[pic]UNIVERSIDADE PAULISTA CAMPUS ANCHIETATRABALHO INTEGRADO

TRABALHO INTEGRADO“FILOSOFIA, MATEMATICA, FÍSICA E O PENSAMENTO CIENTIFICO.”

André Guimarães A477845 Fulvio Mendes de Sousa A56HFJ1 Lucas Álvaro A4778A0 Maximiliano Ferreira A4478B1 Michel Moraes A50IJH8

São Paulo/SPCampus Anchieta2010 André Guimarães A477845 Fulvio Mendes de Sousa A56HFJ1 Lucas Álvaro A4778A0 Maximiliano Ferreira A4478B1 Michel Moraes A50IJH8

TRABALHO INTEGRADO“FILOSOFIA, MATEMATICA, FÍSICA E O PENSAMENTO CIENTIFICO.”

Dissertação apresentada à turma do curso de Graduação em Engenharia da Universidade Paulista de São Paulo Campus Anchieta

São Paulo/SPCampus Anchieta2010RESUMO

Relato sobre pensamento, vida, obra e influência de um físico, matemático e filosofo em sua época e nos tempos atuais, mostrando os impactos produzidos pela sua obra e criações, este trabalho tem o intuito de mostrar a influencia da obra de três grandes nomes da ciência nas nossas vidas estudantis.Palavra-chave: Filosofia, Matemática e Física.

SUMARIOIntrodução

051.0 Biografias 06 1.1 Filósofo 06 1.1.1 Aristóteles 06 1.1.2 Vida 06 1.1.3 Linha do Tempo 08 1.2 Matemático 09

1.2.1 Pitágoras de Somos 09 1.2.2 A escola de Pitágoras 10 1.2.3 O pentagrama era o símbolo da escola Pitagórica 10 1.3 Físico 12 1.3.1 Arquimedes 12 1.3.2 Obra e pensamento de Arquimedes 13 1.3.3 Hidrostática: “Eureka! Eureka!” 13 1.3.4 Criação Bélicas 14 1.3.5 Criações Matemáticas 15 1.3.6 Relação das Principais obras de Arquimedes 152.0 Exposição das Idéias, Teorias e leis 16 2.1 Aristóteles o Filosofo 16 2.1.1 O pensamento aristotélico 16 2.1.2 Lógica 16 2.1.3 Física 16 2.1.4 Psicologia 17 2.1.5 Biologia 17 2.1.6 Metafísica 17 2.1.7 Ética 19 2.1.8 Política 20 2.1.9 Direito 20 2.1.10 Retórica 20 2.1.11 Poética 20 2.1.12 Astronomia 21 2.2 Pitágoras o Matemático 21 2.2.1 Principais descobertas 21 2.2.2 Números Figurados 21 2.2.3 Números Perfeitos 21

2.2.4 Reitor da primeira universidade 22 2.2.5 Pensamento de Pitágoras 24 2.2.6 Teorema de Pitágoras 25 2.2.7 Em Fórmulas 26 2.3 Arquimedes o Físico 28 2.3.1 Oba e pensamento de Arquimedes 28 2.3.2 Criações Bélicas 28 2.3.3 Criações Matemáticas 29 2.3.4 Outros inventos 29 2.3.5 Relação das principais obras de Arquimedes 303.0 Analise da Função 31 3.1 Princípios do funcionamento de uma Alavanca 32 3.2 Alavancas 324.0 Impactos Produzidos 36 4.1 Filósofo Aristóteles 36 4.2 Físico Arquimedes 37 4.3 Matemático Pitágoras 385.0 Dissertação 39Bibliografia 40

INTRODUÇÃO

Neste vamos ver a vida e obra de um Aristóteles considerado um dos maiores filósofos de todos os tempos, Aristóteles foi capaz de influenciar os maiores nomes da ciência desde sua época até os dias de hoje, estes são alguns dos nomes de pessoas que seguiram sua filosofia, Alexandre Magno, Al-Farabi, Avicena, Averróis, Alberto Magno, Copérnico, Galileu Galilei, Ptolomeu, Tomás de Aquino, sua obra não só influenciou pessoas, mas também a própria filosofia como um todo, citamos algumas filosofias influenciadas por Aristóteles, maior parte da filosofia islâmica, filosofia cristã, filosofia ocidental e a ciência em geral. Vamos ver também Pitágoras, difícil definir Pitágoras apenas como matemático, pois também exerceu grande influencia na física, na química e até como líder religioso, na opinião do uma das personalidades mais fascinantes de se pesquisar, pois todos já têm um envolvimento muito grande com trigonometria, e pudemos ver que foi uma das pessoas que mais contribui para influenciar o estudo da física, matemática a área de exatas em geral, pudemos ver que Pitágoras que impulsionou o estudo nesta área.Para físico escolhemos Arquimedes que alem de físico nos escolhemos por se tratar em nosso ponto de vista uns dos pais da engenharia, por ter contribuído no desenvolvimento de princípios de engenharia ao qual nos pudemos influenciar, vimos este ponto pelos seus inventos principalmente na área bélica, e também para outras áreas, e a qual podemos ver alguns de seus princípios até os dias de hoje, um exemplo é o parafuso de Arquimedes, que são utilizados por empresas dos ramos de alimento, farmácia e química para dosagem de ingredientes que não podem ter contato humano.A seguir veremos as biografias, os impactos produzidos nos tempos atuais e o efeito desse trabalho em nossa formação.

1.0 Biografias

1.1 Filósofo1.1.1 Aristóteles

Aristóteles (em grego Αριστοτέλης) (Estagira, Calcídica, 384 a.C. - 322 a.C.) foi um filósofo grego, aluno de Platão e professor de Alexandre, o Grande, considerado um dos maiores pensadores de todos os tempos e criador do pensamento lógico.Aristóteles figura entre os mais influentes filósofos gregos, ao lado de Sócrates e Platão, que transformaram a filosofia pré-socrática, construindo um dos principais fundamentos da filosofia ocidental. Aristóteles prestou contribuições fundantes em diversas áreas do conhecimento humano, destacando-se: ética, política, física, metafísica, lógica, psicologia, poesia, retórica, zoologia, biologia, história natural.É considerado por muitos o filósofo que mais influenciou o pensamento ocidental, a exemplo das palavras que ele criou e que passaram para quase todas as línguas modernas (atualidade, axioma, categoria, energia, essência, potencial, potência, tópico, virtualidade e muitas outras). Sua influência também pode ser percebida na obra "A Divina Comédia" de Dante Alighieri já que toda a astronomia dantesca se funda em Aristóteles e seus comentadores.Foi chamado por Augusto Comte de "o príncipe eterno dos verdadeiros filósofos", por Platão de "o leitor" (pela avidez com que lia e por se ter cercado dos livros dos poetas, filósofos e homens da ciência contemporâneos e anteriores) e, pelos pensadores árabes, de o "preceptor da inteligência humana". Por ter estudado uma variada gama de assuntos, e por ter sido também um discípulo que em muito sentidos ultrapassou o mestre, Platão, é conhecido também como O Filósofo. Aristóteles também foi chamado de o estagirita, pela terra natal, Estagira.

