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MATEMÁTICA – 9.° ANO 1
MARCELO CRIVELLA
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
CÉSAR BENJAMIN
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS
SUBSECRETARIA DE ENSINO
KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA
GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL
SILVIA MARIA SOARES COUTO
ORGANIZAÇÃO
CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL
DALTON DO NASCIMENTO BORBA
ELABORAÇÃO
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA
NELSON GARCEZ LOURENÇO
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISÃO
AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA)
MOANA MARTINS E EQUIPE
ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA
MULTIRIO
CONTATOS E/SUBE
Telefones: 2976-2301 / 2976-2302
EDIGRÁFICA
IMPRESSÃO
FÁBIO DA SILVA
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR
DESIGN GRÁFICO
MATEMÁTICA – 9.° ANO 2
1- (Prova da Rede – 2016) O cálculo da área de um retângulo
é dado pela multiplicação do seu comprimento pela sua
altura. Sendo assim, podemos dizer que a equação que
melhor representa o cálculo da área da figura abaixo é:
(A) 2𝑥² + 32 = 0.
(B) 2𝑥² – 32 = 0.
(C) 𝑥² + 2𝑥 + 32 = 0.
(D) 3𝑥 – 32 = 0.
3- (Prova da Rede – 2016) Qual a equação que será
formada se as suas raízes são 2 e 7?
(A) 𝑥² – 9𝑥 + 14 = 0.
(B) 𝑥² + 2𝑥 + 7 = 0.
(C) 𝑥² + 9𝑥 + 14 = 0.
(D) 2𝑥² + 7𝑥 = 0.
2- (Prova da Rede – 2016) Qual o comprimento mínimo de
um cabo de aço que prenda uma antena de rádio de 16 m, se
ele estiver fixado a 12 m da base da antena?
(A) 12 m.
(B) 16 m.
(C) 20 m.
(D) 50 m.
4- (Prova da Rede – 2016) Uma piscina possui uma
superfície (espelho d’água) de 120 m². Observe a imagem:
A equação que pode ser utilizada para determinar o
comprimento e a largura da parte interna desta piscina é:
(A) 𝑥² + 2𝑥 – 120 = 0
(B) 𝑥² + 10𝑥 + 120 = 0
(C) 𝑥² – 120 = 0
(D) 2𝑥² – 120= 0
MATEMÁTICA – 9.° ANO 3
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO
Para o triângulo retângulo ABC:
No triângulo retângulo, podemos definir:
!!!FIQUE LIGADO
A trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da Matemática. Possui diversas
aplicações nos estudos relacionados à Física, Geografia, Engenharia, Navegação Marítima e
Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre outras.
No triângulo retângulo,
os lados recebem
nomes especiais (como
já vimos nas relações
métricas), que são
utilizados na formação
das razões
trigonométricas.
seno
seno de um ângulo agudo = medida do cateto oposto
medida da hipotenusa
cosseno de um ângulo agudo = medida do cateto adjacente
medida da hipotenusa
tangente de um ângulo agudo = medida do cateto oposto
medida do cateto adjacente
cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
cateto adjacente ao ângulo
ca
teto
cateto
RELEMBRANDO...
Hipotenusa – lado do triângulo retângulo, oposto ao ângulo reto.
Catetos – são os lados do triângulo retângulo que formam o
ângulo reto.
Adjacente - significa ao lado de ...
MATEMÁTICA – 9.° ANO 4
1- Observe a figura e determine:
a) sen = _____
b) cos = _____
c) tg = _____
2- No triângulo retângulo, apresentado a seguir, calcule:
a) sen = _____
b) cos = _____
c) tg = _____
d) sen = _____
e) cos = _____
f) tg = _____
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Para facilitar,
podemos
simplificar a
escrita das
fórmulas!!!
MATEMÁTICA – 9.° ANO 5
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Com o auxílio da tabela, determine:
a) sen 25o - ____________
b) cos 78o - ____________
c) tg 50o - ____________
d) o ângulo que tem o seno igual a 0,97437 - ___________
Tabela de razões trigonométricasA tabela trigonométrica relaciona um ângulo aos seus respectivos
valores de seno, cosseno e tangente. Ela foi criada para facilitar
quaisquer cálculos envolvendo trigonometria. Fazendo uso da tabela,
basta procurar os valores numéricos de seno, cosseno e tangente
referentes a um angulo qualquer.
Como vimos anteriormente, seno, cosseno e tangente são resultados
da divisão dos comprimentos de dois lados de um triângulo
retângulo. Para definir essas divisões, é necessário saber que, em
um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo de 90° é chamado
de hipotenusa (r) e que os outros dois lados são chamados de
catetos (x e y).
MATEMÁTICA – 9.° ANO 6
Observe estas situações-problema:
1) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede
6 cm e um dos ângulos mede 60o.
𝑥
sen 30o = 𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
1
2=𝑥
6
2 = 6
=6
2
= 3
30o
Altu
ra d
a
pa
red
e
𝑥
𝑥
𝑥
Elaborado porDalton Borba
ÂNGULOS NOTÁVEIS
As razões trigonométricas dos ângulos 30o, 45o e 60o aparecem,
com muita frequência, em situações-problema. Para facilitar, vamos
organizá-las em uma tabela, com seus respectivos valores
apresentados na forma fracionária:
30° 45° 60°
sen
cos
tg 1
Resposta:
A parede possui 3 m de altura.
