dias são necessários para abrir o canal, então o número de operários e o número de dias são grandezas inversamente proporcionais. Na tabela acima, cada grandeza está associada a uma

razão (

para o número de operários,

para o

número de horas por dia,

para o comprimento e

para o número de dias).


31

Como o número de horas por dia é inversamente proporcional à grandeza que tem o x, precisamos inverter a razão correspondente ao número de horas por dia.

Como o comprimento é diretamente proporcional à grandeza que tem o x, não precisamos inverter a razão correspondente ao comprimento.

Como o número de dias é inversamente proporcional à grandeza que tem o x, precisamos inverter a razão correspondente ao número de dias por dia.

Para montar a proporção correta, precisamos igualar a razão do número de operários (que é a grandeza que tem o x) ao produto das razões das outras grandezas (sem esquecer de inverter a razão do número de horas por dia e a razão do número de dias):

Pois

Simplificando as frações, tem-se:

Resposta: Serão necessários 70 operários.


Nível I

1. Qual é a altura de um edifício cuja sombra tem 6 m no mesmo instante em que um poste de 2 m de altura projeta uma sombra de 0,6 m? 2. Trabalhando durante 40 minutos, uma máquina produz 100 peças. Quantas peças essa máquina produzirá em 2 horas? 3. Um trem percorre 240km em 3 horas. Quanto tempo levará esse trem, com a mesma velocidade, para percorrer 400km? 4. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m

2

em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m

2?

a) 7 horas b) 5 horas c) 9 horas d) 4 horas 5. Para percorrer 360 km de uma estrada, um automóvel consome 30L de gasolina. Para percorrer 450 km, quanto consumirá? 6. Se 16 operários levam 3 dias para completar uma obra, quantos operários seriam necessários para completar essa obra em 2 dias? 7. Quatorze pedreiros levam 180 dias para construir uma casa.Quanto tempo levarão 10 pedreiros para construir a mesma casa? 8. Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada

para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será: a) 0,685m b) 1,35m c) 2,1m d) 6,85m e) 18m 9. Uma torneira enche um tanque em 2 horas. Em quanto tempo (em minutos) 3 torneiras iguais a primeira encherão o mesmo tanque? 10. O eixo de um motor dá 2376 voltas em 9 minutos. Quantas voltas dará em 1h27min? 11. Cem quilogramas de trigo fornecem 85kg de farinha. Quantos quilogramas de farinha se obtêm com 150 sacas de trigo de 75kg cada uma?

12. De duas fontes, a primeira jorra 18 por hora e a

segunda 80 por hora. Qual é o tempo necessário para

a segunda jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos?

Nível II 13. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentar-se durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? 14. Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias? 15. Uma equipe de 15 homens extrai, em 30 dias 3600kg de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirá extrair 5600kg de carvão? 16. Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60cm de largura.Qual será o comprimento do tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura de 0,90m? 17. Vinte operários trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 30 metros. Quanto tempo levará um a turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 255 metros? 18. Dez operários, com capacidade de trabalho igual a 45, fazem 150 metros de uma obra em 20 dias. Qual deve ser a capacidade de trabalho de 5 operários para fazer 20 metros da mesma obra em 60 dias?

GABARITO 1. 20 m 2. 300 peças 3. 5 horas 4. A 5. 37,5 litros 6. 24 operários 7. 252 dias 8. C


9. 40 minutos 10. 22968 voltas 11. 9562,5 quilogramas 12. 5,625 minutos ou 5 minutos e 37,5 segundos 13. 5 quilos 14. 12 máquinas 15. 35 dias 16. 2000 m 17. 170 dias 18. 4

CASD Vestibulares Nivelamento – Algebra 33


CAPÍTULO VIII – MATEMÁTICA FINANCEIRA

1 – DESCONTOS E AUMENTOS

1.1 – Problemas envolvendo um único desconto e um único aumento

Muitas vezes, nós nos deparamos com alguns problemas quando vamos comprar um produto cujo preço acabou de sofrer um desconto, quando o nosso salário aumenta ou quando a tarifa do ônibus aumenta. Muitas vezes, os descontos e os aumentos são informados na forma de porcentagem. Como relacionar corretamente porcentagem, valor inicial e valor final? É isso que nós vamos ver nos exercícios resolvidos a seguir.


Ao comprar uma mercadoria de R$ 40,00, o dono da loja me concedeu desconto de R$ 5,00. Qual foi o percentual relativo a esse desconto?

Resolução:

Devemos calcular a relação entre o desconto

e o preço inicial (R$ 40,00). A proporção entre o

desconto e o preço inicial é de 5

40 ou

1

8. Para

sabermos o percentual, calculamos uma fração equivalente a essa proporção, cujo denominador seja 100. Sendo x o percentual, temos:

Resposta: o desconto foi de 12,5%.

Exercício Resolvido 2: O salário de uma pessoa passou de R$

70,00 para R$ 100,00. Qual o foi percentual do aumento? Resolução:

Devemos calcular a relação entre o aumento e o salário inicial (R$ 70,00).Como o aumento foi de R$ 30,00, a proporção entre o aumento e o salário era de

Sendo x o percentual, temos:

Resposta: o aumento foi de 42,85%.

Exercício Resolvido 3: Oferecendo um desconto de 20% para

pagamento à vista, a quanto sairia um artigo cujo preço normal é R$ 48,00?

Resolução:

O desconto informado é em relação ao preço inicial (R$ 48,00). Então, o valor do desconto, em reais, é:

Então, o preço à vista seria de:

R$ 48,00 - R$ 9,60 = R$ 38,40 Resposta: o preço à vista será R$ 38,40.

Observação: em todos os exercícios resolvidos acima, calculamos o desconto em relação ao valor inicial (R$ 40,00; R$ 70,00; R$ 48,00). Se tivéssemos tomado como referência o valor final, as nossas respostas estariam erradas! Então:

Em um problema envolvendo um desconto ou um aumento, o desconto ou o aumento referem-se ao valor inicial.

1.2 – Descontos e aumentos sucessivos

Agora vamos estudar problemas que envolvem vários descontos ou aumentos. Para resolver esses problemas, para cada desconto ou aumento, devemos analisar o efeito que ele provocou sobre o valor inicial e calcular o valor final. Esse método é ilustrado no exercício resolvido a seguir.


Um produto cujo preço inicial é R$ 100,00 sofreu dois aumentos sucessivos de 20% e 30%. Qual é o percentual relativo ao aumento total?

Resolução:

Inicialmente, vamos calcular o efeito do

aumento de 20%. Esse aumento é relativo ao preço de R$ 100,00. Logo, o valor do aumento, em reais, é:

Então o preço do produto depois do primeiro

aumento é R$ 100,00 +R$ 20,00 =R$ 120,00


Agora, é importante perceber o seguinte: no momento do aumento de 30%, o preço do produto já deixou de ser R$ 100,00. Por causa do aumento de R$ 20%, o preço do produto agora é R$ 120,00. Então o aumento de 30% é relativo ao preço de R$ 120,00. Logo, o valor do aumento, em reais, é:

Então o preço do produto depois do segundo

aumento é R$ 120,00 +R$ 36,00 =R$ 156,00 Assim, o aumento total é a diferença entre o

preço final (R$ 156,00) e o preço original (R$ 100,00) e vale R$ 156,00 – R$ 100,00 =R$ 56,00.

O aumento total é relativo ao preço original

(R$ 100,00).Como o aumento foi de R$ 56,00, a

proporção entre o aumento e o salário era de


Resposta: o aumento total foi de 56%

Observação: repare que o percentual relativo

ao aumento total foi de 56%, e não a soma dos percentuais relativos aos aumentos de 20% e 30%, que resultaria em 50%. Então:

Nunca some os percentuais relativos a

cada aumento para calcular o percentual relativo ao aumento total. Analise os efeitos de cada aumento, separadamente!

Agora, vamos ver um exercício resolvido que envolve dois descontos sucessivos.


Um produto cujo preço inicial é R$ 200,00 sofreu dois descontos sucessivos de 20% e 30%. Qual é o percentual relativo ao desconto total?

Resolução:



Então o preço do produto depois do primeiro

desconto é R$ 200,00 -R$ 40,00 =R$ 160,00

Agora, é importante perceber o seguinte: no

momento do desconto de 30%, o preço do produto já deixou de ser R$ 200,00. Por causa do desconto de R$ 20%, o preço do produto agora é R$ 160,00. Então o desconto de 30% é relativo ao preço de R$ 160,00. Logo, o valor do desconto, em reais, é:


aumento é R$ 160,00 -R$ 48,00 =R$ 112,00 Assim, o desconto total é a diferença entre o

preço original (R$ 200,00) e o preço final (R$ 112,00) e vale R$ 200,00 – R$ 112,00 =R$ 88,00.

O desconto total é relativo ao preço original

(R$ 200,00).Como o desconto foi de R$ 88,00, a

proporção entre o aumento e o salário era de


Resposta: o desconto total foi de 44%

Observação: repare que o percentual relativo

ao desconto total foi de 44%, e não a soma dos percentuais relativos aos aumentos de 20% e 30%, que resultaria em 50%. Então:

Nunca some os percentuais relativos a

cada desconto para calcular o percentual relativo ao desconto total. Analise os efeitos de cada desconto, separadamente!

Agora, vamos ver um exercício resolvido que envolve um aumento e um desconto.


Um produto cujo preço inicial é R$ 2000,00 sofreu um aumento de 40% e um desconto de 40%. Qual é o preço final do produto? O preço final é maior, menor ou igual ao preço inicial?

Resolução:



Então o preço do produto depois do aumento

é R$ 2000,00 +R$ 800,00 =R$ 28000,00


Agora, é importante perceber o seguinte: no momento do desconto de 40%, o preço do produto já deixou de ser R$ 2000,00. Por causa do aumento de R$ 40%, o preço do produto agora é R$ 2800,00. Então o desconto de 40% é relativo ao preço de R$ 2800,00. Logo, o valor do desconto, em reais, é:


aumento é R$ 2800,00 -R$ 1120,00 =R$ 1680,00

Resposta: o preço final do produto é R$ 1680,00, que é menor do que o preço inicial.

Observação: alguém poderia pensar que como o percentual relativo ao desconto é igual ao percentual relativo ao aumento, o desconto poderia cancelar o efeito do aumento e o preço final seria igual ao preço original. No entanto, na verdade o preço final é menor do que o preço original.

Analise o efeito do desconto e do

aumento, separadamente!

2 – LUCRO E PREJUÍZO

Muitas vezes, quanto um comerciante vende

um produto para um cliente, ele comprou o mesmo produto de outro lugar. Por exemplo, muitos vendedores de legumes compraram eles dos fazendeiros que plantaram eles. Para o comerciante ganhar dinheiro, ele sempre tenta vender o produto por um preço mais caro do que ele comprou. Imagine as seguintes situações:

O comerciante comprou uma fruta por R$ 2,00 e vendeu para um cliente por R$ 3,00. Quanto o comerciante ganhou?

Nesse caso, o comerciante ganhou com a

venda R$ 3,00 – R$ 2,00 =R$ 1,00. Como o comerciante ganhou dinheiro, diz-se que ele teve lucro. O lucro é o dinheiro que o comerciante ganhou. Na situação acima, o lucro foi de R$1,00, o preço de custo para o comerciante foi R$ 2,00 e o preço de venda foi R$ 3,00. Imagine agora outra situação:

O comerciante comprou um legume por R$ 5,00 e vendeu para um cliente por R$ 4,00. Quanto o comerciante perdeu?

Nesse caso, o comerciante perdeu com a

venda R$ 5,00 – R$ 4,00 =R$ 1,00. Como o comerciante perdeu dinheiro, diz-se que ele teve prejuízo. O prejuízo é o dinheiro que o comerciante perdeu. Na situação acima, o prejuízo foi de R$1,00, o preço de custo para o comerciante foi R$ 5,00 e o preço de venda foi R$ 4,00.

Agora, vamos ver alguns exercícios resolvidos.


Um vendedor comprou um CD por R$ 20,00 e quer obter um lucro de 20% sobre o preço de custo. Por quanto ele deve vender o CD?

Resolução:

Como o lucro deve ser de 20% sobre o preço

de custo, o valor do lucro, em reais, é:

Assim, o preço de venda do CD deve ser o

preço de custo (R$ 20,00) mais o lucro (R$ 4,00), o que dá um valor de R$ 20,00 +R$ 4,00 =R$ 24,00.

Resposta: o vendedor deve vender o CD por R$ 24,00


Um rapaz comprou um carro por

R$ 12.500,00. Dois anos depois de ter comprado o carro, ele resolveu revendê-lo. No entanto, por causa da desvalorização, ele teve um prejuízo de 30% sobre o preço de venda. Por quanto ele vendeu o carro?

Resolução:

Como o prejuízo foi de 30% sobre o preço de

custo, o valor do prejuízo, em reais, é:

Assim, o preço de venda do CD deve ser o

preço de custo (R$ 12.500,00) menos o prejuízo (R$ 3750,00), o que dá um valor de R$ 12.500,00 -R$ 3750,00 =R$ 8.750,00.

Resposta: o rapaz vendeu o carro por R$ 8.750,00


Uma pessoa comprou uma casa por R$

160.000,00 e vendeu ela com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Por quanto ela vendeu a casa?


Resolução:

Esse problema é diferente dos anteriores,

pois o lucro é sobre o preço de venda (e não sobre o preço de custo). Como o lucro vale 20% do preço de venda, e como o preço de custo é o preço de venda (que vale 100% do preço de venda) menos o lucro (que vale 20% do preço de venda), tem-se que o preço de custo vale 100% - 20% =80% do preço de venda. Nesse caso, se x é o preço de venda, podemos montar a seguinte proporção:

Resposta: a casa foi vendida por R$ 200.000,00

3 – JUROS SIMPLES

De maneira geral, os juros representam uma quantia que uma pessoa paga a mais do que a quantia inicial. Eles surgem quando alguém compra uma mercadoria a prazo, atrasa uma conta, faz um empréstimo, e em várias outras situações do dia-a-dia.

Neste momento, nós vamos estudar os juros simples. Os juros simples são aplicados sobre um capital inicial, a uma taxa constante, durante um determinado período de tempo. O período de tempo pode ter várias unidades diferentes (dias, meses, anos, etc.), dependendo do que for mais adequado para a situação. Vamos ver agora a principal fórmula que envolve os juros simples:

Agora, vamos explicar o que cada letra significa:

– é o capital, a quantia inicial sobre a

qual os juros são aplicados;

– é a taxa de juros (expressa em

porcentagem), por unidade de tempo;

– é o período de tempo durante o qual os

juros são aplicados. Deve ser calculado na mesma unidade que a da taxa de juros;

– é o total de juros simples aplicados;

Também existe outra fórmula, que pode ser cobrada:

Nesta fórmula, o símbolo é o montante, a quantia

total depois de aplicar os juros. O valor do montante sempre é o da quantia inicial (capital) mais os juros.

Observação: se o problema não dizer nada diferente, considera-se que um ano tem 12 meses, e que um mês tem 30 dias.

Atenção: use taxa de juros e tempo nas mesmas grandezas, se, por exemplo, então t deve estar também em meses!

Vamos ver então alguns exercícios

resolvidos sobre juros simples.


Uma pessoa consegue um empréstimo de

R$ 500,00 reais para pagar ao fim de quatro meses. O banco cobra uma taxa de juros de 18% ao mês. Qual será o total da quantia a ser paga por essa pessoa ao final desse período? Resolução:

No nosso problema, o valor do capital é R$

500,00, a taxa de juros é 18% ao mês, e o período de tempo é de 4 meses. Então, aplicando a fórmula, tem-se:

Logo, serão cobrados R$ 360,00 de juros

simples ao final desse período. Então, a quantia total a ser paga é:

Resposta: a quantia total a ser paga é R$ 860,00


Pedro comprou um eletrodoméstico por R$

100,00 e pretende pagá-lo em quatro prestações mensais iguais. Consultando uma tabela, o vendedor diz que cada uma das prestações sairá por R$ 37,00. Qual o valor da taxa de juros embutida na compra? Resolução:

Primeiro vamos calcular a quantia total a ser

paga (o montante). Como são 4 prestações de R$ 37,00, tem-se:

. Agora, vamos calcular o total de juros simples. Como o capital é R$ 100,00, tem-se:

Finalmente, vamos calcular a taxa de juros utilizando a fórmula:


Lembrando que a taxa de juros sempre é expressa em porcentagem, tem-se que a taxa é de 12% ao mês (afinal, as prestações são mensais). Resposta: a taxa de juros é de 12% ao mês


Nível I

1. O salário de Antônio é igual a 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O salário de Antônio é: a) R$ 5.500,00 b) R$ 45.000,00 c) R$ 4.000,00 d) R$ 4.500,00 e) R$ 3.500,00 2. Sabendo que o salário de Pedro passou para R$ 442,00, após um aumento de 70%, responda: qual era o salário de Pedro antes do aumento? 3. Em uma promoção numa revenda de carros, está sendo dado um desconto de 18% se o pagamento for à vista. Se um carro é anunciado por R$16.000,00, então o preço para pagamento à vista desse carro será: a) R$ 13.120,00 b) R$ 13.220,00 c) R$ 13.320,00 a) R$ 13.420,00 b) R$ 13.520,00 4.. Um livro que marcava o preço de R$ 600,00, ao ser vendido sofreu uma desvalorização de 30%. O livro foi vendido por quanto? 5. Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50, teve um aumento, passando a custar R$ 13,50. O percentual relativo ao aumento é de: a) 2,0% b)10,0% c) 12,5% d)8,0% e)10,8% 6. Ao vender um objeto por R$ 90,00, uma pessoa obteve um lucro de 20% sobre o preço de custo. Quanto deve ter lhe custado esse objeto? 7. Um negociante vendeu um objeto por R$ 1232,00 tendo um prejuízo de 12% sobre o preço de custo. Qual o preço de custo? 8. Uma casa é comprada por R$ 345.000,00 e vendida por R$ 386.400,00. O lucro sobre o preço de custo foi de: a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 18% 9. Um homem tinha que pagar uma conta de luz no valor de R$ 150,00 no dia 5 de Janeiro. No entanto, ele se esqueceu da conta e só pagou ela no dia 30 de Janeiro. Sabendo que a companhia elétrica cobra uma multa de 2% sobre o valor total da conta para cada dia de atraso, quanto o homem pagou pela conta de luz no dia 30 de Janeiro?

10. Um capital é empregado à taxa de 8% ao ano. No fim de quanto tempo os juros simples produzidos

ficam iguais a 3

5 do capital?

Nível II 11. Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro, para o importador? a) R$ 22.500,00 b) R$ 24.000,00 c) R$ 25.350,00 d) R$ 31.200,00 e)R$ 39.000,00

12. Qual é o percentual relativo ao aumento total correspondente a dois aumentos sucessivos de 30% e 50%? 13. A casa do Sr. Rafael foi adquirida através do sistema financeiro de habitação. A prestação mensal de sua casa aumentou 30%. Mas, por recurso judicial, a partir deste mês, aquele que pagar até o 5° dia útil do mês tem direito a um desconto de 20%. Se o Sr. Rafael pagou sua casa no dia 02(dois), o aumento total sobre a prestação do mês anterior foi de: a) 10% b) 8% c) 6% d) 4% e) 2% 14. Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser o mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% 15. O preço de certa mercadoria sofreu um aumento de 60%. Para que o preço da mercadoria volte a ser o que era antes do aumento, de quanto se deve diminuir o novo preço da mercadoria? 16. Um capital C colocado a render juros simples durante 18 meses produziu o montante de R$ 63.000,00. Colocado nas mesmas condições durante 2 anos produziu o montante de R$ 72.000,00. Qual a taxa anual de juros? 17. Jorge vendeu a Carlos sua motocicleta com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Tendo a moto custado a Jorge a importância de R$ 6.400, quanto pagou Carlos? 18. Uma pessoa adquiriu uma bicicleta por R$ 4.000 e revendeu com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Por quanto a revendeu?


GABARITO 1. D 2. R$ 260,00 3. A 4. R$ 420,00 5. D 6. R$ 75,00 7. R$ 1.400,00 8. C 9. R$ 225,00 10. 7 anos e meio 11. B 12. 95% 13. D 14. C 15. 37,5% 16. 50% ao ano. 17. R$ 8000,00 18. R$ 5000,00



CCAAPPÍÍTTUULLOO IIXX –– OOPPEERRAANNDDOO CCOOMM PPOOTTÊÊNNCCIIAASS

1 – POTENCIAÇÃO Operações com potências são muito utilizadas

em diversas áreas da Matemática, e em especial no cálculo algébrico. O conhecimento das propriedades operatórias da potenciação pode facilitar a resolução de cálculos com expressões algébricas, que de outra forma seriam bastante trabalhosos.

Para estudar essas propriedades, vamos antes rever algumas definições de potências com expoentes inteiros e bases reais. Potenciação, por definição, é uma forma prática e simples de se representar uma multiplicação de fatores iguais. Na potenciação, o fator da multiplicação chama-se base e o número de vezes que o fator se repete é representado pelo expoente.

Definição: Seja a um número real e n um número natural maior que 1. Potência de base a e expoente n é o produto de n fatores iguais a a. Representa-se a potência pelo símbolo a

n. Assim:

a

n = a . a . a ….. a, para todo n

n vezes Por exemplo:

5 x 5 = 25 5² = 25 Onde 5 é a base e 2 é o expoente. Lê-se: 5 ao quadrado.

2 x 2 x 2 = 8 2³ = 8 Onde 2 é a base e 3 é o expoente. Lê-se: 2 ao cubo.

3 x 3 x 3 x 3 = 81 34 = 81

Onde 3 é a base e 4 é o expoente. Lê-se: 3 à 4ª potência. De maneira geral, podemos escrever: a x a x a ...x a = a

n (a vezes a n vezes)

n vezes Para calcular uma potência de expoente negativo, convenciona-se que

Obsrvação:

Logo,

Isso nos leva a concluir que, se a base é um número negativo, é indispensável o uso dos parênteses. Caso os parênteses não sejam utilizados o resultado encontrado poderá ser incorreto.

Vejamos alguns exemplos numéricos de aplicação das propriedades vistas até aqui:

70= 1

61 = 6

Para calcular o valor de uma potência, quase

sempre precisamos efetuar a multiplicação equivalente. Assim, por exemplo, para comparar duas ou mais potências é necessário conhecer antes os seus valores. Por exemplo:

As potências 3-2

e (-3)-2

são iguais ou diferentes?

Calculando: 3-2

= 1

3²=

1

9 e (-3)

-2 = 1/(-3)

-2 =

1

9

Portanto as duas potências são iguais e podemos escrever: 3

-2 = (- 3)

-2

Qual é a maior 6-2

ou -62?

Calculando: 6-2

= 1

6² =

1

36 ou -6

2 = -(6.6) = -36

Vimos que 6

-2 resulta num número positivo e -6

2

resulta num número negativo. Todo número positivo é maior que qualquer número negativo. Logo: 6

-2 > -6

2.

Qual é o número menor 51

( )2

ou

31( )

2

?

5

1 1 1 1 1 1 1. . . .

2 2 2 2 2 2 32

e

31 1 1 1 1

. .2 2 2 2 8

Se as frações fossem positivas, a menor seria a que

tem o maior denominador, portanto 1

32.


Como as frações são negativas o resultado é ao

contrário e teremos como resposta: 31

( )2

>

51( )

2

.

Sugestão: represente as frações obtidas na reta numérica.

Exercício Resolvido 1: Calcule e

Resolução:

Resposta: e Para efetuar operações com potências, também é necessário calcular antes o valor de cada potência. Lembre-se: a potenciação tem prioridade sobre a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão.

32 + 2

3 = 9 + 8 = 17

53 – 7

2 = 125 - 49 = 76

23· . 3

2 = 8 . 9 = 72

42 : 2

3 = 16 : 8 = 2

1.1 – Casos especiais de potenciação

1) O expoente é zero e a base é um número qualquer diferente de zero: a potência, por convenção, é sempre igual a 1. Logo a

0 = 1

2)O expoente é igual a 1 e a base é qualquer

número: a potência é sempre igual à base. Logo: a

1 = a

3)A base é igual a 1 e o expoente é qualquer

número: a potência é sempre igual a 1. Por exemplo: 1

5 = 1.1.1.1.1

4)A base é zero e o expoente é qualquer

número diferente de zero: a potência é sempre igual a zero. Por exemplo: 0

3 = 0.0.0

5)A base é 10 e o expoente é qualquer

número positivo: a potência é um número que começa com 1 e tem um número de zeros igual ao expoente. Por exemplo: 10

4 = 10.000

1.2 – Propriedades da potenciação

Vamos apresentar agora as propriedades

operatórias da potenciação. Aplicando elas, podemos resolver a expressão sem calcular o valor de cada potência e obteremos o resultado em forma de potência.

