1. CONJUNTOS 1.1 CONCEITOS INICIAIS a) Conjunto: A noo de conjunto, em Matemtica, a mesma da linguagem corrente, ou seja, conjunto sinnimo de agrupamento, coleo, classe etc. b) Elemento: Os objetos que constituem determinado conjunto so chamados de elementos do conjunto. c) Pertinncia: Se um elemento constituinte de um conjunto significa que ele pertence ao conjunto. Este fato indicado pelo smbolo

Conjunto vazio Chama-se vazio e indica-se porconjunto que no possui elemento algum. Exemplos:

o

. Por exemplo, chamando de P o

conjunto dos nmeros pares, escrevemos:

2 P (2 pertence a

P ) e 3 P (3 no pertence a P ).Embora os elementos de um conjunto possam ser quaisquer objetos (inclusive outros conjuntos), costume representar os conjuntos com as letras maisculas e os elementos com as letras minsculas. 1.2 REPRESENTAO DOS CONJUNTOS a) Por enumerao: Podemos representar um conjunto enumerando seus elementos. Exemplos: 1- O Conjunto dos nmeros pares positivos menores que 10 :

1- O conjunto dos meses do ano que comeam pela letra c (na lngua portuguesa). 2-O conjunto dos nmeros pares maiores que 4 e menores que 6. 1.3 IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos, A e B , so iguais quando tm os mesmos elementos. OBS: Na definio de igualdade de conjuntos no h qualquer referncia ordem segundo a qual os elementos de um conjunto so escritos. Assim:

{a,.b,.c}, {a,.c,.b}

e

{2,.4,.6,.8}.2O conjunto dos nmeros mpares positivos :

{b,.c,.a} , por exemplo, so o mesmo conjunto. E {a,.b,.b,.c,.c,.c} e {a,.b,.c} , por exemplo, so umconstar duas vezes e

mais: nico

conjunto, pois ambos tm os mesmos elementos, apesar de b

{1,.3,.5,.7,...}.b) Por propriedade : Quando todos os elementos de um conjunto A , e somente eles, satisfazem a uma certa propriedade, podemos descrever o conjunto A especificando essa propriedade. Para isso, usamos o smbolo

c trs vezes no primeiro conjunto.

Subconjuntos de um conjunto Se A e B so dois conjuntos, pode ocorrer que todo elemento de A seja tambm elemento de B . Quando isso ocorre, dizemos que A subconjunto de B ou que A parte de B ou, ainda, que A est contido em B . Indicamos esse fato por A B (leia:

(l-se: tal

que). Exemplos: 1-

A est contido em B ) ou por B A (leia: B contm A ).

A = {x x mpar e 3 < x < 11} o conjuntosignifica que

{5,.7,.9}. ( 3 < x < 112-

x est compreendido

entre 3 e 11; o sinal < l-se: menor).

B = {x x par e 0 < x < 8} o conjunto

{2,.4,.6} .c) Por diagrama Para a visualizao geomtrica dos conjuntos usam-se os chamados diagramas de Venn. O diagrama de Venn do conjunto

Se existir pelo menos um elemento de A que nopertena a

A = { ,.2,.3} est 1

B, ento A no subconjunto de B, fato este

representado a seguir.

que se indica por

A B (l-se: A no est contido em

B ).Exemplos: 1- O conjunto positivos,

A = {2,.4,.6,.8, }, dos nmeros paressubconjunto do conjunto

B = {0,.1,.2,.3,.4,.5, }, formado por todos os nmerosnaturais

( A B ).

2- O conjunto dos paraibanos um subconjunto do conjunto de todos os brasileiros. 3- Para os conjuntos e

2-

Sendo

A = {a,.b,.c} e

B = {a,.b,.c,.d },

ento

A B = {a,.b,.c} = A .

A = {0,.2,.6}, B = {0,.2,.4,.6,.8,.10}

C = {0,.2,.4,.8}.

3- Sendo Temos:

A = { ,.2,.3} e B = {4,.5}, ento A B = . 1

A B; C B; A C (pois 6 A e 6 C ) C A (pois 4 C e 4 A )A definio de subconjunto induz a admitir que cada

conjunto est includo em si prprio:

A A. A.Da definio de interseco de conjuntos conclumos facilmente as seguintes propriedades, vlidas para todo conjunto

OBS: O conjunto vazio est contido em todo conjunto; simbolicamente:

A,

para todo conjunto

1.4 OPERAES COM CONJUNTOS Interseco Se

A e B so dois conjuntos quaisquer,

A e B;

sua interseco o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a

A e B. A e B por

A A = A; A = ; A B = B AUnio Se

Indica-se a interseco dos conjuntos

A e B so dois conjuntos quaisquer, sua A ou a B. A e B por A B

A B (l-se: A inter B ).

unio o conjunto dos elementos que pertencem a Indica-se a unio dos conjuntos (l-se: A unio

A B = {x .x A e x BSe

}

B ).

A B = , ou seja, se A e B no tm

A B = {x x A ou x BExemplos: 1Sendo

}e

elemento em comum, dizemos que Exemplos: 1Sendo

A e B so disjuntos.

A = {a,.b,.c}

e

B = {b,.c,.d },

ento

A = {a,.b,.c}

B = {d ,.e},

ento

A B = {b,.c}.

A B = {a,.b,.c,.d ,.e}.

2-

Sendo

A = {a,.b,.c}

e

B = {b,.c,.d }

ento

OBS: Quando

B A, a diferena A B chama-se

A B = {a,.b,.c,.d }.3- Sendo

conjunto complementar de complementar de

B em relao a A. Indica-se o

A = {a,.b}, ento A = {a,.b} = A .A e B:

B B em relao a A por C A

Da definio de unio de conjuntos conclumos as seguintes propriedades, vlidas para todo conjunto

Assim, simbolicamente, temos:B C A = A B, com B A

A A = A; A = A; A B = B ADiferena A diferena elementos de

A B o conjunto dos

Exemplo: Se

A = {0,.1,.2,.3} e B = {0,.1} (note que

A que no pertencem a B.