Recordando... 30o
Altu
ra d
a
pa
red
e
Elaborado porDalton Borba
sen 60° = 𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
3
2=𝑦
6
2𝑦 = 6 3
𝑦 =6 3
2
𝑦 = 3 3 cm
cos 60° = 𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑗
ℎ𝑖𝑝
1
2=𝑥
6
2 = 6
= 6
2
= 3 cm
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑦
2) Uma escada, encostada em uma parede, forma um ângulo de
30o com o chão. Se a escada possui 6 m de comprimento, qual é a
altura da parede?
cateto adjacente ao ângulo
de 60°
cateto oposto ao ângulo de
60°
hipotenusa
MATEMÁTICA – 9.° ANO 7
1- Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombra de um
edifício mede 18 m. Qual é a altura, aproximada, deste edifício?
2- Um paraquedista salta de um avião quando este se encontra
a 1 500 m de altura. Devido à velocidade do avião e à ação da
vento, o paraquedista cai no ponto P, conforme figura abaixo.
Determine a distância percorrida pelo paraquedista, se ele
descesse em linha reta:
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1 5
00
m
Ela
bora
do p
or
Sombra doedifício
Elaborado porDalton Borba
Resposta:______________________________________________Resposta:______________________________________________
MATEMÁTICA – 9.° ANO 8
c)
d)
e)
3- Calcule o valor de 𝑥 em cada um dos triângulos apresentados
abaixo:
a)
b)
Consulte a tabela da página 5.
40o
45o
60o
12
20
10
𝑥
𝑥
𝑥
MATEMÁTICA – 9.° ANO 9
BATALHA NAVAL
REGRAS DO JOGO
1. Cada jogador distribui suas embarcações pelo tabuleiro.
Isso é feito marcando-se, no reticulado intitulado “DEFESA“,
os quadradinhos referentes às suas embarcações.
2. Não é permitido que 2 embarcações se toquem.
3. O jogador não deve revelar ao oponente as localizações de
suas embarcações.
Jogando...
Cada jogador, na sua vez de jogar, seguirá o seguinte
procedimento:
1. Disparará 3 tiros, indicando as coordenadas do alvo através
do número da linha e da letra da coluna que definem a
posição. Para que o jogador tenha o controle dos tiros
disparados, deverá marcar cada um deles no reticulado
intitulado “ATAQUE".
2. Após cada um dos tiros, o oponente avisará se acertou e,
nesse caso, qual a embarcação foi atingida. Se ela for
afundada, esse fato também deverá ser informado.
3. A cada tiro acertado em um alvo, o oponente deverá marcar
em seu tabuleiro para que possa informar quando a
embarcação for afundada.
4. Uma embarcação é afundada quando todas as casas que
formam essa embarcação forem atingidas.
5. Após os 3 tiros e as respostas do opoente, a vez passa para
o outro jogador.
O jogo termina quando um dos jogadores afundar todas as
embarcações do seu oponente.
DEFESAATAQUE
Eu adoro esse jogo!!!
Vamos brincar de
Batalha Naval?
MATEMÁTICA – 9.° ANO 10
PAR ORDENADO
Observe a organização das carteiras de uma sala de aula:
Par ordenado:
(3, 5)
2.º elemento
1.º elemento
Par ordenado:
(5, 3)
2.º elemento
1.º elemento
A carteira da Jéssica está localizada na quinta
linha e na terceira coluna. Vamos indicar por (5, 3).
A carteira do Gabriel está localizada na terceira
linha e na quinta coluna. Vamos indicar por (3, 5).
Como as carteiras da sala estão em lugares
diferentes, podemos concluir que:
(5, 3) ≠ (3, 5)
Observe:
Elab
ora
do
po
r D
alto
n B
orb
a
Par ordenado - par de números que determina a localização deum ponto.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 11
PRODUTO CARTESIANO
Sejam dois conjuntos não vazios. Chamaremos de produto cartesiano de A e B aoconjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro elemento pertence aoconjunto A e o segundo pertence ao conjunto B.
Indicamos: A x B e lemos “A cartesiano B”.
Exemplos:
1º) Através de conjunto
Sendo A = {2, 3} e B = {4, 6, 8}, temos:
A x B = {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}B x A = {(4, 2) ,(4, 3), (6, 2), (6, 3), (8, 2), (8,3)}
Observe que A x B ≠ B x A
2º) Através de diagrama
Dados os conjuntos A = {1, 4} e B = {2, 3, 4}
Então: A x B = {(1, 2) ,(1, 3), (1, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
1- Dados os conjuntos,
A = {3, 4, 5}B = {2, 6}C = {1, 5}
determine:
a) A x B = ____________________________________
b) B x A =____________________________________
c) A x C =____________________________________
d) B x C =____________________________________
e) B x B =____________________________________
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Lembre-se que o primeiro elemento do par ordenado
pertence ao primeiro conjunto.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 12
PLANO CARTESIANO
Considerando duas retas numéricas perpendiculares, denominadas eixos, que se interceptam no ponto que representa o zero de cada
uma delas. Este ponto de intercessão é denominado origem do plano cartesiano.
eixo das ordenadas
eixo das abscissas
A representação de um ponto no plano é feita através de dois
números reais:
● o primeiro número do par ordenado pertence ao eixo 𝒙.
● o segundo número do par ordenado pertence ao eixo 𝒚.
(𝑥, 𝑦)
Localizamos o ponto P no plano:
● 3 no eixo 𝒙.
● 2 no eixo 𝒚.
Logo, a localização do ponto P é o par ordenado:
(3, 2)
Observe que o valor 𝒙𝑥 sempre vem primeiro
no par ordenado.
● Eixo horizontal: é o eixo 𝒙 ou eixo das abscissas.
● Eixo vertical: é o eixo 𝒚 ou eixo das ordenadas.
y
(0,0) origem
MATEMÁTICA – 9.° ANO 13
Lembre-se de que o
primeiro valor do par
ordenado tem que ser
sempre o valor do eixo 𝒙 .
