12 Revista Acadêmica

AS LEIS LÓGICAS DO PENSAR COERENTE

Carlos Magno Corrêa Dias *

Partindo-se da premissa de quea razão é o agente elucidativo (re-quisito "sui generis" de explicação)que pretende subjugar os aconteci-mentos caóticos a uma unidade coe-sa; esta vem romper as sujeições dosfatos singulares e individuais paraestabelecer, por força de uma deci-são normativa (cujo pressuposto bá-sico é salvaguardar a ordem do pro-cesso evolutivo}, uma mobilidadede juízos que a impele à constanteanálise de qualquer que seja a "ver-dade" a promulgar ou a instaurarcomo padrão de relevância expl ica-tivo. Isto é, a razão vem determinaros elementos de análise da relaçãode conformidade do pensar com seuobjetivo precípuo de conhecimen-to, para, então, extremar os v íncu-los da "verdade". "Ratio omniavincit".

Mas, em essência, o que significa"verdade"? Qual, precisamente, é a"verdade" norteadora nas ciênciasexatas? Especificamente, qual seriao propósito da "verdade" em Ma-temática? Sabe-se, por exemplo,que aquilo que reputa um estado"verdadeiro" na geometria euclidia-na não o é na geometria do espaçocurvo; e, portanto, seria l lcito afir-mar que a "verdade" nas ciênciasexatas é contraditória? Certamenteque não. Apesar dos equivocados

paradoxos concepcionistas da expe-riência cotidiana (que se deixa enga-nar por aparências efêmeras aloca-das em referenciais distintos) e doceticismo exacerbado de pseudoscientistas, a "verdade", em qual-quer que seja a amálgama das ciên-cias exatas, é uma busca infinita emdireção à ordem, ao absoluto for-mal. Deve-se, em intenção, observarque nas ciências exatas (que sãofundamentadas em sistemas formaise, por conseqüência, abstratos) seusentes estão dissociados do mundoreal e a legitimidade de seus argu-mentos cumpre as diretrizes de teo-rias consistentes, onde dentre todosos teorernas destas teori as, afetas aum determinado universo particu-lar, não existe um outro teoremaque seja a negação (a contradiçãológica) de quaisquer dos anteriores.Assim, nestas ciências, qualificadaspor sistemas fechados, a "verdade"é uma propriedade das proposiçõese dos enunciados (e/ou de fórmulasproposicionais ou predicativas) dis-seminadas no "continuurn" de con-jecturas formalizadas.

~ oportuno evidenciar-se que dojulgamento da mente a respeito dasestruturas formais af lora a "verda-de", a qual não teria existência semo primeiro. Sendo definida como anão contradição de um sistema de

JU IZOS anal íticos, a "verdade" nasciências exatas é uma verdade lógi-ca, a qual, por sua vez, ignora arealidade singular (ou mesmo im-precisa) dos fatos e passa a estabe-lecer a concordância do aparatoconceitual com suas próprias con-venções; o que vem consolidar seugrau de possibilidade pelo padrãoexeqüível de sua existência. E, nes-te sentido, a "verdade" ou a "falsi-dade" de uma dada premissa é obti-da ao se cotejar a afirmação sobreela justaposta com a idéia lógico-ra-cional que vem expressar. Desta for-ma, a verdade lógica não está inte-ressada em caracterizar, ou antesestabelecer, o "verdadeiro" ou o"falso" de proposições ou de predi-cados de um determinado argumen-to formal de um dado universo re-lacional. A verdade lógica pretende,em última análise, auferir as rela-ções existentes entre estados lógicosque venham determinar, por seuturno, a correção ou incorreção (alegitimidade ou não-legitimidade)das inferências no sentido de insur-gir o pensamento coerente. Portan-to, a verdade lógica, do ponto devista de sua anal ítica. vem estrutu-rar a ciência ou o estudo das infe-rências corretas no sentido de julgara validade do pensamento lógico-formal; ou seja, estabelece o instru-

* Professor de Lógica Matemática, de Lógica Computacional, de Fundamentos de Matemática e de Cálculo Diferencial e Integralda Pontif icia Universidade Católica do Paraná.

