Mecânica dos Materiais

Deformação de Vigasem flexão

Tradução e adaptação: Victor Franco

Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.

Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.

Deformação de uma viga sujeita a forças transversais

9 -

x

• A relação entre o momento flector e a curvatura, para flexão pura, mantém-se válida para o caso de uma viga em flexão sujeita a forças transversais:

1 M ( x )

EI

• Para a viga encastrada sujeita a uma força concentrada na extremidade, temos:

1 Px EI

• A curvatura varia linearmente com x :

1• Na extremidade A, 0,

ρAρA

• No apoio B,

1 0,

Deformação de uma viga sujeita a forças transversais

9 -

BB

EIPL

Deformação de uma viga sujeita a forças transversais

9 -

• A curvatura é zero nos pontos em que o momento flector é zero, i.e., nas extremidades e no ponto E.

1 M ( x )

EI

• A deformação da viga é côncava para cima onde o momento flector é positivo e côncava para baixo onde o momento flector é negativo.

• A curvatura máxima ocorre onde o valor do momento flector é máximo.

• A equação da deformação da viga – equação da linha da elástica – é necessária para determinar a deformação máxima (flecha máxima) e a rotação.

Equação da Linha

9 -

• A seguinte relação é válida (demonstrável através da Análise Matemática):

d 2 y

1

dx2

3 2 dy

2

d 2

y

dx2

M EI

1

dx

• Substituíndo e integrando:

Equação da curvatura:

d 2 yEI

dx2M x

xdy

Equação das rotações: EI EIdx

x x

Equação da Linha

9 -

∫ M xdx C1

0

Equação da linha elástica:EI y ∫ dx ∫ M xdx C1x C2

0 0

Equação da linha elástica

9 -

• As constantes são determinadas a partir das condições de fronteira.

x x

EI y ∫ dx∫ M xdx C1x C20 0

• Três casos para vigas estaticamente determinadas:

– Viga simplesmente apoiadayA 0, yB 0

– Viga em balançoyA 0, yB 0

– Viga encastrada

yA 0, A 0

9 -

Determinação da equação da linha elástica a partir da força distribuída

• Para uma viga sujeita a uma força distribuída,2dM

V xdx

d M

dx2 dVdx

wx

• A equação para a deformação será

M ( x) EI d 2

y

dx2

d 2

M⇒

dx2

EI d 4

y

dx4

wx

• Integrando 4 vezes, obtém-se,

EI yx ∫ ∫ ∫ ∫ wxdx dx dx dx 1 C x3 1 C x2

Cx C

6 1 2 2 3 4

9 -

• As constantes são calculadas a partir das condições de fronteira.

9 -

Vigas estaticamente indeterminadas

• Considere-se a viga encastrada em A e com um apoio móvel em B.

• Condições de equilibrio estático:

∑ Fx 0 ∑ Fy 0 ∑ M A 0

A viga é estaticamente indeterminada.

• Temos também a equação da deformada,x x

EI y ∫ dx∫ M xdx C1x C20 0

que introduz duas incógnitas adicionais, mas que fornece três equações adicionais a partir das condições de fronteira:

x 0 : 0 y 0 x L : y 0

Exemplo

9 -

Para a parcela AB da viga, calcular

(a) A equação da linha elástica,

(b) Deformada máxima.

Resolução:

• Escrever uma expressão para M(x) e para a equação diferencial da linha elástica.

• Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as condições de fronteira para obter a equação da deformada.

• Localizar o ponto com tangente nula ou ponto da deformada máxima. Calcular a deformada máxima.

Exemplo

9 -

• Expressão para M(x) e equação diferencial da linha elástica.

- Reacções:

RA Pa LRB P

1

a L

- Diagrama de corpo livre para secção AD,

M P a

xL

0 x L

- Equação diferencial da linha elástica,

d 2 yEI

dx2 M (x) ⇒ EI d 2

y

dx2

Exemplo

9 -

P a

xL

9 -

2EI d y P a

Exemplo

y PaL2 x x 3 6EI L

L

• Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as condições de fronteira para obter a equação da deformada:

EI dy

1a 2 P x C1

dx 2 L1 a 3

EI y P x6 L

C1x C2

xdx2 L em x 0, y 0 : C2 0

em x L, y 0 : 0 1

P a

L3 C L

C 1

PaL

6 L1 1

6

Substituíndo,

dy 1 a 1 dy PaL x 2

EI P x2 PaL ⇒ 1 3 dx 2 L 6

1 a 3 1dx 6EI L

EI y P x 6 L

9 -

Exemplo PaLx ⇒

6

3 2

m

Exemplo

9 -

3

ymax 0.0642PaL26EI

• Localizar o ponto de deformada máxima.

