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Lógica para ComputaçãoProfessor Marlon MarconUTFPR – Dois Vizinhos

RELAÇÕES SEMANTICAS ENTRE CONECTIVOS DA LÓGICA PROPOSICIONAL

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Introdução

A partir da compreensão das relações semânticas entre osconectivos da LP, é possível reduzir o número de conectivosproposicionais da alfabeto, mantendo a linguagem da lógicainalterada.

A redução de conectivos é muito utilizada em arquitetura decomputadores, na qual são projetados circuitos eletrônicos.

Conjuntos de Conectivos Completos

Um conjunto de conectivos proposicionais Ψ é completo quando épossível expressar, equivalentemente, os conectivos ¬, V, Λ, → e ↔utilizando apenas os conectivos de Ψ.

Definição 1 (Conjunto de conectivos completo). Seja Ψ um conjuntode conectivos. Ψ é um conjunto completo se as condições a seguirsão satisfeitas. Dada uma fórmula H do tipo ¬P, (P1 V P2), (P1Λ P2),(P1→ P2) ou P1↔P2 então é possível determinar uma outrafórmula G, equivalente a H, tal que G contém apenas conectivos doconjunto Ψ e os símbolos P1 e P2 presentes em H.

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Equivalência entre → e ¬, V

O conectivo → pode ser expresso semanticamente pelos conectivos¬ e V

Como (P→Q)↔(¬P V Q) é uma tautologia, então as fórmulas (P→Q)e (¬P V Q) são equivalentes

Isso significa que a fórmula (P→Q) pode ser expressaequivalentemente por uma fórmula que utiliza apenas conectivos ¬e V e os símbolos proposicionais P e Q.

Equivalência entre Λ e ¬, V

O conectivo Λ pode ser expresso semanticamente pelosconectivos ¬ e V

Como (PΛQ)↔¬(¬P V¬Q) é uma tautologia, então as fórmulas(PΛQ) e ¬(¬P V¬Q) são equivalentes

Logo, do ponto de vista semântico, o conectivo Λ pode serexpresso equivalentemente em termos dos conectivos ¬ e V.

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Equivalência entre ↔ e ¬, V

O conectivo ↔ pode ser expresso semanticamente pelos conectivos ¬ e V

(P ↔ Q) equivale a ((P → Q) ∧ (Q → P))

P → Q ∧ Q → P equivale a (((¬P ∨ Q) ∧ ((¬Q ∨ P))

P → Q ∧ Q → P equivale a ¬(¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬(¬Q ∨ P))

Equivalência entre ↔ e ¬, V

Como a equivalência entre as fórmulas é transitiva, então

(P ↔ Q) equivale a ¬(¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬(¬Q ∨ P))

A conclusão é que o conectivo ↔ pode ser expressosemanticamente, de forma equivalente, pelos conectivos ¬ e V.

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Conjunto de conectivos completos

A partir das três equivalências anteriores, é possível provar que:

O conjunto {¬, V} é completo, ou seja:

Dada uma fórmula H do tipo ¬P, (P1 VP2), (P1Λ P2), (P1→ P2)ou P1↔P2 então é possível determinar uma outra fórmulaG, equivalente a H, tal que G contém apenas conectivos doconjuntoΨ e os símbolos P1 e P2 presentes em H.

Redefinição do Alfabeto da Lógica Proposicional

O alfabeto da Lógica Proposicional é constituído por:

Símbolos de pontuação: (, );

Símbolos de verdade: false;

Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, R1, S1, P2,...;

Conectivos proposicionais: ¬, V.

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Relação semântica entre conectivos

Dada uma fórmula E, represente utilizando somente osconectivos do conjunto completo {¬, V}

Exemplo:

E = P ↔ Q ∨ (𝑅→ S)

Formas Normais

Existem dois tipos de formas normais:

Forma Normal Disjuntiva (FND) se é uma disjunção de conjunções deliterais.

𝐻 = (¬𝑃 ∧ 𝑄) ∨ (¬𝑅 ∧ ¬𝑄 ∧ 𝑃) ∨ (𝑃 ∧ 𝑆)

Forma Normal Conjuntiva (FNC) se é uma conjunção de disjunçõesde literais

𝐻 = (¬𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (¬𝑅 ∨ ¬𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)

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Como verificar se uma fórmula está nas Formas Normais

Deste modo, uma fórmula está em FNC ou FND se, e somente se:

1. No máximo contém os conectivos ¬,∨,∧.

2. A negação ¬ não tem alcance sobre os conectivos ∨ 𝑒 ∧

3. Não aparecem negações sucessivas.

4. O conectivo ∨ não tem alcance sobre ∧ na FNC e, oconectivo ∧ não tem alcance sobre ∨ na FND.

Como obter as Formas Normais

Exemplo:𝐻 = (𝑃 → 𝑄) ∧ 𝑅

Na FNC:𝐻 = (¬𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅

Na FND:𝐻 = ¬𝑃 ∧ 𝑅 ∨ (𝑄 ∧ 𝑅)

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Problema de Post

Como já observamos podemos construir a tabela verdade deuma fórmula conhecidos os valores verdade das fórmulas que acompõem.

O problema recíproco se coloca: para toda tabela verdade,existe uma fórmula que a determina?

Este problema é conhecido como PROBLEMA DE POST(EmilLeon Post 1888-1995) e pode ser resolvido obtendo-seuma FNC ou uma FND que satisfaça a tabela verdade dada.

Fórmula Normal Disjuntiva

Para se obter uma FND:

1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem T naúltima coluna;

2. Construímos para cada uma destas linhasas conjunções correspondentes;

3. Fazemos a disjunção destas conjunções obtendo umafórmula em FND que satisfaz a tabela verdade.

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Fórmula Normal Disjuntiva

Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabelaverdade abaixo:

Resposta: 𝑃 ∧ 𝑄 ∨ (¬𝑃 ∧ ¬𝑄)

P Q H

T T T (𝑃 ∧ 𝑄)

T F F

F T F

F F T (¬𝑃 ∧ ¬𝑄)

Fórmula Normal Conjuntiva

Para se obter uma FNC:

1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem F naúltima coluna;

2. Construímos para cada uma destas linhasas disjunções correspondentes;

3. Fazemos a conjunção destas disjunções obtendo umafórmula em FNC que satisfaz a tabela verdade.

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Fórmula Normal Conjuntiva

Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabelaverdade abaixo:

Resposta: ¬𝑃 ∨ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ ¬𝑄)

P Q H

T T T

T F F (¬𝑃 ∨ 𝑄)

F T F (𝑃 ∨ ¬𝑄)

F F T

FNC e FND

As FND e FNC obtidas como anteriormente são completas ouseja, em cada disjunção (FND) ou em cada conjunção (FNC)todas as variáveis proposicionais estão presentes.