06 Flexao Assimetrica

SET 0184 – Mecânica dos Sólidos II 82

Capítulo 6 – Carregamentos Axiais Excêntricos e Flexão Assimétrica_______________

6. – Carregamentos Axiais Excêntricos e Flexão Assimétrica

6.1 –Introdução

Durante o curso Mecânica dos Sólidos I foram estudados problemas envolvendo

a avaliação das tensões normais em barras gerais submetidas a esforços de flexão. Casos

onde as barras consideradas eram solicitadas por dois momentos fletores e por um

esforço axial (compressivo ou trativo) foram estudados, sendo apresentada uma relação

envolvendo a distribuição das tensões normais e estes esforços solicitantes.

Até o presente momento, estes problemas foram tratados assumindo-se duas

hipóteses. A primeira delas diz respeito à posição de aplicação da carga axial, a qual

deveria ser posicionada no centro de gravidade da seção. A segunda hipótese refere-se à

geometria da seção transversal, a qual deveria obrigatoriamente possuir pelo menos um

eixo de simetria.

Para possibilitar a análise de problemas mais gerais envolvendo tensões normais

geradas por esforços de flexão, serão apresentadas, na sequência dessas notas, as

hipóteses e as formulações necessárias para a determinação das tensões normais em

problemas onde as hipóteses citadas no parágrafo anterior não são atendidas. Dessa

forma, serão estudados problemas onde a força axial não será aplicada no centro de

gravidade da seção e também problemas onde as seções transversais consideradas sejam

assimétricas.

6.2 –Carregamento Axial Excêntrico

A linearidade das distribuições das deformações longitudinais e tensões normais

nos pontos que compõem uma dada seção transversal de um elemento de barra geral de



eixo reto, nos casos de carregamento axial e flexão em regime de pequenos

deslocamentos, permite a aplicação do princípio da superposição dos efeitos. Por meio

desse princípio, pode-se determinar a tensão normal total atuante sobrepondo-se as

tensões normais geradas, isoladamente, pelos esforços normais e de flexão.

Considerando o caso em que atuam em uma dada seção transversal um esforço normal

de tração, atuante no centro de gravidade da seção, e um momento fletor zM , conforme

apresentado na Fig. (6.1), o princípio da sobreposição dos efeitos pode ser aplicado,

sendo, a tensão final, obtida adicionando-se as tensões normais geradas pelo esforço

normal e pelo momento zM .

Figura 6.1 Princípio da superposição dos efeitos aplicado ao problema da flexão.

O valor da tensão normal, para o problema mostrado na Fig. (6.1), pode ser

determinado por meio da seguinte relação.

z

z

MNy

A I

(6.1)

No entanto, em diversas aplicações de engenharia elementos de barra geral

estarão submetidos a carregamentos axiais que estão posicionados de forma excêntrica

em relação ao centro de gravidade da seção. Em muitas manufaturas e elementos

mecânicos os carregamentos são transmitidos dessa maneira.

Assumindo-se que a seção transversal considerada possua pelo menos um eixo

de simetria, os efeitos gerados pela carga axial excêntrica poderão ser analisados

transportando-se a carga axial para o centro de gravidade da seção. Como consequência

dessa translação, surgirão momentos fletores que poderão ser calculados com base nas

excentricidades da carga aplicada. As excentricidades nada mais são que as distâncias,



nas direções dos eixos coordenados, entre o ponto de aplicação da carga e o centro de

gravidade da seção. Para ilustrar a determinação desses momentos, considere as

ilustrações apresentadas na Fig. (6.2).

Figura 6.2 Transformação da carga excêntrica em um carregamento equivalente.

Na seção transversal mostrada na Fig. (6.2), uma carga axial P é aplicada de

forma excêntrica em relação ao seu centro de gravidade. A translação da carga P para o

centro de gravidade da seção introduz no corpo a ação de dois momentos fletores yM e

zM . Os momentos fletores decorrentes da translação podem ser calculados por:

z yM Pe

y zM Pe

(6.2)

A carga P é considerada negativa se atuar em compressão e as excentricidades

ye e ze são calculadas levando-se em consideração o sinal dos eixos coordenados do

sistema de referência mostrado na Fig. (6.2).

Para o caso geral de atuação de cargas axiais excêntricas, P, as tensões normais

podem ser calculadas por meio da seguinte relação:

y z

z y

Pe PePy z

A I I

(6.3)

6.2.1 – Exemplo 1

Determine as tensões normais atuantes nos pontos A, B C e D da seção

transversal mostrada na Fig. (6.3). Em seguida escreva a equação da linha neutra

sabendo que 10P kN . As dimensões mostradas na Fig. (6.3) são apresentadas em

mm.



Figura 6.3 Seção transversal em análise. Dimensões em mm.