1.2.1 – Multiplicação de potências de bases iguais

4 2 4 2 62 .2 2 2

4 vezes

porque 4 22 .2 = 2x2x2x2x2x2

2 vezes

5 3 5 ( 3) 5 3 27 .7 7 7 7

Generalizando, para multiplicar potências de

bases iguais, repetimos a base e somamos os expoentes.

am . an = am+n

1.2.2 – Divisão de potências de bases iguais

42

2

5 5.5.5.55.5 5

5 5.5

3

3 2 5

2

77 7

7

4

4 6 2

6

99 9

9

Então, para dividir potências de bases iguais, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

am : an = am-n

1.2.3 – Potenciação de potência (3

2)3= (3

2) . (3

2) . (3

2) = 3

2 x 3

= 36

3 vezes Então, para elevar uma potência a um expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(am)n = am.n

1.2.4 – Distributividade da potenciação em relação à multiplicação

Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator ao mesmo expoente.

(a.b)m = am. bm


1.2.5 – Distributividade da potenciação em relação à divisão

27

3

= 7 7

.3 3

7 7.

3 3

2

2

7

3

2 vezes

3 3

3

4 4

5 5

Para elevarmos um quociente (ou uma fração) a um expoente, elevamos o dividendo e o divisor (ou o numerador e o denominador) ao mesmo expoente.

Observação: Se os expoentes forem inteiros negativos, todas as propriedades já descritas também valem. Lembrar, porém, que nestes casos as bases devem ser diferentes de zero.

1.3 – Aplicações As propriedades podem ser usadas em expressões numéricas como uma forma de simplificação dos cálculos. Veja:

Além disso, uma das maiores aplicações das

propriedades operatórias das potências de bases iguais está no cálculo algébrico.

Vejamos nos exemplos, a multiplicação e a divisão dessas expressões e verificaremos o uso constante das propriedades estudadas.

2 – RADICIAÇÃO

Vejamos agora a operação inversa da potenciação, a radiciação. Considere a pergunta: qual é o número que elevado ao quadrado dá 81? Você sabe que 9.9 = 81.

Então: 9² = 81 e 81 =9,

que se lê: a raiz quadrada de 81 é 9.

Organizamos uma tabela de quadrados para facilitar a determinação da raiz quadrada. Veja:

Número 0 1 2 3 4 5 6 7...

Quadrado 0 1 4 9 16 25 36 49...

Veja que, na 2º linha (a dos quadrados) não

aparecem todos os números. Os números que não aparecem não são quadrados perfeitos e, por isso, não possuem raiz quadrada natural. Por exemplo: 2 não tem raiz quadrada natural. Vejamos agora a inversa do cubo (3º potência). Qual é o número que elevado ao cubo dá 27? Vejamos uma tabela de cubos:

Número 0 1 2 3 4 5 6 7...

Cubo 0 1 8 27 64 125 216 343...

Assim, podemos responder à pergunta:

33 = 27 e

3 27 = 3 que se lê: a raiz cúbica de 27 é 3.

a raiz cúbica é a inversa do cubo;

o sinal é o radical e o 3 é o índice.

Assim como no quadrado, podemos observar que nem todo número natural possui raiz cúbica natural. Por exemplo: 93 não tem raiz cúbica natural. Definição: Seja a um número real e n um número natural não–nulo. O número x é chamado raiz enésima de a se, e somente se, x

n = a

x é raiz enésima de a xn = a

Observação: No símbolo n a dizemos que :

o sinal é o radical;

a é o radicando; n é o índice da raiz.

Observação: Por convenção, na raiz quadrada, omite-se o índice.

Escreve-se, por exemplo, 4 em lugar de 2 4 .


2.1 – Existência das raízes enésimas Da definição conclui-se que: determinar todas as raízes enésimas de a é o mesmo que determinar as soluções da equação x

n = a. Vamos

então analisar 4 casos para

:

2.1.1. – e é um natural positivo

Note que . Da mesma forma,

,

e assim por diante. De modo geral, pode-se dizer que

, para todo n natural positivo.

2.1.2. – e é um par não-nulo

Vamos tomar por exemplo e

(que é par). Repare que é raiz

quarta de 81. No entanto, é raiz quarta de 81. Então o número 81 possui duas raízes quartas: e . Como fazer para distinguí-las uma da outra?

Convenciona-se que o símbolo

corresponde à raiz quarta positiva de 81, que é 3. Para representar a raiz quarta negativa de 81, que é

, utiliza-se o símbolo

. Assim,

e

Vamos tomar outro exemplo: e

(que é par). Repare que é raiz

quadrada de 16. No entanto, é raiz quadrada de 16. Então o número 16 possui duas raízes quartas: e . Como fazer para distinguí-las uma da outra?

Convenciona-se que o símbolo corresponde à raiz quadrada positiva de 16, que é 4. Para representar a raiz quadrada negativa de 16,

que é , utiliza-se o símbolo . Assim,

e De modo geral, pode-se dizer que se e é um par positivo, o número possui duas raízes

enésimas: a raiz enésima positiva

e a raiz

enésima negativa

.

2.1.3. – e é um par não-nulo

Vamos tomar por exemplo e (que é par). Então, nesse caso em particular,

queremos encontrar a raiz quadrada de , isto é,

um número tal que . Ora, há 3 possibilidades para : , e . Vamos analisá-las:

Se é o produto de dois

números positivos, que é positivo, logo .

Então, se , não existe tal que ;

Se é o produto de dois

números negativos, que é positivo, logo .

Então, se , não existe tal que ;

Se ;

Conclusão: não existe x tal que , logo não existe a raiz quadrada de . Usando o mesmo raciocínio, podemos concluir que não existe a raiz quadrada de nenhum número negativo.

Usando o mesmo raciocínio, podemos concluir que não existe a raiz quarta de nenhum número negativo, pois qualquer número elevado à quarta potência é positivo (se for diferente de zero) ou zero (se o próprio número for igual a zero).

Finalmente, usando o mesmo raciocínio, podemos concluir que se é par, não existe a raiz enésima de nenhum número negativo!

2.1.4. – e é ímpar Vamos tomar por exemplo e

(que é ímpar). Repare que é raiz quinta de 32. Além disso, é a única raiz quinta de 32,

logo pode-se dizer que

. Vamos tomar outro exemplo: e

(que é ímpar). Repare que é raiz cúbica de .

Além disso, é a única raiz cúbica de ,

logo pode-se dizer que

.

De modo geral, pode-se dizer que se e é ímpar positivo, o número possui uma única

raiz enésima

.

2.2 – Propriedades da radiciação Vamos apresentar agora as propriedades

operatórias da radiciação. Aplicando elas, podemos resolver a expressão sem calcular o valor de cada raiz e obteremos o resultado em forma de raiz.

2.2.1 – Multiplicação de raízes de índices iguais Veja os exemplos a seguir:

Generalizando, para multiplicar raízes de índices iguais, repetimos o índice e multiplicamos os radicandos.


2.2.2 – Divisão de raízes de índices iguais Veja os exemplos a seguir:

Generalizando, para dividir raízes de índices iguais, repetimos o índice e dividimos os radicandos.

2.2.3 – Raiz de raiz

Veja os exemplos a seguir:

Generalizando, para calcular uma raiz de

outra raiz, repetimos o radicando e multiplicamos os índices.

2.2.4 – Potência de raiz

Veja os exemplos a seguir:

Generalizando, a potência de uma raiz é igual à raiz da potência: podemos passar o expoente de fora da raiz para dentro.

2.2.5 – Simplificação de índice e expoente

Veja o exemplo a seguir:

Generalizando, multiplicar ou dividir índice e

expoente por um mesmo número não altera o resultado.

Observação: as propriedades acima valem desde que todas as raízes envolvidas existam (não pode aparecer índice par e radicando regativo, por exemplo, como é o caso da raiz quadrada de ). Assim, sempre certifique-se que as condições de existência são respeitadas! Tome cuidado com radicandos negativos!

2.3 – Aplicações das propriedades As propriedades dos radicais que nós acabamos de ver podem ser utilizadas em diversas situações. Vamos ver alguns exercícios resolvidos que aplicam elas:

Exercício Resolvido 2: Simplifique as seguintes raízes:

Resolução: Simplificar uma raiz significa simplificar os

radicandos ao máximo, para que os radicandos sejam os menores números possíveis. Veja:

Resposta:

Observação: quando você estiver calculando uma expressão numérica que envolva raízes, sempre simplifique as raízes ao máximo!


Simplifique a expressão:

Resolução:

Resposta:


Reduza cada uma das expressões

e

a um único radical.


Resolução:

Para multiplicar duas raízes, elas devem ter

o mesmo índice. No entanto, a raiz tem índice 2

e a raiz

tem índice 5. Para que elas tenham o mesmo índice, esse índice deve ser o MMC entre os índices originais (2 e 5), que é 10. Então devemos

multiplicar o índice de por 5 e o índice de

por 2. Para isso, vamos usar então a propriedade 2.2.5:

Uma vez que as duas raízes tenham o mesmo índice, podemos multiplicá-las normalmente:

Para dividir duas raízes, elas devem ter o

mesmo índice. No entanto, a raiz tem índice 6

e a raiz tem índice 4. Para que elas tenham o

mesmo índice, esse índice deve ser o MMC entre os índices originais (6 e 4), que é 12. Então devemos

multiplicar o índice de por 2 e o índice de

por 3. Para isso, vamos usar então a propriedade 2.2.5:

Uma vez que as duas raízes tenham o mesmo índice, podemos dividí-las normalmente:

Resposta:

e

2.4 – Potência de expoente racional Neste capítulo nós vimos potências cujo

expoente é um número natural vezes vezes) e até mesmo com expoente negativo

(

). Mas alguém pode perguntar: e

se o expoente for uma fração, que é um número racional, como vamos calcular a potência?

Definição: Seja um número real positivo um número natural e um número natural não-nulo.

A potência de base e expoente raciona

l é

definida por: .

Observação: Valem para as potências de expoente racional as mesmas propriedades válidas para as de expoente inteiro, que nós já vimos!


Calcule as seguintes potências de expoente

racional:

Resolução:

Resposta:

,

,

2.5 – Racionalização de denominadores

Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar todos os radicais que existem no denominador da mesma, sem, porém, alterar seu valor. Desta forma, o denominador torna-se um número racional. Para fazer isso, deve-se multiplicar a fração em cima e embaixo por um número conveniente.


Racionalize os denominadores das seguintes

frações:

Resolução:

Primeiro vamos racionalizar

.Repare que se

multiplicarmos o denominador por , teremos no

denominador da fração resultante (que é

racional!). Logo é um número conveniente:

Agora vamos racionalizar

. Repare que

Assim, se multiplicarmos o denominador por ,

teremos no denominador da fração resultante

(que é racional!). Logo

é um número conveniente:

O denominador da primeira fração passou de

para e o da 2ª fração passou de

para . Como os denominadores (que originalmente eram números irracionais) passaram a ser racionais, diz-se que os denominadores foram racionalizados!

Resposta:

e



Nível I 1. Calcule: a)8

1 b) 12

0 c) 8

0 d) 1

4 e) 10

10

2. Calcule: a) 4

0 b) 5

0 c) (-6)

0 d) -6

0

e)

f)

g) –

3. Calcule: a) 2

3 b) 2

10 c) 3

3

d) 43

e) 102

f) 1002

g) (3/4)2

h)

i)

j) (1,02)2

k) 13

4. Qual é o maior 21

( )5

ou

31( )

5

?

5. Calcule: a) (-3)

2 b) (-3)

3 c) (-2)

4 d) (-2)

5

e) f) g)

h)

6. Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F): a)( ) 4

-2 = - 16 b)( ) 7

-3. 7

3 = 1

c) ( ) d) ( ) =

1

9

7. Calcule: a) 2

-2 b) (-5)

-3 c) –2

-3

d)

e)

f)

g)

h)

i)

8. Calcule: a) 2

3 x 2

2 = b) 10

3 :10 = c) 2

3 x 3

3 =

d) 30

3 : 6

3 = e) ((2

3)2)1 = f) ((3

2)5)0 =

g) 322 = h)

232 = i) 44 :2

6 =

j) 9

5 :3

2 = k) 27

2:9

3 = l) 9

3:3

2 =

9. Calcule:

a) 49 b) 64 c) 1

d) 100 e) 36

10. Calcule:

a) 3 8 b)

3 1 c)3 1000 d)

3 64 e) 3 0

11. Calcule:

a) 81 b) - 81 c) 3 64 d)

3 64

12. A expressão com radicais 8 18 2 2 é

igual a:

a) 2 b) 12 c) 3 2 d) 8

13. A expressão 18 50 é equivalente a:

a) 2 17 b) 34 2 c) 8 2 d) 5 3 e) 2 2

14. Racionalize o denominador das seguintes frações:

a) 1

5 b)

3

3 c)

1

2 2 d)

3

2

3

Nível II 15. Se 2

x = 4, qual é o valor de 2

1+x? E qual o valor

de 23-x

? 16. Sabendo que , calcule o valor de:

a) b) c) d) e) 17. Efetue as operações nas seguintes expressões algébricas: a) x

3 . (x + x

2 + x

4)= b) (7x

5 - 8x

4) : x

4 =

c) (6x3 + 3x

2) : (-3x) =

18. Escrever a expressão 32 2 2 na forma de um

único radical. 19. Escrever na forma de um único radical, supondo a>0 e b>0:

a) 32. 3 b)

3 4.a b c) 5 2

a

a

20. Simplificando-se o radical

13 12

5 3

3 3

2 : 2

, obtém-se:

a) 243

2 b)

81

2 c) 729 d) 243 e)

729

2

21. Calculando-se

2

51

243

, obtém-se:


a) -81 b) –9 c) 9 d) 81 e) um número que não é real

22. O valor de

3

2(9) +(32)0,8

é:

a) 43 b) 25 c) 11 d) 36 e) 17 23. Calcular: a) 81

1/2 b) 8

1/ 3 c) 32

1/ 5

d) 813/ 4

e)

1/38

27

f)

2/3125

8

g) 8 –1/ 3

h)

3/ 41

16

i) (-27)1/ 3

j) –81/3

l) (–2)1/2

24. Calcular o valor numérico da expressão

11

6 22

6 4 1729

9 2

25. Calcule o valor numérico da expressão

GABARITO 1. a) b) c) d) e)

2. a) b) c) d) e) f)

g)

3. a) b) c) d) e) f)

g)

h)

i)

j) k)

4.

5. a) b) c) d) e) f) g)

h)

6. a) Falsa b) Verdadeira c) Falsa d) Falsa

7. a)

b)

c)

d) e) f) g)

h)

i)

8. a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l) 9. a) b) c) d) e) 10. a) b) c) d) e) 11. a) b) c) d) 12. A 13. C

14. a)

b) c)

d)

15.

16. a) b)

c) d)

e)

17. a) b) c)

18.

19. a)

b) c)

20. C 21. C 22. A

23. a) b) c) d) e)

f)

g)

h) i) j)

k) Não é um número real

24.

25.



CCAAPPÍÍTTUULLOO XX –– FFAATTOORRAAÇÇÃÃOO

1 – EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Expressão numérica é aquela que apresenta uma

seqüência de operações e de números. Já sabemos que letras são usadas em Matemática para representar números desconhecidos ou para generalizar propriedades e fórmulas da Geometria, por exemplo. As expressões que apresentam letras, bem como sinais de operações e números, são chamadas expressões algébricas e as letras são conhecidas como variáveis.

Todo número natural multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.

Em linguagem matemática, essa propriedade

pode ser escrita da seguinte maneira: x . 1 = x Onde x representa um número natural qualquer. Veja o exemplo:

Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhará, após alguns dias de trabalho, podemos escrever a expressão algébrica: 20. , onde representa o número de dias trabalhados. Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá

R$ 20,00 2 = R$ 40,00. Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá

R$ 20,00 10 = R$ 200,00. Portanto, a expressão algébrica nos permite

calcular o ganho dessa pessoa, por meio da multiplicação da variável que é número de dias trabalhados, é: Ganho= 20.

A expressão algébrica da área de um quadrado

de x cm de lado é determinada elevando-se a medida do seu lado ao quadrado. Veja:

Área = x² x

Figura 1 – quadrado de lado x

Assim, podemos determinar a área de qualquer quadrado por meio da substituição da variável x pela medida do lado do quadrado. Observações: 1º) Nas expressões algébricas não é usual se escrever o sinal de multiplicação, veja:

2 . x se escreve 2x a . b se escreve ab

2º) Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda sem variável:

2xy : expressão com duas variáveis: x e y 5a² b c³: expressão com três variáveis: a, b e c 25 : expressão sem variável.

1.1 – Valor Numérico

Quando substituímos as variáveis de uma

expressão por números e efetuamos as operações indicadas, o resultado encontrado é o valor numérico da expressão. O valor numérico da expressão 5 + 4 para = 2, por exemplo, é: 5 2 + 4 = 10 + 4 = 14

Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda:

Qual a área de um retângulo com dimensões a = 2,5 cm e b = 4 cm? O valor numérico de ab é: 2,5 x 4 = 10 Logo, a área do retângulo é 10 cm².

1.2 – Monômios

As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entre os números e as variáveis, são chamadas de monômios. Por exemplo: 6x, 3x²y² ab, 10 etc. A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada por letras é a parte literal. De acordo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e a parte literal de cada monômio: 6x → coeficiente: 6 3x ² y² →coeficiente: 3 Parte literal: x Parte literal: x ² y² 10 → coeficiente 10 parte literal: não tem ab → coeficiente: 1 (ab é o mesmo que 1 ab) Parte literal: ab

Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes. Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso contrário a adição e a subtração serão apenas indicadas e não efetuadas. A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios:

4xy + 7xy - 5xy = (4 + 7 - 5)xy = 6xy

Veja outro exemplo:


No retângulo abaixo, assinalamos as medidas

dos seus lados em cm. De acordo com a figura, vamos determinar a expressão algébrica mais simples (com menos termos) que representa o perímetro desse retângulo. x-3 2x + 1

Figura 2 – retângulo de lados e

O perímetro de um retângulo é calculado

somando-se as medidas de seus lados:

2 (2x + 1) + 2 (x - 3) = (aplicando a propriedade distributiva da multiplicação) = 4x + 2 + 2x - 6 = (aplicando a propriedade comutativa da adição) = 4x + 2x + 2 - 6 No exemplo acima, foram efetuadas as operações dos monômios semelhantes, até chegar à expressão mais simples que representa o perímetro do retângulo acima é 6x - 4.

1.3 – Polinômios Uma expressão formada por adições e subtrações

de monômios é chamada de polinômio (poli = muitos). Uma expressão como 4a²² - 7ab + b²² - 2a²² - ab - b²² é um polinômio formado por seis monômios ou termos. Como existem termos semelhantes nesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operações indicadas na seqüência: 4a²² - 7ab + b²² - 2a²² - ab - b²² = 4a²² - 2a²² - 7ab - ab + b²² - b²² = = (4 - 2)a

22 + ( -7 -1)ab + (1 – 1)b

22 =

= 2a²² - 8ab + 0 = 2a²² - 8ab

A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, pois as operações com os termos restantes não podem mais ser efetuadas. Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termos semelhantes. Somando o polinômio 3x² - 4xy + y² com - x² - 2xy + 4y² , temos: (3x² - 4xy + y²) + (- x² - 2xy + 4y²) = (Retirando os parênteses) =3x² - 4xy + y² - x² - 2xy + 4y² = (Aplicando a propriedade comutativa) =3x² - x² - 4xy - 2xy + y² + 4y² = (Reduzindo os termos semelhantes) =2x² - 6xy + 5y² = Soma dos dois polinômios. No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo:

(- 14ab + 7a) - (- 12ab + 6a) = (Retirando os parênteses e trocando os sinais do 2º polinômio) = - 14ab + 7a + 12ab - 6a = = - 14ab + 12ab + 7a - 6a = = - 2ab + a (Diferença dos dois polinômios)

2 – PRODUTOS NOTÁVEIS

O cálculo algébrico é uma valiosa ferramenta para a álgebra e para a geometria. Em capítulos anteriores, já vimos algumas operações com expressões algébricas.

Neste capítulo, estudaremos alguns produtos especialmente importantes porque aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos são conhecidos pelo nome de produtos notáveis. Produto por ser resultado de uma multiplicação, e notável por ser importante, digno de nota, que se destaca.

Vamos verificar que podemos calcular a área de algumas figuras de maneiras diferentes.

2.1 – Quadrado da soma de dois termos Vejamos a área da figura abaixo, cujo lado mede

a. a

Área: a2

a

Figura 3 – quadrado de lado

Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, determinamos um quadrado de lado a + b, assim:

Área = (a+b)2

Figura 4 – quadrado de lado

Outra maneira de calcular a área desse quadrado é somando as áreas de cada uma das figuras que o formam. Observe que temos dois quadrados, de lados a

a

a

b

b


e b respectivamente, e dois retângulos iguais, cujas dimensões são a e b:

Figura 5 – quadrado de lado ,dividido em um quadrado de lado , dois retângulos de lados , , e em um quadrado de lado

Podemos ainda calcular a área desse quadrado

usando cálculo algébrico:

2

.a b a b a b

Elevar ao quadrado é o mesmo que multiplicar dois fatores iguais. Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.

2 2.a b a b a ab ba b

2 2 2 22a ab ab b a ab b

Logo:

(a + b)

2 = a

2 + 2ab +b

2

O trinômio obtido é chamado de trinômio

quadrado perfeito por ser o resultado do quadrado de (a + b). Observe novamente esse produto:

Portanto, o primeiro produto notável pode ser lido

assim:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo, mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.


Calcule (2 + 3)

2 de duas maneira diferentes.

Resolução:

(2 + 3)2 = 5

2 = 25

(2 + 3)2 = 2

2 +2.2.3 +3

2 =4 + 12 + 9 = 25

Resposta: (2 + 3)

2 = 25. Encontramos o mesmo

resultado nos dois caminhos usados.

É claro que, nesse exemplo, não faz sentido usar a conclusão do produto notável, pois, como os termos da soma são números, podemos achar diretamente o resultado, somando os números e elevando o resultado ao quadrado.

No entanto, No caso de uma soma algébrica, é impossível efetuar a adição, e então temos de usar a regra do produto notável.


Desenvolva ,

Resolução:

(x + 1)

2 = x

2 + 2.x.1 + 1

2 = x

2+ 2x +1

(3x +4) = (3x)

2 + 2. (3x).4 + 4

2 = 9x

2 + 24x +16

(a

2 + 3b)

2 = (a

2)2 + 2.a

2.3b + (3b)

2 = a

4 + 6a

2b + 9b

2

2 2 22 22.

2 2 2 4

x x x xy y y xy y

Resposta:

2.2 – Quadrado da diferença de dois termos

O segundo produto notável é o quadrado da diferença entre dois termos e é praticamente igual ao primeiro produto, sendo a única diferença o sinal.

Vamos calculá-lo:

Logo:

(a- b)

2 = a

2 – 2ab +b

2

que pode ser lido assim: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo, menos duas vezes o produto do 1º termo pelo 2º termo, mais o quadrado do 2º termo.

Exercício Resolvido 3: Desenvolva Resolução: (a – 2)

2 = a

2 – 2.a. 2 + 2

2 = a

2 – 4a + 4

(x2 – 2y)

2 = (x

2)2 - 2.x

2.2y + (2y)

2 = x

4 - 4x

2y + 4y

2

Resposta:

2.3 – Produto da soma pela diferença

2

a b = 2a + 2 a b + 2b

a b

a

b

a

a

a

a

b

b

b

b


O terceiro produto notável pode ser mostrado por meio do cálculo da área de uma figura. Essa área será calculada também de duas maneiras diferentes.

Figura 6 – região pintada em L, igual à diferença entre um quadrado de

lado e um quadrado de lado

A área que devemos calcular é a da figura

pintada em forma de L que tem três dimensões diferentes a, b e c, onde c = a - b.A figura pintada é exatamente a diferença entre um quadrado maior de lado a e um quadrado menor de lado b.