B B A ), ento C A = A B = {2,.3}.

A B = {x x A e x BExemplos: 1- Sendo

}

A = {a,.b,.c,.d } e B = {a,.b}, ento A B = {c, d }.

Propriedade Representamos por elementos de um conjunto finito

n( X ) o nmero de

X qualquer; assim sendo

n( A),.n( B),.n( A B) e n( A B ) representam o nmerode elementos dos conjuntos 2- Sendo

A,.B,. A B e A B,

A = {a,.b,.c,.d } e B = {a,.b,.e} ento A B = {c,.d }.

respectivamente. Utilizando esta notao, podemos enunciar a seguinte propriedade, vlida para todo conjunto

A e B:

n( A B) = n( A) + n( B) n( A B)Acompanhe a explicao desta propriedade pelo exemplo seguinte. Sendo: Temos: portanto:

A = {a,.b,.c} e B = {b,.c,.d ,.e} A B = {b,.c}e,

A B = {a,.b, c,.d ,.e},

n( A) + n( B) n( A B) = 3 + 4 2 = 5 = n( A B). E3- Sendo

A = {a,.b,.c,.d } e B = {e,. f } ento A B = {a,.b,.c,.d }.

, assim, verificamos numericamente por este exemplo a propriedade:

n( A B) = n( A) + n( B) n( A B)1.5 CONJUNTOS NUMRICOS Os nmeros, cujas propriedades e cujas interaes so o objetivo da lgebra elementar, so classificados da seguinte forma: a) Conjunto dos nmeros naturais Nmeros naturais so aqueles que so utilizados na contagem dos elementos de um conjunto. Temos ento:

IN = {0,.1,.2,.3,.4,.5, }

OBS: O zero o nmero mais novo dos naturais. Os naturais positivos so representados pelo smbolo:

0,222 = 0, 2 =

2 9 4 9 4 13 = + = 9 9 9 9

IN = { ,.2,.3,.4, } 1b) Conjunto dos nmeros inteiros Nmeros inteiros so todos os nmeros naturais e tambm os opostos dos naturais; os opostos dos naturais so os nmeros

1,444 = 1, 4 = 1 + 0, 4 = 1 + 0,999 = 0, 9 = 9 =1 9

Agora vamos apresentar a definio formal de nmero racional, indicando por

1,. 2,. 3,. 4, A operao subtrao causou o surgimento do conjunto

Q o conjunto formado por eles:

Z = { ,3,. 2,. 1,.0,.1,.2,.3,.4, } Alguns subconjuntos de

p Q = p Z ,.q Z ,.q qPela definio dos conclumos facilmente que:

0 1e dos racionais,

Z merecem destaque, como:

inteiros

Z = { ,. 2,. 1,.1,.2,.3, }(Inteiros no-nulos)

IN Z Q

f) Conjunto dos nmeros irracionais O conjunto dos nmeros irracionais formado pelos nmeros cujas formas decimais no so exatas nem peridicas. Facilmente podemos construir nmeros decimais no exatos e no peridicos. Veja, por exemplo:

Z + = {0,.1,.2,.3,.4, } (Inteiros no-negativos) Z = { ,. 3,. 2,. 1,.0}(Inteiros no-positivos) c) Nmeros Pares e mpares Um nmero inteiro chamado de par quando pode ser dividido por conjunto dos pares:

2. Eis o

0,101001000100001 , onde o nmero de 1.

zeros aumenta de uma unidade aps cada algarismo

P = { ,. 4,. 2,.0,.2,.4,.6,.8, } De modo contrrio, um nmero inteiro dito impar quando no pode ser dividido por mpares:

Nmeros como esse, cuja representao contm infinitas casas decimais aps a vrgula e onde no ocorre repetio de perodo como nas dzimas, no so nmeros racionais; esses nmeros so chamados de irracionais. Veja agora mais alguns exemplos de nmeros irracionais:

2. Eis o conjunto dos

I = { ,. 5,. 3,. 1,.1,.3,.5,.7,.9, } d) Nmeros Primos Um nmero, diferente de

1 e de

Exemplos:

1, chamado de primo quando pode ser dividido apenas porele mesmo, o oposto dele mesmo, por

3 = 1,7320508 2 = 1,4142135623730950488

1 e por 1.

e) Conjunto dos nmeros racionais Chama-se racional todo nmero que o quociente entre dois nmeros inteiros. Vamos agora apresentar alguns exemplos de nmeros racionais: Os nmeros inteiros.

= 3,141592654 Representamos o conjunto dos nmeros irracionais por

I.g) Conjunto dos nmeros reais A unio do conjunto

Q dos nmeros racionais com o conjunto I dos nmerosExemplo: O inteiro

2 o quociente entre os inteiros 2 e 1 ou2 4 10 = = 1 2 5

irracionais chama-se conjunto dos nmeros reais e representase por

4 e 2 ou 10 e 5 etc.; portanto, 2 = Os decimais exatos.