LOCALIZAR PONTOS NO PLANO CARTESIANOExemplos:
Vamos localizar os seguintes pares ordenados:
A (1, 4)
B (– 3, – 4)
C (– 2, 3)
D (3, – 3)
Quadrantes
–
– – –
As retas x e y dividem o plano cartesiano em quatroregiões chamadas quadrantes. Os quadrantes sãonumerados conforme a figura abaixo.
Observe:quatro – quadrante – quadrangular – quadrado
y
𝒙
QUADRANTE Os pontos localizados possuem:
1º abcissa e ordenada positivas
2º abcissa negativa e ordenada positiva
3º abcissa e ordenada negativas
4º abcissa positiva e ordenada negativa
MATEMÁTICA – 9.° ANO 14
2- Leia a planta da sala de aula. Nela, há carteiras arrumadas
em colunas e linhas.
Agora, responda:
a) Qual é a posição (coluna; linha) da carteira A?_____________
b) Qual é a posição (coluna; linha) da carteira B?_____________
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Leia a imagem apresentada a seguir:
Em qual posição se encontra a cabeça do ciclista?
(A) B2.
(B) C5.
(C) D2.
(D) A2.
CLIP
AR
T
MATEMÁTICA – 9.° ANO 15
Casa: (____,____)
Avião: (___,____)
Bola: (___,____)
Carro: (___,____)
Piscina: (___,____)
Árvore: (___,____)
Bicicleta: (___,____)
Barco: (___,____)
4- Agora, localize os pontos no plano cartesiano:
M(3, 2)
N(– 2, 4)
O(– 3, – 3)
P(4, – 2)
Q(– 2, 0)
R(0, – 4)
S(2, 0)
T(0, 2)
3- Escreva as coordenadas inteiras ( 𝑥 , 𝑦 ) que melhor
representam a localização de cada figura que aparece no plano
cartesiano abaixo:
y
𝒙
MATEMÁTICA – 9.° ANO 16
5- Localize os pontos no plano cartesiano. Depois, ligue-os na
sequência em que aparecem:
(7,6) (1,6) (4,3) (11,3) (14,6) (7,6) (7,13) (13,7) (7,7)
Que figura você encontrou? __________________________
6- Localize os pontos no plano cartesiano:
A(1, 3) C(–1, –4)
B(–1, 1) D(4, 1)
Agora, responda:
Ligando os pontos, em ordem alfabética, qual o polígono convexo
formado?
(A) Triângulo. (C) Trapézio.
(B) Retângulo. (D) Quadrado.
Polígono convexo - aqueles cujos quaisquer dois pontos internos formam um segmento contido no polígono.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 17
Organizando essas informações em uma tabela...
Horas
excedentes
Preço
(em real)
Total
(𝑦)
0 7 7
1 7 + 1∙2 __________
2 7 + 2∙2 __________
3 7 + 3∙2 __________
4 7 + 4∙2 __________
⁞ ⁞ ⁞
𝑥 7 + 𝑥∙2 7 + 2𝑥
NOÇÕES DE FUNÇÃO
Me ajude a
completar
a tabela!!!
Leia, atentamente, as seguintes situações:
9
11
13
15
1.ª situação:
Um estacionamento cobra, para a primeira hora, o valor de 7 reais. As demais horas excedentes R$ 2,00. Logo, o valor a ser pago, ao
final, depende do número de horas em que o carro ficará estacionado.
Vamos indicar por 𝑥 o número de horas excedentes e por 𝑦 o preço total a ser pago. Podemos, então, montar uma sentença, com essas
duas grandezas, da seguinte maneira:
𝑦 = 7 + 2𝑥 → lei de formação
Lei de formação - constitui a sentença que define uma função.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 18
Observe que, a cada valor atribuído à letra 𝑥, obteremos um único valor para a letra 𝑦. Exemplo:
● para 𝑥 = 0, temos
𝑦 = 7 + 2𝑥𝑦 = 7 + 2∙0
𝑦 = 7 + 0
𝑦 = 7
Isto significa que, se o proprietário do carro não passar de 1 hora, pagará R$ 7,00.
Também podemos dizer que 𝑦 é uma função de 𝑥 por 𝑦 = f(𝑥).
Então, a função 𝑦 = 7 + 2𝑥 pode ser representada por f(𝑥) = 7 + 2𝑥.
● para 𝑥 = 1, temos
𝑦 = 7 + 2∙1
𝑦 = 7 + _____
𝑦 = _______
Se o motorista ficar 1 hora excedente, pagará R$ 9,00.
● para 𝑥 = 2, temos
𝑦 = 7 + 2∙2
𝑦 = 7 + _____
𝑦 = ____
Se o motorista ficar 2 horas excedentes, pagará R$ 11,00.
Com isso, poderemos dizer que o preço (𝑦) a pagar é obtido em
função do número de horas extras (𝑥) que o carro permanecer no
estacionamento.
Dizemos que a grandeza 𝑦 é função da grandeza 𝑥, se há entre elas uma
correspondência. Vale dizer que: para cada valor de 𝑥, existe um único valor de 𝑦.
Vamos indicar por 𝑥 o número de horas
excedentes e por 𝑦 o preço total a ser pago.