1.1.2 Vida

Filho de Nicômaco, amigo e médico pessoal do rei macedônio Amintas III, pai de Filipe II. É provável que o interesse de Aristóteles por biologia e fisiologia decorra da atividade médica exercida pelo pai e pelo tio, e que remontava há dez gerações.Com cerca de 16 ou 17 anos partiu para Atenas, maior centro intelectual e artístico da Grécia. Como muitos outros jovens da época, foi para lá prosseguir os estudos. Duas grandes instituições disputavam a preferência dos jovens: a escola de Isócrates, que visava preparar o aluno para a vida política, e Platão e sua Academia, com preferência à ciência (episteme) como fundamento da realidade. Apesar do aviso de que, quem não conhecesse Geometria ali não deveria entrar, Aristóteles decidiu-se pela Academia platônica e nela permaneceu 20 anos, até 347 a.C., ano que morreu Platão.Com a morte do grande mestre e com a escolha do sobrinho de Platão, Espeusipo, para a chefia da Academia, Aristóteles partiu para Assos com alguns ex-alunos. Dois fatos parecem se relacionar com esse episódio: Espeusipo representava uma tendência que desagradava imensamente Aristóteles, isto é, a matematização da filosofia; e Aristóteles ter-se sentido preterido (ou rejeitado), já que se julgava o mais apto para assumir a direção da Academia.Em Assos, Aristóteles fundou um pequeno círculo filosófico com a ajuda de Hérmias, tirano local e eventual ouvinte de Platão. Lá ficou por três anos e casou-se com Pítias, sobrinha de Hérmias. Assassinado Hérmias, Aristóteles partiu para Mitilene, na ilha de Lesbos, onde realizou a maior parte das famosas investigações biológicas. No ano de 343 a.C. chamado por Filipe II, tornou-se preceptor de Alexandre, função que exerceu até 336 a.C., quando Alexandre subiu ao trono.Neste mesmo ano, de volta a Atenas, fundou o Lykeion, origem da palavra Liceu cujos alunos ficaram conhecidos como peripatéticos (os que passeiam), nome decorrente do hábito de Aristóteles de ensinar ao ar livre, muitas vezes sob as árvores que cercavam o Liceu. Ao contrário da Academia de Platão, o Liceu privilegiava as ciências naturais. Alexandre mesmo enviava ao mestre exemplares da fauna e flora das regiões conquistadas. O trabalho cobria os campos do conhecimento clássico de então, filosofia, metafísica, lógica, ética, política, retórica, poesia, biologia, zoologia, medicina e estabeleceu as bases de tais disciplinas quanto a metodologia científica.Aristóteles dirigiu a escola até 324 a.C., pouco depois da morte de Alexandre. Os sentimentos antimacedônicos dos atenienses voltaram-se contra ele que, sentindo-se ameaçado, deixou Atenas afirmando não permitir que a cidade cometesse um segundo crime contra a filosofia (alusão ao julgamento de Sócrates). Deixou a escola aos cuidados do principal discípulo, Teofrasto (372 a.C. - 288 a.C.) e retirou-se para Cálcis, na Eubéia. Nessa época, Aristóteles já era casado com Hérpiles, uma vez que Pítias havia falecido pouco tempo depois do assassinato de Hérmias, seu protetor. Com Hérpiles, teve uma filha e o filho Nicômaco. Morreu a 322 a.C.

1.1.3 Linha do tempo

384 a.C. – Aristóteles nasce em Estagira, Macedônia situada hoje no nordeste da Grécia. O pai era um médico reconhecido - ou seja, um cientista. Chamava-se Nicômaco e era amigo do rei da Macedônia Amintas II, Pai de Felipe.367 a.C. – Aos 17 anos Aristóteles se muda para Atenas com intuito de estudar na Academia de Platão, onde foi um brilhante estudante. Platão estava com 61 anos de idade.356 a.C. – Nasce Alexandre, filho de Felipe (rei da Macedônia).347 a.C. – Morre Platão e Espeusipus se torna o novo diretor da Academia. Aristóteles deixa Atenas e se muda com outros colegas da Academia para Assos (hoje situada no litoral da Turquia). Neste período Aristóteles se casa com Pithias, filha de Herméias, rei de Assos e que também frequentou a Academia de Platão. Aristóteles tem uma filha que assim como a mãe também é chamada Pithias.344 a.C. – Herméias é deposto. Aristóteles se muda para Mytilene nas ilhas de Lesbos. Se associa com Teofrastos, um nativo desta cidade e também formado pela academia de Platão e faz importantes estudos em biologia.343 a.C. – Felipe, rei da Macedônia, convida Aristóteles para morar em sua residência e ser o tutor de seu filho Alexandre (mais tarde, O Grande) que tem 13 anos de idade.335 a.C. – Felipe morre. Alexandre sobe ao trono. Aristóteles volta para Atenas e funda a sua própria escola, o Liceu. Neste mesmo ano, de volta a Atenas, fundou o Lykeion, (termo que deu origem a palavra Liceu) cujos alunos ficaram conhecidos como peripatéticos (os que passeiam), nome decorrente do hábito de Aristóteles de ensinar ao ar livre, muitas vezes sob as árvores que cercavam o Liceu. Ao contrário da Academia de Platão, o Liceu privilegiava as ciências naturais. Alexandre mesmo enviava ao mestre exemplares da fauna e flora das regiões conquistadas. O trabalho cobria os campos do conhecimento clássico de então: filosofia, metafísica, lógica, ética, política, retórica, poesia, biologia, zoologia, medicina e não só estabeleceu as bases de tais disciplinas quanto a metodologia científica. Durante este período Pythias morre e Aristóteles se casa com Herpyllis que também era nativa de Estagira. Com ela Aristóteles tem um filho chamado Nicômaco.323 a.C. – Após estender suas conquistas ao Egito, à Síria, Pérsia e Índia, Alexandre o Grande Morre (na Índia); por causa do sentimento antimacedônico, Aristóteles se vê obrigado a sair de Atenas pela última vez.322 a.C. – Aristóteles morre em Cálsis, na Eubéia

1.2 MATEMÁTICO1.2.1 PITAGORAS DE SOMOSPitágoras de Samos (do grego Πυθαγόρας) foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca de 496 a.C. ou 497 a.C.A sua biografia está envolta em lendas. Diz-se que o nome significa altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, pois mãe ao consultar a pitonisa soube que a criança seria um ser excepcional.Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica.Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos.Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônias gregas na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou

dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C..

1.2.2 A escola de Pitágoras

Segundo o pitagorismo, a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisas é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei, e substância, considerando o número o elo entre estes elementos. Para esta escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo.Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as relações matemáticas e descobriram vários fundamentos da física e da matemática.1.2.3 O pentagrama era o símbolo da Escola Pitagórica.O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser dividida para a obtenção das notas musicais no início, sem altura definida, sendo uma tomada como fundamental (pensemos numa longa corda presa a duas extremidades que, quando tangida, nos dará o som mais grave - e a partir dela, gerar-se-á a quinta e terça através da reverberação harmônica. Os sons harmônicos. Prendendo-se a metade da corda, depois a terça parte e depois a quinta parte conseguiremos os intervalos de quinta e terça em relação à fundamental. A chamada SÉRIE HARMÔNICA. À medida que subdividimos a corda obtemos sons mais altos e os intervalos serão diferentes. E assim sucessivamente. Descobriu ainda que frações simples das notas, tocadas juntamente com a nota original, produzem sons agradáveis. Já as frações mais complicadas, tocadas com a nota original, produzem sons desagradáveis.O nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que explicavam a alternância de dias e noites. A filosofia baseou uma doutrina chamada Filosofia explanatória Cristo-Pitagorica.A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e defendia a metempsicose.Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos fatores que concorreram para esse fenômeno foi a linha política adotada pelos tiranos: para garantir o papel de líderes populares e para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos estimulavam a expansão de cultos populares ou estrangeiros.Dentre estes cultos, um teve enorme difusão: o Orfismo (de Orfeu), originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica. Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma, ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a alma migrava para outro corpo, por várias vezes, a fim de efetivar a purificação. Dioniso guiaria este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se dele.Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade harmônica. Os números não seriam, neste caso, os símbolos, mas os valores das grandezas, ou seja, o mundo não seria composto dos números 0, 1, 2, etc., mas dos valores que eles exprimem. Assim, portanto, uma coisa manifestaria externamente a estrutura numérica, sendo esta coisa o que é por causa deste valor.