Área do L = área do quadrado maior - área do quadrado menor. Então:

Área do L = a

2 – b

2

Outra maneira para calcular a área do L é decompor a figura em dois retângulos, assim: c

Figura 7 –retângulo de lados , e retângulo de lados , Observe na figura anterior, que c = a – b Como os dois retângulos têm uma das dimensões iguais (c), vamos colocá-los juntos de maneira a formar um só retângulo de medidas a + b e a - b.

Figura 8 –retângulo de lados , e retângulo de lados , formando um retângulo maior de lados ,

comprimento: a + b

largura: a –b

Calculando a área do retângulo, que é igual à área do L, temos:

Área do retângulo: (a + b) (a - b)

Também é possível calcular esse produto notável algebricamente:

Então:

(a+b).(a-b) = a

2 – b

2

que pode ser lido:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo.

Exercício Resolvido 4: Desenvolva

Resolução:

(x + 2)(x – 2) = x

2 – 2

2 = x

2 – 4

(2x – 5y)(2x+5y) = (2x)

2 – (5y)

2 = 4x

2 – 25y

2

(a

2 + b)(a

2 – b) = (a

2)2 – b

2 = a

4 –b

2

Resposta:

Observações:

1. Quando se diz “o quadrado da soma de dois

números”, essa sentença é representada algebricamente por (x+y)

2.

2. Quando se diz “a soma dos quadrados de dois

números”, a expressão correspondente é x2 + y

2.

3. Da mesma forma, “o quadrado da diferença” representa-se por (x-y)

2 e “a diferença entre dois

quadrados” por x2 – y

2. .

2.4 – Cubo da soma de dois termos

O quarto produto notável pode ser mostrado utilizando o primeiro produto notável:


Logo:

(a + b)

3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 +b

3

que pode ser lido assim:

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o quadrado do segundo termo vezes o primeiro, mais o cubo do segundo termo.

Exercício Resolvido 5: Desenvolva Resolução:

Resposta:

2.5 – Cubo da diferença de dois termos

O quinto produto notável pode ser mostrado utilizando o segundo produto notável:

Logo:

(a - b)

3 = a

3 - 3a

2b + 3ab

2 - b

3

que pode ser lido assim: O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o quadrado do segundo termo vezes o primeiro, menos o cubo do segundo termo

Exercício Resolvido 6: Desenvolva Resolução:

Resposta: 2.6 – Soma dos cubos de dois termos

O sexto produto notável é a soma de dois cubos e pode ser demonstrado da seguinte maneira:

(a + b)3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3

Logo : a

3 + b

3 = (a + b)

3 - 3a

2b - 3ab

2

a3

+ b3 = (a + b)

3 – 3ab(a + b)

a3

+ b3 = (a + b) [(a + b)

2 – 3ab]

a3

+ b3 = (a + b) (a

2 + 2ab + b

2 – 3ab)

(a + b) (a

2 - ab + b

2) = a

3 + b

3

2.7 – Diferença dos cubos de dois termos

O sétimo produto notável é a diferença de dois cubos e pode ser demonstrado da seguinte maneira:

(a - b)3 = a

3 - 3a

2b + 3ab

2 - b

3

Logo : a

3 - b

3 = (a - b)

3 + 3a

2b - 3ab

2

a3

- b3 = (a - b)

3 + 3ab(a - b)

a3

- b3 = (a - b) [(a - b)

2 + 3ab]

a3

- b3 = (a - b) (a

2 - 2ab + b

2 + 3ab)

(a - b) (a

2 + ab + b

2) = a

3 - b

3

Resumindo: Os sete produtos notáveis estudados são:

1. Quadrado da soma de dois termos:

(a + b)2 = a

2 + 2ab +b

2

2. Quadrado da diferença de dois termos: (a - b)

2 = a

2 - 2ab +b

2

3. Produto da soma pela diferença de dois termos:

(a+b).(a-b) = a2 – b

2

4. Cubo da soma de dois termos: (a + b)

3 = a

3 +3a

2b+ 3ab

2 +b

3

5. Cubo da diferença de dois termos: (a - b)

3 = a

3 - 3a

2b + 3ab

2 - b

3

6. Soma do cubo de dois termos: (a + b) (a

2 - ab + b

2) = a

3 + b

3

7. Diferença do cubo de dois termos: (a - b) (a

2 + ab + b

2) = a

3 - b

3

3 – FATORAÇÃO

A palavra fatoração nos leva a pensar em fatores, e, como já sabemos, fatores são os elementos de uma multiplicação. Fatorar um número, portanto, é escrevê-lo na forma de uma multiplicação de fatores. Por exemplo,


o número 16 pode ser escrito como uma multiplicação de fatores, de várias maneiras: 16 = 2 x 8 16 = 4 x 4 16 = 2 x 2 x 2 x 2 16 = 2

4

No caso de uma expressão numérica cujas

parcelas têm um fator comum, podemos fatorá-la, assim: 7 x 2 + 5 x 2 = (7 + 5) x 2

Vamos aprender, neste capítulo, a fatoração de expressões algébricas, que é muito utilizada para a simplificação dos cálculos algébricos. Vamos considerar um terreno formado por dois lotes de comprimentos diferentes e de mesma largura:

Figura 9 – retângulo de lados , , formado por um retângulo de lados e um retângulo de lados

Podemos calcular a área total do terreno de duas

maneiras diferentes:

Calculando a área de cada lote e depois as somando;

Somando os comprimentos dos dois lotes e calculando diretamente a área total do terreno;

As duas maneiras dão o mesmo resultado;

portanto, podemos escrever: Área do lote I: ax Área do lote II: bx Comprimento total do terreno: (a + b) Área do terreno: (a + b) x Logo: ax + bx = (a + b) x

Portanto, sempre que numa soma de duas ou mais parcelas houver um fator comum a todas as parcelas (como o x em ax + bx), podemos fatorar essa expressão, e esse fator comum será um dos fatores da expressão após ser fatorada.

Como fazer para descobrir o outro fator da expressão fatorada? Basta dividir a expressão que vai ser fatorada pelo fator comum, que é o que sobrou.

3.1 – Fator comum em evidência Uma das principais maneiras de fatorar uma expressão algébrica é procurar por um fator comum a todas as suas parcelas. Esse fator comum é colocado “em evidência”, em destaque no lado esquerdo. No lado direito, dentro dos parênteses, ficam os termos da expressão original que sobraram quando tiramos o fator comum.


Fatore a expressão: . Resolução: Temos que 3 e x são fatores comuns às duas parcelas, logo 3x é um fator comum. Podemos, então, escrever a expressão assim:

3xy + 6x = 3x. ( 3

3

xy

x +

6

3

x

x ) . Mas

Resposta:

Dizemos que o fator 3x foi colocado “em evidência”, isto é, em destaque no lado esquerdo da expressão. No lado direito, dentro dos parênteses, ficam os termos da expressão original que sobraram quando tiramos o 3x.

Exercício Resolvido 8: Fatore a expressão: . Resolução: Os fatores comuns são 2, a e b, logo 2ab é um fator comum. Colocando 2.a.b “em evidência”, temos:

Resposta:

Para ter certeza de que a fatores foi feita corretamente, você pode multiplicar os fatores obtidos e verificar se o produto deles é a expressão original:

Ou seja, foi usada a propriedade distributiva da multiplicação para verificar se a fatoração está correta.

3.2 – Fatoração utilizando produtos notáveis Infelizmente, nem todas as expressões algébricas admitem um fator comum a todas as suas parcelas. Nesse caso, podemos tentar fatorar a expressão utilizando os produtos notáveis que acabamos de estudar. Quando nós estudamos produtos notáveis, nós partimos de um produto de fatores e escrevemos o produto como uma soma de várias parcelas. Agora nós queremos fazer exatamente o oposto disso: partindo de uma soma de várias parcelas, queremos escrevê-la como um produto de fatores.


Para fazer isso, nós devemos analisar a expressão algébrica e descobrir em qual dos 7 produtos notáveis ela se encaixa: se é um quadrado da soma de dois termos, se é um cubo da diferença de dois termos, etc.

Muitas expressões algébricas podem ser escritas como a diferença entre dois quadrados, cuja expressão geral é . Essa expressão é resultante do produto . Usando essa idéia, podemos fatorar as

expressões

4x² - 9 = (2x + 3) (2x + 3) (forma fatorada) 36a² - 1 = (6a + 1) (6a - 1) (forma fatorada)

16 - 25

x² = ( 4 +

5

x) . ( 4 –

5

x) (forma fatorada)

Outros dois produtos notáveis bastante comuns

são o quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferença de dois termos, que também são chamados de trinômios quadrados perfeitos. O nome “trinômio” vem do fato que eles são escritos como uma expressão com três

monômios: . Então, sempre que que reconhecemos um

trinômio quadrado perfeito, podemos fatorá-lo escrevendo-o na forma de um quadrado da soma ou da diferença de dois termos. Por exemplo:

x² + 8x + 16 = (x + 4)²

x4 - 2x² + 1 = (x² - 1)²

Os outros 4 tipos de produtos notáveis envolvem

cubos: o cubo da soma e o cubo da diferença são expressões com quatro termos e a soma de cubos e a diferença de cubos são expressões que envolvem dois termos.


Fatore a expressão: . Resolução:

é a soma de (que é o cubo de ) com 1 (que é o cubo de 1), logo pode ser escrita como uma soma de dois cubos (produto notável 2.6).

Quando compararmos com , concluímos que . Então, fazendo e

em , tem-se:

Resposta:

Exercício Resolvido 10: Fatore a expressão: . Resolução:

A expressão é uma expressão com

quatro termos, que envolve um cubo e só tem sinais „+‟, então ela é parecida com um cubo da soma de dois termos (produto notável 2.4). Essa expressão envolve o cubo de e o cubo de . Então, fazendo

e na expressão , tem-se:

A última expressão parece-se muito com a expressão original. De fato, tem-se:

Observa-se que é fator de . Então, vamos

fatorar para verificar se e têm algum fator comum. é fator comum de e , logo

Então é fator comum de e :

Resposta: No último exercício resolvido, você viu que tivemos que misturar duas técnicas de fatoração (cubo da soma de dois termos e fator comum em evidência). Em muitos problemas de fatoração, é necessário empregar várias técnicas diferentes. Só com a prática é possível identificar a melhor estratégia para fatorar uma expressão algébrica.


Nível I 1. A expressão 2x representa um número múltiplo de 2. Escreva a expressão que representa os múltiplos de 5. 2. Escreva a propriedade comutativa da adição, usando uma expressão algébrica. 3. Responda: a) qual o monômio que ao somar com - 2xy resulta zero? b) qual o resultado de - 2a² - 5a²? 4. Determine o valor numérico da expressão: x³y² - x² + y³ para x = 2 e y = -1.


5. Desenvolva: a) (x + y)

2 b) ( - x – y)

2

c) (x – y)

2 d) (3a - ab)

2

e)

22

3 2

x y

f)

23 4

2 5

x y

g) (x + y) (x – y) h) (2x + 3b) (2x –3b) i) (x +y)

3 j) (2a + 3b)

3

k) (x - y)

3 l) ( - x - y)

3

m) (- 2a - 5b)

3 n) (2x + 3y)

2

o) (x2 – 2xy)(x

2+2xy) p)

2

2

yx

6. Desenvolva: a) (2a

+ b)

2 + (3a - b)

2 - ( - 5a - b)

2

b) (a + 2)

2 - 3(a + 1)

2

c) (x + y)

2 - (x - y)

2

d) (a + 1)

3 - (a - 2 )

3

7. Calcule o valor de 5.36 + 5.24 + 5.15 fatorando antes a expressão. 8. Fatore as expressões algébricas, colocando o fator comum em evidência: a) x² + 11x b) a²b + 4ab + ab² 9. Qual o polinômio que somado a: (a + 2)(a - 2) dá (a + 2)

2 como resultado?

10. Verifique se o trinômio x² - 12x + 64 é um trinômio quadrado perfeito, justificando a resposta. 11. Fatore seguintes trinômios quadrados perfeitos: a) x

2 + 2ax + a b) 4x

2 + 4x + 1

12. Fatore o trinômio a²x² + 2ax + 1. 13. Complete o trinômio quadrado perfeito com o termo que está faltando: x² -.... + 9y² 14. Fatore a expressão x

4 - 16 e, se ainda for possível,

fatore o resultado obtido. Isso quer dizer fatorar completamente a expressão.

15. Fatore a expressão algébrica que representa a área da figura:

16. Simplifique a fração

, fatorando antes o

numerador da fração.

Nível II

17. Desenvolva: (a+b+c)2

18. Desenvolva: 2

12 3 1

19. Efetuando o produto (x +1)

. (x

100 - x

99 + x

98 – x

97+ ...x² - x + 1 ) , encontramos:

a)x

100 – 1 b)x

200 + 1 c)x

101 + x

50 – 1

d)2x100

+2 e)x101

+ 1 20. Fatore x³ + x² - x -1 21. O valor numérico da expressão a

4 – 2a²b² +b

4 para a

= 8

17 e b =

9

17 é um número N tal que:

a) 1<N < 10 b) 10-4

< N < 10-3

c) 10-3

< N < 10-2

d) 10-2

< N < 10-1

e) 10-1

< N < 1 22. Se n ≠ 0, calcule o valor da expressão

a)1

2 . (5)

1 / n b)

4

n

c)

1

5

2

n

d) 1

4

e)1

4.

1

5

2

n

23. Sabendo que x

2 + y

2 = 29 e (x + y)

2 = 49 são

números inteiros positivos, determine: a) x + y b) xy c) x e y Sugestão: Desenvolva (x + y)

2 e substitua (x + y)

2 e x

2 +

y2 pelos seus valores dados pelo enunciado.


24. A diferença entre 2 números é 144, e a diferença entre suas raízes quadradas é 6. Determinar os números. 25. Simplifique as frações:

a)

2 2 2

2 2 2

4 2

4 4

x y z xy

x z yz y

b)

4 4

3 3 2 2

x y

x y xy x y

c)

2 2

22

x y z

x y z

d)

3

2 21

b b

by y b

GABARITO 1. 2.

3. a) b) 4.

5. a) b)

c) d)

e)

f)

g) h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o) p)

6. a) b)

c) d) 7. 8. a) b) 9.

10. não é um trinômio quadrado perfeito,

pois fazendo-se

, conclui-se que e que (ABSURDO!).

11. a) b)

12. 13.

14. 15. 16. 17.

18. 19. E

20. 21. C 22. D 23. a) b) c) e 24. e

25. a)

b) c)

d)



CCAAPPÍÍTTUULLOO XXII –– LLIINNGGUUAAGGEEMM MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA

1 – LINGUAGEM MATEMÁTICA

A linguagem é uma forma de expressar determinada idéia. Na vida prática, existem diferentes maneiras de comunicar as idéias: pela linguagem falada, pela escrita, pela musical etc.

A Matemática também criou uma forma de comunicação. Ela se utiliza de uma linguagem universal para transmitir suas idéias de maneira simples, curta e precisa. Simples e curta porque com apenas alguns símbolos ela pode expressar frases que, se escritas na linguagem corrente, usariam maior quantidade de símbolos. Por exemplo, a frase “dois somado com três é igual a cinco”, se escrita na linguagem matemática, usa apenas cinco símbolos, que podem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com símbolos matemáticos: 2 + 3 = 5.

Ainda, a linguagem matemática deve ser precisa, pois a validade de seus resultados depende disso. Sabemos que nas línguas comuns, como o Português, ambigüidades são possíveis e há palavras com vários significados; na linguagem matemática, cada palavra deve ter um significado único e preciso. 1.1 – O Uso de Letras na Matemática

Além de algarismos e sinais de operação

(+,−,×,÷), a linguagem matemática utiliza letras como nas situações dos exemplos seguintes.

Multipliquemos 1 por alguns números: 1 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1 1 ∙ 2 = 2 1 ∙ 3 = 3

Você já deve ter percebido que o número 1

multiplicado por um número qualquer sempre resulta nesse mesmo número. Por isso, diz-se que 1 é elemento neutro da multiplicação e, para representar isso, podemos escrever 1 ∙ = , em que a letra representa um número qualquer. Veja outro exemplo:

Considere dois números quaisquer cuja soma seja igual a 5. Esse fato pode ser representado por � + � = 5, onde � e � representam os números que somados dão 5. Veja outro exemplo:

Para escrevermos propriedades dos números também podemos usar letras.

Por exemplo, a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição pode ser escrita assim:

∙ ��+ �� = ∙ �+ ∙ � Como essa propriedade vale para quaisquer

números, as letras , � e � representam três números quaisquer. Veja outro exemplo:

Observe que: 0 + 0 = 0 ∙ 0 2 + 2 = 2 ∙ 2 Será que isso é suficiente para afirmar que,

em geral, + = ∙ ? Cuidado! Se tomarmos = 1, verificamos que

1 + 1 = 2, porém 1 ∙ 1 = 1. Portanto, se escrevermos + = ∙ , temos

que tomar o cuidado de alertar que sabemos que essa proposição é válida se = 0 ou = 2 (daqui a pouco, você vai ser capaz de mostrar que esses são os únicos números que satisfazem essa afirmação). Finalmente, veja o último exemplo:

Letras são úteis para representar grandezas desconhecidas em problemas. Se queremos descobrir qual é o número cujo dobro é 6, podemos escrever:

2 = 6 Nesse caso, é chamada incógnita do

problema. Mais adiante, dedicamos um tópico à

discussão do uso da linguagem matemática na resolução de problemas. 1.2 – O Uso de Letras na Geometria

As letras também podem ser usadas para

escrever “fórmulas” da Geometria. Alguns exemplos: • A área de um retângulo pode ser expressa

por � ∙ �, em que � e � representam as dimensões do retângulo;

• O perímetro desse retângulo pode ser expresso por 2� + 2� ou 2 ∙ �� + ��;

• A soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer pode ser expressa por �� − 2� · 180� em que � representa o número de lados deste;

• O Teorema de Pitágoras estabelece que “num triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual à hipotenusa”, ou em linguagem matemática: �� + �� = ��, em que � e � são catetos e � é hipotenusa;

1.3 – A Linguagem Matemática e a Resolução de Problemas

A linguagem matemática é uma ferramenta

poderosíssima para resolver problemas. Muitos problemas que parecem complicados quando em linguagem corrente (Português), tornam-se simples depois de traduzidos para linguagem matemática.

Essa tradução consiste em montar equações matemáticas que descrevam o problema, assim falamos em equacionar o problema.

CASD Vestibulares Algebra

57

Equacionar um problema é uma das partes

mais difíceis, porém, se bem-sucedida, a resolução em geral se resume à aplicação de algumas técnicas.

Por enquanto, concentre-se em aprender a fazer a tradução. Como resolver as equações que surgem será explicado logo a seguir.

Vejamos alguns exemplos: Problema: “A metade de um número é igual a 6. Qual é esse número?”

Linguagem corrente Linguagem matemática A metade de um número

é igual a 6. 2 = 6

Qual é esse numero? =? Problema: “Numa casa, há sete gatos, todos pretos ou brancos. Sabe-se que há dois pretos. Quantos gatos brancos existem na casa?”

Linguagem corrente Linguagem matemática Numa casa, há sete

gatos, todos pretos ou brancos.

� + � = 7

Sabe-se que há dois pretos. � = 2

Quantos gatos brancos existem na casa?” � =?

Problema: “Uma pessoa tinha uma determinada quantia de dinheiro. No primeiro mês, gastou R$ 100,00. No 2º mês, gastou a metade do que sobrou e ficou com R$ 80,00. Qual era a quantia inicial?”

Linguagem corrente Linguagem matemática Uma pessoa tinha uma determinada quantia de

dinheiro. �

No primeiro mês, gastou R$ 100,00. � − 100

No 2º mês, gastou metade do que sobrou e

ficou com R$ 80,00. �� − 100� − � − 100

2 = 80

Qual é a quantia inicial? � =?

E quais letras posso usar? Isso é uma escolha sua! Recomendamos que escolha de modo a facilitar a leitura e o seu pensamento. Por exemplo, se é um problema que envolve quantidades de peras, mangas e abacaxis, uma boa escolha seria �, ! e � para representá-las, respectivamente. Entretanto, não há nenhuma regra (além do bom senso!) que o proíba de usar ! para peras e � para mangas. Também, sempre procure explicar o que cada letra representa.

2 – EQUACIONANDO PROBLEMAS Você já percebeu que a Matemática é um

excelente recurso para resolver muito dos problemas do nosso dia-a-dia. Mas a Matemática também pode ser vista sob outro aspecto: o da brincadeira. Problemas que envolvem jogos e desafios lógicos têm contribuído para estimular a inteligência do ser humano ao longo de toda a história. Há registro desse tipo de brincadeiras desde a Antigüidade. Neste capítulo, nós vamos apresentar alguns desses desafios. Certamente, você também se sentirá estimulado a resolvê-los. Afinal, quem nunca brincou de adivinhar? Como descobrir o número pensado por outra pessoa? Essa é uma brincadeira bastante antiga (livros do século XII já faziam referência a esse tipo de jogo como uma atividade comum entre pessoas). Consiste no seguinte: uma pessoa propõe a outra que pense em um número qualquer. Após alguns comandos, a pessoa que propôs o jogo adivinha o número pensado pela outra. Vamos ver um exemplo:

João afirma à Maria que consegue adivinhar o que ela pensa, então propõe a ela um jogo. Maria aceita e passa a seguir comandos de João:

Comandos Operações matemáticas

Pense num número Maria pensa em 5 Multiplique por dois 5 ∙ 2 = 10

Some três 10 + 3 = 13 Triplique o resultado 13 ∙ 3 = 39

Subtraia nove 39 − 9 = 30

Divida por seis 306 = 5

Quanto deu? Este é o número no qual você

pensou! 5

Maria fica admirada e pára para pensar por

que esse jogo funciona (que tal você fazer o mesmo? A seguir tem o que Maria pensou para solucionar a questão).

Após algum tempo e alguns rabiscos num papel, ela ri para João. Eis o que Maria escreveu no papel:

Pense num número Multiplique por dois 2

Some três 2 + 3 Triplique o resultado 3�2 + 3� = 6 + 9

Subtraia nove 6 + 9 − 9 = 6

Divida por seis 6 6 =

Observe que há comandos que anulam os

anteriores, como por exemplo: “Achar o dobro” e “triplicar” são anulados pelo

comando “divida tudo por 6”.

Os comandos que se anulam são determinados pelas operações inversas.

58

Recordando operações inversas Uma operação é inversa de outra quando

desfaz o que a outra faz. • A adição e a subtração são operações

inversas. • A multiplicação e a divisão são

operações inversas. • A potenciação e a radiciação são

operações inversas.

Vejamos um outro jogo: • Pense em um número par; • Triplique o número escolhido; • Divida o resultado por 2; • Triplique o resultado; • Divida o que foi encontrado por 9; • Multiplique por 2;

O resultado final é o número que você pensou! Vamos ver em linguagem matemática o que ocorreu:

Comandos Linguagem matemática

Pense em um número par 2

Triplique o número pensado 2 ∙ 3 = 6

Divida o resultado por 2 6 2 = 3

Triplique o resultado 3 ∙ 3 = 9

Divida o que deu por 9 9 9 =

Multiplique o resultado por 2 2 ∙ = 2

Novamente, operações inversas permitiram

que se retornasse ao número pensado inicialmente. Vamos ver agora um problema bastante antigo

que pode ser traduzido para a linguagem da Álgebra. “Um cavalo e um burro caminhavam juntos

levando no lombo pesados sacos. Lamentava-se o cavalo de sua pesada carga, quando o burro lhe disse: ‘De que te queixas? Se eu levasse um dos teus sacos, a minha carga seria o dobro. Pelo contrário, se te desse um saco, a tua carga seria igual à minha’. Qual a carga de cada um dos animais?”

Vamos equacionar o problema, isto é, escrevê-lo em linguagem matemática:

Sejam a carga do cavalo e � a carga do

burro.

Linguagem corrente Linguagem matemática

Se eu levasse um dos teus sacos, − 1

A minha carga � + 1 Seria o dobro da tua � + 1 = 2� − 1�

Se eu te desse um saco � − 1 A tua carga + 1

Seria igual à minha �– 1 = + 1 Temos, então, um sistema com duas

equações do 1º grau:

$� + 1 = 2� − 1�� − 1 = + 1 % ⟹ $� − 2 = −3

� − = 2 % A resolução do sistema fornece = 5 e � = 7.