IR : IR = Q IPela definio dos racionais e dos reais, conclumos

facilmente que: Exemplos:

1,3 =

13 243 317 ; 0,243 = ; 3,17 = 10 1000 100

IN Z Q IRPodemos, portanto fazer a seguinte representao:

Os decimais no exatos e peridicos (dzimas).

a)

] ; a] = {x IR ] ;.a[ = {x IR

x a}

b)

x < a}

c)

[a;. + [ = {x IR ]a;. + [ = {x IR

x a}

Os nmeros reais podem ser representados numa reta de tal modo que a todo nmero real corresponde um ponto na reta e a todo ponto da reta corresponde um nmero real.d)

x > a}

1.6 INTERVALOS LINEARES Intervalos finitos Alguns subconjuntos de

e)

] ;. + [ = IR

IR, porPor exemplo, o conjunto intervalo infinito

aparecerem frequentemente, tm nomes e notaes especiais. Por exemplo, o conjunto

H = {x IR 1 x 2},1 e 2, incluindo os

{x IR

x 1} o

formado por todos os nmeros reais entre extremos extremos

[1;. + [.

1 e 2, recebe o nome de intervalo fechado de 1 e 2 e passa a ser representado por [1;.2].

J o conjunto

J = {x IR 1 < x < 2} chama-se1 e 2 e representado por

1.

(Osec-SP)

Dados

os

conjuntos ento

A = {a,.b,.c},o conjunto

intervalo aberto de extremos

B = {b,.c,.d } e C = {a,.c,.d ,.e},

]1;.2[.

P = ( A C ) (C B ) ( A B C ) :a)

{a,.b,.c,.e} b) {a,.c,.e}c) d)

Outros casos possveis:

A

K = {x IR 1 x < 2} o intervalo fechado esquerda eaberto direita de extremos 1 e

{b,.d ,.e}

2. representado por [1;.2[.

e) n.d.a.

2. (UFPB) O conjunto

{x IR;. 2 x < 3}

est contido

L = {x IR 1 < x 2} o intervalo aberto esquerda efechado direita de extremos

em: a) b)

1 e 2. representado por

{x IR;. x 3 e x < 2}

]1;.2].

{x IR;. x 2} c) {x IR;. x 3}d)

Intervalos infinitos Sendo

a um nmero real

{x IR;.0 x + 1 4}

qualquer, os intervalos infinitos so conjuntos da forma:

e)

{x IR;. x < 1 ou

x 4}

3. (Acafe-SC) Se tais que

M = { ,.2,.3,.4,.5} e N so conjuntos 1

cursos de cursos de a) b) c)

A, B e C. Quantos candidatos se inscreveram em

M N = { ,.2,.3,.4,.5} e M N = { ,.2,.3}, 1 1N :

A e tambm em cursos de B ou C ?d)

ento o conjunto a) vazio.

700 950

500

900 e) 600

b) impossvel de ser determinado.

{4,.5}. d) { ,.2,.3} 1 . 1 . e) { ,.2,.3,.4,.5}c) 4. (FGV-SP) Seja

8. (Vunesp) Numa classe de Matemtica e

30 alunos, 16 gostam de

20, de Histria. O nmero de alunos desta 16. 10. 6. 6. 18.

classe que gostam de Matemtica e de Histria :

A um conjunto com 8 elementos. O A :

a) exatamente b) exatamente c) no mximo d) no mnimo e) exatamente

nmero total de subconjuntos de a) b) c)

8 256 6

d) 128 e)

100

5. (Fatec-SP) Se

A = {x x Z ,. 3 < x 1} e

9. (PUC-SP) Um nmero racional qualquer: a) tem sempre um nmero finito de ordens (casas) decimais. b) tem sempre um nmero infinito de ordens (casas) decimais. c) no pode expressar-se em forma decimal exata. d) nunca se expressa em forma de uma decimal inexata. e) nenhuma das anteriores. 10. (Fuvest-SP) O nmero de extremos

B = x x IN ,.x 2 < 16 , ento ( A B ) ( A B ) oconjunto: a)

{

}

{ 2,. 1,.0,.1,.2,.3} b) { 2,. 1,.2,.3} c) { 3,. 2,. 1,.0} d) {0,.1,.2,.3} e) {0,.1}6. (F.C Chagas-BA) Consultadas

x no pertence ao intervalo aberto

1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se

ento concluir que: a) b)

x 1 ou x > 3 x 2 ou x < 0 x 2 ou x 1 x>3

500 pessoas sobre as

c) d)

emissoras de TV a que habitualmente assistem, obteve-se o resultado seguinte: assistem ao canal

280 pessoas assistem ao canal A, 250

e) n.d.a 11. (UF-Viosa) Sejam os conjuntos:

B e 70 assistem outros canais distintos de

A e B. O nmero de pessoas que assistem a A e noassistem a a)

B :200 210e)

A = {x IR 1 x < 5}a) b) c) d) e)

e

B = {x IR 2 x 6} .

30 180

d)

Assinale a alternativa CORRETA;

b) 150 c)

A B = {2,.3,.4} A B = {x IR 2 x 5} A B = {x IR 2 < x < 5} A B = {x IR 2 < x 5} A B = {x IR 2 x < 5}

7. (UFPB) Trs instituies de ensino, aqui denominadas por

A, B e C , oferecem vagas para ingresso de novos alunos emseus cursos. Encerradas as inscries dos candidatos, verificou-se que exatamente cursos de

540 deles se inscreveram para

A e B, 240 para cursos de A e C , e 180 para

2. RELAES BINRIAS Vamos introduzir agora um dos conceitos mais importantes de toda a matemtica: o conceito de relao entre dois conjuntos. A partir da, construiremos a definio de funo de um conjunto em outro; este ltimo conceito simplesmente a viga mestra de toda a chamada matemtica moderna. 2.1 PARES ORDENADOS Dados dois elementos indicado por

2.4 RELAES Se

A e B so dois conjuntos quaisquer, podemos relacionar A com elementos de B de alguma A e

ou associar elementos de

maneira, nossa escolha. Quando fazemos isso, dizemos que fica estabelecida uma relao binria entre os conjuntos