Podemos, então, montar uma sentença com
essas duas grandezas:
𝑦 = 7 + 2𝑥→ lei de formação
WW
W.G
OO
GL
E.C
OM
.BR
/MA
PS
MATEMÁTICA – 9.° ANO 19
2.ª situação:
Em um parque de diversões, a entrada custa R$ 50,00 e cada brinquedo R$ 4,00. Leia o quadro e observe a relação entre a
quantidade de brinquedos e o valor gasto:
HT
TP
://W
WW
.PA
RQ
UE
SP
OR
AI.C
OM
.BR
/
Quantidade
de
brinquedos
Preço pagoTotal
(reais)
0 50 + 4∙0 50
1 50 + 4∙1 _____
2 50 + 4∙2 _____
3 50 + 4∙3 _____
4 50 + 4∙4 _____
5 50 + 4∙5 _____
⁞ ⁞ ⁞
𝑥 50 + 4∙𝑥 50 + 4𝑥
Agora, a partir da leitura atenta dessas informações, responda:
a) Se uma criança brincar em 7 atrações, quanto gastará ao todo?
Nesse caso, substituímos 𝑥 por 7.
Logo, esta criança irá gastar R$ _________.
b) Se uma pessoa gastar com a entrada e os brinquedos R$ 90,00. Em quantos brinquedos
ela poderá andar?
Nesse caso, substituímos f(𝑥) por 90:
Essa pessoa poderá andar em ____ brinquedos.
f(7) = 50 + 4 ∙ 7
f(7) = 50 + ____
f(7) = ______
f(𝑥) = 90 → 50 + 4𝑥 = 90
4𝑥 = 90 – 50
4𝑥 = 40
𝑥 = 40 / 4
𝑥 = ______
Para esse exemplo, a lei
de formação da função é:
f(𝑥) = 50 + 4𝑥
MATEMÁTICA – 9.° ANO 20
Não são funções de A em B, as relações
representadas a seguir porque, na
1.ª relação:
o elemento de A está ligado a dois
elementos de B.
2.ª relação:
está sobrando um elemento de A.
REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DE DIAGRAMAS
Exemplos:
São funções de A em B, as relações representadas nos seguintes diagramas:
1 ●
2 ●
● 3
● 4
1 ●
2 ●
3 ●
● 1
● 3
● 5
1 ●
2 ●
● 1
● 3
● 5
1 ●
2 ●
4 ●
● 1
● 3
● 5
A B
A BA B
A B
1 ●
2 ●
● 3
● 4
A B
1 ●
2 ●
3 ●
● 1
● 3
● 5
A B
Observe que:
→ em A, não sobra elemento; em B pode sobrar.
→ em A, de cada elemento parte uma única flecha;
em B, um elemento pode receber mais de uma flecha.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 21
NOTAÇÃO DE FUNÇÃO
Considere a função f definida de IR em IR, tal que 𝑦 = 2𝑥 – 1:
Para 𝑥 = 2, teremos 𝑦 = 2∙2 – 1 = _______.
Para 𝑥 = 3, teremos 𝑦 = 2∙3 – 1 = _______.
Para 𝑥 = 4, teremos 𝑦 = 2∙4 – 1 = _______.
Dizemos que:
● 3 é a imagem de 2 pela função f. → f(2) = _____
● 5 é a imagem de 3 pela função f. → f(3) = _____
● 7 é a imagem de 4 pela função f. → f(4) = _____
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Seja f uma função de A em B.
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
O conjunto A é o domínio (D) da função.
D = {1, 2, 3}
A imagem (Im) da função é formado por todos os elementos
de B que ficam associados a elementos de A:
Im = {2, 3, 4}
1 •
2 •
3 •
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
A B
2 •
3 •
4 •
• 3
• 5
• 7
IR IR
O conjunto imagem é um
subconjunto de B.
Domínio de uma função de A em B - é o próprio conjunto departida (neste caso, A).
MATEMÁTICA – 9.° ANO 22
3- Dada a função definida por f(𝑥) = 2𝑥 – 3, calcule:
a) f(𝑥) = 3 b) f(𝑥) = – 7
Solução:
Igualando a função a 3 Igualando a função a – 7
4- Dada a função definida por f(𝑥) = 𝑥² – 5𝑥 + 6, calcule:
a) f(𝑥) = 0
Solução: Igualando a função a 0
2𝑥 – 3 = 3
𝑥² – 5𝑥 + 6 = 0
a = 1
b = (– 5)
c = 6
Observando os exemplos dados, complete:
1- Dada a função definida por f(𝑥) = 𝑥 + 2, calcule:
a) f (0) b) f (– 2)
Solução:
Substituindo 𝑥 por 0 Substituindo 𝑥 por – 2
2- Dada a função definida por f(𝑥) = 𝑥² – 3, calcule:
a) f (0) b) f (– 2)
Solução:
Substituindo 𝑥 por 0 Substituindo 𝑥 por – 2
2𝑥 – 3 = – 7
= (– 5)² – 416
= __________
= _______
f (0) = 0 + 2
f (0) = ___________
f (0) = ______
f (–2) = (– 2) + 2
f (–2) = ____________
f (–2) = _____
f(0) = 0² – 3
f(0) = _______
f(0) = _____
f(– 2) = (– 2)² – 3
f(– 2) = _______
f(– 2) = ______
MATEMÁTICA – 9.° ANO 23
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Dada a função definida por: f(𝑥) = 2𝑥 – 1, calcule:
a) f(0) b) f(2)
c) f(–2) d) f(5)
2- Dada a função definida por: f(𝑥) = 𝑥² – 6𝑥 + 9, calcule:
a) f(0) b) f(1)
c) f(–2) d) f(3)
Lembre-se de
que, ao
substituir o 𝑥por um número
negativo,
deve-se
colocá-lo entre
parênteses!!!