Logo, a carga do burro era de 7 sacos e a do

cavalo, de 5 sacos. Este é um dos mais curiosos problemas que se conhece. E também um dos mais antigos: tem mais de 2000 anos!

3 – INTRODUÇAÕ A EQUAÇÕES

Veja os seguintes problemas: “Uma barra de rapadura pesa 1 kg mais meia

barra de rapadura. Quanto pesa a barra de rapadura?”

“Hoje, Isabel tem 40 anos e seu filho André tem 8 anos. Daqui a quantos anos a idade de André será igual à metade da idade da mãe?”

“Na figura abaixo, a balança está em equilíbrio e as três melancias têm o mesmo peso. Nessas condições, qual é o peso (em kg) de cada melancia?”

Acabamos de ver que, em linguagem

matemática, podemos representar um número, uma quantidade ou até mesmo uma frase, usando letras. Agora, vamos aprofundar um pouco mais esse assunto, estudando uma parte da Matemática chamada Álgebra. A Álgebra se caracteriza fundamentalmente pelo uso de letras e é uma ferramenta poderosa na solução de muitos problemas.


CASD Vestibulares

A soma de dois números consecutivos é 13. Quais são esses números?

Resolução:

Este é um problema com quantidades

pequenas. Por isso, é possível calcular mentalmente que os números são 6 e 7.

Mas, como na vida real nós nem sempre trabalhamos com quantidades pequenas, vamos aprender a equacionar e a resolver problemas como esse.

Primeiro vamos equacionar o problema:• dois números consecutivos: � e • sua soma é 13;

Agora, vamos resolver a equação:

+ � + 1� = 13 ⟹ 2 + 1 = 13⟹ 2 + 1 − 1 = 13 − 1 ⟹ 2 =

⟹ 2 2 = 12

2 ⟹ = 6

Logo = 6 e + 1 = 7

Resposta: os números procurados são 6 e 7. 3.1 – O que é uma equação?

Um dos significados apresentadosdicionário para a palavra equação é este: “qualquer igualdade entre seres matemáticos que só é satisfeita para alguns valores”.

De um modo mais simples, podemos dizer que toda equação tem:

• Uma letra que indica um número desconhecido;

• Um sinal de igualdade (=); A letra é a incógnita da equação. Por exemplo:

na equação, 2 + 5 = 21, a letra é a é, o termo desconhecido.

A palavra “incógnita” significa desconhecida e a palavra equação significa igualdade “equa”, em latim, quer dizer igual).

Numa equação, a expressão que fica à esquerda do sinal de igual é chamada de 1º membro e a que fica à direita é chamada de 2º membro.

2 ' + 5()*+*,

-º/0/12�=3

45678905:;789790 �º/0/12�

3.2 – Resolver uma equação sem perder o equilíbrio

Termos da equação

Algebra

A soma de dois números consecutivos é 13.

Este é um problema com quantidades isso, é possível calcular mentalmente

Mas, como na vida real nós nem sempre trabalhamos com quantidades pequenas, vamos aprender a equacionar e a resolver problemas como

Primeiro vamos equacionar o problema: e � + 1;

13 ⟹ = 12 ⟹

números procurados são 6 e 7.

Um dos significados apresentados pelo dicionário para a palavra equação é este: “qualquer igualdade entre seres matemáticos que só é

De um modo mais simples, podemos dizer que

Uma letra que indica um número

da equação. Por exemplo: é a incógnita, isto

significa desconhecida e igualdade (o prefixo

Numa equação, a expressão que fica à esquerda do sinal de igual é chamada de 1º membro e a que fica à direita é chamada de 2º membro.

21'</0/12�

Resolver uma equação sem perder o

Podemos comparar uma equação a uma

balança em equilíbrio.

Isso significa que os dois pratos devem estar em equilíbrio. Se retirarmos ou adicionarmos algo a um dos pratos, devemos fazer o mesmo com o

Na balança da figura anterior, as 2 abóboras

mais um peso de 2 kg somam um peso igual a 10 kg. Matematicamente, isso pode ser escrito da seguinte maneira: 2 + 2 = 10, em que representa o peso de cada abóbora.

Retirando o peso de 2 kg de um temos que retirar um peso igual do outro prato, que ficará com 8 kg.

Substituindo o peso de 8 kg por dois de 4 kg, podemos perceber que cada abóbora pesa 4 kg.

Portanto, = 4.

Traduzindo para a linguagem matemática, fica assim:

2 +Subtraindo 2 dos dois membros:

2 + 2 −2

Dividindo por 2 os dois membros2 2

Após solucionar um problema, é sempre bom verificar se a resposta encontrada estalém de ajudar a verificar se não foram cometidos erros de conta, pode ser quesoluções que não estavam na equação originalchecar isso, basta substituir na equação original o valor encontrado:

2> + 2 = 10 ⟹ 2 ∙ ? + 2

Isso pode parecer excesso de cuidado, mas vejamos outra equação:

59

Podemos comparar uma equação a uma

Isso significa que os dois pratos devem estar

em equilíbrio. Se retirarmos ou adicionarmos algo a um dos pratos, devemos fazer o mesmo com o outro.

Na balança da figura anterior, as 2 abóboras mais um peso de 2 kg somam um peso igual a 10 kg. Matematicamente, isso pode ser escrito da seguinte

, em que é a incógnita que representa o peso de cada abóbora.

Retirando o peso de 2 kg de um dos pratos,

temos que retirar um peso igual do outro prato, que

Substituindo o peso de 8 kg por dois de 4 kg,

podemos perceber que cada abóbora pesa 4 kg.

Traduzindo para a linguagem matemática, fica

2 = 10Subtraindo 2 dos dois membros:

2 = 10 − 2= 8

Dividindo por 2 os dois membros

= 82

= 4 Após solucionar um problema, é sempre bom

verificar se a resposta encontrada está correta, pois além de ajudar a verificar se não foram cometidos erros de conta, pode ser que alguns passos levem a soluções que não estavam na equação original. Para

isso, basta substituir na equação original o

2 = 10 ⟹ 10 = 10�@A!� Isso pode parecer excesso de cuidado, mas

60

− 6 = √ ⟹ � − 6�� = D√ E� ⟹ ⟹ � − 12 + 36 = ⟹ � − 13 + 36 = 0 ⟹

⟹ � − 9 − 4 + 36 = � − 9� − 4� − 9� = 0 ⟹ ⟹ � − 4�� − 9� = 0 ⟹ = 4FG = 9. = 9 realmente é solução, pois − 6 = √9 ⟹

9 − 6 = √9 ⟹ 3 = 3�@A!�. Porém, se substituirmos = 4: 4 − 6 = −2 e

√4 = 2. Isso aconteceu por conta do passo de “elevar ao quadrado ambos os membros”. 3.3 – Um pouco de História

A palavra Álgebra tem origem na palavra árabe al-jabr (às vezes também escrita como al-gebr), título de um livro escrito em Bagdá, por volta do ano 825, pelo matemático árabe Mohammed Al-Khowarizmi. Esse é um livro sobre as operações al-jabr e qabalah.

O termo al-jabr significa restauração e refere-se à transposição de termos para o outro lado da equação:

6 = 2 + 8 Subtraindo 2 dos dois membros

6 − 2 = 8

O termo qabalah significa equilíbrio e refere-se à redução de termos semelhantes:

6 − 2 = 8 ⟹ 4 = 8 ⟹ = 84 ⟹ = 2

Al-Khowarizmi resolvia as equações de modo

semelhante a nós. A diferença é que tudo era expresso em palavras (imagine o trabalho que dava!). O primeiro matemático a escrever as equações usando letras, por volta de 1590, foi François Viète. Por isso, ele é chamado de “Pai da Álgebra”. A partir de então, as equações passaram a ser interpretada como as entendemos hoje:


Nível I 1. Escreva as seguintes frases em linguagem matemática: a) O dobro de um número. b) O triplo de um número. c) Um número menos sete. d) Metade de um número, mais um. 2. Como você escreveria em linguagem matemática as frases seguintes? a) A ordem dos fatores não altera o produto. b) A ordem das parcelas não altera a soma. 3. Considere um retângulo cujo perímetro é 20 cm. a) Escreva, em linguagem matemática, uma expressão para representar esse fato.

b) Dê dois exemplos para as medidas das dimensões desse retângulo. 4. Complete a frase: Sempre que o desconto é de 50%, pagamos apenas metade do preço. Se o preço é x, pagamos ........................ 5. Que comandos anulam os seguintes comandos? a) Somar 8 e multiplicar por 2. b) Triplicar e multiplicar por 5. 6. Pensei num número, multipliquei-o por 2 e ao resultado somei 8, obtendo 20. Em que número pensei? 7. Somando 6 ao triplo de um número, o resultado é 42. Qual é esse número? 8. A soma de dois números consecutivos é 1.349. Quais são esses números? 9. Uma caneta custa R$ 1,00 a mais que um lápis. Comprei 2 canetas e 4 lápis e gastei R$ 3,20. a) Escreva uma equação que solucione o problema. b) Qual o valor de cada caneta? c) Qual o valor de cada lápis?

GABARITO

1. a) 2 b) 3 c) − 7 d) J� +1

2. a) . � = �. b) + � = � + 3. a) 2 + 2� = 20 b) = 3, � = 7; = 4, � = 6 4.

J�

5. a) Dividir por 2 e subtrair 8 b) Dividir por 15 6. 6 7. 12 8. 674 e 675 9. a) 2� + 4�� − 1� = 3,2 b) R$ 1,20 c) R$ 0,20

A equação é o idioma da álgebra



CCAAPPÍÍTTUULLOO XXIIII –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDOO 11°°GGRRAAUU

1 – COEFICIENTES INTEIROS

Nos capítulos anteriores, você aprendeu a

resolver algumas equações bem simples. Neste capítulo, aprofundaremos o estudo dessas equações. Esperamos aqui que você já saiba o significado de:

Incógnita de uma equação;

Membros de uma equação;

Termos de uma equação; A importância do estudo das equações está no

fato de que elas facilitam a resolução de muitos problemas do dia-a-dia.


Dois pacotes juntos pesam 22 kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a mais que o menor? Resolução:

Já vimos que podemos representar

quantidades desconhecidas usando a Álgebra. Nesse caso, temos:

Pacote menor

Pacote maior Espera-se que a balança fique em equilíbrio

quando os pesos nos dois pratos se igualam, então a seguinte equação deve ser satisfeita:

Efetuemos as operações necessárias para

resolver a equação:


Eliminar os parênteses

Somar os termos semelhantes

Subtrair 6 nos dois membros

Efetuar a divisão por 2 nos dois membros

Resposta: o peso do pacote menor é de 8 kg e do pacote maior é de 8 + 6 = 14 kg.

1.1 – A Equação e a Balança

Como nós vimos no último capítulo, as equações têm propriedades semelhantes às transformações realizadas para manter uma balança em equilíbrio. Ao retirarmos 6 unidades de um dos pratos, devemos fazer o mesmo com o outro, caso contrário, a balança perderá o equilíbrio. Por esse motivo, indicamos a subtração de 6 nos dois membros e a divisão por 2 nos dois membros, quando resolvemos a equação x + (x + 6) = 22.

1.2 – A equação e a operação inversa

Na prática, não costumamos resolver uma equação pensando numa balança, nem fazendo todas as operações. Observe que quando subtraímos 6 nos dois membros, na equação acima, zeramos o 6 que estava no primeiro membro:

Por isso, dizemos simplesmente que o 6

passa para o outro lado e muda de sinal. Da mesma forma, costumamos dizer que o 2 que está multiplicando um termo no primeiro membro, passa para o segundo membro dividindo.

É importante observar que nessa regra de “passar para o outro lado”, está embutido um conceito matemático chamado operação inversa. A operação inversa da adição é a subtração:

+ 6 virou - 6 A operação inversa da multiplicação é a divisão:

2 virou 2

Na prática, em uma equação o nosso objetivo sempre é isolar o x. Para isso, devemos passar os termos independentes (sem o x) para a direita, passar os termos com x para a esquerda, somar os termos com x e passar o coeficiente do x para a direita (dividindo o lado direito).


“Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número.” Resolução:

Chamemos a esse número. A equação que

descreve o problema é:

Solucionaremos a equação dessa vez com as “operações” de “passar para o outro lado” em mente:



Passar 9 da esquerda ( ) para a direita ( )

Passar da direita ( )

para a esquerda ( )

Passar 3 da esquerda ( ) para a direita ( )

Resposta: o número vale .

1.3 – A Verificação da Solução

A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da equação, pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimentar o valor encontrado na incógnita. Veja o caso do exercício resolvido 2

:

Logo, satisfaz a equação.

Experimente substituir por qualquer outro valor e veja o que acontece.


“Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?” Resolução:

Equacionando o problema: Preço da cadeira: Preço da estante:

Equação correspondente:

Verificação da solução de :

Resposta: o preço da estante é R$ 48,00.

1.4 – A Raiz de Uma Equação

A solução de uma equação, isto é, o valor

encontrado para a incógnita, é chamado, pela matemática, de raiz da equação. Nas equações dos exercícios resolvidos 2 e 3, por exemplo, tem-se:

é raiz da equação

é raiz da equação

2 – COEFICIENTES FRACIONÁRIOS

Nas equações que estudamos até agora, os coeficientes eram sempre números inteiros.

Em muitas situações, porém, precisaremos resolver equações com coeficientes fracionários. Um exemplo:

Bem, já somos bons em resolver equações

com coeficientes inteiros, então por que não transformar a equação fracionária em outra equivalente com coeficientes inteiros?

Para fazer isso, basta ajustar as frações dos coeficientes para que todas tenham o mesmo denominador, que é o MMC de todos os denominadores originais. Eliminado o denominador comum, temos uma equação equivalente, só que com coeficientes todos inteiros!

Vejamos alguns exercícios resolvidos para fixar esse método:


“Um terço do salário de uma pessoa é utilizado para o pagamento do aluguel de R$ 110,00. Qual é o salário dessa pessoa?”

Resolução:

Escrevendo a equação do problema

enunciado:

O coeficiente do termo é e o termo independente (110) é um número inteiro ou, sob outro olhar, um fracionário com denominador 1. Então os denominadores originais são 1 e 3 e o denominador comum (que é o MMC de 1 e 3) será 3.

Numa equação, podemos multiplicar os dois

membros por um mesmo número, diferente de zero. Com base nisso, obtemos nossa equação equivalente de coeficientes inteiros:

Note que, para eliminar o denominador

comum, multiplicamos os dois lados da equação pelo denominador comum (que é 3).

Portanto, o salário daquela pessoa é de R$ 330,00. Na prática, essa equação poderia ser resolvida pela chamada “multiplicação em cruz”:


Verificação da solução de

:

Resposta: o salário dessa pessoa é R$ 330,00.


“Uma pessoa quer construir uma casa que

ocupará 1/4 de seu terreno, sendo que 1/3 será reservado para o jardim. Sabendo que ainda sobrará uma área de 375 m², responda: qual a área total do terreno?”

Resolução:

Área total do terreno:

Área ocupada pela casa: Área reservada para jardim:

Equação do problema:

Então os denominadores originais são 4 e 3 e

o denominador comum (que é o MMC de 4 e 3) será 12.

Igualando os denominadores:



Equação equivalente de coeficientes inteiros:


:

:

Resposta: a área total do terreno é de 900 m²

Exercício Resolvido 6: “Uma pessoa diz que daqui a 18 anos, a terça

parte de sua idade será a metade da sua idade atual. Qual a idade dessa pessoa?”

Resolução:

Idade atual: A metade da idade atual:

Idade daqui a 18 anos:

A terça-parte:

Equação do problema:

Então os denominadores originais são 3 e 2 e o denominador comum (que é o MMC de 3 e 2) será 6.

Igualando os denominadores:



Equação equivalente de coeficientes inteiros:


:

Resposta: a idade da pessoa é 18 anos.


Nível I 1. Qual é o número que somado com 5 é igual a 11? 2. Qual é o número que subtraído de 6 é igual a - 3? 3. Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6? 4. Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3? 5. Resolva as equações: a) 4x+2=14 b) 4x + 8 = 3x – 5 c) 3a - 4 = a + 1 d) 9y - 11 = - 2 e) 5x - 1 = 8x + 5 f) 4(x – 2) = 3 (x – 1) 6. Verifique se - 7 é raiz da equação:

2(x + 4) – 3

x = x – 1

7. Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova?


8. Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?

9. Se M é ponto médio de AB, determine x e m(AB).

10. Resolva as equações:

a)( 3)

2

x +

( 10)

3

x = 4 b)

(2 5)

3

x - 3x -10 = 0

11. Ao receber seu salário, André gastou 1

3 com

despesas médicas, 1

3 com compras diversas e

1

4

com o aluguel de sua casa. Qual o salário de André se, após pagar todas essas contas, ele ficou com R$ 40,00?

12. Achar o número de alunos de uma classe, se 1

3

deles está lendo, 1

4 está escrevendo e os 20

restantes estão fazendo contas.

13. Uma pessoa gasta 3

5 do seu ordenado com

despesas e 1

4 do resto consigo mesmo,

economizando mensalmente R$ 4.500,00. Qual o ordenado? 14. A soma de um terço de um número com a metade desse número vale 75. Que número é esse? 15. Um número, sua metade e sua terça parte somam 77. Qual é o número? 16. O dobro de um número, aumentado de sua metade, da sua quarta parte, de uma unidade dá 100. Qual é o número?

17. Um jogador perdeu numa partida 1

3 do que tinha

mais R$ 90,00, na 2ª perdeu 1

5 do dinheiro inicial

mais R$ 60,00 e na terceira perdeu R$ 60,00, ficando sem nada. Quanto possuía?

18. Um negociante vendeu a um freguês 2

5 das

laranjas que possuía mais três laranjas, e a um

segundo freguês vendeu 1

4das laranjas que possuía

inicialmente mais sete laranjas. Quantas laranjas possuía o negociante, sabendo-se que o primeiro freguês recebeu oito a mais que o segundo?

19. Um gavião ao passar por um bando de pombas, falou: “Bom-dia minhas cem pombinhas!” Uma das pombas replicou: “Cem pombas não somos, mas se a nós for acrescentada a metade de nós mais você, gavião, cem pombas seremos nós.”Quantas eram as pombas?”

20. Uma nova operação @ entre dois números A e B

é definida por A@B= . Se X@(X@14) = X,

quanto vale X?

Nível II

21. Se a equação 4x + 3m = 2 tem raiz 1, quanto vale m?

22. Um operário faz um serviço em 12 dias e um outro operário faz o mesmo serviço em 24 dias. Em quantos dias os 2 juntos fariam o serviço?

23. Uma torneira enche um tanque em 6 horas e outra torneira enche o tanque em 2 horas. Em quantos minutos as duas torneiras juntas enchem o tanque? 24. Uma torneira enche um tanque em 3 horas e um ralo esvazia o tanque em 4 horas. Se abrimos a torneira e o ralo ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque fica cheio? 25. Duas torneiras enchem um tanque em 2 horas. Uma delas, sozinha, enchê-lo-ia em 3 horas. Em quanto tempo a outra sozinha, encheria o tanque?

26. Uma torneira enche um tanque em 4 horas, outra torneira enche o tanque em 8 horas e um ralo esvazia o tanque em 3 horas Se abrimos as duas torneiras e o ralo ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque fica cheio?

GABARITO 1. 2. 3.

4.

( )

2

A B


5. a) b) c)

d) e) f) 6. não é raiz da equação. 7. 20 anos 8. 500.000 unidades 9.

10. a) b)

11. R$ 480,00 12. 48 alunos 13. R$ 30.000,00 14. 15. 16. 17. R$ 450,00 18. 80 laranjas 19. 66 pombas 20.

21.

22. 8 dias 23. 90 minutos 24. 12 horas 25. 6 horas 26. 24 horas

66 Nivelamento - Algebra

CASD Vestibulares

ÁLGEBRA

Nivelamento

CCAAPPÍÍTTUULLOO XXIIIIII –– SSIISSTTEEMMAASS DDOO 11ºº GGRRAAUU

1 – SISTEMAS DO 1º GRAU

Veja a seguinte situação: Pedro e José são

amigos. Ao saírem do trabalho, passaram por uma livraria onde havia vários objetos em promoção. Pedro comprou 2 cadernos e 3 livros e pagou R$ 17,40, no total. José gastou R$ 11,20 na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. No dia seguinte, quiseram contar a um terceiro colega sobre suas compras, mas não se lembravam do preço unitário dos livros. Sabiam apenas que todos os livros, assim como todos os cadernos, tinham o mesmo preço. E agora? Será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno com as informações que temos? Em capítulos anteriores, você viu que existem equações do 1º grau com duas incógnitas, como por exemplo: x + y = 5 x - y = 3 x + 2y = 8

As equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções. Abaixo, seguem algumas soluções das equações e :

Observando as tabelas de soluções das duas

equações, verificamos que o par (4; 1), isto é, x = 4 e y = 1,

é solução para as duas equações. Dessa forma, podemos dizer que as equações x + y = 5 e x - y = 3 formam um sistema de equações do 1º grau que admitem uma solução comum.

A Matemática utiliza o símbolo “{“ para indicar que duas (ou mais) equações formam um sistema. Veja os exemplos de sistemas:

Observação: Neste momento, vamos estudar

apenas os sistemas do 1º grau com duas equações de duas variáveis.

1.1 – Resolução de Sistemas

Resolver um sistema é encontrar um par de valores (x e y) que tornem verdadeiras as equações que o formam.

Por exemplo, o par (3 ; 2) é solução do sistema

Para verificar substituímos os valores x = 3 e

y = 2 em ambas as equações: x – y = 1 3 – 2 = 1 1=1 (verdadeiro)

x + y = 5 3 +2 = 5 5 = 5 (verdadeiro)

De fato, o par (3; 2) é solução do sistema, pois

torna as equações verdadeiras. Observação: Normalmente, o 1º elemento e o 2º

elemento do par-solução são o valor de x e o valor de y que resolvem o sistema, respectivamente.

1.2 – O Método da Substituição

Esse método de resolução de um sistema consiste em isolar uma incógnita e substituí-la na outra equação. Veja um exercício resolvido:


Resolva o sistema de equações

Resolução:

Escolhemos uma das equações e isolamos uma das incógnitas, ou seja, estabelecemos seu valor em função da outra incógnita. Vamos isolar o x na 1ª equação do sistema acima:

Agora, temos o valor de x em função de y e

podemos substituir esse valor na outra equação (que agora vai ter apenas uma variável, que será y):

:

Como e , tem-se: Resposta: o par (3 ; 2) é solução do sistema.


67


Encontre o preço de cada livro e de cada caderno no exemplo do 1º parágrafo deste capítulo.

Resolução:

Uma etapa importante na solução de um

problema é a tradução dos seus dados para a linguagem matemática. Para essa etapa, vamos usar as variáveis x (que representa o preço do caderno) e y (que representa o preço do livro). Organizamos os dados assim:

Pedro comprou 3 livros e 2 cadernos e gastou

R$ 17,40. Em linguagem matemática:

José comprou 2 livros e 1 caderno e gastou R$ 11,20. Em linguagem matemática:

Temos, assim, o sistema:

Isolando o y na 2ª equação do sistema, temos:

Substituindo o y na 1ª equação, teremos uma equação do 1º grau cuja única incógnita será o x:

Como e , tem-se:

Verificação da solução do sistema:

Resposta: cada livro custou R$ 5,00 e cada caderno, R$ 1,20.

1.3 – O Método da Adição

Esse outro método de resolução de um sistema

consiste em somar os termos das duas equações. Veja o seguinte exercício resolvido:



Resolução:

Somando as duas equações x – y = - 4 2x + y = 9 +

3x + 0y = 5

Veja que quando somamos as duas equações o

termo em y se anula. Por que isso ocorreu? Pense! Para obter o valor de y, devemos substituir o

valor de x em uma das equações. Substituindo x na 1ª equação, tem-se:


Resposta: A solução do sistema é o par

1.4 – Um artifício de cálculo



pelo método da adição. Resolução:

Se somarmos as equações do jeito que estão, não conseguiremos anular um dos termos. Por isso, vamos usar um artifício de cálculo:

primeiro, multiplicamos a 1ª equação por +2 ( que é o coeficiente do x na 2ª equação);

depois, multiplicamos a 2ª equação por -3 (que é o oposto do coeficiente do x na 1ª equação);

O sistema sofrerá a seguinte transformação: x 2

3x + 5y = 1 6x + 10y = 2 x (-3)

2x - 4y = 8 - 6x +12y = - 24

Agora, podemos somar as equações do sistema: 6x + 10y = 2 - 6x + 12y = - 24 + 0x + 22y = -22 y = -1

68 Nivelamento - Algebra

CASD Vestibulares

Repare que após o artifício de cálculo que envolvia os coeficientes de x, nós eliminamos o x da equação através do método da adição.