B. Vejamos alguns exemplos:1- Dados os conjuntos

A = {2,.3,.4} e B = {6,.8,.9},

podemos associar um elemento qualquer elementos

x de A com

a e b formamos um novo elementoe denominado par ordenado, cujo

y de B atravs, por exemplo, da sentena: x se y se, e somente se, x dividir y. 2 divide 6 e 8;

(a;.b )

associa com

primeiro elemento

a e o segundo elemento b. Impomos a

Com a sentena acima e com os conjuntos dados, temos: 2 associa-se com 6 e 8, pois

seguinte condio de igualdade entre pares ordenados:

(a;.b ) = (c;.d ) a = c e b = dCom a definio de igualdade acima, temos, por exemplo:

2 no se associa com 9, pois 2 no divide 9; 3 associa-se com 6 e 9, pois 3 divide 6 e 9; 3 no se associa com 8, pois 3 no divide 8; 4 associa-se com 8, pois 4 divide 8; 4 no se associa com 6 nem com 9, pois 4 no divide 6 nem 9. Obtemos assim uma relao ou correspondncia do conjunto

(1;.2) (2;.1); (2;.3) = ( x;. y ) x = 2 e ( x;.1) = (0;. y ) x = 0 e

y = 3; y = 1.

A no conjunto B.

2.2 REPRESENTAO GRFICA a representao grfica de um par ordenado um ponto pertencente a um plano (chamado plano cartesiano).

2- No conjunto

A = {0,.1,.2,.3} formemos uma relao Rx A com um elemento y A se,

associando um elemento e somente se,

(1;.2) representado pelo ponto da figura seguinte; indica-se: A(1;.2 ).Exemplo: O par ordenado

A

x < y. R so, ento, todos os paresA A, nos quais o primeiro elemento menor

Os elementos da relao ordenados de

que o segundo. Logo,

R = {(0;.1),.(0;.2 ),.(0;.3),.(1;.2 ),.(1;.3),.(2;.3)}.

OBS: O 1 elemento do par ordenado sempre representado no eixo

Ox e o 2, no eixo Oy.

2.3 PRODUTO CARTESIANO DE CONJUNTO Se

A e B so conjuntos no vazios, o produto cartesiano de A e segundo elemento em B. IndicaA por B por A B.

1.

(UFPB)

Sejam

A = {x IR 0 x 2}

e

A por B o conjunto de todos os pares ordenados comprimeiro elemento em se o produto cartesiano de

B = {x IR 0 x 3} Quantos pares ordenados, cujas .coordenadas so todas inteiras, existem no produto cartesiano

A B ?a)

A B = {(a,.b ) a A e b B )Se

129 8 6

A ou B vazio, coloca-se A B = . IR por IR indicamos por

b) 10 c) d) e)

OBS: O produto cartesiano de

IR 2 . Isto : IR IR = IR 2 .

2. (F.C. Chagas-BA) Dados os conjuntos

A = {0,.1}, o

3. FUNES Sejam dois conjuntos

B = { ,.2} e C = {0,.2}, ento 1conjunto: a)

( A B ) (B C )

A e B e seja f uma relao de A em

B. Diz-se que f uma funo de A em B se, e somente

{(1,.1),.(1,.2)} d) {(1,.1),.(0,.2 ),.(2,.2 )}b) 3. (UFPA) Dados os conjuntos

{(0,.1),.(2,.0),.(2,.2)} e) {(0,.1),.(0,.2 ),.(1,.1)}c)

se, para todo elemento

x A existir um nico elemento

y B, tal que ( x;. y ) f .Exemplo: Considere os conjuntos

A = { ,.2,.3} 1

e

A = {a,.b,.c} e B = {a,.b},A em B ?

B = {4,.5,.6} e as relaes g , h e f , de A em B, dadaspor:

qual dos conjuntos abaixo uma relao a)

{(a,.a ),.(b,.b ),.(c,.c )} b) {(a,.a ),.(b,.b ),.(b,.c )} c) {(a,.a ),.(b,.b ),.(a,.c )} d) {(a,.a ),.(b,.b ),.(a,.b )} e) {(c,.b ),.(b,.c )}4. (UFMT) Sejam os conjuntos

g = {(1;.4 ),.(1;.5), (2;.5),.(3;.6 )}; h = {(1;.5),.(2;.6 )}; f = {(1;.4),.(2;.5),.(3;.6)}.

A e B tais que

A B = {( 1,.0 ),.(2,.0 ),.( 1,.2 ),.(2,.2 ),.( 1,.3),.(2,.3)}.O nmero de elementos do conjunto a)

A B :e)

0

b) 1

c)

2

d)

3

4Observe, ento, que: na relao

5. (Santa Casa-SP) Sejam

A e B conjuntos no vazios. Se

g , o elemento 1 A associa-se com dois B (o 4 e o 5); isto contraria a g no uma funo de A

A B tem 12 elementos, ento A B pode ter, nomximo: a) b) c)

elementos distintos de

7 elementos 8 elementos

definio de funo. Portanto, em

B. h, o elemento 3 A no se associa com B; o que tambm contradiz a h, tambm, no funo de

11 elementos13 elementos

na relao

d) 12 elementos e)

nenhum elemento de

definio de funo. Logo,

A em B.Enumerar os pares ordenados, representar por diagrama de flechas e construir o grfico cartesiano da relao na relao

f , no existe elemento de A que no esteja B, e mais ainda cada

R de A em

B, definida por:

associado a algum elemento de elemento de

R = {( x,. y ) A B .x + y = 3}.Dados:

A est associado com um nico elemento de

B. Portanto, a relao f uma funo de A em B.3.1 DOMNIO DE UMA FUNO Se

A = { 1,.0,.1,.2} e B = { ,.2,.3,.4}. 1f uma funo de A em B, o conjunto de partida A f e o conjunto

passa a ser chamado de domnio da funo

B, contradomnio de f .