1.3 FISICO1.3.1 ARQUIMEDES(em grego ρχιμήδης) foi um matemático, físico e inventor grego. Foi um dos mais importantes cientistasἈ e matemáticos da Antiguidade e um dos maiores de todos os tempos. Ele fez descobertas importantes em geometria e matemática, como por exemplo um método para calcular o número π (razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro) utilizando séries. Este resultado constitui também o primeiro caso conhecido do cálculo da soma de uma série infinita. Ele inventou ainda vários tipos de

máquinas, quer para uso militar, quer para uso civil. No campo da Física, ele contribuiu para a fundação da Hidrostática, tendo feito, entre outras descobertas, o famoso princípio que leva o seu nome. Ele descobriu ainda o princípio da alavanca e a ele é atribuída a citação: "Dêem-me uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo".Hoje conhecemos muito pouco sobre a vida de Arquimedes e sobre a sua obra, já que muitos dos documentos originais foram destruídos. No entanto os romanos tinham muita admiração por ele e alguns historiadores deixaram textos em que descreviam aquilo que na sua época ainda se conhecia sobre a sua vida e obra. Apesar de que muitos desses textos são sobretudo lendas, o pouco que se sabe sobre Arquimedes teve uma importância decisiva no surgimento da ciência moderna, tendo influenciado, entre outros, Galileu Galilei e Isaac Newton.A maioria dos detalhes da vida de Arquimedes são desconhecidos. Sabe-se que nasceu em Siracusa, na época uma cidade-estado da Magna Grécia cerca de 287 a.C. Seu pai foi um astrônomo chamado Fídias, do qual nada se conhece. Quando jovem, estudou em Alexandria, o centro do saber da época, com Cônon, um dos discípulos de Euclides. Embora na Antiguidade não houvesse clara distinção entre matemáticos (geómetras), físicos (cientistas naturais) e filósofos, Arquimedes destacou-se ao longo da sua vida principalmente como inventor e matemático.Arquimedes morreu após a tomada de Siracusa durante a Segunda Guerra Púnica, cerca do ano 212 a.C.. Foi morto por engano por um soldado romano, apesar dos soldados terem ordens explícitas para defendê-lo, já que os romanos tinham uma enorme admiração por ele. Diz-se que quando os soldados romanos invadiram a praia de Siracusa, encontraram um velho senhor - o próprio Arquimedes - desenhando círculos na areia. Sem imaginar que esse era o génio responsável pela criação das poderosas armas sicilianas, assassinaram-no quando ele se negou a obedecer a suas ordens, porque não queria ver perturbado o raciocínio que seguia nesse momento. De acordo com o seu desejo, a sua sepultura foi decorada com o desenho de uma esfera dentro de um cilindro, que fazia parte de uma das suas demonstrações matemáticas favoritas.

1.3.2 Obra e pensamento de Arquimedes

Acreditava que nada do que existe é tão grande que não possa ser medido. Aperfeiçoou, pois, o sistema grego de numeração, criando uma notação cômoda para os números muito grandes, semelhante ao actual sistema exponencial. As suas invenções engenhosas de máquinas de carácter utilitário e bélico fizeram-no famoso.Em mecânica, são atribuídas a ele algumas invenções tais como a rosca sem fim, a roda dentada, a roldana móvel, a alavanca. Alguns historiadores dizem que ele teria criado dispositivos como a máquina de Antikythera.

1.3.3 Hidrostática: "Eureka! Eureka!"

Em Física, no seu "Tratado dos Corpos Flutuantes", estabeleceu as leis fundamentais da Estática e da Hidrostática. Um dos princípios fundamentais da hidrostática é assim enunciado: "Todo corpo mergulhado total ou parcialmente em um fluido sofre uma impulsão vertical, dirigido de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido deslocado, e aplicado no centro de impulsão."O centro do impulsão é o centro de gravidade do volume que corresponde à porção submersa do corpo. Isto quer dizer que, para o objeto flutuar, o peso da água deslocada pelo objeta tem de ser maior que o próprio peso do objeta.Conta-se que certa vez, Hierão, rei de Siracusa, no século III a.C. havia encomendado uma coroa de ouro, para homenagear uma divindade que supostamente o protegera em suas conquistas, mas foi levantada a acusação de que o ourives o enganara, misturando o ouro maciço com prata em sua confecção. Para descobrir, sem danificar o objeto, se o seu interior continha uma parte feita de prata, Hierão pediu a ajuda de Arquimedes. Ele pôs-se a procurar a solução para o problema, a qual lhe ocorreu durante um banho. A lenda afirma que Arquimedes teria notado que uma quantidade de água correspondente ao seu próprio volume transbordava da banheira quando ele entrava nela e que, utilizando um método semelhante, poderia comparar o volume da coroa com os volumes de iguais pesos de prata e ouro: bastava colocá-los em um recipiente cheio de água, e medir a quantidade de líquido derramado. Feliz com essa fantástica descoberta, Arquimedes teria saído à rua nu, gritando "Eureka! Eureka!" ("Encontrei! Encontrei!"').O autor mais antigo conhecido a descrever essa história foi Marcus Vitruvius Pollio, um arquiteto romano do século I a.C., em sua obra De architetura. Vitruvius não viveu na época de Arquimedes e sim dois séculos depois, portanto as suas palavras não constituem relato de primeira mão, e não se sabe em que tipo de fonte ele se baseou. O método atribuído por ele a Arquimedes não seria, no entanto, adequado, por causa dos erros introduzidos pela tensão superficial do líquido.

Muitos autores antigos perceberam as dificuldades de se utilizar tal método. Um deles foi Galileu Galilei, que comentou sobre isso em um pequeno trabalho chamado La bilancetta ("A balancinha"). Galileu suspeitava que Arquimedes teria utilizado outro método, empregando pesagens (balança hidrostática) e não medidas de líquido derramado. Em 1891, o francês Marcellin Berthelot encontrou um texto do início da era cristã que confirmava a conjectura de Galileu, pois atribuía a Arquimedes esse segundo método. Os argumentos e documentos estudados por Berthelot reforçam a idéia de que Arquimedes teria utilizado um método de pesagens no ar e na água e não o método de derramamento de água descrito por Vitruvius.

1.3.4 Criações bélicas

Na Segunda Guerra Púnica, contra o poderoso exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marco Cláudio Marcelo, Arquimedes teria criado aparatos, como: • Catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras inimigas;Durante quase três anos, as máquinas de guerra de sua invenção que lançavam dardos e pedras de até 150 quilogramas teriam sido as principais responsáveis pelas derrotas impostas pelos gregos ao exército de Marcelo, general romano que sitiava Siracusa. • Um enorme jogo de espelhos côncavos, formados pelos escudos de bronze dos soldados gregos, após polimento, que direcionavam a luz do Sol para um mesmo ponto de um navio por vez, afim de incendiá-lo. Não há comprovações históricas de que esse fato realmente ocorreu.Tentativas de repetir este feito foram feitas mas produziram resultados inconclusivos. No programa "Caçadores de Mitos", estudantes do Massachusetts Institute of Technology conseguiram um princípio de incêndio em uma embarcação desde que ela ficasse estacionada por dez minutos no mesmo local. • Gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios romanos, afundando-os pela popa;Plutarco conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado uma artimanha diabólica de Arquimedes. Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assalto e infligiu-lhe um cerco de 3 anos. Em 212 a.C. a cidade rendeu-se.