Como a seção transversal considerada é duplamente simétrica, constata-se

facilmente que seu centro de gravidade encontra-se localizado na intersecção dos eixos

de simetria. Assim tem-se:

110ye mm

50ze mm

Assim, os momentos introduzidos pela presença da carga excêntrica podem ser

calculados como:

310 110 10 1,10z y z zM Pe M M kN m

310 50 10 0,50y z y yM Pe M M kN m

Portanto, o carregamento equivalente a ser analisado é o apresentado na Fig.

(6.4).

Figura 6.4 Carregamento equivalente ao da carga excêntrica.



Para a determinação das tensões normais atuantes na seção transversal, geradas

pelos esforços solicitantes mostrados na Fig. (6.4), devem ser calculadas as

propriedades geométricas da seção. A área e os momentos de inércia em relação aos

eixos y e z são calculados como:

2 3 2100 10 200 5 100 10 3000 3,0 10A A mm A m

3 32 4

5 4

100 10 5 200100 10 105 2 25400000

12 12

2,54 10

z z

z

I I mm

I m

3 3

4 6 410 100 200 52 1668750 1,66875 10

12 12y y yI I mm I m

Utilizando a fórmula geral da flexão para o caso de carregamentos excêntricos,

Eq.(6.3), verifica-se que as tensões normais em todos os pontos da seção poderão ser

calculadas por meio da equação abaixo:

3 5 6

10 1,10 0,50

3,0 10 2,54 10 1,66875 10y z

Assim, para o ponto A tem-se:

3 33 5 6

10 1,10 0,50110 10 50 10 13550,8

3,0 10 2,54 10 1,66875 10A A kPa

Já para o ponto B, a tensão normal é dada por:

3 33 5 6

10 1,10 0,50100 10 50 10 15978,6

3,0 10 2,54 10 1,66875 10B B kPa

No ponto C a tensão normal é igual a:

3 33 5 6

10 1,10 0,50100 10 50 10 22645,3

3,0 10 2,54 10 1,66875 10C C kPa

Finalmente, a tensão normal no ponto D é dada por:

3 33 5 6

10 1,10 0,50110 10 50 10 6884, 2

3,0 10 2,54 10 1, 66875 10D D kPa

Constata-se que a tensão normal atuante nos pontos A e B possuem sinais

opostos. Dessa forma, espera-se que a linha neutra passe pela fibra superior da seção. A

equação da linha neutra é dada por:

3 5 6

5 5

3 6

10 1,10 0,500

3,0 10 2,54 10 1,66875 10

10 2,54 10 0,50 2,54 100,0769 6,9186

3,0 10 1,10 1,66875 10 1,10

y z

y z y z



Quando a equação anterior é avaliada nas coordenadas y iguais a 110 mm e -110

mm, ou seja, nos extremos da seção obtém-se:

3 3 3110 10 110 10 0,0769 6,9186 4,784 10y z z m

3 3 3110 10 110 10 0,0769 6,9186 27,014 10y z z m

Portanto, devido à presença da carga axial, verifica-s que a linha neutra não

passa pelo centro de gravidade da seção. A posição da linha neutra na seção transversal

é a indicada na Fig. (6.5).

Figura 6.5 Posição da linha neutra.

6.2.2 – Exemplo 2

Determine os momentos equivalentes devido à carga axial excêntrica aplicada na

seção transversal mostrada na Fig. (6.6). Além disso, sabendo que 80P kN ,

determine a equação da linha neutra. As dimensões mostradas na Fig. (6.6) estão em

mm.

Como a seção transversal considerada apresenta apenas um eixo de simetria,

eixo y, deve-se determinar a posição do centro de gravidade em relação a este eixo.

Assim:

10 110 105 10 100 5078,81

10 110 10 100cg cgy y mm



Figura 6.6 Seção transversal em análise. Dimensões em mm.

As propriedades geométricas da seção transversal podem ser calculadas como:

2 3 2110 10 100 10 2100 2,1 10A A mm A m

3 3

2 2

4 6 4

10 100 110 1010 100 50 78,81 110 10 105 78,81

12 12

2427023 2, 427023 10

z

z z

I

I mm I m

3 3

4 6 4100 10 10 1101117500 1,1175 10

12 12y y yI I mm I m

Devido à posição do centro de gravidade da seção, as excentricidades do ponto

de aplicação da carga são iguais a:

100 78,81 21,19y ye e mm

55ze mm

Assim, os momentos introduzidos pela presença da carga excêntrica podem ser

calculados como:

380 21,19 10 1,6952z y z zM Pe M M kN m

380 55 10 4, 40y z y yM Pe M M kN m

A expressão da linha neutra pode ser facilmente escrita com base na equação

geral da flexão para o caso onde cargas axiais excêntricas atuam, Eq.(6.3). Assim:

3 6 6

6 6

3 6

80 1,6952 4, 400

2,1 10 2, 427023 10 1,1175 10

80 2, 427023 10 4, 40 2, 427023 10

2,1 10 1,6952 1,1175 10 1,6952

0,05454 5,6371

y z

y z

y z



6.3 –Núcleo de Ataque em Barras Curtas Comprimidas

Quando um elemento de barra geral está solicitado por um momento fletor sabe-

se que no plano da seção transversal serão desenvolvidas tensões normais que variam

linearmente ao longo do domínio da seção. Assim, parte da seção transversal estará

tracionada e a parte complementar comprimida. Quando uma força axial excêntrica é

aplicada na seção transversal da barra, a translação desta força até o centro de gravidade

da seção gera a presença de momento(s) fletor(es). Nessa situação, a distribuição das

tensões normais no domínio da seção permanece linear, porém não simétrica em relação

ao centro de gravidade da seção.

Em muitas aplicações de engenharia, é de interesse do projetista que as tensões

normais atuantes na seção transversal de barras solicitadas por cargas excêntricas

apresentem um só sentido, ou seja, as tensões devem ser apenas trativas ou

compressivas. O conjunto de pontos possíveis onde a carga axial excêntrica pode ser

aplicada de forma a gerar tensões que não mudam de sentido é conhecido como núcleo

de ataque.

Para seções transversais comumente utilizadas em estruturas, o núcleo de ataque

pode ser facilmente determinado. Considere, por exemplo, uma seção retangular, de

base b e altura h, mostrada na Fig. (6.7), submetida à ação de uma força axial excêntrica

de intensidade P. Nessa situação, as tensões normais produzidas por P podem ser

calculadas por meio da Eq.(6.3). Sabendo que as inércias em relação aos eixos y e z são

iguais a:

3

12z

b hI

3

12y

h bI

Figura 6.7 Seção transversal retangular.

Pode-se reescrever a Eq.(6.3) como:



3 3 3 3

12 12

12 12

y yz zPe PePe PeP P

y z y zb h h bA A b h h b

(6.4)

Para que a tensão normal não mude seu sinal no domínio da seção transversal, a

tensão normal deve ser nula em um dos extremos da seção. Assumindo que a carga

excêntrica esteja contida no eixo y, como mostrado na Fig. (6.8), pode-se determinar a

excentricidade limite ye a partir da Eq.(6.4). Nessa situação, a fibra superior, maior y

positivo, deverá apresentar tensão normal nula. Assim:

Figura 6.8 Carga excêntrica atuante no eixo y.

3 3 3

12 1212 00

2 6y y

y

P e P eP P P h hy z e

A b h h b A b h

(6.5)

Assumindo agora que a carga excêntrica esteja posicionada ao longo do eixo z,

como mostrado na Fig. (6.9), a excentricidade limite ze pode ser determinada por meio

da Eq.(6.4) sabendo que a tensão normal deve ser nula nas fibras posicionadas ao longo

da maior ordenada z. Portanto:

Figura 6.9 Carga excêntrica atuante no eixo z.

3 3 3

12 1212 00

2 6z z

z

P e P eP P P b by z e

A b h h b A h b

(6.6)

Com base nos resultados apresentados nas Eq.(6.5) e Eq.(6.6), pode-se

intuitivamente perceber que quando a carga excêntrica está contida nos eixos

coordenados e, além disso, esta apresenta excentricidades y e z positivas, ao contrário

do efetuado anteriormente, as excentricidades limites ao longo dos eixos y e z são as

mesmas apresentadas nas Eq.(6.5) e Eq.(6.6), respectivamente. Assim, quando a carga



excêntrica encontra-se posicionada ao longo dos eixos coordenados, as excentricidades

limites são as ilustradas na Fig. (6.10).

Figura 6.10 Pontos do núcleo de ataque ao longo dos eixos coordenados.

Para a determinação do contorno do núcleo de ataque entre os pontos limites

ilustrados na Fig. (6.10), deve-se considerar o caso em que a carga excêntrica encontra-

se localizada fora dos eixos coordenados. Esse caso é ilustrado na Fig.(6.11) onde a

carga excêntrica atuante é compressiva. As tensões normais, para a solicitação

apresentada na Fig. (6.11), são dadas por:

Figura 6.11 Determinação do contorno do núcleo de ataque.