L

As Leis Lógicas do Pensar Coerente 13

mento de análise no universo rela-cional da Lógica Matemática e, porconseqüência, da própria Matemáti-ca (pois que, o desenvolvimento daMatemática se deve a uma constru-ção lógico-formal e a axiomatizaçãoda Lógica Matemática é estabeleci-da através de processos matemáti-cos).

Uma verdade lógica é uma ver-dade formal; a qual é coerente uni-camente em decorrência de sua for-ma, ficando por ela univocamentedeterminada. Individualizada peloreferencial teórico, vem exteriori-zar o liame da coesão impl ícita en-tre o pensamento coerente e os sis-temas consistentes constitu idos,instituindo o avanço progressivo doconhecimento anal ítico. E, a estaafirmação, acrescente-se que nãoexiste qualquer necessidade lógicaincidente sobre fatos naturais que,para promulgarem sua "verdade",necessitam de um estudo empíri·co. A verdade lógica está divorcia-da da verificação empírica; por-quanto, constitui-se de substitui-ções de enunciados que guardamum completo relacionamento entrea estrutura do argumento formal eas formas de raciocínio que subsi-diam as demonstrações notórias(legítimas) da coerência das primei-ras.

Sendo a verdade lógico-formalaquela que representa acordo comleis formais do pensamento a partirde princípios estabelecidos, esta re-ferencia a coerência na estrutura doraciocínio quanto a conclusões de-term inadas. Assim sendo, o enun-ciado (fórmula proposicional) p -> p(ou seja, a condicional: "se p, entãop": onde p é uma proposição sim-ples qualquer) é um exemplo deverdade lógica (de verdade formal)verdadeira unicamente em decor-rência de sua forma estrutural.

Contudo, observe que o exem-plo anteriormente referenciado ca-racteriza uma forma de enunciadotautológico ou uma Tautologia;uma vez que, tem, tão somente,exemplos de substituição verdadei-ros. Isto é, a fórmula proposicio-nal p -> p é uma forma de enuncia-do tautológico pois corresponde auma seqüência de símbolos a qualcontém uma única variável de enun-ciado p, sendo que o valor-verdadeda estrutura será sempre a VerdadeV, independentemente dos valoreslógicos assumidos pela p: ou seja:V (p -> p) = V.

Em decorrência da álgebra esta-belecida no Cálculo Proposicional(Sentencial), a forma de enunciadop -> p contém, como acima caracte-rizado, somente uma variável de

enunciado, a qual, pela bivalênciaproposicional, possui apenas doisestados de verdade que possibilitamrepresentar todos os exemplos pos-síveis de substituição; isto é, assumeos valores-verdade V (p) = V (verda-de) ou V (p) = F (falsidade). Poroutro lado, tomando-se o Princípioda Equivalência Lógica, a estruturaenunciativa p -+ p é logicamenteequivalente à estrutura -p V P("não p ou p "). O que significa afir-mar que as formas de enunciado(p -> p) e (-p V p) apresentam, pa-ra cada estado de verdade, resulta-dos idênticos. Simbolicamente, talfato pode ser indicado por:(p -> p) c> (-p V p}, E, a afirmaçãoem questão será formalizada a par-tir da seguinte Tabela-Função-de-Verdade; a saber:

p -p V P p->p-p

FV

VV

VF

Desta forma, os enunciados(p -+ p) e (-p V p) qualificamexemplos de substituição de formasde enunciados tautológicos e sãoverdadeiros em função unicamentede suas formas (observe que as colu-nas correspondentes são constitu í-das apenas do valor-verdade V (ver-dade) para ambas as fórmulas oro-posicionais).