1.3.5 Criações Matemáticas

• No tratado "Sobre as Medidas do Círculo", Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para π; • No tratado "A Quadratura da Parábola", Arquimedes demonstrou que a área contida por uma parábola (Sp) e uma reta transversal é 4 / 3 da área do triângulo (St) com a mesma base e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base; • O tratado sobre espirais descreveu a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes (em coordenadas polares tem equação r = a + bθ) e pela primeira vez determinou a tangente a uma curva que não seja o círculo; • De forma inédita, Arquimedes apresentou os primeiros conceitos de limites e cálculo diferencial, cerca de 19 séculos antes de Newton;1.3.6 Relação das principais obras de Arquimedes: • Do Equilíbrio dos Planos • Dos Flutuantes • O Arenário • Da Quadratura da Parábola • Da Esfera e do Cilindro • Da Medida do Círculo • Dos Conóides e Esferóides • Das Espirais • Lemas • Do Método Relativo aos Teoremas Mecânicos

2.0 EXPOSIÇÃO DAS IDÉIAS, TERORIAS E LEIS2.1 ARISTÓTELES O FILOSOFO

2.1.1 O pensamento aristotélico

A tradição representa um elemento vital para a compreensão da filosofia aristotélica. Em certo sentido, Aristóteles via o próprio pensamento como o ponto culminante do processo desencadeado por Tales de Mileto. A filosofia pretendia não apenas rever como também corrigir as falhas e imperfeições das filosofias anteriores. Ao mesmo tempo, trilhou novos caminhos para fundamentar as críticas, revisões e novas proposições.Aluno de Platão, Aristóteles discorda de uma parte fundamental da filosofia. Platão concebia dois mundos existentes: aquele que é apreendido por nossos sentidos, o mundo concreto -, em constante mutação; e outro mundo - abstrato -, o das ideias, acessível somente pelo intelecto, imutável e independente do tempo e do espaço material. Aristóteles, ao contrário, defende a existência de um único mundo: este em que vivemos. O que está além de nossa experiência sensível não pode ser nada para nós.

2.1.2 Lógica

Para Aristóteles, a Lógica é um instrumento, uma introdução para as ciências e para o conhecimento e baseia-se no silogismo, o raciocínio formalmente estruturado que supõe certas premissas colocadas previamente para que haja uma conclusão necessária. O silogismo é dedutivo, parte do universal para o particular; a indução, ao contrário, parte do particular para o universal. Dessa forma, se forem verdadeiras as premissas, a conclusão, logicamente, também será.

2.1.3 Física

A concepção aristotélica de Física parte do movimento, elucidando-o nas análises dos conceitos de crescimento, alteração e mudança. A teoria do ato e potência, com implicações metafísicas, é o fundamento do sistema. Ato e potência relacionam-se com o movimento enquanto que a matéria e forma com a ausência de movimento.Para Aristóteles, os objetos caíam para se localizarem corretamente de acordo com a natureza: o éter, acima de tudo; logo abaixo, o fogo; depois o ar; depois a água e, por último, a terra.

2.1.4 Psicologia

A Psicologia é a teoria da alma e baseia-se nos conceitos de alma (psykhé) e intelecto (noûs). A alma é a forma primordial de um corpo que possui vida em potência, sendo a essência do corpo. O intelecto, por sua vez, não se restringe a uma relação específica com o corpo; sua atividade vai além dele.O organismo, uma vez desenvolvido, recebe a forma que lhe possibilitará perfeição maior, fazendo passar suas potências a ato. Essa forma é alma. Ela faz com que vegetem, cresçam e se reproduzam os animais e plantas e também faz com que os animais sintam.No homem, a alma, além de suas características vegetativas e sensitivas, há também a característica da inteligência, que é capaz de apreender as essências de modo independente da condição orgânica.Ele acreditava que a mulher era um ser incompleto, um meio homem. Seria passiva, ao passo que o homem seria ativo.

2.1.5 Biologia

A biologia é a ciência da vida e situa-se no âmbito da física (como a própria psicologia), pois está centrada na relação entre ato e potência. Aristóteles foi o verdadeiro fundador da zoologia - levando-se em conta o sentido etimológico da palavra. A ele se deve a primeira divisão do reino animal.Aristóteles é o pai da teoria da abiogênese, que durou até séculos mais recentes, segundo a qual um ser nascia de um germe da vida, sem que um outro ser precisasse gerá-lo (exceto os humanos): um exemplo é o das aves que vivem à beira das lagoas, cujo germe da vida estaria nas plantas próximas.Ainda no campo da biologia, Aristóteles foi quem iniciou os estudos científicos documentados sobre peixes sendo o precursor da ictiologia (a ciência que estuda os peixes), catalogou mais de cem espécies de peixes marinhos e descreveu seu comportamento. É considerado como elemento histórico da evolução da piscicultura e da aquariofilia.

2.1.6 Metafísica

O termo "Metafísica" não é aristotélico; o que hoje chamamos de metafísica era chamado por Aristóteles de filosofia primeira. Esta é a ciência que se ocupa com realidades que estão além das realidades físicas que possuem fácil e imediata apreensão sensorial.

O conceito de metafísica em Aristóteles é extremamente complexo e não há uma definição única. O filósofo deu quatro definições para metafísica: 1. a ciência que indaga causas e princípios; 2. a ciência que indaga o ser enquanto ser; 3. a ciência que investiga a substância; 4. a ciência que investiga a substância supra-sensível.Os conceitos de ato e potência, matéria e forma, substância e acidente possuem especial importância na metafísica aristotélica.

As quatro causas

Para Aristóteles, existem quatro causas implicadas na existência de algo: • A causa material (aquilo do qual é feita alguma coisa, a argila, por exemplo); • A causa formal (a coisa em si, como um vaso de argila); • A causa eficiente (aquilo que dá origem ao processo em que a coisa surge, como as mãos de quem trabalha a argila); • A causa final (aquilo para o qual a coisa é feita, cite-se portar arranjos para enfeitar um ambiente).A teoria aristotélica sobre as causas estende-se sobre toda a Natureza, que é como um artista que age no interior das coisas.

Essência e acidente

Aristóteles distingue, também, a essência e os acidentes em alguma coisa.A essência é algo sem o qual aquilo não pode ser o que é; é o que dá identidade a um ser, e sem a qual aquele ser não pode ser reconhecido como sendo ele mesmo (por exemplo: um livro sem nenhum tipo de história ou informações estruturadas, no caso de um livro técnico, não pode ser considerado um livro, pois o fato de ter uma história ou informações é o que permite-o ser identificado como "livro" e não como "caderno" ou meramente "maço de papel").O acidente é algo que pode ser inerente ou não ao ser, mas que, mesmo assim, não descaracteriza-se o ser por sua falta (o tamanho de uma flor, por exemplo, é um acidente, pois uma flor grande não deixará de ser flor por ser grande; a sua cor, também, pois, por mais que uma flor tenha que ter, necessariamente, alguma cor, ainda assim tal característica não faz de uma flor o que ela é).

