Universidade Estadual de Santa CruzDepartamento de Ciências Exatas e Tecnológicas – DCET

Fundamentos Matemáticos para ComputaçãoProfº Dr. Rogério Vargas

Árvores Semânticas

Componentes: Lucas, Ítalo, Wagner, Newton e Gabriel

Validade de uma fórmula a partir de uma estrutura denominada árvore.

Árvore é um conjunto de nós (vértices) ligados por arestas.

Os nós finais são chamados “folhas”. O nó inicial é denominado “raiz”.

Árvores Semânticas

Durante a validação, as arestas que ligam o nó raiz aos outros nós recebem um rótulo,

indicando os possíveis valores de uma determinada variável proposicional,

escolhida aleatoriamente. Se a partir de uma interpretação for possível obter o

valor da fórmula, este é associado ao nó folha correspondente.

Nós “folhas” e Nó “raiz”

Encontrar uma prova para um conjunto de cláusulas S é gerar uma árvore semântica

fechada!

Árvores semânticas completas contém todas as possibilidades.

Mas, se S é insatisfatível, uma árvore semântica sobre H é fechada e finita!

Exemplos de árvores semânticas completas

Considere S = {P(x), P(a)}. O conjunto de átomos de S é {P(a)}. 

Considere S = {P(x), Q(f(x))}. O conjunto de átomos de S é:A = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), P(f(f(a))),

Q(f(f(a))), ...} 

S = {P, Q v R, P v Q, P v R} B = {P, Q, R}.

Nós de falha

Árvore semântica fechada

S = {P(x), P(x) v Q(f(x)), Q(f(a))}

B = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), ...}

Haverá algum barbeiro que barbeia toda a gente da cidade(1), mas somente aqueles que não se barbeiam a si próprios(2)?

O paradoxo surge quando tentamos saber se o barbeiro faz a própria barba ou não. Se ele o faz, não poderá, pois violaria a condição 2; mas se não fizer a própria barba, então tem de fazer, pois esta é a condição 1.

Exemplo do Barbeiro

Conclusão: O argumento “Haverá algum barbeiro que barbeia toda a gente da cidade, mas somente aqueles que não se barbeiam a si próprios?” É inconsistente pois a arvore esta terminada e os seus ramos ainda estão abertos. Como esta é uma demonstração por redução ao absurdo, estando a arvore aberta, não há contradição em nenhum dos seus ramos.

OBRIGADO!