3 3

12 12y zP e P eP

y zb h b h h b

(6.7)

Como a carga excêntrica atuante é compressiva, toda a seção transversal deve

estar comprimida. Assim, para que a tensão atuante não mude seu sinal, ou seja, passe

de compressão a tração em qualquer ponto da seção, a tensão normal na região mais

tracionada, no caso apresentado na Fig. (6.11) o ponto formado pelas coordenadas

, ,2 2

h by z

, deve ser nula. Portanto:

3 3

12 612 6 60 1 1

2 2 6y yz z z

y

Pe ePe e eP h b he

b h b h h b h b b

(6.8)

Como mostrado na Eq.(6.8), verifica-se que ye varia linearmente com ze . Dessa

forma, para os casos de seções transversais retangulares o núcleo de ataque fica

delimitado pela região hachurada mostrada na Fig. (6.12).



Figura 6.12 Núcleo de ataque para seções retangulares.

De forma semelhante, pode-se também definir o núcleo de ataque de seções

transversais circulares. Sabendo que nessas seções o momento de inércia é igual a

4

64

dI

e a área igual a

2

4

dA

, a excentricidade limite que delimita o núcleo de

ataque é dada por 8

de , sendo d o diâmetro da seção.

6.4 –Flexão em Barras de Seção Assimétricas

Durante o curso Mecânica dos Sólidos I foram estudados problemas

relacionados à determinação das tensões normais atuantes em elementos de barra geral,

submetidos a esforços de flexão, cujas seções transversais apresentavam pelo menos um

eixo de simetria. Naquela oportunidade foi demonstrado que as deformações normais

variavam linearmente ao longo da altura da seção. Como consequência, assumindo a

validade da lei de Hooke, as tensões normais variavam também linearmente ao longo da

altura da seção, como ilustrado na Fig. (6.13).

Figura 6.13 Tensões e deformações atuantes em problemas de flexão.

As variações das deformações e tensões normais ao longo da altura da seção

podem ser expressas em função das tensões e deformações máximas atuantes. Assim:

MAX MAX

y y

c c

(6.9)



Com base na consideração do equilíbrio do elemento, é possível relacionar a

tensão normal atuante ao momento aplicado. Das condições de equilíbrio tem-se,

inicialmente, que a somatória das forças em relação ao eixo da barra deve ser nula.

Assim, assumindo por simplicidade que a barra possua seção transversal retangular,

como apresentado na Fig.(6.14), tem-se:

0 0 0 0MAX

x

A A A

F dF dA ydAc

(6.10)

Figura 6.14 Tensões e deformações atuantes em problemas de flexão.

A Eq.(6.10) é atendida uma vez que a integral mostrada representa o momento

estático da seção, o qual é nulo em relação ao centro de gravidade da seção. Para que as

condições de equilíbrio sejam atendidas, deve-se também verificar se a somatória dos

momentos fletores é nula em relação aos eixos z e y. Assim:

20 0 MAXz z z z

A A A

M ydF M M ydA M y dAc

(6.11)

Sabe-se que a integral 2

A

y dA representa o momento de inércia da seção em

relação ao eixo z. Portanto, a Eq.(6.11) pode ser reescrita como:

MAXz zM I

c

(6.12)

As Eq.(6.10), Eq.(6.11) e Eq.(6.12) foram apresentadas e aplicadas aos

problemas discutidos no curso Mecânica dos Sólidos I. Porém, naquela oportunidade

não foi verificado se a somatória dos momentos em relação ao eixo y era atendida. O

equilíbrio dos momentos em relação ao eixo y pode ser efetuado como:

0 0 MAXy y y y

A A A

M zdF M M zdA M yzdAc

(6.13)

A integral A

yzdA apresentada na Eq.(6.13) é denominada produto de inércia da

área, sendo uma propriedade geométrica da área assim como o são o momento de

inércia e o momento estático. O produto de inércia apresenta valor nulo quando a área



considerada possui pelo menos um eixo de simetria. Dessa forma, para os problemas

estudados no curso Mecânica dos Sólidos I, esta integral era nula e consequentemente a

somatória dos momentos em torno do eixo y era atendida.

No entanto, o produto de inércia não é nulo em seções transversais assimétricas.

Dessa forma, para o estudo de problemas envolvendo a avaliação das tensões normais

em barras de seções transversais assimétricas submetidas à flexão deve-se considerar o

termo dependente do produto de inércia. Esse estudo será apresentado neste capítulo.

Porém, antes de mostrar a formulação e as hipóteses assumidas para este problema

deve-se estudar um pouco mais sobre a determinação das propriedades geométricas das

seções, em especial o cálculo do produto de inércia.