Saliente-se, também, que, peloPrincípio da Substituição Lógica, apartir da forma de enunciado(p -> p}, pode-se afirmar que a es-trutura P (p, q, r, ... , Pn) -> P [p, q,r, ... , Pn)' em que os elementosconstituintes são enunciados com-postos (compostos de n-variáveis deenunciado), caracteriza, por conse-guinte, uma forma de enunciadotautológico; porquanto, sua formaestrutural é a de uma Tautologia.

Partindo-se do referencial teó-rico aqui considerado, é importanteressaltar que uma forma de enuncia-do que possua apenas exemplos desubstituição falsos é uma Contradi-ção, sendo logicamente falsa. Destaforma, por exemplo, a fórmula pro-posicional p A -p ("p e não p",para p proposição qualquer) é umaContradição; pois, em sua Tabela-Função-de- Verdade tem-se apenas ovalor-verdade correspondente à F(falsidade). Como V (p A -p) = F,sua correspondente Tabela- Função-de- Verdade será dada por:

p

FF

p A-p

VF

Analogamente ao consideradopara Tautologias, pode-se estendera afirmação acima para a fórmulaproposicional constitu ída das n-va-riáveis de enunciado p, q, r, ... t Pn'caracterizada pela estrutura P (p.q,r, ... , Pn) A -P(p,q, r, ... , PrJ) aqual, segundo a forma, é, tambem,um exemplo de Contradição.

Sejam as letras proposicionaisp e q, designando, respectivamente,as sentenças declarativas "A Mate-mática é atributo da Lógica." e "ALógica é fundamento da Matemáti-ca."; isto é:

p : A Matemática é atributo daLógica.

q: A Lógica é fundamento daMatemática.

A proposição composta

VV

"Se a Matemática é atributo daLógica, então a Lógica não é funda-mento da Matemática e/ou a Mate-mática é atributo da Lógica:', quecorresponde à fórmula proposicio-nal designada por P (p, q) e definidapela estrutura:

P (p, q): p -> (-q V P),

é uma forma de enunciado tautoló-gico, é uma verdade lógica. Pois, daÁlgebra Proposicional, vem que:

p ->(-qVP) e> -pV(-qVp) e>

co -p V (p V -o) e> (-p V p) V -q e>

e> t V -q e> t,

onde a letra proposicional t designauma Tautologia. Contudo, como jáapresentado, tal verdade lógica po-derá ser evidenciada através de umaTabela-Função-de-Verdade; isto é:

p q -q -q V p p-> (-q V p)

V V F V VV F V V VF V F F VF F V V V

Em contraposição ao exemploanterior, a sentença:

"A Matemática é atributo daLógica, mas não é verdade que aLógica não é fundamento da Mate-mática e/ou que a Matemática éatributo da Lógica.", a qual designa-da por Q (p, q) corresponde à fór-mula proposicional dada por:

Q (p, q): p A -(-q V p).

é uma forma de enunciado Contra-válido; ou seja, é uma Contradição,

14 Revista Acadêmica

leis do pensamento formal, a LógicaMatemática sustenta as seguintesTautologias (ou Princípios Funda-mentais) para que o pensamento sedesenvolva de forma coerente; quaissejam: Princípio da Identidade,Princípio da Não-Contradição ePrincípio do Terceiro Exclu ído.

O Princípio da Identidade afir-ma que todo enunciado da forma"p se, e sorr.ente se, p" (bicondi-cional: p •..•p) sempre possui valor-verdade correspondente à VerdadeV; isto é, corresponde a uma Tau-tologia. Observe que tal princípioexprime, na realidade, a impossibi-lidade de se pensar um estrutura eseus elementos constitutivos comoopostos e dessemelhantes, enquan-to formada por enunciados não-elípticos ou completos. Por conse-qüência, um enunciado p é logica-mente equivalente a si próprio,não podendo ser, no mesmo univer-so de ju iz os, outra coisa senão p.Desta maneira, tem-se a seguinteTabela-Função-de-Verdade; a saber:

sendo logicamente falsa. Assim, demaneira semelhante ao exemplo an-terior, tem-se, pela Álgebra Proposi-cional, que:

p A -(-q V p) e> p A (q A -p) e>

e> p A (-p Aq) e> (p A-p) Aq e>

e> C A q e> c,

onde a letra proposicional c designauma Corrtr adicão. Ou, tomando-seo procedimento funcional Tabela-F uncão-de- Verdade, tem-se que:

