Arquitetura e Organização de

computadores

Aula 4: Sistemas de Numeração

Prof. MSc. Pedro Brandão Neto

pedroobn@gmail.com

Sistemas de Informação - UNDB

2

Desde os primórdios da sua história os homens tem se deparado

com a necessidade de contar, enumerar e/ou ordenar as coisas

que o cercam

Introdução (I)

3

Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é

o Egípcio. De base decimal, utilizava os seguintes símbolos em

sua representação gráfica

Introdução (II)

4

Foi na Índia, por volta do século V da era cristã, que

provavelmente nasceu o sistema de notação atual adotado.

Por ter sido largamente empregado pelos árabes, os quais o

introduziram na Europa, este ficou conhecido como sistema de

numeração Hindo-Arábico

Introdução (III)

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Sistemas numéricos

Sistemas de notação usados para representar quantidades abstratas

denominadas números

Um sistema numérico é definido pela base que utiliza

A base é o número de símbolos diferentes, ou algarismos,

necessários para representar um número qualquer

Por exemplo

O sistema decimal, utilizado hoje de forma universal, utiliza dez

símbolos diferentes ou dígitos para representar um número e é,

portanto, um sistema numérico na base 10

Sistemas de Numeração

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Um sistema de numeração na base k requer k símbolos diferentes

para representar os dígitos de 0 até k-1

Sistema decimal: 10 dígitos diferentes e base 10

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Sistema octal: 8 dígitos diferentes e base 8

0,1,2,3,4,5,6,7

Sistema hexadecimal: 6 dígitos diferentes e base 16

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15

Sistema binário: 2 dígitos diferentes e base 2

0,1

Sistemas de Numeração

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Notação Posicional

O valor de um algorismo é determinado pela sua posição dentro do

número

Cada posição possui um peso

Por exemplo, o número 3333:

O mais a esquerda, o primeiro, vale três, uma vez que não há outro

número que o antecede, o segundo vale trinta, o terceiro vale

trezentos e o quarto vale três mil

3333 = 3000+300+30+3

Percebe-se que a numeração é denominada posicional porque um

mesmo número, no caso o 3 assume vários valores dependendo da

posição que ocupa.

Sistemas de Numeração

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Computadores se baseiam em eletricidade para o seu

funcionamento e assim utiliza-a para a manipulação e

armazenamento de informações

Atualmente, o computador realiza o seu processamento através

do sistema binário, a partir de dois estados representados pela

presença ou ausência de eletricidade,

Com o sistema binário, o computador trabalha somente com os

símbolos ‘0’ e ‘1’ para a representação de informações

Sistemas de Numeração

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A memória é a parte do computador onde programas e dados são

armazenados

A unidade básica de memória é o dígito binário => BIT (BInary digiT)

A menor unidade de informação que pode ser armazenada ou transmitida

Um bit pode conter um 0 ou um 1

A informação digital pode ser armazenada através da distinção entre

valores diferentes de alguma grandeza física contínua (corrente ou

tensão)

Entretanto, quanto mais valores devem ser distinguidos, menor é a

separação entre valores adjacentes e menor é a confiabilidade da

memória/processamento. Por isso, a melhor opção é o sistema

binário

Sistemas de Numeração

10

Quando operações aritméticas são realizadas em um papel não é

necessário se preocupar com a quantidade de dígitos ou casas decimais

que são utilizadas para representar os dados

Nunca acontece do papel não ser suficientemente grande para

armazenar o número

Com computadores a situação é diferente

A natureza finita do computador nos força a lidar apenas com números

que podem ser representados com um número fixo de dígitos =>

números de precisão finita

Números de precisão finita

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Supõe-se um conjunto de inteiros positivos que pode ser representado

por três dígitos decimais, sem nenhum ponto decimal e sem nenhum

sinal. Esse conjunto tem exatamente mil membros: 001, 002, 003,…, 999.

Com essa restrição é impossível:

600 + 600 = 1200 (muito grande)

003 – 005 = 002 (negativo)

050 * 050 = 2500 (muito grande)

007 / 002 = 3.5 (não é um inteiro)

Os números que são maiores que o maior número do conjunto => erro de

overflow

Os números que são menores que o menor número do conjunto => erro de

underflow

Estes erros também acontecem nas operações realizadas pelo

computador que utiliza o sistema binário

Números de precisão finita (Ilustração)

12

Todo e qualquer valor inteiro representável em uma determinada

base numérica pode ser livremente convertido para qualquer das

outras bases numéricas definidas.

Representação da Informação

13

Representação da Informação

14

A conversão do sistema Decimal para o binário

É realizada por sucessivas divisões por 2, ou seja, o número em

decimal é dividido sucessivamente por 2 até que o quociente seja

igual a 0

O resto da última divisão representa o dígito mais à esquerda do

número binário, o resto da próxima divisão representa o próximo

dígito, e assim por diante

Por exemplo: a conversão de 1310 para binário

Conversão de base (Decimal para binário)

15

Conversão do número 2310 para binário

Conversão de base (Decimal para binário)

2

17

Conversão do número 149210 para binário

Conversão de base (Decimal para binário)

18

Conversão da base 10 para base 2

1) 1

2) 9

3) 13

4) 56

5) 125

6) 564

Conversão de base

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A conversão do sistema binário para o decimal é realizado

através da forma polinomial

Onde A = 0 ou 1 e j é o número de dígitos do número

Exemplo:

Conversão de base (Binário para decimal)

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Binário para decimal

Binário: 11111010001

1x210 + 1x29 + 1x28 + 1x27 + 1x26 + 0x25 + 1x24 + 0x23 +

1x22 + 0x21 + 1x20 = 200110

Conversão de base (Binário para decimal)

21

Binário para decimal

Conversão da base 2 para base 10

1) 110011002

2) 110011012

3) 110011112

Conversão de base (Binário para decimal)

Fim!