6.3.1 – Propriedades Geométricas das Seções. Produto de Inércia

Conforme apresentado na Eq.(6.13), se a seção transversal for formada pelos

eixos yz, o produto de inércia é definido por:

yz

A

I yzdA

(6.14)

Quando o produto de inércia é calculado para uma área que possua pelo menos

um eixo de simetria seu valor torna-se nulo. Porém, quando o produto de inércia é

avaliado em relação a um eixo que não seja o que contém o centro de gravidade da área

considerada, pode-se utilizar o teorema dos eixos paralelos. Por meio desse teorema,

obtém-se que o produto de inércia em relação a eixos distantes dy e dz do centro de

gravidade da área considerada é dado por:

yz yz

A A A A A

I y dy z dz dA I yzdA dy zdA dz ydA dydz dA

(6.15)

O primeiro termo apresentado na Eq.(6.15) refere-se ao produto de inércia da

área em relação ao seu próprio centro de gravidade. Os dois termos seguintes

representam o momento estático da área, em relação aos eixos y e z respectivamente.

Estes termos serão nulos uma vez que são avaliados em relação ao centro de gravidade

da área considerada. Finalmente, o último termo da Eq.(6.15) resulta no produto das

distâncias, do eixo considerado ao centro de gravidade da área, pela área da seção. De

uma forma mais compacta, a Eq.(6.15) pode ser reescrita como:

____

yz yzI I dydzA

(6.16)



sendo que o termo ____

yzI representa o produto de inércia da área em relação ao seu

próprio centro de gravidade.

6.3.2 –Exemplo 3

Determine o produto de inércia da área mostrada na Fig. (6.15), cujas dimensões

estão apresentadas em mm.

Figura 6.15 Área considerada. Dimensões em mm.

O primeiro passo para a solução deste exemplo é a determinação do centro de

gravidade da seção. Assim:

300 100 550 100 600 350 300 100 150350

300 100 100 600 300 100cg cgy y mm

300 100 550 100 600 300 300 100 50300

300 100 100 600 300 100cg cgz z mm

A área considerada foi subdividida em três subáreas denominadas A, B e C,

conforme indicado na Fig. (6.15). Assim, o produto de inércia da área total será igual a

somatória do produto de inércia de cada uma das áreas isolada. Assim:

9 4300 100 200 250 1,50 10A Ayz yzI I mm

4100 600 0 0 0B B

yz yzI I mm



9 4300 100 200 250 1,50 10C Cyz yzI I mm

Assim:

9 9 9 41,50 10 0 1,50 10 3, 0 10A B Cyz yz yz yz yz yzI I I I I I mm

6.3.3 –Inércias Principais

Em diversas aplicações de engenharia, os projetistas desejam efetuar a

determinação dos valores dos momentos de inércia e do produto de inércia em relação a

eixos coordenados rotacionados em relação a um sistema de referência previamente

definido. Nessa situação, as propriedades geométricas da área são definidas em relação

ao sistema de referência yz, por exemplo, sendo necessário o conhecimento dessas

propriedades em relação a um sistema rotacionado y’z’, conforme apresentado na Fig.

(6.16).

Os pontos definidos no sistema rotacionado y’z’ podem ser escritos em função

de suas coordenadas no sistema yz. Por meio das funções trigonométricas básicas e da

Fig. (6.16), pode-se escrever que:

' cos cos'

' cos cos'

y y zsen seny y

z ysen z senz z

(6.17)

Figura 6.16 Coordenadas dadas em sistemas rotacionados.

Assim, as propriedades geométricas da área, em especial os momentos de inércia

e o produto de inércia em relação aos eixos y’ e z’, podem ser obtidas avaliando estas



grandezas utilizando as coordenadas y’ z’ mostradas na Eq.(6.17). Dessa forma,

sabendo que:

2 2' ' '' ' ' 'y z yz

A A A

I z dA I y dA I y z dA

(6.18)

Os momentos de inércia e o produto de inércia, referenciados ao sistema

rotacionado y’z’, podem ser escritos como:

'

'

'

cos 2 22 2

cos 2 22 2

2 cos 22

y z y zy yz

y z y zz yz

y zyz yz

I I I II I sen

I I I II I sen

I II sen I

(6.19)

As expressões mostradas na Eq.(6.19) relacionam os momentos de inércia e o

produto de inércia, definidos em relação ao sistema y’z’, com estas propriedades de área

calculadas em relação a um sistema de coordenadas previamente definido, yz. Deve-se

notar que estas expressões dependem do ângulo de inclinação entre os eixos y e y’, o

qual é positivo se medido no sentido anti-horário. Devido ao caráter periódico das

funções trigonométricas envolvidas, cosseno e seno, é intuitivo perceber que haverão

ângulos nos quais os valores das propriedades geométricas da área serão extremos, ou

seja, máximo ou mínimo. Para a determinação desses ângulos, devem ser empregados

os conhecimentos do cálculo diferencial o qual prevê que a função apresentará valores

extremos quando sua derivada for nula. Assim, os eixos em relação aos quais os

momentos de inércia apresentarão valores extremos podem ser obtidos como:

' 2

2 2 2 cos 2 0 tan 22

y y z yzyz

y z

dI I I Isen I

d I I

(6.20)