Potência, ato e movimento

Todas as coisas são em potência e ato. Uma coisa em potência é uma coisa que tende a ser outra, como uma semente (uma árvore em potência). Uma coisa em ato é algo que já está realizado, como uma árvore (uma semente em ato). É interessante notar que todas as coisas, mesmo em ato, também são em potência (pois uma árvore - uma semente em ato - também é uma folha de papel ou uma mesa em potência). A única coisa totalmente em ato é o Ato Puro, que Aristóteles identifica com o Bem. Esse Ato não é nada em potência, nem é a realização de potência alguma. Ele é sempre igual a si mesmo, e não é um antecedente de coisa alguma. Desse conceito Tomás de Aquino derivou sua noção de Deus em que Deus seria "Ato Puro".Um ser em potência só pode tornar-se um ser em ato mediante algum movimento. O movimento vai sempre da potência ao ato, da privação à posse. É por isso que o movimento pode ser definido como ato de um ser em potência enquanto está em potência.O ato é portanto, a realização da potência, e essa realização pode ocorrer através da ação (gerada pela potência ativa) e perfeição (gerada pela potência passiva).

2.1.7 Ética

No sistema aristotélico, a ética é a ciência das condutas, menos exata na medida em que se ocupa com assuntos passíveis de modificação. Ela não se ocupa com aquilo que no homem é essencial e imutável, mas daquilo que pode ser obtido por ações repetidas, disposições adquiridas ou de hábitos que constituem as virtudes e os vícios. Seu objetivo último é garantir ou possibilitar a conquista da felicidade.Partindo das disposições naturais do homem (disposições particulares a cada um e que constituem o caráter), a moral mostra como essas disposições devem ser modificadas para que se ajustem à razão. Estas disposições costumam estar afastadas do meio-termo, estado que Aristóteles considera o ideal. Assim, algumas pessoas são muito tímidas, outras muito audaciosas. A virtude é o meio-termo e o vício se dá ou

na falta ou no excesso. Por exemplo: coragem é uma virtude e seus contrários são a temeridade (excesso de coragem) e a covardia (ausência de coragem).As virtudes se realizam sempre no âmbito humano e não têm mais sentido quando as relações humanas desaparecem, como, por exemplo, em relação a Deus. Totalmente diferente é a virtude especulativa ou intelectual, que pertence apenas a alguns (geralmente os filósofos) que, fora da vida moral, buscam o conhecimento pelo conhecimento. É assim que a contemplação aproxima o homem de Deus.

2.1.8 Política

Na filosofia aristotélica a política é um desdobramento natural da ética. Ambas, na verdade, compõem a unidade do que Aristóteles chamava de filosofia prática.Se a ética está preocupada com a felicidade individual do homem, a política se preocupa com a felicidade coletiva da pólis. Desse modo, é tarefa da política investigar e descobrir quais são as formas de governo e as instituições capazes de assegurar a felicidade coletiva. Trata-se, portanto, de investigar a constituição do estado.Acredita-se que as reflexões aristotélicas sobre a política originam-se da época em que ele era preceptor de Alexandre, o Grande.

2.1.9 Direito

Para Aristóteles, assim como a política, o direito também é um desdobramento da ética. O direito para Aristóteles é uma ciência dialética, por ser fruto de teses ou hipóteses, não necessariamente verdadeiras, validadas principalmente pela aprovação da maioria.

2.1.10 Retórica

Aristóteles considerava importante o conhecimento da retórica, já que ela se constituiu em uma técnica (por habilitar a estruturação e exposição de argumentos) e por relacionar-se com a vida pública. O fundamento da retórica é o entimema (silogismo truncado, incompleto), um silogismo no qual se subentende uma premissa ou uma conclusão. O discurso retórico opera em três campos ou gêneros: gênero deliberativo, gênero judicial e gênero epidítico (ostentoso, demonstrativo).

2.1.11 Poética

A poética é imitação (mimesis) e abrange a poesia épica, a lírica e a dramática: (tragédia e comédia). A imitação visa a recriação e a recriação visa aquilo que pode ser. Desse modo, a poética tem por fim o possível. O homem apresenta-se de diferentes modos em cada gênero poético: a poesia épica apresenta o homem como maior do que realmente é, idealizando-o; a tragédia apresenta o homem exaltando suas virtudes e a comédia apresenta o homem ressaltando seus vícios ou defeito.

2.1.12 Astronomia

O cosmos aristotélico é apresentado como uma esfera gigantesca, porém finita, à qual se prendiam as estrelas, e dentro da qual se verificava uma rigorosa subordinação de outras esferas, que pertenciam aos planetas então conhecidos e que giravam em torno da Terra, que se manteria imóvel no centro do sistema (sistema geocêntrico).Os corpos celestes não seriam formados por nenhum dos chamados quatro elementos transformáveis (terra, água, ar, fogo), mas por um elemento não transformável designado "quinta essência". Os movimentos circulares dos objetos celestes seriam, além de naturais, eternos.2.2 PITAGORAS O MATEMATICO

2.2.1 Principais descobertas

Além de grandes místicos, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números.

2.2.2 Números figurados

Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português. Este

número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de representação para a completude do todo. α α α α α αα α α αA tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um α em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base, era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas. Representação toda perfeita em si de qualquer um dos lados que se observe.

2.2.3 Números perfeitos

A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos: 1. Os divisores de 6 são: 1,2,3 e 6. Então, 1 + 2 + 3 = 6. 2. Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28. Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.[pic]

Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras.Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1: [pic]Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.

2.2.4 Reitor da primeira universidade

A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas.Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²= a²+b²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º, 360º).Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.Quando retornou à sua cidade natal, Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade do mundo".A Escola Pitagórica e as atividades se viram desde então envoltas por um véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que defendiam, destacam-se: • prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma; • lealdade entre os membros e distribuição comunitária dos bens materiais; • austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola; • proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que os discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do denominado Teorema de Pitágoras); • purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia; • classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis; • "criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso" (George Simmons); • grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o

infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar; • na Astronomia, idéias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades nas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a idéia de que há uma ordem que domina o Universo; • aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea"; • na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas. Pitágoras - assim como outros filósofos gregos pré-socráticos - também descreveu o poder do som e seus efeitos sobre a psique humana. Essa experiência musicoterápica possivelmente foi utilizada mais tarde por Aristóteles como base teórica para sua definição de música, que, segundo ele, era uma "arte medicinal".Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras. Mas não é fácil negar aos pitagóricos - assevera Carl Boyer - "o papel primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina racional". A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma frase: "Se não houvesse o 'teorema Pitágoras', não existiria a Geometria".Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (c. 300 d.C.) registra que o mestre vivia repetindo aos discípulos: “todas as coisas se assemelham aos números”.A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verba de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.2.2.5 Pensamentos de Pitágoras 1. Educai as crianças e não será preciso punir os homens. 2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si. 3. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo. 4. O que fala semeia; o que escuta recolhe. 5. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues. 6. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem. 7. Todas as coisas são números. 8. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus. 9. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus. 10. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se. 11. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste em cometê-las

Importância para o Direito

Pitágoras foi o primeiro filósofo a criar uma definição que quantificava o objetivo final do Direito: a Justiça. Ele definiu que um ato justo seria a chamada "justiça aritmética", na qual cada indivíduo deveria receber uma punição ou ganho quantitativamente igual ao ato cometido. Tal argumento foi refutado por Aristóteles, pois ele acreditava em uma justiça geométrica, na qual cada indivíduo receberia uma punição ou ganho qualitativamente, ou proporcionalmente, ao ato cometido; ou seja, ser desigual para com os desiguais a fim de que estes sejam igualados com o resto da sociedade.