Para obter o valor de x, devemos substituir o valor de y em uma das equações. Substituindo y na 1ª equação, tem-se:


Resposta: a solução do sistema é o par Observação: Para eliminar uma variável de um sistema através do método da adição, devemos usar o seguinte artifício de cálculo:

multiplicamos a 1ª equação pelo coeficiente dessa variável na 2ª equação(no exercício resolvido 4, multiplicamos a 1ª equação por 2);

multiplicamos a 2ª equação pelo oposto do coeficiente dessa variável na 1ª equação (no exercício resolvido 4, multiplicamos a 2ª equação por -3);

Somamos as novas equações do sistema;


Nível I 1. Resolva o sistema por substituição:

2. Resolva os sistemas por adição:

a)

b)

3. Resolva os sistemas por adição, usando o artifício de cálculo para eliminar uma das variáveis:

a)

b)

4. Verifique se o par (1; 2) é solução para o sistema:

5. Escreva um sistema que corresponda à seguinte situação: Um armário custa o triplo de uma mesa. Os dois juntos custam R$ 120,00. 6. Resolva o sistema do Exercício 5.

Nível II 7. Num quintal há galinhas e coelhos, num total de 8 cabeças e 22 pés. Quantos animais há de cada espécie? 8. Um feirante precisa guardar suas laranjas em uma determinada quantidade de caixas. Se ele guardar 20 laranjas por caixa, sobram 5 laranjas sem caixa. Caso ele guarde 23 laranjas por caixa, sobram 2 caixas sem laranjas. Então a soma do número de caixas com o número de laranjas do feirante é: a) 17 b) 345 c) 352 d) 362 e) 372 9. Um bando de pássaros irá pousar em uma árvore que possui alguns galhos. Se pousarem 5 pássaros por galho ficam 6 pássaros sem galho, mas se pousarem 8 pássaros por galho sobram 3 galhos sem pássaros. O número de galhos é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 10. Estando todos os irmãos reunidos à mesa, um menino diz: “Vejo tanto irmãos quanto irmãs” Uma menina diz: “Vejo que o número de meus irmãos é o dobro do de minhas irmãs”. Quantos são os meninos? E as meninas? 11. Tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tens, quando tu tiveres a idade que tenho, a soma das nossas idades será 63 anos. Quais são as idades hoje?

GABARITO

1. ou 2. a) ou b) ou

3. a) ou b)

ou

4. Sim, o par é solução do sistema.

5.

6. O armário custa R$ 90,00 e a mesa custa R$ 30,00. 7. 5 galinhas e 3 coelhos. 8. B 9. E 10. 4 meninos e 3 meninos 11. 28 anos e 35 anos


ÁLGEBRA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO VVIIIIII –– EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDOO 22ºº GGRRAAUU

1 – DEFINIÇÃO

Uma equação é chamada de 2º grau quando for da forma:

Em que são números reais e é diferente de zero. Uma equação do 2º grau também pode ser escrita como:

Em que são as raízes da equação como será visto. Exemplos de equações do 2º grau:

a) b)

c) d)

2 – RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

Raízes de uma equação do 2º grau são todos

os valores para os quais a equação é nula, ou seja, são todos os valores de que satisfazem a equação dada. Para o caso da equação do segundo grau, usaremos a fórmula de Bhaskara para o cálculo das raízes. Seja a seguinte função do 2º grau:

Com são números reais e é diferente de zero. Então calculamos os valores das raízes x1 e x2 seguindo os seguintes passos. 1º passo: cálculo do Delta .

2º passo: cálculo das raízes As raízes são calculadas usando-se o delta calculado acima e os parâmetros da equação do segundo grau

A equação acima é a fórmula de Bhaskara.

O delta calculado na Equação 3 é um número que pode ser negativo, positivo ou nulo. Contudo na

Equação 4 usamos , ou seja, devemos fazer a

análise do sinal de , pois até aqui só conhecemos raízes de números positivos ou nulos.


Resolva a equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara.

Resolução:

1º passo: cálculo do Delta .

2º passo: cálculo das raízes

Resposta: S = {-5; 1}

Vamos colocar a equação na forma apresentada na Equação 2

Nesse caso, . Assim, substituindo em 2, temos:

3 – NATUREZA DAS RAÍZES

: duas raízes reais e distintas

Como mostrado no Exercício Resolvido 1.

: duas raízes reais e iguais


Resolva a equação . Resolução:

1º passo: cálculo do Delta .

2º passo: cálculo das raízes

Note que neste caso as raízes são reais e

iguais a 1. Assim dizemos que a equação possui duas raízes reais e iguais. Vamos colocar a equação

na forma apresentada na Equação 2


Neste caso, . Assim, substituindo em 2, temos:

A equação acima é um quadrado perfeito.

: duas raízes imaginárias (não reais) Esse caso será estudo em momento futuro do curso.

4 – SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

4.1 – Soma das raízes

4.2 – Produto das raízes

Exemplo:

Tomamos a equação do segundo grau do Ex 1

cujas raízes são . Dessa forma a soma das raízes é e o

produto é . Contudo, a soma e o produto das raízes podem

ser calculados usando somente os coeficientes da equação do segundo grau. Dessa forma temos que:

Soma das raízes

Da Equação 5, temos

Produto das raízes


Os resultados batem com aqueles calculados

quando se acha os valores das raízes e calculamos a soma e o produto.

Exercício Resolvido 3: Determine os zeros reais das funções:

a) –

b)

c) –

d) –

e) –

f)

Resolução:

a)

Conjunto solução

b) Vamos resolver por soma e produto

Soma das raízes


Produto das raízes


Agora basta pensar em dois números cuja soma é -4 e o produto é 4. Por uma inspeção simples encontramos como resultado a raiz dupla. Conjunto solução .

c)

Conjunto solução

d)

Conjunto solução .

e)

Conjunto solução

f)

No universo dos reais, o número é sempre positivo,

ou seja, , mas pela equação temos

.

Dessa forma, concluímos que não existe solução real

para a equação


Uma empresa produz e vende certo tipo de produto. A quantidade que ela consegue vender varia com o preço, da seguinte forma: a um preço y ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação y = 50 – (x/2). Sabendo que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi de 1250,00, qual foi a quantidade vendida? Resolução: Quantidade vendida = x Preço de venda = y Receita = x.y=1250,00

Mas

,


Logo

A equação acima pode ser resolvida por Bhaskara ou por soma e produto. Vamos resolver por soma e produto.

Soma das raízes Da Equação 5, temos

Produto das raízes


Por inspeção das raízes, achamos a raiz dupla . Logo a quantidade de produto vendida foi de 50 unidades.

Exercício Resolvido 5: Na equação de segundo grau 2x

2 – 5x – 1 = 0 de raízes

x1 e x2, calcule:

a)

b)

c)

d)

Resolução:

Soma das raízes

Produto das raízes

Dessa forma

.

a)

b)

c)

d)

Exercício Resolvido 6: Determine os zeros reais da função

–

Resolução:

Chamamos . Então

Substituindo na equação principal, trocamos por , e

por . Dessa forma, a equação fica que é uma equação do 2º grau.

Soma das raízes

Produto das raízes

Temos que achar dois números cuja soma é 3 e o produto é -4. Por inspeção achamos

Mas . Então

Assim, conjunto solução .


Nível I

1. (Puccamp) Considere as seguintes equações:

I. x2 + 4 = 0

II. x2 - 2 = 0

III. 0,3x = 0,1

Sobre as soluções dessas equações é verdade que em

a) II são números irracionais.

b) III é número irracional.

c) I e II são números reais.

d) I e III são números não reais.

e) II e III são números racionais.

2. (Uece) Se x1 e x2 são as raízes da equação

3x2 - 2x - 8 = 0, sendo x1 < x2, então 3x22 - 2x1 - 8 é

igual a:

a) 2/3 b) 8/3 c) 16/3 d) 20/3

3. Quantas raízes reais têm a equação

2x2 - 2x + 1 = 0?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) nenhuma

4. (Pucrj) Se A e B são as raízes de x2 + 3x – 10 = 0,

então

2

1vale :

A B

a) 1

10 b)

1

49 c)

1

49 d)

1

10 e)

1

7

Nível II 5. Resolva o sistema:

2x y 1

1/ x 1/ y 2


6. A equação (x - 3)/2 + 1/x = -3, em R, é verdadeira, se

x2 for igual a:

a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 ou 4 e) -1 ou -2

7. Determine "a" para que a equação do 20. grau ax2 +

x + 1 = 0 admita duas raízes reais e distintas.

a) a = 1/4 b) a < 1/4 c) a > 1/4 d) a = 4 e) a = -4

8. A equação 4x2 + x + m = 0 tem uma única raiz.

Então, m é igual a:

a) 0 b) 1/16 c) 2 d) 1/32 e) -1

9. Determine as raízes da equação

(2x + 3)/3 = (3x - 2)2/6 + [x(1 - 5x)]/2

10. Resolva as seguintes equações do 2o grau, no

conjunto IR:

a) (3x + 1)2 + 4 = 7x + 1

b) (x - 1)2 = 3x + 1

c) 2

22x x x - 3x

5 10 2

d) x x 5 5x

1 1 2 2 4 8

e) x x 1 x 5 2x 1

54 12 6

11. Resolva as seguintes equações literais, no conjunto

IR:

a) (x - a)2 = a2

b) 9x2 - 25m2 = 0

c) 2 . (x2 + m2) = 10m2

d) 4x2 - 5a2/6 = 3x2 + a2/6

12. (Uepg) Um ciclista fez um percurso de 600 km, em

n dias, percorrendo x quilômetros por dia. Se ele

tivesse percorrido 10 km a mais por dia teria gasto 3

dias a menos. Nessas condições, assinale o que for

correto.

01) O número de dias usados para percorrer os 600 km

é um número par.

02) Ele fez o percurso em 30 dias.

04) Ele percorreu mais de 12 km por dia.

08) O número de quilômetros percorridos por dia é um

número divisível por 8.

13. (Fgv) Deslocando-se a vírgula 4 posições para a

direita na representação decimal de um número

racional positivo, o número obtido é o quádruplo do

inverso do número original. É correto afirmar que o

número original encontra-se no intervalo real

a) 1 3

,10000 10000

b) 1 3

,1000 1000

c) 1 3

,100 100

d) 1 3

,10 10

e) [1,3]

14. O conjunto solução da equação do segundo grau no

conjunto dos números reais 2x 3 5

x4 8 2

é:

a) S = {1, 2} b) 5

S ,42

c) 5

S ,42

d) S= {2, 5} e) S= { }

15. Um algoritmo é um procedimento computacional

que serve de apoio para a programação de

computadores, por meio da descrição de tarefas que

devem ser efetuadas. Seguindo pré-determinadas

instruções, a partir de valores ou expressões de

entrada, é produzido um valor ou expressão de saída.

Considere o algoritmo abaixo que determina uma

equação do 2º grau, cujas raízes reais são dois

números A e B conhecidos:

a) Observando o algoritmo acima, determine uma

equação do 2º grau com raízes 2 e 5.

b) Quais são os valores A e B que devem ser

considerados na entrada para que a equação de

saída seja x2 – 3x – 28 = 0?


16. Luiz Fernando elaborou um programa para sua

calculadora científica.

Desta forma, digitando um número N de entrada no

programa, a calculadora efetua algumas operações e

devolve na saída o número R.

No esquema abaixo, estão ilustrados os comandos que

Luiz colocou em seu programa:

a) Qual será o resultado de saída R quando Luiz

Fernando digitar na entrada o número N = 6?

b) Luiz Fernando, depois de testar vários números,

observou que, ao digitar de entrada certo número N,

o valor de saída R era igual ao dobro de N. Escreva

a equação que descreve esta propriedade observada

por Luiz Fernando.

c) Determine o número de entrada N que satisfaz à

observação de Luiz Fernando.

17. (Espm) Uma costureira pagou R$ 135,00 por uma

certa quantidade de metros de um tecido. Ao passar

pela loja vizinha, notou que o metro desse mesmo

tecido estava R$ 2,00 mais barato que na anterior.

Comprou, então, um metro a mais do que na primeira

compra, gastando R$ 130,00. Considerando as duas

compras, o total de metros de tecido que ela comprou

foi:

a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23

18. (Espm) O produto da média aritmética pela média

harmônica entre dois números reais positivos é igual ao

produto desses números.

Dessa forma podemos dizer que a média harmônica

entre as raízes da equação 2x2 − 15x + 3 = 0 é igual a:

a) 0,4 b) 1,3 c) 0,7 d) 1,5 e) 0,6

19. Encontre o valor de n para que a soma das raízes

da equação do segundo grau 6x2 + (n – 1)x – 2 = 0 seja

igual a 1

5.

a) 1

5 b) -

1

5 c)

2

5 d)

2

5 e)

3

5

20. (G1 - utfpr) Resolvendo a equação biquadrada 6x4

– 5x2 + 1 = 0, obtém-se:

a) 2 3 3 2

S , , ,2 3 3 2

b) 5 2 2 5

S , , ,2 2 2 2

c) 3 1 1 3

S , , ,2 2 2 2

d) 5 1 1 5

S , , ,2 2 2 2

e) 2 1 1 2

S , , ,2 2 2 2

GABARITO

1. A 2. D 3. A

4. C Resolvendo a equação x2 + 3x – 10 = 0, temos

x= 2 ou x = - 5, logo:

49

1

7

1

)5(2

11222

BA

5. se x = 1 então y = 1 se x = 1/4 então y = -1/2

6. D 7. B 8. B 9. -1/6 ou - 2

10. a) V = Φ b) V = {0, 5} c) V = 3

, 013

d) V = 9

2, 2

e) V = {1, 5}

11. a) V = {0, 2a} b) V = {- 5m/3, 5m/3}

c) V = {- 2m, + 2m} d) V = {- a, a}

12. 04 + 08 = 12

3

60010

600

nx

nx

3

60010

600

nn600(n-3) + 10(n-3).n = 600n n2 – 3n

– 180 = 0 n= -12 ou n = 15

Logo n = 15 e x = 40

Falso, 15 é ímpar.

Falso, em 15 dias

(04) Verdadeiro, 40 > 12

(08) Verdadeiro, 40 é divisível por 8

13. C 10.000x = 4.100

2

10000

41 2 xxx

14. B 2x 3 5

x4 8 2

020328

203

8

2 22

xxxx

169

x =

2

54

2.2

169)3(

2

x

x

a

b

S = 5

S ,42

15. a) (x - 2).(x – 5) = 0 x2 – 7x + 10 = 0

b) x2 – 3x – 28 = 0 (x – 7).(x + 4)= 0

x - 7 = 0 ou x + 4 = 0 logo, x = 7 ou x = - 4


16. a) (6 - 1)2 + 3 = 28 b) (N - 1)2 + 3 = 2N

c) N2 – 2N + 1 + 3 = 2N N2 - 4N + 4 = 0

Resolvendo a equação temos: N = 4

17. C

x = quantidade de tecido em metros da loja 1

x +1 = quantidade de tecido em metros da loja 2.

013532)1.(2.130)1(13521

130135 2

xxxxxxxx

Resolvendo, temos x = 9 ou x = -7,5 (não convém).

Logo, foram comprados 9 + 9 + 1 = 19m de tecido.

18. A

4,015

6

2

3.

4

15

2

3.

2

2

)15(

.2

.

H

H

H

H

HA

M

M

M

PMS

PMM

19. B

5

1

5

1

6

)1(

5

1

nn

a

b

20. A

3

1 x

2

1

12

15

11.6.45

222

2

ouxx

Logo, x = 3

3 x

2

2 ou

2 3 3 2S , , ,

2 3 3 2

CASD Vestibulares Nivelamento - Geometria 75

GGEEOOMMEETTRRIIAA Nivelamento

CCAAPPÍÍTTUULLOO II –– ÂÂNNGGUULLOOSS

1 – INTRODUÇÃO

Geometria Plana é um dos assuntos mais cobrados em qualquer prova de vestibular. Geometria não é um assunto difícil ou complicado como muitos imaginam. O conhecimento sobre geometria é construído pouco a pouco, de forma que um assunto puxa o outro. Por isso, trate de prestar bastante atenção nessa parte inicial de nossos estudos geométricos (ela será fundamental mais na frente do nosso curso)!

Para que se aprenda bem esse assunto é necessário uma base teórica, com algumas definições que facilitarão seu aprendizado. Então, bastante atenção nas definições que se seguem:

Semi-reta:

Um ponto A divide uma reta em duas partes, e estas partes são chamadas de semi-retas com origem A.

Segmento de reta:

Dados dois pontos distintos, a reunião deles com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta.

Região convexa: Um conjunto de pontos S é uma região convexa se, e somente se, para qualquer par de pontos A e B de S, o segmento AB está todo contido em S, quando a região não é convexa, ela é chamada de côncava.

Ângulos: É a união de duas semi-retas de mesma origem. Simbolicamente: rÔs = Or U Os. O ponto O é o vértice do ângulo e as semi-retas Or e Os são os lados do ângulo.

Região Angular: É a região determinada pela união do conjunto dos pontos do ângulo com o conjunto dos pontos “interiores”.

2 - DEFINIÇÕES

Ângulos congruentes: são aqueles que possuem medidas iguais. Assim, por exemplo, todos os ângulos retos são congruentes, todos os ângulos de medida 60° são congruentes, etc.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se, e somente se, o lado de um deles é também lado do outro.

Ângulos adjacentes: dois ângulos são adjacentes se, e somente, forem consecutivos e não possuírem pontos internos em comum.

Muita atenção na definição que se segue, ângulos opostos pelo vértice aparecerão em todo o decorrer do ano e você precisa estar com essa ideia bem clara para que compreenda bem várias situações geométricas que aparecerão posteriormente.

Ângulos opostos pelo vértice: como o próprio nome indica, são aqueles cujos lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Vale aqui, a seguinte proposição, facilmente demonstrável:

"Dois ângulos opostos pelo vértice são

congruentes, ou seja, possuem a mesma medida".

Veja que os ângulos de medidas a e b são congruentes, e, também os ângulos de medidas c e d são também congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

3 – SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

3.1 - Sistema Graus:

Ângulo de um grau (1º) é o ângulo cuja medida é 1/360 de uma volta completa, ou 1/180 de um ângulo raso.

76 Nivelamento - Geometria CASD Vestibulares

O grau admite dois submúltiplos: o minuto e o segundo.

Onde temos 1º = 60‟ e 1‟ = 60”.

3.2 - Sistema radianos:

A medida de um ângulo no sistema radianos é a razão entre o comprimento do arco que este ângulo determina sobre qualquer circunferência de centro no vértice do ângulo e a medida do raio da referida circunferência.

4 – CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

4.1 - Classificação quanto a medida

Ângulo raso: Quando seus lados são semi-retas opostas. Sua medida vai ser 180º.

Ângulo reto: A metade de um ângulo raso é denominada ângulo reto e sua medida é 90°.

Concluímos que o ângulo de uma volta completa corresponde a dois ângulos rasos ou a quatro ângulos retos e, portanto sua medida é 360°.

Ângulo Agudo: Quando este for menor que a medida de um ângulo reto, ou seja, menor que 90º.

Ângulo Obtuso: Quando este for maior que 90º.

4.2 – Classificação quanto a soma Complementares: Dois ângulos são

complementares quando a soma das suas medidas é um ângulo reto. É dito que um é complementar do outro.

Exemplo: 34° é o complemento de 56° e vice-versa, pois 34° + 56° = 90°.

Suplementares: Dois ângulos são suplementares quando a soma das suas medidas é um ângulo raso. É dito que um é suplementar do outro.

Exemplo: 48° é o suplemento de 132° e vice-versa, pois 48° + 132° = 180°.

Replementares: Dois ângulos são replementares quando a soma das suas medidas é uma volta completa (360º). É dito que um é o replemento do outro.

5 – POSIÇÕES ENTRE RETAS As retas podem fazer entre si diversos valores de ângulos. Existem, porém, dois casos a serem destacados:

Retas perpendiculares: são aquelas retas

concorrentes (isto é, aquelas que possuem um único ponto em comum) que formam entre si quatro ângulos retos.

Se duas retas r e s são perpendiculares, indicamos

isso através do símbolo: r s .

Retas paralelas: duas retas são paralelas se

elas pertencem ao mesmo plano e não tem interseção.

Dadas duas retas paralelas, chama-se reta transversal qualquer reta que intercepte ambas as retas. Dadas num plano, duas retas r e s e uma transversal t, obtemos oito ângulos.

Correspondentes: a e e ; b e f ; c e g ; d e h. Alternos externos: a e g ; b e h. Alternos internos: c e e ; d e f. Colaterais externos: a e h ; b e g. Colaterais internos: c e f ; d e e. Propriedades:

Se tivermos duas retas paralelas cortadas por uma transversal teremos:

Ângulos correspondentes congruentes

Ângulos alternos congruentes

Ângulos colaterais suplementares

CASDVestibulares Nivelamento - Geometria 77

Nesse ponto não é importante se prender a definições como „colaterais externos‟ ou „alternos internos‟. O aspecto importante é que, ao se ver figuras tais quais a representada logo acima, se saiba reconhecer que ângulos possuem a mesma medida e quais são suplementares. Tente fazer esse mesmo desenho em uma folha separada e marcar esses ângulos até que isso fique natural para você. Questões que envolvem marcações de ângulos envolvendo retas paralelas e transversais serão bastante comuns ao longo do ano.

6 – ADIÇÃO DE ÂNGULOS Se o segmento de reta OC é interno ao ângulo AÔB, este ângulo será a soma dos ângulos AÔC e CÔB.

AÔB = AÔB + CÔB

7 – BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

A bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice que divide o ângulo em duas partes iguais. Assim, OC é bissetriz do ângulo AÔB ↔ AÔC = BÔC.

OC = bissetriz

Todo ângulo possui uma única bissetriz

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercício Resolvido 1: Dados os ângulos de medidas a = 30º40'32" e b = 18º53'40'', pede-se determinar os valores dos ângulos a + b . Teremos: a + b = 30º40'32'' + 18º53'40". a + b = 30º + 40'+32"+18º+53'+40" a + b =(30º+18º) + (40'+ 53') + (32"+ 40") a + b = 48º + 93'+72"

Como 1º = 60', vem que 93'= 60'+ 33'= 1º + 33', daí, vem: a + b = 48º + 1º + 33'+ 72" Como 1' = 60" , vem que 72"= 60"+ 12" = 1'+ 12", vem: a + b = 48º + 1º + 33'+ 1'+ 12"

a + b = 49º + 34'+ 12" a + b = 49º34'12"

Exercício Resolvido 2: Determine o complemento do ângulo de medida x = 56º32'40": O complemento de um ângulo x é 90º - x. Logo, o complemento do ângulo será: Y = 90º - x = 90º - 56º32'40" = 90º - (56º + 32' + 40") Y = 90º - 56º - 32' - 40"Y = 34º - 32'- 40"

Y = 33º + 1º - 32'- 40" Y = 33º + 60' - 32'- 40"

Y = 33º + 28'- 40" Y = 33º + 27' + 1' - 40"

Y = 33º + 27'+ 60" - 40"Y = 33º + 27'+ 20"

Y = 33º27'20"


Nível I 1) Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas: a) ( ) Dois ângulos adjacentes têm um lado comum b) ( ) Dois ângulos adjacentes têm um vértice comum c) ( ) Dois ângulos que têm vértice em comum e um lado em comum são adjacentes d)( ) As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice pertencem a uma mesma reta e) ( ) Um ângulo divide o plano em dois subconjuntos f)( ) Se dois ângulos são congruentes então são suplementares g) ( ) Se dois ângulos adjacentes são complementares, então seus lados não comuns são perpendiculares h) ( ) O suplemento de um ângulo agudo é um ângulo obtuso 2) Quanto vale o complemento de 18°42‟ ? 3) Dois ângulos suplementares medem 3x – 40° e 2x + 60°. Quanto mede o maior desses ângulos? 4) Qual é a medida do ângulo que é igual ao dobro do seu suplemento? 5) As bissetrizes dos ângulos colaterais internos: a) são perpendiculares b) são paralelas c) formam 60° d) formam 45° e) formam um ângulo cuja medida depende da medida dos colaterais 6) Simplifique as seguintes medidas: a) 30º 70‟ d) 110º 58‟ 300” b) 45º 150‟ e) 30º 56‟ 240” c) 65º 39‟ 123”

Nível II


7) Na figura, OX é bissetriz de A Ô B, C Ô A = a e C

Ô B = b. Calcule C Ô X.

a) 2

a b)

2

b c)

2

ba

d)2

ba e) b – a

8) Quatro semi-retas OA, OB, OC e OD formam os ângulos adjacentes AÔB, BÔC, CÔD e DÔA, respectivamente proporcionais aos números 1, 2, 3 e 4. As bissetrizes de AÔB e CÔD formam: a-) 36° b) 72° c-) 108° d-)144° e-) 180°

9) Seja A Ô B um ângulo e r uma reta do seu plano,

que contém O e situada na região não convexa, Sejam OX e OY as bissetrizes dos ângulos agudos

que OA e OB formam com r. Se A Ô B = 150°, XÔY

mede: a-) 135° b-) 145° c-) 155° d-) 165° e-) 175°

10) Os ângulos A Ô B, BÔC e CÔD são

consecutivos. A diferença entre A Ô B e CÔD é 4°.