" r -q (-Q v ri -(-Q v ri P/\-(-qVp)

v v F V F FV F V V F FF V F F V F< F V V F r

Observe que o exemplo acimacaracteriza uma substiuição de umaforma de enunciado Contraválido,o qual é falso em virtude unicamen-te de sua forma; ou seja:V (p A -(-q V p)) = F, independen-temente dos valores-verdade de suascomponentes.

Sabendo-se que um argumentoem Lógica Matemática é toda se-qüência finita de proposições (de-nominadas premissas) que conduz,ou acarreta, uma outra pr-oposição(denominada conclusão), tem-se, apartir das fórmulas proposicionaisP (p, q) e O (p, q). o seguinte argu-mento válido; a saber:

P (o.q] ~ O (p.q), O (p, q) ~

~ P [p, q) f-- P (p. q) ~ P (p.q).

Assim, designando P (p, q) ~

~ O (p, q) por P1 (p, ql. O Ip, q) ~

~ P (p, q) por P2 (p, q) e P (p, q) ~

~ P (p, q) por P3 (p, q). tem-se es-truturado o argumento:

Contudo, um argumento P1,

P2, ... , Pn ~ O (onde cada umadas fórmulas proposicionais P1, P2,... , Pn, O podem ser constituídasdas n-variáveis de enunciado p, q, r,.. " Pn) será leg íti mo se, e somentese, a condicional entre a conjunçãodas premissas e a conclusão gerar,por equivalência lógica, uma Tauto-logia, isto é:

Observe, pois, que o exemplo

levado em consideração é, realmen-te, um argumento legítimo (válido);porquanto, tem-se que:

(P1 (o. q) AP2 (p, q) ) --. P3 (p, q) e>

e> t, ou seja, ((P (p, q) -rr O (o, q)) A

A (O (p, q) ~ P (p, q))) --. (P [p, q) ...,.

--. P (p, q) ) e> t.

Portanto, através da ÁlgebraProposicional, vem que:como P (p, q) --. P (p, q) e> -P (o, q)

V P (p, q) e> t. então ( (P (p, q) --.

~ O (p, q));\ (O (p, q)""'P (p, q)))"'"

->- (P (o, q) -+ P (p, q) e> ((P (p, q) ->-

->- O (p, q)) A(O (p, q) ~ P (p, q))) ->-

->- -P (p. q) V P (p, q) e> -((P (p, q)...,.

~ O [p, q)) A(Q (p, q)"'" P (p, q)))V t

(J)

mas o elemento tautológico t é ele-mento absorvente na operação dedisjunção inclusiva (caracterizadapelo símbolo V, que corre spondeao conectivo "ou").

Desta forma, como CD é equi-valente a uma Tautologia t. o argu-mento P (p, q) ->- P (p, q l, Q (p, q)->-

~ P (p, q) ~ P (p. q) ~ P (p, q)

é um exemplo de argumento legí-timo.

E, assim, através do métodoacima apresentado (resumidamente,porquanto não é este o objeto prin-cipal da presente explanacão) po-der-se-ia analisar uma infinidade deargumentos, do ponto de vista desua validade.