2.2.6 Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os três lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, a relação é a seguinte:Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que formam um ângulo reto.O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.E também pode ser escrito em forma de equação: [pic]onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras, que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração, embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).

2.2.7 Em fórmulas

Um triângulo retânguloSendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos outros dois lados, o teorema pode ser expresso como a equação: [pic]ou, isolando c: [pic]Se c já é conhecido, e precise-se encontrar o comprimento de um dos catetos, as seguintes equações (que são corolários da primeira) podem ser usadas: [pic]ou [pic]Essa equação fornece uma relação simples entre os três lados de um triângulo retângulo de modo que se os comprimentos de quaisquer dois lados são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser encontrado. Uma generalização desse teorema é a lei dos cossenos, que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dado os comprimentos dos dois lados e a medida do ângulo entre eles. Se o ângulo entre os lados é um ângulo reto, reduz-se ao teorema de Pitágoras.Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos.Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também, marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes: [pic]O primeiro resultado é igual ao cosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.Estas relações podem ser escritas como: [pic]Somando estas duas igualdades, obtém-se [pic]que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras: [pic]

A diagonal do quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo [pic]o lado e [pic]a diagonal, segue que: [pic]Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como: [pic]

A altura do triângulo equilátero

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo [pic]o lado e [pic]a altura, segue que: [pic] [pic]Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrado como: [pic]

Identidade trigonométrica fundamental

[pic]e [pic]Disso, segue que: [pic]

2.3 ARQUIMEDES O FISICO

2.3.1 Obra e pensamento de Arquimedes

Acreditava que nada do que existe é tão grande que não possa ser medido. Aperfeiçoou, pois, o sistema grego de numeração, criando uma notação cômoda para os números muito grandes, semelhante ao atual sistema exponencial. As suas invenções engenhosas de máquinas de carácter utilitário e bélico fizeram-no famoso.Em mecânica, são atribuídas a ele algumas invenções tais como a rosca sem fim, a roda dentada, a roldana móvel, a alavanca. Alguns historiadores dizem que ele teria criado dispositivos como a máquina de Antikythera.

2.3.2 Criações bélicas

Na Segunda Guerra Púnica, contra o poderoso exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marco Cláudio Marcelo, Arquimedes teria criado aparatos, como: • Catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras inimigas;Durante quase três anos, as máquinas de guerra de sua invenção que lançavam dardos e pedras de até 150 quilogramas teriam sido as principais responsáveis pelas derrotas impostas pelos gregos ao exército de Marcelo, general romano que sitiava Siracusa. • Um enorme jogo de espelhos côncavos, formados pelos escudos de bronze dos soldados gregos, após polimento, que direcionavam a luz do Sol para um mesmo ponto de um navio por vez, afim de incendiá-lo. Não há comprovações históricas de que esse fato realmente ocorreu.Tentativas de repetir este feito foram feitas mas produziram resultados inconclusivos. No programa "Caçadores de Mitos", estudantes do Massachusetts Institute of Technology conseguiram um princípio de incêndio em uma embarcação desde que ela ficasse estacionada por dez minutos no mesmo local. • Gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios romanos, afundando-os pela popa;Plutarco conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado uma artimanha diabólica de Arquimedes. Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assalto e infligiu-lhe um cerco de 3 anos. Em 212 a.C. a cidade rendeu-se.

2.3.3 Criações matemáticas

• No tratado "Sobre as Medidas do Círculo", Arquimedes, em um círculo dado, inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e, por muitos séculos, o mais acertado valor para π; • No tratado "A Quadratura da Parábola", Arquimedes demonstrou que a área contida por uma parábola (Sp) e uma reta transversal é 4 / 3 da área do triângulo (St) com a mesma base e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base; • O tratado sobre espirais descreveu a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes (em coordenadas polares tem equação r = a + bθ) e pela primeira vez determinou a tangente a uma curva que não seja o círculo; • De forma inédita, Arquimedes apresentou os primeiros conceitos de limites e cálculo diferencial, cerca de 19 séculos antes de Newton;

2.3.4 Outros inventos notáveis

• Um mecanismo feito de tubos em hélice, fixos a um eixo inclinado com uma manivela para fazê-lo girar. Tem por escopo elevar a água a um plano superior, conhecido como Parafuso de Arquimedes. É um processo rudimentar, mas que ainda é usado ao longo do rio Nilo. Na década de 1970, nos Países Baixos, foram desenvolvidas bombas do tipo parafuso de Arquimedes movidas por motores elétricos para esgotamento dos polderes em substituição aos moinhos de vento. • Conta Plutarco que Arquimedes arrastou uma das galeras do rei Herão, tão suave e uniformemente como se navegasse em pleno mar, movendo apenas com sua mão a extremidade de um engenho que consistia em um bloco com polias e cordas. • Relata Cícero que Arquimedes construiu um empolgante mecanismo hidráulico, com esferas móveis que representavam o Sol, a Lua e os cinco planetas então conhecidos, podendo-se observar as fases e os eclipses da Lua. Enfim, um pequeno planetário.São tantos os feitos que Leibnitz se faz apropriado: "Quem entende Arquimedes e Apolônio, admirará menos as realizações dos homens mais célebres de épocas posteriores".

Obras

2.3.5 Relação das principais obras de Arquimedes: • Do Equilíbrio dos Planos • Dos Flutuantes • O Arenário • Da Quadratura da Parábola • Da Esfera e do Cilindro • Da Medida do Círculo • Dos Conóides e Esferóides • Das Espirais • Lemas • Do Método Relativo aos Teoremas Mecânicos

Alavanca

[pic]

Princípio do funcionamento de uma alavanca.Na física, a alavanca ou lavanca é um objeto rígido que é usado com um ponto fixo apropriado (fulcro) para multiplicar a força mecânica que pode ser aplicada a um outro objeto (resistência). Isto é denominado também vantagem mecânica, e é um exemplo do princípio dos momentos. O princípio da força de alavanca pode também ser analisado usando as leis de Newton.

Alavancas, a força aplicada em pontos de extremidade da alavanca é proporcional à relação do comprimento do braço de alavanca medido entre o fulcro e o ponto da aplicação da força aplicada em cada extremidade da alavanca.

A equação fundamental das alavancas é: [pic]onde: • Fp é a força potente; • Fr é a força resistente; • OP é o braço potente; e • OR é o braço resistente.A força aplicada em pontos de extremidade da alavanca é proporcional à relação do comprimento do braço de alavanca medido entre o fulcro e o ponto da aplicação da força aplicada em cada extremidade da alavanca.A equação fundamental das alavancas é: Fp \times OP = Fr \times ORonde: • Fp é a força potente; • Fr é a força resistente; • OP é o braço potente; e • OR é o braço resistente.

3.0 ANALISE DA FUNÇÃOPara a analise da função o grupo escolhei a representar o sistema de alavanca de Arquimedes.Em seguida uma breve apresentação da teoria de alavanca de Arquimedes seguido de planilha demonstrando seu conceito.[pic]

3.1 Princípio do funcionamento de uma alavanca.Na física, a alavanca ou lavanca é um objeto rígido que é usado com um ponto fixo apropriado (fulcro) para multiplicar a força mecânica que pode ser aplicada a um outro objeto (resistência). Isto é denominado também vantagem mecânica, e é um exemplo do princípio dos momentos. O princípio da força de alavanca pode também ser analisado usando as leis de Newton.