Qual o ângulo que a bissetriz de BÔC forma com a de AÔD? a-) 2° b-) 4° c-) 0° d-) 8° e-) 1° 11) Calcule α (em graus) na figura abaixo, sabendo que r // s.

12) Na figura AEJ = ˆDHI e DHC ˆ é o

complemento de IHD ˆ . Identifique as sentenças verdadeiras. a)( ) AF // GI b)( ) CK _I_ GI

c)( ) KHJ ˆ é complemento de FED ˆ

d)( ) IHD ˆ é suplemento de KHI ˆ 13) Na figura, onde r e s são paralelos, analise as informações:

I - FBABAC ˆˆ

II - 180ˆˆ FBABAD

III - As bissetrizes de BAC ˆ e FBA ˆ são paralelas

IV- As bissetrizes de BAC ˆ e BAD ˆ são

perpendiculares São corretas: a) nenhuma b) uma c) duas 14) Na figura, r // s, Então:

a) AC ˆˆ

b) BC ˆˆ

c) BAC ˆˆˆ

d) BAC ˆˆˆ

e) 2

A BC

15) Calcule em função de a e de b . Sabe-se que

OJ é a bissetriz de AOC :

a) ba ˆˆ

b) ba ˆˆ2

c) 2

ˆ2ˆ ba

d) 2

ˆ3ˆ ba

e)2

ˆˆ5 ab

CASDVestibulares Nivelamento - Geometria 79

GABARITOS

1) a) V b) V c) F d) V e) V f) F g) V h) V 2) 71º 18‟ 3) 124º 4) 120º 5) A 6) a)31º 10‟ b)47º 30‟ c)65º 41‟ 3”

d)111º 3‟ e)31º 7) C 8) D 9) D 10) A 11) 40º 12) a) V b) V c) V d) F 13) E 14) C 15) E

‘’ O futuro pertence àqueles que acreditam na

beleza de seus sonhos.’’

Roosevelt


GGEEOOMMEETTRRIIAA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII –– TTRRIIÂÂNNGGUULLOOSS EE QQUUAADDRRIILLÁÁTTEERROOSS

1- TRIÂNGULOS Dados três pontos que não estejam na

mesma reta, A, B e C, chama-se triângulo a união dos três segmentos AB, BC e AC.

A união do triângulo ABC com os pontos de sua

região interior é chamada de região triangular. A palavra triângulo é muitas vezes usada com sentido de região triangular.

O triângulo é uma figura geométrica muito utilizada em construções. Você já deve ter notado que existem vários tipos de triângulo.

Para falar dos elementos dos triângulos, a

Matemática usa uma convenção universal. Com letras maiúsculas representamos os vértices, pois eles são pontos do plano. E assim temos, por exemplo:

Os pontos A, B e C são os vértices. Os segmentos AB, BC e AC são os são lados. Propriedades:

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. (Muito, muito importante!)

A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é 360º.

Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre descobrir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse problema usando os mesmos exemplos acima.

O ângulo cuja medida é desconhecida mede

45º, pois 180º - 135º = 45º que é quanto falta à soma dos outros dois para completar 180º.

O resultado é encontrado subtraindo-se de 180º (total da soma) a soma dos ângulos que você já conhece.

Neste exemplo, você não conhece nenhum

dos três ângulos, 180°

= 60°3

, mas sabe que os três

possuem 3 medidas iguais. Basta então dividir o total por 3. Em qualquer triangulo, cada ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes.

1.1 - Classificação dos triângulos

Como os triângulos não são todos iguais,

podemos separá-los em grupos que tenham características comuns, ou seja, podemos classificá-los. Usam-se dois tipos de classificação: pelos ângulos ou pelos lados.

1.1.1 - Classificação quanto aos ângulos

lado

lado

lado vértice

vértice

vértice

ângulos

45°

45° 60°

30°

60°

60°

60° 90° 90°

90°+45°+45°=180°

90°+30°+60°=180° 60°+60°+60°=180°

?

45°

90°

180° - (90° + 45°) = = 180° - 135° = = 45°

?

?

?

180°= 60°

3

acutângulo retângulo Obtusângulo

lo

A B

C


O triângulo acutângulo possui os 3 ângulos

agudos. O triângulo retângulo possui 1 ângulo reto e 2

ângulos agudos. O triângulo obtusângulo possui 1 ângulo

obtuso e 2 ângulos agudos.

1.1.2 - Classificação quanto aos lados

O triângulo eqüilátero possui os 3 lados com a

mesma medida. O triângulo isósceles possui 2 lados com a

mesma medida e o terceiro lado com medida diferente. O triângulo escaleno possui os 3 lados com medidas diferentes.

Obs: O triângulo isósceles possui os dois ângulos da base iguais, ou seja, os ângulos opostos ao lados congruentes também são congruentes.

2 - QUADRILÁTEROS

No mosaico acima, podemos identificar duas

figuras bastante conhecidas: o quadrado e o retângulo.

As duas figuras possuem quatro ângulos

internos iguais e retos, portanto medem 90º cada um. Além disso, o quadrado tem os quatro lados iguais e o retângulo tem dois pares de lados iguais chamados lados opostos.

Vejamos como se representam as observações acima:

No quadrado ABCD: AB=BC=CD=AD lados

iguais No retângulo EFGH: EF=GH E FG=EH lados

opostos iguais

E F G H Ângulos iguais

Veja, agora, um outro mosaico formado por uma figura de quatro lados também conhecida:

Essa figura, chamada losango, possui os quatro lados iguais e dois pares de ângulos iguais, os ângulos opostos.

No losango RSTU: RS=ST=TU=UR lados iguais

R T ângulos opostos iguais

S U ângulos opostos iguais

Outra figura de quatro lados que possui também dois pares de ângulos iguais é o paralelogramo. Note que seus lados opostos são iguais dois a dois, como no retângulo.

No paralelogramo MNOP: MN=OP e NO=MPdois pares de lados opostos

iguais

M O e N P dois pares de ângulos opostos

iguais

R

U

T

S


Todas as figuras aqui apresentadas são

chamadas de quadriláteros (quadri = quatro e láteros = lados).

Vamos conhecer agora um elemento dos

quadriláteros que não existe nos triângulos: a diagonal. Diagonal de um quadrilátero: é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos. No retângulo ABCD, os vértices não consecutivos são A e C, e B e D. Veja a figura:

Veja um resumo das características (propriedades) dessas figuras:

2.1 – Quadriláteros notáveis 2.1.1 - Paralelogramo: é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.

Propriedades:

Os lados opostos são congruentes

Os ângulos opostos são congruentes.

As diagonais se cortam em seus pontos médios.

2.1.2 – Retângulo:

Propriedades:

Todas as propriedades do paralelogramo

As diagonais são congruentes

Os quatros ângulos são retos

2.1.3 – Losango: é todo paralelogramo que possui dois lados adjacentes congruentes.

Propriedades:

Todas as do paralelogramo

As diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos internos.

As diagonais são perpendiculares

Os quatro lados são congruentes

2.1.4 – Quadrado: é todo quadrilátero que é retângulo e losango.

Propriedades:

Todas as propriedades de retângulo

Todas as propriedades de losango.

Veja as tabelas. Observe que na 1ª tabela na

3ª coluna aparece uma propriedade comum a todas as figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Por isso, todas elas são chamadas de paralelogramos. Portanto: Os paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares de lados opostos paralelos.

Observe que na 4ª coluna da 2ª tabela aparece a propriedade comum às diagonais dos paralelogramos: As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.

4

lados iguais

Apenas lados

opostos iguais

2 pares de lados opostos paralelos

4 ângulos iguais

Apenas ângulos opostos iguais

X X X

X X X

X X X

X X X

Duas diagonais

iguais

Duas diagonais desiguais

Diagonais perpendiculares

Diagonais que se

cortam ao meio

X X X

X X

X X X

X X

O trapézio não é um paralelogramo, pois é

quadrilátero que tem apenas um par de lados opostos paralelos, que chamamos de bases. Veja alguns tipos de trapézio:


O trapézio 1 tem os lados AB e CD paralelos,

sendo AB a base maior e CD a base menor. Os outros dois lados não são paralelos, mas são iguais, isto é, AC = BD. Esse é o trapézio isósceles que possui os lados não paralelos congruentes..

O trapézio 2 tem o lado EG perpendicular às bases formando, portanto, ângulos retos e G. Esse é o trapézio retângulo que possui um ângulo reto.

O trapézio 3 tem os dois lados não paralelos desiguais, isto é, IL ≠ JM. Esse é o trapézio escaleno. Essa classificação dos trapézios tem uma analogia (semelhança) com a classificação dos triângulos. Obs: Um quadrado também é um paralelogramo pos tem 2 pares de lados paralelos, é losango pois tem os 4 lados iguais e é um retângulo pois tem os 4 ângulos iguais a 90

o. Assim, um quadrilátero pode

ser de mais de um tipo. Os quadriláteros podem ser representados no seguinte diagrama.

Por esse diagrama fica fácil ver as essas relações. Por exemplo: todo retângulo é também um paralelogramo, pois o conjunto dos retângulo está contido no dos paralelogramos.

3 – ÁREAS DE SUPERFÍCIES O que é área de uma superfície?

Medir uma superfície é compará-la com outra, tomada como unidade. O resultado da comparação é um número positivo, ao qual chamamos de área. Como não existe instrumento para medir a área de uma superfície, comparamos sua área com a área de uma figura mais simples, como o retângulo ou o quadrado.


Deseja-se forrar uma parede de 3m x 5m

com quadrados de cortiça de 1 m de lado. Quantos quadrados de cortiça serão necessários?

Para resolver esse problema, é preciso calcular a área da parede, que tem a forma de um retângulo e a área do pedaço de cortiça, que tem a forma de um quadrado. Área do retângulo = comprimento x largura = 3 m x 5 m = 15 m² Área do quadrado = lado x lado

= 1 m x 1 m = 1 m²

Como cada quadrado tem 1 m² de área, serão necessários 15 pedaços de cortiça para forrar a parede.

3.1 - Unidades de área

Estudamos unidades específicas para cada

figura a ser medida. Vamos agora recordar as unidades de área mais usuais. * Metro quadrado (m²): é a superfície de um quadrado de 1 metro (1 m) de lado. * Quilômetro quadrado (km²): é a superfície de um quadrado de 1 quilômetro (1 km) de lado. * Centímetro quadrado (cm²): é a superfície de um quadrado de 1 centímetro (1 cm) de lado.

Existem ainda: o hectômetro quadrado (hm²), o decâmetro quadrado (dam²), o decímetro quadrado (dm²) e o milímetro quadrado (mm²). Observação: No Brasil, costuma-se usar o hectare (ha) ou o alqueire para medir grandes extensões de terra. Lembre que:

1 hectare (ha) = 10.000 m² (um quadrado cujos lados medem 100 metros).

O alqueire não é uma medida uniforme para todo o país. Existem: o alqueire paulista; o alqueire do norte; o alqueire mineiro.


Quantos centímetros quadrados cabem em

um quadrado de 1 metro de lado?


Observe que 1 m = 100 cm, logo, a área desse quadrado é: 100 cm · 100 cm = 10.000 cm² Portanto, concluímos que: em um quadrado de 1 m² de área, cabem 10.000 quadradinhos de 1 cm² de área, isto é, quadradinhos de 1 cm de lado. Agora, é sua vez! Quantos quadrados de 1 m de lado são necessários para cobrir um quadrado de 1 km² de área?

3.2 - Área do quadrado

Considere um quadrado qualquer. Usando a álgebra para representar a medida do lado desse quadrado, vamos chamá-lo por a : A área desse quadrado é:

A = a x a = a²

3.3 - Área do retângulo

Considere um retângulo qualquer, de dimensões a e b. A área do retângulo é o produto da medida da base pela altura. Então:

A =b x a

3.4 - Área do paralelogramo Observe as figuras abaixo. Podemos “cortar”

um pedaço do paralelogramo e encaixá-lo do outro lado, transformando o paralelogramo num retângulo:

A área do paralelogramo é, assim, igual à área do retângulo obtido, ou seja, ao produto das medidas da base pela altura: A =b x h

Observação: a altura do paralelogramo é a distância de uma base a outra; portanto, é perpendicular à base.

3.5 - Área do losango

O losango é uma figura geométrica de lados iguais e diagonais perpendiculares.

AB = diagonal maior, CD = diagonal menor

Podemos construir um retângulo de tal forma que o losango fique inscrito nessa construção. Observe que, dessa forma, a área do losango é metade da área do retângulo, sendo determinada em função de suas diagonais:

.

2

D dA

3.6 - Área do trapézio O trapézio é um quadrilátero com dois lados

paralelos, chamadas bases:

Construa dois trapézios iguais e encaixe-os, colocando um deles de “cabeça para baixo” em relação ao outro.

A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio. Dessa forma, a área do trapézio é:

Base (b)

Altura (h) h

b


Área do trapézio:

((base maior + base menor) x altura ) / 2 = ( )

2

B b h

A = ( )

2

B b h


Um terreno em forma de trapézio tem 75 m na base menor, 100 m na base maior e 40 m de altura. Qual a área desse terreno?

A = ((75 100).40)

2

A = 3500 Logo, a área do terreno é de 3.500 m².

3.7 - Área do triângulo

Usaremos um raciocínio semelhante ao que usamos para determinar a área do trapézio. Assim, construímos dois triângulos iguais:

Encaixando-os, como na figura a seguir, obtemos um paralelogramo cuja área é o dobro da área do triângulo. Como a área do paralelogramo é determinada pelo produto da base pela altura, a área do triângulo é igual à área do paralelogramo dividida por dois.

A = ( )

2

bxh

Se o triângulo for retângulo, a área pode ser calculada multiplicando-se os catetos e dividindo o resultado por 2, pois, nesse caso, um cateto corresponde à base (b) e o outro à altura (h).

A = ( )

2

bxh

3.8 - Decompondo figuras planas

Muitas vezes nos deparamos com “figuras

estranhas”, que não são nem triângulos, nem trapézios, nem nenhuma dessas figuras cujas áreas sabemos determinar. E aí, o que fazer? Nesses casos, podemos usar uma técnica muito simples: decompor a “figura estranha” em outras de formatos conhecidos, cujas áreas são mais fáceis de serem obtidas. Veja o exemplo seguinte.

Exercício Resolvido 4: Calcule a área da figura:

Podemos decompor essa figura da seguinte maneira:

Calculamos, então, a área de cada uma das figuras:

(1) é um trapézio de área: ((3 4,5).1,5)

2

= 5,625m²

(2) é um paralelogramo de área: 4,5 . 2,5 = 11,25 cm²

(3) é um triângulo de área: (4,5.3)

2 = 6,75m²

Somando os três resultados, temos a área da figura dada: 5,625 + 11,25 + 6,75 = 23,625 Assim, a área da figura é 23,625 cm² .

base (b)

altura (h)



Nível I 1) Classifique os triângulos quanto aos lados. a)

b)

c)

2) Num triângulo eqüilátero, quanto mede cada ângulo? 3) Num triângulo isósceles, os ângulos da base medem 50º cada um. Quanto mede o outro ângulo? 4) Num triângulo isósceles, o ângulo diferente mede 110º. Quanto medem os outros dois ângulos? 5)Considere as seguintes proposições:

I. todo quadrado é um losango; II. todo quadrado é um retângulo; III. todo retângulo é um paralelogramo;

Pode-se afirmar que são verdadeiras: a) Apenas I. b) I, II e III. c) Apenas II e III. d) Apenas III. e) Todas são falsas. 6) Uma cozinha tem formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões: Deseja-se azulejar as paredes dessa cozinha até o teto. Quantos azulejos devemos comprar, se os azulejos são quadrados de 15 cm de lado? 7) Quantos metros quadrados de papel são necessários para forrar uma caixa fechada, no formato de um cubo de 20 centímetros de aresta? 8) Pedro desenhou 2 retas paralelas. Em uma marcou o segmento AB e em outra marcou os pontos C, D, E e F, como mostra a figura:

Em seguida ligou alguns pontos formando os

triângulos CAB, DAB, EAB e FAB.Analisando esses triângulos, Pedro descobriu um “segredo” sobre suas áreas. Qual foi o “segredo” descoberto por Pedro? 9) Determine a área dos trapézios abaixo:

Nível II 10) Encontre o valor de x nas figuras. a) AB=AC

b)

c) AB=AC

d)

11) De um losango sabemos que uma diagonal excede a outra em 4m, e que esta, por sua vez, excede o lado em 2m. Calcule a área deste losango. 12) A base de um triângulo isósceles excede a sua altura em 10m. Se a área do triângulo é 300 m², quanto mede a altura do triângulo relativa ao lado não congruente? 13) Calcule a área da figura:

6 m

9 m

3 m


14) Determine a área do triângulo DEF sabendo que: AB = 12, AD = 8, CF = 4 e BH = 2 ABCD é um retângulo. Sugestão: Trace a altura EP do triângulo DEF e use a semelhança dos triângulos EFP e FDA e, também, dos triângulos EPD e DHC.

GABARITOS 1) a)escaleno b) isósceles c) eqüilátero 2) 60º 3) 80º 4) 35º 5) B 6) 4000 azulejos. 7) 0,24 m² 8) As áreas dos triângulos são iguais. 9) a) 210 m² b) 180 m² 10) a)70º b)25º c)45º d)15º 11) 96 m² 12) 20 m 13) 14 cm² 14) 10,66 cm²


GGEEOOMMEETTRRIIAA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO IIIIII –– PPOOLLÍÍGGOONNOOSS

1 - DEFINIÇÃO

A regularidade de formas encontradas na natureza tem chamado a atenção do ser humano. Os polígonos são figuras geométricas planas, fechadas por segmentos de reta consecutivos não colineares.Podem ser classificados como regulares ou irregulares. No quadro abaixo, apresentamos alguns exemplos.

Observação: Se você traçar as diagonais dos polígonos anteriores, vai perceber que, em alguns, elas ficam no interior e, em outros, ficam no exterior do polígono. Veja o exemplo: Todas as diagonais no interior do polígono Pelo menos uma diagonal no exterior do polígono

Quando um polígono possui todas as suas diagonais na parte interior, ele é chamado de polígono convexo. E quando pelo menos uma diagonal fica na parte exterior, ele é chamado de polígono não convexo ou côncavo.

1.1-Nomenclatura dos polígonos em relação ao número de lados

3 lados Triângulo 9 lados Eneágono

4 lados Quadrilátero 10 lados Decágono

5 lados Pentágono 11 lados Undecágono

6 lados Hexágono 12 lados Dodecágono

7 lados Heptágono 15 lados Pentadecágono

8 lados Octógono 20 lados Icoságono

Os polígonos também podem ser classificados da seguinte forma:

Eqüilátero: Tem todos os lados congruentes

Eqüiângulo:Tem todos os ângulos congruentes

Regular: É eqüilátero e eqüiângulo.

2 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS Num polígono o número de lados é sempre igual ao número de ângulos.

2.1 – Triângulo Antes de estudarmos os outros polígonos veremos algumas propriedades importantes do triângulo:

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.

A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é 360º.

2.2 – Quadrilátero (polígono de 4 lados) Sabendo das propriedades acima, podemos

calcular a soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Isso será feito traçando a diagonal do mesmo e contando o número de triângulos obtidos.

A B

C

CASD Vestibulares Nivelamento - Geometria

89

Pela figura obtivemos 2 triângulos. . Como em cada triângulo a soma dos ângulos é igual a 180º, então para calcular a soma dos ângulos do quadrilátero podemos fazer:

2 . 180º = 360º. Portanto, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo qualquer é igual a 360º.

2.3 - Pentágono (polígono de 5 lados) Vamos desenhar um pentágono convexo

qualquer, escolher um de seus vértices e traçar as diagonais que saem desse vértice, como mostra a figura:

Observe que, ao fazermos isso, o pentágono ficou dividido em três triângulos. Logo,

3 . 180º = 540º. Portanto, a soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igual a 540º.

2.4 - Hexágono (polígono de 6 lados) Agindo de forma análoga, observamos que as

diagonais dividem o hexágono convexo em quatro triângulos:

Nesse caso, a soma total é calculada assim:

4 . 180º = 720º

Portanto, a soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igual a 720º.

Esse processo também pode ser aplicado a outros polígonos convexos, de 7, 8, 9 ou mais lados. Experimente! Agora será apresentada a fórmula geral para o cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono. Trate de aprender bem essa fórmula! Será muito útil ao longo do ano. Fórmula geral: Sn = (n-2).180 Veja! Para um triângulo n = 3 S3 = (3-2).180 = 180°, como sabemos! Para um quadrado n = 4 S4 = 180.(4-2) = 360° Confirme e verifique para mais lados!!!

2.4.1 - Ângulos do hexágono regular Observe a figura abaixo:

Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor ou deixar vãos. A esse tipo de composição costuma-se dar o nome de mosaico. Neste mosaico, cada um dos vértices é vértice de três hexágonos ao mesmo tempo, como mostra a figura ao lado. Todos os hexágonos são regulares, isto é, possui lados e ângulos de mesma medida, o que significa que A = B = C. Além disso, a soma desses três ângulos é igual a 360°, ou seja, eles formam um ângulo de uma volta completa: A + B + C =360°. Então, cada um desses ângulos é igual

a 360

3

= 120º.

Você poderá chegar a essa mesma conclusão de outra maneira. Você acabou de aprender que a soma dos ângulos internos de um hexágono qualquer é igual a 720º.

No caso do hexágono regular, basta fazer 720

6

,

isto é, 120º. Atenção! Esse processo é válido também para outros polígonos regulares. Para encontrar o valor do ângulo interno de um polígono regular basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados desse polígono.

3 – SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

Ângulo externo de um polígono convexo é um ângulo suplementar a um ângulo interno ao polígono.

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é: S = 360º

Note que isso é válido para qualquer polígono convexo, independente do número de lados.


Outra relação que pode-se obter utilizando o ângulo externo é que a soma de um ângulo externo com o ângulo interno adjacente é 180º.

Ou seja, ai + ae = 180º

4 – CURIOSIDADE Você já viu que é possível revestir o piso ou

as paredes de uma casa com ladrilhos de um único tipo. Podemos revestir uma parede usando, por exemplo, apenas ladrilhos quadrados ou, então, usando só ladrilhos com a forma de hexágonos regulares. Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?

Será que é possível revestir uma parede usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares? Você pode responder a essa pergunta fazendo o seguinte: recorte em uma folha de papel, vários pentágonos iguais ao que está na figura ao lado. Em seguida, tente ajustá-los como se fossem ladrilhos. Será que você vai conseguir um encaixe perfeito?

Sabemos que é possível revestir uma parede

usando apenas ladrilhos quadrados, pois os ângulos dos quadrados se encaixam perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porque cada um destes ângulos é igual a 90º, e 90 é divisor de 360.