A Eq.(6.20) fornece dois ângulos 1 e 2 , os quais são defasados de 90º, que

definem os eixos em relação aos quais os momentos de inércia apresentam seus valores

extremos. Os valores dos momentos de inércia em relação aos eixos dados pela

Eq.(6.20) podem ser facilmente determinados substituindo seus ângulos na primeira das

expressões apresentadas na Eq.(6.19). Efetuando este procedimento obtém-se:

2

2/ 2 2 yz

y z y zMAX MIN

I I I II I

(6.21)



As inércias extremas definidas na Eq.(6.21) são denominadas momentos

principais de inércia e os eixos onde estas atuam eixos principais de inércia. Os eixos

principais de inércia apresentam uma característica importante e que deve ser

enfatizada. Em relação a estes eixos, ou seja, nos eixos em relação aos quais as inércias

são máxima ou mínima, o produto de inércia é nulo. Essa conclusão, que será omitida

aqui por simplicidade, pode ser facilmente obtida substituindo-se os ângulos

determinados na Eq.(6.20) na expressão que relaciona o produto de inércia a eixos

quaisquer, terceira equação mostrada na Eq.(6.19).

Quando uma dada área apresenta dois eixos de simetria, os eixos principais de

inércia são os próprios eixos de simetria. Quando uma seção apresenta apenas um eixo

de simetria, um eixo principal de inércia encontra-se sobre o eixo de simetria enquanto

o outro eixo encontra-se localizado perpendicularmente ao eixo de simetria. Quando a

seção é assimétrica, os eixos principais são determinados por meio da Eq.(6.20).

6.3.4 –Exemplo 4

Determine os momentos principais de inércia e a inclinação dos eixos principais

da seção transversal mostrada na Fig. (6.17), cujas dimensões estão apresentadas em

mm.




Conforme calculado no exemplo 3, tem-se que:

350cgy mm 300cgz mm

9 43,0 10yzI mm

Assim, para a determinação dos momentos principais de inércia e das

inclinações dos eixos principais, devem ser determinados os momentos de inércia em

relação ao sistema yz. Portanto:

3 3 3

2 2

9 4 3 4

100 300 600 100 100 300100 300 550 350 100 300 150 350

12 12 12

2,90 10 2,90 10

z

z z

I

I mm I m

3 3 3

2 2

9 4 3 4

300 100 100 600 300 100100 300 550 300 100 300 50 300

12 12 12

5,60 10 5,60 10

y

y y

I

I mm I m

Assim, as inércias principais são calculadas com base na Eq.(6.21). Dessa forma:

2

2/

23 3 3 323

/

3 3/

3 4 4 4

2 2

5, 60 10 2,90 10 5, 60 10 2,90 103, 0 10

2 2

4, 25 10 3, 290 10

7,54 10 9, 60 10

yz

y z y zMAX MIN

MAX MIN

MAX MIN

MAX MIN

I I I II I

I

I

I m I m

As inclinações dos eixos principais são obtidas por meio da Eq.(6.20). Assim:

3

3 3

1 2 1 2 2

2 2 3, 0 10tan 2 tan 2 tan 2 2, 22222

5, 60 10 2,90 10

32,886º 90º 32,886º 90º 57,114º

yz

y z

p p p p p

I

I I

Para determinar em qual das inclinações atuam cada uma das inércias principais

determinadas, deve-se substituir os ângulos calculados acima na primeira das

expressões apresentadas na Eq.(6.19). Assim:

3 3 3 3'

3 ' 3 4

5, 60 10 2,90 10 5, 60 10 2,90 10cos 2 32,886

2 2

3 10 2 32,886 7,54 10

y

y

I

sen I m

Dessa forma, em torno do eixo rotacionado de -32,886º atua a maior das inércias

principais calculadas. Consequentemente, em torno do eixo rotacionado de 57,114º



atuará a maior inércia principal. Conforme mostrado na Fig. (6.18), em torno do eixo

IMAX encontra-se a maior porção de área afastada do centro de gravidade, enquanto em

torno to eixo IMIN, por outro lado, maior porção de área encontra-se próxima ao centro

de gravidade.

Figura 6.18 Orientação dos eixos principais.

6.3.5 –Exemplo 5

Determine os momentos principais de inércia e a inclinação dos eixos principais

da seção transversal mostrada na Fig. (6.19), cujas dimensões estão apresentadas em

mm.