PaL2 xy x

dy PaL xm L 0 1 3 ⇒ x 0.577L

6EI L L

dx 6EI L

• Deformada máxima.

PaL2 3 ymax

6EI0.577 0.577

Exemplo

9 -

Para a viga representada na figura, determinar a reacção em A, obter a equação da linha elástica e determinar a rotação em A.

(Notar que a viga é estaticamente indeterminada de primeiro grau)

2 L

Exemplo

9 -

• Análise de momentos numa secção D:

∑M D 0 2 R x 1 w0 x x

M 0A

3

M RAx w0 x6L

• Equação da linha elástica:

d 2 yEI M

dx2 RAx w0

x3

6L

3

A

Exemplo

9 -

• Integrando duas vezes:4

EI dydx

EI 1

RA2 x2 w0 x

24L5

C1

EI y 1

R

6Ax3 w0 x

120LC

1xC2

d 2 yEI M RAx

w0 x • Aplicar as condições de fronteira:

dx2 6L em x 0, y 0 : C2 03

em x L, 0 :1 2

2 RAL

w0 L24

4

C1 0

em x L, y 0 : 1 R L3 6

w0 L120

C1L C2 0

• Resolver em ordem à reacção em A

3

Exemplo

9 -

RA 110

w0L 1

RAL3 1

w0L4 03 30

Exemplo

9 -

y w0

120EILx5 2L2 x3 L4 x

A120EI

w0L3

• Substituir C1, C2, e RA na equação da linha elástica:

1 1 3 0

5 1 3 EI y w0L x w x

w0L x

6 10 120L 120

• Diferenciar para calculo das rotações:

dydx w0

120EIL 5x4 6L2 x2 L4

em x = 0,

Deformadas e rotações de vigas bi-

9 -

Deformadas e rotações de vigas bi- cont

9 -

Deformadas e rotações de vigas

9 -

Deformadas e rotações de vigas cont

9 -

Método da

9 -

Principio da Sobreposição:

• As deformações de vigas sujeitas a combinações de forças, podem ser obtidas como a combinação linear das deformações causadas pelas forças individuais.

Exemplo

9 -

Para a viga sujeita aos carregamentos representados, determine a rotação e a deformada no ponto B.

Sobrepondo as deformadas provocadas pelos “Loading I” e “Loading II”como ilustrado, temos:.

Exemplo

9 -

Loading I

B I wL3

6EI

yB

I

wL4

8EI

Loading II3 4

C II wL 48EI

yC II wL 128EI

No segmento de viga CB, o momento flector é zero e a linha elástica é uma recta:

3

B II C II

4

wL 48EI

3 4y

wL wL

L

7 wL B II 128EI 48EI 2 384EI

B 48EI

7wL3

Exemplo

9 -

yB 384EI

41wL4

Combinando as duas soluções:

3 3

wL wL

B B I B II 6EI 48EI

4 4y

y

Exemplo

9 -

y wL 7 wL

B B I B II 8EI 384EI

9 -

9 -

9 - 26

9 - 27

9 -

9 -

9 -

Aplicação do método da Sobreposição a vigas estaticamente indeterminadas

O método da sobreposição pode ser aplicado para determinar as reacções nos apoios de vigas estaticamente indeterminadas:

1. Escolher uma das reacções como redundante e eliminar (ou modificar) o apoio correspondente.

2. Determinar a deformada da viga sem o apoio redundante.

3. Tratar a força de reacção redundante como uma incógnita que, em conjunto com as outras forças deve originar deformações compatíveis com o apoio original.

Exemplo

9 -

Para a viga e carregamento representado na figura, determinar a reacção em cada apoio e a rotação na extremidade A.

• Libertar a reacção “redundante” em B, e calcular as deformações.

• Aplicar a reacção em B, de tal forma que esta força vai “obrigar” uma deformada zero no ponto B.

Exemplo

9 -

RB 0.688wL

• Deformada em B devido à força distribuida:

4

3

y w

2

L 2L 2

L L3 2

L B w 24EI 3 3 3

0.01132 wL4

EI

• Deformada em B devida à força redundante:

2

2 3

y RB

2 L L 0.01646 RBL

B R 3EIL 3 3 EI

• Para compatibilidade com o apoio B, yB = 04 3

0 y y 0.01132 wL

0.01646 RBL

B w B R EI EI

• Para equilibrio estático,

Exemplo

9 -

RA 0.271wL RC 0.0413wL

Exemplo

9 -

wL3A 0.00769 EI

Rotação na extremidade A:

A

w

w L 3

24EI

wL3

0.04167EI

2 3

0.0688wL L 2 L L 0.03398 wL

A R 6EIL 3 3 EI3 3

0.04167 wL

0.03398 wL

A A w A R EI EI