A = D( f ) = domnio de f

B = C.D.( f ) = contradomnio de fExemplo: Considere a relao domnio o conjunto conjunto

f do exemplo anterior. O

A = { ,.2,.3} e o contradomnio o 13.4 FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU

B = {4,.5,.6}.Funo polinomial, ou funo afim, aquela que associa a todo nmero real

3.2 IMAGEM DE UMA FUNO Vamos agora destacar um subconjunto importante do contradomnio de de

x, o nmero real ax + b (sendo a e b

f . Esse subconjunto, denominado imagem

nmeros reais quaisquer e a

0 ). Simbolicamente temos:

f , e indicado por Im( f ), formado pelos elementos do

f : IR IR, sendo f ( x ) = ax + b; a 0Exemplos: 13-

contradomnio que so de fato imagens de elementos do domnio. Por exemplo, no diagrama seguinte:

f (x ) = 2 x + 1

2- y

= 2 x 5

f ( x ) = 3x (neste caso particularmente como b = 0 a

funo tambm chamada linear).

Grfico: o grfico da funo reta no paralela aos eixos 1 caso: a A imagem de

f ( x ) = ax + b uma

x e y.

> 0 (funo crescente): IR IR, definida por f ( x ) = 3x,

f formada pelos elementos m, n eExemplo: A funo f crescente em IR.

p (observe que q e r no so extremidades de flechas, ouseja, no so imagens de elementos do domnio). Para esse diagrama, temos:

Im( f ) = {m,.n,. p}3.3 FUNO CONSTANTE a funo que associa a todo nmero real nmero real. Isto : ( .x IR ). Grfico: o grfico da funo constante uma reta paralela ao eixo dos

x um mesmof (x ) = k

f : IR IR, com

x, e que intercepta o eixo y no ponto

D( f ) = IR e Im( f ) = IR2 caso: a

(0;.k ).Exemplo: Dada a funo

< 0 (funo decrescente)A funo

f : IR IR, definida por

Exemplo:

g : IR IR,

definida

por

f ( x ) = 1 temos que:para x para x

g ( x ) = 3x, decrescente em IR.para x

= 0, f (0 ) = 1;

= 1, f (1) = 1;

= 2, f ( 2 ) = 1; para x = , f ( ) = 1 etc.

2- Para resolver a equaoabrimos os parnteses:

3x + 2 3(x + 1) = 0

/ / 3 x + 2 3 x 3 = 0 ou 1 = 0.

A concluso absurda a que chegamos tem um significado muito simples: no existe valor algum da incgnita

x que satisfaa a equao proposta. Em outras palavras, aequao impossvel e seu conjunto-soluo

S vazio, ou

D( g ) = IR e Im( g ) = IR

seja,

S = IR,

3- Para resolver a equao, em

2( x + 1) 3x + 2 (4 x ) = 0abrimos os parnteses: 3.5 EQUAES DE 1 GRAU Equao de 1 grau em IR, na incgnita igualdade do tipo:

2 x + 2 3x + 2 4 + x = 0 x, toda 2 x 3 x + x = 2 2 + 4

0=0Na verdade, essa igualdade equivalente a:

ax + b = 0ou redutvel a esse tipo, onde no nulo. Observe que a equao de 1 grau, pois a incgnita

0x = 0

a e b so nmeros reais e a

que verdadeira para qualquer valor de conjunto-soluo :

x; portanto o

S = IR.

x tem maior expoente igual a 1. O valor da incgnita x, se existir, chama-se raiz ousoluo da equao; o nmero que, substitudo no lugar de

3.6 INEQUAES DE 1 GRAU Inequaes do 1 grau so aquelas redutveis forma

ax + b > 0, onde a 0 (ou ,. 1} 2

relao

R = {( x,. y ) A B y = 2 x 1} O domnio e a .

imagem dessa relao so: a)

{1,.3} e {2,.5} b) {0,.1,.2} e {2,.4} 1 c) {0,.1,.2,.3} e { }d)

1. Represente graficamente e determine o domnio e a imagem das seguintes funes: a) b) c)

AeB R de A = {x Z 1 x 1} em

f (x ) = x 2 f ( x ) = 2 x 4f ( x ) = ( x + 3) + ( x 2 ) .2 2

6. (PUC-RS) A relao

B = {y IR 0 y < 2}, definida por y = 1 x, a)

2. A reta

r que passa pelos pontos P(1,.2 ) e Q(3,.3) oy = ax + b. Determine as constantes a e

grfico da funo

b.

{( 1,.0),.(0,.1)} b) {(0,.1),.(1,.0 )} c) {( 1,.0 ),.(0,.1),.(1,.0 )} d) {( 1,.0 ),.(0,.1),.(1,.2 )} e) {( 1,.2 ),.(0,.1),.(1,.0 )}

7.

(UFPA)

Qual

das

relaes

de

A = { ,.2} em 1

d)

k

2 3

B = {3,.4,.5}, dadas abaixo, uma funo?