Do exposto até este ponto, háde se considerar que a teoria emquestão não pode deixar de ter emconta certos pressupostos básicos(leis primeiras) que lhe dão origem.Sendo, então, a verdade lógica oinstrumento que orienta a ciênciaabstrata (abstrato entendido comotodo conjunto de teorias dissocia-das do real, sendo essencialmentemental), esta está fundamentadaem três leis; leis intituladas, peladistinção que as caracterizam, leisfundamentais (primeiras) do pen-samento coerente. Cabendo salien-tar que as leis em questão alicer-çam, como fundamento "a priori ",a Lógica Matemática e, de resto,a própria Matemática,

Assim, enquanto ciência das

-tt-?-p-p

V VF V

O Princípio da Não-Con-tradição é caracterizado pelo enun-ciado da forma "não é verdade quep e não p" (-(p A -pl). o qual é 10-gicamente equivalente a uma Tauto-logia. Portanto, o princípio emquestão corresponde à contradiçãode uma sentença logicamente "fal-sa", pois que não é possível a exis-tência de um enunciado que possaser- e não-ser simultaneamente emum dado universo de referência.Assim, um enunciado qualquer p,bem definido, não poderá ser (emum mesmo universo) p e não p,uma vez que estados dicotômicossão mutuamente excludentes. Acorrespondente Tabela- Função-de-Verdade que evidencia o citadoprincípio é apresentada a seguir;qual seja:

p -p pA-p -(pA-p)

F VF V

V FF VO Princípio do Terceiro

Excluído vem afirmar que um dadoenunciado é, necessariamene, a ver-dade (V) ou a não-verdade (F); nãoexistindo a possibilidade de um"meio-termo" entre a afirmação e arespectiva contradição. Ou seja, oPrincípio do Terceiro Exclu ído.que corresponde ao enunciado daforma "p ou não p" (p V -p). ca-

As Leis Lógicas do Pensar Coerente 15

racteriza, tal qual os casos anterio-res, uma Tautologia. Assim, a fór-mula proposicional p V -o , no âm-bito de um universo bivalente, tempor Tabela- Função-de- Verdade a se-guinte estrutura; a saber:

p rtl VV

p V-p

VF

Não obstante as consideraçõesa presentadas sobre os Pr inc ípi osFundamentais da Lógica Matemáti-ca, se faz necessário enfatizar, ain-da, que tais princípios não represen-tam as únicas formas de se estabele-cer Tautologias. Porquanto, atravésdas Técnicas Dedutivas e da AnáliseInferencial poder-se-ia gerar uma in-finidade de outr-as Tautologias; po-

rém, tais estudos fogem ao escopodo presente compêndio.

Saliente-se, por outro lado, quemuito embora os Princípios Funda-mentais apresentados não consti-tuam exclusivos exemplos de enun-ciados logicamente verdadeiros(Tautologias), estes dão à LógicaMatemática o fundamento "a pr io-ri". Assim, tem-se estabelecido, apartir de tais axiomas, um sistemacientífico de raciocínio; o qual,sendo inteiramente coerente (emseu universo de análise), encerraem si toda uma série de ver-dadesformais para externar seu caráteranal ítico, a precisão e exatidão dequaisquer que sejam suas estrutu-ras racionais.

Ao longo da história da ciên-cia, os princípios anterior-mentecaracterizados foram objeto de ata-ques fervorosos. Contudo, há de se

esclarecer que tais objeções prag-máticas constituem, em verdade,um aglomerado de equ ívocos; poisque, se os axiomas consideradosforem tomados como enunciadosque contêm sentenças isentas dequaisquer ambigüidades e sistema-tizados (formalizados através deuma anal ítica própria) por intermé-dio de operações pertinentes a umcálculo específico (Cálculo Senten-cial e Cálculo dos Predicados),num universo bivalente, as denomi-nadas leis do pensamento formalsão legítimas e indiscutíveis en-quanto tais. E, a despeito de quais-quer intenções restritivas e/ou con-testações descontextualizadas, tem-se, a partir destes princípios funda-mentais, instaurado, seguramente,o poder e a excelência tanto da Ló-gica Matemática, quanto da própriaMatemática.