Universidade Federal de Mato Grosso

Fundamentos de Calculo

Atividades resolvidas - Grupo de estudos - PROFMAT

13/04/2013

Sequencias Reais e seus Limites

Questao 1.3.1.c) Mostre que a sequencia xn = 1n2 e limitada e monotona. Descreva o tipo de monoticidade de

xn.

Demonstracao:

Afirmacao 1: (xn) e monotona decrescente.

De fato! Observe que para todo natural n, vale que:

n+ 1 > n ⇔ (n+ 1)2 > n2 ⇔1

(n+1)2 < 1n2 .

Ou seja, xn+1 < xn. Concluımos assim que (xn) e monotona decrescente.

Vamos agora calcular o limite de (xn).

Sabendo que limn→∞

1n = 0 e usando as propriedades de limites, temos:

limn→∞

1n2 = limn→∞( 1n )

2 = (limn→∞

1n )

2 = 02 = 0.

Assim concluımos que (xn) e convergente e seu limite e zero.

Afirmacao 2: (xn) e limitada.

De fato! Mostramos acima que (xn) e convergente. Desta forma, por teorema, temos que (xn) e limitada.

Com as ferramentas apresentadas anteriormente, podemos encontrar os limitantes de (xn). Como (xn) e monotona

decrescente e lim xn = 0, temos que:

1 = x1 > x2 > x3 > ... > xn > ... > 0.

Questao 1.3.3) Existe um numero finito ou infinito de subsequencias da sequencia ((−1)n+1)? Justifique sua

resposta.

Solucao: Existem infinitas subsequencias de ((−1)n+1), pois podemos fazer infinitas combinacoes entre 1 e -1.

Observe alguns exemplos:

(1, 1, 1, 1, ...)

1

(−1,−1,−1,−1, ...)

(−1,−1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

(1, 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1,−1,−1, ...)

etc.

Questao 1.3.4.c) Dada a sequencia (1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...), exiba tres subsequencias monotonas cres-

centes e tres monotonas nao crescente.

Solucao: Nao e possıvel encontrar subsequencias do tipo acima, pois sempre geramos um numero finito de elementos

em cada subsequencia criada. Por exemplo:

(1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...1, 2, 3, ...,1000, 1, 2, 3, ...,999, 1000, 1001, 1, 2, 3, ...,998, 999, 1000, 1001, 1002, ...)

Poderıamos construir atraves da sequencia acima, a seguinte sequencia decrescente:

(1000, 999, 998, 997, 996, ...3, 2, 1),

entretanto, ela teria um numero finito de termos, nao satisfazendo assim a definicao de subsequencia.

Questao 1.4.1.2.a) Encontre n1 ≥ 1 inteiro, tal que:

n2n < 1

10 , para todo n > n1.

Solucao: Tome n natural. Se n < 6 temos que 2n < 10n. Entretanto para todo n ≥ 6, entao 2n > 10n. Assim,

concluımos que sendo n ≥ 6, entao 2n > 10n ⇔n2n < 1

10 , ou seja, n1 = 6.

Questao 1.4.1.3.b) Ache o limite da sequencia xn = 1 + 13n .

Solucao:

limn→∞1 + 13n

propriedades︷︸︸︷= limn→∞1 + limn→∞

13n = 1 + 0 = 1.

Portanto lim xn = 1.

Questao 1.4.1.4.a) Mostre que limn→∞

nn+1 = 1.

Solucao: Com efeito, dado ǫ > 0 arbitrario, podemos obter n0 natural tal que n0 > 1−ǫǫ . Entao n > n0 Implica

que:

n > 1−ǫǫ = 1

ǫ − 1 ⇔ n+ 1 > 1ǫ ⇔

1n+1 < ǫ ⇔

∣∣∣−1n+1

∣∣∣ < ǫ ⇔

∣∣∣n−n−1n+1

∣∣∣ < ǫ ⇔

∣∣∣

nn+1 − 1

∣∣∣ < ǫ.

Concluımos assim que:

limn→∞

nn+1 = 1.

2

Questao 1.4.1.4.b) Mostre que limn→∞

n+3n3+4 = 0.

Solucao: Com efeito, dado ǫ > 0 arbitrario, podemos obter m e k naturais, tais que: m2 ǫ2 > 1 e k3 ǫ

2 > 3. Desta

forma temos:

m2 ǫ2 > 1 ⇔ m3 ǫ

2 > m e k3 ǫ2 > 3. Como m3 ǫ

2 + 4 ǫ2 > m3 ǫ

2 > m e k3 ǫ2 + 4 ǫ

2 > k3 ǫ2 > 3, obtemos:

ǫ2 (m

3 + 4) > m ⇔m

m3+4 < ǫ2 (I) e ǫ

2 (k3 + 4) > 3 ⇔

3k3+4 < ǫ

2 (II).

Tome agora n0 = max [m,k]. Logo, para todo n > n0, obtemos:

∣∣∣n+3n3+4 − 0

∣∣∣ =

∣∣∣n+3n3+4

∣∣∣ = n+3

n3+4 = nn3+4 + 3

n3+4 <︸︷︷︸

por(I)/(II)

ǫ2 + ǫ

2 = ǫ.

Concluımos assim que limn→∞

n+3n3+4 = 0.

Questao 1.4.1.8) Mostre que:

limn→∞( 1(n+1)2 + 1

(n+2)2 + ...+ 1(2n)2 ) = 0.

Solucao: Com efeito! Inicialmente observe que para todo n e k natural, vale:

n < n+ k ⇔ (n+ k)2 > n2 ⇔1

(n+k)2 < 1n2 .

Sendo assim, dado ǫ > 0 arbitrario, podemos obter n0 natural tal que n0 > 1ǫ . Entao, para todo n > n0, temos

que: n > 1ǫ ⇔

1n < ǫ. Mas:

1n = n

n2 =1

n2+

1

n2+ ...+

1

n2︸ ︷︷ ︸

n−parcelas

> 1(n+1)2 + 1

(n+2)2 + ...+ 1(2n)2 =

∣∣∣

1(n+1)2 + 1

(n+2)2 + ...+ 1(2n)2

∣∣∣ =

∣∣∣

1(n+1)2 + 1

(n+2)2 + ...+ 1(2n)2 − 0

∣∣∣.

Logo∣∣∣

1(n+1)2 + 1

(n+2)2 + ...+ 1(2n)2 − 0

∣∣∣ <

1n < ǫ. Concluımos assim que:

limn→∞( 1(n+1)2 + 1

(n+2)2 + ...+ 1(2n)2 ) = 0

3