{(1,.3),.(1,.4),.(1,.5),.(2,.3), (2,.4),.(2,.5)} b) {(1,.3),.(2,.5)} c) {(1,.3),.(2,.4 ),.(2,.5)} d) {(1,.4 ),.(1,.5)} e) {(2,.3),.(2,.4 )}a)

13. (UF-S. Carlos) O conjunto soluo do sistema de inequaes

3 x 1 > 5 x + 2 : 4 x + 3 < 7 x 11

a)

3 14 S = x IR x < ou x > 2 3

b)c)

S = {x x IR} 1 5 S = x IR x > ou x < 3 3 S =

8. (Cescem) Se

f ( x ) = a + 1 e g ( z ) = 2 z + 1, ento

g ( f ( x )) vale:a) d)

d)e)

2a + 2 2a + 3

b) e)

a+4 a+3

c) 2a 3

5 1 S = x IR < x < 3 3

9. (Mack) Sejam

f dada por f ( x ) = 2 x 1 e g dada por

14. (Um.Bauru-SP) Assinale a alternativa que indica o domnio da funo real a)

g ( x ) = x + 1. Ento g ( f (2 )) igual a:a)

f (x ) =

x 1 : x +1

1

b)

2

c)

3

d)

4

e)

5

10. (F. C. Chagas-BA) A funo inversa da funo

f (x ) =a)

2x 1 : x+3x+3 2x 1b)

f f f

1

(x ) =

f f

1

(x ) = 2 x + 1x3

{x IR 1 < x < 1} b) {x IR x 1} c) {x IR x < 1 ou x 1} d) {x IR x 1} e) {x IR x 0}15. Considere o sistema abaixo.

c)

1

(x ) = 1 2 x3 x

d)

1

(x ) = 3x 1x2

e)

1

(x ) = 3x + 12 xf : IR IR definida por1

11. Considere a funo invertvel

x + y = 1 x y = 1 3 x + k y = kO conjunto formado por todos os valores reais de tornam esse sistema possvel, :

f ( x ) = 2 x + b, onde b uma constante. Sendo finversa, qual o valor de passa pelo ponto a)

a sua1

k , que

b, sabendo-se que o grfico de f

A(1,. 2 )?c)

{ 1,.0,.1} d) { 1,.1}a)

{0,.1} e) {0}b)

c)

{ 1,.0}

2

b)

1

2

d)

3

e)

53.7 FUNO POLINOMIAL DO 2 GRAU Uma funo

12. (PUC-SP) Para que a funo do 1 grau dada por

f : IR IR chamada de funo polinomial

f ( x ) = (2 3k )x + 2 seja crescente, devemos ter:a)

de 2 grau, ou funo quadrtica, quando associa a cada elemento

k=

2 3

b)

k

2 3

x IR o elemento ax 2 + bx + c IR, onde

(

)

a, b e c so nmeros reais dados e a no nulo.

Resumindo: A funo quando for da forma

f : IR IR ser quadrtica f ( x ) = ax 2 + bx + c,com

Exemplo:

Seja

a

funo

f : IR IR,

dada

por

f ( x ) = x 2 + 4. a = 1 < 0, b=0e

a,.b,.c IR e a 0.Exemplos: So quadrticas as funes:

c = 4;

Substituindo

em

= b 2 4ac temos = 16 > 0.

f ( x ) = 3 x 2 2 x + 1, onde a = 3, b = 2 e c = 1; g ( x ) = x + 3 x + 2, onde a = 1, b = 3 e c = 2;2

h( x ) =

1 2 1 x + 5 x, onde a = , b = 5 e c = 0; 2 2

+4 x = 2 = 2 b 4 = x= 2 2a x = 4 = 2 2

p( x ) = x 2 1, onde a = 1, b = 0 e c = 1; q ( x ) = x 2 , onde a = 1, b = 0 e c = 0.Grfico: o grfico da funo quadrtica uma curva denominada parbola, que pode ter a concavidade voltada para cima se 1 caso:

a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.

> 0 ( f ( x ) tem duas razes)a > 0 ( concavidade voltada para cima)Seja

i) quando

Exemplo:

f : IR IR,

dada

por

Observe o grfico e verifique que:

f ( x ) = x 2 4 x + 3. a = 1 > 0, = b 2 4ac x= b = 4e

D( f ) = IR e Im( f ) = ] ;.4];O vrtice da parbola localiza-se acima do eixo

c = 3;temos

Substituindo

em

x.

= 4 > 0.e

2 caso: i) quando

=0a > 0; ( concavidade voltada para cima)Seja a funo

4+2 b 42 = x = =3 2a 2 2 42 =1 2

x =

Exemplo:

f : IR IR,

dada

por

f ( x ) = x 2 2 x + 1. a = 1, b = 2 e c = 1; Substituindo em = b 2 4actemos

= 0.

x=

b 2 = =1 2a 2

Observe o grfico e verifique que:

Observe o grfico e verifique que:

D( f ) = IR e Im( f ) = [ 1;. + [ ;O vrtice da parbola localiza-se abaixo do eixo

D( f ) = IR e Im( f ) = [0;. + [;O vrtice da parbola localiza-se no eixo

x.

x.

ii) quando ii) quando

a < 0; (concavidade voltada para baixo) f (x ) = x 2

a < 0; (concavidade voltada para baixo)

Exemplo resolver: 3 caso:

< 0 ( f ( x ) no tem razes reais)

i) quando Exemplo: por

a > 0; (concavidade voltada para cima)Seja a funo

Equao de 2 grau em dada igualdade do tipo:

IR, na incgnita x, toda

f : IR IR,

f ( x ) = 3 x 2 + x + 1.

ax 2 + bx + c = 0ou redutvel a esse tipo, onde

a = 3, b = 1 e c = 1; Substituindo em = b 2 4actemos

a, b e c so nmeros reais e

= 11 < 0. x, pois no tem raiz real.

a no nulo.A equao chamada de 2 grau devido incgnita

Seu grfico no corta o eixo dos

As coordenadas do vrtice da parbola so dadas por:

x apresentar maior expoente igual a 2 . Quando b 0 ec 0 ( a sempre no nulo), a equao chamada decompleta. Se

b xv = e yv = 2a 4a

b = 0 ou c = 0, a equao diz-se incompleta.