Já sabemos também que é possível revestir uma parede usando apenas ladrilhos em forma de hexágonos regulares, pois os ângulos dos hexágonos regulares encaixam-se perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porque cada um desses ângulos é igual a 120º, e 120 é divisor de 360.

Portanto, para saber se é possível fazer revestimentos usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, devemos calcular a medida dos ângulos de um pentágono regular e, em seguida, verificar se essa medida é ou não um divisor de 360.

Lembre-se de que a soma dos ângulos de um pentágono é 540º. Quando um pentágono é regular, todos os seus 5 ângulos são iguais (veja a figura

abaixo). E, se a soma desses ângulos de 540º, cada

um deles é igual a 540

5

, ou seja, 108º. Vamos

verificar então se 108 é ou não um divisor de 360. Temos:

A divisão não é exata e, portanto, 108 não é

divisor de 360. Haverá, então, sobra quando tentarmos encaixar os pentágonos regulares. Logo, não é possível fazer revestimentos usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, como se pode ver na figura acima.

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo

Observe que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos é igual a 180º x n, pois em cada vértice a soma dos ângulos é 180º e temos n vértices. Como a soma dos ângulos internos é 180º x (n-2). Então a soma dos ângulos externos é 180º x n - 180º x (n-2) = 180º x 2 = 360º.

Soma = 360º


Nível I 1) Determine a medida do terceiro ângulo:

2) O losango é um polígono regular? Por quê? 3) O octógono é um polígono de 8 lados. Desenhe um octógono, escolha um de seus vértices e trace todas as diagonais que “saem” desse vértice. Depois, responda às perguntas: a) Em quantos triângulos o octógono ficou dividido?

CASD Vestibulares Nivelamento - Geometria

91

b) A soma dos ângulos de todos esses triângulos é igual à soma dos ângulos desse octógono? c) Quanto dá, então, a soma dos ângulos de um octógono? 4) Ao desenhar um polígono, podemos, em geral, escolher um dos vértices e traçar as diagonais que “saem” desse vértice, como mostram as figuras:

Nº de lados

Nºdiagonais que “saem” de cada vértice

Número de triângulos formados

Soma de todos os ângulos do polígono

3 0 1 180°

4 1 2 360°

5

6

7

8

9

10

5) Após preencher a tabela, observe-a com bastante atenção e responda: existe uma relação entre “o número de lados do polígono” e “o número de triângulos formados?” Qual é essa relação? 6) Qual o polígono que tem soma dos ângulos internos igual a 1800

o?

7) Existe polígono com soma dos ângulos internos igual a 600

o?

8) Imagine um polígono com n lados, sendo n um número inteiro e maior que 3. Escolha um de seus vértices e imagine-se traçando todas as diagonais que “saem” desse vértice. a) Escreva uma expressão que indique o número de triângulos formados nesse polígono de n lados que você imaginou. b) Escreva uma expressão que indique como você poderia calcular a soma de todos os ângulos desse polígono de n lados.

Nível II 9) Calcule x:

10) Calcule a soma dos ângulos a, b, c, d, e, f na

figura abaixo:

11) Calcule a soma dos ângulos a, b, c, d, e, f na figura abaixo:

12) Determine o número de lados do polígono regular cujo ângulo interno é o quíntuplo do externo. 13) Três polígonos convexos possuem n, n + 1, n + 2 lados, respectivamente. Sendo 2700º a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de n. 14) Dados dois polígonos regulares com (n + 1) lados e n lados, respectivamente, determine n, sabendo que o ângulo interno do primeiro polígono excede o ângulo interno do segundo em 5º.

GABARITO 1) a) 2) Não, pois nem sempre os seus ângulos são

iguais (os ângulos só são iguais quando o losango é um quadrado).

3) a) 6 triângulos b) sim c) 6x180º=1080º 4)

Nº de lados

Nºdiagonais que “saem” de cada vértice

Número de triângulos formados

Soma de todos os ângulos do polígono

3 0 1 180°

4 1 2 360°

5 2 3 540°

6 3 4 720°

7 4 5 900°

8 5 6 1080°

9 6 7 1260°

10 7 8 1440°

5) Sim, existe. O número de triângulos é igual ao número de lados menos dois.

6) Dodecágono. 7) Não, pois 600 não é divisível por 180. 8) a) T=n-2 b) S=(n-2)180º 9) 90º 10) 360º 11) 300º 12) 12 lados 13) 6 14) 8



CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV –– TTEEOORREEMMAA DDEE PPIITTAAGGÓÓRRAASS

1- O TRIÂNGULO RETÂNGULO Agora iremos aprender mais sobre um tipo de

triângulo muito comum no nosso cotidiano e que dará a cara inúmeras vezes em questões de geometria plana, espacial, analítica e mesmo trigonometria (sentiu a importância desse rapaz?). Estudaremos triângulos retângulos.

Um triângulo que tem um ângulo de 90º (ângulo

reto) é chamado de triângulo retângulo. Nele, os lados recebem os seguintes nomes:

A hipotenusa é o maior dos lados e é o lado oposto ao ângulo reto.

2- O TEOREMA DE PITÁGORAS

Pitágoras percebeu que, construindo um quadrado sobre cada um dos lados de um triângulo de lados 3u, 4u e 5u (sendo u uma unidade qualquer), como mostra a figura acima, apareceria a seguinte relação:

A área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados formados sobre os catetos. No exemplo acima, você poderá observar que: 25 = 9 + 16

Para Pitágoras, não bastava que essa relação fosse válida para o triângulo de lados 3, 4 e 5. Era preciso provar que a relação valia, também, para todos os triângulos retângulos. Assim, ele deduziu o Teorema de Pitágoras:

Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

3 - APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITAGÓRAS

O Teorema de Pitágoras se aplica a todos os

triângulos retângulos. Portanto, uma maneira rápida e simples de saber se determinado triângulo é retângulo quando conhecemos apenas as medidas de seus lados é aplicar o Teorema de Pitágoras.


Verifique se o triângulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e 26 cm é retângulo. Elevando ao quadrado as medidas dos dois lados menores, os catetos, e somando os resultados, temos: 10² + 24² = 100 + 576 = 676 Elevando também ao quadrado a medida da hipotenusa: 26² = 676

Verificamos que: 26² = 10² + 24² . Logo, este triângulo é retângulo. Veja, agora, outras aplicações do Teorema de Pitágoras.

Exercício Resolvido 2: O lado de um quadrado mede 5 cm. Quanto mede a diagonal desse quadrado?

Você já sabe que a diagonal do quadrado é

o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos. Não se esqueça também de que o quadrado tem os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos. Ao traçar uma diagonal, o quadrado fica dividido em dois triângulos retângulos iguais. A


diagonal é a hipotenusa, e os lados do quadrado, os catetos.

Na figura abaixo, destacamos um dos

triângulos. Assinalamos a diagonal com a letra d. Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar o valor de d (medida da diagonal):

d²= 5² + 5² d² = 25 + 25

d² = 50 d = 50

O resultado 50 é um número irracional: tem

uma infinidade de casas decimais sem ser periódico. Não existe nenhum número natural que elevado ao quadrado seja igual a 50. Portanto, o resultado do

problema ficará indicado por 50 . Usando a

máquina de calcular, obtemos um resultado aproximado com duas casas decimais. A diagonal do

quadrado de lado 5 cm é igual a 50 ou 7,07 cm,

aproximadamente.

Exercício Resolvido 3: Num losango, as diagonais medem 16 cm e 12 cm. Determine a medida do lado do losango. O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados iguais. Suas diagonais são diferentes entre si e perpendiculares, isto é, cortam-se ao meio formando quatro ângulos retos.

Observe na figura acima que, ao se

cruzarem, as diagonais dividem o losango em quatro triângulos retângulos. Em cada um deles os catetos medem 8 cm e 6 cm, pois cada cateto é a metade de uma diagonal. Veja que chamamos a hipotenusa do triângulo de x, apresentando a medida do lado do losango que vamos calcular. Aplicando Pitágoras, temos:

x²= 8² + 6² x² = 64 + 36 x² = 100

x= 100

x = 10 Logo, o lado do losango mede 10 cm.


Um triângulo isósceles tem 16 cm de altura e 12 cm de base. Determine a medida dos outros dois lados.

Vamos lembrar que o triângulo isósceles

possui dois lados iguais e um diferente, chamado base. Quando traçamos a altura do triângulo em relação à base ela forma dois triângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é a altura (16 cm), o outro mede metade da base (6 cm) e a hipotenusa é um dos lados iguais do triângulo isósceles, cuja medida é desconhecida (x). Assim, aplicando Pitágoras:

x²= 16² + 6² x² = 256 + 36 x² = 292

x = 292

A medida dos lados iguais do triângulo isósceles é

292 cm ou 17,08 cm aproximadamente.


Num triângulo eqüilátero cujo lado mede 8 cm, quanto mede a altura?

Da mesma forma que no triângulo isósceles, ao traçarmos a altura formam se dois triângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é a altura (x) que não conhecemos a medida, o outro mede metade do lado (4 cm) e a hipotenusa é o lado do triângulo eqüilátero (8 cm). Aplicando o Teorema de Pitágoras:

8² = x² + 4² 64 = x² + 16 64 - 16 = x²+ 16 - 16

48 = x² → x = 48

A altura do triângulo retângulo de lado 8 cm é,

portanto, 48 cm ou 6,92cm aproximadamente.

5 cm

5 cm

d

x

12

16

6

8 cm

8 cm

x

4 cm



Nível I 1) Aplicando o Teorema de Pitágoras, verifique se são retângulos os triângulos que têm estas medidas de lados: a) 6 cm, 8 cm e 10 cm c ) 4 cm, 5 cm e 6 cm b) 7 cm, 9 cm e 20 cm d) 13 cm, 12 cm e 5 cm 2) Desenhe um triângulo retângulo e construa triângulos retângulos e isósceles sobre seus catetos e sua hipotenusa, conforme este modelo:

Em seguida: a) calcule a área de cada um dos triângulos desenhados sobre os catetos e sobre a hipotenusa; b) some as áreas dos triângulos desenhados sobre os catetos e compare com a área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa. O que você concluiu? 3) Dado um triângulo eqüilátero de lado ‘a’, calcule a sua altura. 4) Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine as medidas indicadas:

5) As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Calcule a medida do lado desse losango. 6) Calcule a medida da diagonal de um retângulo cujos lados medem 36 m e 27 m. 7) Calcule a medida da diagonal do quadrado cujo perímetro mede 24 cm.

Nível II 8) Determine o valor de x: 9) As diagonais de um losango medem 6 m e 8 m. Qual é o perímetro desse losango? 10) Determine x nos casos abaixo:

11) Encontre o valor de x:

GABARITO 1) a) Sim b) Não c) Não d) Sim 2) b) A soma das áreas dos triângulos sobre s

catetos é igual à área do triângulo sobre a hipotenusa.

3)

4) a) b) 5) 15 cm 6) 45 m

7) cm 8) 8 9) 20 m

10) a) b) 9 11) a) 5 b) 4

X – 2

8

X + 2



CCAAPPÍÍTTUULLOO VV –– TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRIIAA BBÁÁSSIICCAA

1 – TRIGONOMETRIA BÁSICA

Imagine o seguinte problema: encontrar no triângulo retângulo abaixo o valor de x e y sabendo que um dos ângulos vale 30

o e o cateto oposto a esse

ângulo mede 1.

Figura 1 – triângulo de hipotenusa x, cateto adjacente y e cateto

oposto 1, em relação ao ângulo de

Note que utilizando apenas o teorema de Pitágoras não conseguimos resolver o problema pois teremos as duas variáveis x e y na equação Podemos resolver esse problema da seguinte maneira. Encaixamos outro triângulo igual a este no cateto y, como na figura abaixo:

Figura 2 – triângulo eqüilátero de lado x (ou lado 2) e altura y

Note que o triângulo grande formado é eqüilátero, pois possui os três ângulos de 60

o. Assim,

como todos os lados dele devem ter a mesma medida e o lado BC mede 2 o valor de x é 2.

Agora podemos encontrar o y utilizando o teorema de Pitágoras. Temos que:

Dessa maneira, conseguimos resolver o

problema proposto. Mas não vamos resolvê-lo desse jeito todas às vezes. Geralmente, esse problema é resolvido pela trigonometria. A trigonometria é um ramo da matemática que lida muito com triângulos retângulos, e utiliza três funções fundamentais: o seno, o cosseno e a tangente!

1.1 – Seno, cosseno e tangente O seno, o cosseno e a tangente são razões

especiais entre os lados do triângulo retângulo, envolvendo os catetos e a hipotenusa.

Na figura abaixo, iremos mostrar essas três razões em relação ao ângulo alfa:

Figura 3 – seno, cosseno e tangente de , para um triângulos de

lados e

Note que, quando falamos de cateto oposto

estamos nos referindo ao cateto que está longe do ângulo e a cateto adjacente aquele que está perto do ângulo.(Obs: A relação de cateto oposto e cateto adjacente depende do ângulo, um cateto pode ser oposto para um ângulo do triângulo e adjacente para o outro.)

Exercício Resolvido 1: No triângulo retângulo abaixo, calcule ,

e .

Resolução:

Inicialmente, vamos identificar o cateto oposto,

o cateto adjacente e a hipotenusa. Da figura, tem-se que o cateto oposto é , o cateto adjacente é e a

hipotenusa é .

Antes de calcularmos e , precisamos saber o valor da hipotenusa . Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se:

Agora, vamos calcular , e :

Resposta:

,

,


Exercício Resolvido 2: No triângulo retângulo abaixo, calcule ,

e .

Resolução:

Inicialmente, vamos identificar o cateto oposto,

o cateto adjacente e a hipotenusa. Da figura, tem-se que o cateto oposto é , o cateto adjacente é e a hipotenusa é .

Antes de calcularmos e , precisamos

saber o valor do cateto oposto . Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se:

Agora, vamos calcular , e :

Resposta:

,

,

1.2 – Ângulos notáveis Agora vamos calcular o valor do seno, cosseno

e tangente para os ângulos notáveis, que são , e

Para os ângulos de e , vamos utilizar o triângulo eqüilátero anterior:

Figura 4 – triângulo eqüilátero de lado 2

No triângulo ADC:

E

Também podemos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de 45

o traçando a diagonal de um

quadrado de lado 1:

Figura 5 – quadrado de lado 1

No triângulo retângulo ABC:

E

Agora podemos montar uma tabela com os

ângulos notáveis e seus respectivos senos,cossenos e tangentes:

Tabela 1 – seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis

30o 45

o 60

o

Seno

Cosseno

Tangente

Observação: , e são ângulos notáveis porque os seus senos, cossenos e tangentes são muito comuns em vestibulares: é MUITO importante que você memorize a tabela 1!


Encontre os valores de x e y no exemplo do 1º parágrafo deste capítulo.

Resolução: Podemos encontrar x e y facilmente através do seno e do cosseno de . Veja:

Resposta: e

CASD Vestibulares Nivelamento – Geometria 97

1.3 – Ãngulos complementares

Note na tabela 1 que e que

. Isso não é coincidência, pois no triângulo ADC da figura 4, o cateto oposto a 60

o é o

adjacente para o 30o e vice e versa. E será que isso é

verdade para outros pares de ângulos? A respostá é sim! Na figura abaixo, podemos

perceber que o cateto oposto para um ângulo será adjacente ao outro, logo, se dois ângulos são complementares, o seno de um será o cosseno do outro. Em linguagem matemática:

Figura 6 – triângulo retângulo de ângulos agudos e

Exercício Resolvido 4 No triângulo retângulo abaixo, calcule os valores

de e , sabendo que e que .

Resolução:

No triângulo, o ângulo conhecido é . Então

vamos calcular e :

Resposta: e


Nível I 1. Calcule nos casos abaixo: a)

b)

c)

2. Obtenha nos casos: a)

b)

c)

3. Obtenha nos casos: a)

b)

c)

4. Determine o valor de x nos casos a)

b)

c)

5. Calcule o valor das expressões abaixo:

a)

b)

c)

6. Compare as soluções dos itens 5.a), 5.b) e 5.c) com , e , respectivamente. O que você pode concluir nos três casos? 7. Calcule o valor das expressões abaixo. O que você pode concluir a respeito das soluções nos três casos?

a)

b)

c)


Nível II

8. Sabendo que

, calcule os valores de

e

9. Simplifique a expressão abaixo:

GABARITO

1. a)

b)

c)

2. a)

b)

c)

3. a)

b) c)

4. a) b) c)

5. a)

b) c)

6.

,

,

7. a) b) c)

8. e 9.

CASD Vestibulares

CCAAPPÍÍTT

1 - FIGURAS SEMELHANTES

Quando ampliamos ou reduzimos uma figura em uma proporção constante, sem modificar a sua forma, a nova figura e a figura original são chamadas de figuras semelhantes. Observe os quadriláteros abaixo. Eles são semelhantes?

Sim, eles são realmente semelhantes. O

quadrilátero 2 é uma redução e o quadrilátero 3 é uma ampliação do quadrilátero 1.

Observe que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas. Confira com um transferidor.

Os lados correspondentes foram ampliados ou reduzidos sempre na mesma proporção.

De 1 para 2, reduzimos cada lado à metade do tamanho original. De 1 para 3, ampliamos cada lado para o dobro do tamanho original.

Para que duas figuras sejam semelhantes elas não precisam estar na mesma posição. No exemplo abaixo, todos os quadriláteros são uma ampliação do quadrilátero ABCD original.

1 1 1 1 1 1 1 1

AB BC CD DA

A B B C C D D A= = = =

A razão constante entre lados correspondentes de figuras semelhantes é conhecida em Matemática como razão de semelhança e é comum utilizarmos a letra

(1)

(2)

(3)

A B

D C

A1 B1

D1 C1

A2 D2

C2

B2

B3

Nivelamento - Álgebra


TTUULLOO VVII –– SSEEMMEELLHHAANNÇÇAA EE TTEEOORREEMM

FIGURAS SEMELHANTES

Quando ampliamos ou reduzimos uma figura em uma proporção constante, sem modificar a sua forma, a

original são chamadas de figuras semelhantes. Observe os quadriláteros abaixo. Eles

Sim, eles são realmente semelhantes. O quadrilátero 2 é uma redução e o quadrilátero 3 é uma

Observe que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas. Confira com um

Os lados correspondentes foram ampliados ou reduzidos sempre na mesma proporção.

De 1 para 2, reduzimos cada lado à metade do liamos cada lado

Para que duas figuras sejam semelhantes elas não precisam estar na mesma posição. No exemplo abaixo, todos os quadriláteros são uma ampliação do

1 1 1 1 1 1 1 1

1

2

AB BC CD DA

A B B C C D D A= = = =

A razão constante entre lados correspondentes de figuras semelhantes é conhecida em Matemática como

e é comum utilizarmos a letra k

para simbolizá-la. Dizemos então que K =

exemplo. 1.1 - O que é escala?

Em muitos casos, a razão de semelhança é chamada de escala. Quando desenhamos a planta de uma casa, observamos a maquete de um prédio ou estudamos um mapa, é comum encontrarmos a palavra escala. Tal como na planta do exemplo abaixo.

Esta escala 1 : 200 =

cm da planta equivale, na realidade, a 200 cm ou 2 m na casa de verdade.

Você pode verificar com sua régua que, na planta, a largura da sala é 1,7 cm e que o comprimento é de 2,3 cm. Para encontrarmos as medidas reais da sala, basta multiplicarmos as medidas por 20

Medidas

da sala na planta

Largura 1,7 cm

Comprimento 2,3 cm

A3

D3 C3

99

MMAA DDEE TTAALLEESS

la. Dizemos então que K = 2

1, neste

Em muitos casos, a razão de semelhança é . Quando desenhamos a planta de

uma casa, observamos a maquete de um prédio ou estudamos um mapa, é comum encontrarmos a palavra

. Tal como na planta do exemplo abaixo.

Esta escala 1 : 200 = 1

200significa que cada 1

nta equivale, na realidade, a 200 cm ou 2 m

Você pode verificar com sua régua que, na planta, a largura da sala é 1,7 cm e que o comprimento é de 2,3 cm. Para encontrarmos as medidas reais da sala, basta multiplicarmos as medidas por 200.

Medidas da sala na

Medidas reais da sala

1,7 cm 200=340 cm=3,40 m⋅

2,3 cm 200=460 cm=4,60 m⋅

CASD Vestibulares

1.2 - Obtendo figuras semelhantes

Sabemos, então que duas figuras são semelhantes quando as duas condições abaixo são satisfeitas:

� Os ângulos correspondentes têm a mesma medida;

� As razões entre as medidas decorrespondentes são iguais. No início deste capítulo, você observou uma

maneira de ampliar ou reduzir figuras utilizando papel quadriculado.

Vamos mostrar a seguir outro método, também muito utilizado.

Este método pode ser utilizado para

figura e o ponto O pode estar em qualquer posição. Confira nos exemplos a seguir:

O está dentro da figura. O está em um dos vértices da figura. 1.3 – Semelhança em triângulos

Vimos que duas condições devem ocorrer, ao

mesmo tempo, para garantir a semelhança entre figuras. No entanto, um caso muito especial de

Geometria

Obtendo figuras semelhantes

Sabemos, então que duas figuras são semelhantes quando as duas condições abaixo são

Os ângulos correspondentes têm a mesma

As razões entre as medidas de lados

No início deste capítulo, você observou uma maneira de ampliar ou reduzir figuras utilizando papel

Vamos mostrar a seguir outro método, também

Este método pode ser utilizado para qualquer figura e o ponto O pode estar em qualquer posição.

O está dentro da figura. O está em um dos vértices

s condições devem ocorrer, ao mesmo tempo, para garantir a semelhança entre figuras. No entanto, um caso muito especial de

semelhança ocorre quando as figuras são triângulos, pois basta verificar apenas uma das condições, pois a outra ocorrer· automaticamente. Veja:

• Se os lados são proporcionais, então os ângulos são iguais e os triângulos são semelhantes;ou

• Se os ângulos correspondentes são iguais, então os lados são proporcionais e os triângulos são semelhantes.

Podemos então verificar apenas uma das

condições para conferir se dois triângulos são semelhantes. Mas, não esqueça, isto só ocorre com triângulos.

2- TEOREMA DE TALES 2.1 – História

O filósofo e matemático Tales nasceude Mileto, na Grécia antiga, por volta do ano 585 a.C. Há muitas lendas e histórias sobre ele. Dizser interrogado sobre o que era difícil, Tales respondeu: “Conhecer a si mesmo”. O que era fácil: “Ser dirigido por outro”. Agradável: “Seguir a própria vontade”. Divino: “Aquilo que não tem começo nem fim”.

Tales passava grande parte do tempo viajando, como era comum aos sábios daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelo faraó Amâsis por ter medido a altsem precisar escalá-la.

Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base. A altura da pirâmide é a distância do vértice V à base. Observe a figura abaixo: a altura é a medida do segmento VH.

Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou

se em alguns fatos:

5 100

semelhança ocorre quando as figuras são triângulos, pois basta verificar apenas uma das condições, pois a

nte. Veja: Se os lados são proporcionais, então os ângulos são iguais e os triângulos são

Se os ângulos correspondentes são iguais, então os lados são proporcionais e os triângulos são semelhantes.

Podemos então verificar apenas uma das dições para conferir se dois triângulos são

semelhantes. Mas, não esqueça, isto só ocorre com

TEOREMA DE TALES

O filósofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga, por volta do ano 585 a.C. Há muitas lendas e histórias sobre ele. Diz-se que, ao ser interrogado sobre o que era difícil, Tales respondeu: “Conhecer a si mesmo”. O que era fácil: “Ser dirigido

“Seguir a própria vontade”. Divino: “Aquilo que não tem começo nem fim”.

Tales passava grande parte do tempo viajando, como era comum aos sábios daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelo faraó Amâsis por ter medido a altura de uma pirâmide

Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide seria igual

sombra da pirâmide mais metade da medida da base. A altura da pirâmide é a distância do vértice V à base. Observe a figura abaixo: a altura é

Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou-

CASD Vestibulares

• Quando dois triângulos têm os ângulos iguais, então seus lados correspondentes formam uma proporção.

• Os raios solares são paralelos.

