Apresentação do PowerPoint · PPT file · Web viewOperações com Matrizes Matrizes Operações...
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a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + Matrizes A= a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 1n ... ... a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n ... . . . ... ... ... ... a m1 a m2 a m3 a mn ... A mxn = [a ij ] mxn Matriz de ordem m por n de elementos a ij nsideremos o sistema ... + a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + ... + a 3n x n = b 3 . . . a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + ... + a mn x n = b m
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a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 +
Matrizes
A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n...... a2n
a31 a32 a33 a3n...
... ... ... ......am1 am2 am3 amn...
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
Consideremos o sistema
... +
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
874100245210221
3x5a13= 2
a34= 7
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
As matrizes podem ser classificadas segundo:
A natureza dos elementos
A forma
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em:Rectangular
Quadrada
Coluna
Linha
Se o número de linhas é diferente do número de colunas
Se o número de linhas é igual do número de colunas
Se o número de colunas é igual a um
Se o número de linhas é igual a um
53
054421252043201
33
231310201
13
101
31221
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:Real
Complexa
Nula
se todos os seus elementos são reais ijij aAa :
se pelo menos um dos seus elementos é complexo
CaAa ijij :
se todos os seus elementos são nulos0: ijij aAa
100251
10251
i
000000
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Triangular Superior
Triangular Inferior
0: ijij ajiAa
uma matriz quadrada em que os elementos abaixoda diagonal principal são nulos
uma matriz quadrada em que os elementos acimada diagonal principal são nulos
0: ijij ajiAa
5000620003007211
5103022000250001
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Diagonal
Escalar
0: ijij ajiAauma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos
5000020000000001
uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais
ij
ijij
aji
ajiAa 0:
2000020000200002
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Simétrica
Densa
Dispersa
5740723243010211
se os elementos aij são iguais aos aji
se a maioria dos seus elementos são não nulos
se a maioria dos seus elementos são nulos
645046633
BAc
Matrizes
Soma de MatrizesSejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de
342015321
A
303031312
B
3 3 66 4 05 4 6
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
njmibac
BACMCMBA
ijijij
nmnm
,,1,,1;
:,
Operações com Matrizes
Matrizes
ABBAMBA nm ,
Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
)()(,, CBACBAMCBA nm
AOAMOMA nmnm :
OBAMBMA nmnm :
Matrizes Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
Matrizes
Produto por um escalarSejam A uma matriz e um escalarO produto de por A é uma matriz C
342015321
A
91260315963
3 A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por
njmiac
ACMAMA
ijij
nmnm
,,1,,1;
:
Operações com Matrizes
do mesmo tipo de A
Matrizes
AA
Operações com Matrizes
e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
AAA )(
BABA
AA1
Matrizes
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n...... a2n
a31 a32 a33 a3n...
... ... ... ......am1 am2 am3 amn...
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
Consideremos o sistema
a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 + ... +
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
= b1
b2
b3
...bm
x1
x2
x3
...
xn
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
=
2x3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 1515
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 1515 29
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 1515 29 27
Operações com Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
cujos elementos são dados por:
mxp
n
kjkkiji bac
1
e escreve-se C=AB.
nxp.
O produto de matrizes não é comutativo
Matrizes
CBACBA
Operações com Matrizes
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A, B e C, e um escalar.
CBCACBA )(
CABACBA
BABABA
Matrizes Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
jiji ab mjni ,....;,..., 11
e escreve-se B=AT
53054421252043201
A
35014523452420201
TA
Matrizes
AATT
Operações com Matrizes
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B e um escalar.
TTT BABA )(
TT AA
TTT ABBA