O valor da incgnita

x, se existir, chama-se raiz ou

soluo da equao; o(s) nmero(s) que, substitudo no lugar de

x , transforma a equao numa igualdade numrica;S.

o conjunto formado pelas razes de uma equao chama-se conjunto-soluo da equao e ser indicado por Observe o grfico e verifique que: Exemplos: 1Resolver a equao

D( f ) = IRIm( f ) = [ y v ;. + [ = [0.9166 ;+[.

3 x 2 + 12 = 0. 12 3

3 x 2 + 12 = 0 3x 2 = 12 x 2 =

O vrtice da parbola localiza-se acima do eixo

x.

ii) quando Exemplo:

a < 0; (concavidade voltada para baixo)Seja a funo

x 2 = 4,por que impossvel em

f : IR IR,

dada

IR; temos, ento: S = . x 4 + = 5. x 2 x 1

f ( x ) = x 2 + x 2. a = 1, b = 1 e c = 2. Substituindo em = b 2 4actemos

2- Resolver a equao

Observe que para a existncia da equao necessrio que os denominadores sejam diferentes de zero; portanto precisamos

= 7 < 0. x, pois no tem raiz real.

Seu grfico no corta o eixo dos

ter

x 2 e x 1.O m.m.c. dos denominadores

As coordenadas do vrtice da parbola so dadas por:

(x 2)(x 1).

Reduzindo todos os termos ao mesmo denominador, obtemos:

4( x 2 ) 5( x 2 )( x 1) x( x 1) + = (x 2)(x 1) (x 2)(x 1) (x 2)(x 1)Eliminamos o denominador comum e efetuando as operaes indicadas, temos:

x( x 1) + 4( x 2 ) = 5( x 2 )( x 1) x 2 x + 4x 8 = 5 x 2 x 2x + 2xv =

(

)

b , yv = 2a 4a

x 2 + 3x 8 = 5 x 2 3x + 22 2

(

)

x + 3 x 8 = 5 x 15 x + 10 x 2 5 x 2 + 3 x + 15 x 8 10 = 0 4 x 2 + 18 x 18 = 0

Observe o grfico e verifique que:

D( f ) = IRIm( f ) = ] ;. y v ] = ] ;. 1,75]O vrtice da parbola localiza-se abaixo do eixo

2x 2 9x + 9 = 0

x.

Agora,

resolvemos

a

equao

de

2

grau

calculando 3.8 EQUAES DE 2 GRAU2

= b 2 4ac

= ( 9 ) 4 2 9 = 81 72 = 9 e,

9 9 93 , obtendo-se: = Portanto: x = 22 4

x2 4 Na funo f ( x ), devemos ter o quociente 2 x 1(que o radicando) maior ou igual a zero, para que a funo esteja definida. Portanto, teremos para resolver uma inequao do tipo quociente:

9 + 3 12 x = = =3 4 4 x = 9 3 = 6 = 3 4 4 2 Como nenhum desses dois valores anulam os denominadores da equao proposta, o conjunto soluo :

x2 4 0 x2 1

3 S = ;.3. 2

3.9 INEQUAES DE 2 GRAU Inequaes de 2 grau so aquelas redutveis forma

ax 2 + bx + c > 0, onde a 0 (ou ,. 0, podemos concluir que o grfico desta

2km e 40km 2km e 10km 2km e 20km

funo: a) intercepta o eixo do

x em um nico ponto. x.

b) tangente ao eixo horizontal. c) no intercepta o eixo do d) secante ao eixo horizontal e o intercepta em dois pontos de abscissas, positivas ambas. e) corta o eixo horizontal em dois pontos de abscissas positiva e negativa. 12. (UFPB) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metlicas em forma de arco de parbola.

6. (Fatec-SP) Seja2

f : IR IR uma funo definida por

f ( x ) = (t 1)x + tx + 1, t IR. Os valores de t , paraque a) d)

f tenha duas razes distintas, satisfazem a sentena:b)

3 t 3 2

4 4(Osec-SP) O domnio da funo

2 1 + =2 x 1 x 2a) 3 b)

1 3

c)

3

9 2

e)

9

20.

y = 1 x 2 + x 2 1 :15. (UFPB) Sejam

f ( x ) uma funo quadrtica e g ( x ) uma f (7 ) f (1) = g (7 ) g (1). Se

funo afim, tais que

h( x ) = f ( x ) g ( x ) ento:a)

[ 1,.1] b) { 1,. + 1} c) ] ,. 1] [1,.[ d) ] 1,.1[ e) a)21. (UF-Viosa) O conjunto soluo da inequao

h(0) = h(4)

b)

h(0) = h(8)

c) h(2 ) =

h(5)

d)

h(4) = h(6)e)

h(6) = h(8)

x 2 6x + 5 0 : (x + 1) x 2 7 x + 10

(

)

a)

{x IR x < 1 ou 2 < x < 5 ou x > 5}

b)

{x IR 1 x < 1 ou 2 < x < 5 ou x > 5} c) {x IR x 1 ou x 5} d) {x IR 1 < x 1 ou 2 < x < 5 ou x > 5) e) {x IR 1 x 1 ou 2 x 5 ou x 5}f ( x ) = 2 x 6 e g ( x ) = x 2 + 5 x + 3, pode-se dizer que o

Como

1 + 3 positivo, o mdulo o prprio nmero, isto :

1 + 3 = 1 + 3.2-

1; 1 positivo, o mdulo o prprio nmero, isto

Como

22. (U.F. Uberlndia) Dadas as funes reais definidas por

1 = 1.3-

2 3; 2 3 negativo, o mdulo ser o oposto deste 2 3 = 2 3 = 3 2.

domnio da funo

h( x ) =

(f

g )( x ) :

{x IR x 5 ou x 0} b) {x IR x 0} c) {x IR x 5} d) {x IR 5 x 0} e) {x IR 5 < x < 0}a)

Como

valor, isto , OBS: Como Exemplos: 45-

(

)

x 0,. x 0 x 2 = x .