Para resolver este exemplo deve-se, inicialmente, determinar as coordenadas do

centro de gravidade da seção. Assim:

200 10 100 10 90 570,517

200 10 10 90cg cgy y mm

200 10 5 10 90 5520,517

200 10 10 90cg cgz z mm

Com base nas coordenadas do centro de gravidade da seção podem ser

determinados os valores dos momentos de inércia em relação aos eixos y e z. Dessa

forma:



3 3

2 2

7 4 5 4

10 200 90 10200 10 100 70,517 90 10 5 70,517

12 12

1, 2276 10 1, 2276 10

z

z z

I

I mm I m

3 3

2 2

6 4 6 4

200 10 10 90200 10 5 20,517 90 10 55 20,517

12 12

2,1759 10 2,1759 10

y

y y

I

I mm I m


Já o produto de inércia é dado por:

6 4 6 4

200 10 100 70,517 20,517 5 90 10 5 70,517 20,517 55

2,9483 10 2,9483 10

yz

yz yz

I

I mm I m

As inércias principais podem ser determinadas utilizando a Eq.(6.21). Assim:

26 5 6 5

26/

6 6/

5 4 6 4

2,1759 10 1, 2276 10 2,1759 10 1, 2276 102,9483 10

2 2

7, 2260 10 5,8477 10

1,3074 10 1,3783 10

MAX MIN

MAX MIN

MAX MIN

I

I

I m I m

As inclinações dos eixos principais são obtidas por meio da Eq.(6.20). Assim:

6

6 5

1 2 1 2 2

2 2 2,9483 10tan 2 tan 2 tan 2 0,583816

2,1759 10 1, 2276 10

15,138º 90º 15,138º 90º 105,138º

yz

y z

p p p p p

I

I I



Para determinar em qual das inclinações atuam cada uma das inércias principais

determinadas, deve-se substituir os ângulos calculados na primeira das expressões

apresentadas na Eq.(6.19). Assim:

6 5 6 5'

6 ' 6 4

2,1759 10 1, 2276 10 2,1759 10 1, 2276 10cos 2 15,138º

2 2

2,9483 10 2 15,138º 1,3783 10

y

y

I

sen I m

Portanto, em torno do eixo inclinado de 15,138 atua a menor inércia principal,

enquanto o eixo inclinado de 105,138 contém a maior inércia principal.

6.3.6 –Tensões Normais na Flexão de Seções Assimétricas

Os problemas envolvendo a determinação das tensões normais na flexão

estudados até o momento assumiam que a seção transversal considerada apresentava

pelo menos um eixo de simetria. Isso simplificava sobremaneira o cálculo, uma vez que

os eixos principais de inércia localizam-se sobre os eixos de simetria da seção.

Para a análise das tensões normais em barras fletidas de seção transversal

assimétrica, a equação geral das tensões na flexão, estudada no curso Mecânica dos

Sólidos I, permanece válida. Porém, esta equação deve ser avaliada considerando os

momentos principais de inércias. Consequentemente, os momentos fletores atuantes

devem ser decompostos segundo os eixos principais de inércia, os quais são

determinados conhecendo-se as inércias em relação a um sistema conhecido.

Dessa forma, as tensões normais na flexão de barras de seção transversal

assimétrica podem ser determinadas por meio da seguinte relação:

''' '

' '

yz

z y

MMNy z

A I I

(6.22)

onde as variáveis que contém ‘ referem-se aos eixos principais de inércia.

Portanto, com os eixos principais de inércia conhecidos e os valores dos

momentos fletores determinados segundo os eixos principais, a análise das tensões

normais na flexão pode ser efetuada utilizando a mesma metodologia aplicada no curso

Mecânica dos Sólidos I.



6.3.7 –Exemplo 6

A seção transversal mostrada na Fig. (6.20) está submetida à ação de um

momento fletor atuante ao longo do sentido positivo do eixo z, cuja intensidade é M0.

Determine o maior valor de M0 de forma que a tensão normal máxima atuante nesta

seção seja igual a 82 MPa.


O primeiro passo para a resolução deste problema é a determinação das

coordenadas do centro de gravidade da seção. Assim:

120 12 60 108 12 108 685,58

120 12 108 12cg cgy y mm

120 12 6 108 12 54 1234, 42

120 12 108 12cg cgz z mm

A partir das coordenadas do centro de gravidade, as quais estão ilustradas na Fig.

(6.21), os valores dos momentos de inércia e do produto de inércia ficam definidos

como:

3 3

2 2

6 4 6 4

12 120 108 1212 120 60 85,58 108 12 114 85,58

12 12

3, 73257 10 3, 73257 10

z

z z

I

I mm I m

3 3

2 2

6 4 6 4

120 12 12 108120 12 6 34, 42 12 108 66 34, 42

12 12

3, 73257 10 3, 73257 10

y

y y

I

I mm I m



Figura 6.21 Coordenadas do centro de gravidade. Dimensões em mm.

6 4 6 4

12 120 34, 42 6 60 85,58 108 12 34, 42 66 114 85,58

2, 21002 10 2, 21002 10

yz

yz yz

I

I mm I m

Dessa forma, as inércias principais podem ser avaliadas utilizando a Eq.(6.21).