E, nesse caso, Tales também sabia que os

ângulos de incidência dos raios solares num mesmoinstante tinham todos a mesma medida

Tales imaginou um triângulo formado pela altura

da pirâmide, a metade da base mais o comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o vértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura acima. Imaginou também um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar. triângulos imaginários tinham, cada um deles, um ângulo reto e um ângulo de mesma medida (a). Nesse caso, Tales sabia que as medidas dos lados desses triângulos eram proporcionais. Então:

VH AB

HP BC=

Com esse método, Tales inaugurou o processo

de medida indireta, muito utilizado ainda hoje na astronomia e na medição de distâncias que aparentemente não podemos alcançar,de montanhas, árvores e monumentos ou a largura de grandes rios e lagos. 2.2 - O Teorema de Tales

São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais um teorema com seu nome. Veja o que diz esse teorema:

Nivelamento - Geometria

ulos têm os ângulos iguais, então seus lados correspondentes formam uma

a b c

x y z= =

E, nesse caso, Tales também sabia que os ângulos de incidência dos raios solares num mesmo instante tinham todos a mesma medida.

Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da base mais o comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o vértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura

Imaginou também um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar. Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles, um ângulo reto e um ângulo de mesma medida (a). Nesse caso, Tales sabia que as medidas dos lados desses

Com esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, muito utilizado ainda hoje na astronomia e na medição de distâncias que aparentemente não podemos alcançar, como a altura de montanhas, árvores e monumentos ou a largura de

São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais um teorema com seu

Duas retas, m e n, cortam três retas paralelas a,

b e c. Nessas condições, os segmentos de medidas x, y e w são proporcionais.

Assim:

Exercício Resolvido 1

Na planta de um loteamento, está faltando a

medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura:

Representando por x a medida que desejamos calcular e usando o Teorema de Tales, podemos descobrir essa medida sem efetuar medições. Como as

laterais são paralelas, temos:

E, fazendo uma simples regra de três:

30 . x = 20 . 24 Assim, sem efetuar medições, concluímos que o lado dos fundos do lote B mede 16 metros. 2.3 – Generalização do Teorema de Tales

Considere um feixe de retas paralelas com duas transversais, como mostra a figura a seguir. segmentos de medidas a, b, c, d e x, y, w, z, determinados nas retas transversais, formam segmentos proporcionais:

a b c d

x y w z= = =

101

Duas retas, m e n, cortam três retas paralelas a, b e c. Nessas condições, os segmentos de medidas x, y

Assim: x z

y w=

Exercício Resolvido 1

Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura:

Representando por x a medida que desejamos

calcular e usando o Teorema de Tales, podemos descobrir essa medida sem efetuar medições. Como as

laterais são paralelas, temos: 20

30 24

x=

E, fazendo uma simples regra de três: 30 . x = 20 . 24⇒ x=16

Assim, sem efetuar medições, concluímos que o lado dos fundos do lote B mede 16 metros.

do Teorema de Tales

Considere um feixe de retas paralelas com duas transversais, como mostra a figura a seguir. Os segmentos de medidas a, b, c, d e x, y, w, z, determinados nas retas transversais, formam

a b c d

x y w z= = =

CASD Vestibulares Geometria 5 102

2.4- Outras descobertas geométricas atribuídas a Tales

• O diâmetro divide o círculo em duas partes iguais.

• ângulos opostos pelo vértice tem medidas iguais.

Os ângulos da base de um triângulo isósceles tem medidas iguais. O ângulo inscrito numa semicircunferência é o reto.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível I

1) Num mapa de guerra a escala era 1:100.000. No mapa, o alcance do míssil era de 100 cm. Qual o alcance real do míssil em quilômetros? 2) Um jogador de basquete mede 2,04 m. Para fazer propaganda de seu time, fabricaram miniaturas do jogador. A escala é 1:12. Quanto mede a miniatura?

3) Na figura, calcule o valor de x.

4) Nas figuras abaixo, calcule o valor de x (as retas a, b e c são paralelas).

5) A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule as medidas de suas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é 90 metros.

6) Determine o valor de x em cada caso abaixo:

CASD Vestibulares

Nível II

7) Num banheiro retangular, é preciso trocar os

azulejos do box. O box ocupa 1

4

banheiro mede 6 m². Na planta, o banheiro está na escala 1 : 30. Quanto mede o box na planta? 8) Se os ângulos com marcas iguais são congruentes, determine o valor das incógnitas nos casos abaixo:

9) Sendo r e s retas paralelas, determine o valor de x nos casos abaixo:

10) Determine x e y.

11) Na figura temos: AB = 8, BC = 15, AC = 17 e

EC = 4. Determine x = DE e y = CD.

12) Observe o desenho abaixo e descubra qual deve ser o comprimento da ponte.

Nivelamento - Geometria

) Num banheiro retangular, é preciso trocar os

do banheiro. O

banheiro mede 6 m². Na planta, o banheiro está na escala 1 : 30. Quanto mede o box na planta?

ângulos com marcas iguais são congruentes, determine o valor das incógnitas nos casos abaixo:

) Sendo r e s retas paralelas, determine o valor de x

Na figura temos: AB = 8, BC = 15, AC = 17 e

EC = 4. Determine x = DE e y = CD.

) Observe o desenho abaixo e descubra qual deve

13) Na figura, as medidas são AB = 8cm, BC = 3 cm,

AE = 5 cm. Calcule x = DE, sabendo que

14) Determine o valor de x e y nos casos abaixo:

15) Na figura, vemos dois quadrados inscritos nos triângulos ABC e ADE. Sendo BC = 8cm e 12cm a

altura do triângulo ABC relativa ao lado lado do menor quadrado.

Sugestão: Usando a semelhança dos triângulos ADE e ABC, calcule o lado DE do maior quadrado. Use, em seguida, a semelhança dos triângulos AFG e ADE.

GABARITO

1) 100 km

2) 17 cm

3) 24

4) a) 2,8 b) 3,2

5) x = 36m, y = 54m

6) a) 3 b) 12 c) 15 d) 6

7) 16,67 cm²

8) a) x = 5, y = 4 b) x = 12, y =

9) a) 6 b) 4,8

10) x = 8, y = 12

11) x = 7,5, y = 8,5

12) 20 m

13) 63/5 cm

14) a) x = 6, y = 10/3 b) x = 7,5, y = 5

15) 2,88 cm²

103

as medidas são AB = 8cm, BC = 3 cm,

AE = 5 cm. Calcule x = DE, sabendo que ECA ˆ = BDA ˆ

14) Determine o valor de x e y nos casos abaixo:

Na figura, vemos dois quadrados inscritos nos triângulos ABC e ADE. Sendo BC = 8cm e 12cm a

altura do triângulo ABC relativa ao lado , calcule o do menor quadrado.

Usando a semelhança dos triângulos ADE e

ABC, calcule o lado DE do maior quadrado. Use, em seguida, a semelhança dos triângulos AFG e ADE.

GABARITO

b) 12 c) 15 d) 6

a) x = 5, y = 4 b) x = 12, y =

x = 6, y = 10/3 b) x = 7,5, y = 5


GGEEOOMMEETTRRIIAA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO VVIIII –– CCÍÍRRCCUULLOO EE ÁÁRREEAA DDOO CCÍÍRRCCUULLOO

1- ELEMENTOS DO CÍRCULO

Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar. A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo. Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência.

1.1 – Circunferência

É um conjunto dos pontos de um plano cuja

distância a um ponto dado desse plano (o centro) é igual a uma distância (raio) não nula dada.

1.2 – Círculo É um conjunto dos pontos de um plano cuja

distância a um ponto dado (centro) desse plano é menor ou igual a uma distância (raio) não nula dada.

O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências. Como você pode ver na figura abaixo, o compasso possui duas ―pernas‖. Uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência. A outra ponta, com o grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência.

Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso. A distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência. Agora, pegue um compasso e trace uma circunferência. Repare que todos os pontos da circunferência que você riscou no papel estão a uma mesma distância do centro. Essa distância é o raio. Com essas informações, você consegue improvisar seu compasso. Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz você pode riscar uma circunferência no chão ou no tecido.

1.3 - Raio

É um segmento onde uma extremidade está no centro e a outra está na circunferência.

1.4 - Corda

É o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência.

1.5 - Diâmetro

É uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observe que o diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio. Veja a figura:

Assim, se você precisar medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência.

Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada. Esta parte da circunferência, delimitada por dois pontos quaisquer, é chamada arco de circunferência.

Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou

seja, corda PQ . Por outro lado, o arco também

começa em P e termina em Q, mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco,

usamos PQ . É importante notar que, em geral,

d = 2 . r

P

Q


quando dizemos o arco PQ , estamos nos referindo

ao menor arco entre estes dois pontos. Portanto, da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o

maior arco PQ é aquele que tem as extremidades

em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.

2-COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de

uma circunferência maior será o seu comprimento. É fácil perceber isso. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro. No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada. Como já sabemos que o diâmetro e o comprimento de uma circunferência estão relacionados, vamos a seguir compará-los.

Usando diferentes objetos com a forma

circular, vamos medir o comprimento das circunferências (das bordas) e de seus diâmetros. Tente medir objetos circulares variados, como um copo ou uma mesa redonda. Você pode estar se perguntando: ―Mas como medir a linha curva?‖.

Ao dividir a medida do comprimento da circunferência pela medida de seu diâmetro, encontramos sempre um número um pouco maior do que 3. Na realidade, esse número é sempre o mesmo e vale aproximadamente 3,14. Esse é um resultado muito importante em Matemática. Esse número tão útil e importante é chamado pi e simbolizado pela letra grega π.

Conclusão: o cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quando conhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação abaixo. Note que d = 2r, logo:

22

C CC R

D R

Arquimedes, que viveu por volta de 287 a 212 anos antes de Cristo, foi um gênio da Matemática e da Física, além de grande construtor de máquinas de guerra. Ele desenvolveu muitos estudos para obter um cálculo aproximado de π. Sabia que a divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro é um número constante, qualquer que seja o tamanho da circunferência. Para calcular o número π, Arquimedes aproximou polígonos por dentro e por fora da circunferência e mediu os perímetros. Quanto maior era o número de lados do polígono mais ele se aproximava da medida da circunferência. O valor utilizado para π foi, durante muitos anos, o número

aproximado obtido por Arquimedes: 7

22=

3,142857142857...

Exercício resolvido 1:

Numa circunferência cujo raio é de 5 cm, qual é o comprimento?

2 . π. 5 = 10 x 3,14 = 31,4 O comprimento da circunferência é de aproximadamente 31,4 cm.

3 - ÁREA DO CÍRCULO Em uma competição de ciclismo, foi decidido

que as rodas das bicicletas seriam pintadas com a cor da camisa de cada competidor. A pintura foi feita como na figura abaixo:

Que parte da roda foi pintada? Você já aprendeu que o comprimento de uma circunferência depende de seu raio e pode ser obtido pela expressão:

Comprimento = 2 π r

Nesta expressão r é a medida do raio e π é um número irracional que aproximamos para 3,14.

Agora vamos aprender a calcular a área do

círculo. Para isso, imaginamos que o círculo seja

semicircunferência AB

diâmetro AB


formado por várias circunferências concêntricas. Depois, imaginamos também que podemos cortar essas circunferências e esticá-las. A figura que obtemos, então, é um triângulo retângulo:

Nesse processo, quanto maior for o número de circunferências utilizado para completar o círculo, melhor será sua representação em um triângulo. Observe o triângulo abaixo. Sua altura é igual ao raio do círculo e sua base mede 2 π r, isto é, o comprimento da maior circunferência, a fronteira do círculo.

Calculando a área do triângulo, temos:

2. 2 .

2 2

base altura r rr

Área do círculo2r


Na figura abaixo, você pode perceber que a área do quadrado que contém o círculo com o menor desperdício possível é maior que a área do círculo. Qual é a área desperdiçada?

Se o raio do círculo é 5 cm, seu diâmetro mede 10 cm. O lado do quadrado é igual ao Diâmetro do círculo: 10 cm. Então: Área do quadrado = l² = 10 x 10 = 100 cm² Área do círculo = 78,5 cm² (ver Exemplo 2) Desperdício = 100 - 78,5 = 21,5 cm²

3.1 - Área do setor circular Numa circunferência de centro O e raio r

denominamos ângulo central ao ângulo cujo vértice está no centro da circunferência e cujos lados cortam a circunferência.

Um setor circular é a região do círculo de centro O e raio r delimitada por um ângulo central.

Para calcular a área de um setor circular temos duas opções.

Se você sabe em quantas partes iguais um círculo foi dividido, é só dividir a área do círculo pelo número de partes. Veja o exemplo seguinte.

a) área total do círculo: π r² = 12,56 cm² b) duas partes iguais: área do setor = 12,56/2 = 6,28 cm² c) quatro partes iguais: área do setor = 12,56/4 = 3,14 cm² d) seis partes iguais: área do setor = 12,56/6 = 2,09 cm²

Quando conhecemos o ângulo correspondente ao setor circular, podemos calcular a área de um setor circular usando uma regra de três. Veja o exemplo seguinte.

Este setor circular corresponde a um ângulo

com abertura de 50º que é um segmento do ângulo central. O ângulo central que corresponde a uma volta completa, ou seja, a todo o círculo, mede 360º. Já calculamos a área do círculo de raio 2 cm no


exemplo anterior. Usando a técnica da regra de três , temos:

Área ângulo

Círculo 12,56 cm 360°

Setor x 50°

Ou seja: 12,56 — 360 x — 50 Logo x = 50 . 12,56 / 360, e então: x = 1,74 cm²

3.2 - Área da coroa circular

Observe a figura acima. Denomina-se coroa

circular à região sombreada, que é obtida com dois círculos de mesmo centro O e raios diferentes R e r. É muito simples calcular a área de uma coroa circular, pois, como você percebe na figura, ela é obtida retirando-se um círculo menor do círculo maior. Desse modo, sua área é obtida subtraindo-se a área do círculo menor da área do círculo maior. Acompanhe o exemplo.


Determine a área da coroa circular sendo R = 5 m e r = 3 m. Área do círculo maior = 3,14 · 25 = 78,5 m² Área do círculo menor = 3,14 · 9 = 28,26 m² Área da coroa circular = 78,5 - 28,26 = 50,24 m²


Nível I Obs: utilize π = 3,14 nos exercícios da apostila.

1) A circunferência é uma região convexa? 2) O círculo é uma região convexa? 3) Todo diâmetro é uma corda? 4) Toda corda é um diâmetro? 5)Se o diâmetro de um círculo mede 10, quanto mede o seu raio? 6) Todo raio é uma corda?

7) Se um ponto dista de 3cm do ponto P, então ele está no círculo de centro P e raio 5cm? E está na circunferência? 8) Se um círculo com raio de 10 m foi dividido em 9 partes iguais, calcule: a) a área de um dos setores circulares assim obtidos; b) a medida do correspondente ângulo central. 9) Use a regra de três para calcular a área de um setor circular de 150º de abertura num círculo com 1 m de raio.

Nível II 10) Numa bicicleta em que o raio da roda é de 26 cm, qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda? 11) Medindo uma circunferência com fita métrica graduada obtivemos 62,8 cm de comprimento. Qual a medida do diâmetro dessa circunferência? 12) Se uma circunferência tem 18,84 m de comprimento, qual o comprimento da semicircunferência dela obtida? 13) Agora imagine uma circunferência de 18,84 m de comprimento que foi dividida em 4 arcos do mesmo tamanho. Qual o comprimento de cada um dos arcos? 14) Determine a área da coroa circular abaixo em função de m.

GABARITO

1) Não

2) Sim

3) Sim

4) Não

5) 5m

6) Não

7) Está no circulo, mas não na circunferência.

8) a) 100 π/9 b)40º

9) 5 π/6 10) 52 π cm

11) 20m 12) 21,42 cm

13) 16,71cm 14) (3m + 9 – 3m²/4) π


GGEEOOMMEETTRRIIAA Nivelamento CCAAPPÍÍTTUULLOO VVIIIIII –– CCAALLCCUULLAANNDDOO VVOOLLUUMMEESS

1 – CALCULANDO VOLUMES Já estudamos que os objetos têm área,

volume e forma. Vimos também que existem objetos com mesmo volume e formas diferentes. Neste capítulo, estudaremos um pouco mais esse assunto, aprendendo a calcular o volume de alguns sólidos. Mas, antes, veremos algumas situações que envolvem a idéia de volume e capacidade:

VOLUME CAPACIDADE

Areia retirada de um rio

Uma garrafa

Entulho retirado de uma obra

Uma seringa

Dejetos despejados em rios

Uma caixa d`água

Medir o volume ou a capacidade de um objeto

é saber a quantidade de espaço que ele ocupa ou de que dispõe para armazenar.

Esta garrafa está cheia. Ela contém

290 mililitros (290 m ) de refrigerante:

Volume = 290 m .

Isso significa que 290 m é a quantidade de líquido que a garrafa pode armazenar:

Capacidade = 290 m .

1.1 - Volume do paralelepípedo

Paralelepípedo é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma de uma caixa de sapato, de um tijolo etc. Na verdade, a definição de paralelepípedo é mais geral. Se quisermos ser mais precisos, uma caixa de sapato é um paralelepípedo reto de base retangular. Já calculamos o volume do paralelepípedo, multiplicando suas dimensões (comprimento, largura e altura):

Portanto, V = a x b x c.


Para encher uma caixa d’água de 2 metros de comprimento por 2 metros de largura e 1 metro

de profundidade, foram necessários 4.000 litros de água.

Volume da caixa d’água = 2 m x 2 m x 1 m = 4 m³ Capacidade da caixa d’água = 4.000 litros Lembrando que um metro cúbico corresponde a 1000 litros.

Exercício resolvido 2: Qual o volume do cubo cuja aresta mede 5

cm? (Lembre-se de que o cubo é um paralelepípedo cujas dimensões têm a mesma medida).

V = 5cm x 5cm x 5cm = 125cm³ Imagine que esse cubo seja oco. Quantos litros de água seriam necessários para enchê-lo até a boca?

Como: 1 = 1.000 cm³ Então, fazendo uma regra de três, temos:

1 litro = 1.000 cm³ x litros = 125 cm³ 1000 x = 125 cm

3

x = 0,125 litros = 125 mililitros

Podemos colocar 125 m de água num cubo cujo volume é de 125 cm³.

1.2 – Volume do prisma

O paralelepípedo pode ser decomposto em duas outras figuras sólidas. Veja:


Cada um dos sólidos que surge pela decomposição deste paralelepípedo retângulo é um exemplo de prisma. Temos, em nosso caso, dois prismas retos de base triangular. Observe que, neste exemplo, a base de cada prisma é um triângulo retângulo. O volume do prisma reto de base triangular é metade do volume do paralelepípedo. Portanto, o volume do prisma reto de base triangular é:

. .

2

a b cV

Note que o paralelepípedo também é um

prisma reto, porém de base retangular. Para obter o volume de um prisma com uma base qualquer multiplicamos a área da base pela altura. Por exemplo, prisma reto de base quadrangular (ou paralelepípedo):

Volume = área da base x altura

V = (a. b) . c V = a . b . c

que é o resultado já conhecido para o volume do paralelepípedo.

1.3 - Volume do cilindro

Cilindro é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma de um latão de querosene ou de um cigarro. O cilindro é um sólido geométrico cujas bases são dois círculos iguais, como na figura:

O volume do cilindro pode ser determinado do

mesmo modo que o volume do prisma reto:

Volume do cilindro = área da base x altura Como a base do cilindro é um círculo, temos:

Área da base = área do círculo = π r², onde r é o raio do círculo Então, a área do cilindro pode ser expressa por:

A = π r² . a onde a é a altura do cilindro

Exercício resolvido 3: Determine o volume de um cilindro de 30

centímetros de altura e cuja base tem 20 centímetros de raio.

V = área da base x altura

Área da base = π r² A = π . 20² = 3,14 . 400

A = 1.256 cm² Volume = 1.256 . 30 = 37.680 cm³

1.4 – Volume da pirâmide

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer das arestas do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

Outros elementos importantes a serem

destacados são a base, a altura e a aresta lateral.

Base: é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.

Altura: é a distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

Aresta lateral: são segmentos que têm um extremo no vértice na pirâmide e outro num vértice do polígono situado no plano da base. As pirâmides podem ter mais de um tipo de

base, como mostram as figuras abaixo: Triângular Quandrangular

base:triângulo base:quadrado


Pentagonal Hexagonal

base: pentágono base: hexágono No entanto, apesar das diferentes formas que as pirâmides podem apresentar, o cálculo de seus volumes pode ser feito por meio de uma única fórmula:

x

3

Área da base hVolume

Portanto, independente da base da pirâmide, seu volume sempre será a multiplicação da área da base pela altura dividido por 3. Obs: as pirâmides exibidas nesse capítulo são pirâmides regulares. Nesse caso o segmento que une o vértice ao plano da base corresponde à própria altura.

Exercício resolvido 4: Luisa tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. Ela quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm. Qual o volume de perfume contido no frasco?

Como A(base) x h

V(pirâmide) = 3

, devemos

encontrar o valor da altura, multiplicar pela área da base e dividir por 3. No enunciado foi dito que a base é um quadrado de

lado 4 cm. Logo: 4 4 16 ²A x A cm

Para encontrar o valor da altura vamos utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo tracejado abaixo:

Para isso precisamos descobrir o valor da metade da diagonal do quadrado:

² 4² 4² ² 32

4 2

d d

d

Logo, a distância s da figura é: 2 2s

Agora basta calcular a altura:

² (2 2)² 6² ² 8 36

² 36 8 28 2 7

h h

h h cm

Portanto, o volume do frasco de perfume será:

16 2 7 32 7³

3 3

xV V cm

1.5 – Volume do cone Existem, basicamente, dois tipos de cone: o obliquo e o circular reto. Estudaremos apenas o mais conhecido: o cone circular reto. Ele é obtido a partir do giro de 360º de um triângulo retângulo, como mostra a figura abaixo:

Alguns elementos do cone são:

Altura: distância do vértice ao plano da base

Geratriz: distância do vértice até um ponto qualquer da circunferência da base

Raio: raio da circunferência da base O volume de qualquer cone pode ser calculado pela seguinte fórmula:

x

3


Note que a única diferença do cálculo do volume do cone para o da pirâmide é na área da base, pois a base do cone é um círculo enquanto a da pirâmide é um polígono.

6 cm h

2 2 cm

d 4cm

4 cm


1.6 – Regra geral Podemos então estabelecer uma regra geral para o cálculo de volumes:

Se sólido não possuir uma ponta (cubos, paralelepípedos, prismas e cilindros) o cálculo do volume é feito pela seguinte fórmula:

x Volume Área da base h

Se o sólido possuir uma ponta (pirâmides e cones) o cálculo do volume será feito pela fórmula:

x

3



Nível I 1) De quantos cubinhos iguais a A precisamos para montar um cubo igual a B?

2) Quantos litros de óleo cabem no galão abaixo?

3) Qual o volume de um bolo cuja altura é 5 cm e cujo diâmetro é 60 cm? 4) Quantos litros de leite cabem em um galão cilíndrico de 20 cm de diâmetro de 60 cm de altura? 5) Qual o volume de um objeto onde a área de sua base mede 20cm

2 e sua altura mede 15cm, e as

bases são paralelas? 6) Qual o volume de uma pirâmide regular cuja base é um triângulo eqüilátero de lado 3cm e a altura

mede 4 3cm?

7) Calcule o volume de um cone cuja altura mede 4 cm e a geratriz mede 5 cm.

Nível II 8) Calcule o volume do prisma abaixo, sabendo que a sua altura mede 10 cm e que sua base é um triângulo eqüilátero de lado 4cm.

9) Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

10) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?

11) Calcule o volume de uma pirâmide de base quadrangular cuja área da base mede 36 cm² e a aresta lateral mede 6 cm. 12) Seja um cilindro de raio R = 2cm e altura h = 6 cm inscrito num paralelepípedo de base quadrada de mesma altura e aresta da base ‘a’. Note que a circunferência e o quadrado possuem o mesmo centro. Calcule o volume interno ao paralelepípedo e externo ao cilindro.

GABARITOS

1) 64 cubos 7) 12π cm³

2) 20 litros 8) 40 3

³3

cm

3) 4,5π litros 9) 2 ²

³3

r hcm

4) 6π litros 10) π cm³

5) 300 cm³ 11) 108 2 ³cm

6) 9 cm³ 12) (96 24 ) ³cm

Apostila_Nivelamento

Documents

Transcript of Apostila_Nivelamento