MATEMÁTICA – 9.° ANO 24
3- Sendo f(𝑥) = 3𝑥 – 1, determinar o valor de 𝑥 de modo que
a) f(𝑥) = 14 b) f(𝑥) = – 10
c) f(𝑥) = 0 d) f(𝑥) = 10
4- Sendo f(𝑥) = 𝑥² – 6𝑥 + 8, determinar o valor de 𝑥 de modo que
a) f(𝑥) = 0
b) f(𝑥) = 8
MATEMÁTICA – 9.° ANO 25
3- Se A x B = {(2,3),(2,4),(2,5),(4,3),(4,4),(4,5)}, então,
(A) A = {2, 4} e B = {3, 4, 5}
(B) A = {3, 4, 5} e B = {2, 4}
(C) A = {2, 3} e B = {3, 4, 5}
(D) A = {2, 4} e B = {3, 5}
4- Qual dos diagramas representa uma função de F em G?
(A) (B)
(C) (D)
1- As coordenadas inteiras que melhor representam a localiza-
ção da casa e da árvore são, respectivamente,
(A) (2, 3) e (1, –2)
(B) (3, 2) e (1, –2)
(C) (2, 3) e (–2, 1)
(D) (3, 2) e (–2, 1)
2- Se A = {2} e B= {1, 3}, então,
(A) A x B = {(1, 2), (3, 2)}
(B) B x A = {(1, 2), (3, 2)}
(C) A x B = {(2, 1), (3, 2)}
(D) B x A = {(2, 1), (2, 3)}
MATEMÁTICA – 9.° ANO 26
5- Leia a função definida por f(𝑥) = 𝑥²+9
𝑥+3. Agora, responda:
o valor de f(0) é:
(A) 6. (B) 3.
(C) 1
3. (D) 0.
6- Sendo f(𝑥) = 7𝑥 – 4, então f(2) é igual a:
(A) 69. (B) 11.
(C) 10. (D) 5.
7- Se f(𝑥) = 2𝑥³ + 1, então f(0) é igual a
(A) 0. (B) 1.
(C) 2. (D) 3.
(A) f = 850 – 100𝒙 (B) f = 100𝒙 – 850
(C) f = 850𝒙 + 100 (D) f = 850 + 100𝒙
9- O quadrante que possui os pares ordenados negativos é:
(A) 1.º quadrante. (B) 2.º quadrante.
(C) 3.º quadrante. (D) 4.º quadrante.
10- Em que quadrante se encontra o par ordenado (–3, 5)?
(A) 1.º quadrante. (B) 2.º quadrante.
(C) 3.º quadrante. (D) 4.º quadrante.
11- Seja f uma função de A em B. Veja:
Pode-se dizer que os elementos do domínio são:
(A) {8, 10} (B) {2, 4, 6}
(C) {1, 5, 9} (D) {2, 4, 6, 8, 10}
1 ●
5 ●
9 ●
● 2
● 4
● 6
● 8
● 10
A B
8- Um garçom recebe um salário mensal de R$ 850,00.
Para cada hora extra, ele recebe R$ 100,00.
Qual é a lei de formação f que melhor representa o valor
recebido pelo garçom que trabalhou 𝒙 horas extras durante um
mês?
MATEMÁTICA – 9.° ANO 27
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1.º GRAU
Leia, atentamente, o exemplo a seguir:
O perímetro do hexágono, apresentado ao lado, depende dos valores que forem atribuídos a 𝑥.
Indicando o perímetro por 𝑦, temos:
A função definida pela lei de formação 𝑦 = 4𝑥 + 30 é um exemplo de função polinomial de 1.o grau.
𝑦 = 4𝑥 + 30
Uma função polinomial de 1.o grau é toda função do tipo
com a e b sendo números reais e a ≠ 0, e é definida para todo 𝑥 que pertença
ao Conjunto dos Números Reais.
𝑦 = a𝑥 + bUma função definida por f:
IR→IR chama-se afim
quando existem constantes
a e b que pertencem ao
conjunto dos números
reais, tais que,
f(𝑥) = a𝑥 + b (a≠0) para
todo 𝑥 ∈ IR.
15
15
MATEMÁTICA – 9.° ANO 28
1- Identifique as leis de formação que representam funções
polinomiais de 1.º grau:
a) 𝑦 = 2𝑥 – 7
b) 𝑦 = 4 – 2𝑥
c) 𝑦 = 𝑥² – 3
d) 𝑦 = – 4𝑥
e) 𝑦 = 5
2) Determine os coeficientes a e b de cada função afim apresentada
abaixo:
a) 𝑦 = 𝑥 – 4 a = _____ e b = _____
b) 𝑦 = 5 – 2𝑥 a = _____ e b = _____
c) 𝑦 = 3𝑥 a = _____ e b = _____
d) 𝑦 = – 𝑥 + 3
2a = _____ e b = _____
e) 𝑦 = 2𝑥
3+ 3 a = _____ e b = _____
AGORA,É COM VOCÊ!!! 3- Dados os valores de a e b, escreva a lei de cada função
polinomial de 1.º grau:
a) a = 3 e b = 5 𝑦 = _____________
b) a = 1 e b = – 3 𝑦 = _____________
c) a = – 1 e b = 0 𝑦 = _____________
d) a = – 2 e b = 1 𝑦 = _____________
e) a = 1
5e b = 4 𝑦 = _____________
4- Considerando o retângulo apresentado a seguir, determine:
a) o perímetro em função de 𝑥:__________________________
b) o perímetro para 𝑥 = 15:_____________________________
35
𝑥
MATEMÁTICA – 9.° ANO 29
Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano. Unindo-os,
obteremos a representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥 + 1, que é uma reta.