Assim:

26 6 6 6

26/

6 6/

6 4 6 4

3, 73257 10 3, 73257 10 3, 73257 10 3,73257 102, 21002 10

2 2

3, 73257 10 2, 21002 10

5,94259 10 1,52255 10

MAX MIN

MAX MIN

MAX MIN

I

I

I m I m

Os eixos principais podem ser calculados utilizando a Eq.(6.20). Dessa forma:

6

6 6

1 2 1 2 2

2 2, 21002 102tan 2 tan 2 tan 2

3, 73257 10 3, 73257 10

45º 90º 45º 90º 135º

yz

y z

p p p p p

I

I I

Deve-se utilizar a Eq.(6.19) para determinar em qual das inclinações

determinadas acima atuam cada uma das inércias principais determinadas. Assim:

6 6 6 6'

6 ' 6 4

3, 73257 10 3, 73257 10 3,73257 10 3, 73257 10cos 2 45

2 2

2, 21002 10 2 45º 5,94259 10

y

y

I

sen I m

Portanto, verifica-se que em torno do eixo inclinado de 45 atua a maior inércia

principal, enquanto o eixo inclinado de 135 contém a menor inércia principal.



Para que as tensões normais sejam determinadas, deve-se agora decompor o

momento fletor aplicado ao longo dos eixos principais de inércia. Esse procedimento,

conforme ilustrado na Fig. (6.22), conduz a:

Figura 6.22 Sistema de eixos principais e decomposição do momento aplicado.

' '0 0

' '0 0

2cos 45º

2

245º

2

y y

z z

M M M M

M M sen M M

Existem dois pontos críticos nesta seção, os quais estão apresentados na Fig.

(6.23). No ponto A atua a maior tensão de tração, enquanto no ponto B encontra-se a

maior tensão compressiva. Porém, pelo fato do ponto A encontrar-se mais distante do

centro de gravidade que o ponto B, verifica-se facilmente que a tensão normal atuante

no ponto A será de maior intensidade (ou em valor absoluto) que a tensão atuante no

ponto B. Consequentemente, o ponto a ser verificado nesta análise é o ponto A.

Por meio da Eq.(6.17) pode-se determinar as coordenadas do ponto A com

relação ao sistema de eixos principais. Dessa forma:

cos 45 45' 85,58 ' 0, 7071 0, 7071 85,58

45 cos 45' 22, 42 ' 0, 7071 0, 7071 22, 42

' 76,367

' 44, 660

seny y

senz z

ymm

z

Sabendo que a tensão normal atuante no ponto A pode ser calculada com a

Eq.(6.22) tem-se:



Figura 6.23 Ponto a ser analisado.

0 0

3 306 6

2 22 244, 660 10 76,367 10 29828

1,52255 10 5,94259 10A A

M MM

Como a tensão admissível do material é igual a 82 MPa, tem-se que o momento

aplicado deve ser no máximo igual a :

30 029828 82 10 2, 749A M M kN m

6.3.8 –Exemplo 7

Determine a tensão normal, atuante no ponto P da Fig.(6.24), gerada pela ação

de um momento fletor 20, 0zM kN m .

A seção transversal apresentada na Fig. (6.24) é a mesma analisada nos

exemplos 3 e 4 discutidos anteriormente neste capítulo. Das análises anteriores tem-se

que:

3 4 3 4 9 4

3 4 4 41 2

350 ; 300 ; 5, 60 10 ; 2,90 10 ; 3, 0 10

7,54 10 ; 9, 60 10 ; 32,886º ; 57,114º

cg cg y z yz

MAX MIN p p

y mm z mm I m I m I mm

I m I m

A posição dos eixos principais de inércia é apresentada na Fig. (6.25).



Figura 6.24 Seção transversal considerada. Dimensões em mm.

Figura 6.25 Localização dos eixos principais.

A decomposição do momento fletor atuante, 20, 0zM kN m , em relação aos

eixos principais y’z’ resulta em:

' '

' '

20 cos 57,114º 10,86

20 57,114º 16,80

y y

z z

M M kN m

M sen M kN m

As coordenadas do ponto P, em relação ao sistema de referência y’z’, podem ser

obtidas utilizando a Eq.(6.17). Dessa forma:



cos 32,886º 32,886º' 350 ' 0,840 0,543 350

32,886º cos 32,886º' 200 ' 0,543 0,840 200

' 185, 4

' 358, 05

seny y

senz z

ymm

z

Portanto, a tensão normal atuante no ponto P pode ser calculada por meio da

Eq.(6.22). Assim:

3 324 3

16,80 10,86185, 4 10 358, 05 10 3760, 20

9, 60 10 7,54 10P PkN

m

06 Flexao Assimetrica

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