( 5)2

= 5 = 5;2

4+ x o 23. (UFPA) O domnio da funo y = x 2 x 3x 4conjunto:

2

(1 2 )

= 1 2 = 2 1.

Grfico: Vejamos um exemplo para melhor entender o grfico de uma funo modular.

] 1;.4] b) ] ;. 2] ]4;. + [ c) [ 2;.1[ [2;.4[ {0} d) ] ;. 1[ ]4;. + [ {0} e) ] ;. 1[ ]4;. + [a)

Exemplo: Esboar o grfico da funo o domnio e a imagem desta

f ( x ) = x 2 1 dando

Aplicando a definio de mdulo teramos:2 2 x 1..se..x 1 0 f (x ) = x 2 1 ..se..x 2 1 < 0

(

)

Portanto o grfico ser:3.10 FUNO MODULAR a) Mdulo de um nmero real Sendo

x IR, temos

x..se..x 0 x = x..se..x < 0Da definio podemos concluir que se o valor que estiver entre mdulo for maior ou igual a zero o resultado ser esse prprio valor (veja os exemplos

1 e 2 ); mas se o valor

O domnio da funo ser:A imagem da funo ser:

D( f ) = IR. Im( f ) = IR+ g (x ), fazemos

que estiver entre mdulo for negativo o resultado ser o oposto desse valor (veja o exemplo Exemplos: 1-

3 ).

Outra maneira de fazer esta questo seria considerar que quando temos entre mdulo, uma funo primeiramente o grfico de

1+ 3 ;

g ( x ), rebatendo em seguida toda

parte que estiver abaixo do eixo

x para cima.

b) Equaes modulares So todas equaes que contiverem a incgnita em mdulo num dos membros. O valor da incgnita

x = 3

S = { 3,.3}

c) Inequaes Modulares

x se existir, chama-se raiz ou

Resolver uma inequao encontrar o conjunto de valores para Exemplos: 1- Resolver a inequao

soluo da equao; o nmero que, substitudo no lugar de

x que satisfaz a desigualdade. 3x + 2 > 5.2

x , transforma a equao numa igualdade numrica; oconjunto formado pelas razes de uma equao chama-se conjunto-soluo da equao e ser indicado por Exemplos: 1- Resolver a equao

S.

3 x + 2 > 5 3 x + 243 5 ou 3 x4 2 < 3 5 14 2 > 1 +2 41

3x 2 = x 1.

(1)

3x + 2 > 5 3x > 5 2 3 x > 3

Devemos ter

x 1 0 x 1.

x >1(2) 3 x + 2 1 oux 2 < 1 x < 1

x 2 < 1 x 2 >1 x > 3Logo: (2) ou

(1) x 2

= 3 2x x + 2x = 3 + 2 5 3

3x = 5 x =(2)

S1 = {x IR x < 1 ou x > 3}.

x 2 = (3 2 x ) x 2 = 3 + 2 x

x 2 < 5 5 < x 2 < 5S 2 = {x IR 3 < x < 7} . S = S1 S 2 temos:

x 2 x = 3 + 2 x = 1 x = 1 5 S = 1,. 33- Resolver a equao

5 < x 2 < 5 5 + 2 < x < 5 + 2 3 < x < 7Logo:

Fazendo

x + 2 x 15 = 0. y.

2

S = {x IR 3 < x < 1 ou 3 < x < 7}

Para resolver esse tipo de equao, usaremos um artifcio de clculo: uma varivel auxiliar, como, por exemplo,Assim, fazemos2

x = y, com y 0, e teremos:

1. (F.C. Chagas-BA) O maior valor assumido pela funo

y + 2 y 15 = 0

y = 2 x2 y = 3 e y = 5a)b) c)

= 64Mas

1 23

d) e)

4

y = 5 no serve, pois devemos ter y 0

Da temos:

x = y x = 3 x = 3 ou

2. (PUC-SP) A equao

2 x 1 = 5 admite:

9. (FGV-SP) O domnio da funo

f (x ) =

x + 2 :

a) duas razes positivas. b) duas razes negativas. c) uma raiz positiva e outra negativa. d) somente uma raiz real e positiva. e) somente uma raiz real e negativa. 3.2

a)

x 2

b) d)

x0 x2 f , definida por

c) o campo real

e) nenhuma das anteriores 10. (UFOP-MG) O domnio da funo real

(UCS-RS)

O

conjunto

soluo

da

equao

f (x ) =que: a)c) e)

1 2x 5 3

, o conjunto dos nmeros reais tais

x + 3 x 4 = 0 :a)

{1}

b)

{ 1,.1}

c)

{4}

d)

{1,.4}

e)

{ 1,.1,.4}

x < 1 ou x > 4 x 1 e x 4 1 x 4

b) 1 < d)

x (g f )(x ), podemos afirmar que:a) nenhum valor de b) se

Z b) Q c) IR Q

d)

Q e) Z +

x real soluo.

x < 3, ento x soluo. x> 7 , ento x soluo. 2

6. (UECE) Sejam

Z o conjunto dos nmeros inteiros,

S = x Z ;.x 3 x + 2 = 0 e T = {x Z ;. x 1 < 3} .2

{

}

c) se d) se e) se

O nmeros de elementos do conjunto a)

T S :

x > 4, ento x soluo. 3 < x < 4, ento x soluo.

1

b)

2

c)

3

d)

4

7. (Mack-SP) O conjunto soluo de

1< x 3 < 4 o

conjunto dos nmerosa) b) c) d) e)

x tais que:

4 < x < 7 ou 1 < x < 2

1 < x < 7 ou 3 < x < 1 1 < x < 7 ou 2 < x < 40< x