𝑦 = 𝑥 + 1 𝑦 (𝑥, 𝑦)
Para 𝑥 = 2 𝑦 = 2 + 1 𝑦 = 3 (2, 3)
Para 𝑥 = 1 𝑦 = 1 + 1 𝑦 = ______ (___, ___)
Para 𝑥 = 0 𝑦 = 0 + 1 𝑦 = ______ (___, ___)
Para 𝑥 = –1 𝑦 = (–1) + 1 𝑦 = ______ (___, ___)
Para 𝑥 = –2 𝑦 = (–2) + 1 𝑦 = ______ (___, ___)
O gráfico de uma
função de 1.º grau é
sempre uma reta.
Vamos completar os pares
ordenados que estão
faltando na tabela?
Depois, confira com os
seus colegas.
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑥 + 1
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1.º GRAU
1.º) Vamos construir o gráfico da função, com f: ℝ → ℝ:
Primeiro, vamos atribuir quaisquer valores para 𝑥. Depois,
obteremos os valores correspondentes de 𝑦, através da
substituição. Observe:
𝑦 = 𝑥 + 1
MATEMÁTICA – 9.° ANO 30
Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano e, unindo-os,
obteremos a representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥 – 3, que é
uma reta:
𝑥 𝑦 = 2𝑥 – 3 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 3 𝑦 = 2∙3 – 3 𝑦 = 3 (3, 3)
𝑥 = 2 𝑦 = 2∙2 – 3 𝑦 = _______ (___, ___)
𝑥 = 1 𝑦 = 2∙1 – 3 𝑦 = _______ (___, ___)
𝑥 = 0 𝑦 = 2∙0 – 3 𝑦 = _______ (___, ___)
𝑥 = –1 𝑦 = 2∙(–1) – 3 𝑦 = _______ (___, ___)
Nessa tabela,
estão faltando
somente os
pares ordenados
para completar!!!
Depois trace a
reta, unindo os
pontos no plano
cartesiano.
𝑦
𝑥
𝑦 = 2𝑥 – 3
𝑦 = 2𝑥 – 3
2.º) Vamos construir o gráfico da função, com f: ℝ → ℝ :
Agora, vamos atribuir quaisquer valores para 𝑥 e obter os
valores correspondentes de 𝑦, através da substituição:
Lembre-se
sempre de
conferir todas
as respostas
com os seus
colegas.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 31
Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano e, unindo-os,
obteremos a representação gráfica da função 𝑦 = – 2𝑥, que é
uma reta:𝑥 𝑦 = – 2𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 2 𝑦 = – 2∙2 𝑦 = – 4 (2, – 4)
𝑥 = 1 𝑦 = – 2∙1 𝑦 = _______ (___, ___)
𝑥 = 0 𝑦 = – 2∙0 𝑦 = _______ (___, ___)
𝑥 = – 1 𝑦 = – 2∙(– 1) 𝑦 = _______ (___, ___)
𝑥 = – 2 𝑦 = – 2∙(– 2) 𝑦 = _______ (___, ___)
Nesta tabela também estão
faltando os pares ordenados.
Lembre-se que depois
é importante traçar a
reta, unindo os pontos
no plano cartesiano.
𝑦
𝑥
𝑦 = – 2𝑥
3º) Vamos construir o gráfico da função, com f: ℝ → ℝ :
Vamos atribuir quaisquer valores para 𝑥 e obter os valores
correspondentes de 𝑦, através da substituição. Observe:
𝑦 = – 2𝑥
Lembre-se
sempre de
conferir todas
as respostas
com os seus
colegas.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 32
𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 2 𝑦 = –1 (___ , ___)
𝑥 = 0 𝑦 = 0 (___ , ___)
𝑥 = –2 𝑦 = 1 (___ , ___)
4º) Vamos construir o gráfico da função:
Vamos atribuir quaisquer valores para 𝑥 e obter os valores
correspondentes de 𝑦, através da substituição. Observe:
Como a representação gráfica de uma função de 1.º grau é sempre uma reta, não
precisamos determinar cinco pares ordenados. Somente dois seriam necessários.
Mas, para evitar qualquer erro, o aconselhável é determinar três pares ordenados.
Nessa tabela,
completaremos
somente três
pares
ordenados!!!
Depois, é
importante traçar
a reta, unindo os
pontos no plano
cartesiano.
Multirio
Agora, representaremos os pontos no plano cartesiano e, unindo-os,
obteremos a representação gráfica da função 𝑦 = –𝑥
2, que é uma reta:
Lembre-se
sempre de
conferir todas as
respostas com
os seus colegas.
MATEMÁTICA – 9.° ANO 33
Observe que
nos gráficos 𝑦 = 𝑥 + 1 e 𝑦 = 2𝑥 – 3
chamamos de:
função crescente (a > 0)
● quando aumenta o valor de 𝑥, aumenta
também o valor de 𝑦.
nos gráficos 𝑦 = – 2𝑥 e 𝑦 = –𝑥
2
chamamos de:
função decrescente (a < 0)
● quando aumenta o valor de 𝑥, o valor de 𝑦diminui.
a > o
valor positivo
FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
Leia os gráficos:
Exemplos:
a) 𝑦 = 𝑥 + 7 → a > 0, então, função crescente
b) 𝑦 = – 3𝑥 + 4 → a < 0, então, função decrescente
c) 𝑦 = 5𝑥 – 3 → a > 0, então, função crescente
Então, é só olhar o sinal do
coeficiente de 𝑥?