3.2 Alavancas

A força aplicada em pontos de extremidade da alavanca é proporcional à relação do comprimento do braço de alavanca medido entre o fulcro e o ponto da aplicação da força aplicada em cada extremidade da alavanca.A equação fundamental das alavancas é: [pic]onde: • Fp é a força potente; • Fr é a força resistente; • OP é o braço potente; e • OR é o braço resistente.A força aplicada em pontos de extremidade da alavanca é proporcional à relação do comprimento do braço de alavanca medido entre o fulcro e o ponto da aplicação da força aplicada em cada extremidade da alavanca.A equação fundamental das alavancas é: Fp \times OP = Fr \times ORonde: • Fp é a força potente; • Fr é a força resistente; • OP é o braço potente; e • OR é o braço resistente.

A balança de dois pratosA balança de dois pratos é uma alavanca interfixa, pois seu ponto fixo fica entre as duas forças que atuam sobre esta máquina.Para que, em uma alavanca, ocorra equilíbrio entre os lados, o produto do braço pela força resultante deve ser igual em ambas extremidades.L1 \times F1 = L2 \times F2, tal como Fp \times OP = Fr \times ORPara que, em uma alavanca, ocorra equilíbrio entre os lados, o produto do braço pela força resultante deve ser igual em ambas extremidades. • O peso P representa a resistência aplicada no ponto B, o ponto O é o ponto de apoio (fulcro) e a força representa a potência aplicada no ponto A. • O torque da força F2 com relação ao ponto O é tal que faz girar o sistema no sentido horário e depende do módulo da força peso e da distância D2. • O torque da força F1 com relação ao ponto O é tal que faz girar o sistema no sentido anti-horário e depende do módulo da força peso e da distância D1. • Quando os dois torques forem iguais, o sistema não gira, está em equilíbrio.Podem ser classificadas em: • Alavanca inter-fixa ou de primeira classe: onde o ponto fixo fica entre a força resistente (F1) e a força potente (F2):Exemplo: Gangorra, articulação, cabeça, atlanto axial, tornozelo e tesoura • Alavanca inter-resistente ou de segunda classe: onde a força resistente (F1) está entre a força potente (F2) e o ponto fixo:Exemplo: Carrinho-de-mão, quebra nozes e pé. • Alavanca interpotente ou de terceira classe: onde a força potente (F2) está entre a força resistente (F1) e o ponto fixo:Exemplo: Pinça, cotovelo, ombro e tronco

A balança de dois pratos

A balança de dois pratos é uma alavanca interfixa, pois seu ponto fixo fica entre as duas forças que atuam sobre esta máquina.Para que, em uma alavanca, ocorra equilíbrio entre os lados, o produto do braço pela força resultante deve ser igual em ambas extremidades.[pic], tal como [pic]Para que, em uma alavanca, ocorra equilíbrio entre os lados, o produto do braço pela força resultante deve ser igual em ambas extremidades.

As alavancas

• O peso P representa a resistência aplicada no ponto B, o ponto O é o ponto de apoio (fulcro) e a força representa a potência aplicada no ponto A. • O torque da força F2 com relação ao ponto O é tal que faz girar o sistema no sentido horário e depende do módulo da força peso e da distância D2. • O torque da força F1 com relação ao ponto O é tal que faz girar o sistema no sentido anti-horário e depende do módulo da força peso e da distância D1. • Quando os dois torques forem iguais, o sistema não gira, está em equilíbrio.[pic]Podem ser classificadas em: • inter-fixa ou de primeira classe [pic]onde o ponto fixo fica entre a força resistente (F1) e a força potente (F2): [pic] Exemplo: Gangorra, articulação, cabeça, atlanto axial, tornozelo e tesoura • inter-resistente ou de segunda classe [pic]onde a força resistente (F1) está entre a força potente (F2) e o ponto fixo: [pic] Exemplo: Carrinho-de-mão, quebra nozes e pé. • interpotente ou de terceira classe [pic]onde a força potente (F2) está entre a força resistente (F1) e o ponto fixo: [pic] Exemplo: Pinça, cotovelo, ombro e tronco.

Planilha com analise da função sobre os efeitos da AlavancaPara demonstrar o conceito de alavanca vamos simular a seguinte situação:Devemos manter um alavanca em equilíbrio, temos diferentes situações, pesos diferentes, forças diferentes e tamanho de braços de alavanca diferentes.Para sabermos quando a alavanca esta em repouso utilizamos a seguinte formula F.b1=P.b2, para isso foi seguinte formula foi inserida:=SE((A2*B2)-(C2*D2)=0;"Alavanca Esta em Equilíbrio";(A2*B2)-(C2*D2)) e em seguida copiada para as demais.|Força "F" |Braço 1 "b1" |Peso "P" |Braço 2 "b2" |Resultado ||50 |10 |20 |25 |Alavanca Esta em Equilíbrio ||15 |25 |30 |12 |15 ||40 |14 |7 |78 |14 ||30 |17 |12 |42,5 |Alavanca Esta em Equilíbrio ||89 |76 |83 |76 |456 ||78 |34 |80 |33,15 |Alavanca Esta em Equilíbrio ||40 |30 |70 |10 |500 |

[pic]4.0 IMPACTOS PRODUZIDOS

4.1 FILÓSOFO ARISTÓTELES

No ramo da filosofia todos conhece Aristóteles, desde sua época ele vem influenciando a todos com sua linha de pensamento que para época era algo inovador considerado por muitos como o “preceptor da inteligência humana” por ter estudado uma variada gama de assuntos e por ter sido também um discípulo

que em muito sentidos ultrapassou o mestre, Platão, é conhecido também como O Filósofo. Aristóteles também foi chamado de o estagirita, pela terra natal, Estagira.Sua linha de pensamento influenciou a todos da época, sempre convivei com a alta corte, era uma pessoa influente de sua época, conviveu entre imperadores de sua época, um pouco mais tarde, fundou seu próprio liceu que mudou o método de ensino, seus alunos eram conhecidos como “os que caminhavam”, por serem visto sempre estudando em arvores e em gramados, isto ocorreu por que em certo período de sua vida o qual Aristóteles foi morar em Mytilene na ilha de Lesbos onde estudou biologia.Nos dias de hoje Aristóteles ainda é muito estudado e seus estudos também são utilizados em diversa ares como na psicologia, um psicólogo estuda muito a obra e vida de Aristóteles, tomando como seus estudos como base para teses e doutorados, um psicólogo mesmo após de formado usa os estudos de Aristóteles como fonte de busca para seus conhecimentos no dia a dia.E como hoje em dia a psicologia esta em todas as áreas possíveis, os estudos de Aristóteles acaba sendo utilizado em todas as áreas, por exemplo um candidato político, em época de eleição ele é preparado psicologicamente para enfrentar seus adversários políticos, a seleção de emprego de uma empresa este setor é formado por psicólogos que vão avaliar o candidato a vaga de emprego.Na poesia e na arte até hoje em dia vemos peças teatrais novas surgindo retratando época e idéias de Sócrates, Platão e Aristóteles entre outros filósofos.Como podemos ver até hoje Aristóteles influencia nossas vidas, pois é comum sermos avaliados.

