Tipos de agrupamentos Considere o seguinte problema. Nos jogos Pan Americanos de 2007, no Rio de Janeiro, as quatro seleções semi-finalistas do voleibol masculino foram Brasil, Estados Unidos, Venezuela e Cuba. A competição foi vencida pela seleção brasileira, mas de quantas maneiras distintas poderia ter sido definido o pódio (ouro, prata e bronze). Cada maneira possível de se formar um pódio é uma sequência ordenada de três seleções escolhidas entre as quatro semi-finalistas. Observe que:

(Brasil, EUA e Cuba) ≠ (EUA, Brasil e Cuba)

A quantidade de resultados possíveis é:

Observe que no problema acima, embora o pódio seja formado pelas mesmas equipes, os grupos diferem pela ordem (colocações). Esse tipo de problema é resolvido pela idéia de arranjo.

Arranjo. Def. Chamamos de arranjo de n elementos tomados p a p, a qualquer agrupamento ordenado dos p elementos distintos escolhidos dos n elementos existentes. Para calcularmos o arranjo de n tomados p a p, temos:

n!A , com n p.n,p (n p)!= ≥−

Resolvendo o problema anterior, temos:

4! 4! 4.3.2 244,3 (4 3)! 1!A = = = =−

O pódio poderia ser formado de 24 maneiras diferentes. Considere outro problema. De quantos modos distintos Amirolaldo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem para Mosqueiro.

Suponha que Amirolaldo escolha as camisas a, b, c e d.

Veja que (a, b, c e d) = (a, c, d, b), pois não importa em que ordem Amirolaldo escolhe as camisas que vai levar, o que importa é que as camisas escolhidas são as mesmas na primeira e na segunda situação. Problemas como esse são resolvidos com a idéia de Combinação.

Combinação. Def. Chamamos de combinação de n elementos tomados p a p, a qualquer agrupamento não-ordenado dos p elementos distintos escolhidos dos n elementos existentes. Para calcularmos a combinação de n tomados p a p, temos:

n!C , com n p.n,p p!.(n p)!= ≥−

Resolvendo o problema, temos:

9! 9! 9.8.7.6.5! 9.8.7.6 1269,4 4!(9 4)! 4!.5! 4!.5! 4.3.2C = = = = =−

Existem 126 maneiras diferentes para Amirolaldo escolher 4 camisetas das 9 que possui. Exercícios 01. Florenço pretende visitar três museus quando chegar em Londres. De quantas formas distintas ele poderá fazer essa escolha, se no guia turístico de Londres constam 8 museus.

Resolução

02. Para ocupar os cargos de chefe de turma e vice chefe de uma turma do segundo ano do colégio Impacto candidatam-se 10 alunos. De quantas maneiras distintas pode ser feita essa escolha? 03. Numa dinâmica de grupo, uma psicóloga de RH (recursos humanos) relaciona de todas as formas possíveis dois participantes: ao primeiro faz a pergunta e ao segundo pede que comente a resposta do colega. Admita que a psicóloga não fará a mesma pergunta mais de uma vez. a) Se dez candidatos participam da dinâmica, qual é o número de perguntas feitas pela psicóloga? b) Qual é o número mínimo de candidatos que obriga a psicóloga a ter mais de 250 questões para realizar a dinâmica? 04. Em um curso de espanhol estudam 20 alunos, sendo 12 rapazes e 8 moças. O professor quer formar uma equipe de 4 alunos para intercâmbio em outro país. Quantas equipes de dois rapazes e duas moças podem ser formados?

05. Um sorveteiro vende sorvete de três bolas, de sabores escolhidos dentre os de açaí, cupuaçu, manga, acerola, goiaba, bacuri e muruci. Calcule o número de possibilidades de escolha de três sabores distintos que deve compor um sorvete, de modo que uma das bolas seja, necessariamente de bacuri. 06. Um piano de brinquedo possui 7 teclas, que emitem sons distintos entre si, correspondentes às 7 notas da pauta acima. Se forem pressionadas, ao mesmo tempo, no mínimo três e no máximo seis teclas, o total de sons diferentes que podem ser obtidas é: a) 21 b) 28 c) 42 d) 63 e) 98

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