Assim ficou fácil!!!
a < o
valor negativo
𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦 = – 2𝑥
𝑦 = 2𝑥 – 3
1.º
4.º
2.º
3.º
𝑦 = – 𝑥2
MATEMÁTICA – 9.° ANO 34
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Construa o gráfico das funções definidas por
a) 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 𝑦 = 𝑥 + 3 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 𝑦 = 2𝑥 – 1 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
b) 𝑦 = 2𝑥 – 1
MATEMÁTICA – 9.° ANO 35
𝑥 𝑦 = 𝑥 – 1 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
d) 𝑦 = 𝑥 – 1
𝑥 𝑦 = –𝑥 + 1 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
c) 𝑦 = – 𝑥 + 1
MATEMÁTICA – 9.° ANO 36
𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
f) 𝑦 = 𝑥 +
𝑥 𝑦 = –𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
e) 𝑦 = – 𝑥
1/2
1/2
MATEMÁTICA – 9.° ANO 37
𝑥 𝑦 = –2𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
h) 𝑦 = – 2𝑥
𝑥 𝑦 = 2𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
𝑥 = 𝑦 = 𝑦 = ( , )
g) 𝑦 = 2𝑥
MATEMÁTICA – 9.° ANO 38
COEFICIENTE ANGULAR E COEFICIENTE LINEAR
Na função polinomial de 1.º grau:
O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta (é a
tangente do seu ângulo de inclinação) em relação ao eixo das
abscissas (𝑥). O coeficiente linear (b) representa o valor numérico
por onde a reta passa no eixo das ordenadas (𝑦).
𝑦 = a𝑥 + b
Na função 𝑦 = 2𝑥 – 3,
temos que:
Coeficiente angular: 2
Coeficiente linear: – 3
1- Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada função abaixo:
AGORA,É COM VOCÊ!!!
a) 𝑦 = 𝑥 – 3
Coeficiente angular: ____
Coeficiente linear: ____
c) 𝑦 = 3𝑥 + 12
Coeficiente angular: ____
Coeficiente linear: ____
b) 𝑦 = – 2𝑥 + 1
Coeficiente angular: ____
Coeficiente linear: ____
d) 𝑦 = – 𝑥 – 2
Coeficiente angular: ____
Coeficiente linear: ____
𝑦 = 2𝑥 – 3
Coeficiente
linear
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
MATEMÁTICA – 9.° ANO 39
𝑦 = 2𝑥 + 8
2𝑥 + 8 = 0
2𝑥 = – 8
𝑥 = –8
2𝑥 = – 4
A reta 𝑦 = 2𝑥 + 8 corta o eixo 𝑥 no ponto (–4, 0).
ZEROS DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1.º GRAU
Chama-se zero ou raiz de uma função polinomial de 1.º grau o valor de 𝑥 para o
qual 𝑦 = 0.
Para calcular o zero da função, basta igualar a zero a função e resolver a
equação de 1.º grau.
Exemplo:
Determinando o zero da função 𝑦 = 2𝑥 + 8...1- Calcule o zero de cada função apresentada a
seguir:
a) 𝑦 = 𝑥 – 3
b) 𝑦 = – 𝑥 + 7
c) 𝑦 = 5𝑥
d) 𝑦 = 3𝑥 + 12
AGORA,É COM VOCÊ!!!
O zero da função é exatamente o
ponto que a reta toca no eixo das
abscissas (eixo 𝑥).
𝑦 = 2𝑥 + 8
MATEMÁTICA – 9.° ANO 40
1- Lídia comprou um terreno retangular cujo comprimento é de
80 m. Representando por 𝑦 o perímetro e por 𝑥 a largura do
terreno, responda:
a) Como poderemos representar a função entre o perímetro e a
largura do terreno?
____________________________________________________
b) Qual será o perímetro do terreno se a largura for 35 m?
c) Qual será a largura do terreno se o perímetro for de 300 m?
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1.º GRAU
2- A fábrica de camisas de Camile possui uma despesa diária de
320 reais e mais 8 reais por camisa produzida.
a) Como podemos representar a função custo (C) em relação à
quantidade (𝑥) de camisas produzidas ao final de um dia?
_____________________________________________________
b) Se ela produzir 15 camisas em um dia, qual será o seu custo
diário?
_____________________________________________________
c) Se cada uma das 15 camisas for vendida a 25 reais, ela terá, ao
final do dia, lucro ou prejuízo? De quanto?
_____________________________________________________
d) Se ela produzir 60 camisas por dia, qual será o seu custo diário?
_____________________________________________________
e) Se cada uma das 60 camisas for vendida a 25 reais, ela terá, ao
final do dia, lucro ou prejuízo? De quanto?
_____________________________________________________
𝑥
80 m
MATEMÁTICA – 9.° ANO 41
3- O gráfico que representa uma função polinomial de 1.º grau é:
(A) (B)
(C) (D)
4- A qual das funções apresentadas a seguir pertence o ponto
(2,4)?
(A) 𝑦 = 2𝑥 + 2
(B) 𝑦 = 2𝑥 – 2
(C) 𝑦 = 1 – 𝑥
(D) 𝑦 = 𝑥 + 2
1- Qual das funções apresentadas a seguir é uma função
polinomial de 1.º grau?