4.2 FÍSICO ARQUIMEDES

Importantíssimo em sua época conhecido até como o senhor dos inventos Arquimedes, este contribuiu não só para a ciência mas também para o rumo da história que conhecemos hoje, não se sabe muito de sua vida pessoal pois com a perca de seus escritos, não se tem muitos documentos de sua vida e obra.Apesar desta perca ainda se conseguiu comprovar vários e atribuir vários fatos inventos cálculos e estudos de Arquimedes.Na área militar um dos principais inventores que proporcionou um enorme avanço no armamento de exércitos é a ele atribuído vários armas como catapultas capazes de lançar dardo e pedras de 150 quilogramas a metros de distancias, com um jogo de polias ele foi capaz de movimentar suavemente uma das galeras do rei Herão, hoje consideramos isto simples mas para a sua época era algo tão surpreendente e inovador, este mesmo jogo de polias depois foi utilizado em arcos e flechas e catapultas menores de fácil locomoção o exercito Romano que qualquer corda ou pau sobe as muralhas de Siracusa era considerado uma invenção diabólica de Arquimedes.Arquimedes era tão genial e revolucionário para sua época que nem seu inimigo o queria morto, umas das principais missões dos exercito Romano era capturá-lo vivo para poder usar seu conhecimento em proveito do exercito Romano.Na física deu um enorme passo para sua época com o seu conceito de hidrostática, que conhecemos até os dias de hoje, nós mesmo do primeiro ano de engenharia pudemos ver em nossas apostilas o conceito de empuxo, de onde tiramos a tão famosa “eureka,! Eureka!”Os conceitos de Arquimedes podemos ver sua influencia pratica nos dias de hoje facilmente, em qualquer empresa que formos visitar ou até mesmo no mecânico da esquina de nossas casas podemos ver uma talha que utiliza o sistema de polias na época de madeira e cordas, hoje com correntes e polias de aço.Outro exemplo é o parafuso de Arquimedes que em alguns locais ainda se utiliza para a retirada de água, mas também vemos este principio em empresas do ramo de farmácia, alimentos, e industria, para o transporte de líquidos e sólidos, um dos integrantes deste grupo que trabalha em uma multinacional no ramo de manuseio de matéria-prima, já presenciou este principio em quase todas as grandes empresa que trabalhar com transporte de materiais, “em 2 anos de empresa já pude fornecer este equipamento conhecido como rosca dosadora que nada mais é do que o parafuso de Arquimedes para empresas de grande porte como Nestlé, Unilever, Amanco, Tigre, CorrPlastic, Pequivem entre outras” este é um exemplo da genialidade de Arquimedes.Na área da geometria todos os integrantes como a maior parte de nossa classe de engenharia tem contato diário com projeto mecânico, elétrico, automação ou civil, vê quase todos os dias alguns dos conceitos de Arquimedes nesta área, sobre as medidas do circulo, a tangente da parábola. O quadrante da parábola a espiral de Arquimedes, os primeiros conceitos de limite e calculo diferencial, a tangente.Muito difícil de mensurar, mas talvez seja o um dos nomes de sua época mais atual em nossas vidas.

4.3 MATEMÁTICO PITAGORAS

A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas.Pitagoras uma pessoa muito viajada, suas viagens foram em busca do saber, Pitagoras viajou durante trinta anos por lugares diferentes onde acumulou um conhecimento eclético, como astronomia, matemática, filosofia, misticismo e religião.Seu conceito de ensino de matemática é utilizado até os dias de hoje de outra forma, não se busca mais a purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Musica e Astronomia.Mas as pessoas continuam com o conceito de se viajar para buscar o conhecimento , vamos atrás de espacialização .Suas principais descobertas foram, números figurados, números perfeitos e o teorema de pitagoras, qual temos contado desde o colégio, que das descobertas que estudamos neste trabalho integrado, com certeza é a temos mais evidencias nos dias atuais e viemos a conhecer mais cedo em nossas vidas.

5.0 DISSERTAÇÃO SOBRE ESTE TRABALHO EM NOSSA FORMAÇÃO.

Para o nosso grupo ficou bem clara a interdisciplinaridade neste trabalho pudemos ver nitidamente os princípios da TFGE, Tópicos de matemática, TI, IPT, LP, o homem em sociedade.Pudemos ver por exemplo uma disciplina que achávamos difícil de estar interagindo com as outras que seria IPT, e vimos ao contrario tivemos uma preocupação e cuidado maior ao redigir este texto, mesmo tendo que copiar e colar certas partes de outras fontes de pesquisas tivemos a atenção em lê-las para ver se não teria algo de incorreto com o que aprendemos em sala de aulas, e sim encontramos algumas coisas a serem corrigidas. O próprio professor que nos auxiliou com as “Atividades Praticas Supervisionadas” nos deu a dicas de se preocupar com o texto e as fontes de pesquisas. Isto mostrava que os próprios professores estavam interagindo, o que nos fez ter este cuidado maior com algo que não nos preocupavam tanto anteriormente.A disciplina de LP podemos ver que os filósofos, matemáticos e físicos tiveram grande importância na área do direito, que alguns princípios de leis tem como fundamento na Grécia antiga, pudemos ver que não só o direito mas também a política, a lógica.Pudemos ver também que a física e matemática esta muito próximo de TI apesar de termos apenas demonstrado um planilha pudemos ver que penderemos ter utilizados a planilha para os três personagem que escolhemos para discutir e mostrar sua importância.

O EFEITO DESTE TRABALHO EM NOSSA FORMAÇÃONós que viemos do ensino médio e cursos técnicos pudemos ver outra realidade, não éramos incentivados a pesquisar a fundo os temas propostos por nossos professores, fazíamos isto apenas para os trabalhos de TCC, claro que fomos motivados por nota começamos nossas pesquisa em busca de 1 ponto na média final, mas com o decorrer de nossas pesquisas podemos ver um interesse muito grande em conhecer o assunto proposto, tanto que o que pesquisamos foi maior que o limite proposto pelo trabalho, o que seria uma busca rápida acabou virando algo de interesse para todos do grupo, quando foi pedido para escolhermos o que deveríamos pesquisar, cada um dos integrantes deste grupo tinha uma preferência alguns queriam que fosse Ampère, outro queria Galileu e outros Einstein, escolhemos este três por sua época e por influenciados todas as nossas outra opções, nosso grupo entrou em consenso e escolhemos Arquimedes, Aristóteles e Pitagoras.Pensamos da seguinte formas se conseguiram influenciar a estes nomes tão conhecido dentro da ciência seria capaz de nos influenciar, o que tornaria um pesquisa mais agradável e com melhor aproveitamento de nossa pesquisa.Nosso grupo entende que fez um ótimo trabalho, todos encontrando seu tempo de pesquisar abrindo mão de sua madrugada para pesquisa do domingo para discussão mas o resultado foi muito interessante não só no trabalho, mas também para nosso conhecimento o também percebemos que nossa realidade na faculdade será muito diferente do que nos tempos de escola onde o simples trabalho era um simples trabalho.Na faculdade nos vemos motivados para a pesquisa e desenvolvimento, podemos ver que ver que nossa formação já esta presente em um trabalho.Todos do grupo chegaram à conclusão “Que a cada dia que passa cada hora a mais que passamos acordados estudando, pesquisando contribuirá em muito no futuro Engenheiro ue a cada dia que passa cada hora a mais que passamos acordado estudando pesquisando srbalho, que seria uma busca rapida ondeque seremos”.

BibliografiaWikipédiahttp://www.portaldascuriosidades.comhttp://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/biografia-de-arquimedes/biografia-de-arquimedes-2.phphttp://www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html#pitagorasAcessado no período de 29/04/2010 a 30/05/2010