(A) 𝑦 = 21
(B) 𝑦 = 𝑥³ – 7
(C) 𝑦 = 2𝑥 + 3
(D) 𝑦 = 𝑥² – 3𝑥 + 1
2- Leia a tabela:
A relação que existe entre 𝑥 e 𝑦 é
(A) 𝑦 = 𝑥 – 1
(B) 𝑦 = 𝑥 + 1
(C) 𝑦 = 1 – 𝑥
(D) 𝑦 = 2𝑥 – 1
𝑥 3 5 7 9
𝑦 4 6 8 10
MATEMÁTICA – 9.° ANO 42
5- Leia a função afim f(𝑥) = 2𝑥 – 3. Agora, responda:
o valor de 𝑥 em f(𝑥) = 0 é:
(A) 𝑥 = 1
(B) 𝑥 = 3
(C) 𝑥 = 3
2
(D) 𝑥 = 2
3
6- Este gráfico representa a função definida por
(A) 𝑦 = 𝑥 + 1
(B) 𝑦 = 𝑥 – 1
(C) 𝑦 = 1 – 𝑥
(D) 𝑦 = 2𝑥 – 1
7- A confecção de bonés de Eduarda possui uma despesa
diária de 750 reais e mais 12 reais por boné produzido.
Qual o custo de produção da sua confecção se ela produzir 60
bonés em um único dia?
(A) 720 reais.
(B) 810 reais.
(C) 822 reais.
(D) 1 470 reais
8- O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da
distância percorrida. A tarifa t é composta por duas partes: uma
parte fixa, denominada bandeirada e uma parte variável que
depende do número k de quilômetros rodados. Supondo-se que
a bandeirada esteja custando R$ 5,00 e o quilômetro rodado,
R$ 1,50, a função que melhor expressa a situação é:
(A) t = 5 – 1,5k
(B) t = 6,5
(C) t = 5k + 1,5
(D) t = 5 + 1,5k
𝑥
y
MATEMÁTICA – 9.° ANO 43
9- (ENEM 2005 – adaptado) A escolaridade dos jogadores de
futebol, nos grandes centros, é maior do que se imagina, como
demonstra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores
profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de
Janeiro. Leia o gráfico:
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos
quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de,
aproximadamente,
(A) 34%.
(B) 46%.
(C) 54%.
(D) 60%.
(E) 62%.
10 - (Adaptado - ENEM – 2005) No gráfico apresentado a seguir,
mostra-se de que forma o valor do dólar variou em relação ao
real, entre o final de 2001 e o início de 2005. (Exemplo: em
janeiro de 2002, um dólar valia cerca de R$ 2,40.)
Durante esse período, a época em que o real esteve mais
desvalorizado, em relação ao dólar, foi no
(A) final de 2001.
(B) final de 2002.
(C) início de 2003.
(D) final de 2004.
(E) início de 2005.
4,00
3,60
3,20
2,80
2,40
2,00
1,60
1,20
RE
AL
PERÍODO
VALOR DO DÓLAR EM RELAÇÃO AO REAL
MATEMÁTICA – 9.° ANO 44
13- O gráfico que representa uma função polinomial de 1.º grau é:
(A) (B)
(C) (D)
14- Sendo f uma função de A em B,
os elementos da imagem são:
(A) {32, 64} (B) {2, 4, 8}
(C) {4, 8, 16} (D) {4, 8, 16, 32, 10}
11- Seu José cobra, por um frete, uma taxa fixa de R$ 250,00,
mais R$ 10,00 por quilômetro rodado. A função f, que melhor
representa esta relação, é:
(A) f(𝑥) = 250𝑥 + 10
(B) f(𝑥) = 250 + 10𝑥(C) f(𝑥) = 250 – 10𝑥(D) f(𝑥) = 260𝑥
12- Leia o plano cartesiano apresentado a seguir:
Os vértices, da figura que se encontra neste plano cartesiano,
estão localizados nos pontos
(A) (– 4, – 2), (– 3, 1), (1, 1), (0, – 2)
(B) (– 4, – 2), (3, – 1), (1, 1), (0, – 2)
(C) (– 4, – 2), (– 3, 1), (1, 1), (2, – 2)
(D) (– 4, 2), (– 3, – 1), (1, 1), (2, – 2)
MATEMÁTICA – 9.° ANO 45
18- Dada a função definida por f(𝑥) = 5𝑥 – 30, podemos afirmar
que o valor da imagem para 𝑥 = 0 é:
(A) –30. (B) 0.
(C) 5. (D) 6.
19- Um foguete foi lançado de sua base em um ângulo de 60º.
Após uma trajetória de 3 000 m, a altura atingida por este
foguete foi de, aproximadamente,
(A) 4 000 m.
(B) 3 500 m.
(C) 2 550 m.
(D) 2 000 m.
15- Uma função definida por f(𝑥) = 3𝑥 – 6, tem, como zero da
função, o número
(A) 2. (B) 3.
(C) 6. (D) 9.
16- Observando o plano cartesiano, podemos afirmar que o
ponto M está localizado na coordenada
(A) (–2, 2)
(B) (2, 3)
(C) (–3, 2)
(D) (2, –2)
17- Qual das funções apresentadas a seguir é polinomial de 1.º
grau e decrescente?
(A) 𝑦 = 2𝑥 – 3 (B) 𝑦 = –3𝑥² + 2
(C) 𝑦 = –𝑥 – 5 (D) 𝑦 = –3 + 4𝑥
𝑥
y
Elaborado porDalton Borba
MATEMÁTICA – 9.° ANO 46
20- Podemos afirmar que o único ponto que pertence à função
representada no gráfico a seguir é
(A) (2, 3).
(B) (0, –2).
(C) (0, 2).
(D) (–2, 2).
21- Um cabo de aço foi fixado no ponto mais alto de um prédio
até um ponto distante 5 m de sua base. Sabendo-se que a
medida deste cabo de aço é de 13 m, determine a altura do
prédio:
(A) 12 m.
(B) 13 m.
(C) 25 m.
(D) 30 m.
22- Lendo os diagramas abaixo, podemos afirmar que o único
que representa uma função de A para B é:
(A) (B)
(C) (D)
5 m
CLIP
AR
T
𝑥
y